Practica dirigida
N°3
ING. OSCAR LOLI CÁRDENAS
Ejemplos
1) Demuestre que las rectas
paralelas:
ℒ1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0 y
ℒ1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0
Tienen en el plano xy la siguiente
distancia:
𝐶1 − 𝐶2
𝑑 ℒ1 , ℒ2 =
𝐴2 + 𝐵 2
Solución:
Se tiene el vector director de
ambas rectas :
𝑎റ = 𝐵, −𝐴
Y los puntos que son parte
de cada recta:
𝐶1
𝑃01 = 0, −
𝐵
𝐶2
𝑃02 = 0, −
𝐵
Según la fórmula comprobada en
clase:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶
𝑑 𝑃0 , ℒ =
𝐴2 + 𝐵 2
Cualquier punto de la primera
recta tiene la misma distancia
con la segunda recta, por lo que
si reemplazamos el punto dato
de la primera en la anterior
ecuación se dará la distancia
entre rectas
Ejemplos
𝑑 𝑃01 , ℒ2
−𝐶1ൗ
𝐴 0 +𝐵
𝐵 + 𝐶2
=
𝐴2 + 𝐵 2
𝑑 𝑃01 , ℒ2 =
𝐶2 − 𝐶1
𝐴2 + 𝐵 2
=
𝑑 𝑃01 , ℒ2 =
𝐶1 − 𝐶2
𝐴2 + 𝐵 2
𝐶1 − 𝐶2
𝐴2 + 𝐵 2
2) Calcule la distancia entre las
siguientes rectas que se cruzan:
ℒ1 : 𝑥 = 1 + 𝑡, 𝑦 = −2 + 3𝑡, 𝑧 = 4 − 𝑡
ℒ2 : 𝑥 = 2𝑠, 𝑦 = 3 + 𝑠, 𝑧 = −3 + 4𝑠
Solución:
Dado que las rectas ℒ1 y ℒ2 se cruzan,
se observa que se encuentran en dos
planos paralelos, esto es probado por
existencia y unicidad, es decir:
Existencia: Indica que existe al menos
un objeto, solución o punto que
cumple con las propiedades
establecidas en el problema
Ejemplos
Unicidad: Establece que esa
solución encontrada es la única
posible y no hay otras alternativas.
Los planos paralelos son 𝑃1 y 𝑃2 . La
distancia entre ℒ1 y ℒ2 es la misma
que la distancia entre 𝑃1 y 𝑃2 . El
vector normal común de los dos
planos debe ser ortogonal tanto
de 𝑉1 = 1,3, −1 (la dirección de
ℒ1 )como a 𝑉2 = 2,1,4 (la dirección
de ℒ2 ), así el vector normal es:
𝑖Ƹ
𝑛 = 𝑉1 + 𝑉2 = 1
2
𝑗Ƹ
3
1
𝑘෠
−1 = 13, −6, −5
4
Si se supone que s=0 en las
ecuaciones de ℒ2 , se obtiene el
punto 0,3, −3 en 𝑃2 y, por lo tanto,
una ecuación de 𝑃2 es:
13 𝑥 − 0 − 6 𝑦 − 3 − 5 𝑧 + 3 = 0
13𝑥 − 6𝑦 − 5𝑧 + 3 = 0
Si ahora se establece que t=0 en las
ecuaciones de ℒ1 , se obtiene el
punto 1, −2,4 en 𝑃1 . Por
consiguiente, la distancia entre ℒ1 y
ℒ2 es igual a la distancia de
1, −2,4 a 13𝑥 − 6𝑦 − 5𝑧 + 3 = 0.
Ejemplos
Por formula de la clase de teoría se
obtiene la distancia:
𝑑 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜, 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 =
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 =
𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2
13 1 − 6 −2 − 5 4 + 3
132 + −6 2 + −5 2
8
230
3) Determine la ecuación de la
recta que es ortogonal a las
rectas ℒ1 y ℒ2 definidas como:
ℒ1 =
1,2,2 + 𝜆1 −1,2,1 /𝜆1 𝜖ℝ
ℒ2 =
3, −1,2 + 𝜆2 2,1, −4 /𝜆2 𝜖ℝ
Solución:
ℒ1 yℒ2 no son paralelas. Verifiquemos si se
cortan o se cruzan
Comprobamos si es que los vectores
directores de ambas rectas 𝑎റ1 = −1,2,1 y
𝑎2 = 2,1, −4 son coplanares con el vector
formado por los puntos de ambas rectas 𝑐റ =
1,2,2 − 3, −1,2 = −2,3,0 . Entonces:
Ejemplo
−1
𝑎1 𝑎2 𝑐റ = 2
−2
2 1
1 −4 = 12 ≠ 0
3 0
Por lo tanto ℒ1 y ℒ2 se cruzan
Si R ϵ ℒ1 -> 𝑅 1 − 𝜆1 , 2 + 2𝜆1 , 2 + 𝜆1 ; 𝜆1 𝜖ℝ
Si S ϵ ℒ2 -> S 3 + 2𝜆2 , 𝜆2 − 1,2 − 4𝜆2 ; 𝜆2 𝜖ℝ
Del gráfico mostrado:
𝑆𝑅 = −2 − 𝜆1 − 2𝜆2 , 3 + 2𝜆1 − 𝜆2 , 𝜆1 + 4𝜆2
Por condición de la pregunta:
𝑆𝑅 ⊥ 𝑎1 ⇒ 𝑆𝑅 ∙ 𝑎1 = 0 ⇒
−1 −2 − 𝜆1 − 2𝜆2 + 2 3 + 2𝜆1 − 𝜆2 + 1 𝜆1 + 4𝜆2 = 0
6𝜆1 + 4𝜆2 = −8
𝑆𝑅 ⊥ 𝑎2 ⇒ 𝑆𝑅 ∙ 𝑎2 = 0 ⇒
2 −2 − 𝜆1 − 2𝜆2 + 1 3 + 2𝜆1 − 𝜆2 − 4 𝜆1 + 4𝜆2 = 0
4𝜆1 + 21𝜆2 = −1
Ejemplo
82
𝜆1 = −
55
13
𝜆2 =
55
Entonces un punto de la recta sería S:
S = 3 + 2𝜆2 , 𝜆2 − 1,2 − 4𝜆2
26 13
52
= 3+
,
− 1,2 −
55 55
55
191 42 58
=
,− ,
55
55 55
𝑆𝑅 ∥ 𝑎1 × 𝑎2
𝑖Ƹ
𝑎1 × 𝑎2 = −1
2
ℒ = 𝑃𝜖ℝ3 |𝑃 =
𝑗Ƹ
2
1
𝑘෠
1 = −9, −2, −5
−4
191 42 58
,− ,
+ 𝑡 ∗ 9,2,5 ; 𝑡 ∗ 𝜖ℝ
55
55 55
4) Encontrar la ecuación de la
recta que pasa por el origen, es
perpendicular a la recta 𝑥 = 𝑦 −
5, 𝑧 = 2𝑦 − 3 e interseca a la
recta 𝑦 = 2𝑥 + 1 ⋀𝑧 = 𝑥 + 2
Solución:
Sea:
𝑌−1
𝑍+3
ℒ2 : 𝑋 =
=𝑍−2
ℒ1 : 𝑋 + 5 = 𝑌 =
2
2
Sea el vector director de ℒ1 : 𝑎1 = 1,1,2 y el vector
director de ℒ2 : 𝑎2 = 1,2,1 y sea el vector que une
una de las rectas con la otra el vector 𝑐റ = 0,1,2 −
−5,0, −3 = 5,1,5 . Entonces:
1
𝑎1 𝑎2 𝑐റ = 1
5
1 2
2 1 = −9 ≠ 0
1 5
Entonces ℒ1 y ℒ2
se cruzan
Ejemplo
Como 𝑂𝑆 ∥ 𝑂𝑅 y 𝑂𝑆 ⊥ ℒ1 ⇒ 𝑂𝑅 ⊥ ℒ1
𝑂𝑅 = 0,1,2 + 𝑡 1,2,1 /𝑡𝜖ℝ
𝑂𝑅 ∙ 𝑎1 = 𝑡, 2𝑡 + 1, 𝑡 + 2 ∙ 1,1,2 = 0
𝑡 = −1
ℒ = 𝑃𝜖ℝ3 |𝑃 = 𝑠 −1, −1,1 ; 𝑠 𝜖ℝ
Entonces el vector director de ℒ1 es
perpendicular a 𝑂𝑅. Siendo R parte de
ℒ2 , entonces: