1. Les nombres réels
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Contenu
1. Introduction
2. Les réels
3. Conséquences de l'axiome de la borne supérieure
4. Induction mathématique (récurrence)
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1. Introduction
• Il y a plus d'une façon d'introduire l'ensemble ℝ des nombres réels.
• Dans ce cours, nous allons utiliser la méthode axiomatique : on postule l'existence
d'un tel ensemble avec un nombre précis (14) de propriétés (axiomes) portant sur les
aspects
• algébrique,
• d'ordre
• et topologique (analyse : limites).
• Ceci est résumé succinctement dans la définition suivante.
Définition Le corps ℝ des nombres réels est un corps commutatif
ordonné satisfaisant à l'axiome de la borne supérieure.
• En d'autres termes, ℝ vérifie les trois conditions suivantes :
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1. ℝ est un corps commutatif. Il existe une opération binaire interne (l'addition)
qui en fait un groupe commutatif, et une opération binaire interne (la multiplication,
notée ∙ ou ×)
qui fait de ℝ∗ = ℝ∖{0} un groupe commutatif.
2. ℝ est un corps ordonné. Il existe une relation d'ordre total sur ℝ, notée ≤, telle que
a) ∀𝑐 ∈ ℝ 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
b) ∀𝑐 ∈ ℝ+ = 0; +∞ 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
3. Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une plus petite borne supérieure :
𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅, 𝐴 majorée ⟹ 𝑠𝑢𝑝𝐴 existe.
• Nous allons expliciter plus en détail ces notions dans la section suivante.
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2. Les réels
2.1. Le corps des réels
• L'ensemble (ℝ,+,⋅) (c'est-à-dire ℝ muni des opérations addition et multiplication)
vérifie les 9 axiomes suivants (qui en font un corps commutatif).
1. Commutativité de l'addition
(∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.
2. Associativité de l'addition
(∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 .
3. Existence d'un élément neutre pour l'addition. Il existe un élément 0 ∈ ℝ tel que
(∀𝑥 ∈ ℝ) 𝑥 + 0 = 𝑥.
4. Existence d'un élément inverse pour l'addition (l'opposé, le symétrique).
(∀𝑥 ∈ ℝ) (∃𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 + 𝑦 = 0.
• L'élément 𝑦 est noté −𝑥 et on écrit
𝑥 + −𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0.
• Plus généralement, (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), l'opération 𝑥 + (−𝑦) est notée 𝑥 − 𝑦.
• Avec ces 4 propriétés, on dit que (ℝ, +) est un groupe additif commutatif (ou abélien).
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5. Commutativité de la multiplication
(∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥.
(on omet le point : 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥𝑦).
6. Associativité de la multiplication
(∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ) 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦𝑧 .
7. Existence d'un élément neutre pour la multiplication. Il existe un élément 1 ∈ ℝ∗ = ℝ ∖
0 tel que
(∀𝑥 ∈ ℝ) 1𝑥 = 𝑥.
8. Existence d'un élément inverse pour la multiplication (l'inverse multiplicatif).
(∀𝑥 ∈ ℝ∗ ) (∃𝑦 ∈ ℝ) 𝑥𝑦 = 1.
• L'élément 𝑦 est noté 𝑥 −1 ou 1/𝑥 et on écrit
1
𝑥 ∙ = 𝑥 ⋅ 𝑥 −1 = 1.
𝑥
•
1
∗
−1
Plus généralement, (∀𝑥 ∈ ℝ) et (∀𝑦 ∈ ℝ ), l'opération 𝑥𝑦 est aussi notée 𝑥 ∙ =
𝑦
𝑥/𝑦 : diviser 𝑥 par 𝑦 revient à multiplier 𝑥 par l'inverse de 𝑦.
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Avec les 4 axiomes 5, 6, 7, 8, on dit que (ℝ∗ ,⋅) est un groupe multiplicatif commutatif (ou
abélien).
9. Distributivité de la multiplication sur l'addition
(∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ) 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧.
Exemple (ℝ, +,⋅) n'est pas le seul corps commutatif.
• Des exemples sont :
• (ℚ, +,⋅),
• (ℂ, +,⋅),
• (ℚ( 2), +,⋅) où ℚ( 2) = {𝑎 + 𝑏 2: 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ},
• ℤ𝑝 , +,∙ , 𝑝 nombre premier (corps finis : arithmétique modulaire).
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2.2. Ordre total sur ℝ
• Rappelons ce qu'est une relation sur un ensemble et en particulier une relation d'ordre
total ou partiel.
Définition Soit 𝐴 et 𝐵 deux ensembles.
• Une relation binaire 𝑅 de 𝐴 à 𝐵 est un sous-ensemble du produit cartésien 𝐴 × 𝐵.
• Si 𝐴 = 𝐵, alors 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴 est appelé une relation binaire sur 𝐴.
• Notation : 𝑎𝑅𝑏 ⇔ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅.
• On dit que 𝑎 et 𝑏 sont liés par la relation 𝑅.
Exemple La relation 𝑎𝑅𝑏 ⇔"𝑎 est un diviseur de 𝑏" est une relation sur ℕ.
• On utilise la notation 𝑎 ∣ 𝑏 si 𝑎 est un diviseur de 𝑏 et 𝑎 ∤ 𝑏 sinon.
• Ainsi, 2 ∣ 4 mais 2 ∤ 3.
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Définition Relation d'ordre. Une relation binaire 𝑅 sur
un ensemble 𝐴 est dite relation d'ordre si elle est :
1. réflexive : (∀𝑥 ∈ 𝐴) 𝑥𝑅𝑥.
2. transitive : (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴) 𝑥𝑅𝑦 et 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧.
3. antisymétrique : (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴) 𝑥𝑅𝑦 et 𝑦𝑅𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦.
• Une relation d'ordre est souvent notée 𝑥 ≤ 𝑦.
• La relation 𝑥 ≤ 𝑦 et 𝑥 ≠ 𝑦 est notée 𝑥 < 𝑦.
Exemple La relation de divisibilité ci-dessus est une relation d'ordre sur ℕ.
Définition Ordre total et ordre partiel.
• Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble 𝐴 est dite totale si pour tous 𝑥
et 𝑦 dans 𝐴, une seule des relations suivantes est vraie (trichotomie) :
𝑥 < 𝑦, 𝑥 = 𝑦, 𝑦 < 𝑥
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• Dans le troisième cas (𝑦 < 𝑥) on écrit aussi 𝑥 > 𝑦.
• Si 𝐴 est muni d'une relation d'ordre total, on dit que 𝐴 est totalement ordonné.
• Sinon, il est partiellement ordonné.
Exemple (ℕ, ∣) est partiellement ordonné (ℕ = {1,2,3, … }).
• Ceci nous mène aux axiomes suivants.
10. ℝ est muni d'une relation d'ordre total, notée ≤ (si 𝑥 ≤ 𝑦 et 𝑥 ≠ 𝑦, on écrit 𝑥 < 𝑦).
Plus formellement, (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), exactement une des trois propriétés suivantes est
vraie (trichotomie) :
𝑥 < 𝑦 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑦 < 𝑥
• Noter qu'on écrit aussi 𝑦 > 𝑥 pour dire 𝑥 < 𝑦 (idem pour ≤).
11. (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 < 𝑦 et 𝑦 < 𝑧 ⇒ 𝑥 < 𝑧 (transitivité).
12. (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧 (compatibilité avec l'addition).
13. (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 > 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0 ⇒ 𝑥𝑦 > 0 (compatibilité avec la multiplication).
• Muni des axiomes 1 à 13, (ℝ, +,⋅, ≤) est dit corps totalement ordonné.
Exemple (ℚ, +,⋅, ≤) est un corps totalement ordonné.
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2.3. Conséquences des axiomes d'ordre
• On a les conséquences immédiates suivantes.
Théorème Soit 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ. Alors
1. Les relations 𝑥 ≤ 𝑦, 0 ≤ 𝑦 − 𝑥, −𝑦 ≤ −𝑥 et 𝑥 − 𝑦 ≤ 0 sont équivalentes.
2. 0 < 1.
1
1
3. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 alors 0 < < .
𝑦
𝑥
4. Si 𝑥 < 𝑦 et 𝑧 < 0, alors 𝑦𝑧 < 𝑥𝑧.
5. 𝑥 2 ≥ 0.
Preuve
1. En ajoutant −𝑥 aux deux membres de 𝑥 ≤ 𝑦, on obtient 𝑥 − 𝑥 ≤ 𝑦 − 𝑥, ce qui donne
0 ≤ 𝑦 − 𝑥.
• En ajoutant −𝑦 aux deux membres de 0 ≤ 𝑦 − 𝑥, on obtient −𝑦 ≤ −𝑦 + 𝑦 − 𝑥 ⇒
−𝑦 ≤ −𝑥.
• Notons que 𝑥 − 𝑦 ≤ 0 s'obtient en ajoutant 𝑦 aux deux membres de −𝑦 ≤ −𝑥.
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2. L'axiome 10 (trichotomie) nous dit que l'on doit avoir l'une des trois situations suivantes
: 0 = 1 (exclue par l'axiome 7), ou 0 < 1 ou 0 > 1.
• Examinons le cas 0 > 1.
• De la conséquence 1. ci-dessus, on a 0 > 1 ⇔ 0 < −1.
• Maintenant, l'axiome 13 (compatibilité de < avec ⋅) entraîne que 0(−1) < (−1)(−1)
c-à-d 0 < 1, ce qui contredit l'hypothèse 0 > 1.
• La seule possibilité qui reste est 0 < 1.
3. Supposons que 0 < 𝑥 < 𝑦.
• L'axiome 10 (trichotomie) nous dit qu'on a une seule des trois possibilités : 1/𝑥 =
0, 1/𝑥 < 0 ou 1/𝑥 > 0.
• Maintenant, 𝑥 ⋅ (1/𝑥) = 1 ⇒ 1/𝑥 ≠ 0.
• Supposons que 1/𝑥 < 0.
• Puisque 𝑥 > 0, on a 1 = 𝑥 ⋅ (1/𝑥) < 𝑥 ⋅ 0 = 0, ce qui contredit la propriété 2. cidessus.
• Donc 1/𝑥 > 0, de même que 1/𝑦 > 0. Dans ce cas,
0 < 𝑥 ⋅ 1/𝑥 ⋅ 1/𝑦 < 𝑦 ⋅ 1/𝑥 ⋅ 1/𝑦 c-à-d 0 < 1/𝑦 < 1/𝑥.
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4. Supposons que 𝑥 < 𝑦 et 𝑧 < 0.
• Alors 0 < −𝑧 et l'axiome 13 (compatibilité de < avec ⋅) entraîne que −𝑧𝑥 < −𝑧𝑦 et la
propriété 1 ci-dessus nous donne 𝑧𝑦 < 𝑧𝑥.
5. Si 𝑥 > 0, alors l'axiome 13 nous donne 𝑥 ⋅ 𝑥 > 0 ⋅ 𝑥 ou 𝑥² ≥ 0 car 0 ⋅ 𝑥 = 0.
• Si 𝑥 = 0, alors 𝑥² = 0 et donc 𝑥² ≥ 0.
• Enfin, si 𝑥 < 0, la propriété 1. ci-dessus nous donne 0 < −𝑥 et, toujours avec la
propriété 1., 0 < (−𝑥)² < 𝑥².
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2.4. Valeur absolue
Définition Soit 𝑥 et 𝑦 deux nombres réels. Alors 𝑥 est appelé :
• Le maximum des nombres 𝑥 et 𝑦 si 𝑥 ≥ 𝑦. On le note 𝑥 = max 𝑥, 𝑦 .
• Le minimum des nombres 𝑥 et 𝑦 si 𝑥 ≤ 𝑦. On le note 𝑥 = min 𝑥, 𝑦 .
On a la propriété générale (définition récursive) (voir récurrence en fin de chapitre) :
• max 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = max max 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 .
• min 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = min min 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 .
Définition Valeur absolue. On appelle module ou
valeur absolue d'un nombre réel 𝑥 le nombre :
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑥 =ቊ
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
• On a la définition équivalente : 𝑥 = max 𝑥, −𝑥 .
• Notons que ∀𝑥 ∈ ℝ |𝑥| ≥ 0 et que 𝑥 = 𝑥 2 . Commentaire ?
Les racines 𝑛ièmes seront formellement examinées plus bas (après l’axiome
14).
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• On a les conséquences immédiates suivantes (d'autres sont proposées dans les
Théorème Soit 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Alors
exercices).
1. |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|.
2. Soit 𝑎 > 0. Alors |𝑥| < 𝑎 ⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎.
3. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| (inégalité triangulaire).
4. ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦| (deuxième inégalité triangulaire).
Preuve
1. 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑥 𝑦 . Commentaire ?
• Une preuve plus acceptable est bien sûr de passer par la définition ci-dessus
(exercice, facile).
2. ⇒. Supposons que −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 (𝑎 > 0).
• Si 𝑥 > 0, alors |𝑥| = 𝑥 < 𝑎.
• Si 𝑥 ≤ 0, alors |𝑥| = −𝑥 et −𝑎 < 𝑥.
• Donc |𝑥| = −𝑥 < 𝑎.
• Ainsi, −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ⇒ |𝑥| < 𝑎.
⇐. Supposons maintenant que |𝑥| < 𝑎 et 𝑥 > 0, alors −𝑎 < 0 < 𝑥 = |𝑥| < 𝑎.
• Si 𝑥 ≤ 0, alors |𝑥| = −𝑥 < 𝑎, i.e. −𝑎 < 𝑥 ≤ 0.
• Donc |𝑥| < 𝑎 ⇒ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎.
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3. Remarquons que 𝑥 ≤ |𝑥| et 𝑦 ≤ |𝑦| et alors 𝑥 + 𝑦 ≤ |𝑥| + |𝑦|.
• De même, −𝑥 ≤ |𝑥| et −𝑦 ≤ |𝑦| entraînent −|𝑥| ≤ 𝑥 et −|𝑦| ≤ 𝑦, c-à-d −(|𝑥| +
|𝑦|) ≤ 𝑥 + 𝑦.
• La propriété 2. ci-dessus nous permet de conclure que |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|.
4. Utilisons la propriété 3. ci-dessus. On a
• |𝑥| = |(𝑥 − 𝑦) + 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦| ⇒ |𝑥| − |𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦|.
• De même, |𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑥| ⇒ |𝑦| − |𝑥| ≤ |𝑥 − 𝑦|.
• Regroupant, on obtient le résultat cherché.
Interprétation géométrique de la valeur absolue
1. |𝑥| = distance entre 𝑥 et 0.
2. |𝑥 − 𝑦| = distance entre 𝑥 et 𝑦.
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Faisons le point
• L'ensemble des entiers naturels ℕ = {1,2, … } est identifié à un sous-ensemble de ℝ (en
fait, il peut être construit par une axiomatique propre, celle de Peano).
• Ensuite, si on adjoint 0 et les entiers négatifs, on obtient l'ensemble des entiers relatifs
ℤ.
• (ℤ, +,⋅, ≤) n'est pas un corps (les inverses multiplicatifs n'existent pas toujours
(cependant, c'est un anneau commutatif intègre muni d'un ordre total).
• Pour corriger ce dernier point, on adjoint les inverses multiplicatifs pour obtenir ℚ =
{(𝑎/𝑏), 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ∗ } qui fait de (ℚ, +,⋅, ≤) un corps totalement ordonné.
• Puisque ce corps vérifie les axiomes 1 à 13, on pourrait penser qu'on a obtenu le corps
ℝ, ce qui n'est pas le cas.
• C'est pourquoi on ajoute un axiome supplémentaire qui dit essentiellement qu'il n'y a
qu'un seul corps ℝ.
• La motivation pour ce dernier axiome est d'abord d'ordre historique car on s'est rendu
compte dès l'Antiquité qu'il existe des nombres irrationnels.
• Par exemple, l'équation algébrique 𝑥² − 2 = 0 n'a pas de solution dans ℚ.
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Théorème L'équation 𝑥 2 − 2 = 0 n'a pas de solution rationnelle.
Preuve Il existe au moins une trentaine de preuve différentes de ce résultat. La plus
ancienne (due à Aristote) et la plus connue est sans doute la suivante. Elle utilise un
raisonnement par l'absurde…
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2.5. Axiome de la borne supérieure
• Les 13 axiomes 1 à 13 ci-dessus ne suffisent pas pour définir ℝ de manière unique.
• Par exemple, (ℚ, +,⋅, ≤) est aussi un corps totalement ordonné, différent de ℝ.
• En effet, on montre que certaines équations algébriques à coefficients rationnels
n'admettent pas de solutions rationnelles, mais admettent des solutions réelles.
• L'équation 𝑥 2 − 2 = 0 en est un exemple fameux.
• Il manque alors un dernier axiome pour pallier cette situation.
• Nous avons d'abord besoin de vocabulaire supplémentaire lié à la relation d'ordre de ℝ.
Définition Soit 𝐸 une partie non vide de ℝ (𝐸 ⊂ ℝ).
1. Un nombre 𝑀 est une borne supérieure (ou un majorant) de 𝐸 si 𝑥 ≤ 𝑀
pour tout 𝑥 ∈ 𝐸. On dit alors que 𝐸 est borné supérieurement (à droite,
majoré) s'il existe au moins une borne supérieure de 𝐸.
2. Un nombre 𝑚 est une borne inférieure (ou un minorant) de 𝐸 si 𝑚 ≤ 𝑥
pour tout 𝑥 ∈ 𝐸. On dit alors que 𝐸 est borné inférieurement (à gauche,
minoré) s'il existe au moins une borne inférieure de 𝐸.
3. 𝐸 est borné s'il est à la fois minoré et majoré.
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Exemples 𝐸 = {1; 2} est borné; 𝐸 = ℕ est minoré (par 1) mais non majoré (principe
d'Archimède, plus bas); 𝐸 = ℤ n'est ni majoré ni minoré (principe d'Archimède).
Définition Supremum. Soit 𝐸 ⊂ ℝ un ensemble majoré. Alors un nombre 𝐵 est
le suprémum ou la borne supérieure de 𝐸 (on écrit 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝐵) si 𝐵 est le plus
petit majorant de 𝐸, c'est-à-dire si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑥 ≤ 𝐵.
2. ∀𝑀 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑥 ≤ 𝑀 ⇒ 𝐵 ≤ 𝑀.
• En d'autres termes, 𝐵 est un majorant de 𝐸 vérifiant 𝐵 ≤ 𝑀 pour tout autre
majorant 𝑀 de 𝐸.
Remarque Si 𝑠𝑢𝑝𝐸 existe, il est unique.
• En effet, supposons qu'il y en ait aux moins deux : 𝐵₁ et 𝐵₂.
• On a alors 𝐵₁ ≤ 𝐵₂ et 𝐵₂ ≤ 𝐵₁ (par définition) et donc 𝐵₁ = 𝐵₂.
• Si 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝐵 ∈ 𝐸, on dit que 𝐵 est le maximum de 𝐸 et on écrit 𝑚𝑎𝑥𝐸 = 𝐵.
• Si 𝑠𝑢𝑝𝐸 n'existe pas (avec 𝐸 non vide), on écrit parfois 𝑠𝑢𝑝𝐸 = +∞. Par exemple,
supℝ = +∞.
• On a une définition similaire pour l'𝑖𝑛𝑓 .
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Définition Infimum. Soit 𝐸 ⊂ ℝ un ensemble minoré. Alors un nombre 𝑏 est
l’infimum ou la borne inférieure de 𝐸 (on écrit 𝑖𝑛𝑓𝐸 = 𝑏) si 𝑏 est le plus grand
minorant de 𝐸, c'est-à-dire si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑏 ≤ 𝑥.
2. ∀𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐸 𝑚 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑚 ≤ 𝑏.
• En d'autres termes, 𝑏 est un minorant de 𝐸 vérifiant 𝑏 ≥ 𝑚 pour tout autre minorant 𝑚
de 𝐸.
• On a des remarques similaires à celles du sup pour l'inf.
Remarque Si 𝑖𝑛𝑓𝐸 existe, il est unique. Preuve (exercice).
• Si 𝑖𝑛𝑓𝐸 = 𝑏 ∈ 𝐸, on dit que 𝑏 est le minimum de 𝐸 et on écrit 𝑚𝑖𝑛𝐸 = 𝑏.
• Si 𝑖𝑛𝑓𝐸 n'existe pas (avec 𝐸 non vide), on écrit parfois 𝑖𝑛𝑓𝐸 = −∞. Par exemple,
infℝ = −∞.
Exemple
• Soit 𝐸 = {1,2,3,4}. Alors 𝑖𝑛𝑓𝐸 = 𝑚𝑖𝑛𝐸 = 1 et 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝑚𝑎𝑥𝐸 = 4.
• Plus généralement, tout ensemble fini et non vide admet un sup et un inf , membres
de l'ensemble (exercice : récurrence).
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Exemples
• Soit 𝐸 =
1 ∞
=
𝑛 𝑛=1
1 1
1, , , …
2 3
. Alors 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 1 et 𝑖𝑛𝑓𝐸 = 0 (exercice avec axiome 14).
• Soit 𝐸 = [−2; 3[= {𝑥 ∈ ℝ: −2 ≤ 𝑥 < 3}. Alors 𝑖𝑛𝑓𝐸 = −2 et 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 3 (exercice avec
axiome 14).
• Il est utile d'avoir des formulations équivalentes pour le sup (et l'inf ).
• Soit donc 𝐸 un sous ensemble non vide de ℝ.
Dire que 𝐵 = 𝑠𝑢𝑝𝐸 équivaut à chacune des formulations suivantes :
1. Si 𝑀 est un majorant de 𝐸, alors 𝐵 ≤ 𝑀 (c'est la définition du sup ).
2. Si 𝑎 < 𝐵, alors 𝑎 ≠ 𝑠𝑢𝑝𝐸.
Preuve Exercice.
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3. Si 𝑎 < 𝐵, alors (∃𝑥 ∈ 𝐸) 𝑎 < 𝑥.
Preuve Exercice.
4. (∀𝜀 > 0) (∃𝑥 ∈ 𝐸) 𝐵 − 𝜀 < 𝑥.
Preuve Soit 𝑀 un majorant de 𝐸. Si 𝑀 < 𝐵, posons 𝜀 = 𝐵 − 𝑀 > 0.
• Alors il existe 𝑥 ∈ 𝐸 tel que 𝑀 = 𝐵 − 𝜀 < 𝑥.
• Donc 𝑀 n'est pas un majorant de 𝐸, ce qui signifie que 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝐵.
Réciproquement, supposons que 𝐵 = 𝑠𝑢𝑝𝐸 et soit 𝜀 > 0.
• Puisque 𝐵 − 𝜀 < 𝐵, alors 𝐵 − 𝜀 n'est pas un majorant de 𝐸.
• Ceci signifie qu'il y a un élément 𝑥 ∈ 𝐸 vérifiant 𝑥 > 𝐵 − 𝜀.
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• Nous pouvons énoncer maintenant le 14ème et dernier axiome (noter qu'il y a d'autres
formulations différentes, mais équivalentes, de cet axiome).
14. Axiome de la borne supérieure (ou axiome de complétude).
Toute partie non vide et majorée 𝐸 ⊂ ℝ admet un sup (borne supérieure).
• Une conséquence immédiate est la
Proposition Toute partie non vide et minorée 𝐸 de admet une borne
inférieure. Cette borne est égale à −sup(−𝐸) où −𝐸 = −𝑥: 𝑥 ∈ 𝐸 .
Preuve Puisque 𝐸 est minoré, il existe 𝑧 tel que 𝑥 ≥ 𝑧 pour tout 𝑥 ∈ 𝐸.
• Ceci entraîne −𝑥 ≤ −𝑧 pour tout 𝑥 ∈ 𝐸 et l'ensemble −𝐸 = −𝑥: 𝑥 ∈ 𝐸 est majoré.
• Cet ensemble possède donc une borne supérieure 𝑀 = sup(−𝐸) (axiome de la
borne supérieure).
• Il suit que −𝑀 est un minorant de 𝐸.
• Si 𝑁 est un autre minorant de 𝐸, alors −𝑁 est un majorant de −𝐸 et −𝑁 ≥ 𝑀 ⇒ 𝑁 ≤
𝑖𝑛𝑓𝐸 = −sup(−𝐸).
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3. Conséquences de l'axiome de la borne supérieure
3.1. Nombres irrationnels
• On a le résultat général suivant.
Théorème Soit 𝑦 un réel positif. Alors il existe un réel positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 𝑦.
Preuve La preuve se fera en deux étapes. D'abord pour 𝑦 ≥ 1 et ensuite pour 0 < 𝑦 < 1.
Cas 1 𝑦 ≥ 1. Soit 𝐸 = 𝑧 ∈ ℝ: 𝑧 > 0 𝑒𝑡 𝑧 2 ≤ 𝑦 .
• Cet ensemble n'est pas vide puisque 1 ∈ 𝐸.
• De plus, 𝐸 est majoré car si 𝑧 > 𝑦, alors 𝑧² > 𝑦² ≥ 𝑦 (rappelons que 𝑦 ≥ 1).
• Donc 𝑧 ∉ 𝐸 et 𝑦 est un majorant de 𝐸.
• Posons 𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝑥. Nous allons montrer que 𝑥² = 𝑦.
• Pour cela, nous utiliserons l'axiome de trichotomie.
• Supposons que 𝑥² < 𝑦 et soit 𝛿 = min
• Alors
𝑦−𝑥 2
1,
.
2𝑥+1
𝑥 + 𝛿 2 = 𝑥 2 + 2𝛿𝑥 + 𝛿 2 ≤ 𝑥 2 + 2𝛿𝑥 + 𝛿 car 𝛿 ≤ 1
= 𝑥 2 + 𝛿 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 − 𝑥 2 = 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝛿 ∈ 𝐸
contredisant l'hypothèse que 𝑥 (𝑥 < 𝑥MAT1000
+ 𝛿)Chapitre
est 1un
majorant de 𝐸.
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• Donc 𝑥² ≥ 𝑦.
• Supposons maintenant que 𝑥² > 𝑦.
𝑥 2 −𝑦
Posons 𝛿 =
. Alors
2𝑥
•
𝑥 − 𝛿 2 = 𝑥 2 − 2𝛿𝑥 + 𝛿 2 ≥ 𝑥 2 − 2𝛿𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑦 = 𝑦.
• Ainsi, 𝑥 − 𝛿 < 𝑥 et 𝑥 − 𝛿 est un majorant de 𝐸, ce qui est contraire à l'hypothèse que
𝑠𝑢𝑝𝐸 = 𝑥.
• La seule possibilité qui reste est donc 𝑥² = 𝑦.
Cas 2 0 < 𝑦 < 1. Alors 1/𝑦 > 1 et on peut appliquer le résultat ci-dessus à 1/𝑦 : Il existe un
1
réel positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = ⇒
𝑦
1 2
= 𝑦.
𝑥
Remarques
• Nous avons vu plus haut que l'équation 𝑥² − 2 = 0 n'a pas de solution rationnelle, c'està-dire qu'il existe des nombres (irrationnels) qui ne sont pas dans ℚ.
• Ceci est dû au fait que ℚ ne vérifie pas l'axiome de la borne supérieure.
• En effet, considérons l'ensemble 𝐸 = {𝑟 ∈ ℚ ∣ 0 < 𝑟 < 2}.
• Nous savons que :
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1.
2 ∉ ℚ;
2.
2 ∈ℝ (théorème précédent);
3.
2 est un majorant de 𝐸.
• Il reste à montrer que 𝐸 n'admet pas de sup dans ℚ, i.e. (∀𝑟 ∈ 𝐸) (∃𝑠 ∈ 𝐸)
tel que 𝑟 < 𝑠.
𝑟 2 −2
2𝑟+2
Soit le rationnel 𝑠 = 𝑟 −
=
∈ℚ
𝑟+2
𝑟+2
•
• Alors
1. si 𝑟 ∈ 𝐸, alors 𝑟² − 2 < 0 et −(𝑟² − 2)/(𝑟 + 2) > 0.
• On en déduit que 𝑠 > 𝑟.
2. On a :
2
2−2
2𝑟
+
2
2
𝑟
𝑠2 − 2 =
−2=
<0
2
𝑟+2
𝑟+2
ce qui montre que 𝑠 ∈ 𝐸.
Remarque Nous verrons qu’en général l’équation 𝑥 𝑛 − 𝑦 = 0 admet une seule
solution réelle positive (𝑦 > 0 donné et 𝑛 entier ≥ 1).
• On a la définition suivante. MAT1000 Chapitre 1 Kamel Belbahri
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Définition Nombres algébriques. Nombres transcendants.
• Un nombre réel est dit algébrique s'il est solution d'une équation algébrique à
coefficients rationnels (ou entiers).
• Sinon, il est dit transcendant (en particulier irrationnel).
• Ainsi, 2 , 3 etc. sont algébriques.
• On montre (dans un chapitre ultérieur) que 𝜋, 𝑒 sont irrationnels (en fait, ils sont
transcendants).
• Tout nombre rationnel est algébrique. En effet, 𝑟 = 𝑝/𝑞 est solution de 𝑥 − 𝑟 = 0. La
réciproque est évidemment fausse.
Proposition Considérons une équation algébrique à coefficients entiers :
• Si 𝑟 = 𝑝/𝑞 est une solution rationnelle de (∗), alors 𝑝 ∣ 𝑎𝑛 et 𝑞 ∣ 𝑎0 .
• En particulier, si 𝑎0 = 1, alors 𝑟 ∣ 𝑎𝑛 .
Exemple L'équation 𝑥 2 − 2 = 0 n'a pas de solution rationnelle car les seuls diviseurs de 2
sont ±1 et ±2 et aucun n'est solution de l'équation.
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𝑝
𝑞
Preuve Mettons 𝑟 = (irréductible) dans l'équation :
𝑛
𝑛−1
𝑝
𝑝
𝑝
𝑎0
+ 𝑎1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1
+ 𝑎𝑛 = 0
𝑞
𝑞
𝑞
• Multiplions les deux membres de l'équation par 𝑞 𝑛 :
𝑎0 𝑝𝑛 + 𝑎1 𝑝𝑛−1 𝑞 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑞 𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑞 𝑛 = 0
⇒ 𝑎0 𝑝𝑛 + 𝑎1 𝑝𝑛−1 𝑞 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑞 𝑛−1 = −𝑎𝑛 𝑞 𝑛
C-à-d
𝑝 𝑎0 𝑝𝑛−1 + 𝑎1 𝑝𝑛−2 𝑞 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑞 𝑛−1 = −𝑎𝑛 𝑞 𝑛
⇒ 𝑝ห𝑎𝑛
• On montre de manière similaire que 𝑞ห𝑎0 (exercice).
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3.2. Principe d'Archimède et densité des rationnels
Théorème Principe d'Archimède.
• Soit 𝑥 un nombre réel positif (𝑥 > 0) et soit 𝑦 ∈ ℝ.
Alors il existe un entier positif 𝑛 tel que 𝑛𝑥 > 𝑦.
• On dit que ℝ est archimédien.
Preuve Soit 𝐸 = {𝑛𝑥: 𝑛 ∈ ℕ}.
• Supposons qu'il n'existe aucun entier 𝑛 ∈ ℕ tel que 𝑛𝑥 > 𝑦.
• Donc 𝑛𝑥 ≤ 𝑦, (∀𝑛 ∈ ℕ).
• Ceci signifie que l'ensemble 𝐸 est majoré et admet 𝑦 pour majorant.
• D'après l'axiome de la borne supérieure, 𝐸 possède une borne supérieure 𝐵 = 𝑠𝑢𝑝𝐸.
• Puisque 𝑥 > 0, alors 𝐵 − 𝑥 n'est pas un majorant de 𝐸.
• Donc ∃𝑚 ∈ ℕ tel que 𝐵 − 𝑥 < 𝑚𝑥 ⇒ 𝐵 < (𝑚 + 1)𝑥 ∈ 𝐸, ce qui est impossible car 𝐵 est
la borne supérieure de 𝐸.
• Donc il existe 𝑛 ∈ ℕ tel que 𝑛𝑥 > 𝑦.
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Exemples
• supℕ = +∞. En effet, il suffit de prendre 𝑥 = 1 dans le principe d'Archimède.
• inf{1/𝑛: 𝑛 = 1,2, … } = 0.
• Cet ensemble est minoré par 0 et admet donc une borne inférieure 𝑏 ≥ 0.
• Soit 𝜀 > 0 et prenons 𝑥 = 1, 𝑦 = 1/𝜀 dans le principe d'Archimède.
• Il existe 𝑛0 ∈ ℕ tel que 𝑛0 > 1/𝜀 c-à-d tel que 1/𝑛0 < 𝜀.
• On a ainsi 0 ≤ 𝑏 < 1/𝑛0 < 𝜀.
• Comme 𝜀 est arbitraire, on conclut que 𝑏 = 0.
• Pour tout 𝑧 > 0, il existe 𝑛 ∈ ℕ tel que 1/𝑛 < 𝑧.
• En effet, puisque 𝑧 > inf{1/𝑛: 𝑛 = 1,2, … } = 0, alors un tel 𝑛 existe.
• Autre façon (on prend 𝑦 = 1 dans le principe d'Archimède) : il existe 𝑛 ∈ ℕ: 𝑛𝑧 > 1.
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Théorème Soit 𝑥 ∈ ℝ. Alors il existe un entier unique 𝑛 ∈ ℤ tel que
𝑛 ≤𝑥 <𝑛+1
• Cet entier est noté 𝑛 = 𝑥 et s'appelle partie entière de 𝑥.
Preuve Considérons l'ensemble 𝐸 = {𝑘 ∈ ℕ: 𝑘 > 𝑥} ⊂ ℕ.
• D'après le principe d'Archimède, cet ensemble est non vide et (principe de bon ordre des
entiers naturels, plus loin) il admet donc un plus petit élément 𝑚.
• On a donc 𝑚 − 1 ≤ 𝑥 < 𝑚.
• Il suffit de poser 𝑛 = 𝑚 − 1 pour conclure.
Théorème Densité des rationnels.
Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ et 𝑥 < 𝑦, alors il existe 𝑟 ∈ ℚ tel que 𝑥 < 𝑟 < 𝑦.
• En d'autres termes : entre deux nombres réels distincts, on peut trouver au moins un
nombre rationnel.
• On dit que l'ensemble ℚ est dense dans ℝ.
Preuve Posons 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 > 0 et soit 𝑛 un entier tel que 𝑛 > 𝑧 (il existe par le principe
d'Archimède).
• Alors 1/𝑛 < 𝑧 et (théorème précédent) il existe un entier 𝑚 tel que
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𝑚 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚 + 1
𝑚+1
𝑚+1 𝑚 1
⇒
−𝑥 ≤
− = <𝑦−𝑥
𝑛
𝑛
𝑛 𝑛
𝑚+1
1
⇒
≤𝑥+ <𝑦
𝑛
𝑛
• On a ainsi montré que 𝑟 = (𝑚 + 1)/𝑛 ∈ ℚ vérifie 𝑥 < 𝑟 < 𝑦.
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Corollaires
1. Il existe une infinité de nombres rationnels entre deux réels distincts.
2. Densité des irrationnels.
• Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ et 𝑥 < 𝑦, alors il existe 𝑧 ∈ ℝ ∖ ℚ tel que 𝑥 < 𝑧 < 𝑦.
• En d'autres termes : entre deux nombres réels distincts, on peut trouver au
moins un nombre irrationnel.
• On dit que l'ensemble des irrationnels ℝ ∖ ℚ est dense dansℝ.
Preuve Il existe un rationnel 𝑟 ∈ ℚ∗ tel que
𝑥
𝑦
<𝑟<
⇒𝑥<𝑧=𝑟 2<𝑦
2
2
• Il est clair que 𝑧 = 2 est irrationnel (sinon, 2 serait rationnel).
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3.3. Représentation décimale
• On peut utiliser le résultat [𝑥] ≤ 𝑥 < [𝑥] + 1 pour définir le développement décimal
(base 10) d'un nombre (on peut aussi le faire dans toute autre base 𝑏 ≥ 2).
• Soit 𝑥 ∈ ℝ. Si 𝑥 est un entier, la représentation décimale de 𝑥 est 𝑥 lui-même :
12 = 12, −141 = −141, etc.
• Si 𝑥 n'est pas un entier, soit 𝑛 = [𝑥] la partie entière de 𝑥 ∶ 𝑛 < 𝑥 < 𝑛 + 1 et
considérons la partie décimale de 𝑥 ∶ 𝑦 = 𝑥 − 𝑛.
• On a, de toute évidence, 0 < 𝑦 < 1.
• Considérons le nombre 10𝑦.
• On a deux possibilités : si 10𝑦 est un entier 𝑑1 , alors 𝑦 = 𝑑1 /10 et on écrit 𝑥 = 𝑛. 𝑑1 (𝑑1
est la partie décimale de 𝑥).
• Par exemple, si 𝑥 = 7/2, on a 𝑛 = 3 et 𝑑1 = 5, par conséquent 𝑥 = 3.5.
• Si cependant 10𝑦 n'est pas un entier, soit 𝑑2 = 10𝑦 et 𝑑2 sera alors la seconde
décimale de 𝑥.
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Par exemple, si 𝑥 = 9/4, on a
9
𝑛=
=2
4
9
5
𝑑1 = 10
−2 =
=2
4
2
5
𝑑2 = 10
−2 = 5 =5
2
9
le processus s'arrête et on a la représentation = 2.25.
4
• Si le processus ne s'arrête pas, nous aurons ainsi (par induction, plus loin) une suite de
représentations 𝑥0 = 𝑛, 𝑥1 = 𝑛. 𝑑1 , 𝑥2 = 𝑛. 𝑑1 𝑑2 , ..., 𝑥𝑘 = 𝑛. 𝑑1 𝑑2 … 𝑑𝑘 , ... dont le sup (si
𝑥 > 0, sinon ce sera l'inf ) est le nombre 𝑥 (les suites et les séries seront étudiées dans
des chapitres ultérieurs).
Remarque Vous aurez remarqué que l'algorithme présenté ci-dessus est celui de la division
euclidienne (algorithme d'Euclide). Commentaire (pour un réel non rationnel) ?
Théorème Tout réel admet une représentation décimale.
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• On distingue cependant deux types de représentations décimales illimitées (à mieux
définir dans le chapitre sur les suites) : les périodiques et les non périodiques.
• Ainsi,
sont périodiques de périodes respectives 09 et 263, tandis que
n'est pas périodique.
Remarque Notons que le nombre 1 (représentation finie) a aussi une représentation
périodique illimitée :
1 = 0.99999 … .
• En effet, posons
• On fait la convention suivante : une représentation décimale qui finit par une suite infinie
de 9 (période = 9) est remplacée par 1.
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Exemple Trouvons la représentation finie de
𝑥 = 2.79999999 … = 2.79ത
• On a
0.9999999 …
𝑥 = 2.79999999 … = 2.7 + 0.09999999 … = 2.7 +
= 2.7 + 0.1 = 2.8
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• La représentation décimale permet de distinguer les nombres rationnels des nombres
irrationnels.
• On a les résultats suivants.
Proposition
1. Un nombre 𝑥 est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est finie
ou illimitée périodique.
• En particulier,
2. Soit 𝑥 = 𝑎/𝑏 nombre un rationnel irréductible.
• Alors 𝑥 a une représentation décimale finie si et seulement si son
dénominateur 𝑏 est un multiple de 2 ou de 5 (ou d'aucun des deux) ou, de
𝑠
manière équivalente, si 𝑥 peut s'écrire sous la forme 𝑥 = 𝑛 , où 𝑠 ∈ ℤ et 𝑛 ∈ ℕ.
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Preuve
1. Considérons un réel dont la représentation décimale est illimitée périodique :
• Soustrayons membre à membre :
• Réciproquement, soit 𝑥 = 𝑎/𝑏 irréductible.
• On peut montrer à l'aide de l'algorithme de division (Euclide) qu'alors 𝑥 a une
représentation décimale finie ou illimitée périodique.
2. Exercice (on exclut une représentation avec une infinité de 9 : pourquoi ? Nous y
reviendrons avec le théorème des intervalles emboîtés, chapitre 2).
Remarque On peut construire ℝ à partir des nombres décimaux (nombres rationnels ayant
une représentation décimale finie). MAT1000 Chapitre 1 Kamel Belbahri
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4. Induction mathématique
• Supposons qu'on vous demande de démontrer qu'un certain ensemble 𝐸 contient
l'ensemble des entiers positifs ℕ = {1,2, … }.
• Vous pourriez commencer par vérifier que 1 ∈ 𝐸, puis 2 ∈ 𝐸, puis 3 ∈ 𝐸, etc.
• Mais, quel que soit le moment où vous vous arrêterez et quelle que soit votre vitesse, ce
processus ne finit pas.
• Pour éviter ce genre de situation, les mathématiciens utilisent une méthode spéciale,
appelée récurrence (ou induction).
Axiome de récurrence Soit 𝐸 ⊂ ℕ l’ensemble des entiers naturels.
Si
• 1 ∈ 𝐸 et
• 𝑛 ∈ 𝐸 ⇒ 𝑛 + 1 ∈ 𝐸,
alors 𝐸 = ℕ.
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