GE 124100 離散數學趣談
第6週 狄瑞克雷的抽屜
相關概念
1. 甚麼是「反證法」 (Proof By Contradiction)？
2. 「鴿籠定理」 (Pigeonhole’s Principle) （又稱：狄瑞克雷抽屜定理） 是甚麼呢？
3. 如何證明「鴿籠定理」？
例子
1. 抽屜中有 7 種顏色的襪子，最少要拿多少隻襪子可保證有同色的一對襪子呢？ g
2. 證明在邊長為 2 公分的等邊三角形中置入任何 5 點，則最近兩點之距離必不超過 1
公分。
,
3. 證明在球體表面標示任何 5 點，則必有 4 點出現在該球體的某一半球範圍內。
4. 給定一個長方形，我們可以用一條直線將它分為面積比例為 2：3 之兩個四邊形。現
假設我們有 9 條上述這樣的直線。證明必有 3 條直線相交於同一點。
5. 若一個實數能表示為 A / B，且 A 為整數，B 為正整數，則我們稱此數為「有理數」。
如 2.5 可寫成 5 / 2，故 2.5 為有理數。又 0.428571428571428571… 可寫成 3 / 7，
故亦是有理數。
每個有理數用小數表示法時，要麼其小數點後數位有限 (如 5 / 2 = 2.5 只有 1 個小
數位)，要麼其小數點後數字到某一位時無限循環 (如 1 / 6 = 0.166666666...，又或
3 / 7 ＝ 0.428571428571...)。為甚麼呢？
6. Winkler 的燈泡遊戲
(https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LightBulbs.shtml)
有 n 個燈泡，排列成一圈，所有燈泡皆亮著。接下來從第一個燈泡開始，重覆進行以
下過程︰
1. 若目前燈泡亮著，則把下一個燈泡狀態改變 (即開變關、關變開)；反之，則保
持下一燈泡狀態不變。
2. 接著移動至下一燈泡。
如 n = 3 時，燈泡狀態之改變過程為 〔下線代表目前所在之燈泡〕︰
(開, 開, 開) ⇒ (開, 關, 開) ⇒ (開, 關, 開) ⇒ (關, 關, 開) ⇒ (關, 關, 開)
⇒ (關, 關, 開) ⇒ (開, 關, 開) ⇒ (開, 開, 開)
在以上例子，我們經過若干步，燈泡會再次全開。
證明當 n > 1 時，則經過足夠的步數，燈泡必定會再次全開。
相關問題︰若一疊卡牌進行足夠次的「完美洗牌」(Perfect Shuffle)，或任何特定形式
可逆向操作之洗牌過程，則必定會還原為初始狀態。
7. Ramsey Number R(3,3)
(https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey%27s_theorem)
若有 6 個人，且其中任何兩人要麼是朋友，要麼是敵人，則無論任何情形，必會有 3
個人互為朋友，或 3 個人互為敵人。
8. Proizvolov’s Identity
(https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/ProizvolovGame.shtml)
把 1、2、...、2n 的 2n 個正整數分成兩堆，每堆 n 個數字。其中一堆數字從小到大排
列，另一堆則從大到小排列，然後一一依序配對。如 n = 4 時，我們將 1 ~ 8 分成兩
堆，如 1, 3, 5, 6 為第一堆，2, 4, 7, 8 為另一堆，再依上述方式排列，得以下配對結
果︰ (1, 8) (3, 7) (5, 4) (6, 2)
接著將每對數字的差相加，得 7 + 4 + 1 + 4 = 16。
證明無論如何分堆，若依上述方式排列配對，則最後每對數字的差相加必為 n2。
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第7週 地球保衛戰
相關概念
1. 甚麼是數數問題中的「加法律」(Rule of Sum) 和「乘法律」(Rule of Product)？
2. 怎樣利用「樹狀圖」 (Tree Diagram) 解決問題呢？
3. 甚麼是「二項式項」(Binomial Term)？為何以下等式成立呢？
C(n, k) ≡ C(n−1, k) + C(n−1, k−1)
4. 如何推導出以下等式呢？
C(n, k) ≡ [ n(n−1)(n−2)...(n−k+1) ] / [ k(k−1)(k−2)...1 ]
例子
1. 在下面的圖中，共有多少種不同的方法從起點 s 走到終點 t 呢？
2. 利用數字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，有多少種方法可選擇其中三個數字（不重複），使
其和等於 15 呢？
有一個兩人遊戲，其規則為輪流在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中挑選數字（挑選過的
數字不能再挑選），若有一方先拿到三個數字，其和等於 15 便勝出。若最後沒有人
有三個數字，其和等於 15 ，則以和局收場。稍為分析，我們可知此遊戲先手有利。但
作為後手者，是否有方法阻止先手者勝出？
3. 已知數字 8400 之質因數分解式 (Prime Factorization) 為 24 × 3 × 52 × 7 。
那麼 8400 共有多少個不同的因數 (Factor) 呢？
4. 有一個天秤，共有兩個盤子，一個盤子用來放法碼，另一個用來放欲稱重的東西。已
知欲稱重的東西其重量只會是 1 公克、2 公克、3 公克、... 、或 100 公克，那麼我們
最少要準備多少個法碼呢？ 這些法碼的重量分別又是甚麼？
若法碼可放在兩個盤子的任一盤子上，而欲稱重的東西其重量依舊是 1 公克、2 公
克、3 公克、... 、或 100 公克，那麼我們最少要準備多少個法碼呢？ 這些法碼的重
量分別又是甚麼？
5. 在一個 n × m 個格子的棋盤上，每一個格子都可以放一顆或兩顆石頭。若要求每一
行及每一列皆有偶數顆石頭的話，共有多少種放置石頭的方法？
~
承上，若每一個格子都可以放一、二、三、或四顆石頭，但仍要求每一行及每一列皆
有偶數顆石頭的話，那麼共有多少種放置石頭的方法？
=>
6. 在一個由 n 條橫線、 m 條直線相交而組成的網格中，若從最左下交點走到最右上交
點，且每一步只能沿線段往右或往上而行，則共有多少種不同的走法呢？
若現在多一限制，使得我們的路徑不能通過第 j 條橫線及第 k 條直線的交點，則共
有多少種不同的走法呢？
7. 在一個由 n 條橫線、 m 條直線相交而組成的網格中，共有多少個由這些橫直線組成
的長方形？
8. 已知某三角形的邊長 x、y、z 皆為正整數，且其和 x + y + z 為 100。共有多少組符合
條件 x、y、z 的可能呢？
9. 我們的地球被外星人入侵，唯一解決的方法是把防衛光炮傳送至月球的基地。我們
有三艘太空運輸船可用，但外星人亦有一艘太空船可攔截我們任何一艘運輸船。
我們有不只一支光炮，運輸時也可以把光炮拆件成不同零件。現在的目標是要把一
支光炮完整地送至月球，即任兩艘運輸船都合共有所有零件，但同時不能讓外星人
能破解光炮的所有技術，即任一艘運輸船都不能有所有零件。
我們如何做得到以上的任務呢？
若問題改變為：我們有五艘太空運輸船可用，而外星人有兩艘太空船可攔截我們任
何兩艘運輸船的話，則我們如何完成此新任務呢？
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第8週 蒙提霍爾的交易
相關概念
1. 甚麼是「隨機實驗」(Random Experiment) 和 「樣本空間」(Sample Space)？
2. 甚麼是「機率」(Probability)？
3. 甚麼是「條件機率」(Conditional Probability)？
例子
1. 小新和小葵得到一個新玩具，他們希望有一個公平的方法可以決定誰先能玩。他們
有一枚硬幣，但不確定是否公平的硬幣。如何利用此硬幣公平地決定先後順序呢？
2. 小新和小葵又得到一個新玩具，但這次他們有三枚硬幣，而且已知其中一枚硬幣是
公平的。他們如何利用這些硬幣公平地決定先後順序呢？
3. 有一顆公平的六面骰子，若我們連丟十次，則出現的點數其總和為 6 的倍數有多少
機會？
4. 在 100 個乘客，正排隊搭乘一台剛好有 100 個座位的飛機。每人都事先安排好座位
，但不巧的是，排第一名的老伯伯忘記了他的位置，所以當他上飛機時，他便隨便地
挑了一個座位坐下來。
之後的乘客都會很規矩地坐到原先安排給他的座位，但若該座位已被佔據，則他便
會隨便地挑了一個目前空的座位坐下。
(a)
(b)
若你是最後一名上飛機的乘客，你有多少機會坐到原先安排的座位？
若你是倒數第 k 名上飛機的乘客，你有多少機會坐到原先安排的座位？
5. 100 Prisoners Problem (https://en.wikipedia.org/wiki/100_prisoners_problem)
有 100 名囚犯，其編號為 1、2、⋯、100。獄卒想刁難他們，設計了以下遊戲：
●
獄卒事先在某一房間安排 100 個箱子，在這些箱子中隨意放了 1 到 100 的
號碼牌（每箱一個，且號碼不重覆）。
●
●
●
獄卒讓囚犯一一進入房間，每一囚犯可依其選擇打開其中 50 個箱子。打開箱
子時可觀看裡面的號碼牌。
囚犯進入房間後不能與其他人溝通。
若所有囚犯都在其選擇的箱子找到自己的號碼牌，則所有囚犯過關，並可吃
午餐。反之，若有任何一個囚犯找不到自己的號碼牌時，則所有囚犯都不能吃
午餐。
若囚犯皆獨立而為，則他們過關的機會極小，只有 1／2100 ≈ 1／1030。他們怎樣可大
幅提高過關機會呢？
6. Monty Hall Problem (https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem)
蒙提霍爾是一個長壽遊戲節目 Let’s Make a Deal 的主持人。在這個遊戲節目中，有
一個環節，會安排 3 個布簾，其中一個布簾的後面有大獎，而另外兩個則無。
主持人會讓參賽者先挑某一個布簾。接著，主持人會打開其中一個未被挑的布簾，讓
所有人知道它的後面並沒有大獎。
現在主持人讓參賽者決定哪一個布簾後面有大獎，選擇正確便可把大獎帶走。
(a)
(b)
請問選擇不同布簾，其中獎機會有差別嗎？
若主持人事先根本不知道哪一布簾後有獎，使得其打開的未被挑選布簾有機
會藏有大獎的話，則參賽者最後選擇不同布簾時，其中獎機會有差別嗎？
E : x, X *
X , Xy7G7 G
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第9週 希爾拔的旅館
相關概念
(A)
10, 1)
5
/ 10 1) A7 ,- : F
,
A (a b c)
=
,
,
(A)
=
3
,
101
=
0
1. 甚麼是「集合」(Set) 和「子集合」(Subset)？
r= 0
.
....
ri
0 A
r2
.
0
Us
.
0
Fr , Nz ..., UnE (0 ,
.
I
E
240 .
2. 基本的集合運算：
a. A ∩ B :
r= 0.
集合 A 與 集合 B 的「交集」(Intersection)
b. A ⋃ B :
集合 A 與 集合 B 的「聯集」(Union)
c. 𝐴 :
集合 A 的「補集」(Complement)
d. 2A 或 P(A)：
集合 A 的「冪集」(Powerset)
I
#Fion
E
3. 甚麼是「有限集」(Finite Set) 和「無限集」(Infinite Set)？
4. 甚麼是「可數集」(Countable Set) 和「不可數集」(Uncountable Set)？
5. 甚麼是「笛卡兒積」(Cartesian Product)？
例子
以下我們用 N 代表正整數集、Z 代表整數集、Q 代表有理數集、及 R 代表實數集。
1. 如何證明 Z 是可數集？
2. 假設 S 是一個可數集，X 是 S 的子集合。為甚麼 X 一定是可數集呢？
3. 如何證明 Z ✕ Z 是可數集？可以用這結果來證明 Q 是一個可數集嗎？
此外，也有一些有趣的方法，能直接證明 Q 是可數集，如 Stern-Brocot Tree
或 Calfin-Wilf Tree。大家有空可看看箇中有趣的特性。
(https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree)
(https://en.wikipedia.org/wiki/Calkin%E2%80%93Wilf_tree)
4. 希爾拔的旅館問題 Hilbert’s Grand Hotel Paradox
(https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel)
假設 X 和 Y 是不同的無限可數集，如 X 是 Z，Y 是 Z ✕ Z。為甚麼 X ⋃ Y 一定是可
數集呢？
假設 X1、X2、X3、… 為無限多個不同的無限可數集，如 X1 是 Z，X2 是 Z ✕ Z，X3 是
Z ✕ Z ✕ Z， … (以此類推)。為甚麼 X1 ⋃ X2 ⋃ X3 ⋃ … 是可數集呢？
5. 康托爾的對角論證法 Cantor’s Diagonalization Argument
(https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument)
如何證明 R 是不可數集？
6. 比無窮大更大 Beth Number
(https://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number)
利用康托爾的對角論證法，我們可以證明對於任何集合 A，其冪集必含更多數量的
元素 (不存在單射函數 (one-to-one function) 能將冪集的元素對應到原集合 A 的元
素)。
由此可知，正整數集 N 的元素個數雖然有無限多，但其冪集 P(N) 的元素個數較 N
的元素個數更多，而它的冪集 P(P(N)) 的元素個數又較 P(N) 的元素個數更多，所
以在數學家眼中永遠也有比無窮大更大的概念。
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第10週 柯尼斯堡的七座橋
相關概念
1. 甚麼是「圖」(Graph)？
2. 與圖相關的基本概念：
a. 「點」(Vertex) 和 「邊」(Edge)
b. 「度」(Degree)
c. 「連通」(Connected) 和 「連通元件」(Connected Component)
d. 「一筆畫」(Euler Path)
例子
1. 有一個 3 x 3 的棋盤，上面兩角各放了一枚黑色的國際象棋的馬，而下面兩角則各
放了一枚白色的馬。我們希望在棋盤裡根據馬的走法移動棋子，使得兩枚黑馬和兩
枚白馬位置互換 (任何時候棋盤上每一格最多放一枚棋子)。
我們應該如何移動？最少步數是多少？為甚麼？
2. 握手定理 Handshaking Lemma
(https://en.wikipedia.org/wiki/Handshaking_lemma)
為甚麼把圖的每一點之度相加，其結果永遠是邊數的兩倍？
3. 以下為數學家歐拉 (Euler) 提出的一筆畫定理：
若有一連通圖，其各點之度皆為偶數，則存在一筆畫畫法，
其起點與終點皆為同一點。
反之，若有一圖存在一筆畫畫法，其起點與終點皆為同一點，
則此圖必為連通圖，且其各點之度皆為偶數。
如何證明此定理成立呢？
又，假設以上定理正確，你能否證明以下的相關定理亦正確呢？
若有一連通圖，除兩點外，其各點之度皆為偶數，則存在一筆畫畫法，
其起點與終點為不同點。
反之，若有一圖存在一筆畫畫法，其起點與終點為不同點，
則此圖必為連通圖，且除兩點外，其各點之度皆為偶數。
4. 把一副標準的撲克牌洗勻後分成 13 堆 (稱為第一堆到第十三堆)，每堆四張牌。
遊戲開始時每張牌都背面向上，看不到牌點。
然後我們翻開第一堆的一張牌，依其點數再到點數指示的那一堆翻一張牌，再依其
點數再到點數指示的那一堆翻一張牌，依次類推。
如在第一堆翻開的牌是 9，則到第九堆翻一張牌，
若此張牌為 Q，則繼續到第十二堆翻一張牌。
我們不斷翻牌，直到指示的那一堆已沒有牌可翻，則遊戲結束。
問：在結束時能把所有 52 張牌都翻開的機會有多少？
5. 德布魯恩序列 De Bruijn Sequence
(https://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_sequence)
考慮以下長度為 8 的二元字串： 00010111
假設字串循環，則我們可以看出任何長度為 3 的二元字串，都剛好在以上字串出現
一次。如：
00010111
00010111
00010111
00010111
00010111
00010111
00010111
00010111
又考慮以下長度為 16 的二元字串： 0000101001111011
假設字串循環，則任何長度為 4 的二元字串，都剛好在以上字串出現一次。
是否有辦法找到長度為 2k 的字串，使得任何長度為 k 的二元字串，都剛好在該字串
出現一次呢？
是否有辦法找到長度為 mk 的字串，使得任何長度為 k 的 m 元字串，都剛好在該字
串出現一次呢？
(另外還有一個有趣的卡牌表演利用德布魯恩序列來設計，讓我在下節課中介紹。)
6. 有 6 對夫婦，共 12 人。又有 12 頂帽子，共 3 種顏色，每種四頂。現在每一人都拿到
一頂帽子。
證明無論如何，我們一定可以把 6 對夫婦分成兩組，使得每組有 3 對夫婦，且每組
各顏色帽子的數量一致。
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姓名 (Name)︰
學號 (University Number)：
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ABCDEF#AGG#HIECJKLBC#9&#HIECJKLBCM#"NOP#%>#QLKBJC@
#
1. 2RST#S = { ©, ª }#US#VWS#Q9S@#XYZ[
Consider the set S = { ©, ª }. What is the powerset P(S) of S[
##########4\]
#
2. ^7_`VaXbcdefghij56Vk<lme/n[ ~
opcd<qrZ[ocd<#sghXbtu#v#wxy[
X
For the following graph, is there a path that travels along every edge exactly once?
If not, why not? If so, can the path begin at vertex B?
A
B
&
C
F
&
E
##########4\]#
#
#
D
3. z{*|#}'~•''''#ÄÅÇ*?ÉÑq#%&#Ö#}%#Ö#>&#Ö#•}<Üá*|:6àâäp
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!KéEB#JPNJ#JPE#èFKêE#ëNOJLFKíNJKLB#Lë#JPE#BIêìEF#}'~•''''#KC#%&#Ö#}%#Ö#>&#Ö#•}î#PLD#
#
êNBï#ëNOJLFC#ñLEC#JPKC#BIêìEF#PNéEå#
4\]#
#
4. AGKOE#ó#vLì#òôeäöõVúùûü†_°¢Uúù£§• & /<=e/x¶ß
®V#©™<Ü#AGKOE#´e?<¨=e/x¶ß®V#©©<Ü#vLì#´e?U-ÆØ´
#
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³¥ $]#o•úùVµ¶q#©©©™î#Ü AGKOE#· $ ?<vLì#·#%#?<¸#vLì#²xU
³¥ %]#o•úùVµ¶q#™™™™î#Ü AGKOE#· ' ?<vLì#¹·#'#?<¸qõºU#
^7#9K@#AGKOE#²xVªº½9KK@#vLì#²xVªº½9KKK@#õºVªº?æqø[
Alice and Bob are playing a game by flipping a fair coin 4 times. For each time
there is a consecutive outcome of HT, Alice gets one point, while for each time
there is a consecutive outcome of HH, Bob gets one point. Whoever gets more
points wins the game.
Example 1: If the sequence of outcomes is HHHT, Alice gets 1 point, and Bob
gets 2 points, so Bob wins.
Example 2: If the sequence of outcomes is TTTT, Alice gets 0 points, and Bob
also gets 0 points, so the game is a tie.
What is the probability that (i) Alice wins, (ii) Bob wins, and (iii) tie, respectively?
###########4\]