Exemplos e Exercı́cios – Cálculo IV
Aula 01 – Integrais duplas sobre retângulos
Exemplo 5. Seja
R = {(x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}.
Calcule
ZZ √
1 − x2 dA.
R
Exemplo 7. Resolva as seguintes integrais iteradas:
Z 2 Z π/4
1.
6y 2 cos(2x) dxdy
0
0
Z 4Z 1
2.
1
3.
xexy dydx
0
Z 2Z 1√
−2
Z 1 Z π/4
4.
0
1 − x2 dxdy
−1
0
4e2x (3 − 4e2x )
dydx
1 − 2e2x cos(2y)
Exemplo 8. Seja
R = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.
Calcule
ZZ
2e2x − 5y 4 dA.
R
Exemplo 9. Seja
R = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π}.
Calcule
ZZ
y sin(xy) dA.
R
Exemplo 10.
Z √π Z 2
0
2xy sin(xy 2 ) dxdy.
1/2
1
Exemplo 11.
Z 1 Z π/4
0
0
2 cos(2y)e2x (5 − 16e2x )
dydx.
1 − 4e2x
Exemplo 12. Considere f (x, y) = 5 − x2 − y 2 . Determine o volume do
sólido acima do retângulo
R = [0, 1] × [0, 2].
Exemplo 13 (Bônus). Determine o volume do sólido abaixo de
p
f (x, y) = 52 − x2 − y 2
e acima da região
R = {(x, y) ∈ R2 ; 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 6}.
2
Aula 02 – Integrais duplas sobre regiões gerais
Exemplo 2. Calcule
ZZ
(x + 2y) dA,
D
onde D é a região limitada pelas parábolas y = x2 + 3 e y = 4x2 .
Exemplo 4. Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide z =
x2 + y 2 e acima da região limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2 .
Exemplo 5. Calcule
ZZ p
4 − y 2 dA,
D
onde D é a região no primeiro quadrante limitada por x2 + y 2 = 4.
Exemplo 6. Calcule
ZZ
xy dA,
D
onde D é a região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y 2 = 2x + 6.
Exemplo 7. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2,
x = 2y,
x = 0,
z = 0.
Exemplo 8. Resolva
Z 2Z 1
0
cos(y 2 ) dydx.
x/2
Exercı́cio 11. Seja D a região entre dois quadrados centrados na origem,
de lados 2 e 4. Mostre que
ZZ
ex+y dA = 4 sinh(3) sinh(1).
D
Exemplo 14. Use a Proposição 13 para estimar
ZZ
2
e2 sin(x) cos(y ) dA,
D
onde D é o disco de raio 5.
3
Exemplo 16. Calcule
ZZ
(8x2 + 3y) dA,
R
onde R é a região entre os cı́rculos x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 = 4, no semiplano
superior.
Exemplo 17. Determine o volume limitado pelo plano z = 0 e pelo
paraboloide
z = 1 − x2 − y 2 .
Exemplo 19. Use integral dupla para determinar a área de um laço da
rosácea
r = 2 cos(2θ).
Exemplo 20. Determine o volume do sólido sob
z = x2 + y 2 ,
acima do plano xy e dentro do cilindro
x2 + y 2 = 2x.
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