MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE
Formulario a.a. 2015-16
ˆ Leggi di capitalizzazione: r = tasso nominale annuo.
1. Interessi semplici: Vt = V0 (1 + rt), t ≥ 0;
2. Interessi composti: Vt = V0 (1 + r)t , t intero positivo;
3. Interessi composti, con accredito degli interessi m volte per anno: Vt = V0 (1 + mr )mt
4. Capitalizzazione continua degli interessi: Vt = V0 exp(rt), t ∈ R.
ˆ Valore Rendite (rata unitaria).
1. finita, posticipata, n rate:
an r =
1 − (1 + r)−n
(1 + r)n − 1
( v. attuale ), s n r =
r
r
( v. futuro)
2. finita, anticipata, n rate:
ä n r = (1 + r)a n r (v. attuale), s̈ n r = (1 + r)s n r
3. infinita, posticipata: a ∞ r = 1r
4.
infinita, anticipata: ä ∞ r = 1+r
r
(v. futuro)
(v. attuale)
(v. attuale).
ˆ Duration di una successione di importi {x1 , . . . , xn }|{t1 , . . . , tn }: D =
Pn
−k
k=1 tk ·xk (1+sk )
P
n
−k
x
(1+s
)
k
k=1 k
ˆ Prezzo e duration di un BTP con struttura dei tassi piatta, λ =YTM (rendimento a maturità):
!
1
1+y
1 + y + n(c − y)
F
C
1−
D=
−
P =
+
λ n
λ
n
λ
my
mc[(1 + y)n − 1] + my
(1 + m )
(1 + m )
(c = tasso cedolare periodale, y = rendimento periodale).
ˆ Relazione tra derivata del v. attuale
Prispetto al tasso di interesse e Duration. Sia {x1 , . . . , xn }|{1, . . . , n}
una successione di importi e V = nk=1 xk (1 + λ)−k , allora:
dV
D
=−
V
dλ
1+λ
ˆ Relazione tra tassi a pronti (sj = s(0, tj )) e tassi a termine (fij = f (0, ti , tj )) in assenza di
arbitraggio, ed analoga relazione tra fattori di sconto a pronti (di ) e a termine (dij ):
(1 + sj )j = (1 + si )i (1 + fij )j−i ,
dij = dj /di , i < j.
P
P P
ˆ Varianza di una somma di n v. a.: var ( ni=1 wi xi ) = ni=1 nj=1 wi wj cov(xi , xj ).
ˆ Un portafoglio w = (w1 , . . . , wn ) di n titoli è efficiente in Media-Varianza (tra tutti quelli di
rendimento atteso r̄) se soddisfa il sistema di equazioni lineari
Pn
σ w − λr̄i − µ = 0 per i = 1, 2, .., n
Pnj=1 ij j
w
i r̄i = r̄
Pi=1
n
i=1 wi = 1
per opportuni valori di λ e µ (σij = covarianza tra i rendimenti dei titoli i e j).