Kuis Teori Investasi
1. Return construction & dependence structure
a. Return definitions
i.
Hasil Return
Perhitungan simple return pada 1 Oktober 2024:
𝑟𝑡 =
𝑃𝑡 − 𝑃𝑡−1 10,550 − 10,325
=
= 0.0218
𝑃𝑡−1
10,325
Dengan cara membandingkan selisih harga saat ini dan harga sebelumnya terhadap
harga sebelumnya, nilai ini menunjukkan kenaikan atau penurunan relatif yang
mudah dipahami untuk laporan kinerja.
Perhitungan log return pada 1 Oktober 2024:
𝑃𝑡
10,550
) = ln (
) = 0.0216
𝑔𝑡 = ln (
𝑃𝑡−1
10,325
Dengan menggunakan logaritma natural dari rasio harga saat ini terhadap harga
sebelumnya. Ukuran ini lebih cocok dipakai untuk analisis statistik dan model
keuangan karena bersifat aditif antar periode.
ii. Report for each stock
•
Arithmetic mean simple return
𝑇
1
𝑟̅𝐴 = ∑ 𝑟𝑡
𝑇
𝑡=1
Return aritmetik saham diperoleh dengan menjumlahkan seluruh return harian
saham selama periode pengamatan lalu membaginya dengan jumlah hari. Nilai
ini mencerminkan rata-rata keuntungan atau kerugian harian yang diharapkan
investor dari saham tersebut.
•
Geometric mean log return
𝑇
1
𝑇
𝑟̅𝐺 = (∏(1 + 𝑟𝑡 )) − 1
𝑡=1
Geometric mean return mencerminkan tingkat pertumbuhan majemuk rata-rata
yang benar-benar dialami investor ketika return saham diinvestasikan ulang
secara berkelanjutan.
•
Volatility return
𝜎 = √Var(𝑅)
Standar deviasi return saham menunjukkan seberapa besar fluktuasi return
terhadap rata-ratanya. Perhitungan ini dilakukan baik dengan data simple return
maupun dengan data log return sesuai jenis return yang digunakan.
Tabel Daily
Tickers
TLKM
BBCA
BMRI
UNVR
ANTM
Arithmetic
mean simple
return
0.000343017
-0.001136542
-0.001637504
-0.000367847
0.003810456
Geometric
mean log
return
-0.000144643
-0.001443526
-0.002222437
-0.001469723
0.002647223
Volatility
simple return
Volatility log
return
0.022217792
0.017481334
0.02413958
0.033495891
0.034043274
0.022217792
0.017481334
0.02413958
0.033495891
0.034043274
Annualized return dan volatilitas dihitung dengan mengonversi hasil harian ke
skala tahunan menggunakan jumlah hari perdagangan dalam setahun. Return ratarata harian dikalikan 252, sedangkan standar deviasi harian dikalikan akar dari 252.
Tabel Annual
Tickers
TLKM
BBCA
BMRI
UNVR
ANTM
Arithmetic
mean simple
return
0.086440344
-0.286408516
-0.412651043
-0.092697478
0.960234905
Geometric
mean log
return
-0.036450093
-0.363768503
-0.560054231
-0.37037009
0.66710022
Volatility
simple return
Volatility log
return
0.352696519
0.277507575
0.38320395
0.531730789
0.540420217
0.351406551
0.278204128
0.383917389
0.527830418
0.540504106
iii. Explain why the arithmetic mean can overstate multi-period growth relative to the
geometric mean, and when each is appropriate.
Answer:
Arithmetic mean dapat memberikan estimasi pertumbuhan jangka panjang yang
lebih tinggi karena hanya menghitung rata-rata sederhana dari return harian tanpa
memperhitungkan efek penggandaan. Dalam kenyataannya, return dari satu periode
ke periode berikutnya saling terkait melalui reinvestasi, sehingga fluktuasi justru
menurunkan pertumbuhan riil yang diperoleh investor. Geometric mean menangani
hal ini dengan menggunakan log return atau pertumbuhan majemuk, sehingga
nilainya biasanya lebih rendah daripada arithmetic mean ketika ada volatilitas dan
lebih tepat untuk menggambarkan kinerja beberapa periode. Dengan demikian,
arithmetic mean lebih cocok dipakai untuk memperkirakan return dalam satu
periode atau jangka pendek, sedangkan geometric mean lebih relevan untuk menilai
pertumbuhan portofolio dalam jangka panjang.
b. Dependence/correlation
i. Correlation Matrix
Dengan menggunakan rumus korelasi berdasarkan log return, sebagai berikut
𝜌𝑋,𝑌 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎𝑋 𝜎𝑌
Perhitungan ini menghasilkan matriks korelasi, seperti ditunjukkan pada tabel
berikut.
Matriks korelasi pada tabel di atas diperoleh dari perhitungan hubungan linear
antara return harian masing-masing saham. Prosesnya diawali dengan menghitung
return harian setiap saham, baik dalam bentuk simple return maupun log return,
pada periode waktu yang sama. Dengan adanya deret data return tersebut, kita bisa
membandingkan pola pergerakan antar saham.
ii. Identify the pair with the strongest positive and the strongest negative correlation
(if any). Interpret the implications for diversification.
Answer:
Nilai korelasi tertinggi didapatkan pada korelasi antara saham BBCA dan BMRI.
Nilai korelasi sebesar 0.66 menunjukkan adanya hubungan positif yang cukup kuat
di antara keduanya. Dengan itu, pergerakan harga kedua saham tersebut cenderung
searah, ketika BBCA mengalami kenaikan harga, BMRI juga cenderung
meningkat, dan sebaliknya ketika BBCA menurun, BMRI pun ikut menurun.
Nilai korelasi tertinggi didapatkan pada korelasi antara saham BMRI dan ANTM.
Nilai korelasi sebesar 0.14. menunjukkan hubungan yang sangat lemah, mendekati
nol. Dengan kata lain, pergerakan harga BMRI hampir tidak ada kaitannya dengan
pergerakan harga ANTM, sehingga kenaikan atau penurunan harga salah satu
saham tidak dapat dijadikan acuan untuk memprediksi pergerakan saham lainnya.
iii. Numerical verification
Dengan menggunakan korelasi antara saham TLKM dan BBCA yang
menghasilkan nilai korelasi sebesar 0.400. Diketahui, standard deviasi dari TLKM
dan BBCA adalah 0.0222 dan 0.01748, serta kovariansi dari kedua saham tersebut
adalah 0.00015525
𝜌𝑇𝐿𝐾𝑀,𝐵𝐵𝐶𝐴 =
𝐶𝑜𝑣(𝑇𝐿𝐾𝑀, 𝐵𝐵𝐶𝐴)
0.00015525
=
= 0.400
𝜎𝑇𝐿𝐾𝑀 𝜎𝐵𝐵𝐶𝐴
0.0222 × 0.01748
Terbukti bahwa hasil dari korelasi menggunakan perhitungan numerik dengan
perhitungan excel sama.
c. Sanity & data checks
i. Flag any days where |𝑟𝑡 | > 0.08 for any stock. For one such day, compare
price/volume before vs. after and discuss whether the move is price-only or
accompanied by abnormal volume.
Answer:
Setelah diteliti seluruh data return harian, tidak ditemukan hari dengan nilai return
naik atau turun sebesar 0.08 pada salah satu saham. Hal ini menunjukkan bahwa
selama periode observasi tidak terjadi pergerakan harga yang ekstrem. Dengan
demikian, tidak ada kondisi yang memerlukan perbandingan harga dan volume
sebelum maupun sesudah pergerakan tersebut, sehingga dapat disimpulkan bahwa
return harian cenderung stabil tanpa adanya lonjakan harga atau volume yang tidak
wajar.
ii. State two practical reasons to prefer log returns for modeling but simple returns for
attribution/reporting.
Answer:
Dalam konteks keuangan, log return lebih dipakai untuk pemodelan karena dapat
dijumlahkan langsung antar periode sehingga memudahkan analisis jangka
panjang, dan distribusinya lebih mendekati normal sehingga sesuai dengan banyak
asumsi model statistik. Sementara itu, simple return lebih tepat digunakan dalam
pelaporan dan atribusi kinerja karena menampilkan persentase perubahan nilai
investasi secara langsung, sehingga lebih mudah dipahami investor dan praktis
untuk membandingkan hasil antar aset maupun periode.
2. Global Minimum-Variance (GMV) portfolio under constraints
a. GMV weights
Sebelum menentukan bobot portofolio Global Minimum Variance (GMV), terlebih
dahulu perlu dihitung matriks kovarians antar return saham sebagai dasar pengukuran
risiko bersama.
Untuk mencari bobot portfolio GMV memerlukan variansi portfolio, dengan rumus
sebagai berikut
𝜎𝑝2 = 𝜔𝑇 ∑ 𝜔
Diperlukan untuk solve bobot portofolio dengan variansi minimum, dengan constraint
bahwa kelima bobot lebih besar dari 0 dan jumlah keseluruhan bobot sama dengan 1.
Adapun hasil bobot GMV ditunjukkan sebagai berikut
Hasil bobot Global Minimum-Variance (GMV) ini memberi alokasi dana yang paling
optimal untuk membangun portofolio dengan tingkat risiko serendah mungkin, yaitu
dengan variansi sebesar 0.00023. Untuk mencapai ini, saham BBCA dialokasikan porsi
mayoritas sebesar 55.95%, yang menjadikannya jangkar stabilitas, didukung oleh
TLKM dengan alokasi signifikan sebesar 23.54%. Portofolio ini dilengkapi oleh
UNVR dengan bobot 10.96% dan ANTM sebesar 9.55% untuk manfaat diversifikasi.
Hasil yang paling menonjol adalah alokasi nol persen untuk BMRI, yang
mengindikasikan bahwa karena korelasi positifnya yang tinggi dengan BBCA,
menambahkan BMRI ke dalam portofolio justru akan meningkatkan risiko. Oleh
karena itu, model optimisasi mengecualikannya sepenuhnya untuk mencapai varians
yang paling minimal.
b. Portfolio properties
i. Expected portfolio return and volatility
Untuk menghitung expected daily return portofolio GMV, kita gunakan bobot
portofolio optimal 𝜔* yang diperoleh dari minimisasi varians, lalu mengalikannya
dengan vektor rata-rata return harian tiap saham, sehingga diperoleh expected daily
return sebesar -0.00075. Nilai ini kemudian di-annualisasi dengan mengalikan 252,
yang menghasilkan sebesar -0.18899.
Dengan mengakarkan variansi portfolio GMV, menghasilkan daily volatility
sebesar 0.01519. Annualisasi volatilitas dilakukan dengan mengalikan √252
sehingga menjadi 0.24106.
ii. EW-GMV Comparison
Dengan bobot Equally Weighted (EW) tersebut dan variansi portofolionya,
diperlukan untuk mencari expected portfolio volatility. Adapun hadil perhitungan
expected portfolio volatility dengan bobot EW, sebagai berikut
Berdasarkan hasil expected portfolio volatility tersebut, diperlukan untuk
membandingkannya dengan hasil expected portfolio volatility dari bobot GMV
𝜎𝐸𝑊 − 𝜎𝐺𝑀𝑉
Dengan menggunakan expected portfolio volatility dari bobot GMV daily dan
annual sebesar 0.01519 dan 0.24106, hasil selisih expected portfolio volatility daily
dan annual, sebagai berikut
Hasil ini secara langsung menunjukkan besaran manfaat diversifikasi yang dicapai
oleh portofolio GMV dibandingkan dengan portofolio bbobot EW. Secara spesifik,
portofolio GMV memiliki risiko harian 0.001488 lebih rendah daripada portofolio
EW. Ketika disetahunkan, pengurangan risiko ini menjadi lebih terasa, di mana
volatilitas tahunan portofolio GMV 0.023625 lebih rendah daripada portofolio EW.
Hasil ini membuktikan bahwa strategi alokasi GMV secara kuantitatif lebih unggul
dalam meminimalkan fluktuasi harga portofolio dibandingkan dengan hanya
menyamaratakan bobot investasi pada setiap saham.
c. Stability & sensitivity
i. Identify the largest and smallest elements of ω* and discuss their relation to each
stock’s volatility and pairwise correlations from Q1.
Answer:
Bobot terbesar dalam portofolio GMV terdapat pada BBCA dengan porsi 0.55952,
yang menunjukkan perannya sebagai penopang utama portofolio karena tingkat
volatilitasnya yang relatif rendah. Sebaliknya, BMRI memperoleh bobot terkecil
yaitu 0, artinya saham ini tidak dimasukkan sama sekali ke dalam portofolio. Hal
ini disebabkan oleh korelasi positif yang cukup tinggi antara BMRI dan BBCA,
yakni sebesar 0.66368. Karena keduanya bergerak hampir searah, keberadaan
BMRI tidak menambah diversifikasi dan justru berisiko menggandakan eksposur
yang sudah dimiliki melalui BBCA. Dengan demikian, model optimisasi lebih
memilih mempertahankan BBCA yang lebih efisien dari sisi risiko, sekaligus
mengecualikan BMRI agar portofolio mencapai tingkat varians terendah.
ii. Increase the most-correlated pair’s covariance by +25% (symmetric entries only),
recompute GMV weights, and report how the top two weights change.
Answer:
Berdasarkan matriks kovariansi antar saham, terlihat bahwa pasangan yang paling
kerkolerasi adalah saham BBCA dengan BMRI memiliki nilai kovariansi tertinggi
sebesar 0.00028. Apabila dinaikkan sebesar 25%, nilai kovariansi menjadi 0.00035
dan matriks kovariansi akan menjadi seperti ini
Diperlukan untuk solve bobot portofolio dengan variansi minimum, dengan constraint
bahwa kelima bobot lebih besar dari 0 dan jumlah keseluruhan bobot sama dengan 1.
Adapun hasil bobot GMV yang terbaru dengan kovariansi dinaikkan sebesar 25%
tertinggi ditunjukkan sebagai berikut.
Setelah kovariansi antara BBCA dengan BMRI dinaikkan 25%, bobot tertinggi,
BBCA, mengalami penurunan sangat tipis dari 0.559521803 menjadi 0.559521767,
dan bobot kedua, TLKM, juga turun dari 0.235422248 menjadi 0.235422240.
Penyesuaian ini terjadi karena dengan meningkatnya korelasi BBCA terhadap aset lain,
korelasi menjadi sedikit kurang efektif sebagai penyeimbang risiko dalam portofolio.
Oleh karena itu, untuk mempertahankan variansi yang paling minimal, model secara
marginal mengurangi alokasi pada bobot-bobot teratas dan mendistribusikannya
kembali ke saham lain sebagai bentuk penyeimbangan ulang yang optimal.
3. Stochastic return modeling & risk quantification
a. Assume the GMV portfolio price follows GBM and the daily log return is 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )
with (𝜇, 𝜎) estimated from your GMV daily log returns. Justify why GBM implies
lognormal prices and additive normal log returns
Answer:
Hasil estimasi bobot GMV terhadap daily log return memberikan nilai rata-rata log
return harian dan volatilitas harian sebagai berikut.
Nilai mean yang negatif menunjukkan kecenderungan portofolio mengalami sedikit
penurunan setiap hari, sedangkan volatilitas sebesar 1.61% mencerminkan tingkat
fluktuasi harian portofolio. Adapun, pergerakan harga portofolio 𝑆𝑡 diasumsikan
mengikuti Geometric Brownian Motion (GBM) dengan persamaan stokastik
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
Karena 𝑊 ∼ 𝑁(0, 𝑡), maka distribusi log harga menjadi
1
ln (𝑆𝑡 ) ∼ 𝑁(ln(𝑆0 ) + (𝜇 − 𝜎 2 ) 𝑡, 𝜎 2 𝑡)
2
Artinya, ln (𝑆𝑡 ) berdistribusi normal, sehingga 𝑆𝑡 = 𝑒 ln(𝑆𝑡) mengikuti distribusi
lognormal. Selanjutnya, log-return antara dua periode dapat ditulis sebagai
𝑔𝑡 = ln (
𝑆𝑡
) = ln(𝑆𝑡 ) − ln (𝑆𝑡−1 )
𝑆𝑡−1
Karena increment Brownian motion bersifat independen dan terdistribusi normal, maka
1
log-return bersifat aditif dan berdistribusi normal dengan mean 𝜇 − 2 𝜎 2 dan variansi
𝜎 2 . Dengan demikian, model GBM menjelaskan bahwa harga portofolio mengikuti
distribusi lognormal, sedangkan log-return bersifat normal dan dapat dijumlahkan
secara linear sepanjang waktu.
b. Risk over 20 trading days
i. Parametric 95% VaR (loss)
Perhitungan parametric VaR 95% untuk horizon 20 hari dilakukan dengan terlebih
dahulu menyesuaikan parameter harian ke skala 20 hari. Expected portfolio daily
return sebesar -0.00109 dikalikan dengan 20.
𝜇20 = 20 × 𝜇𝑑𝑎𝑖𝑙𝑦 = 20 × (−0.00109) = −0.0217
Sementara itu, expected volatility portfolio sebesar 0.01519 dikalikan dengan √20
𝜎20 = √20 × 𝜎𝑑𝑎𝑖𝑙𝑦 = √20 × 0.01612 = 0.0721
Oleh karena log return ∼ 𝑁(𝜇20 , 𝜎20 ) kita dapat menghitung nilai VaR 95% dari
distribusi log-return 20 hari sebagai berikut
𝑉𝑎𝑅0.95,20𝑑 = −(𝜇20 + 𝜎20 × 𝑧0.05 ) = −(−0.015 + 0.0679 × (−1.64485))
= −0.1267
Sehingga nilai VaR 95% selama 20 hari sebesar 0.119, yang artinya dengan dengan
tingkat keyakinan 95%, kerugian portofolio tidak akan melebihi sekitar 11.9%
dalam 20 hari ke depan, berdasarkan asumsi bahwa return log harian bersifat
normal dan independen.
ii. Probability of a drawdown worse than 5%
Untuk menghitung probabilitas drawdown lebih buruk dari 5% dalam 20 hari,
pertama-tama kita samakan kondisi tersebut dengan syarat log-return 20 hari lebih
kecil dari ln(0.95). Di bawah asumsi GBM, log-return 20 hari berdistribusi normal
dengan mean 𝜇20 = −0.00109 dan volatilitas 𝜎20 = 0.01612 Dengan demikian
probabilitasnya dapat ditulis sebagai
𝑃(𝑔20 ≤ ln(0.95)) = Φ (
ln(0.95) − 𝜇20
−0.0512933 − (−0.00109)
) = Φ(
)
𝜎20
0.01612
= 0.3408
Jadi, menurut model GBM/normal ini, ada sekitar 34.08% kemungkinan portofolio
akan mengalami penurunan lebih dari 5% dalam jangka 20 hari.
iii. In ≤ 5 sentences, explain two concrete model risks of applying GBM to this equity
portfolio and relate them to empirical features from Q1 (e.g., fat tails, volatility
clustering, correlation instability).
Answer:
Salah satu risiko utama dari penerapan GBM adalah asumsi volatilitas konstan,
padahal data empiris menunjukkan adanya volatility clustering, yaitu periode
tenang diikuti periode gejolak. Model GBM tidak bisa menangkap pola ini sehingga
potensi risiko di masa gejolak bisa terabaikan. Risiko lain adalah anggapan bahwa
korelasi antar saham stabil, sementara pada kenyataannya hasil Q1 menunjukkan
adanya variasi korelasi yang cukup signifikan antar pasangan saham. Saat kondisi
pasar berubah, korelasi dapat meningkat sehingga diversifikasi portofolio menjadi
kurang efektif. Dengan demikian, meskipun GBM memberikan pendekatan
sederhana dan tractable, ia bisa meremehkan risiko aktual akibat dinamika
volatilitas dan ketidakstabilan korelasi.
c. Report Annualized expected return MASIH NGGA TAU
Portofolio memperlihatkan annualized arithmetic expected return serta annualized
standard deviation sebagaimana tercantum pada tabel berikut. Dengan menggunakan
pendekatan aproksimasi
1 2
1
𝐺𝑒𝑜 ≈ 𝜇𝑎𝑛𝑛 − 𝜎𝑎𝑛𝑛
= −0.18899 − × 0.2411 =– 0.2180
2
2
dapat diperoleh annualized geometric growth rate yang memberikan gambaran lebih
realistis mengenai pertumbuhan portofolio dalam jangka panjang.
Tingkat volatilitas tahunan sebesar 24.11% mengikis pertumbuhan majemuk
portofolio. Akibatnya, meskipun rata-rata aritmetika menunjukkan return sekitar –
14.78%, pertumbuhan jangka panjang yang ditunjukkan oleh geometric growth rate
menjadi lebih rendah, yaitu –17.69%. Selisih keduanya sekitar 3% menegaskan bahwa
fluktuasi harga tidak hanya berpengaruh pada risiko jangka pendek, tetapi juga
menurunkan ekspektasi pertumbuhan portofolio secara konsisten dari tahun ke tahun.
Oleh karena itu, perbedaan antara arithmetic return dan geometric growth rate
mencerminkan dampak nyata volatilitas terhadap kinerja jangka panjang sekaligus
menegaskan pentingnya memperhitungkan risiko ketika mengevaluasi strategi
investasi.