‫פתרון המבחן בשדות אלקטרומגנטיים‬
‫(‪)2-7323510-1‬‬
‫‪ 02.07.2015‬מועד א‬
‫מרצה‪ :‬דר יורי גורודצקי ‪ ,‬דר' מרסלו שיפר‬
‫‪ .1‬לפניך גליל מחולל בעל גובה 𝑳 ורדיוסים 𝒂 (פנימי) ו 𝒃 (חיצוני)‪.‬‬
‫𝝋 𝟎𝑴 = ⃗⃗⃗‬
‫שורר בתוך הגליל מגנטיזציה ̂‬
‫𝐌 כאשר ‪ 𝑀0‬הוא קבוע‬
‫נתון‪.‬‬
‫א) חשב את הזרמים המושרים הנפחי ושטחיים‪.‬‬
‫ב) הראה שסה"כ הזרמים העולים זהה לאלה שיורדים דרך החלל‬
‫שהמרכז‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬זרם נפחי הוא זרם ליחידת שטח וזרם שטחי הוא ליחידת אורך‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫𝐌⃗‬
‫𝝋 𝟎𝑴 = ⃗⃗‬
‫̂‬
‫̂𝑧‬
‫𝑀‬
‫̂𝑧 ‪𝜕𝑧 ] = 0‬‬
‫𝑟‬
‫‪0‬‬
‫̂𝜑𝑟‬
‫𝜑𝜕‬
‫𝑟‬
‫̂𝑟‬
‫‪[∂r‬‬
‫𝑟‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑀0‬‬
‫𝑀× ⃗‬
‫= ⃗⃗‬
‫∇ = 𝑀𝐽‬
‫𝑏=𝑟‬
‫𝑎=𝑟‬
‫𝐿=𝑧‬
‫‪𝑧=0‬‬
‫̂𝑧‪𝜑̂ × (𝑟̂) = −‬‬
‫̂𝑧 = ) ̂𝑟‪(−‬‬
‫𝜑‬
‫‪⃗ 𝑀 = ⃗M‬‬
‫× ̂ ‪⃗⃗ × 𝑛̂ = 𝑀0‬‬
‫𝐾‬
‫̂ ( × ̂𝜑‬
‫̂𝑟 = ) 𝑧‬
‫̂𝑟‪{ 𝜑̂ × (−𝑧̂ ) = −‬‬
‫‪𝐼𝑧=𝐿 = ∫ 𝐽𝑀 𝑑𝑆 + ∫ 𝐾𝑀1 𝑑𝑙1 + ∫ 𝐾𝑀2 𝑑𝑙2‬‬
‫𝑏‬
‫‪𝐼𝑧=𝐿 = ∫ 𝐽𝑀 2𝜋𝑟𝑑𝑟 + 𝐾𝑀1 2𝜋𝑎 + 𝐾𝑀2 2𝜋𝑏 = 2𝜋𝑀0 (𝑏 − 𝑎) + 𝑀0 2𝜋𝑎 − 𝑀0 2𝜋𝑏 = 0‬‬
‫𝑎‬
‫‪z‬‬
‫‪ .2‬ישנו גל עומד מקוטב בכיוון 𝒛 בין שני לוחות מוליכים אינסופיים‪,‬‬
‫שניהם ניצבים לציר ה 𝒚 והמרחק בניהם הוא 𝐋 ‪.‬‬
‫האמפליטודה של הגל הינה ‪.𝐸0‬‬
‫א) רשום את הביטוי עבור השדה )𝑡 ‪ 𝐸⃗ (𝑦,‬לאופנים המותרים ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב) העזר במשוואת מקסוול וחשב את הביטי עבור השדה המגנטי‪.‬‬
‫ג) העזר בתנאי התפירה של השדות וחשב את הזרם השטחי המושרה במוליך‪.‬‬
‫ד) מהו וקטור הפוינטינג הממוצע ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א) גל עומד המתקבל ע''י סיכום של גל מתקדם וחוזר ללא פאזה נתון ע''י המשוואה‪:‬‬
‫̂𝑧)𝑡𝜔(‪𝐄(𝑦, 𝑡) = 𝐸0 sin(𝑘𝑦 𝑦)cos‬‬
‫ע''מ לקיים את תנאי שפה יש לאפס את השדה ב‪-‬‬
‫𝐿 = 𝑦 ;‪𝑦 = 0‬‬
‫𝜋𝑛‬
‫אזי‪:‬‬
‫= 𝑦𝑘 → ‪sin(𝑘𝑦 𝐿) = 0‬‬
‫𝐿‬
‫𝜋𝑛𝑐‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫𝐿‬
‫מכאן שמש' הגל תהיה‪:‬‬
‫= 𝑦𝑘𝑐 = 𝜔‬
‫𝑦𝜋𝑛‬
‫𝑡𝜋𝑛𝑐‬
‫( ‪) cos‬‬
‫̂𝑧 )‬
‫( ‪𝐄(𝑦, 𝑡) = 𝐸0 sin‬‬
‫𝐿‬
‫𝐿‬
‫ב) ניתן למצוא את השדה המגנטי מתוך משוואת מקסוול‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫̂‬
‫𝒙)‬
‫בהצבה ניתן לקבל‪:‬‬
‫𝑡𝜋𝑛𝑐‬
‫𝐿‬
‫( ‪) sin‬‬
‫𝑩𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪𝛁×𝑬+‬‬
‫𝑦𝜋𝑛‬
‫𝐿‬
‫( ‪𝐸0 cos‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑐‬
‫=𝑩‬
‫) ‪̂ × (𝐻𝑡2 − 𝐻𝑡1‬‬
‫𝒏‬
‫ג) הזרם המושרה במוליך ניתן ע''י תנאי שפה‪:‬‬
‫̂𝒛 )‬
‫𝑡𝜋𝑛𝑐‬
‫𝜖‬
‫𝐿‬
‫‪𝜇0‬‬
‫( ‪[𝐻(𝑦 = 0)] = √ 0 𝐸0 sin‬‬
‫𝒙× ̂‬
‫̂‬
‫𝒏‬
‫‪𝜇0‬‬
‫= 𝑠𝑱‬
‫בלוח השני מתקבלת אותה התוצאה‪.‬‬
‫ד) ווקטור פוינטינג מתאפס כי הגל העומד לא נושא שום אנרגיה ומהירות החבורה היא אפס‪.‬‬
‫על כן הוא נקרא "גל עומד"‪.‬‬
‫𝒚‬
‫‪ .3‬גליל אינסופי דיאלקטרי בעל מקדם 𝑟‪ ϵ‬ורדיוס 𝑎 הוכנס לאזור בו‬
‫שורר שדה חשמלי אחיד ‪ 𝐸⃗0‬כך שהציר של הגליל מאונך לשדה‬
‫החשמלי הקיים‪.‬‬
‫𝟎⃗‬
‫𝑬‬
‫א) מהם הפוטנציאלים בתוך ומחוץ לגליל ?‬
‫ב) מהם השדות בפנים ומחוץ לגליל ?‬
‫ג) חשב את המומנט הדיפול 𝑝 (לא הפולריזציה) החשמלי של הגליל‪.‬‬
‫ד) מהן הצפיפוית המטען הנפחית והמשטחית המושרות בגליל‪.‬‬
‫ה) העזר באחד הסעיפים כדי לחשב את השדה החשמלי הנוצר ע"י הגליל (רחוק) והשווה‬
‫לסעיף ב ‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫𝜑 ‪𝐸⃗0 = ∇ 𝐸0 𝑥 = 𝐸0 𝑥̂ → V∞ = −𝐸0 𝑥 = −𝐸0 𝑟 cos‬‬
‫𝒙‬
‫לכן‬
‫)𝜑(‪Vout (𝑟, 𝜑) = ∑ 𝐴𝑛 𝑟 −𝑛 cos(𝑛𝜑 ) − 𝐸0 𝑟 cos‬‬
‫𝑛‬
‫אין סינוסים בגלל שהפוטנציאל היא פונקציה זוגית (סימטריה מעל הציר ומתחת לציר ‪)x‬‬
‫) 𝜑𝑛(‪V𝐼𝑛 (𝑟, 𝜑) = ∑ 𝐵𝑛 𝑟 𝑛 cos‬‬
‫𝑛‬
‫על השפה‬
‫)𝜑 ‪Vin (𝑎, 𝜑) = Vout (𝑎,‬‬
‫‪𝜕Vin‬‬
‫‪𝜕Vout‬‬
‫‪(𝑎, 𝜑) = −𝜀0‬‬
‫𝑡𝑢𝑜𝐷 = )𝜑 ‪(𝑎,‬‬
‫𝑟𝜕‬
‫𝑟𝜕‬
‫𝜀‪𝐷in = −‬‬
‫לכן‬
‫‪A1‬‬
‫)𝜑(‪cos(𝜑) + ∑ 𝐴𝑛 𝑎−𝑛 cos(𝑛𝜑 ) − 𝐸0 𝑎 cos‬‬
‫𝑎‬
‫= ) 𝜑𝑛(‪𝐵1 𝑎 cos 𝜑 + ∑ 𝐵𝑛 𝑎𝑛 cos‬‬
‫‪𝑛=2‬‬
‫‪A1‬‬
‫)𝜑(‪cos(𝜑) − 𝜀0 ∑ 𝑛𝐴𝑛 𝑟𝑎−𝑛−1 cos(𝑛𝜑 ) − 𝐸0 cos‬‬
‫‪𝑎2‬‬
‫‪𝑛=2‬‬
‫‪𝑛=2‬‬
‫‪𝜀𝐵1 cos 𝜑 + 𝜀 ∑ 𝑛𝐵𝑛 𝑎𝑛−1 cos(𝑛𝜑 ) = −𝜀0‬‬
‫‪𝑛=2‬‬
𝑛=1
A1
𝐵1 𝑎 =
− 𝐸0 𝑎
𝑎
A1
𝜀𝑟 𝐵1 = − 2 − 𝐸0
𝑎
2𝐸0
𝜀𝑟 − 1
𝐵1 = −
; 𝐴1 =
𝐸 𝑎2
𝜀𝑟 + 1
𝜀𝑟 + 1 𝑜
V𝐼𝑛 (𝑟, 𝜑) = −
𝑛≠1
𝐵𝑛 𝑎 = 𝐴𝑛 𝑎−𝑛
𝜀𝑟 𝑛𝐵𝑛 𝑎𝑛−1 = −𝑛𝐴𝑛 𝑟𝑎−𝑛−1
𝑛
An = 𝐵𝑛 = 0
2𝐸0
2𝐸0
2𝐸0
𝑟 cos 𝜑 = −
𝑥 → 𝐸𝑖𝑛 =
𝑥̂
𝜀𝑟 + 1
𝜀𝑟 + 1
𝜀𝑟 + 1
𝜀𝑟 − 1 𝑎2
𝐸
=
(
+ 1) 𝐸0 cos(𝜑)
𝑟
𝜀𝑟 + 1 𝑟 2
𝜀𝑟 − 1 𝑎2
Vout (𝑟, 𝜑) = (
− 𝑟) 𝐸0 cos(𝜑) →
𝜀𝑟 + 1 𝑟
𝜀𝑟 − 1 𝑎2
𝐸𝜑 = (
− 1) 𝐸0 sin 𝜑
𝜀𝑟 + 1 𝑟 2
{
𝜀 −1
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗𝑖𝑛 (𝜀𝑟 − 1) = 2𝜀0 𝐸0 𝑟
𝑃⃗ = −𝜀0 𝐸⃗𝑖𝑛 + 𝐷
𝑥̂
𝜀𝑟 + 1
𝜌𝑝𝑜𝑙 = −∇ ⋅ 𝑃⃗ = 0 ; 𝜎𝑝𝑜𝑙 = 𝑛̂ ⋅ 𝑃⃗ = 2𝜀0 𝐸0
𝜀𝑟 − 1
𝜀𝑟 − 1
𝑥̂ ⋅ 𝑟 = 2𝜀0 𝐸0
cos 𝜑
𝜀𝑟 + 1
𝜀𝑟 + 1
𝑝 = 𝑉𝑃⃗ = 𝜋𝑎2 𝐻 𝑃⃗
‫‪ .4‬שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים ‪, 𝑅1 , 𝑅2‬כאשר אחד טעון במטען ‪ 𝑄1‬והשני נטול מטען‬
‫‪ 𝑄2 = 0‬מאוד רחוקים זה מזה ‪ .‬מחברים את שני הכדורים בחוט חשמלי ארוך ‪.‬‬
‫א) מהם המטענים על כל אחד הכדורים הרבה זמן לאחר החיבור ?‬
‫ב) מהו השינוי באנרגיה אלקטרוסטטית בגין החיבור ?‬
‫ג) העזר בשני הסעיפים הקודמים וחשב את הקיבול של המערכת ‪.‬‬
‫ג) אם ההתנגדות של החוט היא 𝑅 תאר את הזרם )𝑡(𝐼 בהליך של הפריקה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א) לאחר חיבור הכדורים המטענים יעברו מכדור אחד לשני עד אשר ישתוו הפוטנציאלים‪.‬‬
‫הפוטנציאל על כל כדור הוא כמו של מטען נקודתי במרחק השווה לרדיוס הכדור‪ .‬כמו כן‬
‫המטען הכולל נשמר‪ .‬לכן‪:‬‬
‫∞‪𝑄1‬‬
‫= ‪𝑉1‬‬
‫;‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫∞‪𝑄2‬‬
‫= ‪𝑉2‬‬
‫∞‪; 𝑄1 = 𝑄1∞ + 𝑄2‬‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅2‬‬
‫‪𝑅1 𝑄1‬‬
‫= ∞‪𝑄1‬‬
‫‪𝑅1 + 𝑅2‬‬
‫→ ‪𝑉1 = 𝑉2‬‬
‫‪𝑅2 𝑄1‬‬
‫= ∞‪𝑄2‬‬
‫[‬
‫‪𝑅1 + 𝑅2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑉𝑄 = ‪𝐶𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 𝑄12‬‬
‫ב) האנרגיה של קבל נתונה‪:‬‬
‫לכן בהתחלה‪:‬‬
‫ובסוף‪:‬‬
‫‪𝑄12‬‬
‫‪1 𝑄2‬‬
‫=‬
‫) ‪2 4𝜋𝜖0 (𝑅1 +𝑅1‬‬
‫𝐶 ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נמצא כעת את הפרש האנרגיה‪:‬‬
‫=‬
‫‪(𝑄2∞ )2‬‬
‫‪8𝜋𝜖0 𝑅2‬‬
‫‪𝑄12‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫‪8𝜋𝜖0 (𝑅1 +𝑅2 )𝑅1‬‬
‫‪2 4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(𝑄1∞ )2‬‬
‫‪8𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫=)‬
‫𝑉‬
‫= 𝑖𝑈‬
‫= 𝑓𝑈‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑅1 +𝑅2‬‬
‫‪𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫‪→[ 1‬‬
‫ג) הקיבול‪:‬‬
‫‪𝐶2 = 4𝜋𝜖0 𝑅2‬‬
‫הקבלים מחוברים ב"מקביל" (הם באותו הפוטנציאל) לכן‪:‬‬
‫𝑄‬
‫=𝑈‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪𝑄12‬‬
‫‪8𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫= 𝑈∆‬
‫=𝐶‬
‫) ‪𝐶𝑇 = 4𝜋𝜖0 (𝑅1 + 𝑅2‬‬
‫וזה בדיוק הביטוי שקיבלנו בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד) ע''מ למצוא את הזרם לאורך הזמן נסתכל במצב ברגע נתון כל‪-‬שהו‪ ,‬כאשר המטען עוד‬
‫לא עובר מכדור לכדור‪.‬‬
‫בזמן כל שהו ‪ t‬המטען מקיים‪:‬‬
‫)𝑡( ‪𝑄0 = 𝑄1 (𝑡) + 𝑄2 (𝑡) → 𝑄1 (𝑡) = 𝑄0 − 𝑄2‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים יוצר זרם‪:‬‬
‫)𝑡( ‪𝑄0 − 𝑄2 (𝑡) 𝑄0 − 𝑄2‬‬
‫)𝑡( ‪𝑑𝑄2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪= 𝐼𝑅 = −‬‬
‫𝑅‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅2‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫והמשוואה הדיפרנציאלית עבור המטען‪:‬‬
‫𝑅)𝑡( ‪) = − 𝑄2′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑉∆‬
‫)𝑡( ‪− 𝑄2‬‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫‪𝑅2‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫)𝑡( ‪𝑄2‬‬
‫‪−‬‬
‫)𝑡( ‪= 𝑄2′‬‬
‫𝑅‬
‫𝐶𝑅‬
‫‪𝑄0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)𝑛𝑜𝑖𝑡𝑐𝑒𝑛𝑛𝑜𝑐 𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑜𝑓( ) ‪( +‬‬
‫= 𝐶;‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1 𝑅2‬‬
‫𝑡‬
‫])‬
‫𝐶𝑅‬
‫‪𝑄2 (𝑡) = 𝑉0 𝐶 [1 − 𝑒𝑥𝑝 (−‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫𝑡‬
‫) ‪𝑒𝑥𝑝 (−‬‬
‫𝑅‬
‫𝐶𝑅‬
‫= )𝑡(𝐼‬
‫‪𝑄0‬‬
‫‪4𝜋𝜖0 𝑅1‬‬
‫= ‪𝑉0‬‬
‫קרטזיות‬
‫גליליות‬

f 
f
f f
xˆ 
yˆ
zˆ
x
y z
eˆr
 
 A 
Ax Ay Az


x
y
z
A
1 
rAr   1   Az
r r
r 
z
xˆ

x
Ax
 
 A 
yˆ

y
Ay
2 f 2 f 2 f


x 2 y 2 y 2
2 
f
1 f
f
 eˆ
 eˆz
r
r 
z
rˆ
1 
r r
Ar
zˆ

z
Az
‫כדוריות‬
rˆ


rA
eˆR
A
1  2
1


sin A   1
R AR  
2
R R
R sin  
R sin  
zˆ

z
Az
Rˆ
1

2
R sin  R
Ar

 B  dl     B  nˆdA     B  dA


C

R sin ˆ


R sin A
‫משפט סטוקס‬
     

    A      A  2 A
 
Rˆ


RA
1   2 f 
1
 
f 
1
2 f
R

sin






R 2 R  R  R 2 sin   
  R 2 sin 2   2
1 f    1  2 f  2 f

r  
r r  r  r 2  2 z 2
‫כמה זהויות‬

f
1 f
1 f
 eˆ
 eˆ
R
R 
R sin  


A

A
  


 


  f A  f   A  f  A
‫משפט הדיברגנט‬

   

   f v   f   v  v  f







  
     
  A B  B    A  A   B
  
  B  0
 
 
  f  0

 

 E  dS     E dV
S
V
‫דף נוסחאות‬
‫מגנטוסטטיקה‬
‫אלקטרוסטטיקה‬
  B ( x, y , z )  0

E ( x, y, z )   ( x, y, z ) /  0
 E.nˆdS  Q / 

B
 .nˆdS  0
in
‫דיברגנץ‬
‫צורה‬
‫דיפרנציאלי‬
‫ת‬
0
S
‫אינטגרלית‬
S
 B( x, y, z)  0 J ( x, y, z)


J v
 
  E ( x, y , z )  0

E
.
d
l
0

 
 B.dl  0 I in

B   A  2 A   0 J
B( P) 
0 I dl  ( R  R)
4 C R  R 3

j ( R)
A( R )  0 
dV '
4 V  R  R


 (r )
2
E  V ( x, y, z)  V  
0
 
E ( R) 
4  
0

V ( R) 
 ( R)R  R

1
V

  3
R  R

dV '

  dV '
4  0 
V  R  R
 ( R)
1
‫פוטנציאל‬
‫אינטגרל‬
‫סופרפוסוצי‬
)‫ה (שדות‬
‫אינטגרל‬
‫סופרפוסוצי‬
‫ה‬
)‫(פוטנציאל‬

p
1 p.Rˆ
VP 
cos


4 0 R 2
4 0 R 2
‫שדות של‬
‫דיפול‬
‫חשמלי‬
‫ומגנטי‬
F  qv  B
F  qE
‫כוח‬


M   mi / V


P   pi / V
A(r ,  ,  ) 
0 Ia 2 sin 
4r 2
ˆ
i

curl
B  0 H  M
i
  H  B  M
0
 H  J ext
1

 
D  0E  P
 
D  
‫שדות קיטוב‬
‫ומגנטיזציה‬
‫שדות העתק‬
‫ועוצמה‬
‫מגנטית‬
 
 H .dl   I
free
0
 D.nˆdS  Q
in
free
in
S
 POL  P  nˆ
js  M  nˆ jM   M




B  0 (1   m ) H   H  0  r H
 POL   P
‫חומרים‬
‫ליניארים‬
D   0 1   e  E   E
2
BB BH
H H
um 


2
2
2
u
E
2
‫מטענים‬
‫וזרמים‬
‫מושרים‬
2
D
 
ED


2
2
‫צפיפות‬
‫אנרגיה‬
D2n  D1n  
B1n  B2n
E2t  E1t
H1t  H2t  jext
‫תנאי שפה‬
‫פתרונוש של בעיות שפה באלקטרוסטטיקה‬
:‫קרטזי‬
kx
X   k x X ‫פתרון של‬
2
‫אקספוננטים‬-‫ביטוי אלטרנטיבי‬
A exp(ik x x)  B exp(ik x x)
)‫(א‬
k x2  0
‫ממשי‬
A sin k x x   B cosk x x 
)‫(ב‬
k x2  0
‫מדומה‬
C sinh k x x  D cosh k x x
)‫(ג‬
k x2  0
‫אפס‬
Ax  B




C exp( k x x)  D exp(  k x x)
=
: ‫גלילי‬
) Z ‫ (הפוטנציאל אינו תלוי ב‬Z ‫כאשר ישנה סימטריה בכיוון‬
l
R (r )
 ( )
)‫(א‬
k 2  0
)‫ (ממשי‬l  k
A r l  B r l
C sin(l )  D cos(l )
)‫(ב‬
k 2  0
)‫ (דמיוני‬l  i k
A r il  B r il
C sinh(l )  D cosh(l )
)‫(ג‬
k 2  0
l0
A  B ln r
C  D
)  ‫כאשר ישנה סימטריה גלילית (הפוטנציאל אינו תלוי ב‬
R (r )
 ( )
Z (z )
)‫(א‬
Al J l (kr )  BlYl (kr )
E cos(l )  F sin( l )
C sinh( kz )  D cosh(kz )
)‫(ב‬
Al I l (kr )  Bl Kl (kr )
E cos(l )  F sin( l )
C sin( kz )  D cos(kz )
:)  ‫כדורית עם סימטריה גלילית (הפוטנציאל אינו תלוי ב‬

V (r , )    Al r l  Bl r l 1   Cl Pl (cos  )  DlQl (cos ) 
l 0
‫פולינום לג'נדר‬
1  x y"2xy  n(n  1)  0
2
Pn ( x ) 
1 dn
( x 2  1) n :‫רודריגז‬
2 n n! dx n
P0 ( x )  1
P1 ( x )  x
P2 ( x )  (3 x 2  1) / 2
P3 ( x )  (5 x 3  3 x ) / 2
1
1
1
0
 Pn ( x ) Pm ( x )dx   Pn (cos ) Pm (cos ) sin  d 
2
 nm ‫אורתוגונליות‬
2n  1
‫פונקציות בסל‬
:‫יחסי אורתוגונליות‬
a
 J l (k m r )J l (k n r )rdr 
0
a2
J l 1 ( k m r ) mn
2
‫אינטגרל שימושי‬
a
r
n 1
J n ( r )dr  a n 1 J n 1 ( a )
0
Yn (x )
J n (x)
Kn (x)
I n (x)
:‫שדות משתנים בזמן‬
‫משוואות מקסוול‬
 
 
)‫ (העדר מונופול מגנטי‬  B  0
)‫ (חוק גאוס‬  D  
D
)‫ (חוק אמפר‬  H  J 
t

  B
0
)‫ (חוק פרדיי‬  E 
t
‫וקטור פוינטינג‬
P
EB

 EH
 Joule Watt 
 s  m2  m2 
 

E  H*
Paverage 
2
‫גלים מישוריים‬


ˆ 
H
k  D   1 kˆ  E
k




E   kˆ  B   kˆ  H
k
   /  c  1 /  c 

k
‫גלים במוליכים‬
  11
k 
  1

2


k    1  i 
2

1  i 
 i / 4

e

 i / 2

e



k    1  i
 


1
 1  i
‫תנאי תפירה בין תווכים‬








nˆ1  B2  B1  0


nˆ1  D2  D1  



nˆ1  H 2  H 1  J


nˆ1  E 2  E1  0


Bn 2  Bn 1
 Dn 2  Dn 1
 H t 2  H t 1  J
 Et 2  Et 1

‫ משוואות מקסוול ופתרונותיהן‬: ‫אנטנות‬
  
B   A



A
E   V 
t
2
1 V

 2V  2 2  
c t


2
 1  A

2 A  2 2   J
c t
 

 
J ( r , t  r * / c )

I ( r , t  r * / c ) 

A
d
V

dl
*
*

4 
r
4

r
V

1
 ( r , t  r * / c )
V 
dV 
4 
r*
V
‫קרינה דיפולית‬



 dp(t  r / c )  e ikr dp
A

4r
dt
4 r dt


p    r dV
‫קרינה של דיפול מגנטי‬

 e ikr
A  ik
rˆ  m
4 r

 1
 
m   r  J dV  IS
2


‫קרינה של קוואדרופול חשמלי‬
 x2

qij     xy
 xz

xy
y2
yz
 xn 2
xz 


yz dV   Qn  xn yn
n
 xn z n
z 2 

xy
yn
2
yn zn
xn z n 

y n zn 
2
zn 
Ai   k 2
 e ikr
 rˆj q ji
8c r j  x , y , z
‫מנחי גל‬
 
B  B0 ei ( k z  t )
 
E  E0 ei ( k z  t )
 2  k 2  k z2
‫שדות נגזרות‬

 zˆ  E
H
  ck z
‫תנאי שפה‬
‫משוואה דיפרנציאלית‬
Et  0
 
 
E   E  0
0

 
E2 d  B2 d  zˆ
kz

k 
B( 2 d )  i z2  2 d Bz

 
B( 2 d )   2 E( 2 d )  zˆ
kzc

k 
E ( 2 d )  i z2  2 d E


TEM
E z  Bz  0

nˆ  2d Bz  0
 22 d  Bz   2 Bz  0
TE
Ez  0
Ez  0
 22 d  E z   2 E z  0
TM
Bz  0