UNIDAD TEMÁTICA Nº 1
1. Modelos matemáticos.
Muchos sistemas dinámicos, ya sean mecánicos, eléctricos, económicos, etc., pueden ser caracterizados por ecuaciones diferenciales. Es decir que se puede obtener la respuesta de un sistema a
una entrada (o función excitadora) si se resuelven dichas ecuaciones. Para obtenerlas, se utilizan las
leyes físicas que gobiernan un sistema particular, como por ejemplo, las leyes de Newton para los
sistemas mecánicos o las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos, etc.
La descripción matemática de las características dinámicas de un sistema se denomina “modelo matemático”.
El primer paso en el análisis de un sistema dinámico, consiste en deducir su modelo matemático. Siempre hay que tener en cuenta que deducir un modelo matemático razonable es la parte
más importante de todo el análisis.
Los modelos matemáticos pueden adoptar diversas formas. Dependiendo del sistema y de
las circunstancias particulares, un modelo matemático puede ser más adecuado que otros modelos.
Para el análisis de la respuesta transitoria o la respuesta en frecuencia, de sistemas lineales invariantes en el tiempo, con una entrada y una salida, la función de transferencia es la representación más
adecuada. Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema, se pueden utilizar diversas
herramientas analíticas y de computación para lograr el análisis y la síntesis.
2. Simplicidad versus exactitud.
Es posible aumentar la exactitud de un modelo matemático incrementando su complejidad;
en algunos casos, se pueden incluir centenares de ecuaciones para describir un sistema completo.
Sin embargo, al determinar un modelo matemático, hay que lograr un equilibrio entre la simplicidad
del modelo y la exactitud de los resultados del análisis. No obstante, si no se requiere extremada
precisión, es preferible obtener solamente un modelo matemático razonablemente simplificado. De
hecho, por lo general quedamos satisfechos si podemos lograr un modelo que sea adecuado al problema en consideración. A pesar de todo, es importante considerar que los resultados obtenidos del
análisis solamente son válidos en la medida en que el modelo se aproxima al sistema dinámico respectivo.
Al desarrollar un modelo simplificado, a menudo es conveniente pasar por alto ciertas características físicas inherentes al sistema. En particular, si se desea un modelo matemático con parámetros concentrados lineales (es decir, uno que emplee ecuaciones diferenciales ordinarias), es necesario hacer caso omiso de ciertas alinealidades y parámetros distribuidos (es decir, los que dan lugar a
ecuaciones en derivadas parciales) que puedan darse o hallarse presentes en sistema físico. Si los
efectos que esas características despreciadas producen en la respuesta son pequeños, se logra una
buena concordancia entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del
estudio experimental del sistema físico.
En general, al resolver un problema nuevo, es deseable construir primero un modelo simplificado, para tener una idea general de la solución. Luego se puede elaborar un modelo matemático
más complejo, y utilizarlo para un análisis más completo.
Hay que tener bien presente el hecho de que un modelo lineal, de parámetros concentrados,
puede ser válido en operaciones de baja frecuencia, pero puede no serlo a frecuencias suficientemente elevadas, ya que las propiedades despreciadas de los parámetros distribuidos, pueden volverse un factor importante en el comportamiento dinámico del sistema. Por ejemplo, se puede despreciar la masa de un resorte en operaciones de baja frecuencia, pero a frecuencias altas se convierte en
una propiedad del sistema.
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3. Sistemas lineales.
Los sistemas lineales son aquellos en que las ecuaciones del modelo son lineales. Una ecuación diferencial es lineal si los coeficientes son constantes o funciones únicamente de la variable independiente.
La propiedad más importante de los sistemas lineales es que se les puede aplicar el principio
de superposición. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una
entrada a la vez, y sumando los resultados. Este es el principio que permite elaborar soluciones
complicadas de las ecuaciones diferenciales lineales partiendo de soluciones simples.
En una investigación experimental sobre un sistema dinámico, si causa y efecto son proporcionales, lo que implica que el principio de superposición es válido, el sistema puede considerarse
lineal.
4. Sistemas lineales invariantes en el tiempo y sistemas línea1es variables en el tiempo.
Los sistemas dinámicos que son lineales y están constituidos por componentes concentrados
lineales e invariantes en el tiempo, pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Estos sistemas reciben el nombre de sistemas lineales invariantes en el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas representados
por ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, reciben el nombre de sistemas lineales variables en el tiempo. Un ejemplo de sistema variable en el tiempo, es el sistema de
control de un vehículo espacial. (La masa del vehículo se modifica debido al consumo de combustible).
5. Sistemas no lineales.
Un sistema es no lineal si no se le aplica el principio de superposición. Así, para un sistema
no lineal, no se puede calcular la respuesta a dos entradas determinando una a la vez y sumando los
resultados. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales:
2
d 2 x  dx 
+   + x = A ⋅ sen(ω ⋅ t )
dt 2  dt 
(
)
d 2x
dx
+ x2 −1 ⋅ + x = 0
2
dt
dt
d 2 x dx
+ + x + x3 = 0
2
dt
dt
Aunque muchas relaciones físicas se representan frecuentemente por ecuaciones lineales, en
la mayoría de los casos, las relaciones reales no son lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los
sistemas físicos indica que aún los denominados “sistemas lineales” son realmente lineales solamente en rangos de operación restringidos.
En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., establecen
relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse
para niveles elevados de la señal de entrada.
Puede haber una franja o zona muerta que afecte las señales de pequeña magnitud. (La franja muerta de un componente, es el pequeño rango de variaciones de entrada a las que el componente
es insensible). También se puede producir alinealidad cuadrática en algunos componentes.
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Por ejemplo, los amortiguadores utilizados en sistemas físicos, que pueden ser lineales para
operación a bajas velocidades, pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguación es proporcional al cuadrado de la velocidad de operación.
En la Fig. 1 se pueden ver ejemplos de curvas características de estas linealidades.
Fig. 1
En general los procedimientos para hallar soluciones a problemas de sistemas no lineales,
son en extremo complicados. Debido a esta dificultad matemática inherente a los sistemas no lineales, a menudo se encuentra necesario introducir sistemas lineales “equivalentes”, para remplazar los
no lineales. Estos sistemas lineales equivalentes son válidos solamente en un rango restringido de
operación. Una vez conseguida la aproximación de un sistema no lineal por medio de un modelo
matemático lineal, se pueden aplicar herramientas lineales para su análisis y diseño.
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6. FUNCION DE TRANSFERENCIA
En la teoría de control, se utilizan frecuentemente funciones denominadas funciones de
transferencia, para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo.
La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en
el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación), bajo la suposición de que todas
las condiciones iniciales son cero.
Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones diferenciales:
(n)
( n −1)
(•)
(m)
( m −1)
(•)
a 0 y + a1 y + ... + a n −1 y + a 0 y = b0 x + b1 x + ... + bm −1 x + bm x
con (n ≥ m)
(1.1)
donde “y” es la salida del sistema y “x” es la entrada. La función de transferencia de este sistema
se obtiene, tomando las transformadas de Laplace de ambos miembros de la ecuación (1.1), bajo la
suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o sea
Función de transferencia = G ( s ) =
Y ( s ) b0 s m + b1 s m −1 + ... + bm −1 s + bm
L [salida ]
=
=
L [entrada ] cond . iniciales nulas X ( s ) a 0 s n + a1 s n −1 + ... + a n −1 s + a n
Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un
sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.
6.1. Comentarios sobre la función de transferencia.
La aplicación del concepto de función de transferencia queda limitada a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. A continuación, se listan importantes comentarios sobre la función de transferencia. (Nótese que dentro de la lista se hace referencia a un sistema descrito por una ecuación diferencial lineal, invariante en el tiempo).
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático en el sentido de que es un
método operacional de expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con
la variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la magnitud
y naturaleza de la entrada o función impulsora.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; no obstante, no brinda ninguna información respecto a la estructura física del sistema (Las
funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente distintos pueden ser idénticas).
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta
para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza
del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema. Una
vez establecida, una función de transferencia brinda una descripción completa de las características dinámicas del sistema, tan definida como su descripción física.
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7. Sistema mecánico de traslación
Fig. 2
Sea el sistema de resorte, masa y amortiguador que se muestra en la Fig. 2.
Un amortiguador es un dispositivo que provee fricción viscosa o amortiguamiento. Consiste
en un pistón y un cilindro relleno de aceite. Cualquier movimiento relativo entre el eje del pistón y
el cilindro, encuentra resistencia producida por el aceite, debido a que éste debe fluir alrededor del
pistón (o a través de orificios provistos en el pistón), de un lado del pistón al otro. El amortiguador
esencialmente absorbe energía. Esta energía absorbida es disipada como calor y el amortiguador no
almacena ninguna energía cinética ni potencial.
Se debe obtener la función transferencia de este sistema, suponiendo como entrada a la fuerza x(t) y como salida el desplazamiento y(t) de la masa.
Se ha de proceder de acuerdo con los siguientes pasos:
1. Plantear la ecuación diferencial del sistema.
2. Tomar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero.
3. Hallar la relación de la salida Y(s) respecto a la entrada X(s). Esta relación será la función
transferencia.
Para establecer una ecuación diferencial invariante en el tiempo, se supone que la fuerza de
•
fricción del amortiguador es proporcional a ( y ) y que el resorte es un resorte lineal. Es decir que la
fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y.
En este sistema m indica la masa, f el coeficiente de fricción viscosa y k indica la constante
del resorte.
La ley fundamental que gobierna los sistemas mecánicos, es la ley de Newton. Para este tipo
de sistema traslacional, dicha ley establece que:
m⋅a = ∑F
Aplicándola al sistema en cuestión, se obtiene:
m⋅
d 2 y (t )
dy (t )
= x(t ) − k ⋅ y (t ) − f ⋅
2
dt
dt
Operando:
x(t ) = m ⋅
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d 2 y (t )
dy (t )
+f⋅
+ k ⋅ y (t )
2
dt
dt
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Tomando la Transformada de Laplace:
X ( s) = m ⋅ s 2 ⋅ Y ( s) + f ⋅ s ⋅ Y ( s) + k ⋅ Y ( s)
que podemos escribir:
X ( s ) = (m ⋅ s 2 + f ⋅ s + k ) ⋅ Y ( s )
Entonces:
Y (s)
1
=
2
X ( s) (m ⋅ s + f ⋅ s + k )
y finalmente:
1
Y (s)
m
Función de Transferencia (Sistema Mecánico)= H(s) =
=
(1.2)
X ( s) ( s 2 + f ⋅ s + k )
m
m
Se aprecia, entonces, que la función de transferencia y sus componentes tienen valores que dependen solamente de las constantes físicas del sistema.
8. Analogía Eléctrica
Consideremos el circuito de la Fig. 3
Fig. 3
Aplicando la Ley de Kirchhoff:
e(t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅
Considerando que i (t ) =
di (t ) 1
+ ⋅ ∫ i (t ) ⋅ dt
dt
C
dq (t )
, puede escribirse:
dt
d 2 q(t ) 1
dq(t )
e(t ) = R ⋅
+ L⋅
+ ⋅ q(t )
dt
dt 2
C
Tomando la Transformada de Laplace:
E ( s) = s ⋅ Q( s ) ⋅ R + L ⋅ s 2 ⋅ Q( s ) +
1
⋅ Q( s )
C
que podemos escribir:
E ( s) = Q( s) ⋅ ( R ⋅ s + L ⋅ s 2 +
1
)
C
y finalmente:
Función de Transferencia (Sist. Eléctrico) = H(s) =
1
L
Q( s)
1
=
=
(1.3)
R
1
E ( s) L ⋅ s 2 + R ⋅ s + 1
2
s + ⋅s +
C
L
L ⋅C
Comparando las ecuaciones (1.2) y (1.3) podemos apreciar fácilmente las analogías entre ambos
sistemas.
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AGREGADO A UNIDAD TEMÁTICA Nº 1
Ecuaciones de elementos de Sistemas Físicos
Sistema Eléctrico.
Corriente: i(t ) [A]
Tensión: V (t ) [V ]
Inductancia: L [Hy ]
Resistencia: R [Ω ]
V (t ) = R ⋅ i (t )
di (t )
dt
V (t ) = L ⋅
1
⋅ V (t )
R
i (t ) =
Capacitor: C [F ]
V (t ) =
1 t
V (t )·dt
L −∫∞
i (t ) =
1 t
i(t )·dt
C −∫∞
i (t ) = C ⋅
dV (t )
dt
Sistema Mecánico Translacional
m
 Kg ·m 
Fuerza: F (t ) [N ] =  2  Velocidad: v(t )  
s
 s 
Amortiguador: B 
N ·s 

 m 
Masa: M [Kg ]
F (t ) = B ⋅ v(t )
F (t ) = M ⋅
dv (t )
dt
1
⋅ F (t )
B
t
v(t ) =
v (t ) =
N
Resorte: K  
m
t
F (t ) = K ∫ v(t )·dt
−∞
1
F (t )·dt
M −∫∞
1 dF (t )
⋅
K
dt
v(t ) =
Sistema Mecánico Rotacional
 Kg ·m 2 
Momento: T (t ) [N ·m] = 

2
 s

1 
Velocidad angular: ω (t )  
s
Amortiguador
Momento de
BR [N ·m·s]
Viscoso:
Inercia:
J [Kg·m 2 ]
T (t ) = B ⋅ ω (t )
T (t ) = J ⋅
1
⋅ T (t )
B
t
ω (t ) =
ω (t ) =
N
KR  
Resorte
Torsional:
dω (t )
dt
m
t
T (t ) = K R ∫ ω (t )·dt
−∞
1
T (t )·dt
J −∫∞
v(t ) =
1 dT (t )
⋅
KR
dt
Sistema Mecánico de Fluidos
 N 
Presión: P(t )  2 
m 
Resistencia
Hidráulica:
RH 
P (t ) = R H ⋅ q (t )
q(t ) =
1
⋅ P(t )
RH
N ·s 
5 
m 
Inertancia
Hidráulica:
P (t ) = L H ⋅
q (t ) =
 m3 
Flujo: q(t ) 

 s 
 N ·s 2 
5 
 m 
LH 
Compliance
Hidráulica:
dq (t )
dt
P (t ) =
1 t
P(t )·dt
L H −∫∞
 m5 

N 
CH 
1 t
q(t )·dt
C H −∫∞
q(t ) = C H ⋅
dP(t )
dt
Sistema Físico Calórico
J 
Flujo Calórico: q(t )  
s
Temperatura (*): θ (t ) [º C ]
RT 
º C·s 

 J 
Capacidad
Térmica:
CT 
θ (t ) = RT ⋅ q (t )
θ (t ) =
1 t
q (t )·dt
CT −∫∞
Resistencia
Térmica:
q(t ) =
(*)
1
⋅ θ (t )
RT
J 

º C 
q(t ) = CT ⋅
dθ (t )
dt
La temperatura se mide respecto a la temperatura ambiente
Analogías entre Sistemas Físicos
Modelización Serie
Modelización Paralelo
V (t ) ≡ F (t ) ≡ T (t ) ≡ P(t ) ≡ θ (t )
i (t ) ≡ v(t ) ≡ ω (t ) ≡ q(t ) ≡ q(t )
V (t ) ≡ v(t ) ≡ ω (t ) ≡ q(t )
i(t ) ≡ F (t ) ≡ T (t ) ≡ P(t )
Eléctrico
R
L
C
R
L
C
Traslacional
B
M
1
K
1
K
M
Rotacional
BR
J
1
KR
1
KR
J
Fluidos
RH
LH
CH
1
B
1
BR
1
RH
CH
LH
Calórico
RT
-----
CT
Sistemas
Transformador Ideal
Engranajes Ideales
V P (t ) i S (t ) N P
=
=
V S (t ) i P (t ) N S
T1 (t ) ω 2 (t ) N 1
=
=
T2 (t ) ω 1 (t ) N 2
Reflexiones de un Circuito de secundario a Primario de Transformador
Relación de Transformación: η =
Modelización Serie
Resistencia
V P (t ) = η 2 ·R ⋅ i P (t )
Inductancia
V P (t ) = η 2 ·L ⋅
Capacitor
V P (t ) =
η2 t
di P (t )
dt
i P (t )·dt
C ∫
−∞
NP
NS
Modelización Paralelo
1
⋅ V P (t )
η ·R
i P (t ) =·
i P (t ) =
2
1 t
V P (t )·dt
η 2 ·L −∫∞
i P (t ) =
C dV P (t )
⋅
dt
η2