Distribuição de probabilidade
Uma vez definida a variável aleatória, existe interesse no cálculo dos valores das
probabilidades correspondentes.
O conjunto das variáveis e das probabilidades correspondentes é denominado dis
tribuição de probabilidades, isto é:
{(xi, p(xi), I = 1,2, … . n}
Função de densidade de probabilidade
É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilida de do
evento correspondente, isto é:
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑃(𝐴𝑖), 𝑖 = 1,2, … . , 𝑛
Esperança matemática, variância e desvio padrão: propriedades Existem características
numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades de uma
variável aleatória discreta. São os parâmetros das distribuições, a saber:
Distribuições discretas
Uma função X, definida sobre o espaço amostral e assumindo valores num conjunto
enumerável de pontos do conjunto real, é dita uma variável aleatória discreta. Uma
variável aleatória X do tipo discreto estará bem caracterizada se indicarmos os possíveis
valores x1, x2, …, xk que ela pode assumir e as respectivas probabilidades p(x1), p(x2),
…, p(xk), ou seja, se conhecermos a sua função de probabilidade (x; p(x)), onde
p(x) = P(X = x)
Dada a v.a. discreta X, assumindo os valores x1, x2, …, xk , chamamos esperança
matemática de X ao valor:
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥. 𝑝(𝑥)
Chamamos variância de X ao valor:
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥 2 ) − [𝐸(𝑥)]2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸(𝑥 2 ) = ∑ 𝑥 2 . 𝑝(𝑥)
E de desvio padrão de X
𝐷𝑃(𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥)
Distribuição de Bernoulli
Seja um experimento aleatório E realizado repetidas vezes, sempre nas mesmas
condições, de tal forma que o resultado pode ser um Sucesso (s) (se acontecer o evento
que nos interessa) ou um Fracasso (f) (se o evento não se realizar). Seja X a variável
aleatória: Sucesso ou Fracasso
𝑋 → 𝑥1 = 1 (𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜)
𝑃(𝑥) → 𝑝(𝑥1 ) = 𝑝
𝑃(𝑥 = 0) = 𝑞
𝑜𝑢 𝑥2 = 0 (𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜)
𝑝(𝑥2 ) = 1 − 𝑝 = 𝑞
𝑒
𝑃(𝑥 = 1) = 𝑝
Essas condições caracterizam um conjunto de Provas de Bernoulli ou um experi mento
de Bernoulli, e sua função probabilidade é dada por:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝 𝑥 . 𝑞1−𝑥
Principais características
Média:
1
𝐸(𝑥) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 0. 𝑞 + 1. 𝑝 = 𝑝
𝑖=0
Variância:
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥 2 ) − [𝐸(𝑥)]2
1
𝐸(𝑥
2)
= ∑ 𝑥 2 𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 0. 𝑞 + 12 𝑝 = 𝑝
𝑖=𝑜
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝. 𝑞
Distribuição Binomial
Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está
relacionada apresenta apenas dois resultados (sucesso ou fracasso). Este modelo
fundamenta-se nas seguintes hipóteses:



n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;
cada prova admite dois resultados – Sucesso ou Fracasso;
a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1- p = q
Define-se a Variável X que conta o número de sucesso nas n realizações do
experimento.
(X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, ......., n.)
Fazendo sucesso corresponder a 1 e fracasso, a 0, temos:

Para X = 0 , uma sequência de n zeros : 000000....000.
𝑃(𝑋 = 0) = 𝑞. 𝑞. 𝑞. 𝑞. 𝑞 … 𝑞 = 𝑞 𝑛

Para X = 1, uma sequência do tipo: 1000....0; 01000....0; 001000...0; serão n
sequências, cada uma com um único sucesso e n-1 fracassos:
𝑃(𝑋 = 1) = 𝑛. 𝑝. 𝑞 𝑛−1

Para X = x, tem-se x sucessos e (n-x) fracassos, correspondendo às sequências
com x algarismos 1 e n-x zeros. Cada sequência terá probabilidade pxqn-x e
𝑛
como há ( ) sequências distintas, tem-se:
𝑥
Expressão geral da distribuição Binomial
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( ) . 𝑝 𝑥 . 𝑞 𝑛−𝑥
𝑥
Principais características:


Média: E(x) = n.p
Variância: Var(x) = n.p.q
Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade
de:
a) dar 5 caras;
b) pelo menos uma cara;
c) no máximo 2 caras.
Solução:
a) x = sair cara, p = 0,5 ( probabilidade do sucesso de X), q = 0,5 ( pro
babilidade do fracasso de X0, n = 8 ( número de repetições do
8!
evento).𝑃(𝑥 = 5) = 5!(8−5)! . 0,55 . 0,58−5 = 21,88%
b) 𝑃(𝑥 ≥ 1) = 1 − {𝑃(𝑥 = 0)} = 1 − {𝑞 𝑛 } = 1 − 0,58 = 99,6%
c) 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2), utilizando as fórmulas dos
i tens anteriores calcula-se as probabilidades.
Distribuição Normal
A distribuição Normal, ou Gaussiana, é uma das mais importantes, senão a mais
importante distribuição contínua, sendo bastante utilizada tanto para aplicações práticas
como para estudos teóricos. Muitas características da população existentes na realidade
são bem representadas por esta distribuição que também goza de importantes
propriedades.
Definição: A v. a. contínua 𝑋 segue uma distribuição Normal com média 𝝁 e desvio
padrão 𝝈, i. e., X ~ 𝑵(𝝁; 𝝈), se a sua função densidade de probabilidade é:
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
1 𝑥−𝜇 2
− (
)
𝜎
, −∞ < 𝑥 < +∞ 𝑐𝑜𝑚 − ∞ < 𝜇 < +∞ 𝑒 0 < 𝜎 < +∞.
𝑒 2
Os parâmetros caracterizadores da desta distribuição são 𝜇 e 𝜎.
Principais características:


A função densidade de probabilidade de uma v. a. com a distribuição Normal
tem a forma de sino, é simétrica em torno de 𝜇 e tem pontos de inflexão em 𝑥 =
𝜇 ± 𝜎.
A média  localiza o centro da distribuição e 𝜎 mede a variabilidade de 𝑋 em
torno de 𝜇 (Figura 5.9 e Figura 5.10).
Figura : Função densidade de probabilidade da distribuição Normal para diferentes
valores de 𝜇 e 𝜎 = 1.
Figura : Função densidade de probabilidade da distribuição Normal para diferentes
valores de 𝜎 e 𝜇 = 7.
𝑺𝒆 𝑿 ~ 𝑵(𝝁; 𝝈) 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝝁𝑿 = 𝑬(𝑿) = 𝝁 𝒆 𝝈𝑿𝟐 = 𝑽𝒂𝒓(𝑿) = 𝝈.
Resultados importantes:

Se 𝑋 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎) então a v. a. estandardizada 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
~ 𝑁(0; 1).



A função de distribuição 𝐹(𝑧) da v. a. 𝑍 ~ 𝑁(0;1) é representada por Φ(𝑧) e está
tabulada (Anexo A).
Φ(−𝑧)=1−Φ(𝑧).
Φ(𝑧) =𝛼⇒𝑧=Φ−1(𝛼).
Usualmente utiliza-se a notação 𝑧𝛼 para representar o quantil de probabilidade 𝛼 de
uma v. a. 𝑋 ~ 𝑁(0;1), i.e., 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧𝛼) = 𝛼 o que é equivalente a 𝑧𝛼 = Φ−1(𝛼).
Teste de Hipóteses usando a Distribuição Normal
O Teste de Hipóteses é um procedimento estatístico para tomar decisões sobre uma
população com base em dados de uma amostra. Quando a amostra é grande ou a
variância populacional é conhecida (e a população é normalmente distribuída), podemos
usar a distribuição normal para realizar o teste.
Etapas gerais:
1. Formular as hipóteses:

Hipótese Nula (H0): Afirma que não há efeito ou diferença. É a hipótese
que você tenta refutar.
 Hipótese Alternativa (H1 ou Ha): Afirma que há um efeito ou diferença. É
o que você está tentando provar.
2. Escolher o nível de significância (α):

É a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira (erro
Tipo I). Valores comuns são 0.05 (5%) ou 0.01 (1%).
3. Calcular a estatística de teste:

Para testes envolvendo médias com distribuição normal, geralmente usamos
o escore Z.

Fórmula para média amostral:
𝑍=
xˉ − μ0
𝛔
√𝑛
Onde:
o
o
o
o
xˉ é a média amostral.
μ0 é a média populacional sob H0.
σ é o desvio padrão populacional (se desconhecido e n for grande, podese usar o desvio padrão amostral s).
n é o tamanho da amostra.
4. Determinar a região crítica ou o valor-p:


Região Crítica: Define os valores da estatística de teste que levariam à
rejeição de H0. Estes são determinados pelo nível de significância e pelo tipo
de teste (unilateral ou bilateral).
Valor-p: É a probabilidade de obter uma estatística de teste tão extrema (ou
mais extrema) quanto a observada, assumindo que H0 é verdadeira.
5. Tomar uma decisão:


Usando a região crítica: Se a estatística de teste cair na região crítica,
rejeite H0.
Usando o valor-p: Se o valor-p ≤α, rejeite H0. Caso contrário, não rejeite
H0.
.
Exemplo:
Um fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 1000
horas com um desvio padrão de 50 horas. Uma amostra de 30 lâmpadas foi testada e
apresentou uma vida útil média de 980 horas. Com α=0.05, há evidências para refutar a
afirmação do fabricante?
𝐻0 : 𝜇 = 1000
H1 : μ ≠ 1000 (teste bilateral)
α = 0.05
xˉ = 980, μ0 = 1000, σ = 50, n = 30
𝑍=
980 − 1000
−20
=
≈ −2,19
50
9,129
√30
Para 𝛼 = 0.05 em um teste bilateral, os valores críticos de Z são ±1.96. Como −2.19 <
−1.96, o valor de Z calculado cai na região crítica.
Alternativamente, o valor-p para 𝑍 = −2.19 em um teste bilateral é 2 × 𝑃(𝑍 <
−2.19) ≈ 2 × 0.0143 = 0.0286. Como 0.0286 < 0.05, rejeitamos H0
Conclusão: Há evidências estatísticas para refutar a afirmação do fabricante de que a
vida útil média das lâmpadas é de 1000 horas.
Distribuição t-Student
Definição: A v. a. contínua 𝑋 segue uma distribuição t-Student com 𝒏 graus de
liberdade, i.e., 𝑿 ~ 𝒕𝒏, se a sua função densidade de probabilidade é:
O parâmetro caracterizador desta distribuição é 𝑛.
Principais características:


É simétrica em relação ao eixo 𝑥 = 0;
A distribuição t-Student tende para a distribuição Normal à medida que 𝑛
aumenta.
A distribuição t-Student é mais pontiaguda e tem caudas mais pesadas do que a
distribuição Normal (Figura 5.14). Esta distribuição está tabelada (Anexo C).
Figura: Comparação da função densidade de probabilidade da distribuição t-Student
(com 𝑛 = 5) com a distribuição 𝑁(0;1).
𝑺𝒆 𝑿 ~ 𝒕𝒏, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝝁𝑿 = 𝑬(𝑿) = 𝟎 𝒆 𝝈
𝑿
𝒏 −𝟐
= 𝑽𝒂𝒓(𝑿) =
, 𝒏 > 𝟐.
𝟐
𝒏
Usualmente utiliza-se a notação 𝑡𝑛; 𝛼 para representar o quantil de probabilidade 𝛼 de
uma v. a. 𝑋 ~ 𝑡𝑛. Portanto, 𝑡𝑛; 𝛼 corresponde ao menor valor 𝑘 tal que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) = 𝛼.
Intervalo de Confiança para a Média
Um Intervalo de Confiança (IC) é um intervalo de valores, derivado de estatísticas de
amostra, que provavelmente contém o valor de um parâmetro populacional
desconhecido. O nível de confiança associado ao IC indica a proporção de vezes que o
intervalo realmente conteria o parâmetro populacional se o processo de amostragem e
cálculo fosse repetido várias vezes.
Fórmula para a média populacional (μ) com desvio padrão populacional conhecido
(σ) ou amostra grande (𝒏 ≥ 𝟑𝟎):
𝐼𝐶 = 𝑥ˉ ± 𝑍𝛼 ×
2
𝜎
√𝑛
Onde:

xˉ é a média amostral.

𝒁𝜶 é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança
𝟐
desejado (por exemplo, para 95% de confiança, α=0.05, então α/2=0.025, e
Z0.025=1.96).

σ é o desvio padrão populacional (se desconhecido e n for grande, pode-se usar
o desvio padrão amostral s).

n é o tamanho da amostra.
Interpretação: Um IC de 95% para a média significa que se repetirmos o processo de
amostragem e cálculo do IC muitas vezes, 95% desses intervalos conteriam a verdadeira
média populacional.
Exemplo: Uma amostra de 50 estudantes teve uma média de peso de 68 kg. O desvio
padrão da população é conhecido como 5 kg. Construa um intervalo de confiança de
95% para o peso médio de todos os estudantes.

𝑥ˉ = 68 𝑘𝑔

𝜎 = 5 𝑘𝑔

𝑛 = 50

Para 95% de confiança, Zα/2=Z0.025=1.96
𝐼𝐶 = 68 ± 1.96 × 505
𝐼𝐶 = 68 ± 1.96 × 7.0715
𝐼𝐶 = 68 ± 1.96 × 0.707
𝐼𝐶 = 68 ± 1.385
Intervalo de Confiança: (66.615 kg, 69.385 kg)
Conclusão: Podemos ter 95% de confiança de que o peso médio real de todos os
estudantes está entre 66.615 kg e 69.385 kg.