TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA
Formule su:
1. sin 2α = 2 sin α cos α
2. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
2tgα
3. tg 2α =
1 − tg 2α
4. ctg 2α =
Primeri:
1) a) sin 2α =
ctg 2α − 1
2ctgα
2tgα
Dokazati.
1 + tg 2α
sin 2α = 2 sin α cos α = (uvek možemo u imenioci dopisati 1, zar ne?)=
sin 2α =
2sin α cos α
2sin α cos α
=
= (trik: izvučemo zajednički i gore i dole
1
sin 2 α + cos 2 α
cos 2 α )=
2 sin α
2tgα
2tgα
cos α
= 2
=
2
 sin α
 tg α + 1 1 + tg 2α
2
+ 1
cos α ⋅ 
2
 cos α

cos 2 α ⋅
b) cos 2α =
1 − tg 2α
1 + tg 2α
Dokazati.
cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α
cos 2α = cos α − sin α =
=
= (isti trik, izvučemo
1
sin 2 α + cos 2 α
cos 2 α i gore i dole)
 sin 2 α 
cos 2 α 1 −

2
2
2
 cos α  = 1 − tg α = 1 − tg α , što je i trebalo dokazati.
=
 sin 2 α
 tg 2α + 1 1 + tg 2α
2
cos α 
+ 1
2
 cos α

2
2
1
v) sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α Dokazati.
sin 3α = sin( 2α + α ) → Iskoristimo formulu sin(⊕ + ⊙) = sin ⊕ cos⊙ + cos⊕ sin ⊙
= sin 2α cos α + cos 2α sin α → sad formule za dvostruki ugao
= (2 sin α cos α ) cos α + (cos 2 α − sin 2 α ) ⋅ sin α
= 2 sin α cos 2 α + sin α cos 2 α − sin 3 α
= 3 sin α cos 2 α − sin 3 α
(sad ćemo iz sin 2 α + cos 2 α = 1 izraziti cos 2 α = 1 − sin 2 α )
= 3sin α (1 − sin 2 α ) − sin 3 α
= 3sin α − 3sin 3 α − sin 3 α
= 3sin α − 4sin 3 α
4
Nadji vrednosti za dvostruke uglove ako je α u IV kvadrantu.
5
g) cos α =
Najpre ćemo izračunati sin α
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin 2 α = 1 − cos 2 α
4
sin α = 1 −  
5
16
sin 2 α = 1 −
25
9
sin 2 α =
25
9
sin α = ±
25
2
2
3
3
sin α = ± , pošto je ugao iz IV kvadranta uzećemo da je sin α = −
5
5
Sada je:
2
sin 2α = 2 sin α cos α
 3 4
= 2 −  ⋅
 5 5
24
=−
25
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
2
2
7
 4   3  16 9
=   −−  =
−
=
25 25 25
 5  5
24
−
sin 2α
24
tg 2α =
= 25 = −
7
cos 2α
7
25
2) Ako je sin α =0,6 i α pripada prvom kvadrantu, nadji vrednosti za
dvostruke uglove.
Sada ćemo prvo naći cos α
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos 2 α = 1 − sin 2 α
cos 2 α = 1 − (0,6) 2
cos 2 α = 1 − 0,36
cos 2 α = 0,64
cos α = ± 0,64
cos α = ±0,8
cos α = +0,8
sin 2α = 2 sin α cos α
= 2 ⋅ 0, 6 ⋅ 0,8
3 4 24
= 2⋅ ⋅ =
5 5 25
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
2
2
7
 4 3
=   −  =
25
5 5
24
sin 2α 25
=
tg 2α =
7
cos 2α
25
24
tg 2α =
7
3
3)Dokazati
a) sin 15o cos15o =
1
4
sin15o cos15o = (trik je da dodamo
2
)
2
2 sin 150 cos150
=
= (ovo u brojiocu je formula za sin 2α = 2 sin α cos α )
2
1
sin 30 o 2 1
=
= =
2
2 4
b) 1 − 4 sin 2 α cos 2 α = cos 2 2α
1 − 4sin 2 α cos 2 α = (pošto je formula sin 2α = 2 sin α cos α , to je
4 sin 2 α cos 2 α = sin 2 2α )
pa je 1 − 4sin 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 2α = cos 2 2α
4) Dokazati
a) 2 sin 2 α + cos 2α = 1
2 sin 2 α + cos 2α = 2 sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α
= sin 2 α + cos 2 α = 1
b) cos 4 α + sin 4 α = 1 − 0,5 sin 2 α
Da bi ovo dokazali podjimo od indentiteta:
sin 2 α + cos 2 α = 1 / Kvadriramo
sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α = 1
sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2sin 2 α cos 2 α
4sin 2 α cos 2 α
2
1
sin 4 α + cos 4 α = 1 − sin 2 2α
2
4
4
sin α + cos α = 1 − 0,5sin 2 2α
sin 4 α + cos 4 α = 1 −
( dodamo
2
izrazu 2sin 2 α cos 2 α )
2
(ovde je 4 sin 2 α cos 2 α = sin 2 2α )
4
5) Dokazati indetitet:
cos 4α + 4 cos 2α + 3 = 8 cos 4 α
Rešenje: Poći ćemo od leve strane da dokažemo desnu.
cos 4α + 4 cos 2α + 3 =
cos 2 ⋅ (2α ) + 4(cos 2 α − sin 2 α ) + 3 =
cos 2 (2α ) − sin 2 (2α ) + 4 cos 2 α − 4 sin 2 α + 3 =
(cos 2 α − sin 2 α ) 2 − (2sin α cos α ) 2 + 4 cos 2 α − 4sin 2 α + 3 =
(cos 2 α − (1 − cos 2 α )) 2 − 4sin 2 α cos 2 α + 4 cos 2 α − 4sin 2 α + 3 = [zamenimo sin 2 α = 1 − cos 2 α ]
(2 cos 2 α − 1)2 − 4 cos 2 α (1 − cos 2 α ) + 4 cos 2 α − 4(1 − cos 2 α ) + 3 =
4 cos 4 α −4 cos 2 α + 1 −4 cos 2 α + 4 cos 4 α +4 cos 2 α − 4 +4 cos 2 α + 3 =
= 8cos 4 α
A ovo smo trebali dokazati!!
x
x
6) Ako je sin + cos = 1,4
izračunati sin x
2
2
Rešenje: Kvadriraćemo datu jednakost.
x
x
sin + cos = 1, 4 / () 2
2
2
x
x
x
x
x
x
sin 2 + 2sin cos + cos 2 = 1,96 [ovde je 2sin cos = sin x]
2
2
2
2
2
2
1 + sin x = 1,96
sin x = 1,96 − 1
sin x = 0,96
7) Predstavi tg 3α kao funkciju od tgα
Rešenje:
tg 3α = tg (2α + α ) =
tg 2α + tgα
=
1 − tg 2α ⋅ tgα
2tgα + tgα (1 − tg α )
2tgα
+ tgα
2
1 − tg 2α
1 − tg α
=
=
2tgα
1 − tg 2α + 2tg 2α
1 − tgα ⋅
1 − tg 2α
1 − tg 2α
2
2tgα + tgα − tg 3α 3tgα − tg 3α
=
=
1 + tg 2α
1 + tg 2α
5
8) Dokaži indetitet:
1 + sin 2α
π

= 2 cos − α 
sin α + cos α
4

Rešenje:
1 + sin 2α
sin 2 α + cos 2 α + 2sin α cos α (sin α + cos α ) 2
=
=
sin α + cos α
sin α + cos α
sin α + cos α
2
= sin α + cos α = (trik: kod oba sabiraka ćemo dodati
tj.
2
2
2
2
)
2
2
2
2
cos α = izvučemo 2 kao zajednički
sin α +
2
2
 2

π
2
π
2
2
i cos =
zamenimo u izraz
2 
sin α +
cos α  = pošto je sin =
4
2
4
2
2
2


π
 π

2  sin sin α + cos cos α  = malo pretumbamo
4
4


π
π

2  cos cos α + sin α sin  = ovo u zagradi je formula za cos(α − β )
4
4

π

2 cos − α 
4

6