Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 1
Et lineært ligningssystem består af en eller flere ligninger med flere ubekendte, der alle indgår
"simpelt" i 1. potens og ikke er ganget med hinanden eller optræder som indre funktioner.
Et eksempel kunne være:
Til ligningssystemet hører:
Koefficientmatrix (indeholder koefficienterne til de ubekendte):
Højreside (indeholder de konstante led på højre side af "=":
Totalmatrix (koefficientmatrix og højreside samlet i én matrix):
Ved opskrivning på papir indsættes normalt en lodret streg for at adskille koefficienterne og højresiden.
Ligningssystemet løses i praksis ved at opstille dets totalmatrix og udføre rækkeoperationer (såkaldt
Gauss-Jordan elimination) indtil totalmatricen er på reduceret echelonform (se Maplesyntax i demoen
"LAM Maple 01").
Tilladte rækkeoperationer (dvs. manipulation med ligningerne, der ikke ændrer på systemets
løsningsmængde):
1) Man må altid bytte om på to rækker
2) Man må altid gange/dividere en række med et tal forskelligt fra nul
3) Man må altid gange en række med et tal og lægge resultatet til i en anden række
Rækkeoperationer udføres "i hånden" med Maple-kommandoen RowOperation (se Maplesyntax i
demoen "LAM Maple 01" på Learn):
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 2
Linearkombination af
hvor
vektorer,
(med samme antal komponenter):
er reelle tal (skalarer).
Lineær (u)afhængighed: Givet
vektorer,
. Hvis følgende vektorligning
kun har løsningen
, siges de vektorer at være lineært uafhængige
(det vil sige, de kan ikke skrives som en linearkombination af hinanden). Hvis ligningen har andre
løsninger end nul-løsningen, siges vektorerne at være lineært afhængige (det vil sige, de kan skrives
som en linearkombination af hinanden).
Dimension/udspænding: Det kræver netop lineært uafhængige vektorer at udspænde et dimensionalt "rum". Flere end vektorer i et -dimensionalt "rum" vil altid være lineært afhængige.
Geometrisk tolkning: Det kræver netop 2 ikke-parallelle vektorer, at udspænde en plan. Enhver anden
vektor i planen vil da kunne skrives som en linearkombination af disse to lineært uafhængige vektorer.
Rang af matrix: Antallet af pivotelementer efter udførelse af Gauss elimination. Betegnes med .
Betragtes et lineært ligningssystem bestående af ligninger med ubekendte, vil man efter udført
Gauss elimination have bestemt rangen af koefficientmatricen,
, såvel som rangen af
totalmatricen,
. Et KRAV (nødvendig og tilstrækkelig betingelse) for, at ligningssystemet har
løsninger, er da at
. Antallet af frie variable er givet ved
.
For et lineært ligningssystem bestående af
ligninger med
ubekendte, gælder altså følgende:
Ligningssystemet har løsninger
Ligningssystemet har ingen løsninger
Ligningssystemet har en
dobbelt uendelighed af løsninger
For et kvadratisk ligningssystem (
, dvs. samme antal ligninger som ubekendte) haves i øvrigt
Ligningssystemet har netop én løsning!
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 3
En matrix,
(evt.
) med m rækker og n søjler siges at være af type
Den transponerede matrix (betegnet
("m kryds n")
) dannes ved ombytning af rækker og søjler
Kun matricer af samme type kan adderes og subtraheres
Nulmatricen,
, indeholder nuller på alle pladser og er neutralt element mht. addition
Kvadratiske matricer har lige mange rækker og søjler:
(
)
Vigtige specialtilfælde: øvre og nedre trekantmatrix, samt diagonalmatrix, herunder:
Enhedsmatrix:
(
), som er neutralt element mht. multiplikation
Multiplikation af en matrix af type
og en matrix
matrixproduktet
er givet ved skalarproduktet af den
af type
(def. 3.7): Element
i
Matrixmultiplikation udføres i praksis vha. Falks skema (se bogens s. 31 nederst). NB! KRAV at
antallet af søjler i er det samme som antallet af rækker i . Produktet vil da have samme antal rækker
som den første faktor og samme antal søjler som den anden faktor:
.
I almindelighed gælder:
Invers matrix
Givet en kvadratisk matrix (type
). Dens inverse matrix,
eksisterer) som den matrix, for hvilken der gælder:
hvor er enhedsmatricen (af type
udsædvanligt - jf. ovenfor!), at
). Det bemærkes, at såfremt
.
defineres (i det omfang den
eksisterer, da gælder (ret
Den inverse matrix beregnes i praksis ved at opstille totalmatricen for ligningssystemet
udføre Gauss-Jordan elimination, indtil er reduceret til enhedsmatricen:
og
Da og dermed totalmatricen i udgangspunktet har fuld rang ( ), er det et krav, at også har fuld
rang, hvis der skal findes en løsning (som da netop er A ). En kvadratisk matrix med fuld rang kaldes
regulær (eller invertibel). Hvis en kvadratisk matrix har mindre end fuld rang, kaldes den singulær.
:
:
regulær (krav for eksistens af A
singulær
)
Regneregler for invers matrix: Se kursusnotens sætning 3.14 samt 3.17.
Særligt for invertible matricer af typen
:
Det vil sige, man bytter om på diagonalelementerne, skifter fortegn på de to andre og dividerer med
(dette tal kaldes i øvrigt matricens determinant - meget mere om det i næste uge!).
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 4
Determinant: Determinanten,
, af en kvadratisk matrix
udtrykker nogle karakteristiske egenskaber for matricen .
For matrix af typen
(type
) er et tal (skalar), der
:
Geometrisk tolkning: den numeriske værdi af determinanten angiver arealet af det parallelogram, som
de to søjlevektorer udspænder. Hvis søjlevektorerne er lineært afhængige (parallelle) bliver arealet i
sagens natur 0, så lineær afhængighed af søjlevektorerne i en matrix er ensbetydende med at
determinanten er 0. Dette gælder også for matricer af højere orden end
!
For matricer af vilkårlig orden,
, beregnes determinanten ved opløsningsmetoden, idet man opløser
efter en valgfri række eller søjle: For hvert element i den valgte række eller søjle dannes produktet af
dette med dets komplement, hvorefter det hele adderes. Komplementet er underdeterminanten med
tilhørende fortegn, der beregnes som
, hvor og er hhv. række- og søjlenummer for det
aktuelle element.
Eksempel. Vi opløser følgende determinant efter 1. søjle:
Underdeterminanten er den determinant, der fremkommer, når man sletter den række og søjle, som det
aktuelle element står i. Underdeterminanterne har altid en række og søjle mindre end den oprindelige
determinant, så metoden virker uanset størrelsen af . Med
fås fx underdeterminanter med 4
rækker og 4 søjler, som så kan opløses til at give underdeterminanter med 3 rækker og 3 søjler osv.
Jo flere nuller, der indgår i den valgte række eller søjle, desto lettere bliver det at beregne
determinanten, idet beregning af komplementer for 0-elementer er unødvendig, da de jo alligevel bliver
ganget med 0. Man kan altid skaffe sig ekstra nuller ved at lave rækkeoperationer, så længe man blot er
opmærksom på følgende regler:
1) Ganges en række med et tal, ganges determinantens værdi med det samme tal.
2) Ombyttes to rækker, skifter determinanten fortegn.
3) Ved en "ægte rækkeoperation",
, ændres værdien af determinanten ikke.
For øvre og nedre trekantmatricer (herunder diagonalmatricer): Determinanten bestemmes let
som produktet af diagonalelementerne!
Hvis en matrix af type
har fuld rang (er regulær), betyder det pr. definition, at den har netop
pivotelementer, når den er bragt på echelon form (øvre trekantmatrix). Der gælder derfor følgende
uhyre vigtige resultater, som illustrerer styrken af determinantbegrebet:
Hvilket i praksis vil sige:
er invertibel (jf. semesteruge 3)
hvis A er koefficientmatrix for et ligningssystemet af n ligninger med n ubekendte, har
dette ligningssystem netop én løsning (jf. semesteruge 1)
søjlevektorerne i A er lineært uafhængige (jf. semesteruge 2)
Omvendt gælder:
er singulær (ikke-invertibel), ligningssystemet har uendeligt mange
løsninger (hvis det har nogen overhovedet - jf. semesteruge 1-2), og søjlevektorerne i er lineært
afhængige.
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 6
Egenværdier og egenvektorer: Givet en kvadratisk matrix
vektor, , således at:
(type
). Vi søger da en egentlig
hvor er et tal (en skalar). Geometrisk tolkning: Når man ganger vektoren med (afbildnings)matricen
, vil den resulterende vektor være parallel med . Den samme hvis
, ellers kortere eller længere
og eventuelt modsatrettet .
Når dette er opfyldt, siger man, at
er en egenvektor for
hørende til egenværdien .
Ligningen kan omskrives som følger:
hvor
er enhedsmatricen af type
.
For at finde egenvektorerne skal altså løses et lineært ligningssystem bestående af n ligninger med n
ubekendte, hvis koefficientmatrix er
(jf. semesteruge 1).
Da ligningssystemet er homogent (lutter 0'er på højresiden), vil fuld rang af koefficientmatricen være
ensbetydende med, at der kun findes nul-løsningen (
). Vi er imidlertid interesserede i egentlige
løsninger, så vi må kræve, at koefficientmatricen har mindre end fuld rang, hvormed vi har mindst en
fri variabel og dermed uendeligt mange (egentlige) løsninger.
Som vi lærte i semesteruge 4 gælder, at en kvadratisk matrix har mindre end fuld rang, netop hvis dens
determinant er lig med 0. Vil må med andre ord kræve, at
. Der benyttes følgende
betegnelser:
: Reduktionsdeterminanten (eller det karakteristiske polynomium)
: Karakterligningen
Proceduren til bestemmelse af egenværdier og egenvektorer for en given kvadratisk matrix er nu
i al sin enkelthed følgende:
1) Opskriv og løs karakterligningen (egenværdierne er nu bestemt)
2) Løs ligningssystemet
for hver enkelt værdi af for at finde de tilhørende
egenvektorer
Følgende kan benyttes til kontrol af beregningerne:
1) Summen af egenværdierne skal være det samme som summen af diagonalelementerne i den
oprindelige matrix (kaldet sporet af ,
)
2) Ved løsningen af ligningssystemet (under udførelse af Gauss-Jordan eliminationen) skal der
undervejs opstå mindst én nulrække (det svarer jo netop til
)
Algebraisk multiplicitet: Det antal gange en egenværdi, , er rod i det karakteristiske polynomium.
Betegnes med
Geometrisk multiplicitet: Det antal lineært uafhængige egenvektorer, der hører til en given
egenværdi. Betegnes med
Der gælder altid:
.
Endelig kan bemærkes: Egenvektorer, der hører til forskellige egenværdier, er lineært uafhængige!
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 7
Diagonalisering af kvadratisk matrix: Givet en (kvadratisk) matrix af type
lineært uafhængige egenvektorer
hørende til egenværdierne
diagonaliseres som følger:
. Hvis har
kan den
hvor søjlerne i udgøres af de egenvektorer,
, og er en diagonalmatrix
indeholdende de egenværdier i samme rækkefølge som de tilhørende egenvektorer, dvs.
De enkelte egenværdier kan godt have algebraiske mulitipliciter på
mere end én (være dobbelt-, trippel- osv. rod i det karakteristiske polynomium), men der skal altså
gælde
for samtlige egenværdier, for at matricen er diagonalisérbar, dvs. - igen matricen skal have lineært uafhængige egenvektorer.
Homogent system af
lineære differentialligninger med konstante koefficienter:
Eller skrevet kort på matrix-vektor form:
Hvor
og
kaldes D.L.-systemets systemmatrix:
Problem: Ligningerne er koblede, idet de søgte funktioner påvirker hinandens væksthastighed
indbyrdes. De kan derfor ikke løses på samme måde som en enkelt differentialliging med én ubekendt
funktion, som fx
Ved snedig anvendelse af diagonalisering af
systemmatricen, kan man imidlertid dekoble differentialligningerne og udlede følgende formel for den
fuldstændige løsning til D.L.-systemet:
e
hvor
egenvektorer.
e
e
er egenværdierne for
og
de tilhørende lineært uafhængige
Løsningsproceduren er nu ganske enkelt som følger:
1) Opskriv systemmatricen og beregn samtlige af dens egenværdier og egenvektorer (jf. semesteruge 6)
2) Vælg egenværdier og tilhørende egenvektorer og sæt ind i formlen
Betinget løsning: Med givne begyndelsesbetingelser,
fås ved indsættelse i den fuldstændige
løsning algebraiske ligninger til bestemmelse af
Når de fundne værdier indsættes i den
fuldstændige løsning, har man derefter den såkaldt betingede løsning og kan plotte løsningskurver for
de enkelte funktioner
.
Diagonalisering og potensopløftning af matrix: Hvis en kvadratisk matrix skal opløftes til en potens
(højere end 2), kan man ofte udnytte diagonalisering (hvis denne er mulig) til at lette arbejdet
betydeligt. Vi har
Det vil sige, hvis vi opløfter i det naturlige tal , kan vi
skrive:
idet de
matrixprodukter
jo netop giver enhedsmatricen, som er neutralt element mht.
(matrix)multiplikation. Pointen er nu, at en diagonalmatrix er meget nem at opløfte til en potens, da
man blot skal opløfte hver enkelt diagonalelement for sig. Når det er gjort, ganger man resultatet med
fra venstre,
fra højre og matricen
er hermed fundet! Metoden kræver naturligvis beregning af
, men hvis potensen er højere end 2, vil det meget hurtigt blive en fordel at benytte denne metode
frem for at beregne
.
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 8
Komplekse egenværdier for systemmatrix
Givet et homogent system af
hvor
og
lineære differentialligninger med reelle, konstante koefficienter:
(reel matrix af type
) kaldes systemmatricen.
I semesteruge 7 udledte vi følgende formel for den fuldstændige løsning til et sådant D.L.-system:
e
hvor
er
e
e
lineært uafhængige egenvektorer for
. (NB! Egenvektorer lineært uafhængige
hørende til de
egenværdier
for samtlige egenværdier.)
Løsningsformlen forudsætter intet om, at egenværdierne og egenvektorerne er reelle. Som bekendt kan
en reel matrix sagtens have imaginære egenværdier (rødderne i det 'te grads polynomium med reelle
koefficienter, der findes i form af reduktionsdeterminanten). Disse vil - lige så vel som de tilhørende
egenvektorer - optræde i par af konjugerede, netop fordi systemmatricen er reel, og det karakteristiske
polynomium derfor har reelle koefficienter.
Et givet par af imaginære egenværdier,
, og tilhørende egenvektorer,
, giver
anledning til to lineært uafhængige løsninger, der kan kombineres i et bidrag til den fuldstændige
komplekse løsning vha. formlen ovenfor. For at finde bidraget til den fuldstændige reelle løsning, vi
som regel er interesserede i, er der kun er behov for det ene af de komplekse egenværdi-egenvektor par
(fordi real- og imaginærdelen heraf hver udgør en løsning, og disse er lineært uafhængige). Vælger vi
, ser formlen for bidraget ud som følger:
e
e
hvor
Inhomogene systemer af
lineære differentialligninger med relle, konstante koefficienter:
Vektoren
kaldes højresiden eller inhomogeniteten.
Som for en enkelt differentialligning af første eller anden orden, såvel som for lineære
ligningssystemer, er nøglen til løsning af et inhomgent system af lineære differentialligninger
struktursætningen:
Udtrykt i ord: Den fuldstændige løsning til det
inhomogene system findes ved til én partikulær løsning at addere samtlige løsninger til det tilhørende
homogene system. Løsningen til det tilhørende homogene system ses ovenfor. En partikulær løsning til
det inhomogene system findes ved hjælp af ...
Gættemetoden: Gæt på en
af samme type som inhomogeniteten,
. I dette gæt vil indgå
nogle ukendte koefficienter. Indsæt gættet i D.L.-systemet og beregn deraf værdierne af disse
koefficienter ("gør prøve"). Når dette er gjort, kendes
, og den fuldstændige løsning til det
inhomogene system kan opskrives vha. struktursætningen. I det tilfælde hvor inhomogeniteten er en
konstant vektor, bliver det særligt simpelt at bestemme en partikulær løsning. Ifølge gættemetoden skal
nemlig gættes på en konstant vektor,
indsættelse i D.L.-systemet fås dermed:
lineære ligningssystem med koefficientmatrix
, som differentieret giver nulvektoren. Ved
og højreside
. Opgaven er nu blot at løse det
for at finde værdierne af
.
Superpositionsprincippet: Som for en enkelt lineær differentialligning gælder, at hvis
inhomogeniteten består af flere forskellige led, så kan en partikulær løsning bestemmes ved at finde en
partikulær løsning svarende til hver af disse højresider og til sidst tage summen af disse individuelle
løsninger. Se også opgave 6 i ugens øvelsesopgaver samt kursusnotens sætning 9.9!
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 9
Funktion af to relle variable:
Grafen for en funktion af to reelle variable er en flade i rummet (hvor grafen for en funktion af én reel
variabel er en kurve i planen).
Niveaukurver: Kurver på fladen med konstant funktionsværdi (fx "isobarer", "isotermer" osv.):
Grafen (fladen!) og niveaukurverne tegnes i praksis vha. Maple.
Partielle afledede:
NB! Når man differentierer med hensyn til den ene variabel, betragtes den anden som en
konstant!
Stationære (eller kritiske) punkter: Punkter,
, hvor begge de partielle afledede er nul:
To ligninger med to ubekendte, der ved løsning giver samhørende værdier af
punkter er kandidater til lokale ekstrema (dvs. maksima eller minima).
og
. Disse stationære
Procedure til undersøgelse af lokale ekstrema for funktioner af to reelle variable:
1) Beregn de partielle afledede,
og
2) Løs ligningssystemet
for at bestemme de stationære punkter
(kandidater til ekstrema)
3) Beregn Hesse-matricen,
(NB! Matricen skal blive
symmetrisk, ellers har man regnet galt)
4) Beregn egenværdierne for
i de stationære punkter og konkludér ud fra kursusnotens sætning 7.15
Determinantkriteriet:
Ovenstående procedure gælder generelt for funktioner af reelle variable (Hesse-matricen bliver dog
væsentlig mere kompliceret, når R ). Så længe vi ikke har med mere end 2 variable at gøre, kan
sagen faktisk afgøres direkte ud fra Hesse-matricen uden at beregne dens egenværdier:
Givet et stationært punkt
Hvis
i
Hvis
maksimum i
Hvis
Hvis
:
og diagonalelementerne i
er positive, haves et lokalt minimum
og diagonalelementerne i
er negative, haves et lokalt
haves et saddelpunkt i
kan typen af det stationære punkt ikke afgøres ud fra Hesse-matricen
Grunden til, at man kan afgøre det på den måde, er, at produktet af egenværdierne for en kvadratisk
matrix er lig med determinanten af matricen. Hvis determinanten er positiv, må egenværdierne derfor
have samme fortegn (enten begge positive eller begge negative), og der er derfor (iflg. sætn. 7.15) enten
lokalt minimum eller lokalt maksimum i det stationære punkt,
, man betragter. Hvis der er fx
lokalt minimum, skal det gælde i alle retninger, dvs. både
og
(altså
diagonalelementerne skal have samme fortegn). Derfor kan man nøjes med at betragte fortegnet for
determinanten og (ét af) diagonalelementerne.
NB! Det er ikke tilstrækkeligt, at diagonalelementerne begge er positive eller begge er negative.
Determinanten kan stadig gå hen og blive negativ, og i så fald vil egenværdierne have modsat fortegn,
og der vil (iflg. sætn. 7.15) være et saddelpunkt i det betragtede stationære punkt!
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 10
Et lineært ligningssystem med ubekendte, hvis totalmatrix har rangen
Dvs. ligningsystemet er overbestemt, netop hvis
, kaldes overbestemt.
.
Et sådant ligningssystem har som bekendt ingen løsninger (jf. uge 1+2). Opgaven er derfor at finde det
talsæt, der tilfredsstiller ligningssystemet "bedst muligt". Dette kvantificeres på følgende måde.
Givet et overbestemt ligningssystem:
Eller skrevet kort på matrixform:
For et givet talsæt
.
betegnes residualerne med:
Målet for den samlede "fejl", der begås med det anvendte talsæt, indføres som den såkalte RMS-værdi
(RMS = Root Mean Square):
Altså kvadratroden af gennemsnittet af kvadraterne på residualerne.
For et ligningssystem med ubekendte, vil RMS-værdien være en funktion af de reelle variable, som
udgør de ubekendte. Man kan vise, at minimum for denne funktion (jf. uge 9) netop findes som
løsningen til det såkaldt normaliserede ligningssystem:
Løsningen til det normaliserede ligningssystem er således det talsæt (
), der giver den
"bedst mulige" løsning til det overbestemte ligningssystem. Når denne løsning er fundet, kan de
tilhørende residualer og heraf RMS-værdien bestemmes, hvor sidstnævnte er et mål for den mindst
mulige "fejl", der kan opnås.
Repetition Q vigtige begreber fra semesteruge 11
I praktiske anvendelser af inhomogene systemer af lineære differentialligninger (jf. uge 8) opererer
man ofte med et såkaldt lineært system:
hvor vektoren
indeholder de tilstandsvariable (ukendte funktioner i D.L.-systemet).
Der er her indført følgende størrelser:
: Den ydre påvirkning
: Hvordan
direkte påvirker udviklingen af de enkelte tilstandsvariable,
: Svaret
giver os det ønskede svar (
) som en linearkombination af de tilstandsvariable
Asymptotisk stabilitet: Hvis samtlige egenværdier for systemmatricen, , har negativ realdel, siges
systemet at være asymptotisk stabilt. Når det er tilfældet, vil der være negative koefficienter i
eksponenten til eksponentialfunktionerne i løsningen til det tilhørende homogene system (jf. uge 7+8),
hvorfor denne del af den fuldstændige løsning "dør ud" med tiden (man kalder den for transient), og der
kun bliver den partikulære løsning tilbage, som man da kalder den stationære løsning,
.
I mange ingeniørmæssige anvendelser vil den ydre påvirkning være periodisk (lyd- og vandbølger,
påtrykt vekselspænding mv.). Det giver derfor særlig mening at betragte lineære systemer, hvor den
ydre påvirkning kan beskrives vha. cosinus- og sinusfunktioner. Teorien beskrives da som så ofte (jf.
MAM) lettest ved at anvende den komplekse eksponentialfunktion: e
. Idet vi
betegner amplituden og frekvensen af den ydre periodiske påvirkning med hhv. , kommer det
generelle lineære system med en ydre periodisk påvirkning dermed til at se ud som følger:
e
Det forudsættes, at systemet er asymptotisk stabilt, da det ikke giver mening i praksis, at de fysiske
størrelser vokser ud over alle grænser. Det mest interessante er derfor det stationære svar,
. Ved et passende gæt på den partikulære (stationære) løsning, kan man udlede:
e
Et forholdsvis kompliceret udtryk, men ofte er man kun interesseret i, hvordan det lineære system
forstærker/dæmper amplituden af den ydre påvirkning, samt hvordan svaret er (fase)forskudt
tidsmæssigt i forhold til den ydre påvirkning. Dette kan beskrives ved hjælp af overføringsfunktionen:
Bemærk, hvordan overføringsfunktionen er fastlagt udelukkende ud fra størrelserne i det lineære
system og er helt uafhængig af, hvordan den ydre påvirkning ser ud! Med indførelse af
kan det
stationære svar nu skrives:
e
Modulus og argument af
funktioner:
spiller en væsentlig rolle og indføres derfor som selvstændige
Amplitudekarakteristikken:
Fasekarakteristikken:
Med anvendelse af disse betegnelser kan
skrives på polær form som
ved indsættelse i ydtrykket for det stationære svar fås dermed:
e
e
e
og
e
Amplitudekarakteristikken viser altså netop, hvor meget amplituden af den ydre påvirkning
forstærkes/dæmpes, og fasekarakteristikken beskriver netop faseforskydningen af svaret i forhold til
den ydre påvirkning.
I praktiske anvendelser vil den ydre påvirkning selvfølgelig være givet ved reelle (cosinus og sinus)
funktioner. Ovenstående beskrivelse er som nævnt blot udført med den komplekse eksponentialfunktion
for nemheds skyld. Når den ydre påvirkning er beskrevet ved cosinus eller sinus, ser formlerne for det
stationære svar ud som følger:
Opgaven i forbindelse med et forelagt lineært system er som udgangspunkt først at beregne
,
derefter
og/eller
for til sidst at finde det, man er interesseret i ved en given ydre
påvirkning. Ofte er man dog kun interesseret i at undersøge, om ens lineære system er asymptotisk
stabilt, hvilket som nævnt ovenfor kan klares ved at beregne egenværdierne for systemmatricen.