請用”放映(或按F5)”模式觀看 1 直線之投影 直線之特性 第八章 直線之投影 線為點之集合，線可分為直線與曲線。 一點如沿一固定之方向運動所形成的軌跡即為直 線，若非沿一固定之方向運動所形成的軌跡則為 曲線。 探討直線之投影時，無須考慮其粗細，僅考慮其 長短、方向與空間位置等問題。 3 8.1直線之投影 求直線兩端點之投影，連接兩端點之水平投影，即為直 線之水平投影，連接兩端點之直立投影，即為直線之直 立投影。 CAD圖 4 圖8.2 通過三個象限之直線的投影 直線所在位置不限於一個象限內，可延伸通過兩個或三 個象限。 CAD圖 (網路教學系統效果較佳) 5 圖8.3同時與V面及H面平行且位於ΙQ之直線投影 CAD圖 6 圖8.4同時與V面及H面平行且位於ⅢQ之直線投影 CAD圖 7 圖8.5 直線平行於Ｖ面 CAD圖 (網路教學系統效果較佳) 8 圖8.6直線平行於H面 CAD圖 (網路教學系統效果較佳) 9 8.2.3直線垂直於投影面 圖8.7 直線垂直於Ｖ面。 CAD圖 10 8.2.3直線垂直於投影面 圖8.8 直線垂直於H面。 CAD圖 11 8.2.4直線垂直於基線 當直線AB垂直於基線時，則此直線會平行於Ｐ 面，直線之直立投影與水平投影皆垂直於基線。 CAD圖 12 圖8.10 直線垂直於基線且位於Ｖ面 CAD圖 13 圖8.11 直線垂直於基線且位於H面 CAD圖 14 8.2直線與投影面之關係 直線依其與投影面之關係可分為正垂線、單斜線 及複斜線。 與任一主要投影面垂直之直線為正垂線。 與任一主要投影面平行而與其他兩投影面傾斜的 直線為單斜線。 與任一主要投影面皆不平行的直線為複斜線。 15 8.2.2直線平行於一投影面且傾斜於其他投影面 當直線AB平行於V面且傾斜於Ｈ面時，直線之任 一點與V面之距離相等，因此兩端點之水平投影 與基線之距離相等，即直線之水平投影與基線平 行。 平行於V面之直線，稱為直立線，其直立投影呈 現實長，通常沿其投影加註字母TL（True Length）以表示。 當直線與投影面平行時，其在該投影面之投影呈 現實長，在另一投影面之投影則與基線平行，此 為判斷直線平行於投影面之重要準則。 16 8.2.5直線通過兩個象限 直線的兩個端點若位於不同象限，則直線會與投 影面相交。 直線與投影面的交點稱之為跡（Trace）。 直線與水平投影面的交點稱之為水平跡（ Horizontal Trace）。 直線與直立投影面的交點稱之為直立跡（ Vertical Trace）。 直線與側投影面的交點稱之為側面跡（Profile Trace）。 17 圖8.12 直線之直立跡 C點位於直線AB穿過V面處，故為直線之直立跡 ，ch位於直線AB之水平投影與基線相交處。 cv ch CAD圖 18 圖8.13 直線之水平跡 C點為直線AB穿過H面處，故為直線之水平跡， cv位於直線AB之直立投影與基線相交處。 cv ch CAD圖 19 圖8.14 直線同時有直立跡與水平跡 當水平投影與基線相交時，表示直線穿過V面，其交點可 決定直立跡，當直立投影與基線相交時，表示直線穿過H 面，其交點可決定水平跡。 cv dh ch dv CAD圖 20 直線之實長之求作: 輔助面法 8.3直線之實長 所謂實長即直線的投影長度與真實的長度一致 直線與投影面夾角之真實大小稱之為實角，或稱 之為傾斜角，通常以Θ、Ø 、 γ分別代表直線與 Ｈ、F、Ｐ投影面所夾之實角。 當直線與F面平行時，直立投影呈現其實長，同 時圖中直立投影與水平線之夾角即為Θ 。 當直線與H面平行時，其水平投影呈現其實長， 水平投影與水平線之夾角即為Ø 。 22 8.3直線之實長 直線平行於V面 CAD圖 直線平行於H面 CAD圖 23 副投影法求直線之實長1/6 圖11.3 副投影面法求直線之實長—副投影面與H面 垂直。 bv av GL bh ah CAD圖 CAD-AVI 24 副投影法求直線之實長2/6 取適當之距離作副基線GL1與ahbh平行 bv av GL bh ah CAD圖 CAD-AVI GL1 25 副投影法求直線之實長3/6 過ahbh作投影線垂直於副基線GL1 bv av GL bh ah CAD圖 CAD-AVI GL1 26 副投影法求直線之實長4/6 分別作A，B兩點之副投影，得ax與bx bv A B av GL bh bx CAD圖 CAD-AVI ax ah GL1 27 副投影法求直線之實長5/6 連接ax與bx即為AB之副投影。 bv A B av GL bh bx CAD圖 CAD-AVI TL x a ah GL1 28 副投影法求直線之實長6/6 直線與投影面平行之性質。 b v A B av GL bh bx CAD圖 CAD-AVI TL x a ah 29 11.3直線之副投影 1/5 副投影面法求直線之實長—副投影面與V面垂直 av v b GL ah CAD圖 CAD-AVI h b 30 11.3直線之副投影 2/5 取適當之距離作副基線GL1與avbv平行，過avbv作 投影線垂直於副基線GL1。 GL1 av v b GL ah CAD圖 CAD-AVI h b 31 11.3直線之副投影 3/5 分別作A，B兩點之副投影，得ax與bx。 ax GL1 av x b v b A GL CAD圖 CAD-AVI B ah h b 32 11.3直線之副投影 4/5 連接ax與bx即為AB之副投影，得AB之實長。 ax GL1 av TL x b v b A GL CAD圖 CAD-AVI B ah h b 33 11.3直線之副投影 5/5 直線與投影面平行之性質 ax GL1 av TL x b v b A GL CAD圖 CAD-AVI B ah h b 34 副投影法求直線之實長例 1/12 bF aF bh F H ah CAD圖 35 副投影法求直線之實長例 2/12 I aF F bF bh F H ah CAD圖 36 副投影法求直線之實長例 3/12 bI I I AH a aF F bF BH bh F H ah CAD圖 37 副投影法求直線之實長例 4/12 bI I I AH a aF F bF BH bh F H ah CAD圖 38 副投影法求直線之實長例 5/12 bI I I AH a aF F bF BH bh F H ah CAD圖 39 副投影法求直線之實長例 6/12 bI I I a aF ah F bF bh F H H II CAD圖 40 副投影法求直線之實長例 7/12 bI I I F bF AF BF a aF ah aII CAD圖 bh F H H II bII 41 副投影法求直線之實長例 7/12B AF BF bF aF ah aII CAD圖 bh F H H II bII 42 副投影法求直線之實長例 8/12 F P CAD圖 43 副投影法求直線之實長例 9/12 F P CAD圖 44 副投影法求直線之實長例 10/12 F P CAD圖 45 副投影法求直線之實長例 11/12 F P CAD圖 46 副投影法求直線之實長例 12/12 F P P X CAD圖 47 直線之實長之求作: 旋轉法 TL and Ɵ of a skew line 1. Fixed one end point (e.g., A) 2. Ɵ is fixed in rotating B , leading a H bH a H b H 3. bF b F is kept in rotating until AB||F 4. TL and Ɵ of a skew line are obtained in F 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行 -1/6 已知直線之投影，以旋轉法求直線實長。 av bv GL ah CAD圖 CAD-AVI h b 50 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行-2/6 過ah做水平線。 av bv GL ah CAD圖 CAD-AVI h b 51 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行-3/6 以ah為圓心ahbh為半徑畫弧，與過ah做水平線交弧於bh’ ， 連接ahbh'即為直線之新的水平投影。 av bv ah hˊ b CAD圖 CAD-AVI GL h b 52 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行-4/6 過bh‘做垂線。 av bv ah hˊ b CAD圖 CAD-AVI GL h b 53 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行-5/6 與過bv做水平線交於bv'，即為B點之新的直 立投影。 av bvˊ bv ah hˊ b CAD圖 CAD-AVI GL h b 54 旋轉法求直線實長—直線轉至與V面平行-6/6 連接avbv‘即為直線之新直立投影，並呈現實長，如圖之Ɵ即 為直線與H面之實角。 av bvˊ Ɵ bv ah hˊ b CAD圖 CAD-AVI GL h b 55 TL and Ø of a skew line 1. Fixed one end point (e.g., A) 2. Ø is fixed in rotatiing B, leading a F bF a F b F 3. bH b H is kept in rotatiing until AB|| H 4. TL and Ø of a skew line are obtained in H 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-1/6 已知直線之投影，以旋轉法求直線實長。 過av做水平線。 v b av GL h b CAD圖 CAD-AVI ah 57 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-2/6 以av為圓心avbv為半徑畫弧，與水平線交於bv‘， 連接avbv’即為直線之新的直立投影。 v b av vˊ b GL h b CAD圖 CAD-AVI ah 58 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-3/6 過bv‘做垂線。 v b av vˊ b GL h b CAD圖 CAD-AVI ah 59 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-4/6 與過bh做水平線於bh’，即為B點之新的水 v 平投影。 b av vˊ b GL h b CAD圖 CAD-AVI ah bhˊ 60 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-5/6 連接avbv‘即為直線之新直立投影，並呈現 v 實長。 b av vˊ b GL h b CAD圖 CAD-AVI ah bhˊ TL 61 旋轉法求直線實長—直線轉至與H面平行-6/6 如圖之Ø即為直線與V面之實角。 v b av vˊ b GL h b Ø CAD圖 CAD-AVI ah bhˊ TL 62 旋轉法求直線實長例題 1/3 Find TL and Ø 。 bF GL aF H b aH 63 旋轉法求直線實長例題 2/3 。 bF GL aF H b bˊF ˊH b aH 64 旋轉法求直線實長例題 3/3 。 bF GL aF aH H b bˋˋF bˊF ˊH b bˋˋH 65 直線的端視圖 66 作副投影面求直線之端視圖1/3 作副投影面求直線之端視圖。 bv av GL TL ah h b CAD圖 CAD-AVI 67 作副投影面求直線之端視圖 2/3 作副基線GL1與ahbh垂直。 bv av GL TL ah h b GL1 CAD圖 CAD-AVI 68 作副投影面求直線之端視圖 3/3 求作A，B兩點之副投影，得ax與bx重合，即得直線之端視 bv av Y 圖。 GL TL ah h b x x a b GL1 CAD圖 CAD-AVI 69 以副投影面法求複斜直線端視圖 1/6 已知直線之投影。 av bv GL ah h b CAD圖 CAD-AVI 70 以副投影面法求複斜直線端視圖 2/6 作第一副基線與直線水平投影平行。 av bv GL ah h b CAD圖 CAD-AVI GL1 71 以副投影面法求複斜直線端視圖 3/6 過水平投影各點向GL1作垂線。 av bv GL ah h b CAD圖 CAD-AVI GL1 72 以副投影面法求複斜直線端視圖 4/6 求作兩端點之第一副投影，直線之第一副投影呈 v a AV 現實長。 bv GL ah h b CAD圖 CAD-AVI ax TL bx GL1 73 以副投影面法求複斜直線端視圖 5/6 作副基線GL2與axbx垂直。 av bv GL ah GL2 CAD圖 CAD-AVI h b ax TL bx GL1 74 以副投影面法求複斜直線端視圖 6/6 得ay與by重合，即得直線之端視圖。 av bv GL ah GL2 CAD圖 CAD-AVI ay y b h b ax TL bx GL1 75 重要範例 已知副投影求直立與水平投影 1/3 F GL H aB TL B b BA GL2 A bA H 77 已知副投影求直立與水平投影 2/3 。 F GL H aB aA aH bH B b BA GL2 A bA H 78 已知副投影求直立與水平投影 3/3 A aF B bF 。 F GL H aB aA aH bH B b BA GL2 A bA H 79 已知副投影求直立與水平投影例二 1/3 。 F GL H aB aA B BA GL2 b A b H A GL1 80 已知副投影求直立與水平投影例二 2/3 。 aH F GL H aB aA H b B BA GL2 b A b H A GL1 81 已知副投影求直立與水平投影例二 3/3 F B aF A b 。 aH F GL H aB aA H b B BA GL2 b A b H A GL1 82 求直線AB之投影例 1/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在水平面上方 4,直線AB與直立面夾角為30 0 ,求直線 AB之投影。 v av bˊv 4 b 1 GL h 5 b ah GL bˊh 83 求直線AB之投影例 2/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在水平面上方 4,直線AB與直立面夾角為30 0 ,求直線 AB之投影。 v b b 1 GL h 5 b h a GL bˊh ˊh b 5 a av 1 ˊv 4 v ah 84 求直線AB之投影例 3/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在水平面上方 4,直線AB與直立面夾角為30 0 ,求直線 AB之投影。 v v b b 1 GL h 5 b h a bˊh ˊh b bˊv GL 5 a av 1 ˊv 4 v b 4 ah 85 求直線AB之投影例 4/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在水平面上方 4,直線AB與直立面夾角為30 0 ,求直線 AB之投影。 v v b b 1 GL h 5 b h a h ˊh b bˊv GL b 5 a av 1 ˊv 4 v b 4 ah bˊh 86 求直線AB之投影例二 1/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在A點的右上方,直線AB與直立面夾角為30 0 ,直線AB 與水平面夾角為45 0求直線AB之投影。 F ˋF b b aF F H b ˋH b H a ˋˋH b F H 5 1 F H 1 a 5 aH 87 求直線AB之投影例二 2/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在A點的右上方,直線AB與直立面夾角為30 0 ,直線AB 與水平面夾角為45 0求直線AB之投影。 F ˋF b b aF F H b ˋH b H a ˋˋH b F H ˋH b 5 1 F H 1 a 5 aH 88 求直線AB之投影例二 3/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在A點的右上方,直線AB與直立面夾角為30 0 ,直線AB 與水平面夾角為45 0求直線AB之投影。 ˋF F ˋF b b b aF F H b ˋH b H a ˋˋH b F H ˋH b 5 1 F H 1 a 5 aH 89 求直線AB之投影例二 4/4 長度6 之直線AB, 其A點在水平面上方1, 直立面前方5, B 端在A點的右上方,直線AB與直立面夾角為30 0 ,直線AB 與水平面夾角為45 0求直線AB之投影。 F ˋF F ˋF b b b b aF F H b ˋH b H a ˋˋH b F H H b ˋH b 5 1 F H 1 a 5 aH ˋˋH b 90
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