SYDDANSK UNIVERSITET
DET SAMFUNDSVIDENSKABLIGE FAKULTET
Matematik og statistik delprøve 1
Matematik
3 timer
Januar 2019
1. Opgavestiller: Nils Karl Sørensen.
2. Udleveres: Fysisk i eksamenslokalet.
3. Afleveres: Der kan alene afleveres digitalt. Den digitale del af besvarelsen afleveres gennem
SDUassignment i kurset i blackboard. Se også eksamensregulativ side 2.
4. Alle sider inkl. forsiden skal påføres Eksamensnr.
5. Alle sider skal nummereres.
Side 1 af 6
Der er 6 sider inklusive forsiden
Eksamensregulativ
Internet: Internet må udelukkende anvendes til at tilgå SDUassignment til aflevering og
afhentning af Word-skabelon. I øvrigt må internettet ikke anvendes under prøven.
Udarbejdelse: Besvarelsen skal skrives i en Word-skabelon, der udleveres i SDUassignment ved
prøvens begyndelse. Grafer, formler og lignende må skrives i hånden og overføres til skabelonen
ved anvendelse af enten en digital pen eller en håndscanner. Se under særlige forhold.
Hjælpemidler: Ingen digitale hjælpemidler tilladt, det er kun tilladt at arbejde i den udleverede
Word-skabelon på computeren. Det er ikke tilladt at benytte andre skabeloner eller andre
programmer på computeren. Se dog under særlige forhold. Det er tilladt at medbringe i papirformat
bøger, egne noter og lommeregner. Maksimalt ydelsesmæssigt tilladte lommeregne er Texas TI-89
/ TI-nspire CAS. Lommeregneren må ikke tilsluttes computeren. Liste over tilladte lommeregnere
fremgår af fagets side på Blackboard. Den i computeren indbyggede lommeregner må ikke
anvendes. Det er ikke tilladt at medbringe IPads/tablets/smartphones. Det er ikke tilladt at
kommunikere med andre.
Særlige forhold:
• Har man anskaffet lærebogen af Ian Jacques digitalt, er det tilladt at have denne åben på sin
egen computer under eksamen, lærebogens appendiks om Input-Output modeller samt 3x3
notatet. Det er ikke tilladt at have andre dokumenter åbne.
• Egne noter skal være udskrevne i papirformat. De må ikke være åbne på computeren under
eksamen.
• Besvarelsen kan skrives ved anvendelse af en digital pen. Det er tilladt at anvende den
software, der medfølger denne eller programmet SDUscribble.
• Besvarelsen kan skrives i hånden og dernæst indlæses ved anvendelse af en håndscanner.
Det er tilladt at anvende den software, der medfølger denne.
• Besvarelsen kan skrives i hånden og dernæst fotograferes ved anvendelse af et
digitalkamera (ikke Ipad/tablet/smartphone). Computerens kamera må anvendes.
Fotofilerne indlæses i Word-skabelonen.
• Digitalpennens, håndscannerens og kamerarets hukommelse skal være tom ved prøvens
begyndelse.
• Alle håndtegnede grafer, formler og lignende skal overføres til Word-skabelonen inden
prøvens afslutning.
Alle spørgsmål tillægges samme vægt ved bedømmelsen
Fyldestgørende begrundelser for svarene er påkrævet for at opnå fuldt antal points
Denne delprøve indgår med vægten ½ af den samlede karakter i faget matematik og
statistik
Side 2 af 6
Opgave 1
En virksomheds produktionsfunktion er givet som:
1
4
Q = 500 L − 20 L
Hvor Q betegner produktionen og L betegner den arbejdskraften. Arbejdskraftens
dQ
marginalprodukt er givet ved MPL =
.
dL
A. Find arbejdskraftens marginalprodukt, og beregn MPL ved arbejdskraften L = 1, L =
10 og L = 15 henholdsvis. Passer det, at arbejdskraftens marginalprodukt er
aftagende med stigende indsats af arbejdskraft?
Virksomheden afsætter sit produkt på et marked med efterspørgslen givet som:
−2Q 2 − 10Q + 1010 = P
Hvor P betegner prisen på produktet.
B. Beregn efterspørgselselasticiteten for produktet ved en pris på 10.
Lad nu prisen falde med 20 procent til 8. Hvad sker der?
Virksomheden afsætter sit produkt til udlandet. I nationaløkonomien antages der som regel
en sammenhæng mellem nationalindkomsten og eksporten. Lad x betegne indkomsten og y
betegne eksporten. De 2 variable kan være relateret ved en samlet effekt z som givet ved:
z = x 4 y 5 − x 2 + 12 y 2
∂z
∂z
og
i punktet (1;1). Anvend udtrykket for approksimation (de små
∂x
∂y
skridts formel) til at estimere ændringen i z, når x øges med 0,05 fra 1 til 1,05, og y
reduceres med 0,02 fra 1 til 0,98.
C. Evaluer
Side 3 af 6
Opgave 2
En virksomheds samlede omkostninger er givet som:
TC = 1000 + 500(Q1 + Q2 ),
hvor Q1 og Q2 betegner virksomhedens produktion, der afsættes på markederne 1 og 2.
Virksomheden har som en følge af handelshindringer mulighed for at udbyde sit produkt til
forskellige priser P på de to forskellige markeder benævnt marked 1, og 2.
Efterspørgselsfunktionerne på de 2 markeder er givet som:
Q1 = 5000 − 5P1
Q2 = 2000 − P2
A. Opstil et udtryk for virksomhedens totale profit
B. Find de producerede mængder på markederne 1 og 2, der sikrer optimum for
profitten, og vis at disse er maksimum
C. Beregn de tilhørende priser og den samlede profit
Opgave 3
En større udenlandsk virksomhed, der driver cafeer på franchisebasis, vil etablere sig i
Skandinavien. Virksomheden har i første omgang etableret 4 butikker – én i hver af de
skandinaviske hovedstæder.
Lad antallet af cafeer, der etableres, blive betegnet ved n. Udviklingen kan beskrives ved
funktionen:
dn 10
=
dt
t
A. Beregn antallet af cafeer efter 25 måneder på det skandinaviske marked
For et produkt er den marginale omkostningsfunktion givet som
MC = 10Q 4 + e6Q +
600
+ 100
Q
B. Find den totale omkostningsfunktion TC idet MC =
dTC
, hvis de faste omkostninger
dQ
er lig 50 og Q > 0
Side 4 af 6
Opgave 4
I de senere år har en stor del af den samlede forøgelse af trafikken i Danmark fundet sted på
motorvejsnettet. Især mellem Jylland og Fyn er der fremkommet to interessante
broprojekter, der skal lette trafikken i Trekantsområdet. Her er overbelastningen betydelig.
Det nordlige projekt indeholder en broforbindelse mellem jyske Juelsminde og fynske
Bogense, mens det sydlige projekt indeholder en broforbindelse mellem Fynshav på Als og
Faaborg på Fyn.
Idet tiden t er opgjort som år, kan samfundets gevinst af de to broprojekter beskrives ved
følgende funktioner:
Juelsminde-Bogense:
Fynshav-Faaborg:
f (t ) = 0,5t 3 + 25t 2 + 20t
g (t ) = 0,1t 4 + 15t 2 + 40t
Tidshorisonten er 30 år dvs. for t intervallet [0;30].
A. Hvilket af de to broprojekter vil give den største gevinst for samfundet indenfor
denne tidshorisont?
For at kunne etablere broerne skal der uanset projektet løbende investeres. Lad I betegne
investeringerne. Samfundets investeringsfunktion er givet som:
I (t ) = 2500t
3
4
B. Find investeringsomfanget fra starten af år 0 til enden af det 30de år.
Hvilke broprojekter vil være rentable?
Side 5 af 6
Opgave 5
For et land i den europæiske union er der givet et input-output system for 3 sektorer
landbrug, industri og service.
(mia €)
Output
Landbrug
Industri
Service
Input
Landbrug
Industri
Service
100
400
300
220
250
300
130
150
100
Endelig
efterspørgsel
200
500
400
A. Opskriv den totale produktionsvektor for systemet, Leontief-systemet (de tekniske
koefficienter) L samt (I–L)
For at kunne beregne (I–L)–1 skal kofaktorerne beregnes. Disse er givet som:
Kofaktorerne
L11= 0,701 L12= 0,623 L13= 0,515
L21= 0,181 L22= 0,715 L23= 0,273
L31= 0,118 L32= 0,188 L33= 0,580
(Afrundet til 3 decimaler)
B. Hvordan beregnes kofaktoren L11 og hvad er determinanten lig med? Beregn i
forlængelse heraf (I–L)−1
Som en følge af gode konjunkturer øges industriens aktivitetsniveau, mens at landbruget og
servicesektoren oplever et fald. Aktiviteten i landbruget falder med 25, mens aktiviteten i
industrien øges med 100. Endelig oplever service et fald på 50.
C. Beregn den nye totale produktionsvektor som et resultat af denne ændring
Side 6 af 6