Cálculo infinitesimal
Grado en Matemáticas
Tema 1: Números reales
Miguel Lacruz Martı́n
Universidad de Sevilla
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1.1. Axiomas de los números reales
1.2. Consecuencias de los axiomas de los números reales
1.3. La propiedad arquimediana y sus consecuencias
1.4. El principio de Cantor de intervalos encajados
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1.1. Axiomas de los números reales
Se define el sistema de los números reales como un conjunto R
dotado de dos operaciones (suma y producto) y de una relación
de orden, y que cumplen las siguiente propiedades.
Las propiedades de las operaciones y la relación de orden se dan
por un sistema de axiomas que se clasifican en cuatro categorı́as:
axiomas de la suma, axiomas del producto, axiomas del orden y
axioma del supremo.
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1.1.1. Axiomas de la suma
(A1) Propiedad asociativa: para todo x, y , z ∈ R, se tiene
(x + y ) + z = x + (y + z).
(A2) Elemento neutro: existe 0 ∈ R tal que, para todo x ∈ R,
x + 0 = 0 + x = x.
(A3) Elemento opuesto: para todo x ∈ R existe −x ∈ R tal que
x + (−x) = (−x) + x = 0.
(A4) Propiedad conmutativa: para todo x, y ∈ R se tiene
x + y = y + x.
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1.1.2. Axiomas del producto
(A5) Propiedad asociativa: para todo x, y , z ∈ R se tiene
(x · y ) · z = x · (y · z).
(A6) Elemento neutro: existe 1 ∈ R, con 1 ̸= 0, y para todo x ∈ R,
x · 1 = 1 · x = x.
(A7) Elemento opuesto: para todo x ∈ R \ {0} existe x −1 ∈ R con
x · x −1 = x −1 · x = 1.
(A8) Propiedad conmutativa: si x, y ∈ R entonces
x · y = y · x.
(A9) Propiedad distributiva: si x, y , z ∈ R entonces
x · (y + z) = x · y + x · z.
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1.1.3. Axiomas del orden
(A10) Tricotomı́a : si x ∈ R entonces x > 0, ó x = 0, ó x < 0.
(A11) La suma es cerrada: si x > 0 e y > 0 entonces x + y > 0.
(A12) El producto es cerrado: si x > 0 e y > 0 entonces x · y > 0.
Definición
Se dice que un conjunto de números reales A ⊆ R está acotado
superiormente si existe M ∈ R tal que a ≤ M para todo a ∈ A, y
en tal caso se dice que M es una cota superior de A.
Definición
Se dice que α ∈ R es cota superior mı́nima de A si α es cota
superior de A y se verifica que si M es una cota superior de A
entonces α ≤ M. El término supremo se usa como sinónimo de
cota superior mı́nima y se simboliza como α = sup A.
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1.1.4. Axioma del supremo
(P13) Axioma del supremo: si A ⊆ R es no vacı́o y está acotado
superiormente, entonces A tiene una cota superior mı́nima.
∗
∗
∗
∗
∗
El axioma del supremo puede parecer una propiedad desilusionante,
pero en realidad ésa es una de sus virtudes. Hace falta completar
la lista de axiomas (A1)–(A12) con otro axioma que no se cumple
para los números racionales. Poco a poco se hará clara la utilidad
de este nuevo axioma.
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1.2. Consecuencias de los axiomas de los números reales
Una ventaja de esta definición de los números reales reside en que,
a partir de unos pocos axiomas, usando el método lógico-deductivo
se pueden obtener muchas propiedades que no hace falta introducir
mediante otros axiomas.
A continuación vamos a establecer algunas consecuencias lógicas
que se deducen de los axiomas de los números reales.
Estos resultados representan las propiedades de los números reales
que se van a utilizar sistemáticamente a lo largo del curso.
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1.2.1. Consecuencias de los axiomas de la suma
▶ El elemento neutro de la suma es único. En efecto si 01 , 02
son elementos neutros de la suma entonces se tiene
01 = 01 + 02 = 02 .
▶ El elemento opuesto de la suma es único. En efecto, si x1 , x2
son elementos opuestos de x entonces
x2 = 0 + x2 = (x + x1 ) + x2
= x + (x1 + x2 ) = x + (x2 + x1 )
= (x + x2 ) + x1 = 0 + x1 = x1 .
▶ La ecuación x + a = b tiene solución única x = b − a.
En efecto, tenemos (x + a) + (−a) = b + (−a), luego
x + (a + (−a)) = b + (−a), y por lo tanto x = b − a.
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1.2.2. Consecuencias de los axiomas del producto
▶ El elemento neutro del producto es único. En efecto, si 11 , 12
son dos elementos neutros del producto entonces se tiene
11 = 11 · 12 = 12 .
▶ El elemento inverso del producto es único. En efecto, si x1 , x2
son dos elementos inversos de x ̸= 0 entonces se tiene
x2 = 1 · x2
= (x · x1 ) · x2
= x · (x1 · x2 )
= x · (x2 · x1 )
= (x · x2 ) · x1
= 1 · x1 = x1 .
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1.2.2. Consecuencias de los axiomas del producto
▶ El inverso de a ̸= 0 se denota por 1/a. El producto de b por
1/a se denota por b/a.
▶ La ecuación ax = b con a ̸= 0 tiene solución única x = b/a.
En efecto, a−1 (ax) = a−1 b ⇒ (a−1 a)x = a−1 b ⇒ x = b/a.
▶ Se define 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . . , n = (n − 1) + 1, . . .
▶ El conjunto de los números naturales se define como
N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .}.
▶ El conjunto de los números enteros se define como
Z = {−n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ N
= {. . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}.
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1.2.2. Consecuencias de los axiomas del producto
▶ Se define x 1 = x, y si n ≥ 2 entonces
n veces
x n = x · · · · · x.
▶ Es evidente que x m+n = x m x n y que (x m )n = x mn ,
n ∈ N.
▶ Supongamos que x ̸= 0 y pongamos
x 0 = 1,
x −n = 1/x n ,
n ∈ N.
▶ Es fácil comprobar que x m+n = x m x n y que (x m )n = x mn para
todo m, n ∈ Z.
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1.2.2. Consecuencias de los axiomas del producto
▶ Se tiene la igualdad 0 · x = 0 para todo x ∈ R.
▶ En efecto, 0 · x + x = 0 · x + 1 · x = (0 + 1)x = 1 · x = x,
luego 0 · x = 0.
▶ Si xy = 0 entonces x = 0 o y = 0.
▶ En efecto, si y ̸= 0 entonces
x = x(yy −1 ) = (xy )y −1 = 0 · y −1 = 0.
▶ Si x ∈ R entonces −x = (−1) · x.
▶ En efecto, tenemos
x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1)) · x = 0 · x = 0
y se sigue de la unicidad del elemento opuesto de la suma que
por lo tanto −x = (−1) · x.
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1.2.3. Consecuencias de los axiomas del orden
▶ Si x, y ∈ R entonces x < y , ó x = y , ó x > y . En efecto, por
el axioma de tricotomı́a, bien x − y < 0, ó bien x − y = 0, ó
bien x − y > 0.
▶ Sean x, y , z ∈ R. Si x ≤ y entonces x + z ≤ y + z. En efecto,
esto es obvio si x = y , y si x < y entonces y − x > 0 luego
(y + z) − (x + z) > 0, y por lo tanto x + z < y + z.
▶ Sean x, y , z ∈ R. Si x ≤ y , y si z > 0 entonces x · z ≤ y · z.
En efecto, esto es obvio si x = y , y si x < y , entonces se tiene
y − x > 0, y se sigue del axioma (A12) que (y − x) · z > 0, de
donde finalmente se deduce que x · z < y · z.
▶ Sean x, y , z ∈ R. Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z. En efecto,
esto es obvio si x = y , ó y = z, y si x < y e y < z entonces
y − x > 0, y z − y > 0 luego se sigue del axioma (P11) que
(y − x) + (z − y ) > 0,
y por lo tanto z − x > 0, es decir, x < z.
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1.2.3. Consecuencias de los axiomas del orden
▶ Si x, y < 0 entonces x · y > 0. En efecto, −x > 0, −y > 0
luego por el axioma (A12) se tiene x · y = (−x) · (−y ) > 0.
▶ Si x ̸= 0 entonces x 2 > 0. Esto es consecuencia de la
propiedad anterior y del axioma (A12).
▶ Se define el valor absoluto de un número real x ∈ R mediante
la expresión |x| = max{x, −x}.
▶ Si x, y ∈ R entonces |x + y | ≤ |x| + |y |. En efecto, tenemos
|x + y |2 = (x + y )2
= x 2 + y 2 + 2xy
= |x|2 + |y |2 + 2xy
≤ |x|2 + |y |2 + 2 |x| · |y | = (|x| + |y |)2 .
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1.2.4. Consecuencias del axioma del supremo
Definición
Se dice que un conjunto de números reales A ⊆ R está acotado
inferiormente si existe m ∈ R tal que m ≤ a para todo a ∈ A. Se
dice que m es una cota inferior de A.
Proposición (Propiedad del ı́nfimo)
Si A es un conjunto no vacı́o de números reales acotado
inferiormente entonces A tiene una cota inferior máxima.
Si α es cota inferior máxima de A, se dice abreviadamente
que α es el ı́nfimo de A y se escribe α := inf A.
Proposición (Existencia y unicidad de raı́ces enésimas)
Si x > 0 y si n ∈ N entonces existe un único y > 0 tal que y n = x.
√
Se dice que y es la raı́z n-ésima de x, y se escribe y = n x.
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1.2.4. Consecuencias del axioma del supremo
Demostración
El conjunto A := {z ∈ R+ : z n ≤ x} es no vacı́o y está acotado
superiormente por 1, si x ≤ 1, y por x, si x ≥ 1. Según el axioma
del supremo, existe y := sup A. Veamos que entonces y n = x.
Razonamos por reducción al absurdo.
Supongamos y n < x, sea ε = x − y n > 0, y sea 0 < h ≤ 1.
Se sigue de la fórmula del binomio de Newton que
(y + h)n
n−2 h2 + · · ·
= y n + ny n−1 h + n(n−1)
1·2 y
h
i
n−2 h + · · ·
= y n + h ny n−1 + n(n−1)
y
1·2
h
i
n−2 + · · ·
≤ y n + h ny n−1 + n(n−1)
y
1·2
= y n + h[(y + 1)n − y n ].
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1.2.4. Consecuencias del axioma del supremo
ε
, resulta (y + h)n ≤ y n + ε = x,
(y + 1)n − y n
luego y + h ∈ A, una contradicción, pues y es cota superior de A.
Tomando 0 < h <
Supongamos ahora que y n > x. Sea ε = y n − x, y sea 0 < h ≤ 1.
Aplicando de nuevo la fórmula del binomio de Newton, se obtiene
n(n − 1) n−2 2
(y − h)n = y n − ny n−1 h +
y
h − ···
1·2
n(n − 1) n−2
n
n−1
= y − h ny
−
y
h + ···
1·2
n(n − 1) n−2
n
n−1
≥ y − h ny
+
y
h + ···
1·2
n(n − 1) n−2
≥ y n − h ny n−1 +
y
+ ···
1·2
n
n
= y − h [(y + 1) − y n ].
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1.2.4. Consecuencias del axioma del supremo
ε
, resulta (y − h)n > y n − ε = x.
(y + 1)n − y n
Como y es la cota superior mı́nima de A, se sigue que y − h no es
cota superior de A, y por lo tanto existe z ∈ A con y − h < z < y ,
luego x < (y − h)n < z n y esto contradice el hecho de ser z n ≤ x.
Tomando 0 < h <
Definición (Intervalos)
Si a < b entonces se define el intervalo cerrado [a, b] ⊂ R como
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
y se define el intervalo abierto (a, b) ⊂ R como
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Se define el intervalo semiabierto a la izquierda (a, b] ⊂ R como
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, y por último, el intervalo semiabierto
a la derecha [a, b) ⊂ R comoxt [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
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1.3. La propiedad arquimediana y sus consecuencias
Teorema (Propiedad arquimediana de la suma)
Si x > 0 e y ∈ R entonces existe n ∈ N tal que nx > y .
Demostración
Supongamos que se tiene la desigualdad nx ≤ y para todo n ∈ N.
Esto significa que A := {nx : n ∈ N} está acotado superiormente,
siendo y es una cota superior de A. Según el axioma del supremo,
sabemos existe α := sup A.
Como α − x < α, se sigue que α − x no es cota superior de A, y
por lo tanto existe n ∈ N tal que nx > α − x. Finalmente, se tiene
(n + 1) x > α, y por lo tanto α, no puede ser cota superior de A, lo
cual es una contradicción.
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1.3. La propiedad arquimediana y sus consecuencias
Teorema (Propiedad arquimediana del producto)
Si x > 1 e y > 0 entonces existe n ∈ N tal que x n > y .
Demostración
Supongamos por un momento que se tiene la desigualdad x n ≤ y
para todo n ∈ N. Esto significa que el conjunto A = {x n : n ∈ N}
está acotado superiormente, siendo y es una cota superior de A.
Según el axioma del supremo (A13) existe α = sup A. Observemos
que α/x no es cota superior de A, y por lo tanto, que existe n ∈ N
tal que x n > α/x. Ası́ x n+1 > α. Esto significa que α no es cota
superior de A, y finalmente hemos llegado a una contradicción.
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1.3. La propiedad arquimediana y sus consecuencias
Teorema (Densidad de los números racionales)
Dados a, b ∈ R > 0 con a < b, existe r ∈ Q tal que a < r < b.
Demostración
Sea h = b − a > 0. Según la propiedad arquimediana de la suma,
existe n ∈ N con nh > 1. Tomemos m := min{k ∈ N : k/n > a}.
Según esta definición, tenemos a < m/n. Es un sencillo ejercicio
deducir que (m − 1)/n ≤ a < m/n, luego m/n − a ≤ 1/n < b − a,
y esto significa que m/n < b, como querı́amos demostrar.
Corolario (Densidad de los números irracionales)
Dados a, b ∈ R con a < b, existe ξ ∈ R \ Q tal que a < r < b.
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1.4. El principio de Cantor de intervalos encajados
Definición
Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia numerable
(In ) de intervalos tales que In ⊇ In+1 , para todo n ∈ N.
Teorema (Principio de Cantor de intervalos encajados)
Si (In ) es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces
existen α, β ∈ R tales que
∞
\
In = [α, β].
n=1
Si además se verifica que para todo ε > 0 existe n ∈ N tal que
long (In ) < ε, entonces se tiene α = β.
Demostración
Sea In = [an , bn ], donde an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn para todo n ∈ N.
Sean también A = {an : n ∈ N} y B = {bn : n ∈ N}.
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1.4. El principio de Cantor de intervalos encajados
Tenemos an ≤ bm para todo n, m ∈ N. Dado que A está acotado
superiormente por cualquier elemento de B, se sigue del axioma del
supremo que existe sup A, y además sup A ≤ bm , para todo m ∈ N.
Esta desigualdad significa que B está acotado inferiomente por
sup A, y ahora se deduce de la propiedad del ı́nfimo que existe
inf B, y además se tiene la desigualdadsup A ≤ inf B.
Sea α = sup A, y sea β = inf B. Tenemos an ≤ α T
≤ β ≤ bn , para
todo n ∈ N, luego [an , bn ] ⊇ [α, β] y por lo tanto ∞
n=1 In ⊇ [α, β].
Supongamos que x ∈ In para todo n ∈ N y veamos que x ∈ [α, β].
Razonamos por reducción al absurdo. Si x < α entonces x no es
cota superior de A, y por lo tanto existe n ∈ N tal que an > x, de
donde se deduce que x ∈
/ In . Si x > β entonces x no es cota inferior
de B, luego existe n ∈ N tal que bn < x, y por lo tanto x ∈
/ In . □
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