CALENDARIO LEZIONI ANALISI 3 A.A. 2024-25
LEZIONE 1
Lun. 23.09.2024
*) Definizione di convergenza semplice o puntuale: funzioni da X ad R (X insieme
qualunque), e discussione della possibilità di estendere il concetto per
funzioni a valori in uno spazio metrico qualunque.
*) Unicità della funzione limite.(DIMOSTRATO)
*) Esempi che mostrano che convergenza puntuale non preserva
limitatezza/continuità/doppio limite/integrabilità/derivabilità.
*) Convergenza Uniforme. Verifica che implica la semplice alla medesima
funzione. (quindi unicità anche qui). (DIMOSTRATO)
LEZIONE 2
Mart. 24.09.2024
*) Proposizione: limite uniforme di limitate è limitato.(DIMOSTRATO)
*) Lo spazio B(X,R) (le limitate da X ad R) è vettoriale e il sup è una norma ed
e completo rispetto alla norma infinita. Ossia B(X,R) è di Banach.(DIMOSTRATO)
*) Proposizione: Sia X un sottoinsieme di R (o più in generale di uno spazio
topologico); limite uniforme di continue in x_0 è continuo in x_0.(DIMOSTRATO)
*) Lo spazio delle funzioni a valori reali continue e limitate e` spazio di
Banach, come sottoinsieme chiuso di quelle limitate.
LEZIONE 3
Gio. 26.9.2024
*) Teorema del doppio limite (DIMOSTRATO) e discussione sul teorema del doppio
limite.
*) Proposizione: limite uniforme in [a,b] di R-integrabili in [a,b]
è R-integrabile in [a,b]. Inoltre vale il passaggio del limite
sotto il segno integrale. (DIMOSTRATO).
*) Controesempi: il passaggio del limite sotto il segno di integrale può non
valere se la convergenza non è uniforme o se l'integrale è quello di Riemann
generalizzato su R.
*) Proposizione: derivazione della funzione limite. (Enunciato in generale e
discussione con esempi) DIMOSTRATO sotto l'ipotesi di derivate continue sul
dominio.
LEZIONE 4
Lun. 30.9.2024
*) Discussione: lo spazio lo spazio C^1B((a,b)) (derivabili su (a,b) con
derivate C e limitate) e la norma ||f|| + ||f'||.
*) Serie di funzioni: definizione di convergenza puntuale e uniforme.
Riguardo alla convergenza uniforme: Criterio necessario e sufficiente (Cauchy),
condizione necessaria (il termine generale tende a zero in norma sup), criterio
di Weierstrass (DIMOSTRATI).
*) Convergenza totale. Esempio: la convergenza totale implica la uniforme
e la assoluta ma è strettamente più forte. (DIMOSTRATO).
*) Limitatezza, continuita`, integrabilita` e derivabilita` della funzione
somma.
LEZIONE 5
Gio. 03.10.2024
*) Serie di potenze: nomenclatura ed esempi.
*) Lemma: se la serie converge in un punto w allora la serie converge in
(-|w|,|w|) e la convergenza è totale negli intervalli compatti contenuti.
(DIMOSTRATO)
*) Conseguenza: l’insieme D di convergenza è un intervallo.
*) Definizione di raggio di convergenza come sup di D.
*) Comportamento di una serie di potenze in funzione del raggio di convergenza
(DIMOSTRATO)
*) Criterio della radice (Hadamard) e del rapporto per il calcolo del raggio.
*) Alcuni semplici esempi.
*) Continuita` della somma (DIMOSTRATO)
*) Teorema di Abel: se la serie converge in w>0 allora la convergenza è
uniforme nel segmento [0,w]. (DIMOSTRATO) e corollario.
LEZIONE 6
Lun. 07.10.2024
*) Teorema di derivazione e di integrazione (DIMOSTRATO) e corollario.
*) Serie somma e serie prodotto secondo Cauchy e loro convergenze (NON
DIMOSTRATO)
*) Definizione di funzione sviluppabile in serie di Taylor con centro x_0. Le
somme di serie di potenze di centro x_0 e raggio non banale sono sviluppabili in
serie di Taylor in x_0 (DIMOSTRATO).
Esempio di funzione di classe C^\infty ma non sviluppabile in serie di Taylor
con centro in x=zero.
*) Condizione sufficiente sulla crescita delle derivate per la sviluppabilita`
in serie di Taylor (DIMOSTRATO).
*) Applicazione alle funzioni exp(x), sin(x), cos(x, (1+x)^a.
*) Funzioni definite implicitamente: discussione generale con esempi.
*) Proposizione: se (x,y) su [a,b]x[c,d] ha sezioni verticali continue,
strettamente monotone e con valori di segno opposto al bordo, allora il luogo
degli zeri di F in [a,b]x[c,d] coincide con il grafico di una funzione g:[a,b] --> [c,d].
LEZIONE 7
Gio. 10.10.2024
*) Osservazione: Se la funzione ha restrizioni verticali derivabili,
allora la monotonia può esser testata attraverso il segno della derivata
parziale di F rispetto y.
*) Teorema(Dini- caso per funzioni di 2 variabili a valori reali) (DIMOSTRATO.)
*) Teorema(Dini- caso a valori reali) (DIMOSTRATO anche per funzioni di n+1
variabili).
*) Corollario nelle ipotesi di Dini, se F è C^k (k\geq 1) allora g è C^k.
(DIMOSTRATO)
*) Formulazione della tesi nel Teorema di Dini a ruoli x e y "scambiati"
*) Discussione dei punti critici (ovvero quelli in cui \grad F = 0)
*) Teorema (Banach-Caccioppoli) se (X,d) è metrico completo e T:X --> X è
contrazione allora esiste ed è unico la soluzione di Tx = x (punto fisso).
(DIMOSTRAZIONE)
LEZIONE 8
Mart. 15.10.2024
*) Osservazioni e complementi al teorema delle contrazioni
*) Corollario: se (X,d) metrico completo e T:X ---> X tale che una sua
iterata T^k è contrazione, allora esiste ed è unico la soluzione di Tx = x.
*) Es. Il corollario non è vuoto: la mappa T(x) = cos(x) non è contrazione ma
T^2(x)=cos(cos(x)) lo è.
*) Lemma: se f:Omega in R^m ---> R^n è C^1 e Omega e' convesso allora
||f(x)-f(w)|| \leq M ||x-w|| dove le norme sono quelle euclidee e M è la norma
del sup dello Jacobiano.
*) Teorema (inv. locale): data f:Omega \in R^n ---> R^n, Omega aperto, fin
C^1(Omega).
Sia x_0 in Omega con Jf(x_0) invertibile. Allora esiste U(x_0) e V(f(x_0))
(intorni aperti dei punti) tale che f: U ---> V è biunivoca, l'inversa e' C^1(V)
e J(f^_{-1})(f(x)) = (Jf)^{-1}(x) per ogni x in U.
*) Inizio della dimostrazione del teorema di invertibilità locale (con metodo
del punto fisso).
LEZIONE 9
Gio. 17.10.2024
*) Fine dimostrazione del teorema di invertibilità locale.
*) Teorema (mappa aperta): sia f: Omega in R^n ---> R^n, Omega aperto e f di
classe C^1(Omega). Se Jf(x) invertibile per ogni x. Allora f è una mappa aperta,
ovvero, per ogni A in Omega, se A aperto allora anche f(A) è aperto.
(DIMOSTRAZIONE LASCIATA COME ESERCIZIO)
*)Diffeomorfismi locali in ogni punto non sono necessariamente globali.
*) Il teorema di invertibilita` locale e` invertibile.
LEZIONE 10
Lun. 21.10.2024
*) Teorema (Dini generale). Sia f(x,y):omega \in R^m x R^n ---> R^n, Omega
aperto, f di classe C^1. Supp che (x_0,y_0) sia un punto di Omega in cui:
f(x_0,y_0)=0 e J_y f(x_0,y_0) è invertibile.
Allora esistono U(x_0) e V(y_0) intorni aperti di x_0 e y_0 con chiusura di
UxV in Omega tali che il luogo degli zeri di f in UxV coincide con il grafico di
una funzione phi:U--> V. Inoltre phi è C^1(U) e J\phi(x) = - (J_y f)^{-1}
(J_x f)(x,\phi(x)) per ogni x in U.
(DIMOSTRAZIONE (come conseguenza del teorema di invertibilità)).
*) Estremi vincolati: discussione sul caso piu` semplice. Teorema dei
moltiplicatori di Lagrange(DIMOSTRAZIONE)(come conseguenza del Dini in generale)
LEZIONE 11
Gio. 24.10.2024
*) Discussione sul teorema del Dini: introduzione a spazio tangente e spazio
ortogonale in un punto dell'insieme degli zeri di una funzione.
*) Introduzione alle eq. differenziali: nomenclatura. Definizioni di ordine,
forma normale, Problema di Cauchy, soluzione locale/globale.
*) Esempi di non unicita` e di soluzioni solo locali per problemi di Cauchy.
*) teorema di esistenza (Peano) (SENZA DIMOSTRAZIONE).
LEZIONE 12
Gio. 31.10.2024
*) Operatore integrale di Volterra associato ad un Problema di Cauchy.
*) Teorema di esistenza e unicità locale: osservazioni ed esempi
*) DIMOSTRAZIONE del sul teorema di esistenza e unicita` locale (metodo di
punto fisso).
*) Osservazione: punti fissi continui dell’equazione di Volterra e soluzioni
locali del problema di Cauchy associato sono equivalenti.
*) Prolungamento di soluzioni, soluzioni massimali. Osservazioni.
LEZIONE 13
Lunedi 04.11.2024
*) Teorema di esistenza e unicita` di soluzioni massimali per problemi di
Cauchy. (DIMOSTRAZIONE).
*) Teorema di esistenza e unicità globale (con metodo di punto fisso).
(DIMOSTRAZIONE)
*) Equazioni lineari del primo ordine: soluzione globale di un problema di
Cauchy associato: formula risolutiva.
*) Dipendenza continua della soluzione dalla condizione iniziale:
Lemma di Gronwall (DIMOSTRAZIONE)
LEZIONE 14
Gio. 07.11.2024
*) Equivalenza di un PC di ordine k con uno di ordine uno vettoriale
(DIMOSTRAZIONE.
*) Equazioni lineari a coefficienti continui: teorema di esistenza ed unicità
globale della soluzione di un qualunque problema di Cauchy. (DIMOSTRAZIONE)
*) Operatore lineare associato alle equazioni differenziali lineari. Struttura
generale dell'insieme delle soluzioni. (DIMOSTRAZIONE).
Sospensione didattica 13-20 Novembre 2024
Gio. 14.11.24 I prova in itinere
LEZIONE 15
Gio. 21.11.2024
*) Dimensione delle soluzioni dell'equazione omogenea associata e indicazione di
una base (DIMOSTRAZIONE).
*) Matrice e determinante di Wronski: equazione differenziale per il
determinante di Wronski e conseguenze (DIMOSTRAZIONI).
LEZIONE 16
Lun. 25.11.2024
*) Determinare una soluzione della non omogenea nota una base per l'omogenea:
ovvero il metodo di variazione delle costanti. (DIMOSTRAZIONE)
*) Equazioni lineari a coefficienti costanti e omogenee: una base con
esponenziali e simili (DIMOSTRAZIONE).
LEZIONE 17
Gio. 28.11.2024
*) Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee: costruzione di una
soluzione nel caso di funzioni della forma q(x)*exp(\lambda x). (SENZA
DIMOSTRAZIONE)
*) Curve; definizioni di curva chiusa, semplice, regolare (ovvero C^1 e con
vettore derivato diverso da 0) e regolare a tratti.
*) Lunghezza di una curva per curve regolari a tratti.
*) Relazione di equivalenza (per diffeomeorfismi). Invarianza della lunghezza e
parallelismo dei vettori tangenti.
*) Relazione di equivalenza forte (o orientata) con diffeomeorfismi crescenti ed
invarianza del versore tangente. Curva orientata. Ascissa curvilinea.
LEZIONE 18
Lun. 2.12.2024
*) Campi vettoriali e forme differenziali: definizioni. Esempi: campo gradiente
e forma differenziale di una funzione.
*) Campi conservativi e forme esatte in un aperto: Definizioni ed esempi.
*) Il potenziale, se esiste, non e' unico.
*) Integrazione di campi vettoriali e forme differenziali lungo curve orientate.
*) Invarianza dell'integrale per curve orientate equivalenti.
*) Integrazione sulla curva con orientazione opposta e su concatenazione di
curve.
*) Aperti convessi, connessi, connessi per archi e stellati.
LEZIONE 19
Gio. 5.12.2024
*) Teorema (condizioni equivalenti alla esattezza: indipendenza da cammino e
nullità dell'integrale su curve chiuse (regolari a tratti, orientate)).
(DIMOSTRAZIONE)
*) Definizione di irrotazionalità (per campi) e chiusura (per forme).
*) Teorema (campi di classe C^1 e conservativi in A sono irrotazionali in A
ovvero, forme C^1 e esatte in A sono chiuse in A).(DIMOSTRAZIONE).
*) Osservazioni. Esempio di forma esatta, ma non chiusa in qualche aperto.
La forma "vortice" è chiusa ma non esatta nel piano bucato, ma e` esatta (ad
es.) nel semipiano destro e in tutto il piano privato di una semiretta chiusa
uscente dall’origine.
*) Teorema (Lemma di Poincare’) In aperti stellati le forme C^1 e chiuse sono
anche esatte. Enunciato e osservazioni.
*) Conseguenza: le bolle sono convesse (quindi stellate), per cui le forme C^1 e
chiuse sono sempre localmente esatte.
*) La forma vortice è esatta localmente (ma non esatta in R^2\{(0,0)}).
LEZIONE 20
Lun. 9.12.2024
*) Lemma di derivazione sotto il segno di integrale (DIMOSTRAZIONE)
*) Teorema (Lemma di Poincare’) In aperti stellati le forme C^1 e chiuse sono
anche esatte. (DIMOSTRAZIONE)
*) Il Lemma di Poincare’ e` solo sufficiente: esistono forme chiuse ed esatte in
aperti non stellati.
*) Definizione di omotopia tra curve ad estremi fissati.
*) Teorema di invarianza omotopica dell’integrazione di forme chiuse.
(DIMOSTRAZIONE sotto ipotesi di omotopia C^2).
LEZIONE 21
Gio. 12.12.2024
*) Applicazioni del teorema di invarianza omotopica: esempi.
*) Definizione di curve nullo-omotope: esempi. *) In un aperto, una curva chiusa
e` nullo-omotopa in p se e solo se e` omotopa ad una circonferenza “piccola”
passante per p.
*) In un aperto, l’integrale di una forma chiusa lungo una curva nullo-omotopa
e` nullo. (DIMOSTRAZIONE)
*) Definizione di semplicemente connesso. Esempi.
*) Gli aperti stellati sono semplicemente connessi. (DIMOSTRAZIONE)
*) Teorema di equivalenza di chiusura ed esattezza per forme di classe C^1 in
insiemi semplicemente connessi (DIMOSTRAZIONE)