ORGANIZACIÓN DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL
PROGRAMA DE DIPLOMA
COLEGIO PERUANO NORTEAMERICANO “ABRAHAM LINCOLN”
EXPLORACIÓN MATEMÁTICA
Demonstración de la Regla de L’Hopital y su aplicación para el cálculo de
límites
Candidata: Mariana Lucía Mosquera Morales
Código: 2202-0027
NÚMERO DE PALABRAS:
LIMA-PERÚ
2014
002202-0027
Índice
Introducción ........................................................................................................ 2
Teorema de Cauchy ........................................................................................... 2
Demostración del teorema .............................................................................. 3
Reglas y demostración de la Regla de L’Hopital ................................................ 4
Un caso especial en la regla de L’Hopital .......................................................... 5
Resolviendo límites con la Regla de L’Hopital.................................................... 6
Primer ejemplo de límite ................................................................................. 6
Segundo ejemplo de límite .............................................................................. 7
Tercer ejemplo de límites ................................................................................ 7
Conclusión.......................................................................................................... 8
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Introducción
La idea del tema surgió cuando estaba haciendo el tema de límites en mi clase
de matemáticas. Cuando lo realizábamos cuando aparecía 0/0 simplemente lo
dejábamos así y continuábamos; e igualmente cuando x tenia tendencia al
infinito lo realizábamos de otra manera pero que no daba un resultado tan
pertinente. Estaba estudiando el tema y una amiga me comentó que en
Matemáticas Nivel Superior utilizaban algo llamado regla de L’Hopital. Al
principio me resultó complicado pero poco a poco empecé a entender mejor,
me gustó, y pensé que podría usarlo para mi exploración matemática.
La regla de L’Hopital es básicamente una regla que usa derivadas para poder
evaluar limites que se dan en formas indeterminadas (lo convierten en formas
determinadas). Esta regla fue publicada y debe su nombre al matemático
Guillame de L’Hopital, pero se cree que la regla fue descubierta anteriormente
por el matemático suizo Johan Bernoulli. En este exploración lo que haremos
será justificar la regla de L’Hopital, hacer una demostración, y aplicarla para
diferentes limites indeterminados.
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy nos ayudará a poder entender mejor la regla de
L’Hopital. Es una variación del Teorema del Valor Medio1 y se define de esta
manera:
Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en [𝑎, 𝑏] y derivables en (𝑎, 𝑏). Entonces existe al
menos un punto 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que:
(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎))𝑔′ (𝑐) = (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎))𝑓′(𝑐)
En el caso que 𝑔(𝑎) ≠ 𝑔(𝑏) y que 𝑔′ (𝑐) ≠ 0, entonces podemos decir que:
𝑓′(𝑐) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
=
𝑔′(𝑐) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
1 El teorema dice que dada cualquier función f en el intervalo [a,b] y diferenciable en el intervalo
abierto (a,b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a,b= tal que la tangente a
la curva en c es paralela a la recta secante de los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)). Es decir que:
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑓 ′ (𝑐) =
𝑏−𝑎
2
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Demostración del teorema
Pongamos un caso en el que tenemos una función ℎ(𝑥) definida por:
ℎ(𝑥) = [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] ∙ [𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] − [𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)] ∙ [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)]
En este caso 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones continuas en [𝑎, 𝑏] y derivables en
(𝑎, 𝑏).
Luego, por el “Teorema de Rolle”2, se sabe que hay un “c” que pertenece al
intervalo (𝑎, 𝑏); por lo tanto ℎ′(𝑐) = 0. Entonces derivando ℎ(𝑥) obtenemos:
ℎ′ (𝑥) = [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] ∙ 𝑓′(𝑥) − [𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)] ∙ 𝑔′(𝑥)
Y ahora, cuando sabemos que ℎ′(𝑐) = 0 sale:
0 = [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] ∙ 𝑓′(𝑐) − [𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)] ∙ 𝑔′(𝑐)
Por tanto se deduce:
[𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)] ∙ 𝑔′(𝑐) = [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] ∙ 𝑓′(𝑐)
Ahora; si 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) ≠ 0 y 𝑓′(𝑐) ≠ 0, podemos escribir la expresión como:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑐)
=
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔′(𝑐)
Ya tenemos demostrada esta regla. Ahora, ¿cómo hallamos la regla de
L’Hopital a partir de esto?
De esta manera: Tenemos esta igualdad; ahora, consideremos el caso que
𝑓(𝑎) y 𝑔(𝑎) se fueran y que 𝑏 sea reemplazado por una variable x.
Luego sabemos que 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎) = 0 ; y que 𝑔′(𝑥) ≠ 0 es un intervalo
alrededor de a, excepto en 𝑥 = 𝑎:
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑐(𝑥))
=
𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑐(𝑥))
Aquí 𝑥 ≠ 𝑎, pero 𝑥 esta cerca a 𝑎 y además 𝑐(𝑥) (quien depende en x) es un
punto entre 𝑥 y 𝑎.
𝑓′(𝑥)
Ahora supongamos que lim 𝑔′(𝑥) = 𝐿 (donde 𝐿 es una constante) existe.
𝑥→𝑎
2 Este teorema dice que si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b],
derivable sobre el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b); entonces existe al menos un punto c
perteneciente al intervalo (a,b) tal que f’(c)=0.
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𝑓′(𝑐(𝑥))
Por lo tanto lim 𝑔′(𝑐(𝑥)) = 𝐿 también existe. Así es como obtenemos la regla de
𝑥→𝑎
L’Hopital:
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
= lim (
)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
lim
Este caso solo se da cuando 𝑓(𝑎) y 𝑔(𝑎) se quitan.
Reglas y demostración de la Regla de L’Hopital
Lo que hacemos normalmente cuando aprendemos acerca de cálculo
diferencial es usar límites para resolver las derivadas de las funciones. De
hecho, la definición de derivadas usa la noción del límite; es la pendiente
alrededor de un punto conforme vamos tomando puntos más y más cercanos al
punto en cuestión. En este caso haremos lo opuesto; usaremos las derivadas
para resolver límites, más específicamente límites indeterminados. Por
0
∞
−∞
ejemplo: 0 , ∞, o ∞ .
Para resolver estos límites usaremos la regla de L’Hopital. Esta regla dice 2
cosas:
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
1. El lim 𝑓(𝑥) = 0 , el lim 𝑔(𝑥) = 0 y el lim 𝑔′(𝑥) = 𝐿 ; entonces lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
𝑥→𝑐
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
2. El lim 𝑓(𝑥) = ±∞, el lim 𝑔(𝑥) = ±∞ y el lim 𝑔(𝑥) = 𝐿; entonces
𝑥→𝑎
𝑥→𝑐
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
igualmente que con el otro caso la conclusión es que lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑎
Estas serán las dos formas indeterminadas que trataremos. Un ejemplo:
sin 𝑥
𝑥→0 𝑥
lim
0
Como se sabe sin 0 = 0. Por lo tanto quedaría 0.
Entonces ahora debemos comprobar que el cociente de la derivada de 𝑓(𝑥) y
la de 𝑔(𝑥) da como resultado una constante. Si la 𝑓(𝑥) sería en este caso sin 𝑥
y 𝑔(𝑥) seria x, se daría de este modo:
𝑓 ′(𝑥) = cos 𝑥 y 𝑔′(𝑥) = 1
Por lo tanto el límite es:
𝑓′(𝑥)
lim 𝑔′(𝑥) = lim
𝑥→0
𝑥→0
4
cos 𝑥
1
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𝑓′(𝑥)
Como cos 0 = 1. Entonces damos como conclusión que lim 𝑔′(𝑥) = 1. Ya que
𝑥→0
hemos cumplido todas las reglas de L’Hopital esta regla nos dice que entonces
que:
sin 𝑥
=1
𝑥→0 𝑥
lim
Un caso especial en la regla de L’Hopital
En la situación especial de la regla de L’Hopital se da que:




𝑓(𝑎) = 0
𝑓 ′ (𝑎) existe
𝑔(𝑎) = 0
Y 𝑔′ (𝑎) existe
Entonces si esto se da tenemos:
𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑎)
=
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑎)
lim
Si nos damos cuenta
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
0
es lo mismo que decir ; pero si las derivadas existen,
0
𝑓′(𝑎)
es decir 𝑔′(𝑎), podemos obtener el límite. Entonces esta expresión se parece
mucho a la regla de L’Hopital, pero es un subconjunto de ella. Para demostrar
esto diremos que si usamos la definición de derivadas podríamos obtener que:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎
𝑓 ′ (𝑎) = lim
Esto claramente es una pendiente entre dos puntos. Es decir que en una
función de 𝑓(𝑥), la pendiente estaría entre los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑥, 𝑓(𝑥)). De la
misma manera se da que:
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑥−𝑎
𝑔′ (𝑎) = lim
Asi que podemos escribirlo de esta forma:
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
lim
𝑓′(𝑎) 𝑥→𝑎
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
=
= lim
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑔′(𝑎)
lim
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎
𝑥→𝑎
Ahora para poder reducir más multiplicaremos todo por 𝑥 − 𝑎, Entonces:
5
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𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎)
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
lim
= lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥−𝑎
Sabiendo que 𝑓(𝑎) = 0 y 𝑔(𝑎) = 0 la expresión se reduce finalmente a:
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
lim
Resolviendo límites con la Regla de L’Hopital
En esta sección resolveré 3 ejemplos límites usando la Regla de L’Hopital.
Primer ejemplo de límite
2 sin 𝑥 − sin 2𝑥
𝑥→0
𝑥 − sin 𝑥
lim
Resolvemos y se daría en la indeterminada forma de:
2 sin(0) − sin 2(0) 0
=
𝑥→0
0 − sin(0)
0
lim
Aplicamos la regla de L’Hopital y veamos si podemos hallar el límite con la
derivada de este límite (usando también la regla de la cadena):
2 cos 𝑥 − 2 cos 2𝑥
𝑥→0
1 − cos 𝑥
lim
Evaluando este límite obtenemos:
2(1) − 2(1) 0
=
𝑥→0
1−1
0
lim
0
En este caso obtenemos nuevamente 0. Sin embargo, esto no significa que el
límite no exista. Simplemente debemos aplicar la regla de L’Hopital
nuevamente. Entonces, anteriormente teníamos esto:
2 cos 𝑥 − 2 cos 2𝑥
𝑥→0
1 − cos 𝑥
lim
Derivándolo una vez más obtenemos:
−2 sin 𝑥 + 4 sin 2𝑥
𝑥→0
sin 𝑥
lim
6
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Resolvemos y a primera vista nos damos cuenta que el
lim
−2 (0) +4(0)
𝑥→0
(0)
0
nuevamente nos da como resultado 0. Así que derivamos una vez
más:
−2 cos 𝑥 + 8 cos 2𝑥
𝑥→0
cos 𝑥
lim
Resolvemos y entonces:
−2(1) + 8(1)
=6
𝑥→0
1
lim
Ahora que tenemos la constante, finalmente podemos concluir que:
2 sin 𝑥 − sin 2𝑥
=6
𝑥→0
𝑥 − sin 𝑥
lim
Segundo ejemplo de límite
4𝑥 2 − 5𝑥
𝑥→∞ 1 − 3𝑥 2
lim
Resolvemos y nuevamente nos daría la forma indeterminada de:
∞
−∞
Aplicamos la regla de L’Hopital derivando:
8𝑥 − 5
𝑥→∞ −6𝑥
lim
∞
A primera vista vemos que nos sale nuevamente −∞. Por lo tanto derivamos
nuevamente:
8
−4
=
𝑥→∞ −6
3
lim
Así que en este ejemplo concluimos que:
4𝑥 2 − 5𝑥 −4
=
𝑥→∞ 1 − 3𝑥 2
3
lim
Tercer ejemplo de límites
𝑥
1
−
)
𝑥→1 𝑥 − 1
ln 𝑥
lim (
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Resolviendo nos resultaría:
1
1
𝑥 ln 𝑥 − (𝑥 − 1) 0
−
) = lim
=
𝑥→1 1 − 1
𝑥→1 (𝑥 − 1) ln 𝑥
ln 1
0
lim (
Como sale una indeterminada, derivamos el límite:
lim
𝑥→1
1
ln 𝑥 + 𝑥 𝑥 − 1
1
ln 𝑥 + 𝑥 (𝑥 − 1)
ln 𝑥
𝑥−1
𝑥→1
ln 𝑥 + 𝑥
= lim
Como podemos ver esto sería:
ln 1
0
=
1−1 0
𝑥→1
ln 1 + 1
lim
Aplicaremos nuevamente la regla de L’Hopital usando la derivada y
resolvemos:
1
𝑥
lim
𝑥→1 1
𝑥 + −𝑥
2 (𝑥 − 1) + 1
= lim
𝑥
𝑥→1 1
1
1
2 (1 − 1) + 1
1 + −1
1
=
1
1
=
1+1 2
Nuevamente como conclusión obtenemos que:
𝑥
1
1
−
)=
𝑥→1 𝑥 − 1
ln 𝑥
2
lim (
Conclusión
Al demostrar, investigar su origen, y resolver ejemplos de la regla de L’Hopital
he podido darme cuenta de su importancia para el cálculo de límites. A primera
vista puede parecer muy sencilla; sin embargo es una herramienta muy útil y
poderosa a la hora de aprender cálculo diferencial. Además en esta exploración
he podido relacionar este tema de la regla de L’Hopital con temas que ya había
visto anteriormente en mis clases de matemáticas como son los limites, límites
al infinito, etc (aunque rara vez lo hayamos mencionado en clase).; ampliando
mis conocimientos matemáticos y pudiendo ver los limites desde otra
perspectiva.
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