Universidade de Aveiro
Exame Final de Cálculo II - Agrupamento 2
27 de junho de 2022
Duração: 2 horas e 30 minutos
No Mec.:
Nome:
Declaro que desisto
Informações
1. Esta prova é constituı́da por 8 questões (enunciado com frente e verso). Responda à questão 8
no enunciado e entregue-a juntamente com as suas folhas de resposta.
2. Justifique todas as suas respostas, indicando os cálculos efetuados e/ou os conceitos teóricos
utilizados.
3. Caso pretenda desistir desta prova, assinale-o no cabeçalho desta folha assinando no local a isso
destinado e entregue-a juntamente com todas as folhas que lhe foram distribuı́das no inı́cio do
exame (enunciado, folhas de resposta e de rascunho).
4. No verso desta folha consta o formulário que pode utilizar na realização da prova.
5. Garanta que tem em cima da mesa de prova um documento que o identifique, com fotografia
(preferencialmente o Cartão de Estudante).
6. Só pode levar para a mesa onde vai realizar a prova material de escrita, não sendo permitido
o uso de qualquer tipo de calculadora. Não pode ter consigo telemóvel nem qualquer
dispositivo eletrónico, como smartwatch, auriculares, ... (ainda que desligados).
Função
tn
(n ∈ N0 )
cos(at)
(a ∈ R)
Formulário Transformada de Laplace
Transformada
Função Transformada
Função
sn+1
(s > 0)
eat
(a ∈ R)
1
s−a
(s > a)
sen (at)
(a ∈ R)
Transformada
a
2
s + a2
(s > 0)
s
s2 + a2
(s > 0)
senh(at)
(a ∈ R)
a
s 2 − a2
(s > |a|)
cosh(at)
(a ∈ R)
s
s2 − a2
s > |a|
n!
Propriedades da transformada de Laplace
F (s) = L{f (t)}(s), com s > sf
L{f (t) + g(t)}(s) = F (s) + G(s) , s > max{sf , sg }
L{αf (t)}(s) = αF (s) , s > sf e α ∈ R
L{eλt f (t)}(s) = F (s − λ) , s > sf + λ e λ ∈ R
L{tn f (t)}(s) = (−1)n F (n) (s) , s > sf e n ∈ N
L{f (t − a)}(s) = e−as F (s) , s > sf e a > 0
L{f (at)}(s) =
1 s
, s > a sf e a > 0
F
a
a
L{f (n) (t)}(s) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − sn−2 f ′′ (0) − . . . − f (n−1) (0)
com s > max{sf , sf ′ , sf ′′ . . . , sf (n−1) }, n ∈ N
Formulário de Primitivas
Função
Primitiva
Função
Primitiva
Função
Primitiva
ur u′
(r ̸= −1)
ur+1
r+1
u′
u
ln |u|
u′ eu
eu
u′ au
au
ln a
u′ cos u
sen u
u′ sen u
− cos u
u′ sec2 u
tg u
u′ cosec2 u
− cotg u
u′ sec u ln | sec u + tg u|
− ln | cosec u + cotg u|
u′
√
1 − u2
− arccos u
ou
arcsen u
u′
1 + u2
u′ cosec u
arctg u
ou
−arccotgu
Algumas fórmulas trigonométricas
sec u =
1
cos u
cosec u =
1
sen u
sen (2u) = 2 sen u cos u
cos (2u) = cos2 u − sen2 u
cos2 u =
1 + cos (2u)
2
sen2 u =
1 − cos (2u)
2
1 + tg2 u = sec2 u
1 + cotg2 u = cosec2 u
Universidade de Aveiro
Exame Final de Cálculo II - Agrupamento 2
27 de junho de 2022
Duração: 2 horas e 30 minutos
No Mec.:
Nome:
1. (35 pts) Considere a função definida em R2 por f (x, y) = x2 + xy + y 2 + y.
(a) Justifique que f é uma função diferenciável em R2 .
(b) Determine, caso existam, os extremos locais de f , indicando os respetivos extremantes.
(c) Determine os extremos de f sujeita à condição x2 + y 2 = 1.
(d) Considere o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. A função f admite extremos globais
em C? Em caso afirmativo, determine-os.
2. (25 pts) Seja f a função definida por f (x) =
√
x.
(a) Escreva a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função f no ponto c = 1.
(b) Utilizando a fómula obtida na alı́nea anterior, determine um valor aproximado para
indicando um majorante para o erro absoluto cometido nessa aproximação.
3. (25 pts) Considere a série de potências
+∞
X
(x − 2)n
n5n
n=1
√
1.01,
.
(a) Determine o domı́nio de convergência da série de potências dada.
(b) Determine a soma da série
+∞
X
(x − 2)n
n=1
n5n
.
4. (20 pts) Determine a solução da equação diferencial xy ′ + 2y = 5x2 que satisfaz a condição
y(1) = 3.
5. (20 pts) Calcule L et cos(2t) + 3t cosh(−5t) .
6. (30 pts) Considere a função f : D ⊆ R2 → R dada por f (x, y) =
5
ln(x2 + y 2 )
.
(a) Determine e represente geometricamente o domı́nio D da função f .
(b) Identifique as curvas de nı́vel k ̸= 0 da função f .
(c) Indique o contradomı́nio de f .
(d) Determine, caso exista,
lim
f (x, y).
(x,y)→(0,0)
7. (20 pts) Determine a solução geral da EDO linear homogénea de 2ª ordem
y ′′ + ay ′ + by = 0,
com a, b ∈ R.
Questão 8 no verso da folha
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Exame Final de Cálculo II - Agrupamento 2
27 de junho de 2022
Duração: 2 horas e 30 minutos
No Mec.:
Nome:
Classificação Questão:
Questão 8
Responda a esta questão nesta folha.
8. (25 pts) Para cada uma das afirmações seguintes, assinale o valor lógico V ou F.
Observação:
Resposta correta: 5 pontos
Resposta errada: -3 pontos
(Não responde: 0 pontos)
Caso o total de pontos nesta questão seja negativo, a classificação atribuı́da será 0.
(a) Uma solução da equação diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = ex sen x é da forma yp = Aex sen x +
Bex cos x, com A e B números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) A derivada direcional de f (x, y) = xy no ponto (2, 3) segundo o vetor u = (1, −1) é 1. .
(c) Seja
+∞
X
an (x − c)n uma série de potências divergente em x = k, com k > 0. Então a série
n=1
é também divergente para x = k + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r
(d) Considere a função g(x, y) =
1 − x2 −
y2
de domı́nio Dg ⊆ R2 .
4
i. Dg é um conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii. Sejam P e Q os pontos de interseção da reta y = 2x − 1 com a elipse 4x2 + y 2 = 4.
P e Q são minimizantes globais de g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .