Translated from English to Swedish - www.onlinedoctranslator.com
Statistik 2 Föreläsningarna
Statistik 2 (Linnéuniversitetet)
Skanna för att öppna på Studocu
Studocu är inte sponsrat och får inte stöd från något college eller universitet
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
Föreläsning 1 2020-02-22
Test av god passform och oberoende
Data kan mätas på olika skalor
Nominell skala
Datauppsättningen kan delas in i olika kategorier som inte kan rangordnas Ex
1: Färg på en bil
Ex 2: Elevernas namn
Ordinalskala
Datauppsättningen kan delas in i olika kategorier som kan rankas Ex 1:
Betyg på en tentamen
Ex 2: Be kunderna att rangordna olika produkter
Intervallskala:
Datauppsättningen har värden som kan rangordnas och deras skillnader är meningsfulla, men vi kan inte tolka
kvoter.
Ex 1: Temperatur
Förhållandeskala
Datauppsättningen har värden som kan rangordnas och deras skillnader och förhållanden kan tolkas. Ex 1:
Familjens inkomst
Ex 2: Antal poäng på en tentamen
__________________________________________________
Tidigare:
Analys av numeriska variabler (minsta intervallskala) såsom: Försäljning, vikt, antal cyklar
Nu:
Analys av klassvariabler (nominell skala) såsom: Man/kvinna, bilfärg: röd, blå, vit,...
Vi analyserar antalet i varje klass (frekvenser) Vi
använder ett X2-testa
X2-test bildas genom att jämföraObserverade frekvensermedFörväntade frekvenser.
Testet heter X2-test på grund av att teststatistiken har ungefär chi-kvadratfördelning (X2
distribution).
1
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
X 2distribution
Antag att vi har Z som en slumpvariabel som följer en standardnormalfördelning. Bild 1 här
Om vi kvadrerar Z får vi en variabel som bara kan anta positiva värden. Bild 2 här
Om vi har flera Z (säg Z1, Z2 och Z3) som vi kvadrerar får vi variabler som bara kan anta positiva värden. Om vi
summerar dessa kommer kurvan att se ut som följer: Figur 3 här
YXA2Fördelning är summan av kvadratiska standardnormalfördelade variabler.
• Dessa fördelningar kallas χ2-fördelningar (Chi-kvadratfördelningar).
• Utseendet bestäms av graden av frihet (df).
Test av god passform
• Chi2-distributioner kan användas i hypotestestning för att testa om data följer olika distributioner
(Goodness-of-fit-test).
• Vidare kan den användas för att testa sambandet mellan två variabler uppmätta på en nominell och/eller en
ordinalskala.
Goodness-of-Fit-test (multinomial distribution)
Exempel:
När en ny produkt ska marknadsföras väljer du mellan tre olika typer av förpackningar. Innan
tillverkningen påbörjas i full skala är det önskvärt att undersöka om det ur försäljningssynpunkt inte
spelar någon roll vilket paket man väljer.
2
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
Under en provperiod tillverkas och säljs produkten i de tre olika förpackningarna. Alla
förpackningar exponeras på samma sätt och säljs i samma butik och priset är detsamma.
Under en provperiod köper 240 personer varan i fråga.
Tabellen (frekvenstabell) anger antalet sålda förpackningar för varje typ av förpackning.
Vi vill testa om konsumenterna är lika glada över att köpa någon av förpackningarna (H0) eller om de föredrar ett
paket framför ett annat (H1).
Nollhypotes och alternativhypotes:
Nollhypotes H0:Sannolikheten är 1/3 för varje förpackning (dvs
försäljningen är oberoende av förpackningstyp)
Alternativ hypotes H1:H0gäller inte (dvs
försäljning beror på förpackningstyp)
Hypoteserna uttryckta i parametrar är följande:
Nollhypoteser:
H0: πA= πB= πC= 1/3
Alternativ hypotes: H1: Minst en av πA, πBoch πCskiljer sig från 1/3.
Var:
πAär andelen produkter som säljs när ruta A används πB
är andelen produkter som säljs när box B används πCär
andelen produkter som säljs när box C används
• Om nollhypotesen är giltig (dvs sannolikheten är 1/3 för vart och ett av paketen) för de 240 personerna
skulle 80 personer välja förpackning A, 80 personer välja B och 80 personer välja C.
• Resultaten av undersökningen är följande:
• Kan vi säga att försäljningen skiljer sig åt mellan de tre typerna av förpackningar?
Det vi undrar är om skillnaderna mellan observerat antal och förväntat antal enligt H0är tillräckligt stora för att vi ska
kunna säga att "försäljningen skiljer sig mellan de tre typerna av förpackningar", dvs det vi postulerade under H0?
3
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
• 66 - 80 = ‒14
• 92 - 80 = 12
• 82 - 80 = 2
• Eller är det bara små skillnader på grund av slumpen?
• Det kan vi testa!
Vår teststatistik är:
fi= observerat antal observationer i kategori i
ei= förväntat antal observationer i kategori i under nollhypotesen
Denna teststatistik har ungefär en χ2-fördelning med k-1 frihetsgrader givet att alla
klasser
för
• Det är ett mått på de observerade värdenas avvikelse från de teoretiska värdena.
• Det kan alltid finnas små avvikelser mellan de teoretiska värdena och de observerade värdena, även om
nollhypotesen är sann.
• Förutsatt att de små felen vanligtvis fördelas enligt en normalfördelning. →
• I så fall har kvadratsumman av alla fel en chi-kvadratfördelning.
• (Observera att vi dividerar de kvadratiska avvikelserna med eivilket resulterar i en standardisering.)
• Detta är ett ensidigt test med ett avslagsområde i den högra svansen.
• I vårt exempel har vi följande resultat:
• Observerat värde för teststatistiken:
• Antalet frihetsgrader är k-1 = 3-1 = 2.
• Om vi har α = 0,05 får vi ett kritiskt värde på 5,99.Kolla tabell frihetsgrader
• Eftersom
vårt testbeslut är: vi kan inte förkasta nollhypotesen.
4
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
• Det finns ingen statistiskt säkerställd skillnad i försäljning mellan de olika förpackningarna.
Test av godhet av passform av distributioner
Denna metod kan också användas för att testa om en datamängd följer andra distributioner såsom: Poissonfördelning,
Normalfördelning etc.
Test av oberoende i en tvåvägs beredskapstabell
Tvåvägs beredskapstabeller kan användas för att testa oberoende mellan två kvalitativa variabler
(kategorier).
Är två klassvariabler oberoende?
Det vill säga, vi kan testa om två variabler är oberoende om dessa:
- Två variabler mäts på en nominell skala.
- Två variabler mäts på ordningsskalan,
- En variabel mäts på ordningsskalan och en variabel mäts på den nominella skalan.
- En variabel mäts på ordningsskalan och en variabel mäts på intervall/kvotskalan men är
indelad i klasser
Beredskapstabell -Illustration
Tvåvägs beredskapstabeller består av rader och kolumner och dimensionerna beror på antalet
kategorier för de två variabler som man undersöker om det finns ett samband eller inte ett
samband (oberoende).
Exempel:
5
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
Beredskapstabell: Exempel 1
En forskare vill undersöka sambandet mellan kundnöjdhet och vilken verksamhet kunden
sysslar med.
Forskaren samlar in ett datamaterial och resultaten är följande:
Beredskapstabell:
• Teststatistiken X2beräknas med formeln:
Där fiiär observerad frekvens i cell (rad i, kolumn j) och
eiiär den förväntade frekvensen i cell (rad i, kolumn j), som beräknas enligt följande:
Beredskapstabell: Exempel 1 forts.
• Så teststatistiken är lika med:
6
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
Beredskapstabell:
• Hur avgör vi om värdet på teststatistiken är stort?
• Vi använder hypotesprövning.
Vi har följande hypoteser:
H0: De två klassvariablerna är oberoende (ingen relation mellan variablerna/ de två variablerna är
oberoende).
H1: De två klassvariablerna är inte oberoende (Ett förhållande mellan variablerna / de två variablerna är
beroende).
Teststatistik:
Teststatistiken har ungefär ett X2-fördelning med tanke på att
i alla celler och för tillräckligt
teststatistikens höga värden förkastar vi nollhypotesen.
Antalet frihetsgrader är lika med: (antal kolumner-1) * (antal rader-1)
Kritiskt värde:Antalet frihetsgrader är: (kolumner-1) * (rader-1) = (3-1) * (2-1) = 2 * 1 = 2
Från X2tabell med alfa = 0,05 och df = 2 får vi: X2 (2)= 5,99
Testa:Vi kan inte förkasta nollhypotesen på 5%-nivån pga
Slutsats:Vi kan inte förkasta H0: De två klassvariablerna är oberoende på 5 % signifikansnivå. Det
finns inget signifikant samband mellan de två variablerna vid 5 % signifikansnivå.
7
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
Beredskapstabell: Exempel 2.
• Vi vill undersöka förhållandet mellan man och hustrus längd.
• Därför görs en studie där man kontrollerar längden på mannen och hustrun.
Vi har följande hypoteser:
H0: De två klassvariablerna är oberoende. H1:
De två klassvariablerna är inte oberoende
Data samlas in och resultaten visas nedan:
• Beredskapstabell med förväntade frekvenser:
• Så teststatistiken är lika med:
Vi har:
Antalet frihetsgrader är: (kolumner-1) * (rader-1) = (3-1) * (3-1) = 2 * 2 = 4
Kritiskt värde:
Från X2tabell med alfa = 0,05 och df = 4 :
erhålles
Vi kan inte förkasta nollhypotesen på 5%-nivån pga
Det finns inget signifikant samband mellan variablerna på 5 % signifikansnivå
8
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )
9
Nedladdat av Ahmad Abu Shalbak ( ahmadshalbak2003@gmail.com )