DOSSIÊ DO PROFESSOR – RUMO À FÍSICA 11
11.º ANO EM RESUMO
DOMÍNIO 1: MECÂNICA
SUBDOMÍNIO 1: TEMPO, POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
1.1 TEMPO, POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E GRÁFICOS POSIÇÃO-TEMPO
Tempo
No estudo dos movimentos de um qualquer sistema mecânico que pode ser representado pelo seu
centro de massa é essencial conhecer a posição da partícula em cada instante.
Um instante (t) é o momento indicado por um cronómetro, medido a partir do início da contagem do
tempo, também designado a origem dos tempos. Já um intervalo de tempo (Δ𝑡), corresponde à
diferença entre o instante final e o instante inicial:
Δ𝑡 = 𝑡f − 𝑡i (s)
A linha que une o conjunto das posições sucessivas ocupadas por um corpo ao longo do tempo
designa-se trajetória, que pode ser retilínea ou curvilínea.
Exemplos de trajetórias: retilínea, deixada pelo rasto luminoso de meteoros (A) e curvilínea, assinalada pelo fumo
expelido pelo avião (B) ou pelo movimento das cabines de uma roda gigante (C).
Referencial
O estado de repouso ou de movimento e a trajetória dependem do referencial escolhido:
• Um referencial pode ser um corpo ou um sistema de coordenadas em relação ao qual é definida a
posição, a trajetória e o movimento da partícula em estudo.
• Uma partícula estará em movimento ou em repouso conforme a sua posição varia ou não em
relação ao referencial escolhido.
Posição
A posição (x ou y) de uma partícula pode ser determinada a partir das coordenadas cartesianas de
um referencial unidimensional– reta orientada, coincidente com a direção da trajetória e com uma
origem, O, arbitrada.
Um corpo move-se no sentido positivo se o sentido do movimento coincide com o sentido do
referencial cartesiano e move-se no sentido negativo se o sentido do movimento for contrário ao do
referencial cartesiano.
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Identificação do sentido positivo ou negativo do movimento a partir da orientação escolhida para o referencial.
Deslocamento
A distância percorrida ou espaço percorrido (d) é uma grandeza física escalar que corresponde ao
comprimento total da trajetória efetuada pela partícula. A distância percorrida é sempre positiva e a
sua unidade no SI é o metro (m).
O deslocamento (Δ𝑟⃗) é uma grandeza física vetorial e corresponde a um segmento de reta orientado
que une a posição inicial à posição final, indicando a variação de posição.
Numa trajetória retilínea, coincidente com o eixo Ox, em que a direção já é conhecida, pode simplificarse a análise do deslocamento referindo apenas o módulo do deslocamento (|Δ𝑥|), que indica apenas
a intensidade da grandeza, ou a componente escalar do deslocamento (Δ𝑥), que além da
intensidade indica o sentido do vetor deslocamento pois corresponde à diferença entre a posição final
e a posição inicial:
Δ𝑥 = 𝑥f − 𝑥i (m)
Embora o módulo do deslocamento seja sempre positivo, a componente escalar do deslocamento pode
ser:
• negativa, se a partícula se desloca no sentido negativo da trajetória;
• positiva, se a partícula se desloca no sentido positivo da trajetória.
Um deslocamento nulo pode significar que:
• a partícula esteve parada;
• a partícula terminou o seu movimento na mesma posição em que o iniciou.
Na viagem de Setúbal a Évora a distância percorrida é superior ao módulo do deslocamento.
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Conclusão:
Numa trajetória curvilínea a distância percorrida é sempre superior ao módulo do deslocamento.
Quando a trajetória é retilínea e não há inversão no sentido do movimento a distância percorrida
coincide com o módulo do deslocamento.
Pode haver uma distância percorrida com deslocamento nulo, se as posições inicial e final do
movimento coincidirem.
Gráficos posição-tempo
Para descrição de um movimento é possível utilizar:
Coordenadas de posição
sobre a trajetória
Tabela horária do movimento
t/s
y/m
0,0
3,1
0,2
2,9
0,4
2,4
0,6
1,4
0,8
0,0
Gráfico de posição em função do
tempo
Nota:
A linha do gráfico posição-tempo não coincide com a trajetória descrita pelo corpo, apenas descreve o
seu movimento.
Da análise de um gráfico posição-tempo (𝑥 = 𝑓(𝑡)), para um movimento retilíneo segundo uma
direção horizontal em relação a um dado referencial, além de ser possível identificar as várias posições
ocupadas pela partícula, é possível concluir que a partícula:
• passa na origem do referencial quando (𝑥 = 0 m);
(D)
• está parada ou em repouso, se a linha é horizontal (a
posição não varia, é constante); (B – C)
• se move no sentido positivo, se a linha é crescente (a
valor da coordenada de posição aumenta); (A – B e
C – E)
• move-se no sentido negativo, se a linha é
decrescente (o valor da coordenada de posição
diminui); (E – F)
• inverte o sentido do movimento num ponto máximo
ou mínimo. (E)
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1.2 VELOCIDADE MÉDIA, VELOCIDADE E GRÁFICOS POSIÇÃO-TEMPO
Enquanto a rapidez média, grandeza física escalar sempre positiva, indica a distância percorrida por
𝑑
uma partícula, em média, por unidade de tempo (𝑟m = Δ𝑡 ), a velocidade média (𝑣⃗m ) é uma grandeza
física vetorial que define a variação da posição de um corpo num determinado intervalo de tempo, cuja
unidade no SI é o m s−1 .
Tratando-se de um movimento retilíneo em que se usa um referencial unidimensional de eixo Ox,
sendo a direção conhecida, pode simplificar-se a análise da grandeza referindo-se apenas ao módulo
da velocidade média (|𝑣m |) ou à componente escalar da velocidade média (𝑣m ) que corresponde
a:
Se a partícula se desloca no sentido positivo, 𝑥f > 𝑥i ⇒ Δ𝑥 > 0 e 𝑣m > 0;
Δ𝑥
Se a partícula se desloca no sentido positivo, 𝑥f < 𝑥i ⇒ Δ𝑥 < 0 e 𝑣m < 0;
(m s−1 ) {
𝑣m =
Se a partícula está parada ou se a posição final coincide com a posição inicial,
Δ𝑡
𝑥f = 𝑥i ⇒ Δ𝑥 = 0 e 𝑣m = 0
A velocidade instantânea ou velocidade (𝑣⃗), num determinado instante, é o vetor para o qual a
velocidade média tende quando o intervalo de tempo se torna infinitamente pequeno. É uma grandeza
física vetorial com:
− direção tangente à trajetória na posição da partícula em cada instante.
− sentido do movimento da partícula: o valor positivo ou negativo da componente escalar
da velocidade da partícula depende do sentido positivo ou negativo do movimento,
respetivamente.
− intensidade que define a rapidez com que a partícula muda de posição.
Representação da velocidade em diferentes instantes, numa trajetória curvilínea (A) e retilínea (B).
Ainda que o velocímetro da mota indique sempre
o mesmo valor de velocidade (instantânea),
numa trajetória curvilínea a velocidade não é
constante pois varia em direção.
Numa trajetória retilínea, se o módulo da
velocidade não variar, a velocidade é
constante (em direção, sentido e
intensidade) e será também igual à
velocidade média (𝑣⃗ = 𝑣⃗m ) nesse
intervalo de tempo.
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É também o módulo da velocidade que define o
movimento adquirido pela partícula:
− Se o módulo da velocidade permanece
constante o movimento designa-se uniforme
e a partícula animada deste movimento
percorre distâncias iguais em tempos iguais.
− Se o módulo da velocidade aumenta o
movimento designa-se acelerado e a partícula
animada deste movimento percorre distâncias
cada vez maiores no mesmo intervalo de
tempo.
− Se o módulo da velocidade diminui o
movimento designa-se retardado e a partícula
animada deste movimento percorre distâncias
cada vez menores no mesmo intervalo de
tempo.
Representação da velocidade de um motociclista com
movimento uniforme, acelerado e retardado.
Gráficos posição-tempo
Num gráfico posição-tempo:
A componente escalar do deslocamento num determinado intervalo de tempo [𝑡i ; 𝑡f ] s determina-se
pela diferença entre a posição final, 𝑥f , e a posição inicial, 𝑥i , desse intervalo de tempo por leitura
desses valores no gráfico.
A componente escalar da velocidade média de uma partícula, com movimento retilíneo num dado
intervalo de tempo, corresponde ao declive da reta secante (a vermelho) que passa pelos pontos da
curva correspondentes aos extremos do intervalo de tempo considerado.
Note-se que:
• se a partícula passa do ponto A = (𝑡i ; 𝑥i ) para o ponto B = (𝑡f ; 𝑥f ), o declive será:
𝑥f − 𝑥i
Δ𝑥
=
= 𝑣m
𝑡f − 𝑡i
Δ𝑡
A componente escalar da velocidade de uma partícula num determinado instante corresponde ao
declive da reta tangente à curva nesse instante:
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• se o declive é positivo (𝑣 > 0) o movimento é no sentido positivo; (I e II)
• se o declive é negativo (𝑣 < 0) o movimento é no sentido negativo; (IV e V)
• se o módulo do declive é constante o movimento é uniforme;
• se o módulo do declive aumentar (aproxima da vertical) é acelerado; [10; 15] s
• se o módulo do declive diminuir (aproxima da horizontal) é retardado; [0; 5] s
• se o declive é nulo (𝑣 = 0) ou está em repouso, ou a inverter o sentido ou a alterar de movimento
retardado para acelerado ou vice-versa. (III)
1.3 ACELERAÇÃO E GRÁFICOS VELOCIDADE-TEMPO
A aceleração média (𝑎⃗m ) define-se como a variação da velocidade de um corpo num determinado
intervalo de tempo:
𝑎⃗m =
Δ𝑣⃗
(m s−2 )
Δ𝑡
A aceleração (𝑎⃗) é o vetor para o qual a aceleração média tende num intervalo de tempo infinitamente
pequeno e traduz o modo como varia instantaneamente a velocidade.
Num gráfico 𝑣 = 𝑓(𝑡):
• a componente escalar da aceleração média do corpo com movimento retilíneo corresponde ao
declive da reta secante que passa nos pontos do intervalo de tempo considerado;
• a componente escalar da aceleração num determinado instante, corresponde ao declive da reta
tangente à curva nesse instante.
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Num gráfico 𝒗 = 𝒇(𝒕), a aceleração média corresponde ao declive da reta secante, a verde, e a aceleração ao declive
da reta tangente, a vermelho (A), sendo iguais se o módulo da velocidade variar linearmente com o tempo (B).
Quando a componente escalar da velocidade varia linearmente com o tempo, ou seja, varia sempre
na mesma proporção para intervalos de tempo iguais:
− a componente escalar da aceleração é constante e coincide com o declive da reta do gráfico 𝑣 =
𝑓(𝑡);
− a aceleração média em qualquer intervalo de tempo é numericamente igual à aceleração.
− o movimento designa-se uniformemente variado.
Uma partícula com movimento curvilíneo está sempre sujeita a uma aceleração. Como a velocidade
muda constantemente de direção, além de poder variar também em módulo, o corpo possui uma
aceleração numa direção diferente da velocidade em cada instante.
Um corpo com movimento retilíneo pode não estar sujeito a aceleração se o módulo da velocidade
⃗⃗). Mas se existe aceleração, a
não variar, como acontece com o movimento retilíneo uniforme (𝑎⃗ = 0
sua direção será sempre coincidente com a direção da velocidade em cada instante e no:
− mesmo sentido da velocidade se o movimento é acelerado;
− sentido oposto à velocidade se o movimento é retardado.
Na análise de um gráfico velocidade-tempo de um movimento retilíneo pode concluir-se que o corpo:
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• está parado, se a curva do gráfico é uma linha horizontal sobre o eixo das abcissas (o módulo da
velocidade é nulo); (VII)
• inverte o sentido do movimento quando a curva do gráfico cruza o eixo das abcissas; (𝑡 = 4,0 s)
• move-se no sentido positivo se a curva está acima do eixo das abcissas; ([0,0; 4,0] s e [7,0; 9,0] s).
• move-se no sentido negativo, se a curva está abaixo do eixo das abcissas; ([4,0; 6,0] s)
• apresenta movimento uniforme, se a curva é uma linha horizontal (o módulo da velocidade mantémse constante); (III)
• apresenta movimento acelerado, se a velocidade aumenta em módulo (I, V e VIII) ou retardado se
a velocidade diminui em módulo (II, IV e VI), o que acontece se a linha da curva do gráfico se afasta
ou aproxima, respetivamente, do eixo das abcissas;
• apresenta movimento uniformemente acelerado se o módulo da velocidade aumenta linearmente
com o tempo (o módulo da aceleração é constante e se 𝑣 > 0 então 𝑎 > 0 e se 𝑣 < 0 então 𝑎 <
0); (I e V)
• apresenta movimento uniformemente retardado se o módulo da velocidade diminui linearmente com
o tempo (o módulo da aceleração é constante e se 𝑣 > 0 então 𝑎 < 0 e se 𝑣 < 0 então 𝑎 > 0);
(IV e VI)
• a componente escalar do deslocamento corresponde à soma de todas as áreas definidas entre a
curva do gráfico e o eixo das abcissas, afetadas do sinal positivo ou negativo, dependendo se a
área se encontra acima ou abaixo, respetivamente, do eixo das abcissas
• a distância percorrida sobre a trajetória corresponde à soma de todas as áreas definidas entre a
curva do gráfico e o eixo das abcissas.
Relembre que:
𝐴quadrado = ℓ2
𝐴triângulo =
𝑏×ℎ
2
𝐴trapézio =
𝐵+𝑏
× ℎ
2
Onde ℓ é o lado do quadrado, b é o comprimento da base, h é a altura e B é a base maior do trapézio.
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Subdomínio 2: Interações e seus efeitos
2.1 INTERAÇÃO GRAVÍTICA E TERCEIRA LEI DE NEWTON
Uma força é o resultado de uma interação entre dois corpos. Representa-se por 𝐹⃗ , sendo a unidade no SI o
newton, N. Como resultado dessa interação, a força exercida por um dos corpos provoca uma ação sobre o outro
que pode influenciar o estado de repouso ou de movimento do corpo. Se o corpo não se mover livremente, a
ação de uma força num corpo poderá provocar-lhe uma deformação.
As forças são grandezas vetoriais com:
• direção: a da reta segundo a qual a força atua.
• sentido: que indica a orientação da força numa dada direção.
• intensidade: que indica o módulo da força e corresponde à norma do
vetor, acompanhado da respetiva unidade.
• ponto de aplicação: Centro de massa do corpo.
Interações fundamentais na natureza
Os físicos explicam todas as interações observadas na Natureza através de quatro interações
fundamentais:
Ordem de grandeza
Gravítica
Eletromagnética
Nuclear forte
Nuclear fraca
do alcance / m
Ilimitado
Ilimitado
10−15
10−17
da intensidade relativa*
10−40
10−2
1
10−5
Responsável
pela atração
entre corpos
com massa.
Responsável pela
atração ou
repulsão entre
partículas com
carga elétrica ou
entre ímanes
Responsável
pela coesão
dos núcleos
atómicos
Responsável
pelo
decaimento
radioativo
Função
*obtida por comparação com a intensidade da força nuclear forte
Interação gravítica
De acordo com a Lei da Gravitação Universal, da interação entre dois corpos com massa resulta a
aplicação de uma força gravítica atrativa em cada um deles cuja intensidade é diretamente
proporcional ao produto das suas massas, 𝑚1 e 𝑚2 , e inversamente proporcional ao quadrado da
distância, 𝑟, entre os seus centros de massa:
𝐹g = 𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
A sua intensidade é fraca. Para se detetar o seu efeito, um dos corpos deve ter uma massa muito
elevada.
A força gravítica que a Terra, ou qualquer outro astro, exerce sobre um corpo, devido à interação
gravítica com esse corpo, é também designada por peso.
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Terceira Lei de Newton
De acordo com a Terceira Lei de Newton, quando dois corpos A e B interagem entre si, o corpo A
exerce sobre o corpo B uma força, 𝐹⃗𝐴 / 𝐵 , e o corpo B exerce uma força sobre o corpo A, 𝐹⃗𝐵 / 𝐴 , com a
mesma intensidade e direção, mas com sentido oposto:
𝐹⃗𝐴 / 𝐵 = −𝐹⃗𝐵 / 𝐴
• Um par de forças nestas condições constitui um par ação-reação, ocorrem em simultâneo e
resultam de uma mesma interação, logo são sempre da mesma natureza.
• Mesmo que as massas dos corpos que interagem sejam diferentes, ambas as forças têm a mesma
intensidade, mas o efeito que têm em cada um dos corpos, esse sim, depende da massa dos corpos.
• Não se pode considerar nulo o efeito deste par de forças, uma vez que atuam em corpos
diferentes.
O par ação-reação do peso do corpo encontra-se aplicado no centro do planeta.
Nota: a
representaçã
o não está à
escala.
2.2 EFEITO DAS FORÇAS SOBRE A VELOCIDADE
A atuação de uma força num corpo provoca a alteração do seu estado de repouso ou de movimento.
Quando a direção da força aplicada e a da velocidade não são as mesmas
pode decompor-se a força segundo duas direções perpendiculares:
• a direção da velocidade, tangente à trajetória e frequentemente
associada ao eixo Ox, designando-se essa componente como 𝐹⃗t .
• a direção normal, perpendicular à trajetória e frequentemente
associada ao eixo Oy, designando-se essa componente como 𝐹⃗n .
O efeito da força 𝐹⃗ aplicada no corpo será igual ao efeito conjunto do par de forças 𝐹⃗t e 𝐹⃗n :
• A componente de uma força que atua num corpo segundo a direção da velocidade, 𝐹⃗t , provoca
uma alteração no módulo da velocidade:
− aumentando-o (movimento acelerado), se a força tiver o sentido da velocidade.
− diminuindo-o (movimento retardado), se a força tiver sentido contrário à velocidade.
Se esta componente for nula, o módulo da velocidade permanece constante, logo o movimento será
uniforme.
• A componente de uma força que atua num corpo segundo a direção normal ou perpendicular à
velocidade, 𝐹⃗n , só provoca uma alteração na direção da velocidade. Se esta componente for nula
a direção da velocidade permanece constante e a trajetória é retilínea. Se existir apenas esta
componente e tiver uma intensidade constante e diferente de zero, o corpo descreve uma trajetória
circular.
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Características da força aplicada e
componentes da força
𝐹⃗ = 𝐹⃗t
𝐹⃗n = ⃗⃗
0
𝐹⃗ = 𝐹⃗y
⃗⃗
𝐹⃗n = 0
Efeito no movimento
Tipo de
trajetória
Retilínea
Tipo de movimento
Aceleração na mesma direção e sentido
da velocidade; aumenta o módulo da
velocidade.
– movimento retilíneo uniformemente
acelerado.
Retilínea
Aceleração na mesma direção, mas
sentido oposto da velocidade; diminui o
módulo da velocidade.
– movimento retilíneo uniformemente
retardado.
𝐹⃗ = 𝐹⃗n
Circular
𝐹⃗y = ⃗⃗
0
Existe aceleração numa direção
perpendicular à velocidade; altera a
direção da velocidade, o módulo fica
constante.
– movimento circular uniforme.
𝐹⃗ = 𝐹⃗y + 𝐹⃗n
Curvilínea
Existe aceleração numa direção diferente
da velocidade; altera a direção e o
módulo da velocidade.
– movimento variado.
2.3 SEGUNDA E PRIMEIRA LEIS DE NEWTON
Segunda Lei de Newton
A Segunda Lei de Newton ou Lei Fundamental da Dinâmica diz que a resultante das forças
aplicadas sobre um corpo é diretamente proporcional à aceleração por ele adquirida, sendo a
constante de proporcionalidade igual à massa do corpo.
𝐹⃗R = 𝑚𝑎⃗
⃗⃗ têm a mesma direção e o mesmo
Sendo a massa uma grandeza escalar sempre positiva, ⃗𝑭⃗𝐑 e 𝒂
sentido em cada instante e variam de forma proporcional. A expressão da componente escalar da
resultante das forças é então:
𝐹R = 𝑚𝑎
A linha do gráfico 𝐹R = 𝑓(𝑎) é uma reta que passa na origem, o que traduz a proporcionalidade direta
existente entre estas grandezas, em que o declive corresponde à massa do corpo.
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exemplo
Considere um corpo A de massa m e um corpo B de massa 2 m:
Como o declive da reta do gráfico 𝐹R = 𝑓(𝑎) corresponde à massa do
corpo, a reta correspondente ao corpo B terá o dobro do declive da reta
correspondente ao corpo A.
Aplicando forças de igual intensidade, nos dois corpos, verifica-se que o
corpo A adquire o dobro da aceleração do corpo B.
Como as componentes escalares da resultante das forças e da aceleração são diretamente
proporcionais, aplicando num corpo uma resultante das forças de intensidade variável no tempo a
forma dos gráficos da intensidade da força resultante em função do tempo (A) e da aceleração
adquirida em função do tempo (B) são semelhantes e proporcionais.
Assim, se a intensidade da resultante das forças aplicadas for constante, o módulo da aceleração
também será constante e o movimento será uniformemente variado.
Durante a descida, a força atua na
direção e sentido do movimento.
De acordo com a Segunda Lei de
Newton, a aceleração tem o mesmo
sentido que a força que, neste caso,
coincide também com o sentido do
movimento, o que se traduz num
aumento do módulo da velocidade.
Durante a subida, a força aplicada
no corpo tem sentido oposto ao
movimento. Como consequência a
aceleração, tem o mesmo sentido
da força, mas sentido contrário ao
movimento, o que se traduz numa
diminuição do módulo da
velocidade.
Representação vetorial da resultante das forças, da velocidade e da aceleração no movimento de descida (A) e de
subida (B) de uma bola.
O movimento vertical de um corpo, próximo da superfície da Terra, apenas sujeito à força gravítica, é
designado queda livre. O corpo que realiza esse movimento é denominado grave, estando sujeito a
uma aceleração igual à aceleração gravítica (𝑔 = 10 m s−2 ), independentemente do corpo em
queda, pois, de acordo com a Segunda Lei de Newton e com a Lei da Gravitação Universal:
𝐹R = 𝑚𝑎 e 𝐹R = 𝐹g , então: 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 ⇔ 𝑎 = 𝑔
𝐹R = 𝑚𝑎 ⇔ 𝐹g = 𝑚𝑔 ⇔ 𝐺
𝑚T 𝑚
𝑟2
𝑚
= 𝑚𝑔 ⇔ 𝑔 = 𝐺 𝑟2T
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Primeira Lei de Newton
De acordo com a Segunda Lei de Newton, se a resultante das forças que atuam no corpo é nula, a
aceleração também seria nula e a velocidade do corpo seria constante:
𝐹⃗R = 𝑚𝑎⃗
⃗⃗ ⇒ 𝑎⃗ = 0
⃗⃗ ⇒ 𝑣⃗ = constante {Se 𝑣 = 0, então permanece em repouso
𝐹⃗R = 0
Se 𝑣 ≠ 0, então continua com MRU
Estas conclusões permitem enunciar a Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia: se a resultante das
⃗⃗), a velocidade mantém-se constante em direção, sentido
forças que atuam num corpo é nula, (𝐹⃗R = 0
e módulo. Assim, um corpo em repouso permanece em repouso, e um corpo em movimento apresenta
movimento retilíneo uniforme (MRU).
A resistência que um corpo oferece à variação da velocidade é designada de inércia e é tanto maior
quanto maior for a massa do corpo. A lei da Inércia permite explicar situações que acontecem
diariamente, como as alterações de movimentos numa viagem.
exemplo
Quando um autocarro trava, o passageiro que viaja em pé sente o
seu corpo a ser projetado para a parte da frente do veículo na
tentativa de manter a velocidade que tinha instantes antes.
Quando o autocarro acelera, o passageiro é projetado para trás
porque tende a manter uma velocidade de módulo inferior à que o
autocarro possui nesse instante.
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Subdomínio 3: Forças e movimentos
3.1 MOVIMENTOS RETILÍNEOS
As equações do movimento de uma partícula com movimento retilíneo uniformemente variado são:
Equação das posições
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
1 2
𝑎𝑡
2
Permite determinar a componente escalar da
posição x (ou y) de um corpo em qualquer
instante t, desde que sejam conhecidas as
condições iniciais (𝑥0 ou 𝑦0 e 𝑣0 ) e a aceleração,
a.
Equação das velocidades
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Permite determinar a componente escalar da
velocidade v de um corpo em qualquer
instante t, desde que sejam conhecidos os
valores de 𝑣0 e a.
Δ𝑣
É equivalente à expressão 𝑎 =
pois a
Δ𝑡
aceleração é constante e igual à aceleração
média.
Gráficos posição-tempo (A e C) e velocidade-tempo (B e D) para movimentos retilíneos
uniformemente variados.
• se 𝑥0 > 0, o gráfico posição-tempo (A) • se 𝑥0 < 0, o gráfico posição-tempo (C)
começa acima do eixo das abcissas;
começa abaixo do eixo das abcissas;
• se 𝑣0 < 0, o gráfico posição-tempo (A) •
começa com declive negativo (sentido negativo
do movimento) e o da velocidade-tempo (B)
abaixo do eixo das abcissas;
se 𝑣0 > 0, o gráfico posição-tempo (C)
começa com declive positivo (sentido positivo
do movimento) e o da velocidade-tempo (D)
acima do eixo das abcissas;
• se 𝑎 > 0, o gráfico posição-tempo (A) tem • se 𝑎 < 0, o gráfico posição-tempo (C) tem
concavidade voltada para cima e o gráfico
concavidade voltada para baixo e o gráfico
velocidade-tempo (B) tem declive positivo;
velocidade-tempo (D) tem declive negativo.
• se 𝑣0 e a tiverem sinais contrários, o movimento será inicialmente uniformemente retardado no
sentido positivo (C e D) ou negativo (A e B), mas eventualmente acabará por inverter e adquirir
movimento uniformemente acelerado;
• se 𝑣0 e a tiverem o mesmo sinal, o movimento será uniformemente acelerado no sentido positivo
ou negativo, respetivamente.
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Movimento uniformemente variado na queda livre
O movimento de queda livre, movimento vertical de um grave sujeito apenas à ação da força gravítica,
é um exemplo de um movimento retilíneo uniformemente variado (retardado na subida e acelerado na
descida).
Durante a subida
I
Durante a descida II
Na altura máxima
• O módulo da velocidade
diminui linearmente com o
tempo;
• A força gravítica e a
aceleração gravítica têm
sentido contrário ao da
velocidade.
• O modulo da velocidade
anula-se;
• O objeto inverte o sentido
do movimento.
Movimento retilíneo
uniformemente retardado no
sentido positivo.
• O módulo da velocidade
aumenta linearmente com
o tempo;
• A força gravítica e a
aceleração gravítica têm o
mesmo sentido da
velocidade.
Movimento retilíneo
uniformemente acelerado.
Durante todo o movimento, quer ascendente quer descendente, a força gravítica e a aceleração
gravítica são sempre constantes, em módulo, direção e sentido, e garantem que no ponto de altura
máxima o corpo retoma o movimento, mas no sentido da força aplicada.
Em queda livre, |𝑎| = |𝑔| pelo que o tempo de queda de corpos, abandonados simultaneamente e da
mesma altura, é o mesmo, independentemente da massa e da forma dos corpos. A componente
escalar da aceleração é 𝑎 = −𝑔 ≃ −10 m s−2 se o sentido arbitrado como positivo para o referencial
for de baixo para cima (ascendente) e 𝑎 = 𝑔 ≃ 10 m s−2 se o sentido arbitrado como positivo para o
referencial é de cima para baixo (descendente), uma vez que a aceleração gravítica aponta sempre
para o centro da Terra.
Movimento uniformemente variado no plano horizontal e no plano inclinado
No plano horizontal e inclinado além da ação da força gravítica podem atuar outras forças pelo que
o módulo da aceleração não coincide com o módulo da aceleração gravítica, podendo ser obtido a
partir da Segunda Lei de Newton.
No caso, por exemplo, de um corpo que desliza ao longo de um plano inclinado, em que o atrito é
desprezável, como a força gravítica não atua na direção do movimento nem na direção perpendicular
ao movimento deve ser decomposta em duas componentes: uma segundo o eixo Ox do movimento
𝐹g =identificada
𝑚𝑔
designada 𝐹⃗g,𝑥 e outra segundo o eixo Oy, perpendicular ao movimento,
como 𝐹⃗g,𝑦 .
cos 𝜃 =
𝐹g,𝑦
⇔ 𝐹g,𝑦 = 𝐹g cos 𝜃
𝐹g
sen θ =
𝐹g,𝑥
⇔ 𝐹g,𝑥 = 𝐹g sen θ
𝐹g
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⃗⃗
=0
⃗⃗ + 𝐹⃗g ⇔ 𝐹⃗R = ⏞
⃗⃗ + 𝐹⃗g,𝑦 + 𝐹⃗g,𝑥 ⇒ 𝐹⃗R = 𝐹⃗g,𝑥
𝐹⃗R = 𝑁
𝑁
Aplicando a Segunda Lei de Newton:
𝐹g,𝑥 = 𝑚𝑎 ⇔ 𝑚𝑔sen θ = 𝑚𝑎 ⇔ 𝑎 = 𝑔sen θ
Movimento uniforme
Tratando-se de movimento retilíneo uniforme, como a resultante das forças e a aceleração são
nulas, a velocidade é constante e a equação das posições, que pode ser considerada como um caso
particular da equação das posições do movimento retilíneo uniformemente variado, traduz a relação
linear entre a posição e o tempo.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
3.2 QUEDA COM EFEITO DA RESISTÊNCIA DO AR NÃO DESPREZÁVEL
A resistência do ar não poderá ser desprezada quando a velocidade do corpo em queda é grande,
quando apresenta uma grande superfície ou quando não tem forma compacta.
Em qualquer movimento de queda na vertical com efeito da resistência do ar apreciável:
1.
no início do seu movimento, o corpo está apenas sujeito à força gravítica;
2.
à medida que o módulo da velocidade aumenta – movimento retilíneo acelerado – a
intensidade da resistência do ar aumenta pelo que a intensidade da resultante das forças
e o módulo da aceleração, que atuam no sentido do movimento, diminuem (movimento
retilíneo acelerado);
3.
quando a intensidade da resistência do ar iguala a da força gravítica, a resultante das
forças anula-se e o corpo adquire uma velocidade de módulo constante designada
velocidade terminal (movimento retilíneo uniforme).
No caso da queda de um paraquedista:
4.
no instante em que se abre o paraquedas a resistência do ar aumenta drasticamente
passando a haver uma resultante das forças com sentido contrário ao movimento que
faz diminuir o módulo da velocidade (movimento retilíneo retardado);
16
DOSSIÊ DO PROFESSOR – RUMO À FÍSICA 11
5.
a diminuição do módulo da velocidade é acompanhada de uma diminuição da
intensidade da resistência do ar que, quando iguala novamente a força gravítica em
intensidade, torna nula a força resultante e o paraquedista volta a adquirir movimento
retilíneo uniforme, atingindo a segunda velocidade terminal.
Gráfico velocidade-tempo correspondente ao movimento de queda de um paraquedista.
3.3 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
O movimento de um corpo que descreve uma circunferência ou um arco de circunferência de raio, r,
com velocidade de módulo constante, v, é designado movimento circular uniforme.
No movimento circular uniforme:
• A velocidade tem módulo constante, mas varia em direção apresentando, em cada instante uma
direção tangente à trajetória e sentido do movimento;
• A resultante das forças também tem intensidade constante e varia em
direção, apresentando, em cada instante, uma direção radial (direção do raio
da circunferência) e um sentido centrípeto (dirigido para o centro da
trajetória) designando-se, por isso de força centrípeta, 𝐹c .
• A aceleração tem, de acordo com a Segunda Lei de Newton, uma intensidade
proporcional à resultante das forças e as mesmas características da
resultante das forças sendo igualmente designada de aceleração centrípeta,
𝑎c .
Periodicidade no movimento circular uniforme
No movimento circular uniforme as características do movimento repetem-se em intervalos de tempo
iguais dizendo-se, por isso, que se trata de um movimento periódico.
Período, 𝑇, é o intervalo de tempo correspondente a uma volta
(rotação) completa e frequência, 𝑓, é o número de voltas completas
por unidade de tempo. Quanto maior o período menor a frequência e
vice-versa:
A velocidade angular, 𝝎, mede a rapidez com que se efetua a
rotação:
A componente escalar da velocidade em cada ponto da trajetória,
também designada velocidade linear, 𝑣,pode ser obtida por:
𝑇 =
𝜔=
𝑣 =
Δ𝜃
2π
⇔𝜔=
= 2π
Δ𝑡
T
2𝜋𝑟
𝑇
1
𝑓
= 2𝜋𝑟𝑓 ou 𝑣 = 𝜔𝑟
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DOSSIÊ DO PROFESSOR – RUMO À FÍSICA 11
A aceleração originada pela variação da direção da velocidade de um
corpo designa-se aceleração centrípeta, 𝑎c:
Como a resultante das forças aponta para o centro da trajetória, toma
o nome de força centrípeta:
𝑎c =
𝑣2
ou 𝑎c
𝑟
= 𝜔2 𝑟
𝑣2
𝐹c = 𝑚𝑎c ou 𝐹c = 𝑚 𝑟 ou
𝐹c = 𝑚𝜔2 𝑟
Movimento de satélites
Tratando-se de satélites, a velocidade orbital e o período do satélite dependem da altitude, ℎ, da órbita
em relação à superfície terrestre. A relação entre estas grandezas pode ser obtida a partir da Segunda
Lei de Newton e da Lei da Gravitação Universal, uma vez que nos satélites a única força que atua é a
força gravítica.
𝑣2
𝐹c = 𝐹g ⇔ 𝑚s 𝑟 = 𝐺
𝑚T 𝑚s
𝑟2
𝑚
2𝜋𝑟 2
𝑚
⇔ 𝑣 2 = 𝐺 𝑟t ⇔ ( 𝑇 ) = 𝐺 𝑟T ⇔ 𝑇 2 =
4𝜋2𝑟 3
onde 𝑟
𝐺𝑚T
= 𝑟T + ℎ
Tratando-se de um satélite geostacionário, um satélite que se encontra aparentemente parado
relativamente a um ponto fixo sobre a Terra, o seu período orbital coincide com o período de rotação
da Terra.
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