機率與統計第九版精華版

機率與統計第九版精華版譯者陳常侃王妙伶 Probability & Statistics for Engineers & Scientists 9th Edition 原著 Ronald E. Walpole Raymond H. Myers Sharon L. Myers Keying Ye CH1 統計學與資料分析導論 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 1.2 抽樣程序；資料的收集 1.3 位置的測量：樣本平均值和中位數 1.4 變異性的測量 1.5 離散和連續的資料 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 科學資料的使用 在食品、電腦軟體、能源、藥品的製造與開發以及許多其他領域中，使用統計方法都需收集資訊或科學資料（scientific data）。 在收集科學資料與推論統計（inferential statistics）之間存在著一種極大的區別。在最近幾十年內，後者已經得到應有的關注。 這些統計方法被設計來幫助人們在面對不確定性（uncertainty）和變異（variation）的情況下做出科學的判斷。 P.1 CH 1 統計學與資料分析導論 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 科學資料的使用 統計方法可被用來分析來自此類製程的資料，以分析出在製程中哪裡可做改變以改進製程的品質（quality）。 P.1 CH 1 統計學與資料分析導論 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 在科學資料中的變異性 統計學家利用機率和統計推論的基本定律來得出與科學系統有關的結論，資訊以樣本（sample）或觀察值（observation）集合的形式被收集。 樣本是從母體（population）中收集到的，而這些母體是一特定類型之所有個體或個別品項的集合。 P.2 CH 1 統計學與資料分析導論 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 在科學資料中的變異性 工程師可能需要研究製程的條件、溫度、濕度、特定成分的量等等的影響。他或她可把這些因子（factor）系統性地移動到根據處方或實驗設計（experimental design）所建議的位準上。 觀察性的研究（observational study），其中需要實地的資料收集，但因子位準（factor level）不能被預先選擇。 P.3 CH 1 統計學與資料分析導論 1.1 概述：統計推論、樣本、母體及機率的角色 在科學資料中的變異性 現代的統計套裝軟體可計算出平均值（mean）、中位數（median）、標準差（standard deviation）及其他單一數字統計值，以及產生出可展示該樣本「足跡」的圖形。 P.3 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.1 假設一工程師得到來自一製程的資料，其中抽樣100 個品項，而其中10 個被發現是瑕疵品。偶爾會有瑕疵品是預料中的事，顯然這100 個品項代表了樣本。然而，從長久的角度來看，公司製程只能容忍5％的瑕疵。現在，機率讓工程師可判定對該製程來說，此份樣本資訊具有多少的決定性。在這案例中，母體在概念上代表來自該製程之所有可能的品項。假設我們知道，如果該製程是可接受的，也就是說，如果它產生的品項不會超過5％的瑕疵品，那麼該製程之100 個隨機品項中，可能有10 個或更多瑕疵品的機率是0.0282。這個很小的機率指出，該製程長久下來確實會產生超過5％的瑕疵品。換句話說，若該製程是可接受的，則幾乎不會獲得該份樣本資訊。然而，它確實發生了！顯然地，若製程瑕疵率遠超過5％，獲得該份樣本資訊的機率就會變高了。 P.4 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.2 通常，科學研究的本質將決定機率和演繹推論在統計推論中的角色。維吉尼亞理工學院研究了在樹根與真菌作用之間的關係發展。礦物質從真菌轉移到樹，而糖分從樹轉移到真菌。在一溫室中種植兩份紅橡樹苗樣本，每一樣本各有10 株，一份樣本有用氮處理，另一份樣本則沒有用氮處理。所有其他的環境條件保持不變。所有的樹苗都含有石斛真菌。在140 天之後，記錄以公克為單位的莖重，資料如表1.1中所示。在此範例中，有兩份來自不同母體（separate population）的樣本。實驗的目的是判定氮的使用是否對根的生長有影響。該研究是比較性的研究（也就是說，我們試圖針對一特定重要的特徵來比較兩個母體）。把資料繪製成如圖1.1 所示的點狀圖是有用的。o 值表示「有氮」的資料，而× 值表示「無氮」的資料。 P.4 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.2 (續) 請注意，此資料看起來可能向讀者指出：平均來說，氮的使用增加了莖重。四個有氮的觀測值比任何無氮的觀測值都要大得多。大多數的無氮觀測值似乎都低於資料的中心點。此資料集貌似表明氮是有效的。但是如何量化呢？如何把所有明顯的視覺證據做某種意義上的總結？如之前的範例，我們可以使用機率的基本原理。結論可總結為機率陳述或P 值。我們不會在這裡展示如何產生該總結機率，與範例1.1 一樣，這些方法將在第 9 章中討論，其論點主要圍繞在已知氮沒有效果的情況下「可觀察到像這份資料的機率」。換句話說，已知兩份樣本都來自相同母體的情況下，可觀察到像這份資料的機率。假設這個機率很小，比方說 0.03。這當然是有力的證據，表明使用氮確實會影響紅橡樹苗的平均莖重（因有明顯地增加）。 P.5 CH 1 統計學與資料分析導論表1.1 P.5 範例1.2 的資料集 CH 1 統計學與資料分析導論圖1.1 莖重資料的點狀圖圖1.2 在機率與推論統計之間的基本關係 P.5-6 CH 1 統計學與資料分析導論 1.2 抽樣程序；資料的收集 簡易隨機抽樣 簡易隨機抽樣（simple random sample）意味著，具指定樣本大小之任何特定的樣本與具相同大小之任何其他的樣本，有相同的機會在母體中被選擇到。樣本大小（sample size）意味著樣本中元素的數目。 P.7 CH 1 統計學與資料分析導論 1.2 抽樣程序；資料的收集 實驗設計 隨機性或隨機指派的概念在實驗設計（experimental design）的領域中扮演重大的角色。 一組所謂處理法（treatment）或組合處理法（treatment combination）的集合，變成在某種意義上是要做研究或做比較的母體。 P.7 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.3 進行一項腐蝕研究以判定用一種腐蝕延緩塗料來塗覆鋁金屬是否可減少腐蝕量。該塗料是一種保護劑，旨在最小化這類材料的疲乏損害。我們亦想得知濕度對腐蝕量的影響。腐蝕測量可以用失效前的千次週期數來表示。使用兩種層級的塗料，即沒有塗料及塗有化學防腐蝕塗料。此外，使用兩種相對濕度層級，即 20％的相對濕度與 80％的相對濕度。本實驗涉及如下表中所列出的四種組合處理法。使用八個準備好的鋁片作為實驗單元，每兩個實驗單元被隨機指派給四種組合處理法中的一種。資料如表 1.2 中所示。得到的腐蝕資料是兩個鋁片的平均值。平均值圖如圖 1.3 所示。失效前的週期數值較大時，代表有較少量的腐蝕。正如我們所預期的，濕度的增加似乎會使腐蝕增加。使用化學防腐蝕塗料似乎可減少腐蝕。 P.9 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.2 範例 1.3 的資料 P.9 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.3 範例 1.3 的腐蝕結果 P.9 CH 1 統計學與資料分析導論 1.3 位置的測量：樣本平均值和中位數 位置的測量為分析者提供資料中心點或某個其他位置所在的某些測量值。 一個明顯且非常有用的測量是樣本平均值（sample mean）。平均值是一種簡單的數值平均。 另一個重要的測量是樣本中位數（sample median）。樣本中位數的目的是以一種不受極端值或離群值影響的方式來反映樣本的集中趨勢。 P.10 CH 1 統計學與資料分析導論 P.10 CH 1 統計學與資料分析導論 1.3 位置的測量：樣本平均值和中位數 樣本平均值就是在樣本中資料的質量中心（centroid of the data）。 計算是母體平均值（population mean）的估計（estimate）的基礎。圖 1.4 樣本平均值是有氮莖重量的質量中心 P.11 CH 1 統計學與資料分析導論 1.4 變異性的測量 樣本全距和樣本標準差 有關幅度最簡單的樣本測量值也許是樣本全距（sample range）Xmax – Xmin，而最常使用的則是樣本標準差（sample standard deviation）。 數量 n – 1 通常被稱為與變異數估計有關的自由度（degree of freedom）。自由度描述在計算變異性時可用的獨立資訊個體數。 樣本變異數的計算不會有 n 個針對平均值的獨立平方差（independent squared deviation）。 P.14 CH 1 統計學與資料分析導論 P.14 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.4 P.14-15 CH 1 統計學與資料分析導論 1.4 變異性的測量 哪一個變異性測量比較重要？ 統計推論的工作大部分都要得出母體特徵的結論。在這些特徵中有稱為母體參數（population parameter）的常數。兩個重要的參數是母體平均值（population mean）和母體變異數（population variance）。 P.15 CH 1 統計學與資料分析導論 1.5 離散和連續的資料 收集的資料可以是離散的（discrete）或連續的（continuous），取決於該應用領域。 P.16 CH 1 統計學與資料分析導論 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 統計分析的最終結果是對假設模型（postulated model）之參數的估計。 做分析時可能需要一種特定的模型資料，例如，兩份樣本是來自常態分佈（normal distribution）或高斯分佈（Gaussian distribution）。 P.17 CH 1 統計學與資料分析導論表1.3 P.17 拉伸強度 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.5 P.18 拉伸強度與棉花百分比的散佈圖 CH 1 統計學與資料分析導論 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 模型的選擇代表一個基本假設（fundamental assumption），基於該假設才可以產生統計推論的結果。 圖表或勘查式資料分析（exploratory data analysis）可以教導分析者一些無法從正式分析中所檢索到的東西。 圖形把可能會被忽視掉的違反假設（violation of assumption）突顯出來。 P.19 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.4 汽車電池壽命表 1.5 電池壽命的莖葉圖 P.19 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.6 P.19 電瓶壽命的雙莖葉圖 CH 1 統計學與資料分析導論 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 莖葉圖 若大量產生的統計資料能以表格和圖形結合的形式來呈現，則對研究分佈的行為非常有用，這種形式稱為莖葉圖（stem-and-leaf plot）。 莖葉圖是總結資料的一種有效方法。另一種方法則是透過使用頻率分佈圖（frequency distribution），其中被分組在不同類別或間隔中的資料可透過對每一個莖的葉做計數來構建，並把每一個莖定義為一類別區間。 P.19-20 CH 1 統計學與資料分析導論 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 直方圖 列出相對次數的表稱為相對次數分佈（relative frequency distribution）。 使用每一個區間的中點和相應的相對次數，我們可建構出相對次數直方圖（relative frequency histogram）（圖 1.6）。 如果分佈可沿著垂直軸對折使得兩邊重合，則稱該分佈是對稱的（symmetric）。相對於垂直軸不對稱的分佈稱為歪斜（skewed）。 P.20-21 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.7 P.21 電瓶壽命的相對次數分佈 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.6 相對次數直方圖 P.21 CH 1 統計學與資料分析導論 1.6 統計建模、科學檢驗以及圖形式診斷 盒鬚圖或箱型圖 另一個有助於反映樣本性質的圖形是盒鬚圖（box-and-whisker plot）。 一種稱為箱型圖（box plot）的變化圖形可為觀看者提供哪些觀察值可能是離群值（outlier）的資訊。 常見的程序是使用四分全距的倍數（multiple of the interquartile range）。 P.22 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.7 估計的頻率分佈 P.22 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.8 資料的歪斜性 P.22 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.5 在一份有 40 支香煙的隨機樣本中測量尼古丁含量，資料顯示在表 1.8 中。圖 1.9 顯示了此資料的盒鬚圖，觀察值 0.72 和0.85 為在下尾部之輕微離群值，而觀察值 2.55 是在上尾部之輕微離群值。在這範例中，四分全距為 0.365，四分全距的 1.5 倍為 0.5475。在另一方面，圖 1.10 提供了它的莖葉圖。 P.23 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.8 P.23 範例 1.5 的尼古丁含量資料 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.9 P.23 範例 1.5 的盒鬚圖 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.10 P.23 尼古丁資料的莖葉圖 CH 1 統計學與資料分析導論範例 1.6 考慮表 1.9 中的資料，其包含 30 份厚度的測量樣本。圖 1.11 描繪了這不對稱資料集的盒鬚圖。注意，左邊的方塊比右邊的方塊大得多。中位數為 35、下四分位數為 31，而上四分位數為 36。也請注意右邊的極端觀察值比左邊的極端觀察值更遠離該盒子。此資料集沒有離群值。 P.24 CH 1 統計學與資料分析導論表 1.9 P.24 範例 1.6 的資料 CH 1 統計學與資料分析導論圖 1.11 P.24 厚度的盒鬚圖 CH 1 統計學與資料分析導論

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