МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ІМЕНІ ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО»
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА:
ЗБІРНИК ЗАДАЧ
Рекомендовано Методичною радою КПІ ім. Ігоря Сікорського
як навчальний посібник для здобувачів ступеня бакалавра
за освітньою програмою «Інтелектуальні сервіс-орієнтовані розподілені
обчислення»
спеціальності 122 «Комп’ютерні науки»
Укладач: Ю. Є. Бохонов
Електронне мережеве навчальне видання
КИЇВ
КПІ ІМ. ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО
2024
1
УДК 512.6+514.12 (075.8)(076)
A45
Автори:
Бохонов Юрій Євгенович, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Рецензент
Легеза, В. П., д-р. фіз.-мат. наук, проф.,
каф. прикладної математики, КПІ ім. Ігоря Сікорського
Відповідальний
редактор
Каніовська, І. Ю., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
каф. ММСА ІПСА, КПІ ім. Ігоря Сікорського
Гриф надано Методичною радою КПІ ім. Ігоря Сікорського
(протокол № Х від DD.MM.YYYY р.)
за поданням вченої ради навчально-наукового інституту прикладного системного аналізу
(протокол № Х від DD.MM.YYYY р.)
A45
Бохонов Ю. Є.
Лінійна алгебра: збірник задач [Електронний ресурс] : збірн. задач. для здобувачів
ступеня бакалавра за освіт. програмою «Інтелектуальні сервіс-орієнтовані розподілені
обчислення» спец. 122 Комп’ютерні науки / КПІ ім. Ігора Сікорського; уклад. Ю. Є.
Бохонов . - Електрон. текст. дані (1 файл). – Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2024. – 56 с.
Містить задачі для виконання домашніх контрольних робіт на теми лінійної алгебри: з
теорії многочленів, лінійних унітарних та евклідових просторів, лінійних операторів,
матриць, зведення матриць до нормальних форм Жордана та Фробеніуса, з теорії
білінійних та квадратичних форм, зведення їх різними методами до канонічного вигляду,
з теорії тензорних добутків матриць, а також аналітичної геометрії: з теорії поверхонь
другого порядку, зведення їхніх рівнянь до головних осей. Призначений для здобувачів
ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інтелектуальні сервіс-орієнтовані
розподілені обчислення» спец. 122 Комп’ютерні науки. Буде також корисний для
здобувачів ступеня бакалавра спеціальності 124 «Системний аналіз».
УДК 512.6+514.12 (075.8)(076)
Реєстр. № НП ХХ/ХХ-ХХХ. Обсяг 0,34 авт. арк.
Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»
проспект Берестейський, 37, м. Київ, 03056
https://kpi.ua
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців, виготовлювачів
і розповсюджувачів видавничої продукції ДК № 5354 від 25.05.2017 р.
 КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2024
2
ЗМІСТ
Вступ ………………………………………………………………………
1. Ділення з залишком. Схема Горнера. Найбільший спільний
дільник многочленів. Алгоритм Евкліда.……………. …………….
Задачі для самостійного розв’язання………………………………..
4
5
5
2. Результант і дискримінант ………………………………………….
Задачі для самостійного розв’язання………………….…………......
7
3. Скалярний добуток, унітарні та евклідові простори, метод
ортогоналізації Грама-Шмідта ………………………………………...
Задачі для самостійного розв’язання………………….………….....
9
……
.........................................................................................
..…………………
……………………………..
7
12
15
16
18
10
………………………………………………………….
……………
………………………….
……………………………………….
…..…………………………………………………………...
23
24
26
27
28
.……….
31
……………………………….
34
ЛІТЕРАТУРА …………………………………………………………….
3
35
37
ВСТУП
У посібнику – збірнику задач «Лінійна алгебра: Збірник задач» містяться
задачі для виконання домашніх контрольних робіт на теми лінійної алгебри: з
теорії многочленів, лінійних унітарних та евклідових просторів, лінійних
операторів, матриць, зведення матриць до нормальних форм Жордана та
Фробеніуса, з теорії білінійних та квадратичних форм, зведення їх різними
методами до канонічного вигляду, з теорії тензорних добутків матриць, а
також аналітичної геометрії: з теорії поверхонь другого порядку, зведення
їхніх рівнянь до головних осей.
4
1. Ділення з залишком. Схема Горнера. Найбільший спільний дільник
многочленів. Алгоритм Евкліда.
Теоретичні відомості
Означення. Многочлен Р(х) ділиться на многочлен Q(x) з залишком, якщо
P( x)  Q( x) S ( x)  R( x).
Теорема Безу. Число a є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли він
ділиться на x  a без остачі, інакше він дає остачу при діленні, яка дорівнює
значенню многочлена в точці a : R  P (a ) .
Теорема. Число x0 є коренем многочлена кратності r тоді і тільки тоді, коли
f  x0   f   x0   ...  f ( r 1)  x0   0, f ( r )  x0   0.
Пошук найбільшого спільного дільника многочленів P ( x ) і Q( x) методом
Евкліда. Виконуються ділення з остачею:
P( x)  Q( x)S ( x)  R1( x) ;
Q( x)  R1 ( x)S1 ( x)  R2 ( x) ;
R1 ( x)  R2 ( x)S2 ( x)  R3 ( x) ;
…………………………….
Rk 3 ( x)  Rk 2 ( x)Sk 2 ( x)  Rk 1 ( x);
Rk 2 ( x)  Rk 1 ( x)Sk 1 ( x)  Rk ( x) ;
Rk 1 ( x)  Rk ( x)Sk ( x) .
Rk ( x)
D( x) найбільший шуканий спільний дільник.
Теорема. Якщо D( x) – найбільший спільний дільник P ( x ) і Q( x) , то існують
многочлени U ( x) і V ( x ) , що справедлива рівність
P( x)U ( x)  Q( x)V ( x)  D( x).
Задачі для самостійного розв’язання
5
1.1.
Виконати
ділення
з
остачею
многочлена
на
P( x)
Q( x) : P( x)  Q( x) S ( x)  R( x) . Знайти неповну частку S ( x ) і залишок R ( x ) .
a). P( x)  2 x 4  3x3  4 x2  5x  6, Q( x)  x 2  3x  1 .
b). P( x)  x3  3x 2  x  1, Q( x)  3x 2  2 x  1 .
Відповіді: a). S ( x)  2 x2  3x  11, R( x)  25x  5 ,
b). S ( x) 
3x  7
26 x  2
.
, R( x ) 
9
9
1.2. Користуючись схемою Горнера, обчислити P  x0  :
a). P( x)  x 4  3x3  6 x 2  10 x  16, x0  4 .
b). P( x)  x5  1  2i  x 4  1  3i  x 2  7, x0  2  i .
Відповіді: a).136; b).  1  44i .
1.3. Користуючись схемою Горнера, розкласти многочлен
P  x0 
за
степенями  x  x0  :
a). P( x)  x 4  2 x3  3x 2  4 x  1, x0  1 .
b). P( x)  x 4  8x3  24 x 2  50 x  90, x0  2 .
c). P( x)  x 4  2ix3  1  i  x 2  3x  7  i, x0  i .
Відповіді: a).( x  1)4  2( x  1)3  3( x  1)2  4( x  1)  1; .
b).( x  2)4  18( x  2)  38; c).( x  i)4  2i( x  i)3  (1  i)( x  i)2  5( x  i)  7  5i .
1.4. Визначити кратність кореня x0 :
a). P( x)  x5  4 x3  6 x2  8x  10, x0  2 .
b). P( x)  x5  7 x 4  16 x3  8x 2  16 x  16, x0  2. .
Відповіді: a).3; b).4.
1.5. Знайти умови, при яких наступне рівняння має трьохкратний корінь:
x5  10ax3  5bx  c  0 .
Відповідь: b  9a 2 ,1728a5  c 2  0.
6
1.6. Подати найбільший спільний дільник D( x) многочленів
P( x), Q( x) у
вигляді D( x)  P( x)U ( x)  Q( x)V ( x) .
a). P( x)  x4  2 x3  x2  4 x  2, Q( x)  x 4  x3  x 2  2 x  2.
b). P( x)  x5  3x4  x3  x 2  3x  1, Q( x)  x 4  2 x3  x  2.
c). P( x)  4 x3  2 x3  16 x2  5x  9, Q( x)  2 x3  x 2  5x  4.
Відповіді: a). x 2  2  P  x  ( x  1)  Q  x  ( x  2) ;
b). x3  1   P  x   Q  x  ( x  1) ,
 2x2  2x  3 
 x 1
c). x  1  P  x   

Q
x
 

.
3
 3 


2. Результант і дискримінант
Теоретичні відомості
Нехай є поліноми з, взагалі кажучи, комплексними коефіцієнтами:
f ( x)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an ,
v( x)  b0 x m  b1 x m1  ...  bm1 x  bm ,
a0  0, b0  0.
S f ,g
Означення. Наступний визначник
називається визначником
Сільвестра цих многочленів:
a0 a1 ... an
a0 a1 ...
an
.
...
S( f , g) 
.
a0 a1
b0
... an .
b1
.
...
bm
.
.
.
.
.
b0 b1
.
... bm
7
Означення. Вираз R  f , g   a0mb0n   i   j  називається результантом
n
m
i 1 j 1
двох многочленів f ( x) і g ( x ) .
Твердження. Поліноми f ( x) і g ( x ) при a0  0, b0  0 мають спільний корінь
тоді і тільки тоді, коли R  f , g   0.
n  n 1
Дискримінант D : R  f , f     1 2  0 D .
Теорема. Многочлен має кратні корені тоді і тільки тоді, коли його
дискримінант дорівнює нулю.
Задачі для самостійного розв’язання
2.1. Обчислити результант многочленів P ( x ) і Q( x) :
a). P( x)  2 x3  3x2  x  2, Q( x)  x 4  2 x 2  3x  4 .
b). P( x)  2 x4  x3  3, Q( x)  3x3  x 2  4 .
c). P( x)  a0 x 2  a1x  a2 , Q( x)  b0 x 2  b1x  b2 .
Відповіді: a).0, b).4854; c). b0a2  b2a0   b0a1  b1a0 b1a2  b2a1 .
2
2.2. При якому значенні  поліноми P ( x ) і Q( x) мають спільний корінь?
a). P( x)  x3  2 x2  x  2, Q( x)  x 2  3x   .
b). P( x)  x3  2 x2  2 x  1, Q( x)  x 2   x  2 .
5 7 3
i.
Відповіді: a ).   2;   1  3i, b).   1;    
2
6
2.3. Розв’язати систему рівнянь:
 5 y 2  6 xy  5 x 2  16  0,
a).  2
.
2
y

xy

2
x

y

x

4

0.

8
y 2  ( x  4) y  x 2  2 x  3  0,

b).  3
2
3
2
 y  5 y  ( x  7) y  x  x  5x  3  0.
Відповіді: a). x1  x2  1, y1  y2  1; x3  1, y3  2; x4  2, y4  2.
b). x  0, y  1; x  0, y  3; x  1, y  2; x  1, y  3; x5,6  2, x5,6 1  i 2.
2.4. Обчислити дискримінант многочлена:
a). P( x)  x3  x 2  2 x  1. b). P( x)  x3  2 x 2  4 x  1.
Відповіді: a).49; b).  107.
2.5. При якому значенні параметра  поліном має кратні корені.
a). P( x)  x3  3x  . b). P( x)  x4  4 x  .
c). P( x)  x3  8 x 2  13    x  (6  2 ).
3 3 3
i. c).   0,   3,   125.
Відповіді: a).   2; b).   3,    
2
2
3.
Скалярний
добуток,
унітарні
та
евклідові
простори,
метод
ортогоналізації Грама-Шмідта
Теоретичні відомості
Будуть розглядатись лінійні простори над полем K .
Нехай E - дійсний лінійний простір ( K 
). Скалярним добутком векторів
x, y  E називається числова функція, значення якої на цих векторах позначається ( x, y ) , що задовольняє умови:
1) ( x, x)  0 , ( x, x)  0 тоді і тільки тоді, коли x  0 ;
2} ( x, y )  ( y, x) ;
3)  x   y, z     x, z     y, z  .
Означення. Лінійний простір над полем
Якщо поле K 
називається евклідовим.
, то аксіома 2 має вигляд ( y, x)  ( x, y ) , звідки випливає, що
в такому випадку скалярний добуток лінійний по першій і антилінійний по
другій змінній:
9
 z , x   y     z , x     z , y  .
Означення. Лінійний простір над полем
називається унітарним.
Нерівність Коші - Буняковського: x, y  E  x, y   x y , x  ( x, x) .
Рівність має місце тоді і тільки тоді, коли вектори лінійно залежні.
Теорема Піфагора. Нехай z  x  y, ( x, y )  0 . Тоді z  x  y .
2
2
2
Базис g1, g 2 ,..., g n унітарного простору називається ортогональним, якщо його
1~ i  j
(дельта
0 ~ i  j

вектори попарно ортогональні: ( gi , g j )  g j ij , де  ij  
2
Кронекера). Якщо всі норми векторів дорівнюють одиниці, базис називається
ортонормованим, а самі вектори – ортами.
Розклад вектора унітарного простору за ортогональним базисом g1, g 2 ,..., g n :
n
x   xk g k , xk 
 x, g  ,
k 1
gk
k
2
Частинний випадок: розклад вектора унітарного простору за ортонормованим
базисом e1, e2 ,..., en :
n
x   xk ek , xk   x, ek  .
k 1
Метод I ортогоналізації Грама - Шмідта.
Нехай a  a1 ,..., an  - базис. За допомогою деяких лінійних перетворень
можна одержати з нього ортонормований базис, що буде позначено


e  e1,..., en .
Перший крок: e1 
1
a1 .
a1
Другий крок: візьмемо допоміжний вектор
b2  a2  1e1 , де 1 знаходиться з умови, що  b2 , e1  = 0. Для цього скалярно
10
помножимо обидві частини попередньої рівності на e1 . Звідси 1   a2 , e1  .
Тоді b2  a2   a2 , e1  e1  a2   pe1 a2  e1 . Тепер покладемо
e2 
1
b2
b2 
1
 a2  1e1  .
a2  1e1
Якщо вже зроблено m кроків, покажемо, як треба діяти на (m+1)-му кроці.
Візьмемо допоміжний вектор
bm1  am1   am1, e1  e1   am1, e2  e2  ...   am1, em  em .
Очевидно,
em1 
він
1
bm1
ортогональний
всім
векторам
a1,..., am . І остаточно
bm1 .
Зауваження. Якщо на кожному кроці не нормувати одержані вектори,
побудований
базис
буде
ортогональний,
але,
взагалі
кажучи,
не
ортонормований.
Метод ортогоналізації II.
Нехай
g   g1 ,..., g n   En
- деяка система векторів, взагалі кажучи,
комплексного унітарного простору. Матриця
  g1 , g1 

g ,g 
  g1 ,..., g n    2 1
 .

  g n , g1 
 g , g  ...  g , g  
 g , g  ...  g , g  
1
2
1
n
2
2
2
n
.
g ,g 
n


...  g n , g n  
...
2
.
.
називається матрицею Грама цієї системи.
Теорема. Для того, щоб система векторів була лінійно незалежною,
необхідно і досить, щоб її матриця Грама була невиродженою, тобто,
визначник Грама не дорівнював би нулю.
Теорема.   g1 ,..., g n   0.
11
Твердження.
Матриця
Грама
ортогонального
базису
діагональна,
а
ортонормованого – одинична.
Нехай a1 ,..., an - довільний базис.
G0  1, Gk 
 a , a   a , a  ...  a , a 
 a , a   a , a  ...  a , a 
1
1
1
2
1
k
2
1
2
2
2
k
.
.
...
.
, 1  k  n.
 a , a   a , a  ...  a , a 
k
1
k
2
n
k
Розглядаються вектори
a ,a 
a ,a 
.
.
1
b1  a1 , bk 
1
1
...
...
2
a ,a 
1
k
.
 a , a   a , a  ...  a , a 
k 1
k 1
1
a1
k 1
2
a2
Теорема. Система векторів
...
, 2  k  n.
k
ak
утворює ортогональний базис,
b1,..., bn
bk  Gk 1Gk .
Задачі для самостійного розв’язання
3.1. Знайти скалярний добуток пар векторів x і y :
a). x  1, i,2, i  , y  1  i,1  i,2i,3 .
T
T
b). x  1  i,  i,3,2  i  , y  1  3i,2  i, i,4  .
T
3.2. Орт e
n
T
має однакові проекції на вектори канонічного базису.
Розкласти цей орт за канонічним базисом.
1
T
ek , ek   0,...0,1,0,...0  .
k 1
n
n
Відповідь: e  
3.3. Розкласти вектор x
підпросторі L 
4
4
на суму векторів, один з яких лежить у
, породженому векторами f1 ,..., f k , 1  k  3 , а другий – у
ортогональному до L підпросторі L : x  x  x, x  L, x  L .
12
a). x   5,2, 2,2  , f1   2,1,1,  1 , f 2  1,1,3,0  .
T
T
T
b). x   3,5,9,3 , f1  1,1,1,1 , f 2   2,  1,1,1 , f3   2,  7, 1,  1 .
T
T
T
T
Відповіді a). x   3,1, 1,  2   L, x   2,1, 1,4   L ,
T
T
b). x  1,7,3,3  L, x   4,  2,6,0   L .
T
T
3.4. Знайти відстань від вектора x до лінійного многовида g0  t1g1  ...  tm gm .
a). x  1,2, 1,1 , f0   0,  1,1,1 , f1   0,  3, 1,5  , f1   4,  1, 3,3 .
T
T
T
T
b). x   0,0,0,0  , f0  1,1,1,1 , f1  1,2,3,4  .
T
T
Відповіді a).7, b).
T
2
.
3
3.5. Перевірити, що система векторів f1 , f 2 ортогональна в
4
і доповнити її
до ортогонального базису f1, f2 , f3 , f4 (доповнення не єдине).
a). f1  1,1,2,3 , f 2  1,1,2,  2  . b). f1  1,1,1,1 , f 2  1,1, 2,0  .
T
T
T
T
c). f1   2,1,0,0 , f 2  1,2,1,3 . d ). f1   2,1,2,1 , f 2   2,  1, 2,1 .
T
T
T
T
Відповіді a). f1  1,1,2,3 , f 2  1,1,2,  2  , f3   1,  1,1,0  , f 4   1,1,0,0  .
T
T
T
T
b). f1  1,1,2,3 , f 2  1,1,2,  2  , f3  1,  1,0,0  , f 4  1,1,1,  3 ,
T
T
T
T
c). f1   2,1,0,0 , f 2  1,2,1,3 , f3  1,2, 5,0  , f 4  1,2,1,  2  .
T
T
T
T
d ). f1   2,1,2,1 , f 2   2,  1, 2,1 , f3  1,0,0,  2  , f 4   0,  2,1,0  .
T
T
T
T
3.6. Перевірити, що система векторів f1 , f 2 ортонормована в
4
її до ортонормованого базису f1, f2 , f3 , f4 (доповнення не єдине).
T
T
 1 1 1 1
 1 1 1 1
a). f1    ,  , ,   , f 2    ,  ,  ,  .
 2 2 2 2
 2 2 2 2
b). f1 
1
1
T
T
 2,  2,3,2  , f 2   1,1,2,  1 .
21
7
T
T
1 1 
 1 1


, ,0,0  , f 4   0,0, ,
Відповіді a). f3   
 .
2 2
 2 2


13
і доповнити
T
T
1 
1 
 1 2
 1
b). f3  
,0,0, 
, ,0,
 , f4  
 .
2
6
 2
 6 6
3.7. За допомогою процесу ортогоналізації побудувати ортогональний базис
g1 , g2 ,... лінійного підпростору (простору), породженого системою векторів
f  f1 , f 2 , f3 , f 4  . Зауваження. У випадку лінійної залежності системи f
досить побудувати ортогональний базис підпростору, породжений цією
системою, не доповнюючи його до базису всього простору.
a). f1  1,  1,2,1 , f 2   2,3, 4,  1 , f3   3,1, 2,1 , f 4   1,  3,2,1 .
T
T
T
T
b). f1   2,1, 2,  1 , f 2   2,1,3,1 , f3   2,3, 1,  1 , f 4   0,0, 5,0  .
T
T
T
T
c). f1   0,  1,1,2 , f 2   2,  1,3,4  , f3   4,3,1,  2  , f 4   2,0,2,2  .
T
T
T
T
d ). f1  1,  1,1,1 , f 2  3,  2,1,2  , f3   1,  2,1,2  , f 4  1,  2, 1,2  .
T
T
T
T
e). f1   1,1, 1,1 , f 2   0,5, 1,2  , f3  5,5,3,  1 , f 4  1,4,0,1 .
T
T
T
T
f ). f1   2,3,2,2 , f 2  5,4,6,4  , f3   0,  7,2,  2  , f 4  3,1,4,2  .
T
T
T
T
Відповіді
a). g1  1,  1,2,1 , g2   0,1,0,1 , g3   2,  1,0,1 .
T
T
T
b). g1   2,1, 2,  1 , g2   0,2,1,0  , g3   2,1, 2,1 .
T
T
T
c). g1   0,  1,1,2 , g2   2,1,1,0  .
T
T
d ). g1  1,  1,1,1 , g2  1,0, 1,0  , g3   1,  1, 1,1 .
T
T
T
e). g1   1,1, 1,1 , g2   2,3,1,0  .
T
T
f ). g1   2,3,2,2 , g2  1,  2,2,0  .
T
T
3.8. Розглядаються лінійний простір C 0 [1,1] дійсних неперервних функцій.
Для
них
визначено
скалярний
добуток:
 f ,g
1
 f ( x) g ( x)dx .
1
Ортогоналізувати систему одночленів (лінійно незалежну) 1, x, x 2 , x3 , x 4  .
14
4. Ортогональні підпростори, ортогональна проекція вектора на
підпростір
Теоретичні відомості
Інтерпретація однорідної системи лінійних рівнянь з точки зору геометрії
евклідового простору
Система Ax  0 лінійних рівнянь з матрицею A :
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0,
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  0,
...
am1 x1  am 2 x2  ...  am n xn  0.
L ker( A) - підпростір розв’язків цієї системи. x  L - вектор ортогональний
кожному з векторів
a1   a11 , a12 ,..., a1n  ,..., am   am1, am 2 ,..., amn  ,  ak , x   0, k  1,..., m .
T
Ортогональне
доповнення
T
L  L  a1 ,..., am 
-
підпростір,
породжений
системою a1,..., am . Один з його базисів – база цієї системи:
a1 ,..., ar , r  m .
Базис ar 1 ,..., an ядра ker( A) знаходиться як розв’язок вказаної лінійної
системи
рівнянь.
Об’єднання
цих
базисів
-
a ,..., a   a ,..., a  .
1
r
Коєфіцієнти розкладу за цим базисом довільного вектора
r 1
n
n
x   xk ak
k 1
знаходяться як розв’язок лінійної системи рівнянь
15
 a , a  x  ...   a , a  x   a , a  x
1
1
1
r
1
r 1
r
r 1
1
 ...   an , a1  xn   x, a1  ,
...
 a , a  x  ...   a , a  x   a , a  x  ...   a , a  x   x, a  ,
 a , a  x  ...   a , a  x   a , a  x  ...   a , a  x   x, a  ,
1
r
1
r 1
1
r
1
r
r 1
r
r 1
r
r
r
r 1
r 1
r 1
n
r
r 1
n
n
r 1
r
r 1
n
...
 a , a  x  ...   a , a  x   a , a  x
1
n
1
r
n
r 1
r
n
r 1
 ...   an , an  xn   x, an  .
Особливо простий вигляд має ця система у випадку ортогональності базису.
4.1. Знайти однорідну систему рівнянь (знаходиться неоднозначно), що
визначає ортогональне доповнення
L до лінійного підпростору, що
визначається як розв’язок лінійної системи.
a).
b).
c).
 x1  5 x2  4 x3  2 x4  0, 2 x1  4 x2  2 x3  2 x4  0, 3x1  x2  x3  3x4  0,
. 
. 

2 x2  x3  3x4  0,
2 x1  3x2  2 x3  x4  0, 
 x1  3x2  x3  3x4  0,
 x  2 x  2 x  x  0.  x  2 x  x  x  0.
2 x  3x  2 x  x  0.
2
3
4
2
3
4
2
3
4
 1
 1
 1
Відповіді
b).
a ).
c).
 x2  2 x3  0,
 x3  2 x4  0,
5 x1  5 x2  x3  4 x4  0.


2
x

3
x

x

0.
x

3
x

7
x

0.
 1
 1
3
4
2
4
4.2. Знайти проекцію Pl x вектора x на підпростір l  g1 , g 2 , g3  , породжений

векторами g1 , g2 , g3 , і його ортогональну складову – проекцію x на
l   g1 , g 2 , g3  .
a). g1  1,  1,1,3 , g2  1,  1,0,1 , g3  1,  1,2,5 , x   0,2,0,  1 .
T
T
T
T
b). g1  1,  2, 1,  2 , g2   2,3,1,2 , g3   6,  2,0,0  , x   4,  7,6,  2  .
T
T
T
T
c). g1  1,0,2,0 , g2   0,3, 1,  2  , g3  3,  3,7,2  , x   7,1,1,0  .
T
T
T
Відповіді
a). Pl x   1,1,0,  1 , x  1,1,0,0  .
T
T
16
T
b). Pl x   5,  4, 1,  2 , x  1,  3,7,0  .
T
T
c). Pl x   1,0, 2,0  , x   6,1,3,0  .
T
T
4.3. Знайти проекцію PL x вектора x на підпростір L розв’язків лінійної
системи рівнянь і його ортогональну складову – проекцію x  на L .
a).
b).
c).
 x1  x3  x4  0,
 x2  x3  x4  0,
 x1  x  2 x3  x4  0,



 x1  x2  x3  x4  0,  x1  2 x2  2 x3  x4  0,  x1  x3  0,
x   0,2,3,2  .
x   2,2,4,  1 .
T
x   4,2, 3,  1 .
T
T
4.4. Знайти кут між вектором x і підпростором L  a1 , a2 , a3  і відстань h від
вектора до цього підпростору.
Застереження. Перевірити систему векторів a1 , a2 , a3  на лінійну залежність.
a). a1   0,  1,2,2 , a2   1,0,2,1 , a3   2,  1, 2,0  x   2,  1,3,  2  .
T
T
T
T
b). a1   0,  1, 1,1 , a2  1,2,2,  1 , a3  1,1,1,0  x   2,2,4,  1 .
T
T
T
T
c). a1  1,2,0,2 , a2   0,  1,1,0  , a3  1,1,1,2  x   3,  3,1,  1 .
T
T
T
T
23


, h  2 . c). , h  5 .
Відповіді. a ). , h  3 . b).arccos
5
4
6
4.5. Застосовуючи матрицю Грама системи векторів
g1 g2 , g3 , знайти
скалярний добуток векторів x  1 g1  2 g2  3 g3  4 g4 і
y  1g1  2 g2  3 g3  4 g4 .
a). g1  1,  1,1,3 , g2  1,  1,0,1 , g3  1,  1,2,5 , g4  1,0,0,0  ,
T
T
T
T
x  g1  g2  2g3 , y  2g1  g2  2g3 .
b). g1  1,  2, 1,  2  , g2   2,3,1,2  , g3   6,  2,0,0  , g4  0,1,0,0  ,
T
T
T
x  3g1  2g2  5g3  g4 , y  2g1  g2  2g3  g4 .
5. Власні числа і вектори операторів
17
T
5.1. Знайти власні числа  і власні вектори f : Af   f матриць
 5 6 3 
0 0 1
2 1  0 a 

a ).
.b).
. c). 1 0 1  . d ). 0 1 0  .


 1 2   a 0  

1 0 0
 1 2 1 


1 1 1 1 
 2 5 6 
1 1 1 1


.
e). 4 6 9  . f ).


1

1
1

1
 3 6 8 




1 1 1 1 
Відповіді. a).1  2, f1  c 1, 1 , 2  3, f2  c 1, 1 .
T
T
b).1  ai, f1  c 1, i  , 2  ai, f 2  c 1, i  .
T
T
c).  2, f1,2  c1  2 1 0   c2 1 0 1 (двовимірний власний підпростір).
T
T
e).1  1, f1,2  c1 1 0 1  c2  0 1 0  , 3  1, f3  c 1 0 1 .
T
T
T
f ). 1  1, f1  c1 1 1 1 , 2   , f 2  c  3  2 , 2  3 , 3  3  ,
T
T
T
1
3
3   2 , f3  c  3  2 2 , 2  3 2 , 3  3 2  ,     i .
2
2
g ). 1  2, f1,2,3  c1 1 1 0 0   c2 1 0 1 0   c3 1 0 0 1 ,
T
T
1  2, f 4  c4 1 1 1 1 .
T
ЛІТЕРАТУРА
18
T
1. Алгебра та геометрія: Лінійна алгебра. [Електронний ресурс]: навч.
посіб. для студ. спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім.
Ігоря Сікорського; уклад. Ю. Є. Бохонов. – Електронні текстові дані
(1 файл: 4,31 Мбайт). – Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2021. – 296
с.
2. Конспект лекцій з курсу «Аналітична геометрія та лінійна алгебра»»
[Електронний ресурс] : навчальний посібник для студентів
спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ;
уклад. О. О. Калюжний, А. Ю. Мальцев, Г. Б. Подколзін, Ю. А.
Чаповський ; КПІ ім. Ігоря Сікорського.
3. Алгебра та аналітична геометрія: Курс лекцій [Електронний ресурс]:
курс лекц. для студ. спеціальності 122 «Комп’ютерні науки» / КПІ
ім. Ігоря Сікорського; уклад. Ю. Є. Бохонов. – Електронні текстові
дані (1 файл: 4,98 Мбайт). – Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2022. –
273 с.
4. Алгебра та аналітична геометрія: Практикум [Електронний ресурс]:
практикум для студ. спеціальності 122 «Комп’ютерні науки» / КПІ
ім. Ігоря Сікорського; уклад. Ю. Є. Бохонов. – Електронні текстові
дані (1 файл: 3,02 Мбайт). – Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2022. –
189 с.
5. Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. для студ. вищ. навч.
зак. / В.П Дубовик., I. I. Юрик. - 4-те вид. - К. : Ігнатекс-Україна.,
2013. - 648 с.
6. Вища математика. Збірник задач : навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. І.
Юрик, І. П. Вовкодав, В. І. Дев'ятко, Р. К. Клименко, В. В. Крочук,
М. А. Мартиненко ; за ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К. : А.С.К.,
2011. – 480 с.
19