Teknisk
Matematik
Preben Madsen
4. udgave
Teknisk Matematik
4. udgave, 1. oplag 2010
© Erhvervsskolernes Forlag 2010
Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk
Omslag: Henrik Stig Møller
Omslagsfoto: forestiller byggeriet Bølgen, Vejle
Tegninger: Ebbe Lastein
Grafisk tilrettelæggelse og dtp: Stig Bing
Tryk: PRINTING® PARTNERS, Riga, Letland
ISBN: 978-87-7082-196-4
Varenummer: 91057-1
Bogen er sat med Palatino
Bogen er trykt på 115 g Silk
Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden
gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke
tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret.
Alle rettigheder forbeholdes.
Erhvervsskolernes Forlag
Munkehatten 28
5220 Odense SØ
info@ef.dk
www.ef.dk
Tlf. +45 63 15 17 00
Fax +45 63 15 17 28
Forord
4.udgave
Denne udgave af Teknisk matematik er en helt ny bog med en spændende og anderledes opsætning. Matematisk er bogen baseret på en
sammenlægning af Teknisk matematik 3. udgave og Teknisk matematik ”+3”.
Bogen er ikke udarbejdet til en bestemt uddannelse, men sigter på
bred anvendelse inden for uddannelser efter folkeskolen.
Indholdet er imidlertid sammensat på en sådan måde, at bogen i
stor udstrækning kan anvendes som basis for htx-uddannelsens obligatoriske A-niveau. I den forbindelse kan nævnes, at der er tilføjet et
kapitel 17 – Differentialligninger.
Undervisningen i matematik har gennem de senere år udviklet sig
kolossalt med anvendelse af teknologiske hjælpemidler i form af computerbaserede matematikprogrammer og grafregnere med CAS faciliteter. CAS står for Computer Algebra Systems og kan populært oversættes til computerbaseret bogstavregning.
Det giver nogle fantastiske pædagogiske muligheder, og der er dermed vendt op og ned på meget i matematikundervisningen. Regler og
tekniker skal stadig beherskes, men på en anden måde end tidligere.
Bogen giver et bud på, hvordan disse informationsteknologiske
hjælpemidler kan inddrages og anvendes i undervisningen.
Det skal bemærkes, at bogen beskriver og illustrerer mulighederne,
men der er ikke tale om en instruktion til en bestemt grafregner eller
et bestemt matematikprogram. Derfor er det vigtigt at have manual til
grafregner eller matematikprogram inden for rækkevidde, når man arbejder med bogen.
Bogens mange billedkompositioner signalerer, at matematik indgår
i mange situationer og er en del af vores hverdag. En del af billederne
illustrerer relevante praktiske situationer, mens en anden del lægger op
til den enkelte om at bruge fantasien og se mulighederne.
Det har været formålet at fremstille et dynamisk, inspirerende og
letlæseligt materiale, der skulle motivere brugere til at være aktive
medspillere.
Regler, beviser, eksempler og opgaver er sammensat i en pædagogisk logisk rækkefølge, der skulle bidrage til en god indlæring.
Opgaverne består dels af typer, der kan betegnes som rene matematiske disciplinopgaver, og dels af typer, der kan betegnes som problemopgaver, som illustrerer matematikkens anvendelse i relevante
praktiske situationer.
Der er facitliste til alle bogens opgaver, og facitlisten finder du på
tekmat.ef.dk.
I bogens kapitel 18 er der samlet en del projektopgaver, hvor der til
en del af projektopgaverne er formuleret spørgsmål, der kan anvendes
direkte. En anden del af projektopgaverne appellerer til den enkeltes
fantasi om selv at formulere spørgsmål, der kan udfordre den mate
4
Teknisk matematik · Forord
matiske viden. Her er der mulighed for at differentiere og arbejde
med enkle såvel som komplicerede problemstillinger afhængig af den
enkeltes viden og kunnen.
Sidst i hvert kapitel er der et resume, hvor de vigtigste formler og
regneregler fra det pågældende kapitel er beskrevet.
Bogen kan som sådan anvendes i den daglige matematikundervisning, men kan også anvendes som baggrundsmateriale for tværfaglige
sammenhænge og desuden som udgangspunkt for selvstudier.
I tilknytning til bogen er der udarbejdet en formelsamling, hvor de
vigtigste definitioner, formler og regneregler fra bogen er medtaget.
Marts 2010
Preben Madsen

Indhold
Indledninger
8
1. TAL OG ALGEBRA
11
Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Hvordan afrundes resultater? . . . . . . . . . . . . . . . . 12
”At lægge sammen” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
”At trække fra” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
”At gange” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
”At dele” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Parentes mysterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Reduktion af bogstavudtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Når der er mange regneoperatorer! . . . . . . . . . . . 22
Tre vigtige formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Rod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Resumé 1. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. LIGNINGER OG ULIGHEDER
39
Hvor møder du en ligning eller en ulighed? . . . 39
Hvad er en ligning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Mængdebyggeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ligninger med 1 ubekendt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tekniske ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tekstligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Procent og promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Indsættelsesmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lige store koefficienters metode . . . . . . . . . . . . . . 56
Determinant-metoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Grafregnerens muligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tre ligninger med tre ubekendte . . . . . . . . . . . . . . 64
2.gradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kamuflerede 2.gradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ligninger, hvor den ubekendte er under
rodtegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Numeriske ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Uligheder og ulighedstegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Regneregler for uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Dobbeltuligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Fortegnsbestemmelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Resumé 2. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3. GEOMETRI
93
Grundelementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5
Normaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Parallelle linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Cirklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Grundkonstruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Trekanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Vinkelsummen i en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Forskellige trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Højder i en trekant og trekantens areal . . . . . . . . 116
Medianer i en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Vinkelhalveringslinjer i en trekant . . . . . . . . . . . . 117
Paralleltransversaler i en trekant . . . . . . . . . . . . . . 118
Trekantens indskrevne og omskrevne cirkel . . . 118
Trekantkonstruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Resumé 3. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4. TRIGONOMETRI
131
Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Formler for den retvinklede trekant . . . . . . . . . . 137
Beregning af stykker i retvinklede trekanter . . . 139
Sinus og cosinus i 1. og 2. kvadrant . . . . . . . . . . 144
Sinusrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Cosinusrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Arealformler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Problemopgaver med den retvinklede trekant 162
Problemopgaver med den vilkårlige trekant . . 169
Resumé 4. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5. CIRKLEN
173
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Omkreds og buelængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cirklens areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Cirkelring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Cirkeludsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Cirkelafsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
”Skrue”- linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Resumé 5. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6. OVERFLADER UDFOLDNINGER
197
Rumlige figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Kasse eller æske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Tagflader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Pyramidestub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Kegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Keglestub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Kuglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Kugleafsnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Kugleskive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Rørbøjninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6
Teknisk matematik · Indhold
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Resumé 6. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7. RUMFANG
239
Kasse – retvinklet prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Massefylde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Cylinder - cylinderrør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Pyramidestub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Kegle - keglestub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Kugle - kugleafsnit - kugleudsnit . . . . . . . . . . . . 249
Guldins regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Resumé 7. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8. ANALYTISK PLANGEOMETRI
263
Hvad er analytisk plangeometri? . . . . . . . . . . . . 263
Afstandsformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Et linjestykkes midtpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Linjens ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Skæring mellem linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Stigningstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Vinkel mellem to linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Opstilling af linjens ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Parallelle linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Linjer vinkelret på hinanden . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Cirklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Resumé 8. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9. FUNKTIONER
297
Hvad er en funktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Regneforskrift og definitionsmængde . . . . . . . . 300
Monotoniforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Maksimums- og minimumspunkter . . . . . . . . . 305
Lineær funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Funktioner af 2.grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
2.grads uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Stykkevis funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Sammensatte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Omvendte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Andre polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Ligningsløsning på en anden måde! . . . . . . . . . 329
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Resumé 9. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10. EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
337
Eksponential funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10-talslogaritme funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Regneregler for logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Eksponentielle ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Den naturlige logaritmefunktion . . . . . . . . . . . . 344
Regneregler for naturlige logaritmer . . . . . . . . . 346
”Lyd” og ”støj” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Eksponentielle vækstfunktioner . . . . . . . . . . . . . 351
Fordoblings- og halveringskonstant . . . . . . . . . . 353
Rentesregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Enkeltlogaritmisk koordinatsystem . . . . . . . . . . 358
Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem . . . . . . . . . 362
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Resumé 10. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
11. TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
369
Sinus, cosinus og tangens af vilkårlige vinkler . 369
Omløbsretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Radianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Trigonometriske grundligninger . . . . . . . . . . . . . 375
Trigonometriske uligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Andre trigonometriske ligninger . . . . . . . . . . . . 385
Svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Resumé 11. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
12. DIFFERENTIAL REGNING
401
Infinitesemalregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Differentialkvotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Symboler for differentialkvotient . . . . . . . . . . . . . 411
Kontinuitet og differentiabilitet . . . . . . . . . . . . . . 412
Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Maksimums- og minimumspunkter . . . . . . . . . 420
Flere regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
Sammensat funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Differentialkvotienter af højere orden . . . . . . . . 432
Funktionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Maksimering og minimering . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Implicit differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Resumé 12. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
13. INTEGRAL REGNING
459
Stamfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Bestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Mere arealberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Den naturlige logaritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
Differentialkvotient af eksponentielle
funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Integration af eksponentielle funktioner . . . . . . 497
Integration ved substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Delvis integration eller partiel integration . . . . 503
Omdrejningslegemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Rumfang ved drejning af areal om x-akse . . . . . 509
Rumfangsberegning med flere funktioner . . . . 515
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen . . . 518
Længde af en plan kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
Resumé 13. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

14. VEKTORER I PLANET
539
Vektorbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
Hvordan afbilder du en vektor? . . . . . . . . . . . . . 540
Hvordan bestemmer du en vektor? . . . . . . . . . . 540
Stedvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Forstørrelse eller formindskelse! . . . . . . . . . . . . . 545
Vinkel mellem to vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
Modsatte vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
Når du lægger vektorer sammen . . . . . . . . . . . . 548
Ligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
Komposanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
At trække fra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Enhedsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Enhedsvektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . 564
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
Trekantens areal og tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . 574
Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Normalvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
Afstand fra punkt til linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Resumé 14. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
15. VEKTORER I RUMMET
591
Det rumlige koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . 591
Punkter i rummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
Afstande i rummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
Kuglen i rummet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
Addition og subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
Enhedsvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
Parameterfremstilling af ret linje i rummet . . . . 608
Skæring mellem linjer i rummet . . . . . . . . . . . . . 610
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
Planer parallelle med koordinatplanerne . . . . . 619
Parameterfremstilling af et plan . . . . . . . . . . . . . 621
Planets ligning på normalform . . . . . . . . . . . . . . 623
Skæring mellem to planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
Skæring mellem linje og plan . . . . . . . . . . . . . . . . 631
Afstand mellem punkt og plan . . . . . . . . . . . . . . 634
Afstand mellem punkt og linje . . . . . . . . . . . . . . 636
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
Resumé 15. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
16. VEKTORFUNKTIONER
645
Parameterfremstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
Omskrivninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
Ret linje som vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 652
Cirklen som vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
Ellipsen som vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 654
Andre kurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
Differentiation af vektorfunktion . . . . . . . . . . . . 657
Lodret og vandret tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
Robotbevægelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
7
Længde af kurve givet ved en vektorfunktion . 665
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
Resumé 16. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
17. Differentialligninger
671
Hvad er en differentialligning? . . . . . . . . . . . . . . 671
Grundbegreber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
Differentialligninger af typen y’ = g(x) . . . . . . . 676
Differentialligninger af typen y’’ = g(x) . . . . . . . 679
Differentialligninger af typen y’ = h(x) ⋅ g(y) . . 680
Differentialligninger af typen y’ = a ⋅ y . . . . . . . 683
Differentialligninger af formen y’ = g(y) . . . . . . 685
Differentialligninger af typen y’ = y(b − ay) . . . 687
Problemopgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
Resume 17. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
18. MATEMATISKE MODELLER,
MODELLERING OG PROJEKTIDEER
693
Data og matematiske funktioner . . . . . . . . . . . . . 693
Lineær regressionsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
Eksponentiel regressionsmodel . . . . . . . . . . . . . . 697
Potensregressionsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
Andre regressionsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
Modellering og matematikprojekter . . . . . . . . . . 698
Problemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
Løsningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
Valg af løsningsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Vurdering af løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Afslutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
Pejlestang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
Hjerting kirke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Silo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
Udgravning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Dæksel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
Konstruktion af ventilhus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
Storebæltsforbindelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
Vestbroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
Østbroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
Superellipsebord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
Varmluftballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
Sejlads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
Vægdrejekran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
Varmebehandling af mælk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
Musik og lyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
Transportbane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
Reolmoduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
Beholderdimensionering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
Kloakering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
Tidevand og diger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
Broprojekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
Verner Pantons lampeprojekt . . . . . . . . . . . . . . . . 727
Bølgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
Stikord
731
8
Teknisk matematik · Indledninger
Indledninger
Til dig som elev og bruger
Der er masser af matematik i din hverdag. Det er en påstand, som du måske ikke tror på, men hvis du prøver at se dig godt omkring og bruge din
fantasi, vil du erfare, at der er noget om snakken. Drikker du fx en cola, er
der ”matematik” i dåsen. Du kan bestemme rumfanget af dåsen, når du
kender dåsens diameter og højde. Du kan også bestemme, hvor meget plademateriale, der medgår til dåsens fremstilling. Et andet eksempel - spiser
du en pizzaslice, er det matematisk et cirkeludsnit, du har foran dig.
Det er tankevækkende, så forhåbentligt kan det blive sjovt og spændende at arbejde med problemstillinger, der kan løses ved hjælp af matematik, men så må du også indstille dig på, at der er en masse regler og
begreber, du skal lære at kende og bruge.
Sagt på en lidt anden måde, hvis du vil lære det matematiske sprog
og dets muligheder, må du indstille dig på, at der ligger en masse arbejde forude.
Du er måske elev og skal i gang med faget matematik. Du kan også
have et job og skal løse nogle problemer, hvortil der kræves matematik.
Ligegyldigt hvilke forudsætninger du har, skal du gribe det rigtigt an.
Du får derfor nogle tips og ideer!
Det er ganske få, der kan ”læse” matematik, forstået på den måde,
at du starter på et kapitel og læser det fra den ene ende til den anden og
så regner med at have styr på indholdet.
Det går simpelthen ikke!
Du skal for det første have noget at skrive med og masser af papir.
Det vil også være en fordel, hvis du anskaffer dig en grafregner. Fordelen er først og fremmest, at du kan tegne grafer, men de fleste grafregnere
har også en masse andre faciliteter og programmer, som du med stor fordel
kan benytte. Endelig er der også den fordel, at du i ”vinduet” kan se det, du
indtaster, og dermed følge med i et beregningsforløb.
Til dig som lærer
Når du så går i gang med at ”læse”, så gør det på den måde, at du
skriver de regler ned, du støder på undervejs og tilføj dine egne kommentarer, fx hvordan du opfatter reglen, hvad gælder den for, og hvad
gælder den ikke for.
Gå de gennemregnede eksempler igennem ved at skrive ned trin for
trin, hvad der er sket, indtil du kommer til et resultat. Gør dig klart, hvilke
regler eksemplet skal belyse, og hvordan reglerne er benyttet.
Bruger du grafregner, så indtast beregningerne på den og tjek, at du får
samme resultat.
På tilsvarende måde med opgaverne. En del af dem lægger op til, at du
med dine egne ord beskriver, hvordan du opfatter et matematisk problem.
Til opgaverne er der facitliste, som er på tekmat.ef.dk, så her har du mulighed for at kontrollere dine resultater.
Er du elev i en klasse, har du også mulighed for at få en dialog med din
lærer, hvis du støder på et problem, som du har svært ved at gennemskue.
Følger du disse få og enkle tips og ideer på din vej gennem bogen,
er jeg overbevist om, at du vil få glæde og fornøjelse af at arbejde med
matematikken.
Til dig som lærer
Når du skal planlægge en undervisning, er der tre elementer, som du
skal tage stilling til, nemlig motivation, fagligt indhold og frihed.
Motivation er en vigtig faktor, så det er her du skal starte og bruge
noget tid. Har du først fået motiveret eleverne, er der skabt en god grobund for indgangen til det faglige indhold. Det er vigtigt, at eleverne får
et indtryk af, at matematik er vedkommende og indgår som et element i
hverdagen. Du kan derfor bruge mange af bogens billedkompositioner
til at give eksempler på, hvordan matematik kan indgå i hverdagen.
Du får et lille eksempel. Har du en appelsin, kan den opfattes som rund,
og matematisk har du en kugle med diameter d. Du kan bestemme
kuglens rumfang og overflade. Du kan skære toppen af appelsinen, og
du har et kugleafsnit. Det har en krum overflade og en snitflade, der er
en cirkel. Det kan også bearbejdes matematisk. Som du kan se, er der
muligheder nok, så det er kun at bruge fantasien og komme i gang.
9
10
Teknisk matematik · Indledninger
Så kan du gå til det faglige indhold. I enhver undervisningssituation
er det af stor vigtighed, at eleven eller den studerende så hurtigt som
muligt får et overblik eller en helhedsfornemmelse.
De enkelte afsnit i bogen er opbygget med regler, beviser, eksempler og opgaver, således at de hver for sig fremstår som selvstændige
enheder set ud fra en matematisk synsvinkel. Det er også muligt at
springe mellem kapitlerne og gennemgå de afsnit, der er nødvendige
for at komme frem til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt
synspunkt.
Som et eksempel har du beviserne. I bogen er de indpasset som elementer i den pædagogiske proces, men alt efter forholdene kan du i første omgang springe dem over. Du kan gå til den praktiske anvendelse
af formlerne og stadig få en helhed ud af det. Du kan så senere vende
tilbage til beviserne og sikkert konstatere, at elevernes tilgang og baggrund er væsentlig anderledes med denne fremgangsmåde.
Det er også vigtigt, at du ser på de udviklingstendenser, der har
tegnet sig for faget matematik gennem de senere år. Grafregnere og
computerbaserede matematikprogrammer er kommet for at blive, og
det får helt naturligt indflydelse på din daglige matematikundervisning. Eleverne skal kunne gennemskue, hvorledes matematikken kan
anvendes i praktiske situationer. Herefter skal de kunne opstille den
relevante matematik for problemstillingen, hvorefter de kan inddrage
grafregneren eller et matematikprogram til det manuelle arbejde.
Det skal indskydes, at disse informationsteknologiske hjælpemidler
kan have avancerede faciliteter, der går meget længere end de ”bud”,
der er givet i bogen, så husk at have manual til grafregner eller matematikprogram inden for rækkevidde
Så er der friheden. Det kan anbefales, at du så tidligt som muligt i
undervisningsforløbet indlægger projekter med mere og mere frihed.
Du har i kapitel 18 eksempler på enkle projekter med færdige spørgsmål, og du har også eksempler på projekter, hvor eleverne selv skal
formulere spørgsmål, som de vil arbejde med. Det giver en mulighed
for at differentiere undervisningen, således at alle for mulighed for at
udnytte deres potentiale.
Med disse indledende bemærkninger håber jeg at have givet nogle
gode ideer til både dig som elev og til dig som lærer, som forhåbentlig
kan medvirke til at arbejdet med matematik kan blive både sjovt, spændende og fascinerende.
God fornøjelse!
11
TAL OG ALGEBRA
1
Tal
Du møder tal hver dag. Når du køber en ting, er prisen et tal, du skal
forholde dig til. Når du er inde på netbank, er der også en masse tal,
du skal tage stilling til. Kort sagt, du kommer ikke uden om at skulle
beskæftige dig med tal i din hverdag og slet ikke, når du skal i gang
med matematik.
Det første, du skal i gang med, omfatter en præsentation af det talsystem, du kommer til at arbejde med.
Herefter skal du i gang med algebra. Det er måske et ord, du ikke
har mødt tidligere. Du får derfor en kort præsentation. Når du skal i
gang med regneoperationer inden som ”at lægge sammen”, ”at trække
fra”, ”at gange”, ”at dele”, ”at opløfte til potens” og ”at uddrage en
rod”, får du brug for en hel del regneregler. Alle disse regneregler er
dækkende for ordet algebra.
Inden du kommer til at se på de regler, der knytter sig til de ovennævnte operationer, får du her en oversigt, der omfatter symboler og
begreber for det talsystem, du kommer til at arbejde med.
12
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Forestil dig, at de tal, du kommer til at arbejde med, ligger inden i figur 1.01.
R
Q
Z
N
Figur 1.01
I den inderste del ligger de naturlige tal, som betegnes med bogstavet
N. Det er tallene 1, 2, 3, 4 osv.
Du kan gå videre til den næste del, som indeholder alle de hele tal, og
som betegnes med bogstavet Z. Det er tallene ........–5, –4, –3, –2, –1, 0,
1, 2, 3 osv.
Den næste del indeholder de rationale tal, som benævnes med bogstavet Q. De rationale tal indeholder ud over de hele tal også brøker som
3
= 0, 6
5
1
= 0 , 333
3
der som vist kan omskrives til endelige eller periodiske decimalbrøker.
Endelig kan du gå til den sidste del, som indeholder alle de reelle tal,
som benævnes med bogstavet R. De reelle tal indeholder ud over de
rationale tal også uendelige ikke periodiske decimalbrøker.
Som et eksempel har du
p = 3,14159.....
som er en uendelig ikke periodisk decimalbrøk.
Hvordan afrundes resultater?
Når du skal i gang med at arbejde med opgaver, vil du hurtigt få problemet:
Hvor mange cifre skal jeg medtage i et resultat?
Det er svært at opstille regler for, hvordan du skal afrunde et resultat,
og hvor mange cifre du skal tage med.
Din grafregner vil i mange tilfælde give dig resultater med mange
cifre, som i langt de fleste tilfælde er urealistiske at medtage.
Du må derfor starte med at se på tallene, der indgår i regneoperationen. Er de eksakte tal eller er de tilnærmelsesværdier?
Udfører du et stykke arbejde og skal have din betaling for det, er
timelønnen en eksakt størrelse.
”At lægge sammen”
Køber du en ny bil, er prisen på bilen også en eksakt størrelse.
Udfører du en beregning med eksakte tal, er der ingen problemer.
Resultatet bliver også et eksakt tal.
I langt de fleste beregninger, du kommer til at udføre, er tallene derimod tilnærmelsesværdier. Dit problem bliver derfor, hvor nøjagtigt du
kan og skal angive et slutresultat.
Du får et eksempel på en tilnærmelsesværdi.
Når du i radioen hører, at dagens højeste temperatur er målt til 28
°C, er denne værdi en tilnærmelsesværdi, som er afhængig af termometret og af, hvor nøjagtigt aflæsningen er foretaget.
Du må derfor selv i hvert tilfælde vurdere, hvor mange cifre der skal
medtages, men du får en tommelfingerregel:
Et slutresultat skal du ikke angive med flere cifre, end der findes
i de enkelte tal, der indgår i beregningen.
Du får et eksempel:
16,2
38,7
Figur 1.02
På figur 1.02 har du et rektangel, hvor sidelængderne er målt til 16,2
mm og 38,7 mm. Du skal bestemme arealet. Det bliver
Areal = 16 , 2 ⋅ 38 , 7
Areal = 626 , 94 mm 2
Det vil give en form for ”falsk” sikkerhed, hvis du angiver resultatet
med så mange cifre.
Sidelængderne er målte størrelser, og der vil altid ligge en usikkerhed på målingerne. Det vil derfor være mest rigtigt at benytte ”tommelfingerreglen”, hvorefter du afrunder, og angiver arealet som
Areal = 627 mm2
”At lægge sammen”
”At lægge sammen” er en af de fire grundregningsoperationer, hvor de
tre andre er ”at trække fra”, ”at gange” og ”at dividere”.
Du kender dem sikkert, men du får dem her repeteret og samtidig sat
nogle navne på de elementer, der indgår i operationerne.
13
14
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
”At lægge sammen” kaldes også at addere, og du kan også møde navnet addition. Du får et eksempel på en sådan regneoperation:
3+5=8
addend
regneoperator
sum
lighedstegn
addend
De enkelte led kaldes addender, og regneoperatoren, i dette tilfælde
tegnet +, fortæller, hvad du skal gøre med addenderne. Når du adderer,
får du en sum.
I matematik benyttes bogstaver, når der skal opstilles almene regler.
Med bogstaver ville det kunne udtrykkes:
a+b=c
Med udgangspunkt i taleksemplet fra før, kan du skrive:
3+5=5+3
og med bogstaver:
a+b=b+a
Opgave 1
Beskriv og formuler med dine egne ord, hvad ligningen
a+b=b+a
fortæller dig.
”At trække fra”
Subtraktion eller at subtrahere er andre navne for ”at trække fra”.
Regneoperatortegnet i en ”trække fra” opgave er – (minus). Du får
et eksempel på en sådan operation:
9-5=4
Med bogstaver:
a−b=c
Når du ”trækker fra”, bliver resultatet en differens.
Går du tilbage til taleksemplet og bytter om på 9 og 5, får du følgende:
5 - 9 = -4
”At gange”
Som du kan se, bliver resultatet negativt.
Tegnet – (minus) har her to betydninger. Først som regneoperator og
dernæst til at fortælle dig, at resultatet bliver et negativt tal.
Din lommeregner har det på samme måde. Du har fire taster:
+
for at lægge sammen
for at trække fra
×
for at gange
÷
for at dele.
Disse fire taster er regneoperatorer.
Du har også en anden tast med et (-) tegn. Denne tast (+/-) er en fortegnstast og benyttes, når du skal sætte et minustegn foran et tal, der
skal være negativt.
”At gange”
At multiplicere eller multiplikation er andre navne for ”at gange”.
Regneoperatortegnet for ”at gange” er (·). På din grafregner er det ×.
Når du arbejder med matematik, er det ikke så heldigt, at du bruger ×
som gange-tegn, da det meget let kan blive forvekslet med bogstavet x.
Du får et taleksempel:
3 . 4 = 12
faktorer
produkt
Med bogstaver:
a·b=c
15
16
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Når du ganger, kalder du de enkelte led faktorer, og resultatet et produkt.
Med udgangspunkt i taleksemplet kan du også skrive:
3·4=4·3
eller med bogstaver
a·b=b·a
Opgave 2
Beskriv og formuler med dine egne ord, hvad ligningen
a·b=b·a
fortæller dig.
<<< Opgave
Du kan møde et produkt bestående af ens faktorer.
Du får et eksempel:
3 · 3 · 3 · 3 = 34
Skrivemåden 34 kaldes en potens, hvor 3-tallet benævnes grundtallet,
og 4-tallet betegnes eksponenten.
”At dele”
At dividere eller division er andre navne for ”at dele”.
Regneoperatortegnet for ”at dele” ser således ud (:).
På din grafregner er det (÷).
Du får et taleksempel:
12 : 3 = 4
Med bogstaver:
a:b=c
I mange sammenhænge er det en fordel at udskifte divisionstegnet med
en brøkstreg. Det kommer til at se således ud:
a
=c
b
hvor
a kaldes brøkens tæller,
b kaldes brøkens nævner og
c kaldes kvotienten eller brøkens værdi.
Parentes mysterier
Parentes mysterier
Du kan møde parenteser i mange sammenhænge, og du kan selv sætte
en parentes om ”noget”.
Parenteser benyttes, når ”noget” skal opfattes som en helhed.
Du får nogle eksempler på parenteser og deres betydning:
a + (b + c) = a + b + c
Med ord siger reglen:
Du kan hæve eller sætte en parentes med fortegn + (plus),
uden at leddene ændrer fortegn.
a − (b + c) = a − b − c
Med ord siger reglen:
Du kan hæve en parentes med fortegn – (minus) ved at skifte
fortegn på leddene inde i parentesen.
a · (b + c) = a · b + a · c
Med ord siger reglen:
Du ganger et tal med en flerleddet størrelse i en parentes
ved at gange hvert led i parentesen med tallet.
(a + b) · (c − d) = ac − ad + bc − bd
Med ord siger reglen:
Du ganger to flerleddede størrelser i parenteser med hinanden ved
at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden.
Når et negativt tal indgår i en regneoperation, sættes ofte parentes omkring tallet.
Du får et eksempel:
5 · (-7) = -35
Når du arbejder med potenser med negativt grundtal, anvender du
også parenteser.
17
18
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Du får nogle eksempler:
(-2)2 = (-2) · (-2)
(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2)
(2 · 3)2 = (2 · 3) · (2 · 3)
=4
= -8
= 36
Som du kan se, ”styrer” potenseksponenten både fortegn og tal, når der
sættes en parentes.
I modsætning hertil har du:
-22
-23
2 · 32
=-2·2
=-2·2·2
=2·3·3
= -4
= -8
= 18
hvor potenseksponenten kun ”styrer” grundtallet.
De to skrivemåder blandes ofte godt og grundigt sammen, så det er
vigtigt, at du bemærker dig forskellen.
Det har også stor betydning, når du anvender din grafregner, så
prøv at indtaste de seks eksempler og tjek resultaterne.
Reduktion af bogstavudtryk
I mange sammenhænge vil du i matematikken komme til at arbejde
med bogstavudtryk.
De kan være ret så komplicerede og for at få et bedre overblik, vil det
ofte kunne betale sig at reducere et sådant udtryk så meget som muligt.
Du har i det foregående mødt ordet led. Et led kan ofte være sammensat.
Reduktion af bogstavudtryk
Et led som 3a er sammensat af 3 og a, og du skal opfatte det på den
måde, at 3 og a er faktorer eller sagt på en anden måde, der er gangetegn mellem 3 og a.
3abc betyder 3 · a · b · c
3abc · 4b2c betyder 3 · a · b · c · 4 · b2 · c, og du kan skrive det som 12ab3c2,
idet hele tal - her 3 og 4 - ganges sammen, og resultatet 12 sættes foran
bogstavudtrykket.
Udtrykket
2a + 7a = 9a
består af to led, og de kan umiddelbart lægges sammen som vist.
Har du en grafregner med CAS-faciliteter, kan du allerede her stifte
bekendtskab med dette program.
Fat din manual og find CAS-programmet.
Figur 1.03
På figur 1.03 er vist skærmbilledet for indtastningen i øverste linje,
mens resultatet kommer i næste linje. Som du kan se, er det kommandoen simplify, du skal have fat i.
Du skal være opmærksom på, at der kan være forskel på udseendet
af skærmbilledet afhængig af den grafregner, du har til rådighed.
Et udtryk som
3a + 5b - a - 8b = 2a - 3b
kan ikke reduceres yderligere end som vist, da a og b er forskellige
størrelser.
Også her kan du forsøge med CAS:
Figur 1.04
Du får et skærmbillede som vist på figur 1.04.
19
20
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Du vil ofte komme ud for at skulle reducere et bogstavudtryk, hvori
der indgår parenteser, så du får nogle eksempler.
Eksempel 1.01
Følgende udtryk skal reduceres:
5a - (3a + 4b)
= 5a - 3a - 4b
Parentesen hæves.
= 2a - 4b
Der trækkes sammen.
Benytter du CAS, får du et skærmbillede som vist på figur 1.05.
Figur 1.05
Har du behov for at benytte flere parenteser, vil det være en fordel at benytte forskellige varianter af parenteser for bedre at kunne skelne dem fra
hinanden. Det kan være ”tuborg”-parenteser eller firkantede parenteser.
Skal du reducere et sådant udtryk med flere parenteser, vil det i almindelighed være nemmest for dig at hæve en parentes ad gangen og
starte med den inderste og derefter arbejde dig udefter.
Forsøger du at klare flere parenteser ad gangen, kan du få svært ved
at bevare overblikket, og du kommer nemt til at begå fejl.
Eksempel 1.02
Følgende udtryk skal reduceres:
(a - b) - [ -(3a + b) - (6a - 2b)]
Den første parentes og de inderste parenteser hæves først:
= a - b - [ -3a - b - 6a + 2b]
Den firkantede parentes hæves.
= a - b + 3a + b + 6a - 2b
Der trækkes sammen.
= 10a - 2b
Reduktion af bogstavudtryk
Som du kan se, skal du være meget omhyggelig, når du hæver parenteserne.
Det klarer CAS lidt nemmere. Her skal du blot være omhyggelig
med indtastningen.
Figur1.06
På figur 1.06 har du skærmbilledet. Du kan ikke se alle indtastningerne,
men de er der!
Opgave 3
Nedenstående udtryk er reduceret gennem fire trin.
Undervejs er der begået en fejl.
a) Du skal finde fejlen og beskrive, hvilken regel der er ”misbrugt”.
b) Du skal rette fejlen og bestemme det rigtige resultat.
a - [(a - b) - (-(3a + b) - b)]
= a - [a - b - (-3a - b - b)]
1.trin
= a - [a - b + 3a - b + b]
2.trin
= a - a + b - 3a + b - b
3.trin
= b - 3a
4.trin
Opgave 4
Du skal reducere nedenstående udtryk og vise linje for linje, hvordan
du hæver parenteserne og kommer frem til et resultat.
a) 5a - {-[(-3a + 2b) - 4b] + [-7a -(a - b)] - 3b}
b) 4c - {(-6d - 3c) - [(-8c - 11d) - 5c + 9d]}
c) –{3e -[(f + e) + (3e - 2f) - 8f]}
21
22
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Når der er mange regneoperatorer!
Skal du gennemføre en regneoperation som
3 · 6 - 4² · 5 + 3 · (6 - 2) - (8 - 2) · (5 + 2)
skal du først gøre dig klart, hvor mange led der er.
Her er fire led, idet det er tegnene + (plus) og - (minus), der skiller leddene fra hinanden.
Der er ganske vist også + (plus) og - (minus) inde i parenteserne,
men her indgår de som elementer i en gangeoperation.
3 · 6 − 4² · 5 + 3 · (6 − 2) − (8 − 2) · (5 + 2)
De fire led er understreget som vist, og værdien af det enkelte beregnes.
Det bliver
18 - 16 · 5 + 3 · 4 - 6 · 7
18 - 80 + 12 - 42
Først nu lægges sammen og trækkes fra, og resultatet bliver:
-92
Eksempel 1.03
Følgende udtryk skal reduceres:
(a + b) · (2a + b) - (2a - b) · (a - 4b)
Parenteserne beregnes:
2a² + ab + 2ab + b² - (2a² - 8ab - ab + 4b²)
Bemærk! På grund af minustegnet bibeholdes den sidste parentes.
Den hæves:
2a² + ab + 2ab + b² - 2a² + 8ab + ab - 4b²
Der trækkes sammen:
12ab - 3b²
Du kan også anvende CAS her.
Figur 1.07
På figur 1.07 ser du skærmbilledet, og igen er hele indtastningen ikke
vist. Resultatet ser lidt anderledes end ved gennemregningen, men det
skyldes, at CAS programmet angiver resultatet faktoriseret.
Tre vigtige formler
Opgave 5
Vis, hvordan du linje for linje reducerer og bestemmer værdien af følgende udtryk:
a) 3 · 2 + (-4) · 5 - 2 · (-3) + (-6) · (-3)
b) 4 · 32 - (-2)3 + 62 · (-3) - 43 · (-3)4
c) (3 - 6)2 · 2 + 6 · (9 - 2) - 32 · (6 + 1)3
Tjek resultaterne ved indtastning på din grafregner.
Opgave 6
Du skal reducere nedenstående udtryk og vise linje for linje, hvordan
du kommer frem til et resultat.
a) (a - b) · (a + 3b) - (a - 2b) · (a - 3b)
b) a - {a² - [a² - (1 - a) · (2 - a) + 2]}
c) 3 - (d - 2) · [(1 - a) + (-3 + 2a)] - 5a
Tre vigtige formler
Du bliver nu præsenteret for tre formler, som indgår i talrige matematiske sammenhænge.
Det er formler, som du ofte vil komme til at benytte, så det er en god
ide, hvis du lærer dem udenad!
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
Figur 1.08
Den første kan illustreres af arealet på figur 1.08:
(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + ab + ab + b²
som du kan sammentrække til
(a + b)² = a² + b² + 2ab
23
24
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Med ord siger formlen:
Kvadratet på en to-leddet sum er lig med kvadratet på første led
plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt af de to led.
Den anden er:
(a - b)² = (a - b) · (a - b) = a² - ab - ab + b²
som du kan sammentrække til
(a − b)² = a² + b² − 2ab
Med ord siger formlen:
Kvadratet på en to-leddet differens er lig med kvadratet på første led
plus kvadratet på andet led minus det dobbelte produkt af de to led.
Den tredje er:
(a + b) · (a - b) = a² - ab + ab - b²
som du kan sammentrække til
(a + b)(a − b) = a² − b²
Med ord siger formlen:
To tals sum ganget med de samme to tals differens er lig med
kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.
Opgave 7
Du skal reducere nedenstående udtryk og vise linje for linje, hvordan
du kommer frem til et resultat.
a) (a - 2b)² + (2a + b)² - (a + 2b)(a - 2b)
b) (5c + 7d)² - (7d - 5c)(7d + 5c) + (7d - 5c)²
c) (13e - 19f)(13e + 19f) - (12f - 9e)² - (17e + 11f)²
Brøker
I folkeskolen har du sikkert arbejdet med brøker. Du får her repeteret
regnereglerne.
Du kan forlænge eller forkorte en brøk ved at gange eller dividere tæller og nævner med samme tal.
Brøker
Eksempel
3 3⋅2
6
=
=
7 7 ⋅ 2 14
6
6:2
3
=
=
14 14 : 2 7
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a a⋅c
=
b b⋅c
a a:c
=
b b:c
Brøker med samme nævner kan du lægge sammen eller trække fra hinanden.
Eksempel
2 4 3 2+ 4-3 3
+ - =
=
5 5 5
5
5
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a b c a + b-c
+ - =
n n n
n
Du ganger en brøk med et tal ved at gange brøkens tæller med tallet.
Eksempel
2
2⋅5
⋅5 =
3
3
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a
a⋅c
⋅c =
b
b
Du dividerer en brøk med et helt tal ved at gange brøkens nævner med
tallet.
Eksempel
3
3
:2=
4
4⋅2
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a
a
:c=
b
b⋅c
25
26
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Du ganger to brøker med hinanden ved at gange brøkernes tællere og
nævnere hver for sig.
Eksempel
3 5 3⋅5
⋅ =
4 6 4⋅6
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a c
a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Du dividerer to brøker med hinanden ved at vende brøk nr. 2 og gange
i stedet.
Eksempel
2 5 2⋅6
: =
3 6 3⋅5
Symbolsk kan du skrive reglen på denne måde:
a c a ⋅d
: =
b d b⋅c
Eksempel 1.04
Reducer og bestem værdien af:
3 5 7
+ - = 0 , 625
8 6 12
Her er to muligheder. Du kan benytte din grafregner og udføre regneoperationerne som vist. Resultatet bliver et decimaltal.
Prøv at tjekke resultatet på din lommeregner.
Du kan også bestemme resultatet som en brøk, men så skal du først
finde en fællesnævner.
Fællesnævneren er det mindste tal, som alle nævnere går op i.
I dette tilfælde er det 24.
Regningerne kommer til at se således ud:
3 5 7
3⋅3 5⋅ 4 7 ⋅2
9 + 20 - 14 5
+ - =
+
=
=
8 6 12 8 ⋅ 3 6 ⋅ 4 12 ⋅ 2
24
8
Brøker
Eksempel 1.05
Reducer udtrykket:
2a + 3 b - 3 6
a
2b
2a
Fællesnævneren skal indeholde alle faktorer fra nævnerne i de tre brøker.
Det bliver 2 · a · b. Det vil sige, at du skal forlænge de tre nævnere,
således at de alle bliver til 2 · a · b.
Det kommer til at se således ud:
2 b ( 2a + 3 )
2b ⋅ a
−
a ( b − 3)
a ⋅ 2b
−
b⋅6
b ⋅ 2a
4ab + 6 b − ab + 3a − 6 b
2ab
3ab + 3a
=
2 ab
=
Her indgår a i samtlige led, så du kan forkorte ved at dividere med a i
alle led. Du får så det endelige resultat:
3b + 3
2b
Hvis du vil anvende CAS her, skal du passe på. Du skal ved indtastningen sætte parenteser om tæller henholdsvis nævner, hvis de indeholder
mere end et led.
Figur 1.09
På figur 1.09 har du skærmbilledet, og igen er det kun en del af indtastningen, du kan se.
Opgave 8
Du skal reducere følgende udtryk mest muligt.
a) 5 + 7 - 3
6 8 4
b) 4a + b - 2a - 3 b
2
3
c)
4d - c
c
+ 3c 5
3
27
28
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Opgave 9
Du skal reducere følgende udtryk mest muligt.
a)
1
1
1
+
+
3x 4x x
b) x + 3x + 2x
y 5y 3y
2
2
c) x + 2y - 3y - 2x - 4 y - 6x
3x
2y
6xy
Potens
Du er tidligere blevet præsenteret for potensbegrebet, som symbolsk
kan skrives:
a n = a⋅ 
a
⋅ a
⋅ a
....
⋅a
n gange
hvor a kaldes grundtallet og n eksponenten.
Regnereglerne for potens har du sikkert stiftet bekendtskab med tidli­
gere, men da du skal have udvidet din viden om potensbegrebet, får du
dem her præsenteret.
Du kan gange to potenser med samme grundtal med hinanden ved at
beholde grundtallet og lægge eksponenterne sammen.
Symbolsk kan du skrive det:
a p ⋅ a q = a p +q
Du kan gange to potenser med samme eksponent ved at gange grundtallene og beholde eksponenten.
Symbolsk kan du skrive det:
a p ⋅ bp = (a ⋅ b)p
Du kan dividere to potenser med samme eksponent ved at dividere
grundtallene og beholde eksponenten.
Symbolsk kan du skrive det:
p
a p  a 
= 
bp  b 
Potens
Du kan opløfte en potens til en ny potens ved at beholde grundtallet og
gange eksponenterne.
Symbolsk kan du skrive det:
p q
(a ) = a
p⋅q
Du kan dividere to potenser med samme grundtal ved at beholde
grundtallet og trække nævnerens eksponent fra tællerens.
Symbolsk kan du skrive det:
ap
= a p-q
aq
Ved hjælp af denne divisionsregel kan potensbegrebet udvides.
Eksponenten har hidtil kun kunne være et helt positivt tal, idet den jo
har stået for det antal gange, grundtallet har skullet ganges med sig selv.
At en eksponent kan være 0 og også negativ virker helt forkert, men
ikke desto mindre er det rigtigt, og det vil du få at se i de kommende
eksempler.
Se på opgaven:
a3
a3
Løser du den ved hjælp af regnereglen, bliver resultatet:
a3
= a 3- 3 = a 0
a3
Som du kan se, får du en eksponent, der er 0.
Du kunne også løse opgaven på en anden måde:
a3 a ⋅ a ⋅ a
=
=1
a3 a ⋅ a ⋅ a
Her får du resultatet 1.
Det må betyde, at
a0 = 1
Det er sikkert nyt for dig, at tallet 0 kan være eksponent.
Din ”gamle” opfattelse af potensbegrebet er hermed slået i stykker,
og det bliver ikke den eneste gang, du får udvidet dine begreber. Det
bliver nemlig værre endnu, idet du nu vil få at se, at eksponenter også
kan være negative.
29
30
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Se på opgaven:
a3
a5
Løser du den ved hjælp af regnereglen, bliver resultatet:
a3
= a 3-5 = a-2
a5
Som du kan se, får du et resultat med en negativ eksponent.
Du kunne også løse opgaven således:
a3
a⋅a⋅a
1
=
= 2
5
a
a⋅a⋅a⋅a⋅a a
Her får du en brøk som resultat, og det må betyde, at
1
= a -2
a2
eller alment:
1
= a- n
an
Eksponenter, der er 0 eller negative, har fået en betydning, og du kan
møde dem i mange sammenhænge.
Inden for mange tekniske områder benytter man ofte potenser med 10
som grundtal og en positiv eller negativ eksponent for på en mere overskuelig måde at udtrykke en stor eller lille måleenhed.
Eksempler:
1 kg (kilogram) = 103 gram
1 MW (megawatt) = 106 watt
1 mm (millimeter) = 10-3 meter
1 mm (mikrometer) = 10-6 meter
Din grafregner vil også angive meget store eller meget små resultater
ved hjælp af potenser af 10. Det kaldes eksponentiel notation.
Potens
Tag din grafregner og indtast en opgave som
0,006 · 0,00009
Grafregneren vil angive resultatet som 5.4 E - 07, som betyder
5,4 · 10-7
Du skal lige være opmærksom på, at din grafregner kan angive resultatet på en anden måde, idet der kan være forskelle afhængig af fabrikat.
På samme måde kan du indtaste opgaven
50000 · 7000000
hvor grafregneren vil angive resultatet som 3,5 E +11, som betyder
3,5 · 1011
Opgave 10
Du skal bestemme værdien af følgende udtryk:
a) 0,2²
d) 0,2³
b) (-0,2)²
e) (-0,2)³
c) -0,2²
f) -0,2³
Opgave 11
Du skal vise, hvordan du linje for linje reducerer og bestemmer værdien af følgende udtryk:
a) –2² + 2² - (-2)²
b) 3³ + (-3)³ - 3³ - (-3)³
c) (-2) · 3³ + (-3)³ · 2² - (-2)² · (-3)³
Tjek resultaterne ved indtastning på din grafregner.
Opgave 12
Nedenstående udtryk giver ved beregning alle værdien 1.
a) 12 · 11 · 10 · 1-1 · 1-2 = 1
b) 22 · 21 · 20 · 2-1 · 2-2 = 1
c) 32 · 31 · 30 · 3-1 · 3-2 = 1
Du skal forklare og beskrive, hvilken regneregel der er anvendt.
31
32
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Opgave 13
En træplanke har følgende dimensioner:
Længde
= 3 meter
Bredde
= 25 cm
Tykkelse = 22 mm
Du skal bestemme træplankens totale overfladeareal og angive resultatet
i mm2, cm2 og m2.
Rod
Potensregning og rodregning er modsatte regningsarter.
Hvor potensregningen løste opgaven
42 = 16
vil rodregningen kunne løse den modsatte opgave, nemlig at bestemme
grundtallet – det skrives sådan:
16 = 4
hvor
kaldes rodtegnet
16 kaldes radikanden og
4 kaldes roden.
Med ord:
Kvadratroden af 16 er et tal med samme fortegn som 16 og som
opløftet til 2.potens er 16.
Rod
Et andet eksempel:
3
8=2
da
23 = 8
Da du vil møde andre rodeksponenter end 2 og 3, vil det almene rodbegreb symbolsk kunne skrives:
n
a = b , når bn = a
hvor n kaldes rodeksponenten.
Udtrykt med ord:
Den n'te rod af et tal a, er det tal b, som har samme fortegn som a,
og som opløftet til n'te potens giver a.
Det er en sætning fyldt med mange detaljer, og umiddelbart kan det
lyde lidt indviklet, men du får nogle eksempler, der kan illustrere det
almene rodbegreb.
Eksempler
36 = 6
da
62 = 36
-36 kan ikke lade sig gøre, da roden skal have samme fortegn som
radikanden.
3
-8 = -2 da (-2)3 = -8
Med udgangspunkt i eksemplerne kan det fastslås:
Hvis du har en rodeksponent n, der er et lige tal, skal radikanden
a være positiv.
Hvis du har en rodeksponent n, der er et ulige tal, kan radikanden a være positiv eller negativ.
På din grafregner kan du bestemme rodstørrelser. Du får et eksempel:
56 = 7 , 4833
Resultatet er tilnærmet. Her er medtaget 5 cifre, men du må i hvert tilfælde afgøre med dig selv, hvor mange cifre du vil medtage i et resultat.
I princippet må gælde, at
7,48332 = 56
men taster du 7,48332 ind på din grafregner, får du 55,9997.
altså igen et tilnærmet resultat.
33
34
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Opgave 14
Du får her en indtastningsopgave.
Ved bestemmelse af nedenstående rodstørrelser er medtaget 5 cifre
i resultatet.
Tag din grafregner og check resultaterne.
9
0 , 0678 = 0 , 74154
5
4
56 , 7832 = 2, 7451
28
-96474 = -9, 9285
0 , 9834 = 0 , 99940
<<< Opgave
På tilsvarende måde som for potens er der nogle regneregler for rod­
størrelser.
Den første er:
Du ganger rodstørrelser med samme rodeksponent ved at gange
radikanderne og beholde rodtegn og rodeksponent.
Symbolsk kan du skrive det:
n
a ⋅ n b = n a⋅b
Den anden er:
Du dividerer rodstørrelser med samme rodeksponent ved dividere
radikanderne og beholde rodtegn og rodeksponent.
Symbolsk kan du skrive det:
n
a
n
b
=n
a
b
Under arbejdet med potensregning fik du udvidet potensbegrebet, således at eksponenter kan være 0 og også hele negative tal.
Nu får du igen en udvidelse, idet du vil få at se, at potenseksponenter også kan være brøker.
Du får tallet 2 som udgangspunkt, og du skal så først omskrive 2 som
en rodstørrelse og derefter som en potens.
Først rodstørrelsen:
2 = 3 8 - du kan også skrive det som: 2 = 3 81
1-tallet som potenseksponent er tilføjet af ”praktiske” årsager.
Så til potens:
1
1
2 = (23 )3 - du kan også skrive det som: 2 = 8 3
Rod
idet reglen: ”Du kan opløfte en potens til en ny potens ved at beholde
grundtallet og gange eksponenterne” benyttes.
2-tallet kan hermed beskrives som en rodstørrelse eller som en potens. Det kommer til at se således ud:
3
1
81 = 8 3
Der er altså en sammenhæng mellem rod- og potenseksponenterne, og
du har fået udvidet dit potensbegreb ved denne omskrivning.
En potenseksponent som brøk har herved fået en mening.
Symbolsk kan du skrive det på følgende måde:
p
n
aP = a n
Denne mulighed for omskrivning vil du ofte få brug senere, idet mange
regler inden for differential- og integralregning tager udgangspunkt i
en potens.
Opgave 15
Du skal omskrive følgende rodstørrelser til potens:
a) 4 a 3
b) 20 b25
2
e) 3 (x + 1)
x +1
d)
c)
5
1
f)
3
Opgave 16
Du skal beregne værdien af følgende udtryk:
a)
4
1000 ⋅ 10-3 + 2 ⋅ 10-1 ⋅ 8 5 - 100
b) 4 0 , 5 + 4-0 , 5 - 0 , 250 , 5
3
2
c) 2 ⋅ 15 + 3 ⋅ 18 + 6 - 4 15 - 2
3
c
2
(x + 1)
35
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
Problemopgaver
Opgave 17
Du skal sætte en ramme sammen som vist på figur 1.10, hvor alle mål
er i mm.
Til rammen skal du anvende fladstål med tværsnitsdimension 8 x
30 mm, og du kan regne med, at fladstålet kan fås i standardlængder
på 6 meter.
250
30
470
Figur 1.10
Du skal bestemme, hvor langt et stykke fladstål du skal anvende, når
du kan regne med, at der til hver overskæring medgår 2 mm spild.
Opgave 18
En motor skal gennem et remtræk forbindes med en gearkasse som vist
på figur 1.11. Målene på figuren er i mm.
Du skal, for at målene kan overholdes, lægge motoren op på nogle
underlagsplader.
150
444
x
220
500
36
Figur 1.11
Du skal bestemme underlagspladernes tykkelse x.
Problemopgaver
Opgave 19
En rundsav er i gang med at overskære et rundt stykke materiale (det
farvede område) som vist på figur 1.12.
Rundsavens klingediameter D = 100 mm.
Materialediameter d = 40 mm.
Afstanden a = 132 mm.
a
b
Figur 1.12
Du skal bestemme skæredybden b.
Opgave 20
En tragt, som vist på figur 1.7, skal anvendes som element i en silokonstruktion.
Givet er diameteren D = 2,8 m, højden h = 3 m og stigningen 1 : 1,25.
”Stigning” 1 : 1,25 betyder, at for hver 1,25 mms længde forøges diameteren med 1 mm.
D
h
d
Figur 1.12
Du skal bestemme diameteren d.
37
Teknisk matematik · TAL OG ALGEBRA
38
Resumé 1. kapitel
Addition
a+b=c
Sum
Addender
a+b=b+a
a + (b + c) = a + b + c
Addendernes orden er
ligegyldig. En parentes med fortegn + kan
hæves og sættes, uden
at leddenes fortegn
ændres.
Subtraktion
a–b=c
Differens
a – (b + c) = a – b – c
En parentes med fortegn - kan hæves, når
leddene i parentesen
ændrer fortegn.
Multiplikation
Produkt
Faktorer
a·b=b·a
a · a · a · a = a4
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
(a + b)(c + d) =
ac + ad + bc + bd
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Faktorernes orden er
ligegyldig
Regneregler
"Tre vigtige formler"
a a·c
=
b b·c
a a:c
=
b b:c
a b c a+ b+c
+ + =
n n n
n
a
a
:c=
b
b⋅c
a c
a⋅c
. =
b d b⋅d
a c a d
: = ⋅
b d b c
Potens
a · a · a · a = a4
Regneregler
0n = 0
a1 = a
a- n =
1
an
ap · aq = ap+q
P
a p  a 
= 
bp  b 
(a · b)p = ap · bp
ap
= a p-q
bq
(ap)q = ap · q
Division - Brøkregning
a
=c
b
Regneregler
a0 = 1
a·b=c
a:b=c
a
a⋅c
⋅c =
b
b
Kvotient
Divisor
Dividend
Kvotient
Nævner
Tæller
Rod
n
a = b , når bn = a
n
ap = a n
n
a⋅ b = n a ⋅ n b
n
a
n
b
p
Regneregler
=n
a
b
Regneregler
39
LIGNINGER OG
ULIGHEDER
2
Hvor møder du en ligning eller en ulighed?
Uden at tænke i matematiske baner løser du ofte i dagligdagen ligninger eller uligheder. Det kunne fx være:
- Du skal male et værelse
Hvor mange liter maling skal du købe?
- Du skal være et sted til en bestemt tid
Kan du nå det?
Hvilke transportmidler kan du benytte?
Hvad bliver transporttiden?
- Du får gæster, og du vil ikke risikere, at de spiser og drikker dig ud
af huset.
Hvad skal du købe ind og hvor meget?
Som det fremgår af eksemplerne er det praktiske problemstillinger, der
er udgangspunktet.
Du skal så kunne ”oversætte” det praktiske problem til en matematisk ligning eller ulighed og derefter løse denne.
I dette afsnit vil du få lejlighed til at løse ligninger og uligheder, mens
du senere vil få masser af muligheder til at træne i at ”oversætte” praktiske problemer til matematiske ligninger eller uligheder.
40
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Hvad er en ligning?
Du har i forrige kapitel mødt masser af lighedstegn, og du får et eksempel:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
En sådan ligning kaldes en identitet.
Der står det samme på begge sider af lighedstegnet, blot udtrykt forskelligt.
Du får et andet eksempel:
5x + 8 = -2
Det er, hvad der almindeligvis forstås ved en ligning.
Den indeholder en ubekendt x, som du skal bestemme værdien af,
således at det, der står på venstre side af lighedstegnet, har samme værdi som det på højre side af lighedstegnet.
Regneregler
For at klare det ”at løse ligninger”, har du behov for nogle regneregler
for ligningsløsning.
Prøv at opfatte lighedstegnet som en vægt.
.
Figur 2.01
Hvis vægten (figur 2.01) skal være i ligevægt, skal du fylde det samme i
de to vægtskåle, eller også skal du fjerne lige meget fra hver vægtskål.
Mængdebyggeren
I princippet foregår det på samme måde, når du løser ligninger. Du
får her regnereglerne:
1) Du må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.
2) Du må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
Disse to regler kan du sammentrække til:
Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden
ved at skifte fortegn på leddet.
3) Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog
ikke med 0.
4) Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal dog ikke med 0.
5) Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0.
Har du et produkt:
a ⋅ b = 0, vil a = 0 eller b = 0
6) Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.
a c
=
b d
ad = bc
Mængdebyggeren
Fra mængdelæren findes en symbolsammenstilling, der beskriver de
ting, du skal være opmærksom på, når du løser ligninger.
Symbolsammenstillingen kaldes mængdebyggeren.
Den ser således ud:
L = { .......... | .......... }
Grund- Ligning
mængde
Mængdebyggeren deles af en lodret streg.
Til venstre for den lodrette streg har du en beskrivelse af grundmængden, og til højre for stregen har du ligningen.
Grundmængde er et nyt begreb.
Grundmængden er de tilladelige værdier af x,
som du kan benytte som løsning til en ligning.
41
42
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du får et eksempel:
L = {x ∈ R |3x + 8 = 5}
som læses:
Løsningsmængden L er lig med: Mængden af elementer x tilhørende R (de reelle tal), for hvilke det gælder, at 3x + 8 = 5.
R
1
3x + 8 = 5
Figur 2.02
Sagt på en lidt anden måde, så forestil dig, at du har en pose fyldt med
alle reelle tal (figur 2.02). Du skal finde de tal eller det tal i posen, der
gør ligningen sand.
Du skal altid starte med at bestemme grundmængden, og i langt de
fleste tilfælde vil grundmængden være lig med R, men der kan være
tilfælde, hvor der er indskrænkninger, og dem skal du have styr på.
Har du en ligning, hvor der indgår brøker, som fx:
3x + 8
x-5
vil tallet 5 ikke kunne indgå i grundmængden. Nævneren vil blive 0, og
du får hermed en brøk, som ikke er defineret.
Betegnes grundmængden med G, kan du skrive:
G = {x ∈ R |x ≠ 5}
Tegnet ”≠” læses ”forskellig fra”.
På tilsvarende måde kan du møde ligninger, hvori der indgår rodstørrelser som fx:
x-2
Indsætter du et tal mindre end 2, får du et negativt tal under rodtegnet,
og det går ikke.
Grundmængden må derfor bestå af alle tal, der er større eller lig
med 2.
Symbolsk kan du beskrive grundmængden således:
G = {x ∈ R |x ≥ 2}
Tegnet ”≥” læses ”større end eller lig med”.
Ligninger med 1 ubekendt
Når du skal bestemme grundmængden, skal du se på ligningen:
1) Indgår der brøker, så undersøg nævnerne. Udeluk de værdier, der
gør nævnerne lig med 0.
2) Indgår der rodstørrelser, så udeluk de værdier, der gør værdierne
under rodtegnet negative.
Opgave 21
Du skal bestemme grundmængden for følgende udtryk:
1
1
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
x
x-3
3-x
x
x-3
f)
1
3-x
Ligninger med 1 ubekendt
Du vil nu i nogle eksempler få at se, hvorledes du kan bestemme en
grundmængde og løse en ligning.
Eksempel 2.01
Du skal bestemme grundmængden og derefter løse ligningen
8 - 9(6x - 3) = 2 - (4x + 5)
Som du kan se, indgår der i ligningen ingen brøker og heller ingen rodstørrelser, så du kan fastslå, at:
Grundmængde G = R (de reelle tal)
Ligningen skal herefter løses, og det gøres på den måde, at du først
ordner ligningen, dvs.
- du udregner parenteser
- du samler x-led på den ene side af lighedstegnet og de øvrige led på
den anden side.
Det kommer til at se således ud:
8 - 54x + 27 = 2 - 4x - 5
-54x + 4x = 2 - 5 - 8 - 27
-50x = -38
-50x -38
=
-50
-50
x = 0 , 76
Parenteser udregnes.
x-led samles på den ene side,
Øvrige led på den anden side.
Leddene på hver side trækkes sammen.
Divisionsreglen anvendes.
Løsning
Undervejs kan du have lavet en regnefejl. Du kan undersøge løsningen
ved at indsætte den fundne x-værdi i den givne ligning.
43
44
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Får du samme talværdi på begge sider af lighedstegnet, er løsningen i
orden.
Det kommer til at se således ud:
8 - 9(6 ⋅ 0,76 - 3) = 2 - (4 ⋅ 0,76 + 5)
-6,04 = -6,04
Grafregneren benyttes.
Resultat (stemmer).
Eksempel 2.02
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningen:
( 4x - 2)(x - 1) (x + 1)(x + 2) 4x 2 + 20
=
4
2
8
Her indgår brøker, men da der ingen ubekendte er i brøkernes nævnere, får du:
Grundmængde G = R
Herefter skal du løse ligningen. Regningerne kommer til at se således
ud:
Parenteser udregnes:
4x 2 - 4x - 2x + 2 x 2 + 2x + x + 2 4x 2 + 20
=
4
2
8
Du skal have en fællesnævner, og den bliver 8:
2( 4x 2 - 4x - 2x + 2) 4(x 2 + 2x + x + 2) 4x 2 + 20
=
8
8
8
Brøkerne bortskaffes, idet du ganger med fællesnævneren i alle led:
8x2 - 8x - 4x + 4 - 4x2 - 8x - 4x - 8 = 4x2 + 20
Du ordner ligningen:
8x2 - 4x2 - 4x2 - 8x - 4x - 8x - 4x = 20 - 4 + 8
Du trækker sammen:
-24x = 24
Du anvender divisionsreglen:
-24x
24
=
-24
-24
og du har løsningen:
x = -1
Ligninger med 1 ubekendt
Eksempel 2.03
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningen:
80
12
13
=
+
10x - 5 x + 3 2x - 1
Som du kan se, indgår der ubekendte i brøkernes nævnere.
Du skal have bestemt, hvilke x-værdier der gør nævnerne lig med 0.
Det gør du ved at tage de 3 nævnere hver for sig og sætte dem lig med
0 og derefter løse ligningerne. Det kommer til at se således ud:
10x - 5 = 0
10x = 5
x = 0, 5
x+3= 0
x = -3
2x - 1 = 0
2x = 1
x = 0, 5
Hermed har du fundet de tal, som ikke må indgå i grundmængden, og
du kan beskrive grundmængden således:
Grundmængde: x ≠ {-3; 0,5}
Så skal ligningen løses.
Du skal starte med at finde en fællesnævner, men inden skal du undersøge, om nævnerne kan opløses i faktorer. Det kan den første nævner. Det bliver:
80
12
13
=
+
5 (2x - 1) x + 3 2x - 1
Nu kan du bestemme en fællesnævner, som kommer til at se således
ud: 5(2x - 1)(x + 3).
Du kan herefter skrive ligningen på følgende måde:
80 (x + 3)
5 (2x - 1)(x + 3)
=
12 ⋅ 5 (2x - 1)
5 (2x - 1)(x + 3)
+
13 ⋅ 5 (x + 3)
5 (2x - 1)(x + 3)
Du kan nu ”fjerne” fællesnævneren:
80(x + 3) = 12 ⋅ 5(2x - 1) + 13 ⋅ 5(x + 3)
80x + 240 = 120x - 60 + 65x + 195
-105x = -1105
x=1
Du kan godkende løsningen, da det kun var tallene -3 og 0,5, der ikke
måtte indgå i løsningen.
45
46
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Eksempel 2.04
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningen:
6
=2
x
Da x indgår i brøkens nævner, får du grundmængden G: x ≠ 0.
Så skal du løse ligningen.
Umiddelbart er det ingen proportion, men ved en lille nem omskrivning får du:
6 2
=
x 1
Nu har du en proportion, og her må du gange ”over-kors”:
Derved får du:
2x = 6
x=3
Løsningen kan godkendes, da det kun var tallet 0, der ikke måtte indgå
i løsningen.
Opgave 22
Du skal bestemme grundmængde og x i følgende ligninger:
a) −4x − (−10 + 8x) = (8 −16x) − (14 − 6x)
b) 15 + (2x − 5)9 = 5(2x + 7) + 12 + 3
c) 3x − 12 = 5[x − 3(7 − 2x) − 7]
Opgave 23
Nedenstående ligning er reduceret, ordnet og løst som vist i fem trin.
Undervejs er der begået nogle fejl.
a) Du skal finde fejlene og beskrive dem.
b) Derefter skal du rette fejlene og bestemme den rigtige værdi af x.
6x-(x - (x + 4))
6x - (x - x + 4)
6x - x + x - 4
6x - x + x - 3x
3x
x
= 3x + 2
= 3x + 2
= 3x + 2
=2+4
=6
= 0,5
1.trin
2.trin
3.trin
4.trin
5.trin
Tekniske ligninger
Opgave 24
Du skal bestemme grundmængde og x i følgende ligninger:
a)
x + 7 3x - 7 x - 1
=
3
4
2
b)
3
1
5
=
x - 3 2x - 6 6
c)
2+x
1
7
2
+ = +
5x - 15 5 15 3x - 9
Opgave 25
Du skal bestemme grundmængde og x i følgende ligninger:
a)
1 10x - 12
1 - 2x 28 - 6x
12
6
9
b)
c)
=
=
=
3
24
6+x
3x - 7
x x-2 x
Tekniske ligninger
Ved beregninger inden for fysik og teknik, vil du ofte komme ud for
at skulle bestemme en ubekendt i en formel, når de øvrige størrelser i
formlen er kendt.
Du kan løse en sådan ligning med hensyn til den ubekendte i bogstavudtrykket, og derefter indsætte de givne talstørrelser. I almindelighed vil det bedst kunne betale sig for dig at indsætte de kendte talstørrelser i bogstavudtrykket og derefter løse ligningen.
47
48
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du får et eksempel, hvor begge metoder bliver vist.
Eksempel 2.05
Et køretøj, der bevæger sig med konstant acceleration, vil tilbagelægge
en vejstrækning s, der er givet ved ligningen:
s=
1
⋅ a ⋅ t2 + v0 ⋅ t
2
hvor s er vejlængden i meter, a accelerationen i m/sek2, t den forbrugte
tid i sekunder og v0 er køretøjets begyndelseshastighed i m/sek.
a) Du skal løse ligningen med hensyn til v0.
Du skal have isoleret leddet, der indeholder v0.
1
Det gør du ved at flytte leddet ⋅ a ⋅ t2 over på venstre side af ligheds2
tegnet.
Ligningen får så følgende udseende:
s−
1
⋅ a ⋅ t2 = v0 ⋅ t
2
Nu mangler du at flytte t, og da leddet v0 ⋅ t er et produkt, skal du dividere med t. Du har så et udtryk for v0:
1
s - ⋅ a ⋅ t2
2
= v0
t
Nu har du et bogstavudtryk, og du kan indsætte værdierne for s, a og t
og hermed bestemme værdien af v0.
Tekniske ligninger
Nu får du den anden metode, hvor du starter med at indsætte de givne
talstørrelser i formlen og derefter løse ligningen.
b) Du skal bestemme v0, når s = 240 meter, a = 3 m/sek2 og t = 10
sek.
Du indsætter talstørrelserne i ligningen og løser ligningen:
1
240 = ⋅ 3 ⋅ 10 2 + v 0 ⋅ 10
2
240 = 150 + v 0 ⋅ 10
240 - 150 = v 0 ⋅ 10
90 = v 0 ⋅ 10
90
= v0
10
9 = v0
Umiddelbart vil den sidste metode i langt de fleste tilfælde være den
nemmeste, men der kan være opgaver, hvor det er en fordel at kunne
omskrive bogstavudtrykket.
I de kommende opgaver bliver du præsenteret for ligninger, som er taget
fra forskellige fagområder. Nogle af ligningerne kender du måske, og andre har du aldrig set. Ligningerne får du nogle gange præsenteret på en
kort måde, herunder hvad de enkelte bogstaver i ligningen står for. I andre
tilfælde får du blot et bogstavudtryk som udgangspunkt. Du skal opfatte
udtrykkene som ligninger, hvor din opgave er at bestemme en eller flere af
de ubekendte, alt afhængig af, hvilke oplysninger du har fået givet.
Opgave 26
I forbindelse med styrkeberegning af en bjælke med rektangulært tværsnit anvendes en størrelse, der kaldes tværsnittets modstandsmoment
(figur 2.03), og som benævnes med bogstavet W.
h
b
Figur 2.03
For en bjælke med tværsnit b ⋅ h gælder følgende formel for beregning
af tværsnittets modstandsmoment W:
1
W = ⋅ b ⋅ h2
6
Du skal beregne tværsnittets bredde, når W = 100.000 mm3 og h = 100
mm.
49
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
50
Opgave 27
R1
R2
For en parallelforbindelse i et elektrisk kredsløb gælder følgende ligning (se figur 2.04):
1
1
1
=
+
R R1 R 2
R er erstatningsmodstanden, og R1 og R2 er de to parallelforbundne
modstande.
Figur 2.04
Du skal bestemme R, når R1 = 20 ohm og R2 = 6 ohm.
Opgave 28
Ved opvarmning af en stålstang gælder følgende formel for stangens
længdeforøgelse:
ΔL = L ⋅ a ⋅ (t 2 - t 1 )
hvor ΔL er ændringen af stangens længde, L er stangens længde ved
begyndelsestemperaturen, a er en længdeudvidelseskoefficient, t2 er
opvarmningstemperaturen, og endelig er t1 begyndelsestemperaturen.
Du skal bestemme den temperatur t2 en stålstang skal opvarmes til, når
DL = 0,003 m, L = 3,000 m, a = 0,000012 og t1 = 20 °C.
Opgave 29
En aksel i en gearkasse kan overføre et torsionsmoment (drejningsmoment), som er givet ved følgende formel:
T = 9560 ⋅
P
n
hvor T er torsionsmomentet i Nm (Newton meter), P er den overførte
effekt i kW (kiloWatt), og n er akslens omdrejningstal pr. minut.
Du skal bestemme omdrejningstallet n, når T = 60 Nm og P = 10 kW.
Tekstligninger
Opgave 30
Givet er følgende formel:
π⋅d⋅L ⋅i
v ⋅ 1000 ⋅ s
t=
Du skal løse ligningen med hensyn til:
a) v b) d c) s
Opgave 31
Akselafstanden a mellem to tandhjul kan bestemmes af følgende formel:
a=
m ( z1 + z 2 )
2
hvor m er tandhjulenes modul, z1 er antal tænder på det ene tandhjul,
og z2 er antal tænder på det andet tandhjul.
Du skal løse ligningen med hensyn til:
a) m b) z1 c) z2
Tekstligninger
Som nævnt i starten er det i almindelighed praktiske problemstillinger,
der er udgangspunktet, når du skal løse ligninger.
Du skal så kunne analysere og ”oversætte” det praktiske problem til
en matematisk ligning og derefter løse denne.
I dette afsnit vil du få lejlighed til at træne i at analysere og ”oversætte”
problemer i tekster til matematiske ligninger, som du derefter skal løse.
Du får et eksempel.
Eksempel 2.06
Du har givet, at summen af to på hinanden følgende hele tal er 187.
Bestem de to tal.
Analyserer du teksten, har du to oplysninger:
1) Summen af to tal skal være lig med 187 og
2) Tallene kommer efter hinanden.
51
52
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du kan starte med oplysning 2):
Kalder du det første tal for x, vil du kunne udtrykke det andet som x
+ 1.
Så kan du gå videre med oplysning 1):
Det skal være sum, så du kan opstille følgende ligning:
x + x + 1 = 187
2x = 186
x = 93
Du har dermed det ene tal til 93, og det andet til 93 + 1 = 94.
Opgave 32
To legemer har tilsammen en masse = 200 kg. Det ene legeme har en
masse, der er 16 kg større end det andet. Du skal bestemme massen på
hver af de to legemer.
Opgave 33
Summen af fire på hinanden følgende hele tal er 226. Du skal bestemme
de fire tal.
Opgave 34
Et tal er lige så meget større end 17, som det er mindre end 43. Du skal
bestemme tallet.
Opgave 35
Du skal bestemme det tal, der ganget med 0,5 og lagt til 0,5 giver samme resultat.
Procent og promille
Procent betyder pr. hundrede og skrives %. Promille betyder pr. tusinde og skrives ‰.
Har du fx 5 %, betyder det
5
.
100
På tilsvarende måde med fx 3 ‰, som betyder
3
.
1000
Procent og promille
Da både procenter og promiller kan opfattes som brøker, kan du opstille en procent- eller promilleopgave som en proportion.
Det får du at se i de næste par eksempler.
Eksempel 2.07
Du skal bestemme, hvor meget 8 % er af 200 kr.
Du kan kalde den søgte størrelse for x, og kan derefter opstille følgende
proportion:
x
8
=
200 100
8 ⋅ 200
x=
100
x = 16 kr.
Eksempel 2.08
En kloakledning skal lægges med et fald på 6 ‰ over en afstand på 80
meter som vist på figur 2.05.
A
B
Figur 2.05
Koten i punkt A er 12,330 (kote er et højdemål i meter).
Du skal bestemme koten i B.
A
x
B
Figur 2.06
Du har kloakledningen igen på figur 2.06, hvor højdeforskellen mellem
A og B er kaldt x.
53
54
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du kan opstille en proportion:
x
6
=
80 1000
80 ⋅ 6
x=
1000
x = 0 , 480 m
Nu har du højdeforskellen og kan bestemme koten i B:
Kote B = 12,330 - 0,480
Kote B = 11,850
Opgave 36
En timelønssats er 94,50 kr. Ved en forhandling opnås en forhøjelse på 4 %.
Du skal bestemme den nye timelønssats.
Opgave 37
En grund er 2400 m2. Der sælges 650 m2 fra.
Du skal bestemme, hvor mange % grunden er formindsket.
Opgave 38
Fra en beskadiget oliebeholder er 2 liter olie løbet ud. Der er nu 35 liter
tilbage i tanken.
Du skal bestemme, hvor mange % der er gået tabt.
Indsættelsesmetoden
Opgave 39
Ved en udstykning af byggegrunde skal der lægges en kloakledning.
Set fra oven er en del af kloakledningen afbildet som vist på figur 2.07.
45
40
C
B
A
40
40
34
50
E
D
G
F
Figur 2.07
Koten i A er 20,38, og faldet på hovedledningen ABCD skal være 10 ‰,
mens faldet på sideledningerne BE, CF og DG skal være 15 ‰.
a) Du skal bestemme koterne på hovedledningen i punkterne B, C og
D.
b) Du skal herefter bestemme koterne på sideledningerne i punkterne
E, F og G.
Indsættelsesmetoden
Når du skal løse to ligninger med to ubekendte, er der flere metoder, og
dem vil du få at se i de kommende afsnit. Ligeledes har din grafregner
også nogle muligheder, og dem får du også at se.
Den første metode kaldes indsættelsesmetoden eller substitutionsmetoden. Substituere betyder at erstatte, og det er netop det, metoden
går ud på.
I de følgende eksempler er bestemmelse af grundmængde kun medtaget, hvis den afviger fra R (de reelle tal).
Du får et eksempel.
Eksempel 2.09
Du skal bestemme x og y i ligningerne:
(I): y - x = 4 og (II): 6x + 2y = 16
Du vælger den ligning, hvor du nemmest kan udtrykke x eller y.
Her er det ligning (I), og du kan vælge at løse den med hensyn til y.
Det giver:
y=4+x
Dette udtryk for y er dit “erstatningsudtryk”, som du indsætter på y’s
plads i ligning (II).
55
56
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Det giver dig så en ligning med en ubekendt. Regningerne kommer til
at se således ud:
6x + 2(4 + x) = 16
6x + 8 + 2x = 16
8x = 8
x= 1
Du skal have bestemt y, og det gør du ved at indsætte x = 1 i y = 4 + x:
y = 4 +1
y=5
Du har hermed løsningen: x = 1 og y = 5
Lige store koefficienters metode
Som navnet siger, går metoden ud på at sørge for, at enten x- eller yleddene i de to ligninger får lige store koefficienter.
Du får et eksempel.
Eksempel 2.10
Du skal bestemme x og y i ligningerne:
(I): 6x - 2y = 12
og
(II): 4x + 8y = 64
Du vælger selv, om det skal være x-leddene, eller det skal være y-leddene, der skal gøres lige store i de to ligninger.
Her vælges x-leddene.
Du starter med at løse ligningerne med hensyn til x-leddene. Det
giver:
(I): 6x = 12 + 2y og
(II): 4x = 64 - 8y
Ganger du med 4 i alle led i ligning (I), og på tilsvarende måde med 6
i ligning (II), får du:
(I): 24x = 48 + 8y og
(II): 24x = 384 - 48y
Du har på denne måde fået lige store koefficienter til x, nemlig 24.
Determinant-metoden
Med denne baggrund kan du nu danne en ny ligning af de to ”højresider”:
48 + 8y = 384 - 48y
8y + 48y = 384 - 48
56y = 336
y= 6
Du mangler x-værdien. Du kan gå tilbage i beregningsforløbet og vælge
den ligning, hvor du nemmest kan finde x. Her vælges at indsætte y = 6
i ligning (II): 4x = 64 - 8y. Det giver:
4x = 64 - 8 ⋅ 6
4x = 64 - 48
4x = 16
x=4
Du har hermed løsningen: x = 4 og y = 6
Determinant-metoden
Determinant-metoden er i realiteten det samme som ”lige store koefficienters metode”, men metoden bygger på, at ligningerne bliver stillet
op i en ganske bestemt orden og rækkefølge.
Du får nu vist baggrunden for metoden. Givet er ligningerne:
(I): a1 ⋅ x + b1 ⋅ y = c1 og (II): a2 ⋅ x + b2 ⋅ y = c2
Du løser først ligningerne med hensyn til x-leddene:
(I): a1 ⋅ x = c1 - b1 ⋅ y og (II): a2 ⋅ x = c2 - b2 ⋅ y
I ligning (I) ganger du alle led med a2 og på tilsvarende måde med a1 i
ligning (II):
(I): a1a2 ⋅ x = a2c1 - a2b1 ⋅ y og (II): a1a2 ⋅ x = a1c2 - a1b2 ⋅ y
Du kan nu opstille en ny ligning af de to ”højre-sider”:
a2c1 - a2b1 ⋅ y = a1c2 - a1b2 ⋅ y
Du samler y-leddene på venstre side og de øvrige på højre side:
a1b2 ⋅ y - a2b1 ⋅ y = a1c2 - a2c1
Du sætter y uden for en parentes:
y(a1b2 - a2b1) = a1c2 - a2c1
57
58
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du løser ligningen med hensyn til y:
y=
a1 ⋅ c 2 - a 2 ⋅ c 1
a1 ⋅ b2 - a 2 ⋅ b1
På tilsvarende måde kan du bestemme x. Regningerne er ikke medtaget, men du får resultatet:
x=
b2 ⋅ c1 - b1 ⋅ c 2
a1 ⋅ b2 - a 2 ⋅ b1
For at komme videre indfører vi to begreber, matrix og determinant.
Udtrykket
a1
a2
b1
b2
kaldes en matrix og består af to søjler og to rækker.
Determinanten for en matrix benævnes med bogstavet D og beregnes for ovenstående matrix på følgende måde.
a
D= 1
a2
b1
= a1 . b2 − a2 . b 1
b2
Værdien af determinanten D får du af udtrykket a1b2 - a2b1.
Pilene anskueliggør rækkefølgen i beregningerne af determinanten.
Du starter med at gange ”skråt nedad til højre” og trækker derefter
det produkt fra, som fremkommer, når du ganger ”skråt opad til højre”.
Går du tilbage til de to udtryk for x og y, kan du ”konstruere” nogle
determinanter, der gør det mere overskueligt at løse to ligninger med
to ubekendte.
Du kan ”konstruere” følgende determinanter:
D =
a1
a2
b1
= a1 . b 2 − a 2 . b 1
b2
(nævneren i brøken for x og y ovenfor)
Dy =
a1
a2
c1
= a1 . c 2 − a 2 . c 1
c2
(tælleren i brøken for y ovenfor)
Dx =
c1
c2
b1
= c1 . b 2 − c 2 . b 1
b2
(tælleren i brøken for x ovenfor)
Herved kan du udtrykke x og y:
Dy
y=
D
x=
Dx
D
Eksempel 2.11
Du skal bestemme x og y i ligningerne
(I): 3x = 7y + 18,5
og
ved hjælp af determinant-metoden.
(II): -2y = -3 - 5x
Grafregnerens muligheder
For at kunne benytte determinant-metoden skal du skrive leddene i ligningerne op i en bestemt rækkefølge. Det kommer til at se således ud:
(I): 3x - 7y = 18,5
(II): 5x - 2y = -3
og
Du kan nu bestemme determinanterne:
D=
3 -7
= 3 ⋅ (-2) - 5 ⋅ (-7 ) = 29
5 -2
Dy =
3 18 , 5
= 3 ⋅ (-3) - 5 ⋅ 18 , 5 = -101, 5
5 -3
Dx =
18 , 5 -7
= (-2) ⋅ 18 , 5 - (-7 ) ⋅ (-3) = -58
-3 -2
Herefter kan x og y bestemmes:
Dy
-101, 5
= -3 , 5
D
29
D
-58
x= x =
= -2
D
29
y=
Løsning: x = -2
og
=
y = -3,5
Grafregnerens muligheder
Din grafregner er sikkert udstyret med programmer, der kan løse flere
ligninger med flere ubekendte.
Når du løser to ligninger med to ubekendte på din grafregner, skal
du altid opstille ligningerne i en ganske bestemt rækkefølge.
Baggrunden for programmet på din grafregner er determinant-metoden, som du fik at se i forrige afsnit.
Har du to ligninger med to ubekendte, skal du opstille dem som vist:
a1x + b1y = c1 og a2x + b2y = c2
Herefter kan du indtaste værdierne for a1, b1, c1, a2, b2 og c2, og grafregneren giver dig løsningen.
Eksempel 2.12
Du skal løse ligningerne
(I): 4y = 15 - 3x
og
(II): 2x - 4y + 5 = 0
med anvendelse af grafregner.
Når du sammenligner dine ligninger med bogstavligningerne, passer
rækkefølgen ikke rigtig.
59
60
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Det skal ændres, og du flytter på leddene, så det kommer til at se
således ud:
(I): 3x + 4y = 15 og (II): 2x - 4y = -5
Du finder programmet for løsning af ligninger på din grafregner eller
matematikprogram på din PC`er.
Her er indtastningen vist på skærmbilledet på figur 2.08.
Figur 2.08
Løsningen har du på figur 2.09.
Figur 2.09
Din grafregner har også en anden mulighed, idet den kan løse to ligninger
med to ubekendte grafisk.
Du husker sikkert ligningen for en ret linje, som ser sådan ud:
y = ax + b
Har du to ligninger med to ubekendte, skal du omskrive dem, så de får
den viste form.
Når du har gjort det, kan du taste dem ind og dermed få et billede
af de to linjer.
Skæringspunktet mellem de to linjer vil da være løsningen, og det
kan din grafregner finde.
Grafregnerens muligheder
Eksempel 2.13
Du skal ved hjælp af grafregneren løse ligningerne
4y - 5x + 12 = 0 og 3y + 1,5x - 12 = 0
Du skal ordne ligningerne, således at y-leddene står alene på venstre
side af lighedstegnet. Det kommer til at se sådan ud:
4y = 5x - 12
og
3y = - 1,5x + 12
Da y skal stå alene, skal du dividere igennem med 4 i alle led i den første
ligning og på tilsvarende måde med 3 i den anden ligning. Det giver:
y = 1,25x - 3 og y = -0,5x + 4
Nu kan du taste ligningerne ind i grafregnerens ”graf-menu”.
Du skal også bestemme inddelingen på akserne i koordinatsystemet, og som udgangspunkt kan du vælge:
-10
xmin:
xmax: 10
scl: 1
ymin:
-10
ymax: 10
scl: 1
”scl” står for skalainddelingen på henholdsvis x- og y-aksen.
Med den valgte inddeling vil du få et billede som vist på figur 2.10.
Figur 2.10
Nu er der tilbage at bestemme skæringspunktet, og det klarer grafregneren også. Det bliver:
(x,y) = (4,2)
Prøv at taste opgaven ind på din grafregner og tjek resultatet.
Du kan også ændre akseinddelingen på koordinatsystemet og se på
”nye” billeder.
61
62
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Prøv med følgende akseinddeling:
xmin:
-1
xmax: 6
scl: 1
ymin:
-1
ymax: 5
scl: 1
Billedet kommer da til at se ud som vist på figur 2.11.
Figur 2.11
Som du kan se, er der mange muligheder, når du skal løse to ligninger
med to ubekendte.
Du kan så stille spørgsmålet:
- Hvilken metode skal jeg benytte?
Det kan du ikke få noget entydigt svar på, men prøv at se på tallene i
opgaven.
Er det nemme tal, så vælg en af metoderne, hvor du benytter ”håndkraft”. Har du først fået lidt rutine, er det hurtigere end at bruge grafregneren.
Er det skæve tal, kan du med fordel benytte grafregneren.
Det kan selvfølgelig være fristende at ”nøjes” med at lære en metode,
men så kan du hurtigt miste overblikket og meget nemt få gjort det
besværligt for dig selv.
Opgave 40
Du skal bestemme grundmængde og x og y i ligningerne:
a) (I): 3x + 4y - 23 = 0
b) (I): 5x - 4y = 7
c) (I): 3x + 5y = 34
(II): 2x - 3y - 4 = 0
(II): 2x + y = 8
(II): 6x + 2y = 20
Grafregnerens muligheder
Opgave 41
Du skal bestemme grundmængde og x og y i ligningerne:
a) (I) :
3 (y + 1)
2+x
=
3y
x -1
(II) :
(x + 6 ) 2
3+y
=
2 + 2x
y +1
b) (I): 4,2x - 6y = -47,4
(II): 6x - 4,2y = -24
8 6
c) (I) : - - 12 = 0
x y
(II) : - - 2 = 0
6
x
8
y
Opgave 42
To tals sum er 360. De samme to tals differens er 70.
Du skal bestemme de to tal.
Opgave 43
To tal har summen 92. Dividerer du det ene tal op i det andet, får du 5
og en rest 8.
Du skal bestemme de to tal.
Opgave 44
Differensen mellem to tals sum og de samme to tals differens er lig med
10. Produktet af de to tal er 50.
Du skal bestemme de to tal.
63
64
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Tre ligninger med tre ubekendte
Kan du løse to ligninger med to ubekendte, kan du også klare tre ligninger med tre ubekendte, fire ligninger med fire ubekendte osv.
Princippet er i realiteten det samme. Den eneste forskel er, at der er
flere led at passe på.
Du kan vælge at løse ligningerne på grafregneren, men du kan også
gøre det i hånden.
Du får begge metoder at se.
Vi starter med grafregneren. Her skal ligningerne, ligesom ved to ligninger med to ubekendte, opstilles i en ganske bestemt orden, som for
den enkelte ligning ser sådan ud:
anx + bny + cnz = dn
Eksempel 2.14
Løs ved hjælp af en grafregner ligningerne:
4x - 6y + 3z = 9
3x - 5y + 8z = 22
5x + 4y - 7z = 25
Som du kan se, passer rækkefølgen med bogstaveksemplet, så her kan
du indtaste med det samme.
Du får på figur 2.12 skærmbilledet af indtastningen.
Figur 2.12
Løsningen har du på figur 2.13.
Figur 2.13
Skal du løse tre ligninger med tre ubekendte ved hjælp af ”håndkraft”,
skal du kombinere ligningerne to og to og isolere den ene af de tre ubekendte. Herved fremkommer der to ligninger med to ubekendte, som
løses som tidligere.
Du får fremgangsmåden i det kommende eksempel.
Tre ligninger med tre ubekendte
Eksempel 2.15
Du skal løse ligningerne:
(I): x + y + z = 9
(II): x + 2y + 4z = 15
(III): x + 3y + 9z = 23
Du kan kombinere på følgende måde: (I) og (II), (I) og (III) og (II) og (III).
Du skal vælge to kombinationer, og her vælges (I) og (II) og (I) og
(III). Du skal også vælge, hvilken af de ubekendte du vil udtrykke, og
her vælges at løse ligningerne med hensyn til x.
Ligning (I) og (II) løses med hensyn til x:
(I): x = 9 - z - y og (II): x = 15 - 4z - 2y
Du kan opstille en ny ligning (IV) af de to “højre-sider”:
(IV): 9 - z - y = 15 - 4z - 2y
2y - y = 15 - 4z + x - 9
y = 6 - 3z
Du gør nu det samme med ligning (I) og (III):
(I): x = 9 - z - y og (III): x = 23 - 9z - 3y
Du opstiller en ny ligning (V) af de to “højre-sider”:
(V): 9 - z - y = 23 - 9z - 3y
3y - y = 23 - 9z + z - 9
2y = 14 - 8z
y = 7 - 4z
Du har nu to ligninger (IV) og (V) med to ubekendte. Som du kan se, er
begge ligninger løst med hensyn til y, så du kan opstille en ny ligning
af de to ”højre-sider”:
6 - 3z = 7 - 4z
4z - 3z = 7 - 6
z=1
Du mangler at bestemme x og y. Du kan bestemme y i ligning (IV) eller
(V). Her vælges at indsætte z = 1 i (V). Det giver:
y = 7 - 4 ⋅1
y=3
Nu mangler du kun at bestemme x. Du kan bestemme x i ligning (I), (II)
eller (III). Her vælges at indsætte z = 1 og y = 3 i ligning (I):
x = 9 - 1- 3
x=5
Løsning: x = 5, y = 3, z = 1
65
66
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Opgave 45
Du skal bestemme grundmængde og x, y og z i ligningerne:
a) (I):
(II):
(III):
3x - 2y + 2z = -9
2x + y - 3z = 1
5x - 4y - 7z = -17
b) (I):
(II):
(III):
4x -6y + 3z = 9
3x - 5y + 8z = 22
5x + 4y - 7z = 25
c) (I):
(II):
(III):
4 (x + 6 )
5 (5 + y)
4 (3 + z)
3 (y - 1)
=1
=1
3 ( 3 z + 5)
4 ( 2x - 3 )
=1
2.gradsligninger
2.gradsligninger
Møder du en ligning skrevet på formen
ax2 + bx + c = 0
kaldes den en ordnet 2.gradsligning.
Ordnet betyder, at først kommer leddet med x2, derefter x-leddet og
til sidst c.
At ligningen er af 2.grad betyder, at den ubekendte x har 2 som største eksponent.
Der findes forskellige typer 2.gradsligninger, og den første du skal stifte
bekendtskab med, er den type, hvor c-leddet er lig med 0.
Eksempel 2.16
Løs ligningen
x2 + 8x = 0
Du kan omskrive ligningen til et produkt ved at sætte x uden for en
parentes. Det kommer til at se således ud:
x ⋅ (x + 8) = 0
For første gang kan du benytte nul-reglen, der siger, at når et produkt
er 0, er mindst en af faktorerne lig med 0.
Der er gange-tegn mellem x og (x + 8), og du kan derfor skrive:
x = 0 eller x + 8 = 0
og dermed løsningerne
x=0
eller
x = -8
En anden type 2.gradsligning får du, når b = 0 i det oprindelige udtryk
for 2.gradsligningen:
ax2 + bx + c = 0
Det vil sige, at ligningen får følgende udseende:
ax2 + c = 0
Du får et eksempel, der kan belyse fremgangsmåden, når du skal løse
en sådan type 2.gradsligning.
67
68
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Eksempel 2.17
Du skal løse ligningen: x2 - 4 = 0
Du kan omskrive ”venstre-siden” således:
x2 - 22 = 0
”Venstre-siden” udtrykker nu en af de ”tre vigtige formler” fra kapitel
1, som med bogstaver ser således ud:
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Du kan derfor omskrive ligningen efter denne formel:
(x + 2)(x - 2) = 0
Her har du et produkt, der er lig med 0, så du kan igen anvende nulreglen. Det giver
x + 2 = 0 eller x - 2 = 0
og du får hermed løsningerne:
x = -2
eller
x=2
Du kan også løse ligningen ved at flytte 4-tallet over på højre side af
lighedstegnet. Derefter uddrager du kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Det kommer til at se således ud:
x2 - 4 = 0
x2 = 4
x= ± 4
x = ±2
Opgave 46
Du skal løse ligningerne:
a) 2x2 = 7x b) 8x + 6x2 = 15x + 3x2 c) 15x2 - 19x = 12x2 - 3x
Opgave 47
Du skal løse ligningerne:
a) x -
100
=0
x
b)
8
x+4
=
x-4
6
c)
3x
-3x
-8 =
x +1
x -1
<<< Opgave
2.gradsligninger
Nu skal du tilbage til den ordnede 2.gradsligning
ax2 + bx + c = 0
Den har følgende løsningsformel
x=
-b ± b2 - 4ac
2a
Udtrykket under rodtegnet b2 - 4ac kaldes ligningens
diskriminant og betegnes med bogstavet d.
d = b2 - 4ac
Alt afhængig af værdien af d har 2.gradsligningen følgende løsningsmuligheder:
Hvis d = 0 har 2.gradsligningen en rod.
Hvis d > 0 har 2.gradsligningen to rødder.
Hvis d < 0 har 2.gradsligningen ingen rødder.
Inden du skal i gang med at arbejde med løsning af 2.gradsligninger,
skal du se, hvorledes løsningsformlen er fremkommet.
Udgangspunktet er den ordnede 2.gradsligning:
ax2 + bx + c = 0
Du dividerer igennem med a i alle led:
b
c
x2 + x + = 0
a
a
Du flytter
c
-leddet over på højre side.
a
Samtidig udfører du et lille ”trick”, idet du
2
 
på begge sider af lighedstegnet lægger leddet  b  til.
 2a 
Så kommer ligningen til at se således ud:
2
2
b c
b
b
x 2 + x +   =    2a  a
 2a 
a
Venstre side kan du omskrive på baggrund af:
a2 + b2 + 2ab = (a + b)2, som er en af de ”tre vigtige formler” fra kapitel
1. Det kommer til at se således ud:
2
2
 


x + b  =  b  - c

 2a  a

2a 
69
70
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Højre side forberedes til en fælles brøkstreg.
2
2


x + b  = b - 4ac

2a 
4a 2 4a 2
Du kan nu uddrage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.
Det giver:
b
b2 - 4ac
x+
=±
2a
4a 2
x =-
x=
b
b2 - 4ac
±
2a
4a 2
-b ± b2 - 4ac
2a
og dermed er du fremme ved løsningsformlen, som du nu i et eksempel
skal se anvendelsen af.
Eksempel 2.18
Du skal løse ligningen: 4x² - 22x + 24 = 0.
Ligningen er ordnet, så du får umiddelbart, at:
a = 4,
b = -22
og
c = 24
Du kan indsætte i løsningsformlen og får:
2
x=
-(-22) ± (-22) - 4 ⋅ 4 ⋅ 24
2⋅ 4
22 ± 484 - 384
x=
8
22 ± 100
x=
8
22 ± 10
x=
8
12
32
x=
eller x =
8
8
Løsning: x = 4
eller
x = 1,5
Din grafregner har også et program for løsning af 2.gradsligninger. Her
er forudsætningen, at du har bestemt værdierne for a, b og c i den ordnede 2.gradsligning, før du kan indtaste.
2.gradsligninger
Du får indtastningen på skærmbilledet på figur 2.14.
Figur 2.14
Løsningen får du på figur 2.15.
Figur 2.15
Opgave 48
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a) 3x2 + 5x + 2 = 0
b) 9x2 - 6x + 1 = 0
c) –8x2 + 8x – 3 = 0
Opgave 49
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a)
2-x x + 3
=
+6
x + 2 3-x
b)
8
8
= =6
2
x
x
c)
2x 2 - 6x + 16 2x + 4
=
x 2 + 5x - 2
x+4
Opgave 50
Summen af to tal er 27. Produktet af de samme to tal er 180.
Du skal bestemme de to tal.
71
72
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Opgave 51
Givet er et kvadrat. Du forlænger siderne med 3 cm. Herved bliver arealet 2,25 gange så stort som arealet af det oprindelige kvadrat.
Du skal bestemme sidelængden i det oprindelige kvadrat.
Opgave 52
Givet er et rektangel, som har en omkreds på 40 cm og et areal på 91 cm2.
Du skal bestemme længderne af rektanglets sider.
Kamuflerede 2.gradsligninger
Møder du ligninger som fx
ax8 + bx4+ c = 0
eller ax6 + bx3 + c = 0
eller ligninger med samme opbygning som den ordnede 2.gradsligning,
kan du starte med og løse dem som 2.gradsligninger, idet du sætter
z = x4 i den første ligning og på tilsvarende måde z = x3 i den anden
ligning.
Kombinationer
Du får et eksempel.
Eksempel 2.19
Du skal løse ligningen: x6 - 5x3 + 4 = 0
Du sætter z = x3 og får så en ligning, der ser således ud:
z2 - 5z + 4 = 0
Du kan løse den på din grafregner og får:
z = 4 eller z = 1
Nu var z = x3, så du har:
x3 = 4
eller
x= 3 4
eller x = 3 1
x = 1,587 eller
x3 = 1
x=1
Opgave 53
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a) 2x4 - 26x2 + 72 = 0
b) 3x8 + 12x4 - 12 = 0
c) x6 - 41x3 + 400 = 0
Kombinationer
Du kan møde et ligningssystem, der består af en 1.gradsligning og en
2.gradsligning.
Fremgangsmåden vil i almindelighed være den, at du benytter ”indsættelses-metoden” og udtrykker en af de ubekendte i 1.gradsligningen
og derefter indsætter dette udtryk i 2.gradsligningen.
73
74
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Fremgangsmåden kan du bedst få illustreret ved et eksempel.
Eksempel 2.20
Du skal løse ligningerne:
(I): y + 2x - 10 = 0 (II): x² + y² = 25
Du løser ligning (I)med hensyn til y:
y = -2x + 10 og indsætter det i ligning (II):
x2 + (-2x + 10)2 = 25
x + 4x2 + 100 - 40x = 25
5x2 - 40x + 75 = 0
2
Ligningen løses ved hjælp af grafregneren. Det giver:
x=5
eller x = 3
som indsættes i ligning (I): y = -2x + 10
x = 5: y = -2 ⋅ 5 + 10 = 0
x = 3: y = -2 ⋅ 3 + 10 = 4
Løsning: x = 5 og
y=0
eller x = 3
og
y=4
Opgave 54
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a)
b)
c)
(I): 3x + 4y = 5
(I): 4x + 2y = 3
(I): 3x + 7y = 45
(II): 4x2 + y2 + 4xy - 12x - 6y + 5 = 0
(II): x2 + y2 - 3x + 4y - 10 = 0
(II): x2 + y2 - 12x - 16y + 71 = 0
Ligninger, hvor den ubekendte er under
rodtegn
Der er en regneregel, som du ikke er blevet præsenteret for endnu, men
den skal anvendes, når den ubekendte er under rodtegn. Reglen siger:
Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet.
Eksempel:
x =2
( x )2 = 2 2
x=4
Ligninger, hvor den ubekendte er under rodtegn
Reglen har imidlertid en ulempe, idet den kan ”trække” en falsk rod
med gennem ligningssystemet.
Du får et andet eksempel:
-2 = 2
Her er en ligning, der ikke stemmer, men hvis du benytter reglen, får du:
(-2)2 = 22
4=4
og så stemmer ligningen.
Når du arbejder med ligninger, hvor den ubekendte er under rodtegn,
får det ”at bestemme grundmængden” en ekstra dimension.
Det får du at se i de kommende eksempler.
Eksempel 2.21
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningen:
x-3 = 6.
Du skal bestemme grundmængden og ser på x - 3 .
Forudsætningen for, at du kan uddrage roden, er, at værdien under
rodtegnet er større end eller lig med 0.
Det må betyde, at x skal være større end eller lig med 3.
Du kan derfor beskrive din grundmængde således:
G = {x ∈ R |x ≥ 3}
Herefter skal du løse ligningen. Du kvadrerer på begge sider af lighedstegnet:
( x - 3 )2 = 6 2
x - 3 = 36
x = 39
Løsningen x = 39 kan godkendes, da den ligger inden for grundmængden.
Når du bestemmer grundmængde, er det ikke altid nok at se på de
enkelte rodtegn.
Du skal også se rodtegnene i forhold til de øvrige led i ligningen.
Det får du belyst i det næste eksempel.
Eksempel 2.22
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningen: x + 2 x - 3 = 6
Du skal bestemme grundmængden og ser først på x - 3 .
Her får du, at x skal være større end eller lig med 3.
75
76
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Hvad så med resten? - Det kan være svært at gennemskue, men du
kan isolere leddet med rodtegnet. Det giver:
2 x-3 = 6-x
Venstre-siden skal være større end eller lig med 0.
Det må indebære, at det skal højre-siden også være.
Ser du på højre-siden, vil værdier større end 6 give et negativt resultat.
Du kan derfor konkludere, at x-værdierne må ligge i intervallet 3 til
6. Du kan derfor beskrive grundmængden således:
G = {x ∈ R |3 ≤ x ≤ 6}
Så skal du løse ligningen. Du starter med at kvadrere:
( 2 x - 3 )2 = ( 6 - x )2
4 (x - 3) = 36 + x 2 - 12x
4x - 12 = x 2 - 12x + 36
0 = x 2 - 16x + 48
Du kan benytte grafregneren til at løse ligningen. Det giver:
x = 12
eller x = 4
Her kan kun x = 4 godkendes, da x = 12 ligger uden for grundmængden.
Opgave 55
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a)
x+2 = 4
b) x = 2 + x
c) 2 x + 5 = x + 2
Opgave 56
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a) 8x - 6 = 5 13x + 9
c)
2x - 5 = 5x + 1 - 3
b) 7 x - 4 = 3 12 - 7 x + 5x 2 Numeriske ligninger
Numeriske ligninger
Inden du skal i gang med løsningsprincipperne for numeriske ligninger, skal du have defineret begrebet numerisk værdi.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
x
Figur 2.16
Ser du på en tallinje (figur 2.16), er
den numeriske værdi af et tal lig med dets afstand fra 0-punktet.
Eksempler:
Den numeriske værdi af 2 er 2.
Den numeriske værdi af -3 er 3.
Symbolsk skriver du det således:
|2| = 2 og
|-3| = 3
Det var med udgangspunkt i givne tal.
Den numeriske værdi defineres på følgende måde:
a , når a ≥ 0 og
a = 
-a , når a < 0
Skal du løse en ligning, hvori der indgår en numerisk værdi, må du starte
med at definere den numeriske værdi, således at du kan få bestemt intervallerne inden for grundmængden.
Det får du belyst i et eksempel.
Eksempel 2.23
Du skal løse ligningen |x - 5| = 3x + 1
Du starter med at bestemme arbejdsintervallerne for |x - 5|:
 x - 5 når x - 5 ≥ 0 , dvs. når x ≥ 5
x - 5 = 
-(x - 5) når x - 5 < 0 , dvs. når x < 5
For overskuelighedens skyld kan du markere intervallerne på en tallinje
(se figur 2.17).
x−5
−(x − 5)
Figur 2.17
5
x
77
78
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du kan herefter løse ligningen inden for de givne intervaller.
1.interval: x < 5
-(x - 5) = 3x + 1
-x + 5 = 3x + 1
-1 + 5 = 3x + x
4 = 4x
x =1
Løsningen ligger inden for
intervallet
2.interval: x ≥ 5
x - 5 = 3x + 1
-1 - 5 = 3x - x
-6 = 2x
-3 = x
Løsningen ligger uden for
intervallet og kasseres.
Løsning: x = 1
Eksempel 2.24
Du skal løse ligningen: |x + 4| = |16 - 2x|
Du starter med at bestemme intervallerne for |x + 4| og |16 - 2x|.

x + 4 , når x + 4 ≥ 0 dvs. når x≥ − 4
x + 4 = 
 − (x + 4) , når x + 4 < 0 dvs. når x< − 4
 16 − 2x , når 16 − 2x ≥ 0 , dvs. når x≤ 8
16 − 2x = 
−(16 − 2x ) , når 16 − 2x < 0, dvs. når x>8
For overskuelighedens skyld kan du markere intervallerne på en tallinje
(Se figur 2.18).
Figur 2.18
Du kan herefter løse ligningen inden for de givne intervaller.
1.interval: x < - 4
2.interval: -4 < x ≤ 8
3.interval: x > 8
-(x + 4) = 16 - 2x
-x - 4 = 16 - 2x
x = 20
Løsningen ligger
uden for intervallet
og kasseres.
x + 4 = 16 - 2x
3x = 12
x= 4
Løsningen ligger inden
for intervallet.
x + 4 = -(16 - 2x)
x + 4 = -16 + 2x
x = 20
Løsningen ligger
inden for intervallet.
Løsning: x = 4 eller x = 20
Uligheder og ulighedstegn
Opgave 57
Du skal bestemme grundmængde og x i ligningerne:
a) |x - 5| = 0,5x + 2
b) |x + 3| = |x - 1|
c)
4-x
x-3
= 5x + 2
Uligheder og ulighedstegn
Du har tidligere stødt på ulighedstegn, men nu bliver du præsenteret
for dem alle. Der er i alt fire, og de ser sådan ud:
>
<
≥
≤
som læses ”større end”
som læses ”mindre end”
som læses ”større end eller lig med”
som læses ”mindre end eller lig med”
Tegnene “>” og “<” kaldes de stærke eller skarpe ulighedstegn, mens
tegnene “≥” og “≤” kaldes de svage ulighedstegn.
Tegnene kan benyttes på flere måder. Uligheden 5 > 3 kan fx også skrives som 3 < 5.
Regneregler for uligheder
Løsningsprincipperne afviger ikke meget fra det at løse ligninger, men
der et par undtagelser, og dem får du at se lidt senere.
Regnereglerne for uligheder er:
1)Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den
anden side ved at skifte fortegn.
2)Du må gange med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
3)Du må dividere med samme positive tal på begge sider af ulighedstegnet.
Som du kan se, er det nøjagtig de samme regler som for ligningsløsning
bortset fra, at regel 2) og 3) kun gælder for positive tal.
I de kommende eksempler vil der kun blive gjort rede for grundmængden, når den afviger fra R (de reelle tal).
79
80
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du får et eksempel.
Eksempel 2.25
Du skal løse uligheden: 5x - 3 > 2x + 6
Du benytter regnereglerne og får:
5x - 2x > 6 + 3
3x > 9
x>3
Løsningen kan også illustreres på en tallinje (figur 2.19), hvor den gule
linje markerer løsningen.
−4 −3 −2 −1
x
0
1
2
3
4
5
Figur 2.19
Bollen symboliserer, at 3-tallet ikke hører med til løsningen.
Modsat vil en udfyldt bolle symbolisere, at det pågældende tal hører
med til løsningen.
<<< Eksempel
Regneregler for uligheder
Som nævnt i starten var der et par undtagelser, og dem får du nu at se.
Prøv at se på uligheden:
-2 < -1
Ganger du med -1 på begge sider af ulighedstegnet, får du:
(-2)(-1) < (-1)(-1)
2<1
Som du kan se, går det ikke. Ganger du med et negativt tal, bliver uligheden falsk.
Du får derfor en regel, der siger, at ganger du med et negativt tal, skal
du vende ulighedstegnet.
Det kommer til at se således:
-2 < -1
(-2)(-1) > (-1)(-1)
2>1
Det samme gør sig gældende, når du dividerer med et negativt tal. Du
får derfor regnereglerne suppleret med:
4) Du må gange med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.
5) Du må dividere med samme negative tal på begge sider af ulighedstegnet, når du vender ulighedstegnet.
Eksempel 2.26
Du skal løse uligheden: 12x - 5 ≥ 17x + 45
De benytter regnereglerne og får:
12x - 17 x ≥ 45 + 5
-5x ≥ 50
x ≤ -10
Du kan illustrere løsningen på en tallinje som vist på figur 2.20.
x
−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7
Figur 2.20
81
82
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Opgave 58
Du skal løse følgende uligheder:
a) 4 + (7x + 5) < 9x - 2
b) 24x - 12 > 39x - (11x + 8)
c) (15x - 6) - 4x ≤ 2x - (5 + 6x)
Intervaller
Nu du arbejder med uligheder, vil løsninger fremkomme som områder
eller intervaller inden for de reelle tal.
Det vil derfor være praktisk at indføre navne og symboler for sådanne intervaller.
Du får nogle eksempler.
Du har en talmængde inden for de reelle tal, som er beliggende i et
interval mellem tallene b og a.
Denne talmængde kan du illustrere på en tallinje som vist på figur 2.21.
b
a
x
Figur 2.21
Der er to skrivemåder for dette interval. De ser sådan ud:
{x ∈ R | b < x < a} eller ]b;a[
Et interval, der ikke indeholder endepunkterne,
kalder du et åbent interval.
Har du et eksempel, hvor endepunkterne er med, kan du illustrere det
som vist på figur 2.22.
b
a
x
Figur 2.22
Skrivemåden er:
{x ∈ R | b ≤ x ≤ a} eller [b;a]
I den korte skriveform vender parenteserne indad. Det skal symbolisere, at endepunkterne tilhører intervallet.
Når endepunkterne er med, kalder du det et lukket interval.
Dobbeltuligheder
Møder du et interval, hvor kun det ene endepunkt er med, kalder du
det et halvåbent interval.
Møder du på et interval, som illustreret på figur 2.23, kalder du det et
ubegrænset interval.
x
a
Figur 2.23
Skrivemåden er:
{x ∈ R |x > a}
eller
]a;∞[
I den korte skrivemåde er tegnet ∞ symbol for uendelig. Parentesen
vender udad for at symbolisere, at intervallet strækker sig ubegrænset.
Opgave 59
Du skal på en tallinje illustrere følgende intervaller:
a) {x ∈ R |−5 < x < −1}
b) {x ∈ R |−3 ≤ x < 1}
c) {x ∈ R |x > −1}
Opgave 60
Du skal på en tallinje illustrere følgende intervaller:
a) [−2;∞[ b)
]−∞;−5] c) [-3;-2[
Dobbeltuligheder
Møder du en ulighed som
ax + b ≤ cx - d < x + e
der indeholder to ulighedstegn, der vender samme vej, kalder du den
for en dobbeltulighed.
En dobbeltulighed deler du i to uligheder, og med udgangspunkt i
eksemplet, bliver det
ax + b ≤ cx − d
og cx − d < x + e
Løsningen til en dobbeltulighed er de tal, der gør begge uligheder sande.
83
84
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Du får et eksempel.
Eksempel 2.27
Du skal løse uligheden: 2x + 3 ≤ 5x - 6 < x + 14
Du starter med at dele dobbeltuligheden i to dele og løser derefter de
to uligheder hver for sig:
Løsning L1:
Løsning L2:
2x + 3 ≤ 5x − 6
5x − 6 < x + 14
–3x ≤ −9
4x < 20
x≥3
x<5
Løsningen bliver de tal, der gør begge uligheder sande.
Du kan derfor skrive løsningen som:
{x ∈ R |3 ≤ x < 5}
Du kan illustrere løsningen som vist på figur 2.24.
L1
L2
L
3
5
x
Figur 2.24
Opgave 61
Du skal løse følgende dobbeltuligheder:
a) 10x - 20 < 20x + 16 < 30x - 10
b) 6x + 7 ≥ 4x - 10 > 9x - 25
c) 14 - 4x < 2 - 2x ≤ 4x - 2
Fortegnsbestemmelse
Møder du uligheder, der fx indeholder brøker, er det en fordel, at du
udfører en fortegnsbestemmelse af det givne udtryk, da du kan aflæse
løsningen af fortegnsbestemmelsen.
Forestil dig, at du har en brøk
a
b
Fortegnsbestemmelse
Du skal på en tallinje markere, for hvilke tal brøken er positiv, og for
hvilke tal brøken er negativ.
Du har derfor behov for at bestemme ”overgangspunkterne” på tallinjen, dvs., hvilke tal gør brøken lig med 0, og endvidere for hvilke tal er
brøken ikke defineret.
Du har, at brøken er lig med 0, når tælleren er lig med 0, - du skal derfor
sætte a = 0.
Du har også, at brøken ikke er defineret, når brøkens nævner er lig med
0, - du skal derfor sætte b = 0.
Du får på denne måde nogle tal, som du kan afsætte på tallinjen. Tallinjen bliver på denne måde inddelt i nogle intervaller, og for hvert interval skal du afgøre, om brøken er positiv, eller om den er negativ.
Du har, at en brøk er positiv, når tæller og nævner har samme fortegn.
Du har også, at en brøk er negativ, når tæller og nævner har modsat
fortegn.
Som du kan se, er der mange ting, du skal have styr på, når du udføre en fortegnsbestemmelse.
Du får det uddybet og illustreret i de kommende eksempler.
Eksempel 2.28
Du skal løse uligheden:
x-5
>0
x -1
Du starter med at bestemme grundmængden, og da nævneren bliver 0
for x = 1, har du:
{x ∈ R |x ≠ 1}
Så skal du i gang med fortegnsbestemmelsen.
Ser du på brøkens tæller x - 5, har du, at den bliver 0 for x = 5.
Fra grundmængden har du, at brøken ikke er defineret for x = 1.
Dermed har du inddelingen på tallinjen (figur 2.25).
+
–
1
5
x
Figur 2.25
Som du kan se på tallinjen, er der tre intervaller, og du ser på dem hver
for sig.
85
86
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Når x > 5:
Se på brøken og indsæt et tal, der er større end 5.
Både tæller og nævner vil være positiv.
Dermed bliver brøkens fortegn positivt i dette interval.
Når 1 < x < 5:
Se igen på brøken og indsæt et tal, der ligger mellem 1 og 5.
Du får da, at tælleren bliver negativ, mens nævneren bliver positiv.
Resultatet bliver så, at brøken bliver negativ i dette interval.
Når x < 1:
Så er der det sidste interval. Se igen på brøken og indsæt et tal, der
er mindre end 1. Du får, at tælleren bliver negativ, og det bliver
nævneren også.
Resultatet bliver, at brøken bliver positiv i dette interval.
På baggrund af disse betragtninger får fortegnsbestemmelsen udseende som vist på figur 2.25, og du kan vende tilbage til uligheden. Du skal
bestemme, hvilke tal der gør brøken større end 0, eller sagt på en anden
måde, hvilke tal gør brøken positiv.
Det kan du aflæse af fortegnsbestemmelsen, og du kan herefter beskrive løsningen således:
L = ]-∞ ; 1[
eller ]5 ; ∞[
Eksempel 2.29
Du skal løse uligheden
x-5
≥3
x -1
Du får umiddelbart, at grundmængden: G = {x ∈ R |x ≠ 1}
Så skal du i gang med at løse uligheden, og du vil sikkert føle dig fristet
til at gange med (x - 1) på begge sider af ulighedstegnet.
Hvis værdien af (x - 1) er negativ, skal du vende ulighedstegnet, og
dermed kommer du til at gennemføre to beregninger, nemlig en under
forudsætning af, at (x - 1) er negativ, og en anden under forudsætning
af, at (x - 1) er positiv.
Det er derfor nemmere at benytte en anden fremgangsmåde. Du flytter
3-tallet over på den anden side af ulighedstegnet, sætter 3-tallet på en fælles brøk og foretager derefter en fortegnsbestemmelse af den ”nye” brøk.
Fortegnsbestemmelse
Regningerne kommer til at se således ud:
x−5
−3 ≥ 0
x −1
x − 5 − 3(x − 1)
≥0
x −1
x − 5 − 3x + 3
≥0
x −1
−2x − 2
≥0
x −1
−2(x + 1)
≥0
x −1
Nu kan du gå i gang med fortegnsbestemmelsen.
Tælleren bliver 0, når x = -1, og fra grundmængden har du, at brøken ikke er defineret for x = 1.
+
–
−1
1
x
Figur 2.26
Dermed
Når x >har
1: du de intervaller, som tallinjen kan inddeles i (figur 2.26).
Se på brøken og indsæt et tal, der er større end 1.
Tælleren bliver negativ, og nævneren bliver positiv, og dermed
bliver brøkens fortegn negativt i dette interval.
Når -1 < x < 1:
Se igen på brøken og indsæt et tal, der ligger mellem -1 og +1.
Du får da, at tælleren bliver negativ, og det bliver nævneren også.
Resultatet bliver så, at brøken bliver positiv i dette interval.
Når x < -1:
Så er det sidste interval. Se igen på brøken og indsæt et tal, der er
mindre end -1. Du får, at tælleren bliver positiv, og nævneren bliver
negativ. Resultatet bliver, at brøken bliver negativ i dette interval.
På baggrund af disse betragtninger, får fortegnsbestemmelsen udseende som vist på figur 2.26, og du kan vende tilbage til uligheden. Du skal
bestemme, hvilke tal der gør brøken større end eller med 0.
Det kan du aflæse af fortegnsbestemmelsen, og du kan herefter beskrive løsningen således:
L = [-1 ; 1[
87
88
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Opgave 62
Du skal løse følgende uligheder:
a)
x-3
<0
x+5
b)
5x - 25
≥2
10 + 4x
c)
x -1
<4
2x + 5
Problemopgaver
Opgave 63
På en vej møder du en advarselstavle som vist på figur 2.27.
8%
Figur 2.27
Vejstykket fremad fra skiltet er i alt på 660 meter.
Du skal bestemme vejens samlede stigning i meter.
Problemopgaver
Opgave 64
Figur 2.28 viser et udstykningsareal med kloakledninger. På kloakledningerne er placeret en række brønde, som er markeret med små cirkler.
40 m
6
40 m
40 m
6a
6b
6c
4a
4b
4c
2a
2b
2c
35 m
5
35 m
4
35 m
3
35 m
2
40 m
1
Figur 2.28
Brønd ”1” er samlested for de øvrige brønde, og bundkoten for brønd
”1” er derfor lavest.
Givet er følgende:
Bundkoten for brønd ”1” er 14,880 og for brønd ”6” 16,930. Alle
strækninger mellem brønd ”1” og brønd ”6” har samme fald.
Faldet på sideledningerne er 7 ‰.
Du skal bestemme:
a) Faldet i ‰ mellem brønd ”1” og brønd ”6”.
b) Bundkoterne på brøndene ”2”, ”3”, ”4” og ”5”.
c) Bundkoterne på brøndene på sideledningerne ”2a”, ”2b”, ”2c”,
”4a”, ”4b”, ”4c”, ”6a”, ”6b” og ”6c”.
89
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
Opgave 65
Givet er et rektangel med længde L og højde H.
Hvis du lægger 8 cm til længden L og 10 cm til højden H, får du et areal,
der bliver 464 cm² større end det oprindelige areal.
Hvis du derimod lægger 10 cm til længden L og 8 cm til højden H, får
du et areal, der bliver 452 cm² større end det oprindelige areal.
Du skal bestemme længden L og højden H af det oprindelige areal.
Opgave 66
En 78 cm lang metaltråd kan bukkes i facon, således at der kan fremkomme een af de to viste figurer på figur 2.29.
y
2y
x
3x
3x
3y
x
y
90
2x
2x
Figur 2.29
a) Du skal opstille et par ligninger med x og y ud fra de to figurer.
b) Du skal løse ligningerne og bestemme værdierne af x og y.
c) Du skal bestemme arealet af hver af de to figurer, metaltråden begrænser.
Resumé 2. kapitel
Resumé 2. kapitel
Regneregler for løsning af ligninger:
-Du må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden
ved at skifte fortegn på leddet.
-Du må gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet - dog
ikke med 0.
-Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal dog ikke med 0.
Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis mindst en af faktorerne er 0.
a⋅b=0
a = 0 eller b = 0
-Består ligningen af en brøk på hver side af lighedstegnet, kaldes
ligningen en proportion. I en proportion må du gange over kors.
a c
=
b d
ad = bc
- Du må kvadrere på begge sider af lighedstegnet.
2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden
a1x - b1y = c1
a2x - b2y = c2
D=
a1 b1
= a1 b2 - a 2 b1
a 2 b2
Dy =
a1 c 1
= a1 c 2 - a 2 c 1
a2 c2
Dx =
c1 b1
= c1 b2 - c 2 b1
c 2 b2
x=
Dx
D
og
y=
2.gradsligningen
ax2 + bx + c = 0
Dy
D
91
92
Teknisk matematik · LIGNINGER OG ULIGHEDER
har følgende løsningsformel
x=
-b ± b2 - 4ac
2a
d = b2 - 4ac
Hvis d = 0, har 2.gradsligningen en rod.
Hvis d > 0, har 2.gradsligningen to rødder.
Hvis d < 0, har 2.gradsligningen ingen rødder.
Numerisk værdi
a=
{-aa,,nnåårr aa≥<00
Regneregler for uligheder:
-Du må flytte et led fra den ene side af ulighedstegnet til den anden
side ved at skifte fortegn.
-Du må gange med samme positive tal på begge sider af uligheds­
tegnet.
-Du må dividere med samme positive tal på begge sider af uligheds­
tegnet.
-Du må gange med samme negative tal på begge sider af uligheds­
tegnet, når du vender ulighedstegnet.
-Du må dividere med samme negative tal på begge sider af uligheds­
tegnet, når du vender ulighedstegnet.
93
GEOMETRI
3
Grundelementer
c
a
b
Figur 3.01
En kasse som vist på figur 3.01 har tre dimensioner. Du kan måle bredden a, længden b og højden c.
Møder du et emne med tre dimensioner, kalder du det et legeme.
Kassen begrænses af 6 sider, og ser du på en enkelt side, har den to
dimensioner, nemlig en bredde og en længde.
En afbildning med to dimensioner kalder du en flade.
Grænsen mellem kassens sider er kanter, og som du ser, har en kant
kun en dimension, nemlig en længde.
En afbildning med en dimension kalder du en linje.
94
Teknisk matematik · GEOMETRI
Skæringen mellem de enkelte kanter giver hjørnepunkterne.
Et punkt har ingen dimension og heller ingen udstrækning.
Grundelementerne i geometrien er netop legemer, flader, linjer og
punkter, og du vil i de kommende afsnit blive præsenteret for de regler,
der knytter sig til de enkelte elementer.
Punkter
Du markerer et punkt ved hjælp af kryds og benævner punkter med
store bogstaver. Se eksempler som vist på figur 3.02.
R
A
Q
S
Figur 3.02
Linjer
Linjer
Du benævner en ret linje med et lille bogstav eller ved hjælp af to punkter på linjen. Se eksempler som vist på figur 3.03.
m
M
N
Figur 3.03
Du benævner et linjestykke med et lille bogstav eller ved hjælp af de to
endepunkter. Se eksempler som vist på figur 3.04.
a
C
D
Figur 3.04
Er længden på linjestykket 5, skriver du det således:
|CD| = 5
Vinkler
Har du to linjer, der er drejet i forhold til hinanden, fremkommer en
vinkel som vist på figur 3.05.
venstre ben
højre ben
Figur 3.05
Skæringspunktet mellem de to linjer kalder du vinklens toppunkt.
Stiller du dig i dette punkt og ser ud i vinkelrummet (det farvede område), får du vinklens højre ben og vinklens venstre ben.
Du kan benævne vinkler på tre forskellige måder.
Figur 3.06: Ved hjælp af toppunktet - vinkel A.
A
Figur 3.06
Figur 3.07: Ved hjælp af et lille bogstav - vinkel v.
v
Figur 3.07
95
96
Teknisk matematik · GEOMETRI
Figur 3.08: Ved hjælp af tre bogstaver - vinkel RST, hvor S er toppunktet.
T
S
R
Figur 3.08
Du måler oftest vinkler i grader (betegnelse:°)
Forestil dig, at du drejer en vinkels venstre ben en hel omgang, således
at venstre ben dækker højre ben (se figur 3.09).
360°
Figur 3.09
Den vinkel, du får ved denne drejning, er 360°.
Drejer du venstre ben en halv omgang, får du en vinkel på 180° (se figur
3.10).
180°
Figur 3.10
Drejer du venstre ben en kvart omgang, får du en vinkel på 90°, som
også kaldes en ret vinkel (se figur 3.11).
90°
Figur 3.11
Når du afsætter vinkler, benytter du en vinkelmåler.
En vinkel mindre end 90° kalder du en spids vinkel (se figur 3.12).
v < 90°
Figur 3.12
Vinkler
En vinkel, der er større end 90°, men mindre end 180°, kalder du en
stump vinkel (se figur 3.13).
90° < v < 180°
Figur 3.13
Du får også nogle navne og sammenhænge, når der er flere vinkler.
Har du to vinkler, der tilsammen er 90°, er de komplementvinkler.
Med betegnelserne på figur 3.14 får du: v + u = 90°.
v
u
Figur 3.14
Har du to vinkler, der tilsammen er 180°, er de supplementvinkler.
Med betegnelserne på figur 3.15 får du: v + u = 180°
v
u
Figur 3.15
Har du to linjer, der skærer hinanden, danner de fire vinkler.
Vinkler, der ligger over for hinanden, er lige store.
Med betegnelserne på figur 3.16, får du: u = v og
z
u
v
y
Figur 3.16
z = y.
97
98
Teknisk matematik · GEOMETRI
Normaler
Du har givet to linjer, m og n. Vinklen mellem de to linjer er 90° (se figur
3.17).
n
Tegn for
vinkelrethed
m
Figur 3.17
Det udtrykker du på den måde, at linjen n er normal til m.
Du kan også møde udtrykket en midtnormal.
Du har et linjestykke AB. Du halverer linjestykket AB og får midtpunktet M.
Gennem M tegnes en normal til AB (se figur 3.18).
A
B
M
Figur 3.18
Denne normal kalder du en midtnormal.
Parallelle linjer
Møder du to rette linjer, der overalt har samme afstand, er de parallelle
(se figur 3.19).
a
Figur 3.19
a
Cirklen
Møder du en linje, der skærer to parallelle linjer,
kalder du den en transversallinje (figur 3.20).
y
u
z
x
Figur 3.20
Ser du på vinklerne, får du:
x = y og
z=u
Da vinklerne samtidig er topvinkler, får du:
x=y=z=u
Cirklen
Cirklen er en af de vigtigste grundelementer i geometrien, og den indgår i mange sammenhænge.
99
100
Teknisk matematik · GEOMETRI
Du skal derfor stifte bekendtskab med linjer, cirkelbuer, flader og vinkler, og hvordan deres geometriske egenskaber er i forbindelse med cirklen. Du har figur 3.21.
t
R
D
b
K
Figur 3.21
b
Her er:
t
R:Radius er længden fra
centrum til et punkt på cirklen.
D:Diameter = 2R. Diameteren går gennem centrum og forbinder
R cirklen.
to punkter på
D
K:Korde.
- En korde er et linjestykke, der forbinder to punkter på
cirklen.
b: Cirkelbue. - En cirkelbue er en del af cirklens omkreds.
K
t:Tangent. - En tangent er en linje, der rører cirklen i et punkt.
Tangenten står vinkelret på radius i røringspunktet.
Figur 3.21
Denne egenskab skal du bemærke dig, da nøglen til løsning af
mange opgaver netop tager udgangspunkt i denne sammenhæng.
Selve kurven for cirklen benævnes cirkelperiferien.
På figur 3.22 får du navne på flader i cirklen:
a
b
Figur 3.22
Her er:
”a”: Cirkeludsnit - et cirkeludsnit er en flade, der begrænses af en
cirkelbue og to radier.
”b”: Cirkelafsnit - et cirkelafsnit er en flade, der begrænses af en
cirkelbue og en korde.
I forbindelse med cirklen indgår også en del vinkler.
Cirklen
På figur 3.23 har du:
a: Centervinkel - en centervinkel har toppunkt i centrum.
b: Periferivinkel - en periferivinkel har toppunkt på cirklens periferi.
b
a
Figur 3.23
Har du en periferivinkel og en centervinkel, der spænder over samme
cirkelbue, som det er tilfældet på figur 3.23, er centervinklen dobbelt så
stor som periferivinklen, altså:
a = 2b
På figur 3.24 har du et eksempel med en centervinkel på 180°. Her bliver periferivinklen så 90°.
18
90
0°
°
Figur 3.24
På figur 3.25 har du en korde-tangentvinkel.
a
b
Figur 3.25
En korde-tangentvinkel har toppunkt på cirklens periferi. Vinklens ene
ben er korde i cirklen, og det andet er tangent til cirklen.
101
102
Teknisk matematik · GEOMETRI
Måltallet for en korde-tangentvinkel er det halve af den cirkelbue, den
spænder over, altså
a=
1
b
2
Endelig har du på figur 3.26 en tangentvinkel.
a
b
Figur 3.26
En tangentvinkel har sit toppunkt uden for cirklen. Begge vinklens ben
er tangenter til cirklen og er lige lange.
Tangentvinklen er supplementvinkel til den mindste af de to cirkelbuer, som cirklen deles i. Med benævnelserne på figur 3.26, får du:
a = 180° - b
I mange konstruktionssammenhænge vil du møde to cirkler.
Du får her en kort oversigt.
På figur 3.27 har du to cirkler med samme centrum. Sådanne cirkler
kaldes koncentriske.
Figur 3.27
Cirklen
På figur 3.28 har du centrene forskudt, og cirklerne kaldes excentriske.
Figur 3.28
På figur 3.29 har du også centrene forskudt, men cirklerne rører hinanden.
Et sådant ”billede” kan du møde ved indvendig fortanding af tandhjul.
Figur 3.29
På figur 3.30 skærer de to cirkler hinanden. Et sådant ”øjebliksbillede”
kan du møde, når en rundsav skærer i et rundt formet materiale.
Figur 3.30
På figur 3.31 rører de to cirkler hinanden, og en sådan situation kan du
møde, når du har to tandhjul i indgreb med hinanden.
Figur 3.31
Endelig har du figur 3.32, hvor de to cirkler er flyttet væk fra hinanden. Dette ”billede” kan du møde ved forskellige former for kæde- og remtræk.
Figur 3.32
103
104
Teknisk matematik · GEOMETRI
Opgave 67
Du skal finde måltallene for henholdsvis komplement- og supplementvinkler til følgende vinkler:
a) A = 25°
b) B = 66°
c) C = 82°
d) D = 110°
Opgave 68
Du skal bestemme, hvor mange grader den lille, henholdsvis den store
viser på dit ur bevæger sig i løbet af 1 minut.
Opgave 69
Du skal bestemme, hvilken vinkel den lille og den store viser på dit ur
danner med hinanden, når klokken er:
a) 9.00
b) 17.00
c) 21.40
Opgave 70
To tandhjul i indgreb med hinanden har henholdsvis 12 og 36 tænder.
Du skal bestemme den centervinkel, som det store tandhjul drejer,
når det lille tandhjul drejer en omgang.
Opgave 71
To punkter på en cirkels periferi deler denne i to cirkelbuer i forholdet 1:8.
Du skal bestemme den mindste vinkel mellem radierne til de to
punkter.
Opgave 72
Du skal tegne en cirkel med radius 4 cm. Afsæt på periferien punkterne A,
B og C, således at buen AB = 100°, buen BC = 135° og buen AC = 125°.
Du skal bestemme måltallene for vinklerne i trekant ABC.
Grundkonstruktioner
Grundkonstruktioner
Når du skal i gang med at tegne og konstruere geometriske figurer, kan
du benytte redskaber som blyant, lineal, trekant, vinkelmåler og passer.
Der er imidlertid nogle grundkonstruktioner, hvor du kan nøjes
med blyant, lineal og passer. Dem bliver du præsenteret for i det følgende. Den første er:
Hvordan oprejser du en normal?
Givet er en linje og et punkt D på linjen (figur 3.33).
C
A
B
D
Figur 3.33
Fremgangsmåden er:
1. Med D som centrum og med en vilkårlig radius r tegner du en cirkelbue, som skærer linjen i A og B.
2. Med centrum i henholdsvis A og B og med radius r1 > r tegner du to
cirkelbuer, der skærer hinanden i punkt C.
3. Linjen gennem C og D er normal til den givne linje.
Den anden er:
Hvordan flytter du en vinkel?
Givet er en vinkel A (figur 3.34), som skal flyttes, således at toppunktet
kommer til at ligge i punkt P og med højre ben i retningen PS.
R
D
A
C
P
Q
S
Figur 3.34
Fremgangsmåden er:
1. Med A som centrum tegner du en cirkelbue, der skærer vinkel A’s
ben i henholdsvis C og D.
2. Med P som centrum tegner du en cirkelbue med samme radius som
før.
3. Med passeren måler du afstanden CD. Denne afstand benytter du
som radius, og med centrum i Q afsætter du en cirkelbue, der skærer vinkel P’s venstre ben i R.
4. Du kan forbinde P og R, og du har den flyttede vinkel QPR.
105
106
Teknisk matematik · GEOMETRI
Den tredje grundkonstruktion er:
Hvordan halverer du en vinkel?
Givet er en vinkel med toppunkt A (figur 3.35).
B
D
A
C
Figur 3.35
Fremgangsmåden er:
1. Med A som centrum og en vilkårlig radius tegner du en cirkelbue,
der skærer vinkel A’s ben i B og C.
2. Med henholdsvis B og C som centrum tegner du to cirkelbuer, der
skærer hinanden i D.
3. Du kan forbinde A og D, og du har linjen AD som vinkel A’s vinkelhalveringslinje.
Grundkonstruktioner
Den fjerde grundkonstruktion er:
Hvordan afsætter du en vinkel på 60°?
Givet er en linje n med et punkt A (figur 3.36).
C
A
n
B
Figur 3.36
Fremgangsmåden er:
1. Med A som centrum og en vilkårlig radius tegner du en cirkelbue,
der skærer linjen n i B.
2. Med B som centrum og samme radius tegner du en cirkelbue, der
skærer den først tegnede cirkelbue i C.
3. Du kan forbinde A og C, og vinklen BAC er 60°.
Den femte grundlæggende konstruktion er:
Hvordan konstruerer du en linje gennem et punkt, der er parallel med
en given linje?
Givet er en linje n og et punkt A (figur 3.37).
m
A
B
n
Figur 3.37
Fremgangsmåden er:
1. Gennem A tegner du en vilkårlig linje m, der skærer n i B.
2. Du flytter vinkel B til A, således at vinkel A’s venstre ben er sammenfaldende med m.
3. Du har nu, at vinkel A’s højre ben er den søgte linje.
107
108
Teknisk matematik · GEOMETRI
Den sjette konstruktion er:
Hvordan konstruerer du en linje parallel med en given linje i afstanden a?
Givet er en linje n og et linjestykke a (figur 3.38).
B
A
n
a
Figur 3.38
Fremgangsmåden er:
1. Du afsætter to vilkårlige punkter A og B på n.
2. Med henholdsvis A og B som centrum og radius lig med a tegner du
to cirkelbuer.
3. Du tegner tangenten til de to cirkelbuer. Denne vil være parallel med
n og har afstanden a til linjen n.
Den syvende og sidste grundkonstruktion er:
Hvordan deler du et linjestykke i lige store dele?
Givet er et linjestykke AB, som du skal dele i 5 lige store stykker (figur
3.39).
C1
A
D1
E1
F1
B
C
D
E
F
G
Figur 3.39
Fremgangsmåden er:
1. Med A som centrum afsætter du en vinkel på 40° - 45°.
2. Ud ad vinkel A’s højre ben afsætter du 5 lige store stykker. Punkterne kalder du C, D, E, F og G.
3. Du forbinder punkterne B og G.
4. Gennem C, D, E, og F konstruerer du linjer parallelle med BG. Skæringspunkterne med AB kalder du C1, D1, E1 og F1.
5. Du har på denne måde fået delt AB i 5 lige store stykker, og du kan
anvende metoden på en vilkårlig deling.
Grundkonstruktioner
Opgave 73
Givet er: a) A = 34°
b) B = 136°
Du skal konstruere de to vinklers vinkelhalveringslinje.
Opgave 74
Tegn en cirkel med diameter 6 cm. Afsæt i cirklen en korde AB = 4 cm.
a) Du skal konstruere AB’s midtnormal.
b) Igennem punkterne A og B skal du konstruere tangenter til cirklen.
Opgave 75
Der skal fremstilles en pakning til en flange. En opmåling giver pakningens dimensioner, som er vist på figur 3.40.
6 stk. ø 0,6 cm i 60° deling
m
3c
5 cm
8 cm
Figur 3.40
Du skal udføre den geometriske konstruktion af pakningen.
109
110
Teknisk matematik · GEOMETRI
Trekanten
Trekanter indgår i mange konstruktioner som vigtige elementer. Du
kan møde dem i gitterkonstruktioner som fx spærfag og højspændingsmaster, og du vil i de kommende afsnit blive præsenteret for trekanter
med mange forskellige geometriske egenskaber.
Du skal starte med at se, hvordan du kan benævne sider og vinkler i
trekanter.
Du har en trekant med vinkelspidser A, B og C som vist på figur 3.41.
B
a
c
A
b
C
Figur 3.41
Siden over for vinkel A kalder du a, siden over for vinkel B kalder du b
og siden over for vinkel C kalder du c.
Der er andre navne, du også skal have styr på.
Forestil dig, at du står i punkt A og ser ud mod trekantens sider.
Siden a kalder du vinkel A’s modstående side.
Siderne b og c kalder du vinkel A’s hosliggende sider.
Trekantens sider og vinkler kalder du tilsammen trekantens stykker.
Vinkelsummen i en trekant
Vinkelsummen i en trekant
Givet er en vilkårlig trekant med vinkelspidser A, B og C som vist på
figur 3.42.
x
C
y
A
Figur 3.42
B
Du vil nu få at se, at vinkelsummen i en trekant er 180°.
Det kan vises på den måde, at du parallelt med AB tegner en linje gennem C. Vinklerne x og y benævnes som vist.
Med udgangspunkt i figuren har du:
C + x + y = 180°
Endvidere har du, at vinkel x = A og vinkel y = B.
(Hvis du er i tvivl, så se i afsnittet ”Parallelle linjer”).
Indsætter du værdierne for x og y, får du:
C + A + B = 180°
og dermed har du, at:
Vinkelsummen i en trekant er 180°.
Forskellige trekanter
Trekanter kan være sammensat på mange forskellige måder. De geometriske egenskaber, der er knyttet til den enkelte type, får du beskrevet i
det følgende.
På figur 3.43 har du en trekant, hvor alle vinkler er spidse.
B
A
C
Figur 3.43
En sådan trekant kalder du en spidsvinklet trekant.
111
112
Teknisk matematik · GEOMETRI
På figur 3.44 har du en trekant, hvor en af vinklerne er stump.
B
C
A
Figur 3.44
En sådan trekant kalder du en stumpvinklet trekant.
På figur 3.45 har du en trekant, hvor to af siderne er lige lange. En
sådan trekant kalder du en ligebenet trekant.
B
C
A
Figur 3.45
I en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinjen AC lige store, altså
A = C.
Vinkel B kalder du topvinklen.
På figur 3.46 har du en trekant, hvor alle siderne er lige lange. En sådan
trekant kalder du en ligesidet trekant.
A
B
C
Figur 3.46
I en ligesidet trekant er vinklerne lige store
A = B = C = 60°.
Forskellige trekanter
På figur 3.47 har du en trekant ABC, hvor en af vinklerne er 90°.
B
c
a
A
C
b
Figur 3.47
En sådan trekant kaldes en retvinklet trekant.
Den retvinklede trekant er nok den vigtigste af alle trekanter.
Den indgår i mange konstruktioner, og der er også specielle navne
og egenskaber knyttet til denne trekant.
Siden c, som er den længste side i trekanten, kalder du hypotenusen.
Siderne a og b kalder du kateter.
For en retvinklet trekant gælder Pythagoras’ læresætning:
Kvadratet på hypotenusen er lig med summen
af kateternes kvadrater.
I en ligning kan du udtrykke det på følgende måde:
c2 = a2 + b2
Rigtigheden af Pythagoras’ læresætning kan du få ved at betragte figur
3.48.
a
b
b
a
c
c
c
a
b
c
b
a
Figur 3.48
Du har et kvadrat med siden c, der er indlagt i et andet kvadrat, hvor
siden er a + b.
Arealet af det farvede kvadrat kan du beskrive ved:
Areal = c2
Du kan også udtrykke dette areal på en anden måde, nemlig som arealet af det store kvadrat minus arealet af de fire små retvinklede trekanter. Det kan du skrive således:
1
Areal = (a + b)2 – 4 · · a · b
2
Areal = a + b + 2ab - 2ab
Areal = a2 + b2
2
2
113
114
Teknisk matematik · GEOMETRI
Du har på den måde fået udtrykt arealet på to måder. Det må også betyde, at du kan sætte de to ”højre-sider” lig hinanden:
c 2 = a2 + b2
og du er tilbage ved Pythagoras’ læresætning.
c1
a1
b1
Figur 3.49
På figur 3.49 og figur 3.50 har du to ensvinklede trekanter.
c2
a2
b2
Figur 3.50
De to trekanter er sammentegnet som vist på figur 3.51.
c2
c1
a1
a2
b1
b2
Figur 3.51
For ensvinklede trekanter gælder, at forholdene mellem ensliggende
sider er lige store. Det kan du udtrykke i en ligning på denne måde:
a1
b
c
= 1 = 1
a2
b2 c 2
Opgave 76
Tegn en vilkårlig trekant med vinkelspidserne A, B og C.
a) Hvad hedder siden b’s hosliggende vinkler?
b) Hvad hedder vinkel C’s modstående side, og hvad hedder vinkel
C’s hosliggende sider?
Forskellige trekanter
Opgave 77
Givet er en ligebenet trekant, hvor grundlinjen er 50 cm, og højden er
68 cm.
Du skal beregne længden af benene.
Opgave 78
Givet er en trekant, hvor omkredsen er 5,8 m.
Endvidere er forholdet mellem siderne 2:3:4.
Du skal beregne længden af hver af siderne.
Opgave 79
Givet er en cirkel med radius 30 cm. I cirklen er der afsat en korde med
længde 20 cm.
Du skal beregne kordens afstand fra centrum.
Opgave 80
Givet er en trekant, hvor den ene vinkel er 16,2° og den anden vinkel
er 111,7°.
Du skal beregne størrelsen af den tredje vinkel.
Opgave 81
Givet er en ligebenet trekant, hvor topvinklen er 46°.
Du skal beregne størrelsen af vinklerne ved grundlinjen.
Opgave 82
Givet er en retvinklet trekant, hvor den ene af de spidse vinkler er 3
gange så stor som den anden.
Du skal bestemme størrelsen af de to vinkler.
Opgave 83
Givet er en trekant, hvor den ene vinkel er 3 gange så stor som den
anden, og denne er 40° større end den tredje.
Du skal bestemme størrelsen af de tre vinkler.
115
116
Teknisk matematik · GEOMETRI
Højder i en trekant og trekantens areal
En højde i en trekant er en linje, der udgår fra en vinkelspids og
står vinkelret på den modstående side eller dennes forlængelse.
B
c
ha
a
hc
hb
A
C
b
Figur 3.52
På figur 3.52 og figur 3.53 har du henholdsvis en spidsvinklet og en
stumpvinklet trekant. Alle trekanternes højder er vist indtegnet, og du
benævner dem som vist.
B
c
hb
a
hc
A
ha
b
C
Figur 3.53
Arealet af en trekant =
1
2
⋅ højde ⋅ grundlinje
Med benævnelserne på figur 3.52 og figur 3.53 kan du udtrykke arealet
således:
1
1
1
Areal =
⋅ ha ⋅ a =
⋅ hb ⋅ b = ⋅ hc ⋅ c
2
2
2
Medianer i en trekant
Medianer i en trekant
En median i en trekant er en linje, der forbinder en vinkelspids
med den modstående sides midtpunkt.
På figur 3.54 har du en trekant, hvor alle medianerne er indtegnet.
Medianerne benævner du som vist.
B
c
A
mb
O
D
ma
a
mc
b
C
Figur 3.54
Som du kan se, skærer medianerne skærer hinanden i samme punkt.
Dette punkt kaldes trekantens tyngdepunkt, og samtidig deler
punktet medianerne i forholdet 1:2.
Tager du fx medianen ma, gælder der derfor:
|DO| =
1
3
⋅ |DA|
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje,
der halverer en af trekantens vinkler.
På figur 3.55 har du en trekant, hvor alle vinkelhalveringslinjerne er
indtegnet.
B
VC
VA
A
VB
C
Figur 3.55
Som du kan se, har vinkelhalveringslinjerne den egenskab, at de skærer
hinanden i samme punkt.
Vinkelhalveringslinjerne benævnes som vist.
117
118
Teknisk matematik · GEOMETRI
Paralleltransversaler i en trekant
Givet er en trekant ABC som vist på figur 3.56.
B
M
N
A
Figur 3.56
C
På AB kan du afsætte et punkt M, og gennem M kan du tegne en linje
MN, der er parallel med AC.
Linjen MN kalder du en paralleltransversal i trekanten.
Du har nu to ensvinklede trekanter, nemlig trekant ABC og trekant
BMN.
For ensvinklede trekanter gælder, at forholdene mellem ensliggende
sider er lige store.
Denne regel kan du anvende. Herved får du følgende forhold for
paralleltransversaler:
MN BM BN
=
=
AC
BA
BC
Trekantens indskrevne og omskrevne cirkel
Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum
for trekantens indskrevne cirkel.
Radius i trekantens indskrevne cirkel kalder du r.
På figur 3.57 er vist en trekant med dens indskrevne cirkel.
r
Figur 3.57
Trekantkonstruktioner
På figur 3.58 vises en spidsvinklet (a) og en stumpvinklet (b) trekant
med hver deres omskrevne cirkler. Du skal bemærke, at centrum
for den omskrevne cirkel ligger uden for trekanten, når trekanten er
stumpvinklet.
R
R
Figur 3.58a
Figur 3.58b
Her er midtnormalernes skæringspunkt centrum for trekantens omskrevne cirkel. Radius i trekantens omskrevne cirkel kalder du R.
Trekantkonstruktioner
Når du skal til at konstruere, er der mange geometrielementer at holde
styr på. Du skal kunne skelne dem fra hinanden, og du skal kende de
egenskaber, der knytter sig til det enkelte geometrielement.
Du får et eksempel.
Eksempel 3.01
Du skal konstruere en trekant ABC, når der er givet:
AC = 5 cm, C = 35° og hb = 3 cm
Du tegner først en prøvefigur (figur 3.59), som hjælper dig til at få et
overblik over placeringen af trekantens stykker.
B
h b= 3 cm
A
35°
5 cm
C
Figur 3.59
Samtidig giver prøvefiguren dig også hjælp, når du skal planlægge
rækkefølgen i konstruktionsarbejdet.
119
120
Teknisk matematik · GEOMETRI
Du kan herefter gå i gang med konstruktionen (figur 3.60):
B
A
E
D
C
Figur 3.60
1. Du afsætter stykket AC = 5 cm.
2. Du afsætter vinkel C = 35°.
3. I et vilkårligt punkt D på AC oprejser du den vinkelrette.
4. Ud ad denne afsætter du 3 cm, som er lig længden af hb. Endepunktet kalder du E.
5. Gennem E tegner du en linje parallel med AC. Denne linje forlænger
du til skæring med vinkel C’s højre ben, og du har hermed bestemt
punkt B.
6. Du forbinder A og B, og du har konstrueret trekanten.
Opgave 84
Du skal konstruere en trekant ABC, når der er givet følgende:
a) A = 68°
b) B = 65°
c) B = 43°
AC = 4,4 cm
BC = 5 cm
BC = 7 cm
vA = 3,1 cm.
ha = 3 cm.
mc = 5,5 cm.
Opgave 85
Du skal konstruere en trekant ABC, når der er givet følgende:
a) R = 2,5 cm
b) r = 1 cm
c) A = 33°
AC = 4 cm
A = 50°
hb = 2,5 cm
ha = 3,5 cm.
AC = 4 cm.
vA = 3,5 cm.
Firkanter
Opgave 86
Tegn henholdsvis en stumpvinklet, spidsvinklet, retvinklet, ligebenet
og en ligesidet trekant.
For hver af trekanterne skal du konstruere den indskrevne og den
omskrevne cirkel.
Firkanter
Ligesom for trekanter findes der også forskellige typer firkanter. Du får
dem præsenteret i det følgende, men inden skal du se, hvordan du kan
benævne stykker i en firkant.
En firkant er en figur, der begrænses af fire sider (figur 3.61).
C
B
A
D
Figur 3.61
Vinklerne A og C samt vinklerne B og D kaldes modstående vinkler.
Siderne AB og CD samt siderne BC og AD kaldes modstående sider.
En diagonal er en linje, der forbinder to vinkelspidser.
I en firkant kan du tegne to diagonaler, nemlig AC og BD.
Vinkelsummen i en firkant er 360°.
121
122
Teknisk matematik · GEOMETRI
På figur 3.62 har du et kvadrat, som er en firkant, hvor alle vinkler er
rette, og alle sider er lige lange.
a
a
Figur 3.62
Arealet af et kvadrat er: A = a ⋅ a = a2
På figur 3.63 har du et rektangel, som er en firkant, hvor alle vinkler er
rette. Diagonalerne er lige lange og halverer hinanden.
a
b
Figur 3.63
Arealet af et rektangel er: A = a ⋅ b
På figur 3.64 har du en rombe, som er en firkant, hvor alle fire sider er
lige lange.
B
A
d1
C
d2
D
Figur 3.64
De modstående vinkler er lige store: A = C og B = D.
Diagonalerne halverer hinanden, står vinkelret på hinanden og halverer rombens vinkler.
1
Arealet af en rombe er: A =
⋅ d1 ⋅ d2
2
På figur 3.65 har du et parallellogram, som er en firkant, hvor de modstående sider er parallelle og lige lange: AB = CD og BC = AD.
B
C
h
A
Figur 3.65
g
D
Firkanter
De modstående vinkler er lige store: A = C og B = D.
Diagonalerne halverer hinanden.
Arealet af et parallellogram: A = g ⋅ h
På figur 3.66 har du et trapez, som er en firkant, hvor to sider er parallelle.
B
C
h
A
D
Figur 3.66
På figur 3.66 er de parallelle sider AD og BC. Arealet af et trapez er:
A = 1 ⋅ h ⋅ (AD + BC)
2
På figur 3.67 har du en indskrivelig firkant.
C
B
D
A
Figur 3.67
Her er de modstående vinkler supplementvinkler:
A + C = 180° og B + D = 180°.
På figur 3.68 har du en omskrivelig firkant.
C
B
D
A
Figur 3.68
Her er summen af det ene par modstående sider lig med summen af det
andet par modstående sider:
|AB| + |CD| = |BC| + |AD|
123
124
Teknisk matematik · GEOMETRI
Polygoner
Ordet polygon betyder mange-kant.
Figur 3.69
En polygon som vist på figur 3.69 kaldes konveks, mens figur 3.70 viser
en polygon, der kaldes konkav.
Figur 3.70
Du kommer hovedsageligt til kun at beskæftige dig med konvekse polygoner.
En vilkårlig n-kant kan inddeles i n - 2 trekanter. Da vinkelsummen
i en trekant er 180°, vil du kunne finde vinkelsummen i en vilkårlig
n-kant som:
Vinkelsum = (n – 2) ⋅ 180°
Polygoner
På figur 3.71 har du en regulær polygon, som er en n-kant med lige
store sider og lige store vinkler.
v
Figur 3.71
Alle regulære polygoner har en indskreven og en omskreven cirkel.
Forbinder du centrum med polygonens vinkelspidser, får du n ligebenede trekanter.
Centervinklen v kan du finde således:
360°
v=
n
Opgave 87
Du skal konstruere en rombe ABCD, når AC = 4 cm og BD = 6,6 cm.
Opgave 88
Du skal konstruere et trapez ABCD, når de parallelle sider er BC og AD,
B = 116°, AB = 3 cm, BC = 5,5 cm og BD = 4 cm.
Opgave 89
Du skal konstruere et parallellogram ABCD, når BD = 8 cm, CD = 3,4
cm og BC = 6,7 cm.
Opgave 90
Du skal konstruere en indskrivelig firkant ABCD, når B = 115°, C = 80°,
BC = 3,5 cm og R = 2,8 cm.
Problemopgaver
125
Teknisk matematik · GEOMETRI
Problemopgaver
Opgave 91
R
=
R = 71
47
Der skal fremstilles et håndtag, der er udformet og har mål i mm som
vist på figur 3.72.
16
ø20
32
ø40
ø26
R=8
ø16
126
157
Figur 3.72
ø-tegnet er symbol for diameter-mål.
Du skal udføre den geometriske konstruktion af håndtaget.
Opgave 92
Givet er et ur med time-, minut- og sekundviser.
På klokkeslættet 18.40.55 skal du bestemme:
a) Vinklen mellem minut- og timeviseren.
b) Vinklen mellem sekund- og minutviseren.
c) Vinklen mellem sekund- og timeviseren.
Problemopgaver
Opgave 93
Du har et T-formet emne, som er udformet som vist på figur 3.73. Målene er i mm.
74
15
15
14
Figur 3.73
Emnet skal stanses ud af en pladestrimmel som vist på figur 3.74.
1500
3
3
3
3
Figur 3.74
a) Du skal bestemme, hvor mange emner der kan stanses ud af en
plade­strimmel.
b) Du skal beregne udnyttelsesprocenten.
En anden mulighed for udstansning af emnet er vist på figur 3.75.
3
3
3
3
3
3
1500
Figur 3.75
c) Du skal bestemme, hvor mange emner der kan stanses ud af en
plade­strimmel for denne anden mulighed.
d) Du skal beregne udnyttelsesprocenten for denne anden mulighed.
127
Teknisk matematik · GEOMETRI
128
Resumé 3. kapitel
Retvinklet trekant:
I en retvinklet trekant er kvadratet
på hypotenusen lig med summen af
kateternes kvadrater.
a
c2 = a2 + b2
C
B
c
A
b
Ensvinklede trekanter
For ensvinklede trekanter gælder:
a1
b
c
= 1 = 1
a2
b2 c 2
c1
a1
c2
a2
b1
b2
Højder i en trekant
B
En højde i en trekant er en linje, der
udgår fra en vinkelspids og står
vinkelret på den modstående side eller
dennes forlængelse.
c
ha
a
hc
hb
A
C
b
Medianer i en trekant
En median i en trekant er en linje, der
forbinder en vinkelspids med den
modstående sides midtpunkt.
Medianerne går gennem samme punkt
og deler hinanden i forholdet 1:2.
B
c
A
mb
O
D
ma
a
mc
b
C
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
En vinkelhalveringslinje i en trekant er
en linje, der halverer en af trekantens
vinkler.
B
VC
VA
A
VB
C
Trekantens indskrevne cirkel
Vinkelhalveringslinjernes
skæringspunkt er centrum for
trekantens indskrevne cirkel.
r
Resumé 3. kapitel
129
Trekantens omskrevne cirkel
Midtnormalernes skæringspunkt er
centrum for trekantens omskrevne
cirkel.
R
Firkanter
Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er
rette, og alle sider lige lange. Areal = a2
a
a
Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler
er rette. Diagonalerne er lige lange og
halverer hinanden. Areal = a ⋅ b
a
b
Rombe: En firkant, hvor alle sider er
lige lange. De modstående vinkler
er lige store. Diagonalerne halverer
hinanden, står vinkelret på hinanden
og halverer rombens vinkler.
1
Areal = ⋅ d1 ⋅ d2
B
A
d1
C
d2
2
Parallellogram: En firkant, hvor de
modstående sider er parallelle og
lige lange. De modstående vinkler er
lige store, og diagonalerne halverer
hinanden.
Areal = g ⋅ h
D
B
C
h
A
Trapez: En firkant, hvor to sider er
paral­lelle.
1
Areal = ⋅ h ⋅ (BC + AD)
D
g
B
C
h
2
A
D
130
Teknisk matematik · GEOMETRI
131
TRIGONOMETRI
4
Koordinatsystemet
Læren om trigonometri er tæt knyttet til trekantsberegning, så hvor du i
kapitel 3 - ”Geometri” - konstruerede eller tegnede trekanter, vil du her få
mulighed for at kunne beregne manglende sider og vinkler i trekanter.
Inden du kan kaste dig ud i det, er der noget grundlæggende teori,
du skal have som baggrund.
Koordinatsystemet er udgangspunkt for teorien, og du har sikkert
arbejdet med det tidligere, men du får her en repetition.
To tallinjer, der står vinkelret på hinanden, danner basis for koordinatsystemet (figur 4.01).
4
2. kvadrant
3
1. kvadrant
2
1
− 4 −3 −2 −1
−1
3. kvadrant
−2
−3
−4
Figur 4.01
1
2
3
4
4. kvadrant
132
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Akserne skærer normalt hinanden gennem nul-punkterne, og dette
punkt kaldes origo.
Aksernes positive retninger vises ved pile. Den vandrette tallinje
kaldes for x-aksen eller abcisse-aksen og den lodrette for y-aksen eller
ordinat-aksen.
Du kan også møde navnene første-aksen for den vandrette tallinje
og anden-aksen for den lodrette.
Akserne deler papirets plan i fire dele, som kaldes for 1., 2., 3. og 4.
kvadrant.
Når du skal beskrive et punkt i koordinatsystemet, gør du det ved først
at angive den vandrette talværdi og derefter den lodrette.
Du får nogle eksempler.
y
4
A
3
B
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
C
−3
x
1
2
3
4
D
−4
Figur 4.02
På figur 4.02 er punktet A angivet ved:
x-værdi (abcisse-værdi) = 2 og y-værdi (ordinat-værdi) = 3
Skal du beskrive det, gør du det således:
A(x,y) = (2,3)
Tallene i parentesen kalder du koordinaterne til punkt A, og skrivemåden (2,3) kalder du et ordnet talpar.
På tilsvarende måde kan du beskrive punkterne B, C og D.
B(x,y) = (-5,2)
C(x,y) = (-3,-4)
D(x,y) = (1,-3)
Er koordinaterne til et punkt decimaltal, adskiller du koordinaterne
med et semikolon. Har du fx et punkt A med x-værdi 4,2 og y-værdi
6,8, skriver du
A(4,2;6,8)
Sinus og cosinus
Sinus og cosinus
I et koordinatsystem og med centrum i (0,0) tegnes en cirkel med radius
lig 1 (figur 4.03).
(0,1)
y
x
(−1,0)
(1,0)
(0, −1)
Figur 4.03
Det er en speciel cirkel, som har fået navnet enhedscirklen.
I første omgang skal du koncentrere dig om en del af denne enhedscirkel, nemlig den del, der er beliggende i 1. kvadrant (figur 4.04).
y
(0,1)
D
1
sin v
v
(0,0)
cos v
x
E
(1,0)
Figur 4.04
Du skal nu møde definitionerne på sinus og cosinus. Du kan afsætte en
vilkårlig vinkel v som vist.
Vinklens højre ben er sammenfaldende med x-aksen, og venstre ben
skærer enhedscirklen i punkt D.
Fra punkt D tegner du en linje vinkelret på x-aksen. Skæringspunktet
med x-aksen kaldes E.
En definition er en form for vedtægt, så du får nu sat navne på nogle
stykker i enhedscirklen.
Stykket DE kaldes for:
- sinus til vinkel v, som forkortes til sin v
Stykket fra punkt E til centrum (0,0) kaldes for:
- cosinus til vinkel v, som forkortes cos v.
133
134
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Talværdien til sinus til en vilkårlig vinkel kan du som vist måle ved
projektion af stykket DE på y-aksen, mens cosinus til en vilkårlig vinkel
måler du direkte på x-aksen.
Du får et eksempel.
I enhedscirklen kan du afsætte en vinkel v på 30° som vist på figur
4.05.
y
sin 30°
30°
x
cos 30°
Figur 4.05
På y-aksen kan du måle sinusværdien til 0,5, og på tilsvarende måde
kan du måle cosinusværdien på x-aksen til 0,87.
Disse tal kaldes også for funktionsværdier.
Skrivemåden er:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,87
Som du sikkert vil bemærke, er det noget besværligt, og også usikkert
med disse talværdier. Det er jo helt afhængig af, hvor nøjagtigt du tegner cirklen og afsætter vinklen. Endelig vil der også blive en usikkerhed, når du aflæser talværdierne for henholdsvis sinus og cosinus.
Det er heldigvis også gjort nemmere for dig.
Alle disse talværdier er indlagt på din grafregner, så hvis du prøver
at taste de ovennævnte værdier ind, vil du få:
sin 30° = 0,5
cos 30° = 0,866
Sinusværdien passede jo godt nok, men cosinusværdien afveg en lille
smule.
På din grafregner kan du aflæse flere cifre for cosinusværdiens vedkommende end dem, der er medtaget her. Tre cifre skønnes dog at være
tilstrækkeligt til langt de fleste typer opgaver, du kan komme ud for.
Opgave 94
a) Du skal tegne en enhedscirkel, således at enheden = 10 cm.
b) Du afsætter følgende vinkler i enhedscirklen:
v = 0° v = 15° v = 30° v = 45° v = 60° v = 75° v = 90°
Tangens
c) Du måler og aflæser samtlige vinklers sinus- og cosinus- værdi.
d) Du indtaster på din grafregner sinus og cosinus til samtlige vinkler
og sammenholder værdierne med de målte værdier.
e) Se på sinus-værdierne. Har sinus nogle karakteristiske egenskaber?
Prøv at beskrive dem.
f) Se på cosinus-værdierne. Har cosinus nogle karakteristiske egenskaber?
Prøv at beskrive dem.
g) Se på sinus- og cosinus-værdierne. Er der nogen sammenhænge?
Prøv at beskrive dem.
Tangens
Ud over sinus- og cosinus-funktionerne er der en tredje funktion, du
også skal kende.
Du får igen en del af enhedscirklen (figur 4.06), og du afsætter en
vinkel v som vist.
y
tan v
v
x
(1,0)
Figur 4.06
Fra punktet (1,0) tegner du en linje vinkelret ud fra x-aksen.
Denne linje forlænger du til skæring med vinkel v’s venstre ben.
Stykket fra skæringspunktet og ned til punktet (1,0) får navnet:
- tangens til vinkel v, som forkortes til tan v.
Opgave 95
a) Du benytter enhedscirklen fra opgave 94 og tegner en linje vinkelret
ud fra x-aksen fra punktet (1,0).
b) Du måler og aflæser samtlige vinklers tangens-værdier.
c) Du indtaster på din grafregner tangens til samtlige vinkler og sammenholder værdierne med de målte værdier.
d) Se på tangens-værdierne. Har tangens nogle karakteristiske egenskaber? Prøv at beskrive dem.
<<< Opgave
Du har nu set, hvordan du kan finde funktionsværdier for sinus, cosinus og tangens, når du kender en vinkel. Teorien har sit udgangspunkt
i enhedscirklen, men til brug i det daglige har du din grafregner.
135
136
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Du vil også komme ud for den omvendte opgave.
Du kender en funktionsværdi og skal bestemme, hvilken vinkel der
tilhører denne funktionsværdi.
Du får et eksempel.
Du skal bestemme vinkel v, når sin v = 0,8. Du har enhedscirklen (figur
4.07).
y
0,8
v
x
(1,0)
Figur 4.07
Funktionsværdien 0,8 kan du afsætte på y-aksen (sinus-værdierne blev
jo målt på y-aksen).
Du kan derefter tegne som vist, og vinkel v fremkommer.
Du kan måle størrelsen på vinkel v. Du får:
v = 53°
Det er besværligt, men her er der heldigvis også hjælp at hente på din
grafregner, idet alle disse værdier er indlagt.
Du skal benytte tasten sin-1, som er den omvendte funktionstast i
forhold til sinus.
Skrivemåden er:
v = sin-1 0,8
v = 53,13°
Opgave 96
a) Du skal tegne en enhedscirkel, således at enheden = 10 cm.
b) Du afsætter følgende funktionsværdier:
sin x = 0,13
cos y = 0,11
tan z = 2,4
c) Du skal ved måling bestemme vinklerne x, y og z.
d) Du skal kontrollere resultaterne ved at indtaste de tre funktionsværdier på din grafregner og bestemme vinklerne x, y og z.
Formler for den retvinklede trekant
Formler for den retvinklede trekant
For at kunne beregne sider og vinkler i retvinklede trekanter, er det
nødvendigt, at du har nogle beregningsformler.
Du får nu at se, hvordan du kan udlede disse formler.
Du har enhedscirklen (figur 4.08), hvor der ud over definitionerne på
sinus, cosinus og tangens også er indtegnet en retvinklet trekant ABC.
Formålet med udledningen er at få overført sinus, cosinus og tangens
til den vilkårlige retvinklede trekant.
y
B
c
1
A
a
sin A
tan A
x
(1,0)
cos A
C
b
Figur 4.08
Ser du nøjere på figur 4.08, ligger der tre ensvinklede trekanter, som alle
har vinkel A fælles.
Den mindste trekant ligger inde i enhedscirklen og indeholder stykkerne sin A, cos A og hypotenusen, der jo har længden 1.
Den næste trekant indeholder stykket tan A og det vandrette stykke,
som har længden 1.
Endelig er der den vilkårlige trekant ABC med siderne a, b og c.
For ensvinklede trekanter gælder, at forholdene mellem ensliggende
sider er lige store (se kapitel 3 - Geometri).
137
138
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Denne regel kan du benytte, og du ser først på den mindste trekant og
den største.
Du kan opstille følgende forhold:
sin A 1
=
a
c
Du kan løse ligningen med hensyn til sin A:
sin A =
a modstående katete
=
c
hypotenusen
Derefter kan du opstille et nyt forhold:
cos A 1
=
b
c
Du kan løse ligningen med hensyn til cos A:
cos A =
b hosliggende katete
=
c
hypotenusen
Som du kan se, er bogstavudtrykkene ”oversat” til navnene på de sider,
der indgår i formlen.
Senere vil du se, at det er mest praktisk at bruge navnene ”modstående katete”, ”hosliggende katete” og ”hypotenuse” frem for bogstaverne.
Nu ser du på den mellemste trekant og den største. Her kan du opstille
følgende forhold:
tan A 1
=
a
b
Du kan løse ligningen med hensyn til tan A:
tan A =
modstående katete
a
=
b hosliggende katete
Ud over disse formler kan du anvende Pythagoras’ læresætning:
c 2 = a2 + b2
Du kan nu samle dig en ”værktøjskasse” med alle formler for beregning af sider, vinkler og areal i retvinklede trekanter (figur 4.09).
B
c
a
h
A
Figur 4.09
b
A
C
c2 = a2 + b2
1
1
Areal = ⋅ h ⋅ c = ⋅ a ⋅ b
2
2
sin v =
cos v =
tan v =
Beregning af stykker i retvinklede trekanter
sin v =
modstående katete
hypotenusen
cos v =
hosliggende katete
hypotenusen
tan v =
modstående katete
hosliggende katete
Beregning af stykker i retvinklede trekanter
I en retvinklet trekant er een vinkel 90°.
Ser du på en sådan trekant (figur 4.10), indgår der i trekanten, ud over
vinklen på 90°, fem geometrielementer eller stykker.
Figur 4.10
Det er to vinkler og tre sider.
Kender du to af størrelserne, hvoraf den ene skal være en side, kan
du beregne de resterende.
Det får du at se i det kommende eksempel.
139
140
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Eksempel 4.01
I en retvinklet trekant ABC er givet:
C = 90°, a = 4,3 cm
og
b = 5,6 cm.
Du skal bestemme vinklerne A og B samt siden c.
Du kan tegne trekanten ud fra de givne oplysninger (figur 4.11).
B
c
A
a
C
b
Figur 4.11
Det er i øvrigt noget, du altid bør gøre. Det giver dig et godt overblik,
og du vil nemmere kunne overskue, hvordan du starter en beregning.
Der er flere muligheder, når du skal i gang med beregningerne. Du kan:
1) bestemme siden c ved hjælp af c2 = a2+ b2.
2) bestemme vinkel A. Fremgangsmåden er, at du forestiller dig, at du
står i punkt A og ser ud mod de sider, du kender.
Siden a vil være den modstående katete og b den hosliggende katete.
Ser du på formlerne i din ”værktøjskasse”, kan du se, at det er tan
A, du skal benytte.
3) bestemme vinkel B. Du kan også stille dig i punkt B og på samme
måde som før se ud mod de sider, du kender.
Her vil b være den modstående katete og a den hosliggende katete.
Det vil så blive tan B, du skal benytte.
Der er altså tre muligheder, og valget er dit.
Her bestemmes vinkel A først.
tan A =
4, 3
5, 6
 4 , 3 
A = tan-1 

 5, 6 
A = 37,52°
Da vinkel C = 90°, kan du finde vinkel B således:
B = 90° - 37,52°
B = 52,48°
Beregning af stykker i retvinklede trekanter
Siden c kan du finde af:
c 2 = a 2 + b2
c = 4 , 3 2 + 5, 6 2
c = 7 , 06 cm
Så er beregningerne gennemført og tilbage er, at du skal vurdere resultaterne.
Tegningen af trekanten er udført i et passende målforhold, så sammenholder du de beregnede resultater med de målte på tegningen, er
der rimelig overensstemmelse.
<<< Eksempel
Som det fremgår af eksemplet, vil der i langt de fleste tilfælde være flere
muligheder, når du skal starte på en beregning af stykker i en retvinklet
trekant.
Du kan benytte følgende fremgangsmåde:
1) Tegn trekanten.
Du bør altid starte med at tegne trekanten op. Hvis det kan lade sig
gøre i et passende målforhold, har du altid mulighed for at sammenligne de målte størrelser med de beregnede.
2) Undersøg beregningsmulighederne.
Når du har tegningen af trekanten, kan du se på beregningsmulighederne. Det giver dig en god baggrund for at beslutte, hvordan du
på en sikker og hurtig måde kommer frem til en løsning.
3) Gennemfør beregningerne.
Du vælger en fremgangsmåde og gennemfører beregningerne.
Det er ikke nok at skrive et resultat. Det skal fremgå af beregningerne, hvordan du er kommet frem til resultatet.
4) Vurder resultaterne.
Har du tegnet trekanten i et passende målforhold, har du mulighed for
sammenholde dine beregnede resultater med de målte på tegningen.
Opgave 97
I en retvinklet trekant får du givet følgende:
a) C = 90°, A = 47,3° og c = 5,3 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinkel B og siderne a og b.
b) C = 90°, B = 47,3° og b = 17,6 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinkel A og siderne a og c.
c) C = 90°, b = 3,8 cm og c = 6,4 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A og B samt siden a.
141
142
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 98
I en retvinklet trekant får du givet følgende:
a) A = 90°, a = 28,3 cm og c = 16,7 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne B og C samt siden b.
b) B = 90°, A = 53,4° og b = 9,5 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinkel C samt siderne a og c.
c) B = 90°, a = 6 cm og c = 11 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A og C samt siden b.
<<< Opgave
Du kan også møde det problem, at den ”beregningstrekant”, du skal
benytte for at finde en løsning, ikke indeholder tilstrækkelige oplysninger.
Så må du forsøge, om der ikke er muligheder for at starte beregningerne i en anden trekant. Resultaterne her skulle så gerne medføre, at
du kan komme ind i den ønskede ”beregningstrekant”.
Hvordan du klarer et sådant problem, vil du få at se i det kommende
eksempel.
Eksempel 4.02
I en retvinklet trekant ABC er C = 90°, a = 4,2 cm og b = 5,8 cm.
Du skal bestemme længden af vinkelhalveringslinjen vB fra B til skæringen med b.
B
a
A
C
b
Figur 4.12
Du tegner trekanten (figur 4.12), og endvidere tegner du trekanten med
vinkelhalveringslinjen indlagt (figur 4.13).
B
vB
A
Figur 4.13
a
C
Beregning af stykker i retvinklede trekanter
I den farvede trekant kan du bestemme længden af vinkelhalveringslinjen vB, men der er desværre kun een kendt størrelse i trekanten, nemlig længden af siden a.
Der er ikke andet at gøre end at gå tilbage til figur 4.12 og her bestemme
vinkel B.
Forestil dig, at du står i punkt B og ser ud mod de sider i trekanten,
som du kender. Siden b er den modstående katete, og siden a er den
hosliggende katete.
Formlen, du skal anvende, er tan B. Du får:
tan B =
5, 8
4, 2
 5, 8 
B = tan-1 

 4 , 2 
B = 54 , 10°
For at komme ind i den farvede trekant, bestemmer du:
B
= 27 , 05°
2
Nu har du to oplysninger, nemlig en vinkel og siden a, og hermed kan
du bestemme længden af vinkelhalveringslinjen vB.
Forestil dig, at du står i punkt B og ser ud mod siderne i den farvede
trekant. Siden a er den hosliggende katete, og vB er hypotenuse.
Formlen, du skal anvende, er cos B2 . Du får:
cos
B
a
=
2 vB
Du indsætter de kendte størrelser:
cos 27 , 05° =
4, 2
vB
Du løser ligningen med hensyn til vB:
vB =
4, 2
cos 27 , 05°
vB = 4,72 cm
Trekanten - figur 4.13 - er tegnet i passende målforhold. Du kan derfor
sammenholde den beregnede værdi med den målte fra tegningen, og
her kan du konstatere, at der er rimelig overensstemmelse.
143
144
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 99
I en retvinklet trekant ABC er C = 90°, a = 4 cm og c = 7 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme længden af:
a) Medianen ma.
b) Vinkelhalveringslinjen vB fra B til skæringen med b.
c) Højden hc.
Opgave 100
I en retvinklet trekant RST er S = 90°, R = 24° og s = 6 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme længden af:
a) Medianen ms.
b) Vinkelhalveringslinjen vT fra T til skæringen med t.
c) Højden hs.
Sinus og cosinus i 1. og 2. kvadrant
Nu forlader vi de retvinklede trekanter og skal videre med de vilkårlige
trekanter.
Sinus og cosinus i 1. og 2. kvadrant
Figur 4.14
Du kan møde spidsvinklede trekanter (figur 4.14), hvor alle vinkler er
mindre end 90° eller stumpvinklede trekanter (figur 4.15), hvor en af
vinklerne er over 90°.
Figur 4.15
Der er behov for nye formler og noget grundlæggende teori.
Du skal tilbage til enhedscirklen, og du skal koncentrere dig om den
øverste halvdel, nemlig 1. og 2. kvadrant (figur 4.16).
(0,1)
y
sin v
v
(−1,0)
cos v
x
(1,0)
Figur 4.16
Du kan indlægge en vinkel v som vist.
Sinus til vinklen måler du på y-aksen, og værdien er positiv.
På tilsvarende måler du cosinusværdien på x-aksen, og som du kan
se, er denne værdi negativ.
Du får et par eksempler:
sin 125° = 0,8192
cos 156°= -0,9135
Prøv at tjekke resultaterne på din grafregner.
Du får også et par eksempler på den omvendte opgave - nemlig at bestemme en vinkel, når funktionsværdien er kendt.
cos v = - 0,3
145
146
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
(0,1)
y
v
(−1,0)
x
0,3
(1,0)
Figur 4.17
Cosinus-værdien -0,3 er vist afsat på figur 4.17, og vinkel v kan du
bestemme ved hjælp af din grafregner.
v = cos-1(-0,3)
v = 107,46°
Du får et eksempel med sinus, men her er det lidt mere problematisk,
idet der er to løsninger.
sin v = 0,75
Sinusværdien er vist afsat på figur 4.18, og som det fremgår, er der to
vinkler v1 og v2, der begge har funktionsværdien 0,75.
(0,1)
y
0,75
(−1,0)
v1
v2
v1
x
(1,0)
Figur 4.18
Indtaster du på grafregneren, får du vinklen i 1. kvadrant, altså:
v1 = sin-10,75
v1 = 48,59°
Du skal selv bestemme den anden løsning.
Ser du på figur 4.18, kan du spejle vinkel v1 i y-aksen, og du får den
placeret som vist.
Med det som udgangspunkt, kan du bestemme v2 således:
v2 = 180° - 48,59°
v2 = 131,41°
Senere kommer du til at arbejde med sinus og cosinus i 3. og 4. kvadrant. Det teoretiske grundlag er det samme som for 1. og 2. kvadrant.
Hvis du har behov for at abejde med det, kan du gå til kapitel 11 “Trigonometriske funktioner”.
Opgave 101
Du skal bestemme vinklerne, når der er givet følgende funktions­
værdier:
a) sin v = 0,2863 b) sin v = 0,6216 c) sin v = 0,8743
Sinusrelationen
Sinusrelationen
Når du skal beregne stykker i vilkårlige trekanter, er der to formler, du
skal kende.
Den første har fået navnet sinusrelationen og ser således ud:
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
Du får først at se, hvorledes du kan udlede denne formel, og dernæst
vil du i nogle eksempler få belyst, hvorledes du kan anvende formlen.
B
a
c
A
hb
b
D
C
Figur 4.19
Da du gerne skulle kunne anvende formlen for både spids- og stumpvinklede trekanter (figur 4.19 og figur 4.20), skal du undervejs kontrollere, om forudsætningerne gælder for begge typer trekanter.
B
c
A
Figur 4.20
b
a
C
hb
D
147
148
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Højden hb indtegnes på begge trekanter, og som du kan se, deler den de
oprindelige trekanter i nogle retvinklede trekanter.
Du anvender formlerne for den retvinklede trekant.
For begge trekanter kan du skrive:
h
sin A = b
c
hb
sin C =
a
Ifølge forrige afsnit gælder der følgende for den stumpvinklede trekant:
sin C = sin(180 - C)
Du kan løse de to ligninger med hensyn til hb:
hb = a ⋅ sin C og hb = c ⋅ sin A
Du kan opstille en ny ligning af de to ”højresider”:
a ⋅ sin C = c ⋅ sin A
som du kan omskrive til
a
c
=
sin A sin C
Udledningen tog udgangspunkt i de to retvinklede trekanter, som
fremkom ved hjælp af højden hb.
Havde du benyttet en anden højde, - fx hc - var resultatet blevet
a
b
=
sin A sin B
Generelt kan du derfor skrive formlen således:
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
og den kaldes som nævnt for sinusrelationen.
Du kan anvende sinusrelationen, når du kender tre størrelser i en
trekant, og to af disse skal være en vinkel og dens modstående side.
Det får du at se i det kommende eksempel.
Eksempel 4.03
I en trekant ABC er givet:
B = 68°, siden b = 7 cm og siden c = 5 cm.
Du skal bestemme siden a og vinklerne A og C.
Sinusrelationen
Du kan tegne trekanten som vist på figur 4.21.
A
b=7
c=5
68 °
B
C
Figur 4.21
Du kan indsætte de tre kendte størrelser i sinusrelationen.
Det bliver:
7
5
=
sin 68° sin C
Du kan løse ligningen med hensyn til sin C:
sin C =
5 ⋅ sin 68°
7
Du kan bestemme vinkel C ved indtastning på din grafregner:
 5 ⋅ sin 68° 
C = sin-1 



7
C = 41, 47°
Du har, at vinkelsummen i en trekant er 180°. Du bestemmer derfor
vinkel A således:
A = 180° - 68° - 41,47°
A = 70,53°
Så er det kun siden a, der mangler, og da vinkel A er fundet, kan du
igen benytte sinusrelationen:
a
b
=
sin A sin B
a
7
=
sin 70 , 53° sin 68°
Du kan løse ligningen med hensyn til a:
7 ⋅ sin 70 , 53°
sin 68°
a = 7 , 12 cm
a=
Da tegningen er udført i et passende målforhold, kan du sammenholde
de beregnede værdier med de målte på tegningen.
Du kan konstatere, at der er rimelig overensstemmelse mellem resultaterne.
149
150
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Eksempel 4.04
I en trekant ABC er givet: A = 24°, a = 3 cm og b = 4 cm.
Du skal bestemme trekantens manglende stykker.
Du kan starte med at konstruere trekanten som vist på figur 4.22. Her
kan du konstatere, at der er to løsninger.
B
c2
c1
a=3
B1
C1
A
Figur 4.22
C2
b=4
Du kan starte beregningerne ved at indsætte de givne størrelser i sinusrelationen. Det bliver:
3
4
=
sin 24° sin B
Du kan løse ligningen med hensyn til sin B:
sin B =
4 ⋅ sin 24°
3
Ved hjælp af din grafregner kan du bestemme vinkel B:
 4 ⋅ sin 24° 
B = sin-1 



3
B = 32, 84°
Det er løsningen i 1. kvadrant, men her skal du også bruge løsningen i
2. kvadrant. Den finder du således:
B = 180°- 32,84°= 147,16°
Sinusrelationen
Du kan nu arbejde videre med de to løsninger:
Trekant AB1C1:
B1 = 147,16°
Trekant AB2C2:
B2 = 32,84°
Du kan bestemme vinkel C:
C1 = 180° - 147,16° - 24°
C1 = 8,84°
C2 = 180° - 32,84° - 24°
C2 = 123,16°
Nu mangler du kun at bestemme siden c. Du kan starte med sinus­
relationen:
a
c
=
sin A sin C
og løse ligningen med hensyn til c:
c=
a ⋅ sin C
sin A
Du kan herefter bestemme c i de to trekanter:
3 ⋅ sin 8, 84°
sin 24°
c1 = 1, 13 cm
c1 =
3 ⋅ sin 123, 16°
sin 24°
c 2 = 6.17 cm
c2 =
Da konstruktionen (figur 4.22) er udført i et passende målforhold, kan
du sammenholde de beregnede værdier med de målte på tegningen.
Du kan konstatere, at der er rimelig overensstemmelse mellem resultaterne.
Opgave 102
Du har i de to foregående eksempler set, hvorledes sinusrelationen kan
anvendes ved beregning af stykker i vilkårlige trekanter.
a) Tegn nogle vilkårlige trekanter, og forestil dig, at du kender tre størrelser i hver trekant.
b) Opstil nogle regler for, hvilke størrelser i trekanten der skal være
givet, for at du kan anvende sinusrelationen.
Opgave 103
I en trekant ABC får du givet:
a) A = 70°, a = 7 cm og b = 5 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne B og C og siden c.
b) A = 41,6°, B = 42,3° og a = 12,3 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme siderne b og c og vinkel C.
c) C = 20,3°, b = 5 cm og c = 2,5 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A og B og siden a.
151
152
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Cosinusrelationen
Som du sikkert har bemærket, er der trekanter, hvor du ikke kan anvende sinusrelationen.
Der mangler ”noget”, og som overskriften fortæller, skal du nu stifte
bekendtskab med cosinusrelationen.
Formlen ser således ud:
a 2 = b2 + c 2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Hvis du i en trekant kender de tre sider, kan du anvende formlen og
starte med at finde en vinkel. Det bliver lidt besværligt, da du skal flytte
mange led, før du får et udtryk for cos A.
Du kan derfor på forhånd løse ligningen med hensyn til cos A og får
en formel med følgende udseende:
cos A =
b2 + c 2 - a 2
2⋅b⋅c
Du får herved en formel, der er nemmere at håndtere rent regneteknisk.
Cosinusrelationen
B
a
c
hb
A
D
x
C
b
Figur 4.23
Du skal nu se, hvorledes du kan udlede formlen, og da det gerne skulle
gælde for både spids- og stumpvinklede trekanter, får du her figur 4.23
og figur 4.24.
B
c
A
a
hb
x
b
C
D
Figur 4.24
Start med at se på den spidsvinklede trekant (figur 4.23).
Du kan se, at højden hb deler trekanten i to retvinklede trekanter.
Benytter du Pythagoras’ læresætning i dem begge, får du:
”1”: a2= hb2 + (b - x)2
og
”2”:
c2 = hb2+ x2
2
2
2
2
2
a = hb + b + x - 2bx
c - x2 = hb2
Dette udtryk for hb fra ”2” kan du indsætte i ligningen fra ”1”. Herved
får du:
a2 = c2 - x2 + b2 + x2 - 2 ⋅ b ⋅ x
a2 = c2 + b2 - 2 ⋅ b ⋅ x
I trekanten kan du også skrive:
cos A =
x
, x = c ⋅ cos A
c
Dette udtryk for x kan du indsætte i ligningen og får:
a2 = c2 + b2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Flytter du lidt om på leddene, har du cosinusrelationen:
a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
153
154
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 104
Da cosinusrelationen også gerne skulle gælde for stumpvinklede trekanter, kan du med udgangspunkt i figur 4.24 undersøge, om formlen
også gælder for denne type trekant.
Du får lidt hjælp!
Du kan benytte samme fremgangsmåde som vist for den spidsvinklede trekant, idet du kan tage udgangspunkt i de to retvinklede trekanter ABD og BCD.
<<< Opgave
Udledningen af cosinusrelationen gav to formler:
a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Du kan ved bogstavombytning få suppleret formlerne, så de passer til
netop de oplysninger, du kender i en trekant.
Bogstavombytningen kommer til at se således ud:
b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
c2 = a2 + b2 - 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
cos B =
a 2 + c 2 - b2
2⋅a⋅b
cos C =
a 2 + b2 - c 2
2⋅a⋅b
Eksempel 4.05
I en trekant ABC har du givet: a = 30 cm,
b = 24 cm og c = 28 cm.
Du skal bestemme trekantens vinkler.
Du kan starte med at tegne trekanten som vist på figur 4.25.
B
a
c
A
Figur 4.25
b
C
Cosinusrelationen
Du kender de tre sider og kan benytte cosinusrelationen på denne form:
b2 + c 2 − a 2
2⋅b⋅c
 24 2 + 28 2 − 30 2 

A = cos−1 
 2 ⋅ 24 ⋅ 28 
cos A =
A = 69, 98°
På samme måde kan du bestemme vinkel B.
cos B =
a 2 + c 2 - b2
2⋅a⋅c
 30 2 + 28 2 - 24 2 

B = cos-1 
 2 ⋅ 30 ⋅ 28 
B = 48 , 74°
Og endelig kan du også bestemme vinkel C:
a 2 + b2 − c 2
2⋅a⋅b
 30 2 + 24 2 − 28 2 

C = cos−1 
 2 ⋅ 30 ⋅ 24 
cos C =
C = 61, 28°
Du ved, at vinkelsummen i en trekant er 180°, så det kan du benytte
som kontrol:
69,98° + 48,74° + 61,28° = 180°
180° = 180°
Opgave 105
Du har i det foregående eksempel set, hvorledes cosinusrelationen kan
anvendes ved beregning af stykker i vilkårlige trekanter.
a) Tegn nogle vilkårlige trekanter, og forestil dig, at du kender tre størrelser i hver trekant.
b) Opstil nogle regler for, hvilke størrelser i trekanten der skal være
givet, for at du kan anvende cosinusrelationen.
Opgave 106
I en trekant ABC har du givet:
a) a = 10 cm, b = 8 cm og C = 60°.
Du skal tegne trekanten og bestemme siden c og vinklerne A og B.
b) A = 120°, b = 4,6 cm og c = 5,8 cm
Du skal tegne trekanten og bestemme siden a og vinklerne B og C.
c) a = 13,6 mm, b = 15,9 mm og c = 16,7 mm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A, B og C.
155
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
156
Opgave 107
I en trekant ABC har du givet:
a) A = 66,6°, b = 4,6 cm og vA = 3,2 cm
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne B og C og siderne a
og c.
b) B = 41,6°, a = 6,8 cm og mc = 5,6 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A og C og siderne b
og c.
c) B = 58°, vB = 4,8 cm og hc = 3,6 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme vinklerne A og C og siderne a,
b og c.
Arealformler
Du får også behov for at bestemme arealer af vilkårlige trekanter, og du
får her nogle forskellige formler:
1
⋅ a ⋅ b ⋅ sin C
2
a⋅b⋅c
Areal =
4⋅R
Areal = r ⋅ s
Areal =
Areal = s ⋅ (s − a) ⋅ (s −b) ⋅ (s − c ) (Herons formel)
Her er:
R: Radius i trekantens omskrevne cirkel.
r: radius i trekantens indskrevne cirkel.
s=
1
⋅ (a + b + c ) .
2
Arealformler
Du får nu vist, hvorledes du kan udlede de tre første formler.
Du har en trekant ABC som vist på figur 4.26 med højden hb indtegnet.
B
a
c
hb
A
b
D
C
Figur 4.26
Du kan udtrykke arealet af trekanten således:
Areal =
1
⋅ hb ⋅ b
2
I den retvinklede trekant BCD har du:
sin C =
hb
og udtrykket hb = a ⋅ sin C, som du indsætter:
a
1
Areal = ⋅ a ⋅ sin C ⋅ b
2
Du ordner ligningen og får:
1
⋅ a ⋅ b ⋅ sin C
2
Ligesom tidligere kan du ved bogstavombytning få følgende formler:
Areal =
Areal =
1
⋅ a ⋅ c ⋅ sin B
2
og
Areal =
1
⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
Du har en trekant ABC med dens omskrevne cirkel som vist på figur 4.27.
A
R
B
O
a
2
C
Figur 4.27
Fra kapitel 3 ”Geometri” har du en sammenhæng mellem en periferivinkel og en centervinkel. Den kan du benytte og får,
at vinkel A = vinkel O2 og dermed også, at sin A = sin O2
157
158
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
I den retvinklede trekant kan du derfor udtrykke:
a
sin A = 2
R
sin A =
a
som du indsætter i
2R
1
⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
a
1
Areal = ⋅ b ⋅ c ⋅
2
2R
a⋅b⋅c
Areal =
4R
Areal =
Af sin A =
a
kan du finde et udtryk for beregning af R:
2R
a
2R =
sin A
Endelig har du figur 4.28 med en trekant og dens indskrevne cirkel.
a
b
r
r
r
c
Figur 4.28
Du deler trekanten op som vist i tre mindre trekanter. Du kan bestemme arealet som en sum af arealerne af de tre trekanter:
Areal =
Du sætter
1
2
1
1
1
⋅ r ⋅ a+ ⋅ r ⋅ b+ ⋅ r ⋅ c
2
2
2
⋅ r uden for en parentes. Du får herved:
Areal =
1
⋅ r ⋅ (a + b + c )
2
Udtrykket (a + b + c) er trekantens omkreds (perimeter), og af praktiske grunde kalder du omkredsen 2s, således at
2s = a + b + c
Arealformlen kommer herefter til at se således ud:
1
⋅r⋅2⋅s
2
Areal = r ⋅ s
Areal =
Problemopgaver
Når du skal bestemme areal af en trekant, så se på de givne oplysninger.
Kan du anvende en af formlerne direkte, så er det selvfølgelig det
nemmeste.
Du kan også risikere, at du skal ”en lille omvej” gennem nogle beregninger for at kunne anvende en formel.
Du har som nævnt fire arealformler, og du må i hvert tilfælde overveje, hvilken af de fire formler du skal anvende for, at du så let som
muligt kan komme frem til en løsning.
Det får du lejlighed til at træne i de kommende opgaver.
Opgave 108
I en trekant ABC har du givet:
a) a = 6,82 m, b = 12,46 m og B = 123,3°.
Du skal tegne trekanten og bestemme arealet.
b) a = 8 cm, b = 11 cm og c = 13 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme arealet.
c) A = 127°, b = 4 cm og c = 6 cm.
Du skal tegne trekanten og bestemme arealet.
Endvidere skal du bestemme radius i henholdsvis trekantens indskrevne og omskrevne cirkel.
Opgave 109
I en firkant ABCD har du givet: AB = 2,3 cm, BC = 2,6 cm, AC = 3,2 cm,
D = 38° og AD = CD.
Du skal tegne firkanten og bestemme de ubekendte sider, vinkler
samt arealet.
Problemopgaver
Når du skal arbejde med praktiske opgaver, får du ikke umiddelbart serveret en trekant med tre oplysninger, så du kan starte et beregningsforløb.
Trekanten kan godt være ”pakket godt ind”, og du skal selv finde
frem til den. Du skal også selv finde de tre oplysninger, der er nødvendige, for at du kan komme i gang og løse opgaven.
Du kan imidlertid godt få nogle tips!
I mange opgaver vil der indgå geometriske elementer som linjer, linjestykker, cirkler, tangenter til cirkler osv.
Skæringspunkter og røringspunkter mellem disse elementer vil give
dig en del geometrisk bestemte punkter.
159
160
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Ved at analysere disse punkters beliggenhed i forhold til hinanden
og forbinde dem med hinanden, vil du mange gange kunne få nogle
trekanter frem.
Det skal nok vise sig, at en af disse trekanter giver dig nøglen til
løsning af opgaven. Endelig skal du jo som nævnt tidligere have tre
oplysninger, for at du kan komme i gang med et beregningsforløb.
Indgår der en cirkel i det geometriske billede, vil det i mange tilfælde være
ud fra cirklens centrum, at en sådan beregningstrekant kan dannes.
Du får her en ”opskrift”, som kan hjælpe dig i gang med problem­
opgaverne.
1. Du konstruerer eller tegner en figur ud fra de givne oplysninger.
2. Du markerer ”geometripunkterne” på figuren.
3. Du prøver at finde nogle trekanter ved at forbinde ”geometripunkterne”.
4. Du undersøger, om du har tre oplysninger i nogen af trekanterne.
5. Du kan starte en beregning, hvis du har tre oplysninger.
Forhåbentlig kan ”opskriften” hjælpe dig på vej frem mod en løsning.
Eksempel 4.06
I en aksel med et rundt tværsnit skal der fræses et spor som vist på figur
4.29. Målene på figuren er i mm. Af hensyn til produktionsprocessen
skal du bestemme fræsedybden x.
40
x
48
Figur 4.29
Du følger ”opskriften”.
Problemopgaver
1) Du starter med at tegne tværsnittet (figur 4.30) og ser på ”geometripunkterne”.
x
A
20
B
24
a
v
24
Figur 4.30
2) Du får punkterne A og B, der er røringspunkterne mellem cirklen og
korden. Du har også cirklens centrum.
3) Du kan forbinde A og B og ligeledes A og B med cirklens centrum.
Cirklens centerlinje halverer AB, og du får herved to retvinklede trekanter.
4) Ser du på den ene af trekanterne, har du tre oplysninger, nemlig en
ret vinkel og to sider på henholdsvis 20 og 24.
5) Du kan benytte Pythagoras’ læresætning og bestemme a.
Herefter kan du bestemme x = 24 - a.
Du kan starte beregningerne. Først bestemmer du a:
24 2 = a 2 + 20 2
24 2 - 20 2 = a 2
24 2 - 20 2 = a
13, 27 = a
Herefter bestemmer du x:
x = 24 - a
x = 24 - 13,27
x = 10,73 mm
Da figur 4.30 er tegnet i målforhold, kan du måle på figuren og konstatere, at der er overensstemmelse med det beregnede resultat.
161
162
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Problemopgaver med den retvinklede trekant
Opgave 110
Et spærfag er udformet og er målsat som vist på figur 4.31. Alle mål er
i meter. Stængerne svejses sammen, og der anvendes samme rørdimension til alle stænger.
3
2
4
2
Figur 4.31
Du skal bestemme, hvor mange meter rør der skal anvendes, når du
kan regne med 10 % spild ved afskæring, tilpasning osv.
Opgave 111
En akselende er udformet som vist på figur 4.32, og alle mål er i mm.
v
15
25
30
Figur 4.32
Du skal bestemme vinklen v.
Problemopgaver med den retvinklede trekant
Opgave 112
I en flange skal der bores 10 huller som vist på figur 4.33.
x
d
Figur 4.33
Centerafstanden x mellem hullerne skal overalt være den samme, og
delecirkeldiameteren d = 100 mm.
Du skal bestemme centerafstanden x (korden).
Opgave 113
Et sekskantet skruehoved er udformet som vist på figur 4.34.
e
s
Figur 4.34
Målet e = 27,7 mm.
Du skal bestemme nøglevidden s.
163
164
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 114
En kileremsskive har spordimensioner som vist på figur 4.35.
19
a
17,2
b
34 °
17,5
Figur 4.35
Målene er i mm.
Du skal bestemme afstandene a og b.
Opgave 115
Et betonrør ligger delvis nedgravet som vist på figur 4.36
k
h
Figur 4.36
En opmåling giver følgende: Korden k = 80 cm og højden h = 22 cm.
Du skal bestemme rørets yderdiameter.
Opgave 116
En udklips-pladestrimmel fra et stanseværktøj har udseende og mål i
mm som vist på figur 4.37.
7
3
60°
a
Figur 4.37
Du skal bestemme fremføringsafstanden a.
Problemopgaver med den retvinklede trekant
Opgave 117
En del af en kran-gitterkonstruktion med mål i meter er vist på figur 4.38.
1,8
0,9
2,4
a
c
3,1
b
Figur 4.38
Du skal bestemme længden af stængerne a, b og c.
Opgave 118
En kugleformet beholder bliver båret af ben, der er fastgjort til beholderen som vist på figur 4.39.
15
8
3,4
b
a
Figur 4.39
Benenes forlængelser er tangenter til kuglen. Alle mål er i meter.
Du skal bestemme afstandene a og b.
165
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 119
En svalehaleføring er udformet og har mål i mm som vist på figur 4.40.
L
v
d
A
d
Figur 4.40
En opmåling giver: A = 55 mm, d = 12 mm og v = 54°.
Du skal bestemme kontrolmålet L.
Opgave 120
Et lejehus med en indvendig kugleform skal bores ud som vist på figur
4.41.
60
d
160
166
d
50
Figur 4.41
Mål er i mm.
Du skal bestemme diameteren d.
Problemopgaver med den retvinklede trekant
Opgave 121
Til måling af runde emner anvendes et måleur og en hakklods som vist
på figur 4.42.
v
d
h
a
Figur 4.42
Målene er: d = 24 mm, a = 10 mm og v = 60°.
Du skal bestemme målehøjden h.
Opgave 122
I et rør med en indvendig diameter lig med 10 cm skal indlægges 3 lige
store rør, således at de netop rører hinanden indbyrdes samtidig med,
at hver af de tre rør også rører indersiden af det store rør.
Du skal bestemme yderdiameteren på de tre rør.
167
168
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 123
I en skærm skal der bores 10 huller. Skærmen er vist på figur 4.43 med
mål i mm.
120
45 °
15 °
ø 88
108
ø 64
80
Figur 4.43
På grund af overgang til ny produktionsmetode ønskes målsætningen
ændret til koordinatmålsætning.
Koordinatsystemets x- og y-akse er vist indtegnet på figur 4.44.
y
3
2
8
7
6
4
5
9
10
x
Figur 4.44
1
x
80
y
108
2
3
4
Du skal bestemme centrumskoordinaterne til alle 10 huller og indføre
værdierne som vist i tabellen.
Problemopgaver med den vilkårlige trekant
Problemopgaver med den vilkårlige trekant
Opgave 124
To kræfter F1 og F2, der angriber i samme punkt på et legeme, kan erstattes af en resultant R som vist på figur 4.45.
F1
R
a
F2
Figur 4.45
Givet er: F1 = 80 N (Newton), F2= 120 N og vinklen mellem F1 og F2 er 72°.
Du skal bestemme størrelsen af resultanten R og vinklen a.
Opgave 125
d
D
På figur 4.46 er vist en skive med i alt 12 tænder.
Figur 4.46
Dimensionerne er D = 30 mm, d = 20 mm.
Du skal bestemme arealet af skiven.
169
170
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
Opgave 126
I en plade skal der bores 3 huller med centerafstande og mål i mm som
vist på figur 4.47.
10
22°
30
24
25
17
b2
b1
a1
a2
Figur 4.47
Da tegningen skal koordinatmålsættes, skal du bestemme målene a1,
a2, b1 og b2.
Opgave 127
I en pladeproduktion er fremkommet en del klipperester. Disse har alle
form som trekanter med sidelængder 140 mm, 130 mm og 150 mm.
Af disse trekanter skal der fremstilles runde, cirkulære skiver.
Du skal bestemme den størst mulige diameter, disse skiver vil kunne få.
Opgave 128
En trykluftcylinder anvendes som vist på figur 4.48.
18°
B
C
A
a
900 mm
Figur 4.48
Vippearm AB er 520 mm, og vippearm BC er 490 mm.
Du skal bestemme længden på den slaglængde a, der er nødvendig, for
at vippearmen kan dreje 18° om punkt A.
Resumé 4. kapitel
171
Resumé 4. kapitel
Den retvinklede trekant
sin v =
modstående katete
hypotenusen
cos v =
hosliggende katete
hypotenusen
B
c
a
modstående katete
tan v =
hosliggende katete
h
A
c2 = a2 + b2
Areal =
A
C
b
1
1
⋅h⋅c= ⋅a⋅ b
2
2
Den vilkårlige trekant
a
b
c
=
=
=2⋅R
sin A sin B sin C
B
a 2 = b2 + c 2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
a
c
2
2
2
cos A =
b + c -a
2⋅b⋅c
Areal =
1
⋅ a ⋅ b ⋅ sin C
2
Areal =
a⋅b⋅c
4⋅R
A
C
b
A
R
Areal = r ⋅ s
Areal = s ⋅ (s - a) ⋅ (s - b) ⋅ (s - c )
s=
C
B
a+ b+c
2
R: Radius i trekantens omskrevne cirkel.
r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.
a
b
r
r
r
c
172
Teknisk matematik · TRIGONOMETRI
173
CIRKLEN
5

Når du taster p på din grafregner, og du får et resultat med mange cifre,
tænker du sikkert ikke på, hvad p egentlig er for noget.
p er knyttet til cirklen, som er en af de vigtigste geometriske figurer.
Du har mødt cirklen tidligere i kapitel 3, men p kommer først nu ind i
billedet, når du skal til at beregne.
Hvem, der har ”opfundet” p, kan ikke besvares, men allerede græ­
kerne og babylonierre i Antikken var klar over, at der var et konstant
forhold mellem en cirkels omkreds og dens diameter.
De første beviser stammer fra ”Ahmes papyrus” fra omkring 1600
f.Kr., hvor forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter bliver
angivet til 3,16.
Op gennem tiden har matematikere angivet p med større og større
nøjagtighed.
I vore dage kan elektronregnere angive p med et meget stort antal
cifre. p er nemlig en uendelig decimalbrøk uden periode.
174
Teknisk matematik · CIRKLEN
Omkreds og buelængde
Som nævnt er p forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter,
og du kan derfor skrive:
omkreds
=
diameter
d=
2
.r
Figur 5.01
Dette forhold giver dig en formel for cirklens omkreds (figur 5.01), idet
du kan skrive:
Omkreds =  ⋅ d = 2 ⋅  ⋅ r
Skal du bestemme længden af en cirkelbue b, der spænder over en vin­
kel v som vist på figur 5.02, så start med at forestille dig, at du deler
cirklen i 360 lige store dele.
r
v
b
Figur 5.02
Du kan så bestemme længden af en cirkelbue, der spænder over en
vinkel på 1° på denne måde:
b1° =
2⋅ ⋅r
360
Du bestemmer derefter længden af en cirkelbue, der spænder over en
vinkel v målt i grader således:
b=
2⋅⋅r
⋅v
360°
Cirklens areal
Cirklens areal
Forestil dig, at du deler cirklen op i nogle små arealer, der udgår fra
centrum og begrænses af buestykkerne som vist på figur 5.03.
2
d=
b1
b2
b3
.r
r
b
Figur 5.03
Hvis arealstykkerne er tilstrækkelig små, kan du med god tilnærmelse
opfatte dem som små trekanter med en højde lig med radius r, og en
grundlinje lig med et buestykke b.
Du får cirklens areal, når du lægger alle arealerne af trekanterne sam­
men. Du kan udtrykke det i en ligning:
Areal =
1
1
1
⋅ r ⋅ b1 + ⋅ r ⋅ b2 + ⋅ r ⋅ b3 + ...
2
2
2
Du kan omskrive udtrykket og sætte ½ r uden for en parentes. Du får:
Areal =
1
⋅ r ⋅ ( b1 + b2 + b3 + ...)
2
175
176
Teknisk matematik · CIRKLEN
Leddene inde i parentesen, (b1 + b2 + b3 + ...), er et udtryk for cirklens
omkreds = 2 ⋅ p ⋅ r. Du kan indsætte det og får:
Areal =
1
⋅r⋅2⋅⋅r
2
Du kan trække det sammen og får hermed en formel for cirklens areal:
Areal =  ⋅ r 2
Hvis du benytter diameteren d i stedet for r, kan du indsætte r = d2 i
formlen. Det giver:
2
d
Areal =  ⋅  
 2 
Areal =

⋅ d2
4
Du kan også møde andre geometriske figurer med udgangspunkt i
cirklen, og dem får du at se i de følgende afsnit.
Cirkelring
En cirkelring har udseende som vist på figur 5.04.
d=2.r
D=2.R
Figur 5.04
Du kan bestemme arealet af cirkelringen på følgende måde:
Areal =  ⋅ R 2 -  ⋅ r 2 =  ⋅ (R 2 - r 2 ) eller
eller
Areal =  ⋅ R 2 -  ⋅ r 2 =  ⋅ (R 2 - r 2 ) eller
Areal =


⋅ D 2 - ⋅ (D 2 - d 2 )
4
4
Areal =


⋅ D 2 - ⋅ (D 2 4
4
Cirkeludsnit
Cirkeludsnit
Et cirkeludsnit har form som et stykke ”lagkage”.
Det udgår fra cirklens centrum og spænder over en vinkel v som
vist ved det farvede område på figur 5.05.
r
v
v
Figur 5.05
Hvis du skal bestemme arealet af cirkeludsnittet, så start med at fore­
stille dig, at du deler cirklen i 360 lige store cirkeludsnit. Du kan så
bestemme arealet af hvert lille cirkeludsnit således:
 ⋅ r2
A1° =
360
Du kan herefter bestemme arealet af et cirkeludsnit, der spænder over
en vinkel v målt i grader således:
Areal =
 ⋅ r2 ⋅ v
360°
177
178
Teknisk matematik · CIRKLEN
Cirkelafsnit
Et cirkelafsnit er en figur, der begrænses af en cirkelbue og en korde
som vist ved det farvede område på figur 5.06.
r
v
Figur 5.06
Du kan bestemme arealet af cirkelafsnittet ved at finde arealet af cirkel­
udsnittet og herfra trække trekantens areal
1
(areal af trekant = · a · b · sin C).
2
Overført til betegnelserne på figur 5.06, bliver det:
 ⋅ r2 ⋅ v 1
Areal =
- ⋅ r ⋅ r ⋅ sin v
360°
2
Cirkelafsnit
r2
Du kan omskrive udtrykket ved at sætte
uden for en parentes. Det
2
giver:

r2   ⋅ v
Areal = ⋅ 
- sin v


2  180°
Du kan også få brug for at bestemme korden k og afstanden h.
v
2
x
r
k
2
h
Figur 5.07
Du halverer vinkel v som vist på figur 5.07 og får:
sin
v
k
=
2 2⋅r
Du kan løse ligningen med hensyn til k. Du får:
v
k = 2 ⋅ r ⋅ sin
2
Ser du på figur 5.07, kan du udtrykke h således:
h=r-x
Du har også, at
cos
v x
=
2 r
Du kan løse ligningen med hensyn til x:
x = r ⋅ cos
v
2
Dette udtryk for x kan du indsætte og får:
h = r - r ⋅ cos
v
2
Du kan omskrive udtrykket ved at sætte r uden for en parentes.
Det giver dig en formel for h, som også kaldes pilhøjden:

v
h = r ⋅ 1 - cos 

2
179
180
Teknisk matematik · CIRKLEN
Opgave 129
I en cirkel er radius lig med 4 cm.
Du skal bestemme længden af en cirkelbue, der spænder over en
vinkel på 60°.
Opgave 130
Du skal bestemme centervinklen i en cirkel, når diameteren d = 25,3
cm, og buelængden b = 56,7 cm.
Opgave 131
I en cirkelring er R = 8,65 cm og r = 3,21 cm.
Du skal bestemme cirkelringens areal.
Opgave 132
En cirkelring har et areal på 225 cm² og en radius r = 5 cm.
Du skal bestemme radius R.
Opgave 133
En aksel med diameter D = 100 mm udbores, således at d = 40 mm.
Du skal bestemme, hvor mange % tværsnitsarealet er blevet mindre.
Opgave 134
I en cirkel med diameter d = 6,52 cm dannes et cirkeludsnit af center­
vinklen v = 66,6°.
Du skal bestemme arealet af cirkeludsnittet.
Opgave 135
I en cirkel er radius r = 16,94 cm.
Et cirkeludsnit har et areal på 116 cm2.
Du skal bestemme den centervinkel v, som cirkeludsnittet begræn­
ses af.
”Skrue”- linje
Opgave 136
Et areal formet som et cirkelringsudsnit har følgende dimensioner:
R = 1 m, r = 0,7 m og centervinklen v = 65°.
Du skal bestemme arealet af cirkelringsudsnittet.
Opgave 137
I en cirkel med d = 3,5 cm dannes et cirkelafsnit, hvor centervinklen er 88°.
Du skal bestemme cirkelafsnittets areal.
Opgave 138
I en cirkel med d = 4 cm findes en korde k = 3 cm.
a) Du skal bestemme pilhøjden h.
b) Du skal bestemme arealerne af de to cirkelafsnit, som korden danner.
”Skrue”- linje
Skal du beregne længden på en fjeder, en transportsnegl og lignende,
får du brug for længden af en ”skrue”-linje.
For at klare det problem, får du et eksempel.
Forestil dig, at du har en aksel med diameter som vist på figur 5.08.
A
s
B
d
π.D
A
x
B
s
Figur 5.08
181
182
Teknisk matematik · CIRKLEN
Du klipper en retvinklet trekant ud af et stykke papir, således at den
ene katete bliver lig med cirklens omkreds (p · d). Den anden katete
afsætter du som et vilkårligt stykke s.
Du kan nu lægge trekanten omkring akslen, og du får billedet af en
”skrue”-linje.
Stykket s kalder du ”skrue”-linjens stigning.
Længden af ”skrue”-linjen må være lig med hypotenusen i trekan­
ten. Skal du bestemme længden, har du Pythagoras’ læresætning:
2
x 2 = (  ⋅ d) + s 2
x=
2
(  ⋅ d) + s 2
Opgave 139
En fjeder har dimensioner som vist på figur 5.09. D = 30 mm,
d = 5 mm, a = 5 mm, og antal vindinger = 8.
d
D
a
Figur 5.09
Du skal bestemme, hvor lang en tråd der medgår til fremstilling af fje­
deren, når der kan regnes med 10 % spild ved afklipning.
Problemopgaver
Problemopgaver
Du har tidligere arbejdet med praktiske opgaver og været vant til at
analysere tekst og evt. figur for at finde frem til de oplysninger, der er
nødvendige, for at du kan benytte dit matematiske ”værktøj”.
Det gør sig også gældende her, men du får repeteret ”opskriften”:
1. Konstruer eller tegn en figur ud fra de givne oplysninger.
2. Marker på figuren ”geometripunkterne”.
3. Dan nogle beregningsfigurer.
4. Undersøg, om du har tilstrækkelige oplysninger i beregningsfiguren.
5. Start evt. en beregning.
Eksempel 5.01
Sporet på det på figur 5.10 viste rokkeled skal fræses ud ved hjælp af en
endeskærsfræser. Det forudsættes, at fræseren er i den ønskede dybde
ved punkt A, når bearbejdningen begynder.
30
A
5
R=5
B
R = 50
R=8
14
15
25
Figur 5.10
Du skal bestemme, hvor lang tid det tager at fræse sporet fra A til B, når
fræseren bevæger sig med en hastighed på 11 mm pr. minut.
183
184
Teknisk matematik · CIRKLEN
Du skal bestemme tiden for fræseoperationen, og den kan gøres ud fra:
Tiden =
buelængde
hastighed
Hastigheden har du, og buelængden kan du bestemme ud fra:
b=
2⋅⋅r
⋅v
360°
Her har du et problem, idet du ikke kender vinklen v, så nu skal du i
gang med at følge fremgangsmåden, der blev beskrevet tidligere.
b
A
15
50
v
2
B
v
Figur 5.11
1. Du kan konstruere en figur af rokkeleddet (figur 5.11).
2. Du har ”geometripunkterne” A og B og cirklens centrum.
3. Du kan forbinde A og B og ligeledes A og B med cirklens centrum.
Du får hermed en trekant, som du kan dele i to retvinklede trekanter
ved hjælp af cirklens centerlinje.
4. Ser du på den ene af de retvinklede trekanter, kender du to sider,
nemlig ”15” og ”50”. Du kan hermed bestemme vinklen.
5. Du kan starte beregningen og får:
sin
v 15
=
2 50
 15 
v
= sin-1  
 50 
2
v
= 17 , 46°
2
v = 34 , 92°
Problemopgaver
Du kan gå videre og bestemme længden af buestykket AB:
2 ⋅  ⋅ 50
b=
⋅ 34 , 92
360
b = 30 , 47 mm
Endelig kan du bestemme tiden:
t=
30 , 47
11
t = 2, 77 mm
Da figuren er tegnet i målestok, kan du måle på figuren og sammen­
holde de målte størrelser med de beregnede. Her er rimelig overens­
stemmelse mellem de beregnede størrelser og de målte.
Eksempel 5.02
En sikringsskive har udseende og mål i mm som vist på figur 5.12.
42
20
50
Figur 5.12
Du skal bestemme arealet af sikringsskiven.
Du skal i gang med analysefasen og følger fremgangsmåden fra tidligere.
1. Du tegner sikringsskiven for at få et overblik over, hvilke arealer du
skal arbejde med.
Du skal bestemme arealet af det ikke-farvede område som vist på
figur 5.13.
Figur 5.13
185
186
Teknisk matematik · CIRKLEN
et indebærer, at du skal bestemme arealet af et cirkelafsnit. For at du
D
kan gøre det, skal du kende den vinkel, cirkelafsnittet spænder over.
2. Du tegner sikringsskiven igen (figur 5.14), markerer ”geometri­
punkterne” A og B og cirklens centrum.
A
25
y
2
B
17
v
va
Figur 5.14
3. Du kan danne to retvinklede trekanter ved hjælp af A og B og cirk­
lens centerlinje.
4. Ser du på den ene af de to retvinklede trekanter, kender du to sider
og kan dermed bestemme vinklen.
5. Du kan starte beregningerne, som kommer til at forløbe således:
cos
v 17
=
2 25
 17 
v
= cos-1  
 25 
2
v
= 47 , 16°
2
v = 94 , 32°
Du kan bestemme det søgte areal på 2 måder:
a) Det søgte areal = arealet af den store cirkel - arealet af det farvede
område (den lille cirkel og cirkelafsnittet).
b) Det søgte areal = arealet af det store cirkelafsnit - arealet af den lille
cirkel.
Der er ikke den store forskel, men her vælges løsning b.
Vinklen va, som spænder over cirkelafsnittet, kan du bestemme således:
va = 360° - 94,32° = 265,68°
Problemopgaver
Herefter kan du bestemme cirkelafsnittets areal:
Aa =
=

r 2   ⋅ v
⋅
- sin v


2  180°

252   ⋅ 265, 68°
⋅
- sin 265, 68°


2  180°
Aa = 1760, 68
Du bestemmer arealet af den lille cirkel:
AL =

⋅ 20 2 = 314 , 16
4
Endelig kan du bestemme arealet af sikringsskiven:
A = 1760,68 - 314,16
A = 1446,52 mm2
Da figurerne er tegnet i målestok, kan du sammenligne nogle af de be­
regnede størrelser med de målte på figurerne.
Opgave 140
Et remtræk har udseende og mål i mm som vist på figur 5.15.
350
200
5
500
Figur 5.15
Du skal bestemme remmens middellængde.
187
188
Teknisk matematik · CIRKLEN
Opgave 141
Et beslag er udformet og har mål i mm som vist på figur 5.16.
R3
R3
20
3
25
77
Figur 5.16
Beslaget skal fremstilles af et stykke stål, der bukkes i den viste facon.
Du skal bestemme længden på det stykke stål, der medgår til fremstil­
ling af beslaget. ”Beregningslængden” er længden af den linje, som lig­
ger midt inde i materialet.
Opgave 142
På en ring med D = 60 mm er anbragt 13 kugler med diameter d = 8
mm således, at alle kuglerne rører hinanden som vist på figur 5.17.
a
Figur 5.17
Du skal bestemme vinklen a.
Problemopgaver
Opgave 143
Et stykke vinkelstål har et tværsnit som vist på figur 5.18.
R
5
20
R
R
5
40
Figur 5.18
Alle mål er i mm, og R = 2,5 mm.
Du skal bestemme vinkelstålets tværsnitsareal.
Opgave 144
En flange er udformet og har mål i mm som vist på figur 5.19.
R = 15
35
100
120°
15
Figur 5.19
Du skal bestemme arealet af flangen.
189
190
Teknisk matematik · CIRKLEN
Opgave 145
En aksel med en not har et tværsnitsareal som vist på figur 5.20.
8
26
30
Figur 5.20
Alle mål er i mm.
Du skal bestemme tværsnitsarealet.
Opgave 146
En to-rørs flammekedel har et tværsnit som vist på figur 5.21.
980
1500
3600
Figur 5.21
Alle mål er i mm. Flammekedelen er fyldt op med vand som vist.
Du skal bestemme arealet af den del af tværsnittet, der er fyldt med vand.
Problemopgaver
Opgave 147
En kanal K afdækkes ved hjælp af en skive S som vist på figur 5.22.
S
K
140
100
100
Figur 5.22
Alle mål er i cm.
Du skal bestemme, hvor mange cm² der bliver afdækket i den viste stil­
ling (det farvede område).
Opgave 148
En excentrik er udformet og har mål i mm som vist på figur 5.23.
R = 30
20
R = 40
Figur 5.23
Du skal bestemme arealet af excentrikken.
191
192
Teknisk matematik · CIRKLEN
Opgave 149
Et profilstål har et tværsnit som vist på figur 5.24.
20°
R = 100
6,5
46
Figur 5.24
Alle mål er i mm.
Du skal bestemme arealet af profilstålets tværsnit.
Opgave 150
I forbindelse med motorvejen mellem Esbjerg og Kolding er der bygget
en bro i nærheden af Korskroen som vist på kortet.
Broens geometri er vist skitseret på figur 5.25, og alle mål er i meter.
50
centrum
for R = 50
20
20
centrum
for R = 70
Figur 5.25
Du skal bestemme arealet af vejbanen, der overalt er 4 meter bred.
Problemopgaver
Opgave 151
En vindeltrappe skal udføres som vist på figur 5.26. Alle mål er i meter.
0,3
2,4
1
Figur 5.26
Du skal bestemme, hvor mange meter gelænder der medgår til frem­
stillingen.
193
194
Teknisk matematik · CIRKLEN
Resumé 5. kapitel
Omkreds - buelængder
O=p⋅d=2⋅p⋅r
b=
2⋅π⋅r
⋅v
360°
d=
2
.r
r
b
Arealer mv.
Cirkel:
Areal =  ⋅ r 2 =

⋅ d2
4
Cirkelring:
Areal =


⋅ D2 - ⋅ d2
4
4
Areal =  ⋅ R 2 -  ⋅ r 2
d=2.r
D=2.R
v
Resumé 5. kapitel
Cirkeludsnit:
Areal =
 ⋅ r2 ⋅ v
360°
r
Cirkelafsnit:
Areal =

r 2   ⋅ v
- sin v


2  180°
Korde:
k = 2 ⋅ r ⋅ sin
v
2
Pilhøjde:

v
h = r ⋅ 1 - cos 

2
v
v
195
196
Teknisk matematik · CIRKLEN
197
OVERFLADER
UDFOLDNINGER
6
Rumlige figurer
Overskriften kunne også have været: Praktisk anvendelse af geometri
og trigonometri ved beregning af rumlige figurer.
I dagligdagen vil du møde mange eksempler på problemer i forbindelse med overfladebestemmelse af rumlige figurer.
Du får et par eksempler.
Figur 6.01
Har du et hus som vist på figur 6.01, hvor taget skal males, har du problemet:
Hvor mange liter maling skal du anvende?
Det stiller dig et nyt problem.
Hvor mange m² er tagets overflade, idet brugsanvisninger på maling angiver, hvor mange m² malingen dækker pr. liter.
198
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Et andet eksempel.
Til et ventilationssystem skal der fremstilles en rørbøjning som vist
på figur 6.02.
Figur 6.02
Hvor meget plade skal du bruge? - og hvorledes skal du klippe pladedelene ud i forhold til hinanden, for at du undgår unødigt pladespild.
I dette kapitel vil du møde en hel del opgaver med udgangspunkt i
sådanne problemstillinger.
Når du skal til at arbejde med rumlige figurer, er det vigtigt, at du
har helt styr på de geometriske forhold.
Det vil sige, at du skal undersøge, hvilke stillinger de enkelte overfladearealer har i forhold til hinanden.
Mange af opgaverne er velegnede til modelkonstruktion. Det vil sige,
at du kan udføre tegningerne af de udfoldede figurer på tynd papplade, som du derefter kan bukke i facon til den rumlige figur.
Kasse eller æske
Kasse eller æske
Forestil dig, at du har en kasse eller æske fremstillet af tynd plade som
vist på figur 6.03.
b
a
c
Figur 6.03
Hvis kassen eller æsken er uden låg, vil udfoldningstegningen se ud
som vist på figur 6.04.
a
b
c
b
Figur 6.04
Skal du bestemme arealet af overfladen, bliver det en sum af fem rekt­
angler.
Det kan skrives:
Areal = a ⋅ c + 2 ⋅ a ⋅ b + 2 ⋅ b ⋅ c
Opgave 152
En bordplade har følgende mål: Bredde = 45 cm, længde = 63 cm og
tykkelse = 22 mm.
Du skal bestemme bordpladens totale overfladeareal i cm2 og m2.
199
200
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Tagflader
Når du arbejder med tagkonstruktioner, vil du ofte få brug for at bestemme arealet af tagfladerne.
Det kan være i forbindelse med tagets belægning, maling af taget
eller isoleringsarbejde.
Tagkonstruktioner kan udføres på mange forskellige måder, og du
kan ikke få en bestemt fremgangsmåde.
Du vil imidlertid tit være nødt til ”at indlægge snit” i en konstruktion for at kunne bestemme en ubekendt størrelse.
Det ”at indlægge snit” vil fremgå af de kommende eksempler, men
generelt går det ud på at finde en trekant, hvor det er muligt at beregne
en ubekendt størrelse.
Eksempel 6.01
Et hus har udseende og mål i meter som vist på figur 6.05.
3,5
10
a
8
Figur 6.05
Du skal bestemme arealet af tagfladerne.
Den samlede tagflade består af to rektangler, og du kan udtrykke arealet således:
Areal = 2 ⋅ 10 ⋅ a
Du mangler a, som er hypotenuse i den indtegnede trekant. Du bestemmer a:
a 2 = 4 2 + 3, 5 2
a = 4 2 + 3, 5 2
a = 5, 315
Herefter kan du bestemme arealet:
Areal = 2 ⋅ 10 ⋅ 5,315
Areal = 106,3 m2
Tagflader
Eksempel 6.02
Et hus har en afvalmet tagkonstruktion med mål i meter som vist på
figur 6.06.
h1
A
h2
4
a
B
C
3
9
12
Figur 6.06
Du skal bestemme arealet af tagfladerne.
Den samlede tagflade består af to trekanter og to trapezer.
Du kan udtrykke det samlede areal således:
1
1
Areal = 2 ⋅ ⋅ h1 ⋅ 9 + 2 ⋅
⋅ h 2 ⋅ (a + 12)
2
2
hvor de ubekendte størrelser er:
h1: Højde i trekanten
h2: Højde i trapezet
a: Den ene af de to parallelle sider i trapezet.
Du skal bestemme de ubekendte størrelser, og du kan starte med at
indlægge ”et snit” på figuren og se på trekant ABC. Her er højden h1
hypotenuse, og du kan bestemme h1 således:
h 12 = 3 2 + 4 2
h1 = 32 + 4 2
h1 = 5
201
202
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Du indlægger et nyt ”snit” og ser på trekant DBC. Her er h2 hypotenuse, og du bestemmer h2 således:
h 2 2 = 4 , 52 + 32
h 2 = 4 , 52 + 32
h 2 = 5, 41
Endelig kan du bestemme a:
a = 12 - 4 ⋅ 2
a=4
Nu kan du bestemme det samlede areal:
Areal = 2 ⋅
1
1
⋅ 5 ⋅ 9+2 ⋅
⋅ 5, 41 ⋅ ( 4 + 12)
2
2
Areal = 131, 56 m2
Opgave 153
Et hus med en vinkel har udseende og mål i meter som vist på figur
6.07. Taget skal have ny tagbeklædning.
2
2
1,5
2
3
8
2
2,5
9
Figur 6.07
Du skal bestemme arealet af den samlede tagflade.
Opgave 154
Et vinkelhus har udseende og mål i meter som vist på figur 6.08. Taget
skal males.
4
4
8
12
10
8
Figur 6.08
Du skal bestemme arealet af den samlede tagflade.
Cylinder
Cylinder
Du har en cylinder med diameter d og højde h som vist på figur 6.09.
d
C
A
C
h
D
D
B
π.d=2.π.r
Figur 6.09
Stykket AB kalder du for cylinderens akse, og stykket CD for en frembringer.
Forestil dig, at cylinderen er fremstillet af tyndt materiale, og at du skærer langs frembringeren CD. Du kan herved folde cylinderens krumme
overflade ud. Du får et rektangel (figur 6.10) med højde h, og længden
bliver lig med omkredsen af cirklen p ⋅ d eller 2 ⋅ π ⋅ r.
d
C
A
C
h
D
B
D
π.d=2.π.r
Figur 6.10
Du får arealet af den krumme overflade således:
Areal = π ⋅ d ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
203
204
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Opgave 155
En cylindrisk beholder med plane endebunde har udseende og mål i
meter som vist på figur 6.11.
1,8
3
Figur 6.11
Beholderen skal overfladebehandles med en maling, der har en rækkeevne på 4–6 m² pr. liter. Malingen kan du få i spande med følgende
indhold: 2½ liter, 5 liter og 10 liter.
Du skal bestemme, hvilken størrelse spand der skal købes.
Pyramide
På figur 6.12 har du en pyramide.
Figur 6.12
Pyramiden begrænses af:
-en grundflade, der er en vilkårlig polygon,
-sideflader, der er trekanter, som samles i et fælles punkt, pyramidens toppunkt.
Pyramidens højde er den vinkelrette afstand mellem toppunktet og
grundfladen.
De linjer eller kanter, der forbinder pyramidens toppunkt med et
punkt i et af grundfladens hjørnepunkter, kalder du for pyramidens
sidekanter.
Pyramide
En pyramide kalder du regulær, hvis grundfladen er en regulær
polygon, og højdens fodpunkt udgår fra grundfladens midtpunkt.
Figur 6.13
Forestiller du dig pyramidens overflade foldet ud, får du en figur som
vist på figur 6.13 eller figur 6.14.
Figur 6.14
Eksempel 6.03
En regulær pyramide som vist på figur 6.15 har som grundflade et kvadrat med sidelængde lig med 6 cm. Pyramidens højde er 9 cm.
hs
Figur 6.15
S
205
206
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Du skal:
a) Tegne en udfoldningstegning af pyramiden.
b) Bestemme pyramidens totale overfladeareal.
Du har brug for målet på pyramidens sidekant s, når du skal tegne udfoldningstegningen.
Det nemmeste for dig er at starte med at bestemme højden hs på en
sideflade. Du kan skrive:
h s 2 = 32 + 92
h s = 32 + 92
h s = 9, 49
Herefter kan du bestemme s i den retvinklede trekant i sidefladen:
s 2 = 32 + h s 2
s = 32 + 9, 492
s = 9, 95
Nu kan du tegne udfoldningstegningen af pyramiden, som får udseende som vist på figur 6.16.
Figur 6.16
Du kan også bestemme det totale overfladeareal:
Areal = 6 ⋅ 6 + 4 ⋅
1
Areal = 6 ⋅ 6 + 4 ⋅
1
Areal = 149, 88 cm 2
2
2
⋅ hs ⋅ 6
⋅ 9, 49 ⋅ 6
Pyramidestub
Pyramidestub
Forestil dig, at du har en pyramide, som bliver skåret over i et snit parallelt med grundfladen.
Du får to figurer - en lille pyramide og en ny figur, som du kalder en
pyramidestub (se figur 6.17).
Figur 6.17
207
208
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Ser du på pyramidestubben figur 6.18, har den to grundflader, som du
kalder G og g.
g
h
G
Figur 6.18
Pyramidestubbens højde h er den vinkelrette afstand mellem de to
grundflader.
Pyramidestubbens sideflader er trapezer.
Pyramidestubbens totale overfladeareal bestemmer du som summen af grundfladernes arealer og sidefladernes arealer.
Opgave 156
En regulær tresidet pyramide har en grundfladekant lig med 5 cm, og
længden af en sidekant lig med 7 cm.
Du skal:
a) Tegne en figur af pyramiden.
b) Bestemme den vinkel, grundfladen danner med en sideflade.
c) Bestemme pyramidens totale overfladeareal.
d) Tegne en udfoldningstegning af pyramiden.
Opgave 157
En regulær firesidet pyramide har en grundfladekant lig med 4 cm, og
længden af en sidekant lig med 6 cm.
Du skal:
a) Tegne en figur af pyramiden.
b) Bestemme pyramidens højde.
c) Bestemme den vinkel, grundfladen danner med en sideflade.
d) Bestemme pyramidens totale overfladeareal.
e) Tegne en udfoldningstegning af pyramiden.
Pyramidestub
Opgave 158
En regulær sekssidet pyramide har en grundfladekant lig med 46 mm,
og en højde lig med 63 mm.
Du skal:
a) Tegne en figur af pyramiden.
b) Bestemme den vinkel, som grundfladen danner med en sideflade.
c) Bestemme pyramidens totale overfladeareal.
d) Tegne en udfoldningstegning af pyramiden.
Opgave 159
Et betjeningspanel, der er udformet som en pyramidestub som vist på
figur 6.19, skal beklædes med tynd plade.
10
30
30
40
40
Figur 6.19
Målene er i cm.
Udfoldningstegningen er vist på figur 6.20.
a
b
c
c
b
a
Figur 6.20
Ved beregningerne ser du bort fra pladetykkelsen.
a) Du skal bestemme målene a, b og c på udfoldningstegningen.
b) Til udfoldningstegningen anvendes der en kvadratisk plade med
sidelængde a.
Du skal bestemme udnyttelsesprocenten af pladen.
209
210
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Kegle
En kegle har udseende som vist på figur 6.21.
A
s
r
B
C
Figur 6.21
Forestil dig, at du drejer en retvinklet trekant 360° om den ene katete.
Herved fremkommer billedet af en kegle.
Keglens geometri bliver på denne måde bestemt af en grundflade, som
er en cirkel med radius r, og en krum overflade begrænset af hypotenusen AB.
Hypotenusen AB = s kalder du også keglens sidelinje
eller frembringer. AC er keglens højde eller akse,
og A er keglens toppunkt.
Forestil dig, at keglens krumme overflade bliver foldet ud. Du får da et
cirkeludsnit med radius s. Længden af cirkeludsnittets bue er lig med
omkredsen af grundfladen (figur 6.22).
s
b1 b 2
b3
b4
b=2.π.r
Figur 6.22
Kegle
Arealet af den krumme overflade kan du bestemme ved at dele figuren op i en række små cirkeludsnit.
Du må forestille dig, at cirkeludsnittene er så små, at du med god
tilnærmelse kan regne dem for at være trekanter med højde lig med s
og grundlinje lig med et buestykke.
Du får dermed cirkeludsnittets areal som en sum af alle disse små
trekanter. Det kan du skrive således:
Areal =
1
1
1
1
⋅ s ⋅ b1 + ⋅ s ⋅ b2 + ⋅ s ⋅ b3 + ⋅ s ⋅ b4 ...
2
2
2
2
Du kan omskrive udtrykket ved at sætte ½ s uden for en parentes:
Areal =
1
⋅ s ⋅ ( b1 + b2 + b3 + b4 + ...)
2
Udtrykket (b1 + b2 + b3 + b4 +.....) er omkredsen af grundfladen og lig
med 2 ⋅ p ⋅ r. Det kan du indsætte:
1
Areal = ⋅ s ⋅ 2 ⋅ p ⋅ r
2
Areal = ⋅ p ⋅ r ⋅ s
Du har hermed en formel for beregning af keglens krumme overfladeareal.
Ved mange beregninger er det en fordel at kende vinklen v og korden k
i cirkeludsnittet (se figur 6.23).
s
v
k
Figur 6.23
Du har fra kapitel 5, at en buelængde kan bestemmes ud fra følgende:
b=
2 ⋅ p ⋅ s
⋅ v
360°
Buelængden i b i cirkeludsnittet kunne udtrykkes: b = 2 ⋅ π ⋅ r
Du kan sætte de to udtryk lig med hinanden:
2 ⋅ p ⋅ s
⋅ v=2 ⋅ p ⋅ r
360°
Du kan løse ligningen med hensyn til vinklen v. Det giver:
v=
360° ⋅ r
s
211
212
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Fra kapitel 5 har du et udtryk for korden:
k = 2 ⋅ r ⋅ sin
v
2
Overført til cirkeludsnittet her får du:
k = 2 ⋅ s ⋅ sin
v
2
Keglestub
Forestil dig, at du har en kegle, der bliver skåret over i et plant snit parallelt med grundfladen (figur 6.24).
s1
s2
Figur 6.24
Keglestub
Du får herved to dele - en lille kegle og en ny figur, som du kalder en
keglestub (figur 6.25).
r
s
h
R
Figur 6.25
Keglestubben har en sidekantlængde s, en højde h og to grundflader
med radier henholdsvis R og r.
s
a1
a2a3
b1
b2
b3
2πr
Figur 6.26
Forestiller du dig keglestubbens krumme overflade foldet ud, får du et
udsnit af en cirkelring som vist på figur 6.26 og figur 6.27.
s2
s1
v
k
Figur 6.27
Arealet af den krumme overflade får du ved at dele figuren op i en
række små cirkelringsudsnit.
Du må forestille dig, at cirkelringsudsnittene er så små, at du med
god tilnærmelse kan regne dem for at være trapezer med højde s og de
parallelle sider lig med buestykkerne a1, a2, a3, ... og b1, b2, b3, ...
Du kan hermed bestemme arealet af keglestubbens krumme overflade som en sum af alle de små trapezer.
Det kan du skrive således:
Areal =
1
1
1
⋅ s ⋅ (a1 + b1 ) + ⋅ s ⋅ (a 2 + b2 ) + ⋅ s ⋅ (a 3 + b3 ) + ...
2
2
2
213
214
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Du kan omskrive udtrykket ved at sætte ½ s uden for en parentes:
Areal =
1
⋅ s ⋅ (a1 + b1 + a 2 + b2 + a 3 + b3 + ...)
2
Udtrykket (a1 + a2 + a3 + ...) er omkredsen i den lille grundflade og lig
med 2 ⋅ π ⋅ r.
På tilsvarende måde er udtrykket (b1 + b2 + b3 + ...) omkredsen i den
store grundflade og lig med 2 ⋅ π ⋅ R.
Disse to udtryk kan du indsætte og får:
Areal =
1
⋅ s ⋅ (2 ⋅ p ⋅ r + 2 ⋅ p ⋅ R )
2
Igen en lille omskrivning, idet 2 ⋅ π sættes uden for parentesen:
Areal =
1
⋅ s ⋅ 2 ⋅ p ⋅ (r + R )
2
Areal = π · s · (R + r)
Her har du en formel for beregning af arealet af keglestubbens krumme
overflade.
Ved konstruktion af udfoldningstegningen figur 6.27 får du to radier s1 og s2 fra figur 6.24.
Centervinklen v og korden k kan du bestemme på samme måde
som for keglen.
Med benævnelserne på figur 6.27 bliver det:
v=
360° ⋅ R
s2
k = 2 ⋅ s 2 ⋅ sin
v
2
Opgave 160
I en kegle er radius i grundfladen lig med 5 cm, og keglens højde er lig
med 7 cm.
a) Du skal bestemme keglens totale overfladeareal.
b) Du skal tegne en udfoldningstegning af keglens krumme overflade
og bestemme centervinklen og kordemålet.
Keglestub
Opgave 161
En lampeskærm er udformet som en keglestub som vist på figur 6.28.
Figur 6.28
Diameter i den øverste grundflade er lig med 10 cm, diameter i den
nederste grundflade er lig med 40 cm, og højden er lig med 20 cm.
a) Du skal bestemme arealet af lampeskærmens krumme overflade.
b) Tegn en udfoldningstegning af lampeskærmen og bestem radierne i
cirkelringsudsnittet, centervinklen v og korden k.
Opgave 162
Et plastdrikkebæger er udformet som vist på figur 6.29.
Figur 6.29
Diameteren i den nederste grundflade er lig med 45 mm, diameteren i
den øverste grundflade er lig med 65 mm, og højden er lig med 90 mm.
Du skal bestemme overfladearealet af plastdrikkebægeret.
215
216
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Kuglen
En kugle har udseende som vist på figur 6.30.
d=
2r
Figur 6.30
Forestil dig, at du drejer en halvcirkel 360° om diameteren. Herved får
du et billede af en kugle.
Overfladearealet af en kugle kan du bestemme af formlen:
Areal = 4 ⋅ p ⋅ r 2 = p ⋅ d 2
Kugleafsnit
Forestil dig , at du skærer kuglen igennem af et plant snit.
Snitfladen vil være en cirkel.
Et kugleafsnit er den del af kuglen, der afskæres ved et sådant plant
snit (figur 6.31).
Kugleafsnit
a
h
d = 2r
h
Kugleskive
Figur 6.31
Kugleafsnittet begrænses af en kuglekalot og en cirkelflade.
Kugleskive
Overfladearealet af kuglekalotten kan du bestemme af formlen:
Areal = π ⋅ d ⋅ h = π (a2 + h2)
hvor:
d: Kuglens diameter
h: Kugleafsnittets højde
a: Radius i snitfladecirklen.
Overfladearealet af kugleafsnittet bestemmer du som summen af arealet af kuglekalotten og arealet af cirklen i snitfladen.
Kugleskive
Forestil dig, at du skærer kuglen igennem ved to parallelle, plane snit.
Den figur, der fremkommer, kalder du en kugleskive (se figur 6.31).
Kugleskiven begrænses af et kuglebælte og to snitfladecirkler.
Overfladearealet af kuglebæltet kan du bestemme af formlen:
Areal = π ⋅ d ⋅ h
hvor:
d: Kuglens diameter
h: Kugleskivens højde.
Overfladearealet af kugleskiven bestemmer du som summen af arealet
af kuglebæltet og arealerne af de to snitfladecirkler.
217
218
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Opgave 163
I en gennemsigtig kegle er grundfladediameteren lig med 10 cm og højden lig med 12 cm.
I keglen er indstøbt en kugle, hvis overflade rører grundfladen og
keglens krumme overflade.
Du skal bestemme kuglens diameter.
Opgave 164
I en regulær sekssidet pyramide er en grundfladekant lig med 8 cm, og
en sidekant lig med 11 cm.
Pyramiden tænkes indstøbt i en kugle, således at toppunktet og
grundfladekanternes skæringspunkter rører kuglens overflade.
Du skal bestemme radius i kuglen.
Opgave 165
I en kugle, der er fremstillet af gennemsigtigt materiale, er radius lig
med 10 cm.
I kuglen er der indstøbt en pyramide med kvadratisk grundflade og
en højde lig med 4 cm.
Pyramidens toppunkt og grundfladens hjørnepunkter rører kuglens overflade.
a) Du skal bestemme længden af pyramidens grundfladekant og længden af pyramidens sidekant.
b) Du skal bestemme den vinkel, som en af pyramidens sideflader
danner med grundfladen.
c) Du skal bestemme den vinkel, som en af pyramidens sidekanter
danner med grundfladen.
d) Du skal bestemme pyramidens totale overfladeareal.
Rørbøjninger
Opgave 166
I en kugle med diameter lig med 8 cm afskæres et kugleafsnit med højde lig med 2,4 cm.
Du skal bestemme kugleafsnittets totale overfladeareal.
Rørbøjninger
Den ideelle rørbøjning har du som vist på figur 6.32.
Figur 6.32
Rørbøjninger fremstillet af tynd plade kan imidlertid ikke få et sådant
udseende.
Bøjningen deler du i sektioner, fremstiller de enkelte sektioner og
sammensætter endelig sektionerne til den ønskede bøjning.
Bøjninger, der er fremstillet på denne måde, kalder du knærør.
219
220
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
På figur 6.33, figur 6.34, figur 6.35 og figur 6.36 er vist forskellige typer
bøjninger.
Figur 6.33 er en 90°’s bøjning og består af to sektioner og har et knæ.
Figur 6.33
Figur 6.34 er en 45°’s bøjning og består også af to sektioner og har et knæ.
Figur 6.34
Figur 6.35 er en 90°’s bøjning og består af tre sektioner og har to knæ.
Figur 6.35
Figur 6.36 er en 90°’s bøjning og består af fem sektioner og har fire knæ.
Figur 6.36
Du vil nu i nogle eksempler blive præsenteret for udfoldning af forskellige typer bøjninger.
Det vil være umuligt at vise alle typer, men de geometriske principper og beregningsmetoderne er generelle.
Du kan derfor overføre og anvende disse principper og metoder på
andre typer, du vil møde.
Rørbøjninger
221
Eksempel 6.04
c6
c
c1 2
c3
a1
c4
c5
a2
y
a3
a4
En 90°’s rørbøjning med
to sektioner og et knæ har udseende som vist
a5
på figur 6.37.
a6
2
70
ø40
70
2
50
50
1
1
b1
Figur 6.37
ø40
c
c102
c3
c4
c6
b2
c5
x
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
L = π . 40 = 125,66
6
a) Du skal tegne
udfoldning af bøjningens to sektioner.
a1 1 den geometriske
5
b) Du skal ved beregning
bestemme
et passende antal støttepunkter
2
4
a2 3
y
som grundlag for
tegning
af
udfoldningen.
a
3
a4
a5
a)
a6 (figur 6.38) med samme diameter som røret.
Du tegner en halvcirkel
2
70
ø40
70
2
50
50
1
1
b1
b2
ø40
0
6
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
L = π . 40 = 125,66
5
Figur 6.38
Halvcirklen deler du i 6 lige store stykker (30°’s deling), og du får punkterne, der nummereres 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
Fra punkterne tegner du lodrette linjer til skæring med knælinjen
(den gule linje).
x
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Du bestemmer rørets udfoldede
længde: L = p ⋅ 40 = 125,66.
c
6
c5
c
2
Du kan tegne cudfoldningen
(figur 6.39) og deler længden L i 12 lige
c
1
c3 4
store stykker. Punkterne
nummererer du som vist.
a1
a2
y
a3
a4
a5
a6
2
70
70
ø40
222
2
50
50
1
1
b1
b2
ø40
0
Figur 6.39
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
6
1
2
3
4
L = π . 40 = 125,66
5
Afstanden mellem den enkelte punkter bestemmer du således:
125, 66
= 10 , 47
12
Fra punkterne på knælinjen tegner du vandrette linjer til skæring med
de tilsvarende punkter på udfoldningen figur 6.39.
Du forbinder punkterne og får en kurve, som er ”klippelinjen”.
Den nederste del af figur 6.39 er udfoldningen af sektion 1.
Du kan afsætte 70 mm som vist på figur 6.39, og den øverste del vil
være udfoldningen af sektion 2.
b)
Det er ikke altid, du har mulighed for at udføre en geometrisk udfoldning, som er tilstrækkelig nøjagtig.
Det vil være tilfældet med meget store konstruktioner, og i sådanne
tilfælde må du gå i gang med at beregne dig frem til de mål, der er
nødvendige.
Du kan lægge et koordinatsystem ind på udfoldningen som vist på
figur 6.39.
Du skal derefter i gang med at bestemme koordinaterne til skæringspunkterne, der danner ”klippelinjen”.
x
Rørbøjninger
223
Beregningerne kommer til at se således ud:
Du kan starte med at bestemme afstandene b1 og b2.
b1
20
b1 = 20 ⋅ cos 60° = 10
cos 60° =
b2
20
b2 = cos 30° = 17 , 32
cos 30° =
Derefter bestemmer du afstandene a1, a2, a3, a4, a5 og a6 (se figur 6.40).
c6
c
c1 2
c3
a1
c4
c5
a2
y
a3
a4
a5
a6
2
70
ø40
70
2
50
50
1
1
b1
b2
ø40
0
6
1
2
3
4
Figur 6.40
a1 = 20 - 17,32 = 2,68
a2 = 20 - 10 = 10
a3 = 20
a4 = 20 + 10 = 30
a5 = 20 + 17,32 = 37,32
a6 = 40
5
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
L = π . 40 = 125,66
x
224
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Afstandene c1, c2, ..., c6 skal du også bestemme, og da knævinklen er
45°, får du:
c
a
c = a ⋅ tan 45°
tan 45° =
= a1 ⋅ tan 45°
= a2 ⋅ tan 45°
= a3 ⋅ tan 45°
= a4 ⋅ tan 45°
= a5 ⋅ tan 45°
= a6 ⋅ tan 45°
c1
c2
c3
c4
c5
c6
= 2,68 ⋅ tan 45° = 2,68
= 10 ⋅ tan 45°
= 10
= 20 ⋅ tan 45°
= 20
= 30 ⋅ tan 45°
= 30
= 37,32 ⋅ tan 45° = 37,32
= 40 ⋅ tan 45°
= 40
Endelig kan du bestemme koordinaterne til skæringspunkterne på
”klippelinjen”.
”0”: (x,y) = (0,50)
”1”: (x,y) = (10,47; 50 + 2,68)
= (10,47; 52,68)
”2”: (x,y) = (2 ⋅ 10,47; 50 + 10)
= (20,94; 60)
”3”: (x,y) = (3 ⋅ 10,47; 50 + 20)
= (31,42; 70)
”4”: (x,y) = (4 ⋅ 10,47; 50 + 30)
= (41,89; 80)
”5”: (x,y) = (5 ⋅ 10,47; 50 + 37,32) = (52,36; 87,32)
”6”: (x,y) = (6 ⋅ 10,47; 50 + 40)
= (62,83; 90)
Da der er symmetri om punktet ”6”, er koordinaterne til de sidste seks
punkter ikke taget med.
Skal du have en nøjagtigere ”klippelinje”, må du lave en finere inddeling. Halvcirklen på figur 6.38 kan du inddele i 15°’s deling eller endnu
finere 7,5°’s deling.
Eksempel 6.05
En 90°’s rørbøjning med 5 sektioner og fire knæ har udseende som vist
5
på figur 6.41
4
5
4
3
3
2
2
1
v
R = 50
0
Figur 6.41
0
6
1
3
3 4
5
L = π . 30 = 94,24
ø30
2
a2
1 2
1
6
4
5
v
c0
c1 c2 c
3
c 4 c5 c
6
v
b6
b5
b4
b3
b2
6,96
12,93
Rørbøjninger
225
a) Du skal tegne den geometriske udfoldning af bøjningens fem sektioner.
b) Du skal ved beregning bestemme et passende antal støttepunkter
som grundlag for tegning af udfoldningen.
Bøjningen består som sagt af fem sektioner, hvoraf to er endesektioner,
og tre er mellemsektioner.
Du kalder de to endesektioner ”1” og ”5”, og mellemsektionerne
”2”, ”3” og ”4”.
Sidekanterne på de enkelte sektioner er tangenter til en cirkel.
Når du skal i gang med bøjningen, er det mest praktisk, at du deler
den i et antal ens dele, således at der er dobbelt så mange dele, som der
er knæ. Da der er fire knæ, får du altså otte ens dele.
5
Du kan derfor bestemme vinkel v således:
5
4
90°
v=
= 11, 25°
4
8
3
Du har nu 8 ens dele, og derved kan du forenkle både den geometriske
3
udfoldning og beregninger.
2
2
a)
1Du trækker det nederste farvede delelement ud af figur 6.41.
v
R = 50
0
1 2
3 4
5
1
6
Du tegner en halvcirkel med diameter lig med rørets diameter
og får ø30
figur 6.42.
L = π . 30 = 94,24
0
6
1
2
3
a2
Figur 6.42
a
1
4
5
v
c0
c1 c2 c
3
c4 c5 c
6
v
b6
b5
b4
b3
b2
b1
b0
Du inddeler cirklen i seks lige store stykker (30°’s deling), og nummererer punkterne som vist fra 0 til 6.
Fra punkterne tegner du linjer lodret til skæring med knælinjen.
Du bestemmer rørets udfoldede længde L = p ⋅ 30 = 94,24.
6,96
12,93
2
a2
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
226
Nu skal du i gang med udfoldningstegningen.
Du afsætter længden L som vist på figur 6.43. Du deler L i 12 lige
store stykker og nummererer punkterne som vist.
5
4
5
4
3
3
2
v
R = 50
0
1 2
6
a1
1
6
5
L = π . 30 = 94,24
ø30
3
3 4
6,96
12,93
4
5
v
c0
c1 c2 c
5
5
3
4
c4 c5 c
4
Figur6 6.43
v
3 b
6
b5
Fra skæringspunkterne
på knælinjen tegner du vandrette linjer til skæ3
b4
ring med
de
tilhørende
punkter
på udfoldningstegningen.
b3
b2
2 Gennem
skæringspunkterne tegner du en kurve, som er ”klippeb1
2
b0
linjen”.
Du har hermed udført udfoldningen af den nederste sektion mær1
1
v
ket ”1”.
R = 50
0 1 2 3 4 5 6
Da bøjningen består af 8 dele med ens geometri, kan du forenkle
den samlede udfoldningstegning ved at placere de Lenkelte
sektioner
= π . 30 = 94,24
ø30
som vist efter hinanden.
c1 c2 c
3
c4 c
5 c6
b)
v
v
0Du kan igen6benytte det nederste farvede delelement som udgangsb6
b5
1
punkt
for beregningen.
5
b
c0
2
a2
3
4
b3
b2
b1
b0
a1
4
Figur 6.44
Du tegner en ny halvcirkel som vist på figur 6.44 og bestemmer afstandene a1 og a2.
a
cos 30° = 2
15
a 2 = 15 ⋅ cos 30° = 12, 99
a1
15
a1 = 15 ⋅ cos 60° = 7 , 5
cos 60° =
6,96
12,93
2
v
R = 50
0
1 2
3 4
5
6,96
12,93
1
6
Rørbøjninger
Du trækker den viste trekant
figur
6.42 ud, og tegner den som vist
L =fra
π . 30
= 94,24
på figur 6.45.
6
4
v
c0
c 1 c2 c
3
c4 c5 c
6
v
b6
b5
b4
b3
b2
b1
b0
5
Figur 6.45
Du starter med at bestemme afstandene b0, b1, ... og b6.
b0 = 50 + 15
= 65
b1 = 50 + 12,99
= 62,99
= 57,5
b2 = 50 + 7,5
b3
= 50
b4 = 50 - 7,5
= 42,5
b5 = 50 - 12,99
= 37,01
b6 = 50 - 15
= 35
Du har også, at:
c
b
c = b ⋅ tan v
tan v =
Hermed kan du bestemme afstandene c0, c1, ..., og c6.
c0 = b0 ⋅ tan 11,25°
c1 = b1 ⋅ tan 11,25°
c2 = b2 ⋅ tan 11,25°
c3 = b3 ⋅ tan 11,25°
c4 = b4 ⋅ tan 11,25°
c5 = b5 ⋅ tan 11,25°
c6 = b6 ⋅ tan 11,25°
= 65 ⋅ tan 11,25°
= 62,99 ⋅ tan 11,25°
= 57,5 ⋅ tan 11,25°
= 50 ⋅ tan 11,25°
= 42,5 ⋅ tan 11,25°
= 37,01 ⋅ tan 11,25°
= 35 ⋅ tan 11,25°
= 12,93
= 12,53
= 11,44
= 9,95
= 8,45
= 7,36
= 6,96
Du har nu værdierne til det nederste delelement, men da alle 8 dele er
ens, kan du forholdsvis nemt bestemme værdierne til skæringspunkterne for samtlige ”klippelinjer”.
Du kan også som vist i det forrige eksempel indlægge et koordinatsystem på udfoldningstegningen og bestemme koordinaterne til skæringspunkterne.
227
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
228
Eksempel 6.06
0-6
3
4
1-5 lig med
1-5 30 mm skal tilpasses et andet rør2
Et rørstykke
med
diameter
5
1
2-4
2-4
stykke med diameter lig med 40 mm
som vist på figur 6.46.
L = π . 30 = 94,25
0
6
15
3
a1
3
a2
35
b1-5
40
c0-6
c1-5
c2-4
c3
0 1
2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
b2-4
Figur 6.46
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af rørstykket.
b) Du skal beregne et antal støttepunkter som grundlag for tegning af
udfoldningstegningen.
1
0
2
3
4
5
6
15
1-5 0-6 1-5
2-4
2-4
3
3
a1
c0-6
a2
c1-5
c2-4
c3
35
b1-5
40
L = π . 30 = 94,25
0 1
2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
b2-4
Figur 6.47
a)
Du starter med at tegne en halvcirkel med samme diameter som rørstykket som vist på figur 6.47. Halvcirklen deler du i seks lige store
stykker (30°’s deling) og nummererer punkterne som vist. Fra punkterne tegner du lodrette linjer ned gennem rørstykket.
1
0
15
40
2
3
4
5
6
1-5 0-6 1-5
2-4
2-4
3
3
a1
c0-6
a2
c1-5
c2-4
c3
35
b1-5
L = π . 30 = 94,25
0 1
2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
b2-4
Figur 6.48
Over sidebilledet af rørstykket på figur 6.48 tegner du en halvcirkel,
som du deler og nummererer på samme måde som for figur 6.47. Fra
Rørbøjninger
punkterne tegner du lodrette linjer ned gennem rørstykket til skæring
med det store rørs diameter.
Du bestemmer rørstykkets udfoldede længde L = p ⋅ 30 = 94,25 mm.
Du afsætter L og deler L i 12 lige store stykker, og punkterne nummereres som vist på figur 6.49.
2
1
0
3
4
5
6
15
1-5 0-6 1-5
2-4
2-4
3
3
a1
c0-6
a2
c1-5
c2-4
c3
35
b1-5
40
L = π . 30 = 94,25
0 1
2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
b2-4
Figur 6.49
Fra skæringspunkterne i figur 6.46 tegner du vandrette linjer gennem
skæringspunkterne på figur 6.48 og videre til skæring med de tilsvarende punkter på udfoldningstegningen figur 6.49.
Gennem skæringspunkterne tegner du en kurve, og denne kurve er
”klippelinjen”.
b)
Du skal bestemme længderne på ”frembringer-linjerne”, mærket 0, 1, 2,
3, 4 ,5 og 6 på figur 6.49.
Du starter med at bestemme længderne a1 og a2.
a
cos 60° = 1
15
a1 = 15 ⋅ cos 60° = 7 , 5
cos 30° =
a2
15
a 2 = 15 ⋅ cos 30° = 13
Herefter skal du bestemme afstandene b0, b1, ..., og b6.
På figur 6.48 er kun vist to trekanter, men de øvrige bestemmer du
på samme måde. Du får:
2
b1-5 = 20 2 - a12 = 20 2 - 7 , 52 = 18, 54
2
b2-4 = 20 2 - a 2 2 = 20 2 - 132 = 15, 20
20 2 = ( b1-5 ) + a12 :
20 2 = ( b2-4 ) + a 2 2 :
På tilsvarende måde bestemmer du de sidste b-værdier:
20 2 = b6 2 + a6 2 :
b6 = 20 2 - a6 2 = 20 2 - 152 = 13, 23
20 2 = b0 2 + a0 2 :
b0 = 20 2 - a0 2 = 20 2 - 0 = 20
229
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Endelig bestemmer du afstandene c0, c1.......og c6.
Du får:
c0 = c6 = 35 - b0-6 = 35 - 20
= 15
c1 = c5 = 35 - b1-5 = 35 - 18,54 = 16,46
c2 = c4 = 35 - b2-4 = 35 - 15,20 = 19,80
c3 = 35 - b3
= 35 - 13,23 = 21,77
Opgave 167
En 90°’s rørbøjning har udseende og mål i mm som vist på figur 6.50.
ø20
35
50
Figur 6.50
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af rørbøjningen.
b) Du skal ved beregning bestemme et antal punkter til støtte for udfoldningstegningen.
Opgave 168
En ligesidet 45°’s rørbøjning har udseende og mål i mm som vist på
figur 6.51.
25
ø30
230
45°
Figur 6.51
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af rørbøjningen.
b) Du skal ved beregning bestemme et antal punkter til støtte for udfoldningstegningen.
Rørbøjninger
Opgave 169
En 90°’s rørbøjning har udseende og mål i mm som vist på figur 6.52.
ø200
200
150
150
200
ø200
Figur 6.52
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af rørbøjningen.
b) Du skal ved beregning bestemme et antal punkter til støtte for udfoldningstegningen.
Opgave 170
Et T-rørstykke har udseende og mål i mm som vist på figur 6.53.
ø200
150
200
Figur 6.53
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af tilslutningsstykket.
b) Du skal ved beregning bestemme et antal punkter til støtte for udfoldningstegningen.
231
232
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Opgave 171
Et tilslutningsstykke til en rørledning har udseende og mål i mm som
vist på figur 6.54.
ø150
150
ø300
Figur 6.54
a) Du skal tegne den geometriske udfoldningstegning af tilslutningsstykket.
b) Du skal ved beregning bestemme et antal punkter til støtte for udfoldningstegningen.
Problemopgaver
Opgave 172
31
32
Figur 6.55
På figur 6.55 er vist en plan over en del af en rækkehusbebyggelse, og
på figur 6.56 er vist et tværsnit af husene.
45°
25°
y
0,72
8
Figur 6.56
Målene er i meter.
Af arkitektoniske grunde er der en forskydning af husene, som det
fremgår af figur 6.56. Dog skal det være således, at den længste side af
tagfladerne flugter med hinanden. Det indebærer, at gulvkoten (højdemålet) på de to dele skal være forskellig.
a) Du skal bestemme målet y.
b) Du skal bestemme tagfladernes samlede areal.
Problemopgaver
Opgave 173
I en kugle med diameter lig med 50 mm bliver der boret et hul med en diameter lig med 20 mm. Kuglen er vist skåret midt igennem på figur 6.57.
Figur 6.57
a) Du skal bestemme kuglens overfladeareal før gennemboringen.
b) Du skal bestemme kuglens overfladeareal efter gennemboringen.
Opgave 174
En vandret liggende, cylindrisk formet beholder med endebunde formet som kugleafsnit har mål i meter som vist på figur 6.58.
2,5
0,5
4,6
0,5
Figur 6.58
Beholderen skal overfladebehandles med en maling, der har en rækkeevne på 5 m2/liter.
Du skal bestemme, hvor mange liter maling der medgår til overfladebehandlingen.
233
234
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Opgave 175
En lagertank er sammensat af tre dele som vist på figur 6.59.
0,3
1,6
1,6
90°
0,6
Figur 6.59
Den øverste del er udformet som en kuglekalot, den midterste del er
cylinderformet, og den nederste deler er formet som en keglestub med
åben bund.
Målene er i meter.
a) Du skal bestemme, hvor mange m² plade der medgår til fremstilling
af beholderen.
b) Du skal tegne en udfoldningstegning af keglestubben og bestemme
de mål, der er nødvendige for udklipningen.
Opgave 176
En tilbygning til et hus har udseende og mål i meter som vist på figur 6.60.
A
3
C
B
10
12
6
Figur 6.60
a) Der skal udlægges zink i skotrenderne AB og AC. Du skal bestemme, hvor mange meter zink der skal udlægges.
b) Du skal bestemme arealet af tilbygningens tagflade.
Problemopgaver
Opgave 177
En del af et ventilationsarrangement er vist på figur 6.61.
ø240
45°
100
ø150
1
2
3
4
5
6
100
7
400
ø300
100
300
R=
500
ø200
ø200
Figur 6.61
Der er i alt 7 dele, nummereret som vist, og målene er i mm.
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
Kegle.
Cylindrisk rørstykke.
Keglestub.
Cylindrisk rørstykke.
Tilslutningsstykke.
Keglestub.
90°’s rørbøjning.
a) Du skal tegne en geometrisk udfoldningstegning af samtlige dele.
b) Du skal for hver del bestemme et antal mål til støtte for udfoldningen.
235
236
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
Resumé 6. kapitel
Overflader mv.
Den krumme overflade af
en cylinder:
d
C
A
C
h
A = p ⋅ d ⋅ h= 2 ⋅ p ⋅ r ⋅ h
D
D
B
π.d=2.π.r
A
Den krumme overflade af
en kegle:
A=p ⋅r ⋅s
s
Vinklen v:
v=
360° ⋅ r
s
k = 2 ⋅ s ⋅ sin
r
B
Korden k:
v
2
C
s
v
k
Den krumme overflade af
en keglestub:
A = p ⋅ s ⋅ (R + r )
r
s
h
R
Vinklen v:
s2
360° ⋅ R
v=
s2
s1
v
Korden k:
k = 2 ⋅ s 2 ⋅ sin
v
2
k
Resumé 6. kapitel
Den krumme overflade af
en kugle:
d=
A = 4 ⋅ p ⋅ r 2 = p ⋅ d2
Den krumme overflade af
en kuglekalot:
Kugleafsnit
2r
a
h
A=p ⋅d⋅h
d = 2r
A = p ⋅ (a 2 + h 2 )
h
Den krumme overflade af
en kugleskive:
A=p ⋅d⋅h
Kugleskive
237
238
Teknisk matematik · OVERFLADER UDFOLDNINGER
239
RUMFANG
Kasse - retvinklet prisme
7
Kasse – retvinklet prisme
Har du en kasse som vist på figur 7.01, bestemmer du rumfanget (volumenet) således:
c
a
b
Figur 7.01
V = Grundfladens areal ⋅ højde
Med figurens benævnelser bliver det:
V=a·b·c
240
Teknisk matematik · RUMFANG
h
G
Figur 7.02
Har du et legeme som vist på figur 7.02, hvor de to endeflader er parallelle og ens, bestemmer du rumfanget således:
V=G·h
hvor G er grundfladens areal og h højden.
Et legeme, der som vist er begrænset af to parallelle og ens polygoner,
kalder du et prisme.
Massefylde
Når du har beregnet et legemes rumfang, vil du også kunne beregne
dets masse.
Du skal blot kende legemets massefylde, som er et udtryk for antal
kilogram pr. m3.
Dimensionen for massefylde skriver du således:
kg
m3
eller kg / m 3
Opgave 178
Et svømmebassin er formet som en kasse med sidelængder 5 og 10 meter. Vanddybden er 1,8 meter.
Du skal bestemme, hvor mange liter vand der er i bassinet.
Opgave 179
En terning har en kantlængde på 3 cm.
Du skal bestemme terningens rumfang og overfladeareal.
Massefylde
Opgave 180
En terning har et rumfang på 15 cm3.
Du skal bestemme terningens kantlængde.
Opgave 181
Et bassin har tvær- og længdesnit som vist på figur 7.03.
2
45°
2
3
Figur 7.03
Målene er i meter.
Du skal bestemme, hvor mange m3 vand der er i bassinet.
Opgave 182
En søjle er fremstillet med et tværsnit formet som en ligesidet sekskant
med en grundfladekant lig med 25 cm og en højde lig med 3,7 m.
Søjlen er fremstillet af et materiale med massefylde 2800 kg/m3.
Du skal bestemme søjlens masse i kg.
241
242
Teknisk matematik · RUMFANG
Cylinder - cylinderrør
På figur 7.04 har du en cylinder med diameter d = 2r og højde h.
d=
2
.r
h
Figur 7.04
Du bestemmer rumfanget af cylinderen således:
V = p ⋅ r2 ⋅ h =
p
⋅ d2 ⋅ h
4
På figur 7.05 har du et cylinderrør med benævnelser som vist.
d=
2
.r
h
D=
2
.R
Figur 7.05
Rumfanget af cylinderrøret bestemmer du således:
p

p
V = (p ⋅ R 2 − p ⋅ r 2 ) ⋅ h =  ⋅ D 2 − ⋅ d 2  ⋅ h
 4

4
Cylinder - cylinderrør
Opgave 183
En cylinderformet konservesdåse har en diameter lig med 10 cm.
Konservesdåsen skal have et rumfang på 1 liter.
a) Du skal bestemme dåsens højde.
b) Du skal bestemme, hvor meget plade der skal anvendes til fremstilling af konservesdåsen, når der kan regnes med et tab på 18 % ved
udklipning.
Opgave 184
En vandretliggende beholder med plane endebunde har følgende dimensioner:
Indvendig diameter = 900 mm
Indvendig længde = 1650 mm.
a) Du skal bestemme beholderens rumfang i liter.
b) En dag måles en væskehøjde på 330 mm (målt fra cylinderens bund
til væskeoverflade).
Du skal bestemme, hvor mange liter der er i beholderen.
Opgave 185
Et betonrør har følgende data:
Yderdiameter = 1,4 m
Inderdiameter = 1,2 m
Længde = 0,8 m
Massefylde = 2300 kg/m3.
Du skal bestemme rørets masse i kg.
243
244
Teknisk matematik · RUMFANG
Pyramide
Forestil dig, at du har en terning (figur 7.06), hvor alle diagonalerne er
indtegnet.
a
a
Figur 7.06
Du deler terningen som vist i seks ens pyramider med terningens sidea
flader som grundflader, og højderne lig med .
2
Rumfanget af en pyramide kan du skrive som:
1
V = ⋅ a3
6
som du også kan skrive:
V=
1 2 1
⋅a ⋅ ⋅a
3
2
Dette udtryk kan du ”oversætte” til en alment gældende formel for
rumfang af en pyramide:
V=
1
⋅G⋅h
3
hvor G er grundfladens areal og h pyramidens højde.
h: pyramidens højde
sidekant (s)
højde på sideflade (hs)
grundfladekant
G: pyramidens grundflade
Figur 7.07
På figur 7.07 har du en pyramide, hvor der er vist størrelser og benævnelser, der er almindelige. Dem skal du bemærke dig, da du vil møde
dem, når du arbejder med pyramider.
Pyramide
Eksempel 7.01
En beholder har form som en pyramide med kvadratiske endeflader
som vist på figur 7.08.
3
1,5
2
hs
Figur 7.08
Sidelængden i endefladen er 3 m, og pyramidens højde er 2 m.
a) Du skal bestemme beholderens rumfang.
b) Beholderen skal overfladebehandles udvendig. Du skal derfor bestemme beholderens overfladeareal.
a)
Du kan bestemme rumfanget ved at benytte formlen:
V=
1
⋅G⋅h
3
V=
1
⋅3⋅3⋅2
3
V = 6 m3
b)
Arealet af en sideflade kan du bestemme af:
A=
1
⋅ hs ⋅ 3
2
Her mangler du hs, men den kan du finde i den retvinklede trekant som
vist på figur 7.08.
h s 2 = 1, 52 + 22
h s = 1, 52 + 22
h s = 2, 5
Da der er fire sideflader, kan du nu bestemme beholderens overfladeareal:
A=4⋅
1
⋅ 2, 5 ⋅ 3
2
A = 15 m2
245
246
Teknisk matematik · RUMFANG
Pyramidestub
På figur 7.09 har du billedet af en pyramidestub.
g
h
G
Figur 7.09
Rumfanget af en pyramidestub bestemmer du af formlen:
V=
1
⋅ h ⋅ (G + g + G ⋅ g )
3
hvor:
h er pyramidens højde
G er arealet af pyramidens bundflade
g er arealet af pyramidens topflade.
Opgave 186
En pyramide har en kvadratisk grundflade med en grundfladekant lig
med 8 cm, og en højde lig med 10 cm.
a) Du skal bestemme pyramidens rumfang.
b) Du skal bestemme pyramidens totale overfladeareal.
Opgave 187
En pyramide med en sekskantet, ligesidet grundflade har en grundfladekant lig med 5 cm, og en sidekantlængde lig med 8 cm.
a) Du skal bestemme pyramidens rumfang.
b) Du skal bestemme pyramidens totale overfladeareal.
Opgave 188
En pyramide med en 8-kantet, ligesidet grundflade har en grundfladekant lig med 3 cm, og en højde lig med 6 cm.
a) Du skal bestemme pyramidens rumfang.
b) Du skal bestemme pyramidens totale overfladeareal.
Kegle - keglestub
Opgave 189
En pyramidestub med kvadratiske endeflader har en sidelængde i
bundfladen lig med 12 cm. Pyramidestubbens højde er lig med 8 cm.
Pyramidestubbens sideflader danner en vinkel på 60° med bundfladen.
a) Du skal bestemme længden af en side i topfladen.
b) Du skal bestemme pyramidestubbens rumfang.
c) Du skal bestemme pyramidestubbens totale overfladeareal.
Kegle - keglestub
På figur 7.10 har du billedet af en kegle.
A
h
d=2·r
Figur 7.10
Du bestemmer rumfanget af keglen ud fra formlen:
V=
1
⋅G⋅h
3
247
248
Teknisk matematik · RUMFANG
Indsætter du keglens benævnelser, får du:
V=
1
1 p
⋅ p ⋅ r 2 ⋅ h = ⋅ ⋅ d2 ⋅ h
3
3 4
V=
p 2
p
⋅r ⋅h=
⋅ d2 ⋅ h
3
12
På figur 7.11 har du billedet af en keglestub.
r
h
R
Figur 7.11
Du bestemmer rumfanget af en keglestub af formlen:
V=
p
⋅ h ⋅ (R 2 + r 2 + R ⋅ r )
3
hvor:
h er højde i keglestubben
R er radius i keglestubbens bundflade
r er radius i keglestubbens topflade.
Opgave 190
En tragt med form som en kegle har en diameter i grundfladen lig med
8 cm, og længden af sidelinjen s er lig med 14 cm.
a) Du skal bestemme tragtens rumfang.
b) Du skal bestemme, hvor meget pladeareal der medgår til fremstilling af tragten.
c) Du skal bestemme centervinklen i udfoldningstegningen af tragten.
Opgave 191
Et vandreservoir har form af en keglestub med følgende dimensioner:
Overfladediameter = 16 m
Bundfladediameter = 8 m
Vanddybde = 4 m
Du skal bestemme, hvor mange m3 vand vandreservoiret indeholder.
Kugle - kugleafsnit - kugleudsnit
Kugle - kugleafsnit - kugleudsnit
På figur 7.12 har du billedet af en kugle.
r
d=2
Figur 7.12
Rumfanget af en kugle kan du bestemme af formlen:
V=
4
p
⋅ p ⋅ r 3 = ⋅ d3
3
6
På figur 7.13 har du billedet af et kugleafsnit.
a
h
d
Figur 7.13
Rumfanget af et kugleafsnit kan du bestemme af formlerne:
V=
p
⋅ h 2 ⋅ (3d − 2h ) eller
6
V=
p
⋅ h ⋅ (3 ⋅ a 2 + h 2 )
6
249
250
Teknisk matematik · RUMFANG
På figur 7.14 har du billedet af et kugleudsnit, som består af en kegle
og et kugleafsnit.
h
d
Figur 7.14
Rumfanget af et kugleudsnit kan du bestemme af formlen:
V=
p
⋅ d2 ⋅ h
6
Opgave 192
Af en kugle med en diameter lig med 16 cm afskæres et kugleafsnit
med en højde lig med 1,8 cm.
a) Du skal bestemme kugleafsnittets rumfang.
b) Du skal bestemme kugleafsnittets totale overfladeareal.
Opgave 193
En massiv kugle har en diameter lig med 100 mm. I kuglen bliver boret
et hul med en diameter lig med 50 mm (se figur 7.15).
ø50
Figur 7.15
Du skal bestemme, hvor meget kuglens rumfang er reduceret i %.
Guldins regler
Guldins regler
Schweizeren Guldin (1577-1643) har i en bog fra 1641 omtalt nogle regler om arealer og rumfang. Disse regler er siden blevet kaldt
”Guldins regler”.
De supplerer de øvrige rumfangsformler, og i mange tilfælde vil du
få et nemmere og mere overskueligt beregningsforløb ved at anvende
”Guldins regler”.
Den første regel handler om arealberegning.
Forestil dig, at du har et linjestykke med en længde L, som du drejer
360° om en akse (se figur 7.16).
a
v
L
Figur 7.16
Herved fremkommer et legeme, hvor du kan udtrykke overfladens
areal således:
A=2 ⋅ p ⋅ a ⋅ L
Som du sikkert kan genkende, er det nøjagtigt det samme som arealet
af den krumme overflade af en cylinder.
Guldin udtrykker det bare anderledes, idet han siger, at:
Overfladearealet er lig med den vej, tyngdepunktet gennemløber,
ganget med linjestykkets længde.
251
252
Teknisk matematik · RUMFANG
Prøv og se lidt nøjere på denne formulering.
Tyngdepunktet for linjestykket L ligger midt på linjestykket.
I forhold til aksen, som linjestykket L skal drejes om, er ”den vej,
tyngdepunktet gennemløber” lig med 2 ⋅ p ⋅ a, og linjens længde er
lig med L.
Drejer du ikke 360°, men en vilkårlig vinkeldrejning v, får du følgende
formel:
A=2⋅p ⋅a⋅L ⋅
v
360°
Denne formel udtrykker Guldins 1. regel.
Du får nu Guldins 2. regel.
Forestil dig, at du har et areal A, som du drejer 360° om en akse (se
figur 7.17).
a
A
v
Figur 7.17
Herved fremkommer et legeme, hvis rumfang er lig med den vej, tyngdepunktet gennemløber, ganget med arealet.
Udtrykker du det i en ligning, bliver det:
V=2 ⋅ p ⋅ a ⋅ A
Tyngdepunktet ligger her i diagonalerne skæringspunkt, og afstanden
a er afstanden mellem tyngdepunktet og aksen.
Drejer du ikke 360°, men en vilkårlig vinkeldrejning v, får du følgende
formel:
V=2⋅p⋅a⋅A⋅
v
360°
Denne formel udtrykker Guldins 2. regel.
Du kan få til opgave at bestemme overfladearealer eller rumfang af legemer med ret så komplicerede tværsnitsformer.
Fremgangsmåden er, at du deler tværsnittet op i en række geometriske grundfigurer, som du så hver for sig benytter Guldins regler på.
Guldins regler
Du får derfor brug for at vide, hvor tyngdepunktet er placeret for
disse geometriske grundfigurer.
Guldins 1. regel drejede sig om arealer, så du får først et par formler
for tyngdepunktets placering for linjer.
a
r
Figur 7.18
På figur 7.18 har du en halvcirkel. Tyngdepunktets placering bestemmer du af formlen:
a = 0,637 ⋅ r
b
r
a
k
Figur 7.19
På figur 7.19 har du et buestykke. Tyngdepunktets placering bestemmer du af formlen:
r ⋅ k
a=
b
Guldins 2. regel omhandlede rumfang, så du får her en oversigt over
placeringen af tyngdepunktet for forskellige arealer.
h
a
Figur 7.20
På figur 7.20 har du en trekant. Tyngdepunktets placering bestemmer
du af formlen:
1
a= ⋅ h
3
253
254
Teknisk matematik · RUMFANG
r
a
Figur 7.21
På figur 7.21 har du en halvcirkel. Tyngdepunktets placering bestemmer du af formlen:
4⋅r
a=
3⋅p
b
r
a
k
Figur 7.22
På figur 7.22 har du et cirkeludsnit. Tyngdepunktets placering bestemmer du af formlen:
2⋅r⋅k
3⋅b
a=
r
a
k
Figur 7.23
På figur 7.23 har du et cirkelafsnit. Tyngdepunktets placering bestemmer du af formlen:
a=
k3
12 ⋅ A
hvor A er lig med cirkelafsnittets areal.
Guldins regler
Eksempel 7.02
En retvinklet trekant ABC med sidelængder 3, 4 og 5 cm er indlagt i et
koordinatsystem som vist på figur 7.24.
y
B (1,5)
5
4
C (1,1)
3
A (4,1)
x
Figur 7.24
a) Du skal bestemme overfladen af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
b) Du skal bestemme rumfanget af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
a)
Du kan benytte Guldins 1. regel på hver af de tre sider. Du kan bestemme tyngdepunktsafstandene for de tre sider og indtegne dem som
vist på figur 7.25.
y
B
1
C
2,5
A
x
Figur 7.25
Overfladearealet for de enkelte sider får du således:
AAC = 2 ⋅ p ⋅ 2,5 ⋅ 3 = 47,12
ABC = 2 ⋅ p ⋅ 1 ⋅ 4
= 25,13
AAB = 2 ⋅ p ⋅ 2,5 ⋅ 5 = 78,54
Samlet overfladeareal = 150,79 cm2
255
256
Teknisk matematik · RUMFANG
b)
Her kan du benytte Guldins 2. regel: V = 2 ⋅ p ⋅ a ⋅ A
y
B
C
A
a1
x
Figur 7.26
Her mangler du a, men kan starte med at bestemme trekantens
tyngdeafstand a1 som vist på figur 7.26.
1
1
a1 = ⋅ h = ⋅ 3 = 1
3
3
Tyngdeafstanden a kan du herefter bestemme:
a = a1 + 1 = 1 + 1 = 2
Endelig kan du bestemme rumfanget:
V = 2 ⋅p ⋅ 2 ⋅
V = 75, 4 cm 3
1
⋅3⋅4
2
Opgave 194
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med vinkelspidser A(1,1),
B(1,4) og C(4,3).
a) Du skal bestemme overfladen af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
b) Du skal bestemme rumfanget af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
Opgave 195
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med vinkelspidser A(2,3),
B(7,1) og C(7,9).
a) Du skal bestemme overfladen af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
b) Du skal bestemme rumfanget af det legeme, der fremkommer, når
du drejer trekanten 360° om y-aksen.
Problemopgaver
Problemopgaver
Opgave 196
En 10 meter dyb kanal har et tværsnit formet som et ligesidet trapez.
Foroven er bredden på kanalen 80 meter og forneden er bredden 30
meter. Kanalen er 250 km lang.
a) Du skal bestemme, hvor mange m3 jord der skal fjernes ved udgravning til kanalen.
b) Du skal bestemme, hvor mange m3 vand der er i kanalen, når vandet
står 8 meter højt.
Opgave 197
Et svømmebassin med lodrette sider er 25 meter langt og 25 meter
bredt. Bunden skråner fra en dybde på 1,5 meter i den ene ende til en
dybde på 3,5 meter i den anden ende.
Bassinet er fyldt med vand til en afstand af 30 cm fra bassinets overkant.
Vandet tømmes ud af bassinet ved hjælp af to pumper, der yder
henholdsvis 300 og 350 liter/minut.
Du skal bestemme, hvor lang tid tømningen tager.
257
258
Teknisk matematik · RUMFANG
Opgave 198
En del af en rørslange til et køleanlæg er vist på figur 7.27.
900
Z
Y
30°
R = 250
X
I
II
Figur 7.27
Røret er bukket i facon og målene er i mm. Røret har følgende dimensioner:
Yderdiameter = 100 mm
Inderdiameter = 90 mm
a) Du skal bestemme, hvor mange liter røret kan rumme inden for de
to viste snit I og II.
b) Du skal bestemme rørets indvendige overfladeareal mellem snit I
og II.
c) Du skal bestemme afstandene x, y og z.
Opgave 199
En dunk, der indeholder petroleum, har indvendige mål i mm som vist
ø40
på figur 7.28.
40
60
80
250
ø180
ø240
Figur 7.28
Du skal bestemme, hvor mange liter petroleum dunken indeholder
med den viste væskehøjde.
Problemopgaver
Opgave 200
Der skal fremstilles 100 ringe, som er vist gennemskåret på figur 7.29.
D
d
h
Figur 7.29
Ringene er fremstillet af materiale med massefylde 7800 kg/m3.
Ringenes dimensioner er D = 50 mm, d = 30 mm og h = 10 mm.
a) Du skal bestemme de 100 ringes masse i kg.
b) På halvdelen af ringene foretages en bearbejdning, således at tværsnittet får udseende som vist på figur 7.30.
d
h
D
Figur 7.30
Du skal bestemme de 50 ringes masse i kg.
c) På den sidste halvdel af ringene foretages en bearbejdning, således
at tværsnittet får udseende som vist på figur 7.31.
d
h
4
D
Figur 7.31
Du skal bestemme de sidste 50 ringes masse i kg.
259
Teknisk matematik · RUMFANG
260
Resumé 7. kapitel
Retvinklet prisme
Kasse
V=G · h
G = grundarealet
V=a · b · h
h
G
Cylinderrør
p
⋅ d2 ⋅ h
4
d=2.r
V = (p ⋅ R 2 − p ⋅ r 2 ) ⋅ h
p

p
V =  ⋅ D 2 − ⋅ d 2  ⋅ h
 4

4
h
d=2.r
h
D=2.R
D = ydre diameter
d = indre diameter
R = ydre radius
r = indre radius
Pyramide
V=
b
a
Cylinder
V = p ⋅ r2 ⋅ h =
h
Pyramidestub
g
1
V = ⋅ h (G + g + G ⋅ g )
3
1
⋅ G ⋅h
3
h
h
G = grundarealet
g = areal af topflade
G = areal af bundflade
G
G
Kegle
Keglestub
A
V=
p
⋅ d2 ⋅ h
12
V=
p 2
⋅r ⋅h
3
V=
h
p
⋅ h (R 2 + r 2 + R ⋅ r )
3
r
h
R
d=2·r
Resumé 7. kapitel
Guldins 1. regel
A=2⋅p ⋅a⋅L ⋅
261
Guldins 2. regel
v
360°
V=2⋅p⋅a⋅A⋅
v
360°
a
a
A
L
v
v
Kugle
V=
Kugleudsnit
4
p
⋅ d3 = ⋅ p ⋅ r 3
6
3
V=
Kugleafsnit
p
⋅ d2 ⋅ h
6
V=
p
⋅ h 2 ⋅ (3d − 2h )
6
V=
p
⋅ h ⋅ (3 ⋅ a 2 + h 2 )
6
a
h
h
r
d=2
d
d
262
Teknisk matematik · 
263
ANALYTISK
PLANGEOMETRI
8
Hvad er analytisk plangeometri?
Den analytiske plangeometri er en naturlig videreudvikling af geometrien og trigonometrien, som du stiftede bekendtskab med i henholdsvis kapitel 3 og 4.
Geometriske elementer som linjer, vinkler, polygoner og cirkler kan
du indlægge i det retvinklede koordinatsystem, og du vil få at se, at disse
elementer kan få en beregningsmæssig form, som du kan arbejde med.
Her kan du også få god hjælp af din grafregner, idet du kan tegne
et billede af mange af elementerne. Samtidig kan du udnytte de beregningsmæssige faciliteter, der ligger i grafregneren.
Figur 8.01 illustrerer nogle af elementer, du vil støde på i dette kapitel.
y
x
Figur 8.01
264
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
I de følgende afsnit bliver du præsenteret for de enkelte elementer.
Du får at se, hvilken matematisk form de har, og hvordan du kan håndtere og bruge dem i et beregningsforløb.
Afstandsformlen
Du vil nu få at se, hvorledes du kan bestemme afstanden mellem to
punkter A(x1,y1) og B(x2,y2) (se figur 8.02).
y
B(x2,y2)
A(x1,y1)
C
x
Figur 8.02
Du tegner en retvinklet trekant og bestemmer koordinaterne til punkt C.
Det bliver C(x2,y1).
Herefter kan du ved hjælp af koordinaterne bestemme afstanden AC.
Det bliver x2 - x1.
På tilsvarende måde kan du bestemme afstanden BC, som bliver
y2 - y1.
Nu kan du benytte Pythagoras’ læresætning på trekanten. Du får:
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
2
2
AB = (x 2 - x1 ) + (y 2 - y 1 )
Du har hermed fået en formel, som du kan benytte, når du skal bestemme afstanden mellem to punkter i koordinatsystemet.
Formlen kalder du afstandsformlen.
Et linjestykkes midtpunkt
Eksempel 8.01
Du har givet punkterne A(-3,4) og B(8,-2).
Du skal bestemme afstanden AB.
Du kan direkte indsætte i afstandsformlen. Det bliver:
AB =
2
(8 - (-3)) + (-2 - 4)
2
2
AB = 112 + (-6)
AB = 12, 53
Opgave 201
I en trekant ABC er vinkelspidserne A(8,1), B(-4,3) og C(-1,-4).
Du skal bestemme længden af trekantens sider.
Opgave 202
Du har givet to punkter: A(x,-3) og B(2,5).
Du skal bestemme x, når afstanden:
a) AB = 6
b) AB = 8
c) AB = 10
Opgave 203
Du har givet punkterne A(4,2) og B(-2,y) og afstanden AB = 9.
Du skal bestemme y.
Et linjestykkes midtpunkt
Du har et linjestykke med endepunkter A(x1,y1) og B(x2,y2) som vist på
figur 8.03.
y
B
M
A
C
x
Figur 8.03
265
266
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Du skal bestemme koordinaterne til linjestykkets midtpunkt.
Du kalder midtpunktet på linjestykket AB for M(x,y).
Du tegner en retvinklet trekant og bestemmer koordinaterne til
punkt C. Det bliver C(x2,y1).
Du kan bestemme x-værdien til midtpunktet på AC således:
x=
x1 + x 2
2
På tilsvarende måde kan du bestemme y-værdien til midtpunktet på
siden BC.
y=
y1 + y 2
2
Projicerer du henholdsvis vandret og lodret fra de to siders midtpunkter, får du midtpunktet M på siden AB.
Koordinaterne til midtpunktet M kan du beskrive således:
 x + x1 y 2 + y 1 
M (x , y) =  2
,

 2
2 
Hermed har du en formel, som du kan benytte, når du skal bestemme
midtpunktet på et linjestykke.
Areal
Eksempel 8.02
Du skal bestemme midtpunktet på linjestykket AB, når du har givet
punkterne A(-5,-3) og B(8,10) som vist på figur 8.04.
y
12
B(8,10)
10
8
6
4
-6
-4
2
-2
-2
A( -5,-3)
2
4
6
8
10
x
-4
-6
Figur 8.04
Du kan indsætte direkte i formlen. Det bliver:
 −5 + 8 −3 + 10 
M (x , y) = 
,

 2
2 
M (x , y) = (1, 5 ; 3, 5)
Opgave 204
I en trekant ABC er vinkelspidserne A(6,2), B(-3,5) og C(-1,-2).
a) Du skal bestemme koordinaterne til midtpunkterne på trekantens
tre sider.
b) Du skal bestemme længden af trekantens tre medianer.
Areal
Skal du bestemme arealet af en vilkårlig polygon, er det en fordel, at
du indlægger polygonen i et koordinatsystem og får bestemt koordinaterne til hjørnepunkterne.
Herved får du nem og overskuelig arealberegning.
Du får vist princippet i det kommende eksempel.
Eksempel 8.03
Du skal bestemme arealet af firkant ABCD, når koordinaterne til hjørnepunkterne er A(3,1), B(-1,4), C(-2,-2) og D(2,-3).
267
268
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Du afsætter punkterne i et koordinatsystem og tegner rundt om firkanten et rektangel som vist på figur 8.05.
B(-1,4)
y
1
2
v1
A(3,1)
x
v2
C(-2,-2)
4
3
D(2,-3)
Figur 8.05
Princippet er, at du bestemmer arealet af rektanglet og herfra trækker
arealerne af de fire retvinklede trekanter, der er markeret ”1”, ”2”, ”3”
og ”4”.
Du kan beskrive beregningsforløbet således:
Rektangel:
Areal = 7 ⋅ 5
= 35
Trekant 1:
Areal =
1
⋅3⋅4
2
= 6
Trekant 2:
Areal =
1
⋅1⋅6
2
= 3
Trekant 3:
Areal =
1
⋅1⋅4
2
= 2
Trekant 4:
Areal =
1
⋅1⋅4
2
=
2
13
Areal af firkant ABCD = 35 - 13 = 22
Princippet kan også anvendes, hvis du skal bestemme vinklerne i polygonen. Du kan bestemme vinklerne i de retvinklede trekanter og derefter bestemme vinklerne i polygonen.
x1
1
.
real = x2
2 x3
x1
Areal
Har du fx bestemt vinklerne v1 og v2 som vist på figur 8.05, kan du
finde vinkel A = 180° - v1 - v2.
Skal du bestemme arealet af en trekant, hvor du kender koordinaterne
til hjørnepunkterne, kan du også gøre det ved hjælp af en determinantformel. Baggrunden for den, får du vist i det kommende.
Du har en trekant ABC med hjørnepunkter placeret som vist på figur 8.06.
y
D(x1,y2)
B(x2,y2)
A(x1,y1)
x
C(x3,y3)
E(x1,y3)
Figur 8.06
Du indlægger punkterne D og E, således at der fremkommer et trapez.
Arealet af trekant ABC kan du bestemme ved at finde trapezets areal
og herfra trække arealerne af de to retvinklede trekanter.
I en ligning kan du skrive det på følgende måde:
Areal =
1
1
1
⋅ (BD + CE) ⋅ DE - ⋅ BD ⋅ AD - ⋅ CE ⋅ AE
2
2
2
Stykket BD kan du udtrykke ved hjælp af koordinaterne:
BD = x1 - x2
På tilsvarende måde med de andre stykker. Indsætter du koordinaterne, får du arealformlen til at se således ud:
Areal =
1
⋅ {[(x1 - x2) + (x1 - x3)] ⋅ (y2 - y3) - (x1 - x2) ⋅ (y2 - y1) - (x1 - x3) ⋅ (y1 - y3)}
2
Du kan udregne og reducere udtrykket, så det får denne form:
1
Areal =
⋅|x1 ⋅ y2 + x2 ⋅ y3 + x3 ⋅ y1 - x2 ⋅ y1 - x3 ⋅ y2 - x1 ⋅ y3|
2
Det er sat numerisk tegn om udtrykket, og det skyldes, at du kan
tage hjørnepunkterne i en rækkefølge, der kan give et negativt tal.
På baggrund af udtrykket kan du ”konstruere” en determinantformel,
som kommer til at se således ud:
x1
Areal = 1 . x2
y1
y2
= 12 .
y3
y1
2 x3
x1
y1
y2
= 12 . |x1 ⋅ y 2 + x 2
y3
y1
⋅ y 3 + x 3 ⋅ y1 - x 2 ⋅ y1 - x 3 ⋅ y 2 - x1 ⋅ y 3 |
269
270
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Som det fremgår af formlen, skal du lægge alle de produkter sammen,
når du går ”skråt nedad mod højre”.
På tilsvarende måde skal du trække de produkter fra, der dannes,
når du går ”skråt opad til højre”.
Eksempel 8.04
En trekant indlagt i et koordinatsystem har følgende koordinater til
hjørnepunkterne: (-2,-2), (1,6) og (4,-3).
Du skal bestemme trekantens areal.
Da det kun er trekantens areal, du skal finde, kan du anvende determinantformlen direkte.
Du kan tage hjørnepunkterne i den rækkefølge, de er givet.
Indsat i formlen bliver det:
-2
-2
Areal = 1 . 1
2
4
-2
-3
6
-2
=
1
|(-2) ⋅ 6 + 1 ⋅ (-3) + 4 ⋅ (-2) - 1 (-2) - 4 ⋅ 6 - (-2) ⋅ (-3)|
2
=
1
⋅ |-51|
2
Areal = 25,5
Opgave 205
Du skal bestemme arealet af trekant ABC, når koordinaterne til hjørnepunkterne er:
a) A(14,12)
b) A(-4,-8)
c) A(6,-14)
B(-3,4)
B(0,7)
B(22,45)
C(8,0)
C(6,0)
C(32,12)
Opgave 206
I en trekant ABC er koordinaterne til hjørnepunkterne A(8,3), B(6,1) og
C(14,-4).
a) Du skal bestemme trekantens areal.
b) Du skal bestemme størrelsen af vinkel A, B og C.
Linjens ligning
Opgave 207
I en firkant ABCD er koordinaterne til hjørnepunkterne A(4,1), B(-2,4),
C(-3,-2) og D(2,-4).
a) Du skal bestemme firkantens areal.
b) Du skal bestemme størrelsen af vinkel A, B, C og D.
Opgave 208
Du skal bestemme arealet af sekskant ABCDEF, når koordinaterne til
hjørnepunkterne er A(-1,1), B(0,3), C(4,4), D(5,-1), E(2,-4) og F(1,-3).
Linjens ligning
Nu skal du i gang med rette linjer.
Du får som udgangspunkt givet ligningen
y = 2x
Du kan vælge en x-værdi, indsætte denne i den givne ligning, og du
kan hermed beregne en y-værdi.
Her er valgt nogle x-værdier, og du kan beregne de tilhørende y-værdier:
x = 0:
x = 1:
x = -1:
x = 2:
x = -2:
x = 3:
x = -3:
y=2 ⋅ 0
y=2 ⋅ 1
y = 2 ⋅ (-1)
y=2 ⋅ 2
y = 2 ⋅ (-2)
y=2 ⋅ 3
y = 2 ⋅ (-3)
=0
=2
= -2
=4
= -4
=6
= -6
271
272
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
For at give dig et bedre overblik over sammenhængen mellem x og y
afsættes de fundne værdier i et koordinatsystem (figur 8.07 ).
y
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
-10
Figur 8.07
Som du kan se, ligger punkterne på en linje, som går gennem (0,0).
Billedet af ligningen y = 2x er altså en linje, som går gennem punkterne (0,0) og (1,2).
Af praktiske grunde er valgt punkterne med x = 0 og x = 1 .
Med denne baggrund kan du formulere følgende regel:
En ligning af formen y = a · x vil fremstille en linje, som går gennem punkterne (0,0) og (1,a) - figur 8.08.
y
1
(0,0)
y = ax
a
1
x
Figur 8.08
a svarer til 2-tallet i eksemplet, og du kalder a for stigningstallet eller
hældningskoefficienten.
Hermed har du en ”opskrift” for rette linjer, som går gennem (0,0).
Linjens ligning
Når ligningen er givet på denne form y = ax, kaldes x og y ligefrem
proportionale.
Sagt på en lidt anden måde - når x-værdien vokser, vil y-værdien
vokse i samme takt.
Indtast på din grafregner følgende ligninger:
y=
3x
y=
1,5x
y=
0,5x
y=
0
y = -0,5x
y = -1,5x
y=
-3x
Du får et billede, som ser ud som vist på figur 8.09.
Figur 8.09
Når du ser på en linje, så se på den fra venstre mod højre.
Som du kan se, peger linjerne opad, når stigningstallet a er positivt.
Når y = 0, er stigningstallet a = 0, og linjen er sammenfaldende med
x-aksen.
Når stigningstallet a er negativt, peger linjerne nedad.
273
274
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Ligningerne for vandrette og lodrette linjer er lidt anderledes. Du får
først ligningen for den vandrette:
En ligning af formen y = b vil fremstille en vandret linje gennem
(0,b) - figur 8.10.
Her er ingen krav til x.
y
y=b
(0,b)
x
Figur 8.10
Så får du ligningen for en lodret linje:
En ligning af formen x = c vil fremstille en lodret linje, der går gennem punktet (c,0) (se figur 8.11).
Her er ingen krav til y.
y
x=c
(c,0)
x
Figur 8.11
Opgave 209
Siderne i en trekant er givet ved følgende ligninger:
siden a: x = 7
siden b: y = 2
siden c: y =
1
⋅x
2
a) Du skal indtegne linjerne i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne A, B og C.
c) Du skal bestemme størrelsen af vinklerne A, B og C.
d) Du skal bestemme trekantens areal.
Linjens ligning
Opgave 210
Siderne i en firkant er givet ved følgende ligninger:
Siden AB: y + 2 ⋅ x = 0
Siden BC: x + 5 = 0
Siden CD: 0 = 4 + y
Siden AD: 4 ⋅ x - y = 0
a) Du skal indtegne linjerne i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne A, B, C og D.
c) Du skal bestemme størrelsen af vinklerne A, B, C og D.
d) Du skal bestemme firkantens areal.
<<< Opgave
Du skal nu møde linjer, der ikke går gennem (0,0).
Du har givet ligningen
y = 2x + 1
Tast ligningen ind på din grafregner.
Du får et billede som vist på figur 8.12.
Figur 8.12
Indsætter du x = 0 i ligningen, får du:
x = 0: y = 2 ⋅ 0 + 1 = 1
Linjen skærer y-aksen i punktet (0,1).
Indsætter du x = 1 i ligningen, får du:
x = 1: y = 2 ⋅ 1 + 1 = 3
Linjen går også igennem punktet (1,3).
Det nye i ligningen er 1-tallet, som har den betydning, at linjen forskydes
i y-aksens retning.
275
276
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Du får hermed følgende ”opskrift”:
En ligning af formen y = ax + b, vi l fremstille en linje, som går gennem punktet (0,b) og (1, a + b) - figur 8.13.
y
2
(0,b)
a
1
b
(0,0)
1
2
x
Figur 8.13
Skæring mellem linjer
Du har tidligere i bogen arbejdet med skæringspunktet mellem to linjer. Der var nogle beregningsmetoder, indsættelsesmetoden, lige store
koefficienters metode og determinantmetoden, men der var også en
mulighed på din grafregner, så lad os repetere den metode i det kommende eksempel.
Eksempel 8.05
Du har givet ligningerne:
y = -0,5x + 3
og
y = 1,5x - 1
Bestem ved hjælp af grafregneren skæringspunktet mellem de to linjer.
Du skal have valgt enheder på akserne i koordinatsystemet.
Skæring mellem linjer
Du kan vælge:
xmin: -1
xmax:
4
scl:
1
ymin: -1
ymax:
4
scl:
1
Tast derefter ligningerne ind i graf-menuen.
Du får et billede som vist på figur 8.14.
Figur 8.14
Grafregneren kan derefter hjælpe dig med at bestemme skæringspunktet, som bliver (2,2).
Opgave 211
Du skal bestemme skæringspunktet mellem linjerne, som er givet ved
følgende ligninger:
a) I: y - 5x = 0
b) I: 2y - 3x + 6 = 0
c) I: 15y + 18x - 45 = 0
II: y -4x - 3 = 0
II: 3y + 3x - 6 = 0
II: 10y - 18x - 35 = 0
Opgave 212
En firkant er givet ved ligningerne:
Siden AB: 2y - x = 0
Siden BC: x = 6
Siden CD: y = -1
Siden AD: y + x - 3 = 0
a) Du skal indtegne linjerne i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme koordinaterne til hjørnepunkterne A, B, C og D.
c) Du skal bestemme firkantens areal.
277
278
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Stigningstal
Stigningstallet a for en linje har du allerede arbejdet en hel del med.
Du skal nu se, hvordan du kan bestemme stigningstallet a, når du
kender et par punkter på linjen.
Ligeledes skal du se, hvordan du kan bestemme den vinkel, som
linjen danner med x-aksen.
Forestil dig, at du har givet en linje med punkterne (x1,y1) og (x2,y2) figur 8.15.
y
(x2,y2)
y2 - y1
(x1,y1)
a
v
v
x2 - x1
1
1
x
Figur 8.15
På figuren indtegner du to retvinklede trekanter, og vinklen mellem
linjen og vandret kaldes v.
Af de to trekanter kan du udtrykke tan v:
y - y1
a
tan v = = a
tan v = 2
1
x 2 - x1
a = tan v =
y 2 - y1
x 2 - x1
De to udtryk kan du trække sammen som vist, og du får en ligning,
der giver dig en sammenhæng mellem en linjes stigningstal a, linjens
vinkel v med vandret og to givne punkter på linjen.
Vinkel mellem to linjer
Vinkel mellem to linjer
Med dit kendskab til sammenhængen mellem en linjes stigningstal a og
linjens vinkel v med vandret udtrykt i ligningen,
a = tan v
kan du bestemme vinklen mellem to linjer.
Har du to linjer beliggende i koordinatsystemet, er det mest overskueligt at gå ud fra skæringspunktet mellem dem.
Du får to situationer.
y
v
v2
v1
x
Figur 8.16
Ligger de to linjer som vist på figur 8.16, kan du bestemme vinklen som
v = v1 - v2
Vinklerne v1 og v2 bestemmer du ud fra
tan v1 = a1 og tan v2 = a2
hvor a1 og a2 er de to linjers stigningstal.
y
v1
v
v2
x
Figur 8.17
Ligger linjerne som vist på figur 8.17, får du vinklen som:
v = v1 + v2
Vinklerne v1 og v2 bestemmer du på samme måde som før.
279
280
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Opgave 213
I et koordinatsystem er givet to linjer med ligningerne:
1: y = 2x - 3
2: y = 0,8x + 1
Du skal bestemme vinklen mellem de to linjer.
Opgave 214
I et koordinatsystem er givet to linjer med ligningerne:
1: y - 0,3x - 4 = 0
2: 1,2x + y = 8
Du skal bestemme vinklen mellem de to linjer.
Opgave 215
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC, hvis sider har følgende
ligninger:
Siden a: 3y + 3x + 15 = 0
Siden b: 2y - 6x - 4 = 0
Siden c: x = -3
Du skal bestemme størrelsen af trekantens vinkler A, B og C.
Opstilling af linjens ligning
Linjens ligning
y = ax + b
har du set tidligere.
Stigningstallet a fortæller dig noget om linjens hældning, og b er det
stykke, der afskæres på y-aksen.
Når du skal opstille linjens ligning, er det størrelserne a og b, du skal
bestemme.
Den fremgangsmåde, du skal benytte, er afhængig af de oplysninger,
der er givet.
Forestil dig, at linjens stigningstal a er kendt og ligeledes et punkt (x1,y1)
på linjen.
Disse to ting kan du indsætte i linjens ligning:
y = ax + b
Du får: y1 = ax1 + b
Opstilling af linjens ligning
De to ligninger løser du med hensyn til b:
y - ax = b y1 - ax1 = b
Nu kan du danne en ny ligning bestående af de to ”venstresider”. Du får:
y - ax = y1 - ax1
Denne ligning kan du omskrive til:
y - y1 = a(x - x1)
Dette udtryk for linjens ligning kan du med fordel anvende, når du
kender linjens stigningstal a og et punkt (x1,y1) på linjen.
Eksempel 8.06
En linje går gennem punkterne (3,2) og (8,4).
Du skal opstille en ligning for den linje, der går gennem de to punkter.
Punkterne afsættes i et koordinatsystem, linjen kan tegnes, og du får et
billede som vist på figur 8.18.
y
(8,4)
(3,2)
x
Figur 8.18
Det er altid en god ide, at du tegner dig til løsningen. Det giver dig et
godt overblik, og du har her en mulighed for at kontrollere dine beregnede resultater.
Du skal først bestemme stigningstallet a, og det kan gøres ved indsættelse af de to punkter i:
a=
a=
y 2 - y1
x 2 - x1
4-2
8-3
a = 0, 4
281
282
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Herefter skal b bestemmes.
Det kan gøres på to måder, og du får dem begge at se.
”Løsning 1”
Du har fundet a = 0,4, og du har punkterne (3,2) og (8,4).
Du kan indsætte stigningstallet a og et af de to talpar i ligningen:
y - y1 = a(x - x1)
a = 0,4 og (3,2) indsættes:
y - 2 = 0,4(x - 3)
y - 2 = 0,4x - 1,2
Ligningen løses med hensyn til y:
y = 0,4x + 0,8
”Løsning 2”
Du ved, at linjen går gennem punkterne (3,2) og (8,4).
Et af de to talpar og det fundne stigningstal kan du indsætte i linjens
ligning. Herved har du kun een ubekendt tilbage, nemlig b, og den kan
du så bestemme.
Du kan vælge at indsætte (3,2). Du får:
y
= ax + b
2
2
0,8
= 0,4 ⋅ 3 + b
= 1,2 + b
=b
Linjens ligning kan du dermed skrive således:
y = 0,4x + 0,8
Du kan selv afgøre, hvilken fremgangsmåde du vil benytte, men umiddelbart vil du komme hurtigere frem til en løsning ved at benytte fremgangsmåden i ”Løsning 1”.
Opgave 216
Du skal bestemme en ligning for den linje:
a) Der går gennem punktet (0,-3) og har et stigningstal a = 0,5.
b) Der går gennem punktet (-3,0) og har et stigningstal a = 2.
c) Der går gennem punktet (16,5) og har et stigningstal a = -0,25.
Parallelle linjer
Opgave 217
Du skal bestemme en ligning for den linje:
a) Der går gennem punkterne (4,-2) og (32,6).
b) Der går gennem punkterne (-15,-2) og (15,2).
c) Der går gennem punkterne (10,11) og (-9,-6).
Parallelle linjer
Du har givet følgende ligninger:
y = 2x
y = 2x + 1
y = 2x - 1
y = 2x + 2
y = 2x - 2
Indtegn billedet af dem i et koordinatsystem eller indtast dem på din
grafregner.
Du vil da få et billede som vist på figur 8.19.
Figur 8.19
Som det fremgår af ligningerne, er stigningstallene ens, og det vil give
dig et billede med parallelle linjer.
Du har hermed fået en regel, som kan udtrykkes:
Er stigningstallene ens, er linjerne parallelle.
283
284
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Opgave 218
To linjer går henholdsvis gennem punkterne (5,3) og (16,8) og (-2,-3)
og (9,2).
Du skal undersøge, om de to linjer er parallelle.
Opgave 219
Du skal bestemme en ligning for en linje, som går gennem punktet (4,3),
og som er parallel med linjen, som er givet ved 2y + 2x - 8 = 0.
Opgave 220
Du skal bestemme en ligning for en linje, som går gennem punktet (0,2),
og som danner vinklen 35° med x-aksen.
Opgave 221
Du skal bestemme en ligning for en linje, som går gennem punktet (0,-3),
og som danner vinklen 140° med x-aksen.
Opgave 222
I en trekant ABC er givet hjørnepunkterne A(5,3), B(-1,2) og C(6,-4).
Du skal bestemme en ligning for en linje, som går gennem punkt A,
og som er parallel med en linje, som går gennem punkterne B og C.
Linjer vinkelret på hinanden
Du har to linjer, som er mærket med ”1” og ”2”, og som står vinkelret på
hinanden som vist på figur 8.20.
y
1
x
2
Figur 8.20
Linjer vinkelret på hinanden
Du vil nu få at se, at der er en sammenhæng mellem de to linjers stigningstal.
Til hjælp indtegner du en retvinklet trekant ABC som vist på figur
8.21.
y
A
1
v
D
C
z
x
B
2
Figur 8.21
Prøv og se på vinklerne. Du har
v + z = 90°, z = 90° - v
og D = 90°
Vinkelsummen i trekant BCD er 180°, og vinkel B kan skrives:
B = 180° - (z + D)
Udtrykkene for z og D indsættes:
B = 180° - (90° - v + 90°)
B = 180° - 90° + v - 90°
B=v
Du indtegner en ny retvinklet trekant som vist på figur 8.22, hvor højden i trekanten er lig med 1.
y
1
v
1v
a1
−a2
x
2
Figur 8.22
De to linjers stigningstal er afsat som vist, og da linje ”2” peger nedad,
er stigningstallet a2 negativt, og der er derfor sat et minustegn foran a2.
285
286
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
I de to retvinklede trekanter, som fremkommer, kan du udtrykke
tan v. Du får:
tan v =
a1
1
tan v =
1
-a 2
Af de to ligningers ”højresider” danner du en ny ligning:
a1
1
=
1
-a 2
a1 ⋅ (-a 2 ) = 1
a1 · a2 = -1
Hermed har du fået et udtryk for sammenhængen mellem to linjers
stigningstal, når linjerne står vinkelret på hinanden.
Med ord kan du udtrykke det:
Når to linjer står vinkelret på hinanden,
er produktet af deres stigningstal −1.
I de kommende opgaver får du lejlighed til at benytte og kombinere
nogle af de regler, du har stiftet bekendtskab med.
I langt de fleste tilfælde kan du tegne dig til en løsning. Tegningen
giver dig et overblik, der kan hjælpe dig på vej, når du skal bestemme
rækkefølgen af de beregninger, du skal igennem.
Opgave 223
To linjer går henholdsvis gennem punkterne (1,1) og (8,6) og (10,-1)
og (-4,9).
Du skal undersøge, om linjerne står vinkelret på hinanden.
Linjer vinkelret på hinanden
Opgave 224
Du har givet et linjestykke med endepunkter A(4,1) og B(-2,-3).
Du skal bestemme en ligning for linjestykket AB’s midtnormal.
Opgave 225
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC, hvor ligningerne for siderne er givet ved:
Siden a: 3y + 3x + 15 = 0
Siden b: 2y - 6x - 4 = 0
Siden c: x = -3
Du skal bestemme ligningerne for trekantens højder.
Opgave 226
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med hjørnepunkter A(4,-2),
B(-2,-1) og C(4,3).
a) Du skal bestemme en ligning for højden på siden BC.
b) Du skal bestemme trekantens areal.
Opgave 227
I et koordinatsystem er givet en trekant med hjørnepunkter A(8,0),
B(5,6) og C(-2,0).
a) Du skal bestemme koordinaterne til centrum for trekantens omskrevne cirkel.
b) Du skal bestemme længden af radius i trekantens omskrevne cirkel.
Opgave 228
I et koordinatsystem er givet en trekant med hjørnepunkter A(8,0),
B(5,6) og C(-2,0).
a) Du skal bestemme koordinaterne til centrum for trekantens indskrevne cirkel.
b) Du skal bestemme længden af radius i trekantens indskrevne cirkel.
287
288
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Opgave 229
I et koordinatsystem er givet en trekant med hjørnepunkter A(2,3),
B(4,9) og C(10,5).
Du skal bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem medianen ma og højden hb.
Opgave 230
I et koordinatsystem er trekant ABC bestemt ved tre linjer, som har følgende ligninger:
Siden AB: 2x + y = 11
Siden BC: 2x - y = 17
Siden AC: x + 2y = 16
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til A, B og C.
b) Størrelsen af trekantens vinkler.
c) En ligning for vinkel A’s halveringslinje.
d) En ligning for medianen ma.
e) En ligning for højden ha.
Cirklen
Har du en ret linje y = ax + b, beskriver ligningen en sammenhæng
mellem x og y.
Har du en cirkel, skal du på tilsvarende måde bestemme en ligning,
der beskriver sammenhængen mellem centrum, radius og et vilkårligt
punkt (x,y) på periferien (figur 8.23).
y
(x,y)
r
(a,b)
x
Figur 8.23
Det får du at se i det kommende.
Cirklen
Du må forestille dig, at du kender cirklens centrum (a,b), og radius r.
Du kan indtegne en retvinklet trekant på figur 8.23, og dermed er
der mulighed for at opstille en ligning, der giver en sammenhæng mellem x og y.
For en retvinklet trekant gælder Pythagoras’ læresætning og anvendt her, får du:
r2 = (x − a)2 + (y − b)2
Når ligningen er opstillet på denne måde, kalder du den cirklens centrumsligning, idet du direkte kan aflæse størrelsen af cirklens radius r
og på tilsvarende måde aflæse koordinaterne til cirklens centrum (a,b).
Eksempel 8.07
Du har givet følgende ligninger:
a) 42 = (x - 5)2 + (y - 7)2
b) 42 = (x - 5)2 + (y + 7)2
c) 22 = x2 + y2
d) x2 + y2 - 18x + 12y + 108 = 0
Du skal bestemme, hvilke ”billeder” ligningerne fremstiller i et koordinatsystem.
a)
Ligningen er skrevet på nøjagtig samme form som cirklens centrumsligning.
Du kan derfor fastslå, at ligningen fremstiller en cirkel med radius r
= 4 og koordinater til cirklens centrum (a,b) = (5,7).
b)
Ligningen er skrevet op på næsten samme form som cirklens centrumsligning, men der mangler ”lidt”.
Det kan du klare ved en lille omskrivning, som kommer til at se
således ud:
42 = (x - 5)2 + (y -(-7))2
Du kan nu fastslå, at ligningen fremstiller en cirkel med radius r = 4 og
koordinater til cirklens centrum (a,b) = (5,-7).
c)
Her kan du også få hjælp af en lille omskrivning, som kommer til at se
således ud:
22 = (x - 0)2 + (y - 0)2
Hermed har du igen en ligning skrevet på samme form som cirklens
centrumsligning, og du kan fastslå, at ligningen fremstiller en cirkel
med radius r = 2 og koordinater til cirklens centrum (a,b) = (0,0).
289
290
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
d)
Her er det noget uoverskueligt, men skal du undersøge, om ligningen
fremstiller en cirkel, skal du i gang med nogle omskrivninger. Forløbet
bliver:
Du ordner leddene i en anden rækkefølge. Det bliver
x2 - 18x + y2 + 12y = -108
Du kan opfatte leddene 18x og 12y som ”det dobbelte produkt”, som
du måske kan huske fra kapitel 1, hvor de indgik i afsnittet ”Tre vigtige
formler” – ellers får du to af dem repeteret her:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
Omskrivningen kommer til at se således ud:
(x - 9)2 - 81 + (y + 6)2 - 36 = -108
Du kan trække sammen:
(x - 9)2 + (y + 6)2 = 81 + 36 - 108
(x - 9)2 + (y + 6)2 = 9
Endelig en sidste lille omskrivning:
(x - 9)2 + (y -(- 6))2 = 32
Hermed kan du fastslå, at ligningen fremstiller en cirkel med radius r =
3 og koordinater til cirklens centrum (a,b) = (9,-6).
Din grafregner har sikkert et program, der kan hjælpe dig med disse
omskrivninger.
Du får her forløbet.
Som vist på figur 8.24 skal du vælge cirkelligningen med det givne
udseende.
Figur 8.24
Du skal tilbage og have fat i ligningen, så den har den pågældende form.
Du har
x² + y² - 18x + 12y + 108 = 0
Cirklen
Du kan nu indtaste som vist på figur 8.25.
Figur 8.25
Du kan gå videre og få tegnet cirklen. Du får figur 8.26.
Figur 8.26
Du kan bestemme cirklens centrum som vist på figur 8.27.
Figur 8.27
Du får centrumskoordinaterne som vist på figur 8.28.
Figur 8.28
291
292
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
Figur 8.29
På samme måde kan du få cirklens radius r som vist på figur 8.29 og
figur 8.30.
Figur 8.30
Opgave 231
Du skal undersøge, om følgende ligninger fremstiller cirkler.
Du skal om muligt bestemme størrelsen af cirklens radius og bestemme koordinaterne til cirklens centrum.
a) x2 - 9 + y2 = 0
b) x2 - 4x + y2 + 6y + 4 =0
c) 4x2 + 4y2 = 32y - 16x - 80
Opgave 232
Du skal opstille nogle betingelser for, at en ligning kan fremstille en cirkel.
Opgave 233
En ligning, der fremstiller en cirkel, har følgende udseende:
(x + 3)2 + (y + 1)2 = 16
a) Du skal bestemme de punkter på cirkelperiferien, hvis x-værdi er
lig med -5.
b) Du skal bestemme cirklens skæringspunkter med henholdsvis x- og
y-aksen.
Problemopgaver
Opgave 234
En cirkel har ligningen: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 22
a) Du skal bestemme ligningerne for de tangenter til cirklen, der går
gennem punktet (0,0).
b) Du skal bestemme vinklen mellem de to tangenter.
Opgave 235
I et koordinatsystem er givet tre punkter (0,0), (4,2) og (6,0).
Du skal bestemme en ligning for den cirkel, hvis omkreds indeholder de tre punkter.
Opgave 236
En cirkel har ligningen: x2 + y2 - 6x + 4y = 12
a) Du skal vise, at punktet A(0,2) er beliggende på cirklens omkreds.
b) På omkredsen ligger punkterne B og C således, at A, B og C er vinkelspidser i en trekant ABC, der er ligesidet.
Du skal bestemme koordinaterne til punkterne B og C.
c) Du skal bestemme arealet af et cirkelafsnit, som begrænses af en
side i trekanten og en del af cirklens omkreds.
Problemopgaver
Opgave 237
Mellem to byer A og B er en enkelt-sporet jernbane med en længde på
i alt 70 km.
Fra A afgår kl. 12.00 et persontog mod B, og det holder ved stationerne C, D, E, F og H.
Persontoget kører mellem stationerne med en gennemsnitlig hastighed på 60 km/time og holder 2 minutter ved hver station.
Afstandene til de enkelte stationer fra A er henholdsvis 10, 15, 30,
45 og 60 km.
293
294
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
a) Du skal tegne en graf, der viser sammenhængen mellem vejlængde
og tid for persontogets kørsel fra A mod B.
b) Kl.12.20 afgår fra B et IC-tog mod A. Det standser ikke undervejs og
kører med en gennemsnitshastighed 100 km/time.
Du skal indtegne IC-togets vej/tid-linje på grafen.
c) Du skal ved hjælp af grafen bestemme, hvornår IC-toget ankommer
til station A.
d) Du skal ved hjælp af grafen bestemme, ved hvilken station persontoget
skal køre ind på et vigespor, for ikke at støde sammen med IC-toget.
e) Persontoget afgår fra stationen 1 minut efter, at IC-toget har passeret
stationen.
Du skal på grafen indtegne den korrigerede vej/tid-linje for persontoget på den sidste del af strækningen mod station B.
f) Du skal ved hjælp af grafen bestemme, hvornår persontoget ankommer til station B.
Opgave 238
Ved en omkørselsvej om en by planlægges der en ”grøn bølge”.
Vejstrækningen er på i alt 3 km, og undervejs er der fire lysreguleringer
efter henholdsvis 800, 1300, 2000 og 2700 meter fra begyndelsespunktet.
Der regnes med en gennemsnitshastighed på 50 km/time, og det
grønne lys skal være tændt i 40 sekunder ved hver lysregulering.
a) Til hjælp ved indstillingen af lyssignalerne skal du tegne et koordinatsystem, hvor vejlængden fra 0 til 3000 meter afsættes ad den
lodrette akse.
Tiden fra 0 til 240 sekunder afsætter du ud ad den vandrette akse.
b) Du skal i koordinatsystemet indtegne en linje for hastigheden 50
km/time. Linjen udgår fra koordinatsystemets begyndelsespunkt.
c) På hastighedslinjen skal du for hver af de fire lysreguleringer indlægge linjer, der kan illustrere, at det grønne lys skal være tændt i
40 sekunder.
d) Du skal ved hjælp af grafen bestemme, hvornår de fire lysreguleringer skal have grønt lys.
e) Du skal anvende grafen til at bestemme den størst mulige og den
mindst mulige gennemsnitshastighed, hvormed strækningen kan
gennemkøres, når den ”grønne bølge” skal følges.
Problemopgaver
Opgave 239
To veje skærer hinanden under en vinkel som vist på figur 8.31.
y
B
vej1
x
76°
A
vej2
Figur 8.31
Der ønskes foretaget en regulering af vejføringen som vist. Reguleringskurven skal være en cirkelbue med radius lig med 500 meter.
Endvidere skal begge veje være tangenter til cirkelbuen.
a) Du skal bestemme ligningen for reguleringskurven, idet du anvender det indlagte koordinatsystem.
b) Du skal bestemme koordinaterne til tangentpunkterne A og B.
c) Du skal bestemme, hvor mange meter vejen er blevet kortere ved
denne regulering.
Opgave 240
En bro er udformet som vist på figur 8.32, hvor den krumme del er en
cirkelbue. Målene er i meter.
y
20
20
x
50
60
Figur 8.32
a) Du skal bestemme cirkelbuens radius.
b) Du bestemme en ligning for cirkelbuen i det indlagte koordinatsystem.
c) Du skal bestemme længderne af de lodrette søjler, når afstanden
mellem dem overalt er den samme.
295
Teknisk matematik · ANALYTISK PLANGEOMETRI
296
Resumé 8. kapitel
Plangeometri
AB = (x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2
 x + x1 y 2 + y1 
M (x , y) =  2
,

 2
2 
x1 y1
1 x2 y2
A= ⋅
2 x3 y3
x1 y1
Afstandsformlen
Midtpunkt på et linjestykke
Determinant-formlen for
areal af trekant
1
= ⋅ x1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 3 + x 3 ⋅ y1 - x 2 ⋅ y1 - x 3 ⋅ y 2 - x1 ⋅ y 3
2
y=a
Vandret linje gennem punktet
(0,a)
x=b
Lodret linje gennem punktet
(b,0)
y = ax
Ret linje med stigningstal a,
som går gennem (0,0) og (1,a)
y = ax + b
Ret linje, som går gennem
(0,b) og (1,a+b)
y - y1 = a(x - x1)
Ret linje med stigningstal a
som går gennem (x1, y1)
y 2 - y1
x 2 - x1
Forhold mellem stigningstal,
vinkel mellem vandret og linjen og to punkter.
a = tan v =
a1 = a2
Når to linjer har samme stigningstal, er de parallelle.
a1 ⋅ a2 = -1
Når produktet af to linjers
stigningstal er -1, står de vinkelret på hinanden.
r2 = (x - a)2 + (y - b)2
Cirklens centrumsligning
Centrum er (a,b)
og radius er r.
297
FUNKTIONER
9
Hvad er en funktion?
Du har tidligere arbejdet med funktionsligninger uden at have fået defineret begrebet funktion.
Det skal du i gang med nu, men du skal starte med noget andet. Du
skal forestille dig, at du skal lave mad. Som vist på figur 9.01, skal du
have nogle råvarer og en madopskrift, og hvis du er lidt omhyggelig,
kommer der ”en god middag” ud af det.
Figur 9.01
298
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Det er i realiteten det samme ”billede”, når du ser på definitionen på en
funktion (se figur 9.02).
f
y
x
B
A
Figur 9.02
Definitionen lyder:
En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en
mængde kan knyttes et og kun et tal y.
Prøv at sammenligne denne lidt tørre definition med madlavningen.
Elementerne x svarer til råvarerne, og forskriften f svarer til madopskriften. Ved hjælp af forskriften f og x’erne kommer du til y’erne, som
svarer til godbidderne i ”den gode middag”.
Du skal have sat lidt flere navne på disse ting.
Mængden A kalder du funktionens definitionsmængde, og den svarer
til hele samlingen af råvarer i madeksemplet.
Mængden B kalder du funktionens værdimængde, og den svarer til
hele ”den gode middag” i madeksemplet.
Definitionsmængden betegner du Dm(f), og
værdimængden betegner du Vm(f).
En funktion kan fastsættes på flere måder. Du kan få givet en funktion
som en tabel, en graf, men i langt de fleste tilfælde vil det være i form
af en regneforskrift.
Når du arbejder med en funktion, kan du indsætte en x-værdi i regneforskriften. Den værdi, der så fremkommer ved denne beregning, er
y-værdien.
x-værdierne kaldes også de uafhængige variable, mens y-værdierne
kaldes de afhængige variable.
Det lyder lidt kryptisk, men du vælger en x-værdi og beregner derefter y-værdien.
y-værdien bliver derfor afhængig af den x-værdi, du har valgt.
Der findes en skrivemåde for y-værdien, nemlig
y = f(x) som læses: Funktionsværdien i x.
Hvad er en funktion?
Fordelen ved denne skrivemåde er, at du kan præcisere, hvilken x-værdi der giver den pågældende funktionsværdi.
Har du fx
f(5) læser du det: Funktionsværdien i 5.
Sagt på en anden måde er f(5) den y-værdi, du bestemmer, når x er 5.
Forestiller du dig grafen for en funktion f, vil de begreber og betegnelser, som du har stiftet bekendskab med, kunne illustreres som vist på
figur 9.03.
y
f(x)
Vm(f)
x
x
Dm(f)
Figur 9.03
Opgave 241
Vend tilbage til definitionen på en funktion og besvar så:
a) Er grafen på figur 9.04 billedet af en funktion?
y
x
Figur 9.04
b) Er grafen på figur 9.05 billedet af en funktion?
y
x
Figur 9.05
299
300
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Regneforskrift og definitionsmængde
Du vil i almindelighed få angivet en funktion ved en regneforskrift og
en definitionsmængde.
Du får nogle eksempler.
f(x) =
1
x−2
2
Dm(f) = R (de reelle tal)
f(x) = 0,3x2 + 2
Dm(f) = R
f(x) = x3 − 2x2 + 4x − 1
Dm(f) = {x ∈ R |−10 ≤ x < 10}
Der kan også være tilfælde, hvor du selv skal bestemme regneforskrift
og definitionsmængde.
Definitionsmængden vælger du almindeligvis så stor som mulig
som vist ved de første to eksempler. Har du en opgave, hvor du kun
har behov for at arbejde inden for et ganske bestemt interval, kan du
angive definitionsmængden som vist i det sidste eksempel.
Du kan også møde eksempler, hvor regneforskriften udelukker nogle
tal i definitionsmængden.
Du får et par eksempler.
4
f (x ) =
x−3
Her kan du ikke angive definitionsmængden som lig med R, da nævneren pr. definition ikke må være 0. Når x = 3, bliver nævneren lig med 0.
Du må derfor ikke have tallet 3 med i definitionsmængden, og du
kan skrive:
Dm(f) = {x ∈ R |x ≠ 3}
Din grafregner kan også hjælpe dig her, idet den kan vise dig billedet af
funktionen, og du har mulighed for at få kontrolleret dine resultater.
Tast funktionen ind på din grafregner, og du vil få et billede som vist
på figur 9.06.
Figur 9.06
Regneforskrift og definitionsmængde
Som det fremgår af billedet, går grafen ”uden om” x = 3, og du får bekræftet, at definitionsmængden er rigtig beskrevet.
Et andet eksempel
f (x ) = x − 4
Som du kan se, får du et negativt tal under rodtegnet, når x bliver mindre end 4. Det går ikke!
Du kan derfor beskrive definitionsmængden således:
Dm(f) = {x ∈ R|x ≥ 4}
Du kan også her indtaste funktionen på din grafregner, og du vil få et
billede som vist på figur 9.07.
Figur 9.07
Du får bekræftet, at definitionsmængden er beskrevet rigtigt, da billedet af grafen ”starter”, når x = 4.
Du kan beregne en funktionsværdi, når du kender regneforskriften og
en x-værdi.
Du får et eksempel.
Du har en regneforskrift:
f(x) = 0,3 ⋅ x2 + 2 og skal bestemme funktionsværdien, når x = 4.
Du kan indsætte og får:
f(4) = 0,3 ⋅ 42 + 2
f(4) = 6,8
Du kan også beregne ”den anden vej”. Du kender funktionsværdien
f(x) = 2,3 og skal beregne x-værdien. Du indsætter og får:
2,3 = 0,3 · x 2 + 2
2,3 − 2 = 0,3 · x 2
0,3 = 0,3 · x 2
±1 = x
301
302
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Opgave 242
y
f
1
x
1
Figur 9.08
På figur 9.08 og figur 9.09 har du billedet af to funktioner f og g.
y
g
1
1
x
Figur 9.09
Bestem ved aflæsning på figurerne følgende:
a) Definitionsmængderne Dm(f) og Dm(g).
b) Værdimængderne Vm(f) og Vm(g).
c) Funktionsværdierne f(−1), f(2), g(−1) og g(2).
Opgave 243
Bestem evt. ved hjælp af din grafregner definitionsmængde Dm(f), værdimængde Vm(f) og funktionsværdien f(2) for følgende funktioner:
a) f(x) = 3x − 4
d) f (x ) =
1
x −1
2
b) f (x ) =
1
3x − 4
e) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = x2 − 1
f) f (x ) =
1
x +1
2
Monotoniforhold
Monotoniforhold
y
f
x
Figur 9.10
Der er nogle flere grundlæggende begreber, du skal have styr på, og
som udgangspunkt kan du se på figur 9.10 og figur 9.11.
y
f
x
Figur 9.11
Når du ser på grafen for en funktion, starter du altid med at se på forløbet fra venstre mod højre.
303
304
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Grafen på figur 9.10 bevæger sig opad fra venstre mod højre, og det
udtrykker du på den måde, at det er en voksende funktion.
Modsat grafen for funktionen på figur 9.11, som bevæger sig nedad fra
venstre mod højre. Det udtrykker du så modsat, at det er en aftagende
funktion.
Funktioner, som enten er voksende eller aftagende, kaldes monotone.
Du kan også møde en funktion, hvis graf har udseende som vist på
figur 9.12.
y
f
1
1
x
Figur 9.12
Du kan så beskrive de intervaller, hvor funktionen enten er voksende
eller aftagende.
Det kan du gøre således:
f er voksende i intervallet [−3 ; 2]
f er aftagende i intervallet [2 ; 5]
f er voksende i intervallet [5 ; 7]
Når du har gjort det, har du beskrevet funktionens monotoniintervaller.
Maksimums- og minimumspunkter
Maksimums- og minimumspunkter
Du får billedet af en funktion f som vist på figur 9.13.
y
f
1
1
x
Figur 9.13
Du skelner mellem maksimums- og minimumspunkter og lokale maksimums- og minimumspunkter.
Med figur 9.13 som udgangspunkt kan du skrive:
f har minimumspunkt i (−3,−2)
f har maksimumspunkt i (7,5)
f har lokalt maksimumspunkt i (2,3)
f har lokalt minimumspunkt i (5,2).
305
306
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Opgave 244
y
f
1
1
x
Figur 9.14
På figur 9.14 og figur 9.15 har du billedet af to funktioner f og g.
y
g
1
1
x
Figur 9.15
Bestem ved aflæsning på figurerne:
a) Funktionen f’s monotoniforhold.
b) Funktionen f’s lokale maksimums- og minimumspunkter.
c) Funktionen g’s monotoniforhold.
d) Funktionen g’s lokale maksimums- og minimumspunkter.
Opgave 245
Bestem ved hjælp af din grafregner monotoniforholdene for følgende
funktioner:
a) f(x) = x2 − 4x + 2
b) g(x) = 0,5x4 − 4x2
c) h(x) = 2x3 − 6x
Lineær funktion
Lineær funktion
Du har allerede arbejdet en del med linjens ligning i kapitlet ”Analytisk
plangeometri”, så den eneste forskel er, at du nu kan betragte en linje
som en lineær funktion.
Regneforskriften ser således ud:
f(x) = ax + b
hvor a er linjens stigningstal eller hældningskoefficient, og b er konstantleddet.
Grafen for ligningen har du på figur 9.16, hvor du har den geometriske betydning af stigningstallet a og konstantleddet b.
y
f
a
(0,b)
1
x
Figur 9.16
De regler og formler, du anvendte tidligere, er også gældende for lineære funktioner. Er du i tvivl, så gå tilbage og se i Resumé 8. kapitel.
Opgave 246
Givet er tre funktioner:
a(x) = 2x − 15, b(x) = −x + 3 og c(x) = x + 1
Graferne for de tre funktioner danner i koordinatsystemet en trekant
med siderne a, b og c.
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til trekantens hjørnepunkter A, B og C.
b) En regneforskrift for vinkelhalveringslinjen til vinkel C.
c) En regneforskrift for medianen på siden b.
d) En regneforskrift for højden på siden a.
307
308
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Potensfunktioner
Udtrykket
f(x) = xa
kalder du en potensfunktion.
I første omgang skal du forestille dig, at eksponenten a kan være alle
hele tal, dvs.
Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
Tallene 0 og 1 er lidt specielle i denne sammenhæng, så du kan starte
med dem.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = x0 = 1 og f(x) = x1 = x
Du får et billede som vist på figur 9.17.
Figur 9.17
Pr. definition har du fra potensreglerne, at x0 er lig med 1.
I koordinatsystemet bliver funktionen f(x) = x0 derfor en vandret
linje gennem punktet (0,1).
Funktionen f(x) = x er en lineær funktion, der går gennem punktet (0,0)
og har et stigningstal lig med 1.
Potensfunktioner
Nu kan du gå videre med de lige tal, både de positive og de negative.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = x2 og f(x) = x4
Du får et billede som vist på figur 9.18.
Figur 9.18
Har du et punkt med koordinaterne (x,y), og spejler det i y-aksen, vil
det ”nye” punkt have koordinaterne (−x,y).
Sagt på en lidt anden måde vil en plus eller minus x-værdi give
samme y-værdi.
Denne egenskab gælder for begge funktioner.
Når en graf er symmetrisk om y-aksen på denne måde,
kalder du funktionen for en lige funktion.
Indtast på din grafregner funktionerne:
1
1
f ( x ) = x −2 = 2
og
f ( x ) = x −4 = 4
x
x
Du får et billede som vist på figur 9.19.
Figur 9.19
Også her er graferne symmetriske om y-aksen og er altså lige funktioner.
Desuden vil graferne nærme sig x- og y-aksen uden nogensinde at
nå dem.
Prøv at overveje, hvorfor det forholder sig på denne måde. Se på
regneforskrifterne og kom med et bud!
Graferne når som sagt aldrig x- og y-aksen, og du kalder x- og y-aksen
for asymptoter til graferne.
309
310
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Nu skal du forsøge med de ulige tal, både positive og negative.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = x3
og
f(x) = x5
Du får et billede som vist på figur 9.20.
Figur 9.20
Har du koordinaterne til et punkt (x,y) og spejler det i punktet (0,0), vil
det ”nye” punkt have koordinaterne (−x,−y). Denne egenskab gælder
for begge funktioner.
Når en graf er symmetrisk om punktet (0,0) på denne måde, kalder
du funktionen for en ulige funktion.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f ( x ) = x −1 =
1
,
x
f ( x ) = x −3 =
1
x3
og
f ( x ) = x −5 =
1
x5
Du får et billede som vist på figur 9.21.
Figur 9.21
Som du kan se, er de tre grafer symmetrisk om punktet (0,0) og er dermed ulige funktioner.
Også her ser du, at x- og y-aksen er asymptoter til graferne.
Grafen for funktionen:
1
f (x ) = x−1 =
x
kaldes en ligesidet hyperbel.
1
Når funktionen er givet på denne måde y = f(x) =
er x og y omx
vendt proportionale.Sagt på en lidt anden måde, vil y aftage, når x vokser og omvendt, når x aftager, vil y vokse.
Potensfunktioner
Fra dine potens- og rodregler har du, at en potenseksponent kan være
en brøk eller et rationalt tal.
Dermed har du, at funktioner som:
f(x) = x0,4 og f(x) = x−0,4
også er potensfunktioner.
Den eneste forskel i forhold til tidligere er, at definitionsmængden er
indskrænket til, at x > 0.
Indtast på din grafregner de nævnte funktioner - husk at begrænse definitionsmængden til x ≥ 0.
Du får et billede som vist på figur 9.22.
Figur 9.22
Når du møder regneforskriften for en funktion, har du nu en baggrund
for at vurdere forløbet af dens graf.
Det får du lejlighed til at træne i de kommende opgaver.
Opgave 247
Du skal afgøre, om følgende funktioner er lige eller ulige eller ingen af
delene.
1
a) f(x) = x2 + 1
b) g (x ) = 2
x +1
x
x
c) h (x ) = 2
d) i (x ) =
2
x +1
x +1
Opgave 248
Du skal afgøre, om følgende funktioner er lige eller ulige eller ingen af
delene.
a) f(x) = x3 − x
b) g(x) = x3 − 1
c) h(x) = x4 − x2
d) i (x ) = x ⋅
16 − x 2
311
312
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Funktioner af 2.grad
Møder du et udtryk som
f(x) = ax2 + bx + c, hvor a ≠ 0
kalder du det et andengradspolynomium eller en funktion af
2.grad.
ax2 kaldes andengrads-leddet, bx førstegrads-leddet og c konstant-leddet.
Du kommer senere til at arbejde med dette udtryk, men du starter med
en funktion fra forrige afsnit.
Det er funktionen
f(x) = x2
Du kan indtaste ligningen på din grafregner og få et billede.
Du kan også benytte ”slave-metoden” og vælge nogle x-værdier og
beregne de tilhørende f(x)-værdier. I en tabel vil det se således ud:
x
0
±1
±2
±3
y = f(x)
0
1
4
9
Du kan afsætte punkterne i et koordinatsystem og forbinde dem, og du
vil få en kurve som vist på figur 9.23.
Figur 9.23
En sådan kurve kaldes en parabel.
Funktioner af 2.grad
Punktet (0,0) kaldes parablens toppunkt.
Linjen x = 0, som jo er y-aksen, er parablens symmetriakse.
De to kurvedele, der går opad, kaldes parablens ben.
Indtast på din grafregner følgende funktioner:
f(x) = 2x2, f(x) = −2x2, f(x) = 0,5x2, f(x) = −0,5x2,
f(x) = −0,25x2.
f(x) = 0,25x2,
Du vil få et billede som vist på figur 9.24.
Figur 9.24
Det nye er tallet foran x2. Er tallet positivt, vender parablens ben opad,
og er tallet negativt, vender parablens ben nedad.
Med dette udgangspunkt har du følgende regel:
En funktion af formen f(x) = ax2, vil fremstille en parabel med symmetri om linjen x = 0, og toppunkt i (0,0).
Er a positiv, vender parablens ben opad.
Er a negativ, vender parablens ben nedad.
I det kommende får du at se, hvorledes funktionsudtrykkene kommer
til at se ud, når parablerne flyttes rundt i koordinatsystemet.
Du får først en vandret parallelforskydning.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = 0,25x2 og
f(x) = 0,25(x − 3)2
Du får et billede som vist på figur 9.25.
Figur 9.25
313
314
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Som du kan se, er toppunktet forskudt fra (0,0) til (3,0).
Du får med denne baggrund reglen:
En funktion af formen f(x) = a(x − x0)2, fremstiller en parabel
med symmetri om linjen x = x0 og toppunkt i (x0,0).
Er a positiv, vender parablens ben opad.
Er a negativ, vender parablens ben nedad.
Du får nu en lodret parallelforskydning.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = 0,25x2 og f(x) = 0,25x2 + 2
Du får et billede som vist på figur 9.26.
Figur 9.26
Som du kan se, er toppunktet forskudt fra (0,0) til (0,2).
Du får dermed reglen:
En funktion af formen f(x) = ax2 + y0 fremstiller en parabel med
symmetri om linjen x = 0 og toppunkt i (0,y0).
Er a positiv, vender parablens ben opad.
Er a negativ, vender parablens ben nedad.
De to forskydninger kan kombineres.
Indtast på din grafregner funktionerne:
f(x) = 0,25x2 og f(x) = 0,25(x − 3)2 + 2
Funktioner af 2.grad
Du får et billede som vist på figur 9.27.
Figur 9.27
Som du kan se, er toppunktet forskudt fra (0,0) til (3,2).
Du får en regel:
En funktion af formen f(x) = a(x − x0)2 + y0 fremstiller en parabel
med symmetri om linjen x = x0 og toppunkt i (x0,y0).
Er a positiv, vender parablens ben opad.
Er a negativ, vender parablens ben nedad.
Indtast på din grafregner følgende funktioner:
a(x) =
(x − 3)2 + 2
e(x) =
−(x − 3)2 + 2
2
b(x) =
2(x − 3) + 2
f(x) =
−2(x − 3)2 + 2
2
c(x) =
0,5(x − 3) + 2
g(x) =
−0,5(x − 3)2 + 2
2
d(x) =
0,25(x − 3) + 2
h(x) =
−0,25(x − 3)2 + 2
Du får et billede som vist på figur 9.28.
Figur 9.28
Som du kan se af ligningerne, er koordinaterne til toppunktet (3,2).
Ligningens a-værdi bestemmer, om parablens ben vender opad eller
nedad, men samtidig også noget om, hvor stejlt parablens ben går opad
eller nedad.
Skal du bestemme ligningen for en parabel, skal du kende koordinaterne til parablens toppunkt og samtidig koordinaterne til yderligere
et punkt på parablen.
Hvordan du håndterer et sådant beregningsforløb, får du at se i det
kommende eksempel.
315
316
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Eksempel 9.01
Du skal opstille ligningen for en parabel, der har toppunkt i (4,−1) og
hvis graf går gennem et punkt med koordinaterne (2,1).
Du kan starte med at indsætte koordinaterne til toppunktet i ligningen:
y = f(x) = a(x − x0)2 + y0
y = f(x) = a(x − 4)2 − 1
Herefter indsætter du koordinaterne til det andet punkt (2,1) og bestemmer a-værdien. Beregningsforløbet kommer til at se således ud:
1 = a(2 − 4)2 − 1
1 = a(−2)2 − 1
1 =a⋅4−1
2 =a⋅4
0,5 = a
Herefter kan du opstille en ligning for parablen. Den kommer til at se
således ud:
y = f(x) = 0,5(x − 4)2 − 1
Opgave 249
Du skal bestemme koordinaterne til toppunktet af følgende parabler:
a) f(x) = x2 − 4
b) f(x) = (x − 4)2
c) f(x) = (x − 4)2 − 2
2
2
d) f(x) = x + 8
e) f(x) = (x + 8)
f) f(x) = (x + 8)2 + 1
Opgave 250
Du skal bestemme en ligning for en parabel, hvis graf går gennem et punkt
med koordinaterne (2,10). Desuden har parablen toppunkt i (−4,5).
Opgave 251
Du skal bestemme en regneforskrift for en parabel, hvis graf går gennem et punkt med koordinaterne (2,−2). Desuden har parablen toppunkt i (−4,5).
<<< Opgave
Som nævnt i starten kan du også få givet parablen således:
f(x) = ax2 + bx + c
Du kan bestemme:
b
Parablens symmmetriakse således: x = −
2a
Funktioner af 2.grad
 b
d
Koordinaterne til parablens toppunkt således:  − , − 
 2a
4a 
Er a positiv, vender parablens ben opad.
Er a negativ, vender parablens ben nedad.
Diskriminanten d har du fra løsningsformlen til 2. gradsligningen.
d bestemmes således:
d = b2 − 4ac
Det er noget af en provokation at påstå, at du kan bestemme parablens
symmetriakse og toppunkt på denne måde.
For at vise, at det er i orden, kan du vende tilbage til et andet udtryk
for parablen:
f(x) = a(x − x0)2 + y0
Her var x0 parablens symmetriakse og toppunktet (x0,y0).
De nævnte værdier for symmetriakse og toppunkt kan du indsætte i
ligningen. Forløbet kommer til at se således ud:
2
  b   d 
y = f (x ) = a x − −  + − 
  2a   4a 
2

b2 − 4ac
b
= a x +  −

2a 
4a

b2
xb  b2 4ac
 − +
= a x 2 + 2 + 2 ⋅

2a  4a 4a
4a
= ax 2 +
ab2 a 2xb b2 4ac
+
− +
2a
4a 4a
4a 2
= ax 2 + bx + c
Din grafregner kan hurtigt hjælpe dig med at få et overblik over, hvordan grafen for en parabel er placeret i koordinatsystemet.
Du kan imidlertid også hurtigt få et billede af en parabel ved blot at se
på ligningen og udføre nogle få beregninger.
Du har allerede set, at a-værdien fortæller dig noget om parablens ben.
Er a > 0, vil parablens ben vende opad, og er a < 0, vil parablens ben
vende nedad.
Ved at sætte x = 0 i ligningen, får du:
y = f(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c
Hermed har du, at c-værdien, er parablens skæringspunkt med y-aksen.
317
318
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Sætter du y = 0, får du parablens skæringspunkter med x-aksen.
Ligningen kommer til at se således ud:
0 = ax2 + bx + c
Du har fra tidligere løsningsformlen for 2.grads ligninger:
−b ± b2 − 4ac
2a
x=
Her er:
d = b2 − 4ac
Afhængig af værdien af d, har du tre løsningsmuligheder for 2.gradsligningen, nemlig:
d = 0:
Ligningen har en rod.
Det betyder, at parablens graf rører x-aksen i et punkt.
d > 0:
Ligningen har to rødder.
Det betyder, at parablens graf skærer x-aksen i to punkter.
d < 0:
Ligningen har ingen rødder.
Det betyder, at parablen ikke skærer x-aksen.
y
y
(0,c)
(0,c)
a>0
a>0
d<0
d<0
y
y
y
y
(0,c)
(0,c)
a>0
a>0
d=0
d=0
a>0
a>0
d>0
(0,c) d
>0
(0,c)
α
α
x
x
x
x
α
α
x
x
β
β
Figur 9.29
Betydningen af a, c og d kan sammenfattes i figur 9.29 og figur 9.30.
y
y
y
y
x
x
(0,c)
(0,c)
d<0
d<0
a<0
a<0
Figur 9.30
(0,c)
(0,c)
α
α
d=0
d=0
a<0
a<0
y
y
x
x
(0,c)
(0,c)
α
α
d>0
d>0
a<0
a<0
β
β
x
x
Funktioner af 2.grad
På figur 9.29 er a > 0 for de tre parabler, og på tilsvarende måde er a < 0
for de parabler, der er vist på figur 9.30.
Du så i forrige eksempel, hvordan du kunne bestemme en ligning for en
parabel, når du kendte to punkter, hvoraf det ene skulle være toppunktet.
I funktionsudtrykket for parablen:
f(x) = ax2 + bx + c
er der tre ubekendte, nemlig a, b og c.
Det vil sige, at du skal have tre ligninger for at kunne bestemme a,
b og c.
Kender du tre punkter på parablens graf, kan du opstille tre ligninger. Kan du løse dem, har du bestemt a, b og c.
Hvordan du kan klare det, får du at se i det kommende eksempel.
Eksempel 9.02
Du skal bestemme en ligning for en parabel, hvis graf indeholder følgende punkter:
(1,2), (−2,8) og (−3,22)
Du kan indsætte de tre talpar i ligningen:
y = f(x) = ax2 + bx + c
Det kommer til at se således ud:
(1,2):
2 = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c
2=a+b+c
(−2,8): 8 = a ⋅ (−2)2 + b ⋅ (−2) + c
8 = 4a − 2b + c
(−3,22): 22 = a ⋅ (−3)2 + b ⋅ (−3) + c
22 = 9a − 3b + c
Nu har du tre ligninger med tre ubekendte. Du kan løse dem ved hjælp
af ”håndkraft”, men du kan også benytte din grafregner.
Du får her løsningen:
a = 3, b = 1 og c = −2
Funktionsudtrykket får da følgende udseende:
f(x) = 3x2 + 1x − 2
319
320
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Opgave 252
Givet er følgende funktioner:
1) f(x) = −x2 − 2,8x + 18,29
2) f(x) = 3x2 − 24x + 45
3) f(x) = −2x2 + 4x + 10,5
Du skal for hver af funktionerne bestemme:
a) Parablens symmetriakse og toppunkt.
b) Parablens skæringspunkt med y-aksen.
c) Parablens eventuelle skæringspunkter med x-aksen.
Kontroller resultaterne ved hjælp af din grafregner.
Opgave 253
Givet er tre punkter: (10,235), (1,3) og (0,−5).
a) Du skal bestemme en ligning for et 2.grads polynomium, hvis graf
går gennem de tre punkter.
b) Du skal bestemme skæringspunkterne mellem grafen for 2.gradspolynomiet og grafen for den lineære funktion g, hvis forskrift er
g(x) = 1 x + 1
2
Opgave 254
Givet er tre punkter: (1,6), (−2,9) og (5,86).
a) Du skal bestemme en regneforskrift for den parabel, hvis graf går gennem de tre punkter.
b) Du skal bestemme en regneforskrift for den lineære funktion, hvis
graf skærer 2.grads polynomiets graf i punkterne (−1,y1) og (2,y2).
Opgave 255
Du skal bestemme koordinaterne til skæringspunkterne mellem
parablen f(x) = −0,25x2 − x + 2 og den lineære funktion g(x) = 2x − 2.
2.grads uligheder
2.grads uligheder
Med dit kendskab til 2.gradspolynomier og deres grafer bliver det noget nemmere for dig at løse 2.grads uligheder.
Du kan bedst få fremgangsmåden illustreret ved et eksempel.
Eksempel 9.03
Du skal løse uligheden:
x2 − 5x + 4 ≤ 0
Du indtaster på din grafregner funktionen f(x) = x2 − 5x + 4
Du får et billede som vist på figur 9.31.
Figur 9.31
Du kan nu vende tilbage til uligheden:
x2 − 5x + 4 ≤ 0
og kan aflæse løsningen som den del af funktionsværdierne, der ligger
under x-aksen.
Du skal have bestemt løsningen, og din grafregner kan hjælpe dig
med at finde grafens skæringspunkter med x-aksen.
Du får x = 1 eller x = 4.
Hermed kan du beskrive løsningen: L = [1 ; 4]
Opgave 256
Du skal løse følgende uligheder:
a) 9x2 + 9x − 4 ≤ 0
b) −3x2 − 6x + 4 > 0
c) 8 + 2x2 < 10x
d) 4x + 6x(x + 2) < 14x2 − 10(x − 3)
321
322
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Stykkevis funktioner
I langt de fleste tilfælde vil grafen for en funktion være en uafbrudt
linje, men du kan møde funktioner, hvis grafer har en forskydning og
er sammensatte af flere dele.
På figur 9.32 har du et eksempel på en sådan funktion.
y
1
1
x
Figur 9.32
Funktionen beskrives stykkevis, og for den viste funktion kommer det
til at se således ud:
−x − 1
for − 8 < x ≤ −2


f (x ) = 2x + 6
for − 2 < x ≤ 1

2
x − 6x + 10
for 1 < x ≤ 8

Stykkevis funktioner
Du kan også møde stykkevise funktioner, når du arbejder med numeriske udtryk.
Du får et eksempel.
f(x) = |x − 1|
Du starter med at se på funktionsudtrykket ud fra definitionen på numerisk værdi. Det bliver:
x − 1
f (x ) = 
−(x − 1)

når x − 1 ≥ 0
når x − 1 < 0
Funktionen kan du så beskrive som stykkevis således:
x − 1
når x ≥ 1
f (x ) = 
−x + 1
når x < 1
Du kan tegne grafen, og den får udseende som vist på figur 9.33.
y
1
1
x
Figur 9.33
Opgave 257
1
Givet er f(x) = | x + 4|.
2
Du skal tegne grafen for f i et koordinatsystem og beskrive funktionen som stykkevis.
Opgave 258
Givet er funktionerne: f(x) =|x2 − 8x + 12|
og
g(x) = 0,25x + 2.
a) Du skal tegne grafen for f i et koordinatsystem og beskrive funktionen som stykkevis.
b) Du skal tegne grafen for g i samme koordinatsystem og løse ligningen f(x) = g(x).
323
324
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Sammensatte funktioner
Når du arbejder med funktionsudtryk, vil langt de fleste være sammensatte. Det er ikke noget, du tænker over, når du arbejder med funktioner, men der er nogle skrivemåder for sammensatte funktioner, og dem
får du nu at se.
Du får et eksempel.
a(x ) = x 2 + 3
Skal du beregne en funktionsværdi, vil fremgangsmåden være, at du
først bestemmer værdien af x2 + 3 og derefter uddrager kvadratroden
af dette tal.
Denne opdeling kan også opfattes, som om du arbejder med to
funktioner, nemlig:
b (x ) = c (x )
og
c (x ) = x 2 + 3
Disse to funktioner kan sammensættes til a(x). Skrivemåden ser således ud:
a(x) = b(c(x)) = (b o c)(x)
Du kan opfatte det på den måde, at du i regneforskriften for b(x) erstatter x med regneforskriften c(x).
Du kan også sammensatte funktionerne således:
c(b(x)) = (c o b)(x).
Det giver en helt anden funktion. Her skal du i regneforskriften for c(x)
erstatte x med regneforskriften for b(x).
Eksempel 9.04
Givet er funktionerne: f(x) = 2x + 1 og g(x) = −3x − 2.
Du skal bestemme forskrifterne for de sammensatte funktioner (f o g)
(x) og (g o f)(x).
Du kan starte med (f o g)(x). I regneforskriften for f(x) skal du erstatte x
med regneforskriften for g(x). Det bliver:
(f o g)(x) = 2(−3x − 2) + 1 = −6x − 4 + 1 = −6x − 3
På samme måde med (g o f)(x). Her skal du i regneforskriften for g(x)
erstatte x med regneforskriften f(x). Det bliver:
(g o f)(x) = −3(2x + 1) − 2 = −6x − 3 − 2 = −6x − 5
Omvendte funktioner
Opgave 259
1
Givet er funktionerne: a(x) = − x + 3
og
2
b(x) = x + 1.
Du skal bestemme regneforskrifterne for de sammensatte funktioner
(a o b)(x) og (b o a)(x).
Opgave 260
Givet er funktionerne: c (x ) =
3
x −1
og
d(x) = x + 1.
Du skal bestemme regneforskrift og definitionsmængde for de to sammensatte funktioner (c o d)(x) og (d o c)(x).
Omvendte funktioner
Har du et talpar eksempelvis (5,3) og bytter koordinaterne, får du et nyt
talpar (3,5), som du kalder det omvendte talpar.
Se på figur 9.34, hvor du har de to talpar indtegnet i et koordinatsystem.
y
y=x
(3,5)
.
. (5,3)
1
1
x
Figur 9.34
Du får også det omvendte talpar (3,5) ved en spejling af (5,3) i linjen
y = x.
På tilsvarende måde med en funktion f. Du kan lade x og y bytte
plads og får dermed en ny funktion, som du kalder f’s omvendte eller
inverse funktion.
Du betegner f’s omvendte funktion som f−1, som er et symbol, som
1
du ikke må forveksle med potensbegrebet a−n = n
a
Som en logisk konsekvens af ”bytteriet” vil grafen for en funktion f og
grafen for den omvendte funktion f−1 altid være symmetrisk om linjen
y = x.
325
326
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Eksempel 9.05
Givet er funktionen f(x) = 2x − 1
Du skal bestemme regneforskriften for den omvendte funktion f−1 og
tegne graferne for f og f−1.
Du bytter om på x og y i regneforskriften. Det kommer til at se således ud:
x = 2y − 1
Du løser ligningen med hensyn til y og får:
1
1
y = x+
2
2
Hermed har du regneforskriften for den omvendte funktion:
1
1
f −1 ( x ) = x +
2
2
Du kan tegne graferne for f og f−1, som får udseende som vist på figur
9.35.
y
f
y=x
f -1
1
1
x
Figur 9.35
Bemærk symmetrien om linjen y = x.
Det er imidlertid ikke alle funktioner, der har en omvendt funktion.
Forudsætningen er, at funktionen er monoton, hvilket vil sige, at grafen enten er voksende eller faldende inden for definitionsmængden.
Omvendte funktioner
Du får et eksempel. Du har funktionen:
f(x) = x2
hvis graf fremstiller en parabel med symmetri om y-aksen.
Umiddelbart vil funktionen ikke have en omvendt funktion, da grafen er faldende på venstre af y-aksen og stigende på højre side.
Du kan imidlertid ændre definitionsmængden således:
f(x) = x2 Dm(f) =[0 ; ∞[
Hermed kan du få en omvendt funktion ved at bytte x og y.
x = y2
Du kan løse ligningen med hensyn til y:
y = x og du har hermed den omvendte funktion:
f −1 = x
Graferne for de to funktioner får da udseende som vist på figur 9.36.
Figur 9.36
Bemærk igen symmetrien om linjen y = x.
Opgave 261
Givet er funktionen f(x) = 4x + 2,
Dm(f) = [−1 ; 2]
a) Du skal bestemme en regneforskrift for den omvendte funktion f−1.
b) Du skal bestemme definitionsmængden Dm(f−1).
Opgave 262
Givet er funktionen f(x) = x2 − 2, Dm(f) = [0 ; ∞[
a) Du skal bestemme en regneforskrift for den omvendte funktion f−1.
b) Du skal bestemme definitionsmængden Dm(f−1).
327
328
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Andre polynomier
Du har mødt funktionsudtryk som:
f(x) = ax + b,
som du kalder et førstegradspolynomium.
f(x) = ax2 + bx + c, som du kalder et 2.grads polynomium.
Polynomiets navn er afhængig af den største eksponent,
som forekommer i funktionsudtrykket.
Et funktionsudtryk som:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, kalder du et 3.grads polynomium.
På tilsvarende måde med:
f(x) = ax7 + bx6 + cx5 + dx4 + ex3 + fx2 + gx + h
som du kalder et 7.grads polynomium.
Opgave 263
Givet er følgende funktioner:
1) f(x) = x4 − x3 + 4x2 − 8
2) f(x) = x3 − 3x2 −10x + 2
3) f(x) = x4 − 5x2 + 4
Du skal ved hjælp af din grafregner bestemme koordinaterne til grafernes skæringspunkter med x-aksen.
Ligningsløsning på en anden måde!
Ligningsløsning på en anden måde!
I kapitel 2 lærte du at løse ligninger. Ved hjælp af din grafregner og
funktionsbegrebet kan du komme lidt nemmere om ved det.
Du kan tage udgangspunkt i ligningen fra eksempel 2.22:
x +2 x−3 = 6
Du skal bestemme x, og der er grundlæggende to metoder.
Den første metode går ud på, at du opfatter udtrykket på venstre side
af lighedstegnet som en funktion og på tilsvarende med udtrykket på
højre side. Du får herved to funktioner:
f (x ) = x + 2 x − 3
og
g (x ) = 6
Du taster de to funktioner ind i grafmenuen og får et billede som vist
på figur 9.37:
Figur 9.37
Skæringspunktet mellem de to grafer kan du få grafregneren til at bestemme, og det giver løsningen: x = 4.
Den anden metode går ud på, at du trækker alle leddene sammen på
den ene side af lighedstegnet som fx:
x + 2 x−3 −6 = 0
Du opfatter udtrykket på venstre side af lighedstegnet som en funktion
og taster det ind i grafmenuen. Du får et billede som vist på figur 9.38.
Figur 9.38
.
Grafregneren kan hjælpe dig med at bestemme grafens skæringspunkt
med x-aksen, og det giver løsningen: x = 4.
Tag nogle af ligningerne fra kapitel 2 og løs dem ved hjælp af en af
de viste metoder.
329
330
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Problemopgaver
Eksempel 9.06
Du skal opstille et hegn til en hundegård som vist på figur 9.39. Du har
i alt 20 meter hegn til din rådighed.
y
x
Figur 9.39
a) Du skal bestemme målene x og y, således at arealet af hundegården
bliver så stort som muligt.
b) Du skal bestemme arealet af hundegården.
Du kan starte med at opstille en ligning for arealet. Det bliver:
Areal = x ⋅ y
Du skal have en ligning, hvori der kun er en ubekendt. Du har to, nemlig x og y.
Du har en oplysning mere, nemlig den, at der i alt er til 20 meter
hegn. Ved at se på figur 9.39, kan du udtrykke således:
y + 2x = 20
Problemopgaver
Du kan løse ligningen med hensyn til y:
y = 20 − 2x
Dette udtryk for y indsætter du i areal-udtrykket:
Areal =
x (20 − 2x)
Areal =
20x − 2x2
Areal =
−2x2 + 20x
Dette udtryk for arealet er matematisk en parabel.
Kan du bestemme koordinaterne til parablens toppunkt, har du løsningen. Koordinaterne til toppunktet får du af:
b
d
x =−
, hvor d = b2 − 4ac
y =−
2a
4a
Indsætter du i formlerne, kommer beregningerne til at se således ud:
20 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 0
20
x=−
Areal = −
2 ⋅ (−2)
4 ⋅ (−2)
x=5
Areal = 50 m 2
Endelig kan du bestemme y:
x ⋅ y = areal
5 ⋅ y = 50
y = 10 meter
Du kan kontrollere resultaterne på din grafregner.
Du indtaster arealudtrykket:
Areal = −2x2 + 20x
NB! - husk at indstille inddelingen på akserne i koordinatsystemet.
Du får et billede af Areal-funktionen som vist på figur 9.40.
Figur 9.40
Grafregneren kan hjælpe dig med at bestemme koordinaterne til toppunktet: (5,50)
Du kan derfor konstatere, at der er overenstemmelse mellem de beregnede resultater og kontrolresultaterne fra grafregneren.
331
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Opgave 264
I forbindelse med fremstilling af et reolsystem indgår der et kassemodul,
som skal fremstilles af tynd plade med mål i cm som vist på figur 9.41.
50
80
332
Figur 9.41
Pladen bukkes i facon som vist på figur 9.42.
x
x
2
0−
8
50
Figur 9.42
a) Du skal bestemme højden x, således at kassens rumfang bliver så
stort som muligt.
b) Du skal bestemme kassemodulets rumfang.
Opgave 265
Ved projektering af et stadion skal sportsarealet dimensioneres således,
at løbebanen bliver 400 meter lang. Endvidere skal arealet af rektanglet,
som er vist indtegnet på figur 9.43, være så stort som muligt.
y
x
Figur 9.43
Du skal ud fra de nævnte forudsætninger bestemme målene x og y på
rektanglet.
Problemopgaver
Opgave 266
Et A-sommerhus har en gavl med mål som vist på figur 9.44.
5 meter
b
a
8 meter
Figur 10.44
I gavlen ønskes isat et vindue, der har form som et rektangel.
Du skal bestemme målene a og b under forudsætning af, at der gennem
vinduet ønskes størst mulig lysmængde.
Opgave 267
En bro er vist på figur 9.45.
40
32
25
50
120
Figur 9.45
Alle målene er i meter. Kørebanen er vandret, og den krumme del er
udformet som en del af en parabel.
Du skal bestemme længderne på samtlige lodrette stænger, idet de er
placeret med samme indbyrdes afstand overalt.
333
334
Teknisk matematik · FUNKTIONER
Opgave 268
En person står på toppen af en skrænt og kaster en sten ud over vandet.
Stenen kan tilnærmelsesvis regnes at følge en parabelligning i det indtegnede koordinatsystem som vist på figur 9.46.
y
t
Figur 9.46
Parabelligningen ser således ud:
y = f(t) = −0,04t2 + 0,8t + 10
hvor t er tiden i sekunder.
Du skal bestemme:
a) Hvor højt kommer stenen op over vandoverfladen.
b) Tiden, som stenen er i luften indtil nedslaget i vandet.
c) Stenens højde efter 20 sekunders forløb.
d) Tiden t, når stenens højde er 5 meter over vandoverfladen.
Resumé 9. kapitel
Resumé 9. kapitel
Definition på en
funktion
En funktion er en forskrift f, hvor der til ethvert element x i en mængde A kan knyttes et og kun et tal y.
f
y
x
B
A
A: Definitionsmængde
B: Værdimængde
Lineær funktion
f(x) = a ⋅ x + b
a: stigningstal/hældningskoefficient
b: konstantled
Funktioner af 2. grad
(parabler)
f(x) = ax2 Toppunkt: (0,0)
f(x) = a(x − x0)2
Toppunkt: (x0,0)
f(x) = ax2+ y0
Toppunkt: (0,y0)
f(x) = a(x − x0)2+ y0
Toppunkt: (x0,y0)
f(x) = ax2 + bx + c Toppunkt:  −b , − d 
 2a
4a 
d = b2 − 4ac
Sammensatte
funktioner
Eks.: f(x) = 3x − 1
og g(x) = −2x + 5
Den sammensatte funktion
(f o g)(x) = 3(−2x + 5) −1
Omvendte funktioner
Eks.: f(x) = 2x
Den omvendte funktion
x = 2y
eller
1
f −1 ( x ) = x
2
335
336
Teknisk matematik · FUNKTIONER
337
EKSPONENTIELLE
FUNKTIONER
10
Eksponential funktion
Du får her forskriften for den generelle eksponential funktion, som ser
således ud:
y = f(x) = ax, hvor grundtallet a > 0 og x ∈ R
Det nye er, at x er en eksponent.
For at få et indtryk af forløbet af grafen for en eksponential funktion,
kan du starte med at indsætte x = 0 og x = 1 i udtrykket: Du får:
f(0) = a0 = 1
f(1) = a1 = a
338
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Du kan derfor fastslå, at grafen for en eksponential funktion går gennem punkterne (0,1) og (1,a).
Tag din grafregner og indtast følgende tre funktioner:
f(x) = 2,1x, g(x) = 0,3x og h(x) = 1x
Figur 10.01
Du får så tre billeder, som ser ud som vist på figur 10.01, figur 10.02 og
figur 10.03.
Figur 10.02
Figur 10.03
Ved at betragte de tre grafer, kan du få nogle karakteristiske egenskaber
for eksponential funktioner.
Som du kan se, er det h(x) = 1x, der ”deler”.
Er grundtallet a = 1, vil grafen for funktionen være en vandret
linje, der går gennem punktet (0,1).
10-talslogaritme funktionen
Er grundtallet a > 1, vil funktionen være voksende.
Endvidere vil grafen nærme sig x-aksen mod venstre. x-aksen er altså
asymptote til grafen.
Definitionsmængden er alle reelle tal, og værdimængden er alle positive reelle tal.
Er grundtallet a beliggende mellem 0 og 1, altså,
0 < a < 1, vil funktionen være aftagende.
På samme måde vil x-aksen være asymptote. Her er det blot til højre,
at grafen nærmer sig x-aksen.
Definitionsmængden er alle reelle tal, og værdimængden er alle positive reelle tal.
10-talslogaritme funktionen
Du skal nu møde en speciel eksponential funktion, som ser således ud:
y = f(x) = 10x
Den kalder du en eksponential funktion med grundtal 10.
På din grafregner har du en tast for 10x, så indtast funktionen i din
grafmenu.
Du vil få et billede, som ser ud som vist på figur 10.04.
Figur 10.04
Grafen for 10x går som nævnt tidligere gennem punkterne (0,1) og
(1,10), og forklaringen er:
Indsætter du x = 0, får du f(0) = 100 = 1 og
indsætter du x = 1, får du f(1) = 101 = 10
Ser du på grafen, er den voksende inden for hele definitionsmængden.
Denne egenskab hos visse funktioner har du mødt tidligere. De blev kaldt
monotone, og de havde en omvendt funktion, som du betegnede f -1.
339
340
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Funktionen:
f(x) = 10x
har derfor en omvendt funktion, som du kalder log x eller 10-talslogaritmen.
Denne 10-talslogaritme defineres på følgende måde:
Logaritmen til et tal er den eksponent, du skal give 10 for at få tallet.
Du får nogle eksempler for at belyse denne definition:
100 = 102, dvs. log 100 = 2
Du får nogle flere eksempler:
1000 = 103,
100 = 102,
10 = 101,
1 = 100,
1
= 10-1,
10
1
= 10-2,
100
dvs. log 1000 = 3
dvs. log 100 = 2
dvs. log 10 = 1
dvs. log 1
=0
1
= -1
10
1
dvs. log
= -2
100
dvs. log
Som du kan se, er der et system, og det er enkelt at finde logaritmen
til et tal, hvis du holder dig til tal, som du hurtigt kan omskrive til en
potens af 10.
Generelt kan du skrive:
log 10x = x
Har du derimod et tal som 16,34, og du skal bestemme den potens, du
skal give 10 for at få tallet, kan du ikke gøre det på samme måde som
før, men her kommer din grafregner dig til hjælp.
Inden du indtaster, kan du lige kaste et blik på eksemplerne fra før.
Som du kan se, må logaritmen til 16,34 ligge mellem 1 og 2, da:
log 10 = 1
10
= 101,
16,34 = 10?,
log 16,34 = 1,????
100
= 102,
log 100 = 2
Du kan nu indtaste på din grafregner og får:
log 16,34 = 1,2133
Hvor mange cifre du skal medtage, er helt afhængig af den enkelte opgave.
Skal du tilbage til de 16,34, udfører du regneoperationen:
101,2133 = 16,34
Regneregler for logaritmer
Indtast på din grafregner funktionerne:
y = f(x) = 10x
og y = f-1(x) = log x
Du vil få et billede som vist på figur 10.05, hvor de to grafer er symmetriske om linjen y = x.
Figur 10.05
Ved at betragte billedet kan du få nogle karakteristiske egenskaber for
de to funktioner.
Eksponentialfunktionen 10x har R (de reelle tal) som definitionsmængde,
og alle positive reelle tal som værdimængde.
Grafen går gennem punktet (0,1).
For logaritmefunktionen log x er det omvendt. Definitionsmængden er
alle positive reelle tal, mens værdimængden er alle reelle tal.
Grafen går gennem punktet (1,0), som jo er det omvendte af eksponentialfunktionen, hvis graf gennem går gennem punktet (0,1).
Du har endvidere, at log 1 = 0.
Regneregler for logaritmer
Du får her fire regneregler, som gælder for to positive tal a og b:
1: log (a ⋅ b)= log a + log b
a
b
2: log ( ) = log a − log b
3: log (an) = n ⋅ log a
1
4: log ( n a ) = ⋅ log a
n
Du får nu vist, hvorledes den første regel fremkommer. De øvrige kan
vises på samme måde.
Først omskriver du tallene a og b:
a = 10c, dvs. log a = c
b = 10d, dvs. log b = d
341
342
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Så omskriver du log (a ⋅ b):
log (a ⋅ b) = log (10c ⋅ 10d)
= log (10c+d)
=c+d
= log a + log b
Potensreglen ap ⋅ aq = ap+q benyttes.
Reglen log 10x = x benyttes.
log a = c og log b = d indsættes.
Eksponentielle ligninger
Regnereglerne for logaritmer gør dig nu i stand til at løse eksponentielle ligninger.
I en eksponentiel ligning indgår den ubekendte som potenseksponent.
Du vil i nogle eksempler få belyst de metoder, du kan benytte, når
du skal løse eksponentielle ligninger.
Eksempel 10.01
Du skal løse ligningen:
5x = 30
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet:
log (5x) = log 30
Så benytter du regneregel nr.3: log(an) = n ⋅ log a. Det giver:
x ⋅ log 5 = log 30
x=
log 30
log 5
x = 2,1133
Løsning 2:
Du kan opfatte ligningens ”venstre side” og ”højre side” som to funktioner: f(x) = 5x og g(x) = 30.
Eksponentielle ligninger
Du kan indtaste de to funktioner i grafmenuen og bestemme skæringspunktet mellem de to grafer.
Du får et billede som vist på figur 10.06.
Figur 10.06
Skæringspunktet mellem de to grafer kan du få grafregneren til at hjælpe
dig med. Det giver (2,1133 ; 30), og dermed har du løsningen:
x = 2,1133
Eksempel 10.02
Du skal løse ligningen
3x - 3-x - 2 = 0
Du kan også her anvende to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Umiddelbart kan du ikke anvende logaritme-reglerne, så der skal lidt
omskrivning til først. Du kan gange alle led med 3x. Det giver:
3x ⋅ 3x - 3-x ⋅ 3x - 2 ⋅ 3x = 0
x 2
(3 )
- 30 - 2 ⋅ 3x = 0
x 2
(3 ) - 1 - 2 ⋅ 3x = 0
Du ordner leddene:
(3x)2 - 2 ⋅ 3x - 1 = 0
Du har nu fået ligningen omskrevet til en ”kamufleret” 2.gradsligning.
Sætter du fx z = 3x, får ligningen følgende udseende:
z2 - 2 ⋅ z - 1 = 0
Du kan benytte løsningsformlen for 2.gradsligninger eller også anvende programmet på din grafregner.
Løsningen bliver:
z = 3x = 2,414 eller z = 3x = -0,414 (forkastes)
343
344
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
For at bestemme x kan du benytte den 3.logaritme-regel:
log (3x ) = log 2, 414
x ⋅ log 3 = log 2, 414
log 2, 414
log 3
x = 0 , 802
x=
Løsning 2:
Du opfatter ”venstre side” af ligningen som en funktion:
f(x) = 3x - 3-x - 2
Du indtaster funktionen i grafmenuen og får grafregneren til at bestemme grafens skæringspunkter med x-aksen, som giver dig løsningen til
ligningen.
Du får et billede som vist på figur 10.07 og skæringspunktet med
x-aksen til: (0,802 ; 0)
Figur 10.07
Hermed har du løsningen:
x = 0,802
Opgave 269
Du skal bestemme x i følgende ligninger:
a) 2x = 5
b) 2x+2 = 5
-x
x
d) 2 + 2 = 5
e) 9x - 10 ⋅ 3x - 24 = 0
c) 10x-1 = 12
f) 2-x - 4 + 2x = 0
Den naturlige logaritmefunktion
Den anden logaritmefunktion, du skal kende, er den naturlige logaritmefunktion.
Som udgangspunkt har du den naturlige eksponentialfunktion, som
ser således ud:
y = f(x) = ex
hvor e er et ”skævt” tal og afrundet lig med 2,71828.
Den naturlige logaritmefunktion
Du vil senere i kapitel 13 - Integralregning få at se, hvorledes dette
”skæve” tal er fremkommet.
På din grafregner har du en tast med ex, så indtast funktionen i din
grafmenu.
Du vil få et billede som vist på figur 10.08.
Figur 10.08
Den omvendte funktion kaldes den naturlige logaritmefunktion, og du
betegner den:
y = f(x) = ln x
Denne funktion har du også en tast for, så indtast f(x) = ln x i din grafmenu i samme koordinatsystem.
Du vil da få de to funktioner som vist på figur 10.08.
Ved at betragte figur 10.08 kan du få nogle karakteristiske egenskaber
for de to funktioner.
Den naturlige eksponentialfunktion ex har R (de reelle tal) som definitionsmængde, og alle positive reelle tal som værdimængde.
Grafen går gennem punktet (0,1).
For den naturlige logaritmefunktion ln x er det omvendt. Definitionsmængden er alle positive reelle tal, mens værdimængden er alle reelle
tal.
Grafen går gennem (1,0), som jo er det omvendte af eksponentialfunktionen, hvis graf går gennem (0,1).
Du har endvidere, at ln 1 = 0.
På figur 10.09 har du et billede af f(x) = ln x og g(x) = log x.
Figur 10.09
345
346
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Grundtallet for 10-talslogaritme-funktionen er tallet 10, hvis funktionsværdi er 1.
På samme måde er grundtallet e for den naturlige logaritmefunktion den talværdi, hvis funktionsværdi også er 1.
På samme måde som ved 10-talslogaritmen, får du hjælp af din grafregner, når du skal bestemme den naturlige logaritme til et tal.
Du får et eksempel:
Du skal bestemme ln 23,2
Du taster ind på din grafregner og får:
ln 23,2 = 3,1441
Skal du tilbage til de 23,2, udfører du regneoperationen:
e3,1441 = 23,2
Regneregler for naturlige logaritmer
Regnereglerne for de naturlige logaritmer er de samme som for 10-talslogaritmerne.
Du får her de fire regneregler, som gælder for to positive tal a og b:
1: ln (a ⋅ b)= ln a + ln b
a
b
2: ln ( ) = ln a − ln b
3: ln (an) = n ⋅ ln a
1
4: ln ( n a ) = ⋅ ln a
n
”Lyd” og ”støj”
Ved beregning af ”lyd”- og ”støj”-problemer indgår logaritmer som et
vigtigt element i beregningsgrundlaget. Inden du skal i gang med at se
på beregningsprincipperne, får du her nogle indledende bemærkninger om begrebet lyd.
Lyd udbreder sig som bølger, og den energi, der pr. sekund passerer
1 m2, vinkelret på udbredelsesretningen, kalder du lydbølgens intensitet og benævner den med bogstavet I.
Den laveste intensitet, som det menneskelige øre kan registrere, kalder du I0.
I0 er sat til følgende værdi:
I0 = 10-12 W/m2 (Watt pr. m2)
”Lyd” og ”støj”
Alle andre lydintensiteter bestemmer du i forhold til I0, men da tallene
er meget små, er der af praktiske grunde indført begrebet lydniveau,
som er et udtryk for lydstyrke eller støjniveau.
Forskriften ser således ud:
I
L (I) = 10 ⋅ log   dB (deciBell)
 I 0 
Indsætter du I0 = 10-12 bliver det:
 I 
L (I) = 10 ⋅ log  -12  dB
 10 
Skal du beregne lydniveauet, skal du kende I.
Befinder du dig et sted, hvor der er flere lydkilder, er intensiteten I
summen af enkelte lydkilders intensiteter.
Hvis du fx har en lydkilde, der giver en intensitet I1, og en anden
lydkilde giver en intensitet I2, vil den samlede lydintensitet være lig
med summen af de to intensiteter, altså:
I = I1 + I2
Befinder du dig på en arbejdsplads, siger loven om arbejdsmiljø, at ingen person må udsættes for en støjbelastning over 85 dB(A) under arbejdet. Denne værdi er en gennemsnitsværdi, som kaldes det energiækvivalente lydtryksniveau på arbejdspladsen for en 8 timers arbejdsdag.
Betegnelsen er LA,eq, og du kan bestemme værdien af følgende udtryk:
L1
L2
L n 
1
L A,eq = 10 ⋅ log  t1 ⋅ 10 10 + t 2 ⋅ 10 10 + ...t n ⋅ 10 10 

 8 

hvor t1 er det tidsrum i timer, hvor der er målt et støjniveau på L1 osv.
347
348
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Eksempel 10.03
En bil, der kører med en hastighed på 80 km/time, har et motorstøjsniveau L1 = 72 dB og et dækstøjsniveau L2 = 78 dB.
a) Du skal omregne de to støjniveauer til støjintensiteter.
b) Du skal bestemme personbilens samlede støjniveau.
a)
 I 
Du kan benytte: L (I) = 10 ⋅ log  -12 
 10 
Du kan indsætte værdierne for L1 og L2. Beregningerne kommer til at
se således ud:
 I 
72 = 10 ⋅ log  -1 12 
 10 
og
 I 
78 = 10 ⋅ log  -2 12 
 10 
 I 
7 , 2 = log  -1 12 
 10 
og
 I 
7, 8 = log  -2 12 
 10 
 I 
107 , 2 =  -1 12 
 10 
og
107,8 =
I2
10-12
I1 = 107 , 2 ⋅ 10-12
og
I 2 = 107 , 8 ⋅ 10-12
I1 = 1, 58489 ⋅ 10-5
og
I 2 = 10-4 , 2 = 6 , 30957 ⋅ 10-5
b)
Du starter med at bestemme den samlede støjintensitet:
I = I1 + I2 = 1,58489 ⋅ 10-5 + 6,30957 ⋅ 10-5 = 7,89446 ⋅ 10-5
Herefter bestemmer du personbilens samlede støjniveau:
 7 , 89446 ⋅ 10-5 
 I 
 ≈ 79dB
L (I) = 10 ⋅ log  -12  = 10 ⋅ log 
 10 

10-12

”Lyd” og ”støj”
Eksempel 10.04
En værkfører opholder sig i løbet af en 8 timers arbejdsdag 2 timer i et
værksted med et støjniveau på 90 dB(A) og 6 timer på et kontor med et
støjniveau på 60 dB(A).
Du skal bestemme det energiækvivalente støjniveau, som værkføreren
udsættes for i løbet af sin arbejdsdag.
Du kan indsætte i udtrykket:
L1
L2
L n 
1
L A,eq = 10 ⋅ log  t1 ⋅ 10 10 + t 2 ⋅ 10 10 + ...t n ⋅ 10 10 

 8 

90
60 
1
L A,eq = 10 ⋅ log  2 ⋅ 10 10 + 6 ⋅ 10 10 

 8 

L A,eq ≈ 84 dB (A)
Opgave 270
I en fabrik, hvor der står to maskiner, skal der foretages en måling af
støjniveauet. Man måler først støjniveauet for maskinerne hver for sig
og får følgende resultater:
Maskine 1: L1 = 93 dB
Maskine 2: L2 = 98 dB
Når begge maskiner kører samtidigt, måles der en lydstyrke på 99 dB.
Det sidste måleresultat undrer man sig meget over.
Du skal ved en beregning undersøge, om det sidste måleresultat er
rimeligt.
Opgave 271
En operatør skifter i løbet af en 8 timers dag arbejdsplads således:
2 timer i et støjniveau på 94 dB(A)
3 timer i et støjniveau på 80 dB(A)
2 timer i et støjniveau på 72 dB(A)
1 time i et støjniveau på 50 dB(A).
Du skal undersøge, om arbejdsmiljølovens krav om en maksimal støjbelastning på 85 dB(A) overholdes for operatøren.
349
350
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Vækst
Du kender begrebet vækst. Overvejer du at købe ”noget” til fx 2 kr./kg,
vil prisen være afhængig af, hvor mange kg du køber.
Du kan opstille et funktionsudtryk for prisen:
f(x) = 2x
hvor x er antal kg.
I et koordinatsystem vil ligningen fremstille en ret linje som vist på
figur 10.10.
y pris
f(x) = 2x
1
kg
x
1
Figur 10.10
Her er tale om lineær vækst.
Der kan også være tale om vækst, der følger ligningen for en parabel, fx
når der er tale om en bevægelse med jævn acceleration.
Fra fysikundervisningen har du en formel, der beskriver den tilbagelagte vejlængde som funktion af tiden.
Formlen ser således ud:
1
s = ⋅ a ⋅ t2
2
I et koordinatsystem vil ligningen fremstille en parabel som vist på figur 10.11.
s
s= 12 at2
1
1
t
Figur 10.11
Der er masser af eksempler på andre former for vækst:
-Da du blev født, blev din fødselslængde målt, og for hvert år op til
en vis alder, er du blevet nogle cm længere.
-En influenza-epidemi bryder ud. Antallet af sygdomsramte stiger vold­
somt uge for uge indtil en vis grænse, hvorefter antallet vil falde.
- Befolkningstallet i et land vil vokse år for år.
-Indsætter du et beløb på en opsparingskonto i en bank, vil beløbet
vokse afhængig af den rente, banken vil give dig.
Eksponentielle vækstfunktioner
Mange af disse vækstformer kan beskrives med matematiske funktionsudtryk, som du kan regne på.
Du vil i det kommende afsnit blive præsenteret for den eksponentielle vækstfunktion, som er et supplement til de øvrige funktionsformer, du har arbejdet med.
Eksponentielle vækstfunktioner
Når du skal ”oversætte” en praktisk problemstilling til en matematisk
problemstilling inden for eksponentialfunktionsområdet, viser det sig
ofte, at det er nødvendigt at gange eksponentialfunktionen med en faktor for at få styr på problemet.
Du får dermed en ny funktion, som ser således ud:
y = f(x) = b ⋅ ax, hvor a > 0, b > 0 og x ∈ R
Den kaldes en eksponentiel vækstfunktion eller en eksponentiel udvikling.
Den er voksende, når a > 1.
Den er aftagende, når 0 < a < 1.
Indsætter du x = 0, får du:
f(0) = b ⋅ a0 = b ⋅ 1 = b
Grafen går dermed gennem punktet (0,b), og b-værdien er dermed grafens skæringspunkt med y-aksen.
Tag din grafregner og indtast følgende funktioner:
f(x) = 2 ⋅ 1,8x, g(x) = 4 ⋅ 0,6x,
Du får et billede som vist på figur 10.12.
Figur 10.12
De karakteristiske egenskaber for de eksponentielle vækstfunktioner
følger eksponentialfunktionerne.
Som du kan se på figur 10.12, er x-aksen asymptote for de eksponentielle vækstfunktioner.
351
352
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Ligeledes er værdimængden alle positive reelle tal.
Du kan få til opgave at opstille forskriften for en eksponentiel vækstfunktion, og du kan få oplysningerne givet på mange forskellige måder.
I første omgang får du givet koordinaterne til to talpar, der ligger
på grafen for funktionen. Fremgangsmåden får du beskrevet i det kommende eksempel.
Eksempel 10.05
Du skal bestemme regneforskriften for den eksponentielle vækstfunktion, hvis graf indeholder følgende to talpar:
(x,y) = (2,108) og (x,y) = (5,2916)
Du indsætter i f(x) = b ⋅ ax . Det bliver
108 = b ⋅ a2
og
2916 = b ⋅ a5
Du løser ligningerne med hensyn til b:
108
2916
= b og
=b
a2
a5
Du danner en ny ligning af de to venstresider. Det bliver:
108 2916
= 5
a2
a
Du løser ligningen med hensyn til a:
108 ⋅ a 5 = 2916 ⋅ a 2
108 ⋅ a 3 = 2916
a= 3
2916
108
a=3
Du mangler at bestemme b. Du går tilbage og indsætter:
108
b= 2
3
b = 12
Regneforskriften får da følgende udseende:
f(x) = 12 ⋅ 3x
Opgave 272
Du skal bestemme a og b i funktionsforskriften f(x) = b ⋅ ax, når følgende er givet:
a) f(1) = 2,08 og f(3) = 0,3328
b) f(3) = 40
og f(6) = 320
c) f(4) = 640
og f(8) = 163840
d) f(2) = 32
og f(9) = 1,6
Fordoblings- og halveringskonstant
Fordoblings- og halveringskonstant
Når du arbejder med praktiske problemstillinger, hvor der indgår eksponentielle vækstfunktioner, vil du få brug for begreberne fordoblingskonstant og halveringskonstant.
Du får først ”noget” om fordoblingskonstanten, som benævnes T2.
Du har grafen for en voksende eksponentiel vækstfunktion som vist
på figur 10.13.
y
2f(x) = f(x+T2)
f(x)
x
x
T2
Figur 10.13
Forestil dig, at du står på x-aksen i et vilkårlig punkt x. Du har her en
y-værdi, som på figur 10.13 er benævnt f(x).
Herfra går du mod højre, indtil y-værdien er fordoblet. På figur
10.13 er ”vejlængden”, du skal gå, benævnt med T2.
Det viser sig, at denne ”vejlængde” T2 er en konstant størrelse, som
er afhængig af a-værdien i funktionsudtrykket f(x) = b ⋅ ax. Det får du
at se i det kommende.
Du kan udtrykke den dobbelte funktionsværdi således:
2 ⋅ f(x)
eller
f(x + T2)
2 ⋅ b ⋅ ax
eller
b ⋅ a x +T2
Du kan sætte de to udtryk lig med hinanden. Det bliver:
2 ⋅ b ⋅ a x = b ⋅ a x+T2
2 ⋅ a x = a x+T2
2 ⋅ a x = a x ⋅ a T2
2 = a T2
Du kan tage logaritmen på begge sider af lighedstegnet:
log 2 = T2 ⋅ log a
Udtrykker du T2, får du følgende udtryk for fordoblingskonstanten:
T2 =
log 2
log a
353
354
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Halveringskonstanten, som du kalder T½, er et udtryk for den ”vejlængde”, du skal gå hen ad x-aksen for at få halveret funktionsværdien
for en eksponentielt aftagende vækstfunktion (se figur 10.14).
y
1
2
f(x)
x
f(x) = f(x+T1 )
2
x
T1
2
Figur 10.14
Du kan bestemme halveringskonstanten således:
log 2
T1 = log a
2
Eksempel 10.06
Du får følgende oplysninger om en eksponentiel udvikling:
Fordoblingskonstanten T2 = 0,5 og f(1) = 12.
Du skal bestemme funktionsforskriften.
Du kan første bestemme a af udtrykket:
log 2
T2 =
log a
log 2
log a
log 2
log a =
0, 5
a=4
0, 5 =
Herefter bestemmer du b ved indsættelse i:
f (x ) = b ⋅ a x
12 = b ⋅ 41
3= b
Funktionsforskriften får da følgende udseende:
f(x) = 3 ⋅ 4x
Rentesregning
Opgave 273
Du skal vise, hvorledes udtrykket for halveringskonstanten T½ er fremkommet. Du kan benytte samme fremgangsmåde som den, du fik vist
ved udledning af udtrykket for fordoblingskonstanten T2.
Opgave 274
For en eksponentielt aftagende vækstfunktion f gælder, at:
f(-1) = 12 og f(1) = 3
a) Du skal bestemme forskriften for denne funktion.
b) Du skal bestemme halveringskonstanten.
Opgave 275
For en eksponentiel udvikling gælder, at:
T½ = 4 og f(-2) = 58
Du skal bestemme forskriften for denne funktion.
Rentesregning
Du har tidligere arbejdet med procentregning, men du får en lille repetition. 1 % betyder 1/100 = 0,01.
Skal du lægge 15 % til 850 kr., vil regnestykket se således ud:
850 + 0,15 ⋅ 850 = 977,50 kr.
Du kunne også skrive det på denne måde:
850(1 + 0,15) = 977,50 kr.
355
356
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Hvis du kalder procentsatsen p% og decimalbrøken r, får du r som
p/100.
Decimalbrøken r kalder du rentefoden.
Du kan derfor lægge p% til et beløb ved at gange det med (1 + r).
Har du et beløb, som du indsætter i en bank, vil beløbet efter en termin
være vokset til:
K1 = K(1 + r)
Lader du det stå urørt i en termin til, vil beløbet være vokset til:
K2 = K1(1 + r)
Indsætter du værdien for K1, får du:
K2 = K(1 + r)(1 + r)
K2 = K(1 + r)2
Som du kan se, skal du hver gang, der er gået en termin, gange med
(1 + r).
Denne størrelse kaldes fremskrivningsfaktoren.
Generelt får du følgende renteformel:
Kn = K(1 + r)n
Hvor:
Kn er beløbet efter n terminer
K er beløbet, der indsættes
r er rentefoden, som bestemmes af r = p/100
p er procentsatsen
n er antal terminer.
Sammenholder du renteformlen med forskriften for en eksponentiel
vækstfunktion:
f(x) = b ⋅ ax
svarer:
f(x) til Kn
b til K
a til (1 + r) og
n til x.
a er fremskrivningsfaktoren og a = 1 + r.
Løser du ligningen med hensyn til r, får du:
r=a-1
Denne størrelse kaldes vækstraten og svarer til rentefoden i renteformlen.
Rentesregning
Eksempel 10.07
Et beløb på 1000 kr. indsættes i en bank, hvor der årligt tilskrives rente
med 3 %.
Du skal bestemme, hvor mange år der skal gå, før beløbet er vokset til
1500 kr.
Du kan benytte formlen:
Kn = K(1 + r)n
Du kan indsætte og løse ligningen med hensyn til n. Regningerne kommer til at se således ud:
n
1500 = 1000 ⋅ (1 + 0 , 03)
1500
= 1, 03n
1000
1, 5 = 1, 03n
log 1, 5 = n ⋅ log 1, 03
log 1, 5
=n
log 1, 03
13,71 = n
Du kan hermed konstatere, at beløbet skal stå i 14 år for at komme op
på 1500 kr.
Opgave 276
Et beløb på 5000 kr. indsættes til forrentning.
a) Du skal bestemme beløbets størrelse efter 1 år, 5 år og 10 år, når der
tilskrives rente med 1,5 % pr. år.
b) Du skal bestemme beløbets størrelse efter 1 år, 5 år og 10 år, når der
tilskrives rente med 2,5 % pr. år.
c) Du skal bestemme beløbets størrelse efter 1 år, 5 år og 10 år, når der
tilskrives rente med 4 % pr. år.
Opgave 277
Et beløb K indsættes på en konto og forrentes med 5 % pr. år. Efter 8 års
forløb er beløbet vokset til 25000 kr.
Du skal bestemme beløbet K.
357
358
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Forestil dig, at du har en masse talpar. Du skal afgøre, om punkterne
tilhører en eksponentiel vækstfunktion.
Du afsætter punkterne i et koordinatsystem og forbinder punkterne,
der danner en sammenhængende graf.
Umiddelbart kan det være svært for dig at afgøre, om det er en eksponentiel vækstfunktion ud fra grafens udseende.
Du kan regne på det, men er der mange talpar, er det noget af et
”slavearbejde”.
Der findes imidlertid et ”redskab”, der kan hjælpe dig.
Det viser sig nemlig, at en ret linje indtegnet i et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem vil fremstille en eksponentiel vækstfunktion.
Opbygningen af et sådant enkeltlogaritmisk koordinatsystem kan du
se på figur 10.15.
y
2 log 100
100 100
1 log 10
10
10
0 log 1
1
1
Alm.skala Log.skala
x
1
2 3 4 5
Enkeltlogaritmisk
koordinatsystem
Figur 10.15
Til venstre har du en almindelig skala, hvor tallene 0, 1 og 2 er afsat. Ud
for tallene er afsat de tilhørende logaritmer.
Kan du huske definitionen på en logaritme? - Du får den her:
Logaritmen til et tal er den potens, du skal give 10 for at få tallet.
log 100 = log 102
log 10 = log 101
log 1
= log 100
=2
=1
=0
Den logaritmisk inddelte skala har du i midten, og her sættes ikke log
foran tallene.
Afstanden mellem 1 og 10 og mellem 10 og 100 er den samme, hvilket skyldes, at det er potenser af 10, der danner delingen.
Afstanden mellem 1 og 10 og mellem 10 og 100 kaldes en dekade.
Det enkeltlogaritmiske koordinatsystem har du til højre, og som du kan
se, er det kun den lodrette akse (y-aksen), der er logaritmisk inddelt.
Enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Det er selvfølgeligt besværligt at konstruere et sådant enkeltlogaritmisk
koordinatsystem, og der er derfor fremstillet enkeltlogaritmisk papir,
som du ser en lille del af på figur 10.16.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Figur 10.16
Tallene på den lodrette akse er påtrykt, men har du en opgave, hvor du
har behov for en anden inddeling, kan du ændre den.
Du skal bare huske på, at hver gang du går en dekade opad, kommer du til et tal, der er 10 gange større.
At du kan afbilde en eksponentiel vækstfunktion som en ret linje i et
enkeltlogaritmisk koordinatsystem var en påstand, så du får en forklaring.
Udgangspunktet er funktionsforskriften:
f(x) = b ⋅ ax
log f(x) = log b + x ⋅ log a
lighedstegnet:
Du tager logaritmen på begge sider af
log f(x) = (log a) ⋅ x + log b
På højre side flyttes om på leddene.
Formålet med denne omskrivning er, at den nu i sin opbygning ”ligner” en lineær funktion, som har ligningen:
f(x) = a ⋅ x + b
Der er log til det ”lodrette” i ligningen, mens x står ”alene”.
359
360
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor y-aksen er logaritmisk
inddelt, og x-aksen har en normal deling, vil du kunne afbilde en eksponentiel vækstfunktion som en ret linje.
Eksempel 10.08
a) Du skal anskaffe et enkeltlogaritmisk papir og afsætte funktionerne:
f(x) = 2 ⋅ 1,3x
g(x) = 5 ⋅ 0,8x
og
b) Du skal bestemme skæringspunktet mellem f og g.
a)
Du kan starte med f(x).
Umiddelbart kan du afsætte 2 på y-aksen.
”b”-værdien er jo 2, og ”b”-værdien er grafens skæringspunkt med
y-aksen.
Du skal have et punkt, og her kan du vælge en x-værdi.
Det nemmeste er at vælge x = 1, men det kan give en usikkerhed
ved tegningen, da punktet ligger tæt på det andet punkt (0,2).
Du kan vælge x = 6. Det giver:
f(6) = 2 ⋅ 1,36 = 9,65
Du kan afsætte punktet (6;9,65), og du får et billede af f(x) som vist på
figur 10.17.
10
9
f(x)
8
7
6
5
4
3
2
g(x)
1
1
Figur 10.17
2
3
4
5
6
7
Enkeltlogaritmisk koordinatsystem
På tilsvarende måde med g(x):
Du afsætter 5 på y-aksen, og vælger x = 6.
Det giver:
g(6) = 5 ⋅ 0,86 = 1,31
Du afsætter punktet (6;1,31), og du får et billede af g(x) som vist på
figur 10.17.
b)
Når du skal bestemme skæringspunktet mellem f og g, kan du gøre det
på 3 forskellige måder:
1) Du kan aflæse koordinaterne direkte i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem.
2) Du kan indtaste de to funktioner i grafmenuen på din grafregner, og
derefter lade grafregneren hjælpe dig med at bestemme skæringspunktet.
3) Du kan beregne skæringspunkterne ved at løse ligningen f(x) = g(x).
Her vælges 3), således at du får lejlighed til at se fremgangsmåden, når
du møder en sådan ligning.
2 ⋅ 1,3x = 5 ⋅ 0,8x
1, 3x
5
=
x
2
0, 8
Du samler x-led på venstre side,
og de hele tal på højre side.
 1, 3 x 5

 =
 0 , 8 
2
Du kan skrive venstre side som vist,
jf. potensregnereglerne.
 1, 3 
5
x ⋅ log 
 = log
 0 , 8 
2
Du tager log på begge sider af lighedstegnet.
 5
log  
 2
x=
 1, 3 
log 
 0 , 8 
Du løser ligningen med hensyn til x.
x = 1,89
Du benytter grafregneren og får x.
y = f(1,89) = 2 ⋅ 1,31,89
Du indsætter x = 1,89 i enten f(x) eller g(x).
y = 3,28
Skæringspunktet er (1,89;3,28)
361
362
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Du kan også møde et koordinatsystem, hvor både den vandrette og
lodrette akse er inddelt logaritmisk.
På figur 10.18 har du en del af et sådant dobbeltlogaritmisk papir,
som du også kan købe fortrykt.
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Figur 10.18
De funktioner, som du kan afbilde som rette linjer i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, er potensfunktioner, som du kan beskrive som:
f(x) = b ⋅ xa hvor både x > 0 og b > 0
Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Forklaringen på, at du kan afbilde en potensfunktion som en ret linje,
får du her:
Du tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet:
log f(x) = log b + a ⋅ log x
Du flytter lidt om:
log f(x) = a ⋅ log x + log b
og du har ”billedet” af en lineær funktion:
f(x) = a x + b
Anskaf dig et dobbeltlogaritmisk papir og indtegn funktionerne:
1
f(x) = 3x g(x) = 3x2 h (x ) = 3 ⋅ x = 3 ⋅ x 2
Du får et billede som vist på figur 10.19.
3
2
g(x) = 3x2
f(x) = 3x
1
9
8
7
h(x) = 3 x
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Figur 10.19
Som du kan se, starter linjerne fra (0,3). Forklaringen er, at indsætter
du x = 1 i:
f(x) = b ⋅ xa = b ⋅ 1a = b
Det vil sige, at den rette linje i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem
går gennem punktet (1,b).
363
364
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Eksempel 10.09
Du har givet en ret linje, som er indtegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem som vist på figur 10.20:
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Figur 10.20
Du skal bestemme b og a i funktionsforskriften f(x) = b ⋅ xa.
Da linjen går gennem punktet (1,b), kan du aflæse b-værdien til 5.
Du vælger et punkt, hvor det er nemt at aflæse koordinaterne.
Her vælges punktet (8,20).
Det indsættes sammen med b = 5 i:
f (x ) = b ⋅ x a
20 = 5 ⋅ 8 a
4 = 8a
log 4 = a ⋅ log 8
log 4
=a
log 8
0 , 67 = a
Hermed har du forskriften: f(x) = 5 ⋅ x0,67.
Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Opgave 278
Der er foretaget følgende tre sæt målinger:
1) (2,10), (4,13), (9,25) og (12,33)
2) (1,4), (5,3), (8;2,6) og (11;2)
3) (2;1,22), (4;4,78), (8;19,2) og (12,43)
a) Du skal ved hjælp af millimeterpapir, enkelt-logaritmisk og dobbeltlogaritmisk papir undersøge, om det enkelte sæt måleresultater repræsenterer en lineær, en parabelformet eller en eksponentiel vækst.
b) Du skal, for hvert af de tre tilfælde, bestemme en forskrift, der tilnærmelsesvis tilfredsstiller målingerne.
Opgave 279
På figur 10.21 er der på dobbeltlogaritmisk papir tegnet graferne for to
funktioner f og g.
1
9
8
7
f(x)
6
5
4
3
g(x)
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Figur 10.21
a) Du skal bestemme en forskrift for hver af de to funktioner.
b) Du skal bestemme skæringspunktet mellem f og g.
365
366
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Problemopgaver
Opgave 280
Hængekablet på broens midterfag (figur 10.22) er formet efter en såkaldt ”kædelinje”-funktion, og med det indlagte koordinatsystem er
regneforskriften:
y
Midterfag
Hængekabel
13
x
Figur 10.22
f(x) = 93 ⋅ e-0,008x + 42 ⋅ e0,008x - 122
hvor x er i meter.
Du skal bestemme afstanden mellem bropillerne.
Opgave 281
Ved raffinering af råsukker aftager mængden af ikke-færdigraffineret
sukker eksponentielt efter formlen:
f(t) = a ⋅ 0,98t
hvor f(t) er mængden af ikke-færdigraffineret sukker målt i kg t timer
efter raffineringens begyndelse.
a er mængden af råsukker i kg ved raffineringens begyndelse.
En raffinering af 12000 kg råsukker påbegyndes.
a) Du skal bestemme, hvor mange kg ikke-færdigraffineret sukker der
er tilbage efter 10 timers forløb.
b) Du skal bestemme, hvor mange timer der er gået siden starten, når
der er 8000 kg ikke-færdigraffineret sukker tilbage.
c) Du skal bestemme halveringskonstanten for funktionen.
d) Du skal bestemme, hvor mange timer (helt tal) der er gået, når der er
mindre end 100 kg ikke-færdigraffineret sukker tilbage.
Problemopgaver
Opgave 282
Reaktionshastigheden V for en kemisk proces kan bestemmes ved ligningen:
-K
V=A⋅e T
hvor:
A er et positivt tal
e er grundtallet for den naturlige logaritme
K er en konstant for processen
T er den absolutte temperatur og T = 273 + t (°C).
For en bestemt proces gælder, at der ved en temperatur t = 30 °C foregår
en proces, der er 3 gange hurtigere end ved en temperatur t = 15 °C.
a) Du skal bestemme konstanten K.
b) Du skal bestemme, hvor mange gange hurtigere processen forløber
ved en temperatur t = 60 °C end ved en temperatur t = 10 °C.
Opgave 283
Anbringes en beholder med væske til afkøling i et lukket rum, hvor
temperaturen er konstant T0 °C, kan væskens temperatur T efter en afkølingstid på t minutter beregnes efter følgende formel:
T = T0 + a ⋅ e-Kt
hvor a og K er konstanter.
En væske, der har temperaturen T = 80 °C, anbringes i et rum, hvor
temperaturen T0 = 24 °C.
8 minutter senere er væskens temperatur faldet til 60 °C.
a) Du skal bestemme konstanterne a og K.
b) Du skal bestemme væskens temperatur 40 minutter efter afkølingens begyndelse.
c) Du skal bestemme den tid, det tager at afkøle væsken fra 70 °C til
30 °C.
367
368
Teknisk matematik · EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Resumé 10. kapitel
Logaritmefunktioner
10-tals logaritmen
f(x) = log x , x > 0
Regneregler:
log 10 = 1
log a ⋅ b = log a + log b
log
a
= log a - log b
b
log an = n ⋅ log a
1
log n a = ⋅ log a
n
Den naturlige logaritme
f(x) = ln x , x > 0
Regneregler:
ln e = 1
ln a ⋅ b = ln a + ln b
ln
a
= ln a - ln b
b
ln an = n ⋅ ln a
1
In n a = ⋅ In a
n
Eksponentialfunktioner
Eksponentialfunktionen
f(x) = ax , a > 0 og x ∈ R
Eksponentielle vækstfunktioner
Fordoblingskonstant for eksponentielt voksende funktion:
f(x) = b ⋅ ax , b > 0 , a > 0 og x ∈ R
T2 =
log 2
log a
Halveringskonstant for eksponentielt aftagende funktion:
T1 = 2
Renteformlen
Kn = K(1 + r)n
log 2
log a
369
TRIGONOMETRISKE
FUNKTIONER
11
Sinus, cosinus og tangens af vilkårlige vinkler
Når du skal til at arbejde med trigonometriske funktioner, er det vigtigt,
at du ved, hvordan fortegnene for sinus, cosinus og tangens varierer.
Derfor skal du nu tilbage til enhedscirklen og definitionerne på sinus, cosinus og tangens.
Sinus og cosinus til en vinkel v blev målt på henholdsvis y- og x-aksen
som vist på figur 11.01.
y
sin v
v
cos v
x
Figur 11.01
Ud fra den retvinklede trekant i enhedscirklen får du et par formler,
som du hen ad vejen får brug for.
370
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Du kan benytte Pythagoras læresætning:
(sin v)2 + (cos v)2 = 12 og dermed (sin v)2 + (cos v)2 = 1
Fra den retvinklede trekant har du, at
modstående katete
tan v =
hosliggende katete
Overført til trekanten i enhedscirklen, får du:
sin v
tan v =
cos v
Du skal nu se, hvorledes fortegnene varierer for sinus og cosinus i de
fire kvadranter.
Du skal holde fast i udgangspunktet, nemlig, at
-
sinus til en vinkel måles på y-aksen og
cosinus til en vinkel måles på x-aksen.
I 1.kvadrant er sinus og cosinus positive.
Du får en ny enhedscirkel (figur 11.02) og indlægger en vilkårlig vinkel
i henholdsvis 2., 3. og 4.kvadrant
y
v2
v3
x
v4
Figur 11.02
I 2.kvadrant skal du se på vinkel v2 og dens projektion på henholdsvis
x- og y-aksen.
Her er sinus positiv, mens cosinus er negativ.
Cosinus til v2 måles ved projektion på x-aksen, og da du er på venstre side af punktet (0,0), får du en negativ værdi.
I 3.kvadrant ser du på vinkel v3, og her er både sinus og cosinus negative.
Sinus til v3 måles ved projektion på y-aksen, og da du er nede under
(0,0), får du en negativ værdi.
Sinus, cosinus og tangens af vilkårlige vinkler
I 4.kvadrant er det vinkel v4, du skal se på, og her er sinus negativ og
cosinus positiv.
Du har nu set, hvorledes fortegnene for sinus og cosinus varierer i de
fire kvadranter.
1
Sinus
+
+
0
0
−
−
−1
Figur 11.03
Fortegnsvariationerne kan sammenfattes som vist på figur 11.03 for sinus og på figur 11.04 for cosinus.
Cosinus
−1
0
−
+
−
+
1
0
Figur 11.04
Du mangler fortegnsvariationerne for tangens og for at klare det, kan
du benytte formlen
sin v
tan v =
cos v
I 1.kvadrant er både sinus og cosinus positive, så indsætter du fortegnene, får du
+
tan v = = +
+
og dermed har du, at tangens er positiv i 1.kvadrant.
På tilsvarende kan du bestemme fortegnene i de resterende kvadranter,
og du får en fortegnsvariation for tangens som vist på figur 11.05.
Tangens
−
∞
+
0
0
+
−
−∞
Figur 11.05
371
372
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Omløbsretning
Når du arbejder med trigonometriske funktioner, er det vigtigt at få
fastslået omløbsretningen.
Du har en enhedscirkel på figur 11.06.
y
B
A
x
Figur 11.06
Forestil dig, at du står i punkt A og bevæger dig på periferien op mod
punkt B.
Denne drejebevægelse, der er modsat visernes omløb på dit ur, regner du positiv.
Har du en modsat drejebevægelse, der følger visernes omløb på dit
ur, regner du den negativ.
På figur 11.07 er de to vinkler på henholdsvis 65° og 160° afsat i positiv
omløbsretning, mens vinklen -70° er afsat i negativ omløbsretning.
y
160°
65°
−70°
x
Figur 11.07
Fortegnet, + eller -, fortæller dig, hvordan vinklen er afsat i enhedscirklen.
Radianer
Radianer
Du har hidtil målt vinkler i grader, men når du skal arbejde med praktiske problemstillinger, der kan ”oversættes” til trigonometriske funktioner, er det upraktisk at måle vinkler i grader.
Du skal igen have fat i enhedscirklen (figur 11.08).
y
B
A
x
Figur 11.08
Forestil dig, at du står i punkt A og bevæger dig på periferien mod
punkt B.
I forhold til centrum er der sket en vinkeldrejning, og denne vinkeldrejning kan du bestemme ved at måle længden af det buestykke, du
har tilbagelagt fra A til B.
Som basis for måling af buestykket benyttes enhedscirklen.
Omkredsen af en cirkel kan du bestemme således:
Omkreds = 2 ⋅ p ⋅ R,
hvor R er cirklens radius.
Omkredsen af enhedscirklen bliver = 2 ⋅ p ⋅ 1 = 2 ⋅ p
Størrelsen 2 ⋅ p har umiddelbart ingen dimension, men da den benyttes som udgangspunkt ved måling af buelængder, er der vedtaget en
måleenhed.
Du kalder måleenheden radian.
Den har en forkortet skrivemåde, nemlig rad.
På din grafregner kan du også arbejde med vinkler i radianer. Du skal
så bare have omstillet grafregneren fra grader (deg) til radianer (rad).
Sammenholder du radianer med grader, får du som udgangspunkt:
2 ⋅ p svarer til 360° og på tilsvarende måde:
p
svarer til 180°
p
svarer til 90°
2
og
p
4
svarer til 45°
373
374
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Skal du regne fra grader til radianer og omvendt, kan du opstille følgende proportion:
2 ⋅p
360
=
vR
vg
hvor vR er vinklen målt i radianer, og vg er vinklen målt i grader.
Kender du en af vinklerne, kan du bestemme den anden.
Eksempel 11.01
Du skal omregne vg = 72° til en vinkel målt i radianer.
Du kan indsætte i ligningen:
2 ⋅ p 360
=
vR
72
v R ⋅ 360 = 2 ⋅ p ⋅ 72
vR =
2 ⋅ p ⋅ 72
360
v R = 1, 2566 rad
Opgave 284
Du har følgende vinkelmål:
a) 1 rad
b) 2,3468 rad
c) 4,0456 rad
d) 5,9732 rad
Du skal bestemme vinkelmålene i grader.
Opgave 285
Du har følgende vinkelmål:
a) 54,2°
b) 135,8°
c) 256,7°
d) 341,7°
Du skal bestemme vinkelmålene i radianer.
Trigonometriske grundligninger
Trigonometriske grundligninger
Ligninger som
sin x = k, hvor -1 ≤ k ≤ 1
cos x = k, hvor -1 ≤ k ≤ 1 og
tan x = k, hvor k = R (de reelle tal)
kalder du trigonometriske grundligninger.
Du har tidligere løst trigonometriske ligninger i forbindelse med
trekantberegninger, men du vil i de kommende eksempler få uddybet
løsningsprincipperne, herunder også hvad din grafregner kan hjælpe
dig med.
Eksempel 11.02
Du skal løse ligningen: sin x = 0,46
Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du tager udgangspunkt i enhedscirklen, og afsætter 0,46 på y-aksen
som vist på figur 11.09.
y
0,46
x2
x1
x1
x
Figur 11.09
Som du kan se på figur 11.09, er der to løsninger.
Den første får du ved at indtaste på din grafregner:
x1 = sin-1 0,46 = 0,4780 (Husk at indstille din grafregner i rad)
Den anden løsning får du ved at betragte geometrien på figur 11.09.
Spejler du vinkel x1 i y-aksen, har du også vinkel x1 liggende som
vist. Du kan herefter bestemme x2:
x2 = p - 0,4780 = 2,6636
375
376
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Løsning 2:
Du kan dele ligningen og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende måde ”højre side” som en funktion g.
f(x) = sin x g(x) = 0,46
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
(Husk at indstille inddelingen på akserne i koordinatsystemet)
Du får da et billede som vist på figur 11.10.
Figur 11.10
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem
f og g, og de bliver:
x1 = 0,4780 x2 = 2,6636
Opgave 286
Du skal løse ligningerne:
a) sin x = 0,88
Grundmængde: [0 ; 2π]
b) sin x = -0,32
Grundmængde: [0 ; 2π]
Eksempel 11.03
Du skal løse ligningen: cos x = -0,49 Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du tager udgangspunkt i enhedscirklen og afsætter -0,49 som vist på
figur 11.11.
y
− 0,49
x2
x1
x
x1
Figur 11.11
Trigonometriske grundligninger
Som du kan se på figur 11.11 er der to løsninger.
Den første får du ved at indtaste på din grafregner:
x1 = cos-1(-0,49) = 2,0829
Spejler du x1 i x-aksen, har du også x1 liggende som vist, og du kan
bestemme
x2 = 2p - 2,0829 = 4,2003
Løsning 2:
Du kan dele ligningen og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende måde ”højre side” som en funktion g.
f(x) = cos x g(x) = -0,49
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
Du får da et billede som vist på figur 11.12.
Figur 11.12
Grafregneren kan så hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem f og g, og de bliver:
x1 = 2,0829 x2 = 4,2003
Opgave 287
Du skal løse ligningerne:
a) cos x = 0,91
Grundmængde: [0 ; 2p]
b) cos x = -0,23
Grundmængde: [0 ; 2p]
377
378
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Eksempel 11.04
Du skal løse ligningen tan x = 1,2 Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du tager udgangspunkt i enhedscirklen, og afsætter 1,2 som vist på
figur 11.13.
y
1,2
x2
x1
x
Figur 11.13
Som du kan se på figur 11.13, er der to løsninger, da tangens er positiv
i 1. og 3.kvadrant.
Den første får du ved at indtaste på din grafregner:
x1 = tan-1 1,2 = 0,8761
Den anden får du ved at se på figur 11.13. Du får x2 ved at lægge p (180°)
til x1:
x2 = p + 0,8761 = 4,0177
Løsning 2:
Du kan dele ligningen og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende måde ”højre side” som en funktion g.
f(x) = tan x g(x) = 1,2
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
Du får da et billede som vist på figur 11.14.
Figur 11.14
Trigonometriske uligheder
Her skal du bemærke, at grafen ikke passerer værdierne for x = 0,5 p og
x = 1,5 p. Det skyldes, at tangens ikke er defineret i disse punkter.
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem
f og g, og de bliver:
x1 = 0,8761 x2 = 4,0177
Opgave 288
Du skal løse ligningerne:
a) tan x = 5,23
Grundmængde: [0 ; 2p]
b) tan x = -0,56
Grundmængde: [0 ; 2p]
Trigonometriske uligheder
Når du skal løse trigonometriske uligheder er det vigtigt, at du har helt
styr på hvor sinus, cosinus og tangens måles i enhedscirklen.
Løsningen til en trigonometrisk ulighed vil i langt de fleste tilfælde
tage udgangspunkt i netop enhedscirklen, og hvor sinus, cosinus og
tangens måles.
Det vil du få at se i de kommende eksempler.
Eksempel 11.05
Du skal løse uligheden: sin x ≥ 0,34
Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse uligheden ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du har enhedscirklen (figur 11.15), og du kan markere, hvor sin x = 0,34
måles.
y
B
(0 ; 0,34)
x2
A
x1
x
Figur 11.15
De vinkler, der kan tilfredsstille uligheden, må være beliggende fra
punkt A til B.
379
380
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Du kan derfor starte med at løse ligningen: sin x = 0,34. Det giver:
x1 = sin-1 0,34 = 0,3469 x2 = p - 0,3469 = 2,7947
Du kan herefter skrive løsningen således:
0,3469 ≤ x ≤ 2,7947
Løsning 2:
Du kan dele uligheden og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende måde ”højre side” som en funktion g.
f(x) = sin x g(x) = 0,34
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
Du får da et billede som vist på figur 11.16.
Figur 11.16
Grafregneren kan så hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem f og g, og de bliver:
x1 = 0,3469 x2 = 2,7947
Løsningen til uligheden er den del, der ligger over linjen med forskriften g(x) = 0,34. På figur 11.16 er det det farvelagte område. Du kan
skrive løsningen på samme måde som for løsning 1:
0,3469 ≤ x ≤ 2,7947
Opgave 289
Du skal løse følgende uligheder:
a) sin x > -0,56
Grundmængde: [0 ; 2p]
b) sin x ≤ 0,72
Grundmængde: [0 ; 2p]
c) -0,65 ≤ sin x < 0,2 Grundmængde: [0 ; 2p]
Eksempel 11.06
Du skal løse uligheden: cos x > -0,44
Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse uligheden ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Trigonometriske uligheder
Løsning 1:
Du har enhedscirklen (figur 11.17), og du kan markere, hvor cos x =
-0,44 måles.
y
B
x1
(− 0,44 ; 0)
x2
x
A
Figur 11.17
De vinkler, der kan tilfredsstille uligheden, må være beliggende fra
punkt A til B.
Du kan derfor starte med at løse ligningen: cos x = -0,44. Det giver:
x1 = cos-1(-0,44) = 2,0264 x2 = 2p - 2,0264 = 4,2568
Du kan herefter skrive løsningen således:
0 ≤ x < 2,0264 eller 4,2568 < x ≤ 2p
Løsning 2:
Du kan dele uligheden og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende måde ”højre side” som en funktion g.
f(x) = cos x g(x) = -0,44
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
Du får da et billede som vist på figur 11.18.
Figur 11.18
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem
f og g, og de bliver:
x1 = 2,0264 x2 = 4,2568
381
382
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Løsningen til uligheden er den del, der ligger over linjen med forskriften g(x) = -0,44. På figur 11.18 er det det farvelagte område. Du kan
skrive løsningen som løsning 1:
0 ≤ x < 2,0264 eller 4,2568 < x ≤ 2p
Opgave 290
Du skal løse følgende uligheder:
a) cos x ≤ -0,72
Grundmængde: [0 ; 2p]
b) cos x > 0,48
Grundmængde: [0 ; 2p]
c) -0,56 ≤ cos x < 0,2 Grundmængde: [0 ; 2p]
Eksempel 11.07
Du skal løse uligheden: tan x > 0,56 Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse uligheden ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Du har enhedscirklen (figur 11.19), og du kan markere, hvor tan x = 0,56
måles.
y
B
A
0,56
x2
x1
x
C
D
Figur 11.19
Da tangens er positiv i 1. og 3.kvadrant må de vinkler, der kan tilfredsstille uligheden, være beliggende fra punkt A til B i 1.kvadrant og på
tilsvarende måde mellem punkt C og D i 3.kvadrant. Du kan starte med
at løse ligningen: tan x = 0,56. Det giver:
x1 = tan-1 0,56 = 0,5105 x2 = p + 0,5105 = 3,6521
Du kan herefter skrive løsningen således:
0,5105 < x < 0,5p eller 3,6521 < x < 1,5p
Løsning 2:
Du kan dele uligheden og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
på tilsvarende ”højre side” som en funktion g.
f(x) = tan x g(x) = 0,56
Perioder
Du kan taste de to funktioner ind i din graf-menu på grafregneren.
Du får da et billede som vist på figur 11.20.
Figur 11.20
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem
f og g, og de bliver:
x1 = 0,5105 x2 = 3,6521
Løsningen til uligheden er den del, der ligger over linjen med forskriften g(x) = 0,56. På figur 11.20 er det det farvelagte område. Du kan
skrive løsningen som løsning 1:
0,5105 < x < 0,5p eller 3,6521 < x < 1,5p
Opgave 291
Du skal løse følgende uligheder:
a) tan x ≥20,6
Grundmængde: [0 ; 2p]
b) tan x < -1
Grundmængde: [0 ; 2p]
c) 0,2 ≤ tan x < 1,3
Grundmængde: [0 ; 2p]
Perioder
Indtaster du f(x) = sin x på din grafregner og indstiller koordinatsystemet som vist, vil du få et billede som vist på figur 11.21.
Figur 11.21
383
384
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Som du kan se, gentages funktionsværdierne efter et bestemt mellemrum. Det udtrykkes på den måde, at funktionen er periodisk.
I dette tilfælde er perioden 2p (360°), og her er i alt tre perioder.
Figur 11.22a
Indstil koordinatsystemet som vist på figur 11.22a og indtast derefter
funktionerne:
f(x) = sin x, g(x) = sin (0,5 ⋅ x) og h(x) = sin (2x)
Du får billeder som vist på figur 11.22b, c og d.
Figur 11.22b
Figur 11.22c
Figur 11.22d
Andre trigonometriske ligninger
Som du kan se, er funktionen g(x) = sin (0,5 ⋅ x) periodisk med 4p, og
h(x) = sin (2x) periodisk med p.
Tallet foran x fortæller dig noget om perioden, og det får betydning,
når du forlader de trigonometriske grundligninger og skal arbejde med
ligninger, hvor periodetallet kan være forskelligt fra opgave til opgave.
Andre trigonometriske ligninger
Når du skal løse trigonometriske ligninger, som adskiller sig fra grundligningerne, kan du få brug for forskellige typer trigonometriske formler.
De første, du får præsenteret, er additionsformlerne, som ser således ud:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Der er også nogle formler, der giver dig sammenhænge mellem en vinkel og den dobbelte vinkel.
Disse formler ser således ud:
sin (2a) = 2 ⋅ sin a ⋅ cos a
2
2
cos (2a) = (cos a) - (sin a)
2
= 1 - 2 (sin a)
2
= 2 (cos a) - 1
=
2 tan a
2
1 - (tan a)
Udledningen af formlerne er ikke medtaget i bogen.
Når du skal i gang med at løse trigonometriske ligninger, er det ikke
muligt at give dig en bestemt fremgangsmåde, men der er nogle retningslinjer, som du kan holde dig til:
-Er der i ligningen flere trigonometriske funktionstyper, skal du omskrive ligningen, så den kun indeholder en type.
-Er der i ligningen flere vinkelstørrelser, skal du omskrive ligningen
til kun at indeholde en vinkelstørrelse.
Benytter du grafregneren, ”slipper” du for disse omskrivninger, men
du vil i de kommende eksempler få belyst løsningsprincipperne, når
du anvender ”håndkraft”, og når du anvender grafregneren.
385
386
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Eksempel 11.08
Du skal løse ligningen:
sin x ⋅ cos x = 0,37 Grundmængde = [0 ; p]
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Her er to trigonometriske funktioner, så du skal omskrive ligningen til
kun at indeholde een.
Du kan benytte den første af formlerne for den dobbelte vinkel, men
så skal du først gange med 2 på begge sider af lighedstegnet. Det kommer til at se således ud:
2 ⋅ sin x ⋅ cos x = 2 ⋅ 0,37
Du kan omskrive venstre side til:
sin(2x) = 0,74
Herefter får du:
2x1 = sin-1 0,74 = 0,8331 eller 2x2 = p - 0,8331 = 2,3085
Løsningen bliver herefter:
x1 = 0,4165 eller x2 = 1,1543
Løsning 2:
Du kan dele ligningen og opfatte ”venstre side” som en funktion f og
”højre side” som en funktion g.
f(x) = sin x ⋅ cos x og g(x) = 0,37
Du kan taste funktionerne ind i din graf-menu på grafregneren. Du vil
få et billede som vist på figur 11.23.
Figur 11.23
Du kan få grafregneren til at hjælpe dig med at finde skæringspunkterne inden for den første periode. Det giver:
x1 = 0,4165 x2 = 1,1543
Andre trigonometriske ligninger
Eksempel 11.09
Du skal løse ligningen: sin(2x) + sin x = 0 Grundmængde: [0 ; 2p]
Du kan løse ligningen ved hjælp af to metoder, som du får at se.
Løsning 1:
Her er to vinkelstørrelser, så du skal omskrive ligningen til kun at indeholde en. Det kan du gøre ved at omskrive sin (2x).
Det bliver:
2 ⋅ sin x ⋅ cos x + sin x = 0
sin x indgår i begge led, - du kan derfor sætte sin x uden for en parentes:
sin x ⋅ (2 cos x + 1) = 0
Du har her et produkt, som skal være 0.
Du kan derfor benytte nul-reglen, der siger:
Hvis et produkt a ⋅ b = 0,
er
a=0
eller
b = 0.
Det giver:
sin x = 0 eller 2 ⋅ cos x + 1 = 0
sin x = 0 eller cos x = -0,5
Her har du så to trigonometriske grundligninger, som kan løses som
vist i nogle af de foregående eksempler.
Du kan skrive løsningen:
x = 0 eller x = p eller x = 2,0944 eller x = 4,1888
Løsning 2:
Du kan også benytte grafregneren til at bestemme løsningen.
Du kan opfatte ”venstre-side” som en funktion f(x) = sin(2x) + sin x
og indtaste den i din graf-menu.
Du vil få et billede som vist på figur 11.24, og grafregneren kan
hjælpe dig med at finde grafens skæringspunkter med x-aksen, som er
løsningen til ligningen.
Figur 11.24
Du kan skrive løsningen som løsning 1:
x = 0 eller 2,0944 eller x = p
eller x = 4,1888
387
388
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Eksempel 11.10
Du skal løse ligningen 4 ⋅ (cos x)2 = 2 - sin x
Ligningen kan løses på to måder, som du begge får at se.
Løsning 1:
Her er to trigonometriske funktioner, så du skal omskrive ligningen til
kun at indeholde een.
Du kan benytte formlen: (sin x)2 + (cos x)2 = 1 og udtrykke
(cos x)2 = 1 - (sin x)2, som du indsætter i ligningen:
4 (1 - (sin x)2) = 2 - sin x
4 - 4(sin x)2 = 2 - sin x Parentesen udregnes.
4 - 4(sin x)2 - 2 + sin x = 0
- 4(sin x) + sin x + 2 = 0
2
Alle led samles på venstre side.
Ligningen ordnes.
Ligningen har nu form af en 2.gradsligning. Den kan du løse på din
grafregner eller ved hjælp af løsningsformlen for 2.gradsligninger.
Det giver:
sin x = 0,8431 eller sin x = -0,5930
Her har du så to trigonometriske grundligninger, som kan løses som
vist i nogle af de foregående eksempler.
Da der ikke er nogen krav til grundmængde, skal alle løsninger
med, og da sin x er periodisk med 2p, kan løsningen skrives:
x = 1,0030 + 2p ⋅ n eller x = 2,1386 + 2p ⋅ n eller
x = 3,7765 + 2p ⋅ n eller x = 5,6483 + 2p ⋅ n
hvor n er et helt tal.
Løsning 2:
Du kan også benytte grafregneren til at bestemme løsningen. Du opfatter ”venstre-side” som en funktion f og ”højre-side” som en funktion g.
f(x) = 4 ⋅ (cos x)² g(x) = 2 - sin x
Du taster funktionerne ind i din grafmenu, og du får et billede som vist
på figur 11.25.
Figur 11.25
Andre trigonometriske ligninger
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde skæringspunkterne mellem
de to grafer, som er løsningen til ligningen.
Her er kun medtaget en periode. Du kan skrive løsningen:
x = 1,0030 eller x = 2,1386 eller x = 3,7765 eller x = 5,6483
Eksempel 11.11
Du skal løse ligningen: 4 ⋅ sin x - 3 ⋅ cos x = 0
Her er to trigonometriske funktioner, så du skal omskrive ligningen til
kun at indeholde én.
Du kan som udgangspunkt benytte formlen:
sin x
tan x =
cos x
Ser du på ligningen, kan du dividere alle led med cos x under forudsætning af, at cos x ≠ 0.
Det giver:
4 ⋅ sin x 3 ⋅ cos ( x)
=0
cos x
cos x
Du kan nu omskrive og får:
4 ⋅ tan x - 3 = 0
tan x = 0 , 75
Her har du så en trigonometrisk grundligning, som kan løses som vist
i nogle af de foregående eksempler.
Da der ikke er nogen krav til grundmængde, skal alle løsninger
med, og da tan x er periodisk med p, kan løsningen skrives:
x = 0,6435 + p ⋅ n
hvor n er et helt tal.
Du kan også her benytte grafregneren til at bestemme løsningen på
samme måde som vist i de foregående eksempler.
Opgave 292
Du skal løse ligningerne:
a) sin x ⋅ cos x = 0,4
b) sin(2x) ⋅ cos(2x) = 0,4
Opgave 293
Du skal løse ligningerne:
a) cos x + sin(2x) = 0
b) 2 sin(2x) - 3 sin x = 0
389
390
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Opgave 294
Du skal løse ligningerne:
a) 5 ⋅ (cos x)2 - sin x = 4
b) 2 ⋅ sin x + (cos x)2 = 0
Opgave 295
Du skal løse ligningerne:
a) 14 cos x + 9 sin x = 0
b) 2,2 sin x - 5,4 cos x = 0
Svingninger
Du har set, at sinus og cosinus er periodiske. Inden for fysik og det
tekniske område, kan du møde fænomener, der også er periodiske, og
som kan beskrives og bearbejdes ved hjælp af en sinus- eller cosinusfunktion.
Et eksempel er en såkaldt harmonisk svingning, som kan opstå ved
den bevægelse, der fremkommer, når et lod hænges i en fjeder, trækkes
væk fra ligevægtsstillingen og slippes.
Inden for vekselstrømsteknikken vil du kunne afbilde spændinger
og strømme som sinusformede funktioner.
Tidevandsproblematikken er også et periodisk fænomen, som du
kan bearbejde på samme måde.
Inden for fysik og teknik anvender man andre bogstavsymboler end
dem, du har set i det foregående.
Du kan derfor få en funktion udtrykt således:
f(t) = a ⋅ sin(ω ⋅ t)
ω er det græske bogstav omega.
tanvendes i stedet for x, da det ofte er tiden, der indgår, når det drejer
sig om praktiske anvendelser.
Svingninger
Du skal nu se på betydningen af a,w og t.
Lad os starte med a.
Indtast i din graf-menu på grafregneren funktionerne:
f(t) = sin t,
g(t) = 2 ⋅ sin t og
h(t) = 0,5 ⋅ sin t
Du får et billede som vist på figur 11.26.
Figur 11.26
Du ved fra tidligere af, at sin t er periodisk med 2p.
Funktionerne g og h er på samme måde som f periodisk med 2p.
Forestil dig, at du bruger grafen for f(t) = sin t som basis.
For at få billedet af g(t) skal du gange alle f’s funktionsværdier med 2.
På tilsvarende måde med h(t). Her skal du gange alle f’s funktionsværdier med 0,5 for at få billedet af h(t).
Sagt på en anden måde bliver udsvingene a gange større eller mindre.
Tallet a kaldes amplituden.
Du kan måle a ved udsvingets størrelse over og under t-aksen.
Lad os gå videre og se på w og t.
Indtast i din graf-menu på grafregneren funktionerne:
f(t) = sin t = sin(1t), g(t) = sin(2t) og h(t) = sin(0,5t)
Du får et billede som vist på figur 11.27.
Figur 11.27
Som du kan se, er det værdierne for w, altså tallene 1, 2 og 0,5, der bestemmer perioden.
391
392
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Du skal have et udtryk, der kan give dig størrelsen på perioden.
Som udgangspunkt har du:
f(t) = a sin (w ⋅ t)
som har udseende som vist på figur 11.28.
Figur 11.28
Hvis du kender skæringspunktet A mellem grafen for f og x-aksen, har
du i realiteten også afstanden T, idet T er lig med afstanden mellem 0
og A.
En af løsningerne til ligningen
a sin (ω ⋅ t) = 0, er ω ⋅ t = 2 p, som løses med hensyn til t:
2p
t=
ω
Svingninger
Erstatter du t med T, får du en ligning:
2p
ω
hvor T kaldes perioden eller svingningstiden.
T=
Du kan også møde begrebet frekvens, som er et udtryk for antal svingninger pr. tidsenhed.
Frekvens betegnes med bogstavet f og udtryk i en ligning, får du:
f=
ω
1
=
2p T
Du kan også møde et funktionsudtryk som
f(t) = a ⋅ sin(ω ⋅ t + j)
hvor j er det græske bogstav ”fi”.
Grafen for et sådant udtryk går ikke gennem (0,0).
Den kan se ud som vist på figur 11.29.
Figur 11.29
På tilsvarende måde vil et udtryk som
f(t) = a ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕ) + k
forskyde grafen i y-aksens retning som vist på figur 11.30.
Figur 11.30
393
394
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Eksempel 11.12
Du har givet funktionen: f(t) = 1,5 ⋅ sin(0,8t)
Du skal bestemme:
a) Svingningstiden.
b) t, når funktionen første gang har maksimum.
c) t, når funktionen første gang har minimum.
For at få et overblik kan du indtaste funktionen i din graf-menu. Du får
et billede som vist på figur 11.31.
Figur 11.31
a) Du har, at T =
2p
og ω = 0 , 8
ω
Du kan så bestemme T:
T=
2p
= 7 , 85
0, 8
b) Som det fremgår af grafen, er der maksimum for f(t) = 1,5.
Du kan derfor løse ligningen:
1, 5 ⋅ sin (0 , 8 t ) = 1, 5
sin (0 , 8 t ) = 1
0 , 8 t = sin-1 1 = 1, 57
t=
1, 57
0, 8
t = 1, 96
c) På tilsvarende måde får du af grafen, at der er minimum for
f(t) = -1,5.
Du kan derfor løse ligningen:
1, 5 ⋅ sin (0 , 8 t ) = -1, 5
sin (0 , 8 t ) = -1
0 , 8 t = sin-1 (-1) = -1, 57 = 2p - 1, 57 = 4 , 71
t=
4 , 71
0, 8
t = 5, 89
Din grafregner kan hjælpe dig med at kontrollere de to t-værdier.
Svingninger
Eksempel 11.13
Du har givet funktionen: f(t) = 2 ⋅ sin(3t + 0,5) + 1
Du skal bestemme:
a) Svingningstiden.
b) Grafens skæring med y-aksen.
c) t, når funktionen første gang har maksimum.
For at få et overblik kan du indtaste funktionen i din graf-menu på din
grafregner. Du får et billede som vist på figur 11.32.
Figur 11.32
a) Du har, at T =
2π
og ω = 3
ω
Du kan så bestemme T:
T=
2p
= 2, 09
3
b) Du kan indsætte t = 0 i f(t). Det giver:
f(0) = 2 ⋅ sin(3 ⋅ 0 + 0,5) + 1 = 1,96
c) Som det fremgår af grafen, er der maksimum for f(t) = 3
Du kan derfor løse ligningen:
2 ⋅ sin (3t + 0 , 5) + 1 = 3
2 ⋅ sin (3t + 0 , 5) = 3 - 1
sin (3t + 0 , 5) =
2
2
sin (3t + 0 , 5) = 1
3t + 0 , 5 = sin-1 1
3t + 0 , 5 = 1, 57
3t = 1, 57 - 0 , 5
3t = 1, 07
1, 07
3
t = 0 , 357
t=
Din grafregner kan hjælpe dig med at kontrollere skæringspunktet med
y-aksen og t-værdien for maksimum.
395
396
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Opgave 296
Du har givet funktionen: f(t) = 0,3 ⋅ sin(p ⋅ t)
Du skal bestemme:
a) Svingningstiden.
b) t, når funktionen første gang har maksimum.
c) t, når funktionen første gang har minimum.
Opgave 297
Du har givet funktionen: f(t) = 2 ⋅ sin(2t - 1)
Du skal bestemme:
a) Svingningstiden.
b) t, når funktionen første gang har maksimum.
c) t, når funktionen første gang har minimum.
Opgave 298
Du har givet funktionen: f(t) = 1 – sin(3t)
Du skal bestemme:
a) Svingningstiden.
b) t, når funktionen første gang har maksimum.
c) t, når funktionen første gang har minimum.
Problemopgaver
Opgave 299
I et elektrisk kredsløb har du givet strømstyrken I (ampere) som funktion af tiden t (sekunder):
I(t) = 3,2 ⋅ sin(0,04 ⋅ p ⋅ t) + 1,2
Du skal bestemme:
a) Strømstyrken, når t = 0.
b) Strømstyrken, når t = 3 sekunder.
c) Den største og mindste strømstyrke.
d) t-værdien, når strømstyrken er størst første gang.
e) t-værdien, når strømstyrken er mindst første gang.
Problemopgaver
Opgave 300
På figur 11.33 har du en cylindrisk, vandret liggende beholder med
plane endebunde.
d
h
L
Figur 11.33
Beholderens dimensioner er:
Diameter d = 0,5 meter
Længde L = 1,2 meter
Der måles en væskehøjde h = 10 cm.
a) Du skal bestemme, hvor mange liter væske der er i beholderen.
b) Der fyldes yderligere 50 liter væske i beholderen.
Du skal bestemme den nye væskehøjde h.
Opgave 301
I en havn varierer vandstanden med tidevandet. Vandstanden måles
hver time, og måleresultaterne i meter over en 13 timers periode ser
således ud:
2,50 - 2,89 - 3,18 - 3,30 - 3,22 - 2,97 - 2,60 - 2,20 - 1,88 - 1,71 - 1,74 - 1,95 2,30 - 2,70
a) Du skal indtegne måleresultaterne i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme en forskrift, der tilnærmelsesvis tilfredsstiller
målingerne.
c) Du skal ud fra forskriften bestemme højdeforskellen mellem vandstanden, når den er højest, og når den er lavest.
d) Du skal ud fra forskriften bestemme tidsforskellen mellem vandstanden, når den er højest, og når den er lavest.
397
398
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Opgave 302
y
Til et procesanlæg skal der fremstilles et vinkel-rørstykke med de på
figur 11.34 viste mål.
2
100
100
2
30
1
30
1
x
d = 50
π . d = π . 50
Figur 11.34
Vinkel-rørstykket fremstilles af tynd plade, og ved beregningerne kan
du se bort fra pladetykkelsen.
Udfoldningen af de to rørstykker er vist på figur 11.35, som er et
stykke rektangulært stykke plade, som ved hjælp af ”klippe”-kurven
kan deles i to stykker, som hver for sig ved bearbejdning kan formes til
de to rørstykker, som er mærket ”1” og ”2”.
y
2
100
100
2
1
30
30
1
x
d = 50
π . d = π . 50
Figur 11.35
Efter udklipning og bearbejdning kan rørstykkerne sammenføjes til
vinkel-rørstykket.
a) Udklipningen af den rektangulære plade skal foregå på en maskine,
der er styret af en computer.
Til hjælp ved programmeringen skal du opstille en forskrift for en
funktion, der kan danne ”klippe”-kurven i det indlagte koordinatsystem.
b) Du skal fremstille en model i pap i passende målforhold af vinkelrørstykket.
Resumé 11. kapitel
Resumé 11. kapitel
Trigonometriske definitioner og grundformler
y
sin v:
sin v
v
x
y
cos v:
v
cos v
x
y
tan v:
v
tan v
x
(cos v)2 + (sin v)2 = 1
tan v =
sin v
cos v
Additionsformlerne
sin(a + b) = sin a ⋅ cos b + cos a ⋅ sin b
sin(a - b) = sin a ⋅ cos b - cos a ⋅ sin b
cos(a + b) = cos a ⋅ cos b - sin a ⋅ sin b
cos(a - b) = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b
Formler for den dobbelte vinkel
sin (2a) = 2 ⋅ sin a ⋅ cos a
2
2
cos (2a) = (cos a) − (sin a)
2
= 1 − 2 (sin a)
2
= 2 (cos a) − 1
tan (2a ) =
2 tan a
2
1 − (tan a)
399
400
Teknisk matematik · TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Svingninger
f(t) = a ⋅ sin(ω ⋅ t)
a: amplitude
ω: vinkelhastighed i rad/sekund
t: tid i sekunder
Periodetid:
T=
2π
ω
Frekvens:
ω
1
f=
=
2π
T
401
DIFFERENTIAL
REGNING
12
Infinitesemalregning
Infinitesemalregning er en fælles overskrift for differentialregning og
integralregning, som er matematiske regneoperationer, som er modsatrettede. I princippet kan du sammenligne med regneoperationerne
- ”potensopløftning” og ”roduddragning”,
som også er det, der kaldes modsatte regningsarter.
Infinitesemalregningen er - som mange andre af matematikkens regnemetodikker - blevet til på baggrund af praktiske problemer, som man
stod over for at skulle løse.
Newton, som levede i det 17.århundrede, var en af fædrene til det,
som i dag kaldes infinitesemalregning.
Det praktiske problem var, at der ikke var noget ”værktøj”, når man
skulle analysere bevægelser. Den tids køretøjer bevægede sig langsomt
og ofte rykvis, så et begreb som acceleration, som i dag opfattes som
noget helt naturligt, var helt ukendt.
Behovet for et sådant matematisk analyseværktøj kom, da man
skulle udvikle og forbedre bevægelsesmekanikken inden for urkonstruktion.
Da denne regnemetode var kommet på banen, skabte Newton de
grundlæggende love for bevægelse og tyngdekraft umiddelbart efter.
402
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Infinitesemalregningen er således udviklet på baggrund af behovet
for analyse af bevægelser, men hen ad vejen har denne regnemetode
vist sig anvendelig inden for mange andre områder.
I dag er der vist ikke mange af vore tekniske hjælpemidler - radioer,
fjernsyn, vaskemaskiner, tog, flyvemaskiner mv.- som ikke på en eller
anden måde i udviklingsfasen har fået hjælp af denne regnemetode.
Kort sagt er differentialregning ”metoder”, som du kan benytte til at
bestemme, hvor stejl en kurve er på forskellige steder (se figur 12.01).
y
tangent
x
a
Figur 12.01
På samme måde kan du benytte integralregning, når du skal bestemme
arealet under en kurve mellem to x-værdier (figur 12.02), men det kommer du tilbage til i kapitel 13.
y
a
Figur 12.02
b
x
Infinitesemalregning
Du får et eksempel fra fysik-undervisningen, hvor du har ligningen for
en jævn bevægelse
s=v⋅t
Her er s vejlængden, v hastigheden og t tiden.
Afsætter du i et koordinatsystem s op ad den lodrette akse og t ud
ad den vandrette akse, vil billedet af ligningen være en ret linje som vist
på figur 12.03. Stigningstallet for linjen er et udtryk for hastigheden v.
s
s=v.t
t
Figur 12.03
På tilsvarende måde for en accelererende bevægelse, hvor ligningen ser
således ud:
1
s = ⋅ a ⋅ t2
2
hvor a er accelerationen.
I et koordinatsystem vil billedet af ligningen være en del af en parabel som vist på figur 12.04.
s
s = 1 a . t2
2
v
t
Figur 12.04
Hastigheden under en sådan bevægelse vil variere, og skal du bestemme hastigheden i et bestemt punkt, vil stigningstallet for tangenten
være et udtryk for hastigheden i det pågældende punkt.
Differentialregningen kan hjælpe dig med at finde et udtryk, der fortæller dig, hvordan tangenten varierer. Du kan derefter gå videre og
bestemme tangentens stigningstal, når du kender punktet.
I de kommende afsnit vil du blive præsenteret for definitionen på
differentialkvotient, og hvordan du kan bestemme differentialkvotienter af forskellige funktioner. Endelig skal du også arbejde med opgaver,
som viser dig den praktiske anvendelse af differentialregningen.
403
404
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Differentialkvotient
Du har tidligere fundet stigningstallet for en linje. Skal du bestemme
stigningstallet for en parabeltangent (figur 12.05), kan det ikke umiddelbart lade sig gøre.
y
x
Figur 12.05
Du kan vælge et punkt på parablen, tegne tangenten til parablen gennem dette punkt, og derefter kan du bestemme stigningstallet ved at
måle på figuren så nøjagtigt som muligt.
Det kan du så gentage, idet der jo kan tegnes et uendeligt antal tangenter til parablen.
Ser du på figur 12.05, vil tangenterne til venstre for parablens toppunkt
starte med at være stejle og derefter flade ud.
Alle tangenterne går opad, og dermed vil alle stigningstallene til
venstre for toppunktet være positive.
I parablens toppunkt er tangenten vandret, og stigningstallet er hermed lig med 0.
Til højre for toppunktet vender tangenterne retning og går nedad,
og her vil alle stigningstallene være negative.
Når du bestemmer stigningstallet for en tangent, er det i realiteten
det, der kaldes for at bestemme differentialkvotienten.
Som du sikkert kan se, kræves der en meget nøjagtig tegning, hvis en
differentialkvotient skal bestemmes ved måling på figuren.
Der er også en teori, der gør dig i stand til at udlede formler for bestemmelse af differentialkvotienter for forskellige funktioner.
Lad os starte med teorien. Du har grafen for en funktion f som vist
på figur 12.06.
y
Q
∆x
P
∆y
f(x+ ∆x)
f(x)
x
Figur 12.06
x + ∆x
x
Differentialkvotient
Du kan vælge to punkter P og Q på grafen, og du kan indtegne en retvinklet trekant med benævnelser som vist.
Linjen gennem P og Q kalder du en sekant, og du kan med figurens
benævnelser bestemme stigningstallet for denne linje. Det bliver:
f (x + Dx) - f (x )
Dy
=
Dx
Dx
Dette stigningstal kalder du funktionens differenskvotient i x.
Med denne differenskvotient som udgangspunkt får du definitionen
på differentialkvotienten.
Hvis du kan bestemme grænseværdien
lim
Dx → 0
f (x + Dx ) - f (x )
Dy
= lim
D
x
→
0
Dx
Dx
er denne grænseværdi et udtryk for funktionens
differentialkvotient i x.
Hovsa! - Her kom nogle helt nye ting på banen.
Grænseværdi er det første ”nye”.
Du skal opfatte en grænseværdi som “noget”, du kan regne dig frem
til.
Så til symbolerne!
”lim” er en forkortelse af det latinske ord limes, som betyder
grænse, og pilen ”→” læses: ”går mod”.
Grænseværdien kalder du funktionens differentialkvotient i x, du betegner den f’(x), og du læser den således: ”f mærke x”.
Tangenten, der går gennem punktet P, har stigningstallet f’(x).
Se på udtrykket for differentialkvotient!
Her står Dx → 0
Se så på figur 12.06. Ved denne grænseværdibestemmelse, når Dx → 0 ,
sker der det, at punktet Q nærmer sig P mere og mere. Du får herved en
masse trekanter, der bliver mindre og mindre. Til sidst smelter punktet
Q sammen med punktet P til ét punkt.
Det kan derfor se ud, som om du får en brøk, der bliver 0 , men det får
0
du ikke!
405
406
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Det geniale ved differentialregningen er netop, at du med baggrund
i funktionsudtrykket f for grafen kan beregne Dy og Dx, selv om de
bliver uendelig små.
Derved kommer du frem til en grænseværdi, som er et udtryk for
tangentens stigningstal.
Når du skal bestemme en funktions differentialkvotient, kan du benytte følgende tre-trins regel:
1. Bestem funktionstilvæksten: Δy = f(x + Δx) - f(x)
f x + Dx ) - f (x )
2. Bestem differenskvotienten: Dy = (
Dx
Dx
Dy
3. Bestem grænseværdien:
lim
Dx →0 Dx
Får du et udtryk for denne grænseværdi, er denne grænseværdi et udtryk for funktionens differentialkvotient i x.
Der er mange nye begreber at holde styr på, men du vil i det kommende eksempel få belyst meget af det, som er nævnt her i starten af
dette kapitel.
Eksempel 12.01
Du har givet funktionen: f(x) = x2
Du skal:
a) Bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Bestemme f’(1), f’(-1), f’(2) og f’(-2).
c) Tegne grafen for f og illustrere den geometriske betydning af f’(1),
f’(-1), f’(2) og f’(-2).
a) Du anvender tre-trins reglen:
1. Du bestemmer funktionstilvæksten:
Dy = f(x + Dx) - f(x)
Dy = (x + Dx)2 - x2 = x2 + Dx2 + 2xDx - x2 = Dx2 + 2xDx
2. Du bestemmer differenskvotienten:
Dy Dx 2 + 2xDx Dx (Dx + 2x )
= Dx + 2x
=
=
Dx
Dx
Dx
3. Du bestemmer grænseværdien:
Dy
= lim (Dx + 2x ) = 0 + 2x = 2x
Dx Dx→ 0
idet du indsætter grænseværdien for Dx, som er lig med 0, når Dx → 0.
lim
Dx → 0
Differentialkvotient
Du har hermed fundet funktionens differentialkvotient udtrykt som:
f’(x) = 2x
Du skal bemærke, at udtrykket for differentialkvotienten er et nyt funktionsudtryk.
b)
Du får først stigningstallet for en tangent, når du vælger en x-værdi og
indsætter denne x-værdi i udtrykket for f’(x).
Det er netop det, du skal i gang med.
Du kan indsætte og får:
f’(1)
=2⋅1
=2
f’(-1) = 2 ⋅ (-1) = -2
f’(2)
=2⋅2
=4
f’(-2) = 2 ⋅ (-2) = -4
c)
Du kan tegne grafen for f og får et billede som vist på figur 12.07.
y
,
f (−2) = α-2
= −4
,
f (2) = α2
=4
,
f (1) = α1
=2
,
f (−1) = α-1
= −2
−2
−1
1
2
x
Figur 12.07
Du kan indlægge tangenter til grafen i punkterne for x = 1, x = -1,
x = 2 og x = -2.
Du kan måle tangenternes stigningstal, og du får herved den geometriske sammenhæng, at differentialkvotienten i et punkt er lig med
stigningstallet for tangenten i samme punkt.
407
408
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Her kan din grafregner også hjælpe dig.
Figur 12.08
Figur 12.09
Du skal have fat i grafmenuen. Figur 12.08, figur 12.09 og figur 12.10 viser dig forløbet ved indtastningen, idet du skal have fat i kommandoen
tangent som vist på figur 12.10.
Figur 12.10
Ved at ændre x-værdierne får du differentialkvotienten i de punkter, du ønsker.
Differentialkvotient
På figur 12.11, figur 12.12 , figur 12.13 og figur 12.14 er det værdierne
fra eksemplet, der er vist.
Figur 12.11
Figur 12.12
Figur 12.13
Figur 12.14
Opgave 303
Du har givet f(x) = x.
Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
Opgave 304
Du har givet f(x) = 8x.
Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
409
410
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 305
Du har givet f(x) = 0,25x²
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme f’(1).
c) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for funktionen
i punktet (1,f(1)).
d) Du skal bestemme en ligning for normalen til tangenten i samme
punkt.
Opgave 306
Du har givet f(x) = 3x2
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme en ligning for en tangent til grafen for f, og tangenten skal være parallel med linjen med ligningen 12x - y - 4 = 0.
Opgave 307
Du har givet f(x) =
1
x
, x≠0
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme f’(0,5), f’(1) og f’(2).
c) Du skal bestemme f’(-0,5), f’(-1) og f’(-2).
Opgave 308
Du har givet f(x) =
x , x≥0
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme f’(0,5), f’(1) og f’(2).
Symboler for differentialkvotient
Symboler for differentialkvotient
Du har indtil nu arbejdet med to symboler for differentialkvotient, men
der findes flere forskellige beskrivelsesformer for en differentialkvotient, og du får her en oversigt:
Dy
dy df (x )
lim
= f ′ (x ) = y ′ =
=
Dx → 0 Dx
dx
dx
Skrivemåden
dy
, som læses ”det y det x”, skal du opfatte som et
dx
symbol, og du må ikke forveksle det med en brøk.
Fordelen ved denne skrivemåde er, at den fortæller, hvilken variabel du
differentierer i forhold til. Det kan være fordelagtigt ved opgaver inden
for fysik og teknik, hvor du fx kan beskrive en hastighed som
v=
ds
dt
Senere får du at se, at du med fordel kan anvende denne skrivemåde, når
du skal bestemme differentialkvotienten af mere komplicerede udtryk.
411
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
412
y
Kontinuitet og differentiabilitet
x
Kontinuitet og differentiabilitet er nogle svære ord, men lad os starte
med kontinuitet.
Se på graferne på figur 12.15, figur 12.16, figur 12.17 og figur 12.18.
Figur 12.15
Graferne på figur 12.15 og figur 12.16 er sammenhængende eller sagt
på en anden måde, – du kan tegne graferne uden at løfte blyanten fra
papiret. Funktioner, hvis grafer du kan tegne på denne måde, kalder
du kontinuerte.
Modsat har du graferne på figur 12.17 og figur 12.18. Her er der
spring eller hul i graferne. Funktioner, du kan tegne på denne måde,
kalder du diskontinuerte. For figur 12.17 er funktionen diskontinuert
for x = 0 og for figur 12.18’s vedkommende er funktionen diskontinuert for x = 1.
y
x
Figur 12.16
y
x
(0,0)
Figur 12.17
y
1
Figur 12.18
x
Lad os vende tilbage til det andet svære ord - differentiabilitet.
Forudsætningen for at du kan bestemme en differentialkvotient
er, at du kan tegne en tangent til grafen for funktionen i det ønskede
punkt.
Se igen på graferne på figur 12.15, figur 12.16, figur 12.17 og figur
12.18.
Ligegyldigt i hvilket punkt du er på grafen på figur 12.15, kan du
tegne en tangent til grafen, og du kan derfor bestemme differentialkvotienten i det pågældende punkt.
Funktioner, hvis grafer har et forløb med ”bløde” kurver som vist
på figur 12.15, kalder du differentiable.
Du kan gå videre og se på grafen på figur 12.16. Her er der et knæk,
og i dette punkt kan du ikke tegne en tangent til grafen.
Du kan derfor fastslå, at funktionen ikke er differentiabel i dette
punkt.
Endelig er der figur 12.17 og figur 12.18. Her kan du konstatere, at
funktionerne ikke er differentiable i henholdsvis x = 0 og x = 1.
Som du kan se, er kravet til differentiabilitet større end kravet til kontinuitet.
Du har fået beskrivelsen af kontinuitet og differentiabilitet ud fra en
geometrisk betragtning. Du får nu en mere præcis definition på begrebet kontinuitet.
En funktion f er kontinuert i et punkt a, hvis:
1. Funktionen f er defineret i a.
2.Grænseværdien i a er lig med funktionsværdien f(a), både når du
går mod a fra venstre og fra højre side.
Det kan du skrive på denne måde:
lim f (x ) = f (a) og
Dx → a+
lim f (x ) = f (a)
Dx → a-
Kontinuitet og differentiabilitet
Betegnelserne a+ og a- symboliserer, at du bevæger dig mod a fra henholdsvis højre og venstre side.
Du skal i det kommende eksempel se på sammenhængen mellem
kontinuitet og differentiabilitet både ud fra en geometrisk og en beregningsmæssig betragtning.
Eksempel 12.02
Du har givet f(x) = x .
Du skal undersøge, om f er kontinuert og differentiabel.
Du kan starte med at tegne grafen for f, som får udseende som vist på
figur 12.19.
y
(0,0)
x
Figur 12.19
Se på grafen! - Umiddelbart får du, at f er kontinuert, men ikke differentiabel i x = 0.
Det var løsningen ud fra en geometrisk betragtning.
Nu kan du gå videre og undersøge funktionen ud fra definitionen på
kontinuitet.
1. Funktionen er defineret for x = 0, da
 x for x ≥ 0
f (x ) = x = 
-x for x < 0
og hermed f(0) = 0
2. Du kan undersøge grænseværdierne:
lim x = 0
Dx → 0 +
lim (-x ) = 0
Dx → 0 -
Da funktionsværdien f(0) = 0 er lig med grænseværdien, kan du konkludere, at funktionen f er kontinuert.
413
414
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Du kan fortsætte med definitionen på differentialkvotient og kan starte
med det tilfælde, hvor Dx → 0+.
f (Dx ) - f (0) Dx - 0
Dy
= lim+
=
=1
Dx → 0 Dx
Dx → 0
Dx
Dx
lim+
Herefter kan du gå videre og se på differentialkvotienten, når Dx → 0-.
lim
∆x → 0 −
f (∆x ) − f (0) − ∆x − 0
∆y
= lim−
=
= −1
∆
x
→
0
∆x
∆x
∆x
Da grænseværdierne er forskellige, kan du konkludere, at funktionen
ikke er differentiabel for x = 0.
Opgave 309
 x 2 + 2 for x ≥ 2
Du har givet f(x ) =  2
- x - 2 for x < 2

Du skal undersøge, om funktionen er kontinuert for alle værdier af x.
Opgave 310
Du har givet f(x ) =
6
x-3
Du skal undersøge, om funktionen er kontinuert for alle værdier af x.
Opgave 311
x 2 for x ≥ 0
Du har givet f(x ) = 
x for x < 0
a) Du skal undersøge, om funktionen er kontinuert for x = 0.
b) Du skal undersøge, om funktionen er differentiabel i x = 0.
Opgave 312
 1
 x for x ≥ 1
Du har givet f(x ) =  2

2x for x < 1
a) Du skal undersøge, om funktionen er kontinuert for alle reelle tal.
b) Du skal undersøge, om funktionen er differentiabel for alle reelle tal.
Regneregler
Regneregler
Du får nu en række regneregler, du kan benytte, når du skal bestemme
differentialkvotienter af forskellige typer funktioner.
Den første er:
Har du en funktion af formen f(x) = k, er differentialkvotienten lig
med 0, altså f(x) = k, f’(x) = 0
Du kan eftervise reglen ved at benytte tre-trinsreglen (se figur 12.20).
y
f(x)=k
f(x) = k
x
f(x + ∆x) = k
x
x + ∆x
Figur 12.20
1. Du bestemmer funktionstilvæksten: Dy = f(x + Dx) - f(x)
Dy = k - k = 0
2. Du bestemmer differenskvotienten:
Dy f(x + Dx ) - f(x )
=
Dx
Dx
Dy
0
=
=0
Dx Dx
3. Du bestemmer grænseværdien:
lim
Dx → 0
Dy
Dx
Dy
0
=
=0
Dx
Dx
Umiddelbart kan du også få differentialkvotienten ved at se på figur
12.20. Stigningstallet for en vandret linje er 0, og da differentialkvotienten er et udtryk for stigningstallet, får du også bekræftet reglen ud fra
en ren geometrisk betragtning.
lim
Dx → 0
Den anden er:
Har du en funktion af formen f(x) = ax, er differentialkvotienten
lig med a, altså f(x) = ax, f’(x) = a
Du kan eftervise reglen på samme måde som før ved at anvende tretrinsreglen (se figur 12.21).
y
f(x) = ax
∆y
∆x
f(x + ∆x) = a(x + ∆x)
f(x) = ax
x
Figur 12.21
x + ∆x
x
415
416
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
1. Du bestemmer funktionstilvæksten:
Dy = f(x + Dx) - f(x)
Dy = a(x + Dx) - ax
Dy = ax + aDx - ax
Dy = aDx
2. Du bestemmer differenskvotienten:
Dy f(x + Dx ) - f(x )
=
Dx
Dx
Dy aDx
=
=a
Dx Dx
Dy
Dx → 0 Dx
3. Du bestemmer grænseværdien: lim
lim Dy = a
Dx → 0 Dx
På samme måde som før, kan du også bestemme differentialkvotienten
ud fra en geometrisk betragtning af figur 12.21. Stigningstallet for en ret
linje er a, som dermed bliver funktionens differentialkvotient.
Den tredje er:
Har du en funktion af formen f(x) = a ⋅ xn, er differential­
kvotienten lig med n ⋅ a ⋅ xn-1,
altså f(x) = a ⋅ xn, f’(x) = n ⋅ a ⋅ xn-1
Reglen kan også eftervises, men gennemgangen er ikke medtaget her.
Når du skal til at bestemme differentialkvotienter, får du brug for et par
regler fra potens og rod fra tidligere, nemlig følgende:
p
1
n p
a- n = n
og
a =an
a
Eksempel 12.03
Du skal ved hjælp af regnereglerne bestemme differentialkvotienten
for følgende funktioner:
a) f(x ) = 3x 7
Du får: f ′(x) = 7 ⋅ 3 x 7−1 = 21x 6
b) f(x ) =
x6
5
Du får: f ′(x ) = 6 ⋅
Du får: f ′(x ) = 4 ⋅ (−7 ) ⋅ x 4−1 = − 28x 3
c ) f (x ) = − 7 x 4
5
d) f (x ) = 6 x 5 = x 6
e) f ( x ) =
1 6−1
⋅ x = 1, 2x 5
5
1
= x −3
x3
Du får: f ′(x ) =
1
5 65 −1 5
⋅x = ⋅x 6
6
6
Du får:: f ′(x ) =− 3 ⋅ x−3−1 = − 3x−4
Regneregler
Her kan du også benytte dit CAS-program på grafregneren. Du får indtastning og resultater fra de fem eksempler på figur 12.22, figur 12.23,
figur 12.24, figur 12.25 og figur 12.26.
Figur 12.22
Figur 12.23
Figur 12.24
Figur 12.25
Figur 12.26
Du skal lige bemærke, at skrivemåden på resultaterne kan være forskellige fra de gennemregnede eksempler.
417
418
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 313
Du skal bestemme differentialkvotienten af følgende funktioner:
1
a) f(x) = -x8
b) f(x) = 4x3
c) f(x ) = x 6
2
d) f(x) = 0,45x10
e) f(x ) = 3 x
1
g) f(x ) = 12
x
h) f(x) = -6x
f) f(x ) = 3
1
x
-4
<<< Opgave
Du skal have flere regler.
Differentialkvotienten af en sum bestemmer du som summen af
de enkelte leds differentialkvotienter, altså
f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x)
Du kan eftervise reglen som tidligere ved at benytte tre-trinsreglen.
1.
Du bestemmer funktionstilvæksten:
Dy = f(x + Dx) - f(x)
Dy = u(x + Dx) + v(x + Dx) - ux - vx
Dy = u(x + Dx) - ux + v(x + Dx) - v(x)
2.
Du bestemmer differenskvotienten:
Dy u(x + Dx) - ux + v(x + Dx) - vx
=
Dx
Dx
3.
Du bestemmer grænseværdien:
Dy
u(x + Dx ) - ux
v(x + Dx ) - vx
lim
= lim
+ lim
Dx → 0 Dx
Dx → 0
Dx → 0
Dx
Dx
lim
Dx → 0
Dy
= u ′(x ) + v ′(x )
Dx
som netop er et udtryk for de to funktioners differentialkvotient.
På tilsvarende måde får du reglen:
Differentialkvotienten af en differens bestemmer du som
differensen mellem leddenes differentialkvotienter, altså f(x) = u(x) - v(x) f’(x) = u’(x) - v’(x)
Endnu en regel:
Differentialkvotienten af et produkt u(x) ⋅ v(x)
er lig med summen u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x), altså
f(x) = u(x) ⋅ v(x) f’(x) = u’(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v’(x)
Regneregler
Du kan eftervise reglen ved at benytte tre-trinsreglen.
1.
Du bestemmer funktionstilvæksten:
Dy = u(x + Dx) ⋅ v(x + Dx) - u(x) ⋅ v(x)
2.
Du bestemmer differenskvotienten:
Dy u(x + Dx ) ⋅ v(x + Dx ) - u(x ) ⋅ v(x )
=
Dx
Dx
For at komme videre skal du lave et lille ”trick”, idet du henholdsvis
lægger et led til og derefter trækker det samme led fra.
Leddet, du skal benytte til dette ”trick”, er u(x) ⋅ v(x + Dx).
Dy u(x + Dx) ⋅ v(x + Dx) + u(x) ⋅ v(x + Dx ) - u(x ) ⋅ v(x + Dx ) - u(x) ⋅ v(x )
=
Dx
Dx
Du går videre og sætter henholdsvis v(x + Dx) og u(x) uden for en parentes.
Dy v(x + Dx ) ⋅ [ u(x + Dx ) - u(x)] + u(x ) ⋅ [ v(x + Dx ) - v(x )]
=
Dx
Dx
Igen en omskrivning:
Dy
u(x + Dx ) - u(x )
v(x + Dx ) - v(x )
= v(x + Dx ) ⋅
+ u(x ) ⋅
Dx
Dx
Dx
3.
Du bestemmer grænseværdien:
lim
Dx → 0
Dy
u(x + Dx ) - u(x )
v(x + Dx ) - v(x )
= lim v(x + Dx ) ⋅
+ u(x ) ⋅
D
x
→
0
Dx
Dx
Dx
Lader du Dx → 0, vil de to brøker være udtryk for differentialkvotienterne u’(x) og v’(x).
Du kan derfor skrive:
Dy
lim
= v(x ) ⋅ u ′(x ) + u(x ) ⋅ v ′(x )
Dx → 0 Dx
og du har hermed eftervist reglen.
Endelig har du reglen:
Differentialkvotienten af en brøk u (x ) er lig med differensen
v (x )
u’(x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v’(x)
2
divideret med v(x) , altså
f (x ) =
u(x )
v(x )
f ′(x ) =
u ′(x) ⋅ v(x ) - u(x ) ⋅ v ′(x )
v(x )2
Reglen kan eftervises på samme måde som før.
419
420
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Eksempel 12.04
Du har givet f(x) = (3x + 5x3) ⋅ (2x7 - 4)
Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
Du anvender produkt-reglen:
f’(x) = (3 + 15x2) ⋅ (2x7 - 4) + (3x + 5x3) ⋅ (14x6 - 0)
Du kan reducere udtrykket, men det udelades, da det var et eksempel
på anvendelse af produktreglen.
Opgave 314
Du skal bestemme differentialkvotienten af følgende funktioner:
a) f(x) = 5x3 + 3x2 - 12x + 3
b) f(x) = (3x4 + x2 - 3) ⋅ (2 - 3x)
c) f(x ) =
2x 2 + x - 1
x+2
Maksimums- og minimumspunkter
Med regnereglerne fra forrige afsnit har du fået endnu et nyt stykke
”værktøj”, når du skal analysere en funktion.
Se på grafen på figur 12.27.
lokalt
maksimum
y
x
f (x)
+
0
−
lokalt α = y’ = 0
minimum
x
Figur 12.27
Følger du grafen fra venstre mod højre, vil tangenternes stigningstal
være positive indtil det lokale maksimumspunkt. Her er tangenten
vandret, og stigningstallet er derfor lig med 0. Til højre for maksimumspunktet vil stigningstallene være negative, indtil du når det lokale minimumspunkt, hvor tangenten er vandret og stigningstallet lig med 0.
Til højre for minimumspunktet vil tangenternes stigningstal igen være
positive.
Under grafen for funktionen kan du tegne en figur, der viser, hvordan
fortegnet for stigningstallet for tangenterne varierer.
Maksimums- og minimumspunkter
Differentialkvotienten er jo et udtryk for, hvordan tangenternes stigningstal varierer, så denne fortegnsbestemmelse fortæller også noget
om differentialkvotienten.
Når differentialkvotienten ændrer fortegn fra + til -, når en bestemt
x-værdi passeres, har funktionen et lokalt maksimum i dette punkt.
Når differentialkvotienten ændrer fortegn fra - til +, når en bestemt
x-værdi passeres, har funktionen et lokalt minimum i dette punkt.
Nu kan du gå videre og se på grafen og fortegnsbestemmelsen for differentialkvotienten på figur 12.28.
y
A
B
E
C
D
x
f (x)
+
0
−
x
Figur 12.28
Her er et par nye ting, du skal lægge bemærke til. Du kan møde en
vandret vendetangent i henholdsvis punkt C og E, og her vil fortegnet
for f’(x) variere på den måde, at det går fra + til 0 og igen til + og på
samme måde fra - til 0 og igen til -.
Endelig kan du også møde punkter, hvori differentialkvotienten ikke er
defineret. I dette tilfælde er det i punkt D.
Du kan også møde funktioner med flere maksimums- og minimumspunkter. Disse punkter kalder du under et for ekstremumspunkter.
421
422
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
På baggrund af ovenstående kan du bestemme lokale maksimums- og
minimumspunkter og vendetangenter således:
1.Du sætter differentialkvotienten lig med 0 og løser den fremkomne
ligning.
2. Du udfører en fortegnsbestemmelse af f’(x).
Lokalt maksimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra + til −.
Lokalt minimum forekommer, når fortegnet for f’(x) går fra − til +.
Vandret vendetangent forekommer, når fortegnet for f’(x) går + til
0 og til + igen, eller fra − til 0 og til − igen.
3. Du beregner ymax- og ymin-koordinaterne ved at indsætte de fundne
x-værdier i funktionsudtrykket for f(x).
Du har tidligere arbejdet med parabler og der haft en ”toppunkts”-formel, du kunne anvende.
I det kommende eksempel får du at se, hvordan du kan bestemme
toppunktet på en anden måde - nemlig ved hjælp af differentialregningen. Du udnytter dit kendskab til, at stigningstallet for tangenten er 0 i
parablens toppunkt.
Eksempel 12.05
Du har givet parabel-funktionen f(x) = 3x2 - 9x + 1
Du skal bestemme koordinaterne til parablens toppunkt.
Du kan starte med at bestemme differentialkvotienten:
f’(x) = 6x - 9
Herefter sætter du f’(x) = 0 og løser den fremkomne ligning:
0 = 6x - 9
–6x = -9
x = 1,5
Toppunktets y-værdi bestemmer du ved at indsætte x = 1,5 i funktionsudtrykket for f(x):
y = f(1,5) = 3 ⋅ 1,52 -9 ⋅ 1,5 + 1
y = f(1,5) = -5,75
Hermed har du koordinaterne til parablens toppunkt: (1,5 ; -5,75)
Maksimums- og minimumspunkter
Her kan du også få hjælp af din grafregner.
Figur 12.29 og figur 12.30 viser dig skærmbilleder i forløbet.
Figur 12.29
Figur 12.30
Eksempel 12.06
Du har givet funktionen f(x )=
1 3 1 2
1
x - x - 2x +
3
2
3
Du skal bestemme koordinaterne til evt. lokale maksimums- og minimumspunkter.
Du kan starte med at bestemme differentialkvotienten f’(x).
1
1
f ’(x )= 3 ⋅ x 3-1 - 2 ⋅ x 2-1 2 = x 2 - x - 2
3
2
Du sætter f’(x) = 0 og løser ligningen:
0 = x2 - x - 2
Du løser ligningen og får: x = -1 eller x = 2
Du kan gå videre og bestemme fortegnsvariationen for f’(x), som kommer til at se ud som vist på figur 12.31.
f (x)
+
0
−
−1
Figur 12.31
2
x
423
424
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
For x = -1 går fortegnet for f’(x) fra + til -.
Det betyder, at du har et maksimumspunkt i x = -1.
For x = 2 går fortegnet for f’(x) fra - til +.
Det betyder, at du har et minimumspunkt i x = 2.
Du kan bestemme koordinaterne til y-værdierne ved at indsætte de
fundne x-værdier i f(x). Det bliver:
y = f(−1) =
y = f ( 2) =
1
1
1
1
⋅ (− )3 − ⋅ (−1)2 − 2 ⋅ (−1) + = 1, 5
3
3
2
3
1 3 1 2
1
⋅ 2 − ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 + =− 3
3
3
2
Hermed har du punkterne: Maksimum (-1 ; 1,5) og Minimum (2,-3).
Opgaven er løst, men vil du have et overblik over opgaven og endvidere have mulighed for at kontrollere dine resultater, så tag din grafregner og tast f(x) og f’(x) ind i grafmenuen. Du får et billede som vist
på figur 12.32.
Figur 12.32
Bemærk sammenhængen mellem de to grafer. I punkterne hvor grafen
for f’ skærer x-aksen, har grafen for f henholdsvis maksimum og minimum.
Endvidere er f voksende, når f’ er positiv og på tilsvarende måde er
f aftagende, når f’ er negativ.
Opgave 315
Du har givet parabel-funktionen f(x) = x2 - 6x + 5
a) Du skal bestemme koordinaterne til parablens toppunkt.
b) Du skal opstille ligninger for tangenterne til parablen i de punkter,
hvor grafen skærer x-aksen.
Maksimums- og minimumspunkter
Opgave 316
Du har givet f(x) = -x2 + x
Tangenten til grafen i det punkt, hvis x-koordinat har værdien 2, danner sammen med x- og y-aksen en trekant.
Du skal bestemme arealet af denne trekant.
Opgave 317
Du har givet f(x) = x3 + 2
Du skal opstille ligninger for de tangenter til grafen for f, der er parallelle med linjen 24x - 2y + 12 = 0
Opgave 318
Du har givet f(x ) = x -
1
x
Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det punkt,
hvis x-koordinat har værdien 0,5.
Opgave 319
Gennem punktet (4,-6) tegner du tangenter til den parabel, som har
forskriften f(x) = x2 - 6x + 5
Du skal opstille ligningerne for tangenterne.
425
426
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 320
Du har givet f(x) = -x2 - 3x + 4 og punkterne A(-8,6) og B(4,10).
Du skal bestemme en ligning for den parabeltangent, der er parallel
med linjen, der går gennem A og B.
Opgave 321
På figur 12.33 er vist grafen for f’(x) = x.
y
f’(x) = x
x
Figur 12.33
Du skal bestemme forskriften for f, når f(x) kun indeholder x-led.
Opgave 322
Du har givet f(x) = x3 + x2 - 5x + 2
a) Du skal bestemme koordinaterne til evt. lokale maksimums- og minimumspunkter.
b) Du skal tegne en skitse af graferne for f og f’.
Flere regneregler
Opgave 323
Du har givet f’(x) = x2 - 4x
a) Du skal bestemme en forskrift for f, når den kun indeholder x-led.
b) Du skal bestemme koordinaterne til evt. lokale maksimums- og minimumspunkter.
c) Du skal tegne en skitse af graferne for f og f’.
Flere regneregler
Du får nu regnereglerne for bestemmelse af differentialkvotienter af de
trigonometriske funktioner.
Funktionen f(x) = sin x har differentialkvotienten cos x, altså:
f(x) = sin x f’(x) = cos x
Reglen kan eftervises på tilsvarende måde som tidligere ved hjælp af
tre-trinsreglen, men du får den synliggjort ud fra en geometrisk betragtning.
Du har grafen for f(x) = sin x på figur 12.34.
y
1
f(x) = sin x
0
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Figur 12.34
Forestil dig, at du tegner tangenter til grafen, måler tangenternes stigningstal og afsætter de målte værdier som vist på figur 12.35.
y
1
0
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Figur 12.35
Stigningstallet er jo et udtryk for differentialkvotienten i det betragtede
punkt, så kurven, der fremkommer, er billedet af, hvordan differentialkvotienten varierer.
Som du kan se, er den kurve, der dannes af værdierne for stigningstallene, netop billedet af funktionen f(x) = cos x.
427
428
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
På tilsvarende måde har du:
Funktionen f(x) = cos x har differentialkvotienten −sin x, altså
f(x) = cos x
f’(x) = −sin x
Funktionen f(x) = tan x har differentialkvotienten
1 + (tan x )2 =
f(x) = tan x
1
, altså
(cos x )2
f ′(x) = 1 + (tan x)2 =
1
(cos x )2
Du kan eftervise reglen ved at benytte ligningen
sin x
tan x =
cox x
Du kan så benytte brøk-reglen for differentiation:
u ′(x) ⋅ v(x ) - u(x) ⋅ v ′(x )
u(x)
f (x ) =
f ′(x ) =
v(x )
v(x )2
Du får så:
f ′(x ) =
cos x ⋅ cos x - sin x ⋅ (- sin x) (cos x )2 + (sin x )2
=
(cos x )2
(cos x )2
Du har fra trigonometrien, at (sin x)² + (cos x)² = 1
Hermed får du:
f ′(x ) =
1
(cos x )2
Du kan også skrive udtrykket for f’(x) således:
f ′(x ) =
(cos x )2 + (sin x )2
(cos x )2
(sin x )2
= 1 + (tan x )2
=
+
2
2
(cos x )
(cos x )
(cos x )2
Hermed har du fået vist de to udtryk for differentialkvotienten af tan x.
Opgave 369
Du har givet f(x) = sin x + 2 Dm(f) = [0 ; 4p]
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter på grafen for f, hvor
der er vandret tangent.
Sammensat funktion
Opgave 370
Du har givet f(x) = 2 cos x - 1 Dm(f) = [0 ; 4p]
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter på grafen for f, hvor
der er vandret tangent.
Opgave 371
Du har givet f(x) = sin x + cos x + tan x
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient f’(x).
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det
punkt, hvor x = 0.
c) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det
p
.
punkt, hvor x =
4
Sammensat funktion
Skal du bestemme differentialkvotienten af funktionen
f(x) = (2x + 5)7
kan du klare det med de regler, du har anvendt indtil nu. Inden du kan
begynde at differentiere, må du imidlertid gennem et større regnearbejde med at få opløftet parentesen til 7. potens.
Du kan gøre det enklere ved at opfatte funktionen som en sammensat funktion, idet du kan sætte u = 2x + 5 og dermed y = u7.
Du har dermed, at
y = f(u) og
u = g(x)
Se på differenskvotienten
Dy
Dy
Dy Du
og forlæng den således:
=
⋅
Dx
Dx
Du Dx
Lader du Dx → 0, vil Dy og Du også gøre det, og du får på denne måde
udtrykt differentialkvotienten:
dy
dy du
=
⋅
dx
du dx
Hermed har du en regel, som du kan benytte, når du skal bestemme
differentialkvotienten af en sammensat funktion.
Se på eksemplet, hvor du havde, at
y = u7 og u = 2x + 5
429
430
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Du kan bestemme differentialkvotienterne således:
dy
du7
=
= 7u6
du
du
du d2x + 5
=
=2
dx
dx
Herefter kan du bestemme:
dy
= 7 ⋅ (2x + 5)6 ⋅ 2 = 14 ⋅ (2x + 5)6
dx
Du behøver ikke at indføre betegnelsen u, idet du kan gennemføre udregningen således:
dy
d(2x + 5)7 d(2x + 5)
=
⋅
= 7 ⋅ (2x + 5)6 ⋅ 2 = 14 ⋅ (2x + 5)6
dx
d(2x + 5)
dx
Du kan forklare fremgangsmåden på den måde, at du først bestemmer
differentialkvotienten af den ”udvendige” funktion (2x + 5)7, som du
derefter ganger med differentialkvotienten af den ”indvendige” funktion (2x + 5).
CAS-programmet kan også hjælpe dig her. Figur 12.36 viser skærmbillede af indtastning og resultat.
Figur 12.36
Du kan udvide reglen, idet du kan møde sammensatte funktioner, hvor
det ikke er tilstrækkeligt at differentiere to gange.
Reglen kommer da til at se således ud:
dy
dy du dz
=
⋅
⋅
dx
du dz dx
Reglen kalder du ”kædereglen”, da du jo skal gennem en ”kæde” af
differentiationer.
I de kommende eksempler er det ”kædereglen”, du får lejlighed til at
arbejde med, men prøv at tjekke resultaterne med dit CAS-program.
Sammensat funktion
Eksempel 12.07
Du skal bestemme differentialkvotienten af funktionen
1
f (x ) =
3
x +2
Du omskriver først således:
1
-
f(x ) = (x 3 + 2) 2
Herefter bestemmer du differentialkvotienten ved hjælp af ”kædereglen”:
−
1
3
3
−
−
dy
d(x 3 + 2) 2 d(x 3 + 2)
1
3
3
2
2
3
2
2
(
)
(
x
+
2
)
=
x
x
x
2
3
⋅
=
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
⋅
dx
d(x 3 + 2)
dx
2
2
Eksempel 12.08
Du skal bestemme differentialkvotienten af funktionen:
f(x) = cos(2x)
Du anvender ”kædereglen” og får:
dy
d cos( 2x ) d 2x
=
⋅
= - sin( 2x ) ⋅ 2 = - 2 sin(2x )
dx
d 2x
dx
Eksempel 12.09
Du skal bestemme differentialkvotienten af funktionen:
f(x) = [sin(2x + 1)]2
Du anvender ”kædereglen” og får:
dy
d[sin (2x + 1)]2 d sin (2x + 1) d (2x + 1)
=
⋅
⋅
dx
d sin (2x + 1)
d (2x + 1)
dx
dy
= 2 ⋅ sin (2x + 1) ⋅ cos(2x + 1) ⋅ 2
dx
dy
= 4 ⋅ sin (2x + 1) ⋅ cos(2x + 1)
dx
Opgave 327
Du skal bestemme differentialkvotienten af følgende funktioner:
a) f(x) = (7 + 3x2)5
c) f(x ) =
1
(5x - 3)3
b) f(x) = (2 + 4x2 - 9x3)4
d) f(x ) =
5
3-x
431
432
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 328
Du skal bestemme differentialkvotienten af følgende funktioner:
a) f(x) = sin(3x)
b) f(x) = (sin (3x))2
c) f(x) = sin (3x)2
d) f(x ) =
1
sin( 3x)
Opgave 329
Du skal bestemme differentialkvotienten af følgende funktioner:
a) f(x) = 4 ⋅ [cos(1 - x)]2
c) f(x ) = (2 - x + 1)
3
b) f(x) = 2 ⋅ (sin(3x))3
d) f(x ) = 3 (1 - x 2 )5
Differentialkvotienter af højere orden
Når du differentierer et udtryk som fx
f(x) = x2 - 8x + 12, får du
f’(x) = 2x - 8
Denne funktion kan du også kalde den første afledede af f(x).
Du kan gå videre og differentiere en gang til. Det giver:
f’’(x) = 2
Denne funktion kalder du den anden afledede af f(x), og du betegner
den som vist.
Du kan differentiere videre og får:
f’’’(x) = 0
Her har du så den tredje afledede af f(x).
Der er flere måder at betegne disse differentialkvotienter på. Du får en
oversigt:
d2 y
f ′′(x ) = y ′′ =
dx 2
som du læser: ”f dobbeltmærke”, ”y dobbeltmærke” og ”det to y det
x i anden”.
Man kan benytte disse differentialkvotienter af højere orden inden for
bevægelseslæren. Forestil dig, at du har et legeme, der bevæger sig en
vejlængde s(t) givet som en funktion af tiden.
Du kan bestemme hastigheden ved at differentiere s(t) med hensyn
til tiden t.
ds(t )
v(t ) =
= s ′(t )
dt
Differentialkvotienter af højere orden
Skal du bestemme accelerationen, kan du differentiere hastigheden v(t)
med hensyn til tiden t.
dv(t )
a(t ) =
= v ′ (t )
dt
I realiteten differentierer du s(t) to gange med hensyn til tiden t for at
finde accelerationen, altså:
a(t) = s’’(t)
Eksempel 12.10
Et legeme bevæger sig således, at dets afstand s (meter) fra et punkt kan
beskrives som en funktion af tiden t (sekunder):
s(t) = 30t - 4,91 ⋅ t2
a) Du skal bestemme hastigheden som funktion af tiden t.
b) Du skal bestemme hastigheden efter 2 sekunders forløb.
c) Du skal bestemme afstanden s efter 2 sekunders forløb.
d) Du skal bestemme accelerationen.
a)
Du bestemmer hastigheden ved at differentiere s(t) med hensyn til t.
v(t) = s’(t) = 30 - 9,82 ⋅ t
b)
Du indsætter t = 2 i v(t):
v(2) = 30 - 9,82 ⋅ 2 = 10,36 meter/sekund
c)
Du indsætter t = 2 i s(t):
s(2) = 30 ⋅ 2 - 4,91 ⋅ 2² = 40,36 meter
d)
Du differentierer og får:
a(t) = v’(t) = s’’(t) = 0 - 9,82 = -9,82 meter/sekund2
Opgave 330
Et legeme bevæger sig efter en parabelformet kurve således, at dets
afstand s (meter) målt lodret fra begyndelsespunktet kan beskrives som
en funktion af tiden:
s(t) = 3 + 10 ⋅ t - 4,91 ⋅ t2
a) Du skal bestemme hastigheden som funktion af tiden t.
b) Du skal bestemme tiden t, der går, indtil legemet er højest over begyndelsespunktet.
c) Du skal bestemme afstanden s til denne tid.
d) Du skal bestemme legemets acceleration.
433
434
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Funktionsanalyse
Du har efterhånden fået alle de matematiske redskaber, du skal bruge,
når du skal analysere en funktion.
De egenskaber, du skal kunne dokumentere, er:
-
Definitionsmængde.
Grafens skæringspunkter med x- og y-aksen.
Lokale maksimums- og minimumspunkter.
Monotoniintervaller.
Værdimængde.
Du kan sikkert nikke genkendende til disse elementer, så du får et eksempel.
Eksempel 12.11
Du har givet funktionen f(x) = x3 + x2 - 3x
Du skal bestemme:
a) Definitionsmængde.
b) Grafens skæringspunkter med x-aksen.
c) Koordinaterne til lokale maksimums- og minimumspunkter.
d) Monotoniforholdene.
e) Værdimængde.
a)
Umiddelbart får du, at Dm(f) = R
b)
Du bestemmer grafens skæringspunkter med x-aksen ved at sætte f(x) = 0.
0 = x3 + x2 - 3x
0 = x(x2 + x - 3)
Du har et produkt, der skal være lig med 0. Du kan derfor benytte nulreglen:
x = 0 eller x2 + x - 3 = 0
x = 0 eller x = -2,30 eller x = 1,30
Du har hermed koordinaterne til skæringspunkterne:
(0,0) eller (-2,30 ; 0) eller (1,30 ; 0)
c)
Du bestemmer differentialkvotienten f’(x) og sætter f’(x) = 0:
f’(x) = 3x2 + 2x - 3
0 = 3x2 + 2x - 3
x = -1,39 eller x = 0,72
Funktionsanalyse
Du omskriver f’(x) til produktform og udfører en fortegnsbestemmelse
af f’(x).
f’(x) = 3 ⋅ (x + 1,39) ⋅ (x - 0,72)
f’(x)
+
0
−
−1,39
0,72
x
Figur 12.37
Fortegnsbestemmelsen får udseende som vist på figur 12.37 og med
den som baggrund kan du konstatere, at
f(x) har lokalt maksimum for x = -1,39, da fortegnet for f’(x) går fra + til -.
f(x) har lokalt minimum for x = 0,72, da fortegnet for f’(x) går fra - til +.
Du bestemmer koordinaterne til y-værdierne:
y = f(-1,39) = (-1,39)3 + (-1,39)2 - 3(-1,39) = 3,42
y = f(0,72) = 0,723 + 0,722 - 3 ⋅ 0,72 = -1,27
Lokalt maksimum: (-1,39 ; 3,42)
Lokalt minimum: (0,72 ; -1,27)
d)
Med udgangspunkt i fortegnsbestemmelsen for f’(x), kan du bestemme
monotoniforholdene.
f er voksende i ]-∞ ; -1,39]
f er aftagende i [-1,39 ; 0,72]
f er voksende i [0,72 ; ∞[
e)
Du har umiddelbart, at værdimængden Vm(f) = R
Du kan kontrollere resultaterne ved at indtaste funktionen i din grafmenu. Du får da et billede som vist på figur 12.38.
Figur 12.38
435
436
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 331
Du skal bestemme:
- Definitionsmængde, hvor den ikke er defineret.
- Grafens skæringspunkter med x- og y-aksen.
- Koordinaterne til lokale maksimums- og minimumspunkter.
- Monotoniforhold.
- Værdimængde.
for følgende funktioner:
a) f(x) = (2x - 2)2
b) f(x) = (sin x)2 + sin x - 1, Dm(f) = [0; 2π]
c) f(x) = -0,5x3 + 2x2 + 3x
d) f(x ) = 9 - x 2
e) f(x) = 0,25x4 - x
Maksimering og minimering
Maksimering og minimering er et område, som viser dig den praktiske
anvendelse af differentialregningen.
Du har tidligere i kapitel 9 - ”Funktioner” arbejdet med maksimering
og minimering. Der var det primært parablen, der var udgangspunktet. Her kommer du længere omkring, idet du kommer til at arbejde
med mange forskellige typer funktioner.
Teorien har du allerede, så du kan lige så godt blive kastet ud i det.
Du får et eksempel.
Eksempel 12.12
Inden for fødevareområdet planlægges et nyt produkt, der skal emballeres i en dåse med et rumindhold på 0,5 liter (500 cm3).
Du har dåsen på figur 12.39.
d
h
Figur 12.39
Maksimering og minimering
Pladematerialet, der medgår til dåsens fremstilling, er vist på figur 12.40.
Det er udfoldningen af den ”krumme” overflade og de to endebunde.
d
d+
h
π·d
Figur 12.40
a) Du skal bestemme målene på diameteren d og højden h således, at
der anvendes mindst mulig plade ved fremstillingen.
b) Du skal bestemme, hvor meget pladeareal der medgår til fremstilling af en dåse.
Når du skal løse en sådan opgave, kan du måske blive fristet til at gætte
dig frem, og på et tidspunkt finder du frem til de rigtige mål.
Det kan sikkert lade sig gøre ved en opgave som denne, men når
du får opgaver, der bliver lidt mere komplicerede, er ”gætte”- metoden
besværlig.
Du skal derfor vænne dig til at anvende differentialregningen og dens
muligheder.
Der er nogle vigtige faser undervejs, og du må være omhyggelig hele
vejen igennem.
Her er opstillet 7 punkter, som kan føre dig gennem en maksimerings- eller minimerings-opgave. Første punkt er:
1:
Du skal analysere den givne problemstilling og gøre dig helt
klart, hvad det er, der skal maksimeres eller minimeres.
Prøv at læse teksten igen! - Det er arealet af det plademateriale, der
medgår til fremstilling af dåsen, det drejer sig om. Dette areal skulle
gerne blive så lille som muligt.
Nu kan du fortsætte med punkt 2:
437
438
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
2:
Du skal så opstille et udtryk for det, der skal
maksimeres eller minimeres.
Arealet af pladematerialet kan du udtrykke således (se figur 12.40):
p
A = p ⋅ d ⋅ h + 2 ⋅ ⋅ d2
4
og så til punkt 3:
3:
Se på udtrykket!
Kan du differentiere det? - hvis ja - så gør det!
Hvis nej, skyldes det sikkert, at du har to variable størrelser i udtrykket.
Du må derfor benytte andre oplysninger til at opstille en ny ligning,
der udtrykker ”noget” om de to variable.
Herefter udtrykker du så den ene af de to variable fra denne nye
ligning og indsætter dette udtryk i det oprindelige udtryk.
Så har du et udtryk, som du forhåbentligt kan differentiere!
- og det gør du så.
Her må du konstatere, at du ikke kan ikke differentiere udtrykket, da
det indeholder både d og h.
Du må derfor have fat i nogle andre oplysninger, og her har du, at
dåsens rumfang er 500 cm3.
I en ligning kan du skrive:
p
500 = ⋅ d 2 ⋅ h
4
Du udtrykker den ene af de ubekendte. Da h er af første grad, vælger
du at udtrykke den:
500 ⋅ 4
2000
h=
=
p ⋅ d2
p ⋅ d2
Du indsætter dette udtryk for h i ”areal”- udtrykket, som nu bliver en
funktion A(d). Det giver:
2000
p
A(d) = p ⋅ d ⋅
+ 2 ⋅ ⋅ d2
4
p ⋅ d2
p
2000
+ ⋅ d2
d
2
p
A(d) = 2000 ⋅ d-1 + ⋅ d 2
2
A(d) =
Maksimering og minimering
Nu kan du differentiere udtrykket. Det giver:
p
A ′(d) = - 2000 ⋅ d-2 + 2 ⋅ ⋅ d
2
-2000
A ′(d) =
+p⋅d
2
d
4:
Du har fra tidligere, at der, hvor differentialkvotienten er lig med 0,
har funktionen et maksimum eller et minimum.
Du sætter derfor differentialkvotienten lig med 0 og løser den
fremkomne ligning.
Det giver følgende ligning:
-2000
0 =
+p⋅d
d2
0 = - 2000 + p ⋅ d 3
d = 3
2000
p
d = 8 , 60 cm
5:
Du kan udføre fortegnsbestemmelse af funktionens differentialkvotient med hen­blik på at kunne dokumentere, om det er et maksimums- eller minimumspunkt.
Du udfører en fortegnsbestemmelse af:
A′(d) = - 2000 · d–2 + π ⋅ d
Fortegnsbestemmelsen får udseende som vist på figur 12.41, og du kan
konstatere, at der er et minimumspunkt for d = 8,60, da fortegnet for
A’(d) går fra - til +.
A’(d)
+
0
−
8,60
d
Figur 12.41
6:
Mangler du at bestemme ”noget”, er det nu!
Gå tilbage til opgaveteksten og tjek spørgsmålene.
Du mangler at bestemme højden h og pladearealet A.
439
440
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Du går tilbage og finder et udtryk for h:
2000
2000
=
h=
p ⋅ d2
p ⋅ 8 , 60 2
h = 8 , 60 cm
På tilsvarende måde med A:
p
A = p ⋅ d ⋅ h + 2 ⋅ ⋅ d2
4
A = p ⋅ 8 , 60 ⋅ 8 , 60 + 2 ⋅
p
⋅ 8, 60 2
4
A = 349 cm 2
Og endelig punkt 7.
7:
Du kan tjekke resultaterne på din grafregner.
Indtast funktionsudtrykket for det, der skal maksimeres eller minimeres.
Grafregneren hjælper dig herefter med at bestemme koordinaterne
til maksimums- eller minimumspunktet.
Her er det A(d), der skal minimeres.
Du indtaster
p
A (d) = 2000 ⋅ d-1 + ⋅ d 2
2
NB! - husk også at indstille inddelingen på akserne i koordinatsystemet.
Du får et billede af grafen for A(d) som vist på figur 12.42.
Figur 12.42
Grafregneren kan hjælpe dig med at finde koordinaterne til minimumspunktet, som bliver:
(8,60 ; 349)
Du kan konstatere, at der er overensstemmelse mellem de fundne resultater og kontrolresultaterne fra grafregneren.
Maksimering og minimering
De syv punkter får du nu trukket ud af eksemplet:
1.Du skal analysere den givne problemstilling og gøre dig helt
klart, hvad det er der skal maksimeres eller minimeres.
2. Du skal så opstille et udtryk for det, der skal maksimeres eller minimeres.
3. Se på udtrykket!
Kan du differentiere det? - Hvis ja, så gør det!
Hvis nej, skyldes det sikkert, at du har to variable størrelser i
udtrykket.
Du må derfor benytte andre oplysninger til at opstille en ny
ligning, der udtrykker ”noget” om de to variable.
Herefter udtrykker du så den ene af de to variable fra denne
nye ligning og indsætter dette udtryk i det oprindelige udtryk.
Så har du et udtryk, som du forhåbentligt kan differentiere og det gør du så.
4. Du har fra tidligere, at der, hvor differentialkvotienten er lig
med 0, har funktionen et maksimum eller et minimum.
Du sætter derfor differentialkvotienten lig med 0 og løser den
fremkomne ligning.
5. Du kan udføre fortegnsbestemmelse af funktionens differentialkvotient med henblik på at kunne dokumentere, om det er
et maksimums- eller minimumspunkt.
6. Mangler du at bestemme ”noget”, er det nu!
Gå tilbage til opgaveteksten og tjek spørgsmålene.
7. Du kan tjekke resultaterne på din grafregner.
Indtast funktionsudtrykket for det, der skal maksimeres eller
minimeres.
Grafregneren hjælper dig herefter med at bestemme koordinaterne til maksimums- eller minimumspunktet.
Når du skal i gang med at løse opgaver, så følg de syv punkter. Erfaringen viser, at det mange gange er i begyndelsen, problemerne opstår. Du
skal derfor være særlig omhyggelig med punkterne 1, 2 og 3.
441
442
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 332
En landmand ejer en eng, der støder op til en å. Han ønsker at indhegne
en del af engen, og det indhegnede areal skal sammen med åen have
form af et rektangel - (se figur 12.43). Landmanden har i alt 480 meter
hegn til sin rådighed.
x
y
Figur 12.43
a) Du skal bestemme målene x og y under forudsætning af, at rektanglets areal skal være så stort som muligt.
b) Du skal bestemme rektanglets areal.
Opgave 333
En træstamme, som kan regnes at have en diameter d = 15 cm, ønskes tilskåret, således at der fremkommer et rektangulært tværsnit med
størst muligt areal (se figur 12.44).
+
h
b
Figur 12.44
a) Du skal bestemme rektanglets dimensioner, målene b og h.
b) Du skal bestemme rektanglets areal.
Maksimering og minimering
Opgave 334
En træstamme, som kan regnes at have en diameter d = 15 cm, ønskes tilskåret, således at der fremkommer et rektangulært tværsnit med
størst muligt modstandsmoment (se figur 12.45).
+
h
b
Figur 12.45
Modstandsmomentet er en regnestørrelse, der indgår ved dimensionering af bjælker udsat for bøjningspåvirkning.
Modstandsmomentet W for et rektangulært tværsnit er:
1
W = ⋅ b ⋅ h2
6
a) Du skal bestemme rektanglets dimensioner, målene b og h.
b) Du skal bestemme rektanglets modstandsmoment W.
Opgave 335
I forbindelse med en bygningsrenovering skal der udformes et vindue
som vist skitseret på figur 12.46.
+
b
a
Figur 12.46
Vinduets omkreds skal være 5 meter, og målenes a og b skal fastlægges
ud fra ønsket om, at der skal komme størst mulig lysmængde gennem
vinduet.
a) Du skal bestemme målene a og b.
b) Du skal bestemme vinduets areal.
443
444
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 336
En container, som er kasseformet, skal dimensioneres, således at den
rummer 10 m3, og højden er lig med 2 meter (figur 12.47).
2m
b
a
Figur 12.47
Samtidig skal containeren fremstilles af mindst mulig plademateriale.
a) Du skal bestemme målene a og b.
b) Du skal bestemme, hvor meget pladeareal der medgår til fremstilling af containeren.
Opgave 337
Rammen til en drage skal fremstilles af 6 stykker træ som vist på figur
12.48.
B
x
A
E
C
2x
D
Figur 12.48
To stykker er allerede skåret ud og har følgende mål:
AB = BC = 200 mm
Endvidere er givet, at BE = x
og ED = 2x
Du skal bestemme længderne af siderne AD og DC, når arealet af firkanten ABCD skal være så stort som muligt.
Maksimering og minimering
Opgave 338
Et rektangulært areal på 32.000 m² skal indhegnes. Den ene side løber
langs en landevej, og hegnet her koster 3 gange så meget pr. meter som
den øvrige del (se figur 12.49).
y
x
Figur 12.49
Du skal bestemme målene x og y på rektanglet, således at omkostningerne ved indhegningen bliver så lave som mulige.
Opgave 339
Inden for procesindustrien skal der udvikles nogle beholdertyper, der
kan rumme 2 m3.
Arealet af den indvendige overflade i beholderne skal være mindst
mulig, da overfladen skal have en dyr korrosionsbestandig belægning.
Beholderne fremstilles uden låg, og i udviklingsfasen indgår følgende typer:
Cylinder - figur 12.50
d
h
Figur 13.50
Kegle - figur 12.51
d
h
Figur 12.51
445
446
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Kasseformet med kvadratisk bund - figur 12.52
h
x
x
Figur 12.52
a) Du skal bestemme målene på de viste beholdertyper.
b) Du skal bestemme det indvendige overfladearel af hver af de tre
beholdere.
c) Du skal afgøre, hvilken beholdertype der skal foretrækkes.
Opgave 340
Tre byer A, B og C har en indbyrdes placering som vist skitseret på figur
12.53.
C
3 km
P
A
10 km
B
Figur 12.53
Byen B ligger 10 km øst for byen A, og byen C ligger 3 km nord for B.
Der skal anlægges en ny vej mellem A og C som vist punkteret på
figur 12.53.
Der findes en eksisterende vej mellem A og B som vist på figur 12.53
med en fuld optrukken linje.
Hvis vejen anlægges på den allerede eksisterende vej mellem A og B
bliver prisen 4 millioner kr./km, ellers er prisen 5 millioner kr./km.
a) Du skal bestemme hvor punktet P skal placeres, for at vejen bliver
så billig som mulig.
b) Du skal bestemme den samlede pris for anlæg af vejen.
Maksimering og minimering
Opgave 341
Der skal udgraves en kanal, som skal have et tværsnit formet som et
ligebenet trapez.
I tværsnittet må bundlinjen og de skrå sidestykker under vandlinjen
tilsammen have en længde på 150 meter.
Endvidere skal tværsnittet udformes, således at vandmængden i kanalen bliver så stor som mulig.
z
120 meter
Figur 12.54
Du skal på baggrund af de nævnte krav bestemme vinklen z.
Opgave 342
Et firma skal transportere en skorsten med en samlet længde på 45 meter fra leverandør til opstilling hos køberen.
Transportvejen kan afkortes, hvis skorstenen kan komme igennem
et vej-T, hvor den ene vej er 22 meter bred, og den anden er 10 meter
bred (se figur 12.55).
22 meter
10 m
Figur 12.55
Du skal undersøge, om skorstenen kan komme om hjørnet, når det forudsættes, at skorstenen er i samme vandrette plan under hele transporten.
Opgave 343
En læge befinder sig i en landsby, da han over sin mobiltelefon bliver
hasteindkaldt til hospitalet.
Landsbyen befinder sig 100 km fra hospitalet, målt langs landevejen, og landevejen er beliggende 40 km fra landsbyen (se figur 12.56).
Landevej
Hospital
v
40 km
Åbent landskab
Landsby
100 km
Figur 12.56
447
448
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Der er ingen vejforbindelse mellem landsby og landevej, kun åbent
landskab med græsareal, afvekslende med mindre bevoksninger.
I det åbne landskab er lægen i stand til at køre med en gennemsnitshastighed på 20 km/time, mens gennemsnitshastigheden på landevejen er 120 km/time.
Du skal bestemme i hvilken vinkel v, lægen skal skære landevejen for at
opnå den mindste køretid.
Implicit differentiation
Indtil nu har alle de funktionsudtryk, du har differentieret, været af formen
y = f(x). Denne måde at beskrive funktioner på kaldes eksplicit form.
Du kan imidlertid møde udtryk, hvor y ikke står alene på venstre
side af lighedstegnet.
Du får et par eksempler. En ligning som
xy - y - 3 = x
hvor y ikke står alene på venstre side af lighedstegnet, kaldes implicit
form.
Du kan løse ligningen med hensyn til y og får:
y(x - 1) = x + 3
y=
x+3
x -1
Hermed har du fået ligningen omskrevet til eksplicit form.
Et andet eksempel er ligningen
x2 + y2 = 1
som jo er ligningen for en cirkel med centrum i (0,0) og radius r = 1 som
vist på figur 12.57.
y
(0,1)
(0,0)
Figur 12.57
(1,0)
x
Implicit differentiation
Løser du ligningen med hensyn til y, får du:
y2 = 1- x2
og hermed to funktioner:
y 1 = f (x1) = 1− x 2
og
y 2 = f (x2 ) = − 1− x 2
y
x
Figur 12.58
Du får billedet af de to funktioner, som danner hver sin halvcirkel som
vist på figur 12.58 og figur 12.59.
y
x
Figur 12.59
Skal du i gang med at differentiere en ligning, du har givet på implicit
form, kan du løse ligningen, så y kommer til at stå alene. Du har så et
udtryk i eksplicit form, som du er klar til at differentiere. Det har du set
i to små eksempler.
Det første eksempel gav en brøk og i det andet med cirklen, fik du
to funktioner at arbejde med.
Det giver lidt arbejde med at omskrive, og udtrykkene, du skal differentiere, kan blive lidt ”bøvlede”.
Et langt stykke hen ad vejen vil det derfor være nemmere for dig at
differentiere implicit. Du behøver ikke at omskrive, men kan starte med
at differentiere ligningen led for led.
Det vil du få at se i et par eksempler.
Eksempel 12.13
Du har givet en cirkel med ligningen x2 + y2 = 52 og et punkt på cirkelperiferien (3,4).
a) Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til cirklen i punktet
(3,4).
449
450
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
a)
For at få et overblik kan du tegne cirklen og tangenten som vist på figur
12.60.
y
(3,4)
(0,0)
x
Figur 12.60
Cirklens centrum er i (0,0) og radius r = 5.
Når du skal differentiere, er y2-leddet det eneste nye. Det differentierer du som en sammensat funktion.
Ellers er det de almindelige regler for differentiation, du skal anvende, så kast dig ud i det. Du differentierer ligningen led for led. Det
kommer til at se således ud:
dx 2 dy 2 dy d52
+
⋅
=
dx
dy dx
dx
Du får så:
2x + 2y ⋅
dy
=0
dx
Du løser ligningen med hensyn til differentialkvotienten:
dy -2x -x
=
=
dx
2y
y
Du får en differentialkvotient, som indeholder både x- og y-led. Det
er nyt! - Hidtil har du altid fået en differentialkvotient udtrykt som en
funktion af x. Det nye betyder blot, at du skal kende både en x- og yværdi, når du skal bestemme værdien af en differentialkvotient.
b)
Du har ligningen for en ret linje. Den ser således ud:
y - y 1 = a(x - x1 )
Du skal kende linjens stigningstal a og et punkt på linjen (x1,y1) for at
kunne bestemme lig­ningen.
Punktet har du, det var givet til (3,4).
Stigningstallet for linjen er det samme som differentialkvotienten
for cirklen i det bestemte punkt. Det kan du bestemme:
dy -3
a=
=
= -0 , 75
dx
4
Implicit differentiation
Du kan nu indsætte de kendte størrelser i den rette linjes ligning og får
herved en ligning for tangenten til cirklen i det givne punkt.
y - 4 = 0,75(x - 3)
Du kan reducere og får så:
y = -0,75x + 6,25
Eksempel 12.14
Du har givet ligningen: 3x2 + y3 = sin y
Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
Du skal differentiere ligningen led for led. Det ser således ud:
d3x 2 dy 3 dy d sin y dy
+
⋅
=
⋅
dx
dy dx
dy dx
Når du har differentieret, får du:
6x + 3y 2 ⋅
dy
dy
= cos y ⋅
dx
dx
Du samler leddene med differentialkvotienten på venstre side og flytter ”6x” over på højre side:
dy
dy
3y 2 ⋅
- cos y ⋅
= -6 x
dx
dx
Du sætter differentialkvotienten uden for en parentes:
dy
(3y 2 - cos y ) = -6x
dx
Du løser ligningen med hensyn til differentialkvotienten og har dermed løst opgaven:
dy
-6 x
= 2
dx 3y - cos y
Opgave 344
Du har givet ligningen for en cirkel: x2 – 6x + y2 – 8y = 0
a) Du skal bestemme koordinaterne til cirklens centrum og cirklens
radius r.
b) Du skal vise, at punktet (−1,7) er beliggende på cirkelperiferien.
c) Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
d) Du skal bestemme en ligning for tangenten til cirklen i punktet
(−1,7).
451
452
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 345
Du har givet ligningen: y2 = x – 1
a) Du skal skitsere kurven for ligningen.
b) Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
c) Du skal bestemme en ligning for tangenten til kurven i det punkt,
hvor x = 5.
Opgave 346
Du har givet ligningen: 2x2 − 5y2 + 2 = 0
a) Du skal skitsere kurven for ligningen i intervallet [−5;5].
b) Du skal vise, at punktet (3,2) er beliggende på kurven.
c) Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
d) Du skal bestemme en ligning for tangenten og en ligning for
normalen til kurven i punktet (3,2).
Problemopgaver
Opgave 347
Et dige har det på figur 12.61 viste tværsnit, hvor der er indlagt et koordinatsystem med x-aksen i den vandlinje, der dannes ved daglig vande
og med y-aksen som vist.
y
B
A
C
D
x
Figur 12.61
Til tværsnittet kan der gives følgende oplysninger:
Frembringeren AB er en ret linje med hældningsvinklen lig med 45°.
Frembringeren DC er en ret linje med hældningsvinklen lig med
153,43°.
Delen BC er udført som en parabelbue med tangentpunkter i B(3,3)
og i C, hvor x-koordinaten er lig med 6. Koordinaterne er målt i meter.
Idet x-aksen symboliserer vandlinjen ved daglig vande, skal du bestemme, hvor højt vandstanden over daglig vande må være, før havet
løber over diget.
Problemopgaver
Opgave 348
Projekteringen af linjeføringen for en kloakledning er vist skitseret på
figur 12.62, hvor t(x) angiver terrænlinjen og r(x) kloakrørets bundlinje.
y
5
0
−5
250
500
x
t(x)
r(x)
Figur 12.62
Funktionerne t(x) og r(x) kan tilnærmelsesvis regnes at følge:
t(x) = 10-6 ⋅ (0,6x3 - 450x2 + 68000x)
r(x) = -0,004x - 6
x er for begge funktioner angivet i meter.
Kloakrørets bund skal som minimum ligge 0,9 meter under terræn,
målt vinkelret på rørføringens bundlinje.
Du skal undersøge, om kloakrørets bund overholder dette krav.
453
454
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 349
Figur 12.63 viser en bjælke, som indgår som et bærende element i en
kanaloverbygning.
y
x
u(x)
A
x
r
Figur 12.63
Man har fundet ud af, at bjælken bliver belastet på en sådan måde, at
nedbøjningen i mm kan beskrives ved følgende funktionsforskrift:
2
x
u(x ) = k ⋅ x ⋅ r ⋅ [1-  ]
 r 
hvor
x er afstanden fra punkt A i mm
r = 5000 mm
k = 6,202 ⋅ 10-7
a) Du skal bestemme, hvor nedbøjningen er størst.
b) Du skal bestemme den største nedbøjning.
Opgave 350
Byerne A og B ligger i forhold til kystlinjen CD som vist på figur 12.64.
C
R
D
A
B
Figur 12.64
Kystlinjen regnes at være en ret linje.
Man har besluttet, at der skal anlægges et fælles rensningsanlæg R
ved kysten. Fra byerne A og B vil man efter rette linje udlægge rørledninger til rensningsanlægget R.
Der er givet følgende afstande:
AC = 4,5 km,
BD = 7 km og
CD = 15 km
Problemopgaver
a) Du skal bestemme rensningsanlægget R’s placering, således at den
samlede rørlængde bliver mindst mulig.
b) Du skal bestemme den samlede rørlængde.
Opgave 351
En fremtidig vejlinje søges anlagt som vist på figur 12.65.
y
B
p
A
(0,0)
x
Figur 12.65
Mellem A og B følger vejlinjen funktionen
f(x) = 0,005 ⋅ x2 + 200
og før A og efter B er vejlinjen rette linjer.
Punktet P illustrerer hjørnet af en bebyggelse, som i koordinatsystemet har koordinaterne (0,500).
Vejlinjen skal ligge i en mindste afstand på 200 meter i forhold til bebyggelse (punktet P).
Du skal undersøge, om dette krav kan overholdes.
Opgave 352
Du har givet ligningen: y5 · x + y · x5 = 2
a) Du skal bestemme ligningens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til kurven i punktet
(1,1).
455
456
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Opgave 353
Den faste forbindelse over Storebælt består af tre store bygningsværker,
nemlig Vestbroen, den borede tunnel mellem Sprogø og Halsskov og
Østbroen. Denne opgave tager udgangspunkt i Østbroen, som er udformet som en hængebro som vist på figur 12.66.
y
(0,75)
B
C
D
A
x
L
R
Figur 12.66
Du får her de geometriske data:
Spændvidden L = 1624 meter.
Brobanen, som er mærket B-C, er en cirkelbue med radius R = 45000
meter.
Koordinaterne til midtpunktet på brobanen er (0,75).
De to brobanedele, som er mærket A-B og C-D, er rette linjestykker og
tangenter til cirkelbuen i punkterne B og C.
a) Du skal bestemme en ligning for cirklen, som cirkelbuen er en del af.
b) Du skal bestemme cirkelligningens differentialkvotient.
c) Du skal bestemme stigningstallene for de to brobanedele, som er
mærket A-B og C-D.
d) Du skal bestemme hældningen i % for de to brobanedele.
Resumé 12. kapitel
Resumé 12. kapitel
Symboler for
differentialkvotient
lim
∆x→0
∆y dy df(x )
=
=
= f ′ (x ) = y ′
dx
∆x dx
Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter
Funktion
f(x)
Differentialkvotient
- konstant
k
0
- potensfunktion
a ⋅ xn
n ⋅ a ⋅ xn-1
- sum
u+v
u’ + v’
- differens
u-v
u’ - v’
- produkt
u⋅v
u’v + v’u
- brøk
u
v
u’ ⋅ v-u ⋅ v’
v2
- trigonometriske
funktioner
sin x
cos x
cos x
-sin x
tan x
1 + (tan x )2 =
1
2
(cos x)
- sammensat funktion
dy dy du dz
=
⋅
⋅
dx du dz dx
Bestemmelse af lokale
maksimums- og
minimumspunkter
1. Løs ligningen f’(x) = 0
2. Fortegnsbestemmelse for f’(x)
a) lokalt maksimum forekommer,
når fortegnet for f’(x) går fra + til b) lokalt minimum forekommer,
når fortegnet for f’(x) går fra - til +
c) Vandret vendetangent forekommer, når fortegnet for f’(x) er:
“+0+” eller “-0-”
3. Beregning af ymax og ymin sker ved
indsættelse af de fundne x-værdier i f(x).
457
458
Teknisk matematik · DIFFERENTIAL REGNING
Implicit differentiation
Eksempel: x2 + y2 = 1
dx 2 dy 2 dy d1
+
⋅
=
dx
dy dx dx
2x + 2y ⋅
dy
=0
dx
dy
x
=dx
y
Stamfunktion
INTEGRAL
REGNING
13
Stamfunktion
Som nævnt tidligere er differentialregning og integralregning modsatte
regningsarter. Det er derfor en nødvendig forudsætning, at du er for­
trolig med regnereglerne for bestemmelse af differentialkvotienter af
forskellige funktioner, inden du kaster dig over integralregningen.
Du kan starte med at få integralregningens grundprincip.
Du skal forestille dig, at du har en funktion
f(x)
Du skal bestemme en ny funktion, som du kalder stamfunktionen til f(x).
Denne stamfunktion betegner du
F(x)
Den skal have den egenskab, at
F’(x) = f(x)
Du får nogle eksempler. Du har en funktion
f(x) = x
459
460
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du husker sikkert regnereglerne for bestemmelse af differentialkvo­
tienter, for nu skal du til at regne ”baglæns”. Du får herved, at stam­
funktionen
1
1
F(x ) =
⋅ x 2 , da F ′(x ) = 2 ⋅
⋅ x 2-1 = x = f(x )
2
2
Du får en anden funktion:
f(x) = 3x2
Du skal igen til at regne ”baglæns” og får herved, at
F(x) = x3 , da F’(x) = 3 ⋅ x3-1 = 3x2 = f(x)
Hvis stamfunktionen havde set således ud:
F(x) = x3 + 2 , ville F’(x) = 3x2 = f(x)
altså samme funktion f(x) som før.
Du får endnu en stamfunktion:
F(x) = x3 - 7 , - også her får du, at F’(x) = 3x2
Som du ser, vil en funktion f(x) kunne have et uendeligt antal stam­
funktioner, da differentialkvotienten af en konstant er lig med 0.
Du får hermed følgende regel:
Har du en funktion f(x), vil du kunne skrive samtlige stamfunk­
tioner til f(x) på følgende form: F(x) + k, hvor k er en konstant.
Ubestemt integral
Du har et symbol, når du skal bestemme stamfunktionen F(x) til en
funktion f(x). Det ser således ud:
F(x ) = ∫ f(x ) dx
og læses: Det ubestemte integral af f(x).
Det ubestemte står for den betydning, at der er uendelig mange funk­
tioner, der er stamfunktion til f(x).
Selve symbolet består af to dele, nemlig et langstrakt s og dx, ∫ ..dx ,
men du skal opfatte det som ét symbol.
Går du tilbage til et af eksemplerne fra forrige afsnit, kan du med dette
symbol skrive:
F(x )= ∫ 3x 2 dx = x 3 + k
hvor k er en konstant, som du kalder integrationskonstanten. Leddet
3x2 kalder du integranden. Regneoperationen, hvor du går fra 3x2 til x3
+ k, kalder du at integrere 3x2.
Regneregler
Regneoperationen
461
F’(x) = f(x)
kalder du integrationsprøven, idet du her kan kontrollere, om du får
f(x), når du differentierer den stamfunktion, du har fundet frem til.
Som nævnt vil du til en given funktion have et uendeligt antal stam­
funktioner, hvor forskellen mellem dem er afhængig af integrations­
konstantens størrelse.
y
Ser du på eksemplet fra før, hvor f(x) = 3x2 og F(x) = x3 + k, vil billedet
af stamfunktionerne blive en række grafer, der er forskudt fra hinanden
i y-aksens retning (se figur 13.01).
x
Har du en opgave, hvor du skal bestemme konstanten k, er det en forud­
sætning, at du kender koordinaterne til et punkt på stamfunktionens graf.
Regneregler
Når du skal bestemme en stamfunktion, er det besværligt at regne
”baglæns”, som det du gjorde i første afsnit.
Du får derfor en oversigt over regneregler for bestemmelse af integra­
ler. For overskuelighedens skyld er integrationskonstanterne udeladt.
Funktion f(x)
Stamfunktion ∫ f (x ) d (x )
Konstant
k
k⋅x
Potensfunktion
xn
x n +1
n +1
Trigonometriske
funktioner
sin x
-cos x
cos x
sin x
tan x
-ln|cos x|
(sin x)2
1
2
⋅ (x - sin x ⋅ cos x)
(cos x)2
1
2
⋅ (x + sin x ⋅ cos x)
1 + (tan x )2 =
1
(cos x )2
tan x
På tilsvarende måde som ved differentiation har du følgende regnereg­
ler for integration.
F(x)=x3+k
Figur 13.01
462
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Integralet af en sum er lig med summen af de enkelte leds integraler:
∫ u (x) + v (x)dx = ∫ u (x)dx + ∫ v (x)dx
Integralet af en differens er lig med differensen mellem de enkelte inte­
graler:
∫ u (x)- v (x)dx = ∫ u (x)dx - ∫ v (x)dx
Ligesom ved differentialregning får du også her brug for nogle om­
skrivningsregler for potens og rod. Du får dem her:
a- n =
p
1
an
n
ap = a n
Eksempel 13.01
Du skal anvende regnereglerne og bestemme følgende integraler:
a)
∫ 5dx = 5x + k
b)
∫ 5xdx = 5 ⋅
c)
∫ 5x dx = 5 ⋅
x1+ 1
+k
1+1
=5 ⋅
x2
+k
2
2
x 2 +1
x3
+k=5 ⋅
+k
2 +1
3
7
x7 +1
x8
+k=5 ⋅
+k
7 +1
8
d) ∫ 5x dx = 5 ⋅
Regneregler
Har du CAS-program på din grafregner, kan du også benytte den mu­
lighed. Du får her indtastninger og resultater for de fire eksempler på
figur 13.02, figur 13.03, figur 13.04 og figur 13.05. Det skal lige bemær­
kes, at integrationskonstanten k ikke er med.
Figur 13.02
Figur 13.03
Figur 13.04
Figur 13.05
Eksempel 13.02
Du skal bestemme følgende integral:
1
∫ x 3 dx
Du skriver først om og får derefter:
-3
∫ x dx =
x -3 + 1
x -2
+k=
+k
-3 + 1
-2
463
464
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Eksempel 13.03
Du skal bestemme følgende integral:
∫ x dx
3
2
Du skriver først om og får:
2
3
2
5
+1
5
3x 3
x3
x3
∫ x dx = 2 + k = 5 + k = 5 + k
+1
3
3
Eksempel 13.04
Du har givet funktionen f(x) = x3
a) Du skal bestemme samtlige stamfunktioner til f(x).
b) Du skal bestemme den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet
(2,10).
a)
Du anvender reglen og får:
F(x ) = ∫ x 3 dx =
x 3 +1
x4
+k=
+k
3 +1
4
b)
Du indsætter koordinaterne til punktet (2,10) i F(x):
10 =
24
+k = 4 + k
4
6 = k
Du kan herefter skrive den stamfunktion, der går gennem punktet
(2,10), således:
F(x ) =
x4
+6
4
Opgave 354
Du skal bestemme følgende ubestemte integraler:
a)
∫ x dx
b)
∫ x dx
c)
∫ xdx
d)
∫
5
1
5
5
1
5
x
dx
Bestemt integral
Opgave 355
Du skal bestemme følgende ubestemte integraler:
a)
∫ x + sin xdx
b)
∫ x + tan xdx
c)
∫ cos x -1dx
2
d) ∫ sin x - cos xdx
Opgave 356
Du har givet f(x) = 4x2
a) Du skal bestemme samtlige stamfunktioner til f(x).
b) Du skal bestemme den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet
(3,72).
Bestemt integral
Du får nu definitionen på et bestemt integral.
Som udgangspunkt har du en funktion f(x), som er kontinuert i et
interval [a ; b], og hvis stamfunktion er F(x).
Definitionen lyder:
Det bestemte integral af funktionen f(x) fra a til b får du således:
b
∫ f(x)dx = F( b) - F(a)
a
hvor du læser
b
∫ f(x) dx :”Integralet fra a til b af f(x) dx”.
a
a og b kalder du integrationsgrænserne, a er den nedre grænse, og b
er den øvre grænse.
Du kan også benytte skrivemåden:
b
∫ f(x)dx = [F(x)] = F( b) - F(a)
a
b
a
Når du skal beregne et bestemt integrale, foregår det på den måde, at
du først bestemmer integralet som et ubestemt integrale og får stam­
funktionen F(x).
Herefter indsætter du den øvre grænse, og du beregner størrelsen af
F(b). På tilsvarende måde indsætter du den nedre grænse, og du bereg­
ner størrelsen af F(a).
465
466
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Det endelige resultat bestemmer du som differensen F(b) - F(a).
Du undrer dig måske over, hvor integrationskonstanten k er blevet af.
Integrationskonstanten k medtager du ikke, når du finder et bestemt
integral. Den udgår nemlig, som det fremgår af følgende:
b
∫ f(x)dx = F( b) + k - [F(a) + k] = F( b) - F (a)
a
Eksempel 13.05
6
Du skal bestemme ∫ xdx
4
Du bestemmer stamfunktionen og benytter definitionen på det bestemte
integral:
6
 x2 
6
62
42


xdx
=
=
= 10
∫4
2
2
2
 4
Din grafregner kan sikkert også beregne et bestemt integral. Du får på
figur 13.06 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.06
Eksempel 13.06
4
Du skal bestemme ∫ xdx
6
Stamfunktionen giver det samme som i forrige eksempel, men græn­
serne er byttet om. Det giver:
4
 x2 
42
62


xdx
=
=
= - 10
∫6
2
2
2
 6
4
Du får på figur 13.07 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.07
Bestemt integral
Eksempel 13.07
3
Du skal bestemme ∫ x 2 - 7 x - 8dx
1
Du integrerer hvert led for sig og får:
3
 x3

x2

x
7
x
8
dx
=
7
⋅
- 8x 
∫1
3

2

1
3
2
=
 13

33
32
12
-7 ⋅
- 8 ⋅ 3 - - 7 ⋅
- 8 ⋅ 1

2
3
2
3
= - 35, 33
Du får på figur 13.08 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.08
Eksempel 13.08
π
Du skal bestemme ∫ 2 cos xdx
0
Du bestemmer stamfunktionen og får:
∫
0
π
2
π
cos xdx = [sin x] 20 = sin
π
− sin 0 = 1 − 0 = 1
2
Du får på figur 13.09 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.09
467
468
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Eksempel 13.09
Du skal bestemme ∫
2
xdx
1
Du bestemmer stamfunktionen og får:
2
2
 3
3
3
 3


1
2
2 
2

2 ⋅ 22
2 ⋅ 12
x 
2x

2
2
∫1 xdx = ∫1 x dx =  3  =  3  = 3 − 3 = 1, 219


 2 
1
1
Du får på figur 13.10 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.10
<<< Eksempel
Som du sikkert har bemærket vil beregning af et bestemt integral give et
reelt tal, mens løsningen på et ubestemt integral gav et funktionsudtryk.
Bemærk forskellen!
Opgave 357
Du skal beregne størrelsen af følgende bestemte integraler:
1
3
a) ∫ x dx
0
0
1
3
b) ∫ x dx
3
c) ∫ x dx
-1
-1
Opgave 358
Du skal beregne størrelsen af følgende bestemte integraler:
3 1
2
a) ∫ 5 dx
b) ∫ xdx
1 x
0
3
c) ∫ 2x 3 - 12xdx
0
d) ∫
3
2
1
x
dx
Opgave 359
Du skal beregne størrelsen af følgende bestemte integraler:
p
a) ∫ sin xdx
0
3p
b) ∫ p 2 cos xdx
2
Bestemt integral
Arealberegning
Du vil nu få at se, at du kan bestemme et areal ved et bestemt inte­
grale.
Udgangspunktet er arealet, som er vist på figur 13.11, der begrænses
af grafen for en funktion f, to lodrette linjer og x-aksen.
y
f
A
a
b
Figur 13.11
Du kan skrive det således:
b
A = ∫ f(x )dx = [F(x )]ab = F( b) - F(a)
a
Hvorfor er det nu rigtigt?
Ja, det vil du få at se i det følgende.
Du starter først med at se på funktionen f(x) = 1 x, hvis graf er en ret
2
linje som vist på figur 13.12.
y
1x
−
2
x
x
Figur 13.12
Du kan udtrykke det viste areal som en areal-funktion og får:
1 1 
1
A(x ) = ⋅  x ⋅ x = x 2

2 2 
4
Du kan bestemme A’(x):
A ′(x ) = 2 ⋅
1
1
⋅ x= ⋅ x
4
2
Hermed er du tilbage til den oprindelige funktion, og du kan skrive:
A’(x) = f(x)
469
470
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Det vil sige, at når du differentierer areal-funktionen A(x), får du den
oprindelige funktion f(x).
Det minder jo om integrationsprøven, så du kan prøve og udtrykke
det bestemte integral af samme funktion:
x
 1 x2 
x 1
1


xdx
=
⋅
= x2
∫0 2
2

2

0 4
Du bestemmer F’(x):
F ′(x ) = 2 ⋅
1
1
⋅x= x
4
2
Her kan du også skrive: F’(x) = f(x)
Her er altså en sammenhæng mellem areal-beregningen af trekanten og
det bestemte integral.
Du prøver med et nyt eksempel for at undersøge, om der også er en
sammenhæng her.
Du har funktionen f(x) =
1
x + 2, hvis graf er vist på figur 13.13.
4
y
−14 x
2
x
x
Figur 13.13
Som før skal du forsøge at udtrykke det viste areal som en funktion. Du
kan dele arealet op i en trekant og et rektangel. Det giver:
A (x ) =
1  1 
1
⋅  x ⋅ x + 2x = x 2 + 2x

2 4 
8
Du bestemmer A’(x):
A ′ (x ) = 2 ⋅
1
1
⋅ x+2= x+2
8
4
Du har altså:
A’(x) = f(x)
Du går videre og udtrykker det bestemte integral:
x

 1 x2
x 1
1
F(x ) = ∫
x + 2dx =  ⋅
+ 2x  = x 2 + 2x
4 2

0 4
8
0

Du bestemmer F’(x):
F ′(x ) = 2 ⋅
1
1
⋅ x + 2 = x +2
8
4
Du kan hermed skrive:
F’(x) = f(x)
Bestemt integral
Igen ser du sammenhængen mellem arealberegningen af den viste fi­
gur og det bestemte integral.
De viste eksempler var for funktioner, hvis grafer var rette linjer.
Du stiller dig sikkert spørgsmålet, om det gælder for andre funktio­
ner eller?
Du kan derfor gå videre og tage udgangspunkt i en funktion, hvis graf
er kontinuert og differentiabel i det område, du betragter.
Du har grafen for en funktion f, som har udseende som vist på figur
13.14.
y
f
b x
a
Figur 13.14
Du skal forsøge at finde et udtryk for arealet, der er beliggende mellem
grafen for f, x-aksen og de to lodrette linjer x = a og x = b.
Du kan dele arealet op i tynde strimler som vist på figur 13.15.
y
f
a
b
x
Figur 13.15
Som du kan se, vil hver lille strimmel kunne deles på to måder.
Enten som et rektangel, hvis areal er lidt større end arealet under
grafen, eller i et rektangel, som ligger under grafen, og hvis areal er
mindre end arealet under grafen.
Forestil dig, at du lægger arealerne af alle rektanglerne, der ligger over
grafen, sammen. Du udtrykker summen som ∑ ∆A 0 .
På tilsvarende måde lægger du alle arealerne af rektanglerne, der ligger
under grafen, sammen. Du udtrykker det som ∑ ∆A u .
471
472
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du må derfor få, at arealet under grafen er et tal, der ligger mellem
∑ ∆Au og ∑ ∆A0 .
Det kan du udtrykke i uligheden:
∑ ∆A ≤ ∑ ∆A ≤ ∑ ∆A
u
0
hvor ∑ ∆A er summen af alle areal-strimlerne, der ligger lige under
grafen.
Du kan gå videre og se på en enkelt areal-strimmel (figur 13.16).
y
f
∆ A f(x + ∆ x)
f(x)
x
∆x
x
Figur 13.16
På samme måde som før, kan du opstille en ulighed for denne ene
strimmel. Med betegnelserne på figur 13.16 får du:
f(x ) ⋅ ∆x ≤ ∆A ≤ f(x + ∆x ) ⋅ ∆x
Du dividerer igennem med Dx og får:
∆A
f (x ) ≤
≤ f(x + ∆x )
∆x
Du skal nu foretage en grænseværdi-betragtning og forestille dig, at
areal-strimlen bliver tyndere og tyndere, altså Dx → 0.
Du ser først på
∆A
og kan udtrykke:
∆x
∆A
lim
∆x → 0 ∆x
Kan du huske definitionen på en differentialkvotient?
Det er jo i realiteten den, du har her. Du kan derfor skrive:
∆A
lim
= A ′(x )
∆x → 0 ∆x
Herefter ser du på sidste led i uligheden:
lim f(x + Dx) = f(x + 0) = f(x)
Nu har du f(x) som ”yderled” i uligheden.
Du må derfor kunne se bort fra ulighedstegnet og skrive:
A’(x) = f(x)
Det vil sige, at din differentialkvotient A’(x) er lig med den oprindelige
funktion f(x).
Bestemt integral
Det var det samme, som du fandt frem til for de to retlinede funk­
tioner, du startede med.
Du må derfor kunne konkludere, at du kan bestemme arealet mellem
grafen for en funktion f og x-aksen, og mellem de to lodrette linjer x =
a og x = b som
b
A = ∫ f(x )dx = [A(x )]ab = A( b) - A(a)
a
Eksempel 13.10
Du har givet funktionen f(x) = x + 2
4
Du skal bestemme arealet A = ∫ x + 2dx
1
Du kan tegne grafen for f og farvelægge det søgte areal, som får udse­
ende som vist på figur 13.17.
6 y
5
4
3
2
1
1
Figur 13.17
2
3
4 x
473
474
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du bestemmer det ønskede areal:
4
 x2

4
A = ∫ x + 2dx =  + 2x 
2

1

1
=
 12

42
+ 2 ⋅ 4 -  + 2 ⋅ 1

2
2
= 13,5
Din grafregner har sikkert også mulighed for at bestemme arealer ved
hjælp af integralregning.
Du får på figur 13.18 skærmbilledet af et sådant beregningsforløb.
Figur 13.18
Eksempel 13.11
Du har givet funktionen f(x) = 0,25x2 + 2, hvis graf er vist på figur
13.19.
y
f
2
2 x
−1
Figur 13.19
Du skal bestemme arealet af det farvede område.
Du bestemmer arealet således:
2


x3
A = ∫ 0 , 25x + 2dx =  0 , 25 ⋅
+ 2x 


-1
3

 -1
2
= 0 , 25 ⋅
= 6 , 75
2


(-1)3
23
+ 2 ⋅ (-1)
+ 2 ⋅ 2 -0 , 25 ⋅

3
3

Bestemt integral
Du kan kontrollere dine beregninger ved hjælp af din grafregner, og på
figur 13.20 får du skærmbilledet af beregningsforløbet.
Figur 13.20
Eksempel 13.12
1
Du har givet funktionen f(x) = sin x, hvis graf for
periode er vist på
2
figur 13.21.
y
1
f(x) = sin x
π x
π
−
2
Figur 13.21
Du skal bestemme arealet af det farvede område.
Du bestemmer arealet således:
p
A = ∫ sin x dx = [- cos x]p0 = - cos p - (- cos 0) = 2
0
475
476
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Igen kan du kontrollere dine beregninger, og du får på figur 13.22 skærm­
billedet af beregningsforløbet.
Figur 13.22
Opgave 360
Du skal tegne grafen for f(x) = 4 og bestemme arealet:
5
A = ∫ 4dx
3
Opgave 361
Du skal tegne grafen for f(x) = 0,5x + 1 og bestemme arealet:
2
A = ∫ 0 , 5x + 1dx
0
Opgave 362
Du skal tegne grafen for f(x) = -2x + 8 og bestemme arealet:
3
A = ∫ - 2x + 8dx
1
Opgave 363
a) Du skal i et koordinatsystem illustrere beliggenheden af arealet gi­
vet ved:
5
A = ∫ 0 , 1x 2 + 1dx
1
b) Du skal bestemme A.
Opgave 364
Du har givet funktionen f(x) = -x2 + 3x + 4
Du skal bestemme arealet af den del af grafen for f, der er beliggende
over x-aksen.
Bestemt integral
Opgave 365
a) Du skal i et koordinatsystem illustrere beliggenheden af arealet gi­
vet ved:
p
A = ∫ 2 cos xdx
0
b) Du skal bestemme A.
Opgave 366
a) Du skal i et koordinatsystem illustrere beliggenheden af arealet gi­
vet ved:
p
A = ∫ 4 tan xdx
0
b) Du skal bestemme A.
<<< Opgave
y
f
A
a
x
b
Figur 13.23
Har du en funktion f, hvis graf ligger over x-aksen som vist på figur
13.23, kan du som tidligere bestemme arealet ved:
b
A = ∫ f(x )dx
a
Forestil dig, at arealet er delt i en masse tynde strimler som fx et stakit.
Stakittets overkant følger grafen for funktionen.
Ved integralregningen sker der det, at arealet af alle ”stakit-stavene”
bestemmes fra 0 og hen til den øvre grænse for x = b (se figur 13.24).
f
y
0
Figur 13.24
b
x
477
478
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Bagefter bestemmes arealet af alle ”stakit-stavene” fra 0 til den nedre
grænse for x = a (se figur 13.25).
y
f
0
x
a
Figur 13.25
Arealet mellem a og b bestemmes derefter som forskellen mellem de to
arealberegninger.
Prøv med denne baggrund at se på en funktion, hvis graf skærer xaksen i punktet c som vist på figur 13.26.
f(x)
y
A2
a
A1
c
b
x
Figur 13.26
Du arbejder i et koordinatsystem, og i intervallet [a ; c] vil f(x)-værdier­
ne være negative.
Bruger du billedet med ”stakittet”, vil f(x)-værdierne svare til højderne
på ”stakit-stavene”, og da de bliver negative, vil det også resultere i et
negativt resultat, når du beregner integralet.
Beregner du
b
∫ f(x)dx
a
vil du derfor få forskellen mellem de to farvede arealer.
Møder du sådanne tilfælde, må du foretage en deling og bestemme
arealet således:
c
b
A = A1 + A 2 = ∫ f(x )dx + ∫ f(x )dx
a
c
Bestemt integral
Eksempel 13.13
Du har givet funktionen f(x) = x² - x - 2
Du skal bestemme arealet, der begrænses af grafen for f, x-aksen og
linjerne x = -2 og x = 1,5.
For at få et overblik, er du nødt til at tegne et billede af grafen og linjerne
x = -2 og x = 1,5.
Du får et billede som vist på figur 13.27.
y
(−2,4)
f(x) = x2 − x − 2
1
A1
−1
1,5
x
−2
A2
(0,2)
Figur 13.27
Grafregneren kan hjælpe dig med at bestemme skæringspunkterne med
x-aksen, og de bliver x = -1 eller x = 2.
Du kan tegne linjerne x = -2 og x = 1,5 ind på figuren, og du kan farve­
lægge det ønskede areal.
Som det fremgår af figur 13.27, skal du dele areal-beregningen i to
dele, og du kan bestemme arealet A således:
A = A1 + A2
479
480
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan starte med A1:
-1
 x3

x2
x 2 - x - 2dx =  - 2x 


-2
2
3
 -2
-1
A1 = ∫
=
 (-2)3

(-1)3
(-1)2
(-2)2
- 2 ⋅ (-2)
- 2 ⋅ (-1) - 

3
2
2
 3
= 1, 84
Herefter A2:
1, 5
 x3

x2
x 2 − x − 2dx =  −
− 2x 
3

−1
2

 −1
A2 = ∫
=
1, 5
 (−1)3

1, 52
1, 53
(−1)2
−
− 2 ⋅ 1, 5 − 
−
− 2 ⋅ (−1)

3
2
2
 3
= −4 , 17
= 4 , 17
Du kan nu bestemme det søgte areal:
A = 1,84 + 4,17
A = 6,01
Opgave 367
Du skal bestemme arealet, der begrænses af grafen for f(x) = x3, x-aksen
og linjerne x = -1 og x = 1.
Opgave 368
Du skal bestemme arealet, der begrænses af grafen f(x) = cos x og xaksen i intervallet [0 ; 2p].
Opgave 369
Du skal bestemme arealet, der begrænses af x-aksen og grafen for
f(x) = (x + 1) ⋅ (x - 3) ⋅ (x - 5).
Opgave 370
Du skal bestemme arealet, der begrænses af parablen med forskriften
f(x) = -x2 + 12x - 32, x-aksen og linjerne x = 0 og x = 10.
Bestemt integral
Opgave 371
Du skal bestemme arealet, der begrænses af grafen for f(x) = sin(2x) og
x-aksen i intervallet
p
[0 ; ].
2
(Tip: Du kan bestemme stamfunktionen F(x) ved at ”regne baglæns”).
Opgave 372
En parabel har toppunkt i (0,2), og dens graf går gennem punktet (5,4)
som vist på figur 13.28.
y
(5,4)
(0,2)
1
5
x
Figur 13.28
a) Du skal bestemme en forskrift for parablen.
b) Du skal bestemme arealet af det farvelagte område.
481
482
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Mere arealberegning
Indtil nu har du kun arbejdet med en funktion, når du skulle bestemme
et areal ved hjælp af integralregning.
Nu skal du videre og se på de forhold, der gør sig gældende, når du
skal arbejde med areal-beregning med flere funktioner.
y
f(x)
g(x)
a
Figur 13.29
b
x
Mere arealberegning
Du starter med at se på det tilfælde, hvor du skal bestemme et areal
mellem a og b, hvor f(x) er større end g(x) i hele området (se figur 13.29
og figur 13.30).
y
f(x)
a
x
b
g(x)
Figur 13.30
For begge tilfælde gælder, at
b
b
b
A = ∫ f(x )dx - ∫ g(x )dx = ∫ f(x ) - g(x )dx
a
a
a
For figur 13.29’s vedkommende er det umiddelbart indlysende, at du
kan bestemme arealet ved at integrere differensen mellem funktions­
værdierne, - ellers tænk på ”stakit”-eksemplet.
Det samme gælder imidlertid også for figur 13.30’s vedkommende,
selv om en del af det ønskede areal ligger under x-aksen.
Er du i tvivl, så se på figur 13.31. Her har du igen de to grafer f og g,
men her er de parallelforskudt i afstanden k som vist.
y
f(x) + k
g(x) + k
a
b
x
Figur 13.31
Du kan bestemme arealet således:
b
b
A = ∫ f(x ) + k -[g(x ) + k] dx = ∫ f(x ) + k - g(x ) - kdx
a
a
b
= ∫ f(x ) - g(x )dx
a
Som du ser, har konstanten ingen betydning i beregningen.
Endelig skal du se på det tilfælde, hvor graferne for to funktioner
skærer hinanden inden for det betragtede område.
483
484
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
y
g(x)
A2
A1
f(x)
a
c
x
b
Figur 13.32
Du har graferne for funktionerne f og g på henholdsvis figur 13.32 og
figur 13.33 som udgangspunkt.
y
g(x)
f(x)
A2
A1
a
c
b
x
Figur 13.33
For begge figurers vedkommende er det nødvendigt, at du kender skæ­
ringspunktet mellem de to grafer.
Du kan bestemme skæringspunktet ved at sætte f(x) = g(x) og løse
den fremkomne ligning.
Du kan også indtaste de to grafer i grafmenuen på din grafregner og
lade grafregneren hjælpe dig med at finde skæringspunktet.
I tilfældet her, er x = c.
Du kan starte med at se på figur 13.32. De to arealer A1 og A2 bestemmer
du således:
c
A1 = ∫ f(x ) − g(x )dx
a
og
b
A 2 = ∫ g(x ) − f(x )dx
c
Går du videre til figur 13.33, er det arealerne, der er beliggende mellem
x-aksen og graferne for funktionerne, du skal bestemme. Du får:
c
A1 = ∫ g(x ) dx
a
og
b
A 2 = ∫ f(x )dx
c
Som du kan se, er det graferne og deres indbyrdes beliggenhed, der er
bestemmende for, hvordan du opstiller et integral.
Det er derfor vigtigt, at du gør det helt klart, hvordan de geometriske
forhold er, inden du går i gang med at løse en opgave.
Det vil sige, at du skal:
- Indtaste funktionerne for de givne funktioner i din grafmenu.
- Du kan så skitsere graferne inden for det område, du skal arbejde med.
Mere arealberegning
- Bestemme skæringspunkterne mellem graferne for de givne
funktioner.
- Gøre dig helt klart, hvilke arealer du skal bestemme, læs
opgaveteksten omhyggeligt!
Eksempel 13.14
Du skal bestemme det areal i intervallet [1 ; 5], der er beliggende mel­
lem de to parabler, som du har givet ved forskrifterne:
f(x) = -0,5x2 + 3x + 8
g(x) = x2 - 8x + 12
For at få et overblik indtaster du funktionerne i din grafmenu på din graf­
regner. Med den baggrund kan du skitsere graferne og får et billede som
vist på figur 13.34. Du kan farvelægge det ønskedes areal på figuren.
y
f(x) = − 0,5x2 + 3x +8
A
5
x
1
g(x) = x2 − 8x + 12
Figur 13.34
Som du kan se, har du ingen behov for at bestemme skæringspunk­
terne mellem graferne, da det ønskede areal ligger i et interval, der ikke
berører skæringspunkterne.
Du kan derfor bestemme arealet således:
5
A = ∫ f(x ) - g(x )dx
1
5
= ∫ - 0 , 5x 2 + 3x + 8 - (x 2 - 8x + 12)dx
1
5
= ∫ - 0 , 5x 2 + 3x + 8 - x 2 + 8x - 12dx
1
5
= ∫ - 1, 5x 2 + 11x - 4dx
1
5
 - 1, 5x 3

11x 2
= 
+
- 4x 
 3

2

1
=
 - 1, 5 ⋅ 13

11 ⋅ 52
11 ⋅ 12
-1, 5 ⋅ 53
+
- 4 ⋅ 5 - 
+
- 4 ⋅ 1


3
2
3
2
= 54
485
486
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Her kan din grafregner også hjælpe dig, idet du ikke behøver at redu­
cere udtrykket, før du integrerer.
På figur 13.35 er vist indtastningen og resultatet af beregningen.
Figur 13.35
Eksempel 13.15
Du skal bestemme det areal, der er beliggende i 1.kvadrant, og som
begrænses af x-aksen og graferne for de to funktioner:
f(x) = x3 og g(x) = -0,5x2 + 1,5
For at få et overblik indtaster du funktionerne i din grafmenu på graf­
regneren. Med denne baggrund kan du skitsere graferne, og du får et
billede som vist på figur 13.36.
y
f(x) = x3
g(x) = −0,5x2 + 1,5
A1 A2
x
Figur 13.36
Du kan farvelægge det ønskede areal, og som du kan se, er det nødven­
digt at dele arealet i to dele og bestemme arealet som:
A = A 1 + A2
Mere arealberegning
Det giver dig nye problemer, idet du skal kende skæringspunktet mel­
lem de to grafer for at kunne gennemføre areal-beregningen.
Endvidere skal du også kende grafernes skæringspunkter med xaksen.
Du kan lade grafregneren hjælpe dig med at bestemme disse punkter.
Resultaterne bliver:
Skæringspunktet mellem grafen for f(x) og x-aksen:
(0,0).
Skæringspunktet mellem graferne for f(x) og g(x):
(1,1).
Skæringspunktet mellem grafen for g(x) og x-aksen: (1,73 ; 0).
Du kan nu bestemme arealerne:
1
 x4 
1
A1 = ∫ x 3 dx =  
4
0
 0
=
14
04
−
4
4
= 0,25
A2 = ∫
=
1, 73
1
1 , 73
 − 0, 5 ⋅ x 3

− 0 , 5x + 1, 5 dx = 
+ 1, 5x 


3

1
2
 − 0 , 53 ⋅ 13

− 0 , 5 ⋅ 1, 733
+ 1, 5 ⋅ 1
+ 1, 5 ⋅ 1, 73 − 


3
3
= 0 , 399
Det samlede areal bliver
A = 0,25 + 0,399
A = 0,649
Opgave 373
Du skal bestemme arealet af den lukkede figur, der dannes af parablen
med forskriften f(x) = -x2 + 2x + 1, og den lineære funktion med for­
skriften g(x) = -0,5x + 1.
Opgave 374
Du skal bestemme arealet af den lukkede figur, der dannes af parablen
med forskriften f(x) = x2 - 9x + 8, og den lineære funktion med for­
skriften g(x) = 0,5x + 1.
Opgave 375
Du skal bestemme arealet af den lukkede figur, der dannes af parablerne
med forskrifterne:
f(x) = -x2 + 9 og g(x) = x2 + 4x - 5
487
488
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 376
Du skal bestemme det areal, der er beliggende i 1.kvadrant, og som
begrænses af x-aksen og parablerne givet ved forskrifterne:
f(x) = x2 - 2x og g(x) = x2 - 17x + 60
Opgave 377
y
g(x) = − 0,25x2 + 1,5x + 4
9
2
x
f(x) = − 0,25x2 + 4
Figur 13.37
Du skal bestemme det på figur 13.37 viste farvede areal, når
f(x) = -0,25x2 + 4 og g(x) = -0,25x2 + 1,5x + 4
Opgave 378
Du har givet to funktioner:
f(x) = x2 - x + 5 og g(x) = -10x + 75
Du skal bestemme det areal, der begrænses af graferne for f og g, xaksen og linjerne x = 3 og x = 7.
Opgave 379
Du har givet funktionerne: f(x) = sin x og g(x) = sin (2x)
a) Du skal skitsere graferne for de to funktioner i intervallet [0 ; p].
b) Du skal bestemme koordinaterne til skæringspunkterne mellem de
to grafer.
c) De to grafer afgrænser to arealer. Du skal bestemme det samlede
areal.
(Tip: Du kan bestemme stamfunktionen G(x) ved at ”regne baglæns”).
Den naturlige logaritme
Den naturlige logaritme
Du har tidligere arbejdet med den naturlige logaritme-funktion, men
du har gjort det uden at få en egentlig definition, og ligeledes uden
forklaring til, hvordan grundtallet e var fremkommet.
Det får du nu!
Den naturlige logaritme-funktion defineres således:
x 1
f(x ) = ln x = ∫
dx
1 x
1
Du kan starte med at tegne grafen for
. Den får udseende som vist
x
på figur 13.38.
y
1
x
x
Figur 13.38
Se på definitionen og grafen.
Du får:
-Den naturlige logaritme til et tal x er et udtryk for et areal, der er
bestemt ved et integral med en nedre grænse, som er 1 og med en
øvre grænse, som er x.
- Den naturlige logaritme ln x er defineret for x > 0.
- Differentialkvotienten af ln x er lig med
1
x
(integrationsprøven).
- Den naturlige logaritme til 1 er lig med 0, altså ln 1 = 0.
(Se på figur 13.38 - når x = 1, er arealet = 0).
- Når x > 1, bliver ln x positiv (se figur 13.38 - arealet bliver positivt).
- Når 0 < x < 1, bliver ln x negativ (se figur 13.39 - arealet bliver
numerisk lig med ln x).
y
x
1
Figur 13.39
x
489
490
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Nu skal du se på tallet e. Du kan starte med at lade, som om du kender
værdien af tallet e. Du kan benytte definitionen og får:
e
e 1
ln e = ∫
dx = [ ln x ] = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1
1 x
1
Tallet e fremkommer som den øvre grænse i defintionen, der lige nøjag­
tigt giver et areal, der har værdien 1 (se figur 13.40).
y
1
2
e3
x
Figur 13.40
Du har altså, at ln e = 1.
Du kan bestemme e ved hjælp af grafregneren, og du får
e ≈ 2,71828
Dette ”skæve” tal e er grundtallet for den naturlige logaritme-funktion.
Opgave 380
1
Du skal bestemme arealet, der begrænses af grafen for f(x) = , xx
aksen og linjerne:
a) x = 1
og x = 2
b) x = 0,5 og x = 1
c) x = 2
og x = 6
Differentialkvotient af eksponentielle funktioner
Differentialkvotient af eksponentielle
funktioner
Selv om du er i kapitlet Integralregning, vil det være naturligt her at se
på differentialkvotient af eksponentielle funktioner.
Årsagen er, at du i forrige afsnit fik defineret den naturlige logarit­
mefunktion, som sådan ud:
1
∫ x dx = ln x
1
Den naturlige logaritmefunktion er altså stamfunktion til funktionen .
x
Da differentiation og integration er modsatte regningsarter, får du di­
rekte af integrationsprøven:
f ′ (x ) =
d ln x 1
=
dx
x
x>0
Du kan få et indtryk af sammenhængen mellem funktionen og dens dif­
ferentialkvotient ved at se på figur 13.41. Her har du billedet af grafen
for funktionen f(x) = ln x med tangenter til grafen indlagt i punkterne
for x = 0,5, x = 1 og x = 2.
y
f(x) = ln(x)
x
0,5
1
1,5
2
2,5
Figur 13.41
Du kan bestemme stigningstallene for disse tangenter ved at indsætte i
formlen for differentialkvotient. Du får:
1
f ′ (x ) =
x
f ′ ( 0 , 5) =
1
=2
0, 5
1
f ′ (1) = = 1
1
f ′ ( 2) =
1
= 0, 5
2
491
492
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan tjekke resultaterne på din grafregner eller et matematikpro­
gram på pc’er.
På figur 13.42, figur 13.43 og figur 13.44 har du resultaterne fra en graf­
regner.
Figur 13.42
Figur 13.43
Figur 13.44
Du har også den almindelige logaritmefunktion f(x) = log x . Her er
reglen:
f ′ (x ) =
d log x
1
=
dx
x ⋅ ln 10
x>0
Når du skal vise, hvordan denne regel fremkommer, tager du udgangs­
punkt i definitionen på et tals logaritme. Den har du fra tidligere kapit­
ler, og den ser således ud:
x = 10 log x
Herefter kan du benytte logaritmeregnereglerne og tage den naturlige
logaritme på begge sider:
ln x = log x ⋅ ln 10
Du løser ligningen med hensyn til log x:
log x =
ln x
1
= ln x ⋅
ln 10
ln 10
Du kan nu differentiere og får:
1 1
1
=
x ln 10 x ⋅ ln 10
(log x)′ = ⋅
Hermed har du fået vist, hvordan regnereglen fremkommer.
Herefter skal du se på funktionen:
f(x) = ex , som har differentialkvotienten f ′(x) = ex
Som du kan se, er funktionen og dens differentialkvotient det samme.
Det er specielt, men du kan få synliggjort reglen ved at benytte definitio­
nen på differentialkvotient. Kan du huske den? – ellers får du den her:
f (x + ∆x ) - f (x )
∆y
= lim
∆x→0 ∆y
∆x→0
∆x
lim
Differentialkvotient af eksponentielle funktioner
Du kan starte med at se på grafen for f(x) = ex som vist på figur 13.45.
y
f(x) = ex
∆y
ex+∆x
∆x
ex
x
x+∆x
x
Figur 13.45
Overfører du figurens benævnelser til definitionen på differentialkvo­
tient, får du:
∆y
ex+∆x - ex
lim
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
Du kan lave en lille omskrivning. Du får:
∆y
ex ⋅ e∆x - ex
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
lim
Du kan sætte ex uden for en parentes:
 e∆x - 1
∆y

= lim ex ⋅ 
∆x→0 ∆x
∆x→0
 ∆x 
lim
Du skal nu betragte brøken i udtrykket:
e∆x -1
∆x
Du kan nu give ∆x forskellige værdier.
Du kan starte med
∆x = 1 og derefter ∆x = 0,1 og ∆x = 00,1 og ∆x = 0,001.
Udregnet får du følgende værdier:
e0 , 01 - 1
e0 ,1 - 1
e1 - 1
= 1, 005
= 1, 05
= 1, 718
0 , 01
0, 1
1
e0 , 001 - 1
= 1, 0005
0 , 001
Som det fremgår af beregningerne, vil du få værdier af brøken, der
nærmer sig 1, når ∆x bliver mindre og mindre og nærmer sig 0.
493
494
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan derfor sætte grænseværdien for brøken til 1, når ∆x går mod 0.
Nu kan du vende tilbage til udtrykket for differentialkvotienten og
indsætte grænseværdien. Det giver:
 e∆x - 1
∆y
 = ex ⋅ 1 = ex
lim
= lim ex ⋅ 
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
 ∆x 
Hermed har du fået synliggjort reglen.
Du mangler funktionen:
f(x) = a x , som har differentialkvotienten f ′(x) = a x ⋅ ln a
Når du skal vise, hvordan denne regel fremkommer, skal du starte med
lidt omskrivning:
x
a x = e ln a = ex⋅ln a
Herefter kan du differentiere funktionen som en sammensat funktion.
Du får:
da x
dex⋅ln a dx ⋅ ln a
=
⋅
dx
dx ⋅ ln a
dx
Det bliver så:
da x
= ex⋅ln a ⋅ ln a = a x ⋅ ln a
dx
Hermed har du fået eftervist reglen.
Eksempel 13.16
Du har givet funktionen: f(x) = 2x + 1
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet,
hvor x =1.
a)
Du benytter regnereglen for bestemmelse af differentialkvotienten og får:
f ′(x) = 2x · ln 2 + 0 = 2x · ln 2
b)
Du har fra tidligere ligningen for en ret linje: y − y1 = a(x − x1). Her skal
du kende linjens stigningstal a og et punkt (x1, y1) for at kunne indsætte
i ligningen.
Linjens stigningstal a er det samme som differentialkvotienten i det
betragtede punkt.
Differentialkvotient af eksponentielle funktioner
Du har x = 1, og du får stigningstallet a ved at bestemme differen­
tialkvotienten f’(1):
a = f ′(1) = 21 · ln 2 = 1,386
Du skal også have bestemt y1 = f(1):
y 1 = f(1) = 21 + 1 = 3
Nu har du et stigningstal og koordinaterne til et punkt og kan indsætte
i ligningen for den rette linje:
y - 3 = 1,386(x - 1)
Du kan reducere og får:
y = 1,386x + 1,614
Resultaterne kan kontrolleres ved hjælp af grafregner eller matematikprogram. Her får du hjælp af en grafregner og på figur 13.46 har du grafen
for f, og på figur 13.47 har du tangenten med dens ligning indtegnet.
Figur 13.46
Figur 13.47
Opgave 381
Du har givet funktionen: f(x) = ex
a) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det
punkt, hvor x = 0.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det
punkt, hvor x = 1.
Opgave 382
I et retvinklet koordinatsystem har du givet to punkter A(2,20) og
B(5,220).
a) Du skal bestemme en regneforskrift for den eksponentielt voksende
funktion, hvis graf går gennem punkterne A og B.
b) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
c) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for funktionen
i punkt A.
495
496
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 383
Du har givet en funktion: f(x) = ln x − x2
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet,
hvor x = 1.
c) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet,
hvor x = 2.
Opgave 384
Du har givet en funktion: f(x) = e2x
a) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet,
hvor x = 0
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i punktet,
hvor x = 1.
Opgave 385
Du har givet en funktion: f (x ) =
5 ⋅ ln x
x
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme koordinaterne til funktionens evt. maksimums-/
minimumspunkter.
c) Du skal skitsere grafen for f med angivelse af
- enheder på akserne
- evt. skæringspunkter med akserne
- evt. maksimums-/minimumspunkter.
Opgave 386
Du har givet en funktion: f (x ) = 4 ⋅ x ⋅ e-x
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme koordinaterne til funktionens evt. maksimums-/
minimumspunkter.
c) Du skal skitsere grafen for f med angivelse af
- enheder på akserne
- evt. skæringspunkter med akserne
- evt. maksimums-/minimumspunkter.
Integration af eksponentielle funktioner
Opgave 387
Du har givet en funktion: f(x) = e2x + e−x
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme koordinaterne til funktionens evt. maksimums-/
minimumspunkter.
c) Du skal skitsere grafen for f med angivelse af
- enheder på akserne
- evt. skæringspunkter med akserne
- evt. maksimums-/minimumspunkter.
Integration af eksponentielle funktioner
Du får lige en repetition.
Skal du bestemme stamfunktionen F(x) til en funktion f(x), er det inte­
gralregningen, der klarer det. Symbolsk ser det således ud:
F(x) = ∫ f(x)dx + k
Du havde også integrationsprøven, som sagde, at differentierede du
stamfunktionen F(x), ville du få funktionen f(x). Det ser således ud:
F ′(x) = f(x)
Differential- og integralregning er jo modsatrettede regneoperationer,
så ved at regne ”baglæns” kan du bestemme regneregler for forskel­
lige funktioners integral. Du får herunder i skemaet integralet af de fire
funktioner, du arbejdede med i forrige afsnit. For overskuelighedens
skyld er integrationskonstanten k udeladt.
Funktion f(x)
Stamfuntion F(x ) = ∫ f(x)dx
In x
x · In x – x
log x
x ⋅ log x -
ex
ex
ax
ax ⋅
1
ln a
x
ln10
497
498
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan benytte integrationsprøven til at kontrollere, om du har regnet
rigtigt.
Du kan prøve med f(x) = In x.
Du skal differentiere stamfunktionen F(x) = x · In x – x
F ′(x ) = In x :
1
F ′(x) = 1 ⋅ ln x + x ⋅ - 1
x
og få
F ′(x) = ln x + 1 - 1 = ln x
Det var jo i orden. I øvrigt er det en mulighed, du kan benytte som kon­
trol, når du har bestemt et integral.
Eksempel 13.17
Du skal bestemme følgende ubestemte integral: ∫ 3 + 7 x - ex + 3x dx
Du benytter regnereglerne og får:
x
x
∫ 3 + 7 x - e + 3 dx = 3x + 7 ⋅
x2
1
- e x + 3x ⋅
+k
2
ln 3
Har du CAS-program på din grafregner, vil indtastning og resultat se
ud som vist på figur 13.48.
Figur 13.48
Du skal bemærke, at integrationskonstanten k er udeladt.
Eksempel 13.18
3
Du skal bestemme følgende bestemte integral: ∫ ln x + 4 x dx
2
Du benytter regnereglerne og definitionen på bestemt integral. Du får:
3

1 
x
x
∫2 ln x + 4 dx = x ⋅ ln x - x + 4 ⋅ ln 4  2
3
= 3 ⋅ ln 3 - 3 + 4 3 ⋅
= 35, 53

1 
1
- 2 ⋅ ln 2 - 2 + 4 2 ⋅


ln 4 
ln 4 
Integration ved substitution
Du får her på figur 13.49 indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.49
Opgave 388
Du skal bestemme følgende ubestemte integraler:
x
x
a) ∫ 5 - x 2 + 4x 3dx
b) ∫ e + 2x dx c) ∫ logx + 4 dx
d) ∫ lnx - 2x + x-1dx
Du skal bestemme følgende bestemte integraler:
4
2
2
e) ∫ ex dx
f) ∫ ln x dx
g) ∫ 3x dx
0
3
0
h)
4
∫ log x dx
3
Integration ved substitution
Teorien bag de teknikker, du skal anvende, når du skal bestemme stam­
funktionen til en sammensat funktion, er meget omfattende og vil falde
helt uden for denne bogs rammer. Her kan du få hjælp af din grafregner
eller et matematik-program på din pc’er.
De teknikker, du vil få beskrevet i det følgende, vil derfor kun ud­
gøre en lille del af dette meget store område.
Inden du skal i gang, får du en lille omskrivningsteknik, som vil
være dig til stor hjælp i det kommende.
499
500
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Hvis du har
y = f (x ) , er
dy
= f ′ (x ) og videre dy = f ′ (x ) dx
dx
hvor dy kaldes differentialet af y.
Substitution betyder ”at erstatte”, og har du et integral
∫ f(x) dx
kan du substituere det med et nyt integral
∫ g(u) du
som du forhåbentlig kan bestemme, og du får en stamfunktion G(u).
Herefter skal du så tilbage og have genindført “x” og bestemme
stamfunktionen F(x).
Det at ”substituere” vil du få at se i nogle eksempler og efterføl­
gende få lejlighed til at prøve.
Eksempel 13.19
Du skal bestemme stamfunktionen til ∫ (2x + 5)5 dx
Du kan løse opgaven ved at udregne (2x + 5)5 og derefter integrere led
for led. Det vil imidlertid blive noget af et ”slavearbejde”, så du må i
gang med at substituere. Du sætter
u = 2x + 5
Ser du på integralet, har du substitueret parentesen 2x + 5 med u, men
mangler ”noget” at substituere “dx”med.
Du bestemmer differentialkvotienten:
du
= 2 og videre : du = 2 dx
dx
Du løser ligningen med hensyn til dx:
1
dx = du
2
Du kan nu få et substitutionsintegrale og bestemme stamfunktionen
G(u):
1
1
1 u 5 +1
1
G(u) = ∫ u 5 ⋅ du = ∫ ⋅ u 5 du = ⋅
+ k u = u6 + k u
2
2
2 5+1
12
Du substituerede 2x + 5 med u. Du kan nu gå den modsatte vej og er­
statte u med 2x + 5 og hermed bestemme stamfunktionen G(x):
G(x) =
1
⋅ (2x + 5)6 + k
12
Integration ved substitution
Også her kan CAS-programmet hjælpe dig. På figur 13.50 får indtast­
ning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.50
Integrationskonstanten k er ikke med.
Eksempel 13.20
Du skal bestemme stamfunktionen til ∫ 1 - 2x 2 ⋅ x dx
1
Du starter med at omskrive således: ∫ (1 - 2x 2 ) 2 ⋅ x dx
Du substituerer således:
u = 1 – 2x2
Ser du på integralet, mangler du at substituere ”x dx”.
Du bestemmer differentialkvotienten:
du
= -4x og videre: du = -4x dx
dx
Du løser ligningen med hensyn til x dx.
1
x dx = - du
4
Du kan nu danne et substitutions-integrale og bestemme stamfunktio­
3
nen G(u):
1
1
2


1
1
1
4
1 3
G(u) = ∫ u 2 ⋅ -  du = - ∫ u 2 du = - ⋅ + k u = - ⋅ u 2 + k u
 4 
4
4 3
6
2
Nu kan du komme tilbage og bestemme stamfunktionen G(x) ved at
erstatte u med (1 – 2x2). Du får:
3
1
G(x) = - ⋅ (1 - 2x 2 ) 2 + k
6
Du får på figur 13.51 indtastning og resultat fra eksemplet. Du skal be­
mærke, at resultatet ser lidt anderledes ud, hvilket skyldes, at grafreg­
neren angiver resultatet som en rodstørrelse.
Figur 13.51
501
502
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Eksempel 13.21
Du skal bestemme stamfunktionen til ∫ sin(5x)dx
Du skal have substitueret ”5x” og ”dx”.
Du starter med at sætte
u = 5x og differentierer
du
1
= 5 og videre du = 5 dx og dx = du.
dx
5
Så er du klar til at bestemme et substitutions-integrale og stamfunktio­
nen G(u). Du får:
1
1
1
1
G(u) = ∫ sin u ⋅ du = ∫ sin udu = (- cos u) + k u = - cos u + k u
5
5
5
5
Så er du klar til at gå tilbage og erstatte u med 5x og bestemme stam­
funktionen G(x).
1
G(x) = - cos( 5x ) + k
5
Du får på figur 13.52 indtastning og resultat fra eksemplet, hvor inte­
grationskonstanten k ikke er med.
Figur 13.52
Opgave 389
Du skal bestemme stamfunktionerne til følgende integraler:
a)
∫ (2x + 1) dx
d)
∫
4
b) ∫
1
dx
2+x
1
dx
( 3x + 4 ) 4
c) ∫
2 + x dx
Opgave 390
Du skal bestemme stamfunktionerne til følgende integraler:
a)
∫ 3 + 4x ⋅ x dx
2
x2
dx
d) ∫
3 + 2x 2
b) ∫
x
3
2
x +2
dx
c) ∫ (3 - 2x 3 ) ⋅ x 2 dx
5
Delvis integration eller partiel integration
Opgave 391
Du skal bestemme stamfunktionerne til følgende integraler
a)
∫ 2 cos(3x) dx
d)
∫5
4 x +1
b) ∫ sin ( 4x + 6) dx
c) ∫ 5e-5 x dx
dx
Delvis integration eller partiel integration
Du skal forestille dig, at du har et produkt u(x) · v(x), som du skal in­
tegrere.
Du får her regnereglen, som ser således ud:
∫ u(x) ⋅ v(x)dx = U(x) ⋅ v(x) - ∫ U(x) ⋅ v ′(x)dx
U(x) er stamfunktion til u(x), og v’(x) er differentialkvotienten af v(x).
Reglen ser lidt mystisk ud, idet den på ”venstre side” starter med et in­
tegral af et produkt, der på ”højre side” bliver til en differens, hvori der
indgår nye produkter, og hvor det sidste led indeholder et nyt integral.
Fidusen ved denne omskrivning ligger i, at du på ”højre-siden” får
et nyt integral, der forhåbentlig er nemmere at løse end det første.
Du kan starte med at vise rigtigheden af reglen. Du kan tage udgangs­
punkt i produktet:
U(x) · v(x)
Du differentierer produktet, og reglen har du fra kapitel 12 ”Differen­
tialregning”. Du får:
(U(x ) ⋅ v(x ))′ = U ′(x ) ⋅ v(x ) + U(x ) ⋅ v ′(x)
Herefter integrerer du på begge sider af lighedstegnet:
∫ (U(x) ⋅ v(x))′dx = ∫ U ′(x) ⋅ v(x) dx + ∫ U(x) ⋅ v ′(x) dx
Du ser først på ”venstre-siden”. Da differentiation og integration er
modsat rettede regneoperationer, ophæver de hinanden.
Endvidere har du, at U ′(x ) = u(x ) . Herefter kan du skrive ligningen:
U (x ) ⋅ v (x ) = ∫ u (x )⋅v(x) dx + ∫ U(x) ⋅ v ′ (x ) dx
Nu mangler du blot at flytte lidt rundt på leddene, så har du reglen:
U (x ) ⋅ v (x ) = U (x ).v ′(x)dx + u(x ) ⋅ v (x ) dx
∫
∫
Den praktiske anvendelse af reglen får du i det kommende eksempel.
503
504
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Eksempel 13.22
Du skal bestemme følgende integral: ∫ x ⋅ cos x dx
Du kan vælge at sætte u(x) = x og v(x) = cos x. Du får så:
1
U (x ) = ∫ x dx = x 2 og v ′ (x ) = - sin x
2
Du kan så indsætte i formlen:
1 2
1 2
∫ x ⋅ cos x dx = 2 x ⋅ cos x - ∫ 2 x ⋅ (- sin x)dx
Det var et uheldigt valg, idet det sidste integral er besværligere end det
første. Der er ikke andet at gøre end at vælge om.
Du sætter u(x) = cos x og v(x) = x. Denne gang får du så:
U (x) = ∫ cos x dx = sin x og
v ′ (x ) = 1
Du kan igen indsætte i formlen:
∫ x ⋅ cos x dx = sin x ⋅ x - ∫ sin x ⋅ 1 dx
= x ⋅ sin x - (- cos x ) + k
= x ⋅ sin x + cos x + k
Det var jo et meget bedre valg. Du kan komme ud for at måtte vælge
om som i eksemplet. Umiddelbart bør du vælge v(x), således at diffe­
rentialkvotienten v’(x) giver et integral, du kan bestemme.
Her kan CAS-programmet også hjælpe. På figur 13.53 får indtastning
og resultat fra eksemplet.
Figur 13.53
Opgave 392
Du skal bestemme stamfunktionerne til følgende integraler:
∫ 2x ⋅ sin x dx
d) ∫ x ⋅ e dx
a)
2x
b) ∫ x ⋅ sin (2x)dx
c)
∫ x ⋅ ln x dx
Omdrejningslegemer
505
Opgave 393
Du har givet funktionen: f (x ) =
1
1
+
x x ⋅ ln x
d) Du skal skitsere grafen for f i intervallet ]1;4[
3
e) Du skal bestemme arealet A = ∫ f(x)dx
2
Opgave 394
Du har givet funktionen: f(x) = e2x – 3ex + 1
Du skal bestemme arealet, der er begrænset af grafen for f og x-aksen.
Opgave 395
Du har givet funktionerne: f (x ) = x + e-2 x og g (x ) = -0 , 4x + 0 , 5
a) Du skal skitsere graferne for f og g i samme koordinatsystem.
2
b) Du skal bestemme arealet A = ∫ f(x ) - g(x) dx
1
Omdrejningslegemer
Du skal nu se, hvorledes integralregningen kan anvendes i forbindelse
med beregning af rumfang. Du kan starte med at se på figur 13.54, som
umiddelbart kunne forestille at være mange ting.
Det kunne være en lampeskærm eller en hat, og vendes figuren på ho­
vedet, kunne det være en vase eller en beholder. Det kunne også være
en massiv ”dims”, som skulle bruges som element i en eller anden kon­
struktion.
Figur 13.54
506
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Forestil dig, at ”dimsen” skal fremstilles af et massivt, rundt stykke
materiale. Materialet spændes op i en drejebænk, og hvis ”dimsen”
skal have den ønskede form, skal drejebænken programmeres, således
at drejestålet følger konturlinjen som vist på figur 13.55.
Figur 13.55
Et legeme, som fremstilles på denne måde, kaldes et omdrejnings­
legeme, og sådanne legemer kan du møde mange steder − hos trædre­j­eren, glaspusteren, keramikeren osv.
Du kan også møde omdrejningslegemer, som fremkommer ved drej­
ning af et areal om en akse.
y
x
Figur 13.56
Du skal forestille dig, at du har et rektangel som vist på figur 13.56, som
du drejer 360° om x-aksen. Herved får du et omdrejningslegeme, som
har form som en cylinder som vist på figur 13.57.
x
Figur 13.57
Du kan også dreje rektanglet 360° om y-aksen. Her får du også en cylin­
der som vist på figur 13.58, men med helt andre dimensioner, end når
du drejede om x-aksen.
y
Figur 13.58
Omdrejningslegemer
y
x
Figur 13.59
På figur 13.59 har du en trekant, og drejer du den 360° om x-aksen, får du et
omdrejningslegeme, som har form som en kegle som vist på figur 13.60.
x
Figur 13.60
Drejer du trekanten 360° om y-aksen som vist på figur 13.61, får du et
omdrejningslegeme, som udvendigt har form som en cylinder og ind­
vendigt et hulrum med form som en kegle.
y
Figur 13.61
y
x
Figur 13.62
På figur 13.62 har du en halvcirkel, og drejer du den 360° om x-aksen,
får du et omdrejningslegeme, som har form som en kugle som vist på
figur 13.63.
x
Figur 13.63
Når du senere skal til at bestemme rumfang af omdrejningslegemer, er
det beregningsmæssige udgangspunkt, at det areal, der drejes, kun lig­
ger på den ene side af omdrejningsaksen.
Du har derfor et problem med halvcirklen, hvis du skal dreje den
omkring y-aksen.
507
508
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Halvcirklen bliver delt af y-aksen i to arealer, som ligger på hver sin
side af omdrejningsaksen, og det går som nævnt ikke.
y
Figur 13.64
Du må derfor gå på et geometrisk kompromis og dreje en kvart cirkel
som vist på figur 13.64. Her får du så et omdrejningslegeme med form
som en halvkugle.
y
x
Figur 13.65
Har du et rektangel som vist på figur 13.65 og drejer det 360° om xaksen, får du et omdrejningslegeme med form som en ring som vist på
figur 13.66.
y
x
Figur 13.66
Drejer du rektanglet 360° om y-aksen, får du også et ringformet omdrej­
ningslegeme som vist på figur 13.67.
y
Figur 13.67
Rumfang ved drejning af areal om x-akse
Rumfang ved drejning af areal om x-akse
Nu har du set på omdrejningslegemer, som fremkom ved drejning af
geometriske figurer som rektangel, trekant og halvcirkel. Nu skal du
videre og forestille dig, at du har grafen for en funktion f som vist på
figur 13.68.
f
y
a
x
b
Figur 13.68
Du har et interval [a;b], og arealet i intervallet drejes 360° om x-aksen.
Herved får du et omdrejningslegeme med form som vist på figur 13.69.
f(x)
y
a
b
x
Figur 13.69
Rumfanget af omdrejningslegemet kan du bestemme af følgende formel:
b
2
Vx = π ∫ f (x ) dx
a
509
510
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan vise, hvorledes formlen er fremkommet, ved at se på integrati­
onsprøven. Den siger, at
Vx′ = π ⋅ f(x )2
Du skal nu eftervise, at denne regel er gældende.
Du kan tage udgangspunkt i figur 13.70, hvor du betragter en lille
arealstrimmel i intervallet. Arealstrimlen har bredden ∆x.
f
y
f(x)
∆Vx
f(x+∆x)
x
x
∆x
x+∆x
Figur 13.70
Drejer du arealstrimlen 360° om x-aksen, får du et omdrejningslegeme
som vist på figur 13.71.
f
y
f(x+∆x)
f(x)
x
∆x
∆x
∆x
Figur 13.71
Rumfanget af skiven kalder du ∆Vx.
Du skal nu have opstillet en dobbeltulighed og for at komme i gang,
skal du forestille dig, at du har to små ekstra skiver som vist på figur
13.71. De har begge bredden ∆x.
Den mindste skive har en radius f(x) og får dermed et rumfang, du
kan skrive som:
2
V1 = π ⋅ f (x ) ⋅ ∆x (Arealet af en cirkel er π · r2)
Den største skive har en radius f(x + ∆x) og får dermed et rumfang, du
kan skrive som:
2
V2 = π ⋅ f (x + ∆x ) ⋅ ∆x
Du kan nu opstille dobbeltuligheden:
V1 < ∆Vx < V2
Rumfang ved drejning af areal om x-akse
Du kan indsætte formlerne for rumfangene V1 og V2:
π ⋅ f(x )2 ⋅ ∆x < ∆Vx < π ⋅ f(x + ∆x )2 ⋅ ∆x
Du dividerer alle led med ∆x. Du får:
∆Vx
π ⋅ f(x )2 <
< π ⋅ f(x + ∆x )2
∆x
Du skal nu i gang med en grænseværdibetragtning, og du skal forestille
dig, at ∆x bliver mindre og mindre og går mod 0.
Din dobbeltulighed kommer nu til at se således ud:
∆Vx
2
2
lim π ⋅ f (x ) < lim
< lim π ⋅ f (x + ∆x )
∆x
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0
Du indsætter grænseværdien for ∆x → 0. Du får:
∆Vx
2
2
π ⋅ f (x ) = lim
= π ⋅ f (x )
∆x→0 ∆x
Som du ser, er yderleddene i dobbeltuligheden nu blevet ens, og du kan
derfor erstatte ulighedstegnene med lighedstegn.
Leddet lim
∆x→0
∆Vx
∆x
er jo et udtryk for differentialkvotienten, som kan skrives enklere som
Vx′
Herved har du, at
2
Vx′ = π ⋅ f (x )
Går du tilbage til integrationsprøven i starten af afsnittet, kan du se, at
det jo netop var det, du skulle vise.
Eksempel 13.23
Du har givet parablen med forskriften: f(x) = –x2 + 4
Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkom­
mer, når arealet af den del af parablen, der er beliggende over x-aksen,
drejes 360° om x-aksen.
511
512
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
For at få et overblik tegner du en skitse af parablen indlagt i et koordi­
natsystem.
Du skal have bestemt skæringspunkterne med x- og y-aksen.
Det kan du gøre ved hjælp af din grafregner eller et matematikpro­
gram.
Du får (− 2,0), (2,0) og (0,4).
Du har herved figur 13.72, der viser arealet, der skal drejes 360° om
x-aksen.
y
(0,4)
(−2,0)
(2,0)
x
Figur 13.72
Du kan herefter bestemme rumfanget:
b
2
a
2
(-x 2 + 4) dx
-2
Vx = π ∫ f (x ) dx = π ∫
2
2
= π ∫ x 4 - 8x 2 + 16 dx
-2
2
 x 5 8x 3

= π⋅ + 16x 
5

3

 -2
 5

 (-2)5 8 ⋅ (-2)3
 2
8 ⋅ 23
= π ⋅  + 16 ⋅ 2 - 
+ 16 ⋅ (-2)
 5
  5

3
3

Vx = 107 , 23
Her er medtaget alle mellemregninger, men du kan også benytte din
grafregner eller et matematikprogram, der kan spare dig for ”slavear­
bejdet” med mellemregningerne.
På figur 13.73 er vist indtastning og resultat fra eksemplet.
Figur 13.73
Rumfang ved drejning af areal om x-akse
Opgave 396
Du har givet en funktion: f(x) = x3
a) Du skal tegne en skitse af grafen for funktionen indlagt i et koordi­
natsystem.
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det areal, der begrænses af grafen for funktionen, lin­
jerne x = 0 og x = 1, drejes 360° om x-aksen.
Opgave 397
Du har givet en funktion: f(x) = x2 + 2
a) Du skal tegne en skitse af grafen for funktionen indlagt i et koordi­
natsystem.
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det areal, der begrænses af grafen for funktionen, lin­
jerne x = 1 og x = 4, drejes 360° om x-aksen.
Opgave 398
Du har givet et rektangel som vist på figur 13.74.
y
(h,r)
x
Figur 13.74
Du skal bestemme en formel for rumfanget af den cylinder, der frem­
kommer, når rektanglet drejes 360° om x-aksen.
Opgave 399
Du har givet ligningen for en cirkel: x2 + y2 = 32
a) Du skal tegne en skitse af cirklen indlagt i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme rumfanget af den kugle, der fremkommer, når
halvcirklen, der er beliggende over x-aksen, drejes 360° om x-aksen.
513
514
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 400
Du har givet ligningen for en cirkel: x2 + y2 = r2
a) Du skal tegne en skitse af cirklen indlagt i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme en formel for rumfanget af den kugle, der frem­
kommer, når halvcirklen, der er beliggende over x-aksen, drejes
360° om x-aksen.
Opgave 401
Du skal forestille dig, at den på figur 13.75 viste trekant drejes 360° om
x-aksen. Herved fremkommer en kegle, hvor radius i grundfladen er
lig med r, og hvor keglens højde er lig med h.
y
(0,r)
(0,0)
(h,0)
x
Figur 13.75
a) Du skal bestemme en ligning for den rette linje, der går gennem
punkterne (0,r) og (h,0).
b) Du skal bestemme en formel for keglens rumfang.
Opgave 402
Du skal forestille dig, at det på figur 13.76 viste trapez drejes 360° om
x-aksen. Herved fremkommer en keglestub, hvor radius i den store
grundflade er lig med R, og hvor radius i den lille grundflade er lig
med r. Keglestubbens højde er lig med h.
y
(0,R)
(h,r)
(0,0)
x
Figur 13.76
a) Du skal bestemme en ligning for den rette linje, der går gennem punk­
terne (0,R) og (h,r).
b) Du skal bestemme en formel for keglestubbens rumfang.
Rumfangsberegning med flere funktioner
Rumfangsberegning med flere funktioner
Du skal forestille dig, at du arbejder med to funktioner f og g som vist
på figur 13.77.
y
f(x)
g(x)
x
a
b
Figur 13.77
Du har et interval [a;b] og et areal mellem de to grafer.
Drejer du arealet 360° om x-aksen, får du et ringformet omdrejnings­
legeme, hvis rumfang du kan bestemme således:
b
2
2
Vx = π ∫ f (x ) - g (x ) dx
a
Her skal du passe på! Det er f(x)2 − g(x)2 og ikke (f(x) − g(x))2. Bemærk
forskellen!
Hvis graferne skærer hinanden i det betragtede interval som vist på
figur 13.78, har du en anden situation.
y
g(x)
1
2
3
4
f(x)
x
a
c
b
Figur 13.78
Du skal starte med at bestemme skæringspunktet, og det gør du ved at
løse ligningen:
f(x) = g(x). Forestil dig, at du får løsningen x = c.
Herefter er det vigtigt, at du gør dig det klart, hvilket rumfang du
skal bestemme.
Som vist på figur 13.78 er der fire arealer, og drejer du dem 360° om
x-aksen, får du fire forskellige rumfang.
515
516
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Med udgangspunkt i figur 13.78 kan du opstille følgende integraler
og få de fire rumfang:
c
2
2
V1x = π ∫ f (x ) - g (x ) dx
a
b
2
c
2
b
2
2
V2x = π ∫ g (x ) - f (x ) dx
c
V3x = π ∫ g (x ) dx
a
V4x = π ∫ f (x ) dx
c
Som det fremgår, er det vigtigt, at du gør dig de geometriske forhold
helt klart, inden du går i gang med at løse et problem. Det vil sige, at du
tegner en skitse af de givne funktioner i et koordinatsystem. Det giver
et godt overblik, og gør det meget nemmere for dig, når du skal i gang
med beregningerne. Det vil du se i det kommende eksempel.
Eksempel 13.24
Du har givet funktionen f(x) = 4x − x2, som sammen med x-aksen af­
grænser et areal i 1. kvadrant
Arealet deles i to områder af en ret linje med forskriften g(x) = x.
De to områder drejes 360° om x-aksen.
Du skal bestemme rumfanget af hvert af de to fremkomne omdrej­
ningslegemer.
Umiddelbart kan det virke uoverskueligt, men ved at tegne en skitse
får du et godt overblik til at planlægge et beregningsforløb.
Du indtegner derfor graferne for f og g i et koordinatsystem som
vist på figur 13.79.
y
y=x
3
1
2
1
2a
2b
f(x)
x
1
2
3
Figur 13.79
Nu har du et godt overblik.
Rumfangsberegning med flere funktioner
Du kan starte med at dele arealet i et areal 1 og et areal 2.
Areal 2 er du så nødt til at dele yderligere, nemlig i areal 2a og i areal
2b.
Endvidere skal du også have bestemt skæringspunkterne mellem f
og g.
Det gør du ved at sætte f(x) = g(x) og løse ligningen. Du får:
4x - x 2 = x
x 2 - 3x = 0
x (x - 3) = 0
x = 0 eller x = 3.
Du har nu bestemt integrationsgrænserne og kan gå videre med at be­
stemme rumfangene:
3
V1x = π ∫ ( 4x - x 2 )2 - x 2 dx
0
Du kan lade din grafregner eller matematikprogram klare det manuelle
”slavearbejde”. Du får:
V1x = 67,86
Du deler V2x op i V2ax og V2bx.
Først:
3
V2 ax = π ∫ x 2 dx
0
V2 ax = 28 , 27
Derefter:
4
V2 bx = π ∫ ( 4x - x 2 ) dx
2
3
V2 bx = 11, 10
V2x bliver så:
V2 x = 28 , 27 + 11, 10
V2 x = 39, 37
Opgave 403
2
Du har givet to funktioner: f (x ) = x −1 o g g (x ) = −x +1
a) Du skal tegne en skitse af graferne for de to funktioner indlagt i et
koordinatsystem.
b) Du skal bestemme arealet, der afgrænses af graferne for f og g.
c) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når den del af ovenstående areal, der er beliggende i 2.
kvadrant, drejes 360° om x-aksen.
517
518
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 404
Du har givet to funktioner: f (x ) = 0 , 5x 2og g (x ) = x
a) Du skal tegne en skitse af graferne for de to funktioner indlagt i et
koordinatsystem.
b) Du skal bestemme det areal, der afgrænses af graferne for f og g.
c) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når arealet drejes 360° om x-aksen.
Opgave 405
Du har givet to ligninger: x · y = 4 og 4x + 3y = 16
a) Du skal bestemme arealet af det område, der afgrænses af graferne
for ligningerne.
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når arealet drejes 360° om x-aksen.
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen
Du skal nu videre og se på rumfangsberegninger, hvor drejningen af et
areal foregår om y-aksen. Her er to formler, du skal arbejde med. Start
med at se på figur 13.80.
y
f(x)
x
a
b
Figur 13.80
Du har et areal, der er afgrænset af grafen for en funktion f , linjerne x
= a og x = b og x-aksen. Forestil dig, at du drejer dette areal 360° om yaksen. Herved får du et ringformet legeme, hvis rumfang kan bestem­
mes af formlen:
b
Vy = 2 ⋅ π ∫ x ⋅ f (x )dx
a
Du kan eftervise formlen ved at tage udgangspunkt i integrationsprø­
ven, som siger:
Vy ′ = 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ f (x )
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen
Du kan starte med at se på figur 13.81, hvor du har en lille areal-strim­
mel i det betragtede interval.
y
f(x)
y=f(x)
x
x
∆x
Figur 13.81
Drejer du areal-strimlen 360° om y-aksen, får du et ringformet omdrej­
ningslegeme, hvis rumfang kan bestemmes således:
2
∆Vy = π (x + ∆x ) ⋅ f (x ) - π ⋅ x 2 ⋅ f (x )
Du kan sætte π ⋅ f (x ) uden for en parentes:
(
2
∆Vy = π ⋅ f (x ) ⋅ (x + ∆x ) - x 2
)
Du kan udregne den inderste parentes:
∆Vy = π ⋅ f (x ) ⋅ (x 2 + ∆x 2 + 2 ⋅ x ⋅ ∆x - x 2 )
∆Vy = π ⋅ f (x ) ⋅ (∆x 2 + 2 ⋅ x ⋅ ∆x)
Du ganger ind i parentesen:
∆Vy = π ⋅ f (x ) ⋅ ∆x 2 + π ⋅ f(x) ⋅ 2 ⋅ x ⋅ ∆x
Du dividerer alle led med ∆x:
∆Vy
∆x
= π ⋅ f (x ) ⋅ ∆x + π ⋅ f (x ) ⋅ 2 ⋅ x
Nu skal du i gang med en grænseværdibetragtning, idet du lader
∆x → 0 . Du får:
∆Vy
lim
= π ⋅ f (x ) ⋅ 0 + π ⋅ f (x ) ⋅ 2 ⋅ x
∆x→0 ∆x
lim
∆x→0
∆Vy
∆x
= π ⋅ f (x ) ⋅ 2 ⋅ x
”Venstre-siden” er jo en skriveform for differentialkvotienten, så enk­
lere kan det skrives således:
Vy ′ = π ⋅ f (x ) ⋅ 2 ⋅ x = 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ f (x )
Hermed er du tilbage til udgangspunktet og har fået vist, at stamfunk­
tionen Vy er en ”rumfangs”-funktion.
Den anden formel du skal arbejde med, tager udgangspunkt i rum­
fangs-formlen for drejning af et areal om x-aksen.
519
520
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du har figur 13.82, som viser grafen for en funktion f og et areal i et
interval [a;b].
y
g=f(x)
f(b)
f(a)
x
a
b
Figur 13.82
Formlen for rumfanget, der fremkommer ved en drejning af et areal
360° om x-aksen så således ud:
b
2
Vx = π ∫ f (x ) dx
a
Når funktionen er kontinuert og voksende i intervallet, vil den have en
omvendt funktion, og drejer du det ”farvede” areal 360° om y-aksen,
får du et omdrejningslegeme, hvis rumfang du kan bestemme således:
Vy = π ∫
f( b)
f ( a)
x 2dy
Du har som nævnt to formler, når du drejer et areal 360° om y-aksen.
Det er derfor vigtigt, at du gør dig de geometriske forhold helt klart, in­
den du kaster dig ud i løsning af en opgave. Du får en opsummering:
b
Vy = 2 ⋅ π ∫ x ⋅ f (x )dx
a
giver dig rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når
det ”farvede” areal som vist på figur 13.83 drejes 360° om y-aksen.
y
x
a
Figur 13.83
b
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen
På tilsvarende måde giver formlen
Vy = π ∫
f(b)
f(a)
x 2dy
dig rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når det
”farvede” areal som vist på figur 13.84 drejes 360° om y-aksen.
y
f(b)
f(a)
x
Figur 13.84
Eksempel 13.25
Du har givet en skål med udseende som vist på figur 13.85.
Figur 13.85
Ved et lodret snit midt gennem skålen danner den indvendige snitlinje
en del af en parabel.
Parablen har forskriften
f(x ) = 0 , 08x 2
Indlagt i et koordinatsystem får grafen udseende som vist på figur
13.86, hvor koordinaterne er påført og er i cm.
y
8
(10,8)
x
−10
Figur 13.86
10
521
522
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
a) Du skal bestemme, hvor meget skålen kan rumme.
b) Du skal bestemme væskehøjden over bunden, når der er 800 cm3
væske i skålen.
a)
Du kan anvende begge rumfangsformler, og du får derved to løsnings­
modeller, som begge vil blive gennemregnet.
Løsningsmodel 1:
Du har figur 13.87 med parablen og kan lade det ”farvede” område
dreje 360° om y-aksen.
y
x
0
10
Figur 13.87
Du får derved et omdrejningslegeme og kan bestemme et rumfang. Det
er imidlertid ikke det rumfang, du søger, men det, der ligger udenfor.
Du må derfor starte med at bestemme rumfanget af den cylinder,
der omfatter skålens rumfang og fratrække det, der ligger udenfor. Du
kan derfor udtrykke skålens rumfang således:
b
Vy = π ⋅ r 2 ⋅ h - 2 ⋅ π ∫ x ⋅ f(x) dx
a
Indsætter du de givne oplysninger, får du:
Vy = π ⋅ 10 2 ⋅ 8 - 2 ⋅ π ∫
10
0
x ⋅ 0 , 08x 2 dx
Du kan lade din grafregner eller matematik-program regne for dig.
Du får:
Vy = 1256 , 64
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen
Løsningsmodel 2:
Du har figur 13.88 med parablen og kan lade det ”farvede” område
dreje 360° om y-aksen.
y
f(b)
f(a)
0
x
Figur 13.88
Herved får du det rumfang, som skålen kan rumme. Du kan anvende
formlen:
f(b)
Vy = π ∫ x 2dy
f(a)
Her mangler du et udtryk for x2, men du har jo givet parablen ved:
y = f(x ) = 0 , 08x 2
Løser du ligningen med hensyn til x2, får du:
1
x2 =
y = 12, 5y
0 , 08
Nu kan du indsætte i rumfangs-formlen:
8
Vy = π ∫ 12, 5y dy
0
Du kan igen lade din grafregner eller matematik program lave arbejdet
for dig. Du får:
Vy = 1256 , 64
b)
Når du skal bestemme væskehøjden h som vist på figur 13.89, får du
højden direkte ved at anvende formlen fra løsningsmodel 2.
y
h
0
Figur 13.89
x
523
524
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Du kan indsætte direkte i formlen:
h
800 = π ∫ 12, 5ydy
0
Du starter med at integrere:
h

y2 
800 = π 12, 5 ⋅ 

2  0


h2
02 
800 = π 12, 5 ⋅ - 12, 5 ⋅ 

2
2 
800 = π ⋅ 12, 5 ⋅
h2
2
Du løser ligningen med hensyn til h:
800 ⋅ 2
π ⋅ 12, 5
h=
h = 6 , 36
Opgave 406
På figur 13.90 har du givet et areal, der er begrænset af grafen for funk­
tionen f(x) = 0 , 5x + 3 og linjerne x = 2 og x = 4.
y
1
0
x
2
4
Figur 13.90
a) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når arealet drejes 360° om x-aksen.
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når arealet drejes 360° om y-aksen.
Rumfang ved drejning af areal om y-aksen
Opgave 407
Du har givet en funktionen f(x ) = x , hvis graf du har på figur 13.91 i
intervallet [0;4]. Enheder er i cm.
y
(4,2)
x
(0,0)
Figur 13.91
a) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det ”farvede” areal som vist på figur 13.92 drejes 360°
om x-aksen.
y
x
Figur 13.92
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det ”farvede” areal som vist på figur 13.93 drejes 360°
om y-aksen
y
x
Figur 13.93
c) Du skal forestille dig, at de to omdrejningslegemer danner indven­
dige overflader i to beholdere. Der kommer 16 cm3 væske i hver af
de to beholdere. Du skal bestemme væskehøjden i de to beholdere.
525
526
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 408
1
og g(x ) = x
x
Du har givet funktionerne: f(x ) = x +
En del af graferne er vist på figur 13.94.
y
4
3
f(x)
2
g(x)
1
x
1
2
3
4
Figur 13.94
a) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det ”farvede” areal drejes 360° om x-aksen.
b) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der frem­
kommer, når det ”farvede” areal drejes 360° om y-aksen.
Længde af en plan kurve
y
y=f(x)
L
x
a
b
Figur 13.95
Du har på figur 13.95 billedet af grafen for funktion f. Du kan bestemme
længde af kurven i et interval ved hjælp af følgende formel:
L=∫
b
a
2
b
 dy 
1 +   dx = ∫ 1 + f ′(x )2 dx
 dx 
a
Du kan vise formlens rigtighed ved at tage udgangspunkt i integrati­
onsprøven, som siger:
2
 dy 
L ′ = 1 +  
 dx 
Længde af en plan kurve
y
∆L
∆y
∆x
x
Figur 13.96
Du har på figur 13.96 en lille del af kurven, hvor du har en trekant
indtegnet. Længden ∆L kan du bestemme ved at benytte Pythagoras
læresætning:
∆L2 = ∆x 2 + ∆y 2
Du dividerer med ∆x2 i alle led:
∆L2 ∆x 2 ∆y 2
=
+
∆x 2 ∆x 2 ∆x 2
Du reducerer og tager kvadratroden på begge sider. Du får:
2
 ∆y 
∆L
= 1 + 

 ∆x 
∆x
Du skal nu i gang med en grænseværdibetragtning, idet du lader ∆x
→ 0.
2
 ∆y 
∆L
lim
= lim 1 + 

 ∆x 
∆x→0 ∆x
∆x→0
”Venstre-siden” er jo et udtryk for differentialkvotienten og på tilsva­
rende måde indgår der også en differentialkvotient under rodtegnet.
Du kan derfor skrive ligningen:
2
 dy 
L ′ = 1 +  
 dx 
Du er hermed fremme ved det, du skulle vise fra først i afsnittet.
Opgave 409
Du har givet funktionen: f(x ) = x
Du skal bestemme længde af kurven fra x = 1 til x = 5.
Opgave 410
Du har givet funktionen: f(x ) = x 3 - 1
Du skal bestemme længden af kurven fra x = 0 til x = 3.
527
528
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Problemopgaver
Opgave 411
Du har givet en funktion: f(x) = 3 · 40,5x + 2 · e−0,5x
a) Du skal bestemme funktionens differentialkvotient.
b) Du skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i det
punkt, hvor grafen skærer y-aksen.
c) Du skal bestemme koordinaterne til funktionens evt.
maksimums-/minimums-punkter.
Opgave 412
Du har givet funktionen: f(x ) =
sin x
x
a) Du skal skitsere grafen for f intervallet ]0;5[.
4
b) Du skal bestemme arealet A = ∫ f(x) dx
1
c) Du skal bestemme længden af kurven fra x = 1 til x = 4.
Opgave 413
Du har givet funktionen: f(x ) = ex + e-x
a) Du skal skitsere grafen for f i intervallet [− 2;2].
1
b) Du skal bestemme arealet ∫ f(x) dx.
-1
c) Du skal bestemme længden af kurven fra x = − 1 til x = 1.
Problemopgaver
Opgave 414
Et vandtårn er udformet som vist på figur 13.97. AB er en ret linje og
BC er en parabeldel.
20 m
C
8m
B
4m
A
Figur 13.97
Du skal bestemme, hvor mange m3 vand den ”farvede” del af vandtår­
net kan rumme.
529
530
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 415
Du har givet tre funktioner: f(x) = x3, g(x) = 2x2 + 0,5 og h(x) = 8.
En del af graferne for de tre funktioner er vist på figur 13.98 og danner
et areal. Enheder er i cm.
y
h(x)
8
g(x)
f(x)
x
Figur 13.98
Arealet drejes 360° om y-aksen, og der fremkommer et omdrejningsle­
geme med form som en beholder.
a) Du skal bestemme, hvor mange cm3 beholderen kan rumme.
b) Der kommer 10 cm3 væske i beholderen. Du skal bestemme væske­
højden.
c) Du skal bestemme, hvor mange cm3 der medgår til fremstilling af
beholderen.
Problemopgaver
531
Opgave 416
Jordskulpturen i Esbjerg
Billederne viser Lyshøjen, der ligger ved motorvejen i nærheden af
Esbjerg. Lyshøjen er en jordskulptur, hvor grundlaget er udarbejdet af
Eva Koch og Steen Høyer.
Ideen til jordskulpturen fremkom, da man havde en masse over­
skudsjord fra motorvejsbyggeriet mellem Kolding og Esbjerg.
Jordskulpturen er en stor høj formet som en kuglekalot. Højen er for­
synet med 19 kuppelformede lamper, hvis lys bedst ses om natten, hvor
trafikken bestemmer lysenes rytmer.
På figur 13.99 er vist et snit midt gennem lyshøjen. Snitlinjen danner en
cirkelbue. Koordinaterne er i meter.
y
(0,26)
v
x
(−140,0)
(140,0)
R
Figur 13.99
a) Du skal bestemme radius R til cirkelbuen.
b) Du skal bestemme en ligning for den cirkel, som cirkelbuen er en
del af.
c) Du skal bestemme cirkelligningens differentialkvotient.
d) Du skal bestemme vinkel v, som er vinklen mellem vandret og tan­
genten til cirkelbuen i punktet x = − 140.
e) Du skal bestemme rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkom­
mer, når det farvede område på figur 13.99 drejes 360° om y-aksen.
532
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 417
Et terræn skal over en strækning på 10 km planeres, således at det bli­
ver vandret (se figur 13.100).
nuværende
profil
endelig profil
10 km
Figur 13.100
Terrænet har i dag en ”profil-linje”, der kan angives ved følgende funktion:
f(x) = 0,00003 (3x3 - 27x2 + 45x + 75)
f(x) angiver terrænhøjden og x er afstanden i vandret linje i kilometer.
Du skal bestemme en forskrift for den endelige ”profil-linje”, idet det er
en forudsætning, at der ikke bliver brugt mere jord end det, der til stede.
Opgave 418
En del af et dige har udseende som vist på figur 13.101.
50
vandlinje
m
digetværsnit
Figur 13.101
Tværsnittet har udseende som vist på figur 13.102. I tværsnittet er ind­
lagt et koordinat-system med x-aksen i den vandlinje, der dannes ved
daglig vande.
y
A
B (4,y)
(1,3)
D
153,43°
45°
C
Figur 13.102
Problemopgaver
Til tværsnittet kan der gives følgende oplysninger:
Frembringeren DA er en ret linje med hældningsvinklen lig med 45°.
Frembringeren CB er en ret linje med hældningsvinklen lig med
153,43°.
Kurvedelen AB er udført som en del af en parabel med tangent­
punkter i A(1,3) og i B, hvor x-koordinaten er 4.
Koordinaterne er i meter.
Diget skal have en længde på 50 meter. Digets endeflader kan regnes
lodrette, og digets bundlinje regnes lig med vandlinjen.
Du skal bestemme, hvor mange m3 materiale der skal anvendes til byg­
ning af diget.
Opgave 419
Projekteringen af linjeføringen for en kloakledning er vist skitseret på fi­
gur 13.103, hvor t(x) angiver terrænlinjen og k(x) kloakrørets bundlinje.
5
y
0
250
500
x
t(x)
−5
k(x)
Figur 13.103
Funktionerne kan tilnærmelsesvis regnes at følge:
t(x) = 10-6(0,6x3 - 450x2 + 68000x)
k(x) = -0,004x - 6
hvor x er afstanden i meter.
Rørarbejdet udføres på en strækning på 500 meter. På denne strækning kan
udgravningsbredden for rørenes nedlægning i jorden sættes til 4 meter.
Du skal bestemme, hvor mange m3 jord der skal flyttes for at udføre
dette arbejde.
533
534
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Opgave 420
En underlagsplade har udseende og mål i cm som vist på figur 13.104.
1
5
1,5
A
1
3
B
7
8
Figur 13.104
Underlagspladen er fremstillet af et stykke plade med rektangulært
tværsnit, som er bearbejdet som vist, hvor snit-kurven AB er en del af
en parabel.
Du skal bestemme rumfanget af underlagspladen.
Problemopgaver
Opgave 421
Der skal konstrueres et vej-bump som vist på figur 13.105.
3m
Figur 13.105
Det overvejes at give tværsnittet en form med mål i cm som vist på
figur 13.106.
y
A
B(8,y0)
C(16,y0)
20°
20°
24
D
x
Figur 13.106
Vej-bumpets geometri er:
AB er en ret linje.
BC er parabel-formet.
CD er en ret linje.
Linjerne AB og BC er tangenter til parablen i henholdsvis punkt B
og C.
Koordinaterne og mål er i cm.
Du skal bestemme rumfanget af den materiale-mængde, der medgår til
fremstilling af vej-bumpet.
535
536
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Resumé 13. kapitel
Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter
Funktion f(x)
Differentialkvotient f’(x)
ax
ax · ln a
ex
ex
ln x
1
x
log x
1
x ⋅ ln 10
Integral - stamfunktion
Integrationsprøven
Stamfunktion til
Konstant
Potensfunktioner
∫ f(x )dx = F(x ) + k når
F’(x) = f(x)
Funktion
f(x)
Stamfunktion
F(x ) = ∫ f(x )dx
k
k⋅x
xn
x n+1
n +1
1
= x -1
x
Trigonometriske
funktioner
ln x
sin x
-cos x
cos x
sin x
tan x
-ln |cos x|
sin2x = (sin x)2
1
(x - sin x ⋅ cos x )
2
cos2x = (cos x)2
1 + tan 2 x =
1
cos 2 x
1
(x + sin x ⋅ cos x )
2
tan x
Resumé 13. kapitel
Logaritmitiske funktioner
ex
ex + k
ax
ax ⋅
In x
x ⋅ ln x - x + k
log x
x ⋅ log x -
Regneregler for
integration
1
+k
ln a
x
+k
ln10
Sum:
∫ u(x) + v(x)dx = ∫ u(x)dx + ∫ v(x)dx
Differens:
∫ u(x) - v(x)dx = ∫ u(x)dx - ∫ v(x)dx
Bestemt integral
∫
Arealberegning
b
a
b
f(x )dx = [F(x )] = F( b) - F(a)
a
f(x)
y
b
A = ∫ f(x )dx
a
A
a
x
b
f(x)
y
A
b
A = ∫ f(x ) - g(x )dx
a
b
a
x
g(x)
c
A1 = ∫ f(x ) - g(x )dx
a
y
b
g(x)
A2
A1
A3
a
A 2 = ∫ g(x ) - f(x )dx
c
c
f(x)
A4
c
b
x
A 3 = ∫ g(x ) dx
a
b
A 4 = ∫ f(x ) dx
c
537
538
Teknisk matematik · INTEGRAL REGNING
Partiel integration eller delvis integration
∫ u(x) ⋅ v(x) dx = U(x) ⋅ v(x) - ∫ U(x) ⋅ v ′(x) dx
Rumfangsberegning
Rumfanget af et omdrejnings-le­
geme fremkommet ved drejning
360° om x-aksen af det farvede
areal på figuren.
b
Vx = π ∫ f(x )2 dx
a
f(x)
y
a
x
b
y
Rumfanget af et omdrejningslegeme
fremkommet ved drejning 360° om y-ak­
sen af det farvede areal på figuren.
f(x)
b
Vy = 2 ⋅ π ∫ x ⋅ f(x ) dx
a
a
x
b
y
Rumfanget af et omdrejningslegeme
fremkommet ved drejning 360° om y-ak­
sen af det farvede areal på figuren.
f(b)
Vy = π ∫
f(b)
f(a)
x 2 dy
f(a)
x
0
Længde af en kurve
L=∫
b
a
y
y=f(x)
L
2
b
 dy 
1 +   dx =∫ 1 + f ′(x )2 dx
 dx 
a
x
a
b
Vektorbegrebet
VEKTORER
I PLANET
14
Vektorbegrebet
Fra fysikundervisningen kender du loven om kræfternes parallellogram. Har du to kræfter F1 og F2, der angriber i et punkt på et legeme
som vist på figur 14.01, kan de erstattes af en enkelt kraft R.
F2
R
F1
Figur 14.01
Du får et taleksempel. Se på figur 14.02, hvor du har to kræfter på henholdsvis 3 N (Newton) og 4 N, som kan erstattes af en kraft på 5 N.
3N
R = 5N
4N
Figur 14.02
Som du vil kunne se, følger denne form for at lægge sammen ikke de
regler, du hidtil har arbejdet med.
539
540
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du tegner dig i realiteten til resultatet, og denne form for at lægge
sammen kalder du for geometrisk addition.
I eksemplet var det kræfter, du så på, men inden for det tekniske
område møder du flere størrelser, der følger samme princip.
Fra bevægelseslæren har du eksempler som hastigheder og accelerationer, og inden for det elektriske område har du strømme i et kredsløb.
Det nye ved disse eksempler er, at de foruden en talstørrelse også er
bestemt ved en retning.
Når man arbejder med matematik, har man et fælles navn for sådanne størrelser. De kaldes vektorer.
Modsat vektorer har du skalarer, som matematisk set er størrelser,
der til deres bestemmelse kun kræver en talværdi.
Eksempler på skalarer er længder, arealer og rumfang.
Hvordan afbilder du en vektor?
Du skal nu til at arbejde med vektorer. Skal du afbilde en vektor, kan du
gøre det ved hjælp af et linjestykke AB som vist på figur 14.03.
A
v
B
Figur 14.03
Linjestykkets længde illustrerer vektorens størrelse eller talværdi. Du
forsyner linjestykket med en pilespids, som angiver den retning, som
vektoren virker i.
Nu har du billedet af en vektor med begyndelsespunkt i A og endepunkt B ved pilespidsen.
Skal du betegne vektoren, gør du det således:
AB
eller v
Skal du angive længden af en vektor, gør du det således:
AB
eller
v
Hvordan bestemmer du en vektor?
Skal du i en opgave eller i et projekt angive et resultat, hvor du skal
beskrive en vektor, er der to ting, du skal have med.
Du skal angive vektorens størrelse eller talværdi, og du skal angive
vektorens retning.
Vektorens størrelse eller talværdi giver sig selv, men retningen kan
du angive på forskellig måde.
Hvordan bestemmer du en vektor?
På figur 14.04 har du givet en vektor a. Retningen kan du angive ved
vinklen z, som er målt i forhold til en vandret linje.
a
z
Figur 14.04
a
y
x
Figur 14.05
På figur 14.05 har du givet en vektor b. Her kan du angive retningen
ved hjælp af de to koordinater. Du skriver det således:
x 
b =   = (x , y)
y
I denne bog vil du udelukkende se den første skrivemåde. Det sker for
ikke at forveksle den med skrivemåden for et ordnet talpar i koordinatsystemet.
Hvis du i en opgave ikke er bundet til noget bestemt punkt, kan du kan
afbilde en vektor fra et vilkårligt punkt i planet.
Kender du fx koordinaterne til vektor b og skal bestemme dens længde, kan du gøre det således:
2
b = x2 + y2
b = x2 + y2
Eksempel 14.01
−3
Du har givet b =  
2
Du skal tegne vektor b og bestemme dens længde b .
Du kan starte i et vilkårligt punkt P i planet og afsætte vektor b’s koordinater som vist på figur 14.06.
2
b
−3
Figur 14.06
P
541
542
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du bestemmer derefter længden af vektor b således:
2
b = (−3) + 22
b = 3, 61
Som nævnt tidligere er en vektor ikke bundet til et bestemt punkt i planet, men det kan i nogle tilfælde være fordelagtigt for dig at indlægge
en vektor i et koordinatsystem.
Forestil dig, at du har punkterne A(x1,y2) og B(x2,y2) beliggende i et
koordinatsystem som vist på figur 14.07.
y
B(x2,y2)
y2 − y1
A(x1,y1)
x2 − x1
x
Figur 14.07
Du skal bestemme koordinaterne til vektoren AB .
Som det fremgår af figur 14.07, kan du bestemme koordinaterne således:
x − x1 
AB =  2
y 2 − y 1 
Bemærk fremgangsmåden!
Du starter med koordinaterne ved pilespidsen og trækker herefter
koordinaterne fra begyndelsespunktet fra.
Generelt kan det altid betale sig for dig at tegne en figur, når du arbejder med vektorer.
Det giver dig et overblik, og tegner du figuren i målestok, kan du
altid kontrollere dine beregnede resultater ved at måle på figuren og
sammenligne.
Hvordan bestemmer du en vektor?
Eksempel 14.02
I et koordinatsystem er givet punkterne A(4,1) og B(–2,–4). Du skal bestemme vektor AB ’s koordinater.
For at få et overblik kan du indtegne vektor AB i et koordinatsystem
som vist på figur 14.08.
y
A(4,1)
x
B(−2,−4)
Figur 14.08
Koordinaterne bestemmer du således:
−2 − 4
AB = 
−4 − 1 
−6
AB =  
−5
b
Eksempel 14.03
 4
Du har givet vektor AB =  
−6
Du skal indlægge vektor AB i et koordinatsystem med begyndelsespunkt A(-2,1). Du skal bestemme koordinaterne til pilpunktet B.
Du indtegner vektor AB i et koordinatsystem som vist på figur 14.09.
y
A(−2,1)
x
B
Figur 14.09
Koordinaterne til pilpunktet B bestemmer du således:
B(x,y) = (-2 + 4 , 1 +(-6)) = (2,-5)
543
544
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Bemærk fremgangsmåden!
Du starter med koordinaterne til punkt A og lægger hertil koordinaterne fra vektor AB
Opgave 422
I et koordinatsystem er givet følgende punkter: A(7,8), B(3,2), C(2,4),
D(1,9), E(-1,-6) og F(-8,-3).
Punkterne danner tre vektorer: AB, CD , og EF .
Du skal:
a) Indtegne vektorerne i et koordinatsystem.
b) Bestemme vektorernes koordinater.
c) Bestemme AB , CD , EF .
Opgave 423
5
Du har givet vektor a =  
−3
Vektor a skal indlægges i et koordinatsystem og have begyndelsespunkt i (2,1).
a) Du skal bestemme a .
b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ’s pilpunkt.
Opgave 424
−2
Du har givet vektor b =  
−4
Vektor b skal indlægges i et koordinatsystem og have pilpunkt i (3,-1).
a) Du skal bestemme b .
b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor b ’s begyndelsespunkt.
Stedvektor
Stedvektor
Møder du en vektor, som udgår fra koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) og har pilpunkt i A(x,y), kalder du denne vektor for stedvektoren til punktet A (se figur 14.10).
y
A(x,y)
x
(0,0)
Figur 14.10
Stedvektorens koordinater bliver identiske med punktet A’s koordinater.
Forstørrelse eller formindskelse!
Har du en vektor a , kan du gange den med et reelt tal n. Du får derved
en ny vektor med længden n ⋅ a
Den nye vektor n ⋅ a har samme retning som vektor a , når n er et positivt tal (se figur 14.11).
a
2
.a
0,5
.a
,5
−1
.a
Figur 14.11
På tilsvarende måde har den nye vektor n ⋅ a modsat retning som vektor a , når n er et negativt tal.
545
546
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
n.a
n.y
a
y
x
n.x
Figur 14.12
Har du vektor a givet ved sine koordinater som vist på figur 14.12, får
du den nye vektor således:
( )
n⋅x
n ⋅ a= n ⋅y
Opgave 425
Du har i et koordinatsystem givet tre stedvektorer karakteriseret ved
punkterne A(9,2), B(-3,5) og C(7,-4).
a) Du skal bestemme stedvektorernes længder.
b) Du skal bestemme de vinkler, stedvektorerne danner med vandret.
Opgave 426
Du skal bestemme koordinaterne til en stedvektor a ’s endepunkt, når
den danner en vinkel på 42° med x-aksens positive akse og har længden a = 7.
Opgave 427
Du skal bestemme koordinaterne til en stedvektor b ’s endepunkt, når
den danner en vinkel på 254° med x-aksens positive akse og har længden b = 9.
Opgave 428
2
Du har givet vektor a =   , som er beliggende i et koordinatsystem
3
med begyndelsespunkt i (4,2).
a) Du skal bestemme a .
Vinkel mellem to vektorer
b) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ’s pilpunkt i koordinatsystemet.
1
c) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren − ⋅ a .
2
1
d) Du skal bestemme − ⋅ a .
2
1
e) Vektor − ⋅ a har begyndelsespunkt i (1,1).
2
1
Du skal bestemme koordinaterne til vektor − ⋅ a ’s pilpunkt.
2
Vinkel mellem to vektorer
Når du skal arbejde med flere vektorer, har du brug for at angive de
vinkler, vektorerne danner med hinanden.
Er det to vektorer som vist på figur 14.13, angiver du den vinkel, der
dannes, når de to vektorer udgår fra samme punkt.
b
z
a
Figur 14.13
Du kan betegne vinklen mellem vektor a og b som vinkel z, men du
kan også gøre det således:
∠ (a , b)
Modsatte vektorer
Du kan også komme til at arbejde med vektorer, der er modsatte.
To vektorer kalder du modsatte, når de er lige lange, parallelle og modsatrettede.
På figur 14.14 har du vektor AB . Vektor AB’s modsatte vektor er vektor
BA .
A
v
B
−v
v
Figur 14.14
På tilsvarende måde har du, at vektor v ’s modsatte vektor er vektor −v.
547
548
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Når du lægger vektorer sammen
Har du to vektorer som vist på figur 14.15, lægger du dem sammen på
følgende måde.
b
r
P
a
b
a
a
b
r
P
Figur 14.15
Fra et vilkårligt punkt P afsætter du vektor a .
Fra vektor a ’s endepunkt afsætter du vektor b .
Fra punktet P til pilespidsen på vektor b tegner du en linje og forsyner
den med en pilespids som vist.
Denne vektor r kalder du sumvektoren eller resultanten. Vektorerne a
og b kalder du komposanter.
Du kan udtrykke det i en ligning:
r =a+b
Var du startet med at afsætte vektor b og derefter vektor a , ville du få
samme resultat.
Rækkefølgen, som du afsætter vektorerne i, er vilkårlig.
Det kan du udtrykke således:
a+ b = b+a
På figur 14.15 fik du set, hvordan du kan tegne dig til en sumvektor eller resultant, når du skal lægge to vektorer sammen.
Har du mere end to vektorer, er fremgangsmåden den samme.
På figur 14.16 har du fire vektorer.
b
B
c
a
d
A
b
c
a
P
C
r
Figur 14.16
D
d
Når du lægger vektorer sammen
Du starter i et vilkårligt punkt P og afsætter vektor a . Pilpunktet kaldes
A.
Herfra afsætter du vektor b, og pilpunktet kalder du B.
Sådan fortsætter du også med vektorerne c og d .
Sumvektoren eller resultanten finder du ved at forbinde punkt P
med den sidst afsatte vektors pilpunkt, - her punkt D.
Du kan udtrykke det i en ligning:
r =a+ b+c +d
Skal du beregne størrelsen af resultanten eller sumvektoren, må du anvende trekantsformlerne fra trigonometrien eller benytte vektorernes
koordinater.
Det vil du få at se i de kommende to eksempler.
Eksempel 14.04
To vektorer c og d danner vinklen 58° med hinanden og har længderne 13,68 og 21,13.
a) Du skal bestemme størrelsen af sumvektoren.
b) Du skal bestemme vinklen mellem vektor d og sumvektoren.
a)
Du starter med at tegne de to vektorer ud fra de givne oplysninger (se
figur 14.17).
c
58°
d
Figur 14.17
Herefter kan du tegne dig til løsningen som vist på figur 14.18.
r
z
y
c
58°
d
Figur 14.18
Du skal have fundet en trekant med tre oplysninger, for at du kan benytte en af trekantsformlerne.
549
550
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du bestemmer vinkel z:
z = 180° - 58°
z = 122°
Nu har du tre oplysninger i trekanten og kan benytte cosinus-relationen
fra kapitel 4. Kan du huske den? – Den ser således ud:
a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c cos A
Overført til din vektortrekant bliver det:
2
2
2
r = d + c − 2 ⋅ d ⋅ c ⋅ cos z
2
r = 21, 132 + 13, 68 2 − 2 ⋅ 21, 13 ⋅ 13, 68 ⋅ cos 122ο
r = 30 , 66
b)
Når du skal bestemme vinkel y, kan du benytte enten sinus- eller cosinus-relationen. Sinus-relationen har du også fra kapitel 4. Den ser således ud:
a
b
=
sin A sin B
Overført til vektortrekanten bliver det:
13, 68
30 , 66
=
sin y
sin 122°
 13, 68 ⋅ sin 122° 
y = sin-1 
 = 22, 23°


30 , 66
Eksempel 14.05
1 
 4
Du har givet vektorerne p =   og q =  
3
1 
a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren p + q .
b) Du skal bestemme længden p + q .
a)
Du kan starte med at tegne dig til løsningen (figur 14.19). Fra et vilkårligt punkt O afsættes vektor p ’s koordinater. Fra vektor p ’s pilpunkt
afsættes vektor q ’s koordinater.
p+q
p
O
4
Figur 14.19
q
11
3
Når du lægger vektorer sammen
Du forbinder punkt O og pilpunktet for vektor q , og du har sumvektoren p + q .
Med figur 14.19 som udgangspunkt kan du bestemme sumvektoren
p + q ’s koordinater:
 4 + 1
p + q = 

1 + 3
5
p + q =  
 4
b)
Du bestemmer p + q således:
p + q = 52 + 4 2
p + q = 6, 40
Med udgangspunkt i eksemplet har du følgende regel:
x 
x 
Er der givet to vektorer: a =  1  og b =  2  kan du bestemme
y 2 
y 1 
x + x 2 
koordinaterne til sumvektoren således: a = b +  1

y 1 + y 2 
Opgave 429
Du skal bestemme længden e + f , når vektor e = 39,2 og vektor f =
16,3, og når de danner en vinkel på 138° med hinanden.
Opgave 430
Du skal bestemme længden p + q , når vektor p = 11,52 og vektor q
= 21,53, og når de danner en vinkel på 72,4° med hinanden.
Opgave 431
()
( )
5
1
Du har givet vektorerne a = 2 og b = −4
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til vektor −a ⋅
b) Koordinaterne til vektor −b ⋅
551
552
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
c) Koordinaterne til sumvektoren a + b .
d) Koordinaterne til vektoren 2 ⋅ a.
e) Koordinaterne til vektoren
1
⋅ b.
2
f) Koordinaterne til sumvektoren 2 ⋅ a +
1
⋅ b.
2
Opgave 432
()
( )
( )
−3
−1
5
Du har givet vektorerne a = 1 , b = 2 og c = 3
a) Du skal bestemme koordinaterne til resultanten a + b + c .
b) Du skal bestemme længden af resultanten.
Ligevægt
Har du to modsatrettede vektorer, der er lige lange, holder de hinanden
i ligevægt (se figur 14.20).
Figur 14.20
Du kan udtrykke det på den måde, at vektorsummen er lig med 0.
Har du flere vektorer med forskellige størrelser og retninger, er der ligevægt, hvis den polygon, du kan tegne af vektorerne, lukker sig (se
figur 14.21).
b
a
c
d
Figur 14.21
Du kan udtrykke det i en ligning:
()
0
a+ b+c +d = 0
eller hvis du benytter vektorkoordinaterne:
x a + x b + x c + x d  0

y a + y b + y c + y d  = 0
()
Inden for det tekniske område er en stor del af statikken bygget om
disse ligevægtsbetingelser.
Ligevægt
Har du fx et hus, vil husets spærfag blive udsat for forskellige påvirkninger. Der er tagets egenvægt, vindbelastning og snebelastning. Disse
påvirkninger kan omsættes til kraftpåvirkninger, og de er matematisk
set vektorer.
Hvis huset skal blive stående, skal der være ligevægt.
De ydre kraftpåvirkninger skal derfor holde ligevægt med husets indre kræfter, som kommer fra den styrke, der ligger i konstruktionen, herunder dimensionerne på træ i spærfagene, væggenes udformning mv.
Opgave 433
()
()
4
6
Du har givet vektorerne a = 3 og b = 1
Du skal bestemme en vektor c (størrelse og retning), der kan holde ligevægt med summen af vektor a og vektor b.
Opgave 434
Du har givet de på figur 14.22 viste kraftvektorer.
F2 = 200 N
F1 = 100 N
105°
F3 = 350 N
Figur 14.22
Du skal bestemme den kraftvektor, der i størrelse og retning kan holde
ligevægt med de tre givne kraftvektorer.
553
554
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Komposanter
Du har set, hvorledes to vektorer kunne sammensættes til en sumvektor eller resultant, men du skal nu se på den omvendte opgave. Du har
en vektor og skal opløse den i et par vektorkomposanter.
På figur 14.23 har du givet to linjer m og k og en vektor a. Du skal opløse
vektor a i to komposanter, hvis retninger er parallelle med linjerne m og k.
m
a
k
Figur 14.23
Du parallelforskyder linjen k gennem begyndelsespunktet for vektor a
og linjen m gennem pilpunktet for vektor a.
Hermed får du i størrelse og retning komposanterne a k og a m som vist
på figur 14.24.
a
am
ak
Figur 14.24
Var du startet med at parallelforskyde linjen m gennem vektor a’s begyndelsespunkt og linjen k gennem vektor a’s pilpunkt, ville du få et
billede som vist på figur 14.25.
ak
am
a
Figur 14.25
Vektorkomposanternes størrelse og retning er de samme som før, så det
er ligegyldigt, i hvilken rækkefølge du parallelforskyder linjerne.
Det var den tegningsmæssige løsning. Skal du beregne størrelsen af
komposanterne, kan du anvende formlerne for trekantsberegning fra
trigonometrien.
De oplysninger, du får, når du skal i gang med en opgave, kan variere meget. I det kommende eksempel vil du få at se, hvorledes du kan
løse en opgave, når retningerne er givet på en lidt anden måde.
Komposanter
Eksempel 14.06
1 
 6
3
Du har givet tre vektorer a =   , b =   og c =  
 4
1 
2
Vektor a skal opløses i to komposanter, der går i henholdsvis vektor b
’s og vektor c’s retning.
a) Du skal bestemme koordinaterne til de to komposanter.
b) Du skal bestemme længden af de to komposanter.
a)
Du kan starte med at tegne de tre vektorer som vist på figur 14.26.
c
ac
a
b
ab
Figur 14.26
Du kan herefter parallelforskyde retningerne for henholdsvis vektor b
og vektor c gennem vektor a ’s pilpunkt.
Du får hermed den tegningsmæssige løsning og kan måle størrelsen
af de to komposanter a b og a c .
Skal du beregne koordinaterne til de to komposanter, kan du starte
med at opfatte vektor a som en sum af a b og a c . Du kan skrive det i en
ligning:
a = a b + ac
Du skal nu have indført vektorkoordinaterne. Se på figur 14.26.
For at få vektor a b , skal du gange vektor b med en konstant, der
kaldes s.
På tilsvarende måde med vektor a c . Du skal gange vektor c med
en anden konstant, der kaldes t for at få vektor a c . Du kan skrive det
således:
 6
a b = s ⋅ b = s ⋅  
1 
1 
a c = t ⋅ c = t ⋅  
 4
Indsætter du det i ligningen
a = ab + a c
kommer det til at se således ud:
 
3
 
  = s ⋅ 6 + t ⋅ 1 
 4
2
1 
555
556
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du kan dele ligningen i to:
I: 3 = s ⋅ 6 + t ⋅ 1 og II: 2 = s ⋅ 1 + t ⋅ 4
Ligning I løser du med hensyn til t:
3 - 6s = t
Dette udtryk indsætter du i ligning II:
2 = s + (3 – 6s) · 4
2 = s + 12 - 24s
-10 = -23s
0,43 = s
Du kan gå tilbage og bestemme t:
3 - 6 · 0,43 = t
0,39 = t
Hermed kan du bestemme koordinaterne til a b og a c :
1 
 6
a b = 0 , 43   og a c = 0 , 39  
1
 4
 
0 , 39
2, 59
a b = 
 og a c = 1, 57 
0
,
4
3




b)
Nu har du koordinaterne til komposanterne. Dermed kan du bestemme
størrelsen af vektor a b og a c således:
a b = 2, 592 + 0 , 432 og a c = 0 , 392 + 1, 57 2
a b = 2, 63
og a c = 1, 62
<<< Eksempel
Du får tit brug for at opløse vektorer i komposanter, der er parallelle
med akserne i koordinatsystemet.
Du har en vektor a, som danner vinklen v med vandret som vist på
figur 14.27.
y
a
v
ax
Figur 14.27
ay
x
Komposanter
Du skal opløse vektor a i to komposanter a x og a y , hvis retninger er
parallelle med henholdsvis x- og y-aksen.
Du kan benytte:
cos v =
ax
a
og sin v =
ay
a
Størrelsen af de to komposanter finder du således:
a x = a ⋅ cos v og a y = a ⋅ sin v
Eksempel 14.07
Fire vektorer, som alle har længden 5, danner henholdsvis vinklerne
72°, 148°, 210° og 330° med x-aksen.
a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren af de fire vektorer.
b) Du skal bestemme længden af sumvektoren.
c) Du skal bestemme den vinkel, sumvektoren danner med x-aksen.
a)
For at få et overblik indlægger du de fire vektorer i et koordinatsystem,
således at de alle udgår fra (0,0) - se figur 14.28.
y
148°
72°
210°
x
330°
Figur 14.28
Herved får du forenklet beregningsforløbet, idet hver vektor kan opløses i to komposanter, hvis retninger er parallelle med henholdsvis x- og
y-aksen. Størrelsen af komposanterne er identiske med vektorkoordinaterne, og du kan derfor bestemme vektorsummen således:
5 ⋅ cos 72° + 5 ⋅ cos 148° + 5 ⋅ cos 210° + 5 ⋅ cos 330°
r = 

5 ⋅ sin 72° + 5 ⋅ sin 148° + 5 ⋅ sin 210° + 5 ⋅ sin 330° 
−2,695
r = 

 2, 405
557
558
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
b)
Ud fra vektorkoordinaterne kan du tegne figur 14.29.
y
r
v
z
x
Figur 14.29
Herefter kan du bestemme længden af sumvektoren således:
r = (−2, 695)2 + 2, 4052
r = 3, 612
c)
Du kan bestemme vinkel z således:
2, 405
z = tan-1 
 = 41, 75°
2, 695
I forhold til x-aksen får du
v = 180° - 41,75°
v = 138,25°
Opgave 435
−1
2
 4
Du har givet tre vektorer: a =   , b =   og c =  
−3
3
1 
Vektor a skal opløses i to komposanter, der går i henholdsvis vektor b’s
og vektor c’s retning.
a) Du skal bestemme koordinaterne til komposanterne.
b) Du skal bestemme komposanternes længde.
Opgave 436
Fem vektorer, alle med længden 4, danner henholdsvis vinklerne 12°,
80°, 164°, 232° og 302° med x-aksen.
a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren af de fem vektorer.
b) Du skal bestemme længden af sumvektoren.
c) Du skal bestemme den vinkel, sumvektoren danner med x-aksen.
At trække fra
Opgave 437
Vektorerne a, b, c og d har længderne 4, 5, 6 og 7 og danner vinklerne
40°, 110°, 140° og 190° med x-aksen.
a) Du skal bestemme koordinaterne til resultanten af de fire vektorer.
b) Du skal bestemme længden af resultanten.
c) Du skal bestemme den vinkel, resultanten danner med x-aksen.
At trække fra
Når du skal udføre vektor-operationen
a−b
skal du opfatte det på denne måde
a + (−b)
Du kan også skrive det i en ligning
a − b = a + (−b)
hvor du kalder a − b for differensvektoren.
I ord kan du udtrykke det på den måde, at du bestemmer differensvektoren a − b ved at lægge b’s modsatte vektor −b til vektor a.
Du kan tegne dig til løsningen som vist på figur 14.30.
a
b
−b
a−b
a
Figur 14.30
Skal du beregne størrelsen på differensvektoren, benytter du formlerne for trekantsberegning fra trigonometrien, eller du kan arbejde med
vektorernes koordinater.
Det vil du få vist i de kommende to eksempler.
559
560
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Eksempel 14.08
Du har givet to vektorer a = 5 og b = 4, der danner en vinkel på 45°
med hinanden.
Du skal bestemme størrelsen af differensvektoren a − b
a)
For at få et overblik kan du starte med at tegne de to vektorer ud fra de
givne oplysninger (figur 14.31).
b
45°
a
Figur 14.31
Du kan gå videre og tegne den geometriske løsning som vist på figur
14.32.
b
45°
a
45°
a−b
−b
Figur 14.32
Med udgangspunkt i den geometriske løsning har du en trekant med
tre oplysninger, og du kan derfor anvende cosinus-relationen, som ser
således ud:
a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ b ⋅ c cos A
Overført til din vektortrekant får du:
2
a − b = 52 + 4 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ cos 45°
a − b = 3, 57
Eksempel 14.09
8
1
Du har givet to vektorer a =   og b =  
 4
−4
a) Du skal bestemme koordinaterne til differensvektoren a − b .
b) Du skal bestemme størrelsen af differensvektoren a − b .
At trække fra
a)
Du kan starte med at tegne dig til løsningen som vist på figur 14.33.
4
a−b
−b
−1
a
4
8
Figur 14.33
Herefter kan du bestemme differensvektorens koordinater således:
8 −1 
a − b = 

 4 − (−4)
7 
a − b =  
8 
b)
Når du har koordinaterne, kan du bestemme a − b således:
a − b = 7 2 + 82
a − b = 10 , 63
Med udgangspunkt i eksemplet er reglen:
x 
 
Er der givet to vektorer: a =  1  og b = x 2  kan du bestemme
y 2 
y 1 
x − x 2 
koordinaterne til differensvektoren a − b således: a − b =  1

y 1 − y 2 
Opgave 438
b længden 11,3, vektor b har længden 8,98, og vinklen melVektor p +
har
lem de to vektorer er 113°.
a) Du skal bestemme længden af sumvektoren p + b .
b) Du skal bestemme længden af differensvektoren p − b .
561
562
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Opgave 439
Vektor u har længden 11, vektor v har længden 16, og vinklen mellem
de to vektorer er 36°.
a) Du skal bestemme u + v .
b) Du skal bestemme u − v .
Opgave 440
I et koordinatsystem er givet tre stedvektorer r , s og t .
r = 3,48 og danner vinklen 44,3° med x-aksen.
s = 4,16 og danner vinklen 116,8° med x-aksen.
t = 6,16 og danner vinklen 321,6° med x-aksen.
a) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren r − s + t .
b) Du skal bestemme r − s + t
c) Du skal bestemme den vinkel, vektoren r − s + t danner med x-aksen.
Opgave 441
2
 3
−2
Du har givet tre vektorer , a =   , b =   og c =  
3
−1
−4
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til a + b − c samt a + b − c .
b) Koordinaterne til a − b − c samt a − b − c .
c) Koordinaterne til −a − b − c samt −a − b − c .
Enhedsvektor
Enhedsvektor
En enhedsvektor er en vektor, der har længden 1.
Enhedsvektoren betegner du e.
Du har givet en vektor v og dens koordinater x og y som vist på figur
14.34.
v
e
y
ye
xe
x
Figur 14.34
Skal du bestemme koordinaterne til vektor v’s enhedsvektor e, kan du benytte de to ensvinklede trekanter, idet du kan opstille følgende forhold:
ye
xe
1
1
og
=
=
x
y
v
v
Du kan løse ligningerne med hensyn til xe og ye og får:
y
x
xe =
og y e =
v
v
Eksempel 14.10
3
Du har givet en vektor v =  
 4
Du skal bestemme koordinaterne til vektor v’s enhedvektor e.
Du har formlerne fra før og mangler kun at bestemme v .
v = 32 + 4 2
v =5
Herefter kan du bestemme koordinaterne:
3
4
xe =
og y e =
5
5
x e = 0 , 6 og y e = 0 , 8
Du kan også skrive løsningen således:
 0 , 6
e =  
 0 , 8
Opgave 442
I et koordinatsystem er givet punkterne A(4,1) og B(-2,5).
Du skal bestemme koordinaterne til vektor AB’s enhedsvektor e.
563
564
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Opgave 443
11
Du har givet vektor a =  
6
Du skal bestemme koordinaterne til vektor a’s enhedsvektor e.
Opgave 444
 2
 4
Du har givet vektorerne r =   og s =  
−3
1 
a) Du skal bestemme koordinaterne til sumvektoren r + s’s enhedsvektor e.
b) Du skal bestemme koordinaterne til differensvektoren r − s’s enhedsvektor e.
Enhedsvektorer i koordinatsystemet
I koordinatsystemet har du nogle betegnelser for de enhedsvektorer,
der går i henholdsvis x- og y-aksens retning.
Enhedsvektoren i x-aksens retning betegner du i, og enhedsvektoren i
y-aksens retning betegner du j .
Udtrykker du disse enhedsvektorer ved hjælp af koordinater, bliver det:
1 
0
i =   og j =  
0
1 
Du får et eksempel. Du har en vektor 3 ⋅ i + 2 ⋅ j , som kan afbildes som
vist på figur 14.35.
y
3i + 2j
2j
3i
j
i
x
Figur 14.35
Du kan bestemme vektorens længde således:
3 ⋅ i + 2 ⋅ j = 32 + 22
3 ⋅ i + 2 ⋅ j = 3, 61
Skalarprodukt
Opgave 445
Du har givet vektorerne a = 4 ⋅ i + j og b = −i + 2 ⋅ j
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til a og længden a .
b) Koordinaterne til b og længden b .
c) Koordinaterne til sumvektoren a + b og a + b .
d) Koordinaterne til differensvektoren a − b og a − b .
e) Koordinaterne til vektoren 5 ⋅ a − 1, 5 ⋅ b og 5 ⋅ a − 1, 5 ⋅ b .
Skalarprodukt
Inden du bliver præsenteret for definitionen på et skalarprodukt, får du
et praktisk eksempel, der ender med opstilling af et udtryk, der viser
sig at kunne ”oversættes” til dette lidt mystiske begreb, som har fået
navnet skalarprodukt.
Du har en byrde, der bliver trukket hen over et underlag ved hjælp af
en kraft F som vist på figur 14.36.
Fy
F
v
Fx
S
Figur 14.36
Vejlængden kan opfattes som en vektor s, da s har både en længde og
en retning.
Trækkraften kan også opfattes som en vektor F, som opløses i to
komposanter Fx og Fy .
Fra fysikken har du en definition på det arbejde, der udføres ved en
sådan bevægelse. Den lyder:
”Arbejdet er lig med produktet af vejlængden og kraften i bevægelsesretningen”.
Det kan du udtrykke det i en ligning, som ser således ud:
A = Fx ⋅ s
565
566
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du har også, at cos v =
Fx
F
og dermed Fx = F ⋅ cos v
Indsætter du dette udtryk for Fx , får du:
A = F ⋅ s ⋅ cos v
Se lidt nøjere på dette udtryk.
Du har et produkt, hvori der indgår to vektorer. Indsætter du tal,
bliver resultatet et reelt tal.
En udregning af ”Arbejdet” i denne ligning giver altså et reelt tal.
Sådanne tal fik du navngivet i første afsnit i dette kapitel.
Navnet var skalarer.
Med denne baggrund kan du nu få en definition:
Skalarproduktet er det reelle tal, som du kan udtrykke som:
a ⋅ b ⋅ cos v
hvor v er vinklen mellem vektorerne a og b og (se figur 14.37).
Udtrykt i en ligning får du:
a b= a
b
cos v
hvor skrivemåden a • b er et symbol for skalarproduktet.
Skalarproduktet kaldes også prik-produktet,
men prikken må ikke forveksles med et gange-tegn.
a
v
b
Figur 14.37
Se på figur 14.38, figur 14.39 og figur 14.40 og sammenhold figurerne
med definitionen på skalarproduktet.
a
v
b
Figur 14.38
v
a
a
b
b
Figur 14.39
Figur 14.40
På figur 14.38 er vinklen mellem a og b 90°. Da cos 90° = 0, vil ska­
larproduktet a • b også være lig med 0.
Denne egenskab skal du bemærke dig !
Skalarprodukt
Den kan benyttes i mange sammenhænge og kan hjælpe dig til at komme frem til en løsning på en nemmere måde, end hvis du benytter andre metoder.
På figur 14.39 er vinklen mellem a og b spids, og da cosinus i 1.kvadrant er positiv, vil skalarproduktet a • b blive positivt.
På figur 14.40 er vinklen mellem a og b stump, og da cosinus i 2. kvadrant er negativ, vil skalarproduktet a • b blive negativt.
Opgave 446
Du har givet et kvadrat med sidelængde lig med 3 (figur 14.41).
B
C
A
D
Figur 14.41
Du skal forestille dig, at siderne i kvadratet er vektorer. Bestem følgende skalarprodukter:
a) AB CD
b) AB AC
c) BC BD
Opgave 447
Du har givet en ligesidet trekant med sidelængde lig med 5 (figur 14.42).
B
A
Figur 14.42
C
567
568
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du skal forestille dig, at siderne i trekanten er vektorer. Bestem følgende
skalarprodukter:
a) AB AC
b) AB BC
c) AB BA
<<< Opgave
Du får nu udvidet definitionen på skalarproduktet.
Har du givet to vektorer a og b ved deres koordinater
x 
x 
a =  1  og b =  2 
y 1 
y 2 
kan det vises, at skalarproduktet også kan udtrykkes således:
a • b = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
Du har hermed to definitioner på skalarproduktet, nemlig:
a • b = a ⋅ b ⋅ cos v eller a • b = x1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2
Har du givet vektorernes længder og den mellemliggende vinkel, anvender du det første udtryk.
Er vektorerne givet ved deres koordinater, anvender du det sidste udtryk.
Har du brug for at bestemme vinklen mellem to vektorer, kan du af
de to udtryk finde:
cos v =
x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
a ⋅ b
b
v
eb
ea
a
Figur 14.43
Arbejder du med de to vektorers enhedsvektorer ea og e b (se figur
14.43), kan du bestemme vinkel v således:
x ⋅ x + y ea ⋅ y eb
cos v = ea eb
1⋅ 1
Tælleren er skalarproduktet ea • e b , så formlen kan lettere skrives:
cos v = ea • e b
Skalarprodukt
Eksempel 14.11
−3
 4
Du har givet vektorerne a =   og b =  
5
6 
a) Du skal bestemme skalarproduktet a • b
b) Du skal bestemme vinklen mellem vektor a og vektor b .
a)
Du har, at
a • b = x1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 og kan indsætte
a • b = (−3) ⋅ 4 + 5 ⋅ 6
a • b = 18
b)
Du kan bestemme vinklen af:
cos v =
x1 ⋅ x 2 ⋅ y1 ⋅ y 2
a⋅b
Du kan indsætte og får:



18

v = cos-1 

 (-3)2 + 52 ⋅ 4 2 + 6 2 


v = 64, 65°
Eksempel 14.12
 6
2
Du har givet vektorerne a =   og b =  
−3
t
Du skal bestemme t, således at de to vektorer står vinkelret på hinanden.
Du kan benytte, at skalarproduktet a • b =0, når vektorerne står vinkelret på hinanden. Det kan skrives:
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 = 0 og du kan indsætte
6 ⋅ 2 + (-3) ⋅ t = 0
-3 ⋅ t = -12
t =4
Eksempel 14.13
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med A(-4,-1), B(-5,6)
og C(-2,5).
Du skal undersøge, om trekanten er retvinklet.
569
570
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du kan starte med at tegne trekanten i et koordinatsystem (se figur 14.44).
B(−5,6)
y
C(−2,5)
x
A(−4,−1)
Figur 14.44
Tegningen giver dig et overblik, og du har også mulighed for at se,
hvilken af vinklerne der måske kunne være 90°.
Umiddelbart er det vinkel C, du skal koncentrere dig om.
Der er flere muligheder, når du skal i gang med at undersøge, om
vinkel C er 90°.
Da du arbejder med vektorer, er det nærliggende at benytte reglen
om, at skalarproduktet er 0, når vektorerne står vinkelret på hinanden.
Du skal opfatte siderne CA og CB som vektorer, og du kan starte
med at bestemme vektorkoordinaterne.
−5 − (−2) −3
−4 − (−2) −2
  og CB = 
  
CA = 
=

 6 − 5  =  1 
 −1 − 5  −6
Herefter kan du indsætte i:
x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 = 0
(-2) ⋅ (-3) + (-6) ⋅ 1 = 0
0=0
Skalarproduktet CA • CB er lig med 0, og dermed har du fået vist, at
vinkel C = 90°.
Opgave 448
Du skal bestemme vinklen mellem vektorerne a og b , når:
 4
3
a) a =   og b =  
2
2
−1
−2
b) a =   og b =  
 3
 5
0
 6
c) a =   og b =  
2
 
3
Skalarprodukt
Opgave 449
Du skal bestemme t, således at vektor a og vektor b kommer til at stå
vinkelret på hinanden.
5
2
a) a =   og b =  
t
−1
t
 t 
b) a =   og b = 
3
−12
t 
2
c) a =   og b =  
1
 0
Opgave 450
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med A(-2,2), B(8,-8) og
C(-4,-4).
a) Du skal undersøge, om trekanten er retvinklet.
b) Du skal bestemme størrelsen af trekantens vinkler.
Opgave 451
I et koordinatsystem er givet fire punkter A(-1,2), B(1,6), C(9,2) og
D(7,-2).
Du skal undersøge, om firkant ABCD er et rektangel.
Opgave 452
2
3
Du har givet vektorerne a =   og b =  
1
 
1 
Du skal undersøge, om vektorerne ( 4 ⋅ a − b) og (−2 ⋅ a + 3 ⋅ b) står
vinkelret på hinanden.
571
572
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Tværvektor
Du har en vektor a som vist på figur 14.45.
y
−y
a
x
a
y
x
x
Figur 14.45
Du tegner en ny vektor vinkelret på a og med samme længde som a .
Denne nye vektor kalder du for tværvektoren til vektor a .
Du kan også få tværvektoren ved at dreje vektor a 90° mod uret.
Tværvektoren betegner du således a .
Ud fra de to ensvinklede trekanter får du:
-y
x 
Hvis vektor a =   , er tværvektoren a =  
y
x
Opgave 453
Du skal bestemme koordinaterne til tværvektoren a , når
−5
a) a =  
 3
 6
b) a =  
7 
−3
c) a =  
−8
Opgave 454
 3
Du har vektor a =   , som er beliggende i et koordinatsystem med
−1
begyndelsespunkt i (7,9).
Du skal bestemme tværvektoren a ’s pilpunkt i koordinatsystemet.
Opgave 455
En trekant er beliggende i et koordinatsystem og har hjørnepunkterne
(0,0), (-1,-4) og (5,-4).
Du drejer trekanten 90° mod uret om (0,0).
Du skal bestemme koordinaterne til den nye trekants hjørnepunkter.
Tværvektor
Opgave 456
Et kvadrat ABCD er beliggende i et koordinatsystem med A(1,-4) og
B(0,2).
Du skal bestemme koordinaterne til C og D.
Opgave 457
−1
Du har givet vektorerne a =  
 2
3
 4
b =   og c =  
5
−3
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til vektoren a + b + c samt a + b + c .
b) Koordinaterne til vektoren a − b − c samt a − b − c .
c) Skalarproduktet 3 ⋅ b • (a − c) .
d) Koordinaterne til vektoren −5 ⋅ c .
e) Koordinaterne til vektoren -5 ⋅ c .
f) Koordinaterne til vektoren -5 ⋅ ĉˆ .
g) Skalarproduktet (a + b) • ( b − a) .
h) ∠ ( b, c ) .
573
574
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Trekantens areal og tyngdepunkt
Du har tidligere set på forskellige formler for beregning af areal i en
trekant.
Du får her suppleret med yderligere en formel. Du har tidligere i
”Analytisk plangeometri” fået en determinant-formel til bestemmelse
af areal af en trekant. Trekanten var indlagt i et koordinatsystem og
havde hjørnepunkterne (x1,y1), (x2,y2) og (x3,y3). Determinant-formlen
så således ud:
x1
1 x2
Areal = ⋅ x3
2 x
1
y1
y2
y3
y1
=
1
⋅ x1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 3 + x 3 ⋅ y1 - x 2 ⋅ y1 - x 3 ⋅ y 2 - x1 ⋅ y 3
2
Du har en trekant og indlægger den i et koordinatsystem som vist på
figur 14.46 med et hjørnepunkt i (0,0).
y
b
a
x
(0,0)
Figur 14.46
Du opfatter to af siderne som vektorerne a og b med koordinater:
x 
x 
a =  1  og b =  2 
y 2 
y 1 
Du kan indsætte i determinant-formlen og får:
x1
1 x2
Areal = ⋅ 0
2
x1
Areal =
y1
y2
1
0 = 2 ⋅ x1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ y1 - x 2 ⋅ y1 - 0 ⋅ y 2 - x1 ⋅ 0
y1
1
x1 ⋅ y 2 - x 2 ⋅ y1
2
Med udgangspunkt i dette udtryk kan du ”konstruere” en ny determinant-formel, som ser således ud:
1 x
Areal = ⋅ 1
2 x2
y1
1
y2 = 2 ⋅ x1 ⋅ y 2 - x 2 ⋅ y1
Du har fra tidligere, at trekantens tyngdepunkt er beliggende i medianernes skæringspunkt.
Trekantens areal og tyngdepunkt
y
B(x2,y2)
A(x1,y1)
T(x,y)
C(x3,y3)
x
Figur 14.47
Indlægger du en trekant med hjørnepunkter (x1,y1), (x2,y2) og (x3,y3),
kan det vises, at koordinaterne til trekantens tyngdepunt T (se figur
14.47) kan bestemmes således:
 x + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3 
T (x , y) =  1
,



3
3
Eksempel 14.14
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med A(-6,-3), B(-4,1)
og C(-2,-2).
Du skal bestemme trekantens areal.
Du kan starte med at indtegne trekanten i et koordinatsystem som vist
på figur 14.48.
y
B
x
C
A
Figur 14.48
Du skal nu til at vælge, hvilke sider du vil opfatte som vektorer. Udgangspunktet er, at vektorerne skal udgå fra samme punkt. Her vælges
punktet A, og du får vektorerne
AB og AC.
Du bestemmer koordinaterne til de to vektorer:
−4 − (−6) 2
 =  
AB = 
 1 − (−3)   4
575
576
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
−2 − (−6)  4
 =  
AC = 
−1 − (−3) 1 
Nu kan du anvende determinant-formlen og får:
Areal =
4
1
1 2
⋅
2 4
=
1
⋅ 2 ⋅ 1- 4 ⋅ 4
2
Areal = 7
Eksempel 14.15
I et koordinatsystem er givet en trekant ABC med A(1,2) og B(-3,-4).
Endvidere er trekantens tyngdepunkt givet ved T(4,-2).
Du skal bestemme koordinaterne til punkt C.
Du kan indsætte i tyngdepunktsformlen:
 1 + (-3) + x 3 2 + (-4) + y 3 

,
( 4, -2) = 
3
3


hvor du har punkt C’s koordinater (x3,y3).
Du kan dele ligningen i to dele:
4=
1 + (-3) + x 3
3
og - 2 =
2 + (-4) + y 3
3
Herefter kan du løse ligningerne med hensyn til x3 og y3.
Beregningerne kommer til at se således:
4 ⋅ 3 = 1 - 3 + x3
12 = -2 + x3
14 = x3
(-2) ⋅ 3 = 2 - 4 + y3
-6 = -2 + y3
-4 = y3
Hermed har du koordinaterne til punkt C(14,-4).
Opgave 458
Du skal bestemme areal og koordinaterne til tyngdepunktet i følgende
trekanter, hvor hjørnepunkterne er:
a) (0,0), (4,6) og (7,5).
b) (-2,-3), (-5,6) og (-1,-7).
c) (3,-1), (2,3) og (-2,1).
Projektion
Projektion
Du kan projicere en vektor ind på en linje eller på en anden vektor som
vist på figur 14.49, figur 14.50 og figur 14.51.
b
b
bk
ba
b
k
a
a
b
v
b
bk
Figur 14.49
b
v
k
a
ba
Figur 14.50
ba
v
a
Figur 14.51
Skal du bestemme størrelsen af den projicerede vektor, parallelforskyder du vektorerne som vist, hvorved der fremkommer nogle trekanter,
du kan arbejde med.
Er vinkel v spids som vist på figur 14.50, får projektionsvektoren ba
samme retning som vektor a .
Er vinkel v stump som vist på figur 14.51, får projektionsvektoren ba
modsat retning af vektor a .
Kender du vinkel v og b , kan du bestemme:
bk = b ⋅ cos v og ba = b ⋅ cos v
Er det en vektor b , der skal projiceres ind på en anden vektor a (figur
14.50 og figur 14.51), kan du bestemme ba på en anden måde.
Du tager udgangspunktet i definitionen på skalarproduktet:
a • b = a ⋅ b ⋅ cos v
a•b
a
= b ⋅ cos v
og da ”højre-siden” b ⋅ cos v = ba , får du
ba =
a•b
a
577
578
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Koordinaterne til projektionsvektoren kan du bestemme således:
ba = ba ⋅ e a
hvor ea er vektor a ’s enhedsvektor.
Eksempel 14.16
2
5
Du har givet vektorerne a =   og b =  
3
2
Du skal projicere vektor b på vektor a , og bestemme projektionsvektorens længde og dens koordinater.
Du kan løse opgaven på flere måder. Du får vist to.
Løsning 1:
Du kan benytte:
ba =
a •b
a
Du kan indsætte og får:
ba =
5 ⋅ 2+2 ⋅ 3
52 + 22
= 2, 97
Koordinaterne til projektionsvektoren ba kan du bestemme af:
ba = ba ⋅ e a
Her mangler du koordinaterne til vektor a ’s enhedsvektor ea .
Enhedsvektoren ea kan du bestemme således:


5


 52 + 22  0 , 9285
 = 


ea = 
 0 , 3713
2



 2
 5 + 22 
Herefter kan du bestemme koordinaterne til ba :
0 , 9285 2, 76
ba = ba ⋅ ea = 2, 97 ⋅ 

=
0 , 3713 1, 10 
Projektion
Løsning 2:
Denne løsning bygger på en geometrisk betragtning, så du starter med
at tegne de to vektorer som vist på figur 14.52.
a
b
ba
v
va
vb
Figur 14.52
Du bestemmer vinklerne vb, va og v således:
 3
v b = tan-1   = 56 , 31°
 2 
 2
v a = tan-1   = 21, 80°
 5 
v = v b - v a = 56 , 31° - 21, 80° = 34 , 51°
Du bestemmer b således:
b = 32 + 22 = 3, 61
Nu kan du bestemme længden af projektionsvektoren ba :
ba = b ⋅ cos v = 3, 61 ⋅ cos 34 , 51° = 2,97
Nu mangler du kun koordinaterne til projektionsvektoren ba :
 b ⋅ cos v 
 a
2, 97 ⋅ cos 21, 80°° 2, 76
a
=
=
ba = 
 b ⋅ sin v  2, 97 ⋅ sin 21, 80°  1, 01 
a
 a
Opgave 459
Du har givet to vektorer a = 7 og b = 3. Endvidere er vinklen mellem vektor a og vektor b 60°.
Du skal bestemme:
a) Længden af vektor b ’s projektion på vektor a .
b) Længden af vektor a ’s projektion på vektor b .
c) Længden af differensvektoren a − b ’s projektion på vektor a .
d) Længden af differensvektoren a − b ’s projektion på vektor b .
579
580
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Opgave 460
2
Du har givet to vektorer: a =  
3
 4
b =  
−1
Du skal projicere vektor b på vektor a , og bestemme projektionsvektorens længde og dens koordinater.
Normalvektor
Du har tidligere arbejdet med ligningen for en linje i kapitlet ”Analytisk plangeometri”.
Du skal møde ligningen for en ret linje igen, men skrevet på denne
form:
ax + by + c = 0
Løser du ligningen med hensyn til y, får du en mere ”kendt” form,
nemlig:
a
c
y = - ×b
b
På figur 14.53 har du billedet af ligningen, og brøken er jo et udtryk for
linjens stigningstal.
y
n=v= a
b
b
v
−a
ax + by + c = 0
x
Figur 14.53
Samtidig kan du opfatte b og -a som koordinaterne til vektor v , altså:
 b
v =  
−a
:
Du kan bestemme vektor v ’s tværvektor v
 =  a
v
 b
Denne vektor kalder du normalvektoren til linjen ax + by + c = 0, og
du benævner den n , altså:
a 
n =  
 b
Afstand fra punkt til linje
Afstand fra punkt til linje
Du får her en formel, således at du kan bestemme afstanden z fra et
punkt P til en linje som vist på figur 14.54.
y
P(d,e)
z
ax + by + c = 0
x
Figur 14.54
Punktet P har koordinaterne (d,e) og linjen er givet på formen: ax + by
+ c = 0.
Formlen for afstanden z ser således ud:
z=
ad + be + c
a 2 + b2
Der er sat numerisk tegn om tælleren, da denne kan blive negativ på
grund af koordinaterne.
Du vil nu få at se, hvorledes formlen ”er kommet til verden”.
Se på figur 14.55.
y
n
v
Q(x,y) v
P(d,e)
z
ax + by + c = 0
x
Figur 14.55
Du vælger et vilkårligt punkt Q(x,y) på linjen og afsætter i dette punkt
linjens normal-vektor n med koordinater:
a 
n =  
 b
Du opfatter QP som en vektor og bestemmer dens koordinater:
d − x
QP = 

e − y 
Du kalder vinklen mellem vektor QP og normalvektoren n for v.
581
582
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Du benytter definitionen på skalarproduktet:
a • b = a ⋅ b ⋅ cos v = x1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2
Du indsætter og får:
n • QP = n ⋅ QP . cos v = a ⋅ (d − x ) + b ⋅ (e − y)
Du kan også udtrykke n og z:
n = a 2 + b2
z = QP ⋅ cos v
Disse to udtryk indsætter du og får:
a 2 + b2 ⋅ z = ad - ax + be - by
Du omskriver linjens ligning ax + by + c = 0, således:
c = -ax - by
Dette udtryk kan du også indsætte. Det bliver:
a 2 + b2 ⋅ z = ad + be + c
Ligningen løses med hensyn til z, og du får formlen:
z=
ad + be + c
a 2 + b2
Opgave 461
Du har givet en linje k: -2x + 4y - 8 = 0
Du skal bestemme:
a) Koordinaterne til linjens normalvektor n .
b) Afstanden mellem linjen k og punktet (2,6).
c) Afstanden mellem linjen k og punktet (0,0).
Opgave 462
Du har givet to parallelle linjer:
4x + 12y - 60 = 0
og
3x + 9y + 18 = 0
Du skal bestemme afstanden mellem de to linjer.
Problemopgaver
Problemopgaver
Som nævnt i starten af dette kapitel kan du i stor udstrækning anvende
vektorregningen inden for det tekniske område.
Vektorregningen har imidlertid mange berøringsflader til den
grundlæggende geometri, trigonometrien og den analytiske plangeometri, og du vil opdage, at du i mange tilfælde kan komme nemmere
igennem et beregningsforløb, hvis du inddrager vektorregningen ved
løsning af rene matematiske problemstillinger.
Opgaver kan som sagt løses på mange forskellige måder, så du bør
altid starte med at overveje mulighederne.
Det får du lejlighed til i de kommende opgaver.
Opgave 463
v
F
Figur 14.56
En container med en samlet tyngde F = 25 kN (kiloNewton) skal løftes
af en kran. Til løfteopgaven anvendes wirer med forskellige længder.
For at vurdere belastningen af wirerne, skal du bestemme størrelsen af
kræfterne i wirerne, når vinklen v (se figur 14.56) er:
a) 60°
b) 90°
c) 120°
d) 150°
583
584
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Opgave 464
En aksel er gennem et kileremstræk påvirket af tyngden af en kileremsskive G = 1,2 kN og gennem kileremstrækket af en kraft F = 3,43 kN,
som virker i retningen som vist på figur 14.57.
F
G
40°
Figur 14.57
a) Du skal bestemme den resulterende kraftpåvirkning på akslen.
b) Du skal bestemme retningen af den resulterende kraftpåvirkning.
Opgave 465
En gitterkonstruktion er belastet med såkaldte ydre kræfter som vist
på figur 14.58.
3,28 kN
1,56 kN
3m
4m
3 kN
2,46 kN
35°
Figur 14.58
a) Du skal vise, at summen af de ydre kræfter er lig med 0.
Problemopgaver
a)
I knudepunktet som vist på figur 14.59 skal summen af ydre kræfter og de
indre kræfter være lig med 0. De indre kræfter er kræfterne i stængerne.
1
2
3 kN
Figur 14.59
b) Du skal ud fra de nævnte forudsætninger bestemme størrelsen af
stangkraft nr. 1 og størrelsen af stangkraft nr. 2.
Opgave 466
En flyvemaskine flyver fra en lufthavn A mod en anden lufthavn B, der
ligger som vist på figur 14.60 i en retning på 63° i forhold til nord.
N
B
63°
A
v
z
vF
vv
10°
Figur 14.60
Flyvemaskinens hastighed v f er 310 km/timen, men der er samtidig
en vind fra syd (10° i forhold til nord). Vindens hastighed v v er målt
til 8 meter/sekund.
a) Du skal bestemme vinkel z under forudsætning af, at flyvemaskinen flyver direkte mod lufthavn B.
b) Du skal bestemme flyvemaskinens resulterende hastighed v.
585
586
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Resumé 14. kapitel
Vektorkoordinater
x 
a =  
y
a
y
x
Vektorkoordinater i et koordinatsystem
x − x1 
AB =  2

y 2 − y 1 
y
B(x2,y2)
y2 − y1
A(x1,y1)
x2 − x1
x
Multiplikation af skalar med vektor
n ⋅ x 
n ⋅ a = 

n ⋅ y
n.a
n.y
a
y
x
n.x
b
r
Addition af to vektorer
r = a+b
Hvis
x 
x 
a =  1  og b =  2  er
y 2 
y 1 
x + x 2 
a + b =  1

y 1 + y 2 
P
a
a
a
b
P
r
b
Resumé 14. kapitel
Vektorer i ligevægt
b
 0
a + b + c + d =  
 0
a
c
d
Subtraktion af vektorer
a − b = a + (−b)
a
Hvis
b
x 
x 
a =  1  og b =  2  er
y 2 
y 1 
−b
x − x 2 
a − b =  1

y 1 − y 2 
b
a
a−b
Enhedsvektor
x 
e =  e 
y e 
v
e
xe =
x
v
og y e =
y
v
y
ye
xe
x
Skalarprodukt
a • b = a ⋅ b ⋅ cos v
a • b = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
a
v
cos v =
x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
b
a ⋅ b
cos v = ea • e b
Skalarproduktet a • b = 0,
når vektorerne står vinkelret på hinanden.
a
b
587
588
Teknisk matematik · VEKTORER I PLANET
Tværvektor
y
x 
Hvis a =   er
y
−y
-y
a =  
 x
x
a
a
y
x
x
Trekantens tyngdepunkt
y
B(x2,y2)
 x + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3 
T (x , y) =  1
,



3
3
T(x,y)
A(x1,y1)
C(x3,y3)
x
Trekantens areal
y
Areal =
=
1 x1 y 1
⋅
2 x2 y2
1
⋅ x1 ⋅ y 2 - x 2 ⋅ y 1
2
B
x
C
A
Projektion
b
ba = b ⋅ cos v
ba
ba =
a•b
a
b
v
ba = ba ⋅ e a
a
ba
a
Resumé 14. kapitel
Afstand fra punkt til ret linje
y
z=
ad + be + c
a 2 + b2
P(d,e)
z
ax + by + c = 0
x
589
590
Teknisk matematik · 
Det rumlige koordinatsystem
VEKTORER I RUMMET
591
15
Det rumlige koordinatsystem
Du har tidligere arbejdet med geometriske elementer som punkter, linjer, kurver og figurer, hvor udgangspunktet var, at du arbejdede med
dem i et plan.
De konstruktioner, du møder i hverdagen, er i almindelighed rumlige.
Det kan være huse, biler, cykler, møbler osv. Du skal nu til at arbejde
med geometriske elementer i rummet, og her vil det være mest praktisk
at have et rumligt koordinatsystem til rådighed. Du skal derfor starte
med at se, hvorledes et rumligt koordinatsystem er opbygget.
Det rumlige koordinatsystem har tre akser, der står vinkelret på hinanden gennem samme 0-punkt. Prøv at forestille dig et punkt i et gulvhjørne i et værelse. Hjørnekanterne ud fra punktet vil danne tre akser,
og du har et rumligt koordinatsystem.
For at give en rumlig effekt er de tre akser afbildet i figur 15.01 i en
såkaldt isometrisk afbildning. Du har en lodret z-akse og to vandrette
akser (en x- og en y-akse). De to vandrette akser er tegnet, så de danner
120° med hinanden, eller sagt på en anden måde - de to akser danner
hver 30° med vandret.
Den isometriske afbildningsform er også et meget anvendt tegnesystem, når du skal gengive rumlige figurer. Ligesom der findes millimeterpapir, findes der også isometrisk tegnepapir, der gør det nemt, når
du skal tegne rumlige figurer.
z
x
Figur 15.01
y
592
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
z
x
y
Figur 15.02
På figur 15.02 har du et sådant isometrisk tegnepapir, hvor de tre akser er
indtegnet. Som det også fremgår af figur 15.02, har du tre planer at arbejde
med, nemlig to lodrette, et xz-plan og et yz-plan og et vandret xy-plan.
Punkter i rummet
Du kan fastlægge et punkt P i rummet ved tre koordinater, en x-, en yog en z-koordinat. Du kan beskrive punktet P således: P(x,y,z).
På figur 15.03 er der i et rumligt koordinatsystem indtegnet en kasse
med målene 4, 2 og 3. Med målene på kassen som udgangspunkt kan
du bestemme punktet P(2,4,3). På tilsvarende måde kan de øvrige hjørnepunkter bestemmes og beskrives som vist.
z
(0,0,3)
(2,0,3)
(0,4,3)
(0,0,0)
O
P(x,y,z)
3
(2,0,0)
x
(0,4,0)
4
2
(2,4,0)
Figur 15.03
y
Afstande i rummet
593
På figur 15.03 har du en vektor indtegnet fra O til P. Du kan måske
huske, at en vektor, der udgår fra punktet (0,0,0), har et specielt navn,
nemlig en stedvektor.
Stedvektorens koordinater kan du beskrive således:
x 
 
OP = y
z 
Stedvektorens koordinater beskriver således et punkt i rummet, og du
skal bemærke dig denne sammenhæng, idet den danner udgangspunkt
for mange af de kommende beskrivelser af situationer i rummet.
Afstande i rummet
Når du skal bestemme afstande i rummet, kan du indføre vektorer. Kan
du bestemme længden af en vektor, har du også en afstand.
v
y
x
Figur 15.04
Har du en vektor v i planet som vist på
figur 15.04, danner dens koordinater x
og y en retvinklet trekant. Den kan du
benytte, når du skal bestemme længden
af vector v.
Er du i rummet og har en stedvektor
z
x 
 
OP = y
z 
som vist på figur 15.05, vil dens koordinater danne to retvinklede trekanter.
Dem kan du be­nytte som beregningsgrundlag, når du skal bestemme længden af vektor OP .
Du kan starte med vektor OA . Længden
kan du bestemme således:
x
P(x,y,z)
O
x
y
y
OA = x 2 + y 2
A
Figur 15.05
594
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
På tilsvarende måde med længden af stedvektoren OP:
(x 2 + y 2 ) + z 2
2
OP =
og dermed
OP = x 2 + y 2 + z 2
Formlen giver dig afstanden mellem punkt O(0,0,0) og et punkt
P(x,y,z).
z
x
z2 − z1
A(x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
y
y2 − y1
x 2 − x1
Figur 15.06
Har du givet to punkter A(x1,y1,z1) og B(x2,y2,z2) som vist på figur 15.06
og skal bestemme afstanden mellem A og B, kan du tegne vektor AB.
Ved hjælp af ”kassen” og koordinaterne kan du bestemme længden af
vektor AB:
2
2
2
AB = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y 1 ) + (z 2 − z1 )
Formlen giver dig afstanden mellem to punkter A og B. Formlen kaldes
afstandsformlen.
Afstande i rummet
Eksempel 15.01
I en massiv kasseformet blok som vist på figur 15.07 skal der bores et
hul mellem punkterne A og B. Den kasseformede blok er indlagt i et
rumligt koordinatsystem, og målene på figuren er i millimeter.
z
10
10
A
30
x
B
50
10
30
y
40
Figur 15.07
Du skal bestemme borelængden AB.
Du skal først fastlægge koordinaterne til punkterne A og B. Ved at betragte figuren får du:
A(10,0,20) og B(30,50,10)
Derefter skal du bestemme koordinaterne til vektor AB:
30 − 10  20 

 

AB =  50 − 0  =  50 

10 − 20 −10
Endelig kan du bestemme borelængden som længden af vektor AB :
2
AB = 20 2 + 50 2 + (−10)
AB = 54 , 77 mm
595
596
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Kuglen i rummet
I et rumligt koordinatsystem som vist på figur 15.08 er indlagt en kugle
med centrum i (0,0,0) og radius r.
z
r
(x,y,z)
x
y
Figur 15.08
Du kan indtegne en stedvektor som vist. Stedvektorens endepunktskoordinater (x,y,z) giver dig et punkt på kuglens overflade. Ved at benytte
afstandsformlen får du:
x 2 + y 2 + z2 = r
Ved at kvadrere får du:
x 2 + y 2 + z2 = r2
z
(x,y,z)
(a,b,c)
x
y
Figur 15.09
Flytter du kuglen ud i rummet som vist på figur 15.09, således at centrum bliver (a,b,c), kan du beskrive ligningen således:
2
2
2
(x − a) + (y − b) + (z − c) = r 2
Ligningen kaldes kuglens centrumsligning.
Kuglen i rummet
Du kan direkte aflæse koordinaterne til kuglens centrum (a,b,c) og kuglen radius r.
Du får et par eksempler:
(x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2 = 32
Ligningen fremstiller en kugle med
centrum i (2,4,5) og radius r = 3
x2 + (y + 6)2 + (z – 8)2 = 4
Ligningen fremstiller en kugle med
centrum i (0,–6,8) og radius r = 2
Har du derimod en ligning som
x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 16y − 10z − 7 = 0
er det svært at gennemskue, om ligningen fremstiller en kugle.
Fra kapitlet ”Analytisk plangeometri” kan du sikkert huske cirklens
ligning i planet. Problemet var det samme. Det eneste nye her er zleddene. Du skal omskrive ligningen, så den får udseende som kuglens
centrumsligning.
Her får du omskrivningerne. Du starter med at samle leddene, der
hører sammen:
x 2 − 4x + y 2 + 16y + z 2 − 10z − 7 = 0
Du skal opfatte leddene ”4x”, ”16y” og ”10z” som ”det dobbelte produkt”. Omskrivningerne kommer til at se sådan ud:
(x – 2)2 – 4 + (y + 8)2 – 64 + (z – 5)2 – 25 – 7 = 0
(x – 2)2 + (y + 8)2 + (z – 5)2 – 4 – 64 – 25 – 7 = 0
(x – 2)2 + (y + 8)2 + (z – 5)2 = 100
(x – 2)2 + (y + 8)2 + (z – 5)2 = 102
Hermed har du kuglens centrumsligning, og du kan aflæse centrumskoordinaterne til (2,– 8,5) og radius r = 10.
Generelt får du kuglens centrumsligning, når tallet på ”højre-siden” i
ligningen er positivt, og du kan bestemme radius ved at tage kvadratroden af tallet.
Bliver ”højre-siden” lig med 0, får du blot beskrevet et punkt, nemlig cirklens centrumskoordinater.
Bliver ”højre-siden” negativ, vil ligningen ikke fremstille en kugle.
597
598
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 467
Du har givet to punkter: A(– 1,3,4) og B(4,– 2,1)
a) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren AB .
b) Du skal bestemme længden af vektoren AB .
Opgave 468
Du har givet en trekant ABC med hjørnepunkter: A(1,3,1), B(2,5,0) og
C(4,1,3).
a) Du skal bestemme længden af trekantens sider.
b) Du skal bestemme størrelsen af vinkel A.
c) Du skal bestemme arealet af trekant ABC.
d) Du skal bestemme koordinaterne til midtpunktet på siden BC.
e) Du skal bestemme længden af medianen mBC.
Opgave 469
En pyramide med rektangulær grundflade og højden h = 4 cm er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 15.10.
z
T
s
D
h
A
x
C
3
2
y
B
Figur 15.10
a) Du skal bestemme koordinaterne til grundfladens hjørnepunkter
A, B, C og D og koordinaterne til pyramidens toppunkt T.
b) Du skal bestemme længden af en af pyramidens sidekanter s.
Kuglen i rummet
Opgave 470
En del af en rumlig gitterkonstruktion er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 15.11. Alle mål er i meter.
z
D
E
F
3
A
x
2,5
1
y
B
3
2,5
C
Figur 15.11
a) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne A, B, C, D, E og F.
b) Du skal bestemme længderne af stængerne AD, AE, BE, CE og CF.
599
600
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 471
Du har givet et punkt P(4,2,3).
a) Du skal tegne en skitse af et rumligt koordinatsystem og indlægge
punktet P.
b) Du skal herefter bestemme følgende afstande fra P til:
1) xy-planet 2) yz-planet 3) xz-planet 4) x-aksen 5) y-aksen 6) z-aksen
Opgave 472
Du har givet følgende ligninger:
a) x 2 + y 2 + z 2 − 4x + 12y + 6z = 0
b) x 2 + y 2 + z 2 − 16x − 10y − 32 = 0
c) x 2 + y 2 + z 2 + 8x − 14y − 18z + 2 = 0
Du skal for hver af de tre ligninger undersøge, om de fremstiller en
ligning for en kugle. I bekræftende fald skal du angive koordinaterne
til kuglens centrum og kuglens radius r.
Addition og subtraktion
Reglerne for addition og subtraktion for vektorer i planet kan du overføre til rummet. Det får du demonstreret i det kommende eksempel.
Eksempel 15.02
Du har givet tre vektorer:
 3 
 4 
8
 
 
 


a =  2  , b = −5 , c = 3


−1
 6 
7 
Du skal bestemme længden a + 2 b − c
Du bestemmer først koordinaterne til vektoren:
 3 + 2 ⋅ 4 − 8   3 


 
a + 2 b − c = 2 + 2 ⋅ (−5) − 3 = −11
 −1 + 2 ⋅ 6 − 7   4 


 
Herefter kan du bestemme længden af vektoren a + 2 b − c :
2
a + 2 b − c = 32 + (−11) + 4 2 = 12, 08
Enhedsvektorer
601
Enhedsvektorer
Da du arbejdede med vektorer i planet, havde du to enhedsvektorer.
Når du arbejder i det rumlige koordinatsystem, har du tre enhedsvektorer i , j og k som vist på figur 15.12.
z
k
i
j
y
x
Figur 15.12
Du kan beskrive de tre enhedsvektorer således:
1 
0
0
 
 
 
i = 0 , j = 1  , k = 0
0
0
1 
Har du givet en vektor a:
x 
 
a = y
z 
og skal bestemme koordinaterne til vektor a’s enhedsvektor, kan du
starte med at bestemme længden af vektor a:
a = x 2 + y 2 + z2
a
Du har vektor a og dens enhedsvektor ea som vist på figur 15.13.
Symbolsk er koordinatlængderne x og xe også vist.
ea
Af de to ensvinklede trekanter får du:
xe
xe
1
=
x
a
x
Figur 15.13
Du løser ligningen med hensyn til xe:
xe =
x
a
=
x
2
x + y 2 + z2
På tilsvarende måde kan du også bestemme koordinaterne ye og ze.
602
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Skal du bestemme koordinaterne til vektor a ’s enhedsvektor ea , kan du
sammenfatte det således (se figur 15.14):
z
a
ea
x
y
Figur 15.14


x


 2

 x + y 2 + z 2 


y

ea = 
 x 2 + y 2 + z 2 




z

 2

 x + y 2 + z 2 
Opgave 473
Du har givet to vektorer:
−4
 1 
 
 
a =  3  , b =  5 

 2 
−6
a) Du skal bestemme koordinaterne til vektor a + b og længden a + b .
b) Vektoren a + b har begyndelsespunkt i (1,3,2). Du skal bestemme
koordnaterne til vektorens endepunkt (pilpunktet).
Opgave 474
Du har givet tre vektorer:
−2
 5 
 
 
 
3
p =  1  , q = −3 , r = 2
 3 
 2 
6
a) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren p + q + r og længden p + q + r .
b) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren p − q − r og længden p − q − r .
Skalarprodukt
c) Du skal bestemme koordinaterne til vektoren 2p + 4q − 3r og længden 2p + 4q − 3r .
Opgave 475
Du har givet en vektor a:
−6
 
a =  8 
 12 
Du skal bestemme koordinaterne til vektor a ’s enhedsvektor ea
Skalarprodukt
Fra vektorer i planet har du definitionen på skalarprodukt eller prikprodukt. Denne definition kan også udvides til at gælde i rummet.
z
b
x
v
y
a
Figur 15.15
Har du som vist på figur 15.15 to vektorer a og b og vinklen v mellem
dem, har du definitionen:
a b
a ⋅ b ⋅ cos v
Har du koordinaterne til vektor a og vektor b, kan definitionen udvides
således:
a b
a ⋅ b ⋅ cos v = x1x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2
Skal du bestemme vinklen mellem to vektorer, kan du løse ligningen
med hensyn til cos v:


 x x + y 1 y 2 + z1 z 2 

cos v =  1 2


a b

603
604
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Derefter kan du bestemme vinkel v:


 x1x 2 + y 1y 2 + z1z 2 

v = cos 


a⋅b

−1
Har du et tilfælde som vist på figur 15.16, hvor de to vektorer a og b
står vinkelret på hinanden, har du, at
cos v = cos 90° = 0
z
b
x
y
a
Figur 15.16
Leddet cos v indgår i definitionen på skalarproduktet, og du får derfor:
a• b= 0
eller
x 1x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0
Eksempel 15.03
Du har givet to vektorer:
5
−2
 
 
a =  4 , b =  1 
3
−3
Du skal bestemme vinklen mellem de to vektorer.
Skalarprodukt
Du kan benytte ligningen:


 x x + y 1y 2 + z1z 2 

v = cos−1  1 2


a⋅b

Du indsætter:



5 ⋅ (−2) + 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−3)

v = cos−1 

 52 + 4 2 + 32 ⋅ (−2)2 + 12 + (−3)2 


v = 124,54°
og får:
Eksempel 15.04
Du har givet to vektorer:
2
−1
 
 

a = 3 , b = −2

t 
 4 
Du skal bestemme t, således at de to vektorer a og b står vinkelret på
hinanden.
Du kan benytte ligningen:
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0, som jo gælder, når to vektorer står vinkelret på
hinanden.
Du kan indsætte:
2 ( − 1) + 3 ( − 2) + 4t = 0
− 2 − 6 + 4t = 0
t= 2
Opgave 476
Du har givet to vektorer:
 8 
−5
 
 
a = −3 , b =  2 
 6 
 1 
Du skal bestemme vinklen mellem vektor a og vektor b.
605
606
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 477
Du har givet to vektorer:
 5 
 t 
 
 
a = −6 , b =  6 

 2 
−2
Du skal bestemme t, således at de to vektorer a og b står vinkelret på
hinanden.
Opgave 478
Du har givet en trekant ABC med vinkelspidser:
A(3,2,4), B(6,0,5) og C(4,8,1)
Du skal bestemme størrelsen af vinkel A, vinkel B og vinkel C.
Opgave 479
Du har givet vektorerne:
−2
−3
 
 
a =  6  , b =  9 
 10 
 15 
Du skal undersøge, om de to vektorer er parallelle.
Opgave 480
Du har givet to vektorer:
 3 
 t 
 
 

a = −1 , b = −4

 5 
 20 
a) Du skal bestemme t, således at de to vektorer er parallelle.
b) Du skal bestemme t, således at de to vektorer står vinkelret på hinanden.
Projektion
Projektion
Har du en vektor b, som skal projiceres på en anden vektor a, vil det
geometrisk se ud som vist på figur 15.17.
b
v
a
v
ba
Figur 15.17
Målet er, at du skal bestemme længden af projektionsvektoren ba .
Du starter med den retvinklede trekant og benytter:
ba
cos v =
b
Herefter får du længden af projektionsvektoren ba :
ba = b cos v
Nu skal du i gang med en lille omskrivning. Du kan starte med
skalarproduktet:
a b cos v
a b
Du dividerer med a på begge sider af lighedstegnet. Du får så:
b cos v =
a b
a
”Venstre-siden” i ligningen er jo netop lig med længden af projektionsvektoren. Du får derfor følgende ligning:
ba =
a b
a
Du er nu fremme ved målet. Ligningen giver dig længden af projektionsvektoren ba , når du kender skalarproduktet a b og længden af
vektor a.
Da det er en længde, du bestemmer, er der numerisk tegn om
skalarproduktet i tælleren.
607
608
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 481
Du har givet to vektorer:
 4 
−9
 
 
a = −6 , b =  5 
 3 
 7 
a) Du skal bestemme længden af vektor b’s projektion på vektor a.
b) Du skal bestemme længden af vektor a’s projektion på vektor b.
Parameterfremstilling af ret linje i rummet
Du har tidligere arbejdet med opstilling af en ret linjes ligning i planet.
Forudsætningen var, at du skulle kende et punkt og et stigningstal. Det
er det samme, når du skal opstille en ligning for en ret linje i rummet. Du
skal kende et punkt og en retningsvektor. Retningsvektoren fortæller det
samme om en linje i rummet som et stigningstal for en linje i planet.
z
P
O
r
x
P0
y
Figur 15.18
På figur 15.18 har du en ret linje, der går gennem et punkt P0(x0,y0,z0).
Linjen har en retningsvektor r, der er givet ved:
rx 
 
r = ry 
 
rz 
Parameterfremstilling af ret linje i rummet
Målet er, at du skal kunne beskrive et punkt P(x,y,z) på linjen. Det kan
du gøre ved hjælp af stedvektoren OP. Du kan opfatte stedvektoren OP
som resultant eller sumvektor af de to vektorer OP0 og P0 P . I en ligning
kan du skrive:
OP = OP0 + P0 P
Vektoren P0 P kan også beskrives som t·r, hvor t er en parameter. Ligningen kommer da til at se således ud:
OP = OP0 + r ⋅ t
Du kan også benytte vektorernes koordinater. Indsat får du:
x  x 0 + rx ⋅ t 
  

y = y 0 + ry ⋅ t


z  
z 0 + rz ⋅ t 
Så er du fremme ved målet, nemlig at kunne bestemme et punkt P(x,y,z)
på linjen, når du kender et punkt P0(x0,y0,z0) på linjen og linjens retningsvektor r.
Denne skriveform kaldes en parameterfremstilling af en ret linje i
rummet.
Eksempel 15.05
Du har givet en ret linje, der går gennem punkterne A(−2,3,4) og
B(6,−1,5)
Du skal opstille en parameterfremstilling for linjen.
Du starter med at bestemme linjens retningsvektor r:
6 − (−2)  8 

  
r =  −1 − 3  = −4
 5 − 4   1 
  

609
610
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Du kan nu opstille parameterfremstillingen for linjen og kan vælge at
benytte A eller B som begyndelsespunkt.
Det kommer til at se således ud:
x  −2 + 8 t
  

y =  3 − 4t  eller
z   4 + 1t 
x   6 + 8 t 
  

y = −1 − 4t
z   5 + 1t 
Skæring mellem linjer i rummet
Du har fra kapitlet ”Analytisk plangeometri”, at to linjer i planet skærer
hinanden, når de har forskelligt stigningstal.
Dette kan du også overføre til to linjer i rummet og kræve, at retningsvektorerne skal være forskellige, men det er ikke nok!
Du har tre figurer, figur 15.19, figur 15.20 og figur 15.21, som kan
illustrere problemet.
Du skal forestille dig, at to personer står i mørket og lyser med hver
sin lygte.
På figur 15.19 er de to lygter i samme højde, og lysstrålerne er parallelle. Lysstrålerne vil aldrig skære hinanden, og det kan matematisk
forklares ved, at de to retningsvektorer er ens.
z
x
y
Figur 15.19
På figur 15.20 drejes den ene lygte som vist, og du får et skæringspunkt
mellem de to lysstråler. Forudsætningen er, at drejningen foregår i samme plan.
z
x
Figur 15.20
y
Skæring mellem linjer i rummet
På figur 15.21 drejes den ene lygte igen, men denne gang således, at
drejningen ikke foregår i samme plan. Du får ikke noget skæringspunkt
mellem de to stråler, selv om retningsvektorerne er forskellige. Linjer,
der ligger på denne måde, og som ikke har noget skæringspunkt, kaldes for vindskæve.
z
x
y
Figur 15.21
Du vil i de kommende eksempler få at se, hvorledes du kan bestemme
et skæringspunkt mellem to linjer i rummet og ligeledes få konstateret,
når linjerne er vindskæve.
Eksempel 15.06
Du har givet to linjer a og b med følgende parameterfremstillinger:
x   2 + 1t1 
x  −5 + 2t 2 
  
  


a : y = −2 − 4 t1  b : y =  4 + 3t 2 


z   3 + 3t 
z   2 − 4t 
1
2
a) Du skal undersøge, om linjerne har et skæringspunkt.
b) Du skal bestemme koordinaterne til et evt. skæringspunkt.
a)
Du kan starte med at se på de to linjers retningsvektorer, som du kan
bestemme direkte ud fra parameterfremstillingerne. Du får:
 1 
 2 
 
 
a : ra = −4 b : rb =  3 
 3 
−4
611
612
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Du kan se, at de ikke er ens. Dermed kan du konstatere, at linjerne ikke
er parallelle. Du kan derfor fortsætte med at undersøge, om de to linjer
har et skæringspunkt.
Du kan danne tre ligninger ud fra parameterfremstillingerne:
2 + 1t1 = −5 + 2t 2
−2 − 4t1 = 4 + 3t 2
3 + 3t1 = 2 − 4t 2
Hvis der er et skæringspunkt, skal du bestemme værdier af t1 og t2, som
kan tilfredsstille alle tre ligninger.
Du kan starte med at tage de to første ligninger og løse som to ligninger med to ubekendte.
Du kan starte med at udtrykke t1 af den første ligning:
t 1 = −5 − 2 + 2t 2
t 1 = −7 + 2t 2
Dette udtryk for t1 indsætter du i den anden ligning:
−2 − 4( − 7 + 2t 2 ) = 4 + 3t 2
−2 + 28 − 8t 2 = 4 + 3t 2
−11t 2 = −22
t2 = 2
Du skal også have bestemt t1:
t 1 = −7 + 2 ⋅ 2
t 1 = −3
Skæring mellem linjer i rummet
Du mangler nu at undersøge, om de to fundne værdier af t1 og t2 kan
tilfredsstille den sidste ligning.
Du indsætter og får:
3 + 3 ·( − 3) = 2 − 4 · 2
−6 = −6
Ligningen stemmer, og dermed har du et skæringspunkt mellem de to
linjer.
b)
Du mangler at bestemme skæringspunktet. Det kan du gøre ved at indsætte værdierne af t1 og t2 i parameterfremstillingen for en af de to linjer.
Du kan vælge at indsætte i parameterfremstillingen for linje a og får:
x   2 + 1 ⋅ (−3)  −1
  
  
y = −2 − 4 ⋅ (−3) =  10 


  
z  
 3 + 3 ⋅ (−3)  −6
z
A(2,−2,3)
B(−5,4,2)
O
x
y
P(−1,10,−6)
Figur 15.22
Løsningen er vist på figur 15.22, hvor de to linjer er indtegnet i et rumligt koordinatsystem med skæringspunktet P(– 1,10,– 6).
Eksempel 15.07
Du har givet to linjer a og b med følgende parameterfremstillinger:
x   2 + 1t1 
x  −5 + 2t 2 
  
  


a : y = −2 − 4 t1  b : y =  4 + 3t 2 
z  −1 + 3t 
z   2 − 1t 
1
2
a) Du skal undersøge, om linjerne har et skæringspunkt.
b) Du skal bestemme koordinaterne til et evt. skæringspunkt.
613
614
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
a)
Som du kan se af de to linjers parameterfremstillinger, er udtrykkene
for x og y de samme som i forrige eksempel.
Du kan derfor fastslå, at t1 = 3 og t2 = 2.
Du kan derfor indsætte værdierne af t1 og t2 i den sidste ligning. Du får:
−1 + 3 · ( − 3) = 2 − 2
−10 = 0
Som du kan se, stemmer ligningen ikke, og du kan konstatere, at der
ikke er noget skæringspunkt mellem de to linjer.
b)
Der er ikke noget skæringspunkt, så der er 2 muligheder. Linjerne er
parallelle, eller de er vindskæve. Ser du på linjenesretningsvektorer,
kan du se, at de er forskellige og dermed kan du konkludere, at linjerne
er vindskæve.
Opgave 482
Du skal opstille en parameterfremstilling for henholdsvis x-, y- og zaksen.
Opgave 483
Du har givet en ret linje, som går gennem punkterne A(1,2,– 4) og B(3,–
2,5)
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for linjen.
b) Du skal bestemme koordinaterne til linjens skæringspunkter med
henholdsvis xy-, yz- og zx-planet.
Vektorprodukt
Opgave 484
Du har givet tre punkter: A(– 3,1,5), B(2,– 4,– 2) og C(12,– 14,– 16)
Du skal undersøge, om de tre punkter ligger på samme linje.
Opgave 485
To rette linjer er givet ved følgende parameterfremstillinger:
x   10 − 5t1 
x  21 − 4t 2 
  
  



a : y = −1 − 1t1  b : y = 10 − 3t 2 



z   6 − 3t 
z  −1 + 4t 
1
2
a) Du skal undersøge, om linjerne har et skæringspunkt.
b) Du skal bestemme koordinaterne til et evt. skæringspunkt.
Opgave 486
En ret linje k går gennem punktet (12,10,– 5) og har en retningsvektor rk .
En anden linje m går gennem punktet (6,– 2,– 4) og har en retningsvektor rm .
Retningsvektorerne rk og rm er givet ved:
−10
 −2 

 

rk =  −5  , rm = 3, 5

 9 
 4 
a) Du skal undersøge, om linjerne har et skæringspunkt.
b) Du skal bestemme koordinaterne til et evt. skæringspunkt.
Opgave 487
To rette linjer p og q går gennem følgende punkter:
p: (12,10,– 5) og (20,– 4,3)
q: (5,– 8,3) og (10,6,7)
a) Du skal undersøge, om de to linjer p og q har et skæringspunkt.
b) Du skal bestemme koordinaterne til et evt. skæringspunkt.
615
616
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Vektorprodukt
Som vist på figur 15.23 har du givet to vektorer a og b, der ikke er parallelle. Vinklen v mellem de to vektorer a og b ligger i intervallet ]0°;180° [.
a×b
b
v
a
Figur 15.23
Med denne baggrund skal du nu have defineret en ny vektor, der står
vinkelret på både vektor a og vektor b.
Denne nye vektor symboliseres som a × b, og den kaldes krydsproduktet eller vektorproduktet.
Længden på denne nye vektor defineres som
a × b = a ⋅ b ⋅ sin v
Du skal bemærke rækkefølgen på vektorerne!
Det kaldes et højresystem. Du skal forestille dig, at du med højre
hånds bøjede fingre drejer vektor a over mod vektor b. Tommelfingeren vil da angive retningen på denne nye vektor a × b.
Der er også en geometrisk sammenhæng, som du skal se på. De to
vektorer a og b udspænder et parallelogram som vist på figur 15.24.
a×b
b
v
h
a
Figur 15.24
Arealet af et parallelogram kan du udtrykke således:
Vektorprodukt
Areal = højde · grundlinje
Af den retvinklede trekant får du:
sin v =
h
b
, h = b ⋅ sin v
Grundlinjen kan du udtrykke ved længden af vektor a, og dermed får
du arealet:
Areal = a ⋅ b ⋅ sin v
Hermed har du, at den numeriske værdi af krydsproduktet a × b er lig
med arealet af det parallelogram, som udspændes af de to vektorer a
og b.
Krydsproduktet har altså to betydninger:
1. Som længden af en ny vektor, a × b, der står vinkelret på
a vektor og vektor b.
2. Som arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer a og b.
Det kan vises, at vektorkoordinaterne til krydsproduktet a × b kan bestemmes ved hjælp af en matrix- og determinantformel.
Du har givet vektorerne a og b :
a1 
 b1 
 
 
a = a 2  , b b2 

a 
 b 
3
3
Formlen ser således ud:
a 2 b2
= a 2 b3 − a 3 b2
a 3 b3
a b
a × b : y = 3 3 = a 3 b1 − a1 b3
a1 b1
a b
z = 1 1 = a1 b2 − a 2 b1
a 2 b2
x=
617
618
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Af praktiske grunde kan du gøre det nemmere ved at benytte følgende
opstilling:
a1 b1
a 2 b2
x=
= a2 b3 − a3 b2
a 3 b3
a× b : y =
= a3 b1 − a1 b3
a1 b1
= a1 b2 − a2 b1
z=
a 2 b2
a 3 b3
Eksempel 15.08
Du har givet to vektorer:
 4 
−2
 
 

a =  3  , b =  5 

−6
 1 
Du skal bestemme koordinaterne til krydsproduktet a × b.
Du kan benytte matrix- og determinantformlen og får:
4 −2
3
5
x=
−6 1
a× b : y =
4 −2
z=
3
5
−6 1
= 3 ⋅ 1 − (−6) ⋅ 5
= 33
= (−6) ⋅ (−2) − 4 ⋅ 1 = 8
= 4 ⋅ 5 − 3 ⋅ (−2)
= 26
 33 

a × b =  8 
 
26
Opgave 488
Du har givet to vektorer:
 3 
−6
 
 
a =  2  , b =  8 
−5
 1 
a) Du skal bestemme vinklen mellem vektor a og vektor b.
b) Du skal bestemme krydsproduktet a × b.
Opgave 489
Du har givet to vektorer:
−5
2
 
 
a =  4  , b = 8
−3
6
Du skal bestemme arealet af det parallelogram, der udspændes af de to
vektorer a og b.
Planer parallelle med koordinatplanerne
Opgave 490
Du har givet vektorerne:
 2 
 5 
 
 

a = −8 , b =  10 

 11 
−7 
a) Du skal bestemme koordinaterne til vektorproduktet a × b.
b) Du skal bestemme arealet af det parallelogram, der udspændes af
vektorerne a og b.
Planer parallelle med koordinatplanerne
Ser du på ligningen x = a i et rumligt koordinatsystem, vil den indeholde alle typer af punkter med formen (a,y,z).
Tilsammen vil alle disse punkter danne et plan, der som vist på figur
15.25 er parallel med yz-planet.
z
x=a
y
x
Figur 15.25
Et af alle disse punkter vil være (a,0,0), som er planets skæringspunkt
med x-aksen.
619
620
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
På tilsvarende måde vil ligningen y = b danne et plan, der som vist på
figur 15.26 er parallel med xz-planet. Punktet (0,b,0) vil være planets
skæringspunkt med y-aksen.
z
x
y=b
y
Figur 15.26
Endelig vil ligningen z = c danne et plan, der som vist på figur 15.27 er
parallel med xy-planet. Punktet (0,0,c) vil være planets skæringspunkt
med z-aksen.
z
z=c
x
Figur 15.27
y
Parameterfremstilling af et plan
Parameterfremstilling af et plan
Målet er, at du skal kunne bestemme et punkt P(x,y,z) i et vilkårligt plan
i rummet.
For at du kan gøre det, skal du kende en ligning for planet, så her
starter du.
Har du et plan, der ligger vilkårligt i rummet, skal det indeholde tre
kendte punkter, for at du kan definere planet.
Du skal forestille dig, at du har tre punkter A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) og
C(x2,y2,z2) beliggende i et plan i et rumligt koordinatsystem som vist på
figur 15.28. Du skal nu med hjælp af vektorer definere planet.
z
C(x2,y2,z2)
B(x1,y1,z1)
A(x0,y0,z0)
x
y
Figur 15.28
Du starter derfor med at danne to vektorer AB og AC som vist på figur
15.29.
z
D
C
B
A
x
y
Figur 15.29
Du kan bestemme sumvektoren AD således:
AD = AB + AC
621
622
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
z
D
C
B
O
A
x
y
Figur 15.30
Du kan også bestemme stedvektoren OD - se figur 15.30:
OD = OA + AD
OD = OA + AB + AC
Skal du bestemme et vilkårligt punkt P(x,y,z) kan du gøre som vist på
figur 15.31, hvor du forlænger AB og AC med parametrene s og t.
P(x,y,z)
t ⋅ AC
z
D
O
x
s ⋅ AB
A
y
Figur 15.31
Du kan bestemme stedvektoren OP således:
OP = OA + s ⋅ AB + t ⋅ AC
Indfører du vektorernes koordinater, får du:
x 2 − x 0 
x  x 0 
x1 − x 0 

   



y = y 0  + s ⋅ y 1 − y 0  + t ⋅ y 2 − y 0 



z − z 
z  z 
z − z 
0
1
0
2
0
Planets ligning på normalform
Så er du fremme ved målet, nemlig at kunne bestemme et punkt
P(x,y,z) i et plan, hvor du kender tre punkter A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) og
C(x2,y2,z2).
Denne beskrivelsesform kaldes en parameterfremstilling af et plan.
Planets ligning på normalform
Du skal også se en anden metode, der kan anvendes, når du skal opstille ligningen for et plan.
a
n = b
c
P0(x0,y0,z0) P(x,y,z)
Figur 15.32
Du har figur 15.32 med et plan, hvor der er afsat en vektor
a 
 
n =  b
c 
som står vinkelret på planet.
En sådan vektor kaldes en normalvektor.
I planet har du et givet punkt P0(x0,y0,z0) og endvidere et vilkårligt
punkt P(x,y,z).
Du danner en ny vektor P0 P med koordinaterne:
x − x 0 


P0 P = y − y 0 
z − z 
0
De to vektorer n og P0 P står vinkelret på hinanden. En sådan situation
har du mødt tidligere, da du arbejdede med skalarproduktet. Reglen
siger, at skalarproduktet er lig med 0, når de to vektorer står vinkelret
på hinanden. Det kan du udtrykke således:
n P0 P
0
eller med vektorernes koordinater:
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0
623
624
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Det er planets ligning på normalform og kan anvendes, når du kender
et punkt P0(x0,y0,z0) i planet og en normalvektor n til planet.
Du kan gå videre med ligningen, idet du ganger ind i parenteserne. Du
får:
ax − ax 0 + by − by 0 + cz − cz 0 = 0
ax + by + cz − ax 0 − by 0 − cz 0 = 0
Du sætter udtrykket: – ax0 – by0 – cz0 = d
Så får du:
ax + by + cz + d = 0
som også er et udtryk for planets ligning på normalform, men i reduceret form.
Eksempel 15.09
Du har givet et plan med tre punkter A(3,2,5), B(8,– 1,4) og C(6,1,3)
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for planet.
b) Du skal bestemme planets ligning på normalform.
a)
Du har tre punkter A, B og C og dermed alle oplysninger. Du kan sætte
direkte ind i parameterfremstillingen og får:
 3 
 5 
6 − 3 3
 8 − 3 
x  3
 
 


   
  

y = 2 + s ⋅ −1 − 2 + t ⋅ 1 − 2  = 2 + s ⋅ −3 + t ⋅ −1

−2
−1
3 − 5 5
z  5
 4 − 5 
b)
Du kan benytte planets ligning på normalform: a(x – x0) + b(y – y0) +
c(z – z0) = 0
Her skal du kende et punkt og koordinaterne til normalvektoren. Du
har to punkter, men mangler normalvektoren.
Den kan du bestemme ved hjælp af krydsproduktet AB × AC. Koordinaterne til vektorerne AB og AC har du fra parameterfremstillingen,
nemlig:
 5 
 3 
 
 
AB = −3 , AC = −1

−1
−2
Planets ligning på normalform
Nu kan du bestemme krydsproduktet:
5
x=
AB×AC = n: y =
z=
3
−3 −1
−1 −2
5
3
−3 −1
=(−3)⋅(−2)−(−1)⋅(−1) = 5
=(−1)⋅ 3−5⋅(−2)
=7
= 5⋅(−1)−(−3)⋅ 3
=4
 5 
 
AB × AC =  7 
 
4
−1 −2
Nu har du et punkt og koordinaterne til normalvektoren. Du kan derfor indsætte i planets ligning på normalform:
5(x − 3) + 7(y − 2) + 4(z − 5) = 0
5x − 15 + 7y − 14 + 4z − 20 = 0
5x + 7y + 4z − 49 = 0
Her har du resultatet, som er et udtryk for planets ligning på normalform, men i reduceret form.
Opgave 491
Du har givet et plan, som indeholder tre punkter A(2,1,4), B(− 3,6,− 1)
og C(5,7,8).
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for planet.
b) Du skal bestemme planets ligning på normalform.
Opgave 492
Du har givet et plan med ligningen: 3x – 4y – 7z + 25 = 0
a) Du skal undersøge, om punktet (5,3,4) ligger i planet.
b) Du skal bestemme en parameterfremstilling for planet.
Opgave 493
Du har givet et plan med parameterfremstillingen:
−8
 2 
x   3 
 
 
   



y = −5 + s ⋅  4  + t ⋅  6 



 5 
−3
z   8 
Du skal bestemme planets ligning på normalform.
625
626
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 494
Du har givet en pyramide med kvadratisk grundflade med grundfladekant = 4 cm og højde = 6 cm, som er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 15.33.
z
T
C
D
B
x
4
4
y
A
Figur 15.33
a) Du skal bestemme en ligning for pyramidens bundflade.
b) Du skal bestemme ligninger for pyramidens fire skrå sideflader.
Planets ligning på normalform
Opgave 495
Du har givet et hus, der som vist på figur 15.34 er indlagt i et rumligt
koordinatsystem.
Alle mål er i meter.
Du skal bestemme ligninger for husets syv flader.
z
K
G
C
F
3
J
B
H
x
3
D
y
E
14
4
4
A
Figur 15.34
Opgave 496
Du har givet en kugle med centrum i (− 2,6,3) og et punkt P(3,4,5) på
kuglens overflade.
Du skal bestemme en ligning for det plan, der tangerer kuglen i punktet P.
627
628
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Skæring mellem to planer
v
180° − v
Figur 15.35
På figur 15.35 har du to planer, der skærer hinanden. Som du kan se,
vil skæringen danne en ret linje og en vinkel v. Når du arbejder med
vinklen mellem to planer, vil det altid være den spidse vinkel, der er
udgangspunktet. Der kan være opgaver med et praktisk indhold, der
gør, at det mest naturligt vil være den stumpe vinkel, du skal angive,
altså 180° – v som vist på figur 15.35.
n1
n2
v
v
plan 1
plan 2
Figur 15.36
På figur 15.36 er de to planers normalvektorer indtegnet. Vinklen mellem
de to normalvektorer vil også være v, og det vil være dette forhold, du
skal benytte dig af, når du skal bestemme en vinkel mellem to planer.
Du vil i det kommende eksempel se fremgangsmåden, når du har
to planer og skal bestemme en ligning for skæringslinjen og endvidere
vinklen v mellem de to planer.
Skæring mellem to planer
Eksempel 15.10
Du har givet to planer 1 og 2:
Plan 1: − x + 5y – 3z + 1 = 0
Plan 2: 3x – y + 2z + 4 = 0
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem plan 1 og plan 2.
b) Du skal bestemme vinklen mellem plan 1 og plan 2.
a)
Du har parameterfremstillingen for en ret linje:
x  x 0 + rx t 
  

y = y 0 + ry t



z  
z 0 + rz t 
Du skal nu i gang med at vælge ”noget” for at kunne komme i gang. Du
kan som basisenhed sætte rx= 1, og ligeledes kan du sætte x0 = 0.
Hermed kommer den første linje i parameterfremstillingen til at se
således ud:
x = 0 + 1t og hermed får du:
x=t
Det kan du udnytte og indsætte x = t i de to ligninger for plan 1 og
plan 2:
−t + 5y − 3z + 1 = 0
og
3t − y + 2z + 4 = 0
Du løser ligningerne med hensyn til z:
−3z = − 1 − 5y + t
og
2z = − 4 + y − 3t
I den første ligning ganger du igennem med 2 i alle led og på tilsvarende måde med –3 i den anden ligning. Du får:
−6z = 2 − 10y + 2t
og
−6z = 12 − 3y + 9t
Du kan danne en ny ligning af de to ”højre-sider”:
−2 − 10y + 2t = 12 − 3y + 9t
Du løser ligningen med hensyn til y. Du får:
−7y = 14 + 7t
y = −2 − 1t
629
630
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Dette udtryk indsætter du i: 2z = 4 + y – 3t
Det giver:
2z = − 4 + ( − 2 − 1t) − 3t
2z = − 4 − 2 − 1t − 3t
2z = − 6 − 4t
z = − 3 − 2t
Du er nu fremme ved løsningen. Du startede med at sætte x = 0 + 1t
i parameterfremstillingen. Du får dermed parameterfremstillingen for
skæringslinjen mellem plan 1 og plan 2.
x   0 + 1t 
  

y = −2 − 1t 

z  −3 − 2t
Med udgangspunkt i parameterfremstillingen kan du fastslå:
Skæringslinjen går gennem punktet (0,− 2,− 3) og har en retningsvektor
 1 
 
r = −1
−2
b)
Du kan bestemme vinklen mellem plan 1 og plan 2 som vinklen mellem
de to planers normalvektorer.
Du bestemmer først de to normalvektorer ud fra ligningerne for plan
1 og plan 2. Du får:
−1
 3 
 
 
n1 =  5  , n 2 = −1

−3
 2 
Du kan herefter benytte ligningen:


 x x + y 1y 2 + z1z 2 

v = cos−1  1 2


a⋅b

Du kan indsætte og får:


(−1) ⋅ 3 + 5 ⋅ (−1) + (−3) ⋅ 2


v = cos−1 
 (−1)2 + 52 + (−3)2 ⋅ 32 + (−1)2 + 22 
v = 129, 3°
Da det er den spidse vinkel, du skal bestemme, får du:
v1 = 180°− 128 , 23° = 50 , 77°
Skæring mellem linje og plan
Skæring mellem linje og plan
Udgangspunktet er, at du har et plan med ligningen: ax + by + cz + d
= 0 og en ret linje med en parameterfremstilling
x  x 0 + rx ⋅ t 
  

y = y 0 + ry ⋅ t



z  
z 0 + rz ⋅ t 
Du får et par specielle tilfælde som vist på figur 17.37 og 17.38.
(x0,y0,z0)
r
n
k
Figur 17.37
På figur 15.37 har du et plan med en normalvektor n og en ret linje k.
Den rette linje har en retningsvektor r.
Hvis skalarproduktet n r 0 og punktet (x0,y0,z0) ikke ligger i planet, vil linjen k være parallel med planet.
n
(x0,y0,z0)
r
k
Figur 17.38
På figur 15.38 har du næsten samme situation, men her ligger punktet
(x0,y0,z0) i planet. Hvis skalarproduktet n r 0, vil linjen k ligge i planet.
631
632
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Du kan nu gå videre og se på figur 15.39, hvor linjen k skærer planet i
punktet P.
n
v2
k
v1
v r
Figur 15.39
Vinklen v mellem en linje og et plan ligger mellem linjen og dens projektion på planet.
Skal du bestemme denne vinkel, kan du starte med at bestemme
vinkel v1 eller v2 mellem planets normalvektor n og linjens retningsvektor r. Herefter kan du bestemme vin­kel v.
I det kommende eksempel skal du se, hvorledes du bestemmer skæringspunktet og vinklen mellem et plan og en ret linje.
Eksempel 15.11
Du har givet et plan og en ret linje k:
Plan: 2x − 4 y + 3z + 4 = 0
x   1 + 2t 
  

k : y =  3 + 4 t 

z  −2 + 5t
a) Du skal bestemme skæringspunktet mellem planet og den rette linje k.
b) Du skal bestemme vinklen mellem planet og den rette linje k.
Skæring mellem linje og plan
a)
Udtrykkene for x, y og z fra linjens parameterfremstilling indsætter du
i planets ligning:
2x − 4 y + 3 z + 4 = 0
2(1 + 2t ) − 4(3 + 4 t ) + 3(−2 + 5t ) + 4 = 0
2 + 4 t − 12 − 16 t − 6 + 15t + 4 = 0
3t = 12
t=4
Du kan nu bestemme skæringspunktet mellem planet og linjen k ved at
indsætte t = 4 i linjens parameterfremstilling.
Du får:
x   1 + 2 ⋅ 4   9 
  
  
y =  3 + 4 ⋅ 4  = 19

z  −2 + 5 ⋅ 4 18
Du har hermed skæringspunktet mellem planet og den rette linje k:
(9,19,18).
b)
Du starter med at bestemme vinklen v1 mellem planets normalvektor n
og linjens retningsvektor r. Du har:
 2 
2
 
 
n = −4 , r =  4

 3 
5
Du benytter formlen:


 x1x 2 + y 1y 2 + z1z 2 

v = cos 


a⋅b

−1
og får:


2 ⋅ 2 + (−4) ⋅ 4 + 3 ⋅ 5


v1 = cos−1 
 22 + (−4)2 + 32 ⋅ 22 + 4 2 + 52 
v1 = 85, 24°
Vinklen v1 er vinklen mellem planets normalvektor n og linjens retningsvektor r.
Du bestemmer vinkel v således:
v = 90°− 85, 24° = 4 , 76°
633
634
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Afstand mellem punkt og plan
Som vist på figur 15.40 har du et punkt P0 (x 0 , y 0 , z 0 ) og et plan givet
ved ligningen ax + by + cz + d = 0.
P(x0,y0,z0)
e
Figur 15.40
Du skal bestemme afstanden e mellem punkt P0 og planet.
For at komme videre afsætter du i planet et vilkårligt punkt P som
vist på figur 15.41.
P0(x0,y0,z0)
n
v
v
e
P
Figur 15.41
Igennem punkt P tegner du normalvektoren n og ligeledes vektoren
PP0 .
Vinkel v er vinklen mellem normalvektoren n og vektor PP0 .
Vinkel v er også beliggende i den retvinklede trekant, som du kan
benytte til at bestemme afstanden e. Du får:
cos v =
e
PP0
og hermed e = PP0 cos v
Nu skal du i gang med lidt omskrivning, og du starter med at beskrive
afstanden e således:
e=
n ⋅ PP0 ⋅ cosv
n
Afstand mellem punkt og plan
Det nye ved denne omskrivning er planets normalvektor n, som er tilføjet i brøkens tæller og nævner. Fidusen er, at tælleren er blevet til et
udtryk for skalarproduktet n PP0 .
Det skal du se lidt nærmere på!
Kan du huske definitionen på skalarproduktet? – ellers har du den
her:
a b
a b cos v
x 1x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
Koordinaterne til normalvektoren n og vektoren PP0 er:
a 
x 0 − x 
 


n =  b , PP0 = y 0 − y

c 
z − z 
0
Hermed kan du udtrykke skalarproduktet n PP0 ved hjælp af vektorernes koordinater:
a(x 0 − x) + b(y 0 − y) + c(z 0 − z)
Ganger du ind i parenteserne, får du:
ax 0 − ax + by 0 − by + cz 0 − cx = ax 0 + by 0 + cz 0 − ax − by − cz
Du kan sætte d = − ax − by − cz
Som du sikkert kan huske, indgår d i planets ligning på normalform,
og da punktet P(x,y,z) ligger i planet, vil koordinaterne tilfredsstille ligningen.
Du får derfor følgende udtryk for skalarproduktet:
ax 0 + by 0 + cz 0 + d
Dette udtryk kan du indsætte i tælleren i formlen:
e=
n ⋅ PP0 cos v
n
Du får så en formel, som du kan benytte, når du skal bestemme afstanden mellem et punkt P0(x0,y0,z0) og et plan med ligningen
ax + by + cz + d = 0 :
e=
ax 0 + by 0 + cz 0 + d
a 2 + b2 + c 2
635
636
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Eksempel 15.12
Du har givet et punkt P0(3,5,2) og et plan: 2x + 6y – z + 12 = 0.
Du skal bestemme afstanden mellem punkt P0 og planet.
Du har alle oplysningerne, så du kan indsætte direkte i afstandsformlen. Du får:
2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 + (−1) ⋅ 2 + 12
e=
2
22 + 6 2 + (−1)
e = 7 , 18
Afstand mellem punkt og linje
Som vist på figur 15.42 har du givet et punkt P0(x0,y0,z0) og en ret linje
givet ved en parameterfremstilling.
P0(x0,y0,z0 )
e
Figur 15.42
Du skal bestemme afstanden e mellem punktet P0 og den rette linje.
Du vælger et vilkårligt punkt P på linjen og tegner en vektor PP0 som
vist på figur 15.43.
P0(x0,y0,z0 )
e
k
v
P
r
Figur 15.43
Af den retvinklede trekant får du:
sin v =
e
PP0
og herefter e = PP0 sin v
Afstand mellem punkt og linje
Du skal nu i gang med lidt formelomskrivning. Du kender linjens retningsvektor r og starter med definitionen på krydsproduktet r × PP0 :
r × PP0 = r ⋅ PP0 ⋅ sin v
Her indgår afstanden e = PP0 sin v , og du kan skrive ligningen:
r × PP0 = r e
Du løser ligningen med hensyn til e og får følgende ligning til bestemmelse af afstanden mellem punktet P0 og en ret linje:
e=
r × PP0
r
Eksempel 15.13
Du har givet et punkt P0(8,10,6) og en ret linje med parameterfremstillingen:
x  2 + 1 ⋅ t 
  

y = 0 + 2 ⋅ t
z  3 − 4 ⋅ t 
Du skal bestemme afstanden mellem punktet P0 og den rette linje.
Du skal starte med at bestemme et vilkårligt punkt P på den rette linje.
Du kan vælge at sætte t = 0. Hermed får du koordinaterne til punkt
P(2,0,3).
Du skal også have bestemt koordinaterne til vektor PP0 og retningsvektoren r for den rette linje. Du får:
x   8 − 2   6 
  
  
PP0 = y = 10 − 0 = 10
z   6 − 3   3 
og
 1 
 
r =  2 
−4
Du skal have bestemt koordinaterne til krydsproduktet r × PP0
1
6
2
x=
−4
r × PP0 : y =
1
z=
2
10
3
−4
3
6
10
= 2 ⋅ 3 − (−4) ⋅ 10
= (−4) ⋅ 6 − 1⋅ 3
= 46
= −27
= 1⋅ 10 − 2 ⋅ 6
= −2
 46 
 
 −2 
r × PP0 = 
−27
637
638
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Afstanden e mellem den rette linje og punktet P0 kan du bestemme af:
e=
Du kan indsætte:
r × PP0
r
2
e=
2
46 2 + (−27 ) + (−2)
2
12 + 22 + (−4)
e = 11, 65
Opgave 497
Du har givet to planer: Plan 1: 5x – 3y + z + 12 = 0 og
Plan 2: – x + 8y – 3z – 4 = 0
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem de to planer.
b) Du skal bestemme vinklen mellem de to planer.
Opgave 498
Du har givet to planer: Plan 1: 3x – 2y + 5z – 3 = 0
Plan 2: x + 5y – z + 2 = 0
Du skal bestemme vinklen mellem de to planer.
og
Afstand mellem punkt og linje
Opgave 499
Du har givet et plan og en ret linje: Plan: 8x – y + 3z + 5 = 0
Ret linje:
x   2 − 1t 
  

y =  0 + 4 t 

z  −3 + 2t
a) Du skal bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem planet og den rette linje.
b) Du skal bestemme vinklen mellem planet og den rette linje.
Opgave 500
Du har givet et plan: 2x + y – z + 4 = 0 og en ret linje, der går gennem
punkterne A(1,4,3) og B(5,2,0).
a) Du skal bestemme en parameterfremstilling for den rette linje.
b) Du skal bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem planet og den rette linje.
c) Du skal bestemme vinklen mellem planet og den rette linje.
Opgave 501
Du har givet en pyramide som vist på figur 15.44. Pyramiden er indlagt
i et rumligt koordinatsystem og har en kvadratisk grundflade og grundfladekant = 3 cm og en højde = 5 cm.
z
x
y
Figur 15.44
a) Du skal bestemme vinklen mellem to skrå sideflader, der ligger over
for hinanden.
b) Du skal bestemme vinklen mellem to skrå sideflader, der støder op
til hinanden.
639
640
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Opgave 502
Du har givet et punkt P0(2,− 8,− 3) og et plan 3x + 3y + z – 3 = 0.
Du skal bestemme afstanden mellem punktet P0 og planet.
Opgave 503
Du har givet et punkt P0(10,3,6) og en ret linje med parameterfremstillingen
x   3 + 2t 
  

y =  2 − 1t 
z  −5 + 4 t
Du skal bestemme afstanden mellem punktet P0 og den rette linje.
Opgave 504
Du har givet et punkt P0(10,− 1,8) og et plan, der går gennem punkterne (0,0,0), (2,3,1) og (5,6,4).
Du skal bestemme afstanden mellem punktet P0 og planet.
Opgave 505
Du har givet et punkt P0(8,5,6) og en ret linje, der går gennem punkterne A(0,0,3) og B(3,0,0).
Du skal bestemme afstanden mellem linjen og punktet P0.
Opgave 506
Du har givet to planer: Plan 1: –4x + 2y – 3z + 5 = 0
Plan 2: 12x – 6y + 9z – 8 = 0
a) Du skal vise, at de to planer er parallelle.
b) Du skal bestemme afstanden mellem de to planer.
og
Problemopgaver
Problemopgaver
641
z
Opgave 507
(0,0,4)
Du har givet et plan 1 som vist på figur 15.45, der går gennem punkterne (2,0,0), (0,4,0) og (0,0,4).
a) Du skal bestemme afstanden fra punktet (8,10,7) til planet.
b) Du skal bestemme ligningen for det plan 2, som indeholder punktet (8,10,7), og som er parallel med plan 1.
c) Du skal bestemme koordinaterne til plan 2’s skæringspunkter med x, y- og z- aksen.
(2,0,0)
x
Figur 15.45
Opgave 508
Du har givet et hus med afvalmet tag, som er indlagt i et rumligt koordinatsystem som vist på figur 15.46.
Alle mål er i meter.
z
C
4
F
B
4
E
D
x
2
10
y
A
6
Figur 15.46
a) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne A, B, C, D, E og F.
b) Du skal bestemme afstanden mellem punkt A og E.
c) Du skal bestemme en ligning for det plan, der indeholder punkterne
A, B, E og F.
d) Du skal bestemme en ligning for det plan, der indeholder punkterne
C, D, E og F.
e) Du skal bestemme vinklen mellem plan ABEF og plan CDEF.
(0,4,0)
y
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
642
Opgave 509
Du har givet koordinaterne til centrum i en kugle (4,1,–2). Kuglen tangerer et plan med ligningen 2x + 3y – z + 8 = 0.
Du skal bestemme kuglens centrumsligning.
Resumé 15. kapitel
Vektorkoordinater og vektorlængde
x 

v = y
z 
v = x 2 + y 2 + z2
Givet punkterne A(x1,y1,z1) og B(x1,y1,z1)
x 2 − x1 

AB = y 2 − y 1 
z − z 
2
1
2
2
2
AB = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y 1 ) + (z 2 − z1 )
Enhedsvektor


x


 2

 x + y 2 + z 2 


y

ea = 
 x 2 + y 2 + z 2 



z


 2
 x + y 2 + z 2 
x 

a = y
z 
Skalarprodukt eller prik-produkt
a b
a . b .cos v = x1x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2


 x x + y 1 y 2 + z1 z 2 

v = cos−1  1 2


a.b

Projektion
b
ba =
a b
a
v
a
v
ba
Resumé 15. kapitel
643
Parameterfremstilling af ret linje
x  x 0 + rx t 
  

y = y 0 + ry t
z  z 0 + rz t 
Vektorprodukt
a1
a2
x=
a3
a× b : y =
a1
z=
a2
a3
a × b = a . b .sin v
x 

a × b = y
z 
b1
b2
b3
b1
b2
b3
= a 2 b3 − a 3 b2
= a 3 b1 − a1 b3
= a1 b2 − a 2 b1
Parameterfremstilling af plan
x 2 − x 0 
x1 − x 0 
x  x 0 


   


y = y 0  + s.y 1 − y 0  + t.y 2 − y 0 



z 2 − z 0 
z1 − z0 
z  z 0 
Planets ligning på normalform
a (x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + z ( z − z 0 ) = 0
eller
ax + by + cz + d = 0
med
a 

n =  b
c 
Afstand e mellem punkt P0(x0,y0,z0) og plan ax + by + cz + d = 0
e=
ax 0 + by 0 + cz 0 + d
a 2 + b2 + c 2
Afstand mellem punkt P0(x0,y0,z0) og ret linje
P0(x0,y0,z0 )
e=
e
r × pp0
k
r
v
P
r
644
Teknisk matematik · VEKTORER I RUMMET
Parameterfremstilling
VEKTORFUNKTIONER
16
Parameterfremstilling
Hvis du kaster en bold, vil du kunne regne bevægelsen af bolden til at
ligge i et lodret plan.
På tilsvarende måde med en kanonkugle, en raket eller en robot,
hvor du også kan regne med, at bevægelsen for det enkelte element
ligger i samme plan.
Forestil dig, at du har en partikel, som bevæger sig langs en kurve som
vist på figur 16.01.
y
(x,y)
P
x
Figur 16.01
Du kan ikke beskrive bevægelsen som en funktionstype, du tidligere
har arbejdet med. Prøv at overveje hvorfor!
Forestil dig, at x- og y-koordinaterne er funktioner af tiden, således at
x = f(t) og y = g(t)
645
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Denne beskrivelsesform kalder du en parameterfremstilling.
x = f(t) og y = g(t) kalder du koordinatfunktionerne og t for parameter.
Punktet P, hvor kurven skærer sig selv, kalder du et dobbeltpunkt.
Vektorfunktion
Du kan også indlægge en stedvektor som vist på figur 16.02.
y
(x,y)
r
x
Figur 16.02
Stedvektorens pilpunkt beskriver et punkt på kurven, og du kan skrive:
x 
r =  
y
Indfører du parameteren t, kan du skrive:
 x (t )
r (t ) = 
 y (t )



646
r (t ) kalder du en vektorfunktion, og det er i realiteten det samme som
en parameterfremstilling, bare beskrevet på en anden måde.
Vektorfunktion
Eksempel 16.01
I dette eksempel skal du arbejde med et legeme, hvis bevægelse følger
en vektorfunktion. Det er derfor vigtigt, at du sætter dig grundigt ind i,
hvordan du afbilder vektorfunktioner på din grafregner. Så fat manualen og kom i gang!
Du har vektorfunktionen givet ved:
 3 − sin t 
r (t ) = 
 t ∈ [ 0 ; 10 ]
t − 2 ⋅ cos t
x og y er i meter.
a) Du skal på din grafregner tegne et billede af kurven inden for det
givne interval.
b) Du skal bestemme en tabel over sammenhørende x og y koordinater
til t-værdier fra 0 til 10 med spring på 1.
c) Du skal markere positionerne for t-værdier fra 0 til 10 på kurven.
d) Du skal bestemme koordinaterne til kurvens skæringspunkter med
henholdsvis x- og y-aksen.
e) Du skal bestemme den mindst mulige afstand mellem punktet
P(1,4) og kurven.
a)
Brug følgende indstillinger, når du skal have tegnet kurven:
xmin = 0
xmax = 5
ymin = -5
ymax = 12
tmin = 0
tmax = 10
og ligeledes, at vinkelmål skal være i radianer.
Du vil da få et billede som vist på figur 16.03.
y
10
5
0
0
Figur 16.03
1
2
3
4
5 x
647
648
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
b)
Du kan få din grafregner til at lave en tabel over koordinaterne:
t
x
y
0
3,00
-2,00
1
2,16
-0,08
2
2,09
2,83
3
2,86
4,98
4
3,76
5,31
5
3,96
4,43
6
3,28
4,08
7
2,34
5,49
8
2,01
8,29
9
2,59
10,82
10
3,54
11,68
c)
Du kan markere positionerne for t = 0 indtil t = 10 som vist på figur
16.04.
y
t = 10
t=9
10
t=8
t=7
5
t=3
t=2
t=4
t=6
t=5
3
4
0
0
1
2 t=1
5 x
t=0
Figur 16.04
d)
Du kan bestemme kurvens skæringspunkter med henholdsvis x- og yaksen:
x-aksen:
Her er y = 0: t – 2 ⋅ cos t = 0
Ligningen kan du få din grafregner til at løse: Du får:
t = 1,0298
(x,y) = (2,14 ; 0)
Omskrivninger
y –aksen:
Her er x = 0: 3 – sin t = 0
Ligningen har ingen løsning.
Dermed ingen skæringspunkt med y-aksen, som det også fremgår af
kurvebilledet.
e)
Afstanden mellem P(1,4) og et vilkårligt punkt (x,y) på kurven kan du
bestemme ved hjælp af afstandsformlen:
Afstand = (x - 1)2 + (y - 4)2
Du indsætter x og y fra vektorfunktionen og får:
Afstand = (3 - sin t - 1)2 + (t - 2 ⋅ cos t - 4)2
På din grafregner kan du få tegnet en kurve, der viser afstanden som
funktion af tiden.
Du får et billede, som vist på figur 16.05.
Figur 16.05
Figur 16.06
På figur 16.06 finder grafregneren den mindste afstand, som bliver yværdien, som afrundes, altså:
Mindste afstand = 1,31 meter.
Omskrivninger
Det er ikke alle vektorfunktioner, du kan omskrive til en funktion og
ligeledes omvendt.
Du får et par ideer til en fremgangsmåde belyst ved nogle eksempler.
649
650
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Eksempel 16.02
Du har givet vektorfunktionen:
 2t + 3
r (t ) =  2

 t + 1
Du skal omskrive den til en funktion, altså på formen y = f(x).
Vektorfunktionen indeholder parameteren t i både udtrykket for x og
for y.
Fremgangsmåden er derfor, at du udtrykker t i ligningen, der indeholder x, og derefter indsætter dette udtryk i y-funktionen.
Du kan starte med at bestemme t:
x = 2t + 3
x - 3 = 2t
0,5x - 1,5 = t
Dette udtryk indsætter du i:
y = t2 + 1
y = (0,5x - 1,5)2 + 1
y = 0,25x2 + 2,25 - 1,5x + 1
y = 0,25x2 - 1,5x + 3,25
Hermed har du funktionsudtrykket, der jo som bekendt er en parabel.
Hvis du vil tjekke, om du har regnet rigtigt, kan du på din grafregner tegne de to kurver og se, om de er identiske.
Eksempel 16.03
Nu får du et eksempel, hvor du skal gå den anden vej, nemlig fra funktion til vektorfunktion.
Du har givet funktionen y = sin x.
Du kan starte med at sætte x = t, og dermed får du ved at indsætte t:
y = sin t.
Dermed har du din vektorfunktion:
 t 
r (t ) = 

sin t
Eksempel 16.04
Du har givet en ligning:
x = 2y5 – 3y3 + 2
Det er umuligt at udtrykke y og dermed få et funktionsudtryk, men du
kan få en vektorfunktion ud af det ved at sætte y = t.
Omskrivninger
Hermed har du:
x = 2t5 - 3t3 + 2
og du kan skrive din vektorfunktion:
2t 5 − 3t 3 + 2
r (t ) = 


t

Du kan få din grafregner til at tegne et billede af kurven – her er valgt:
t ∈ [-1,5 ; 1,5]
Billedet af kurven er vist på figur 16.07.
Figur 16.07
Opgave 510
En partikel følger kurven givet ved:
3t − 0 , 5t 3 
 t ∈ [0 ; 3]
r (t ) = 
2 + 0 , 5t 2 
x og y er i meter.
a) Du skal tegne en skitse af kurven inden for det betragtede interval.
b) Du skal bestemme koordinaterne til kurvens skæringspunkter med
henholdsvis x- og y-aksen.
c) Du skal udarbejde en tabel med x- og y-værdier for t = 0, 1, 2 og 3.
d) Du skal markere positionerne for t = 0, 1, 2 og 3 på kurven.
e) Du skal bestemme den mindst mulige afstand mellem punktet
P(-1,9) og kurven.
Opgave 511
Du har givet følgende vektorfunktioner:
t − 1
a) r (t ) = 
t + 1


5t + 1
b) r (t ) =  2

25t + 15t − 3
2 ⋅ cos t
c) r (t ) = 
5 ⋅ sin t 
Omskriv udtrykkene til almindelige funktioner.
651
652
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Opgave 512
Du har givet følgende udtryk:
a) y2 + 4y - 2 = x
b) y + 4y5 - 3y3 = x
Omskriv udtrykkene til vektorfunktioner.
Ret linje som vektorfunktion
Fra plangeometrien kan du sikkert huske, at du skal kende et punkt og
et stigningstal, når du skal bestemme en ret linjes ligning.
Det er det samme, når du skal bestemme en ret linje som vektorfunktion.
På figur 16.08 kender du punktet P0(x0,y0) og hældningen på linjen
gennem punktet.
y
P0(x0,y0)
s
b
a
s
v
x
Figur 16.08
Hældningen har du givet ved retningsvektoren s , som kan være bestemt af koordinaterne eller vinklen v (se figur 16.08).
Skal du bestemme et punkt P(x,y) på linjen, kan du gøre det ved
hjælp af stedvektoren r (se figur 16.09).
s
y
P (x,y)
P0(x0,y0)
r
O
x
Figur 16.09
For at komme videre skal du have hjælp af vektorregningen.
Du opfatter OP0 og P0P som vektorer og kan skrive:
r = OP 0 + P0 P
Ret linje som vektorfunktion
x 
Koordinaterne til vektor OP 0 får
= du0 direkte:
y 0 
x 
OP 0 =  0 
y 0 
Koordinaterne til P0 P får du ved hjælp af retningsvektoren, idet du
ganger r med parameteren t, altså:
at 
a 
P 0 P = r ⋅ t =   ⋅ t =  
 bt
 b
Benytter du vinklen, får du:
t ⋅ cos v
cos v
P 0 P = r ⋅ t = 
 ⋅ t = t ⋅ sin v 
sin
v




Du kan nu skrive den rette linje som vektorfunktion:
x + at
x + t ⋅ cos v

eller r(t ) =  0
r (t ) =  0

y 0 + bt 
y 0 + t ⋅ sin v 
Eksempel 16.05
Du skal opstille en vektorfunktion for den rette linje, som går gennem
punkterne A(-1,2) og B(3, -4).
Du starter med at bestemme retningsvektoren, der går fra A til B.
3 − (−1)
 4
r AB = 
 = −6
 − 4 − 2 
 
Vælger du A som P0, får du følgende vektorfunktion:
− 1 + 4 t
r(t ) = 

 2 − 6 t 
Du kunne også have valgt B som P0. Det ville give:
 3 + 4 t
r(t ) = 

−4 − 6 t 
Som det fremgår, vil du kunne beskrive en ret linje som vektorfunktion
på utallige måder, idet et nyt valg af punkt på linjen vil give en ny beskrivelse.
653
654
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Cirklen som vektorfunktion
y
(x,y)
t
x
(0,0)
Figur 16.10
Har du givet en cirkel med radius r og centrum i (0,0) som vist på figur
16.10, vil du kunne beskrive et punkt på cirkelperiferien ved hjælp af
stedvektoren og parameteren t. Det giver:
x  r ⋅ cos t
r(t ) =   = 

y r ⋅ sin t 
y
(x,y)
t
(a,b)
x
Figur 16.11
Flytter du cirklens centrum til (a,b) – se figur 16.11, vil du på tilsvarende
måde få:
x  a + r ⋅ cos t
r(t ) =   = 

y  b + r ⋅ sin t 
Ellipsen som vektorfunktion
Du har en ellipse som vist på figur 16.12.
(0,b)
y
x
(a,0)
2b
2a
Figur 16.12
Kurven er symmetrisk om henholdsvis x- og y-aksen, og (0,0) er ellipsens centrum.
Ellipsen som vektorfunktion
Med figurens betegnelser har du ellipsens storakse = 2a og på tilsvarende måde ellipsens lilleakse = 2b.
Skal du bestemme et punkt på ellipsens kurve, starter du med at
tegne to cirkler med henholdsvis ellipsens storakse og lilleakse som
diameter.
Du har nu figur 16.13.
y
(0,b)
Β
Α
P(x,y)
t
(a,0)
x
Figur 16.13
Du afsætter en vinkel t som vist og får to skæringspunkter B og A.
Fra B afsætter du en vandret linje og fra A en lodret linje. Du får et
skæringspunkt P(x,y), som er et punkt på ellipsens kurve.
Du kan udtrykke P’s koordinater (x,y) således:
x = OA cos t og da OA = a, får du x = a ⋅ cos t
y = OB sin t og da OB = b, får du y = b ⋅ sin t
Hermed kan du beskrive en vektorfunktion for ellipsen med centrum
i (0,0)
x  a ⋅ cos t
r(t ) =   = 

y  b ⋅ sin t 
Flytter du ellipsens centrum til (x0,y0), får du:
x  x + a ⋅ cos t 
r(t ) =   =  0

y y 0 + b ⋅ sin t
655
656
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Andre kurver
Der findes et utal af kurver, der kan bekrives som vektorfunktioner.
Du får et par eksempler.
Den første er Archimedes spiral, som kan beskrives ved:
t ⋅ cos t
r(t ) = 

t ⋅ sin t 
Du får et billede som vist på figur 16.14 – her er valgt t ∈ [0 ; 4p].
Figur 16.14
Figur 16.15
På figur 16.15 har du billedet af en ”stjerne”. Beskrivelsen ser således ud:


9 ⋅ cos t + 5 ⋅ cos  9 t



 5 
r (t ) = 
 t ∈ [ 0 ; 10 π ]
9 ⋅ sin t − 5 ⋅ sin  9 t
 

 5 
Prøv selv at ”konstruere” vektorfunktioner og se, hvad der sker med
kurven, når du ændrer på de enkelte led.
Opgave 513
Du skal opstille vektorfunktionerne for tre rette linjer, som går gennem
henholdsvis:
a) Punktet (-4,5), og som har et stigningstal på 2.
b) Punkterne (-6,-2) og (7,3).
c) Punktet (-3,-1), og som danner vinklen 120° med x-aksen.
Opgave 514
Du skal opstille vektorfunktionerne for to cirkler, der er givet ved følgende ligninger:
a) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 9
b) x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
Differentiation af vektorfunktion
Opgave 515
Du har givet ellipsen ved vektorfunktionen:
−2 + 4 ⋅ cos t 
r (t ) = 
 t ∈ [ 0 ; 2π ]
 1 + 3 ⋅ sin t 
a) Du skal bestemme ellipsens centrum.
b) Du skal bestemme ellipsens storakse og lilleakse.
c) Du skal bestemme den mindst mulige afstand mellem punktet (5,3)
og ellipsen.
Differentiation af vektorfunktion
Har du en vektorfunktion
x(t ) 
r(t ) = 

y(t )
hvor koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er differentiable inden for en
definitionsmængde, har du, at vektorfunktionen også er differentiabel.
Det kan du skrive:
x ′(t ) 
r ′(t ) = 

y ′(t )
r’(t) er retningsvektor for tangenten til kurven i t, og du kalder den for
vektorfunktionens tangentvektor.
Er kurven billedet af en bevægelse, kalder du tangentvektoren for
hastighedsvektoren og længden af hastighedsvektoren for farten. Du
kan skrive det således:
x(t ) 
r(t ) = 

y(t )
x ′(t ) 
r ′(t ) = v (t ) = 

y ′(t )
v (t ) = x ′(t )2 + y ′(t )2
På tilsvarende måde kan du fortsætte med at differentiere og får:
x ′′(t ) 
r ′′ (t ) = v ′ (t ) = a (t ) = 

y ′′(t )
hvor a (t ) er accelerationsvektoren.
657
658
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Lodret og vandret tangent
Ved hjælp af tangentvektoren har du fået et værktøj, når du skal bestemme koordinaterne til punkter, hvor der på en kurve er lodret eller
vandret tangent.
r´(t) =
0
y´(t)
y
x
Figur 16.16
I de punkter på en kurve, hvor du har en lodret tangent (se figur 16.16),
kan du beskrive tangentvektoren således:
x ′(t ) 
 0 
r ′ (t ) = 
 =  ′ 
y ′(t )
y (t )
Du kan derfor bestemme de t-værdier, hvor der er lodret tangent, ved
at løse ligningen.
x ′ (t ) = 0
y
r´(t) =
x´(t)
0
x
Figur 16.17
På tilsvarende måde med en vandret tangent. Du har figur 16.17 og kan
beskrive tangentvektoren således:
x ′ (t ) 
x ′ (t )
r ′ (t ) = 
 = 

y ′ (t )
 0 
Du kan bestemme de t-værdier, hvor der er vandret tangent, ved at løse
ligningen:
y ′ (t ) = 0
Eksempel 16.06
Du får vektorfunktionen fra eksempel 16.01.
 3 − sin t 
r (t ) = 
 t ∈ [ 0 ; 10 ]
t − 2 ⋅ cos t
Lodret og vandret tangent
Billedet af kurven har du på figur 16.18.
v(9)
y
t=9
10
5
0
0
1
2
3
4
5 x
Figur 16.18
a) Du skal bestemme farten, når t = 9.
b) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er lodret
tangent.
c) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er vandret
tangent.
a)
Du starter med at bestemme hastighedsvektoren:
 − cos t 
v (t ) = 

t + 2 ⋅ sin t
Du indsætter t = 9 og får:

− cos 9  0 , 91
=
v (9) = 
+
2 ⋅ sin 9 1, 82 
t

Du kan nu bestemme farten:
v (9) = 0 , 912 + 1, 822
v (9) = 2, 03 meter / sekund
Du har koordinaterne til punktet hvor t = 9 fra eksempel 16.01. Du kan
indtegne hastighedsvektoren i punktet – se figur16.18.
659
660
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
b)
Lodret tangent. Her skal du løse ligningen
x’(t) = 0
-cos t = 0
Du kan få din grafregner til at løse ligningen inden for det betragtede
interval.
Du får t = 1,57 eller t = 4,71 eller t = 7,85
Du kan bestemme koordinaterne til punkterne ved at indsætte i vektorfunktionen:
 3 − sin 1, 57   2 
r (1, 57 ) = 
=

1, 57 − 2 ⋅ cos 1, 57  1, 57 
 3 − sin 4 , 71   4 
r ( 4 , 71) = 

=
 4 , 71 − 2 ⋅ cos 4 , 71  4 , 71
 3 − sin 7 , 85   2 
r (7 , 85) = 
=

7 , 85 − 2 ⋅ cos 7 , 85 7 , 84
c)
Vandret tangent. Her skal du løse ligningen y’(t) = 0
1 + 2 ⋅ sint = 0
Du kan igen få din grafregner til at hjælpe dig med at løse ligningen.
Du får t = 3,67 eller t = 5,76 eller t = 9,95
Du kan bestemme koordinaterne til punkterne ved at indsætte i vektorfunktionen:
 3 − sin 3, 67  3, 50
r (3, 67 ) = 
=

3, 67 − 2 ⋅ cos 3, 67  5, 40
 3 − sin 5, 76  3, 50
r (5, 76) = 

=
5, 76 − 2 ⋅ cos 5, 76  4 , 03
 3 − sin 9, 95   3, 50
r (9, 95) = 
=

9, 95 − 2 ⋅ cos 9, 95 11, 68
Opgave 516
En sten bliver kastet ud over havet fra en skrænt, der er beliggende 40
meter over havets overflade. Stenens bevægelse følger vektorfunktionen:


15t
r (t ) = 
 t ≥0
2
−5t + 15t + 40
x og y er i meter.
a) Du skal skitsere kurven for stenens bevægelse.
b) Du skal bestemme hastighedsvektoren.
c) Du skal bestemme koordinaterne til kurvens højeste punkt over
havoverfladen.
d) Du skal bestemme koordinaterne til stenens nedslagspunkt i havet.
e) Du skal bestemme stenens fart ved nedslagspunktet i havet.
Robotbevægelser
Opgave 517
En partikels bevægelse følger en kurve givet ved vektorfunktionen:
t 2 + 4
r (t ) = 
 t ≥0
t + 3 
a) Du skal skitsere kurven for bevægelsen.
b) Du skal bestemme hastighedsvektoren.
c) Du skal bestemme koordinaterne til det punkt på kurven, hvor hastighedsvektoren er lodret.
Opgave 518
En partikels bevægelse følger en kurve givet ved vektorfunktionen:


2t − 2
r (t ) = 
 t ≥0
−5t 2 + 12t + 30
a) Du skal skitsere kurven for bevægelsen.
b) Du skal bestemme hastighedsvektoren og accelerationsvektoren.
c) Du skal bestemme koordinaterne til det punkt på kurven, hvor hastighedsvektoren og accelerationsvektoren står vinkelret på hinanden.
Robotbevægelser
Forestil dig, at du skal programmere en robot.
Du har en robotarm, der består af to led som vist på figur 16.19, hvor
armen a kan dreje om punkt A, og armen b kan dreje om punkt B.
A
P(x,y)
B
a
Figur 16.19
b
661
662
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
En drejning af de to robotarme er vist på figur 16.20. Robotarmen a er
drejet vinklen v1, mens robotarmen b er drejet vinklen v2. Den samlede
vinkeldrejning af robotarmen b bliver derfor v1 + v2.
P(x,y)
y
r
a
A
b
b ⋅ sin(v1+v2)
v2
v1
b ⋅ cos(v1+v2)
v1
a ⋅ cos v1
a ⋅ sin v1
x
Figur 16.20
Se på figur 16.20. Du kan opfatte a og b som vektorer. Stedvektoren r (’st )
endepunkt kan du derfor beskrive således:
x  a . cos v1 + b . cos( v1 + v 2 )
r = a + b =   = 

y a ⋅ sin v1 + b ⋅ sin ( v1 + v 2 )
Forestil dig, at vinkeldrejningerne er funktioner af tiden t.
Robotarm a drejer med en vinkelhastighed w1, og robotarm b drejer
med en vinkelhastighed w2.
Du kan beskrive robotarmenes drejninger som en vektorfunktion:
a . cos(ω1 ⋅ t ) + b ⋅ cos(ω1 ⋅ t + ω 2 ⋅ t ) 
r (t ) = 

a ⋅ sin (ω1 ⋅ t ) + b ⋅ sin (ω1 ⋅ t + ω 2 ⋅ t)
Hvis a =2, b = 1, w1 = 2 rad/sekund , w2 = 3 rad/sekund og t ∈ [0 ; 2p],
får du følgende vektorfunktion:
2 . cos(2t ) + 1 ⋅ cos(2t + 3t )
r (t ) = 

2 ⋅ sin (2t ) + 1 ⋅ sin (2t + 3 t ) 
Billedet af r (t ) har du på figur 16.21.
Figur 16.21
Prøv selv at ændre på robotarmenes længder og vinkelhastighederne. Indtast vektorfunktionen på din grafregner og se på den kurve, du får frem!
Eksempel 16.07
Denne gang har du en slæde A, der kan bevæge sig vandret i x-aksens
retning.
Robotbevægelser
På slæden er fastgjort en drejelig arm b, der drejer med en vinkelhastighed w. Se figur 16.22.
y
b
A
x
P(x,y)
Figur 16.22
Efter t sekunder har du slæden i en position som vist på figur 16.23.
y
P(x,y)
r
s=v⋅t
b
b ⋅ sin(ωt)
ωt
x
b ⋅ cos(ωt)
Figur 16.23
På tilsvarende måde som i det første eksempel kan du beskrive bevægelsen af punktet (x,y) ved følgende vektorfunktion:
 v ⋅ t + b ⋅ cos(ωt )
r (t ) = 

 b ⋅ sin (ωt )

Sætter du v = 0,4 m/sekund, b = 0,5 m, w = 2 rad/sekund og t ∈ [0 ;
2p], får du en vektorfunktion:
0 , 41 + 0 , 5 ⋅ cos( 2t )
r (t ) = 

 0 , 5 ⋅ sin (2t )

Taster du vektorfunktionen ind på din grafregner, får du følgende billede (figur 16.24):
Figur 16.24
663
664
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Opgave 519
Opspændingsbordet på en bearbejdningsmaskine er vist skitseret på
figur 16.25.
y
vy
x
O
vx
Figur 16.25
Bearbejdningsmaskinen har automatisk tilspænding i både x- og y-aksens retning.
a) Du skal opstille en vektorfunktion for punktet O’s bevægelse, når
tilspændingshastighederne er vx = 0,2 meter/minut og vy = 0,08
meter/minut.
b) Du skal bestemme koordinaterne (x,y) til punkt O efter t = 2 minutter.
c) Du skal skitsere kurven for punkt O’s bevægelse.
Opgave 520
Et montageapparat, som vist på figur 16.26, består af en vogn, der bevæger sig i x-aksens retning med hastigheden v = 0,5 meter/sekund.
y
O
A
x
2
Figur 16.26
På vognen er monteret en drejelig arm i punkt O. Armens længde er 2
meter, og endepunkt er A. Armen drejer i positiv omløbsretning med
konstant vinkelhastighed w = 2 rad/sekund.
a) Du skal opstille en vektorfunktion for punktet A’s bevægelse.
b) Du skal skitsere kurven, når t ∈ [0 ; 2p].
c) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter på kurven, hvor der
er vandret hastighedsvektor.
d) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter på kurven, hvor der
er lodret hastighedsvektor.
e) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter på kurven, hvor farten er højest.
f) Du skal bestemme den højeste fart.
Længde af kurve givet ved en vektorfunktion
Længde af kurve givet ved en vektorfunktion
Du har en vektorfunktion
 x(t)

r(t) = 
y(t)
med et kurveforløb som vist på figur 16.27.
y
L
b
a
x
Figur 16.27
Du kan bestemme længden af et kurvestykke mellem a og b ved hjælp af:
L=∫
b
a
2
2
(x ′ (t)) + (y ′ (t )) dt
Her skal gælde, at kurven i intervallet er kontinuerlig og a ≤ t ≤ b.
Eksempel 16.08
Du har i eksempel 16.01 arbejdet med vektorfunktionen
 3 − sin t 
r(t ) = 

t − 2 ⋅ cos t
Du har billedet af kurven som vist på figur 16.28.
y
t = 10
10
t=8
5
0
0
x
1
2
3
4
5
Figur 16.28
Du skal bestemme længden af kurvestykket mellem t = 8 og t = 10.
665
666
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Du starter med at bestemme differentialkvotienten:
x ′(t )   − cos t 

r ′(t ) = 
=
y ′(t ) 1 + 2 ⋅ sin t
Du kan herefter indsætte i:
L=∫
10
8
(- cos t )2 + (1 + 2 ⋅ sin t )2 dt
Du kan lade din grafregner eller matematik-program lave regnearbejdet.
Du får:
L = 3, 97
Opgave 521
6 ⋅ cos t
Du har givet en ellipse ved vektorfunktionen r(t ) = 
2 ⋅ sin t 
0 ≤ t ≤ 2π
a) Du skal tegne en skitse af ellipsen indlagt i et koordinatsystem.
b) Du skal bestemme ellipsens omkreds.
Problemopgaver
Opgave 522
Du har givet vektorfunktionen:
sin t 
r (t ) = 
 t ∈ [ 0 ; 2π ]
sin (2t )
a) Du skal skitsere kurven.
b) Du skal bestemme eventuelle skæringspunkter med koordinatakserne.
c) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er vandret
tangent.
d) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er lodret
tangent.
Opgave 523
Du skal forestille dig, at en papirsflyver følger en kurve inden for de
første 10 sekunders flyvning, der er givet ved vektorfunktionen:
t − 2 ⋅ sin t 
r (t ) = 

 4 − 2 ⋅ cost 
x og y er i meter.
a) Du skal skitsere papirsflyverens banekurve.
b) Du skal bestemme eventuelle skæringspunkter med koordinatakserne.
Problemopgaver
c) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne for højeste og laveste
flyvehøjde.
d) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor papirsflyveren flyver lodret.
e) Efter 10 sekunders flyvning støder papirsflyveren ind i en lodret
væg. Bestem papirsflyverens fart ved sammenstødet.
Opgave 524
En flue har bevæget sig på et bord. Bevægelsen er filmet og kan gengives ved vektorfunktionen:


cos t



 t ∈ 0 ; 2π
2 + sin t
r (t ) = 
[
]



2
3 + sin (2t ) − 2 ⋅ (sin (t )) 


x og y er i meter.
a) Du skal skitsere den banekurve, som fluen har bevæget sig i.
b) Du skal bestemme eventuelle skæringspunkter med koordinatakserne.
c) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er lodret
tangent.
d) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor der er vandret
tangent.
e) En sulten edderkop befinder sig i punktet (0,4). I hvilket punkt på
banekurven skal den snuppe fluen for ikke at blive overanstrengt?
667
668
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Opgave 525
Du skal nu en tur i en tivolipark. Her er en karrusel, som består af en
cirkelformet plade, der kan dreje om centrum. På pladen er der anbragt
mindre, roterende karruseller, hvori personerne placeres. På figur 16.29
er den store plade og en af de mindre, roterende karruseller vist. Den
store plade drejer om punkt O, mens den lille roterer om punkt A.
y
ω1
P
O
A
x
ω2
Figur 16.29
Fornøjelsen består i, at den store plade drejer mod uret, mens de små
karruseller drejer med uret.
Til tiden t = 0 har du en person placeret ved punkt P. Afstanden OA =
3 meter og AP = 1 meter.
Den store plade roterer med en vinkelhastighed mod uret w1 = 1
rad/sekund, mens den lille karrusel roterer med en vinkelhastighed
med uret w2 = -6 rad/sekund.
a) Du skal opstille en vektorfunktion for personen P’s bevægelse.
b) Du skal skitsere bevægelsen ved en omdrejning af den store plade.
c) Du skal bestemme koordinaterne til kurvens skæringspunkter med
koordinatakserne.
d) Du skal bestemme koordinaterne til de punkter, hvor farten er højest.
Resumé 16. kapitel
Resumé 16. kapitel
Vektorfunktioner
Ret linje
x  x + a ⋅ t 
r (t ) =   =  0

y y 0 + b ⋅ t
y
(x,y)
b⋅t
v
(x0,y0)
x  x + t ⋅ cos v
r (t ) =   =  0

y y 0 + t ⋅ sin v 
a⋅t
y
x
(x,y)
t
v
(x0,y0)
x
y
Cirklen
x  a + r ⋅ cos t
r (t ) =   = 

y  b + r ⋅ sin t 
(x,y)
r
t
(a,b)
x
(0,b)
Ellipsen
x  a ⋅ cos t
r (t ) =   = 

y  b ⋅ sin t 
y
(x,y)
t
Bevægelser
x (t )

r (t ) = 
y (t )
Banekurven
x ′ (t )


v (t ) = r′ (t ) = 
y ′ (t )
Hastighedsvektor
v (t ) =
2
x
(a,0)
2
(x ′ (t )) + (y ′ (t ))
x ′′ (t )


a (t ) = v ′ (t ) = r ′′ (t ) = 
y ′′ (t )
Farten
Accelerationsvektor
669
670
Teknisk matematik · VEKTORFUNKTIONER
Længde af kurve givet ved
vektorfunktion
L=∫
b
a
y
L
(x ′(t))2 + (y ′(t ))2 dt
b
a
x
Hvad er en differentialligning?
Differentialligninger
17
Hvad er en differentialligning?
Teorien bag differentialligninger er stor og meget omfattende. Her kommer du kun til at arbejde med nogle af de mest enkle typer differentialligninger.
Imidlertid har du allerede i kapitel 12 stiftet bekendtskab med differentialligninger i forbindelse med bestemmelse af maksimums- og
minimumspunkter af forskellige typer funktioner, men du får her et eksempel. Forestil dig, at du kører i en bil med en konstant hastighed på
60 km/time. Du skal bestemme, hvor langt du kører i en bestemt tid t.
Umiddelbart får du, at
kørelængden = hastigheden ⋅ tiden - og med bogstaver, idet du kalder
kørelængden s og tiden t:
s = 60 ⋅ t
Uden at tænke i matematiske baner, har du i realiteten her løst en differentialligning.
Ligningen v = 60 er en differentialligning, og løsningen til differentialligningen er ligningen
s = 60 ⋅ t.
671
672
Teknisk matematik · Differentialligninger
På figur 17.01 har du grafen for s, hvor s er afsat op ad y-aksen og tiden
t ud ad x-aksen. Ligningen fremstiller en ret linje, hvor stigningstallet
er et udtryk for hastigheden.
Figur 17.01
Hvis du tager matematikken med, kan du nemlig også opfatte hastigheden som en differentialkvotient og ligningen v = 60 som en differentialligning. Ved at bestemme stamfunktionen af integralet
s = ∫ 60 dt = 60 ⋅ t
har du bestemt vejlængden s som funktion af tiden t, og dermed har du
løst differentialligningen.
Kører du med en jævn accelererende bevægelse, kan du sikkert huske
fra bevægelseslæren, at du kan bestemme hastigheden v = a ⋅ t, hvor a
er accelerationen og t tiden. Her har du igen en differentialligning.
Du kan løse den ved at bestemme stamfunktionen, som jo er vejlængden s:
1
s = ∫ at dt = ⋅ a ⋅ t 2
2
På figur 17.02 har du grafen for s. I et bestemt punkt er tangenten et
udtryk for differentialkvotienten og dermed hastigheden.
Figur 17.02
Grundbegreber
Grundbegreber
En differentialligning er en ligning, som indeholder en eller flere differentialkvotienter som fx
dy
= y ’ = f ’(x )
dx
d2 y
= y ’’ = f ’’(x )
dx 2
Ligningen kan så være suppleret med x- og y-led og konstantled.
Indeholder ligningen differentialkvotienter som y’, kalder du ligningen
en 1.ordens differentialligning.
På tilsvarende måde kalder du ligningen en 2.ordens differentialligning, hvis den indeholder led med y’’.
Du får et eksempel.
Du har ligningen y = 2x³ + 4x² og kan bestemme dens differentialkvotient y’ = 6x² + 8x²
Du har dermed en differentialligning af 1.orden. Du kan komme tilbage
til den oprindelige ligning ved at integrere og bestemme stamfunktionen. Det kommer til at se således ud:
y = ∫ 6x 2 + 8x dx
y = 2x 3 + 4 x 2 + k
hvor k er en vilkårlig konstant.
Som du kan se, har differentialligningen uendeligt mange løsninger,
og den ligning, du startede med, er blot en af løsningerne.
Du kan derfor formulere følgende regel:
Når du løser en differentialligning, skal du bestemme samtlige
funktioner, der tilfredsstiller differentialligningen.
Grafen for løsningen til en differentialligning kalder du en integralkurve eller en løsningskurve.
På figur 17.03 har du som eksempel billedet af en løsningskurve,
hvor k = 0.
Figur 17.03
673
674
Teknisk matematik · Differentialligninger
En sådan løsning, som jo er en løsning blandt mange, kalder du et partikulært integral.
Hele samlingen af løsningsfunktioner kalder du det fuldstændige
integral. På figur 17.04 har du graferne for nogle af løsningskurverne.
Figur 17.04
Hvilken af disse løsningsfunktioner, du vælger at arbejde med i en problemløsningssituation, er afhængig af de oplysninger, du har til rådighed.
Du kunne fx have givet et punkt (x,y) = (1,4), der skal ligge på løsningskurven. Du skal så bestemme konstanten k. Du kan indsætte i
ligningen:
y = 2x³ + 4x² + k
4 = 2 ⋅ 1³ + 4 ⋅ 1² + k
−2 =k
Du får så løsningen ved ligningen y = 2x³ + 4x² − 2 og løsningskurven
på figur 17.05.
Figur 17.05
Opgave 526
Du har givet differentialligningen y’ = x² + 3.
a) Du skal bestemme samtlige løsninger til differentialligningen.
b) Du skal bestemme den løsning, hvis graf går gennem punktet (2,3).
Opgave 527
Du har givet differentialligningen y’ = 2x³.
a) Du skal bestemme samtlige løsninger til differentialligningen.
b) Du skal bestemme den løsning, hvis graf går gennem punktet (1,2).
Grundbegreber
Eksempel 17.01
Du har givet en partikel, hvis bevægelse foregår på en sådan måde, at
hastigheden v kan beskrives således: v = 3t² + 4t + 3.
Endvidere får du at vide, at når t = 0, er s = 5.
a) Du skal bestemme et udtryk for vejlængden s.
b) Du skal bestemme et udtryk for accelerationen a.
a) Du får:
s = ∫ v dt = ∫ 3t 2 + 4 t + 3 dt
s = 3⋅
t3
t2
+ 4 ⋅ + 3t + k
3
2
s = t 3 + 2t 2 + 3t + k
Du bestemmer konstanten k ved at indsætte t = 0 og s = 5:
5 = 03 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 + k
5=k
Du får hermed løsningen:
s = t 3 + 2t 2 + 3t + 5
b) Du får:
dv d(3t 2 + 4 t + 3)
=
dt
dt
a = 6t + 4
a=
Opgave 528
Du har givet følgende ligning, som gælder for en partikels bevægelse:
1
s = t 3 − 3t 2 + 2
3
s er vejlængden og t er tiden.
a) Du skal bestemme et udtryk for hastigheden v.
b) Du skal bestemme et udtryk for accelerationen a.
c) Du skal i et koordinatsystem skitsere kurverne for s-t, v-t og
a-t for t > 0.
675
676
Teknisk matematik · Differentialligninger
Opgave 529
Du har givet en ligning for accelerationen for en partikels bevægelse:
a = 6t² − 3.
Endvidere har du, at for tiden t = 0, er v = 2 og s = 4.
a) Du skal bestemme et udtryk for hastigheden v.
b) Du skal bestemme et udtryk for vejlængden s.
Differentialligninger af typen y’ = g(x)
Nu skal du i gang med at arbejde med løsninger til forskellige typer
differentialligninger. Du starter med ovennævnte ligning, som jo i realiteten er en type, du allerede har arbejdet med. Du kan derfor starte med
at formulere følgende:
Har du en differentialligning af typen:
y’ = g(x)
bestemmer du ved at løse ligningen:
y = ∫ g(x ) dx
Eksempel 17.02
Du har givet differentialligningen y’ = 2x + 4.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf går
gennem punktet (−1,2).
a) Du bestemmer den fuldstændige løsning ved at bestemme stamfunktionen:
y = ∫ 2x + 4 dx
y = x 2 + 4x + k
hvor k er en vilkårlig konstant.
Nogle af integral- eller løsningskurverne har du vist på figur 17.06.
Figur 17.06
Differentialligninger af typen y’ = g(x)
b) Din løsningskurve skal indeholde punktet (−1,2). Du indsætter derfor og bestemmer k:
2 = (−1)² + 4(−1) + k
2=1–4+k
5=k
Ligningen for løsningskurven bliver da: y = x² + 4x + 5.
Grafen for løsningskurven har du på figur 17.07.
Figur 17.07
Eksempel 17.03
Du har givet differentialligningen:
y ’= x − 4
a) Du skal bestemme samtlige løsninger til differentialigningen.
b) Du skal bestemme den løsning, hvis graf går gennem punktet (5,6).
a) Du kan starte med at fastlægge definitionsintervallet, som du kalder I.
Du får umiddelbart, at kravet er, at x ≥ 4. Dermed er der kun et definitionsinterval. I: x ≥ 4.
Herefter løser du differentialligningen:
y=∫
x − 4 dx
Du kan inddrage dit CAS-program, og på figur 17.08 har du indtastning og resultat.
Figur 17.08
Her mangler konstanten k, så du kan skrive den fuldstændige løsning
således:
y=
2 ( x − 4 )3
+k
3
677
678
Teknisk matematik · Differentialligninger
På figur 17.09 har du nogle af løsningskurverne.
Figur 17.09
b) Du kan bestemme konstanten k ved at indsætte:
2 ( 5 − 4 )3
6=
+k
3
1
5 =k
3
Du har dermed løsningen:
y=
2 ( x − 4 )3
1
+5
3
3
Grafen for løsningen har du på figur 17.10.
Figur 17.10
Opgave 530
Du skal løse følgende differentialligninger:
a) y ’ = −0 , 25x 3 + 0 , 5x 2 − 3x + 2
b) 3x 2 + f ’(x ) = 4x
dy
c) 14 − 10x 2 +
= 12x
dx
d) y ’ = x 2 ⋅ x 3 − 2
Opgave 531
Du har givet differentialligningen:
dy
x
= 2
dx x + 4
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme den ligning, hvis løsningskurve går gennem
punktet (4,1).
Differentialligninger af typen y’’ = g(x)
Opgave 532
Du har givet differentialligningen: y’= 6x².
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningerne for de løsningskurver, som har linjen
med ligningen y = 24x + 10 som tangent.
Differentialligninger af typen y’’ = g(x)
Du løser en differentialligning af typen y’’ = g(x) ved at integrere to
gange. Når du har integreret en gang, får du følgende resultat:
y’ = G1(x) + k1
Her har du en type, som du arbejdede med i forrige afsnit, så du skal i
gang med at integrere en gang til.
y = ∫ G1 (x ) + k 1 dx = G(x ) + k 1 x + k 2
Eksempel 17.04
Du skal løse differentialligningen y’’ = 5x².
Du integrerer første gang og får:
1
y ’= ∫ 5x 2 dx = 5 ⋅ x 3 + k 1
3
Du integrerer for anden gang og får den fuldkomne løsning:
5
y = ∫ x 3 + k 1 dx
3
5 x4
y = ⋅ + k1 ⋅ x + k 2
3 4
5
y = ⋅ x 4 + k1 ⋅ x + k 2
12
Opgave 533
Du har givet differentialligningen y’’ = 2.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, der går gennem
punktet (1,1), og som i dette punkt har en vandret tangent.
679
680
Teknisk matematik · Differentialligninger
Opgave 534
Du har givet differentialligningen y’’ = x².
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, der går gennem
punktet (3,1), og som i dette punkt har en tangent med stigningstal = 6.
Differentialligninger af typen y’ = h(x) ⋅ g(y)
Her har du en speciel type, idet den indeholder to funktioner, nemlig
h(x) og g(y).
dy
Du starter med at se på differentialligningen og benytter symbolet
= h(x ) ⋅ g(x )
dx
i stedet for y’. Det kommer til at se således ud:
dy
= h(x ) ⋅ g(x )
dx
Du separerer x og y og får:
1
dy = h(x ) dx
g( y )
Du kan integrere og får:
1
∫ g(y) dy = ∫ h(x) dx
Du løser herefter ligningen med hensyn til y.
Metoden kalder du for separationsmetoden, idet du samler de variable x og y på hver side af lighedstegnet.
Hermed har du ”opskriften” på, hvorledes du løser en sådan type
differentialligning.
En differentialligning af formen
y’= h(x)⋅ g(y)
g(y) ≠ 0
bestemmer du ved at løse ligningen:
1
∫ g(y) dy = ∫ h(x) dx
Eksempel 17.05
Du har givet differentialligningen y’= 2xy.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
Differentialligninger af typen y’ = h(x) ⋅ g(y)
b) Du skal bestemme den ligning, hvis løsningskurve går gennem
punktet (0,2).
a)
Du kan opfatte h(x) = 2x og g(y) = y, y ≠ 0. Da løsningskurven skal gå
gennem (0,2) har du endvidere, at y > 0.
Herefter får du:
1
∫ y dy = ∫ 2x dx
ln y = 2 ⋅
x2
+k
2
ln y = x 2 + k
2
2
y = ex + k = ex ⋅ ek
Du kan gøre lidt enklere ved at sætte c = ek
Du kan så skrive den fuldstændige løsning:
y = c ⋅ ex
2
På figur 17.11 har du nogle af løsningskurverne.
Figur 17.11
b)
Du kan indsætte punktet (0,2).
2 = c ⋅ e0
2=c
2
Du kan skrive løsningen:
y = 2 ⋅ ex
2
På figur 17.12 har du grafen for løsningen.
Figur 17.12
681
682
Teknisk matematik · Differentialligninger
Opgave 535
Du har givet differentialligningen y’ = x ⋅ y.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningerne til de integralkurver, hvis grafer går
gennem punkterne (0,1), (0,2), (1,1) og (1,2).
Opgave 536
Du har givet differentialligningen
dy 5 − x
=
dx
y
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den integralkurve, hvis graf indeholder punktet (3,6).
Opgave 537
Du har givet differentialligningen
dy x
=
dx y
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den integralkurve, hvis graf går
gennem punktet (1,1).
Differentialligninger af typen y’ = a ⋅ y
Differentialligninger af typen y’ = a ⋅ y
Denne type kan du opfatte som en art af differentialligningen y’= h(x) ⋅
g(y), idet du kan sætte h(x) = a og g(y) = y.
Du kan derfor benytte separationsmetoden og komme frem til en
løsning.
1
∫ y dy = ∫ a dx
ln y = ax + k 1
y = eax+k = eax ⋅ ek
Du sætter c = ek
y = ±c ⋅ eax
Du kan konkludere:
En differentialligning af formen
y’ = a ⋅ y,
a≠0
har følgende løsning:
y = ± c⋅ eax
Eksempel 17.06
Du har givet differentialligningen 6y’ = 24y.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme den ligning, hvis integralkurve går gennem
punktet (1,32).
a)
Du starter med at løse ligningen med hensyn til y’:
y’= 4y
Du får derfor den fuldstændige løsning:
y = c ⋅ e4x
På figur 17.13 har du nogle af integralkurverne.
Figur 17.13
683
684
Teknisk matematik · Differentialligninger
b)
Du indsætter punktet (1,32):
32 = c ⋅ e4⋅1
c = 0,5861.
Du får den endelige løsning:
y = 0,5861 ⋅ e4x
På figur 17.14 har du grafen for løsningen.
Figur 17.14
Opgave 538
Du har givet differentialligningen y’ = 3y.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf indeholder punktet (1,10).
c) Du skal bestemme ligningen for tangenten i punktet (1,10).
Opgave 539
Du har givet differentialligningen: y – 2y’ = 0.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningerne for de løsningskurver, hvis grafer går
gennem henholdsvis (1,1) og (1,2).
Differentialligninger af formen y’ = g(y)
Differentialligninger af formen y’ = g(y)
Denne type kan du også opfatte som en art af differentialligningen y’=
h(x) ⋅ g(y), idet du sætter h(x) = 1. Du kan derfor indsætte i ligningen:
1
∫ g(y) dy = ∫ h(x) dx
1
∫ g(y) dy = ∫ 1 dx
1
∫ g(y) dy = x + k
Du kan derfor formulere følgende:
En differentialligning af formen
y’ = g(y)
kan du bestemme ved at løse ligningen:
1
∫ g(y) dy = x + k
Eksempel 17.07
Du har givet differentialligningen: y’= (y – 3)².
c) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
d) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf går
gennem punktet (0,2).
a) Du indsætter g(y) = (y – 3)² i løsningsformlen:
1
∫ (y − 3)2 dy = x + k
Du kan bestemme integralet på venstre side af lighedstegnet ved hjælp
af CAS-program.
Du har indtastning og resultat på figur 17.15.
Figur 17.15
Du kan nu skrive:
−1
= x+k
y−3
685
686
Teknisk matematik · Differentialligninger
og løser ligningen med hensyn til y:
(y − 3)(x + k ) = −1
−1
x+k
−1
y=
+3
x+k
y−3 =
Du får på figur 17.16 billedet af nogle af løsningskurverne.
Figur 17.16
b) Du indsætter (0,2) og får:
−1
+3
0+
−1
−1 =
k
k=1
−1
+3
y=
x +1
2=
Du får billedet af løsningskurven på figur 17.17.
Figur 17.17
Opgave 540
Du har givet differentialligningen y’ = y – 3.
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf indeholder punktet (0,1).
Opgave 541
Du har givet differentialligningen:
y ’= y
Differentialligninger af typen y’ = y(b − ay)
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen til den løsningskurve, som har linjen
med ligningen y = x + 2 som tangent.
Opgave 542
Du har givet differentialligningen:
y ’= y − 3
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den integralkurve, som har linjen
med ligningen y = x + 2 som tangent.
Differentialligninger af typen y’ = y(b − ay)
Du har tidligere arbejdet med differentialligningen y’ = a ⋅ y med løsningen y = c⋅ eax .
Du har det grafiske billede af en løsning som vist på figur 17.18.
Figur 17.18
Forestil dig, at du arbejder med vækstproblemer. Du har en befolkningsgruppe, som du regner med vil vokse proportionalt med antallet
af personer. Det vil med en større og større befolkning også give en
større og større vækst.
Matematisk vil det være ovennævnte ligning, der vil danne baggrund for opstilling af en matematisk model, der kan give dig et billede
af, hvordan udviklingen vil forløbe.
En sådan vækst kalder du for uhæmmet, og en sådan vil sjældent
forekomme i virkeligheden.
Prøv og se på, hvorledes et menneske vokser i højden i en periode
fra fødslen til omkring 18-20 års alderen. Du vil få et billede, hvor der
hvert år tillægges et varierende antal cm, som aftager hen imod slutningen af perioden. En sådan vækst vil du ikke kunne tilpasse ovennævnte
ligning.
Der skal en anden type ligning til. Du vender derfor tilbage til differentialligningen:
y’= k ⋅ y og løser den således:
y’
=k
y
687
688
Teknisk matematik · Differentialligninger
Erstatter du konstanten k med en lineær funktion b – ay, viser det sig,
at du får en ligning, som er bedre egnet til at beskrive vækstprocesser af
lignende karakter som den skitserede ovenfor med højden på et menneske. Ligningen får følgende udseende:
y’
= b − ay
y
Løser du ligningen med hensyn til y', får du:
y' = y(b – ay)
Du kan herefter formulere følgende:
En differentialligning af formen
y’ = y(b – ay), hvor a ≠ 0 og b ≠ 0, har løsningen:
b
a
y=
1 + ke−bx
Baggrunden for denne løsningsformel er ikke medtaget, men den kan
på samme måde som de forrige vises og gennemføres ved hjælp af separationsmetoden.
Har du en vækst, der følger denne differentialligning, kalder du det
en logistisk vækst.
Du kan starte med at se på løsningsformlen under forudsætning, at
a > 0, b > 0 og k > 0.
Løsningskurven får udseende som vist på figur 17.19.
y
y= a
b
y=0
(0,0)
x
Figur 17.19
Som du kan se, har løsningskurven to vandrette asymptoter, nemlig
y = 0 og y = b .
a
y=
1 + ke−bx
Du kan nu vise, at det forholder sig sådan.
Du ser først på grænseværdien, når x ∞.
e
ba
b
b
a
a
lim
=
=
x→∞ 1 + ke− bx
1+ k⋅0 a
Differentialligninger af typen y’ = y(b − ay)
e− bx = 0 kan du se af følgende omskrivning:
At lim
x→∞
1
lim
e− bx = lim
=0
x→∞
x→∞ e bx
Du kan konkludere: y = b er vandret asymptote, når x ∞.
ea
a
y=
1 + ke−bx
Du ser så på grænseværdien, når x −∞.
ea
b
a
lim
idet
lim ke− bx = ∞
x→−∞
x→−∞ 1 + ke− bx
Hermed kan du konkludere: y = 0 er vandret asymptote, når x
ea
− ∞.
Eksempel 17.08
Du har givet differentialligningen y’= y(5 – 2y).
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf indeholder punktet (0,2).
a) Du kan indsætte direkte i løsningsformlen og får:
5
2
y=
1 + ke−5 x
b) Du indsætter punktet (0,2) og løser ligningen med hensyn til k:
5
2
2=
1 + ke−5 ⋅ 0
2, 5
2=
1+ k
2, 5
1+ k =
2
k = 1, 25 − 1
k = 0 , 25
Figur 17.20
Du har så løsningen og billedet af løsningskurven på figur 17.20.
2, 5
y=
1 + 0 , 25 ⋅ e−5 x
689
690
Teknisk matematik · Differentialligninger
Opgave 543
Du har givet differentialligningen: y’= y(3 – 2y).
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, der går gennem
punktet (1,1).
Opgave 544
Du har givet differentialligningen: y’ = y(8 – 4y).
a) Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
b) Du skal bestemme ligningerne for de løsningskurver, hvis grafer indeholder følgende punkter: (0; 0,5), (0,1) og (0; 1,5).
Problemopgaver
Opgave 545
Du har givet differentialligningen y’ + 0,5x² − x = 0.
Du skal bestemme ligningen for den løsning, hvis graf går gennem
punktet (0,0).
Opgave 546
Du har givet differentialligningen:
y ’= ex ⋅ e y
Du skal bestemme differentialligningens fuldstændige løsning.
Opgave 547
Du har givet differentialligningen:
dy
1
=
dx
2xy
Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, hvis graf går gennem punktet (2,1).
Opgave 548
Du har givet differentialligningen: 5y’+ 0,25y = 0.
Du skal bestemme ligningen for den løsningskurve, som har linjen med
ligningen y = x + 1 som tangent.
Problemopgaver
Opgave 549
Ved dimensionering af konstruktionselementer indgår nedbøjningsundersøgelse som en særdeles vigtig faktor. På figur 17.21 har du vist en
aksel med diameter d, som er fastgjort som vist. Når akslen belastes
med en kraft F, vil det resultere i en nedbøjning af akslen, som er størst
i punkt B og 0 i punkt A.
L
x
A
F
B
yx
yL
Figur 17.21
Nedbøjningen i afstanden x fra A kan bestemmes af følgende ligning:
d 2 y F(L − x )
=
dx 2
E⋅ I
F
L
E
I
= belastningen i N (Newton),
= afstanden i mm,
= materialets elasticitetskoefficient i N/mm²,
= inertimomentet af det pågældende tværsnit i mm4.
For en aksel med diameter d er I = 0,005 ⋅ d4.
I det pågældende tilfælde er:
F = 1000 N
L = 600 mm
E = 0,21 ⋅ 10 N/mm²
D = 30 mm
a) Du skal bestemme nedbøjningen som funktion af x.
b) Du skal bestemme nedbøjningen for x = 100 mm, x = 200 mm, x =
300 mm, x = 400 mm, x = 500 mm og x = L.
c) Du skal tegne løsningskurven for y.
Opgave 550
Du har givet en by med 80.000 indbyggere. Her er en sygdom brudt
ud, og du kan regne med, at det er en epidemi, som følger en logistisk
vækstfunktion. Den første måling giver 200 tilfælde. En uge senere er
der 320 tilfælde.
Du kan sætte y = antal smittede personer til uge nr. x.
a) Du skal bestemme ligningen til løsningskurven.
b) Du skal bestemme antal smittede i uge nr. 3, i uge nr. 4 og i uge nr. 5.
c) I hvilket ugenummer er halvdelen af befolkningen i byen smittet?
691
692
Teknisk matematik · Differentialligninger
Resume 17. kapitel
Differentialligninger
Ligningstype
Løsning
y’ = g(x)
y = ∫ g ( x ) dx
y’ = h(x ) · g(y)
dy = ∫ h ( x ) dx
∫ g----------(y)
y’ = a · y
y = c · eax
y’ = g(y)
dy = x + k
∫ ----------g(y)
y’ = y(b - ay)
b
--a
y = --------------------------– bx
1+k⋅e
y’’ = g(x)
1
1
y ′ = ∫ g ( x ) dx
- herefter som den
første type
Data og matematiske funktioner
MATEMATISKE MODELLER,
MODELLERING
OG PROJEKTIDEER
18
Data og matematiske funktioner
Du har sikkert været i et fysiklokale og lave forsøg. Her har du fået en
del måleresultater, som fx kan udtrykkes i følgende koordinatsæt:
(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), ... (xn,yn)
Kan du finde en sammenhæng mellem x og y, som kan beskrives i en
funktion y = f(x), kalder du funktionen en matematisk model af måleresultaterne.
Eksempel 18.01
Du har nogle data, som kan udtrykkes i følgende koordinatsæt:
(-2,-1), (2,2), (5,4), (7,5) og (9,6)
Du indlægger koordinatsættene som punkter i et koordinatsystem som
vist på figur 18.01.
y
(9,6)
(7,5)
(5,4)
(2,2)
1
1
(−2,−1)
Figur 18.01
x
693
694
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Du lægger en lineal på figuren og tegner ved øjemål en linje, som ligger
så tæt som muligt på de afsatte punkter.
Fra kapitlet ”Analytisk plangeometri” har du ligningen for en ret
linje, nemlig:
y = ax + b
hvor a er linjens stigningstal og b skæringspunktet med y-aksen.
Du kan ved aflæsning bestemme a og b.
I dette tilfælde får du a = 0,62 og b = 0,5.
Herved har du en matematisk model af de givne data, som du kan
beskrive ved ligningen for den rette linje:
y = 0,62x + 0,5
Din grafregner kan også hjælpe dig til at komme frem til en matematisk
model, og den har desuden et større udbud af andre funktioner, når der
skal gives forslag til en matematisk model.
Der er forskel på grafregnere, så det er en god ide, hvis du læser din
manual igennem og gør dig klart, hvordan du skal gøre.
Almindeligvis vil fremgangsmåden være, at du starter med at indtaste koordinatsættene.
Næste fase er, at du får indlagt koordinatsættene i et koordinatsystem.
Herefter skal du vælge en matematisk funtionstype, og her er det
vigtigt, at du gør dig klart, hvilke muligheder grafregneren giver dig.
Din grafregner vil gennemføre beregningen og komme med et forslag til en funktion, og endelig kan du også få tegnet en graf.
Eksempel 18.02
Du får et eksempel med de samme data som før.
Forløbet vil være afhængig af din grafregner, men generelt vil fremgangsmåden være:
Data og matematiske funktioner
1) Du indtaster først koordinatsættene (figur 18.02):
Figur 18.02
2) Du får punkterne indlagt i et koordinatsystem (figur 18.03):
Figur 18.03
3) Du vælger en matematisk model, som i dette tilfælde er en ret linje
(figur 18.04):
Figur 18.04
4) Du får forslag til en model (figur 18.05):
Figur 18.05
5) Du får grafen af modellen indlagt i koordinatsystemet (figur 18.06):
Figur 18.06
Som du ser, får du forslag til værdierne a og b i den rette linjes ligning y
= ax + b, men du får også værdierne r og r2, og det er nyt. Dem får du
en forklaring på i det kommende afsnit.
695
696
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Lineær regressionsmodel
Forestil dig, at du har en række data, der kan udtrykkes i koordinatsæt,
som er lagt ind i et koordinatsystem sammen med en ret linje (se figur
18.07).
y
(x1,y1)
(x3,y3)
a1
a3
(xn,yn)
an
a4
a2
(x2,y2)
(x4,y4)
x
Figur 18.07
Du har også afsat de lodrette afstande fra punkterne til linjen.
Lægger du kvadraterne på alle disse afstande sammen, får du:
S a2 = a12 + a22 + a32 + a42 + ... an2
Denne kvadratsum er afhængig af linjen. Grundlæggende er det vedtaget, at den linje, der gør kvadratsummen mindst, er den bedste linje,
som også kaldes regressionslinjen.
Arbejdet med at finde regressionslinjen ordner grafregneren for dig.
Som du fik set i eksemplet, beregner den også værdierne r og r2.
Værdien af r, som kaldes korrelationskoefficienten, ligger mellem
–1 og +1.
Fortegnet fortæller noget om linjens hældning.
Hvis r er positiv, er linjens stigningstal positivt, og på tilsvarende
måde, hvis r er negativ, vil linjens stigningstal være negativt.
Hvis r = –1 eller r = 1 ligger alle punkterne på linjen, og linjen er
perfekt for alle data.
Hvis r = 0, er der ingen lineær sammenhæng.
Det vil sige, at r-værdien fortæller dig noget om, hvor god regressionslinjen er.
Jo tættere værdien r er på –1 eller +1,
jo bedre er den matematiske model for de givne data.
Værdien r2 fortæller noget om punkternes tæthed på regressionslinjen.
Hvis r = 0,8, vil r2 = 0,64 og dermed vil 64 % af punkterne ligge tæt på
regressionslinjen.
Hvis du skal have en nøjere definition og forklaring på disse størrelser,
skal du sætte dig ind i faget statistik, hvor teorien bag disse størrelser
er beskrevet.
Eksponentiel regressionsmodel
Eksponentiel regressionsmodel
I kapitlet ”Eksponentielle funktioner” har du arbejdet med det at bestemme en matematisk model.
Har du måleresultater, der kan udtrykkes som koordinatsæt, kan
du indlægge koordinatsættene som punkter i et koordinatsystem, hvor
den lodrette akse er logaritmisk inddelt (enkeltlogaritmisk koordinatsystem).
Viser det sig, at de afsatte punkter tilnærmelsesvis ligger på en ret
linje, vil den matematiske model kunne udtrykkes som en eksponential
udvikling med ligningen:
y = b ⋅ ax
Her gør grafregneren det også lidt nemmere for dig.
Skal du bestemme, om nogle data udtrykt ved koordinatsæt kan
beskrives ved en eksponentiel udvikling, foregår det på samme måde
som ved lineær regression.
Du har som nævnt forskriften for en eksponentiel udvikling:
y = b ⋅ ax
men her skal du passe på! – Der er grafregnere, der angiver forskriften
på en lidt anden måde, nemlig således:
y = a ⋅ eb⋅x
Her er der byttet om på a og b, og desuden er b eksponent til e.
Du skal derfor være opmærksom på, hvad der angives for din grafregner.
Potensregressionsmodel
Du har også arbejdet med potensfunktioner, som kunne udtrykkes i
ligningen:
y = b ⋅ xa
Har du igen data, som kan udtrykkes i koordinatsæt, kunne du indlægge koordinatsættene som punkter i et koordinatsystem, hvor både
x- og y-aksen er logaritmisk inddelt.
Viser det sig, at de afsatte punkter tilnærmelsesvis ligger på en ret linje, vil den matematiske model kunne udtrykkes som en potensfunktion.
Grafregneren kan også hjælpe dig her, og fremgangsmåden er den samme som beskrevet tidligere.
697
698
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Andre regressionsmodeller
Din grafregner har sikkert flere regressionsmodeller end de her beskrevne, så det er bare med at læse manualen igennem og gøre dig
klart, hvilke muligheder din grafregner giver dig.
Modellering og matematikprojekter
Når du arbejder med matematisk modellering, skal du bestemme, om en
praktisk problemstilling kan formuleres som et matematisk problem.
Kan du det, har du opstillet en matematisk model.
Du kan bestemme løsninger til det matematiske problem og føre
dem tilbage til den praktiske problemstilling og omvendt. Ved at sammenholde resultaterne kan du vurdere, om den matematiske model er
brugbar eller måske kassabel, eller om der er behov for justeringer.
Matematiske modeller finder du inden for mange områder som fx
teknik, teknologi, økonomi, vejrprognoser mv.
Du har allerede kendskab til at opstille matematiske modeller, idet det
netop er det, du har gjort, når du har arbejdet med mange af problemopgaverne, som findes i bogen.
I det kommende bliver du præsenteret for forskellige typer projektopgaver, som er beskrevet med baggrund i praktiske problemstillinger.
Det kan være projekter med få og enkle problemstillinger, men der er
også nogle med mange og ret så komplicerede problemstillinger
Det er en god ide at starte med en af de enkle projektopgaver, således
at du får mulighed for at træne, hvordan du arbejder med et projekt.
Projektet skal ende med, at du får udarbejdet en rapport, der kan
dokumentere de ideer og den matematik, du har benyttet for at nå frem
til en løsning.
Problemanalyse
Den matematiske viden, du har, kan du opfatte som liggende i en
”værktøjskasse”. I ”værktøjskassen” har du fra tidligere i dette kapitel
nogle muligheder, når du skal omsætte en samling forskellige data til
en matematisk funktion, men du har jo også alle de formler, du har
arbejdet med i hele bogen.
Du skal overveje, om der er noget matematik, du kan trække frem af
din matematiske ”værktøjskasse” og benytte i den aktuelle situation.
Du skal altså overføre den praktiske situation til noget matematik,
som du kan arbejde med, eller sagt med lidt andre ord – du skal bestemme en matematisk model af virkeligheden.
Nogle gange kan det blive en matematik model, der er tæt på den
praktiske problemstilling, men du vil også mange gange blive nødt til
at opstille en tilnærmet model af virkeligheden, for at kunne arbejde
matematisk med den.
Denne matematiseringsproces, du skal igennem, kan variere fra projekt til projekt. Det kan derfor være svært at angive en bestemt fremgangsmåde, men der er nogle faser, du skal igennem, og de bliver kort
beskrevet i de følgende.
Problemanalyse
-
Du skal analysere de givne data.
Er der nogle sammenhænge mellem de givne data, skal du beskrive
dem.
- Skal du anvende specielle formler, så beskriv formlerne evt. suppleret med figurer.
-Ved mange tekniske problemstillinger indgår geometriske data. I
sådanne tilfælde bør du altid tegne eller konstruere en geometrisk
figur. Som du sikkert husker, vil der fremkomme en del ”geometripunkter”, som du kan anvende som udgangspunkt, når du skal løse
problemet.
Løsningsmodeller
-Du skal udarbejde en løsningsmodel, som er en ”slagplan”, der på
et overordnet niveau fortæller, hvordan du har tænkt dig at løse opgaven.
-Du kan ofte ”angribe” et problem fra forskellige sider, og derved
kan du få flere løsningsmodeller.
-Har du som nævnt i ”Problemanalysen” tegnet eller konstrueret en
geometrisk figur og fundet nogle ”geometri-punkter”, kan du arbejde videre med disse ”geometri-punkter”. Du kan fx få dannet en
trekant med tilstrækkelige oplysninger til, at du kan gå i gang med
en beregning. Måske er trekanten den ”nøgle”, der kan hjælpe dig i
gang med løsning af problemet.
- Du bør beskrive de løsningsmodeller, du finder.
699
700
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Valg af løsningsmodel
-Har du beskrevet flere løsningsmodeller, vælger du den, du mener,
der sikrest og mest overskueligt kan løse problemstillingen.
Dokumentation
- Du skal løse opgaven med den nødvendige dokumentation.
- Der er ikke nok, at du skriver et resultat!
-Det skal fremgå af din løsning, hvilke formler du har benyttet, og
hvilke tal du har indsat.
- Du skal forsyne dine resultater med rigtige enheder.
-Har du tegnet figurer, skal der være overensstemmelse mellem de
betegnelser, der er på figuren, og de betegnelser, du har i den medfølgende tekst og evt. beregninger.
-Du bør opstille, kommentere og illustrere dine beregninger på en
sådan måde, at løsningen bliver overskuelig og let at læse.
Vurdering af løsning
- Du skal vurdere resultaterne i relation til den stillede opgave.
- Synes du, at resultaterne ser rimelige ud.
-Lad dig ikke friste af din grafregner til at medtage flere cifre i resultaterne, end hvad der er realistisk i forhold til opgaven.
- Har du sat rigtige enheder på resultaterne.
-Har du tegnet en geometrisk figur, en graf eller lignende, kan du
måle eller aflæse resultater. Disse resultater kan du sammenligne
med dem, du har beregnet. Du får på denne måde en rimelig kontrol
på dine resultater.
Afslutning
-Nu er du ved at være færdig med udkastet til din rapport, og du
skal i gang med renskriften. Inden du går i gang med den, får du her
en god ide!
-Du kan lade en af dine klassekammerater læse din kladde til rapporten. Herved vil du få nogle reaktioner, der kan fortælle dig, om
du mangler noget. Det kunne fx være:
Er dine sætninger lette at læse og forstå?
Er der overensstemmelse mellem tekster og figurer?
Er beregningerne nemme at følge?
Pejlestang
Pejlestang
Figur 18.08 viser en vandretliggende cylinderformet beholder med
plane endebunde.
Pejlestang
Figur 18.08
Beholderens indvendige dimensioner er:
Længde = 2 meter og diameter = 0,8 meter
Til at angive, hvor meget væske beholderen indeholder, anvendes en
pejlestang, som stikkes ned gennem en åbning oven på beholderen.
Pejlestangen skal forsynes med målestreger, således at der kan aflæses følgende rumfangsmål:
100 liter, 200 liter, 300 liter, 400 liter, 500 liter, 600 liter, 700 liter, 800 liter
og 900 liter.
Du skal bestemme afstandene mellem målestregerne på pejlestangen.
701
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Hjerting kirke
Hjerting ligger ca. 10 km nord for Esbjerg. I 1992 blev en ny kirke med
en spændende arkitektur og udsmykning indviet.
Kirken er tegnet af arkititekt Alan Havsteen-Mikkelsen, og en del af
den indvendige udsmykning, bl.a. alteret er foretaget af Robert Jacobsen.
Du kan dele projektopgaven i to dele. Første del indeholder tre opgaver, mens der i anden del er en opgave, der forudsætter, at du har arbejdet med ”vektorer i rummet”.
Figur 18.09 viser gulvplanen i kirken, hvor alle mål er i meter.
4,80
9,60
4,80
3,20
3,20
2,80
7,20
12,80
r=
4,8
2
2,80
R=
10,
73
3,20
3,20
3,20
3,20
702
3,20
Figur 18.09
19,20
3,20
Hjerting kirke
a) Du skal bestemme det samlede gulvareal i kirken.
På figur 18.10 har du en skitse af nordgavlen, hvor alle mål er i meter.
c
b
a
c
b
3,6
3,2
a
10,8
12,
8
4,8
3,2
3,2
Figur 18.10
b) Du skal bestemme arealet af murværket på nordgavlen (de farvede
dele).
c) Du skal bestemme længden af stængerne a, b og c.
Kirkens tårn er fremstillet i en støbt konstruktion indvendig og muret
op udvendig.
Den støbte konstruktion er vist i et snit på figur 18.11, hvor alle mål
er i meter.
3,41
5
0,1
1
,15
1
1
0,15
R = 8,66
Figur 18.11
Støbningen starter i kote 10.00 og slutter foroven i kote 21.00.
d) Du skal bestemme, hvor mange m3 beton der medgår til støbning
af tårnet.
På figur 18.12 er gavlen indlagt i et rumligt koordinatsystem.
703
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
704
z
T
E
A
F
x
B
10,8
12,8
3,2
H
G
4,8
D
3,2
C
y
Figur 18.12
Du skal bestemme følgende:
a) Koordinaterne til punkterne A, B, C, D, E, F, G, H og T.
b) Afstandene EF, ET og FT.
c) Vinklen mellem linjerne EF og ET.
d) Vinklen mellem linjerne FG og FT.
e) En ligning for det plan, der indeholder punkterne A, B, E og F.
f) En ligning for det plan, der indeholder punkterne B, C, F og G.
g) En ligning for det plan, der indeholder punkterne E, F og T.
h) En ligning for det plan, der indeholder punkterne F, G og T.
i) Vinklen mellem planerne ABEF og EFT.
j) Vinklen mellem planerne EFT og FGT.
k) Vinklen mellem planerne BCFG og FGT.
Silo
0,4
2,1
2,2
0,75
2,0
0,5
Figur 18.13
På figur 18.13 er vist en silo, som er sammensat af tre dele:
Udgravning
-
et kugleafsnit
en cylinder og
en keglestub.
Siloen bliver båret af et stativ som vist på figur 18.14.
1,5
2
2
Figur 18.14
Alle mål er i meter, og ved beregningerne kan der ses bort fra pladetykkelser.
a) Du skal bestemme siloens rumfang.
b) Du skal bestemme, hvor meget plade der medgår til fremstilling af
siloen, når den fremstilles uden bund.
c) Af hensyn til overskueligheden er der kun vist en tværstiver på stativet.
Du skal bestemme længden af en hjørnestiver og længden af en tværstiver.
Udgravning
4
8
m
m
m
4
5
m
Ved opførelse af en bygning skal der foretages en udgravning til en
kælder. Udgravningen har form som en ”vinkel-pyramidestub” med
højden 2,1 meter (figur 18.15).
Figur 18.15
705
706
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Siderne i pyramidestubben danner en vinkel på 45° med vandret.
a) Du skal bestemme rumfanget af udgravningen.
b) Under opgravning og transport får den opgravede jord større
rumfang.
Der bortkøres i alt 32 vognlæs jord, og hvert læs indeholder 8 m3.
c) Du skal bestemme, hvor mange % den opgravede jord har udvidet
sig.
d) Den bortkørte jord skal anvendes til en jordvold, som har et tværsnit
som vist på figur 18.16.
R = 1m
R
45°
3m
45°
Figur 18.16
Du skal bestemme, hvor mange meter jordvold der kan blive til.
Dæksel
I et dæksel, som er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 18.17,
skal der fræses et spor, som geometrisk kan deles i to cirkelbuer og to
rette linjer, som er tangenter til cirkelbuerne i punkterne A, B C og D.
y
A
C
R
r
D
B
80
x
80
100
Figur 18.17
R = 60 mm og r = 30 mm, og de øvrige mål er i mm.
Fræsemaskinen skal programmeres, og i den forbindelse skal du bestemme:
Konstruktion af ventilhus
a) Koordinaterne til punkterne A, B, C og D.
b) Forskrifterne for de funktionsudtryk, som ”sporet” kan inddeles i.
c) Endvidere skal du bestemme bearbejdningstiden for fræsning af
sporet, når fræseren er i den ønskede dybde, når der startes, og fræseren kører med en konstant hastighed på 40 mm/minut.
Konstruktion af ventilhus
Ved udformning af et ventilhus indgår en kugle med diameter d og en
keglestubformet del med følgende dimensioner:
H = 45 mm
d1 = 15 mm
v = 50°
Når ventilen er lukket, er kuglen placeret som vist på figur 18.18, og h
= 10 mm.
v
h
d
H
d1
Figur 18.18
a) Du skal bestemme diameteren d på kuglen.
b) Du skal bestemme rumfanget af den del af ventilhuset, der ligger
over kuglen.
c) Når ventilen er åben, er kuglen placeret som vist på figur 18.19. Du
skal med denne baggrund bestemme afstanden a mellem kuglen og
ventilhusets væg.
a
Figur 18.19
d) Du skal bestemme det mindste frie gennemstrømningsareal, når
ventilen er åben som vist på figur 18.19.
707
708
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Storebæltsforbindelsen
Byggeriet af den faste forbindelse over Storebælt startede i 1986 og
strakte sig til 1998, hvor indvielsen fandt sted i juni måned. Projektet
har resulteret i en af verdens største højbroer og har været det mest
omfattende anlægsarbejde i Danmark nogensinde.
Den faste forbindelse over Storebælt strækker sig over 18 km fra
Knudshoved på Fyn over Sprogø til Halsskov Odde på Sjælland (figur
18.20).
Bane
Nyborg
ning
Dæm
Sprogø
Motorvej
Halskov
Korsør
Knudshoved
Vestbroen
Østbroen
Figur 18.20
Den faste forbindelse består i hovedtræk af tre dele:
1. En 8 km lang boret jernbanetunnel mellem Sjælland og Sprogø.
2. En 6,6 km lang betonbro for jernbane og motorvej mellem Fyn og
Sprogø.
3. En 6,8 km lang højbro for motorvej mellem Sjælland og Sprogø.
Dette projekt tager udgangspunkt i Vestbroen og Østbroen.
Vestbroen
709
Vestbroen
Vestbroen, der forbinder Fyn og Sprogø, er udført som en kombineret
vej- og jernbanebro med en højde midt på broen som vist på figur 18.21.
hmidt = 18 meter.
KNUDSHOVED
SPROGØ
hmidt
h
6611,4 meter
R
Figur 18.21
Broens overbygning er udført med en konstant krumning svarende til
en cirkel med radius R = 500 km.
Krumningen medfører, at brobanen ligger lavere ved landfæsterne
end midt på broen.
Broens samlede længde er 6611,4 meter (korde-målet).
a) Du skal bestemme brobanens højde h over vandoverfladen ved
landfæstet.
b) I spørgsmål a) er det forudsat, at vandoverfladen er vandret, men
det er den i realiteten ikke, idet den har en krumning på grund af,
at jorden er rund.
Jordens diameter kan du regne til 12742 km.
Du skal med den baggrund bestemme brobanedelens højde h over
vandoverfladen ved landfæstet.
710
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Østbroen
Østbroen er udformet som en hængebro med et frit spænd i gennemsejlingsfaget mellem de to midterste piller på 1624 meter.
Y
B
A
hænger nr. 26
C
f
M
1
536
D
2
L = 1624
x
536
Figur 18.22
Den geometri, der ligger til grund for broens udformning, er vist på
figur 18.22, og de geometriske forudsætninger og nødvendige data for
de enkelte dele på broen er:
Hovedkablet BMC:
Kurven BMC er en parabel med toppunkt i punkt M.
Kote ved bromidte, svarende til x = 0: y = 77 meter.
Parablen har pilhøjden f = 1/9 L, hvor spændvidden L = 1624 meter.
Brobane, mærket 1-2:
Brobanen, mærket 1-2 er en cirkelbue med radius R = 45.000 meter.
Kote ved bromidte, svarende til x = 0: y = 75 meter.
Brobanedele, mærket A-1 og 2-D:
De to brobanedele, mærket A-1 og 2-D er rette linjestykker og er
tangenter til cirkelbuen i punkterne ”1” og ”2”.
a) Du skal bestemme stigning henholdsvis fald i % på de to brobanedele,
mærket A-1 og 2-D.
b) Du skal opstille et funktionsudtryk for hovedkablet (kurven BMC).
c) Du skal opstille en ligning for brobanedelen, mærket 1-2.
d) Du skal bestemme længden af ”hænger nr. 26”, der er placeret i afstanden 664 meter fra bromidte.
Superellipsebord
Superellipsebord
Danskeren Piet Hein står som ”opfinder” af superellipsen, som er benyttet som konstruktionselement ved design af bordplader, ”superæg”, ved
udformning af torve i forbindelse med trafikafvikling og meget mere.
Ligningen for super-ellipsen ser således ud:
n
n
y
x
+
=1
a
b
hvor a og b er to positive konstanter. Eksponenten n skal være større
end 2.
y
n=2
n=4
n=8
x
2b
2a
Figur 18.23
På figur 18.23 er vist en almindelig ellipse, hvor n = 2 og endvidere to
superellipser med n = 4 og n = 8.
Figuren illustrerer også, at jo større eksponenten n bliver, jo mere og
mere nærmer superellipsen sig et rektangel med siderne 2a og 2b.
711
712
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Du skal konstruere en bordplade med form som en super-ellipse.
Du skal selv bestemme, hvad bordpladen skal bruges til, så:
- Du skal opstille et passende formål.
-Du skal beskrive opgaven, herunder dine valg af nødvendige data,
målene a og b og værdien af eksponenten n.
-Du skal udarbejde den matematiske dokumentation og en beskrivelse, der vil gøre det muligt at fremstille bordpladen i et værksted.
- Du skal fremstille en skabelon, der kan benyttes ved fremstilling af
bordpladen.
Varmluftballon
Figur 18.24 viser et snit gennem en ballon. Geometrisk består ballonen
af en kuglekalot og en keglestub.
R
h
v
d
Figur 18.24
Ballonen tænkes fremstillet på den måde, at du deler den i 12 lige store
baner, som du derefter sammensætter til ballonens form.
En anden mulighed er, at du fremstiller keglestubben for sig selv, og
derefter sammensætte den med banerne fra kuglekalotten.
Sejlads
Ballonens dimensioner er:
Radius R = 500 mm
Højde h = 1500 mm
Åbningsdiameter d = 250 mm
Du kan fx fremstille ballonen i silkepapir og klistre banerne sammen
ved hjælp af en limstift - har du andre ideer, er mulighederne åbne.
Fremstil evt. en gondol til ballonen og undersøg mulighederne for
afprøvning af ballonens flyveegenskaber.
Du skal:
a) Bestemme vinklen v.
b) Bestemme kuglekalottens dimensioner.
c) Bestemme keglestubbens dimensioner.
d) Bestemme ballonens overfladeareal.
e) Bestemme ballonens rumfang.
f) Opstille en beregningsprocedure for, hvorledes målene til en bane
kan bestemmes.
g) Fremstille en skabelon, der kan benyttes, når du skal klippe banerne
ud.
Sejlads
Et fragtskib er i en position A som vist på kortet på figur 18.25.
N
Ø
V
S
B
30°
72°
A
C
Figur 18.25
Fragtskibet er i stand til at sejle med en fart på 18 knob, men på grund
af strøm og vind må der regnes med en påvirkning på skibet i den viste
retning på 3 meter/sekund.
Fragtskibet sejler mod havnebyen B, og afstanden mellem A og B er
54 sømil.
Endvidere er afstanden mellem A og havnebyen C 45 sømil, og afstanden mellem havnebyerne B og C er 25 sømil.
a) Du skal bestemme sejltiden mellem A og B ud fra de givne forudsætninger.
713
714
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
b) Du skal bestemme fragtskibets position efter 2 timers sejlads.
Positionen benævner du D.
Fra position D kan der regnes med følgende ændring: Vind- og strømforholdene er blevet forværret, og der kan nu regnes med 5 meter/sekund, men retningen er den samme som før.
c) Du skal bestemme sejltiden fra position D til B på baggrund af de
nye forudsætninger.
Da vejrudsigten lover endnu dårligere forhold, overvejes det, om det
kan betale sig at sejle til havnebyen C, da afstanden til C er nærmere.
d) Du skal bestemme sejltiden fra position D til C.
Vægdrejekran
En vægdrejekran er opbygget som en gitterkonstruktion som vist på
figur 18.26.
A
3m
B
3m
3m
Figur 18.26
På figur 18.27 er de største vektorbelastninger og vektorreaktionskræfter påført.
HA
4
7
5
HB
VB
1
3
6
2
F1
F2
30°
Figur 18.27
Vægdrejekran
Vektorbelastningerne er:
F1 = 2 kN (kiloNewton) F2 = 10 kN
Vektorreaktionskræfterne er beregnet til:
H = 19,32 kN H = 14,32 kN V = 10,66 kN
A
B
B
a) Du skal vise, at der er ligevægt mellem vektorbelastningerne og vek­
torreaktionskræfterne.
b) Du skal bestemme samtlige vektorstangkræfter i gitteret og angive,
om de er træk- eller trykstænger.
Princippet i en sådan beregning er, at du lægger et snit om de enkelte
knudepunkter og skærer dem fri.
Du får så fire knudepunktsfigurer som vist på figur 18.28, figur
18.29, figur 18.30 og figur 18.31.
S3
S1
S6
S2
F2
S2
F1
Figur 18.28
Figur 18.29
S7
HA
S5
S4
S6
HB
S7
VB
Figur 18.30
Figur 18.31
I det enkelte knudepunkt skal der være ligevægt mellem de ydre vektorkræfter og de indre vektorstangkræfter.
De ydre vektorkræfter er vektorbelastningerne og vektorreaktionskræfterne.
De indre vektorstangkræfter er de kræfter, der findes i stængerne.
Vektorstangkræfterne sætter du altid på, som om de trækker i det
pågældende knudepunkt. Får du ved en beregning stangkraften ud
med et minusfortegn, er det en trykstang.
Du starter altid en beregning i et knudepunkt, hvor der ikke er mere
end to ubekendte.
715
716
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Varmebehandling af mælk
Hos landmanden pumpes mælken over i en køletank, når køerne er
malket. Mælken holdes nedkølet, indtil den bliver hentet af en mælkebil og kørt til mejeriet.
På mejeriet gennemgår mælken forskellige processer, inden den er
klar til forbrugerne. En af processerne er pasteurisering, som er en varmebehandling, der har til formål at dræbe bakterier i mælken.
Pasteuriseringen foregår i en såkaldt pladepasteur, som i princippet
er opbygget som vist på figur 18.32.
varm mælk
varmt vand
koldt vand
kold mælk
Figur 18.32
Pladepasteuren består af en række tynde rektangulære plader af rustfrit stål, der er sat sammen med et lille mellemrum. Mælken strømmer
i et tyndt lag i hvert andet mellemrum, og varmt eller koldt vand i de
øvrige mellemrum. Herved opnås en hurtig og præcis opvarmning og
afkøling af mælken.
Musik og lyd
Pasteuriseringen foregår på den måde, at mælken opvarmes til 72 ºC,
og denne temperatur holdes i 15 sekunder, hvorved 97-98 % af alle bakterier dræbes.
Man kan få samme effekt ved en opvarmning på 63 ºC og holde
denne i 900 sekunder (15 minutter).
Sammenhørende værdier af varmebehandlingstid i sekunder og
temperatur i ºC er vist i skemaet.
Tid
15
59
146
362
571
900
ºC
72
69
67
65
64
63
a) Du skal undersøge og beskrive, hvilken type matematisk funktion
tallene kan illustrere i det betragtede interval (72 ºC til 63 ºC).
b) Du skal, på baggrund af din besvarelse i spørgsmål a, bestemme
forskriften for den funktion, der angiver varmebehandlingstiden i
sekunder som funktion af temperaturen i ºC.
c) Du skal bestemme den temperatur, der kræves, for at varmebehandlingstiden skal tage 1 minut.
Du kan evt. illustrere løsningen på en graf.
d) Du skal bestemme, hvor meget temperaturen skal øges, for at varmebehandlingstiden kan nedsættes til det halve.
Musik og lyd
Du har tidligere arbejdet med begreberne intensitet og lydstyrke, men
du får her en repetition.
Intensitet benævnes med bogstavet I, og den laveste intensitet, som
det menneskelige øre kan registrere, benævnes I0 og kan regnes:
I0 = 10-12 Watt/m²
Alle andre lydintensiteter bestemmes i forhold til I0, og du har definitionen på begrebet lydstyrke:
I
L(I) = 10 ⋅ log   dB (deciBell)
 I 0 
717
718
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Ser du på en lydkilde i stor afstand, kan du betragte den som punktformet, hvilket vil sige, at den udsender lydenergi med samme intensitet i
alle retninger (se figur 18.33).
lydudbredelse
rx
r
Figur 18.33
Lydintensiteten defineres som lydeffekten pr. arealenhed, og udtrykt i
en ligning får du:
P
I=
4 pr 2
hvor
P er lydeffekten i Watt og
4pr² er overfladearealet af en kugle.
I forbindelse med en musikfestival er der opstillet en tribune A, hvor et
orkester spiller (se figur 18.34).
B
A
20 m
Figur 18.34
I afstanden 20 meter fra tribunen i punkt B måles der en lydstyrke på
110 dB.
a) Du skal opfatte orkesteret som en punktformet lydkilde, og med
dette udgangspunkt skal du bestemme lydeffekten P.
b) Du skal bestemme lydstyrken i afstanden 5 meter, 10 meter, 30 meter, 50 meter, 100 meter, 200 meter og 500 meter fra lydkilden (orkesteret).
c) Du skal bestemme en forskrift for den funktion, der angiver lydstyrken som funktion af afstanden fra lydkilden.
Transportbane
d) Du skal bestemme grænseværdien for funktionen, når afstanden fra
lydkilden går mod 0.
e) Du skal tegne en skitse af grafen for funktionen.
På musikfestivalen er der flere tribuner, og for en person, der har gået
rundt og hørt lidt hist og her, er lydstyrken og tiden undervejs blevet
målt og registreret.
Resultaterne ser således ud:
1
3
2
2
time med en lydstyrke på 80 dB(A).
timer med en lydstyrke på 94 dB(A).
timer med en lydstyrke på 86 dB(A)
timer med en lydstyrke på 92 dB(A).
f) D
u skal bestemme det energiækvivalente lydtryksniveau, som personen har været udsat for i løbet af denne periode.
(Se afsnittet ”Lyd og støj”).
g) Hvordan vil du tolke dette resultat.
Transportbane
En del af skinnelegemet til en transportbane er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 18.35.
y
−6
Figur 18.35
−2
32
x
719
720
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Skinnelegemet kan inddeles i flere strækninger, der matematisk kan karakteriseres ved følgende funktionsforskrifter:
f(x) = -1
Dm(f) = [-6 ; -2]
g(x) er parabelformet
Dm(g) = [-2 ; 0]
h(x) = 0,002x3 - 0,09x2 + x Dm(h) = [0 ; 32]
a) Af hensyn til skinnelegemets holdbarhed er det vigtigt, at der er
”bløde” overgange fra en kurvedel til en anden.
Du skal med dette som udgangspunkt bestemme forskriften for den
parabel-formede del udtryk ved g(x).
b) Erfaringer har vist, at der bliver et stort slid på skinnebelægningen,
hvor skinnelegemets hældningsvinkel er beliggende mellem 0° og
45° med x-aksens positive retning. Du skal bestemme, på hvilke
strækninger (0 ≤ x ≤ 32) skinnelegemet skal forstærkes for at undgå
det nævnte slid.
Reolmoduler
Et firma skal i en produktion fremstille en serie reolmoduler. Hvert modul består af en skuffe og et hylster.
Hylsteret (figur 18.36) er åbent i begge ender.
hylster
h
300
Figur 18.36
b
Reolmoduler
Skuffen fremstilles med bund og har udseende som vist på figur 18.37.
skuffe
h
300
b
Figur 18.37
Ved beregningerne ser du bort fra tilpasningsproblemer mellem skuffe
og hylster.
Firmaet har fået et godt tilbud på plader, der er 800 mm brede. Figur
18.38 viser, hvordan et helt modul (hylster og skuffe) kan klippes ud af
en sådan pladestrimmel.
h
b
b
h
b
h
300
300
h
800
Figur 18.38
De farvelagte felter er materialespild.
a) Skuffen skal have det størst mulige rumfang, og med dette udgangspunkt skal du bestemme størrelsen af målene h og b.
b) Du skal bestemme skuffens rumfang.
c) Du skal bestemme pladespildet i % ved udklipning af et modul.
721
722
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Beholderdimensionering
Til levnedsmiddelindustrien skal et firma fremstille nogle beholdere af
tyndt korrosionsfast materiale.
Beholderne skal fremstilles med låg, og hver beholder skal kunne
rumme 1 m3.
Firmaet har i udviklingsfasen følgende typer med i overvejelserne:
Cylinder (figur 18.39)
d
h
Figur 18.39
Kegle (figur 18.40)
d
h
Figur 18.40
Kasse (figur 18.41)
h
x
x
Figur 18.41
Materialeprisen udgør en væsentlig del af produktionsomkostningerne. Firmaet ønsker derfor at vælge den beholdertype, der kan fremstilles af mindst mulig plademateriale.
Ved beregningerne kan du se bort fra pladetykkelsen.
Du skal foretage en beregning, der kan dokumentere, hvilken beholdertype firmaet skal vælge.
Kloakering
Kloakering
Ved en udstykning skal der nedlægges en kloakledning, som er vist set
fra oven på figur 18.42. Alle mål er i meter.
40
B
A
D
C
12
20
22
25
F
E
Figur 18.42
Koten i A er 12,24 og faldet på hovedledningen ABCD skal være 10 ‰,
mens faldet skal være 15 ‰ på sideledningerne BE og CF.
a) Du skal bestemme koterne til punkterne B, C, D, E og F.
Kloakrørene er udformet med et tværsnit som vist på figur 18.43.
0,60
0,60
0,12
0,60
B
A
0,60
0,12
C
0,48
0,48
D
Figur 18.43
Geometrien kan beskrives således:
Indvendig består kloakrøret af en cirkel.
Den udvendige form er:
Øverst, en cirkelbue mellem punkt A og B.
Nederst, en vandret linje CD og
linjerne AC og BD er tangenter til cirkelbuen.
Målene på figuren er i meter.
Kloakrørets længde er 2 meter, og kloakrøret fremstilles af beton
med massefylde 2400 kg/m3.
Kloakrøret løftes og transporteres på plads af en mobilkran.
b) Du skal bestemme, hvor stor en masse mobilkranen skal kunne løfte.
723
724
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
På hovedledningen AD er terrænlinjen indtegnet som vist på figur 18.44.
y
2
t(x)
1
10
0
A
-1
20
30
40
x
D
Figur 18.44
Endvidere er kloakledningens linje indtegnet. Den skærer x-aksen i
punkt D (40,0), og koordinaterne er i meter.
Terrænlinjen kan tilnærmelsesvis regnes at følge forskriften:
t(x) = 0,0001x3 - 0,006x2 + 0,09x + 1
På de 40 meter kan udgravningsbredden for rørenes nedlægning i jorden sættes til 3 meter.
c) Du skal bestemme, hvor mange m3 jord der skal flyttes for at udføre
jordarbejdet på denne strækning.
Tidevand og diger
I et område med tidevand skal der anlægges et dige med et tværsnit
som vist skitseret på figur 18.45.
y
B
A
D
C
135°
26,6°
8
6
3
3
E
x
Figur 18.45
Skitsen kan suppleres med følgende oplysninger:
-
Strækningen AB er en ret linje.
Strækningen BC er formet som en del af en parabel.
Strækningen CD er en ret linje og vandret.
Strækningen DE er en ret linje.
Der skal være en “glat” overgang mellem den rette linje AB og parabeldelen BC.
Tidevand og diger
a) Idet x-aksen symboliserer bundlinjen, skal du bestemme, hvor høj
vandstanden må være, før havet løber over diget.
b) Diget skal have en længde på 100 meter, og du kan regne med, at
endefladerne er parallelle og lodrette.
Du skal bestemme rumfanget af den materialemængde, der medgår
til bygning af diget.
Vandstanden varierer meget, og der er i tidsrummet kl. 0.00 til kl. 13.00
med en times interval foretaget følgende målinger af vandstanden over
bundlinjen:
2,22 meter - 2,76 meter - 3,50 meter - 4,16 meter - 4,72 meter - 5,02 meter - 4,90 meter - 4,58 meter - 3,98 meter - 3,10 meter - 2,36 meter - 2,02
meter - 2,06 meter - 2,22 meter
c) Du skal beskrive og begrunde, hvilken type matematisk funktion
der kan tilfredsstille de ovennævnte målinger.
d) Du skal bestemme en forskrift for en funktion, der tilnærmelsesvis
kan tilfredsstille målingerne.
e) Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme tidspunkterne
for henholdsvis højvande og lavvande.
f) Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme det tidsinterval,
hvor vandet henholdsvis løber over og trækker sig tilbage fra digetoppen.
g) Hastigheden, hvormed vanddybden ændrer sig, varierer hele tiden.
Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme de tidspunkter,
hvor hastighedsændringen af vanddybden er størst.
725
726
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Broprojekt
Billederne viser forskellige mindre broer.
I dit nærområde findes der sikkert også forskellige mindre broer.
Vælg en af dem som udgangspunkt for dit matematikprojekt. Fremskaf om muligt en skitse af broen. Kan det ikke lade sig gøre, så tag en
tur ud til broen og foretag en opmåling af broen så nøjagtigt, som det
kan lade sig gøre. Det skulle gerne resultere i, at du står med en skitse
med mål af broen.
Med skitsen som udgangspunkt skal du herefter i gang med at vurdere, hvad du kan arbejde med i dit projekt.
Verner Pantons lampeprojekt
Du kan fx
- Indlægge et koordinatsystem på skitsen.
- Opstille funktionsudtryk for broens forskellige elementer som fx
linjer, kurvestykker, mv.
- Bestemme skæringspunkter.
- Bestemme vinkler, tangenter, hældninger og tangenter.
- Bestemme arealer.
- Bestemme rumfang.
- Og der er sikkert mange flere muligheder.
Verner Pantons lampeprojekt
Verner Panton var en af de mest betydende designere inden for møbler,
lamper og rumdesign, og billedet viser en af hans flotte lamper.
Lampen findes i to størrelser med diameter henholdsvis d = 40 cm og
d = 50 cm.
Lampen er udgangspunkt for dit matematikprojekt, og du skal starte med at vælge den størrelse, du vil arbejde med.
727
728
Teknisk matematik · MATEMATISKE MODELLER, MODELLERING OG PROJEKTIDEER
Med den som baggrund kan du udarbejde en skitse med mål af de elementer fra lampen, som du vil arbejde med i dit projekt.
Du kan fx
- Indlægge et koordinatsystem på skitsen.
- Opstille funktionsforskrifter for lampens forskellige elementer.
- Bestemme afstande.
- Bestemme arealer.
- Bestemme rumfang.
- Og der er sikkert mange flere muligheder.
Du skal altså formulere din egen projektopgave.
Herefter skal du i gang med faserne problemanalyse, løsningsmodeller, valg af løsningsmodel, dokumentation, vurdering af løsning og
afslutning.
Bølgen
Bølgen er et helt nyt og spændende boligprojekt beliggende i Vejle helt
nede ved fjorden. Bølgen er tegnet af arkitekt Henning Larsen Architects
Bølgen
og består af fem bølger. Hver bølge indeholder 10 etager med lejligheder
med en fantastisk udsigt ud over fjorden.
I dette matematikprojekt skal du fokusere på en af bølgerne, hvor
konturlinjen af taget er vist skitseret på figur 18.46.
Figur 18.46
På skitsen er indlagt et koordinatsystem, og du har givet, at kurven går
igennem punkterne (0,0), (10,14), (20,28), (24,14) og (28,0). Kurven har
vandret tangent i punkterne (0,0), (20,28) og (28,0).
Med denne baggrund skal du formulere de problemer, du vil arbejde
med.
Her er nogle ideer:
- Du kan bestemme forskriften for den eller de matematiske funktioner, som kurven danner.
- Du kan bestemme arealet af bølgen.
- Du kan indlægge etager på figuren og bestemme skæringspunkter.
- Du kan bestemme arealer af enkelte udvalgte elementer.
729
730

Stikord
A
Abcisse-værdi 132
Addere 14
Addition, vektorer i rummet 600
Additionsformlerne 385
Afrunding 13
Afstand, punkt og linje 636
Afstand, punkt og plan 634
Afstand, punkt til linje 581
Afstande, i rummet 593
Afstandsformlen 264
Amplitude 391
Analytisk plangeometri 263
Anden ordens differentialligning
673
Andengradsligninger 67
Andengradsligninger, kamu­flerede
72
Andengradspolynomium 312
Andengrads uligheder 321
Archimedes spiral 656
Arealberegning 469
Arealformler 156
B
Bestemt integral 465
Brøker 24
C
Centervinkel 101
Cirkel, areal 175
Cirkel, omkreds 174
Cirkel, som vektorfunktion 654
Cirkelafsnit 100, 178
Cirkelbue 174
Cirkelring 176
Cirkeludsnit 100, 177
Cirklen 99, 173
Cirklen, centrumsligning 289
Cos v 139
Cosinus 133
Cosinus, 1. og 2. kvadrant 144
Cosinusrelationen 152
Cylinder 203
Cylinder, rumfang 242
Cylinderrør 242
D
Definitionsmængde, funktion 300
Delvis integration 503
Determinant 58
Determinant-metoden 57
Differenskvotient 405
Differensvektor 559
Differentiabilitet 412
Differentialkvotient 404
Differentialkvotient, af højere
orden 432
Differentialkvotient, eksponentielle
funktioner 491
Differentialkvotient, symboler 411
Differentialligning y’ = a . y 683
Differentialligning y’ = g(x) 676
Differentialligning y’ = g(y) 685
Differentialligning y’ = h(x) . g(y)
680
Differentialligning y’ = y(b – ay)
687
Differentialligning y’’ = g(x) 679
Differentialligninger 671
Differentialligninger, grund­
begreber 673
Differentialregning 401
Differentiation, vektorfunktion 657
Diskontinuert funktion 412
Dividere 16
Dobbeltlogaritmisk koordinat­
system 362
Dobbeltuligheder 83
E
Eksponentiel regressionsmodel
697
Eksponentiel vækstfunktion 351
Eksponentielle funktioner 337
Eksponentielle ligninger 342
Ekstremumspunkter 421
Ellipse, som vektorfunktion 654
731
732
Teknisk matematik · Stikord
Enhedscirklen 133
Enhedsvektor 563, 601
Enhedsvektorer, i koordinat­
system 564
Enkeltlogaritmisk koordinat­
system 358
Envinklet trekant 114
Excentrisk cirkel 103
F
Firkanter 121
Flade 93
Fordoblingskonstant 353
Formindskelse 545
Forstørrelse 545
Fortegnsbestemmelse 84
Fremskrivningsfaktoren 356
Fuldstændigt integral 674
Funktion 297
Funktion, regneforskrift 300
Funktioner, af 2. grad 312
Funktionsanalyse 434
Første ordens differential­
ligning 673
G
Geometri, grundelementer 93
Geometri, grundkonstruktioner
105
Geometrisk addition 539
Grundmængde 41
Guldins regler 251
H
Halveringskonstant 353
Halvåbent interval 83
Hele tal 12
I
Implicit differentiation 448
Indlægge snit 200
Indskrivelig firkant 123
Indsættelsesmetoden 55
Infinitesemalregning 401
Integralregning 459
Integration, eksponentielle
funktioner 497
Integration, ved substitution
499
Integrationsgrænser 465
Intervaller 82
Isometrisk afbildning 591
K
Kamuflerede andengrads­
ligninger 72
Kasse 199
Kegle 210
Keglestub 212
Keglestub, rumfang 247
Knærør 219
Komplementvinkler 97
Komposanter 554
Koncentrisk cirkel 102
Konkav 124
Kontinuert funktion 412
Kontinuitet 412
Konveks 124
Koordinatsystemet 131
Korde-tangentvinkel 101
Kugle 216
Kugle, rumfang 249
Kugleafsnit 216
Kugleafsnit, rumfang 249
Kuglen, i rummet 596
Kugleskive 217
Kugleudsnit, rumfang 249
Kurver, som vektorfunktion 656
Kvadrat 122
Kvadrat, toleddet differens 24
Kvadrat, toleddet sum 24
L
Legeme 93
Lige funktion 309
Lige store koefficienters metode
56
Ligesidet hyperbel 310
Ligesidet trekant 112
Ligevægt, modsatrettede
vektorer 552
Ligning 40
Ligning, 1 ubekendt 43
Ligning, numerisk 77

Ligning, teknisk 47
Ligning, tekst 51
Ligning, ubekendt under rodtegn
74
Ligninger, regneregler 40
Lim 405
Lineær funktion 307
Lineær regressionsmodel 696
Linjen, ligning 271, 281
Linjer 95
Linjer, parallelle 281
Linjer, skæring 276
Linjer, vinkel mellem 279
Linjer, vinkelret på hinanden 284
Linjestykke, midtpunkt 265
Lodret tangent 658
Logaritmer, regneregler 341
Lukket interval 82
Lyd 346
Længde af kurve, vektorfunktion
665
Længde, plan kurve 526
M
Maksimering 436
Maksimumspunkter 305, 420
Massefylde 240
Matematiske modeller 693
Matrix 58
Midtnormal 98
Minimering 436
Minimumspunkter 305, 420
Modellering 698
Modsatte vektorer 547
Monotoniforhold 303
Multiplicere 15
Mængdebygger 41
N
Naturlig logaritme 489
Naturlig logaritmefunktion 344
Naturlige tal 12
Normalvektor 580
Numerisk ligning 77
O
Omdrejningslegemer 505
Omløbsretning 372
Omskrivelig firkant 123
Omskrivninger, vektorfunktioner
649
Omvendte funktioner 325
Ordinat-værdi 132
Origo 132
Overflader 197
P
p 173
Parabel 312
Parallelle linjer 98
Parallelogram 122
Parameterfremstilling 645
Parameterfremstilling, et plan 621
Parameterfremstilling, ret linje i
rummet 608
Parenteser 17
Partiel integration 503
Partikulært integral 674
Periferivinkel 101
Perioder 383
Planer, parallelle med koordinatplanerne 619
Planets ligning, på normalform
623
Polygon, areal 267
Polygoner 124
Potens 16, 28
Potensfunktioner 308
Potensregressionsmodel 697
Prik-produktet 566
Procent 52
Projektideer 701
Projektion, vektor 577
Projektionsvektor 607
Promille 52
Proportion 41
Punkter 94
Punkter, i rummet 592
Pyramide 204,
Pyramide, rumfang 244
Pyramidestub 207
Pyramidestub, rumfang 246
Pythagoras 113
733
734
Teknisk matematik · Stikord
R
Radianer 373
Rationale tal 12
Reduktion, bogstavsudtryk 18
Reelle tal 12
Regneforskrift, funktion 300
Regneregler, differentialkvotienter
415
Regneregler, integraler 461
Regneregler, ligninger 40
Regneregler, logaritmer 341
Regneregler, naturlig logaritmefunktion 346
Regneregler, uligheder 79, 81
Regressionsmodeller 698
Regulær polygon 124
Rektangel 122
Rentesregning 355
Ret linje, som vektorfunktion 652
Ret vinkel 96
Retvinklet trekant 113
Retvinklet trekant, beregning af
stykker 139
Retvinklet trekant, formler 137
Robotbevægelser 661
Rod 32
Rodeksponent 33
Rombe 122
Rumfang 238
Rumfang, drejning af areal om
x-akse 509
Rumfang, drejning af areal om
y-akse 518
Rumfangsberegning, flere funk­
tioner 515
Rumligt koordinatsystem 591
Rørbøjninger 219
S
Sammensat funktion 429
Sammensatte funktioner 324
Sin v 139
Sinus 133
Sinus, 1. og 2. kvadrant 144
Sinusrelationen 147
Skalarprodukt 565, 603
Skrue-linje 181
Skæring, linje og plan 631
Skæring, linjer i rummet 610
Skæring, mellem to planer 628
Spids vinkel 96
Spidsvinklet trekant 111
Stamfunktion 459
Stedvektor 545
Stigningstal 278
Stigningstal, tangent 404
Stump vinkel 97
Stumpvinklet trekant 112
Stykkevis funktioner 322
Støj 346
Substitutionsmetoden 55
Subtrahere 14
Subtraktion, vektorer i rummet
600
Supplementvinkler 97
Svingninger 390
Symbolsammenstilling 41
T
Tagflader 200
Tan v 139
Tangens 135
Teknisk ligning 47
Tekstligning 51
Titalslogaritme funktion 339
Toppunkt 95
Transversallinje 99
Trapez 123
Trekant, areal 116
Trekant, areal og tyngdepunkt 574
Trekant, højde 116
Trekant, indskreven cirkel 118
Trekant, median 117
Trekant, omskreven cirkel 118
Trekant, parallelversaler 118
Trekant, vinkelhalveringslinjer 117
Trekanten 110
Trekantkonstruktioner 119
Tre ligninger med tre ubekendte 64
Trigonometri 131
Trigonometriske funktioner 369
Trigonometriske grundligninger
375
Trigonometriske uligheder 379
Tværvektor 572
U
Ubegrænset interval 83

Ubekendt under rodtegn, ligning
74
Ubestemt integral 460
Udfoldninger 197
Ulige funktion 310
Uligheder 79
Uligheder, regneregler 79, 81
Ulighedstegn 79
V
Vandret tangent 658
Vektor, afbildning 540
Vektor, bestemmelse 540
Vektorbegrebet 539
Vektorer, i planet 539
Vektorer, i rummet 591
Vektorer, vinkel mellem 547
Vektorfunktion, differentiation 657
Vektorfunktioner 645
Vektorkomposanter 554
Vektorprodukt 616
Vinkelsum, trekant 111
Vinkler 95
Vækst 350
Å
Åbent interval 82
735
Teknisk
Matematik
Preben Madsen
Teknisk Matematik dækker
htx-uddannelsens obligatoriske
A-niveau. Bogen giver eleverne et
dynamisk og letlæseligt materiale,
hvor teorien kobles sammen med
praktiske eksempler og opgaver,
hvortil der anvendes regnemaskiner med CAS-faciliteter.
Bogen kan også finde
anvendelse på andre tekniske
uddannelser.
Facitlisten findes på
www.tekmat.ef.dk
ISBN 978-87-7082-125-4
9 788770 821254
ef.dk
varenr. 91057-1
Erhvervsskolernes Forlag
4. udgave