5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.1
Η
έ ν ν ο ι α
τ η ς
α κ ο λ ο υ θ ί α ς
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Κάθε συνάρτηση α : Ν → Ε, με πεδίο ορισμού το
σύνολο Ν των φυσικών αριθμών και σύνολο τιμών στο
μη μηδενικό σύνολο Ε, καλείται ακολουθία στοιχείων
του συνόλου Ε.
1.
. α(1)
2.
...
...
. α(2)
3.
. α(3)
...
ν.
Κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση του συνόλου Ν των
φυσικών αριθμών στο σύνολο ℜ των πραγματικών
αριθμών ονομάζεται α κ ο λ ο υ θ ί α π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν
α ρ ι θ μ ώ ν και συμβολίζεται ως εξής: α: Ν → ℜ
. α(ν)
...
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Οι τιμές κάθε ακολουθίας, δηλαδή οι τιμές α(1), α(2),…, λέγονται και όροι της
ακολουθίας.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 2‐
ν
H έκφραση α , η εικόνα δηλαδή του ν, συμβολίζεται ως αν, και καλείται ν‐οστός
ή γενικός όρος της ακολουθίας, ενώ οι φυσικοί αριθμοί λέγονται και δείκτες.
Γενικά ισχύει:
α1 → 1ος όρος
α(ν) = αν, για κάθε ν∈Ν
δείκτης
α2 → 2ος όρος
…
αν → νος ή γενικός όρος
Η γραφική παράσταση κάθε ακολουθίας αν, αποτελεί‐
ται από μεμονωμένα σημεία, μια και το πεδίο ορισμού
της είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών ή κάποιο
υποσύνολό του.
y
Α3
3
Α2
2
Α1
1
0
1
2
3
χ
Γενικότερα κάθε ακολουθία που θα συναντάμε θα είναι
κυρίως ακολουθία πραγματικών αριθμών και για λόγους συντομίας θα
αναφέρεται ως απλή ακολουθία.
Μία ακολουθία λέγεται αντίστοιχα πεπερασμένη ή άπειρη, εάν έχει αντίστοιχα
πεπερασμένο ή άπειρο πλήθος στοιχείων.
5.2
Κ α θ ο ρ ι σ μ ό ς
μ ι α ς
α κ ο λ ο υ θ ί α ς
1ος τρόπος
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καθορίζεται όταν
είναι γνωστός ο γενικός όρος της αν, σαν
απλή συνάρτηση του ν.
#
Παράδειγμα 1
Αν θεωρήσουμε την ακολουθία (αν), με γενικό όρο αν=
κά έχουμε καθορίσει τη συνάρτηση: α: Ν → ℜ: αν =
1
, ν∈Ν, ουσιαστι‐
ν
1
.
ν
Ο φυσικός αριθμός 1 απεικονίζεται στον πραγματικό αριθμό α(1) = α1 = 1,
που είναι και ο πρώτος όρος της ακολουθίας.
1
Ο φυσικός αριθμός 2 απεικονίζεται στον πραγματικό αριθμό α(2)= α2 =
2
που είναι και ο δεύτερος όρος της ακολουθίας.
…
Γενικά ο φυσικός αριθμός ν απεικονίζεται στον πραγματικό αριθμό α(ν)
1
= αν = , που είναι και ο ν‐οστός όρος της ακολουθίας.
ν
Ορίζεται έτσι η ακολουθία (αν) με όρους:
1 1
1
,
, …,
,…
1,
2 3
ν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
#
‐ 3‐
Παράδειγμα 2
(−1) ν
, ν∈Ν,
ν
(−1) ν
ουσιαστικά έχουμε καθορίσει τη συνάρτηση: β: Ν → ℜ: βν =
, με
ν
βάση την οποία υπολογίζουμε για κάθε φυσικό ν∈Ν, τους όρους της
ακολουθίας και έτσι ορίζεται η ακολουθία:
1
1
(−1) ν
‐ 1,
, ‐ , …,
,…
2
3
ν
Αν θεωρήσουμε την ακολουθία βν, με γενικό όρο βν=
#
Παράδειγμα 3
Η ακολουθία
#
#
1,
1 1
1
1
,
, …,
, …, έχει γενικό όρο: αν =
ν
ν
2 3
Παράδειγμα 4
Η ακολουθία 0, 2, 0, 2, …, 0, 2, …, έχει γενικό όρο: αν = 1 + (‐1)ν
Παράδειγμα 5
Αν απεικονίσουμε τους περιττούς φυσικούς αριθμούς στον αριθμό 0 και
τους άρτιους στον αριθμό 1, θα πάρουμε την ακολουθία 0, 1, 0, 1, …, 0, 1,
…, η οποία τελικά συμβολίζεται ως εξής:
⎧ 0 ,αν ν περιττός
Ν∈ ν → αν = ⎪⎨
⎪⎩ 1,αν ν άρτιος
2ος τρόπος
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καθορίζεται όταν είναι
γνωστή μια αναδρομική σχέση ή αναγωγικός
τύπος μεταξύ δύο συνεχόμενων όρων της
ακολουθίας, καθώς και όταν δίνονται ορισμένοι
από τους πρώτους όρους αυτής.
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται αναδρομική ακολου‐
θία,
ƒ Πρώτης τάξεως, όταν για τον πλήρη ορισμό της,
δίνεται ο πρώτος όρος της α1 και μια σχέση
(αναδρομής), με την οποία κάθε όρος της, εκτός του
πρώτου υπολογίζεται από τον προηγούμενο. Δηλαδή
ισχύει:
α1 = α ∈ ℜ, αν+1 = f(αν) ∀ ν∈Ν,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 4‐
ƒ
#
Δεύτερης τάξεως, όταν για τον πλήρη ορισμό της,
δίνονται ο πρώτος και δεύτερος όρος της α1 και α2 και
μια σχέση (αναδρομής), με την οποία κάθε όρος της,
εκτός των δύο πρώτων υπολογίζεται από τον
προηγούμενο. Δηλαδή ισχύει:
α1 = α ∈ ℜ, α2 = β ∈ ℜ, αν+1 = f(αν, αν‐ 1) ∀ ν∈Ν
Παράδειγμα
Αν θεωρήσουμε την ακολουθία (γν) με γ1 = 2 και γν+1 =
ν
, ∀ ν∈Ν
2 + γν
μπορούμε να ορίσουμε πλήρως την ακολουθία (γν), αφού:
γ1 = 2,
γ2 = γ1+1 =
1
1
1
=
= ,
2 + γ1
2+2 4
γ3 = γ3+1 =
1
1
=
1
2 + γ2
2+
4
=
8
, … και είμαστε σε θέση να ορίσουμε
9
οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας (γν).
Λ Υ Μ Ε Ν Ο
Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α
Να γραφτούν οι τέσσερις πρώτοι όροι και οι 20οι όροι των ακολουθιών:
α ) aν = 2ν 2 − 3
(−1)ν
2ν − 1
β ) βν =
Λ Υ Σ Η
α )
β )
a1 = 2 ⋅ 12 − 3 = −1
a2 = 2 ⋅ 2 2 − 3 = 5
a 3 = 2 ⋅ 3 2 − 3 = 15
a 4 = 2 ⋅ 4 2 − 3 = 29
a 20 = 2 ⋅ 20 2 − 3 = 797
(−1) 1
β1 =
= −1
2 ⋅1 − 1
β3 =
(−1) 3
1
=
2 ⋅ 3 −1 5
β 20 =
(−1) 20
1
=
2 ⋅ 20 − 1 39
(−1) 2
1
β2 =
=
2 ⋅ 2 −1 3
β4 =
(−1) 4
1
=
2 ⋅ 4 −1 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
‐ 5‐
Π Ρ Ο Σ
Λ Υ Σ H
1) Να γραφτούν οι πέντε πρώτοι όροι των ακολουθιών:
ν 2 −1
i) α ν =
ν +1
⎛ 1⎞
ii) α ν = ⎜ −
⎟
⎝ 10 ⎠
ν −1
iii) α ν = (− 1)
ν +1
⋅
1
ν
v) α 1 = 0, α ν +1 = α ν + 2
iv) α 1 = 3, α ν +1 = 2(α ν − 1)
2
2) Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες:
i) α ν = ν + 6
ii) α ν = 3
2
ν
iii) α ν = 2 − 1
3) Να βρεθεί ο ν‐οστός όρος της ακολουθίας με α 1 και α ν = ν ⋅ α ν − 1
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Κάθε ακολουθία αν, ν∈Ν είναι τελείως ορισμένη, όταν υπάρχει μία συνάρτηση
f: Ν → ℜ, που εκφράζει τον γενικό όρο αν της ακολουθίας και ισχύει αν = f(ν),
όπου f η γνωστή συνάρτηση του ν.
Μία ακολουθία δεν μπορεί να οριστεί πλήρως, αν δίνονται μόνο ορισμένοι από
τους αρχικούς της όρους και δε δίνεται ο γενικός όρος ή η αναδρομική σχέση.
Δηλαδή εάν θεωρήσουμε την ακολουθία (αν), με α1 = 1, α2 = 24, α1 = 34, …, είναι
δυνατό να σχηματιστεί η εντύπωση ότι πρόκειται για την ακολουθία (αν) με αν =
ν4, ν∈Ν, λανθασμένα βέβαια, μια και υπάρχει και η ακολουθία (βν) με βν = 10ν3 ‐
35ν2 + 50ν ‐ 24 , ν∈Ν, που έχει όρους: β1 = α1 =1, β2 = α2 =24, β3 = α3 =34, β4 =276 ≠α4 = 44
= 256.
Μερικές φορές ο δείκτης ν της αν παίρνει τιμές: 0, 1, 2, …, ν‐1, … Σε αυτή την
περίπτωση ο ν‐οστός όρος της ακολουθίας είναι ο αν‐1.
Το πλήθος των όρων μιας ακολουθίας (αν), ν∈ Ν, δεν είναι πεπερασμένο, ενώ
το σύνολο των όρων της είναι δυνατό να είναι πεπερασμένο. Το σύνολο αυτό το
συμβολίζουμε με α(Ν) και ορίζεται ως το σύνολο των πραγματικών αριθμών χ,
οι οποίοι είναι ίσοι με κάποιο όρο της ακολουθίας, δηλαδή:
α(Ν) = {χ∈ ℜ, υπάρχει ν∈Ν με αν= χ }
Για παράδειγμα, στο παράδειγμα 5, το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι
α(Ν) = { 0, 1}
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.3
Π ρ ά ξ ε ι ς
μ ε τ α ξ ύ
‐ 6‐
α κ ο λ ο υ θ ι ώ ν
Αρχικά ορίζουμε A το σύνολο όλων των πραγματικών ακολουθιών. Έτσι έχουμε μεταξύ δύο
ακολουθιών (αν), (βν) ∈ A , τις εξής πράξεις:
Ισότητα
Η βασική ισότητα στο A ορίζεται ως εξής:
∀ (αν), (βν) ∈ A , (αν) = (βν) ⇔ αν = βν ∀ ν∈ Ν.
Άθροισμα
Άθροισμα των (αν ) και (βν ), η ακολουθία (αν + βν),
δηλαδή:
α1 + β1, α2 + β2, …, αν + βν, …
Επομένως:
(αν ) + (βν ) = (αν + βν),
ν∈ Ν
Διαφορά
Διαφορά της (αν ) από τη (βν ), ονομάζεται η ακο‐
λουθία (αν ‐ βν), δηλαδή:
α1 ‐ β1, α2 ‐ β2, …, αν ‐ βν, …
Επομένως:
Γινόμενο
Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με (αν ),
ονομάζεται η ακολουθία (λαν), δηλαδή:
λα1, λα2, …, λαν, …
Επομένως:
λ(αν ) = (λαν),
ν∈ Ν
(αν ) ‐ (βν ) = (αν ‐ βν),
ν∈ Ν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 7‐
Γινόμενο
Γινόμενο των (αν ) και (βν ), ονομάζεται η ακολου‐
θία (αν ⋅ βν), δηλαδή:
α1 ⋅ β1, α2 ⋅ β2, …, αν ⋅ βν, …
Επομένως:
(αν ) ⋅ (βν ) = (αν ⋅ βν),
ν∈ Ν
Πηλίκο
Πηλίκο της (αν ) δια της (βν ), με βν ≠ 0 ∀ ν∈
Ν, ονομάζεται η ακολουθία (
αν
βν
), δηλαδή:
α1
, α2 ⋅ β2, …, αν ⋅ βν, …
β1
Επομένως:
(αν ) ⋅ (βν ) = (αν ⋅ βν),
ν∈ Ν
Απόλυτη τιμή
Απόλυτη τιμή των (αν ) και (βν ), ονομάζεται η
ακολουθία (αν ⋅ βν), δηλαδή:
α1 ⋅ β1, α2 ⋅ β2, …, αν ⋅ βν, …
Επομένως:
Τετραγωνική ρίζα
Τετραγωνική ρίζα μιας ακολουθίας (αν ) με
αν ≥ 0 ∀ ν∈ Ν, ονομάζεται η ακολουθία
( α ν ), δηλαδή:
( αν =
Επομένως:
(ν + 1) − 2
), ( α 2 ), …, ( α ν ), …
2(ν + 1) + 1
αν
=(
α ν ),
ν∈ Ν
(αν ) ⋅ (βν ) = (αν ⋅ βν),
ν∈ Ν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.4
Η
‐ 8‐
μ ο ν ό τ ο ν η
α κ ο λ ο υ θ ί α
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται α ύ ξ ο υ σ α , αν και
μόνο αν, κάθε όρος αν της ακολουθίας (αν) είναι
μεγαλύτερος ή ίσος με τον προηγούμενο.
Δηλαδή για την (αν ) ↑, ισχύει:
αν ≤ αν+1 , ∀ ν∈Ν,
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται γ ν η σ ί ω ς
α ύ ξ ο υ σ α , αν και μόνο αν, κάθε όρος αν αυτής, είναι
μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.
Δηλαδή για την (αν ),
ισχύει:
αν < αν+1 , ∀ ν∈Ν,
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται φ θ ί ν ο υ σ α , αν και
μόνο αν, κάθε όρος αν της ακολουθίας (αν) είναι
μικρότερος ή ίσος με τον προηγούμενο. Δηλαδή για την
(αν ) ↓, ισχύει:
αν ≥ αν+1 , ∀ ν∈Ν,
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται γ ν η σ ί ω ς φ θ ί ‐
ν ο υ σ α , αν και μόνο αν, κάθε όρος αν αυτής, είναι
μικρότερος από τον προηγούμενο.
Δηλαδή για την (αν ),
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
ισχύει: αν > αν+1 , ∀ ν∈Ν,
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 9‐
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται σ τ α θ ε ρ ή , αν και
μόνο αν, κάθε όρος αν της ακολουθίας (αν) είναι ίσος με
τον προηγούμενο. Δηλαδή για την (αν ), ισχύει:
αν = αν+1 , ∀ ν∈Ν,
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Κάθε ακολουθία (αν) η οποία ανήκει στις παραπάνω κατηγορίες, καλείται
μονότονη ακολουθία. Ειδικότερα εάν η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα ή
αύξουσα, καλείται γνησίως μονότονη ακολουθία.
Κάθε γνησίως μονότονη ακολουθία είναι και μονότονη, χωρίς να ισχύει όμως και
το αντίστροφο.
Κάθε ακολουθία (αν) απόλυτα φραγμένη ή απλά φραγμένη, δεν έχει μοναδικό
απόλυτο φράγμα.
Λ Υ Μ Ε Ν Α
Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Α
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
Να εξεταστούν ως προς την μονοτονία οι ακολουθίες:
i) (a n ) με αω= ν − 2
2ν + 1
ΛΥΣΗ
είναι αν+1‐αν=
(ν + 1 ) − 2
5
ν − 2
ν − 1
ν − 2
−
=
−
=
2 (ν + 1 ) + 1
2ν + 1
2ν + 3
2ν + 1
( 2 ν + 3 )( 2 ν + 1 )
0
για κάθε νεΝ* άρα αν+1‐αν>0 ⇔ αν<αν+1 για κάθε ν ε Ν* και η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 10 ‐
ii) (bν) με bν=ν+2+ln(ν+3)
bω+1 – bv =(n+1)+2+ln(ν+4)‐ν‐2‐ln(ν+3)=1+ln(ν+4) –ln(ν+3)=1+ln(
Όμως για κάθε vεN* ισχύει v+4 > v+3 ⇔
v+4
) , v ε N*
ν+3
v+4
v+4
> 1 ⇒ ln(
) > 0 ⇒ bv < bv + 1, vεN *
v+3
v+3
Άρα (bv) γνησίως αύξουσα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2
Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η ακολουθία (αν) =(‐1)νv
ΛΥΣΗ
αv+1‐ αν = (‐1)ν+1(ν+1)‐(‐1)νν=(‐1)ν(‐2ν+1).
Για ν=2 κ:άρτιος είναι αν+1‐αν=‐(2ν+1)<0.
Για v=2 κ‐1:περιττος είναι αν+1‐αν=2ν+1>0.
Η ακολουθία (αν) δεν είναι μονότονη.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3
Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία η ακολουθία (αν)με α1=2 και αν+1= 2 av + 5 , v ε Ν *
3
ΛΥΣΗ
αν+1 – αν = 2 av + 5 − av = 5 − av , v ε Ν * (1)
3
3
Βρίσκω το πρόσημο του 5‐αν συγκρίνοντας τους όρους της ακολουθίας με το 5.
Είναι α1=2<5. Υποθέτω ότι είναι ακ<5 ⇔ 2ακ+5<15 ⇔ 2ακ<10 ⇔ ακ<5 ισχύει. Άρα
αν<5 , ν ε Ν* και από την (1) προκύπτει αν+1‐αν>0 ,ν ε Ν* ⇔ (αν) γνησίως αύξουσα.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
Π Ρ Ο Σ
Λ Υ Σ H
Να εξεταστούν ως προς την μονοτονία.
i) (bv) με b1=2 και bv+1= bv +
ii) (αν) με αν=
3v
v +1
iii) (bv) με bv=
2v
v!
1
− 1 , vε Ν*
bv
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
iv) bv=
λν
(1 + λ )(1 + λ2 )......(1 + λν )
v) (αν) με α1=1 και αν+1=
vi) (αν) με αν=
‐ 11 ‐
,λ>0 .
3av + 2
,ν ε Ν*
4
v
3
v + ημ 2ν
vii) (αν) με αν= ν + 2 + ν + 1
ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ…
Θεωρώντας τη διαφορά Ρν =
αν + 1
αν
Εάν αν > 0, ∀ ν∈Ν, τότε:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
†
, ∀ ν∈Ν,
Θεωρώντας τη διαφορά Δν = αν+1 – αν, ∀ ν∈Ν,
ισχύουν:
Ρν > 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Ρν < 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
Ρν ≥ 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↑
Ρν ≤ 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↓
Δν > 0, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
Δν < 0, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
Δν ≥ 0, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↑
Δν ≤ 0, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↓
Εάν αν < 0, ∀ ν∈Ν, τότε:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Ρν > 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
Ρν < 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν),
Ρν ≥ 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↓
Ρν ≤ 1, ∀ ν∈Ν ⇔ (αν), ↑
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.5
Η
‐ 12 ‐
φ ρ α γ μ έ ν η
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
α κ ο λ ο υ θ ί α
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται ά ν ω φ ρ α γ μ έ ν η ,
αν και μόνο αν, υπάρχει πραγματικός αριθμός κ, τέτοιος
ώστε κάθε όρος αν της ακολουθίας (αν) να είναι
μικρότερος ή ίσος με κ. Δηλαδή:
αν ≤ κ ∈ ℜ, ∀ ν∈Ν,
Κάθε πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του κ
καλείται ά ν ω φ ρ ά γ μ α της ακολουθίας (αν), ν∈Ν.
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται κ ά τ ω φ ρ α γ μ έ ‐
ν η , αν και μόνο αν, υπάρχει πραγματικός αριθμός λ,
τέτοιος ώστε κάθε όρος αν αυτής, να είναι μεγαλύτερος
ή ίσος με λ. Δηλαδή:
αν ≥ λ ∈ ℜ, ∀ ν∈Ν,
Κάθε πραγματικός αριθμός μικρότερος ή ίσος του λ
καλείται κ ά τ ω φ ρ ά γ μ α της ακολουθίας (αν), ν∈Ν.
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται φ ρ α γ μ έ ν η , αν και
μόνο αν, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ και λ, τέτοιοι
ώστε κάθε όρος αν της ακολουθίας (αν) να είναι
μικρότερος ή ίσος με κ και μεγαλύτερος ή ίσος με λ.
Δηλαδή:
λ ≤ αν ≤ κ, κ,λ∈ ℜ, ∀ ν∈Ν,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 13 ‐
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται α π ό λ υ τ α φ ρ α γ ‐
μ έ ν η , αν και μόνο αν, υπάρχει θετικός πραγματικός
αριθμός μ, τέτοιος ώστε κάθε απόλυτος όρος |αν| αυτής,
να είναι μικρότερος ή ίσος με μ. Δηλαδή:
|αν| ≤ μ ∈ ℜ, ∀ ν∈Ν,
Κάθε πραγματικός θετικός αριθμός μεγαλύτερος του μ
καλείται α π ό λ υ τ ο φ ρ ά γ μ α της ακολουθίας (αν),
ν∈Ν.
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Κάθε ακολουθία (αν) άνω φραγμένη, δεν έχει μοναδικό άνω φράγμα. Το μικρό‐
τερο από τα άνω φράγματα είναι και το άνω πέρας της ακολουθίας, συμβολί‐
ζεται με sup(αν) και είναι μοναδικό.
Ο αριθμός ℓ∈R είναι το sup(αν), (ℓ= supαν) αν και μόνο αν ισχύουν:
ƒ
α ν ≤ ℓ,
∀ν∈N
ƒ
α ν1 > ℓ ‐ ε, ∀ε > 0, ∃ ν1 ∈N
Αντίστοιχα, κάθε ακολουθία (αν) κάτω φραγμένη, δεν έχει μοναδικό κάτω
φράγμα. Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα είναι και το κάτω πέρας της
ακολουθίας, συμβολίζεται με inf(αν) και είναι μοναδικό.
Ο αριθμός m∈R είναι το inf(αν), (m= infαν) αν και μόνο αν ισχύουν:
ƒ
α ν ≥ ℓ,
∀ν∈N
ƒ
α ν1 < ℓ + ε, ∀ε > 0, ∃ ν1 ∈N
Κάθε ακολουθία (αν) απόλυτα φραγμένη, δεν έχει μοναδικό απόλυτο φράγμα.
Κάθε κάτω ή πάνω φράγμα μιας ακολουθίας δεν ανήκει κατ΄ ανάγκη στο πεδίο
τιμών της. Για παράδειγμα, η ακολουθία αν = 1 , έχει κάτω φράγμα το 0, το οποίο
ν
δεν ανήκει στο πεδίο τιμών της.
Αν μία ακολουθία (αν), ν∈Ν, έχει μορφή κλάσματος δύο πολυωνύμων, δηλαδή
p( ν)
και ισχύει:
q( ν)
ƒ
βαθμός του p(ν) ≤ βαθμός του q(ν),
τότε η ακολουθία είναι φραγμένη
ƒ
βαθμός του p(ν) ≥ βαθμός του q(ν),
τότε η ακολουθία δεν είναι φραγμένη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ…
‐ 14 ‐
†
Για να αποδειχθεί ότι μία ακολουθία
(αν) είναι φραγμένη, αρκεί να δειχθεί
ότι είναι απόλυτα φραγμένη.
Για να αποδειχθεί ότι μία
ακολουθία (αν), ν∈Ν, δεν είναι
φραγμένη, πάνω φραγμένη ή
κάτω φραγμένη, ακολουθείται η
μέθοδος της άτοπο απαγωγής.
Εάν μια ακολουθία (αν), ν∈Ν, είναι
μονότονη, εν μέρει δίνει λύση στο
πρόβλημα του φράγματος.
#
Παράδειγμα 1
Για την ακολουθία αν = ν2 ισχύει αν>0, ∀ ν∈N. Επομένως είναι κάτω φραγμένη και το 0 είναι
ένα κάτω φράγμα αυτής.
#
Παράδειγμα 2
Για την ακολουθία αν = ‐ν2 ισχύει αν<0, ∀ ν∈N. Επομένως είναι άνω φραγμένη και το 0 είναι
ένα άνω φράγμα αυτής.
#
Παράδειγμα 3
Για την ακολουθία αν = sinν ισχύει │αν│=│sinν│≤ 1, ∀ ν∈N. Επομένως είναι απόλυτα
φραγμένη ή απλά φραγμένη.
Εφαρμογές
1.
1
n
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία a n = (1 + ) n είναι φραγμένη.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 15 ‐
Λ Υ Σ Η
a n = (1 +
= 1+
⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1
⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1
1 n
) = 1 + ⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ 2 + ....⎜ ⎟ k + ⎜ ⎟ n =
⎜ ⎟n
⎜ ⎟ n ⎜ ⎟n
⎜ ⎟n
n
⎝n⎠
⎝1⎠
⎝2⎠
⎝k⎠
n 1 n( n − 1) 1
n( n − 1)...( n − k + 1)
1
n2 1
⋅ +
⋅ 2 + ..... +
+ ...... + n ⟨1 + 1 +
⋅
+ ..... +
1 n
1⋅ 2
1 ⋅ 2.....k
2 n2
n
n
nk
1
1
1 1
1
1
⋅
... + n −1 ⟨1 + 1 + + 2 + .... + k −1 + ... n −1 + ... =
2 2
2
2
2
2 k −1 n k
1
= 1+
= 1+2 = 3
1 − 12
+
Άρα η (an) είναι άνω φραγμένη με ένα άνω φράγμα τον αριθμό 3. Επειδή όμως an ≥ 0, ∀nєN,
συνάγουμε ότι η (an) είναι φραγμένη.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να αποδειχθεί ότι είναι μονότονη και φραγμένη η ακολουθία (αν) με (αν)= v 4ν + 5ν ν ≥ 2
Απόδειξη
Για κάθε ν ε Ν* ισχύει
5ν<4ν+5ν<5ν+5ν ⇒ ν 5ν < ν 4ν + 5ν < ν 2 * 5ν ⇔ 5 < αν < 5ν 2 ≤ 5 * 2 = 10
Άρα η (αν) είναι φραγμένη
Είναι α1=9 και α2= 41 , α3= 3 189 δεν υπάρχει όρος α1 άρα α2>α3.
Θα δείξω ότι για κάθε ν ε Ν* ισχύει αν>αν+1.Είναι αν>αν+1 ⇔ ν 4ν + 5ν > ν +1 4ν +1 + 5ν +1 ⇔
ν +1
4
4
⎡ 4
⎤
5 ν ( )ν + 1 > 5ν +1 ( )ν +1 + 1 ⇔ ⎢( )ν + 1⎥
5
5
⎣ 5
⎦
ν
4
⎡ 4
⎤
> ⎢( )ν +1 + 1⎥ Επειδή 0< <1 είναι
5
⎣ 5
⎦
ν +1
ν +1
4
4
4
4
4 ⎤
4
⎡
⎡
⎤
> ⎢1 + ( )ν +1 ⎥
( ) v > ( ) v +1 , v ∈ N * ⇒ 1 + ( ) v > 1 + ( ) v +1 , v ∈ N * ⇒ ⎢1 + ( )ν ⎥
5
5
5
5
5 ⎦
5
⎣
⎣
⎦
Επειδή βρήκα ότι αν>αν+1 , ν ε Ν* η (αν) είναι γνησίως φθίνουσα.
ν
4
⎡
⎤
> ⎢1 + ( )ν +1 ⎥ ν ε Ν*
5
⎣
⎦
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.6
Η
έ ν ν ο ι α
‐ 16 ‐
τ η ς
υ π α κ ο λ ο υ θ ί α ς
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (βν), ν∈Ν καλείται υ π α κ ο λ ο υ θ ί α της
ακολουθίας (αν), ν∈Ν εάν αποτελεί σύνθεση της ακολου‐
θίας (αν) με μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών
αριθμών (κν), ν∈Ν και ισχύει:
βν = α κ ν , ∀ ν∈Ν
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Κάθε ακολουθία (αν), ν∈Ν μπορεί να διασπαστεί σε πεπερασμένο πλήθος υπακο‐
λουθιών.
Για παράδειγμα:
Η ακολουθία (αν), ν∈Ν, μπορεί να διασπαστεί στις υπακολουθίες (α2ν), ν∈Ν και
(αν) = (α2ν) + (α2ν‐1)
(α2ν‐1), ν∈Ν, δηλαδή ισχύει:
Επίσης η ακολουθία (αν), ν∈Ν, μπορεί να διασπαστεί και στις υπακολουθίες (α3ν‐
1), ν∈Ν, (α3ν), ν∈Ν και (α3ν+1), ν∈Ν, δηλαδή ισχύει:
(αν) = (α3ν+1)+ (α3ν)+ (α3ν‐1)
#
Παράδειγμα 1
Για την ακολουθία (κν), με κν = 2ν, ν∈N ισχύουν:
ƒ
Η (κν) είναι ακολουθία φυσικών αριθμών
ƒ
Η (κν) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ακολουθία (βν), με βν =ακν =α2ν, ν∈N είναι μια υ‐
πακολουθία της ακολουθίας (αν), ν∈N και έχει όρους: α2, α4, α6, …, α2ν, …
Η ακολουθία (βν) ονομάζεται λέγεται υπακολουθία με τους περιττούς δείκτες της ακο‐
λουθίας (αν), ν∈N.
κν+1 – κν = 2(ν+1) – 2ν = 2
Επομένως: κν+1 – κν > 0
κν+1 > κν
#
κν+1 – κν = 2(ν+1)‐1 – (2ν‐1) = 3
Επομένως: κν+1 – κν > 0
κν+1 > κν
Παράδειγμα 2
Για την ακολουθία (κν), με κν = 2ν‐1, ν∈N ισχύουν:
ƒ
Η (κν) είναι ακολουθία φυσικών αριθμών
ƒ
Η (κν) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ακολουθία (βν), με βν =ακν =α2ν‐1, ν∈N είναι μια
υπακολουθία της ακολουθίας (αν), ν∈N και έχει όρους: α1, α3, α5, …, α2ν‐1, …
Η ακολουθία (βν) ονομάζεται λέγεται υπακολουθία με τους άρτιους δείκτες της ακολουθίας
(αν), ν∈N.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
5.7
Ε ί δ η
‐ 17 ‐
α κ ο λ ο υ θ ί α ς
Συγκλίνουσα ακολουθία
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται σ υ γ κ λ ί ν ο υ σ α ,
όταν συγκλίνει σε έναν πραγματικό αριθμό α, δηλαδή,
εάν και μόνο αν για κάθε θετικό αριθμό ε υπάρχει ένας
θετικός αριθμός ν0 που εξαρτάται από το ε τέτοιος, ώστε
για κάθε ν > νο να ισχύει ⎜αν ‐ α ⎜< ε. Στην περίπτωση
αυτή γράφουμε limαν = α ή αν → α, α∈ℜ.
Συμβολικά ισχύει:
l i m α ν = α ή α ν → α ∈ℜ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ νο(ε)∈ Ν: με ν >
νο ∀ ν∈ Ν να ισχύει: ⎜αν ‐ α ⎜< ε
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Σε μία συγκλίνουσα ακολουθία ισχύει limαν = α, α∈ℜ και ο πραγματικός αριθμός
α καλείται όριο της ακολουθίας.
Δηλαδή για κάθε ε > 0 υπάρχει ν0∈N, ώστε για κάθε ν > ν0 , όλοι οι όροι αν
βρίσκονται στην περιοχή (α‐ε, α+ε). Πιθανώς λοιπόν οι πρώτοι ν0 όροι α1, α2, …,
ανo βρίσκονται εκτός της περιοχής.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Το μονοσήμαντο του ορίου:
Το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας (αν)
είναι μονοσήμαντα ορισμένο.
Απόδειξη:
Έστω ότι αν → α και αν → α΄, όπου α, α΄∈ℜ, με α ≠ α΄
α − α΄
α − α΄
> 0, άρα για ε =
> 0 ∃ ν1, ν2,
Τότε
2
2
τέτοιοι ώστε:
α − α΄
(1),
αν −α <
∀ ν > ν1, ισχύει:
2
α − α΄
∀ ν > ν2, ισχύει:
(2),
α ν − α΄ <
2
Τότε όμως ∀ ν > ν0 = max { ν1, ν2 }, ισχύουν συγχρό‐
νως οι (1), (2) και προσθέτοντάς κατά μέλη ισχύει:
α ν − α + α ν − α΄ < α ν − α΄ , ώστε για κάθε ν ≥ ν0
ισχύει:
α − α΄ = (α ν − α ) − (α ν − α΄) ≤
αν −α +
α ν − α΄ < α − α΄ , άτοπο γιατί δεν μπορει να ισχύει:
α − α΄ < α − α΄ .
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 18 ‐
Κάθε υπακολουθία συγκλίνουσας ακολουθίας
έχει το ίδιο με αυτή όριο.
Απόδειξη:
Έστω η ακολουθία (αν) που συγκλίνει στον
πραγματικό αριθμό α και (ακν) μια υπακολουθία
της, τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 ισχύει
⎜αν ‐ α ⎜< ε (1)
Έστω ν∈Ν με ν ≥ ν0, έχουμε κν ≥ ν, όπου (κν), ν∈Ν
είναι μία γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών
αριθμών και συνεπώς κν ≥ ν0.
Από την (1) παίρνουμε ⎜ακν ‐ α ⎜< ε ∀ ν > ν0
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜ακν ‐ α ⎜< ε και ακν → α.
Αν ρ∈Ν και α∈ℜ, τότε ισχύει:
αν → α ⇔ αν+ρ → α ή
Η διαγραφή ή προσθήκη όρων που
αντιστοιχούν σε πεπερασμένο πλήθος
δεικτών, δεν επηρεάζει τη σύγκλιση
μιας ακολουθίας.
Απόδειξη:
Η ακολουθία (αν+ρ) είναι υπακολουθία της (αν).
Άρα ισχύει:
αν → α ⇒ αν+ρ → α
Αρκεί να αποδειχθεί ότι αν αν+ρ → α ⇒ αν → α
Αφού αν+ρ → α , για ∀ ε > 0, ∃ ν1 = ν1(ε)∈Ν: ∀ ν ≥ ν1
ισχύει ⎜αν+ρ ‐ α ⎜< ε (1)
Θέτουμε ν0 = ρ +ν1 και ∀ ν ≥ ν0 = ρ +ν1 ⇒ ν – ρ ≥ ν1
και από την (1) έχουμε: ⎜α(ν‐ρ)+ρ ‐ α ⎜< ε ⇒ ⎜αν ‐ α ⎜< ε
και αν → α.
Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη.
Απόδειξη:
Έστω (αν ) ακολουθία με αν → α και ε = ε0 > 0,
άρα∀ ν ≥ ν0 = ν0 (ε0):
⏐αν⏐ = ⏐αν ‐ α + α⏐≤ ⏐αν ‐ α⏐ + ⏐α⏐, ∀ ν ≥ ν0 (1)
Εάν ν0 = 1, τότε: ⏐αν⏐< ⏐α⏐ + ε0 ≡ θ, ∀ ν∈ Ν
•
και επομένως η ( αν ) είναι απολύτως φραγμένη,
άρα και φραγμένη.
Εάν ν0 > 1, τότε θεωρούμε τους όρους: α1, α2,
•
α3, …, αν0 ‐1 και
θ ≡ max {⏐α1⏐, ⏐α2⏐, …, ⏐αν0 ‐1 ⏐, ⏐α⏐ + ε0 } (2)
Από τις (1), (2) ισχύει: ⏐αν⏐≤ θ, ∀ ν∈ Ν, επομένως
η ακολουθία (αν ) είναι πάλι φραγμένη.
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Για Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Υπάρχουν δηλαδή φραγμένες ακολουθίες που δε
συγκλίνουν.
Παράδειγμα αποτελεί η (αν ) ακολουθία με αν = (‐1)ν, ν∈ Ν η οποία, αν και φραγμένη⏐αν⏐ =
⏐(‐1)ν⏐= 1 ≤ 1, δε συγκλίνει.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 19 ‐
Απόδειξη:
Αφού ( βν ) φραγμένη, έπεται ότι είναι και απόλυ‐
τα φραγμένη και συνεπώς: ∃ θ > 0:
⏐βν⏐≤ θ, ∀ ν∈ Ν (1)
Αφού αν → 0, άρα ∀ ε > 0 άρα και
Το γινόμενο μηδενικής ακολουθίας επί
φραγμένης είναι μηδενική ακολουθία.
∀
ε
ε
> 0, ∃ ν0 = ν0 ( ) τέτοιος ώστε να ισχύει:
θ
θ
ε
⏐αν⏐< , ∀ ν ≥ ν0 (2)
θ
Άρα ∀ ν ≥ ν0, από τις (1), (2) ισχύει:
⏐αν * βν⏐ = ⏐αν⏐*⏐βν⏐ <
ε
* θ = ε.
θ
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Για κ = ‐1 ισχύει: αν → α ⇒ ‐αν → ‐α και επομένως: lim (κ * αν) = κ * lim (αν), ∀
κ∈ ℜ.
Πορίσματα: 5
αν → 0
κ∈ ℜ
⇒ κ * αν → 0
5
αν → α
κ∈ ℜ
⇒ κ * αν → κ * α
Αν η ( βν ) είναι μηδενική ακολουθία
ωκαι η ( αν ) ακολουθία τέτοια, ώστε ∀ ν
≥ ν1 ∈ Ν να ισχύει: ⏐αν⏐≤ θ⏐βν⏐, (θ >
0), τότε και η ( αν ) είναι μηδενική.
και
Απόδειξη:
Αφού βν → 0, άρα ∀ ε > 0 άρα και
∀
ε
ε
> 0, ∃ ν2 = ν2 ( ) τέτοιος ώστε να ισχύει:
θ
θ
ε
⏐βν⏐< , ∀ ν ≥ ν2
θ
Τότε όμως ∀ ν ≥ ν0 = max { ν1, ν2 }, θα ισχύουν
ταυτόχρονα
Απόδειξη:
Αφού βν → α, άρα ∀ ε > 0, ∃ ν2 = ν2(ε) τέτοιος ώστε να
ισχύει:
⏐βν ‐ α⏐< ε ⇔ α – ε < βν < α + ε, ∀ ν ≥ ν2(ε) (1)
ε
και επομένως:
θ
ε
⏐αν⏐≤ θ⏐βν⏐< θ *
= ε ∀ ν ≥ ν0
θ
⏐αν⏐≤ θ⏐βν⏐ και ⏐βν⏐<
Επομένως:
αν → 0
Επίσης, αφού γν → α, άρα ∀ ε > 0, ∃ ν3 = ν3(ε) τέτοιος
ώστε να ισχύει:
⏐γν ‐ α⏐< ε ⇔ α – ε < γν < α + ε, ∀ ν ≥ ν3(ε) (2)
Άρα ∀ ν ≥ ν0 = max { ν1, ν2 }, θα ισχύει:
α – ε < βν ≤ αν ≤ γν < α + ε ⇒
α – ε < αν < α + ε ⇔
⏐αν ‐ α⏐< ε, ∀ ν ≥ ν0
Επομένως:
αν → α
Ιδιότητα συγκλινουσών ακολουθιών:
Ισχύει: βν ≤ αν ≤ γν, ∀ ν ≥ ν1 ⇒ αν → α
βν → α και γν → α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 20 ‐
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Ειδική περίπτωση της παραπάνω ιδιότητας είναι:
Αν βν → 0 και ⏐αν⏐≤ βν, τότε αν → 0
Αν δύο ακολουθίες ( αν ) και ( βν ) συγκλί‐
νουν και ισχύει:
αν < βν, ∀ ν ∈ Ν
⇒ αν ≤ β
αν → α και βν → β
Απόδειξη:
Για την απόδειξη χρησιμοποιείται η μέθοδος της εις
άτοπο απαγωγής.
Έστω α > β.
•
Τότε
α ‐β
> 0 και επειδή αν → α, βν → β
2
υπάρχουν ν1, ν2 ∈ Ν με:
⏐αν ‐ α⏐<
α ‐β
, ∀ ν ≥ ν1 (1)
2
και
α ‐β
⏐βν ‐ β⏐<
, ∀ ν ≥ ν2 (2)
2
Άρα ∀ ν ≥ ν0 = max { ν1, ν2 } και προσθέτοντας
τις (1), (2) κατά μέλη ισχύει:
⏐αν ‐ α⏐+ ⏐βν ‐ β⏐< α – β (3)
•
Αλλά βν ‐ β ‐ αν + α ≤ ⏐βν ‐ β ‐ αν + α ⏐≤ ⏐βν ‐ β⏐ +
⏐αν ‐ α⏐ (4)
Άρα ∀ ν ≥ ν0 από τις (3), (4) παίρνουμε:
βν ‐ β ‐ αν + α < α – β, δηλαδή:
βν < αν ∀ ν ≥ ν0
Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί:
βν > αν , ∀ ν∈ Ν
Επομένως α ≤ β
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Πορίσματα:
5
αν → 0
⇒ α≤κ
αν < κ, ∀ ν∈ Ν
5
βν → β
λ < βν, ∀ ν∈ Ν
⇒ λ≤β
και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 21 ‐
Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ
Όριο αθροίσματος:
Το όριο του αθροίσματος δύο συγκλινου‐
σών ακολουθιών είναι ίσο με το άθροι‐
σμα των ορίων τους. Δηλαδή αν limαν = α
και limβν = β, τότε υπάρχει το lim(αν + βν)
και ισούται με α + β. Συμβολικά ισχύει:
Απόδειξη:
Αφού αν → 0, άρα ∀ ε > 0 άρα και ∀
∃ ν1 = ν1 (
lim(αν + βν) = limαν + limβν
ε
> 0,
2
ε
) ≡ ν(ε) τέτοιος ώστε να ισχύει:
2
ε
, ∀ ν ≥ ν1 (1)
⏐αν ‐ α⏐<
2
Επίσης αφού limβν = β, ∃ ν2 = ν2 (ε) τέτοιος ώστε να
ισχύει:
⏐βν ‐ β⏐<
ε
, ∀ ν ≥ ν2 (1)
2
Άρα, ∀ ε > 0 και ∀ ν ≥ ν0, ⇒
⏐(αν + βν) – (α + β)⏐= ⏐(αν ‐ α) – (βν ‐ β)⏐≤ ⏐αν ‐ α⏐+⏐βν ‐
β⏐<
ε ε
+
=ε
2 2
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0 (ε) :
⏐(αν + βν) – (α + β)⏐< ε, ∀ ν ≥ ν0 και υπάρχει το lim(αν
+ βν), για το οποίο ισχύει:
lim(αν + βν) = α + β = limαν + limβν
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για οποιοδήποτε πλήθος συγκλινουσών
ακολουθιών, αρκεί το τελευταίο να είναι πεπερασμένο:
lim(αν + βν+ …+ xν) = limαν + limβν + … + lim xν
Το αντίστροφο του ορίου ασθροίσματος δεν ισχύει πάντα.
Απόδειξη:
Ισχύει:
αν → α
βν → β
⇒
Επομένως ισχύει:
⇒
αν → α
‐ βν → ‐ β
⇒
αν + (‐ βν) → α + (‐ β)
αν ‐ βν → α ‐ β
Όριο διαφοράς:
Το όριο του διαφοράς συγκλινουσών ακο‐
λουθιών είναι ίσο με τη διαφορά των ορί‐
ων τους. Δηλαδή αν limαν = α και limβν =
β, τότε υπάρχει το lim(αν ‐ βν) ισούται με
α ‐ β. Συμβολικά ισχύει:
lim(αν ‐ βν) = limαν ‐ limβν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 22 ‐
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Σύμφωνα με την ιδιότητα του ορίου διαφοράς ισχύει επίσης ∀ ξ, ρ ∈ℜ
αν → α
βν → β
Όριο γινομένου::
Το όριο του γινομένου συγκλινουσών
ακολουθιών είναι ίσο με το γινόμενο των
ορίων τους. Δηλαδή αν limαν = α και
limβν = β, τότε υπάρχει το lim(αν ‐ βν) και
ισούται με α ‐ β. Συμβολικά ισχύει:
lim(αν * βν) = (limαν) * (limβν)
⇒
( ξ*αν + ρ*βν) → ξα + ρβ
Απόδειξη:
Έχουμε: αν βν ‐ αβ = αν βν ‐ ανβ + ανβ – αβ = αν(βν ‐ β) +
β(αν – α) (1)
Όμως οι ακολουθίες (βν ‐ β) και (αν ‐ α) είναι
μηδενικές και η (αν) φραγμένη
(επειδή είναι
συγκλίνουσα) και έτσι έχουμε:
⇒ αν(βν ‐ β) → 0 και
βν – β → 0
(αν) φραγμένη
αν – α → 0
β∈ℜ
⇒ β(αν ‐ α) → 0
και
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Η ιδιότητα του γινομένου ισχύει και για πλήθος συγκλινουσών ακολουθιών,
αρκεί το τελευταίο να είναι πεπερασμένο:
lim(αν * βν* …* xν) = limαν * limβν * … * lim xν
Ειδικότερα, εάν οι κ το πλήθος ακολουθίες είναι ίσες ισχύει:
αν → α ⇒ lim(αν)κ = (limαν)κ = ακ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 23 ‐
Όριο πηλίκου:
Αν limαν = α και limβν =β≠0 και ακόμη αν
βν≠0, ∀ν∈ Ν, τότε υπάρχει το lim(
ισούται με
αν
) και
βν
α
. Συμβολικά ισχύει:
β
lim(
Απόδειξη:
Έστω 0 ≠ βν → β ≠ 0.
δείξουμε ότι:
αν
α
)=
βν
β
αν
1
= αν
και άρα αρκεί να
βν
βν
Επίσης παρατηρούμε:
1
1
1
1
→
ή
‐ →0
βν
β
βν β
Έτσι ∀ ν∈ Ν έχουμε:
βν −β
β −βν
1 1
1
=
=
⋅ βν β
− =
βν β
βν β
βν β
βν β
(1)
Εξάλλου, αφού βν → β≠ 0, επομένως ∀ ε > 0 άρα και ∀
β
ε
> 0, ∃ ν0 = ν0 ( ) τέτοιος ώστε να ισχύει:
2
θ
β
, ∀ ν ≥ ν0
βν − β <
2
Αλλά β - β ν ≤ β ν − β = β ν − β
β
Επομένως, β ν − β <
β
⇒ βν < β ‐
2
1
2
Και συνεπώς:
<
, ∀ ν ≥ ν0
βν
β
Άρα:
1
βν β
<
2
β
=
2
2
Από τις (1), (2) ισχύει:
Απόδειξη:
Ισχύει:
x − y ≤ x − y , οπότε έχουμε:
α ν − α ≤ α ν − α , ∀ ν∈ Ν και αν – α → 0 αφού
Επομένως,
(
αν → 0
α ν − α → 0 και συνεπώς α ν → α
)
και τελικά:
lim α ν = α = lim α ν
Επομένως,
2
β
2
(2)
2
β2
≡ κ > 0.
1 1
1
1
→ , δηλαδή:
− →0⇒
βν β
βν
β
lim
1
1
1
= =
βν
β lim β ν
Τότε όμως έχουμε:
lim
⎛
⎛
αν
1 ⎞⎟
1 ⎞⎟
1
=(limαν) ⎜⎜ lim
= lim ⎜⎜ α ν
= (limαν)
⎟
⎟
βν
lim β ν
βν ⎠
βν ⎠
⎝
⎝
lim α ν
lim β ν
Απόδειξη:
•
Έστω α = 0, θα δείξουμε ότι
αν → 0
Αφού αν → 0 έπεται ότι: ∀ ε > 0, ∃ ν0= ν0(ε) ∈Ν: ∀
ν > ν0 να ισχύει ⎜αν ⎜< ε2 ∀ ν ≥ ν0
και ισούται με α .
Όμως ⎜αν ⎜< ε2 ⇒
α ν < ε, ∀ ν ≥ ν0.
Άρα
Όριο ρίζας:
Αν limαν = α, ∀ν∈ Ν, τότε ισχύει:
lim( α ν ) =
αν =
lim α ν
,∀ ν≥ ν0
1 1
2
−
< 2 β ν − β , ∀ ν ≥ ν0
βν β
β
Αλλά βν ‐ β → 0, γιατί βν → β και
=
Όριο απόλυτης τιμής:
Το όριο της απόλυτης τιμής μιας ακολουθίας
είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορίου της.
Αν limαν = α, ∀ν∈ Ν, τότε υπάρχει το lim( α ν )
, ∀ ν ≥ ν0
β2
=
•
Έστω α ≠ 0. Αφού αν → 0, ισχύει:
αν → 0
(αν − α ) → 0
Εξάλλου ισχύει:
αν −
Όμως:
α =
αν ‐
αν − α
αν +
α
<
1
α
⋅ ( α ν − α )→ 0
α → 0 και συνεπώς:
αν →
α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 24 ‐
`
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Από την ιδιότητα του ορίου της ρίζας, εξάγεται το συμπέρασμα ότι τα σύμβολα
lim και
επιτρέπεται να εναλλάσσονται αριστερά από την ακολουθία α ν, ν∈Ν.
Γενικά ισχύει:
Αν αν ≥ 0, ∀ ν∈Ν και limαν = α, τότε:
Έστω limαν = α > 0. Τότε υπάρχει:
ν o ∈ N , ∀ν > ν o ,
α
3α
< αν <
.
2
2
lim κ α ν = κ limα ν
Απόδειξη:
A
Έστω ε = >0 .
2
Εφόσων limαν = α ⇒ ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν >
α
α
α
⇒
‐
< αν ‐ α <
ν0 να ισχύει ⎜αν ‐ α ⎜<
2
2
2
α
3α
⇒
< αν <
2
2
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
3α
α
⟨α ν ⟨ . Πράγματι:
2
2
−α
−3α
Aim( −α ν ) = −α > 0 ⇒ ∃ν o ∈ N ,
< −α ν <
⇔
2
2
Αν Aimα ν = A < 0 , τότε υπάρχει ν o ∈ N , ∀ν > ν o ,
3α
α
< αν <
2
2
5 Αν Aimα ν = α > 0, τότε υπάρχει ν o ∈ N , ∀ν > ν o , α ν > 0
Πορίσματα:
5 Αν Aimα ν = α < 0, τότε υπάρχει ν o ∈ N , ∀ν > ν o , α ν < 0
5 Αν Aimα ν = e ≠ 0 , τότε υπάρχει ν o ∈ N , ∀ν > ν o ,
e
2
⟨ αν ⟨
3e
2
Εφόσων:
Aimα ν = e ⇒
Αν limαν = α ≠ 0 τότε υπάρχει:
ν o ∈ N , ∀ν > ν o ,
α
2
⟨ αν ⟨
3α
2
Aim α ν = e > 0 ⇒
∃n o ∈ N , ∀n⟩ n o ,
e
2
⟨ αν ⟨
3e
2
.
Απόδειξη:
A
Έστω ε = >0 .
2
Εφόσων limαν = α ⇒ ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
α
α
α
⇒
‐
< αν ‐ α <
ισχύει ⎜αν ‐ α ⎜<
2
2
2
α
3α
⇒
< αν <
2
2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 25 ‐
Απόδειξη:
Ισχύει:
Έστω limαν = e ≠ 0 και αν ≠ 0, ∀ ν∈Ν , τότε:
α −e
1
1
e − αν
.
− =
= ν
αν e
α νe
e αν
Aim
Απ’ την προηγούμενη όμως πρόταση,
ισχύει:
1
1
=
αν e
1 2
⟨
αν e
Άρα:
1
1
2
− <
⋅ αν − e ⇒
αν e e 2
⎡2
1
1
2
− <
( α ν − e)
α ν e e2
⎤
1
1
Όμως: Aim⎢ 2 (αν − e)⎥ = 0 ⇒ Aim =
αν e
⎣e
⎦
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η :
Κριτήριο μονοτονίας και σύγκλισης:
ƒ Έστω μια ακολουθία (αν) είναι αύξουσα και άνω
φραγμένη. Τότε είναι συγκλίνουσα και ισχύει:
limαν = e, όπου ε = supαν
ƒ Aν η αν είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη,
τότε είναι συγκλίνουσα και ισχύει:
limαν = e, όπου ε = infαν
Απόδειξη:
ƒ
Επειδή η an είναι άνω φραγμένη, θα υπάρχει το ελάχιστο άνω φράγμα, έστω α=supαν.
Tότε ως γνωστό θα ισχύουν:
α ν ≤ e , ∀ν ∈ N (1) και ∀ε > 0 , ∃νo ∈ N , α ν o > e − ε (2)
Έστω τώρα τυχόν ε > 0. Απ’ την (2) θα υπάρχει:
Επειδή όμως αν είναι αύξουσα, ∀ν > νo ⇒
Από την (1) όμως έχουμε:
νo ∈ N , ∀ν > νo , α ν o > e − ε
α ν > α νo > e − ε
α ν < e < e + ε.
Επομένως, ∀ε > 0 , ∃ν o ∈ N , ∀ν > ν o , e − ε < α ν o < e + ε ⇔
αν − e < ε ⇒
ΟΡΙΑ ΕΙΔΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ
ƒ
Έστω α ν = ν ν. Να αποδειχθεί ότι Aimα ν = 1.
Απόδειξη
∀ν∈Ν, προφανώς ισχύει ν ν = 1 + β ν , όπου β ν > 0. (γιατί ν ν > 1, ∀ν ∈ N)
Άρα ν = (1 + β ν )ν = 1 + νβ ν +
Aλλά Aim
2
=0⇒
ν−1
ν( ν − 1) 2
β ν + ... + β νν ⇒
2
Aimβ ν = 0. Άρα:
ν>
ν( ν − 1) 2
βν ⇒
2
Aim ν ν = 1
βν <
2
, ∀ν > 1
ν−1
Aimα ν = e
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
ƒ
‐ 26 ‐
Έστω α ν = ν λ , λ > 0. Να αποδειχθεί ότι Aimα ν = 1
Απόδειξη
Έστω λ > 1
∀ν ∈ N , ν λ , άρα υπάρχει β ν > 0 , ν λ = 1 + β ν , ∀ν ∈ N
Άρα λ = (1 + β ν )ν > 1 + νβ ν > νβ ν ⇒ β ν <
λ
λ
, μια και Aim = 0 ⇒
ν
ν
Aimβ ν = 0 .
Επομένως Aim ν λ = 1
Έστω λ < 1
Τότε:
ƒ
1
> 1 ⇒ (σύμφωνα με το προηγούμενο ) Aim ν α ν = 1
λ
Αν lim an = l ⟩ 0, τότε lim n an = 1
Απόδειξη
Εφόσων limαn = e > 0, θα υπάρχει νo ∈ N , ∀ν > νo , α ν o > e − ε.
Άρα: n
l n e
3l
⟨
= 1, lim n
= 1.
2 2
2
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα των συγκλινουσών ακολουθιών lim n an = 1.
ƒ
1
Αν an = (1 + ) n τότε η an είναι συγκλίνουσα και το όριό της είναι lim an = e, όπου
n
e=2,71….άρρητος υπερβατικός αριθμός
Απόδειξη
Έχουμε αποδείξει ότι η an είναι αύξουσα και άνω φραγμένη. Άρα θα είναι
συγκλίνουσα.
ƒ
Αν βn = ao + a1n + ... + ak nk , γ n = δo + δ1n + δ 2n2 + ... + δ λnλ (ak ⟩0, δ λ ⟩0) τότε lim n
Απόδειξη
Η απόδειξη είναι προφανής.
βn
=1
γn
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
ƒ
‐ 27 ‐
Αν β n = ao + a1n + a2 n
2
+ ... + ak n k (πολυώνυμο, k βαθμού ), τότε lim n β n = 1. (ak ⟩ 0)
Απόδειξη
n
k
a
a
a
a
β n = n n ⎡⎢ ok + k1−1 + ... + ak ⎤⎥ = ⎣⎡ n n ⎦⎤ ⋅ n ok + k1−1 + ... + a k
k
⎣n
⎦
n
n
n
( ) =1 =1
Αλλά ισχύει lim n n = 1 ⇒ lim n n
k
k
a
a
a1
⎛ ao
⎞
και άρα lim n ok + k1−1 + ... + ak
k +
k −1 + ... + ak ⎟ = a k
n
n
n
⎝n
⎠
να με προηγούμενη ιδιότητα. Άρα τελικά lim n β n = 1.
Επίσης lim ⎜
= 1, σύμφω‐
ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
+00
όπου λ>1
Limλ =
ν
ν → +00
0
όπου |λ|<1
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
i) Αν λ=0 είναι λν=0 , ν ε Ν* άρα limλν=0
ν → +00
ii) Aν λ>1 τότε υπάρχει ϑ >0 τέτοιος ώστε να ισχύει λ=1+ ϑ
Για κάθε ν ε Ν* ισχύει λν=(1+ ϑ )ν >1+ν ϑ >ν ϑ
λν> ϑ ν ,ν ε Ν*
Οπότε
Lim( ϑ ν) = +00
⇒ limλν =+00
ν → +00
ν → +00
iii) Αν 0<|λ|<1 τότε
1
> 1 και από την ii) προκύπτει
| λ |ν
lim
1
=+00 ⇒
| λ |ν
ν → +00
lim
1
ν
ν
=0 ⇔ lim | λ | = 0 ⇔ lim λ = 0
1
| λ |ν
με
ν → +00
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
‐ 28 ‐
Π Ρ Ο Σ
Να δείξετε ότι:
i) lim n a = 1
,
α>0
ii) lim ν ν = 1
iiii) lim (1 +
1
ν
) ν = lim (1‐
1
ν
)‐ν
Λ Υ Σ H
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 29 ‐
Μηδενική ακολουθία
Ο
ρ
ι
σ
μ
ό
ς
Μία ακολουθία (αν), ν∈Ν καλείται μ η δ ε ν ι κ ή , ή αν → 0, ή
limαν = 0, όταν για κάθε ανοιχτό διάστημα της μορφής: (‐ε,
ε), ε > 0 υπάρχει φυσικός αριθμός ν0, τέτοιος ώστε ∀ ν∈Ν, με
ν > ν0 να ισχύει:
αν ∈ (‐ε, ε) ⇔ ‐ε < αν < ε ⇔ ⎜αν ⎜< ε
Συμβολικά ισχύει:
limαν = 0 ή αν → 0
Ν να ισχύει: ⎜αν ⎜< ε
⇔ ∀ ε > 0, ∃ νο∈ Ν: με ν > νο ∀ ν∈
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Η μηδενική ακολουθία (αν) είναι μία συγκλίνουσα ακολουθία με όριο το μηδέν.
Ισχύει limαν = α ή αν → α, με α=0.
Μία μηδενική ακολουθία (αν), δε σημαίνει ότι οι όροι της είναι ίσοι με μηδέν.
Μάλιστα πολλές φορές συμβαίνει αν → 0 και όμως αν ≠ 0 ∀ ν∈Ν, για παράδειγμα
1
η ακολουθία (αν), με αν = , ν∈Ν.
ν
Η σταθερή ακολουθία (αν), με αν = 0 ∀ ν∈Ν είναι μηδενική ακολουθία.
#
Παράδειγμα 1
Να δειχθεί ότι η ακολουθία α ν =
ƒ
1
νκ
, κ > 0 είναι μηδενική.
Έστω τυχόν ε > 0, τότε ⎟αν⎟ < ε ⇔
1
ν
< ε ⇔ νκ ⋅ ε > 1 ⇒ νκ >
κ
1
⇔
ε
ν>
1
κ
(1)
ε
⎡ 1 ⎤
1
⎣ ε⎦
ε
Θέτουμε σαν ν 0 = ⎢ κ ⎥ και σύμφωνα με την (1) ισχύει: ∀ ν > ν0 ⇒ ν > κ
⇒ αν < ε
1
Άρα για το τυχόν ε > 0, υπάρχει ν > κ , ώστε ∀ ν > ν0 ⇒ α ν < ε . Επομένως:
ε
αν → 0 ή Aimα ν = 0
#
Παράδειγμα 2
Να δειχθεί ότι η ακολουθία α ν = ω ν , ω < 1 είναι μηδενική. Αφού ⎜ω ⎜< 1 ⇒
1
> 1. Άρα ∃ θ >
ω
ν
⎛ 1 ⎞
1
1
1
1
= 1 + θ ⇒ ⎜ ⎟ = (1 + θ) ν ≥ 1+ νθ > νθ >
0, ώστε
⇒
⇒
>
ν
⎜ω⎟
ω
ν
⋅θ
ν
⋅
θ
ω
⎝ ⎠
ων <
1 1
⋅
θ ν
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 30 ‐
1
1
<ε⇔ν>
.
θ⋅ν
θ ⋅ε
1
1
1
1
Έστω ν0 =
, τότε για τυχόν ε > 0, ∃ ν0 =
, ώστε ∀ ν > ν0 ⇒ ν >
⇔
<ε⇒
θ ⋅ε
θ⋅ε
θ ⋅ε
θ⋅ν
Για ε > 0, θα εξετάσουμε πότε ισχύει η ανισότητα:
ω ν < ε . Επομένως:
αν → 0 ή Aimα ν = 0
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Αν η ακολουθία (αν) είναι μηδενική, τότε η
ακολουθία (‐αν), ν∈Ν είναι μηδενική και
αντίστροφα.
Απόδειξη:
Αν αν → 0 , τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει ⎜αν ⎜< ε. Επειδή όμως ∀ ν∈Ν, ⎜αν ⎜ = ⎜⎜αν⎜⎜,
ισχύει:
⎜αν ⎜< ε ⇔ ⎜⎜αν ⎜⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜⎜αν⎜⎜< ε και ⎜αν ⎜→ 0.
Αντίστροφα:
Αν ⎜⎜αν ⎜⎜→ 0, τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει ⎜⎜αν⎜⎜< ε ⇔ ⎜αν ⎜< ε.
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜αν ⎜< ε και αν → 0.
Απόδειξη:
Αν αν → 0 , τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει ⎜αν ⎜< ε. Επειδή όμως ∀ ν∈Ν, ⎜αν ⎜ = ⎜‐αν ⎜,
ισχύει:
⎜αν ⎜< ε ⇔ ⎜‐ αν ⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να ισχύει
⎜‐ αν ⎜< ε και ‐ αν → 0.
Αντίστροφα:
Αν ‐ αν → 0, τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει ⎜‐ αν ⎜< ε ⇔ ⎜αν ⎜< ε.
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να ισχύει
⎜αν ⎜< ε και αν → 0.
Αν η ακολουθία (αν) είναι μηδενική, τότε η
ακολουθία (⎜αν⎜), ν∈Ν είναι μηδενική και
αντίστροφα.
Αν η ακολουθία (αν) είναι μηδενική, τότε
κάθε υπακολουθία της είναι μηδενική.
Απόδειξη:
Έστω (βν), ν∈Ν υπακολουθία της (αν), ν∈Ν με βν = α κ ν ,
ν∈Ν.
Εάν (αν) μηδενική τότε ⎜αν ⎜→ 0 και ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν:
⎜αν ⎜< ε (1)
∀ ν > ν0 ισχύει:
Επειδή όμως κν
κν > ν ισχύει:
, ∀ ν > ν0, ισχύει κ ν > κ ν
0
και επειδή
κν > ν0 (2)
( 2)
( 1)
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 ⇒ κν > ν0 ⇒
⎜ α κ ν ⎜< ε, που σημαίνει ότι: α κ ν → 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 31 ‐
Απόδειξη:
Εάν (αν) μηδενική τότε ⎜αν ⎜→ 0 και ∀ ε > 0, ∃ ν0 =
ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜αν ⎜< ε (1)
Όμως ∀ ν > ν0, ισχύει:
ν+κ > ν (2)
Έτσι, ∀ ν > ν0 ⇒ ν + κ > ν0, οπότε η (1) θα ισχύει
εάν όπου ν βάλουμε το ν + κ: ⎜αν+κ ⎜< ε ⇔ ⎜βν ⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜βν ⎜< ε και βν → 0.
Αντίστροφα:
Αν ⎜βν ⎜→ 0, τότε ∀ ε > 0, ∃ ν1 = ν1(ε)∈Ν: ∀ ν > ν1
ισχύει ⎜βν ⎜< ε ⇔ ⎜αν+κ ⎜< ε (3).
Εάν ν0 = ν1 + κ, τότε ∀ ν > ν0 ⇒ ν ‐ κ > ν1, οπότε η
(3) θα ισχύει αν βάλουμε όπου ν το ν‐κ: ⎜αν‐κ+κ ⎜< ε
⇔ ⎜αν ⎜< ε.
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν1 + κ ∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜αν ⎜< ε και αν → 0.
Αν η ακολουθία (αν), ν∈Ν και παραλεί‐
ψουμε κ αρχικούς όρους της, τότε η ακο‐
λουθία (βν) που θα προκύψει με βν = αν+κ,
ν∈Ν είναι μηδενική και αντίστροφα.
Απόδειξη:
Αν αν → 0 , τότε ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει ⎜αν ⎜< ε.
Έστω θ = max{ ⎜α1 ⎜, ⎜α2 ⎜, …, ⎜ α ν0 ⎜, ε }, τότε:
⎜α1 ⎜≤ θ
⎜α2 ⎜≤ θ
…
⎜ α ν0 ⎜≤ θ
⇒ ⎜αν ⎜≤ θ, ν = 1, 2, …, ν0
(1)
ε≤θ
⇒ ⎜αν ⎜< ε ≤ θ, ∀ ν > ν0
Επομένως, ισχύει: ⎜αν ⎜≤ θ, ∀ ν∈Ν και η ακολουθία
(αν) είναι φραγμένη.
Αν η ακολουθία (αν) είναι μηδενική, τότε
είναι φραγμένη.
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ! !
Το αντίστροφο στην παραπάνω ιδότητα δεν ισχύει πάντα.
Για παράδειγμα:
Η ακολουθία (αν), με αν = (‐1)ν, ν∈Ν, παρόλο που είναι φραγμένη δεν είναι
μηδενική.
Για ε =
1>
1
2
1
2
, ισχύει: ⎜αν ⎜ = ⎜(‐1)ν ⎜=
= ε ∀ ν∈ Ν
Απόδειξη:
ε
>0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν:
θ
ε
∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜αν ⎜<
(1)
θ
Επειδή βν, ν∈Ν είναι φραγμένη, τότε ∃ θ∈ℜ*,
ώστε ∀ ν∈Ν, να ισχύει:
⎜βν ⎜< θ (2)
Επειδή αν → 0, τότε ∀ ε > 0 και
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜αν * βν ⎜= ⎜γν ⎜< ε και γν = αν *βν →0
⎜αν ⎜ = ⎜(‐1)ν ⎜= 1 ≤ θ ∀ ν∈Ν
και ∀ θ∈ℜ
Αν η ακολουθία (αν), ν∈Ν είναι μηδενική και
η ακολουθία (βν), ν∈Ν είναι φραγμένη, τότε
η ακολουθία (γν), με γν = αν * βν, ν∈Ν είναι
μηδενική.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 32 ‐
Αν οι ακολουθίες (αν), ν∈Ν και (βν), ν∈Ν
είναι μηδενικές τότε η ακολουθία (γν), με:
ƒ γν = αν + βν, ν∈Ν είναι μηδενική
Απόδειξη:
ε
>0, ∃ ν1 = ν1(ε) ∈Ν:
2
ε
∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜αν ⎜<
(1)
2
ε
Επειδή βν → 0, τότε ∀ε > 0 και >0, ∃ ν2 = ν2(ε) ∈Ν:
2
∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜βν ⎜< ε (2)
Επειδή αν → 0, τότε ∀ε > 0 και
2
Έστω ν0 =max{ν1,ν2}, θα ισχύει: ν1 ≤ ν0 ∧ ν2 ≤ ν0 (3)
( 3)
(1)
Όμως ∀ ν∈Ν ⇒ ν > ν1 ⇒ ⎜αν ⎜< ε
2
(+)
(2)
ν > ν2 ⇒ ⎜βν ⎜< ε
2
⎜αν ⎜+ ⎜βν ⎜<
⇒
ε ε
+ = ε, ∀ ν > ν0
2 2
(4)
Επίσης, ∀ ν∈Ν ισχύει: ⎜αν + βν ⎜ ≤ ⎜αν ⎜+ ⎜βν ⎜ και
σύμφωνα με την (4) ισχύει: ⎜αν + βν ⎜ ≤ ε, ∀ ν > ν0
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜γν ⎜ = ⎜αν + βν ⎜< ε και
γν = αν + βν → 0.
Αν οι ακολουθίες (αν), ν∈Ν και (βν), ν∈Ν
είναι μηδενικές τότε η ακολουθία (γν), με:
ƒ γν = αν ‐ βν, ν∈Ν είναι μηδενική
Απόδειξη:
ƒ Έστω ξ = 0, τότε και γν = 0, ∀ ν∈Ν, οπότε γν → 0
ƒ Έστω ξ ∈ℜ*, επειδή αν → 0 τότε ∀ε > 0 και
∃ ν1 = ν1(ε) ∈Ν: ∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜ αν ⎜ < ε
ξ
Απόδειξη:
Αν βν → 0, τότε και ‐βν → 0
Όμως αν → 0, οπότε: αν + (‐βν) → 0 ⇒ αν ‐ βν → 0
Αν οι ακολουθίες (αν), ν∈Ν και (βν), ν∈Ν
είναι μηδενικές τότε η ακολουθία (γν), με:
ƒ γν = ξ*αν, ν∈Ν είναι μηδενική
ε
>0,
ξ
⇔
ξ ⋅ α ν < ε ⇔ ξ ⋅ α ν < ε ⇔ ⎜γν ⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜γν ⎜ < ε και γν = ξ * αν → 0
Απόδειξη:
Επειδή αν → 0, τότε ∀ε > 0 και
ε >0, ∃ ν1 = ν1(ε)
∈Ν: ∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜αν ⎜<
Επειδή βν → 0, τότε ∀ε > 0 και
ε >0, ∃ ν2 = ν2(ε)
ε
(1)
∈Ν: ∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜βν ⎜< ε
(2)
Έστω ν0 =max{ν1,ν2}, θα ισχύει: ν1 ≤ ν0 ∧ ν2 ≤ ν0 (3)
( 3)
(1)
Όμως ∀ ν∈Ν ⇒ ν > ν1 ⇒ ⎜αν ⎜<
(2)
ν > ν2 ⇒ ⎜βν ⎜<
ε
ε
(⋅ )
⇒
⎜αν ⎜ ⋅ ⎜βν ⎜< ( ε ) 2 ⇒ ⎜αν ⋅ βν ⎜< ε
Αν οι ακολουθίες (αν), ν∈Ν και (βν), ν∈Ν
είναι μηδενικές τότε η ακολουθία (γν), με:
ƒ γν = αν * βν, ν∈Ν είναι μηδενική
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜γν ⎜ < ε και γν = αν ⋅ βν → 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 33 ‐
Αν η ακολουθία (βν), ν∈Ν, είναι μηδενική και
∃ κ∈Ν, ώστε ∀ ν > κ να ισχύει ⎜αν ⎜≤ ⎜βν ⎜, τότε η
(αν), ν∈Ν είναι μηδενική.
Απόδειξη:
Επειδή βν → 0, τότε ∀ ε > 0 , ∃ ν1 = ν1(ε)∈Ν: ∀ ν > ν1
ισχύει:
⎜βν ⎜< ε (1)
Έστω ν0 = max { ν1, κ}, θα ισχύει: ν1 ≤ ν0 ∧ κ ≤ ν0 (2)
( 2)
(1)
Όμως ∀ ν∈Ν ⇒ ν > ν1 ⇒ ⎜βν ⎜< ε
ν > κ ⇒ ⎜αν ⎜≤ ⎜βν ⎜
⇒ ⎜αν ⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να ισχύει
⎜αν ⎜< ε και αν → 0.
Αν για τις ακολουθίες (αν), ν∈Ν και (βν),
ν∈Ν, ισχύει ⎜αν ⎜≤ ⎜βν ⎜,∀ ν∈Ν και η (βν), ν∈Ν
είναι μηδενική, τότε η ακολουθία (αν), ν∈Ν
είναι μηδενική.
Απόδειξη:
Επειδή βν → 0, τότε ∀ ε > 0 , ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0
ισχύει:
⎜βν ⎜< ε (1)
Επειδή όμως ∀ ν∈Ν ⎜αν ⎜≤ ⎜βν ⎜, ∀ ν > ν0 ισχύει:
⎜αν ⎜< ε
Επομένως, ∀ ε > 0, ∃ ν0 = ν0(ε)∈Ν: ∀ ν > ν0 να
ισχύει ⎜αν ⎜< ε και αν → 0.
Αν για την ακολουθία (αν), ν∈Ν ισχύει
Απόδειξη:
Έστω θ = max{ ⎜α1 ⎜, ⎜α2 ⎜, …, ⎜ α ν0 ⎜, ε }, τότε:
α ν 0 +1
α ν0
α ν0 + 2
α ν 0 +1
≤θ
≤θ
(⋅)
⇒
αν
α ν0
< θν – ν0, ∀ ν > ν0
…
α ν +1
≤θ
αν
Επειδή lim θν = 0, για 0 < θ < 1, αν → 0
α ν +1
αν
≤ θ, με 0 < θ < 1, ∀ ν ≥ ν0 τότε η ακολουθία (αν),
ν∈Ν είναι μηδενική.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 34 ‐
ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ…
†
Ι Δ Ι Ο ΤΗ Τ ΕΣ Μ ΗΔΕΝΙΚ ΗΣ ΑΚ ΟΛ ΟΥΘΙ ΑΣ
ƒ αν → 0 ⇔ ‐ αν → 0
ƒ αν → 0 ⇔ ⎢αν ⎢→ 0
ƒ αν → 0 ⇔ α κ ν → 0
Βασικές μηδενικές ακολουθίες:
ƒ (αν), με αν = 0, ν∈Ν
1
ƒ
(αν), με αν =
ƒ
(αν), με αν = κ
ƒ
(αν), με αν = λν, ν∈Ν, λ∈ℜ: ⎜λ ⎜< 1
νκ
1
ν
, κ∈Ν, ν∈Ν
, ν∈Ν, κ∈Ν, κ ≥ 2
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
αν → 0 ⇔ αν+κ → 0
αν → 0 ⇔ αν φραγμένη
αν → 0 και βν φραγμένη ⇔ αν * βν → 0
αν → 0 ∧ βν → 0 ⇒ αν + βν → 0, αν ‐ βν → 0
αν * βν → 0,
ξ * αν → 0
ƒ
αν → 0 ⇔ κ α ν → 0, κ∈Ν, κ ≥ 2
ƒ
ƒ
βν → 0 ∧ ( ⎢αν ⎢≤ ⎢βν ⎢, ∀ν∈Ν ) ⇒ αν → 0
βν → 0 ∧ ( ⎢αν ⎢≤ ⎢βν ⎢, ∀ν > κ, κ∈Ν ) ⇒ αν → 0
Για να αποδειχθεί ότι μία ακολου‐
θία (αν), ν∈Ν, συγκλίνει στον πραγ‐
ματικό αριθμό α, αρκεί να δειχθεί
ότι η ακολουθία (βν), με βν = αν – α,
ν∈Ν είναι μηδενική.
Εφαρμογές
1.
Να αποδειχθεί ότι η a n = 43 + 1n + 3( −2 )n είναι μηδενική.
n
3
3
Λ Υ Σ Η
Ως γνωστό
Aim
n
n
⎛−2⎞
⎛1⎞
⎟ = 0.
= 0 , Aim⎜ ⎟ = 0 , Aim⎜⎜
3
⎟
n
⎝3⎠
⎝ 3⎠
1
Άρα και Aima n = 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 35 ‐
ka n +1 ⟨β n + γ n
2.
Έστω a n ⟩0 , βn ⟩0 , γ n ⟩0 , ∀n ∈ N και έστω ότι ∀n ≥ 1,
kβ n + 1 ⟨ γ n + a n
όπου k ∈ R , k⟩ 2.
kγ n + 1 ⟨a n + β n ,
Να αποδειχθεί ότι: Aiman = Aimβ n = Aimγ n = 0.
Λ Υ Σ Η
Προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις παραπάνω σχέσεις κι έχουμε:
k ( a n + 1 + β n + 1 + γ n + 1 ) ⟨ 2 ( a n + β n + γ n ) έ στω δ n = a n + β n + γ n τ ό τε η παραπ ά νω σχ έ ση γρ ά φεται :
δ n +1 2
⟨ ⟨1 .
δn k
Άρα σύμφωνα με προηγούμενη πρόταση: Aimδ n = 0 ⇒ Aim(a n + β n + γ n ) = 0.
a n ⟨a n + β n + γ n ⇒ Aima n = 0
Αλλά: β n ⟨a n + β n + γ n ⇒ Aimβ n = 0
γ n ⟨a n + β n + γ n ⇒ Aimγ n = 0
ΛΥΜΕΝA ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑTA
1) Να βρεθούν τα όρια των ακολουθιών
i) αν =
2ν + 1
ν −ν + 3
2
1
3
1
6
ii) (αν) με αν = (1‐ ) (1‐ )(1 −
2
1
)
)........(1 −
ν (ν − 1)
10
, ν>2
ΛΥΣΗ
i) Είναι lim αν ‐ lim
2ν
ν
2
= lim
2
ν
=0
ii) είναι 1‐
2
ν (ν − 1) − 2 ν 2 − ν − 2 (ν + 1)(ν − 2)
=
=
=
ν (ν − 1)
ν (ν − 1)
ν (ν − 1)
ν (ν − 1)
άρα
2
(ν + 1)(ν − 2)
=
ν (ν − 1)
ν (ν − 1)
1‐
, ν>2 (1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ‐ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ
‐ 36 ‐
θέτοντας στην (1) τους αριθμούς 3,4,5,6,……….ν έχουμε
1‐
1 4 1
= * ,
3 3 2
1−
1 5 2
= * ,
6 4 3
1−
1 6 3
= * ,
10 5 4
………………….
1−
2
ν +1 ν − 2
=
*
v(v − 1)
ν
ν −1
4 5 6
3 4 5
αν = ( * * .........
αν=
ν +1
3
*
ν +1 1 2 3
ν −2
)
) * ( * * ............
ν
ν −1
2 3 4
ν +1
1
=
ν − 1 3(ν − 1)
άρα limαν=lim
πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει
,ν>2
ν +1
ν 1
= lim
=
3(ν − 1)
3ν 3
ή