 目前一元的價值必較未來一元為高, 因為人有時間偏好
且貨幣具有時間的價值.
 三要項:
 本金 (現值):原先借入或借出的金額
 利息:使用該貨幣所經歷期間而給付的代價
 本利和 (終值): 未來給付的現金總額
 本金 (Principal)+利息(Interest)=本利和
 計息方式:
 單利
 複利
 單利:
 指計算利息的基礎, 以原始投入之本金為限, 已賺取而尚
未支付之利息不加入本金, 每期本金和利息金額相同.
 利息 (interest) = 本金 (principal)*利率 (interest rate)*期間(time period)
EX:
 存款1,000,000 ; 年利率12% ; 存款期2年; 採單利計息, 試
計算(1)第 1 年利息多少? (2) 第2年利息多少?(3)本利和多
少?
 (1)第 1 年利息=本金X利率X期間=1,000,000 * 12%*1=120,000
 (2) 第2年利息= 1,000,000 * 12%*1=120,000
 (3) 2年本利和=本金+利息=1,000,000+1,000,000 * 12%*2
複利及年金
複利公式總結
 終值
n
 單一金額複利終值因子 a ( n,i )(1i )
 普通年金終值因子
A n,i  
an,i  1
i
 現值
1
p ( n,i )
 單一金額複利現值因子
(1 i ) n
 普通年金現值因子
Pn,i  
1 pn,i 
i
複利:
 複利:
 利息的計算基礎包括本金和已賺得而尚未支付之利息.
每期已發生而尚未支付之利息加入本金,作為次期計算之
基礎(利滾利).
 計息可按年,季,月,日. Ex: 12%
單利與複利的差異
 我們來看看複利與單利的差異。本金$100元，利率為14%的情況下，可以
看出自第四年後，複利與單利間本利和的差距越來越大，這是因為複利每
一期以上一期本利和為計算利息的基礎。(實務上多採複利)
複利
單利
0
100
100
終值
700
1
114
114
600
2
129.96
128
500
3
148.1544
142
400
4
168.896
156
300
5
192.5415
170
200
6
219.4973
184
7
250.2269
198
8
285.2586
212
9
325.1949
226
10
370.7221
240
年期
複利
單利
100
0
0
2
4
6
8
10
12 年
複利的方式
 終值
 單一金額複利終值
 普通年金終值
 現值
 單一金額複利現值
 普通年金現值
二、複利終值
 單一金額複利終值:
 僅存入一筆金額經某特定期間, 以複利計算之終值
假設利率i，期數n
0
1
2
3………..
n
$1
1*(1+i)n
二、複利終值
FV  PV (1i ) n
FV: 複利終值
PV: 複利現值
i: 利率
n: 複利期間
終值因子a ( n,i )  (1  i )
n
EX
 東山公司於期初存款$1,000,000於銀行 ; 為期2年; 存款
利率12% ; 按年複利計息, 試計算2年後的終值是多少?
1,000,000*a ( 2 ,12%)1,000,000*(10.12)
1,254,400
2
第一節
終值
二、終值的意義
也可以選擇運用EXCEL
試算表中之函數運算功
能，操作如下：
1. 選擇『插入函數』
2. 選擇函數類別中『財務』
3. 選擇函數名稱中『FV』
4. 在出現對話匡中填入適當之數字
5. 在『Rate』中填入利率
6. 在『Nper』中填入期間之期數
7. 在『Fv』中填入到期時之金額
8. 在『Type』中選擇期初或期末付款
9. 或直接鍵入公式：
= -FV(利率,期間,現值,0)
10.按『Enter』及得答案
三、利率與期數對終值的敏感性分析


當複利利率固定不變，終
值與到期期數成正向變動
關係。也就是說，若是相
同之現值金額數、利率固
定之下，相對距離現在越
久價值越高。
若期間固定不變，則利率
越高，終值越高。也就是
說若通貨膨脹很大或銀行
基本利率很高，則相同之
現值、期間下，終值金額
將變大。
終值、利率與到期期間數之關係
終值金額
$30,000,000
3%
$25,000,000
5%
8%
$20,000,000
10%
$15,000,000
$10,000,000
終值到
期期數
$5,000,000
$0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
定期但不定額
 若定期不定額之支付, 需分別計算終值再加總
 嘉大公司共存款$100 於銀行 ; 為期2年; 第一年年初存
入$20,第二年年初存入$80 存款利率12% ; 按年複利計
息, 試計算2年後的終值是多少?
20*a ( 2 ,12%)80*a ( 1 ,12%)20*(10.12) 80*(10.12)
2
25.08889.6114.688
年金終值
一、年金的定義
 「年金（Annuity）」是指在一定期間於每期期末連續支付
(或存入)的固定金額之支付。例如：在五年內，每年年底
固定$1000的現金流量，則此現金流量就稱作年金。Excel
中年金每期固定支付的金額是以PMT來表示。
 如果年金的現金流量是發生在每期的期末，則此種年金稱
作「普通年金（Ordinary Annuity）」或者遞延年金。
 如果年金的現金流量是發生在每期的期初，則此種年金稱
作「期初年金」。財務上所見到的年金型態一般都是以普
通年金為主，所以如果沒有特別註明，都是指普通年金。
第三節 年金終值
二、年金計算公式
普通年金終值的概念可以用下列時間線來表示：
0
1
2
3
4
假設利率i，期數4
$1
$1
$1
$1
$1 * (1  i )1
$1 * (1  i )2
$1 * (1  i )3
第三節 年金終值
二、年金計算公式
普通年金終值的概念可以用下列時間線來表示：
0
1
2
3 ………………n
$1
$1
$1
$1
1 * (1  i )n 3
1 * (1  i )n 2
1 * (1  i )n1
1 * (1  i )n1  1 * (1  i )n 2  1 * (1  i )n 3  ...(1  i )n1  1
年金未來值利息因子公式證明
An,i   1  1  i   1  i   1  i   .....  1  i 
1
2
n 2
3
 1  i 
n 1
   (1)
左右同乘 (1+i)
1  i * An,i   1  i 1  1  i 2  1  i 3  1  i 4  .....  1  i n1  1  i n    (2)
(2)—(1)
An,i  iAn,i   An,i  1i  1
n
A n,i 
n

1i  1 an,i  1


i
i
19
EX
 東山公司每年年底存入$1,000,000於銀行 ; 連續期3年;
按12%複利計算, 試計算3年後普通年金的複利終值是
多少?

a ( 3 ,1 2%)1
10.12 1
1,000,000*A( 3 ,1 2%)1,000,000*
1,000,000*
0.12
0.12
1.4049281
1,000,000*
3,374,400
0.12
3
期初年金終值也可以下列時間線來表示：
0
1
2………………n-1……n
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT (1i )n
PMT (1  i )
PMT (1  i ) n 2
PMT (1  i ) n 1
PMT (1i )n
多算一期再減本金即可
PMT (1i )
n1
 PMT
現值
 「現值（Present Value）」是將未來某特定時點
之金錢價值折合成目前之金錢價值，而「折現
(Discounting)」, 就是將上一節複利的概念反推
回去求得過去某時點上實際的現金價值。
 現值
 單一金額複利現值
 普通年金現值
二、複利現值
 單一金額複利現值:
 僅存入一筆金額, 欲於期滿獲得特定金額,現在必須存入之價
值

假設利率i，期數n
0
?
?*(1+i)n=1
1
2
3………..
n
$1
單一金額複利現值
PV *(1i ) FV
n
1
PV FV *
(1i )n
FV: 複利終值
PV: 複利現值
i: 利率
n: 複利期間
1
現值因子p( n,i )
n
(1i )
EX:
 2年後可得現金$100, 若年利率12% ; 試計算現值為?
1
$100* p( 2 ,1 2%)$100*
2
(10.12)
$100*0.79719$79.719
第二節 現值
由圖我們可以發現：
 當折現利率固定不變，現
值與到期期數成反向變動
關係。也就是說，若是相
同之終值金額數、折現率
固定之下，距離現在越久
價值越低。
 若期間固定不變，則折現
利率越高，現值越低。也
就是說若通貨膨脹很大或
銀行基本利率很高，則相
同之終值、期間下，現值
將變小。
現值金額
$1,000,000
現值、利率與到期期間數之關係
$900,000
3%
$800,000
5%
$700,000
8%
$600,000
10%
$500,000
$400,000
$300,000
$200,000
到期期數
$100,000
$0
0
5
10
15
20
25
30
35
圖 5-3
40
年金現值
0
PMT (1i )1
PMT (1  i ) 2
PMT (1  i ) 3
PMT (1  i )  n
1
2
PMT
PMT
3
………………………n
PMT
PMT
1
1
1
Pn,i  

......
  (1)
2
n
1i  1i 
1i 
左右同乘1/ (1+i)
1
1
1
1
1
Pn,i  

......

  ( 2)
2
3
n
n1
1i
1i  1i 
1i  1i 
第(1)式—第(2)式

1 
1
1

n1
 1 1i  
*P n ,i   1i 


1

i


28
 1i 1 
1
1

 1i  
*P n ,i   1i 
1i n1


i
1
1
*P n ,i  

1i 
1i 1i n1
左右同乘 (1+i)
1
i*Pi ,n  1
n
1i 
29
1
iPn ,i  1
n
1i 
將i右移
1
1
n

1i  1 pn ,i 
Pn ,i  

i
i
30
EX
 東山公司預計於未來3年內, 每年年底自銀行提取
$1,000,000於銀行 ; 若存款利率為10%, 則現在應存入多
少?
1
1
3
1 p( 3 ,1 0%)

10.1
1,000,000*P( 3 ,1 0%)1,000,000*
1,000,000*
0.1
0.1
1,000,000*2.4868522,486,852
複利公式總結
 終值
n
 單一金額複利終值因子 a ( n,i )(1i )
 普通年金終值因子
A n,i  
an,i  1
i
 現值
1
p ( n,i )
 單一金額複利現值因子
(1 i ) n
 普通年金現值因子
Pn,i  
1 pn,i 
i
第9章加油