TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
Cálculo vectorial
Prof. Edwin Collado
Centro Regional de Azuero
Universidad Tecnológica de Panamá
INTRODUCCIÓN
El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real
multivariable de vectores en 2 o más dimensiones.
Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles
para la ingeniería y la física.
Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar. El gradiente de un campo escalar es
un campo vectorial.
• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto. El rotor de un
campo vectorial es otro campo vectorial.
• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos. La
divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
• Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud. Este es un
operador diferencial de segundo orden.
Los conceptos que se presentan proporcionan un lenguaje adecuado para expresar ciertas ideas fundamentales sobre
electromagnetismo o matemáticas en general.
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Se definen en los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Sistemas de coordenadas cartesianas
El desplazamiento diferencial 𝑑𝑙 en el punto 𝑆 es el vector del punto 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧) al punto 𝐵(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧).
El desplazamiento diferencial viene dado por
Del punto P al Q tenemos 𝑑𝑙 = 𝑑𝑦𝑎𝑦
Del punto Q al S tenemos 𝑑𝑙 = 𝑑𝑦𝑎𝑦 + 𝑑𝑧𝑎𝑧
Del punto D al Q tenemos 𝑑𝑙 = 𝑑𝑥𝑎𝑥 + 𝑑𝑦𝑎𝑦 + 𝑑𝑧𝑎𝑧
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
El área superficial normal diferencial está dada por
Puede definirse generalmente como
La superficie ABCD tiene 𝑑𝑆 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑥 , mientras que para la superficie PQRS
tiene 𝑑𝑆 = −𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑥 porque −𝑎𝑥 es normal a PQRS.
El volumen diferencial viene dado por
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Sistemas de coordenadas cilíndricas
El desplazamiento diferencial viene dado por
El área superficial normal diferencial está dada por
El volumen diferencial viene dado por
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Sistemas de coordenadas esféricas
El desplazamiento diferencial viene dado por
El área superficial normal diferencial está dada por
El volumen diferencial viene dado por
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Ejemplo: Considere el objeto que se muestra en la figura. Calcule
a) Longitud BC
b) Longitud CD
c) Área de superficie ABCD
d) Área de superficie ABO
e) Área de superficie AOFD
f)
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Volumen ABDCFO
LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
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LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Ejemplo: Considere un cubo cuyos vértices están dado
𝐵(4, 0, 0), 𝐶(4, 3, 0), 𝐷(0, 3, 0), 𝐸(0, 0, 4), 𝐹(4, 0, 4), 𝐺(4, 3, 4), y 𝐻(0, 3, 4).
Resuelva lo siguiente:
a) Dibujo del objeto con la información dada.
b) Longitud BC
c) Longitud CD
d) Área de la superficie ABCD
e) Área de la superficie ABEF
f)
Área de la superficie AEHD
g) Volumen del cubo ABCDEFGH
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Revisión anual
por
los
siguientes
puntos:
𝐴 0, 0, 0 ,
LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN DIFERENCIALES
Ejemplo: Considere un hemisferio sólido de radio 5 unidades, ubicado sobre el plano 𝑧 = 0. El sólido está definido en
𝜋
coordenadas esféricas por: 0 ≤ 𝑟 ≤ 5, 0 ≤ 𝜃 ≤ y 0 ≤ ∅ ≤ 2𝜋. Resuelva lo siguiente:
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a) Dibujo del objeto con la información dada.
b) Longitud desde el punto más alto de la esfera hasta la base.
c) Longitud de circunferencia en la base.
d) Área de la cara inferior en la basa.
e) Área de la superficie curva del hemisferio.
f)
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Volumen del hemisferio sólido.
Revisión anual
INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
La integral de línea ‫ 𝑙𝑑 ∙ 𝐴 𝐿׬‬es la integral del componente tangencial de A a lo largo de la curva L.
Dado un campo vectorial A y una curva L, definimos la integral como la integral de línea de A alrededor de L
Si la trayectoria de integración es una curva cerrada como abca en la figura, la ecuación se convierte en una integral de
contorno cerrada
que se denomina circulación de A alrededor de L.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Dado un campo vectorial A, continuo en una región que contiene la superficie lisa S, definimos la integral de superficie
o el flujo de A a través de S como
Para una superficie cerrada (que define un volumen),
que se denomina flujo neto saliente de A desde S.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Definimos la integral
como la integral de volumen del escalar 𝜌𝑣 sobre el volumen v.
El significado físico de una integral de línea, superficie o volumen depende de la naturaleza de la cantidad física
representada por A o 𝜌𝑣 .
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Ejemplo: Dado que 𝐹 = 𝑥 2𝑎𝑥 − 𝑥𝑧𝑎𝑦 − 𝑦 2𝑎𝑧 , calcule la circulación de F alrededor de la trayectoria (cerrada) que se
muestra en la figura.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Ejemplo: Dado que 𝐹 = 𝑥 2𝑎𝑥 − 𝑥𝑧𝑎𝑦 − 𝑦 2𝑎𝑧 ,
calcule la circulación de F alrededor de la
trayectoria (cerrada) que se muestra en la
figura.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Ejemplo: Dado que 𝐹 = 𝑥 2𝑎𝑥 − 𝑥𝑧𝑎𝑦 − 𝑦 2𝑎𝑧 , calcule:
a) La integral de superficie en las tres caras cuando 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 y 𝑧 = 1.
b) La integral de volumen, asumiendo que 𝜌𝑣 = ∇ ∙ 𝐹.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Ejemplo: Considera una figura de radio de 2m y altura de 3m, cuyo eje central coincide con el eje 𝑧. En coordenadas
cilíndricas, el volumen del cilindro está definido como: 0 ≤ 𝜌 ≤ 2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 y 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 . La figura percibe un campo
vectorial está dado por:
F = 2𝜌 a𝜌 + 3𝜌𝑧 a 𝜑 + 4𝑧 a 𝑧
y un densidad volumétrica escalar dada por:
𝜌𝑣 = 5𝜌𝑧
Calcule:
a) Dibuje la figura.
b) Calcule la circulación de F alrededor de la curva correspondiente a la circunferencia superior del cilindro en
dirección antihoraria.
c) Calcule el flujo de F a través de cada una de las superficies que delimitan el cilindro, con sus normales salientes.
d) Calcule la cantidad total de la magnitud escalar contenida en el volumen del cilindro.
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INTEGRALES DE LÍNEA, SUPERFICIE Y VOLUMEN
Ejemplo: Considera la mitad superior de una esfera de radio 4 m, ubicada de forma que su centro está en el origen y
𝜋
la base plana está en el plano 𝑧 = 0. Especificamente, la figura está definida por 0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ 𝜃 ≤ y 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋.
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En este escenario, existe un campo vectorial definido como:
F = 𝑟 2 a 𝑟 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 a 𝜃 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 a 𝜑
y una densidad volumétrica escalar dada por:
𝜌𝑣 = 2𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Calcule:
a) Dibuje la figura.
b) Calcule la circulación del campo F sobre la curva cerrada correspondiente al borde de la base plana en dirección
antihoraria.
c) Calcule el flujo del campo vectorial F saliendo de la hemiesfera a través de sus superficies.
d) Calcule la cantidad total de la magnitud escalar contenida en el volumen de la figura.
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OPERADOR DEL ∇
El operador del, escrito ∇, es el operador diferencial vectorial.
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
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OPERADOR DEL ∇
Este operador diferencial vectorial, también conocido como operador de gradiente, no es un vector en sí mismo, pero
cuando opera sobre una función escalar, por ejemplo, se obtiene un vector.
El operador del ∇ es útil para definir:
•
El gradiente de un escalar V, escrito como ∇𝑉
•
La divergencia de un vector A, escrita como ∇ ∙ 𝐴
•
El rotacional de un vector A, escrito como ∇ × 𝐴
•
El laplaciano de un escalar V, escrito como ∇2𝑉
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
El gradiente de un campo escalar en cualquier punto es la tasa máxima de cambio del campo en ese punto.
El gradiente de un campo escalar V es un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la tasa máxima
de aumento espacial de V.
En la ingeniería térmica, puede representar la temperatura T en un material. El gradiente de la temperatura indica la
dirección y la magnitud del flujo de calor. Si tienes un objeto metálico calentado en un extremo, el gradiente de
temperatura te dirá cómo y hacia dónde se está moviendo el calor dentro del objeto.
El gradiente es fundamental para analizar la transferencia de calor, la difusión de sustancias, y el diseño de sistemas de
refrigeración y calefacción.
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Propiedades fundamentales del gradiente de un campo escalar V:
1. La magnitud de ∇𝑉 es igual a la tasa máxima de cambio en V por unidad de distancia.
2. ∇𝑉 apunta en la dirección de la tasa máxima de cambio en V.
3. ∇𝑉 en cualquier punto es perpendicular a la superficie V constante que pasa por ese punto.
4. La proyección (o componente) de ∇𝑉 en la dirección de un vector unitario 𝑎 es ∇𝑉 ∙ 𝑎 y se llama derivada
direccional de V a lo largo de 𝑎. Esta es la tasa de cambio de V en la dirección de 𝑎.
5. Si 𝐴 = ∇𝑉, se dice que V es el potencial escalar de A.
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Se deben tener en cuenta las siguientes fórmulas de cálculo de gradientes, que se pueden demostrar fácilmente:
donde U y V son escalares y n es un entero.
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Ejemplo: Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares:
a) 𝑉 = 𝑒 −𝑧 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦
b) 𝑈 = 𝜌2𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝜙
c) 𝑊 = 10𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Ejemplo: Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares:
a) 𝑉 = 𝑒 −𝑧 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦
b) 𝑈 = 𝜌2𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝜙
c) 𝑊 = 10𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Ejemplo: Dado 𝑊 = 𝑥 2𝑦 2 + 𝑥𝑦𝑧, calcule ∇W y la derivada direccional 𝑑𝑊/𝑑𝑙 en la dirección 3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 + 12𝑎𝑧 en
𝑃(2, −1,0).
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GRADIENTE DE UN ESCALAR
Ejemplo: Dado 𝑊 = 𝑥 2𝑦 2 + 𝑥𝑦𝑧, calcule ∇W y la derivada direccional 𝑑𝑊/𝑑𝑙 en la dirección 3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 + 12𝑎𝑧 en
𝑃(2, −1,0).
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
La divergencia es una medida escalar que describe cómo un campo vectorial se dispersa o se concentra en un punto
dado en el espacio.
La divergencia de A en un punto dado P es el flujo saliente por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae
alrededor de P.
donde ∆𝑣 es el volumen encerrado por la superficie cerrada S en la que se encuentra P.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
La figura (a) muestra que la divergencia de un campo vectorial en el punto P es positiva porque el vector diverge (o se
dispersa) en P. En la figura (b) un campo vectorial tiene divergencia (o convergencia) negativa en P, y en la figura (c) un
campo vectorial tiene divergencia cero en P.
La divergencia es útil en la conservación de la masa, es decir, asegura que la cantidad de fluido que entra en un
volumen es igual a la cantidad que sale. Es esencial en la ingeniería civil para diseñar sistemas de tuberías, en la
ingeniería aeronáutica para entender el flujo de aire alrededor de las alas, y en muchas otras aplicaciones relacionadas
con la dinámica de fluidos.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Propiedades de la divergencia de un campo vectorial:
a) Produce un campo escalar (porque interviene el producto escalar).
b) ∇ ∙ 𝐴 + 𝐵 = ∇ ∙ 𝐴 + ∇ ∙ 𝐵
c) ∇ ∙ 𝑉𝐴 = 𝑉∇ ∙ 𝐴 + 𝐴 ∙ ∇𝑉
El teorema de divergencia establece que el flujo total saliente de un campo vectorial A
a través de la superficie cerrada S es el mismo que la integral de volumen de la
divergencia de A.
El teorema se aplica a cualquier volumen v delimitado por la superficie cerrada S tal
como el que se muestra en la figura.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Determinar la divergencia de estos campos vectoriales:
a) 𝑃 = 𝑥 2𝑦𝑧𝑎𝑥 + 𝑥𝑧𝑎𝑧
b) 𝑄 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜌 + 𝜌2𝑧𝑎𝜙 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝑧
1
c) 𝑇 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝜙
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Determinar la divergencia de estos campos vectoriales:
a) 𝑃 = 𝑥 2𝑦𝑧𝑎𝑥 + 𝑥𝑧𝑎𝑧
b) 𝑄 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜌 + 𝜌2𝑧𝑎𝜙 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝑧
1
c) 𝑇 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝜙
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Si 𝐺 = 10𝑒 −2𝑧 (𝜌𝑎𝜌 + 𝑎𝑧 ), determine el flujo de 𝐺 que sale de toda la superficie del cilindro 𝜌 = 1, 0 ≤ 𝑧 ≤
1. Confirme el resultado utilizando el teorema de divergencia.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Si 𝐺 = 10𝑒 −2𝑧 (𝜌𝑎𝜌 + 𝑎𝑧 ), determine el flujo de 𝐺 que sale de toda la superficie del cilindro 𝜌 = 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
Confirme el resultado utilizando el teorema de divergencia.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
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ROTACIONAL (CURL) DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES
El rotacional (o curl en inglés) de un vector mide la tendencia de un campo vectorial a rotar o a girar alrededor de un
punto en el espacio. Si el rotacional es cero, el campo es irrotacional en ese punto. A diferencia de la divergencia, que
produce un escalar, el rotacional produce otro vector que representa la circulación o el giro del campo alrededor de ese
punto.
El rotacional de A es un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área
cuando el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal del área cuando el área está orientada para hacer
máxima la circulación.
donde el área ∆𝑆 está limitada por la curva 𝐿 y 𝑎𝑛 es el vector unitario normal a la superficie ∆𝑆 y se determina
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utilizando la regla de la mano derecha.
ROTACIONAL (CURL) DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES
En la ingeniería eléctrica, si A es el campo eléctrico, el rotacional ∇ × 𝐴 está relacionado con el cambio temporal del
campo magnético, según las leyes de Maxwell. Este concepto es crucial para entender cómo las corrientes eléctricas
inducen campos magnéticos.
El rotacional es vital en electromagnetismo para el diseño de motores eléctricos, generadores, y transformadores.
También es esencial en la dinámica de fluidos para describir el vorticismo en un flujo, como el giro de un fluido
alrededor de un eje, lo cual es crítico en el diseño de sistemas de propulsión y aerodinámica. transferencia de calor.
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ROTACIONAL (CURL) DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
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ROTACIONAL (CURL) DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES
Propiedades del rotacional de un campo vectorial:
a) El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.
b)
∇× 𝐴+𝐵 =∇×𝐴+∇×𝐵
c)
∇× 𝐴×𝐵 = 𝐴 ∇∙𝐵 −𝐵 ∇∙𝐴 + 𝐵∙∇ A− 𝐴∙∇ B
d) ∇ × 𝑉𝐴 = V∇ × 𝐴 + V∇ × 𝐴
e)
La divergencia del rotacional de un campo vectorial se anula; es decir, ∇ ∙ ∇ × 𝐴 = 0.
f)
El rotacional del gradiente de un campo escalar se anula; es decir, ∇ × ∇Y = 0 o ∇ × ∇= 0.
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ROTACIONAL (CURL) DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES
El teorema de Stokes establece que la circulación de un campo vectorial 𝐴 alrededor de una trayectoria (cerrada) L es
igual a la integral de superficie del rotacional de A sobre la superficie abierta S limitada por L, siempre que 𝐴 y ∇ × 𝐴
sean continuos en S.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Determinar el rotacional de estos campos vectoriales:
a) 𝑃 = 𝑥 2𝑦𝑧𝑎𝑥 + 𝑥𝑧𝑎𝑧
b) 𝑄 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜌 + 𝜌2𝑧𝑎𝜙 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝑧
1
c) 𝑇 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝜙
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Determinar el rotacional de estos
campos vectoriales:
a) 𝑃 = 𝑥 2𝑦𝑧𝑎𝑥 + 𝑥𝑧𝑎𝑧
b) 𝑄 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜌 + 𝜌2𝑧𝑎𝜙 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝑧
1
c) 𝑇 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝜙
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Si 𝐴 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜌 + 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜙 , evalúe ‫ 𝑙𝑑 ∙ 𝐴 ׯ‬alrededor de la trayectoria que se muestra en la figura. Confirme
esto utilizando el teorema de Stokes.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
Ejemplo: Si 𝐴 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜙𝑎𝜌 + 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜙 , evalúe ‫𝑙𝑑 ∙ 𝐴 ׯ‬
alrededor de la trayectoria que se muestra en la
figura. Confirme esto utilizando el teorema de
Stokes.
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DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE DIVERGENCIA
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
El laplaciano de un escalar es una medida de la divergencia del gradiente de la función, lo que lo convierte en una
herramienta poderosa para analizar cómo cambia una función en un entorno tridimensional.
El laplaciano es una operación diferencial aplicada a una función escalar que resulta en otra función escalar. Esta
operación está dada por ∇2𝑉.
El laplaciano mide cómo la función se distribuye localmente en el espacio. Por ejemplo, si la función representa la
temperatura en un punto del espacio, el laplaciano de te dirá si hay un flujo neto de calor hacia ese punto o
alejándose de él. Si el laplaciano es positivo, el punto es un mínimo local en la función; si es negativo, es un máximo
local.
El laplaciano es utilizado en la ecuación de difusión de calor para predecir la distribución de temperatura en
materiales, en la ecuación de Poisson para resolver problemas de potencial eléctrico en la ingeniería eléctrica, y en
muchos otros campos. Es especialmente útil en el análisis de fenómenos de dispersión, difusión y oscilaciones en
sistemas dinámicos.
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
En coordenadas esféricas
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
Se dice que un campo escalar V es armónico en una región dada si su laplaciano se anula en esa región. En otras
palabras, si
Ecuación de Laplace
También es posible definir el Laplaciano de un vector A
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
Ejemplo: Encuentre el laplaciano de los siguientes campos escalares:
a) 𝑉 = 𝑒 −𝑧 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦
b) 𝑈 = 𝜌2𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝜙
c) 𝑊 = 10𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
Ejemplo: Encuentre el laplaciano de los siguientes campos escalares:
a) 𝑉 = 𝑒 −𝑧 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦
b) 𝑈 = 𝜌2𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝜙
c) 𝑊 = 10𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
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CLASIFICACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES
Un campo vectorial se caracteriza únicamente por su divergencia y su rotacional.
Ni la divergencia ni el rotacional de un campo vectorial son suficientes para describir completamente el campo. Todos
los campos vectoriales se pueden clasificar en términos de su divergencia o rotacional nulos o no nulos de la
siguiente manera:
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CLASIFICACIÓN DE CAMPOS VECTORIALES
Se dice que un campo vectorial A es solenoidal (o sin divergencia) si
Se dice que un campo vectorial A es irrotacional (o potencial) si
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