A Transformada de Laplace
Funções Contínuas por Partes
Exemplos de Transformadas de Laplace
Linearidade da Transformada de Laplace
Capítulo 6 - A Transformada de Laplace
Seção 6.1 - Definição da Transformada de Laplace
Lucas Ruiz dos Santos
17 de setembro de 2025
MAT00E
Equações Diferenciais B
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Motivação para a Transformada de Laplace
▶ Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sujeitos a termos de forçamento descontínuos
ou impulsivos.
▶ Para tais problemas, os métodos descritos no Capítulo 3 são difíceis
de aplicar.
▶ Neste capítulo, usamos a transformada de Laplace para converter
um problema para uma função desconhecida f em um problema
mais simples para F , resolver para F e então recuperar f a partir
de sua transformada F .
▶ Dada uma função conhecida K(s, t), uma transformada integral
de uma função f é uma relação da forma
Z b
F (s) =
K(s, t)f (t)dt, ∞ ≤ α < β ≤ ∞
a
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A Transformada de Laplace
▶ Seja f uma função definida para t ≥ 0 e que satisfaz certas condições a serem nomeadas posteriormente.
▶ A Transformada de Laplace de f é definida como
Z ∞
L{f (t)} = F (s) =
e−st f (t)dt
0
▶ Assim, a função núcleo é K(s, t) = e−st .
▶ Como soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes
constantes são baseadas na função exponencial, a transformada de
Laplace é particularmente útil para tais equações.
▶ Note que a Transformada de Laplace é definida por uma integral
imprópria e, portanto, deve ser verificada quanto à convergência.
▶ Nos próximos slides, revisamos exemplos de integrais impróprias e
funções contínuas por partes.
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Exemplo 1
▶ Considere a seguinte integral imprópria:
Z ∞
est dt
0
▶ Podemos avaliar esta integral da seguinte forma:
Z ∞
Z b
st
e dt = lim
0
b→∞
b
est
1
= lim (esb − 1)
b→∞ s 0
b→∞ s
est dt = lim
0
▶ Note que se s = 0, então est = 1. Assim, os dois casos a seguir são
válidos:
Z ∞
0
Z ∞
1
est dt = − , se s < 0; e
s
est dt diverge, se s ≥ 0.
0
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Exemplo 2
▶ Considere a seguinte integral imprópria:
Z ∞
t cos tdt
0
▶ Podemos avaliar esta integral usando integração por partes:
Z ∞
Z b
t cos tdt = lim
b→∞
0
t cos tdt
0
b
= lim [tsent + cos t]0
b→∞
= lim [bsenb + cos b − 1]
b→∞
▶ Como este limite diverge, a integral original também diverge.
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Funções Contínuas por Partes
▶ Uma função f é contínua por partes em um intervalo [a, b] se este
intervalo pode ser particionado por um número finito de pontos
a = t0 < t1 < . . . < tn = b tal que
1. f é contínua em cada (tk , tk+1 )
2. limt→t+ f (t) < ∞, k = 0, . . . , n − 1
k
3. limt→t−
f (t) < ∞, k = 1, . . . , n
k+1
▶ Em outras palavras, f é contínua por partes em [a, b] se é contínua
lá, exceto por um número finito de descontinuidades de salto.
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Exemplo 3
▶ Considere a seguinte função definida por partes f :
f (t) =

t2 ,
3 − t,
t + 1,
0≤t≤1
1<t≤2
2<t≤3
▶ A partir desta definição de f , e do gráfico de f abaixo, vemos que f é contínua
por partes em [0, 3].
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Exemplo 4
▶ Considere a seguinte função definida por partes f :
f (t) =

t2 + 1,
(2 − t)−1 ,
4,
0≤t≤1
1<t≤2
2<t≤3
▶ A partir desta definição de f , e do gráfico de f abaixo, vemos que f não é
contínua por partes em [0, 3] devido à descontinuidade infinita em t = 2.
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Teorema 6.1.2
Teorema da Existência da Transformada de Laplace
Suponha que f é uma função para a qual valem o seguinte:
1. f é contínua por partes em [0, b] para todo b > 0
2. |f (t)| ≤ Keat quando t ≥ M , para constantes a, K, M , com
K, M > 0
Então a Transformada de Laplace de f existe para s > a:
Z ∞
L{f (t)} = F (s) =
e−st f (t)dt
0
▶ Nota: Diz-se que uma função f que satisfaz as condições especificadas acima tem ordem exponencial quando t → ∞.
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Exemplo 5
▶ Seja f (t) = 1 para t ≥ 0. Então a transformada de Laplace F (s)
de f é:
Z ∞
L[1] =
e−st dt
0
Z b
= lim
b→∞
e−st dt
0
b
e−st
b→∞ s
0
= − lim
=
1
,s>0
s
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Exemplo 6
▶ Seja f (t) = eat para t ≥ 0. Então a transformada de Laplace F (s)
de f é:
L eat =
Z ∞
e−st eat dt
0
Z b
= lim
b→∞
e−(s−a)t dt
0
b
e−(s−a)t
b→∞ s − a
0
= − lim
=
1
,
s−a
s>a
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Exemplo 7
▶ Seja f (t) = sen(at) para t ≥ 0. Usando integração por partes duas
vezes, a transformada de Laplace F (s) de f é encontrada como
segue:
Z ∞
Z b
F (s) = L [sen(at)] =
e
−st
b→∞
0
= lim
b→∞
=
=
−
e−st cos(at) b
s
−
a
a
0
1
s
−
lim
a
a b→∞
1
s
−
lim
a
a b→∞
Z b
e
sen(at)dt = lim
Z b
−st
sen(at)dt
0
e
−st
cos(at)dt
0
e
−st
0
cos(at)dt
e−st sen(at) b
s
+
a
a
0
Z b
e
−st
sen(at)dt
0
1
s2
a
=
− 2 F (s) ⇒ F (s) = 2
,s>0
a
a
s + a2
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Linearidade da Transformada de Laplace
▶ Suponha que f e g são funções cujas transformadas de Laplace
existem para s > a1 e s > a2 , respectivamente.
▶ Então, para s maior que o máximo de a1 e a2 , a transformada de
Laplace de c1 f (t) + c2 g(t) existe. Isto é,
Z ∞
L[c1 f (t) + c2 g(t)] =
e−st [c1 f (t) + c2 g(t)]dt
0
é finita com
Z ∞
L[c1 f (t) + c2 g(t)] = c1
0
e−st f (t)dt + c2
Z ∞
0
= c1 L[f (t)] + c2 L[g(t)]
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e−st g(t)dt
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Exemplo 8
▶ Seja f (t) = 5e−2t − 3sen(4t) para t ≥ 0.
▶ Então, pela linearidade da transformada de Laplace, e usando resultados de exemplos anteriores, a transformada de Laplace F (s)
de f é:
F (s) = L{f (t)}
= L 5e−2t − 3sen(4t)
= 5L e−2t − 3L {sen(4t)}
5
12
=
−
,s>0
s + 2 s2 + 16
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Bibliografia
William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 8a Edição,
Editora LTC, 2012.
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