τmax 𝐽
T=
𝐶
𝑇𝐿
∅=
𝐽𝐺
TORSIÓN
Docente IM USTA:
Ing. Cecilia Rivera V.
2025-2
Contents
01
Esfuerzos en un eje bajo torsión
02
Deformaciones en un eje circular
03
Esfuerzos en el rango elástico
04
Ejes estáticamente indeterminados
05
Diseño de ejes de transmisión
06
Concentración de esfuerzos en ejes
circulares
Introduction
Imagen Creative Commons recuperado de:
http://mecanicademateriales.wikidot.com/wiki:torsion
Convention for internal
torque
“A positive internal torque
acts in a right-hand-rule
sense about the outer
normal to a cross section.”
Generación de
torsión sobre ejes
circulares
𝜏
Deformaciones en
una barra
cuadrada
sometida a torsión
SEGUNDO MOMENTO
Momentos de Inercia de un Área:
Momento polar de Inercia:
B
B
T
C
C
A
T’
B
ρ= radio interno < c= radio externo
න 𝜌 𝑑𝐹 = 𝑇
න 𝜌 (𝜏𝑑𝐴) = 𝑇
C
Deformaciones
en un eje circular
𝜸
A
A’
𝝆
Deformaciones en
un eje circular
VL
VF
DEFORMACIÓN
CORTANTE
y
𝛾𝑥𝑦
𝜋
− 𝛾𝑥𝑦
2
x
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦
•CC BY-SA 3.0
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑦𝑥
“Esta relación se conoce como la Ley
de Hooke para esfuerzo cortante 𝜏
y deformación 𝛾 (rad.), y la
constante G el módulo de rigidez
o módulo de cortante del
material”
G (psi o Pa)
Esfuerzos en el rango elástico
¿Para el eje
del ejemplo
2, cuál sería
el material
que no se
podría usar y
por qué?
𝐽=
𝜋 2
𝑐
2
𝑇𝐶
τmax =
𝐽
The solid rod AB has a diameter 𝑑𝐴𝐵 = 60 mm.
The pipe CD has an outer diameter of 90 mm
and a wall thickness of 6 mm. Knowing that
both the rod and the pipe are made of steel
for which the allowable shearing stress is 75
MPa, determine the largest torque T that can
be applied at A.
Ejercicios del Hibbeler hechos
en clase:
Gears in MecMovies 4.0
https://drbuc2jl8158i.cloudfront.net/shared/Engeneering/mecmovies/ch06/m06_09_s051.html
A torque of magnitude T = 1000 Nm is
applied at D as shown. Knowing that the
allowable shearing stress is 60 MPa in
each shaft, determine the required
diameter of (a) shaft AB, (b) shaft CD.
Under normal operating conditions a motor exerts a torque of
magnitude 𝑇𝐹 = 1200 lb*in at F. Knowing that 𝑟𝐷 =8 in, 𝑟𝐺 =3 in,
and the allowable shearing stress is 10.5ksi in each shaft,
determine the required diameter of (a) shaft CDE, (b) shaft FGH.
τmax 𝐽
T=
𝐶
𝑇𝐿
∅=
𝐽𝐺
Ángulo de torsión en el
rango elástico
ø
A steel shaft and an aluminum tube are
connected to a fixed support and to a rigid
disk as shown in the cross section. Knowing
that the initial stresses are zero, determine
the maximum torque 𝑇0 that can be applied
to the disk if the allowable stresses are 120
MPa in the steel shaft and 70 MPa in the
aluminum tube. Use G=77 GPa for steel and
G=27 GPa for aluminum.
Usando este valor de 3225 Nm como
torque permitido en el tubo de aluminio,
en la ecuación de esfuerzo para el eje de
acero se comprueba si lo resiste:
Ahora se calcula el torque para el eje de
acero:
Sabíamos por análisis de deformaciones
que:
Como el esfuerzo cortante que da como
resultado usando el torque permisible
para el aluminio supera al esfuerzo
cortante dado para el acero, no se puede
usar este torque.
Y del análisis estático sabemos que:
Un eje circular AB consiste en un cilindro
de acero de 10 pulg. de largo y Ø7/8”, en
el que se ha perforado una cavidad de 5
pulg. de largo y Ø5/8” desde el extremo B.
El eje está unido a soportes fijos en ambos
extremos, y un par de 90 lb.ft se aplica a la
mitad. Determine el par ejercido sobre el
eje por cada uno de los soportes.
𝑇𝐿
∅=
𝐽𝐺
∅1 + ∅2 = 0
El eje horizontal AD está sujeto a una
base fija en D y se le aplican los pares
mostrados. Un agujero de 44 mm de
diámetro se ha perforado en la porción
CD del eje. Sabiendo que el eje es de un
acero para el que G=77 GPa, determine
el ángulo de giro en el extremo A.
∅𝐴ൗ𝐵 = ∅𝐴𝐵 + ∅𝐵𝐶 + ∅𝐶𝐷
Rad.
∅𝐴ൗ𝐵 = ∅𝐴𝐵 + ∅𝐵𝐶 + ∅𝐶𝐷
rad
grados
Eje estáticamente indeterminado
∅ 𝐸 Τ𝐵 = ∅ 𝐸 − ∅ 𝐵 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
Two solid steel shafts are connected by the
gears shown. Knowing that for each shaft
G=11.2 x 106 psi and that the allowable
shearing stress is 8 ksi, determine (a) the
largest torque 𝑇0 that may be applied to
end A of shaft AB, (b) the corresponding
angle through which end A of shaft AB
rotates.
C
B
C
B
A
C
B
𝑇𝐴𝐵 =
D
𝜏𝐽
𝐶
𝑇𝐶𝐷 =
𝜏𝐽
𝐶
𝜑𝐴Τ𝐵 =
𝑇𝐴𝐵 𝐿
𝐽𝐺
𝜑𝐶 Τ𝐷 =
𝑇𝐶𝐷 𝐿
𝐽𝐺
The design of the gear-and-shaft system shown requires
that steel shafts of the same diameter be used for both
AB and CD. It is further required that 𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤60 MPa
and that the angle ∅𝐷 through which end D of shaft CD
rotates not exceed 1,5°. Knowing that G=77 GPa,
determine the required diameter of the shafts.
Diseño de
EJES de
TRANSMISIÓN
𝑃 = 𝑻𝝎
𝑃 = 𝟐𝝅𝒇𝑻
1 Julio equivale al
trabajo
necesario
para producir un
vatio de potencia
continuamente
durante un segundo
𝑃
𝑻=
𝟐𝝅𝒇
https://en.wikipedia.org/wiki/Horsepower
Trabajo y Joule
El trabajo mecánico W es:
𝑊=𝐹⋅𝑑
cuando la fuerza F desplaza un objeto una
distancia 𝑑d en su dirección.
En rotación se expresa como:
𝑊=𝑇⋅𝜃
T: torque [N·m]
θ: ángulo girado [rad]
Un Joule (J) es exactamente un
Newton·metro (N·m), pero en
trabajo/energía, N·m significa cantidad de
energía transferida y en torque, N·m
significa capacidad de girar.
Las unidades coinciden, pero el
significado físico depende del contexto.
Relación con potencia
La potencia es la rapidez de hacer trabajo:
P=
𝒅𝑾
𝒅𝒕
En rotación:
P=T⋅ω
La frecuencia f [Hz] es el número de ciclos
por segundo.
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇
Donde cada ciclo (1 vuelta) equivale a 2𝜋
radianes
What size of shaft should be used for
the rotor of a 5-hp motor operating at
3600 rpm if the shearing stress is not
to exceed 8500 psi in the shaft?
P
T=
2πf
J
T
=
c τmax
Imágenes recuperadas de: grabcad.com
A shaft consisting of a steel tube of 50mm outer diameter is to transmit 100
kW of power while rotating at a
frequency of 20 Hz. Determine the tube
thickness that should be used if the
shearing stress is not to exceed 60 MPa.
https://es.scribd.com/document/408683658/
Equivalencias-de-Fracciones-de-pulgada
The shaft-disk-belt arrangement
shown is used to transmit 3 HP
from point A to point D.
Using an allowable shearing
stress of 9500 psi, determine the
required speed of shaft AB.
𝑃 = 𝑻𝝎
τmax 𝐽
T=
𝐶
1
𝑟 = 1 𝑖𝑛
8
5
∅ 𝑖𝑛
8
B
A
3
∅ 𝑖𝑛
4
D
1
𝑟 = 4 𝑖𝑛
2
D = 104 mm
d = 82 mm
L = 1,2 m
G = 75 GPa
𝜔 = 900 𝑟𝑝𝑚
𝜏𝑚á𝑥. = 70 MPa
∅𝑚á𝑥. = 0,5°
GEOMETRÍA
MATERIAL
DISEÑO
Determine la máxima potencia que puede transmitir el eje
https://drbuc2jl8158i.cloudfront.net/shared/Engeneering/mecmovies/ch06/m06_16_s000.html
Determine the maximum shear stress
developed in the 40-mm-diameter shaft.
The solid steel shaft AC has a diameter of 25 mm
and is supported by smooth bearings at D and E. It
is coupled to a motor at C, which delivers 3 kW of
power to the shaft while it is turning at 50 rev/s. If
gears A and B remove 1 kW and 2 kW, respectively,
determine the maximum shear stress developed in
the shaft within regions AB and BC . The shaft is
free to turn in its support bearings D and E .
The two solid shafts and gears shown are used to
transmit 16 hp from the motor at A operating at a speed
of 1260 rpm to a machine tool at D. Knowing that the
maximum allowable shearing stress is 8 ksi, determine
the required diameter (a) of shaft AB, (b) of shaft CD.