Die Welt der ganzen Zahlen
Pädagogische Hochschule Zürich
Didaktische Sachanalyse
HS21
Modul: Mathefachdidaktik 1
Abgabedatum: 21. Dezember 2012
Verfasser:
Florian Marty, Julian Marti,
Tim Lorenz und Laszlo Scholz
Inhalt
A Mathematisches Themengebiet .......................................................................................................... 1
A0
Wie heisst das mathematische Themengebiet? ..................................................................... 1
A0
Welche Konzepte sind für dieses Themengebiet grundlegend? ............................................. 1
A Fachliche Aspekte ................................................................................................................................ 1
A1
Welche Begriffe und Verfahren gehören zu diesen grundlegenden Konzepten? Notieren Sie
Definitionen, Eigenschaften, Gesetze. ................................................................................................ 1
A2
Welche Beispiele/Gegenbeispiele sind charakteristisch? Welche Ausnahmen, Spezial- oder
Grenzfälle gibt es? ............................................................................................................................... 2
A2
Wie kann man die verwendeten Formeln/Sätze/Regeln mathematisch beweisen? .............. 3
A2
Gibt es unterschiedliche Strategien zur Lösung der mathematischen Probleme (z.B. Lösung
von linearen Gleichungssystemen) und welche sind das? .................................................................. 4
A3
Welche Sachzusammenhänge, Vernetzungen innerhalb dieser fachlichen Aspekte sind
wichtig? ............................................................................................................................................... 5
B Verortung im Lehrplan 21 und Aufbau des Lehrmittels....................................................................... 5
B1
Welche Kompetenzstufen des Lehrplans sollen durch die Schüler: innen erreicht werden? 5
B1
Welche Konzepte sind für das Erreichen der Grundansprüche für alle Schüler: innen
relevant?.............................................................................................................................................. 5
B2
Vertikale Vernetzung: .............................................................................................................. 6
B2
Welche Konzepte und Verfahren aus früheren Klassenstufen (Zyklus 1 und 2 so- wie
vorangehende Schuljahre im Zyklus 3) werden aufgegriffen? ............................................................ 6
B2
Wie wurden diese Konzepte und Verfahren in den früheren Klassenstufen thematisiert und
wie kann daran angeknüpft werden? ................................................................................................. 6
B2
Wie werden diese Inhalte und Verfahren in höheren Klassenstufen fortgesetzt und wie
müssen sie angelegt sein, dass sie anschlussfähig sind?..................................................................... 6
B3
Wie heisst das dazugehörige Lehrmittelkapitel, wie heissen die einzelnen Teilkapitel?........ 7
B4
Welche der in A analysierten Begriffe, Definitionen, Eigenschaften, Gesetze und Verfahren
kommen im Lehrmittel vor? Welche davon werden neu erarbeitet? ................................................ 7
B5
Welche Unterschiede bezüglich Konzepte und Verfahren gibt es zwischen den Niveaus I, II
und III? ................................................................................................................................................. 7
C Fachdidaktische Aspekte ...................................................................................................................... 9
C2
Gibt es (primäre und/oder sekundäre) Grundvorstellungen gemäss fachdidaktischer
Literatur zu den relevanten Konzepten? Wenn ja, welche? Wie erfolgt, wo erforderlich,
die Begriffsbildung? ............................................................................................................................. 9
C3
Welche konkreten Darstellungen (enaktiv, ikonisch, sprachlich, symbolisch) und
didaktischen Materialien sind geeignet für den Aufbau eines tragfähigen
Verständnisses und warum? ............................................................................................................... 9
C3
Wie kann die Vernetzung dieser Darstellungen lernwirksam umgesetzt werden? .............. 11
C4
Welcher Zugang ist für die Einführung (EVTA) geeignet, der ein verständnisorientiertes
Lernen fördert? ................................................................................................................................. 11
i
C4
Welche Zusammenhänge können die Schüler: innen selbst entdecken, welche müssen von
der Lehrperson eingebracht werden? ............................................................................................... 11
C5
Was sind typische Präkonzepte? Wo müssen Konzeptwechsel vollzogen werden? Was sind
typische Verstehenshürden und damit zu erwartende Schüler:innenschwierigkeiten? Wie kann
man diesen vorbeugen beziehungsweise verstehensfördernd darauf reagieren?........................... 11
C8
Welche authentischen Kontexte können in der Anwendung (EVTA) einbezogen werden? . 13
Literaturverzeichnis ............................................................................................................................... 14
ii
A Mathematisches Themengebiet
A0
A0
Wie heisst das mathematische Themengebiet?
Welche Konzepte sind für dieses Themengebiet grundlegend?
Das Themengebiet heisst ganze Zahlen und ist eine Erweiterung der für die Schüler: innen der bis
anhin bekannten natürlichen Zahlen. Der Unterschied liegt darin, dass die Menge aller Zahlen nicht
mehr nur von 0 bis Unendlich reicht, sondern neu von minus Unendlich bis plus Unendlich.
Lange wurden negative Zahlen selbst von Mathematikern nicht anerkannt. Bei den Griechen wurden
negative Lösungen z.B. nicht akzeptiert. Erst Mitte des 19. Jahrhunderts erkannte man sie als
vollwertige Zahlen an.
Damit die Schülerinnen und Schüler das Konzept grundlegend verstehen, ist es zentral, dass sie
wissen, was natürliche Zahlen sind und dass sie begreifen, dass diese auch negativ sein
können. Anders ausgedrückt: Die Schülerinnen und Schüler müssen verstehen, dass Null nicht die
kleinste aller Zahlen ist.
Bei den ganzen Zahlen hat jede Zahl immer eine Zahl, welche auf ihr folgt (n+1) aber, und das im
Gegensatz zu den natürlichen Zahlen, auch immer eine Zahl, die vor ihr kommt (n-1).
Veranschaulicht wird dieser Umstand an der Zahlengeraden. Darauf wird später noch eingegangen.
Des Weiteren sollen die Schülerinnen und Schüler ein Gefühl dafür bekommen, was negative Zahlen
sind und wo sie bereits im Alltag Verwendung gefunden haben. Ein Beispiel hierzu wären
Minustemperaturen. Auch werden in diesem Kapitel die Grundoperationen mit ganzen
Zahlen vertieft und erweitert, die Erweiterung beschäftigt sich mit dem negativen Vorzeichen und
zum Beispiel der Problematik 3-(-3) =6. Also dem Thema das Vorzeichen Einfluss auf die
Grundoperationen haben. Zum Abschluss des Kapitels werden Koordinatensysteme als Zahlenpaare
und Erweiterung der Zahlengerade um eine weitere Dimension (y-Achse) eingeführt.
Ein weiteres Konzept dreht sich um die Frage, was eine Zahl gross macht. Bei den positiven Zahlen
ist eine Zahl mit höherem Betrag automatisch höher. Das neue Konzept ist aber eine Zahl ist umso
grösser, je weiter rechts sie sich auf der Zahlengeraden befindet.
A Fachliche Aspekte
A1
Welche Begriffe und Verfahren gehören zu diesen grundlegenden Konzepten?
Notieren Sie Definitionen, Eigenschaften, Gesetze.
Begriffe: Ganze Zahlen, Negative Zahlen, Gegenzahl,
Vorzeichen, (Grund)Operationen, Ordnungsrelationen, Zahlenstrahl/gerade, Koordinatensystem, Inver
sionszeichen
Jede ganze Zahl ℤ ist von einer kleineren und einer grösseren Zahl umgeben (…n-1, n, n+1…) diese
werden auch Vorläufer und Nachfolger genannt. Dies unterscheidet ℤ von ℕ, welches nur so definiert
ist, das auf jede natürliche Zahl eine weitere natürliche Zahl folgt (n, n+1) also jede natürliche Zahl hat
einen Nachfolger. Nicht jedoch, dass es immer eine kleinere Zahl gibt. n-1 ergibt mindestens 0 bzw. 1.
Die negativen Zahlen sind die Zahlen zwischen minus Unendlich und 0.
Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl selbst multipliziert mit (-1). Allgemein ausgedrückt ist die
Gegenzahl für jedes n Element von ℤ, n*(-1). Hierbei wird mit 1 multipliziert, da die 1 das
Neutralelement der Multiplikation und Division ist, das heisst sie verändert den Wert der Zahl nicht.
Vorzeichen einer Zahl können entweder positiv oder negativ sein. Positive Vorzeichen werden in der
Regel nicht geschrieben. Negative hingegen immer! Ein negatives Vorzeichen signalisiert, dass der
Wert der Zahl um ihre eigene Größe kleiner ist als 0. Beispiel (-5) ist um 5 kleiner als 0, (-43) ist um 43
kleiner als 0.
Operation: Dies gibt an was mit einer Zahl gemacht wird. Bei Addition (+) zählt man den Wert der
nachfolgenden Zahl mit deren vor der Operation zusammen. Bei Subtraktion (-) zieht man den Wert
der Zahl, die nach der Operation steht, von der Zahl, welche vor der Operation
1
steht, ab. Ergänzend wären hier noch die Begriffe Summand + Summand = Summenwert und Minuend
− Subtrahend = Differenzwert.
Ordnungsrelation: <, ≤, >, ≥ geben an, ob eine Zahl grösser, kleiner, gleich gross oder grösser gleich
bzw. Kleiner gleich wie eine andere Zahl ist.
Zahlenstrahl/gerade: Bietet eine visuelle Darstellung der Zahlen und ermöglicht es Konzepte wie
grösser, kleiner und den Abstand zwischen Zahlen zu visualisieren und begreifbarer zu machen.
Koordinatensystem: Das Koordinatensystem erweitert den Zahlenstrahl um eine weiter Dimension
und ermöglicht es Zahlen in Relation zu setzten und ist hier eine Erweiterung des Zahlenstrahls.
Inversionszeichen: Dies spiegelt den Wert der Zahl am Nullpunkt. Bsp. (-x) ist Gegenzahl von x.
Wenn x einen negativen Wert hat, ist der Wert von (-x) positiv. Entspricht der Multiplikation
oder Division mit (-1).
A2
Welche Beispiele/Gegenbeispiele sind charakteristisch? Welche Ausnahmen,
Spezial- oder Grenzfälle gibt es?
Eine Methode, um den Schüler: innen die Thematik näher zu bringen, ist sie mit bekanntem
zu verknüpfen. Typisch ist hier Beispielsweise die Temperatur. Abgesehen von Kelvin gibt es bei
allen Temperaturskalen negative Werte. Weiterhin bieten sich klassische Beispiele, wie Gebäude und
der Fahrstuhl und Schulden an. Beides sind Konzepte von negativen Zahlen mit welchen die
Schüler: innen bereits aus dem Alltag vertraut sind. Um den SuS Grössenvergleiche mit den negativen
Zahlen deutlich zu machen, arbeitet man oft mit Zahlenstrahlen und Zahlengeraden. So erkennt man,
dass nach rechts die Zahlen immer positiver werden. Das ist wichtig den SuS klarzumachen, damit sie
nicht beginnen mit absoluten Zahlen zu denken. Erweitert man den Zahlenstrahl zu einer
Zahlengeraden, werden die Zahlen immer noch von links nach rechts grösser. Damit ist erklärbar, warum
-100 grösser ist als -200. Weiter gibt es viele Spiele, wie Hin und Her oder das Kontospiel, wo negative
Zahlen und die Grössenverhältnisse verdeutlicht sind. Es werden zum Beispiel mit Schuldscheinen
gerechnet, wobei 2 Franken weniger Schulden sind als 100 Franken. Auch Beispiele aus dem Alltag, wie
Liftfahrten können aufzeigen, wie Zahlengeraden funktionieren. Dieses Beispiel zeigt schön, dass
Zahlengeraden vertikalen und horizontalen sein können.
Spezialfälle sind, die Subtraktion von negativen Zahlen. Wenn man eine negative Zahl subtrahiert, ist
das Ergebnis eine Addition.
Grenzfälle sind z.B. die Division durch die Zahl 0 oder sämtliche Operationen mit Unendlich
bzw. minus Unendlich. Auch die Zahl 0 selbst ist ein Grenzfall. Es ist nicht bestimmt ob 0 positiv oder
negativ ist da 0 = (-0).
Letztendlich sind noch die Zahlen 0 und 1 zu nennen Neutralelemente der Addition und Subtraktion
bzw. der Multiplikation sind.
2
A2
Wie kann man die verwendeten Formeln/Sätze/Regeln mathematisch
beweisen?
Dies ergibt sich durch logische Ansätze:
Aus dem Sprachlichen kann man das Konzept der doppelten Verneigung verwenden um den
Schüler: innen näherzubringen, warum Minus als Vorzeichen und minus als Operator
in Kombination eine Addition ergeben. Hier ein Beispiel:
Wenn wir vereinbaren, dass ein Plus ein "Ja" ist und ein Minus ein "Nein", dann sehen wir: +(+a) → "ja"
zum "ja", also muss es "ja" sein. Wir bestätigen das erste Ja mit einem Weiteren.
Bei minus Minus ist es hingegen: -(-a) → "nein" zum "nein". Das heißt, wir verneinen ein Nein, was
dadurch zum "ja" wird. Die Negation bzw. Umkehrung von "nein" ist "ja"
Natürlich lässt sich das Ganze noch rein mathematisch herleiten bzw. beweisen, da die
Schüler: innen jedoch zentrale Elemente dieser Beweise noch nicht kennen, gestaltet sich
diese formelle Beweisführung als anspruchsvoller.
3
Beweis über Distributivgesetz
a· (b + c) = a·b + a·c
Beispielwerte einsetzen
a = (-3), b = 4, c = (-4)
a · (b + c) = a ·b + a · c
(-3) · (4 + (-4)) = (-3) ·4 + (-3) · (-4)
(-3) · (4 - 4) = (-3) ·4 + (-3) · (-4)
(-3) ·0 = (-3) ·4 + (-3) · (-4)
0 = (-3) ·4 + (-3) · (-4)
0 = (-12) + (-3) · (-4)
Jetzt fragt sich, welchen Wert muss (-3) · (-4) annehmen, damit es mit der -12 schließlich 0
ergibt. Richtig, eine positive 12.
0 = -12 + (-3) · (-4)
0 = -12 + 12
Beweis über das Umstellen von Gleichungen
(-a) ·(-b) = +x
wir addieren auf beiden Seiten +(-a) ·(b)
(-a) ·(-b) +(-a) ·(b) = x +(-a) ·(b)
jetzt klammern wir links -b und b aus
(-a) ·((-b) +(b)) = x +(-a) ·(b)
-b + b ergibt Null
(-a) ·0 = x + (-a) ·(b)
-a·0 ergibt auch null
0 = x + (-a) ·(b)
das (-a) ·(b) schreiben wir als -a·b
0 = x + (-a·b)
jetzt addieren wir auf beiden Seiten +a·b
0 +a·b = x + (-a·b) +a·b
es ergibt sich
a·b = x + (-a·b + a·b )
a·b = x + (0)
a·b = x
A2
Gibt es unterschiedliche Strategien zur Lösung der mathematischen Probleme
(z.B. Lösung von linearen Gleichungssystemen) und welche sind das?
Eine wichtige Strategie bei der Rechnung mit ganzen Zahlen, ist mit den Vorzeichen zu
rechnen. Subtrahiert man eine negative Zahl wird de facto eine Addition durchgeführt. Daher
gilt folgendes zu beachten. Negativ und negativ ergibt positiv, negativ und positiv
ergibt negativ, positiv und negativ ergibt negativ und positiv und positiv ergibt positiv.
Veranschaulichung: t- (-s) = t + s, t – (+s) = t - s, t + (-s) = t – s, t + (+s) = t + s
4
A3
Welche Sachzusammenhänge, Vernetzungen innerhalb dieser fachlichen
Aspekte sind wichtig?
Die ganzen Zahlen sollen als Erweiterung der natürlichen Zahlen eingeführt werden. Zusätzlich ist die
Unterscheidung von zwischen Operator und Vorzeichen zentral.
B Verortung im Lehrplan 21 und Aufbau des Lehrmittels
B1
Welche Kompetenzstufen des Lehrplans sollen durch die Schüler: innen erreicht
werden?
MA.1.A Die Schülerinnen und Schüler verstehen und verwenden arithmetische Begriffe und Symbole.
Sie lesen und schreiben Zahlen. K) Die Schülerinnen und Schüler verstehen und verwenden die
Begriffe natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, Kehrwert, 3.Wurzel.
B1
Welche Konzepte sind für das Erreichen der Grundansprüche für alle
Schüler: innen relevant?
Die Schüler: innen müssen die negativen Zahlen auf der Zahlengeraden korrekt einordnen können.
(-5) ist nicht grösser als (-2), obwohl 5 grösser ist als 2. Dieses Verständnis ist essenziell um korrekt mit
den ganzen Zahlen, welche nun Mal auch die negativen Zahlen beinhalten, hantieren zu können.
Des Weiteren muss der Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenoperation verstanden werden.
5
B2
B2
Vertikale Vernetzung:
Welche Konzepte und Verfahren aus früheren Klassenstufen (Zyklus 1 und 2 sowie vorangehende Schuljahre im Zyklus 3) werden aufgegriffen?
Zyklus 1 Lehrplan 21
• können Anzahlen mit verschieden angeordneten Elementen vergleichen und die Begriffe
ist/wird grösser/kleiner; ist/wird mehr/weniger; sind gleich viele; am meisten; am wenigsten
verwenden.
• verstehen und verwenden die Begriffe plus, minus, gleich und die Symbole +, -, =.
• suchen eigene Lösungswege und tauschen sie aus.
Zyklus 2 Lehrplan 21
• verstehen und verwenden die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Rest,
Zahlenstrahl, Quadratzahl, Hunderter, Tausender, Stellenwerte.
• können natürliche Zahlen bis 1'000 lesen und schreiben.
• verstehen und verwenden die Begriffe Summand, Summe, Differenz, Faktor, Produkt,
Quotient.
• können beim Addieren und Subtrahieren Rechenwege notieren und Ergebnisse
überprüfen.
• können schriftlich addieren und subtrahieren.
Zyklus 3 Lehrmittel
• Beim Herstellen der Spielwürfel für das «Konto-» und das «Saldo-Spiel» wenden
Schülerinnen und
• Schüler die im Teilkapitel «4a Körper und ihre Netze» gewonnenen Erkenntnisse über den
Würfel an.
• Punkt- und Achsensymmetrie aus dem Kapitel « 1 Kongruenzabbildungen» werden im
Zusammenhangmit Koordinatenangaben erneut kurz thematisiert.
• Es gibt auch negative rationale Zahlen. Diese Zahlen - als Bruch oder als Dezimalzahl
notiert - werden
• in «Mathematik 2» im Kapitel «1 Die Welt der rationalen Zahlen» untersucht und
benutzt. (Handbuch Kapitel 6, Seite 2)
B2
B2
Wie wurden diese Konzepte und Verfahren in den früheren Klassenstufen
thematisiert und wie kann daran angeknüpft werden?
Wie werden diese Inhalte und Verfahren in höheren Klassenstufen fortgesetzt
und wie müssen sie angelegt sein, dass sie anschlussfähig sind?
In höheren Klassenstufen wird der Zahlenbereich, dann noch einmal erweitert. Erst werden
die gebrochenen Rationalen Zahlen, dann die Rationalen Zahlen, die irrationalen Zahlen
und zuletzt dann die reellen Zahlen gelehrt.
Die ganzen Zahlen werden in anderen Fächern Anklang finden. In der Chemie gibt es Teilchen mit
negativer Ladung (Elektronen). In der Physik und Biologie wird sowohl mit positiven als auch
mit negativen Zahlen gerechnet. Ein Beispiel hierzu wäre die Gibbs-Energie. Lasse ich einen
Ball fallen ist ΔG negativ.
Eines der wichtigsten Elemente dieses Kapitels, welches essenziel für viele weiteren
Bereiche ist, ist die Unterscheidung von Vorzeichen und Operator, sowie ein sicherer Umgang mit
beiden, vor allem wenn Gleichungen und Klammern kommen.
6
B3
Wie heisst das dazugehörige Lehrmittelkapitel, wie heissen die einzelnen
Teilkapitel?
6 Welt der ganzen Zahlen.
6a: Negative Zahlen und das <<Unter-Null>>
6b: Koordinaten
6c: Grundoperationen
B4
Welche der in A analysierten Begriffe, Definitionen, Eigenschaften, Gesetze und
Verfahren kommen im Lehrmittel vor? Welche davon werden neu erarbeitet?
Neu werden die Gegenzahl, die negativen Zahlen, Vorzeichen und das Koordinaten System eingeführt.
Bereits bekannt sind die (Grund)Operationen, die Ordnungsrelationen
Die ganzen Zahlen werden aus den natürlichen Zahlen erweitert.
B5
Welche Unterschiede bezüglich Konzepte und Verfahren gibt es zwischen
den Niveaus I, II und III?
6a: Niveau III hat Aufgabe 2.8 nicht (Fehlersuche bei geordneten ganzen Zahlen).
Bei dieser Aufgabe geht es um eine Vertiefung der vorhergehenden Aufgabe. Unterschiedliche Zahlen
werden mit „<„und „>“ in eine Ordnung gestellt, wobei sich ein Fehler eingeschlichen hat. Die Schüler:
innen müssen diesen Fehler finden.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: „Bei sechs, vermeintlich geordneten, ganzen Zahlen
Ordnungsfehler lokalisieren.“ fällt weg.
6b: Nur Niveau I hat Aufgabe 2.5 (Einen 8.Zackigen Stern. Mit Hilfe seiner Koordinaten bestimmen)
Bei dieser Aufgabe sind im Koordinatensystem einige Punkte angegeben und die weiteren müssen
durch Spiegeln und vertauschen der X,Y Koordinate gefunden werden. Anschliessend werden die
Punkte so verbunden, dass ein Stern abgebildet wird.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: Keine. Da intendiertes Lernziel „Eine Figur mit ganzzahligen
Koordinaten an einer Achse oder am Nullpunkt spiegeln. Die Koordinaten der gespiegelten Figur
notieren.“ auch bei anderen Aufgaben Anwendung findet.
Nur Niveau I hat Aufgabe 4.5 (Der Nullpunkt es Koordinatennetzes der Schweiz)
Die Aufgabe 4.5 ist eine Vertiefung der Themenbruchaufgabe zum Koordinatennetz der Schweiz. Die
Schüler: innen lokalisieren den 0 Punkt und suchen Gründe, weshalb dieser so gewählt wurde.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: „Gründe angeben, warum der Nullpunkt des Koordinatennetzes
der Landeskarten der Schweiz weit ausserhalb der Schweiz liegen.“ fällt weg.
6c: Nur Niveau I hat Aufgabe 1.3 ((-a) * (-b) ungleich(-ab) anhand eines Beispiels zeigen (beweisen))
Bei dieser Aufgabe sollen die Schüler: innen zeigen, dass (-4) * (-6) nicht (-24) sein kann.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: Keine. Da intendiertes Lernziel „Mit negativen ganzen Zahlen
multiplizieren und dividieren“ auch bei anderen Aufgaben Anwendung findet.
Niveau III hat Aufgabe 2.3 nicht. (Koordinatenangaben mit einer Variabel)
Bei dieser Aufgabe geht es darum, eine Figur im Koordinatensystem zu vervollständigen und den
Eckpunkten gewisse Eigenschaften aus einer sich daneben befindenden Tabelle zu zuordnen.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: Keine. Da intendiertes Lernziel „Mit negativen ganzen Zahlen
multiplizieren und dividieren“ auch bei anderen Aufgaben Anwendung findet.
7
Nur Niveau III hat Aufgabe 4.1 (Empfundene Temperatur berechnen)
Diese Aufgabe ist eine Vertiefung der Themenbuchaufgabe mit dem Windchill Effekt. Die Schüler:
innen sollen eine Tabelle mit Hilfe eine vorgegebenen Formel ausrechnen.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: Keine Auswirkung da Aufgabe nicht direkt auf ein intendiertes
Lernziel herausläuft, sondern eher als Einführung gilt. Langfristiges intendierte Lernziel ist „Aus einer
Tabelle bei gegebenen Windgeschwindigkeiten und Temperaturen den <<Windchill-Effekt>>
herauslesen.“
Nur Niveau I hat Aufgabe 4.2 (Terme im Zusammenhang mit dem <<Windchill-Effekt>>)
Die Schüler: innen müssen bei dieser Aufgabe mit Hilfe der Tabelle aus dem Themenbuch
herausfinden welcher Term zu welcher Windgeschwindigkeit passt. Weiterhin müssen sie
Vermutungen anstellen, weshalb die Werte 70 km/h und 80 km/h nicht mehr bei der Zuordnung im
Arbeitsheft auftauchen.
Auswirkung auf Intendiertes Lernziel: Keine. Da intendiertes Lernziel „Aus einer Tabelle bei gegebenen
Windgeschwindigkeiten und Temperaturen den <<Windchill-Effekt>> herauslesen.“ auch bei anderen
Aufgaben Anwendung findet.
8
C Fachdidaktische Aspekte
C2
Gibt es (primäre und/oder sekundäre) Grundvorstellungen gemäss
fachdidaktischer Literatur zu den relevanten Konzepten? Wenn ja, welche? Wie
erfolgt, wo erforderlich, die Begriffsbildung?
Primäre Grundvorstellungen (gegenständliche Repräsentation):
Bei natürlichen Zahlen kann durch das Zusammenfügen bzw. aneinanderreihen
zweier Realisanten (Plättchen, Stäbe …) eine Addition (oder auch alle anderen Operationen)
dargestellt werden.
Sekundäre Grundvorstellung (abstrakte Repräsentation):
Die wichtigste Zahlvorstellungen bei negativen Zahlen ist nicht mehr die kardinale Vorstellung (es geht
nicht um das Abzählen von Dingmengen), vielmehr geht es darum, Zustände oder Änderungen
innerhalb eines Kontextes (Spielstand / Kontostand, Fahrstuhl …) zu beschreiben.
Bei negativen Zahlen ist die gegenständliche Repräsentation im Allgemeinen nicht möglich:
Punktestände oder Temperaturen sind keine Gegenstände, die man zusammenfügen kann.
Stattdessen wird die abstrakte Grundvorstellung einer Zahlengerade eingeführt.
C3
Welche konkreten Darstellungen (enaktiv, ikonisch, sprachlich, symbolisch) und
didaktischen Materialien sind geeignet für den Aufbau eines tragfähigen
Verständnisses und warum?
Enaktiv: Kontospiel, da hierbei aufgezeigt wird, dass man auch “minus” Geld haben kann, welcher in
Form eines Schuldschieins auftritt. Somit werden die negativen Zahlen in “Realisanten”
umgewandelt. Dieses Beispiel ist den Schüler: innen häufig schon aus ihrem Alltag vertraut und schafft
Lebensweltbezug.
Ein Becken ist mit Wasser gefüllt. An der Aussenwand ist ein Geodreieck so positioniert, dass die
Null genau bei der Wasseroberfläche liegt. Die Schüler: innen können nun ihre Finger ins Wasserhalten
und können ihre “Höhe über dem Wasserpegel” direkt vom Geodreieck ablesen (Achtung bei
Geodreieck sind alle Werte positiv angegeben). Je weiter sie ins Wassereintauchen, desto “mehr”
minus wird der Wert. Die Hand ist somit auch tiefer im Wasser. Das hilft den Schüler: innen zu
verstehen, dass eine höher “minus Zahl” kleiner ist als eine tiefere. Die Wasseroberfläche wird
“intuitiv” als Null interpretiert bzw. als Grenze zwischen positiven Bereichen oberhalb der
Wasseroberfläche und Unterwasser als negativer Bereich. Das hilft das Konzept einer Gegenzahl zu
verstehen und schafft ein intuitives Verständnis, wofür wir die negativen Zahlen im Alltag brauchen
können.
“Hin und Her” Spiel, hierbei liegt der Fokus wieder auf dem Zahlengerade. Die Schülerinnen und
Schüler müssen noch nicht - - = + rechnen, sondern können dies über die Blickrichtung der Figur
lernen. Wenn - - = + bereits funktioniert umso besser. Der Spielerische Ansatz schafft für die Schüler:
innen die Möglichkeit viele kleinere Rechnungen zu auszuführen und somit den Umgang mit den
Vorzeichen und Operatoren zu festigen.
Ikonisch: Thermometer, welcher den Schüler: innen im Alltag begegnet. Das Thermometer bietet sich
als gute Grundlage für einen vertikalen Zahlengerade. Der negative Zahlenstrahl dient zu Beginn als
Gedächtnisstütze, um beispielsweise aufzuzeigen, dass (-20) > (-30) da (-30) weiter von 0
entfernt ist. Das Thermometer ist sehr alltagsnah und abgesehen von einer Temperaturskala welche
eigentlich nur in der Wissenschaft und weniger im Alltag verwendet wird (Kelvin) kennen alle anderen
Skalen negative Werte und diese sind jedes Jahr wieder ein Thema. Zum Beispiel Sommer und Winter
mit jeweils positiven und negativen werten.
Der Lift, welcher den Schüler: innen auch bereits vertraut ist, bietet sich hierbei auch gut an, da
er ebenfalls negative Zahlen beinhaltet und nur eine vertikale Zahlengerade darstellt. Die
Schüler: innen können sich gut ein –1 Stockwerk (bspw. Parkdeck) vorstellen. Hierbei gilt ähnliches wie
9
beim nachfolgenen Beispiel mit dem Schwimmbad. Es ist intuitiv und wird je nach Lebenswelt der
Schüler: innen täglich erlebt.
Sprachlich: Die Lehrperson stellt folgende Geschichte vor: „Samuel ist im Schwimmbad und springt
abwechselnd vom 3m und 5 m Brett. Beim Eintauchen ins Wasser sinkt Samuel halb so tief ins Wasser,
wie die Höhe war, aus der er gesprungen ist.” Es wird mit dem Visualizer eine vertikale
Zahlengrade projiziert. Dies Schüler: innen sollen nun zu jedem Zeitpunkt der Geschichte sagen, wo
auf der Zahlengrade sich Samuel in Metern befindet. Null Meter Höhe entsprechen dem
Wasserspiegel.
Mathematiker Witz: Wenn fünf Personen in einem Lift sind, und sechs Personen hinaus gehen, muss
einer wieder zurück, damit der Lift leer ist. Dieser Witz ist einem Verständnis eher weniger
zuträglich, sondern zeigt einem die Absurdität von negativen Zahlen im Kontext zu
dem gewählten Bezugsystem und kann den Schüler: innen klarmachen, dass zum Beispiel negative
Flächen keinen Sinn machen, negative Temperaturen je nach Bezugsystem jedoch sehr wohl.
Ein Taucher taucht 30 m unter dem Meeresspiegel. Er sieht einen Wal der 10 m unter ihm
hindurch schwimmt. Was ist die Höhe über Meer des Wals? ((-30) -10 = (-40)).
Dieses sprachliche Beispiel aktiviert die Vorstellung, dass die Zahlengerade nicht
immer waagrecht im Raum liegen muss, sondern auch senkrecht platziert werden kann. Diese
Möglichkeit macht man sich zum Beispiel bei einem Koordinatensystem, welches die Schüler:
innen kennenlernen zunutze, um 2 Dimensionen einer Situation auf einmal darzustellen. Hier könnte
man das Beispiel erweitern, indem der Taucher 1000 Meter von
der Küste wegschwimmt und 30 Meter in die Tiefe taucht, dort sieht er einen Wal welcher
10 Meter unter ihm schwimmt. Wo befinden sich Taucher und Wal in einem Koordinatensystem?
Andrea möchte mit ihrem Partner ein Haus kaufen. Für dieses benötigen sie 1 Million CHF.
Zusammen haben sie 300‘000 CHF. Den Rest nehmen sie als Kredit von der Bank. Wie gross ist dieses
Kredit? Wie viel Geld haben Andrea und ihr Partner, nachdem sie das Haus gekauft haben? Dieses
Beispiel aktiviert den “Lebensweltbezug” der Schulden.
Symbolisch: Eine Temperatur von (–4) °C veringert sich um 7 °C, wie ist die Temperatur nach der
Veränderung? (-4) – 7 = (-11). Hierbei kann mit den Grundoperationen gerechnet werden. Auch sollte
13- (-7) = 20, also - - = + beachtend und erklärt werden. -> (Achtung: bei Berechnungen mit Grad
Celsius ist Plus/Minus zulässig. Mal und geteilt hingegen ist unsinnig. 10 Grad ist nicht doppelt so
warm wie 5 Grad. Und 20 Grad ist nicht minus 10-mal so warm wie minus 2 Grad. Für solche
Berechnungen müsste immer zuerst in Kelvin umgerechnet werden.) Dieses Beispiel schafft ein
Verständnis für den Unterschied zwischen Operator und Vorzeichen.
In einer Geometrieaufgabe steht man solle einen Winkel von 30° erst um 10° addieren, dann um 60°
subtrahieren. Der neue Winkel ist nun -20°, was so viel bedeutet, wie er schaut nun auf die andere
Seite. Die Graphische Darstellung ermöglicht einen Einstieg ins Koordinatensystem und hilft Positiv
und Negativ nicht als Absolute zu verstehen.
10
C3
Wie kann die Vernetzung dieser Darstellungen lernwirksam umgesetzt
werden?
Zuerst bietet sich, das Ikonische darstellen der Negative Zahlen an. Dieses ermöglicht den zahlenstrahl
für alle Schüler: innen nochmals zu repetieren und mit dem Hilfsmittel wieder vertraut zu werden. Der
Zahlenstrahl ist sehr intuitiv und schafft eine erste Räumlich Visuelle Orientierung und eine
Grundvorstellung des Konzeptes der Negativen Zahlen, ausserdem gehen wir in dem Teilkapitel
Koordinaten auf ein System ein, welches aus 2 Zahlenstrahlen bestehet, somit macht eine frühe
Verankerung dieser Idee durchaus Sinn.
Anschliessend an den Zahlenstrahl lassen sich gut Übungen damit machen, um den Raum zu nutzen
und sich durch Bewegen im Raum nochmals die Bewegung bei Rechnungen auf dem Zahlenstrahl zu
verdeutlichen, auch kann man hier gut Spielerisch den Umgang mit den Rechenoperationen
vorbereiten und ein Intuitives Verständnis aufbauen.
Danach würden wir zum Sprachlichen Teil übergehen, damit lassen sich die Negativen Zahlen gut
mit Alltags Beispielen Verknüpfen, wie zum Beispiel dem Schwimmbad, Fahrstuhl oder Schulden. Diese
Alltagsnahen Beispiele schaffen Sinn und sind in der Schule nicht immer einfach enaktiv umzusetzen,
als Sprachliche Themen aber gut zur Bearbeitung und stellen von Textaufgaben geeignet.
Als Letzten Schritt kann man aus der Summe der Erfahrungen schliesslich gemeinsam die
Rechenregeln Definieren, Begründen und Beweisen. Dadurch werden die anderen 3 Ebenen gut mit
dem Abstrakten der Symbole verknüpft.
C4
C4
Welcher Zugang ist für die Einführung (EVTA) geeignet, der ein
verständnisorientiertes Lernen fördert?
Welche Zusammenhänge können die Schüler: innen selbst entdecken, welche
müssen von der Lehrperson eingebracht werden?
Mittels dem Kontospiel oder dem «Hin und Her» Spiel können die Schülerinnen und
Schüler selbst entdecken, dass Minus mal Minus plus ergibt. Dies wird das Verständnis mehr fördern,
als wenn die Lehrperson diese Regel vorgibt und die Schüler: innen diese nur anwenden.
Grundsätzlich können fast alle Zusammenhänge im Bereich der ganzen Zahlen von
den Schüler: innen selbst erforscht werden. Auch das Anwenden der erkannten Regeln kann
von Ihnen kommen. Auch hier ist es lediglich wichtig, dass die LP die Schritte in die
lernförderliche Abfolge bringt und die Rahmenbedingungen festlegt.
Wie gesagt, muss die LP die Rahmenbedingungen vorgeben, in welchen diese Beziehungen erforscht
werden können, sonst könnten sie die Schüler: innen die Erforschung so zurechtbiegen, dass sie in ihr
Präkonzept passt. Die Lehrperson sollte auch das Konzept einer kontinuierlichen Zahlengerade
einführen, damit die Schüler: innen ein Gerüst haben, auf das sie sich rückbeziehen können.
C5
Was sind typische Präkonzepte? Wo müssen Konzeptwechsel vollzogen
werden? Was sind typische Verstehenshürden und damit zu erwartende
Schüler:innenschwierigkeiten? Wie kann man diesen vorbeugen
beziehungsweise verstehensfördernd darauf reagieren?
Präkonzepte: 0 ist die kleinste Zahl.
Die negativen Zahlen sind losgelöst vom Zahlenstrahl und in einem separaten Zahlenstrahl aufgeführt.
Die Addition von Zahlen führt immer zu einer grösseren Zahl.
Eine Zahl ist grösser, je grösser ihr Betrag ist.
Die 0 wird nicht als Zahl wahrgenommen, sondern als Ursprung.
Konzeptwechsel: Dass eine grössere Zahl beispielsweise 60 grösser ist als 50. Im negativen Bereich
ist (–50) grösser als (–60), da (–50) nur 50 von Null entfernt ist und (–60) 60 weiter weg von 0 ist. Jede
Zahl hat eine Gegenzahl, welche man erhält, indem *(-1) gerechnet wird. Beispielsweise 5 *(-1) = (11
5) und (–5) * (-1) = 5. Dies wird auch symbolisiert durch den Konzeptwechsel vom Zahlenstrahl zur
Zahlengerade.
Eine essenzielle Vorstellung bei den negativen Zahlen ist, dass es nicht mehr ums Abzählen von Dingen
geht, sondern Zustände oder Änderungen innerhalb eines Kontextes (Kontostand, Temperatur, …) zu
beschreiben. Negative Zahlen können nicht als Gegenstände repräsentiert werden. Punktestände oder
Temperaturen sind keine Gegenstände, welche man zusammenzählen kann.
Verstehenshürden: Wenn minus eine negative Zahl gerechnet wird, dass dann wieder
plus gerechnet wird. Beispielsweise 8 - (-3) = 11
Der Betrag einer Zahl wird mit ihrer Grösse gleichgesetzt.
Dass (–50) grösser ist als (–60), obwohl es im positiven Zahlenbereich umgekehrt ist. Hier hilft der
Zahlengerade. Je weiter rechts sich eine Zahl auf der Zahlengerade befindet, desto grösser ist sie.
Dass nun unterschieden werden muss, zwischen Operationszeichen und Vorzeichen. Zu Beginn hilft
eine Klammer um die Vorzeichen samt Zahl zu setzte, damit es eine optische Abgrenzung gibt.
Wenn von einer bereits negativen Zahl eine weitere negative Zahl addiert wird, dass das Ergebnis
somit kleiner ist als zuvor trotz der Addition.
Eine weiter Verstehenshürde ist die Subtraktion über 0 hinaus. Schüler: innen sind sich häufig
unsicher, ob die oder wie die 0 gezählt werden soll.
Wenn zum Beispiel 5-8 gerechnet werden soll, kann es passieren, dass die Schüler: innen auf (–
4) kommen denn auf ihrem Zahlgerade ist die Reihenfolge 5,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4. Die Null wird hierbei
nicht als Element der Subtraktion wahrgenommen.
Verstehensfördernde Massnahmen:
Von Anfang an mit dem Zahlenstrahl und der Zahlengerade arbeiten. So bekommen
die Schüler: innen ein Verständnis der Reihenfolge der Zahlen.
Klare Unterscheidung des Vorzeichens einer Zahl und der Rechenoption. Dazu kann das Konto- oder
Leiterspiel herbeigezogen werden. Wichtig ist auf jeden Fall zuerst immer Vorzeichen und Operator zu
notieren und dann erst in einem weiteren Schritt dazu überzugehen, dies auf einen Operator zu
reduzieren, wenn die Schülerinnen und Schüler verstanden haben, wieso und wann die Vorzeichen
ändern.
Ein weiterer generell wichtiger Aspekt ist das Aktivieren aller Sinne und Ebenen, das heisst die
enaktive, ikonische, sprachliche und symbolische Ebene sollten aktiviert werden.
Enaktiv: Das Basteln von zahlengerade oder das Nutzen des Raumes, um zum Beispiel 5 Schritte vom
Mittelpunkt nach rechts zu laufen und dann –8 Schritte von dort zu gehen. Auch liesse sich
hier enaktiv, das Problem minus mal minus gibt plus angehen, indem man minus als Operator als
rückwärtslaufen definiert und minus als Vorzeichen als Ausrichtung in Bezug auf diese imaginäre 0
Linie. Für Koordinatensysteme wären Spiele wie Schiffe versenken geeignet, um spielerisch den Sinn
dieser aus 2 Zahlengeraden konstruierten Ebene zu erfassen.
Sprachlich: Das Konzept der Doppelten Verneinung kann gebraucht werden um minus mal minus gibt
plus näher zu bringen als etwas nicht nicht tun ist dasselbe wie etwas tun. Daraus können die
Schüler: innen selbständig Aufgaben entwerfen und über ihre Ergebnisse diskutieren.
Ikonisch: Hier ist die Vorstellung des Zahlengerade eine Möglichkeit den Schüler: innen Orientierung
und einen Überblick zu geben.
Symbolisch: Hier bietet sich das Kontospiel an, dabei müssend die Schüler: innen ihre gewürfelten
Ergebnisse auf einer Tabelle notieren (Vorzeichen und Operator) und daraus berechnen, wie sich ihr
Kontostand verändert.
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C8
Welche authentischen Kontexte können in der Anwendung (EVTA) einbezogen
werden?
Die Schüler: innen erhalten Praxisbeispiele und Textaufgaben, aus welchen sie Aufgaben lösen sollen,
die das Verständnis von ganzen Zahlen voraussetzt. Beispielsweise Wettkampftabelle (Fussball o. ä.)
auf der die Tordifferenz berechnet wird und dann wird wieder ein Spiel aberkannt.
Gelerntes Wissen über natürliche Zahlen wird nun auf andere Themengebieten
angewendet. Ein Beispiel hierzu sind Rechnungen im Koordinatensystem, Rechnungen
mit Temperaturen, Zins-/Kreditrechnungen (oder auch Veränderung der Aktienkurse) oder aber
auch Anwendungen in der Physik (Rückwärtsfahrendes Auto hat negative Geschwindigkeit).
Generell Aufgaben Temperaturen, Höhen und Geschwindigkeiten in Vorgegebenen Bezugsystemen zu
beschreiben.
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Literaturverzeichnis
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Planen, durchführen, reflektieren.
Berlin: Cornelsen.
Fachteam Mathematik PHZH (2018): Guter Mathematikunterricht gestalten.
Heckmann, Kirsten und Friedhelm Padberg. 2014. «Zur Planung und Gestaltung von Unterricht.»
In Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2, 59–118. Berlin Heidelberg: Springer
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Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik. Unterrichtsentwürfe: Leitfaden mit Leit- und
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Vollrath, Hans-Joachim und Jürgen Roth. 2012. «Mathematikunterricht planen.» In Grundlagen
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Zumsteg, Barbara, Urban Fraefel, Hans Berner, Elisabeth Holinger, Catherine Lieger, Christoph
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2018. Unterricht kompetent planen: Vom didaktischen Denken zum professionellen Handeln.
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