Rapport de Laboratoire
LE MOUVEMENT HARMONIQUE
SIMPLE
Miryam Elouneg
&
Honorine Iradukunda
Ondes et Physique Moderne
203-NYC-05
Présenté à : Shannon Sim
Cégep Marie Victorin
23 février 2025
Résumé :
Le pendule simple est un système oscillant dont la période est principalement influencée
par la longueur de la corde et l’accélération gravitationnelle. Selon les modèles théoriques,
ni la masse suspendue ni l’amplitude de l’oscillation ne devraient modifier cette période, à
condition que l’angle d’oscillation reste faible. Afin d’examiner ces principes, une série
d’expériences a été menée en faisant varier successivement la longueur de la corde, la
masse suspendue et l’amplitude angulaire, tout en mesurant la période d’oscillation sur
plusieurs cycles. Les résultats ont confirmé que la période augmentait proportionnellement
à la racine carrée de la longueur de la corde, en accord avec la théorie. Cependant, une
légère variation a également été constatée avec la masse et l’amplitude, bien que leur
influence soit supposée négligeable. Ces écarts peuvent s’expliquer par diverses sources
d’erreur expérimentales, telles que la résistance de l’air, les frottements au point de
suspension ou encore des imprécisions dans les mesures du temps. Ainsi, cette étude a
permis de valider la relation théorique entre la période et la longueur du pendule, tout en
mettant en évidence les limites expérimentales qui peuvent affecter la précision des
résultats.
The simple pendulum is an oscillating system whose period is primarily influenced by the
length of the string and gravitational acceleration. According to theoretical models, neither
the suspended mass nor the oscillation amplitude should affect this period, provided that
the oscillation angle remains small. To examine these principles, a series of experiments
was conducted by varying the length of the string, the suspended mass, and the angular
amplitude, while measuring the oscillation period over multiple cycles. The results
confirmed that the period increased proportionally to the square root of the string length,
aligning with theoretical predictions. However, a slight variation was also observed with
mass and amplitude, despite their expected negligible influence. These discrepancies can
be attributed to various experimental errors, such as air resistance, friction at the suspension
point, or inaccuracies in time measurements. Thus, this study validated the theoretical
relationship between the period and the pendulum's length while highlighting the
experimental limitations that may affect result accuracy.
1. Introduction :
L'expérience a pour but de déterminer les paramètres qui influencent la période
d'oscillation d'un pendule simple lors d'un mouvement harmonique simple et de déterminer
la relation entre la période et les paramètres suivants : masse, l’amplitude et la longueur du
fil. L’étude du mouvement harmonique simple d’un pendule est essentielle en physique,
car elle permet d’analyser des phénomènes oscillatoires plus complexes, allant des
horloges mécaniques aux vibrations dans les structures (Luc Tremblay, 2024). Tout
d'abord, le mouvement harmonique simple (MHS) est un concept fondamental en
mécanique qui décrit l’oscillation périodique d’un système autour de sa position d’équilibre
sous l’influence d’une force de rappel proportionnelle au déplacement (Luc Tremblay,
2024). Pour ce laboratoire, le système masse-pendule est observée. Ce système mécanique
est composé d’une masse ponctuelle g suspendue à un fil inextensible de longueur 𝐿,
oscillant sous l’effet de la gravité 𝑔 autour d’un point fixe. Pour ce système, les paramètres
suivants sont observés: la longueur de la corde (cm), le changement de la masse (g),
l’amplitude (°) et le temps (s). Il est important de noter que la masse et l'amplitude n'ont
aucun effet significatif sur la période des oscillations (Benson, 2015). En revanche, la
longueur du fil influence directement la période d’oscillation (Benson, 2015). Voici
pourquoi c'est un point crucial à démontrer : la période T d'un pendule simple est donnée
par la formule :
𝐿
𝑇 = 2𝜋√𝑔
où L est la longueur du pendule et g l'accélération due à la gravité (H. Benson, 2015). Selon
la formule, plus la longueur 𝐿 est grande, plus la période T est longue. Cela s’explique par
le fait que le pendule doit parcourir une distance plus importante à chaque oscillation, ce
qui rallonge le temps nécessaire pour effectuer un aller-retour complet.
2. Matériel et méthode :
Matériel :
• Capteur de mouvement de rotation (±0,01)
• Module Bluetooth Pasco AirLink
• Règle (±0,5cm)
• Ensemble de masses (50.0 ; 100.0 ; 200.0 ; 500.0) (±0,1m)
• Corde
• Support et tige
Méthode : Pour la partie A : observer l’influence de la masse du pendule. Dans cette partie
de l'expérience, garder constants les paramètres suivants : la longueur de la corde à 30 cm
et l'amplitude à 15°. Suspendre des masses de 50 g, 100 g, 200 g et 500 g successivement
au bout du fil. Pour chaque variation de masse, noter le temps d'oscillation pour six cycles
complets pour permettre une analyse comparative. Ensuite pour la partie B : observer
l’influence de l’amplitude. Pour ce paramètre, maintenir constants la longueur de la corde
à 30 cm et la masse à 100 g. Augmenter l’amplitude angulaire progressivement de 5°, 10°,
15°, 20° et 25°. Lâcher le pendule sans application de force externe. Pour chaque
amplitude, mesurer la période d’oscillation sur six cycles complets, et enregistrer les
valeurs avec précision. Enfin, faire varier la longueur de la corde de 20 cm, 30cm, 40 cm,
50 cm et 60 cm, fixer l’amplitude initiale à 15°, et relâcher le pendule sans force externe.
Utiliser un bloc de 100 g pour toutes les mesures. Ensuite pour la partie C : mesurer la
distance entre l’axe de rotation et le centre de masse, notée L, à la règle. Pour chaque
longueur, mesurer la période sur six cycles, puis annoter. Cette série de mesures vise à
évaluer l’influence de l’amplitude, de la masse, et de la longueur sur la période d’oscillation
d’un système pendule-masse de manière rigoureuse.
3. Résultats :
Tableau 1. Période (T) du pendule en fonction de la masse (m) lorsque les
valeurs de l’amplitude (θ) et longueur du fil (L) suspendue sont constants.
Masse (kg)
±0,1
0,05
Période (s)
±0,002
1,264
0,1
1,278
0,2
1,300
0,5
1,276
Paramètres constants :
Amplitude = (15,00 ± 0,01) °
Longueur du fil = (0,3000 ± 0,0005) m
Tableau 2. Période (T) du pendule en fonction de l’amplitude (θ) lorsque les
valeurs de la longueur du fil (L) et la masse (m) suspendue sont constants.
Amplitude (°)
±0,01
5,00
Période (s)
±0,002
1,264
10,00
1,252
15,00
1,256
20,00
25,00
1,264
1,264
Paramètres constants:
Masse du bloc = (0,1 ±0,1) kg
Longueur du fil = (0,3000 ± 0,0005) m
Tableau 3. La période du pendule en fonction de la longueur du fil (L) dont
lorsque les valeurs de l’amplitude (θ) et la masse (m) suspendue sont
constants.
Longueur du fil (m)
±0,0008m
Période (s)
±0,002s
0,4472
0,5477
0,6325
0,7071
0,7746
1,092
1,264
1,400
1,560
1,684
Paramètres constants :
Amplitude = (15,00 ± 0,01) °
Masse du bloc = (0,1 ±0,1) kg
Tableau 4. Comparaison de la pente théorique de la pente de la période
théorique et expérimental (T) en fonction de la longueur du fil (m) ainsi que
l’écart relatif
Valeur théorique
2,0066
Valeur expérimental
1,8123
Écart relatif
10,72%
1,80
1,60
1,40
Periode (s)
1,20
y = 1,8123x + 0,2731
R² = 0,9976
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
Longueur du fil (m¹/²)
Figure 1 : Variation de la période (T) du pendule en fonction de la racine carrée de la
longueur de la corde (L¹/²), avec l'amplitude (θ) et la masse suspendue (m) constantes
La relation entre la période (T) et la racine carrée de la longueur de la corde (L¹/²) est
représentée par une droite croissante, caractéristique d'une fonction proportionnelle et
linéaire. L'alignement des points le long de la courbe de tendance confirme une relation
linéaire entre ces deux variables. Aussi, le R2 égal à 0,9976 montre que la période est
proportionnelle à la racine carrée de la longueur de la corde.
0,900
4. Discussion :
L’objectif de cette expérience était d’étudier la variation de la période (T) d’oscillation
d’un pendule simple en fonction de trois paramètres : la longueur de la corde (L), la masse
suspendue (m) et l’amplitude angulaire (θ). L'étude visait également à vérifier la relation
entre la période et les paramètres identifiés et la concordance de celles-ci avec les
prévisions théoriques.
L’analyse de la figure 1 qui représente la période du pendule en fonction de la racine carrée
de la longueur de la corde permet d’affirmer que le paramètre influence la période du
pendule. En effet, la courbe de tendance du graphique illustre une droite linéaire qui décrit
une relation de proportionnalité entre la période et la longueur. La pente expérimentale est
de 1,8123, et l’ordonnée à l’origine expérimentale est de 0,2731. Ces résultats se
rapprochent de la pente théorique et de l’ordonnée à l’origine théorique issue de l’équation
linéarisée T=2π/g, qui sont respectivement de 2,0066 et de 0. En effet, en théorie, la
longueur de la corde du pendule est censée influencer la période, car la formule de la
période T=2π⋅L/g comporte la longueur de la corde comme paramètre (Benson et al.,
2016). Par conséquent, en faisant varier celle-ci positivement, par exemple, la période varie
également de manière positive en raison de leur lien de proportionnalité (Benson et al.,
2016). Ainsi, il est constatable que le coefficient de corrélation (R²) est de 0,9976, ce qui
démontre une forte relation linéaire entre les variables puisque le coefficient se rapproche
de 1, prouvant ainsi que les résultats sont justes. Toutefois, le pourcentage d’écart relatif
entre la pente théorique et la pente expérimentale est de 10,72 %,ce qui dépasse l’écart
d’incertitude relative de 10% et qui prouve donc que la valeur trouvée est inexacte.
De ce fait, le but est alors atteint, car il a été possible d’analyser l’influence de la variation
de la longueur de la corde sur la période du pendule ainsi que de prouver la concordance
de leur relation avec les prévisions théoriques établies.
Une analyse des résultats expérimentaux (Tableau 2) de la période du pendule (T) en
fonction de la masse (m) suspendue indique qu’il y avait une variation positive minime de
temps lorsque la masse suspendue variait, car les valeurs des périodes augmentent
légèrement au fil et a mesure que la masse est augmenté. En comparant les résultats
expérimentaux aux prévisions théoriques, plusieurs observations ont été faites. En effet,
cette variation de la période en fonction de la masse suspendue ne correspond pas aux
prévisions théoriques. En théorie, la masse du pendule ne devrait pas influencer sa période,
puisque l’équation de la période du pendule T=2π⋅L/g ne dépend pas de la masse
suspendue. Ainsi, l’augmentation observée de la période avec la masse indique que les
résultats expérimentaux ne sont pas totalement exacts et justes. Le but est donc
partiellement atteint car l’influence de la masse sur la période a été étudié, par contre celleci ne correspond pas à la formule T=2π∙√(L/g), puisque les résultats démontrent que la
période varie de façon non concordante à la variation de masse, à l’opposé de l’invariabilité
de la période théorique attendue. Cette divergence peut être attribuée à des facteurs tels que
des frictions supplémentaires au niveau du pivot lorsque la masse augmente. En effet, à
mesure que la masse augmente, la friction au point de pivot devient plus importante, ce qui
peut allonger artificiellement la durée d’oscillation.
En théorie, l'amplitude angulaire (θ) n'a pas d'effet sur la période (T) du pendule dans le
cas de petites oscillations, soit θ ≤ 30°, car elle n'apparaît pas dans la formule T=2π∙√(L/g),
qui repose sur cette approximation (Benson et al., 2016). Le Tableau 2, qui représente la
période (T) en fonction de l'amplitude angulaire (θ), devrait donc théoriquement présenter
des valeurs de période constantes qui ne changes pas avec la variation des amplitudes. C’est
partiellement le cas, car 3 valeurs sur 5 sont complétement identiques, toutefois sont
différentes avec seulement 4 secondes d’écart. Ainsi, le but n’est pas entièrement atteint,
car il a été possible d’étudier la relation entre l’amplitude (θ) et la période (T), en revanche
celle-ci ne s’accorde pas avec la formule T=2π∙√(L/g) puisque la période n’est pas
constante en tout temps. Ce décalage par rapport à la théorie peut s’expliquer par des
erreurs expérimentales, telles que des frictions dans le système, des imprécisions dans la
mesure de l’amplitude, ou encore des frottements de l’air. Plus l’amplitude est grande, plus
les frottements de l’air augmentent, ce qui influence la durée de l’oscillation. Ces facteurs
peuvent affecter la précision des mesures, surtout pour des amplitudes plus grandes, où le
mouvement du pendule dévie davantage des conditions idéales, accentuant les effets de
frottement et de non-linéarité.
5. Conclusion
Honorine:
Cette expérience a pour objectif d’identifier les paramètres influençant la période
d’oscillation d’un pendule simple en régime de mouvement harmonique simple et d’établir
la relation mathématique entre la période et ces paramètres.
En conclusion, cette expérience vise étudier les facteurs influençant la période d’oscillation
d’un pendule simple et à comparer les résultats obtenus aux prédictions théoriques. Les
observations confirment que la période est indépendante de la masse et, pour de petites
oscillations, de l’amplitude, tandis qu’elle varie proportionnellement à la racine carrée de
la longueur du fil, comme le démontre le coefficient de détermination R² de 0,9976. De
plus, la pente expérimentale (1,8123) reste proche de la valeur théorique (2,0066), avec un
écart de 10,7 %. Cet écart peut être attribué à des erreurs expérimentales, notamment des
imprécisions dans la mesure de la longueur du fil. Ces résultats confirment la validité du
modèle théorique tout en mettant en évidence les défis liés aux mesures expérimentales en
physique. Pour explorer ces effets de manière plus rigoureuse, une analyse expérimentale
avec des mesures précises pour des amplitudes plus grandes permettrait de vérifier cette
déviation par rapport à la loi simplifiée.
Miryam:
L’objectif de cette expérience était double : d’une part, déterminer de quel(s) paramètre(s)
(longueur de la corde, masse du pendule, amplitude de l’oscillation) dépend la période
d’oscillation d’un pendule simple ; d’autre part, vérifier si quelle est la relation entre la
période et les paramètres et s’ils correspondent aux prévisions théoriques basées sur la loi
du pendule simple. Les résultats ont partiellement validé l’hypothèse de départ. La
longueur du fil a montré une influence directe et proportionnelle sur la période,
conformément à la loi théorique par la formule T=2π∙√(L/g) qui prévoit que la période
dépend de la racine carrée de la longueur du pendule. Quant à l’amplitude angulaire, celleci n’a pas eu d’effet mesurable sur la période, ce qui confirme également les prévisions
théoriques. En revanche, pour la masse, une légère augmentation de la période a été
observée. Cette variation pourrait être due à des erreurs expérimentales, comme des
frottements au niveau du pivot. Pour améliorer la précision des résultats, plusieurs pistes
peuvent être explorées. Réduire les frictions au niveau du pivot avec des systèmes mieux
lubrifiés minimiserait les sources d’erreurs. Enfin, répéter l’expérience plus de 100 fois
permettrait d’obtenir des données plus représentatives et de limiter les biais expérimentaux.
6. Annexes:
6.1.
Données brutes :
Tableau 5. Durée de 5 cycle d’oscillation du pendule en fonction de la masse (m) lorsque
les valeurs de l’amplitude (θ) et longueur du fil (L) suspendue sont constantes.
Essais
Masse (g)
±0,1
Temps (s)
±0,01
Essai 1
Essai 2
Essai 3
Essai 4
50,0
100,0
200,0
500,0
6,32
6,34
6,50
6,38
Paramètres constants:
Amplitude = (15,00 ± 0,01) °
Longueur du fil = (30,00 ± 0,05) cm
Tableau 6. Durée de 5 cycles d’oscillations du pendule en fonction de l’amplitude lorsque
les valeurs de la longueur du fil (L) et la masse (m) suspendue sont constantes
Essais
Amplitude (°)
±0,01
Temps (s)
±0,01
Essai 1
Essai 2
Essai 3
Essai 4
Essai 5
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
6,32
6,26
6,28
6,32
6,32
Paramètres constants:
Masse du bloc = (100,0 ± 0,1) g
Longueur du fil = (30,00 ± 0,05) cm
Tableau 7. Durée de 5 cycles d’oscillation du pendule en fonction de la longueur du fil (L)
lorsque les valeurs de l’amplitude (θ) et de la masse (m) suspendue sont constantes.
Essais
Essai 1
Essai 2
Essai 3
Essai 4
Essai 5
Longueur du fil (cm)
±0,05
0,447
0,548
0,632
0,707
0,775
Paramètres constants:
Amplitude = (15,00 ± 0,01) °
Masse du bloc = (100,0 ±0,01) g
Temps (s)
±0,01
5,46
6,32
7,00
7,80
8,42
6.2.
Calculs
7. Bibliographies:
1. Benson, H., Lachance, M., Séguin, M., Villeneuve, B., Marcheterre, B. (2016).
Physique 3 - Ondes, optique et physique moderne. Éditions du renouveau
pédagogique Inc. (ERPI). p.4-23
2. Luc Tremblay, Version 2015, Les Lois de Newton 2. Collège Mérici, Québec
https://physique.merici.ca/mecanique/chap3mec.pdf