Lei e Hooke Generalizada
Referência:
Mecânica dos Materiais II
Hibbeler,
R.
"Resistência dos Materiais",
edição, 2010, Pearson.
(Parte 3)
Cap. 10 do livro do Hibbeler
1
C.
7ª
Lei de Hooke Generalizada
•
•
•
https://pt.wikipedia.org/
•
Antes de falarmos da Lei de Hooke generalizada, vamos
lembrar da conhecida Lei de Hooke Uniaxial como já
conhecemos da Ciência dos Materiais.
Como o próprio nome diz, se aplica apenas quando o corpo
está sujeito a um carregamento em apenas uma direção
(uniaxial). Vamos tomar como exemplo o ensaio de tração.
Nele, um corpo de prova é fixado entre duas garras, sendo
uma móvel e outra fixa.
Na garra móvel é imposto um deslocamento. Uma célula de
carta mede a força F atuando no corpo de prova. E um
extensômetro é colocado na parte de comprimento útil do
corpo de prova para medir a variação do deslocamento ΔL.
Com estas duas variáveis podemos calcular a tensão e a
deformação:
∆𝐿
𝐹
𝜎=
𝐴
•
•
•
𝜀=
𝐿0
E para grande parte dos materiais, principalmente os metálicos, há uma lei que estabelece
uma relação linear (durante a fase elástica) entre estas duas variáveis, conhecida como Lei de
Hooke Uniaxial: 𝜎 = 𝐸. 𝜀
Onde E é o Módulo de Elasticidade (inclinação da curva tensão x deformação) do material.
Convém lembrar que esta equação só pode ser utilizada quando temos carregamentos em
apenas uma direção (uniaxial). Se há carregamento em mais direções, devido ao efeito de
poisson, é necessário utilizar a Lei de Hooke Generalizada, como veremos a seguir.
2
Lei de Hooke Generalizada
•
•
•
Vamos supor um elemento infinitesimal 3D sofrendo esforços axiais em cada um dos seus
eixos (tensões σx, σy e σz). Neste caso, trata-se de um carregamento multiaxial e não
podemos usar a Lei de Hooke Uniaxial.
Para determinar a deformação axial no eixo x causada por estas três componentes de
tensão, vamos tratar cada caso separadamente.
Lembrando que o Coeficiente de Poisson é dado por: 𝜈 = −
𝜀𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
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Lei de Hooke Generalizada
❑ Deformação εxx devido somente à σxx
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸𝜀𝑥𝑥
𝜀𝑥𝑥 =
𝜎𝑥𝑥
𝐸
❑ Deformação εxx devido somente à σyy
𝜈=−
𝜀𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
𝜀𝑥𝑥
𝜈=−
𝜀𝑦𝑦
𝜀𝑥𝑥 = −𝜈𝜀𝑦𝑦
❑ Deformação εxx devido somente à σzz
𝜈=−
𝜀𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙
𝜈=−
𝜀𝑥𝑥
𝜀𝑧𝑧
𝜀𝑥𝑥 = −𝜈𝜀𝑧𝑧
4
Lei de Hooke Generalizada
❑ Deformação εxx total (soma das 3 parcelas)
𝜀𝑥𝑥 =
𝜀𝑥𝑥
Total
Devido
a σxx
+
Devido
a σyy
𝜎𝑥𝑥
𝜀𝑥𝑥 =
− 𝜈𝜀𝑦𝑦 − 𝜈𝜀𝑦𝑦
𝐸
•
𝜀𝑥𝑥
+
𝜀𝑥𝑥
Devido
a σzz
𝜎𝑦𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑧𝑧
𝜀𝑥𝑥 =
−𝜈
−𝜈
𝐸
𝐸
𝐸
Colocando o módulo de elasticidade e o coeficiente de possion em evidência, temos a
equação completa para calcular a deformação na direção x sob um carregamento triaxial:
1
𝜀𝑥𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 − 𝜈 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸
•
Repetindo o procedimento para as demais direções temos:
𝜀𝑦𝑦 =
1
𝜎 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸 𝑦𝑦
𝜀𝑧𝑧 =
1
𝜎 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
𝐸 𝑧𝑧
5
Lei de Hooke Generalizada
• A lei de Hooke para tensão de cisalhamento e deformação por cisalhamento pode ser escrita
como:
 xy =
•
1
 xy
G
 yz =
1
 yz
G
 xz =
1
 xz
G
onde
Assim, para a regime elástico linear do material (e considerando pequenas
deformações), podemos escrever a Lei de Hooke Generalizada como:
1
𝜎 − 𝜈 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸 𝑥𝑥
1
𝜀𝑦𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸
1
𝜀𝑧𝑧 = 𝜎𝑧𝑧 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
𝐸
𝜀𝑥𝑥 =
1
 xy
G
1
 xz =  xz
G
 xy =
 yz =
1
 yz
G
6
Lei de Hooke Generalizada
•
Para o Estado Plano de Tensões (supondo plano x-y), as equações ficariam da seguinte
forma:
1
𝜀𝑥𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 − 𝜈 𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸
1
𝜀𝑦𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑧𝑧
𝐸
 xz =
1
𝜎 − 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
𝐸 𝑧𝑧
 yz =
𝜀𝑧𝑧 =
1
𝜀𝑥𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 − 𝜈𝜎𝑦𝑦
𝐸
E.P.T.
 xy =
1
𝜀𝑦𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜈𝜎𝑥𝑥
𝐸
1
 xy =  xy
G
1
 xy
G
1
 xz
G
1
 yz
G
Observe que, apesar de ser um Estado
Plano de Tensão (EPT), pode existir
deformação fora do plano!
𝜈
𝜀𝑧𝑧 = − 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
𝐸
7
Lei de Hooke Generalizada
•
No estado de tensões principais, essas equações da Lei de Hooke Generalizada podem ser
escrita da seguinte forma:
1
𝜀1 = 𝜎1 − 𝜈𝜎2
𝐸
1
𝜀2 = 𝜎2 − 𝜈𝜎1
𝐸
Pode-se observar que no estado de tensões principais, não há as equações constitutivas para
cisalhamento, uma vez que estas componentes são nulas.
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Lei de Hooke Generalizada
1
𝜀𝑦𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 − 𝜈𝜎𝑥𝑥
𝐸
1
𝜀𝑥𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 − 𝜈𝜎𝑦𝑦
𝐸
•
 xy =
1
 xy
G
Estas equações da Lei de Hooke Generalizada podem ser colocadas na forma de matrizes,
como:
𝜀𝑥𝑥
1 1
𝜀𝑦𝑦 =
−𝜈
𝐸
𝛾𝑥𝑦
0
−𝜈
1
0
0
0
2 1+𝜈
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑥𝑦
... lembrando que:
ou na notação matricial:
𝜀 = 𝐷 𝜎
•
O mesmo procedimento pode ser aplicado para o estado de tensão principal:
1 1
𝜀1
𝜀2 = 𝐸 −𝜈
−𝜈 𝜎1
1 𝜎2
9
Lei de Hooke Generalizada
𝜀 = 𝐷 𝜎
•
Na equação acima é possível determinar as deformações a partir das tensões. Porém, na
prática (através de extensometria por exemplo), é mais fácil e viável medir a deformação
primeiro, para a partir dela, calcular as tensões. Assim, o mais coerente seria inverter a
equação acima, colocando da seguinte forma:
𝜎 = 𝐷 −1 𝜀
•
Invertendo a matriz [D] da equação acima, podemos reescreve-la como:
𝜎𝑥𝑥
𝐸
𝜎𝑦𝑦 =
1 − 𝜈2
𝜏𝑥𝑦
1 𝜈
𝜈 1
0 0
0
0
1−𝜈
2
𝜀𝑥𝑥
𝜀𝑦𝑦
𝛾𝑥𝑦
ou na notação matricial:
𝜎 = 𝐸 𝜀
•
Esta seria a equação da Lei de Hooke Generalizada para o Estado Plano de Tensão (EPT),
muito semelhante a Lei de Hooke Uniaxial (σ = Eε), porem escrita em forma de matriz. Em
MMA-II, só vamos utilizar esta lei para o Estado Plano de Tensão, mas é possível escreve-la
para um estado triaxial de tensões, onde a matriz de elasticidade [E] seria uma matriz 6x6.
10
Lei de Hooke Generalizada
•
O procedimento se repete para o estado de tensões principais,.
1 1
𝜀1
𝜀2 = 𝐸 −𝜈
−𝜈 𝜎1
1 𝜎2
𝐸
𝜎1
1
=
𝜎2
1 − 𝜈2 𝜈
𝜈 𝜀1
1 𝜀2
𝜎 = 𝐸 𝜀
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Lei de Hooke Generalizada
Exemplo: Uma roseta retangular foi fixada em uma bandeja de suspensão
automotiva e registrou os valores abaixo de deformação após um
caso de carregamento em uma bancada de teste. Determinar as
tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta
nessa região da suspensão, considerando:
E = 200 GPa
ν = 0,3
σe = 350 MPa
𝜀𝑟 = 200 . 10−6
𝜀𝑠 = −50 . 10−6
𝜀𝑡 = 400 . 10−6
s
r
45º
45º
t
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Lei de Hooke Generalizada
Solução:
Temos dois caminhos para chegar nas tensões principais a partir dos valores medidos pelos
extensômetros da roseta:
A. A partir das deformações da roseta, calculamos as deformações no plano. Em seguida
as tensões no plano (através da Lei de Hooke Generalizada) e finalmente as tensões
principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
B. Uma outra opção seria, após determinar as deformações no plano, calcular primeiro as
deformações principais para então determinar as tensões principais e a tensão de
cisalhamento máxima absoluta.
Ambos os caminhos têm que dar o mesmo resultado!
𝜀𝑟 = 200 . 10−6
𝜀𝑠 = −50 . 10−6
𝜀𝑡 = 400 . 10−6
𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 e 𝜏𝑥𝑦
𝜎1 𝑒 𝜎2
𝜏max 𝑎𝑏𝑠
𝜀1 𝑒 𝜀2
𝜎1 𝑒 𝜎2
𝜏max 𝑎𝑏𝑠
𝜀𝑥𝑥
𝜀𝑦𝑦
𝛾𝑥𝑦
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Lei de Hooke Generalizada
•
Vamos tomar o caminho B para a solução deste exercício (pelo caminho A também se
chega no mesmo resultado)
•
Como neste exercícios foi pedido somente as tensões
principais (tanto que nem foi dado um sistema de
coordenadas), podemos colocar o sistema de coordenadas
na posição que melhor nos convém.
Assim, podemos chamar o extensômetro r de a, o s de b e o t
de c, e usar a "fórmula pronta" de rosetas retangulares para
determinar as deformações no plano.
•
x
s
r
45º
45º
t
y
𝜀𝑥𝑥 = 𝜀𝑎
𝜀𝑦𝑦 = 𝜀𝑐
𝛾𝑥𝑦 = 2𝜀𝑏 − 𝜀𝑎 + 𝜀𝑐
𝜀𝑥𝑥 = 200.10−6
𝜀𝑦𝑦 = 400.10−6
𝛾𝑥𝑦 = −700.10−6
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Lei de Hooke Generalizada
•
A partir das deformações no plano, vamos determinar as deformações principais:
𝜀𝑥𝑥 = 200.10−6
𝜀𝑦𝑦 = 400.10−6
𝛾𝑥𝑦 = −70.10−6
𝜀1 = 664,0.10−6
𝜀2 = −64,01.10−6
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Lei de Hooke Generalizada
•
Utilizando a Lei de Hooke Generalizada para o estado de tensões principais:
𝜀1 = 664,0.10−6
𝜀2 = −64,01.10−6
𝐸
𝜎1
1
=
𝜎2
1 − 𝜈2 𝜈
𝜈 𝜀1
1 𝜀2
𝜎1 = 141,7 MPa
𝜎2 = 29,7 MPa
•
Assim, nesta bandeja de suspensão automotiva, a tensão normal máxima na região onde
foi colada a roseta foi de 141,7 MPa, durante o teste de bancada. E a tensão normal
mínima foi de 29,7 MPa.
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Lei de Hooke Generalizada
•
Como ambas as tensões principais são positivas, utilizaremos a fórmula abaixo para
determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta:
𝜎1
𝜏max 𝑎𝑏𝑠 =
2
𝜏max 𝑎𝑏𝑠 =70,9 MPa
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Lei de Hooke Generalizada
Exercícios sugeridos - Cap 10 - Hibbeler 7ªed:
37, 39, 42, 43, 49
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