Geometria Analityczna
mgr inż. Agnieszka Krawczyk
EDUBIN SPÓŁKA Z OGRANICZONĄ ODPOWIEDZIALNOŚCIĄ
KRS: 0000962985 |REGON: 521595145 |NIP:
5170424279
2024 © Copyright Centrum Nowoczesnego Kształcenia.
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Geometria Analityczna
mgr inż. Agnieszka Krawczyk
EDUBIN SPÓŁKA Z OGRANICZONĄ ODPOWIEDZIALNOŚCIĄ
KRS: 0000962985 |REGON: 521595145 |NIP:
5170424279
2024 © Copyright Centrum Nowoczesnego Kształcenia.
Wszelkie prawa zastrzeżone.
oś odciętych
EDUBIN SPÓŁKA Z OGRANICZONĄ ODPOWIEDZIALNOŚCIĄ
KRS: 0000962985 |REGON: 521595145 |NIP:
5170424279
I ćwiartka x > 0 i y > 0
II ćwiartka x < 0 i y > 0
III ćwiartka x < 0 i y < 0
IV ćwiartka x > 0 i y < 0
C(-5,3)
A (4,1)
Znajdź liczbę m, wiedząc, że punkt P=(5,m – 1) leży
na osi X
m–1=0
m=1
B(-2,-4)
Postać ogólna prostej
Ax + By + C = 0
α
3𝑥 + 4y − 12 = 0
4y = −3𝑥 + 12
3
𝑦=− 𝑥+3
4
Warunek równoległości dwóch prostych w postaci kierunkowej
Przykład. CKE
𝑻𝒘𝒊𝒆𝒓𝒅𝒛𝒆𝒏𝒊𝒆:
𝐴 𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 𝑖 𝐵 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵
𝐴𝐵 =
(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
𝐴𝐵 =
−1 + 7 2 + −2 − 1 2 =
62 + 32 = 36 + 9 = 45 = 3 5
𝐴𝐶 = 10
𝐵𝐶 =
3 + 1 2 + 1 + 2 2 = 16 + 9 = 5
𝑂𝐴𝐵𝐶 = 10 + 5 + 3 5 = 15 + 3 5 = 3 5 + 5
𝐴 = −7,1
𝐵 = −1 − 2
𝐶 = 3,1
Środek odcinka
Symetralna to prosta prostopadła i przechodząca przez środek odcinka
−1 − 3
1
=−
6 − −2
2
−2 + 6 3 − 1
𝑆𝐴𝐵 =
,
= 2,1
2
2
𝑎𝐴𝐵 =
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 = 2𝑥 + 𝑏
1=2⋅2+𝑏
𝑏 = −3
𝑦 = 2𝑥 − 3
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB, a następnie prostą prostopadłą do prostej AB i przechodzącą przez
środek odcinka AB.
Pamiętamy iż iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi (-1).
𝐴 = −1, −2
𝐵 = −7,4
𝐶 = 3,2
𝑃=
1
−4 − 14 − 6 + 2 − 14 − 12 = 24
2
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 = 2 5
𝐴𝐶 =
22 + 22 = 2 2
4+2 2+0
𝑠=
,
= 31 1
2
2
𝐴𝐵 2 = 𝐴𝑆 2 + 𝐵𝑆 2
𝐵𝑆 = 3 2
𝐵𝐷 = 6 2
𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶
𝑃=
= 3 2 ⋅ 3 2 = 12
2
𝑜𝑢𝐴𝐶 =
2
=1
4−2
𝑎𝐵𝐷 = −1
𝑃𝑟𝑜𝑠𝑡𝑎𝐵𝐷
𝑦 = −𝑥 + 𝑏
1 = −3 + 𝑏
𝑏=4
𝑦 = −𝑥 + 4
𝑦 = −𝑥 + 4
𝐵 𝑥B , −𝑥𝐵 + 4
𝑆𝐵 = |𝑆𝐷| = 3√2
𝐷 𝑥𝐷 , −𝑥𝐷 + 4
S 3,1
𝐵 6, −2
𝐷 0,4
S𝑃 = 𝑟
r= 5
𝑥2 + 𝑦 + 1 2 = 5
S𝑃 = 𝑟
S𝑃 = 𝑟
r=2 5
𝑥+3 2 ⊥
𝑦 + 1 2 = 20
𝑟 = 10
𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 1 2 = 10
Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu w postaci ogólnej
2
2
𝑥 +𝑦 =4−𝑚
𝑥 − 1 2 + +2 2 = 5 − 𝑚
2
5−𝑚 >0
4 − 𝑚2 > 0
𝑚<5
2−𝑚 2+𝑚 >0
𝑚𝜖 −∞, 5
m∈ −2 ⋅ 2
S 4, −1
1∘4+ −3 ⋅ −1 +3
10
d=
=
⋅=
10
1𝑂
10
r= 10
𝑥 2 + 𝑦 2 = 20
ቊ
𝑦 = −𝑥 − 2
𝑥 2 + −𝑥 − 2 2 = 20
𝑥 2 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 20
2𝑥 2 + 4𝑥 − 16 = 0
𝑥 2 + 2𝑥 − 8 = 0
Δ = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ −8 = 4 + 32 = 36
−2 − 6
−2 + 6
𝑥1 =
= −4, 𝑥2 =
=2
2
2
𝑦1 = − −4 − 2 = 2
𝑦2 = −2 − 2 = −4
𝑥 = −4
ቊ 1
𝑦1 = 2
ቊ
𝑥2 = 2
𝑦2 = −4
α∈
α
α
Dwa niezerowe wektory u i v mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy
, gdy istnieje taka liczba α=0, że u=α v
Jeśli α>0, to mówimy, że wektory u i v mają ten sam zwrot.
Jeśli α<0 , to mówimy, że wektory u i v mają przeciwny zwrot.
α
Sumą wektorów u = [a, b] i v = [c, d] jest wektor: u + v = [a + c, b + d]
Różnicą wektorów u = [a, b] i v = [c, d]
jest wektor: u − v = [a − c, b − d]
Jeżeli wektor u ma współrzędne [u1,u2], to długość wektora u wyraża się za pomocą wzoru:
𝑢 =
𝑢12 + 𝑢22
Wektor, którego długość jest równa 1, nazywamy wektorem jednostkowym.
Figura jest osiowosymetryczna, jeśli jest ona swoim własnym obrazem w symetrii względem
pewnej prostej l.Prostąl nazywamy wówczas osią symetrii tej figury.