Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1
Angabenbogen
Prüfer: Prof. M. W. Gee
Freitag, 12. August 2011, 15:00–16:30 Uhr
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Bitte beachten:
• Es wird ausschließlich der Bearbeitungsbogen bewertet.
• Weitere Hinweise befinden sich auf dem Bearbeitungsbogen.
• Es dürfen prinzipiell keine individuellen inhaltlichen Fragen beantwortet werden. Sollte Ihrer
Meinung nach eine vermeintliche inhaltliche Unklarheit in der Fragestellung bestehen, ist dies
als Frage schriftlich auf der Rückseite der letzten Seite des Bearbeitungsbogens zu stellen.
Machen Sie sich durch ein Handzeichen bemerkbar. Die Frage wird geprüft, und gegebenenfalls werden die nötigen Informationen allen Studierenden gleichzeitig zugänglich gemacht.
c Fachgebiet Mechanik auf Höchstleistungsrechnern, TUM, 2011
°
A1
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 1
(17 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte ebene Tragwerk aus starren Stäben und einer starren Scheibe. Die
Scheibe ist im Punkt A fest gelagert. In den Punkten C und D ist ein ideales Fachwerk angeschlossen, welches zusätzlich im Punkt B verschieblich gelagert ist. An der Scheibe greift eine verteilte
Last wie eingezeichnet in negativer y-Richtung an. Diese hat über die Länge 2a den konstanten
Wert q0 und fällt dann über die Länge 6a linear auf den Wert 13 q0 ab. Im Punkt E wirkt eine Kraft F
in negativer x-Richtung. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Wie üblich sind
Stäbe mit positiver Normalkraft als Zugstäbe zu definieren.
Gegebene Größen: a, F, q0 , Koordinatensystem xy (Rechtssystem)
q0
1
q
3 0
A
a
C
D
2a
2a
4
3
B
y
2
x
2a
2a
2a
1
a
a
a
a
a
F E
a a a a a a
Alle Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar.
1.a)
Bestimmen Sie den Betrag |R| der Resultierenden der verteilten Last und geben Sie ihren
Angriffspunkt xres in positiver x-Richtung vom Lager A aus gemessen an.
1.b) Bestimmen Sie die Stabkräfte S1 und S2 in den Stäben 1 und 2 infolge der gegebenen
Belastung.
Im Bearbeitungsbogen ist eine Skizze des Systems gegeben.
1.c)
Markieren Sie eindeutig alle Nullstäbe in der Skizze im Bearbeitungsbogen. Zeichnen Sie
weiterhin einen geeigneten Ritterschnitt in die Skizze im Bearbeitungsbogen und bestimmen
Sie damit die Stabkraft S3 im Stab 3 infolge der gegebenen Belastung.
1.d) Ermitteln Sie die Stabkraft S4 im Stab 4 infolge der gegebenen Belastung. Verwenden Sie
dazu ein Verfahren Ihrer Wahl.
F ORTSETZUNG AUF DER N ÄCHSTEN S EITE !
A2
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Im Folgenden wird die Annahme, dass die im Tragwerk eingebaute Scheibe starr ist, fallen gelassen. Das Materialverhalten wird als linear-elastisch und isotrop mit Elastizitätsmodul E und Querkontraktionszahl ν angenommen. Die das Werkstoffverhalten beschreibende Matrix C ist gegeben
zu:


1 ν
0
E 
ν 1
0 
C=
1 − ν2
1−ν
0 0
2
In der Scheibe stelle sich unter Last ein Verschiebungsfeld u (x, y) ein:
#
¸ " x2
·
3
ux
2 a + 3 ay2
=
u (x, y) =
uy
2x − y
Zusätzlich gegebene Größen: u (x, y), C, E, ν
1.e)
Bestimmen Sie ausgehend vom gegebenen Verschiebungsfeld u(x, y) die Komponente σxx (x, y) des Spannungstensors σ(x, y) in der Scheibe.
A3
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Aufgabe 2
(13 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte ebene System. Die starre Scheibe ABCDE ist in den Punkten A, C und
D durch drei gelenkig angeschlossene Dehnstäbe 1 , 2 und 3 (jeweils konstanter Elastizitätsmodul E und konstanter Querschnitt A) gehalten. Das dehnbare Seil 4 (konstanter Elastizitätsmodul E, konstanter Querschnitt A) ist im Lager L befestigt und über die reibungsfreie Umlenkung U
(Radius vernachlässigbar) im Punkt E angeschlossen. Dadurch ist das System 1-fach statisch unbestimmt. Als Belastung greift im Punkt B ein Moment F a wie eingezeichnet an. Lagerbedingungen
und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.
Gegebene Größen: a, F , E, A
a
L
1
a
2a
A
Fa
B
2
Seil
a
C
4
a
U
D
E
reibungsfreie Umlenkung
(Radius vernachlässigbar)
45◦
3
a
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ausschließlich mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens. Verwenden Sie dazu als statisch Unbestimmte X1 die Stabkraft S3 im Stab 3 .
2.a)
Ermitteln Sie alle Stabkräfte Si0 mit i ∈ {1, 2, 3} als Index über alle drei Stäbe und die
Seilkraft S40 im Lastzustand.
2.b) Ermitteln Sie alle Stabkräfte S i mit i ∈ {1, 2, 3} als Index über alle drei Stäbe und die Seilkraft S 4 im Einheitszustand.
2.c)
Berechnen Sie die statisch Unbestimmte X1 .
Das angreifende Moment wird nun mit dem noch unbekannten Faktor α > 1 multipliziert. Es greift
also nun das Moment αF a im Punkt B an. Zusätzlich ist der Betrag |σzul | der zulässigen Spannung
für den Stab 1 gegeben.
Zusätzlich gegebene Größen: |σzul |
2.d) Mit welchem Faktor αmax darf das angreifende Moment maximal multipliziert werden, ohne
den Betrag der zulässigen Spannung im Stab 1 zu überschreiten?
A4
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Aufgabe 3
(16 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte ebene starre Rahmentragwerk, das in den Punkten A und B durch
zwei Auflager gehalten wird. Im Punkt G befindet sich ein Normalkraftgelenk. Belastet wird das
System durch eine Einzellast F im Punkt C und ein Einzelmoment ML = 5F ` im Punkt D wie
eingezeichnet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.
Gegebene Größen: `, F, ML = 5F `, Koordinatensysteme x1 z1 , x2 z2 , x3 z3 , x4 z4 , x5 z5 (Rechtssysteme)
2ℓ
ℓ
2ℓ
ℓ
2ℓ
A
x1
z1
z2
x2
2ℓ
G
z3
F
x3
ℓ
C
ℓ
D
z4
x4
ML = 5F ℓ
x5
B
z5
Alle Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar.
3.a)
Zeichnen Sie in die Freischnittskizze im Bearbeitungsbogen alle Lager- und Gelenkreaktionen des Systems ein und bezeichnen Sie diese sinnvoll.
3.b) Zeichnen Sie die Schnittgrößenverläufe der Normalkraft N , der Querkraft Q und des Biegemomentes M im gesamten Tragwerk in die vorgesehenen Skizzen im Bearbeitungsbogen
ein. Geben Sie dabei Vorzeichen, Nullstellen, Maxima- und Minimastellen, polynomiale Ordnung, charakteristische Werte sowie strukturparallele Tangenten an. Verwenden Sie die in
der Angabenskizze gegebenen Koordinatensysteme.
A5
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 4
(13 Punkte)
Gegeben ist das dargestellte ebene System. Die starren Balken 1 und 2 sind in den Punkten A
und B gelenkig gelagert. Sie sind mittels der starren Kreisscheibe 4 , welche in den Punkten D
und E gelenkig angeschlossen ist, verbunden. Im Punkt G ist der abgewinkelte starre Balken 3 ,
welcher im Punkt C gelenkig gelagert ist, gelenkig an die Kreisscheibe 4 angeschlossen. Die Belastung setzt sich zusammen aus einer dreiecksförmigen Linienlast mit Maximalwert q0 , welche wie
eingezeichnet in positiver y-Richtung auf den Balken 3 wirkt, einer Einzelkraft F im Punkt H in positiver x-Richtung sowie einem Einzelmoment ML im Punkt J wie eingezeichnet. Die Abmessungen
sind der Zeichnung zu entnehmen.
Gegebene Größen: b, q0 , F, ML , Koordinatensystem xy (Rechtssystem)
H
1
2b
b
1
2b
1
2b
1
2b
F
b
D
1
b
4
G
A
ML
E
y
b
2
B
J
3
P
C
x
q0
Es soll die Querkraft QP im Punkt P des Balkens 3 bestimmt werden. Das System soll ausschließlich mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit analysiert werden.
4.a)
Zeichnen Sie in die Skizze im Bearbeitungsbogen an der Stelle P ein geeignetes Gelenk
ein, das die Berechnung von QP ermöglicht. Die damit aus dem Tragwerkselement 3 entstehenden Tragwerksteile erhalten die Nummern 31 und 32 . Erstellen Sie anschließend
in der vorgesehenen Skizze im Bearbeitungsbogen einen Polplan mit vollständiger Beschriftung. Dabei ist jeweils der Hauptpol des Tragwerksteils i mit (0, i) und der gemeinsame
Nebenpol der Tragwerksteile i und j mit (i, j) eindeutig zu beschriften. Liegt ein Pol im
Unendlichen, so ist dies mit (0, i) → ∞ bzw. (i, j) → ∞ zu kennzeichnen.
4.b) Skizzieren Sie die Verschiebungsfigur zu dem in Aufgabe 4.a) gezeichneten Polplan.
4.c)
Ermitteln Sie über die Kinematik des Systems die virtuellen Bewegungen (Verdrehungen
bzw. Verschiebungen) der Systemteile 2 , 31 , 32 und 4 um ihre Hauptpole. Formulieren
Sie diese in Abhängigkeit der virtuellen Verdrehung δϕ1 des Balkens 1 um seinen Hauptpol.
4.d) Stellen Sie die Gleichung der virtuellen Arbeit zur Ermittlung der Querkraft QP in Abhängigkeit von δϕ1 und den gegebenen Größen auf. Die Gleichung muss nicht gelöst werden.
A6
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 5
(18 Punkte)
Gegeben ist der dargestellte, einteilige und in sich starre Rahmenträger. Der Rahmenabschnitt EAG
ist als Viertelkreisbogen mit Radius r ausgeführt. Der Balkenabschnitt DE steht senkrecht auf der
durch den Rahmenabschnitt EAGBC aufgespannten Ebene. Der Rahmenträger ist im Punkt A
durch ein 1-wertiges Lager, welches die Verschiebung in x3 -Richtung blockiert, und im Punkt C
durch ein 1-wertiges Lager, welches die Verschiebung in z3 -Richtung blockiert, gelagert. Des Weiteren wird er im Punkt B durch ein 4-wertiges Lager, welches als in x3 -Richtung verschiebliches
◦
Scharniergelenk ausgeführt ist,
√ gehalten. Im Punkt D greift unter einem Winkel von 45 zum Balkenstück DE eine Einzelkraft 2F an, welche wie eingezeichnet in der x1 y1 -Ebene wirkt. Des Weiteren greift im Punkt D ein Torsionsmoment MT = 23 F r in positiver x1 -Richtung an. Im Punkt C
wirkt eine weitere Einzelkraft F in negativer x3 -Richtung. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu
entnehmen.
Gegebene Größen: r, F, MT = 32 F r, Koordinatensysteme x1 y1 z1 , s2 y2 z2 und x3 y3 z3 (Rechtssysteme)
r
√
r
2F
45◦
D
MT = 32 F r
y1
C
r
r
x1
z1
E
z2
B
s2
A
y2
r
30
◦
F
x3
G
y3
z3
Alle Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar.
Zuerst werden nur die geraden Tragwerksteile DE und GBC betrachtet.
5.a)
Zeichnen Sie sämtliche Schnittgrößenverläufe in den beiden geraden Balkenabschnitten DE
und GBC infolge der gegebenen Belastung. Geben Sie dabei Vorzeichen, Nullstellen,
Maxima- und Minimastellen, polynomiale Ordnung, charakteristische Werte sowie strukturparallele Tangenten an. Verwenden Sie die gegebenen Koordinatensysteme xi yi zi mit
i ∈ {1, 3}. Im Viertelkreisbogen EAG müssen keine Schnittgrößen bestimmt werden.
Nun wird der Viertelkreisbogen EAG betrachtet.
5.b) Im Bearbeitungsbogen sind mögliche Verläufe für die Normalkraft N2 (s2 ) im Viertelkreisbo-
gen EAG, also im Bereich s2 ∈ [0, r π2 ], gegeben. Kreuzen Sie den qualitativ richtigen Verlauf
infolge der gegebenen Belastung an.
A7
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 6
(13 Punkte)
Gegeben ist ein ebener Balken AB der Länge 3`. Dieser ist bei x = 3` fest eingespannt. Er ist
biegestarr und schubstarr, kann sich also durch Biegemomente und Querkr
£ äfte
¤nicht verformen.
3
Eine Verformung in Balkenlängsachse ist möglich. Der ¤Balkenabschnitt
x ∈ 0, 2 ` besitzt die kon¤
stante Dehnsteifigkeit EA1 , der Balkenabschnitt x ∈ 32 `, 3` die konstante Dehnsteifigkeit EA2 .
Es gilt EA1 < EA2 . Der gesamte Balken besitzt einen konstanten Wärmeausdehnungskoeffizienten αT > 0. Das System ist einer Temperaturbelastung wie eingezeichnet unterworfen. Dabei wird
der Balkenabschnitt x ∈ ]2`, 3`] um eine konstante Temperaturdifferenz ∆T gekühlt.
£ Des
¤ Weiteren
3
wirkt eine verteilte Normalkraft, welche wie eingezeichnet im Balkenabschnitt
x¤ ∈ 0, 2 ` konstant
¤
mit dem Betrag n0 in positive x-Richtung und im Balkenabschnitt x ∈ 23 `, 3` konstant mit dem
Betrag n0 in negative x-Richtung wirkt. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen.
Gegebene Größen: `, ∆T , αT , n0 , EA1 , EA2 , EA1 < EA2 , Koordinatensystem xz (Rechtssystem)
3
2ℓ
1
2ℓ
n0
ℓ
∆T
B
A
x
αT
n0
z
EA1
EA2
Alle Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar.
6.a)
Skizzieren Sie qualitativ in die im Bearbeitungsbogen vorgefertigten Diagramme die Verläufe
der Normalkraft N (x), der Dehnung ε(x) und der Verschiebung u(x), die sich unter der
kombinierten Belastung aus Temperaturlast und verteilter Normalkraft ergeben. Geben Sie
dabei Vorzeichen, Nullstellen, polynomiale Ordnung sowie strukturparallele Tangenten an.
Kennzeichnen Sie Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke eindeutig. Verwenden Sie das
gegebene Koordinatensystem xz. Es müssen keine Werte angegeben werden.
F ORTSETZUNG AUF DER N ÄCHSTEN S EITE !
A8
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Zusätzlich wird das System nun durch weitere Lasten wie Linienlasten, Einzellasten und Einzelmomente belastet. Es stellt sich der skizzierte, bekannte Verlauf des Biegemomentes M (x) ein.
Zusätzlich gegebene Größen: M (x)
ℓ
ℓ
ℓ
B
A
z
x
linear
Knick
kubisch
Sprung
horizontale
Tangente
quadratisch
kein Knick
M (x) 0
6.b) Skizzieren Sie qualitativ den zum gegeben Verlauf des Biegemomentes M (x) zugehörigen
Verlauf der Querkraft Q(x) in das im Bearbeitungsbogen vorgefertigte Diagramm. Geben
Sie dabei Vorzeichen, Nullstellen, polynomiale Ordnung sowie strukturparallele Tangenten
an. Verwenden Sie das gegebene Koordinatensystem xz. Tragen Sie weiterhin in die Systemskizze im Bearbeitungsbogen die Belastung ein, die den gegebenen Momentenverlauf M (x) hervorruft. Kennzeichnen Sie Einzelmomente mit M , Einzellasten mit F und verteilte Lasten mit q unter Angabe der polynomialen Ordnung. Zeichen Sie die Belastungen in
ihrer tatsächlichen Wirkungsrichtung ein. Es müssen keine Werte angegeben werden.
A9
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1
Bearbeitungsbogen
Prüfer: Prof. M. W. Gee
Freitag, 12. August 2011, 15:00–16:30 Uhr
Name:
Hörsaal:
Sitzplatz:
Vorname:
Studiengang:
Matrikelnummer:
Hinweise:
• Die Angabe besteht aus 6 Aufgaben auf den Seiten A1–
A9. Der Bearbeitungsteil besteht aus den Seiten B1–B16.
Die Bögen bitte zusammengeheftet lassen!
• Tragen Sie zuerst Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikelnummer in die oben dafür vorgesehenen Felder ein.
• Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
Bitte nicht ausfüllen!
1
• Beantworten Sie nur die vorgelegten Fragen an den dafür
vorgesehenen Stellen auf dem Bearbeitungsbogen. Reicht
der Platz nicht aus, dann verwenden Sie bitte die Rückseiten des Bearbeitungsbogens.
• Ergebnisse müssen in die vorgesehenen Kästen bzw.
Zeichnungen eingetragen werden.
• Alle Ergebnisse sind in den gegebenen Größen und Koordinaten anzugeben, sofern nichts anderes verlangt ist.
Formel- und Bruchausdrücke müssen nicht vereinfacht
oder zusammengefasst werden.
• Zugelassene Hilfsmittel: Formelsammlung (6 Blätter DIN
A4 ohne inhaltliche Beschränkung) und ein nicht-programmierbarer Taschenrechner.
• Verwenden Sie bitte keine grüne Farbe!
B1
2
3
4
5
6
Σ
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Aufgabe 1
Aufgabe 1.a)
|R| =
xres =
Aufgabe 1.b)
S1 =
S2 =
B2
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Aufgabe 1.c)
q0
1
q
3 0
A
a
C
D
2a
2a
4
3
B
y
2
x
2a
2a
2a
F E
a a a a a a
S3 =
B3
1
a
a
a
a
a
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Aufgabe 1.d)
S4 =
Aufgabe 1.e)
σxx (x, y) =
B4
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Aufgabe 2
Aufgabe 2.a)
S10 =
S20 =
S30 =
S40 =
Aufgabe 2.b)
S1 =
S2 =
S3 =
S4 =
B5
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 2.c)
X1 =
Aufgabe 2.d)
αmax =
B6
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 3
Aufgabe 3.a)
A
G
G
F
C
D
ML = 5F ℓ
Aufgabe 3.b)
B7
B
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
A
N
G
C
D
B
A
Q
G
C
D
B
A
M
G
C
D
B8
B
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 4
Aufgabe 4.a)
1
2b
1
2b
b
H
1
2b
1
2b
b
D
1
b
A
4
G
2
E
J
P
32
B
b
31
C
Aufgabe 4.b)
1
2b
1
2b
b
H
1
2b
1
2b
b
D
1
b
A
4
G
2
E
J
P
32
B
b
31
B9
C
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 4.c)
Systemteil 2 :
Systemteil 31 :
Systemteil 32 :
Systemteil 4 :
Aufgabe 4.d)



δW = 

 δϕ1
B10
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Aufgabe 5
B11
y1
Mxi (xi)
y1
Ni (xi)
D
D
z1
z1
x1
x1
E
E
A
A
G
G
z3
z3
x3
x3
y3
y3
B
B
C
C
Aufgabe 5.a)
B12
y1
Mzi (xi)
y1
Qyi (xi)
D
D
z1
z1
x1
x1
E
E
A
A
G
G
z3
z3
x3
x3
y3
y3
B
B
C
C
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
B13
y1
Myi (xi)
y1
Qzi (xi)
D
D
z1
z1
x1
x1
E
E
A
A
G
G
z3
z3
x3
x3
y3
y3
B
B
C
C
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 5.b)
A
E
A
E
s2
y2
z2
s2
y2
z2
G
G
A
E
A
E
s2
y2
s2
y2
z2
z2
G
G
A
E
A
E
s2
y2
s2
y2
z2
z2
G
G
B14
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 6
Aufgabe 6.a)
ℓ
1
2ℓ
N (x)
ε(x)
u(x)
B15
1
2ℓ
ℓ
Modulprüfung – Engineering Mechanics 1, 12. August 2011
Aufgabe 6.b)
ℓ
ℓ
ℓ
Belastung
B
A
x
z
Q(x)
linear
Knick
kubisch
Sprung
horizontale
Tangente
quadratisch
kein Knick
M (x) 0
B16