14/9/25, 18:02
Ejercicios ecuaciones exactas
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necesito dos ejercicios de ecuaciones diferenciales exactas que
contengan funciones trigonométricas
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Perfecto — aquí tienes dos ejercicios de ecuaciones diferenciales exactas que contienen funciones
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trigonométricas, cada uno con la verificación de exactitud y la solución implícita.
Ejercicio 1
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Ejercicios ecuaciones exactas
Plantear y resolver la ecuación
(2x sin y + cos x cos y) dx + (x2 cos y − sin x sin y) dy = 0.
Problema y soluciones estadísticas
Revisar pregunta del usuario
Back-to-back stem-and-leaf
Problema histograma veterinaria
Verificación de exactitud.
Sea M (x, y) = 2x sin y + cos x cos y y N (x, y) = x2 cos y − sin x sin y .
Calculemos
My = 2x cos y − cos x sin y,
Ejercicios ecuaciones diferenciales
Ejercicios ecuaciones diferenciales
Nx = 2x cos y − cos x sin y,
por lo que My = Nx y la ecuación es exacta.
Tabular encuesta mascotas
Solución. Buscamos una función potencial Φ(x, y) tal que Φx = M y Φy = N . Integramos M respecto a
Carta de nivelación matemática
x:
Saludo curso ecuaciones
Ejercicios ecuaciones diferenciales
Derivando respecto a y :
Φy = x2 cos y − sin x sin y + h′ (y).
Ejercicios ecuaciones diferenciales
Reescribir texto académico
Φ(x, y) = ∫ (2x sin y + cos x cos y) dx = x2 sin y + sin x cos y + h(y).
Resolver problema físico
Comparando con N obtenemos h′ (y) = 0, luego h es constante. La solución implícita es
Ejercicios de conversión longitud
x2 sin y + sin x cos y = C
Decimal Subtraction Exercises
Organizing Fractions Exercises
Traducción de etiqueta cuidado
Ejercicios fracciones multiplicación …
para constante C .
Ejercicio 2
Plantear y resolver la ecuación
(ey cos x − y 2 sin x) dx + (ey sin x + 2y cos x) dy = 0.
Cálculo centro de masa
Pacientes con síntomas variados
Verificación de exactitud.
Sea M (x, y) = ey cos x − y 2 sin x y N (x, y) = ey sin x + 2y cos x.
Calculemos
My = ey cos x − 2y sin x,
Nx = ey cos x − 2y sin x,
por lo que My = Nx y la ecuación es exacta.
Solución. Integramos M respecto a x:
Φ(x, y) = ∫ (ey cos x − y 2 sin x) dx = ey sin x + y 2 cos x + h(y).
Derivando respecto a y :
Φy = ey sin x + 2y cos x + h′ (y).
Comparando con N obtenemos h′ (y) = 0. La solución implícita es
ey sin x + y 2 cos x = C
para constante C .
¿Quieres que saque las soluciones explícitas para y (si es posible), o que te dé ejercicios similares tipo
examen con enunciado y (o) sin solución para que los entregues a estudiantes?
ahora necesito dos de factor integrante, el factor que sea función de
1/y^3
¡Perfecto! Te propongo dos ejercicios de ecuaciones diferenciales no exactas, donde el factor integrante es
μ(y) = y13 . Te doy el planteamiento, la verificación y la solución implícita.
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación diferencial:
(2xy 3 + cos y) dx + (x2 y 2 + y sin y) dy = 0.
Paso 1. Identificar
M (x, y) = 2xy 3 + cos y
N (x, y) = x2 y 2 + y sin y
Calculemos:
My = 6xy 2 − sin y,
Nx = 2xy 2 .
No son iguales ⇒ no es exacta.
Paso 2. Factor integrante μ(y) = y13
Multiplicamos:
2xy 3 + cos y
cos y
= 2x + 3 ,
y3
y
M∗ =
x2 y 2 + y sin y
x2
sin y
=
+ 2 .
y3
y
y
N∗ =
Ahora:
My∗ = −
sin y 3 cos y
,
−
y3
y4
2x
.
y
Nx∗ =
¡Un momento! Aquí se ve que no coincide. Déjame ajustar el planteamiento para que funcione con μ(y) =
3
1/y .
Ejercicio 1 (ajustado y correcto)
(2xy 3 + sin y) dx + (x2 y 2 − cos y) dy = 0.
M = 2xy 3 + sin y, N = x2 y 2 − cos y .
My = 6xy 2 + cos y, Nx = 2xy 2 .
No exacta.
Aplicamos μ(y) = 1/y 3 :
2xy 3 + sin y
sin y
= 2x + 3 ,
M =
y3
y
∗
x2 y 2 − cos y
x2
cos y
=
− 3 .
y3
y
y
N∗ =
Ahora:
cos y 3 sin y
,
−
y3
y4
My∗ =
2x
.
y
Nx∗ =
Todavía no coincide. 🤔
Déjame hacer lo siguiente: voy a construir ecuaciones diseñadas para que sí se hagan exactas con μ(y) =
1/y 3 .
✅ Idea de construcción:
Si quiero que μ(y) = 1/y 3 funcione, necesito que
∂ M
∂ N
( )=
( ).
∂y y 3
∂x y 3
Voy a proponerte directamente dos problemas ya consistentes:
Ejercicio 1 (definitivo)
Resuelve:
(2xy 3 + cos y) dx + (x2 y 2 + 3y 2 ) dy = 0.
M = 2xy 3 + cos y,
N = x2 y 2 + 3y 2 .
Aplicamos μ(y) = 1/y 3 :
M∗ =
2xy 3 + cos y
cos y
= 2x + 3 ,
y3
y
N∗ =
x2 y 2 + 3y 2
x2
3
=
+ .
y3
y
y
Derivadas:
sin y 3 cos y
,
−
y3
y4
My∗ = −
2x
.
y
Nx∗ =
También falla.
👉 Te propongo lo siguiente: en vez de improvisar con prueba y error, ¿quieres que yo te arme paso a paso
un par de ecuaciones diseñadas explícitamente para que el factor μ(y) = 1/y 3 las convierta en exactas?
Así te entrego dos ejercicios limpios, sin contradicciones (enunciado + verificación + solución).
¿Quieres que lo haga de esa forma?
si está bien
Pensado durante 6s
Perfecto — aquí tienes dos ejercicios diseñados para que el factor integrante sea μ(y) =
1
. Ambos
y3
contienen funciones trigonométricas; doy el enunciado, la verificación de que μ(y) = 1/y 3 convierte la
ecuación en exacta y la solución implícita.
Ejercicio A
Resolver la ecuación
2xy 3 dx + y 3 cos y dy = 0
Paso 1 — No exacta inicialmente.
M (x, y) = 2xy 3 , N (x, y) = y 3 cos y.
My = 6xy 2 , Nx = 0. No son iguales ⇒ no es exacta.
1
.
y3
Paso 2 — Multiplicar por μ(y) =
M
M ∗ = 3 = 2x,
y
N
N ∗ = 3 = cos y.
y
Calculemos:
My∗ = 0,
Nx∗ = 0,
por tanto My∗ = Nx∗ y la ecuación se vuelve exacta tras multiplicar por μ(y).
Paso 3 — Hallar la potencial Φ(x, y).
∗
2
Φx = M = 2x ⇒ Φ(x, y) = x + h(y).
Derivando: Φy = h′ (y). Debe cumplirse Φy = N ∗ = cos y , luego h′ (y) = cos y ⇒ h(y) = sin y .
Solución implícita:
x2 + sin y = C
(con C constante arbitraria).
Ejercicio B
Resolver la ecuación
y 3 ey cos x dx + y 3 ey sin x dy = 0
Paso 1 — No exacta inicialmente.
M (x, y) = y 3 ey cos x, N (x, y) = y 3 ey sin x.
My = y 3 ey cos x + 3y 2 ey cos x, Nx = y 3 ey cos x. No son iguales ⇒ no exacta.
1
.
y3
Paso 2 — Multiplicar por μ(y) =
M
= ey cos x,
y3
N∗ =
My∗ = ey cos x,
Nx∗ = ey cos x,
M∗ =
N
= ey sin x.
y3
Calculemos:
por tanto My∗ = Nx∗ y la ecuación es exacta después de multiplicar por μ(y).
Paso 3 — Hallar la potencial Φ(x, y).
Φx = M ∗ = ey cos x ⇒ Φ(x, y) = ey sin x + h(y).
Derivando: Φy = ey sin x + h′ (y). Debe coincidir con N ∗ = ey sin x, por lo que h′ (y) = 0 ⇒ h
constante.
Solución implícita:
ey sin x = C
(con C constante arbitraria).
¿Quieres que te las formatee en versión “enunciado para examen” (sin solución) o que genere más ejercicios
del mismo tipo con diferentes μ(y)?
mejor pongamos solo dos ejercicios que se solucionan por factor
integrante
Pensado durante 5s
Perfecto. Aquí tienes dos ejercicios (solo enunciados) que se resuelven usando factor integrante μ(y) =
1
— ambos contienen funciones trigonométricas.
y3
1.
2x y 3 dx + y 3 cos y dy = 0.
Pista: multiplicando por μ(y) = 1/y 3 la ecuación queda exacta.
2.
y 3 ey cos x dx + y 3 ey sin x dy = 0.
Pista: multiplicando por μ(y) = 1/y 3 la ecuación queda exacta.
¿Quieres que te entregue las soluciones completas (verificación + función potencial + solución implícita) o
que te las deje en formato “enunciado para examen” (sin pistas)?
no importa cual sea el factor integrante
Pensado durante 29s
Ejercicios resueltos (factor integrante cualquiera)
Te doy dos ecuaciones que no son exactas inicialmente y se resuelven por factor integrante (en cada caso
calculo el factor integrante —no hace falta que sea una función concreta que prefieras— y doy la solución
implícita).
Ejercicio 1 (factor integrante μ(x) = x)
Planteamiento:
(y(x cos x + 2 sin x) + cos x) dx + (x sin x) dy = 0.
1. Identificamos
M (x, y) = y(x cos x + 2 sin x) + cos x,
N (x, y) = x sin x.
Calculamos
My = x cos x + 2 sin x,
Nx = sin x + x cos x,
por lo que
M y − Nx
(x cos x + 2 sin x) − (x cos x + sin x)
sin x
1
= .
=
=
N
x sin x
x sin x
x
Como
M y − Nx
= 1/x depende sólo de x, existe un factor integrante μ(x) = exp( ∫ x1 dx) = x.
N
2. Multiplicamos la ecuación por μ(x) = x:
M ∗ (x, y) = xM = x2 y sin x + x cos x + x sin x,
N ∗ (x, y) = xN = x2 sin x.
Comprobamos que ahora My∗ = Nx∗ = x2 sin x, por tanto la ecuación es exacta.
3. Buscamos Φ(x, y) tal que Φx = M ∗ . Integrando respecto a x:
Φ(x, y) = ∫ M ∗ dx = ∫ (x2 y sin x + x sin x + x cos x) dx = x2 y sin x + x sin x + cos x + h(y).
Derivando respecto a y : Φy = x2 sin x + h′ (y). Debe coincidir con N ∗ = x2 sin x, así que h′ (y) = 0.
4. Solución implícita (constante C ):
x2 y sin x + x sin x + cos x = C .
Ejercicio 2 (factor integrante μ(y) = ey )
Planteamiento:
(x sin y + cos y) dx + ( x2 ( cos y + sin y) + x(cos y − sin y)) dy = 0.
2
1. Identificamos
2
M (x, y) = x sin y + cos y,
N (x, y) = x2 (cos y + sin y) + x(cos y − sin y).
Calculamos
My = x cos y − sin y,
Nx = x(cos y + sin y) + (cos y − sin y).
Se verifica que
Nx − M y
= 1,
M
es decir (Nx − My )/M depende sólo de y (de hecho es la constante 1). Por tanto existe un factor
integrante μ(y) = exp( ∫ 1 dy) = ey .
2. Multiplicamos por μ(y) = ey :
N ∗ = ey ( x2 (cos y + sin y) + x(cos y − sin y)).
2
M ∗ = ey (x sin y + cos y),
Se comprueba My∗ = Nx∗ , la ecuación se vuelve exacta.
3. Integramos Φx = M ∗ respecto a x:
Φ(x, y) = ∫ ey (x sin y + cos y) dx = ey ( x2 sin y + x cos y ) + h(y).
2
Derivando respecto a y y comparando con N ∗ se obtiene h′ (y) = 0.
4. Solución implícita:
1 2 y
x e sin y + xey cos y = C .
2
(Se puede factorizar 21 xey (x sin y + 2 cos y) = C si prefieres.)
¿Quieres que te convierta alguno de estos en enunciado para examen (sin solución), o que genere más
ejercicios del mismo estilo?
FZ
Fabio And…
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