Université Sidi Mohammed BenAbdellah
Faculté des sciences et techniques de Fès
Département Génie Industriel
Traitement Analogique du Signal
GI

Convolution des signaux
Analogiques
H. Kabbaj
Introduction:
considérons un système linéaire et invariant dans le temps
qu’on appellera ‘’Network’’ caractérisé par sa réponse
impulsionnelle h(t):
y(t) = u(t) * h(t) est la sortie du système.
Théorème:
TF[ u(t) * h(t) ] = U(jw) H(jw) = TF [ y(t) ] = Y(jw)
On rappelle que h(t) est la réponse impu du système: TF(h(t))=H(jw)
d(t) * h(t) = h(t)
Donc TF [d(t) * h(t)] = H(jw) = TF [d(t)] . H(jw)
Donc TF [d(t)] = 1
L’objectif de la partie qui va suivre est de démontrer la relation du
produit de convolution de deux signaux analogiques ( ici u(t) et h(t) )
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Rappels sur l’impulsion de Dirac (voir fin du chapitre 1):
Soit la fenêtre rectangulaire de durée T et d’amplitude 1/T:
On définit alors l’impulsion de Dirac par la limite de cette fenêtre
rectangulaire quand T tend vers 0:
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L'aire est égale à 1.
Une manière pratique de définir l'impulsion de Dirac est de
considérer la limite de cette fenêtre rectangulaire lorsque T
tend vers 0:
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Revenons au produit de convolution:
Par définition, lorsqu’on applique d(t) à l’entrée on a h(t) à la sortie:
d(t) est l’impulsion de Dirac et h(t) la réponse impulsionnelle du
système.
Car Network est invariant dans le temps:
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OR les propriétés de d(t) nous permettent d’écrire:
Donc:
Et par conséquent on détermine le produit de convolution: u(t) * h(t)
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Evaluation graphique du produit de convolution
Exemple 1
Calculer graphiquement e(t) = f(t)*g(t)
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1er cas: t<0
f(t)*g(t) = 0
2ème cas: 0<t<1
e(t) = t2 /2
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3ème cas: t>1
e(t) = 1 /2
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Exemple 2:
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1er cas:
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2ème cas :
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3ème cas:
17
4ème cas: t>2
u(t)*h(t)=0
Récapitulatif:
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Fin du chapitre sur la
convolution des signaux
continus