院长讨论班报告: Ricci flow
张逸尘
清华大学, 2022 年秋季
Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of
geometry.
——Stephen Hawking
本讲义是关于 Hamilton 1982 年 Ricci 流的经典文章《Three-Manifolds with Positive
Ricci Curvature》的笔记, 包含了较多的注记与补充, 也具有相当数量的 Typo.
本讲义用于 2022 年秋院长讨论班报告.
参考文献:
• Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of
Differential geometry, 17(2), 255-306.
• Topping, P. (2006). Lectures on the Ricci flow. Cambridge University Press.
• Cao, H. D., Zhu, X. P. (2006). A complete proof of the Poincaré and geometrization
conjectures-application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow. Asian
Journal of Mathematics, 10(2), 165-492.
• Chow, B., Knopf, D. (2008). The Ricci flow: an introduction. Mathematical surveys
and monographs, 110.
1
目录
1 简介
3
1.1
主要结果与证明思路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Ricci 流的几何直观 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 记号约定与基本事实
8
3 演化方程的基本性质与短时存在唯一性
13
3.1
抛物方程简介 (I): 主符号与短时存在唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
De Turck’s 技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4 技术准备: heat-type 方程的极大值原理
20
4.1
变分计算
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
抛物方程简介 (II): heat-type 方程的极大值原理 . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3
Uhlenbeck’s 技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 3 维 Ricci 正定紧流形的讨论
31
5.1
3 维情形下的演化方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
演化过程保持 Ric 的正定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3
特征值的夹挤 (Pinching) 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.4
数量曲率 R 的梯度估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.5
Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理 . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.6
Rmax
Rmin 的控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.7
标准化 Ricci 流的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.8
指数收敛性与主定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2
3
1 简介
我们的目标是证明如下定理,
定理 1.1. 设 X 是 3 维紧 Riemann 流形, 容许使 Ricci 曲率严格正的度量, 则 X 亦容许常
正曲率度量.
注记 1.2 (3 维流形的特性). 对 3 维 Riemann 流形, 曲率张量被 Ricci 曲率完全决定. 这是
特殊情形, 一般地, 曲率张量被截面曲率决定.
注记 1.3. 我们指出, 定理1.1的结果是 sharped, 考虑乘积流形 X = S2 × S1 , 赋予标准的乘
积度量, 则 Ricci 曲率非负, 以 +1, +1, 0 为特征值, 但根据 Bonnet-Myers 定理, 它不容许
使 Ricci 曲率严格正的度量 (基本群不是有限群). 另一方面, 注意到 X 的万有覆盖空间为
S2 × R1 , 根据空间形式的分类定理, 不容许任何常曲率度量, 从而 X 不容许任何常曲率度
量.
定理 1.4 (空间形式分类定理). 设 (X, g) 是曲率为 K 的 n 维单连通 Riemann 流形, 则当
δ
K = 1, 0, −1 时, (X, g) 等距同构于 (Sn , /δ ij ), (Rn , δij ), (Hn , (ynij)2 ).
1.1 主要结果与证明思路
受 J. Eells 和 J. H. Sampson 关于调和映照的研究启发 (出现了调和热流的概念),
Hamilton 希望从使得 Ricci 度量严格为正的初始度量 gij 出发, 类比热方程 (这是严格抛
物方程, ∂u
∂t = ∆u), 将曲率类比为体系的温度, 曲率 “大” 的地方流向 “小” 的地方, 最终趋
于处处常值.
写下正确的度量演化方向成为关键, 一个自然的想法是最小化某个能量泛函. 但度量
gij 的一阶导数依赖于坐标选取, 例如在法坐标 (normal coordinate) 下消失.
R
回忆熟知的结果, Einstein 真空场方程 Ric ≡ 0 是 Einstein-Hilbert 泛函 E(g) =
X Rdµ(即数量曲率的积分) 的 Euler-Lagrange 方程, 其梯度流给出了演化方程,
∂
gij = Rgij − 2Rij ,
∂t
其中, Rij 是 Ricci 曲率张量.
不幸的是, 上述方程给出了数量曲率 R 的反向热方程, 故而短时解也未必存在.
考虑以数量曲率的均值替代之, 动机可能来源于保持体积 (非退化性), 我们得到了标准
化的 Ricci 流方程:
∂
2
gij = rgij − 2Rij .
∂t
n
(1.1)
1.1
主要结果与证明思路
其中 r 为数量曲率 R 的均值
4
R
Rdµ
r = RX
.
X dµ
我们将证明, 任给初值 Ric(g0 ) > 0 的度量 g0 , 通过(1.1)演化, 均会光滑收敛到常正曲率度
量. 证明步骤如下,
• 第一步, 时空变换. 可将上述方程化为如下非标准化方程 (通常情形下, Ricci 流意指
此方程),
∂
gij = −2Rij ,
∂t
(1.2)
因此, 下面先转而研究此方程的一系列问题.
• 第二步, 证明解关于任意初值的短时存在性定理.
这是一个非严格抛物方程 (Principle symbol 存在 0 特征值, 但不存在负特征值), 因此
不能使用标准的偏微分方程 (PDE) 理论. 已知有两个办法, 原文中 Hamilton 利用 (几
乎) 完全 PDE 的办法——Nash-Moser 反函数定理 (可理解为函数空间上的反函数定
理), 证明了 n 维紧 Riemann 流形 X 上 Ricci 流方程(1.2)短时解的存在唯一性: 缩并
的 Bianchi 第二恒等式给出了一个可积性条件. 利用线性化方法和先验估计, 建立一
般情形下具有可积性条件的抛物方程组的解的短时存在唯一性定理 (原文第 5-6 节).
受 Uhlenbeck 想法的启发, De Turck 利用一族单参数微分同胚进行坐标变换 (可逆),
将(1.2)可转化为严格抛物方程. 这时应用标准的抛物方程理论即可.
• 第三步, 建立流形上 heat-type 型方程光滑函数, 张量版本的 (弱) 极大值原理, 作为
应用, 证明演化过程中保持数量曲率 R 下界, Ricci 曲率 Ric 的正定性.
max
• 第四步, 证明 Ric 曲率的特征值夹挤估计与数量曲率 R 的梯度估计, 控制 R
Rmin . 假
设 λ, µ, ν 是 Ric 的三个正特征值, 令 S = λ2 + µ2 + ν 2 , 则存在只依赖于初值 g0 的常
数 0 < δ < 1 与 C > 0, 使得在演化过程中保持
1
S − R2 ≤ CR2−δ .
3
对任何 η > 0, 存在常数 C = C(η, g0 ), 使得以下梯度估计在演化过程中保持,
|∇R|2 ≤ ηR3 + C.
证明以上不等式的关键是, 在 |∇ Ric |2 − 13 |∇R|2 中挤出正项, 我们将证明 |∇ Ric |2 ≥
7
2
20 |∇R| .
1.2 Ricci 流的几何直观
5
• 第五步, 证明度量变分的一般收敛性结果 (ODE 的想法, 连续版本与光滑版本). 应
用于 Ricci flow, 证明解的长时间存在性定理.
• 第六步, 通过第一步的时空变换, 将(1.2)的结果移植到(1.1)上, 证明(1.1)光滑收敛到
常正曲率度量.
注记 1.5. 方程(1.2)在微分同胚群下不变. 从而保持初始度量携带的特殊结构, 如 homogeneous, symmetric, complex structure, Kahler 性.
1.2 Ricci 流的几何直观
我们知道, Riemann 度量不改变流形的拓扑, 但影响形状. 我们先看一个简单的例子:
例子 1.6 (Einstein 流形的 (非标准化)Ricci 流). 这是球面例子的推广, 所谓 Einstein 流形
是指存在 λ ∈ R, 使得 Ric(g0 ) = λg0 . (1.2) 之解由
g = (1 − 2λt)g0
给出.
1
球面 Sn 的情形下 λ = n − 1, 于是在 T = 2(n−1)
时刻, 度量退化, Sn 缩为一个点. 这
∼ (Sn , /δ ij ).
只需注意到, (Sn , r2/δ ij ) =
r
若 g0 为双曲度量, g(t) = (1 + 2(n − 1)t)g0 , 流形全时间伸展.
再看 2 维的情形, 这时 Ric(g) = Kg, 方程 (1.2) 表明 K < 0 处呈扩张趋势, K > 0 处
呈收缩趋势, 如下图.
图 1: 2 维球面
1.2 Ricci 流的几何直观
6
因此, 直观上 Ricci 流会使得如上的 2 维球面 “变圆”. 这是 “观察”, 而 2 维闭曲面有一
套体系解释 Ricci 流如何将任何闭曲面的 Gauss 曲率变为常数.
对 3 维球面的例子, 如下图.
图 2: 3 维球面
设 e1 , e2 , e3 为 p 处的正交标架, 根据 2 维的情形, 和赋予子流形度量的球面半径倒数为
截面曲率这一事实, 我们有 Ke1 ,e2 >> 0, Ke1 ,e3 , Ke2 ,e3 < 0, 从而
Ric (e1 , e1 ) = Ke1 ∧e2 + Ke1 ∧e3 = very positive
Ric (e2 , e2 ) = Ke2 ∧e1 + Ke2 ∧e3 = very positive
Ric (e3 , e3 ) = Ke3 ∧e1 + Ke3 ∧e2 = slightly negative
演化方程表明, e1 , e2 方向将快速收缩, e3 方向将缓缓舒展, 一段时间后我们将看到以下几种
可能的奇点 (singularity) 结构:
因而, 了解奇点处的准确结构颇为重要. 本文不再展开. 在后面的小节中, 我们考虑 3
维紧流形上具有 Ric > 0 初值的流形, 在标准 Ricci 流长时间演化下不会产生奇点.
1.2 Ricci 流的几何直观
7
图 3: 3 维球面一段时间的演化结果
8
2 记号约定与基本事实
给定 Riemann 流形 (M, g), 定义 Levi-Civita 联络如下
定理 2.1 (Levi-Civita 联络的定义). 存在唯一满足如下五条性质的映射:
∇ : Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ),
(X, Y ) 7→ ∇X Y,
其中 α, β 为任意实数, f, h 为 M 上的光滑函数, X, Y, Z 为切向量场.
(1) (对第二个分量线性) ∇X (αY + βZ) = α∇X Y + β∇X Z;
(2) (对第一个分量的张量性) ∇f X+hY Z = f ∇X Z + h∇Y Z;
(3) (Leibniz 法则) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y ;
(4) (与 g 相容)Z(g(X, Y )) = g (∇Z X, Y ) + g (X, ∇Z Y );
(5) (无挠性) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ].
定义 2.2. 现给定 (M, g) 上的局部坐标 (x1 , · · · , xn ), 设
∂
∂
= Γhij h ,
∇ ∂
∂xj
∂x
∂xi
其中 Γhij 称为 Christoffel symbol.
局部坐标假设同上, 我们有以下的计算公式,
1 hk
∂
∂
∂
h
Γij = g
gjk + j gik − k gij
2
∂xi
∂x
∂x
∂
j ∂
若 v = v i ∂x
i , w = w ∂xj 为两个切向量场, 则
∂ j
∂
∂
j
i
k
∇v w = v
w + Γik w
=: v i ∂i wj j .
∂xi
∂xj
∂x
∂
i
定义 2.3 (指标升降记法). 给定向量场 X = X i ∂x
i 和 1-形式 ω = ωi dx , 令
Xi = gij X j ,
ω i = g ij ωj .
定义 2.4 (梯度算子, Hesse 算子, Laplace 算子, 张量的长度). 设 f ∈ C ∞ (M ), 对任何切向
量场 X, 定义
X(f ) = ∇X f = g(∇f, X),
9
∂f
∂
则 ∇f = (g ij ∂x
j ) ∂xi , 定义 f 的 Hessian 为二阶对称张量, 满足
Hess f (X, Y ) = g(∇X ∇f, Y ),
其迹定义为 f 的 Laplacian,
∆f = trace(Hess f ) = g pq ∇p ∇q f.
对一般的张量 T 的各个分量, 同上定义 Laplacian. 整体上, 定义张量 T 长度的平方为, 以
i ∂ , 则
三阶张量为例, 记号上, T ( ∂x∂ j , ∂x∂ k ) = Tjk
∂xi
i
|T |2 = Tjk
2
i
l
= gil g jm g kn Tjk
Tmn
.
下面, 我们引入曲率张量 R1 , 它是一个四阶张量, 并由此定义截面曲率 (sectional curvature), Ricci 曲率, 数量曲率 (scalar curvature).
定义 2.5 (曲率张量). 假设 X, Y, Z, W 是切向量场, 定义向量场
R(X, Y )W := [∇X , ∇Y ] W − ∇[X,Y ] Z = ∇X (∇Y W ) − ∇Y (∇X W ) − ∇[X,Y ] W,
下面的定理表明,
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M ),
(X, Y, W ) 7→ R(X, Y )W
是一个 (1, 3)-型张量, 或者
R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(T M ) → C ∞ (N )
(X, Y, Z, W ) 7→ R(X, Y, Z, W ) := g(R(X, Y )W, Z)
是一个 (0, 4)-型张量.
定理 2.6. 曲率映射 R(·, ·)· 是 (3, 1)-型张量, 即对每个分量都是 C ∞ (M )-线性的. 它满足:
1. 如下的对称性: 对任意的 X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ),
• R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z)
• R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y )
• (第一个 Bianchi 恒等式) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0
1
这里, 不同的文章书籍开始有不同的约定, 我们与 Hamilton 的记号保持一致.
10
2. (第二个 Bianchi 恒等式) 对任意的 X, Y, Z, W, V ∈ Γ(T M ), 我们有
(∇X R) (Y, Z, W, V ) + (∇Y R) (Z, X, W, V ) + (∇Z R) (X, Y, W, V ) = 0
∂
∂
∂
∂
局部坐标下, 定义 Rijkl = R( ∂x
i , ∂xj , ∂xk , ∂xl ), 则
p
k
Rijkl = gpk Rijl
, Rijl
=
定义 2.7 (曲率的定义).
∂Γkjl
∂x
−
i
∂Γkil
+ Γkip Γpjl − Γkjp Γpil .
∂xj
• 截面曲率 K(σ). 在 p ∈ M 处, 取 Tp M 的两个线性无关向量
X, Y , 定义它们张成的平面为 σ, 令
K(σ) =
R(X, Y, X, Y )
,
|X ∧ Y |2
为平面 σ 的截面曲率.
• Ricci 曲率 Ric 是一个二阶张量, 定义 Ric(X, Y ) := trace(Z 7→ R(Z, X)Y ), 局部坐标
系下, Ric 是 2, 4 位置的缩并,
R = Rik = g jl Rijkl .
• 数量曲率 R 是 Ric 的迹, 局部坐标下, R = g ij Rij .
例子 2.8.
1. (Rn , δij ) 的全部 Christoeff symbol 消失, 曲率张量 R ≡ 0.
2. (Sn , /δ ij ) 为常曲率空间, K ≡ 1, Ric(X, Y ) = (n − 1)g(X, Y ), R = n(n − 1).
3. (度量的尺度变换) 定义 g ′ = λ2 g, 则 (M, g ′ ) 上的曲率信息为,
∇′ = ∇, R′ (X, Y )Z = R(X, Y )Z, K ′ =
1
1
K, Ric′ = Ric, R′ = 2 R.
2
λ
λ
4. (第二 Bianchi 恒等式的缩并版), 我们引入记号 Rijkl;m = (∂m R)(∂i , ∂j , ∂k , ∂l ), 由定
理2.6改写第二 Bianchi 恒等式,
Rijkl;m + Rijlm;k + Rijmk;l = 0.
缩并 i, k 有,
k
Rjl;m + Rjlm;k
− Rjm;l = 0.
缩并 j, l 有,
k
l
R;m − Rm;k
− Rm;l
= 0,
11
即
1
∂m R = g kj ∂k Rjm ,
2
这被称为 second contracted Bianchi equality, 将在后面研究 Ricci 流方程短时解的存
在性问题给予重要的观察与启发.
5. Ricci 曲率的局部坐标. 我们后面会计算 Ricci 流 (1.2) 的线性化得到 principle symbol,
关键是提取 Rij 的二阶导数项. 我们以这个重要的计算为例:
k
Rij = Rkij
∂Γkkj
∂Γkij
−
+ Γkkp Γpij − Γkip Γpkj
∂xk ∂xi
1 ∂
∂gkl ∂gkj
1 ∂
∂gil ∂gij
kl ∂gjl
kl ∂glj
g
−
+
=
+
−
g
−
2 ∂xk
∂xi
∂xj
2 ∂xi
∂xj
∂xl
∂xk
∂xl
=
+ Γkkp Γpij − Γkip Γpkj
∂ 2 gjl
∂ 2 gij
1 kl ∂ 2 gkl
∂ 2 gil
=− g
− i k − j k + k l + (低阶项).
2
∂xi ∂xj
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
6. 我们有如下颇为重要的交换导数公式,
h
∇i ∇j v h − ∇j ∇i v h = Rijk
vk ,
m
vm .
∇i ∇j vk − ∇j ∇i vk = −Rijk
以此类推, 对于二阶张量 (如 gkl ) 我们有
∇i ∇j gkl − ∇j ∇i gkl = g pq (Rijkp gql + Rijlp gqk ) .
我们下面考虑截面曲率, Ricci 曲率与曲率张量的决定关系. 我们将之陈述如下,
性质 2.9.
• 截面曲率完全决定了曲率张量.
• n = 3 时, Ric 决定了截面曲率, 取法坐标系 (normal coordinate) 有
Rijij =
Rii + Rjj − Rkk
, {i, j, k} = {1, 2, 3}.
2
从而完全决定了曲率张量. 但是, Ric 非负不表明截面曲率非负. 我们将利用下面的度
量在法坐标系下的展开式轻易地构造反例.
• Schur 定理: 若 M 是连通的 n ≥ 3 维 Riemann 流形, 截面曲率仅依赖于 p ∈ M , 而
不依赖于 Tp M 二维子空间的选取, 即存在 f ∈ C ∞ (M ), 使得 K(σ) = f (p), 对任何
Tp M 的二维子空间 σ, 那么 f 为常数.
12
证明. 我们介绍一个计算量较少的做法. 只需证明, 若四阶张量 R, R′ 满足定理2.6中的第一
款, 且 R(X, Y, X, Y ) = R′ (X, Y, X, Y ), 对任何 p ∈ M , X, Y ∈ Tp M 成立, 则 R = R′ . 以
X + Z 代替 X 有, R(X, Y, Z, Y ) = R′ (X, Y, Z, Y ). 再以 Y + W 代替 Y , 有
R(X, Y, Z, W ) + R(X, W, Y, Z) = R′ (X, Y, Z, W ) + R′ (X, W, Y, Z).
令 S = R − R′ , 则 S 满足2.6的第一款, 且对第 2,4 个分量反称, 第一 Bianchi 恒等式表明
0 = S(X, Y, Z, W ) + S(Y, Z, X, W ) + S(Z, X, Y, W ) = 3S(X, Y, Z, W ),
故 R ≡ R′ .
对第二个命题, 只需取 Tp M 的标准正交基 e1 , e2 , e3 , 由 Ric 定义, 有
Rii = Rijij + Rikik , {i, j, k} = {1, 2, 3},
解之即可.
对于第三个命题, 直接计算, 知 Ric = (n − 1)f (p)g, R = n(n − 1)f (p). 由前例所证的缩
并版本的第二 Bianchi 恒等式 (取法坐标, 即 ∇k gij = 0 对某个 p ∈ M ),
1
n(n − 1)
∇m f = ∇m R = g kj ∇k Rjm = (n − 1)g kj gjm ∂k f = (n − 1)∇m f,
2
2
因为 n ≥ 3, 所以 ∇f ≡ 0, 由连通性, f 为常数, 即 M 是常曲率空间.
13
3 演化方程的基本性质与短时存在唯一性
在本小节中, 我们先来证明, 标准化后的 Ricci 流方程(1.1), 保持 X 的体积:
性质 3.1. X 的体积在演化方程(1.1)下保持不变.
p
证明. 注意到, 体积形式 dµ(x) = µ(x)dx = det(gij )dx, 所以
Z
Z
q
d
∂
det(gij )dx
dµ =
dt X
X ∂t
Z
det(gij )′
=
dµ
X 2 det(gij )
Z
1 ij ∂
=
g
gij dµ(x)
2 ∂t
ZX
Z
1
ij
=
g
rgij − Rij dµ(x) =
(r − R)dµ(x) = 0.
n
X
X
下面, 我们将通过时间空间变换, 将(1.1)转化为(1.2).
性质 3.2. 方程 (1.2) 和 (1.1) 仅相差空间的数乘, 和时间的重新参数化.
证明. 我们从 (1.1) 走到 (1.2). 我们取正规化函数 g̃ = ψ · g, 使得
Rs
t̃ = 0 ψ(s)ds, 根据第二节例子的计算, 我们有
R̃ij = Rij ,
所以,
R
X dµ =
R
Xψ
1
R,
ψ
r̃ =
X dµ̃ = 1. 考虑时间变换
1
r.
ψ
−n/2 dµ̃ = ψ −n/2 . 同上计算, 有 ∂ log µ = −R, 所以
∂t
nd
d
−
log ψ =
log
2 dt
dt
d
即 dt
log ψ = n2 r. 故
这就完成了证明.
R̃ =
R
Z
R
Rdµ
V ′ (t)
= −r,
dµ =
= − RX
V (t)
X
X dµ
∂
∂
∂t
g˜ij =
(ψ · gij )
∂t
∂ t̃
∂ t̃
d
∂
=
log ψgij + gij
dt
∂t
2
= rgij − 2Rij
n
2
= r̃g˜ij − 2R̃ij .
n
3.1
抛物方程简介 (I): 主符号与短时存在唯一性定理
14
下面证明 (1.2) 的短时存在唯一性定理:
定理 3.3. 设 X 为紧 n 维 Riemann 流形, 对任何初始度量 g0 , 存在 T > 0, 使如下初值问
题
(
∂
∂t gij = −2Rij
g(x, 0) = g0 (x)
在 X × [0, T ) 上存在唯一光滑解 gij (t).
通过计算 principal symbol, Ricci 流方程 (1.2) 是弱抛物的, 不能应用标准的 PDE 理
论. 我们有已知的两个办法:
(i) De Turck’s 技巧: 基于 Ric 的微分同胚不变性, 我们修改 (1.2) 化为严格抛物方程
(称为 Ricci-De Turck’s flow)
∂
gij (x, t) = −2Rij (x, t) + ∇i Vj + ∇j Vi ,
∂t
o jl
k
其中 Vi = gik g
Γjl − Γkjl . 证明此方程通过一族单参数微分同胚产生原始 (1.2) 的解 (此
方法最早源于 Uhlenbeck 关于数学物理中规范场论的研究).
(ii) Hamilton 的原始证明: 基于缩并版本的第二 Bianchi 恒等式 12 ∂m R = g kj ∂k Rjm , 定
义依赖于度量 g 的 1 阶线性微分算子 L(g)(Tjk ) = g ij (∇i Tjk − 12 ∇k Tij )(这是唯一用到的几
何, 以下均为 PDE), 受此启发考虑一类具有可积性条件的方程, 应用 Nash-Moser 反函数定
理, 转化为对其对应的线性抛物方程组证明解对初值的存在唯一性定理. 而后通过一系列先
验估计得到结论.
我们从相关的二阶抛物方程理论开始, 而后详细介绍 De Turck’s 技巧. 而由于 Hamilton
的原始证明依赖于他建立的 Nash-Moser 反函数定理理论, 证明颇为不易, 我们先行略去.
3.1 抛物方程简介 (I): 主符号与短时存在唯一性定理
我们先看二阶线性抛物方程,
定义 3.4 (流形上的二阶抛物方程). 设 (M, g) 为 n 维紧 Riemann 流形, 考虑如下 PDE
∂u
= L(u),
∂t
其中, L : C ∞ (M ) → C ∞ (M ), 在局部坐标 (xi ) 下可写为
L(u) = aij ∂i ∂j u + bi ∂i u + cu,
3.1
抛物方程简介 (I): 主符号与短时存在唯一性定理
15
其中 aij , bi , c ∈ C ∞ (M ) 是局部定义的光滑实函数. 称如上方程为 (严格) 抛物的, 如果 aij
在 M 上处处正定. 下面, 我们定义主符号 (principal symbol)
σ(L) : T ∗ M → R, (x, ξ) 7→ σ(L)(x, ξ) = aij (x)ξi ξj .
于是, 原方程抛物, 当且仅当 σ(L)(x, ξ) > 0, ∀(x, ξ) ∈ T ∗ M, ξ 6= 0.
例子 3.5. 考虑 Laplace-Beltrami 调和算子, 我们有
q
1
ij
p
∆=
∂i
det(gij )g ∂j = g ij ∂i ∂j + 低阶项,
det(gij )
于是,
σ(∆)(x, ξ) = g ij ξi ξj = |ξ|2 ,
故热方程 ∂u
∂t = ∆u 抛物.
回看 Ricci 流方程, 我们要将上述理论做适当的推广, 下面阐述向量丛 (这是 u 成为一
个截面) 上的非线性 (系数 aij 亦依赖于时间) 抛物方程理论.
定义 3.6. 设 M 是 n 维 Riemann 流形, 取局部坐标 (xi ), 令 F 是 M 上的向量丛, 取局部
标架 (eα ). 考虑如下的非线性偏微分方程
∂v
= E(v),
∂t
(3.1)
其中 E : Γ(F ) → Γ(F ) 是拟二阶微分算子, 即在上述局部坐标下, E 可表为
β
α
(x,
v,
∇v)∂
∂
v
+
b
(x,
v,
∇v)
eα .
E(v) = aij
i j
αβ
对任何给定的 (不依赖于时间) 截面 v0 ∈ Γ(F ), 称(3.1)在 v0 处抛物, 如果其在 v0 处的线性
化方程
∂v
= [DE(v0 )]v,
∂t
是抛物的. 局部坐标系下, 即
∂v ij
= aαβ (x, v0 , ∇v0 )∂i ∂j v β eα + 低阶项,
∂t
抛物.
我们定义
β
σ(E)(x, ξ)v = aij
ξ
ξ
v
eα
i
j
αβ
为方程 (3.1) 的主符号. 于是, 原方程抛物, 当且仅当存在 λ > 0, 使得
hσ(L)(x, ξ)v, vi ≥ λ|ξ|2 |v|2 , ∀(x, ξ) ∈ T ∗ M, v ∈ Γ(F ).
3.1
抛物方程简介 (I): 主符号与短时存在唯一性定理
16
对于 (严格) 抛物方程, 我们有以下的短时存在唯一性定理:
定理 3.7. 设 ∂v
∂t = E(v) 是在 v0 处的抛物方程 (E 满足某些正则性假设), 则存在 T > 0,
初值问题
(
∂v
∂t = E(v)
v(0) = v0
,
在 M × [0, T ) 上存在唯一光滑解.
注记 3.8. 如将严格抛物定义中的正定性改为半正定, 则称之为弱抛物的. 这时没有标准的
结果, 需要单独分析.
∂
回到 Ricci 流的讨论, 根据第 3 节的计算, Ricci 流方程 ∂t
gij = −2Rij =: E(gij ) 符合
如上定义 4.4, 但其是弱抛物的, 而非严格抛物:
性质 3.9. Ricci 流方程是弱抛物的.
证明. 根据第 3 节的计算, 我们有
2
∂ 2 gjl
∂ 2 gij
∂ gkl
∂ 2 gil
E(gij ) = −2Rij = g kl
−
−
+
+ 低阶项,
∂xi ∂xj
∂xi ∂xk
∂xj ∂xk
∂xk ∂xl
其在 gij 处的线性化方程为
DE (gij ) g̃ij = g
kl
∂ 2 g̃jl
∂ 2 g̃ij
∂ 2 g̃kl
∂ 2 g̃il
−
−
+
∂xi ∂xj
∂xi ∂xk
∂xj ∂xk
∂xk ∂xl
+ 低阶项.
故主符号为
σDE(gij )(ξ)g˜ij = g kl (ξi ξj g̃kl + ξk ξl g̃ij − ξi ξk g̃jl − ξj ξk g̃il ) .
由于主符号不依赖于坐标选取, 我们固定 p ∈ M , 取该点关于度量 gij 的法坐标系, 于是
gij = δij , 且不妨设 ξ = (1, 0, · · · , 0). 一般地, 设 T = Tij 是 (0,2)-张量, 则
σDE(gij )(ξ)Tij = δ1i δij Tkk + Tij − δ1i T1j − δ1j Ti1


T22 + · · · + Tnn , i = 1, j = 1



= 0, i = 1, j 6= 1
.



T , i 6= 1, j =
6 1
ij
于是, 主符号半正定, 且具有 0 特征值, 特征向量为

∗ ∗ ···

 ∗ 0 ···

(g̃ij ) =  . . .
..
 .. ..

∗ 0 ···
∗


0 

.. 
. 

0
3.2 De Turck’s 技巧
17
3.2 De Turck’s 技巧
根据上述性质, 我们需要对 (1.2) 作些微调, 使之严格抛物. 我们将证明分为以下几步:
第一步. 计算(1.2) 之解在单参数微分同胚拉回下的演化方程, 选取一族 “好的” 微分同
胚, 得到 Ricci-Du Turck’s flow(3.3), 并证明其严格抛物.
假设 ĝij (x, t) 为原初值问题之解, 取 M 的一族微分同胚 φt : M → M , 定义 gij (x, t) =
φ∗t gij (x, t), 取定 M 上局部坐标系 (xi ), 记上述微分同胚为
y(x, t) = φt (x) = (y 1 (x, t), · · · , y n (x, t)),
于是, 由坐标变换公式, 我们将反复使用以下关系:
gij (x, t) =
∂y α ∂y β
ĝαβ (y, t),
∂xi ∂xj
(3.2)
下面, 通过计算来导出新坐标系 (xi ) 下, 度量的演化方程, 我们有
∂
∂ ∂y α ∂y β
gij (x, t) =
ĝαβ (y, t)
∂t
∂t ∂xi ∂xj
α β
β
∂
∂y
∂y
∂y α ∂
∂y
∂y α ∂y β ∂
ĝαβ (y, t) + i
ĝαβ (y, t) +
ĝαβ (y, t).
= i
j
j
i
j
∂x ∂x ∂t
∂x
∂t
∂x
∂x ∂x
∂t
对第一项,
∂ĝαβ ∂y γ
∂
ĝαβ (y(x, t), t) = −2R̂αβ (y, t) +
∂t
∂y γ ∂t
我们取 M 上关于新度量 gij 的法坐标系 (仍记为 (xi )), 于是, 在 p 处 gij 的一阶导数消失,
计算
∂y α ∂y β ∂
∂y α ∂y β
∂y α ∂y β ∂ĝαβ ∂y γ
ĝ
(y,
t)
=
−2
R̂
(y,
t)
+
αβ
αβ
∂xi ∂xj ∂t
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj ∂y γ ∂t
∂y α ∂y β ∂ĝαβ ∂y γ
= −2Rij (x, t) +
.
∂xi ∂xj ∂y γ ∂t
和
α β
β
∂
∂y
∂y
∂y α ∂
∂y
ĝαβ (y, t)
ĝαβ (y, t) +
∂xi
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂t
α k
β k
∂
∂y
∂x
∂
∂y
∂x
=
gjk + j
gik
i
α
∂x
∂t ∂y
∂x
∂t ∂y β
α k β k k
k
∂y ∂x
∂y ∂x
∂y α ∂
∂x
∂y β ∂
∂x
∂
∂
gik −
gjk −
gik .
gjk + j
=
i
α
i
α
j
β
∂x
∂t ∂y
∂x
∂t ∂y
∂t ∂x ∂y
∂t ∂x
∂y β
3.2 De Turck’s 技巧
18
及
k
∂y α ∂y β ∂y γ ∂ĝαβ
∂y α ∂y β ∂y γ
∂
∂x ∂xl
=
g
kl
∂xi ∂xj ∂t ∂y γ
∂xi ∂xj ∂t
∂y γ ∂y α ∂y β
k
∂y α ∂y γ ∂
∂xk
∂y β ∂y γ ∂
∂x
=
gjk +
gik
i
γ
α
j
γ
∂x ∂t ∂y
∂y
∂x ∂t ∂y
∂y β
∂y α ∂ 2 xk ∂y β
∂y β ∂ 2 xk ∂y α
=
g
+
gik
jk
∂t ∂y α ∂y β ∂xi
∂t ∂y α ∂y β ∂xj
k
k
∂y α ∂
∂x
∂y β ∂
∂x
gik
=
gjk +
∂t ∂xi ∂y α
∂t ∂xj ∂y β
综合以上各式, 我们有
α k β k ∂
∂y ∂x
∂y ∂x
gij = −2Rij + ∇i
gik .
gjk + ∇j
α
∂t
∂t ∂y
∂t ∂y β
为化简多余两项, 且保持方程的张量性 (不依赖于坐标系选取) 我们取 φt (x) = y(t, x) 为以
下初值问题之解,

ok

 ∂yα = ∂yα g jl Γk − Γ
∂t
∂xk
jl
jl

 y α (x, 0) = xα
所以, 上述方程可进一步化为
(
∂
∂t gij = −2Rij + ∇i Vj + ∇j Vi ,
gij (x, 0) = g0
(3.3)
,
ok
其中 Vi = gik g jl Γkjl − Γjl , 上标 o 表示初始度量的信息.
下面, 我们证明(3.3)是严格抛物方程. 先计算 ∇i Vj + ∇j Vi 在法坐标系下的展开式,
1 kl ∂gpl ∂gql ∂gpq
pq ∂
g
+
−
∇i Vj + ∇j Vi = gjk g
∂xi 2
∂xq
∂xp
∂xl
1 kl ∂gpl ∂gql ∂gpq
pq ∂
+ gik g
g
+
−
+ 低阶项
∂xj 2
∂xq
∂xp
∂xl
∂ 2 gqj
∂ 2 gpq
∂ 2 gpi
∂ 2 gqi
∂ 2 gpq
1 pq ∂ 2 gpj
= g
+ i p − i j + j q + j p − i j + 低阶项.
2
∂xi ∂xq
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
由第 3 节的计算,
−2Rij = g pq
∂ 2 gjq
∂ 2 giq
∂ 2 gij
∂ 2 gpq
− i p− j p+ p q
i
j
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
+ 低阶项,
故
−2Rij + ∇i Vj + ∇j Vi = g pq
其主符号为 (g pq ξp ξq )Tij = 1 · |ξ|2 Tij , 正定.
故方程(3.3)严格抛物.
∂ 2 gij
+ 低阶项,
∂xp ∂xq
3.2 De Turck’s 技巧
19
第二步. Ricci 流(1.2)的短时存在唯一性.
存在性. 这是相对简单的部分. 由标准的二阶抛物方程理论, (3.3) 存在短时解, 解 φt (x) =
y(t, x) 满足的 PDE(存在唯一性合并在唯一性的部分说明), 由此确定 φt (x) = y(x, t), 根据
∗
gij 的定义, 令 g̃ij = (φ−1
t ) (gij ), 原 Ricci 流方程 (1.2) 至此确定.
唯一性. 由于 Christoeff 符号的计算公式, 我们有
Γkjl =
∂y α ∂y β ∂xk γ
∂xk ∂ 2 y α
Γ̂
,
+
∂xj ∂xl ∂y γ αβ ∂y α ∂xj ∂xl
重写 φt (x) = y(t, x) 满足的 PDE, 我们有

o k ∂y α

∂y β ∂y γ
α
 ∂yα = g jl ∂ 2 yα − Γ
jl ∂xk + Γ̂γβ ∂xj ∂xl
∂t
∂xj ∂xl
,

 y α (x, 0) = xα
这是一个严格抛物方程: 其主符号为 g jl ξj ξl Trs = 1 · |ξ|2 Trs , 正定. 从而具有短时解的存在
唯一性条件.
现在说明, 原 Ricci 流 (1.2) 解的唯一性. 假设 g̃1 , g̃2 均为原方程之解, 具有相同的
(1)
(2)
初值, 从而确定如上 PDE 之解 φt , φt , 故而我们得到 (3.3) 的具有相同初值的两个解
(1) ∗ (1) (2)
(2) (2)
g̃ij , gij = φt ∗ g̃ij 由定理的唯一性部分, 上述两解短时内必定相等. 再由如上
(1)
(2)
分析 PDE 的短时存在唯一性, φt = φt , 进而 g̃1 = g̃2 . 这就完成了定理证明.
(1)
gij = φt
现在, 我们已经证明了 Ricci 流的短时存在唯一性, 下一节我们将讨论曲率的演化方程.
20
4 技术准备: heat-type 方程的极大值原理
∂
在本节中, 我们先讨论最一般的情形. 假设 M n 为紧流形, 先计算一般情况 ∂t
gij = hij
下, 各个几何量的演化方程.
4.1 变分计算
我们将所有变分计算总结为以下定理:
定理 4.1 (度量演化下的几何信息). 假设 hij 是 (0, 2)-对称张量, 度量 g 满足演化方程
∂
gij = hij ,
∂t
(4.1)
∂ ij
g = −g ik g jℓ hkℓ .
∂t
(4.2)
则在任何坐标系下,
1. 度量的逆矩阵 g −1 , 满足
2. 度量的一阶导数, 即 Christoeff 符号满足
∂ k
1
Γij = g kℓ (∇i hjℓ + ∇j hiℓ − ∇ℓ hij ) .
∂t
2
(4.3)
ℓ
满足
3. Riemann 曲率张量分量 Rijk
∂ ℓ
1
Rijk = g ℓp (∇i ∇j hkp + ∇i ∇k hjp − ∇i ∇p hjk − ∇j ∇i hkp − ∇j ∇k hip + ∇j ∇p hik )
∂t
2
1
q
q
hqp − Rijp
hkq
= g ℓp ∇i ∇k hjp + ∇j ∇p hik − ∇i ∇p hjk − ∇j ∇k hip − Rijk
2
(4.4)
4. Ricci 曲率 Rjk 满足
1
∂
Rjk = g pq (∇q ∇j hkp + ∇q ∇k hjp − ∇q ∇p hjk − ∇j ∇k hqp ) .
∂t
2
(4.5)
5. 数量曲率 R = Rjj 满足,
∂
R = g ij g kℓ (−∇i ∇j hkl + ∇i ∇k hjℓ − hik Rjℓ ) = −∆H + ∇p ∇q hpq − hh, Rici, (4.6)
∂t
其中 H = trace h = g pq hpq , 中间项亦可写为散度形式 ∇p ∇q hpq = div(div h).
4.1
变分计算
21
6. 体积形式 dµ = µ(x)dx =
√
det gdx 满足,
1
H
∂
ij ∂
dµ =
gij dµ = dµ.
g
∂t
2
∂t
2
(4.7)
7. 由此, 我们定义 Einstein-Hilbert 泛函,
Z
E(g) =
Rdµ,
(4.8)
1
Rg − Ric, h dµ,
2
(4.9)
Mn
则此泛函的变分满足
d
dt
Z
Rdµ
Mn
Z
=
Mn
此泛函的临界点方程称为 Einstein 真空场方程, 对应几何条件为 Ric 平坦, 即
Ric ≡ 0,
(4.10)
∂
gij = Rg − 2Rij ,
∂t
(4.11)
对应的梯度流为
此即 Ricci 流方程的雏形.
8. 在保持体积的约束下, Einstein 泛函的临界点方程对应 Einstein 流形, 即
Ric = λg,
(4.12)
∂
1
∆g = −hij ∇i ∇j − g kℓ g ij ∇i hjℓ − ∇ℓ H ∇k .
∂t
2
(4.13)
其中 λ 为常数.
9. Laplace-Beltrami 调和算子满足,
证明. 计算度量关于空间的导数时, 我们选择好的坐标系: 法坐标系. 先证明演化方程在法
坐标系下逐点成立, 又因为方程两边皆为张量分量, 故结论对任何坐标系成立 (张量不依赖
于坐标选取).
1. 对 g ik gkℓ = δiℓ 关于时间求导, 得到
∂ ik
0=
gkℓ + g ik hkℓ ,
g
∂t
乘以 g kℓ 即得结论.
4.1
变分计算
22
2. 取 p ∈ M 处法坐标系 (xi )(下同), 因而于 p 处成立 ∇k = ∂k , ∂k gij = 0. 直接计算,
∂ k
1 kℓ
∂
∂
∂
Γ = g
∂i
gjℓ + ∂j
giℓ − ∂ℓ
gij
∂t ij
2
∂t
∂t
∂t
1
= g kℓ (∇i hjℓ + ∇j hiℓ − ∇ℓ hij ) .
2
3. 由定义,
ℓ
Rijk
= ∂i Γℓjk − ∂j Γℓik + Γpjk Γℓip − Γpik Γℓjp ,
故在 p ∈ M 处,
∂ ℓ
∂ ℓ
Γ
− ∂j
Γ
∂t jk
∂t ik
∂ ℓ
∂ ℓ
= ∇i
Γ
− ∇j
Γ
,
∂t jk
∂t ik
∂ ℓ
R = ∂i
∂t ijk
代入(4.3)的结果即可.
4. 在(4.4)中取 i = ℓ, 消去相同项即可.
5. 由(4.2)和(4.5), 我们有
∂
R=
∂t
∂ jk
∂
jk
g
Rjk + g
Rjk
∂t
∂t
= −g ij g kℓ (∇i ∇j hkℓ − ∇i ∇k hjℓ + hik Rjℓ ) ,
利用 ∇ 与 g 的相容性, 将之写为整体量的表达式即可.
6. 直接计算,
∂
1
dµ =
∂t
2
∂
p
trace( ∂t
g)
∂
log det g
det gdx =
dµ.
∂t
2
7. 变分计算散度定理与上述变分的直接推论. 临界点方程为
1
Rg = Ric,
2
从而数量曲率 R = 0, 进而 Ric = 0.
8. 不妨设体积为 1. 我们使用 Lagrange 乘子法, 定义
Z
Ẽ(g) = E(g) − λ
dµ − 1 ,
Mn
Ẽ
d
Ẽ(g) = 0, ∂∂λ
令 dt
= 0, 计算得到
d
Ẽ(g) =
dt
Z
Mn
1
λ
Rg − Ric − g, h ,
2
2
4.1
变分计算
23
其临界点方程为
1
λ
Rg − Ric = g,
2
2
于是数量曲率 R 为常数, 代回即得结论.
9. 对任何光滑函数 u ∈ C ∞ (M n ),
i
∂
∂ h ij (∆u) =
g ∂i ∂j − Γkij ∂k u
∂t
∂t
∂ k
∂
∂ ij
g
∇i ∇j u − g ij
Γij ∇k u + ∆
u ,
=
∂t
∂t
∂t
将(4.3)代入中间项即可.
注记 4.2. 现在我们可以回答, 为什么不使用 Einstein-Hilbert 泛函梯度流了. 事实上, 在此
流下, 数量曲率满足逆向的热方程:
∂R
= − (n − 2) ∆R + 2| Ric |2 − R2 ,
∂t
无解.
将 Ricci 流方程 hij = −2Rij 代入, 利用 Bianchi 恒等式化简, 我们得到
定理 4.3 (曲率在 Ricci 流下的演化方程). 在非标准化 Ricci 流方程演化下, 我们有
1. Christoeff 符号满足
∂ k
Γ = −g kℓ (∇i Rjℓ + ∇j Riℓ − ∇ℓ Rij ) .
∂t ij
(4.14)
2. Riemann 曲率张量满足
∂ ℓ
R = g ℓp (−∇i ∇j Rkp − ∇i ∇k Rjp + ∇i ∇p Rjk + ∇j ∇i Rkp + ∇j ∇k Rip − ∇j ∇p Rik ) .
∂t ijk
(4.15)
3. Ricci 曲率满足
∂
Rjk = ∆Rjk + ∇j ∇k R − g pq (∇q ∇j Rkp + ∇q ∇k Rjp )
∂t
= ∆Rjk + 2g pq g rs Rpjrk Rqs − 2g pq Rjp Rqk =: ∆L Rjk .
其中, ∆L 为 Lichnerowicz Laplace 算子.
(4.16)
4.1
变分计算
24
4. 数量曲率满足
∂
R = 2∆R − 2g jk g pq ∇q ∇j Rkp + 2|Ric|2
∂t
= ∆R + 2|Ric|2 .
(4.17)
5. 体积形式满足
∂
dµ = −Rdµ.
∂t
证明. 这五款的第一个等号均为直接代入. 对 Ricci 曲率, 由交换导数公式和缩并版本的第
二 Bianchi 恒等式 g jk ∇j Rkℓ = 21 ∇ℓ R,
∇j ∇k R − g pq (∇q ∇j Rkp + ∇q ∇k Rjp )
= 2g pq ∇j ∇q Rpk − g pq (∇j ∇q Rkp + ∇k ∇q Rjp )
− g pq g rs (Rqjkr Rsp + Rqjrp Rks + Rqkjr Rps + Rqkrp Rjs )
= 2g pq g rs Rpjrk Rqs − 2g pq Rjp Rqk .
对数量曲率, 代入缩并版本的第二 Bianchi 恒等式, 即有
∆R = g pq ∇q ∇p R = 2g pq g jk ∇q ∇j Rpk .
ℓ
做进一步讨论, 其满足如下的演化方程:
我们对一般 Riemann 曲率张量 Rijk
定理 4.4 (Riemann 曲率张量的演化方程).
∂
Rijkl = ∆Rijkl + 2 (Bijkl − Bijlk − Biljk + Bikjl )
∂t
−g pq (Rpjkl Rqi + Ripkl Rqj + Rijpl Rqk + Rijkp Rql ),
(4.18)
其中 ∆Rijkl := g pq ∇p ∇q Rijkl , 张量 Bijkl := g pr g qs Rpiqj Rrksl .
证明. 这是文章定理 5.3, 和以下引理 (略去证明) 的直接结果.
引理 4.5.
∆Rijkl + 2 (Bijkl − Bijlk − Biljk + Bikjl ) = ∇i ∇k Rjl − ∇i ∇l Rjk − ∇j ∇k Ril + ∇j ∇l Rik
+ g pq (Rpjkl Rqi + Ripkl Rqj ) .
(4.19)
4.2
抛物方程简介 (II): heat-type 方程的极大值原理
25
回忆 Ricci 流方程的几何直观, 球面情形下 Ricci 曲率, 数量曲率均 “增加”, 一般的问题
是: 演化过程中是否保持初值的约束 (如 Ric 下界, 数量曲率下界等) 呢? 这让我们联想到
极大值原理.
4.2 抛物方程简介 (II): heat-type 方程的极大值原理
在本小节中, 我们先引入紧流形上光滑函数的极值原理, 再介绍 1982 年 Hamilton 证明
的张量型极值原理, 这是几何分析中至关重要的结果.
我们直接证明一般的结果:
定义 4.6. 设 T > 0, g(t), t ∈ [0, T ] 是一族关于度量的单参数变分, X(t) 是随时间变化的
M n 上向量场, 我们称 u : M n × [0, T ] → R, 是以下 heat-type 方程
∂v
= ∆g(t) v + hX, ∇vi,
(4.20)
∂t
在 (x, t) ∈ M n × [0, T ] 处的一个 supersolution, 如果
∂u
(x, t) ≥ ∆g(t) u (x, t) + hX, ∇ui(x, t).
(4.21)
∂t
定理 4.7. 接上, 进一步假设初值有一致下界 u(x, 0) ≥ α, ∀x ∈ M n , 且在所有满足 u(x, t) <
α 的点处, u 是(4.20)的 supersolution. 那么, u(x, t) ≥ α, ∀(x, t) ∈ M n × [0, T ].
证明. 证明想法是纯粹的微积分: 局部分析, 将 “极小值点处梯度消失, (第一次达到时) 关于
时间偏导数非正, Laplace 非负” 应用于合适的函数 (为 u 增加一个极限过程, 一般由 ε 扰动
所得, 再令 ε ↓ 0).
具体地, 我们令
H(x, t) = u(x, t) − α + εt + ε,
其中 ε > 0 为任意参数. 于是, H ≥ ε, 于 t = 0 处; 在 u(x, t) < α 处, H 满足估计
∂H
≥ ∆H + hX, ∇Hi + ε.
∂t
只要证明, H > 0, ∀(x, t) ∈ M n × [0, T ). 用反证法, 假设存在 x1 ∈ M n , 0 < t1 < T , 使得
H(x1 , t1 ) < 0, 根据紧性, 存在 (x0 , t0 ) ∈ M n × [0, t0 ], 使得
u(x0 , t0 ) = 0, u(x, t) > 0, ∀(x, t) ∈ M n × [0, t0 ).
此时, u (x0 , t0 ) = α − εt0 − ε < α, 由假设
∂H
(x0 , t0 ) ≥ ∆H (x0 , t0 ) + hX, ∇Hi (x0 , t0 ) + ε ≥ ε > 0,
∂t
矛盾. 故 H > 0, 令 ε ↓ 0, 即完成了证明.
0≥
4.2
抛物方程简介 (II): heat-type 方程的极大值原理
26
此定理有以下的直接推论:
推论 4.8. 假设 g(t) 为 Ricci 流方程之解, 初值 g(0) 的数量曲率具有下界 R ≥ ρ, 那么在演
化过程中此性质保持.
我们再看张量的极大值原理, 最早来源于 Hamilton 文章第 9 节结果:
定理 4.9 (张量的极大值原理: 保持半正定性). 设 T > 0, g(t), t ∈ [0, T ] 是一族关于度量的
单参数变分, α(t) ∈ C ∞ (Sym2 T ∗ M n ) 是光滑对称 (0, 2)-张量, 满足以下的半线性热方程
∂
α ≥ ∆g(t) α + ∇X(t) α + β
∂t
(4.22)
其中, β = β(α, g, t) 是对其各个分量局部 Lipschitz 的对称 (0, 2)-张量, 且满足零特征值条
件, 具体地, 若 V (x, t) 为 α(t) 的零特征值, 即
(αij V j )(x, t) = 0,
则
β(V, V )(x, t) = (βij V i V j )(x, t) ≥ 0.
那么, 若初值 α(0) ≥ 0, 则此性质在演化过程中保持.
证明想法: 我们仿照函数版本的证明, 在第一次半正定处分析, 即假设 α > 0, 0 ≤ t < t0 ,
存在 x0 ∈ M n , v0 ∈ Tx0 M n , 使得 αij v0j (x0 , t0 ) = 0. 适当延拓 v, 即构造 V ∈ Γ(T M ), 使得
V (x0 , t0 ) = v0 ,
∂V
(x0 , t0 ) = 0, ∇V (x0 , t0 ) = 0, ∆V (x0 , t0 ) = 0.
∂t
∂
(αij V i V j )x0 , t0 ≤ 0, 另一方面, 利用条件和我们
一方面, t0 作为第一次达到 0 的时刻, 有 ∂t
的构造, 有
∂
αij V i V j = ∆ αij V i V j + βij V i V j ≥ 0
∂t
从而导出矛盾. 下面我们将上述想法, 写成严格的证明.
证明. 利用紧性, 只需证明以下断言: 存在只依赖于
max |α| < +∞ 和
M n ×[0,T ]
+∞ 的常数 δ > 0, 使得若 u(0) ≥ 0, 则 u(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, δ]. 令
H(x, t) = α(x, t) + ε(δ + t)g(x, t),
则 H(0) > 0, 故只需证明, H > 0 在 t ∈ [0, δ] 保持 (令 ε ↓ 0 即得结论).
下面, 我们选取合适的 δ:
max | ∂g
∂t | <
M n ×[0,T ]
4.2
抛物方程简介 (II): heat-type 方程的极大值原理
∂
∂
∂
注意到, ∂t
|t=0 H = ∂t
α + εg > ∂t
α, 选取只依赖于
27
max | ∂g
∂t | 的常数 δ1 , 使得
M n ×[0,T ]
∂
∂
H > α, ∀t ∈ [0, δ1 ].
∂t
∂t
由 g 与 Levi-Civita 联络的相容性, ∇g ≡ 0, 故 ∇X H = ∇X α, ∆g ≡ 0, 进而 ∆H = ∆α,
故
∂H
∂g
≥ ∆H + ∇X(t) H + β(α, g, t) + εg + ε(δ + t)
∂t
∂t
∂g
.
∂t
注意到, β 关于各分量局部 Lipschitz, 由 M n × [0, T ] 紧致性, 不妨设 K 是各分量 Lipschitz
= ∆H + ∇X(t) H + β(H, g, t) + β(α, g, t) − β(H, g, t)+εg + ε(δ + t)
常数的一致上界. 我们有
β(α, g, t) − β(H, g, t) ≥ −Kε(t + δ)g ≥ −2Kεδg,
1
取 0 < δ2 < 4K
.
再取 δ3 > 0, 使得
∂g
−1
≥
g,
∂t
4δ3
现令 δ = min{δ1 , δ2 , δ3 }, ∀t ∈ [0, δ3 ], 对 t ∈ [0, δ], 我们有估计
∂H
−2Kε
1
≥ ∆H + ∇X(t) H + β(H, g, t) +
+ εg − 2εδ
∂t
4K
4δ
> ∆H + ∇X(t) H + β(H, g, t).
现假设结论不对, 则存在 0 < t0 < δ, 使得 H|[0,t0 ) > 0, 存在 x0 ∈ M , 及 v ∈ Tx0 M n , 使得
(H(x0 , t0 ))ij v j = 0.
现局部延拓 v, 利用 x0 处的关于度量 g(t0 ) 的法坐标系, 沿测地方向进行平行移动, 可局部
定义 V = V (x, 0), 使得 V (x0 , t0 ) = v, 取 V 为以下 ODE
dV
= 0, V (x, t0 ) = V (x, t0 )
dt
之解. 于是, ∂V
∂t , ∇V, ∆V 均在 (x0 , t0 ) 处消失.
由 t0 的选取 ∇(H(x0 , t0 )V i V j ) ≡ 0, 结合以上估计与零特征值假设, 我们有
∂
|t=t0 ∆(H(x0 , t)V i V j )
∂t
> ∆(H(x0 , t0 )ij V i V j + βij (H, g, t0 )V i V j ≥ 0,
0≥
矛盾. 这就完成了证明.
4.3 Uhlenbeck’s 技巧
28
注记 4.10. 观察 Ricci 曲率满足的演化方程, Riemann 曲率张量成为研究保持正定性的一
个阻碍. 事实上, Ni, Lei. Ricci flow and nonnegativity of curvature. 给出了一个不保持
Ricci 正定的反例.
在 n = 3 的情形, Ricci 曲率决定 Riemann 曲率张量, 我们将在下一节深究此情形.
在具体讨论 3 维情形之前, 为将曲率项的演化方程化为 “漂亮” 的形式, 以便使用极大
值原理.
4.3 Uhlenbeck’s 技巧
动机. 我们想研究更多 Ricci flow 下被保持的张量性质, 例如 Einstein 张量 (即 EinsteinHilbert 泛函的梯度流)
R
E := − Ric + g,
2
满足以下的演化方程:


∂E
− ∆E = 2 

∂t

λ21 + λ2 λ3
0
0
0
λ22 + λ1 λ3
0
0
0
λ23 + λ1 λ2

,

(4.23)
其中, λ1,2,3 是 (固定时间 t) 关于度量 g(t) 的局部正交基 (ei ) 对角化 E 给出的特征值. 这
是仅在一个时刻成立的性质.
更一般地, 一般对称张量 E 亦满足某种 heat-type 演化方程, 应用极大值原理的一个阻
碍是: E 的对称性, 应视为子丛 Sym2 T ∗ M n ⊂ T ∗ M n ⊗ T ∗ M n 的截面, 如同上例, 其演化方
程中隐藏了时间 t 的依赖性, 我们自然期望 (5.23) 式关于时间 t 一致成立, 自然的想法是关
于时间 t, 度量 g(t) 延拓标准正交基 e0a . 事实上, 我们有以下性质:
性质 4.11. 假设 (M n , g(t)) 是 Ricci 流的一个解, {e0a } 是定义在开集 U ⊂ M n 上的局部标
架, 逐点 x ∈ U 考虑如下 IVP,
d
ea (x, t) = Ric (ea (x, t)) , ea (x, 0) = e0a (x)
dt
我们有,
g(t)(ea (t), eb (t)) = g0 (e0a , e0b ), ∀t,
即初始值 g0 处的正交标架可被一致地关于时间 t 度量 g(t) 延拓.
4.3 Uhlenbeck’s 技巧
29
注记 4.12. 这里, 利用度量 g 我们将 Ricci 曲率视为切丛到自身的线性映射 (仍以 Ric 记
录)
Ric : T M n → T M n , X → Ric(X) = Y,
Y 由关于度量 canonical 的对偶关系唯一确定, 即
Ric(X, Y ) = g(Ric(X), Y ).
Uhlenbeck 推广了这个想法, 主要想法如下: 设 ι0 : (V, h0 = ι∗0 g0 ) → (T Mn , g0 ) 为丛等
距, 考虑完全类似的 IVP
(
∂
∂t ι = Ric ◦ι
ι(0) = ι0
,
(4.24)
有丛等距可一致地延拓, 即
ι(t) : (V, h(t) := ι(t)∗ g(t)) → (T Mn , g(t)) ,
为等距.
类似地, 通过拉回, 定义丛 V 上的联络, 曲率, 令人意外的结果是: Riemann 曲率张量
的演化方程有相当的化简 (只需要保留 (5.18) 的红色项),
∂
Rabcd = ∆D Rabcd + 2 (Babcd − Babdc + Bacbd − Badbc ) (= (∆D Rm + Rm2 + Rm# )abcd ),
∂t
这为我们看清演化方程的结构, 从而应用极大值原理提供了相当的便利.
我们将结论陈述为以下定理:
定理 4.13. 假设 (M n , g(t)) 为 Ricci 流之解, ι0 : (V, h(0) := ι∗ g0 ) → (T M n , g0 ) 是丛等距,
ι(t) 是 IVP(4.24)之解. 依次地, 我们有
1.
ι(t) : (V, h(t) := ι(t)∗ g(t)) → (T Mn , g(t)) ,
是丛等距.
2. 设 ∇(t) : Γ (T Mn ) × Γ (T Mn ) → Γ (T Mn ) 是度量 g(t) 对应的 Levi-Civita 联络, 我
们定义 (V, h(t)) 上的联络如下:
D(t) := ι(t)∗ ∇(t) : Γ (T Mn )×Γ(V ) → Γ(V ), (X, ξ) 7→ (ι∗ ∇)(X, ξ) := (ι∗ ∇)X (ξ) := ∇X (ι(ξ)).
于是, ∇, D 定义了 T M n 与 V 的张量积丛上的联络, 类似地可延拓到对偶丛的张量
积上, 以 ∇D 记.
4.3 Uhlenbeck’s 技巧
30
通过将 Riemann 曲率张量拉回, 对任何 x ∈ V , X, Y, Z, W ∈ Vx , 定义
ι∗ Rm ∈ Γ Sym ∧2 V ⊗ ∧2 V , (ι∗ Rm) (X, Y, Z, W ) := Rm(ι(X), ι(Y ), ι(Z), ι(W )).
取局部坐标系: (xi ) 为 U ⊂ M n 上局部坐标, (ea ) 为 Γ(V |U ) 的一组基, 定义
ι (ea ) := ιka
∂
, Rabcd := (ι∗ Rm) (ea , eb , ec , ed ) = ιia ιjb ιkc ιℓd Rijkℓ .
∂xk
Laplace 算子 ∆D 定义为
∆D := trg (∇D ◦ ∇D ) = g ij (∇D )i (∇D )j ,
其中, (∇D )j (ξ) = ∇j (ι(ξ)). 则 Rabcd 满足的演化方程为
∂
Rabcd = ∆D Rabcd + 2 (Babcd − Babdc + Bacbd − Badbc ) ,
∂t
(4.25)
其中, 张量 Babcd := heg hf h Raebf Rcgdh .
证明. 证明是直接的, 对于丛同构, 对 X, Y ∈ Vx , 我们有
∂
∂
h(X, Y ) =
[(ι∗ g) (X, Y )]
∂t
∂t
∂
= [g(ι(X), ι(Y ))]
∂t
= −2 Rc(ι(X), ι(Y )) + g(Rc(ι(X)), ι(Y )) + g(ι(X), Rc(ι(Y )))
= 0.
对于 Rabcd 的演化方程, 根据第一款, 我们有
∂
g(ι(a), ι(b))
∂t
∂ k ℓ
∂ ℓ
=
ιa ιb gkℓ + ιka
ι gkℓ − 2Rkℓ ιka ιℓb ,
∂t
∂t b
0=
故
∂ k
ι = Rℓk ιℓa .
∂t a
结合(4.18), 代入计算得到
∂
∂ i j k ℓ
Rabcd =
ιa ιb ιc ιd Rijkℓ
∂t
∂t
= ιia ιjb ιkc ιℓd (∆Rijkℓ + 2 (Bijkℓ − Bijℓk + Bikjℓ − Biℓjk )) .
由度量的相容性条件, ∇D (ι) = 0, 故 (ι∗ ∆Rm))abcd = ∆D Rabcd , Babcd = (ι∗ B) (ea , eb , ec , ed ),
结论成立.
31
5
3 维 Ricci 正定紧流形的讨论
在本节中, 我们着手证明 Hamilton 的主定理, 大致步骤如下:
• 考虑 Riemann 曲率张量的分解 = 共形部分 + 迹零 Ric 部分 + 数量曲率部分, 计算
得到 3 维情形下的演化方程. 证明, Ric 正定性在演化过程中保持.
• 建立 R 与 ∇R 的 (先验) 估计,
1
| Ric − Rg|2 ≤ C(g0 )R−δ , |∇R|2 ≤ ηR3 + C(η).
3
前者比较一个点处特征值间的 pinch 关系, 后者比较不同点处的 pinch 行为.
• 建立两个 (L2 和 Lp 被 L2 控制) 张量版本的插值不等式, 由此得到曲率高阶导数的估
计, 再利用 Sobolev 不等式估计 max |Rijkℓ |.
M
• 证明一般维数紧流形上长时间解的存在性 (否则 max |Rijkℓ | → ∞), 即连续版本和 C ∞
M
版本的收敛性定理.
max
• 对 3 维紧流形的情形, 关于数量曲率 R 做 pinched estimate, 即估计 R
Rmin .
• 通过 3.2 小节的时空变换, 将非标准化 Ricci 流的结果推至保体积 Ricci 流上, 建立各
个几何量的指数收敛估计, 以此证明标准化的 Ricci 流将 (C ∞ ) 收敛到常正曲率度量.
5.1 3 维情形下的演化方程
我们先定义 Weyl 共形张量, 用以分解 Riemann 曲率张量:
定义 5.1. Weyl 共形张量定义如下:
R
1
g g+
Ric g + Weyl
2(n − 1)(n − 2)
n−2
◦
R
1
=
g g+
Ric g + Weyl,
2n(n − 1)
n−2
Rm = −
其中,
◦
R
Ric= Ric − g
n
为零迹 Ricci 张量,
(α
定义为:
β)ijkℓ := αiℓ βjk + αjk βiℓ − αik βjℓ − αjℓ βik , α, β ∈ C ∞ (Sym2 T ∗ M n ).
(5.1)
5.1 3 维情形下的演化方程
32
局部坐标下,
Rijkℓ = −
1
R
(giℓ gjk − gik gjℓ ) +
(Riℓ gjk + giℓ Rjk − Rik gjℓ − gik Rjℓ ) + Wijkℓ .
(n − 1)(n − 2)
n−2
(5.2)
注记 5.2. 容易验证, Weyl 共形张量满足以下的对称性:
Wijkℓ = −Wjikℓ = −Wijℓk = Wjiℓk = Wkℓij , Wijkl + Wiklj + Wiljk = 0, g ik Wijkl = 0.
因而, 当 n = 3 时, Weyl 共形张量恒为 0.
顾名思义, Weyl 共形张量仅依赖于共形结构, 意即 g̃ = ψg, ψ ∈ C ∞ (M n ) 则 W̃ijkℓ =
ψWijkℓ , 重要的结果是, 当 n ≥ 4, Weyl 张量消失, 当且仅当 gij 共形平坦, 即存在光滑函数
0 < φ ∈ C ∞ (M n ), 使得
g = φgE = φ (dx1 )2 + · · · + (dxn )2 .
结合以上注记, 我们有 Riemann 曲率张量由 Ricci 完全决定的具体表达式,
1
Rijkℓ = gik Rjℓ − giℓ Rjk − gjk Riℓ + gjℓ Rik − R (gik gjℓ − giℓ gjk ) .
2
(5.3)
将之代入 Ricci 曲率的演化方程, 我们有
∂
Rij = ∆Rij + 3RRij − 6g pq Rip Rjq + 2|Ric|2 − R2 gij
∂t
= ∆Rij − (6Sij − 3RRij + R2 − 2S gij )
(5.4)
=: ∆Rij − Qij ,
其中,
2
3
Siℓ = Riℓ
= Rij g jk Rkℓ , S = g iℓ Siℓ , Tin = Rin
= Rij g jk Rkℓ g ℓm Rmn , T = g in Tin .
对角化下, 我们有

λ


Rij = 
µ



,


Sij = 

λ2


,


Tij = 

ν2
ν
R = λ + µ + ν,
µ2

S = λ2 + µ 2 + ν 2 ,
T = λ3 + µ 3 + ν 3 .

λ3

,

µ3
ν3
(5.5)
5.2
演化过程保持 Ric 的正定性
33
5.2 演化过程保持 Ric 的正定性
下面, 结合先前所证的张量版本的极大值原理, 我们来证明 Ric 的非负/正定性在 Ricci
流中保持. 具体地,
定理 5.3. 假设 g(t) 为 Ricci 流之解, t ∈ [0, T ), 初值 g(0) = g0 , 那么
• 若 Ric(g0 ) ≥ 0, 则 Ric(g(t)) ≥ 0. 从而, 有直接的估计 Ric(g(t)) ≤ Rg(t)
• 若成立 Ric(g0 ) ≥ εRg0 , 其中 ε > 0 为常数, 则 Ric(g(t)) ≥ εRg(t).
• 若 εRg ≤ R ≤ ηRg, 在 t = 0 时刻成立, 其中 ε, β 为满足 0 < ε ≤ 13 ≤ η < 1 的常数,
则此性质在演化过程中保持.
• 如果截面曲率在 t = 0 时刻非负 (正), 则其在演化过程中保持.
证明. 在介绍抛物方程极大值原理的部分, 我们已经证明 R > (≥)0 的性质将在演化中保持.
• 在张量版本的极大值原理中, 取 α = Rij , X ≡ 0, β = −Qij = 3RRij − 6g pq Rip Rjq +
(2| Ric |2 − R2 )gij . 假设 0 = λ ≤ µ ≤ ν 为 Ric 的特征值, 我们计算
Nij = 6Sij − 3RRij + (R2 − 2S)gij

−2λ2 + µ2 + ν 2 + λµ + λν − 2µν

=
···



=


(µ − ν)2
···
···

···




 ≥ 0.

故其满足零特征值假设, 由极大值原理, R ≥ 0 在演化过程中保持. 以上直接的估计是
平凡的 (来自于 λ, µ, ν ≤ trace Ric = R)
• 为了给出更精细的估计, 我们需要计算张量
Rij
R
的演化方程:
引理 5.4. 假设初值 R > 0, 则
RQij + 2SRij
Rij
Rij
2 p
∂ Rij
=∆
+ ∇ R∇p
−
.
∂t R
R
R
R
R2
(5.6)
5.2
演化过程保持 Ric 的正定性
34
证明. 注意到, 我们有一般的计算公式:
∂
∂
∂ f
f
2 p
f
∆f · g − ∆g · f
∂t f · g − ∂t g · f
=
, ∆
=
− ∇ g∇p
.
2
2
∂t g
g
g
g
g
g
回忆, Ric 和 R 满足演化方程
∂
∂
Rij = ∆Rij − Qij ,
R = ∆R + 2S.
∂t
∂t
(5.7)
代入, 我们得到
R(∆Rij − Qij ) − Rij (∆R + 2S)
∂ Rij
=
∂t R
R2
R∆Rij − Rij ∆R RQij + 2SRij
=
−
2
2
R
R
Rij
R
RQij + 2SRij
2
ij
+ ∇p R∇p
−
.
=∆
R
R
R
R2
在张量版本的极大值原理中, 我们取
α=
Rij
RQij + 2SRij
2
− εgij , X k = ∇k R, β = 2εRij −
,
R
R
R2
根据以上引理, 我们有
∂
α = ∆α + ∇X α + β,
∂t
故只需验证零特征值假设:
注意到 α 的零特征值 ⇐⇒ λ = εR = ε(λ + µ + ν), 其中 λ, µ, ν 为 Rij 的特征值. 我
们计算此情形下 R2 β 对应处的元素值:
2ελ(λ + µ + ν)2 − (λ + µ + ν)(2λ2 − µ2 − ν 2 − λ − µνλ + 2µν) − 2λ(λ2 + µ2 + ν 2 )
= (λ + µ + ν)(2λ2 − (2λ2 − µ2 − ν 2 − λµ − νλ + 2µν)) − 2λ(λ2 + µ2 + ν 2 )
= (λ + µ + ν)(λ(µ + ν) + (µ − ν)2 ) − 2λ(λ2 + µ2 + ν 2 )
= λ2 (µ + ν − 2λ) + (µ + ν)(µ − ν)2 .
我们只需证明, 0 ≤ µ + ν − 2λ = ( 1ε − 3)λ, 注意到, t = 0 时刻下, Rij ≥ εRgij , 取 trace,
由 R > 0 得 ε ≤ 13 .
• 当 ε, β 之一为 13 时, 此时 Ric 为常数, 即 Einstein, 故整个演化是平凡的. 下面假设
η ∈ ( 13 , 1).
5.2
演化过程保持 Ric 的正定性
35
类似于上一款的证明, 我们改取
Rij
RQij + 2SRij
2
αij = ηgij −
, X k = ∇k R, β =
− 2ηRij .
R
R
R2
根据以上引理, 我们有
∂
α = ∆α + ∇X α + β,
∂t
故只需验证零特征值假设: 注意到 α 的零特征值 ⇐⇒ λ = ηR = η(λ + µ + ν), 其
中 λ, µ, ν 为 Rij 的特征值. 我们计算此情形下 R2 β 对应处的元素值 (即上一款的相反
数):
λ2 (2λ − µ − ν) − (µ + ν)(µ − ν)2 = 2λ2 (λ − µ) + λ2 − µ2 + ν 2 (µ − ν).
观察. (1) 如果 λ = max(λ, µ, ν) 则上式不小于 0.
η
(2) 将 λ = ηR 代入, 记 c = 1−η
≥ 12 , 即证
(2c3 − c2 )(µ + ν)2 ≥ (µ − ν)2 .
在 η ↓ 31 时, 两边同时趋于 0, 难以说明.
我们采取所谓的连续性方法论证: 由 β ≥ 13 , 假设 µ ≥ λ ≥ ν. 取 δ = δ(ε, η) 为充分小
的正数, 假设时刻 t = θ, 是使得
Rij ≤ (η + δ)Rgij ,
成立的最大时刻. 我们来说明, t = θ 时, 也有 Rij ≤ βRgij , 如是, 这就迫使 T = θ. 根
据假设, 上一款与平均值原理, 我们有估计
1
ηR = λ ≤ µ ≤ (η + δ)R, εR ≤ ν ≤ R,
3
进一步整理, 我们有
λ2 (2λ − µ − ν) − (µ + ν)(µ − ν)2 = ν 2 (µ − ν) − (µ − λ) 2λ2 + (λ + µ)(µ − ν)
1
2
2
2
≥R ε η−
− δ 2η + (2η + δ)(η + δ) ≥ 0,
3
当 δ = δ(ε, η) 取得充分小. 故由极大值原理, Rij ≤ βRgij 在演化过程中保持, 特别地,
在 t = θ 处成立. 由连续性论证, 这就完成了证明.
• 这是上一款的直接推论: 由之前计算过的例子, (法坐标系下) 我们有
µ+ν−λ
1
≥ (>)0 ⇐⇒ Rg ≥ (>) Ric,
2
2
1
因此, 截面曲率非负 (正) ⇐⇒ Rij ≤ (<) 2 Rgij , 由上一款与 M 3 的紧性即完成了证明.
R1212 =
5.3
特征值的夹挤 (Pinching) 估计
36
5.3 特征值的夹挤 (Pinching) 估计
根据上节的结果, 我们假设 (M 3 , g0 ) 为紧致 Ric(g0 ) 正定的 Riemann 流形, Ricci 流方
程在 [0, T ) 上有解. 注意到,
1
1
S − R2 = (λ − µ)2 + (µ − ν)2 + (ν − λ)2 ≥ 0,
3
3
这度量了一点处在演化过程中 Ric 的特征值之间的差距, 我们期望 S − 13 R2 变小 (为使流形
圆化), 因此需要对 S − 13 R2 在演化过程中进行估计. 本节的主定理为
定理 5.5. 存在常数 δ = δ(g0 ) > 0 与 C = C(g0 ) 使得
1
S − R2 ≤ CR2−δ , ∀t ∈ [0, T ).
3
证明思路: 记 γ = 2 − δ,
S
1
− R2−γ ,
Rγ
3
我们要计算出 f 所满足的演化方程, 经过不等式放缩, 得到如下 heat-type 型方程的下解以
f=
应用极大值原理:
∂f
≤ ∆f + ∇X f,
∂t
其中 X = 2( γ−1
R )∇R.
方便起见, 我们引入记号:
1
1
1
C := g(Qij , Rkl ) = g ik g jl Qij Rkl =
R3 − 5RS + 6T
2
2
2
3
3
3
2
2
2
= λ + µ + ν − λ µ + λµ + λ ν + λν 2 + µ2 ν + µν 2 + 3λµν.
我们计算相关几何量的演化方程:
引理 5.6. S = | Ric |2 满足如下的演化方程:
∂
S = ∆S − 2|∇ Ric |2 + 4(T − C).
∂t
证明. 我们有
∂
∂ ik jl
S=
g g Rij Rkl
∂t
∂t
∂ ik jl
∂
=2
g
g Rij Rkl + 2g ik g jl (Rij ) Rkl
∂t
∂t
= 4g is g tk Rst g jl Rij Rkl + 2g ik g jl (∆Rij − Qij )Rkl
= 2g ik g jl ∆Rij Rkl + 4(T − C)
= ∆S − 2|∇ Ric |2 + 4(T − C).
(5.8)
特征值的夹挤 (Pinching) 估计
5.3
37
引理 5.7. 设 R > 0, 则对任何 γ ∈ (0, 2), RSγ 满足以下的演化方程:
∂
S
S
2(γ − 1) p
S
=∆
+
∇
R∇
p
∂t Rγ
Rγ
R
Rγ
2
(γ − 1)(γ − 2)
4R(T − C) − 2γS 2
2
− γ+2 |R∇i Rjk − ∇i R · Rjk |2 +
S
|∇R|
+
R
Rγ+2
Rγ+1
(5.9)
证明. 先计算 ∆ RSγ , 我们有
Rγ ∆S − ∆(Rγ )S
2 p γ
S
S
∆
=
− γ ∇ (R )∇p
γ
2γ
R
R
R
Rγ
∇p S · Rγ − γRγ−1 ∇p R · S
R∆S − γS∆R γ(γ − 1)
2γ γ−1
2
p
=
−
S|∇R|
−
R
·
∇
R
·
Rγ+1
Rγ+2
Rγ
R2γ
R∆S − γS∆R
2γ
γ(γ + 1)
=
− γ+1 g(∇R, ∇S) +
S|∇R|2 .
γ+1
R
R
Rγ+2
结合 S 的演化方程, 我们有
∂R
R ∂S
∂ S
∂t − γS ∂t
=
∂t Rγ
Rγ+1
1
= γ+1 R(∆S − 2|∇ Ric |2 + 4(T − C)) − γS(∆R + 2S)
R
R∆S − γS∆R
|∇ Ric |2 4R(T − C) − 2γS 2
=
−
2
+
γ+1
Rγ
Rγ+1
R
S
2γ
γ(γ + 1)S|∇R|2
|∇ Ric |2 4R(T − C) − 2γS 2
=∆
+
+
g(∇R,
∇S)
−
−
2
.
Rγ
Rγ+1
Rγ+2
Rγ
Rγ+1
注意到,
g(∇R, ∇S) = g st ∇s R · (2g ik g jl ∇t Rij Rkl ) = 2g(∇i Rjk , ∇i R · Rjk ),
R∇p S−γS∇p R
注意到, ∇p RSγ =
,故
Rγ+1
S
g ∇R, ∇
Rγ
=
g(∇R, ∇S)
γ
− γ+1 S|∇R|2 .
γ
R
R
所以,
2Rγg(∇R, ∇S) − γ(γ + 1)S|∇R|2 − 2R2 |∇ Ric |2
= 4g(R · ∇i Rjk , ∇i R · Rjk ) − γ(γ + 1)g(∇i R · Rjk , ∇i R · Rjk ) − 2g(R · ∇i Rjk , R · ∇i Rjk )
= −2|R∇i Rjk − ∇i R · Rjk |2 + 2(γ − 1)(g(R · ∇i R, S) − γS|∇R|2 ) + (γ − 1)(γ − 2)S|∇R|2 .
这就完成了证明.
特征值的夹挤 (Pinching) 估计
5.3
38
我们再来计算 R2−γ 的演化方程:
引理 5.8. 我们有
∂ 2−γ
2(γ − 1) p
(γ − 1)(γ − 2)
2(2 − γ)S
R
= ∆(R2−γ ) +
∇ R∇p (R2−γ ) +
|∇R|2 +
. (5.10)
γ
∂t
R
R
Rγ−1
证明. 直接计算, 我们有
∂ 2−γ
R
= (2 − γ)R1−γ (∆R + 2S)
∂t
= ∆(R2−γ ) − (γ − 1)(γ − 2)R−γ |∇R|2 + 2(2 − γ)SR1−γ .
注意到,
2(γ − 1) p
2(γ − 1)(γ − 2) p
∇ R∇p (R2−γ ) = −
∇ R · ∇p R,
R
Rγ
代入上式就完成了证明.
综合以上引理的结果, 我们得到
引理 5.9. 设 f = RSγ − 13 R2−γ , 则 f 满足以下的演化方程
∂f
= ∆f + hX, ∇f i
∂t
2
(2 − γ)(γ − 1)
1 2
2
− γ+2 |R∇i Rjk − ∇i R · Rjk | −
S − R |∇R|2
R
Rγ+2
3
2
1
+ γ+1 (2 − γ)S S − R2 − 2P ,
R
3
(5.11)
其中 P = S 2 + R(C − T ), 用 Ric 的特征值表示, 即
P = λ4 + µ4 + ν 4 − λ3 µ + λµ3 + λ3 ν + λν 3 + µ3 ν + µν 3 + λ2 µν + λµ2 ν + λµν 2
= λ2 (λ − µ)(λ − ν) + µ2 (µ − λ)(µ − ν) + ν 2 (ν − λ)(ν − µ).
下面, 我们证明蓝色项部分小于等于 0. 为此只需证明如下的引理:
引理 5.10. 假设 R > 0, Rij ≥ εRgij 当 t = 0 时刻成立, 根据已证的结果, 可知其在演化过
程中保持, 我们有
1 2
P ≥ ε S S − R , ∀t ∈ [0, T ).
3
2
(5.12)
证明. 这是一个 (纯粹的) 代数不等式. 根据齐次性, 不妨假设 λ ≥ µ ≥ ν, λ2 + µ2 + ν 2 = 1,
于是
λ+µ+ν ≥
p
λ2 + µ2 + ν 2 = 1, ν ≥ ε(λ + µ + ν) ≥ ε.
数量曲率 R 的梯度估计
5.4
39
我们将不等式的两端配凑为
A(λ − µ)2 + B(µ − ν)2
的形式:
另一方面,
P = (λ − µ)2 λ2 + (λ + µ)(µ − ν) + ν 2 (λ − ν)(µ − ν)
≥ λ2 (λ − µ)2 + ν 2 (µ − ν)2 ≥ ε2 (λ − µ)2 + (µ − ν)2 .
(λ − ν)2 = ((λ − µ) + (µ − ν)2 ) ≤ 2 (λ − µ)2 + (µ − ν)2 ,
所以,
1
1
S − R2 = (λ − µ) + (µ − ν)2 + (λ − ν)2 ≤ (λ − µ) + (µ − ν)2 .
3
3
综合以上, 不等式得证.
准备工作已经妥当, 下面证明本节的主定理:
证明. 我们取 0 < δ = δ(g0 ) ≤ 2ε2 , 记 γ = 2 − δ,
f=
1
S
− R2−γ ,
γ
R
3
综合先前所有引理的结果, 我们有
∂f
≤ ∆f + ∇X f,
∂t
应用函数版本的极大值原理, 我们知道
f ≤ max f |t=0 = C(g0 ),
M
这就完成了证明.
5.4 数量曲率 R 的梯度估计
完成了逐点演化过程中特征值 Pinching 估计后, 我们来看重头戏: 以 ∇R 衡量流形上
不同点间的 Pinching 关系, 我们的目标是证明以下的定理, 这是本文最重要的一个估计.
我们仍然假设 (M 3 , g0 ) 为 3 维闭 Riemann 流形, 初值 Ric(g0 ) 正定, 在区间 [0, T ) 上
Ricci 流方程有解.
定理 5.11. 对任何 η > 0, 存在常数 C = C(η, g0 ), 使得以下梯度估计成立
|∇R|2 ≤ ηR3 + C, ∀t ∈ [0, T ).
5.4
数量曲率 R 的梯度估计
40
证明思路: 我们将计算
|∇R|
− ηR2
R
满足的演化方程, 但不幸的是有一些正项难以消去, 我们要利用已证明的 C 0 -Pinching 估计
1
S 2 − R2 ≤ CR2−δ ,
3
将之改进为
F =
|∇R|
1
∂F
− ηR2 + 168(S − R2 ),
≤ ∆F + C,
R
3
∂t
再应用极大值原理, 得到
Ft ≤ max F |t=0 + Ct,
M
为此, 我们还需要对 (最大存在) 时间 T 进行估计, 方法是对数量曲率满足的 heat-type 方程
∂R
2
= ∆R + 2| Ric |2 ≥ ∆R + R2 ,
∂t
3
应用极大值原理.
引理 5.12. |∇R|2 满足如下的演化方程:
∂
|∇R|2 = ∆|∇R|2 − 2| Hess R|2 + g(∇R, ∇S).
∂t
证明. 我们先证明一个常用的恒等式
定理 5.13 (Bochner). 设 f ∈ C ∞ (M ), 则
1
∆|∇f |2 = | Hess f |2 + Ric(∇f, ∇f ) + g(∇∆f, ∇f ).
2
证明. 我们采取方便的升降指标记号, 直接计算,
∆|∇f |2 = ∇i ∇i ∇j f ∇j f = 2∇i ∇i ∇j f ∇j f
= 2∇i ∇i ∇j f ∇j f + 2 ∇i ∇j f ∇i ∇j f
|
{z
}
=|Hess f |2
= 2∇i ∇j ∇i f ∇j f + 2 |Hess f |2
= 2∇j ∇i ∇i f ∇j f + 2Ri j ki ∇k f ∇j f + 2 |Hess f |2
| {z }
∆f
= 2 |Hess f |2 + 2 Ric(∇f, ∇f ) + 2g(∇f, ∇∆f ).
(5.13)
数量曲率 R 的梯度估计
5.4
于是,
41
∂
∂
|∇R|2 =
∇i R · ∇ i R
∂t
∂t
= 2∇i (∆R + 2S) · ∇i R + 2g is g tk Rst ∇k R∇i R
= 2∇i ∆R · ∇i R + 4g(∇R, ∇S) + 2 Ric(∇R, ∇R)
= ∆|∇R|2 − 2| Hess R|2 + 4g(∇R, ∇S).
这就完成了证明.
2
的演化方程,
接下来, 我们计算 |∇R|
R
2
引理 5.14. |∇R|
的演化方程为
R
∂ |∇R|2
|∇R|2
2
4
2S
=∆
− 3 |R∇i ∇j R−∇i R·∇j R|2 + g(∇R, ∇S)− 2 |∇R|2 . (5.14)
∂t
R
R
R
R
R
证明. 根据以上的引理, 我们有
R ∂ |∇R|2 − |∇|R2 ∂R
∂ |∇R|2
∂t
= ∂t
∂t
R
R2
2
4
2S
R∆|∇R|2 − |∇R|2 ∆R
− | Hess R|2 + g(∇R, ∇S) − 2 |∇R|2 ,
=
R2
R
R
R
结合
|∇R|2
R∆|∇R|2 − |∇R|2 ∆R
2 p
|∇R|2
∆
=
− ∇ R∇p
,
R
R2
R
R
R∇p |∇R|2 − |∇R|2 ∇p R
2 p
2
|∇R|2
∇ R∇p
= ∇p R ·
R
R
R
R2
4
2
= 3 ∇p R · ∇p ∇k R · ∇k R − 3 |∇i R · ∇j R|2 ,
R
R
代入, 即完成了证明.
根据先前的计算, 我们有
引理 5.15. R2 , S 满足以下的演化方程,
故
∂ 2
R = ∆R2 − 2|∇R|2 + 4RS,
∂t
(5.15)
∂
S = ∆S − 2|∇ Ric |2 + 4(T − C),
∂t
(5.16)
∂
1 2
1
1 2
2
2
S − R = ∆ S − R − 2 |∇ Ric | − |∇R| + 4Q,
∂t
3
3
3
(5.17)
其中 Q = T − 13 RS − C.
5.4
数量曲率 R 的梯度估计
42
下面进入不等式估计部分: 我们希望利用 S − 13 R2 的演化方程中的负项抵消 H 中的正
2
项, 其中, H = |∇R|
R − ηR .
2
计算得到, H 满足演化方程
∂H
2
4
2S
= ∆H + 2η|∇R|2 − 4ηRS − 3 |R∇i ∇j R − ∇i R · ∇j R|2 + g(∇R, ∇S) − 2 |∇R|2
∂t
R
R
R
4
4
≤ ∆H + 2η|∇R|2 − ηR3 + g(∇R, ∇S).
3
R
(5.18)
综合以上, 我们需要估计:
• Q = T − 13 RS − C的上界 (带有 S − 13 R2 的相关项).
• |∇R| ≤ C|∇ Ric |2 , 要求 C < 3.
• g(∇R, ∇S)的上界.
我们将以上几何量的估计陈述为以下引理:
引理 5.16. 我们有,
• Q ≤ R(S − 31 R2 ).
108
• |∇R|2 ≤ C|∇ Ric |2 , C 可取为 20
7 或 37 (已足够证明定理).
• g(∇R, ∇S) ≤ 4R|∇ Ric |2 .
证明.
• 这是纯粹的代数不等式, 由于 P = S 2 + R(C − T ) ≥ 0(Schur 不等式), 因此
1
1
QR ≤ P + QR = S(S − R2 ) ≤ R2 (S − R2 ).
3
3
证明曲率一阶导数的不等式的核心, 是找到数量曲率 R 与 Ricci 曲率的联系: 缩并的
第二 Bianchi 恒等式:
∇k R = 2g ij ∇i Rjk .
• 我们给出两个估计方法:
方法一 (by Hamilton). 将 ∇ Ric 分解为垂直 (不可约) 的几部分. 令
∇i Rjk = Eijk + Fijk , Eijk =
1
3
(gij ∇k R + gik ∇j R) + gjk ∇i R.
20
10
5.4
数量曲率 R 的梯度估计
43
7
则 |Eijk | = 20
|∇R|2 , 且 Fijk 零迹:
1
3
1
3
g ij Fijk = g ik Fijk = g ij (∇i Rjk − Eijk ) = ∇k R −
+
+
∇k R = 0,
2
20 20 10
1
1
9
jk
g Fijk = ∇k R −
+
+
∇k R = 0,
20 20 10
所以, g(Eijk , Fijk ) = g il g jm g kn Eijk Flmn = 0. 因此,
|∇ Ric |2 = |Eijk |2 + |Fijk |2 ≥
7
|∇R|2 .
20
方法二 (常用不等式). 我们利用估计
|Z|2 ≥
1
| trace Z|2 .
n
定义 (0, 3)-张量
1
Aijk := ∇i Rjk − ∇i Rgjk ,
3
B 是对 i, j 位置取迹所得的 (0, 1)-张量, 由第二 Bianchi 恒等式, 我们有
1
1
1
1
Bk = ∇k R − ∇k R = ∇k R, |B|2 = |∇R|2 .
2
3
6
36
根据以上估计, 我们得到
1
1
1
|∇R|2 = |B|2 ≤ |A|2 = |∇ Ric |2 − |∇R|2 .
108
3
3
• 由 Cauchy-Schwarz 不等式,
g(∇R, ∇S) = 2g st ∇s Rg ik g jl ∇t Rij Rkl = 2g(∇i R · Rjk , ∇i Rjk ) ≤ 2|∇R|| Ric ||∇ Ric |.
结合熟知的结果, |Rjk | =
√
S ≤ R, 与 |∇R|2 ≤ 3|∇ Ric |2 , 即完成了证明.
记 G = S − 13 R2 , 综合已有的估计(5.17),(5.18), 我们得到
引理 5.17. G, H 是以下的 heat-type 型演化方程的下解, 即满足不等式
∂H
4
≤ ∆H + 16|∇ Ric |2 − ηR3 .
∂t
3
(5.19)
∂G
2
≤ ∆G − |∇ Ric |2 + 4RG.
∂t
21
(5.20)
数量曲率 R 的梯度估计
5.4
44
1 2
2
因此, 记 F = H + 168G = |∇R|
R − ηR + 168(S − 3 R ), 则
2
∂F
4
≤ ∆F + 672RG − ηR3 .
∂t
3
根据特征值的夹挤 (pinching) 估计, 存在常数 C0 = C(g0 ), δ = δ(g0 ), 使得 G ≤ R2−δ , 做进
一步放缩, 存在 C = C(C0 , η, δ), 使得
4
672C0 R3−δ − ηR3 ≤ C,
3
故 F 为以下的 heat-type 方程的下解,
∂F
≤ ∆F + C.
∂t
(5.21)
对 (F − Ct) 应用函数版本的极大值原理, 我们得到
F ≤ CT + max F |t=0 .
M
因此, 我们转而对最大存在时间 T 进行估计:
3
引理 5.18. 假设数量曲率初值 R(g0 ) ≥ ρ, 其中 ρ > 0 为常数, 则 T ≤ 2ρ
.
证明. 根据数量曲率的演化方程, 我们有
∂R
2
= ∆R + 2| Ric |2 ≥ ∆R + R2 .
∂t
3
考虑如下常微分方程初值问题
2
df
= f 2 , f (0) = ρ > 0,
dt
3
3ρ
其解为 f = 3−2ρt
. 视 f 为时空上的光滑函数, 我们有
2
∂
(R − f ) ≥ ∆(R − f ) + (R2 − f 2 ),
∂t
3
3
由极大值原理, R − f ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ). 这就表明, T ≥ 2ρ
.
最后, 我们证明本节的主定理:
证明. 根据以上引理, 我们知道,
H≤F ≤
3
C + max F |t=0 = C(η, g0 ),
M
2ρ
也即
|∇R|2 ≤ ηR3 + C(η, g0 )R ≤ ηR3 + Ĉ(η, g0 ).
这就完成了证明.
(5.22)
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
45
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
本节的主要目标是证明如下的收敛性定理,
定理 5.19. Ricci 流
∂
gij = −2Rij ,
∂t
存在唯一的解的最大存在区间 0 ≤ t < T ≤ ∞, 且若 T < ∞, 则
max |Rijkℓ | → ∞, as t → T.
证明. 最大区间的存在性根据短时存在唯一性定理即得, 假设 [0, T ) 是最大存在区间. 我们
的目标是证明, 假如 T < ∞, 且 |Rijkℓ | 在 t → T 时有界, 那么度量将会光滑地收敛到一个
极限度量 (仍然正定), 所有阶导数亦然, 从而导出极限度量是光滑的, 这意味着 Ricci 流可以
流过 t = T , 于是 T 将不再是最大存在时间, 矛盾.
我们建立对 Riemann 曲率张量的高阶导数估计, 在此之前, 先证明一般张量的插值不
等式. 利用分部积分, 来证明以下定理:
定理 5.20. 假设 (M, g) 是 n 维紧 Riemann 流形, T = Tj···k 是 M 上的任一张量, 假设
1 1
1
+ = , r ≥ 1,
p q
r
那么
Z
1
|∇T | dµ
2r
r
Z
1 Z
≤ (2r − 2 + n)
M
|(∇) T | dµ
2
p
1
p
M
|T | dµ
q
q
.
(5.23)
M
证明. 简便起见, 我们假设 T = Tj , 其他情况如法炮制. 证明的关键是分部积分. 取局部单
位正交标架 (ei ), 记 ∇i = ∇ei , 我们有
Z
Z
2r
|∇T | dµ =
∇i Tj ∇i Tj |∇T |2(r−1) dµ
M
MZ
Z
2(r−1)
=−
Tj · ∇i ∇i Tj · |∇T |
dµ − 2(r − 1)
M
g(Tj ∇i ∇k Tℓ , ∇i Tj · ∇k Tℓ )|∇T |2(r−2) dµ,
M
这里, 我们计算合并了
Tj · ∇i Tj · ∇i (|∇T |2(r−1) ) = (r − 1)Tj · ∇i Tj · ∇i (∇k Tℓ ∇k Tℓ ) = 2(r − 1)g(Tj ∇i ∇k Tℓ , ∇i Tj ∇k Tℓ ).
由 Cauchy-Schwarz 不等式,
|Tj · ∇i ∇i Tj | ≤ |T ||∆T | ≤
√
n|T ||(∇)2 T | ≤ n|T ||(∇)2 T |,
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
46
g(Tj ∇i ∇k Tℓ , ∇i Tj ∇k Tℓ ) ≤ |T ||(∇)2 T ||∇T |2 .
因此,
Z
Z
|∇T | dµ ≤ (2r − 2 + n)
|T ||(∇)2 T ||∇T |2r−2 dµ.
2r
M
M
最后, 根据
1 1 r−1
+ +
= 1,
p q
r
由 Holder 不等式,
Z
Z
1 Z
|∇T | dµ ≤ (2r − 2 + n)
|(∇) T | dµ
2r
2
M
p
1 Z
p
|T | dµ
q
M
r−1
q
|∇T | dµ
2r
M
M
整理, 即完成了证明.
在此定理中, 取 q = ∞, 我们得到
推论 5.21. 如果 p ≥ 1, 则我们有估计
Z
Z
1
|∇T | dµ
2p
p
1
≤ (2p − 2 + n) max |T | ·
|(∇) T | dµ
2
M
M
M
下面, 我们来证明一个数学分析中的命题
引理 5.22. 假设 f (k) 为定义在 0, · · · , n 上的正函数, 满足
1
1
f (k) ≤ Cf (k − 1) 2 f (k + 1) 2 ,
那么
k
k
f (k) ≤ C k(n−k) f (0)1− n f (n) n .
证明. 我们证明一个本质性的命题,
引理 5.23. 假设 f (k) 是定义在 0, · · · , n 上的实函数, 满足
1
f (k) ≤ (f (k − 1) + f (k + 1)), ∀1 ≤ k ≤ n − 1,
2
那么,
f (k) ≤
1−
k
k
f (0) + f (n).
n
n
p
p
.
r
,
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
47
证明. 如有必要, 以 f (k) − 1 − nk f (0) + nk f (n) 代替讨论, 故不妨设 f (0) = f (n) = 0. 考
虑一阶差分序列 g(k) = f (k) − f (k − 1), ∀1 ≤ k ≤ n, 条件变为 g(k) 是单调递增序列. 根据
假设, g(1) + · · · + g(n) = 0, 故存在 m ∈ {1, · · · , n − 1}, 使得
g(1) ≤ · · · g(m) ≤ 0 ≤ g(m + 1) ≤ · · · ≤ g(n),
因此, 对任何 k, 有
f (k) =
k
X
n
X
g(i) = −
i=1
g(i),
i=k+1
如果 k ≤ m, 则第一个式子为负, 若 k ≥ m, 则第二个式子为负, 这就完成了证明.
将结论用于 f (k) + Ck 2 , 我们有直接的推论:
推论 5.24. 假设 f (k) 是定义在 0, · · · , n 上的实函数, 满足
1
f (k) ≤ (f (k − 1) + f (k + 1)) + C, ∀1 ≤ k ≤ n − 1,
2
那么,
f (k) ≤
k
k
1−
f (0) + f (n) + Ck(n − k).
n
n
因此, 在上述推论中取 g(k) = log f (k), 其中 f 是引理 6.22 中满足乘积凸性的 f , 就完
成了证明.
综合以上结果, 我们有插值估计
引理 5.25. 假设 (M, g) 是一个紧 Riemann 流形, T 是任一张量, 对任何 1 ≤ i ≤ m − 1,
存在只依赖于导数阶数 m 与空间维数 n 的常数 C = C(m, n), 也即不依赖于度量与 LeviCivita 联络, 成立估计
Z
Z
2m
2( m
−1)
i
i
i
|(∇) T | dµ ≤ C max |T |
M
M
|(∇)m T |2 dµ.
(5.24)
M
证明. 对 i ≥ 2, 在定理中取
p=
2m
2m
m
, q=
, r = (> 1),
i+1
i−1
i
我们有
Z
|(∇) T |
i
M
2m
i
i
m
dµ
Z
≤C
|(∇)
M
i+1
T|
2m
i+1
i+1 Z
2m
|(∇)
dµ
M
i−1
T|
2m
i−1
i−1
2m
dµ
,
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
48
其中 C = 2m
i − 2 + n, 只依赖于 n, m.
对 i = 1, 根据推论 6.21, 我们有
Z
1
|∇T |
2m
m
dµ
Z
1
≤C
|(∇) T |
2
M
m
m
· max |T |,
M
M
其中 C = 2m − 2 + n. 如果令
Z
f (0) = max |T |, f (i) =
M
|(∇) T |
i
2n
i
i
2n
, 1 ≤ i ≤ m,
M
则 f (i) 满足前述引理, 我们有
i
i
f (i) ≤ C(n, m)f (0)1− m f (m) m ,
将之展开, 我们有
Z
Z
2m
2m
m
m
|(∇)i T | i dµ = f (i) i ≤ C ′ (n, m)f (0)2( i −1) f (n)2 = C ′ (n, m) max |T |2( i −1)
M
M
|(∇)m T |2 dµ,
M
这就完成了证明.
我们还需要一个 L2 插值估计,
引理 5.26. 假设 (M, g) 是一个紧 Riemann 流形, T 是任一张量, 存在只依赖于导数阶数 m
与空间维数 n 的常数 C = C(m, n), 也即不依赖于度量与 Levi-Civita 联络, 成立估计
Z
Z
i Z
|(∇) T | dµ ≤ C
i
|(∇) T | dµ
2
n
M
2
1− i
n
|T | dµ
2
M
n
(5.25)
.
M
证明. 在定理 6.20 中取 p = q = 2, r = 1, 我们有
Z
Z
1 Z
|(∇) T | dµ ≤ C(n, m)
i
|(∇)
2
M
M
i+1
T | dµ
2
1
2
|(∇)
i−1
T | dµ
2
2
,
M
根据前述数学分析的结果, 结论获证.
下面, 我们回到 Riemann 曲率张量的估计. 由以上建立的插值不等式, 我们只需关心演
化过程中最高阶导数的信息, 方便起见, 引入记号 A ∗ B, 是指用 g ik 缩并 Ai···j 和 Bk···ℓ 所
得的任意线性组合. 我们的第一个目标, 是得到 (∇)m Rm 的演化方程.
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
49
引理 5.27. 假设 A, B 是两个张量, 满足以下的演化方程
∂
A = ∆A + B,
∂t
那么 ∇A 满足如下形式的演化方程,
∂
∇A = ∆∇A + Rm ∗∇A + A ∗ ∇ Rm +∇B.
∂t
∂ k
Γij 由 0 阶曲率信息决定, 因此,
证明. 根据前述变分计算, ∂t
∂A
∂
∇A = ∇
+ ∇ Rm ∗A = ∇∆A + ∇B + ∇ Rm ∗A.
∂t
∂t
结合交换导数公式,
∇∆A = ∆∇A + Rm ∗∇A,
结论获证.
于是, 将之应用于 Rm 曲率张量, 我们有
定理 5.28. (∇)m Rm 满足以下形式的演化方程,
X
∂
(∇)m Rm = ∆(∇)m Rm +
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm .
∂t
(5.26)
i+j=m
∂
证明. 当 m = 0, 我们已经 (计算) 证明 ∂t
Rm 满足 (4.18), 具有上述引理 (此定理) 中的形
式. 对 m 归纳, 假设 m 时成立, 利用前述引理 (取 A = (∇)m Rm)), 我们就有


X
∂
(∇)m+1 Rm = ∆(∇)m+1 Rm + Rm ∗(∇)m+1 Rm +(∇)m ∗ ∇ Rm +∇
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm
∂t
i+j=m
=
∂
(∇)m+1 Rm = ∆(∇)m+1 Rm +
∂t
X
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm,
i+j=m+1
这就完成了证明.
其模长平方满足,
推论 5.29. 对任何 m ∈ N, 我们有
X
∂
|(∇)m Rm |2 = ∆|(∇)m Rm |2 − 2|(∇)m+1 Rm |2 +
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm ∗(∇)m Rm .
∂t
i+j=m
(5.27)
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
50
证明. 只需注意到, 对 f ∈ C ∞ (M ), ∆(f )2 = 2|∇f |2 + 2hf, ∆f i, 于是, 由前述定理, 我们有
∂
∂
|(∇)m Rm |2 = 2h(∇)m Rm, (∇)m Rmi + Rm ∗(∇m ) Rm ∗(∇m ) Rm
∂t
∂t
X
m
= ∆|(∇) Rm |2 − 2|(∇)m+1 Rm |2 +
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm ∗(∇)m Rm
i+j=m
定理 5.30. 我们有估计
Z
Z
Z
d
2
|(∇)m Rm|2 dµ(x) + 2
(∇)m+1 Rm dµ(x) ≤ C max | Rm |
|(∇)m Rm|2 dµ(x) .
M
dt M
M
M
(5.28)
其中 C = C(m, n) 只依赖于导数阶数与空间维数.
R
证明. 对如上推论两边积分, 应用散度定理 ( M ∆f dµ = 0), 我们得到


Z
Z
Z
X
d
2

(∇)m+1 Rm dµ(x) =
(∇)i Rm ∗(∇)j Rm ∗(∇)m Rm dµ(x) ,
|(∇)m Rm|2 dµ(x) + 2
dt M
M
M
i+j=m
转而估计, 对 i + j = m, 我们有
Z
Z
Holder
|(∇)i Rm ∗(∇)j Rm ∗(∇)m Rm | dµ(x) ≤
M
|(∇) Rm |
i
M
Z
1
·
|(∇)m Rm | 2
2m
i
i Z
2m
|(∇) Rm |
j
2m
j
j
2m
M
1
2
,
M
对前两项 (以 i 为例), 应用已证的插值估计(5.24), 我们得到
Z
i
Z
1
2m
2m
i
2m
1
1−
i
m
≤ C max | Rm | m
,
|(∇) Rm | i
|(∇) Rm | 2
M
M
M
注意 (5.24) 中 C = C(m, n), 代入上式即完成了证明.
下面, 我们来证明收敛性定理 5.19. 我们先证明度量的收敛性定理:
定理 5.31. 假设 g(t), 0 ≤ t < T ≤ ∞ 是 M 上的一族 (依赖时间 t) 光滑度量, 如果
Z T
∂
max | gij |dt ≤ C < ∞,
(5.29)
M
∂t
0
则
e−C g(x, 0) ≤ gij (x, t) ≤ eC g(x, 0), ∀t ∈ [0, T )
且在 t → T 时一致收敛到一个连续, 正定的度量张量 gij (T ), 从而 t = T 时刻, 上述估计也
成立.
5.5 Riemann 曲率张量的高阶导数估计与收敛性定理
51
∂
证明. 这个论证需要额外小心: 我们衡量度量的变化 max | ∂t
gij | 是依赖于这族随时间变化
M
的度量 gij (t) 的, 也即
|
∂
∂
∂
gij |2 = g ik g jℓ gij gkℓ .
∂t
∂t ∂t
固定 0 6= v ∈ Tx M , 约定 |v|2t = gij (x, t)v i v j , 则由 Cauchy-Schwarz 不等式,
′ vivj
gij
d
′
log |v|2t =
≤ |gij
|.
dt
|v|2t
故在 0 ≤ t ≤ t0 < T 上积分, 我们得到
log
Z t0
|v|2θ
≤
|v|2τ
′
|gij
|dt ≤ C,
0
据此, 第一个不等式获证. 我们关心 t → T 的极限行为: 由 M 紧致,
Z T
∂
| gij (x, t)| → 0,
∂t
t
关于 x ∈ M 一致收敛. 所以, 我们可以定义
f (x, t) := lim g(x,t) (v, v),
t→T
根据一致收敛性, 这是一个连续函数, 由前述估计, f (x, t) 正定. 根据极化恒等式 (在极限过
程下保持), 其诱导的 (0,2)-张量
1
g(x,T ) (v, w) = (f (v + w) − f (v − w))
4
是这族度量在 t → T 时的极限, 根据连续性, 前述估计在 t = T 时刻成立.
我们再对 Rm 的高阶导数进行估计,
引理 5.32. 假设 T < ∞, 且 | Rm | ≤ C, ∀t ∈ [0, T ), 则对任何 m ∈ N, 存在常数 Cm > 0,
使得
Z
|(∇)m Rm |2 dµ ≤ Cm .
(5.30)
M
证明. 根据已证明的(5.28), 我们有
Z
Z
Z
d
m
2
′
m
2
|(∇)m Rm |2 dµ ,
|(∇) Rm | dµ ≤ C
|(∇) Rm | dµ ≤ C0 (n, m) max | Rm |
M
dt M
M
M
R
于是, 根据简单的 ODE, M |(∇)m Rm |2 dµ 有界, 即存在 Cm 满足条件.
Rmax
Rmin 的控制
5.6
52
不仅于此, 我们要对上确界范数 (即 L∞ 范数作估计, 连续意义下 ||f ||L∞ = lim ||f ||Lp ),
p→∞
方法如下: 根据已证的推论 6.21, 和如上的 L2 估计, 我们得到对任何 m ∈ N, 及 1 ≤ p ≤
Z
+∞.
|(∇)m Rm |p dµ ≤ Cm,p ,
M
令 Em
= |(∇)m Rm |2 , 由于 E
就有
m 和 ∇Em 均可表为 Rm 及其高阶导数, 根据以上估计, 我们
Z
(|Em |p + |∇Em |p )dµ ≤ C̃m,p ,
注意到 Em
M
∞
∈ C (M ), 由紧流形上的 Sobolev 不等式, p > n 时, 有
Z
max |f | ≤ Ct
(|∇f |p + f p ) dµ,
p
(5.31)
M
其中, Ct 依赖于度量 g(t), 自然依赖于时间 t. 我们会在后续关于流形的几何分析 (梯度估
计, Li-Yau 估计) 的讨论班上仔细证明它.
∂f ∂f
重要的观察是: 此不等式不依赖于度量的导数: |∇f |2 = g ij ∇i f ∇j f = g ij ∂x
i ∂xj , dµ =
p
∂
µ(x)dx = det(gij (x))dx, 由前述定理 (max | ∂t gij | = 2 max |Rij | 一致有界, 定理条件成立),
因此, Ct 将对空间一致有界, 当 t → T . 将此结果应用于 f = Em , 我们得到
引理 5.33. 如果 T < ∞, 且 | Rm | ≤ C0 , ∀t ∈ [0, T ), 那么
|(∇)m Rm | ≤ Cm (g0 , C0 ), ∀m ∈ N,
其中, Cm 仅依赖于度量初值 (g0 ) 和 Riemann 曲率张量的一致上界 C0 .
∂
收敛性定理的证明. 在 Ricci 流下, ∂t
gij = −2Rij , 因此, 如果 T < ∞, 且 max | Rm | 有界,
M
根据以上引理,
gij (t) → gij (T ),
且关于时间的所有阶导数有界, 这表明上述收敛是 C ∞ 意义下的, 所以 Ricci 流可以流过时
间 t = T , 这与 T 是最大存在时间相矛盾.
5.6
Rmax
Rmin
的控制
我们回到 3 维紧 Riemann 流形 (初值 Ric(g0 ) > 0) 的讨论, 对数量曲率满足的演化方
程应用极大值原理, 我们已经证明最大存在时间 T < ∞, 根据上面的收敛性定理, 及 3 维情
形下 Ric 和 Rm 相互决定, 我们知道 max | Ric | → ∞, 当 t → T . 注意到, S = |Rij |2 ≤ R2 ,
M
max
我们有 Rmax → ∞. 从结果考虑, 我们希望逐渐 “圆化”, 为此, 我们要估计 R
Rmin .
Rmax
Rmin 的控制
5.6
53
定理 5.34. 如上假设, 我们有
Rmax
= 1.
t→T Rmin
lim
证明. 由数量曲率的梯度估计, 对任何 η > 0, 存在常数 C = C(η, g0 ), 使得
3
1
|∇R| ≤ η 2 R 2 + C, ∀t ∈ [0, T ).
2
注意到, 当 t → T 时, Rmax → ∞, 因此, 存在 θ ∈ [0, T ) 使得
3
3
1
2
2
C ≤ η 2 Rmax
, ∀t ∈ [θ, T ) ⇒ |∇R| ≤ η 2 Rmax
, ∀t ∈ [θ, T ).
2
对 θ ≤ t < T , 固定 x0 ∈ M , 使得 Rmax = R(x0 ), 则对于任何从 x 出发, 长度不超过
1
s=
1
2
ηRmax
的测地线上, 成立数量曲率不等式 R ≥ (1 − η)Rmax .
我们证明, 当 η > 0 充分小时, 这个范围将会覆盖整个 M . 事实上, 由于 Ric ≥
ε(g0 )Rgij , Rauch 比较定理 I 的推论 (Myers 定理) 告诉我们, 如果 s ≥ √πεR , 那么此测
2
地线上必存在共轭点. 由 Hopf-Rinow 定理, M 完备, 因此对任何 y ∈ M , 必存在实现
d(x0 , y) 的最短测地线 γ, 这时, y 与 x0 间不存在共轭点, 换言之, 从 x0 出发至多 s 长度, 可
到达流形上的所有点.
根据以上的曲率不等式, 我们有 Rmin ≥ (1 − η)Rmax . 最终, 令 η → 0, θ ≤ t → T , 就有
结论成立.
注记 5.35. 上述第二段论证, 正是 Bonnet-Myers 定理给出的直径估计.
定理 5.36. 我们有,
RT
0
Rmax dt = ∞.
证明. 与最大存在时间 T 的证明如出一辙, 我们取 f 为以下 IVP 之解:
df
= 2Rmax f, f (0) = Rmax (0).
dt
利用 R2 ≥ S, 及数量曲率的演化方程, 我们有
∂
(R − f ) = ∆R + 2S − 2Rmax f ≤ ∆(R − f ) + 2Rmax (R − f ),
∂t
由极大值原理, 我们就有 R ≤ f, ∀t ∈ [0, T ), 由于 Rmax → ∞, 故 f → ∞, f 满足的 ODE
表明,
f (t)
log
=2
f (0)
因此上述积分发散 (到 ∞).
Z T
Rmax dt,
0
5.7
标准化 Ricci 流的估计
54
max
注意到, Rmin ≤ r ≤ Rmax , 且当 t → T , R
Rmin → 1, 因此, 我们有
推论 5.37. 数量曲率的均值满足
RT
0
rdt = ∞.
注意到, Rmin → ∞, 结合 Ric 特征值的 Pinching 估计,
S
1
− ≤ CR−δ → 0,
R2 3
我们就得到
定理 5.38.
lim
t→T
S
1
−
R2 3
= 0.
5.7 标准化 Ricci 流的估计
我们首先回忆, 如何从 (1.1) 走到 (1.2). 取正规化函数 ψ ∈ C ∞ ([0, +∞)), 使得
Z
g̃ = ψ · g,
dµ̃ = 1,
X
作时间变换 t̃ =
Rs
0 ψ, 那么 g̃ 满足标准化的 Ricci 流方程. 联络与曲率满足以下关系:
˜ = ∇, R̃(X, Y )Z = R(X, Y )Z, K̃ = 1 K, Ric
˜ = Ric, R̃ = 1 R.
∇
ψ
ψ
根据比值不变性, 我们有
引理 5.39.
lim
R̃max
t→T R̃min
= 1.
引理 5.40.
Rij ≥ εR̃g̃ij .
引理 5.41. 在标准 Ricci 流下, 数量曲率的最大值 Rmax 在演化过程中有界, 即
R̃max ≤ C, ∀t ∈ [0, T ).
证明. 假设 Ṽ (= 1) 与 d˜ 分别是 (M, g̃) 的体积与直径, 那么 Ṽ ≤ C d˜3 , 根据 Bonnet-Myers
−1
定理, d˜ ≤ C R̃ 2 , 因此
min
3
3
2
2
R̃min
= Ṽ R̃min
≤ C, ⇒ R̃min ≤ C.
结合先前的引理, 即知 R̃max 有界.
5.7
标准化 Ricci 流的估计
55
引理 5.42. 最大存在时间 T̃ = ∞.
证明. 注意到, r̃dt̃ = ψr · ψdt = rdt, 故
Z T̃
Z T
r̃dt̃ =
0
rdt = ∞,
0
又因为 r̃ ≤ R̃max ≤ C 有界, 所以 T̃ = ∞.
根据比值不变性,
引理 5.43. 我们仍有特征值的 Pinching 估计:
lim
t→T
回忆,
S̃
1
−
2
3
R̃
!
= 0.
1
1
(λ̃ − µ̃)2 + (λ̃ − ν̃)2 + (µ̃ − ν̃)2 ,
S̃ − R̃2 =
3
3
结合 S̃, R̃ 的有界性与以上夹挤估计, 可知 Ric 的任两个特征值比值 → 1, 当 t → ∞, 又
R̃max
→ 1, 故截面曲率 K 满足 41 -pinched 条件. (根据球面定理, M 的万有覆盖拓扑同胚于
R̃min
球面.) 这里, 我们只需要一个 Klingenberg 的单射半径估计:
引理 5.44 (Klingenberg). 假设 (M, g) 是 n ≥ 3 维单连通的 Riemann 流形, 截面曲率满足
1
H < K ≤ H,
4
其中 H > 0 是常数. 那么, M 的单射半径满足以下估计
π
inj(M ) ≥ √ .
H
将此结果应用于 M 的万有覆盖 M̃ , 注意到, H 与 R̃min 是等比例的, 由单射性,
−3
2
C R̃min
≤ Vol(M̃ ) = |π1 (M )| · Vol(M ) = |π1 (M )| < ∞,
因此, 我们得到
引理 5.45. 存在常数 ε > 0, 使得
R̃min ≥ ε, ∀t ∈ [0, +∞).
5.8
指数收敛性与主定理的证明
56
5.8 指数收敛性与主定理的证明
为陈述方便, 我们称张量 P 的次数 (degree) 为 n, 是指
P̃ = ψ n P,
其中 P̃ 是标准 Ricci 流下对应的张量. 先建立演化方程上的关系:
引理 5.46. 假设 P 在非标准 Ricci 流下, 满足如下形式的演化方程
∂P
= ∆P + Q,
∂t
那么, Q 的次数为 n − 1, 在标准 Ricci 流下, P̃ 满足
∂ P̃
˜ P̃ + Q̃ + 2 nr̃P̃ .
=∆
3
∂ t̃
(5.32)
˜ = g̃ ik ∇
˜ i∇
˜ k = ∆ , 故非标准化方程的前两项均为 n − 1 次, 因此,
证明. 注意到, ∂∂tt̃ = ψ, ∆
ψ
deg Q = n − 1, 进而
ψ
∂ −n
˜ −n P̃ ) + ψ −n+1 Q̃,
(ψ P̃ ) = ψ ∆(ψ
∂ t̃
即
∂ P̃
n ∂ψ
˜ P̃ + Q̃ = ∆
˜ P̃ + Q̃ + 2 nr̃P̃ .
P̃ + ∆
=
ψ ∂ t̃
3
∂ t̃
d
最后一个等号源于 (3.2) 节的计算结果: dt
log ψ = 23 r.
注记 5.47. 综合这两节的结果, 我们已经得到: 标准化 Ricci 流方程在 [0, ∞) 上有解, 且满
足
0 < ε ≤ R̃min ≤ r̃ ≤ R̃max ≤ C, εR̃g̃ij ≤ R̃ij ≤ R̃g̃ij ,
且
R̃max
S̃
1
→ 1,
− → 0, t → ∞.
2
3
R̃min
R̃
我们下面证明, 以上极限是指数收敛的.
引理 5.48. 存在常数 δ, C > 0, 使得
1
S̃ − R̃2 ≤ Ce−δt .
3
(5.33)
指数收敛性与主定理的证明
5.8
57
证明. 根据 R 的上下有界性, 我们只需证明, f˜ = R̃S̃2 − 13 (f 的次数为 0) 指数衰减. 根据前
述引理, 与 (5.11)的计算, 取 γ = 2, 我们得到
∂ f˜ ˜ ˜ ˜ ˜
P̃
≤ ∆f + ∇X̃ f − 4 ,
∂ t̃
R̃3
其中 X = R2 ∇R, 次数为 0. 根据(5.12) 的估计, 在尺度变化下仍有,
1
1
1 2
2
P̃ ≥ ε S̃ S̃ − R̃ = ε2 R̃4 f ≥ ε6 f =: δf.
3
3
3
因此,
∂ f˜ ˜ ˜ ˜ ˜
≤ ∆f + ∇X̃ f − δ f˜,
∂ t̃
也即 (根据标准的 ODE 方法),
∂ δt̃ ˜
δ t̃ ˜
˜ eδt̃ f˜ + ∇
e
f
,
e f ⩽∆
X̃
∂ t̃
由极大值原理, 即完成了证明.
我们有以下的推论:
推论 5.49.
1
|R̃ij − R̃g̃ij | ≤ Ce−δt̃ .
3
证明. 只需注意,
X
1
|R̃ij − R̃g̃ij |2 =
3
1
((λ − µ) + (µ − ν))
3
2
1
≤ 100(S̃ − R̃2 ).
3
再来夹挤数量曲率的最值,
引理 5.50. 存在正常数 δ, C > 0, 使得
R̃max − R̃min ≤ Ce−δt̃ .
证明. 类似之前的手法, 我们定义
˜ 2
|∇R|
1 2
F̃ :=
+ 168 S̃ − R̃ ,
3
R̃
5.8
指数收敛性与主定理的证明
58
于是, F̃ 是 −2 次的. 根据先前数量曲率的梯度估计中的计算 (取 η = 0), 以及本节的引理,
我们有
∂
1 2
4
˜
F̃ ≤ ∆F̃ + 672R̃ S̃ − R̃ − r̃F̃
3
3
∂ t̃
˜ F̃ + Ce−δt̃ − δ F̃ ,
≤∆
这里, 我们使用了 S̃ − 31 R̃2 的指数衰减性, 与数量曲率的上下有界性. 因此,
∂ δt̃
˜ eδt̃ F̃ − C t̃ ,
e F̃ − C t̃ ≤ ∆
∂ t̃
′
由极大值原理, F̃ ≤ C ′ (1 + t̃)e−δt̃ ≤ C ′′ e−δ t̃ , 这就完成了证明.
推论 5.51.
1
|R̃ij − r̃g̃ij | ≤ Ce−δt .
3
证明. 由三角不等式,
1
1
1
|R̃ − r̃|
R̃max − R̃min
√
R̃ij − r̃g̃ij ≤ R̃ij − R̃g̃ij + √
≤ R̃ij − R̃g̃ij +
,
3
3
3
3
3
应用两个指数衰减估计, 我们就完成了证明.
注意到,
Z ∞
0
∂
g̃ij dt ≤ 2
∂ t̃
Z ∞
0
1
|R̃ij − r̃g̃ij |dt̃ ≤ 2C
3
Z ∞
e−δt̃ dt̃ < ∞,
0
满足收敛性定理的条件. 因此, 我们有
定理 5.52. 标准化 Ricci 流下, 度量会一致收敛到一个连续正定的张量 g̃ij (∞), 且满足收敛
性定理中的估计.
下面, 我们通过估计 g̃ij 关于时间的高阶导数, 来说明此收敛是 C ∞ 意义下的. 方法与
之前如出一辙. 由(5.28)的齐次性, 以及 3 维情形下 Ric 决定 Rm, 我们有
Z
Z
Z
2
2
2
d
m+1 ˜
m ˜
˜
˜ dµ̃,
(∇)m Ric
(∇)
Ric dµ̃ ≤ C max |Ric|
(∇) Ric dµ̃ + 2
M
dt̃ M
M
M
且 max | Ric | 有界 (根据前述衰减估计与数量曲率的上下有界性). 我们引入张量
M
1
Ẽij := R̃ij − r̃g̃ij ,
3
(5.34)
5.8
指数收敛性与主定理的证明
59
由 Levi-Civita 联络与度量的相容性, 我们有 (∇)m Ric = (∇)m E, ∀m > 0. 根据插值估
计(5.25), 我们有
Z
Z
m Z
˜ 2 dµ̃ ≤ C
|(∇) Ric|
m
M
m+1
1
m+1
|(∇)
|Ẽ| dµ̃
M
M
Z
Z
m
m+1 ˜ 2
−m
2
≤ Cε
|(∇)
Ric| dµ̃ + Cε
|Ẽ| dµ̃ .
m+1
˜ 2 dµ̃
Ric|
2
M
(5.35)
M
综合这些结果, 我们来证明
引理 5.53. 对任何 m ∈ N, 存在 Cm > 0, 使得
Z
˜ 2 dµ̃ ≤ Cm .
|(∇)m Ric|
M
证明. 我们选取 ε > 0, 使得 Cε ≤ 2, 综合上两式, 就有
Z
Z
2
d
m ˜
(∇) Ric dµ̃ ≤ C
|Ẽ|2 dµ̃,
dt M
M
根据 |Ẽ| 的指数衰减性, 积分, 我们就完成了证明.
由此, 应用(5.24), 我们立刻得到 Lp 范数的指数收敛性:
引理 5.54. 对任何 m > 0, 1 ≤ p < ∞, 我们有
Z
˜ m Ric|
˜ p dµ̃ ≤ Cm e−δt̃ .
|(∇)
M
对几何量 ((∇)m Ric) 的模长平方利用 Sobolev 不等式 (p > n) 以得到 max | Ric | 的控
制 (我们使用了 g̃ij 的估计, 保证 Sobolev 常数一致有界).
M
定理 5.55. 对任何 m > 0, 我们都有
˜ m Ric|
˜ ≤ Ce−δt̃ .
max |(∇)
M
由此, g̃ij 关于时间的所有高阶导数全部有界 (指数衰减), 故
g̃ij (t) → g̃ij (∞), t → ∞
是 C ∞ 意义下的. 进而, R̃ij (t) → R̃ij (∞) 也是 C ∞ 意义的收敛.
∂ ˜
根据 | ∂t
gi j|(= 2|Eij |) 的指数衰减估计, 我们知道
1
R̃ij (∞) = r̃(∞)g̃ij ,
3
于是, 极限度量具有常正曲率. 这就完成了定理(1.1) 的证明.
(5.36)