Jean-Marie De Koninck
Norbert Lacroix
M a t h é m a t i q u e s
a p p l i q u é e s
aux domaines du génie
LD
Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada
Titre: Les mathématiques appliquées aux domaines du génie / Jean-Marie de Koninck,
Norbert Lacroix.
Noms: De Koninck, Jean-Marie, 1948- auteur. | Lacroix, Norbert, 1940- auteur.
Description: Comprend un index.
Identifiants: Canadiana 20190018844 | ISBN 9782924601112 (couverture souple)
Vedettes-matière: RVM: Mathématiques de l'ingénieur—Manuels d'enseignement
supérieur. | RVMGF: Manuels d'enseignement supérieur.
Classification: LCC TA330 D42 2019 | CDD 510.2/462—dc23
Copyright © 2019 Loze-Dion éditeur inc.
Téléphone : (450) 679-1955
Courriel :
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sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir une autorisation écrite de l’éditeur.
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l’édition de livres - Gestion SODEC.
Financé par le
gouvernement du
Canada
Imprimé au Canada
Funded by the
Governement
of Canada
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Préface
Ce livre est destiné aux étudiantes et étudiants de première année universitaire en génie. Il est
l’aboutissement de plusieurs écrits (notes de cours et ensuite volumes édités deux fois) mis à l’épreuve
et peaufinés au cours des deux dernières décennies dans l’objectif bien précis de répondre adéquatement aux besoins de tous ceux et celles qui ont choisi de faire carrière dans l’un ou l’autre des
nombreux domaines du génie.
Caractéristiques
Ce livre veut éviter d’être trop formel, surtout pour faciliter le passage des étudiantes et étudiants
du niveau collégial au niveau universitaire. À l’occasion, le manuel s’adresse directement aux lecteurs
et aux lectrices, et cela afin de les amener à développer une autonomie qui leur servira plus tard sur
le marché du travail.
Par ailleurs, les exemples et les exercices véhiculent en toile de fond tant les concepts que le développement graduel de la rigueur.
Contenu
Notre ouvrage a été conçu pour une première année universitaire en sciences physiques ou en génie.
Pour cette raison, elle couvre cinq sujets : 1) le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables,
2) les intégrales multiples, 3) l’analyse vectorielle et les intégrales curvilignes, 4) l’introduction aux
nombres complexes et 5) les équations différentielles. L’ordre séquentiel de ces cinq blocs pourra
varier selon le contexte propre à chaque établissement universitaire.
Ce manuel est constitué de trois chapitres : les nombres complexes, les équations différentielles et
le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. Ces trois thèmes peuvent facilement être
couverts dans un premier cours de mathématiques de l’ingénieur. Les deux premiers sujets permettent
aux étudiantes et étudiants qui suivent en même temps les autres cours du cursus de génie ou de
physique de se familiariser assez rapidement avec les nombres complexes, la fonction exponentielle
complexe et les équations différentielles.
Outre le contenu de ces trois chapitres, le manuel s’étoffe des éléments suivants :
— Des exercices à la fin de chaque chapitre ;
— Un aide-mémoire en appendice qui centralise nombre de formules et de notions de base et
qui sera certainement très apprécié des étudiants et étudiantes dont le premier domaine de
spécialisation n’est pas les mathématiques ;
— Un index alphabétique assez détaillé.
Quelques remarques d’ordre pédagogique
En associant à une certaine rigueur du texte la souplesse appropriée en classe, on pourra manœuvrer
plus aisément dans un cadre de temps limité. Ainsi, on pourra se borner à une vue synoptique des
principes généraux des équations différentielles linéaires du deuxième ordre (chapitre 2, section 2.3) ;
iv
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
il en est de même pour la chute des corps et les circuits électriques (chapitre 2, sections La chute
des corps et Circuits électriques) ou pour tout autre sujet jugé pertinent.
Un exemple particulier d’adaptation pédagogique touche la définition des nombres complexes (dès
les premières pages du chapitre 1). C’est ainsi que nous dotons R2 d’une multiplication particulière
et nous arrivons à i = (0, 1) et i2 = (−1, 0) = −1, ce qui est relativement formel. Nous√suggérons
la possibilité qu’une approche “historique” soit présentée en parallèle, où le nombre i = −1 (avec
i2 = −1) a été reconnu au seizième siècle comme solution de l’équation x2 + 1 = 0, soit un nouvel
objet mathématique en soi. Comme exemple additionnel, l’équation x2 − 4x + 13 = 0, avec ses
solutions x = 2 ± 3i, permettrait d’en arriver à a + bi, au couple (a, b), et enfin à notre multiplication
spéciale.
Les applications
Les exemples, certaines sections du texte, ainsi que les exercices, se rattachent assez souvent à
des contextes très concrets. Ils permettent ainsi d’illustrer la symbiose entre les mathématiques et
diverses disciplines. Ces applications sont délibérément d’allégeances variées, non seulement en génie
et en sciences physiques, mais aussi en chimie, en thermodynamique, en biologie et autres sciences
connexes.
De plus, un effort est généralement consenti envers la signification et l’utilisation pratiques des
mathématiques.
Les exercices
Nous avons choisi d’inclure un grand nombre d’exercices, ce qui permettra de mieux pratiquer et
de mieux assimiler les notions présentées. Par ailleurs, ajoutons que plusieurs exercices sont offerts
dans un contexte d’application, dans un style direct ou exigeant une interprétation, ou encore dans
un souci de pédagogie ou de formation.
Enfin, les réponses aux exercices contiennent fréquemment des observations, des précisions, ou encore
une esquisse de la démarche, surtout lorsque nous jugeons qu’il peut y avoir un gain pédagogique.
Quelques précisions sur la notation
Les exemples sont délimités par une droite verticale à la marge.
Les exercices considérés comme étant plus difficiles portent le symbole ∗ avant leur numéro.
Le logarithme rencontré dans ce livre est toujours le logarithme naturel, que certains notent
indifféremment Log ou ln. Nous avons opté pour la forme “ln” dans un esprit d’uniformité.
Un intervalle fermé à gauche et à droite s’écrit sous la forme [a, b]. On désigne un intervalle ouvert à
gauche et à droite par ]a, b[ ou (a, b) s’il n’y a pas d’ambigüité. Les cas “mixtes” sont ]a, b] ou (a, b]
pour ouvert à gauche, fermé à droite, et [a, b[ ou [a, b) pour fermé à gauche, ouvert à droite.
Remerciements
Au long de ses années d’édification, ce livre a bénéficié du soutien du Département de mathématiques
et de statistique de l’Université Laval, lequel fait partie de la Faculté des sciences et de génie.
Nous tenons à remercier les professeurs Jean-Jacques Gervais et Roger Pierre pour leur précieuse collaboration dans la rédaction des sections La chute des corps, Circuits électriques et Les
v
oscillations linéaires du chapitre 2, ainsi que des exercices s’y rattachant. Nous sommes également
redevables aux professeurs Line Baribeau et Jérémie Rostand pour leurs précieux conseils qui ont
mené à la refonte et la réalisation du présent volume.
Nous adressons des remerciements très spéciaux à Vincent Ouellet qui a réorganisé la présentation
des différents thèmes couverts dans le livre et qui a effectué une révision minutieuse de l’ensemble
du volume.
Enfin, nous sommes reconnaissants à Monsieur Patrick Loze et à Madame Connie Charles-Jacques,
de Loze-Dion éditeur inc., pour leur accueil, leurs conseils et leur souci de publier des ouvrages au
service des étudiants, et à des coûts très abordables.
Jean-Marie De Koninck,
Norbert Lacroix,
Août 2019
À ma mère, Zoé, qui m’a montré la voie.
Jean-Marie De Koninck
À mon épouse, Ghislaine.
Norbert Lacroix
Table des matières
1 LES NOMBRES COMPLEXES
1.1
Représentation analytique et géométrique . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
La solution de toute équation de la forme az 2 + bz + c = 0 . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Le plan de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Les opérations élémentaires dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4
Les nombres conjugués complexes et le module d’un nombre
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.5
Le quotient de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.6
L’interprétation géométrique de l’addition de deux nombres
complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.7
La forme polaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.8
La multiplication et la division de nombres complexes en
représentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.9
Lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.10 Le calcul de z
1.2
1.3
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.11 La résolution de l’équation z n = w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
La fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.1
La fonction e , où θ est réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.2
La définition de ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.3
Les formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.4
Les formules de de Moivre : expressions pour cos(nθ) et sin(nθ) . . . . . . .
26
1.2.5
Le problème inverse : expressions transformées en une somme de termes de
la forme cos(mθ) et sin(nθ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2.6
Applications aux circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
n
iθ
1.3.1
Les principales définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3.2
Le théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3.3
Les racines d’un polynôme réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.4
2 LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
2.1
2.2
2.3
47
Équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.1.1
L’origine des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.1.2
Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.1.3
Les équations différentielles à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.1.4
Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.5
La croissance d’une population : le modèle simple . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1.6
La croissance d’une population : le modèle plus réaliste
. . . . . . . . . . .
53
2.1.7
La désintégration radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.1.8
La chute des corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.1.9
Problèmes de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.1.10 Équation différentielle d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.1.11 Trajectoires orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.1.12 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.1.13 Les équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . .
78
2.1.14 Circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Équations différentielles du deuxième ordre se ramenant à des
équations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.2.1
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (x, y ) = 0 . . . . . . . . .
91
2.2.2
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (x, y 0 , y 00 ) = 0 . . . . . . .
92
2.2.3
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (y, y 0 , y 00 ) = 0 . . . . . . .
93
Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre :
principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.3.1
Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.3.2
Indépendance linéaire et Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
00
2.4
2.5
2.3.3
La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du deuxième
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3.4
La solution générale d’une équation différentielle linéaire non
homogène du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.3.5
Problèmes avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.3.6
Problèmes avec conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.7
Obtention d’une deuxième solution d’une équation différentielle
linéaire homogène du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.8
La méthode de Lagrange : cas non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre à
coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4.1
Le cas de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4.2
La méthode des coefficients indéterminés (équation non homogène) . . . . . 110
2.4.3
Exemples d’équations différentielles linéaires du deuxième ordre . . . . . . . 112
2.4.4
Les oscillations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Les équations différentielles linéaires d’ordre n . . . . . . . . . . . 128
2.5.1
Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.2
Le cas d’une équation différentielle homogène à coefficients constants . . . . 130
2.5.3
Le cas d’une équation différentielle non homogène à coefficients
constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.6
Les équations différentielles linéaires de type Euler-Cauchy . . 134
2.7
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3 LE CALCUL DIFFÉRENTIEL DES FONCTIONS DE
PLUSIEURS VARIABLES
179
3.1
3.2
Représentation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.1.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.1.2
Représentation géométrique d’une fonction de deux variables . . . . . . . . 182
3.1.3
Courbes et surfaces de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Dérivées partielles et différentielle totale . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2.1
Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2.2
Le plan tangent à une surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) . . . . 191
3.2.3
Différentielle totale et calculs d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.3
Dérivées des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4
Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.5
Dérivée directionnelle, gradient et plan tangent . . . . . . . . . . . 207
3.6
3.7
3.5.1
Dérivée directionnelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.5.2
Le gradient d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.5.3
Les fonctions de trois variables et le plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . 216
Le théorème de Taylor et le calcul approché . . . . . . . . . . . . . 218
3.6.1
Le théorème de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.6.2
Le calcul approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Extremums libres et extremums liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.7.1
Extremums libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.7.2
La droite des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.7.3
La recherche d’extremums sur un domaine fermé . . . . . . . . . . . . . . . 230
3.7.4
Extremums liés et la méthode des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . 232
3.8
Les fonctions implicites et leurs dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3.9
Les équations différentielles exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.9.1
L’équation différentielle d’une famille f (x, y) = c . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.9.2
Équations différentielles exactes et méthode de résolution . . . . . . . . . . 244
3.9.3
Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.9.4
Différentielle exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.10 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
APPENDICE A : Aide-mémoire
299
Réponses aux exercices
318
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
Index
399
1
1.1
Les nombres complexes
Représentation analytique et géométrique
Un jour, lorsqu’on vous a demandé de trouver le nombre x tel que
(1)
x + 4 = 7,
vous avez identifié sans hésiter le nombre x = 3. Voilà qui était bien facile, puisque, finalement,
tous les nombres apparaissant dans (1) étaient des entiers positifs. On désignera d’ailleurs par N
l’ensemble des entiers positifs. Vous avez certes remarqué qu’on peut additionner ou multiplier
des éléments de N tout en restant dans N.
Plus tard, devant l’équation
(2)
x + 7 = 5,
les choses se sont compliquées un tout petit peu. En effet, il vous a fallu considérer la notion plus
abstraite de nombres négatifs pour résoudre l’équation (2). Tout de même, vous avez réussi à trouver
que x = −2 était la solution de (2).
On désignera par Z l’ensemble des entiers (positifs, négatifs et 0). Vous savez, bien sûr, qu’on
peut facilement additionner, soustraire ou multiplier des éléments de Z tout en restant dans Z.
Par la suite, on vous a demandé de trouver la valeur de x satisfaisant l’équation
(3)
5x − 3 = 0.
C’est évidemment une équation qui n’a pas de solution dans l’univers des nombres entiers, c’est-àdire dans Z. Tout de même, puisque vous connaissez les fractions, vous êtes en mesure d’affirmer
3
que l’équation (3) a comme solution le nombre rationnel x = = 0, 6.
5
On désignera par Q l’ensemble des nombres rationnels. On a tous l’habitude d’effectuer des
opérations sur les nombres rationnels : on les additionne, on les soustrait, on les multiplie et on les
divise (sauf par 0), le résultat du calcul étant toujours, lui aussi, un nombre rationnel.
Si l’on vous demande de résoudre l’équation
(4)
x2 + 10x + 22 = 0,
et que vous cherchez une solution dans l’ensemble Q, vous n’en trouverez pas 1 . Il est alors nécessaire
1. Tout d’abord, l’équation (4) n’a pas de solution dans Z, car si l’on disait qu’un entier a en est la solution, on
aurait a2 + 10a + 22 = 0, d’où a(a + 10) + 22 = 0. Cela signifierait que a divise 22 et serait donc l’un des entiers
0, ±1, ±2, ±11, ±22. Or, aucun de ces entiers ne satisfait l’équation (4) (selon une vérification directe).
En second lieu, si un nombre rationnel a/b était une solution de (4), où a/b n’est pas un entier, donc avec a et b
entiers et b 6= 1, et où la fraction est réduite (c’est-à-dire que a et b n’ont aucun facteur premier en commun), alors,
2
par substitution dans (4), on aurait ab2 + 10 ab + 22 = 0, c’est-à-dire a2 + 10ab + 22b2 = 0. Comme b divise 10ab et
22b2 , il doit donc aussi diviser a2 , ce qui contredit le fait que a et b n’ont pas de facteur premier en commun.
2
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d’« élargir » votre univers ! C’est alors qu’en vous familiarisant avec un univers un peu plus grand,
soit l’ensemble R des nombres réels, vous trouverez
que
√ l’équation (4) possède une solution, et
√
même deux. En effet, les deux nombres −5 + 3 et −5 − 3 sont des solutions de (4) : ce sont des
nombres irrationnels (ils ne peuvent pas s’écrire comme des rationnels a/b où a et b sont des entiers).
Il est heureux de constater qu’on peut encore additionner, soustraire, multiplier et diviser des
nombres réels et que le résultat de chaque opération donne toujours un nombre réel. Jusqu’ici,
pour être en mesure de résoudre des équations de plus en plus compliquées, on a considéré des
ensembles de plus en plus grands, soit
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Il est facile de voir que l’équation
(5)
x2 + 1 = 0
n’a pas de solution réelle. En effet, pour n’importe quel nombre réel x, on a x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1. Cela
veut dire que le membre de gauche de (5) ne peut jamais égaler 0. C’est pourquoi l’équation (5) n’a
pas de solution dans R.
Afin de pouvoir résoudre l’équation (5) ainsi que d’autres équations du même type, il est nécessaire
d’agrandir notre univers de nombres. Pour ce faire, considérons le plan cartésien R2 et représentons
notre univers connu R des nombres réels par les points situés sur l’axe des x (figure 1.1).
Figure 1.1
L’ensemble R2 est un ensemble beaucoup plus grand que celui de R, chacun de ses éléments z étant
un point z = (x, y) du plan cartésien. C’est donc dire en particulier que le nombre réel r est identifié
au point (r, 0) situé sur l’axe des x, qu’on appellera donc dorénavant l’axe réel.
Peut-on additionner, soustraire, multiplier et diviser des éléments de R2 , tout comme on avait l’habitude de le faire dans R ? Si oui, comment définit-on l’addition et la multiplication de deux éléments,
z1 = (a, b) et z2 = (c, d), de R2 ? En fait, on pose tout simplement
(6)
z1 + z2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
et
(7)
z1 · z2 = (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Curieuse cette deuxième définition ! En fait, elle a un sens. On y reviendra d’ailleurs à la section 1.1.3.
Auparavant, demandons-nous si ces définitions d’addition et de multiplication sont toujours valables
lorsqu’on se restreint aux nombres réels. La réponse est oui. En effet, si r et s sont deux nombres
1 Les nombres complexes
3
réels qui dans R2 s’écrivent respectivement (r, 0) et (s, 0), on a
(r, 0) + (s, 0) = (r + s, 0)
et
(r, 0) · (s, 0) = (rs − 0, r · 0 + 0 · s) = (rs, 0),
ce qui est bien rassurant !
L’ensemble des points (x, y) ∈ R2 muni des opérations définies en (6) et (7) est appelé l’ensemble
des nombres complexes. On le désigne par C.
Il est coutumier de désigner le nombre complexe (0, 1) par la lettre i et de l’appeler unité imaginaire. Pourquoi ce traitement spécial ? Parce que selon (7), on a
(8)
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0) = −1,
car le nombre complexe
(−1, 0) est tout simplement le nombre réel −1. C’est pourquoi d’ailleurs on
√
écrit souvent i = −1. Il s’agit cependant d’un abus de notation, car la fonction racine carrée
n’est définie que pour les nombres réels positifs.
L’équation (8) peut cependant s’écrire sous la forme
i2 + 1 = 0.
Cela veut donc dire qu’on a trouvé une solution à l’équation x2 + 1 = 0, soit x = i. Pour ce faire,
on a dû agrandir notre univers de nombres ! En effet, R n’étant pas suffisamment grand, il a fallu
créer C.
1.1.1
La solution de toute équation de la forme az 2 + bz + c = 0
Bravo ! On a finalement trouvé une solution à l’équation x2 + 1 = 0. On a, en fait, des outils pour
résoudre n’importe quelle équation du deuxième degré à une inconnue. Considérons, par exemple,
l’équation
(9)
z 2 + 10 = 0.
On cherche un nombre complexe z tel que z 2 = −10. Puisque i2 = −1, il suffit d’écrire
z 2 = 10i2 ,
√
√
de sorte que z = ± 10i sont les solutions de (9). De plus, on peut facilement vérifier que z = 10 · i
est une solution de (9), car
√
√
z 2 + 10 = ( 10 · i)2 + 10 = ( 10)2 · i2 + 10 = 10 · (−1) + 10 = −10 + 10 = 0.
√
Où est √
donc situé ce point z = 10 · i dans le plan complexe C ? Il est tout simplement le point
z = (0, 10).
En suivant le même raisonnement, il est clair que si a est un nombre réel positif, les solutions de
z2 + a = 0
√
sont tout simplement z = ± a · i.
4
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Fort de ces outils, on peut résoudre n’importe quelle équation quadratique, soit n’importe quelle
équation de la forme
(10)
az 2 + bz + c = 0,
où a 6= 0, b et c sont des coefficients réels. En effet, cette équation a habituellement deux solutions
obtenues par la formule quadratique, soit
√
−b + b2 − 4ac
,
z1 =
√2a
−b − b2 − 4ac
z2 =
.
2a
Toutefois, si la quantité b2 − 4ac est négative, celui qui ne connaît que l’ensemble des nombres réels
dira que l’équation (10) n’a pas de solution. En fait, il veut dire qu’elle
n’a pas de solution réelle.
√
Or, maintenant qu’on connaît les nombres complexes, la quantité b2 − 4ac (avec b2 − 4ac < 0) ne
nous effraie plus. En effet, puisque
b2 − 4ac = − 4ac − b2 = i2 4ac − b2
nous avons
p
p
b2 − 4ac = ±i 4ac − b2
b2 − 4ac < 0 .
C’est pourquoi, si b2 − 4ac < 0, l’équation (10) possède deux solutions dans C, soit
√
√
b
4ac − b2
4ac − b2
b
(11)
z1 = − +
i
et
z2 = − −
i.
2a
2a
2a
2a
On reviendra à l’équation quadratique avec des coefficients réels ou complexes vers la fin de la
section 1.1.11.
1.1.2
Le plan de Gauss
On est maintenant bien familier avec deux types de nombres complexes :
— les nombres réels, soit ceux de la forme (x, 0) = x, situés sur l’axe réel (ou droite réelle)
dans le plan C ;
— les nombres dits imaginaires purs, soit ceux de la forme (0, y) = y · i, situés sur l’axe des y
dans le plan C. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’au lieu de parler de l’axe des y, on parlera
dorénavant de l’axe imaginaire (ou droite imaginaire).
Or, il y a aussi tous les autres nombres complexes z = (x, y) ∈ C qui ne sont situés ni sur l’axe réel
ni sur l’axe imaginaire ; c’était le cas des solutions z1 et z2 de az 2 + bz + c = 0 données en (11). Un
tel nombre z = (x, y) peut s’écrire
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + y · i.
Remarque Les notations x + iy et x + yi sont équivalentes.
On vient donc de voir que tout nombre complexe peut s’écrire comme la somme d’un nombre réel et
d’un nombre imaginaire pur. C’est pourquoi, étant donné un nombre complexe z = x + yi, on dira
que x est sa partie réelle et que y est sa partie imaginaire. On écrira
x = Re(z)
et
y = Im(z).
1 Les nombres complexes
5
Ainsi, l’ensemble C peut être défini comme C = {x + iy : x, y ∈ R}, où i2 = −1.
Il est important de signaler qu’un nombre complexe z est uniquement déterminé par ses parties réelle
et imaginaire, c’est-à-dire qu’il y a unicité de la représentation.
En d’autres mots, si z = x + iy = u + iv (avec x, y, u, v ∈ R), alors nous avons forcément u = x et
v = y. En effet, il est clair que si x + iy = u + iv, alors
iv − iy
= x − u,
i(v − y)
= x − u.
x−u
est un nombre réel, ce qui n’a pas de sens puisqu’on a vu que
v−y
i = (0, 1) était un nombre purement imaginaire. C’est pourquoi v = y et donc x − u = i(v − y) =
i · 0 = 0, d’où x = u.
Or, si v 6= y, on a donc que i =
Le plan xOy, où chaque nombre complexe est localisé, est souvent appelé le plan de Gauss (ou
plan complexe ou parfois diagramme d’Argand).
Nous disons qu’un nombre complexe z est sous forme cartésienne s’il est écrit sous la forme
z = x + iy (ou encore z = x + yi) où x et y sont des nombres réels.
Exemple 1. Soit z = 2 + 3i et w = 4 − 5i. On a
1. Re(z) + Re(w) = 2 + 4 = 6,
2. Re(z) + Im(z) = 2 + (−5) = −3.
1.1.3
Les opérations élémentaires dans C
On peut encore se féliciter parce que, étant donné notre façon de définir les opérations d’addition
et de multiplication dans l’ensemble des nombres complexes (soit par les relations (6) et (7)), C
hérite des règles qu’on utilise de manière routinière lorsqu’on effectue des opérations d’addition et
de multiplication dans R. En effet, les règles de commutativité (c’est-à-dire a+b = b+a et a·b = b·a),
d’associativité (c’est-à-dire (a + b) + c = a + (b + c) et (a · b) · c = a · (b · c)) et de distributivité
(c’est-à-dire a · (b + c) = a · b + a · c) sont toujours valables dans C : on vérifie cela facilement en
utilisant les définitions (6) et (7).
Que l’on écrive un nombre complexe z sous la forme (x, y) ou sous la forme x + iy, c’est pareil !
C’est ainsi qu’on peut effectuer les opérations d’addition et de multiplication sur deux nombres
complexes z1 = (a, b) = a + bi et z2 = (c, d) = c + di, soit en utilisant les définitions (6) et (7), soit
en additionnant et en multipliant algébriquement les quantités a + bi et c + di tout comme on a
l’habitude de le faire avec des nombres réels, mais cette fois en gardant à l’esprit que i2 = −1.
Ainsi, dans le cas de l’addition dans C, cela revient seulement à additionner les parties réelles et à
additionner les termes purement imaginaires.
La soustraction de deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di ne pose pas de difficulté, parce
qu’on a
z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
6
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
La soustraction se comporte donc de la même manière que l’addition.
Exemple 2. On a
1. 2 + i + 5i = 2 + (i + 5i) = 2 + 6i,
2. 2 + i + 4 − 3i = (2 + 4) + (i − 3i) = 6 − 2i.
Le prochain exemple montre comment se comportent les parties réelle et imaginaire lors de l’addition
et de la soustraction.
Exemple 3. Soit z = 3 − 4i et w = 5 + 7i. Que vaut
Re (z + w) + Im (z − w)?
Il est possible de répondre à cette question de plusieurs manières différentes. En voici deux :
1. Nous pouvons tout d’abord évaluer z + w et z − w. Nous avons
z + w = 3 − 4i + 5 + 7i = 8 − 3i
et
z − w = 3 − 4i − (5 + 7i) = 3 − 5 − 4i − 7i = −2 − 11i.
Ainsi,
Re (z + w) + Im (z − w) = 8 − 11 = −3.
2. Nous avons Re(z) = 3. Re(w) = 5, de sorte que
Re (z + w) = Re(z) + Re(w) = 3 + 5 = 8.
Nous avons aussi Im(z) = −4 et Im(w) = 7, de sorte que
Im (z − w) = Im(z) − Im(w) = −4 − 7 = −11.
Ainsi,
Re (z + w) + Im (z − w) = 8 − 11 = −3.
Pour ce qui en est de la multiplication, il était finalement tout à fait naturel (et pas si curieux,
comme on l’a d’abord prétendu !) de définir le produit de deux nombres complexes par la relation
(7). En effet, si on pose z1 = (a, b) = a + bi et z2 = (c, d) = c + di, alors
z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i = (ac − bd, ad + bc),
ce qui est bien conforme à la définition (7).
Notez qu’il n’est nullement nécessaire de retenir cette formule. Il s’agit seulement du produit habituel
où nous utilisons la règle i2 = −1.
Exemple 4. Soit z = 2 + 5i et w = 3 − 2i. On a
1. iz = i (2 + 5i) = 2i + 5i2 = 2i − 5 = −5 + 2i,
1 Les nombres complexes
7
2. z − iw = (2 + 5i) − i (3 − 2i) = (2 + 5i) − 3i + 2i2 = (2 + 5i) − 3i − 2
= (2 − 2) + i (5 − 3) = 2i,
3. Im (iz) + iRe (z − w) = 2 + i (−1) = 2 − i, car iz = i (2 + 5i) = 2i + 5i2 = −5 + 2i et
z − w = (2 + 5i) − (3 − 2i) = (2 − 3) + i (5 + 2) = −1 + 7i.
Quant à la division de deux nombres complexes z1 = a + bi et z2 = c + di 6= 0, nous allons y revenir
à la section 1.1.5. Auparavant, introduisons la notion de conjugué complexe.
1.1.4
Les nombres conjugués complexes et le module d’un nombre
complexe
Si l’on « réfléchit » le nombre z = x + iy à travers l’axe réel (effet de miroir), on obtient le nombre
x − iy. C’est ce nombre qu’on désigne par z et qu’on appelle le conjugué complexe de z (voir la
figure 1.2).
Exemple 5. On a
1. 1 − i = 1 + i,
2. πi = −πi,
√
√
3. 5 = 5.
Figure 1.2
Des relations
z = x + iy
et z = x − iy,
on déduit facilement que
1
1
(z + z) et y = Im(z) = (z − z).
2
2i
De même, quels que soient les nombres complexes z1 et z2 , il est facile de démontrer que
(12)
(13)
(14)
x = Re(z) =
z1 + z2
= z1 + z2 ,
z1 − z2
= z1 − z2 ,
z1 · z2
= z1 · z2 .
8
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
De même, si z = x + iy, alors
(15)
z · z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 ∈ R
et
z = x + iy = x − iy = x + iy = z.
Enfin,
z=z
si et seulement si z est un nombre réel,
car
x + iy = x − iy ⇐⇒ y = −y ⇐⇒ y = 0 ⇐⇒ z est réel.
Exemple 6. Soit z = 3 + 4i et w = −2 + 6i. On a
1. 2z − w − iw = 2z − w − iw = 2z − w − iw = 2 · 3 + 4i − −2 + 6i − i (−2 + 6i)
= 2 · (3 − 4i) − (−2 − 6i) + 2i − 6i2 = 6 − 8i + 2 + 6i + 2i + 6 = 14,
2. zw = z · w = 3 + 4i −2 + 6i = (3 − 4i) (−2 − 6i) = −6 − 18i + 8i + 24i2
= −6 − 24 − 10i = −30 − 10i,
3. Re (z) = Re (z) = 3.
Étant donné un nombre complexe z = x + iy, on désigne par |z| son module , soit la longueur du
vecteur ~u = (x, y). On a donc, par définition,
p
|z| = x2 + y 2 .
On note que tous les termes de cette expression sont des nombres réels et que l’unité imaginaire i
n’est pas présente.
Exemple 7. On a
√
√
√
1. |1 + i| = 12 + 12 = 1 + 1 = 2,
√
2. |πi| = π 2 = π,
3. |−4| = 4,
q
√
√
2
2
4. i2 + 2πi + 4i = (−1) + (2π + 4) = 1 + 4π 2 + 16π + 16 = 17 + 16π + 4π 2 ,
car i2 + 2πi + 4i = −1 + 2πi + 4i = −1 + (2π + 4) i.
En fait, si z est réel, c’est-à-dire si z = x + i · 0, alors
(
√
x
2
|z| = |x + 0i| = x =
−x
Lorsqu’on parle de |z|, on dit parfois valeur absolue de z.
si x ≥ 0,
si x < 0.
1 Les nombres complexes
9
Remarquons que, selon la définition de |z| et selon (15), on a
√
|z| = zz,
(16)
|z|2 = zz
et
|z| = |z| .
Cette dernière propriété peut s’expliquer par le fait que prendre le conjugué d’un nombre complexe
ne change en rien sa distance par rapport à l’origine, car il ne s’agit que d’une réflexion par rapport
à l’axe des x.
Que se passe-t-il dans le cas de la multiplication de deux nombres complexes ? En fait, nous nous
attendons à ce que le module du produit de deux nombres complexes soit égal au produit des modules,
car c’est ce qui arrive dans le cas de la valeur absolue pour des nombres réels. Heureusement pour
nous, c’est ce qui se produit.
Plus concrètement, pour deux nombres complexes z1 et z2 , on a
|z1 · z2 | = |z1 | |z2 | .
En particulier, cela implique que pour tout entier n ≥ 1,
n
|z n | = |z| .
Puisque le calcul de z n peut parfois être ardu, surtout lorsque n est très grand, cette formule peut
être assez pratique si le module est la seule donnée recherchée.
Exemple 8. Soit z = 1 + i. On a
√
√
1. |2z| = 2 1 + 1 = 2 2,
√
√
2. |2 + iz| = |1 + i| = 1 + 1 = 2, car 2 + iz = 2 + i (1 + i) = 2 + i + i2 = 2 + i − 1 = 1 + i.
Rappelons que le module d’un nombre complexe a une interprétation géométrique toute simple : |z|
correspond à la distance (euclidienne) entre le nombre complexe z et 0, c’est-à-dire l’origine dans
le plan complexe. En particulier, si deux nombres complexes z et w satisfont |z| < |w|, cela signifie
que z est plus près de l’origine que w. Nous allons revenir sur ces interprétations géométriques à
la section 1.1.9. Notons finalement que pour tout nombre complexe non nul z, le nombre complexe
z/ |z| est de module 1.
1.1.5
Le quotient de deux nombres complexes
Commençons d’abord par chercher l’inverse 1/z de z = x + iy 6= 0. En fait, on cherche le nombre
1
complexe w tel que w = , c’est-à-dire tel que wz = 1. Or, il est vrai que
z
zz
= 1,
|z|2
car
zz
(x + iy)(x − iy)
x2 + y 2
=
=
= 1.
|z|2
x2 + y 2
x2 + y 2
10
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
C’est donc dire qu’en choisissant w =
(17)
z
, on a bien wz = 1. Ainsi,
|z|2
1
x − iy
x
y
z
= 2
− 2
i.
= 2 = 2
2
2
z
|z|
x +y
x +y
x + y2
Est-il nécessaire de retenir la formule (17) ? Absolument pas ! En effet, pour écrire
cartésienne, il suffit de multiplier par
a − bi
, car
a − bi
1
sous forme
a + bi
a
b
1
1
a − bi
a − bi
a − bi
= 2
− 2
i.
=
·
=
= 2
a + bi
a + bi a − bi
(a + bi) (a − bi)
a + b2
a + b2
a + b2
Il faut cependant s’assurer que le dénominateur soit sous forme cartésienne.
Exemple 9. On a
1
2 − 5i
2 − 5i
2 − 5i
2 − 5i
2
5
1
=
·
=
= 2
=
=
− i,
1.
2
2 + 5i
2 + 5i 2 − 5i
(2 + 5i) (2 − 5i)
2 +5
29
29 29
2 + 3i
2 + 3i 4 − 7i
(2 + 3i) (4 − 7i)
(8 + 21) + (12 − 14) i
29 − 2i
2.
=
·
=
=
=
2
2
4 + 7i
4 + 7i 4 − 7i
(4 + 7i) (4 − 7i)
4 +7
65
2
29
− i.
=
65 65
Mentionnons qu’il est facile de démontrer que le conjugué complexe du quotient de deux nombres
complexes est égal au quotient des conjugués complexes, soit, en d’autres termes, que
(18)
z1 /z2 = z1 /z2 ,
ce qui englobe le cas particulier 1/z = 1/z. De même, pour ce qui en est du module du quotient de
deux nombres complexes, nous avons
(19)
|z1 |
z1
=
,
z2
|z2 |
de sorte que pour évaluer le module du quotient z1 /z2 , il n’est pas nécessaire d’écrire z1 /z2 sous
forme cartésienne.
Exemple 10. Soit z1 = 1 + i et z2 = 2 + 4i. On a
√
√
√
√
|1 + i|
z1
1+1
2
2
10
1+i
1.
=
=
= √
= √ = √ =
où la dernière égalité est
z2
2 + 4i
|2 + 4i| √ 22 + 42
10
20
2 5
5
obtenue en multipliant par √ ,
5
√
√
2
2
2
z1
|z1 |
|1 + i|
|1 + i|
1+1
2
2.
=
=
=
=
, car z1 + z2 = 1 + i + 2 + 4i =
=
z1 + z2
|z1 + z2 |
3 |1 + i|
3
3
3
1 − i + 2 + 4i = 3 + 3i = 3 (1 + i).
1 Les nombres complexes
1.1.6
11
L’interprétation géométrique de l’addition de deux nombres
complexes
Certes, à un point (x, y) ∈ R2 on peut associer le vecteur ~u = (x, y). C’est pourquoi on peut aussi
considérer un nombre complexe z = (x, y) comme un vecteur dans le plan R2 . Cette idée a déjà
été un peu exploitée dans la définition du module. Ainsi, l’addition de deux nombres complexes
z1 = (x1 , y1 ) et z2 = (x2 , y2 ) revient à additionner les vecteurs ~u = (x1 , y1 ) et ~v = (x2 , y2 ). Le
résultat de l’addition est alors tout simplement le vecteur w
~ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) qui représente
la diagonale du parallélogramme soutenu par les vecteurs ~u et ~v , tel qu’illustré à la figure 1.3. Par
ailleurs, la différence z1 −z2 est représentée par le vecteur qui joint le point z2 au point z1 (figure 1.4).
Figure 1.3
Figure 1.4
Qu’en est-il de l’interprétation géométrique de la multiplication de deux nombres complexes ? On en
discutera à la section 1.1.8.
1.1.7
La forme polaire d’un nombre complexe
On a vu qu’à tout nombre complexe z = x + iy, on peut associer le point (x, y) ∈ R2 . Or, tout point
non nul (x, y) ∈ R2 possède une représentation en coordonnées polaires (r, θ) définie par
x = r cos θ
et y = r sin θ,
p
et θ = arctan(y/x).
de sorte que
(20)
r=
x2 + y 2
12
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
On illustre le tout à la figure 1.5.
Figure 1.5
L’angle θ, noté arg(z) , est appelé un argument de z. (Pour θ = arctan(y/x), voir l’appendice A,
page 311.)
Ainsi,
(21)
z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ).
Ici r est évidemment |z|, le module de z, introduit à la section 1.1.4, puisque r =
p
x2 + y 2 = |z|.
Certes, dans (21), si l’on ajoute un multiple de 2π à θ (où θ est mesuré en radians), cela ne changera
en rien la valeur de z. Mentionnons par ailleurs que si z = 0, alors arg(z) est bien sûr indéterminé.
Géométriquement, r = |z| représente la longueur du vecteur ~u = (x, y) associé au nombre complexe
x + iy. En d’autres mots, r est la distance entre le point z = (x, y) et l’origine.
Il découle de (20) que
(22)
Re(z)
≤
Im(z)
≤
|z|
≥
|z| = 0 ⇐⇒
|z|
=
|z|,
c’est-à-dire x ≤
p
x2 + y 2 ,
p
c’est-à-dire y ≤ x2 + y 2 ,
p
0, car x2 + y 2 ≥ 0,
p
z = 0, car x2 + y 2 = 0 ⇔ x = 0 et y = 0,
p
p
|z|, car |z| = |x − iy| = x2 + (−y)2 = x2 + y 2 = |z|.
|z|,
Étant donné un nombre complexe z, nous savons que la forme z = x + iy est appelée la représentation rectangulaire de z ou sa forme rectangulaire ou sa forme cartésienne ou encore sa forme
analytique. La forme z = r(cos θ + i sin θ), quant à elle, désigne sa forme polaire (ou trigonométrique). Afin de simplifier l’écriture, notons qu’il est souvent demandé que −2π ≤ θ ≤ 2π.
Remarque L’origine 0 (ou encore (0, 0)) ne possède pas d’argument. Ainsi, la forme polaire de 0 est
simplement 0.
Donnons maintenant quelques exemples qui illustrent bien les deux formes que peut prendre un
même nombre complexe et comment passer de l’une vers l’autre.
1 Les nombres complexes
13
Exemple 11. Trouvons la forme polaire des nombres suivants :
1. 1 + i,
2. i3 ,
3. −1,
−1
4. √
+ √i2 .
2
Il est souvent possible de répondre à de telles questions sans avoir à utiliser la fonction arctangente. En effet, afin d’obtenir la forme polaire d’un nombre complexe z, il nous faut tout
d’abord son module. Ensuite, il suffit de déterminer la forme cartésienne du nombre complexe
z/ |z| qui est de module 1. La partie réelle de ce nombre complexe correspond à la valeur de
cos θ et la partie imaginaire à la valeur de sin θ. Un tableau tel que celui donné dans l’Annexe
A à la page 309 permet ensuite de déterminer θ.
√
√
1. Nous avons |1 + i| = 1 + 1 = 2 de sorte que
√
√
1+i
1+i
1
1
2
2
= √ = √ +√ i=
+
i.
|1 + i|
2
2
2
2
2
Ainsi, il suffit de choisir θ = π/4 et nous obtenons
π π
√ 1 + i = 2 cos
+ i sin
.
4
4
2. Attention ! i3 n’est pas sous forme cartésienne. Nous avons i3 = i · i2 = −i. Puisque
|−i| = 1, il s’agit d’un nombre sur le cercle unité. En fait, il s’agit du point (0, −1) dans
3π
−π
le plan cartésien. Nous pouvons donc choisir θ =
, ou encore θ =
. Ainsi, si nous
2
2
prenons θ = 3π/2, nous obtenons
3π
3π
3
i = cos
+ i sin
.
2
2
3. Attention ! Il peut être tentant de laisser −1 comme réponse. Néanmoins, la variable r
de la forme polaire doit correspondre au module qui n’est jamais négatif. Nous avons
|−1| = 1. En fait, il s’agit du point (−1, 0). Nous pouvons donc choisir θ = π ou encore
θ = −π. Si nous choisissons θ = π, nous obtenons
−1 = cos π + i sin π.
−1
i
4. Nous avons déjà √ + √ =
2
2
r
1 1
+ = 1. En fait,
2 2
√
√
−1
i
− 2
2
√ +√ =
+
i,
2
2
2
2
3π
. Ainsi,
4
−1
i
3π
3π
√ + √ = cos
+ i sin
.
4
4
2
2
de sorte qu’il est possible de choisir θ =
14
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Passer de la forme polaire à la forme cartésienne est souvent bien plus simple que l’inverse.
Exemple 12. On a
√
√
2
5π
5π
− 2
1. cos
+ i sin
=
−
i,
4
4
2
2
π π
+ i sin
= 10 (0 + i) = 10i,
2. 10 cos
2
2
1
1
−1
3. (cos π + i sin π) = (−1 + 0i) =
,
2
2
2
1
1
1
4. (cos (2π) + i sin (2π)) = (1 + 0i) = .
4
4
4
1.1.8
La multiplication et la division de nombres complexes en
représentation polaire
On a vu à la section 1.1.6, page 11, comment interpréter géométriquement la somme de deux nombres
complexes. On va maintenant comprendre l’interprétation géométrique de la multiplication de deux
nombres complexes.
Soit z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ). Alors,
z1 z2
= r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )
= r1 r2 ((cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1 ))
= r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i(sin(θ1 + θ2 ))
(voir les identités trigonométriques dans l’Annexe A, page 310).
Ainsi, le résultat de la multiplication de deux nombres complexes z1 et z2 est un nouveau nombre
complexe dont la longueur est le produit des longueurs respectives de z1 et de z2 , et dont l’argument
est la somme des arguments respectifs de z1 et de z2 . En d’autres termes,
(23)
|z1 z2 | = |z1 ||z2 | et arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).
On en a une illustration à la figure 1.6.
Figure 1.6
1 Les nombres complexes
15
Quelle est l’interprétation géométrique de 1/z, pour z 6= 0 ?
Soit z = r(cos θ + i sin θ), avec r 6= 0. Alors,
1
z
=
=
1
1
1
1
cos θ − i sin θ
1 cos θ − i sin θ
=
·
=
r cos θ + i sin θ
r cos θ + i sin θ cos θ − i sin θ
r cos2 θ + sin2 θ
1
1
(cos θ − i sin θ) = (cos(−θ) + i sin(−θ)).
r
r
Ainsi, l’inverse d’un nombre complexe z de longueur r et d’argument θ est le nombre complexe dont
la longueur est 1/r et dont l’argument est −θ. En d’autres termes,
(24)
|1/z| = 1/|z| et arg(1/z) = −arg(z).
Figure 1.7
Donnons maintenant une interprétation géométrique au quotient de deux nombres complexes z1 et
z2 6= 0. Soit z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) et z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), avec r2 6= 0. En faisant usage de la
formule qu’on vient tout juste d’établir pour 1/z, on obtient
z1
z2
=
=
=
z1 ·
1
1
= r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) (cos θ2 − i sin θ2 )
z2
r2
r1
((cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1 ))
r2
r1
(cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 ))
r2
(voir les identités trigonométriques dans l’Annexe A, page 310).
Ainsi, le quotient de deux nombres complexes z1 et z2 est le nombre complexe dont la longueur est le
quotient des longueurs respectives de z1 et de z2 , et dont l’argument est la différence des arguments.
En d’autres termes,
(25)
z1
|z1 |
=
z2
|z2 |
et
arg(z1 /z2 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ).
Terminons cette section en démontrant la fameuse inégalité triangulaire
(26)
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
où z1 et z2 sont deux nombres complexes arbitraires. Cette inégalité traduit tout simplement un fait
évident : dans tout triangle, la longueur d’un côté ne peut excéder la somme des longueurs des deux
autres côtés. Cette inégalité peut être démontrée de manière analytique. En effet, observons d’abord
16
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
que pour tout nombre complexe w, par (16), on a 0 ≤ |w|2 = ww. Ainsi, en posant w = z1 + z2 et
en utilisant successivement les relations (13), (14) et (12), on a
(27)
0 ≤ |z1 + z2 |2
=
(z1 + z2 )(z1 + z2 ) = z1 z1 + z2 z2 + z1 z2 + z2 z1
=
|z1 |2 + |z2 |2 + z1 z2 + (z1 z2 )
=
|z1 |2 + |z2 |2 + 2Re(z1 z2 ).
Or, en utilisant (22) et (23), on a
(28)
Re(z1 z2 ) ≤ |z1 z2 | = |z1 ||z2 | = |z1 ||z2 |.
En substituant (28) dans (27), on obtient que
0 ≤ |z1 + z2 |2 ≤ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | = (|z1 | + |z2 |)2 .
En extrayant la racine carrée, on obtient donc (26), comme souhaité.
Notons finalement que la forme exponentielle définie dans la section 1.2 donne une manière plus
simple pour évaluer et interpréter géométriquement le produit de nombres complexes.
1.1.9
Lieux géométriques
Il arrive souvent qu’on veuille décrire géométriquement un ensemble de points dans le plan complexe.
En fait, nous appelons un tel ensemble un lieu géométrique. De manière générale, nous voulons
connaître l’ensemble ainsi que la forme géométrique des solutions à une équation. Il peut s’agir, entre
autres, d’un cercle, d’une droite, d’une ellipse, etc. Les exemples qui suivent vont nous permettre de
mieux comprendre cette notion.
Commençons tout d’abord par les cercles. La distance entre deux nombres z1 = (x1 , y1 ) et z2 =
(x2 , y2 ) situés dans le plan complexe est donnée par |z1 − z2 |. En effet, comme
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ),
on a
(29)
|z1 − z2 | =
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,
ce qui correspond exactement à la distance entre les points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ).
Cependant, s’il faut résoudre un tel problème en justifiant des démarches, nous ne pouvons pas
seulement utiliser la formule (29). Il est possible de procéder de la manière suivante :
Exemple 13. Quel est le lieu des points donné par l’équation |z − i| = 5 ? Pour répondre à
cette question, le plus simple est souvent d’obtenir une équation en x et y. Nous allons donc
utiliser la forme cartésienne ! Si z = x + iy, où x et y sont des nombres réels, nous avons
q
2
|z − i| = |x + iy − i| = |x + i (y − 1)| = x2 + (y − 1) .
Ainsi, nous nous intéressons à l’équation
q
2
x2 + (y − 1) = 5.
1 Les nombres complexes
17
En élevant le tout au carré, on obtient
2
x2 + (y − 1) = 52 ,
ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre (0, 1) (ou encore de centre i) et de rayon
5. Ainsi, le lieu des points donné par l’équation |z − i| = 5 est un cercle de centre (0, 1) et de
rayon 5. Cet ensemble peut être écrit sous la forme
n
o
2
x + iy : x, y ∈ R, x2 + (y − 1) = 25 .
Par ailleurs, le lieu des points z satisfaisant |z − i| ≤ 5 représente l’ensemble des points du
disque de centre i et de rayon 5, alors que |z − i| > 5 représente l’extérieur du disque de centre
i et de rayon 5.
Il est coutumier d’appeler le cercle |z| = 1 le cercle unité, et le disque |z| ≤ 1 le disque unité.
Exemple 14. Quel est le lieu des points correspondant à l’équation 1 < |z − 1 + i| < 2 ? Tout
comme à l’exemple précédent, on peut utiliser la forme cartésienne. On pose z = x + iy, où x
et y sont des nombres réels. On a
q
2
2
|z − 1 + i| = |x + iy − 1 + i| = |x − 1 + i (y + 1)| = (x − 1) + (y + 1) .
Ainsi, nous nous intéressons à l’équation
q
2
2
1 < (x − 1) + (y + 1) < 2.
En élevant le tout au carré, nous obtenons
2
2
1 < (x − 1) + (y + 1) < 22 .
Le lieu recherché correspond aux points situés à l’extérieur du disque de centre (1, −1)
(ou encore 1 − i) et de rayon 1 et qui sont à l’intérieur du disque ouvert de même centre
et de rayon 2. Il s’agit ainsi d’un anneau centré en (−1, 1) (ou 1 − i) et de largeur 2 − 1 = 1.
Cet ensemble est donc
n
o
2
2
x + iy : x, y ∈ R, 1 < (x − 1) + (y + 1) < 4 .
Nous pouvons donc penser que toute équation donnée avec des modules correspond à un cercle ou un
anneau. Cependant, ce n’est pas le cas en général, comme l’illustre d’ailleurs l’exemple suivant.
Exemple 15. Quel est le lieu des nombres complexes z = x + iy qui satisfont
On calcule successivement
z+i
= 1 ⇐⇒
z
⇐⇒
|z + i|
=1
|z|
|z + i| = |z|
z+i
= 1?
z
18
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
⇐⇒
x2 + (y + 1)2 = x2 + y 2
⇐⇒
2y + 1 = 0
1
y=− .
2
⇐⇒
1
Ici x est arbitraire, donc z = x − i, ce qui décrit les points de la droite horizontale d’équation
2
1
y = − dans le plan xOy. L’ensemble recherché est donc
2
1
x+− i:x∈R .
2
Le même problème s’interprète géométriquement. Avec |z + i| = |z|, on voit que la distance de
z à −i est égale à la distance de z à 0. Cela signifie que z est sur la médiatrice du segment
joignant 0 et −i, ce qui est bien la droite déjà obtenue.
Il peut arriver que l’équation donnée soit en forme polaire ou qu’elle dépende d’un argument ou d’un
module.
π
? Puisque l’équation est donnée en
4
fonction de arg(z), nous allons regarder ce que cela signifie pour la forme polaire de z. Nous
avons
√
√ !
π
π 2
2
z = r cos
+ i sin
=r
+
i
(r > 0) .
4
4
2
2
Exemple 16. Que représente l’équation arg(z) = θ =
Ainsi
√
2
2
et
y = Im(z) = r
.
x = Re(z) = r
2
2
Cela signifie que y = x avec x > 0 et y > 0, c’est-à-dire qu’il s’agit de la demi-droite y = x avec
x > 0 (0 est omis, car 0 ne possède aucun argument), ou encore de la demi-droite qui émane de
l’origine et qui fait un angle de 45 degrés avec l’axe réel. L’ensemble est
√
{x + iy : x, y > 0, y = x} = {x + ix : x > 0} .
Terminons en mentionnant qu’il arrive parfois que l’équation du lieu géométrique recherché ne soit
pas donnée directement.
Exemple 17. Quel est le lieu des points du plan complexe dont la partie réelle est égale au
double de la partie imaginaire ?
Puisque ce problème fait mention de parties réelle et imaginaire, travailler avec la forme cartésienne devrait être une bonne idée. Si z = x + iy, où x et y sont des nombres réels, nous voulons
que
x = 2y,
1 Les nombres complexes
19
x
x
c’est-à-dire que y = . Il s’agit donc de la droite d’équation y = , donnée par l’ensemble
2
2
n
o
xo n
x
x + iy : x ∈ R, y =
= x+ i:x∈R .
2
2
1.1.10
Le calcul de z n
Avez-vous la patience de calculer (1+i)10 ? Il existe une façon fort simple de le faire, et qui fonctionne
peu importe le nombre complexe, tant qu’il est possible de déterminer son argument. Il s’agit de
travailler en forme polaire. Notons cependant qu’il est également possible de travailler avec la forme
exponentielle (ce qui peut être plus rapide) tout comme à la section 1.2.
10
Exemple√18. Calculons
(1 + i) . Il faut tout d’abord obtenir la forme polaire de 1 + i. On a
√
|1 + i| = 1 + 1 = 2, et
√
√
2
2
1+i
1
i
√ =√ +√ =
+
i,
2
2
2
2
2
π
π √ π
de sorte que θ = est un argument de 1 + i. Ainsi, 1 + i = 2 cos
+ i sin
.
4
4
4
2
D’après ce que l’on a vu à la section 1.1.8, (1 + i) est un nombre complexe dont la longueur
est le carré de la longueur de 1 + i et dont l’argument est le double de 1 + i, c’est-à-dire
√ 2 2π
2π
2
+ i sin
.
(1 + i) =
2
cos
4
4
10
Ainsi, par itérations successives, il est facile de voir que (1 + i) est un nombre complexe dont
la longueur est celle de 1 + i à la puissance 10 et dont l’argument est 10 fois celui de 1 + i. C’est
pourquoi
√ 10
10π
10π
10
(1 + i) = 2
+ i sin
cos
4
4
5π
5π
= 25 cos
+ i sin
2
2
π
π 5
= 2 cos
+ i sin
2
2
= 32 (0 + i) = 32i.
Cette méthode se base sur la formule suivante. Pour chaque entier n ≥ 1,
(30)
z n = rn (cos (nθ) + i sin (nθ)).
En fait, cette dernière formule comprend comme cas particulier la célèbre formule de de Moivre :
(31)
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ) .
Ce résultat s’obtient à partir de (30) en prenant z = cos θ + i sin θ avec r = 1.
20
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
1.1.11
La résolution de l’équation z n = w
Soit n, un entier positif, et w, un nombre complexe. On s’intéresse à la résolution, pour z, de
l’équation
(32)
z n = w.
Il va de soi que si w = 0, alors la seule solution de (32) est z = 0. Supposons donc que w 6= 0. Alors,
il existe un angle α (un argument de w) tel que
w = |w|(cos α + i sin α).
On cherche donc le nombre complexe z = r(cos θ + i sin θ) tel que z n = w, c’est-à-dire tel que
rn (cos θ + i sin θ)n
= |w|(cos α + i sin α),
r (cos (nθ) + i sin (nθ))
= |w|(cos α + i sin α),
n
où on a utilisé (31). Il résulte de cette dernière équation que
rn
= |w|,
nθ
= α + 2kπ
(k = 0, ±1, ±2, · · · ),
car il faut se rappeler que les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques. Ainsi, puisque r ≥ 0,
on obtient
= |w|1/n ,
α 2kπ
+
(k = 0, ±1, ±2, · · · ).
θ =
n
n
Donc, pour chaque entier k, le nombre
α 2kπ
α 2kπ
1/n
+
+ i sin
+
zk = |w|
cos
n
n
n
n
r
est solution de l’équation z n = w.
Les nombres zk fournissent-ils une infinité de solutions pour l’équation z n = w ? Non, car, comme
les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, on a zk+jn = zk pour chaque entier
j. L’équation z n = w ne possède donc qu’un nombre fini de solutions. Plus précisément, il existe
exactement n solutions distinctes. Pour les obtenir, il suffit de choisir les nombres z0 , z1 , z2 , · · · , zn−1 .
Mentionnons que le problème qui consiste à chercher la racine n-ième d’un nombre complexe, c’està-dire chercher la valeur de w1/n , où w est un nombre complexe donné et n un entier positif, est
le même que celui qui consiste à chercher la solution z de l’équation z n = w. Par exemple, il est
fréquent qu’on soit appelé
√ à chercher la racine carrée d’un nombre complexe, c’est-à-dire qu’on ait
à trouver la valeur de w pour un nombre w ∈ C donné.
Exemple 19. Calculons les racines carrées de 1 + i. Cela revient à chercher les nombres complexes z tels que z 2 = 1 + i. Si nous écrivons z = r(cos θ + i sin θ), où θ est un nombre réel et
r > 0, on a par la formule de de Moivre que
π
π √ + i sin
,
z 2 = r2 (cos (2θ) + i sin (2θ)) = 1 + i = 2 cos
4
4
1 Les nombres complexes
21
où la forme polaire de 1 + i est obtenue par les faits que
√
√
|1 + i| = 1 + 1 = 2
et que
√
√
1+i
1+i
2
2
= √ =
+
i.
|1 + i|
2
2
2
On a donc
r2
=
2θ
=
√
2,
π
+ 2kπ,
4
avec k un entier,
ce qui est équivalent à
21/4 ,
π
θ =
+ kπ,
avec k un entier.
8
Pour déterminer les valeurs de k à choisir, nous commençons à 0 et arrêtons au premier entier
π
où nous obtenons θ = + 2π. Ici, kπ = 2π pour k = 2. C’est pourquoi les solutions sont
8
r
=
21/4 ,
π
θ =
+ kπ,
avec k = 0, 1.
8
(Attention ! Cette méthode ne fonctionne que si θ est isolé !)
r
=
Nos deux racines carrées de 1 + i sont donc
π
π z0 = 21/4 cos
+ i sin
8
8 π
π
1/4
et z1 = 2
cos
+ π + i sin
+π
= −z0 .
8
8
En général, si l’on découpe le calcul selon les mêmes étapes, on en déduit que, pour tout nombre
complexe w non nul, les deux racines carrées de w sont ±z0 , où
α α
+ i sin
,
z0 = |w|1/2 cos
2
2
où α est un argument de w.
On peut aussi faire un retour sur l’équation quadratique az 2 + bz + c √
= 0 (section 1.1.1), mais où
a(6= 0), b et c peuvent être réels ou complexes. Si√b2 − 4ac est complexe, b2 − 4ac aura deux valeurs
telles que notées ci-dessus, disons ±w0 . Alors, − b2 − 4ac ne représente que la même paire en ordre
inverse. On conclut que les racines de notre équation quadratique sont en définitive
−b ± w0
,
2a
où ±w0 sont les racines carrées du discriminant, réel ou complexe, b2 − 4ac.
Voici quelques exemples supplémentaires qui utilisent la méthode développée ci-dessus.
22
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Exemple 20. Déterminons les solutions de l’équation z 4 = i.
D’abord, il faut obtenir chacun des nombres sous forme polaire. On a i = cos
π
π
.
2
2
Ainsi, en posant z = r(cos θ + i sin θ), où r ≥ 0 et θ est un nombre réel, on obtient par la formule
de de Moivre que
π
π
r4 (cos (4θ) + i sin (4θ)) = cos
+ i sin
.
2
2
π
On doit donc avoir r4 = 1 et 4θ = + 2kπ, où k ∈ Z. C’est pourquoi r = 1 et
2
π kπ
1 π
θ=
+ 2kπ = +
.
4 2
8
2
kπ
Maintenant, le premier entier k ≥ 1 pour lequel
= 2π est k = 4. Ainsi, seules les valeurs
2
k = 0, 1, 2 et 3 nous intéressent.
+ i sin
Les quatre solutions de z 4 = i sont donc zk = cos θk + i sin θk , avec k = 0, 1, 2, 3 et
π
θ0 =
,
8
π π
5π
θ1 =
+ =
,
8
2
8
π
9π
θ2 =
+π =
,
8
8
π 3π
13π
θ3 =
+
=
.
8
2
8
Exemple 21. Déterminons les solutions de z 5 = −32.
On a −32 = 32 (cos π + i sin π), car −32 est sur l’axe réel négatif. Si nous posons
z = r (cos θ + i sin θ), on obtient par la formule de de Moivre que
r5 (cos (5θ) + i sin (5θ)) = 32 (cos π + i sin π) ,
c’est-à-dire r5 = 32 = 25 et 5θ = π + 2kπ avec k ∈ Z. Ainsi, on a r = 2 et
θ=
π 2kπ
+
5
5
(k ∈ Z) .
2kπ
= 2π pour k = 5, seules les valeurs k = 0, 1, 2, 3 et 4 nous intéressent. Les cinq
5
solutions de z 5 = −32 sont donc zk = 2 (cos θk + i sin θk ) avec k = 0, 1, 2, 3, 4 et
π
θ0 = ,
5
π 2π
3π
2π
θ1 = +
=
il s’agit de la réponse précédente plus
,
5
5
5
5
3π 2π
+
= π,
θ2 =
5
5
Puisque
1 Les nombres complexes
5π 2π
7π
+
=
,
5
5
5
9π
7π 2π
+
=
.
θ4 =
5
5
5
θ3 =
1.2
La fonction exponentielle complexe
1.2.1
La fonction eiθ , où θ est réel
Soit θ, un nombre réel. On pose
(33)
eiθ = cos θ + i sin θ.
De cette définition, on déduit immédiatement les relations suivantes :
1. Pour chaque nombre réel θ,
e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos(θ) − i sin(θ) = eiθ .
2. eiπ/2 = i,
eiπ = −1 et e3iπ/2 = −i.
3. Pour chaque nombre réel θ,
eiθ = |cos θ + i sin θ| =
p
cos2 θ + sin2 θ = 1.
4. Pour chaque nombre réel θ,
arg(eiθ ) = θ + 2kπ,
(k = 0, ±1, ±2, · · · ).
5. Pour chaque nombre entier k,
e2kπi = cos (2kπ) + i sin (2kπ) = 1 + 0i = 1.
6. Si θ1 et θ2 sont deux nombres réels, alors
ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2 ,
laquelle relation s’obtient ainsi :
ei(θ1 +θ2 )
par définition de ei(θ1 +θ2 ) ,
=
cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ),
=
(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ),
= e
iθ1 iθ2
e
,
par définition de e
iθ1
(multiplication, voir page 14),
et de eiθ2 .
7. Il découle du résultat précédent que pour tout entier n ≥ 1 et tout nombre réel θ, on a
n
eiθ = einθ .
8. Pour chaque nombre réel θ,
eiθ = eiθ e2kπi = ei(θ+2kπ) ,
(k = 0, ±1, ±2, · · · ).
9. Le lieu des points eiθ , où 0 ≤ θ < 2π, est le cercle centré à l’origine et de rayon 1.
23
24
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
10. En combinant les relations (21) et (33), on obtient que tout nombre complexe z peut s’écrire
sous la forme
z = reiθ ,
où r = |z| et θ est un argument de z. Cette forme est appelée la forme exponentielle de z.
La solution de z n = w, présentée à la section 1.1.11, page 20, revêt donc la forme exponentielle
α
2kπ
zk = |w|1/n ei( n + n ) ,
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1.
En particulier, la formule de de Moivre, vue à la section 1.1.10, permet d’obtenir que pour tout
n ≥ 1,
n
z n = reiθ = rn einθ ,
c’est-à-dire qu’il ne s’agit simplement que d’une propriété de l’exponentiation qu’on connaît bien.
Notons également que travailler avec la forme polaire ou la forme exponentielle, c’est la même chose !
En effet, nous avons simplement remplacé cos θ + i sin θ par eiθ . Il est donc possible de refaire tous
les exemples de la section précédente avec la forme exponentielle.
Exemple 22. Trouvons les racines troisièmes de 2i.
On veut donc résoudre z 3 = 2i. Écrivons z = reiθ , où r > 0 et θ est un nombre réel. On a
2i = 2eiπ/2 (car 2i est sur l’axe y positif). Ainsi, non veut résoudre
r3 e3iθ = 2eiπ/2 ,
c’est-à-dire r3 = 2 et 3θ = π/2 + 2πk, où k ∈ Z (Il est très important de ne pas oublier 2πk !).
Ainsi,
√
π 2πk
3
r= 2
(k ∈ Z) .
et
θ= +
6
3
2πk
Puisque
= 2π pour k = 3, nous nous intéressons aux valeurs k = 0, 1, 2. Ainsi, les solutions
3
√
de l’équation sont zk = 3 2 (cos θk + i sin θk ) avec k = 0, 1, 2 et c’est pourquoi on obtient
π
θ0 = ,
6
π 2π
5π
θ1 = +
=
,
6
3
6
5π 2π
9π
3π
θ2 =
+
=
=
.
6
3
6
2
1.2.2
La définition de ez
On est maintenant prêt à définir ce qu’on entend par la fonction exponentielle ez , où z est un
nombre complexe arbitraire. Si z = x + iy, on pose tout simplement
ez = ex (cos y + i sin y) = ex eiy ,
1 Les nombres complexes
25
de sorte que
|ez | = ex , arg(ez ) = y + 2πk (k ∈ Z) , Re(ez ) = ex cos y, Im(ez ) = ex sin y, ez = ex+iy = ex eiy .
Démontrons maintenant que si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors
(34)
ez1 ez2 = ez1 +z2 .
En posant z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 , on a
ez1 ez2
= ex1 eiy1 ex2 eiy2
= ex1 ex2 eiy1 eiy2
(selon la relation 6, page 23)
= ex1 +x2 ei(y1 +y2 )
= e
z1 +z2
,
puisque z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
Il découle de (34) que si n est un entier positif, alors
n
(35)
(ez ) sous
= enz
.
Exemple 23. Écrivons les nombres suivants
forme
exponentielle :
3
1. e(1+i) ,
2. ee
iπ/2
.
Dans les deux cas, il faut ramener l’exposant sous forme cartésienne.
√
√
√
1. Nous avons 1 + i = 2eiπ/4 , car |1 + i| = 1 + 1 = 2 et
√
√
1+i
1+i
2
2
= √ =
+
i,
|1 + i|
2
2
2
de sorte que
√
3
3/2 3iπ/4
(1 + i) = 2
e
3/2
=2
(cos (3π/4) + i sin (3π/4)) = 2
Ainsi,
3
e(1+i) = e−2+2i = e−2 e2i
est la forme exponentielle recherchée.
π
π
2. On a eiπ/2 = cos
+ i sin
= i, de sorte que
2
2
ee
Ainsi, ei est la forme exponentielle de ee
iπ/2
iπ/2
.
= ei .
3/2
√ !
2
2
−
+
i = −2 + 2i.
2
2
26
1.2.3
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Les formules d’Euler
On a vu à la section 1.2.1 que pour tout nombre réel θ,
e
eiθ
=
cos θ + i sin θ,
−iθ
=
cos θ − i sin θ.
Euler a remarqué que de ces deux relations, on peut déduire les formules
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin θ =
.
2
2i
Voilà deux formules qui s’avéreront fort utiles par la suite.
cos θ =
1.2.4
Les formules de de Moivre : expressions pour cos(nθ) et sin(nθ)
Parmi toutes les identités trigonométriques, on se rappelle certainement les formules
(36)
(37)
et
cos(2θ)
=
cos2 θ − sin2 θ
sin(2θ)
=
2 sin θ cos θ.
Mais saviez-vous que
(38)
(39)
et
cos(3θ)
=
cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ
sin(3θ)
=
3 cos2 θ sin θ − sin3 θ ?
En fait, il existe d’autres formules qui permettent d’exprimer cos(nθ) et sin(nθ) en termes de
puissances de cos θ et de sin θ. Il s’agit de formules qui sont difficiles à démontrer (du moins, lorsque
n ≥ 3), mais qui se justifient assez facilement en utilisant les identités des sections précédentes.
Exemple 24. Reprenons d’abord le cas où n = 2. Grâce aux formules de la section 1.2.1, on a
cos(2θ) + i sin(2θ)
=
e2iθ = (eiθ )2 = (cos θ + i sin θ)2
=
cos2 θ − sin2 θ + 2i sin θ cos θ.
En rendant égales les parties réelles et imaginaires, on obtient les identités (36) et (37).
Exemple 25. Pour obtenir les identités (38) et (39), on procède de la même manière. En effet,
on écrit
cos(3θ) + i sin(3θ)
= e3iθ = (eiθ )3 = (cos θ + i sin θ)3
=
cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ + 3i2 cos θ sin2 θ + i3 sin3 θ
=
cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ + i(3 cos2 θ sin θ − sin3 θ),
d’où on déduit aisément les formules (38) et (39).
On utilise la même procédure pour établir des formules analogues pour les entiers n ≥ 4.
1 Les nombres complexes
1.2.5
27
Le problème inverse : expressions transformées en une somme de
termes de la forme cos(mθ) et sin(nθ)
À la section précédente, pour chaque entier n ≥ 1, on a montré comment on peut exprimer chacune
des expressions cos(nθ) et sin(nθ) comme une somme de termes contenant des puissances de cos θ
et de sin θ, ainsi que leurs produits.
Peut-on faire l’inverse, c’est-à-dire peut-on, à partir d’une somme de termes contenant des puissances
de cos θ et de sin θ, arriver à exprimer cette somme comme une somme de termes de la forme cos(mθ)
et sin(nθ) ? Oui, c’est possible ! On va d’ailleurs montrer comment on peut le faire par des exemples.
En fait, la clé de la réussite repose sur les formules d’Euler exposées à la section 1.2.3.
Exemple 26. Supposons qu’on cherche à exprimer sin6 θ + cos6 θ en termes de cos(mθ) et
sin(nθ) pour des choix appropriés d’entiers m et n. En faisant appel aux formules d’Euler et en
utilisant le développement du binôme de Newton (voir l’Annexe A, page 299), on peut d’abord
écrire
iθ
6 iθ
6
e + e−iθ
e − e−iθ
6
6
cos θ + sin θ =
+
.
2
2i
Cette expression est égale à
−
=
=
e6iθ + 65 e5iθ e−iθ + 64 e4iθ e−2iθ + 63 e3iθ e−3iθ + 62 e2iθ e−4iθ + 61 eiθ e−5iθ + e−6iθ
e6iθ − 65 e5iθ e−iθ + 64 e4iθ e−2iθ − 63 e3iθ e−3iθ + 62 e2iθ e−4iθ − 61 eiθ e−5iθ + e−6iθ
e6iθ + e−6iθ + 6 e4iθ + e−4iθ + 15 e2iθ + e−2iθ + 20
1
− 64
e6iθ + e−6iθ − 6 e4iθ + e−4iθ + 15 e2iθ + e−2iθ − 20
4iθ
−4iθ
12
e4iθ + e−4iθ + 2 · 20
= 83 e +e
+ 85 = 38 cos 4θ + 58 ,
64
64
2
1
64
1
64
1
64
soit l’expression cherchée.
Exemple 27. Utilisons les formules d’Euler pour évaluer 1 + tan3 θ.
Puisque tan θ =
sin θ
, nous voulons évaluer
cos θ
sin3 θ
cos3 θ
(z est seulement là afin d’alléger les prochains calculs). Selon les formules d’Euler, nous avons
eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
sin θ =
et cos θ =
, de sorte que
2i
2
!3
3
eiθ −e−iθ
1 eiθ − e−iθ
2i
z = 1 + eiθ +e−iθ
=1− ·
,
i (eiθ + e−iθ )3
2
z = 1 + tan3 θ = 1 +
28
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
car i3 = −i. Puisque
1
1 −i
=
= −i, alors
i
i −i
z =1+i
eiθ − e−iθ
3
3.
(eiθ + e−iθ )
Maintenant, l’idée est de tout ramener au même dénominateur. Ainsi,
3
3
eiθ + e−iθ + i eiθ − e−iθ
z=
.
3
(eiθ + e−iθ )
Développons maintenant le numérateur (dans la grande majorité des cas, il n’est pas nécessaire
de développer le dénominateur, et il est même conseillé de ne pas le faire). Si nous ne voulons
pas utiliser la formule binomiale, nous pouvons procéder comme suit :
3
2 iθ
eiθ + e−iθ = eiθ + e−iθ
e + e−iθ
= e2iθ + 2 + e−2iθ eiθ + e−iθ
= e3iθ + eiθ + 2eiθ + 2e−iθ + e−iθ + e−3iθ
= e3iθ + 3eiθ + 3e−iθ + e−3iθ .
De même,
eiθ − e−iθ
3
= e3iθ − 3eiθ + 3e−iθ − e−3iθ .
Ainsi,
z=
e3iθ + 3eiθ + 3e−iθ + e−3iθ + i e3iθ − 3eiθ + 3e−iθ − e−3iθ
3
(eiθ + e−iθ )
.
Maintenant, il faut ramener ensemble les expressions e3iθ , eiθ , e−iθ et e−3iθ . On obtient alors
z=
(1 + i) e3iθ + 3 (1 − i) eiθ + 3 (1 + i) e−iθ + (1 − i) e−3iθ
3
(eiθ + e−iθ )
.
Puisque nous voulons écrire cette formule en termes de sinus et de cosinus, l’idée est de combiner
les e3iθ avec les e−3iθ et les eiθ avec les e−iθ (cela vient des formules d’Euler !) Il s’ensuit que
(1 + i) e3iθ + (1 − i) e−3iθ + 3 (1 − i) eiθ + (1 + i) e−iθ
z=
.
3
(eiθ + e−iθ )
Si vous pensez qu’il peut paraître compliqué d’évaluer cette expression, vous avez bien raison.
Cela vient en grande partie du fait que nous avons des termes en forme cartésienne et d’autres
en forme exponentielle. Afin de se ramener aux formules d’Euler, il nous faut travailler avec
la forme exponentielle. La prochaine étape est donc de déterminer les formes exponentielles de
1 + i et 1 − i. En fait, nous l’avons déjà fait de nombreuses fois (avec la forme polaire, qui est
presque la même que la forme exponentielle). On a
√
√
1 + i = 2eiπ/4
et
1 − i = 2e−iπ/4 .
Il est très important ici d’utiliser des arguments entre −π et π afin de pouvoir conclure. On
1 Les nombres complexes
29
obtient donc
z=
√
2·
ei(3θ+π/4) + e−i(3θ+π/4) + 3 ei(θ−π/4) + e−i(θ−π/4)
3
(eiθ + e−iθ )
.
Nous pouvons maintenant utiliser les formules d’Euler. Puisqu’il y a des additions entre les
exponentielles dans chacune des parenthèses, il s’agit de cosinus. On a
cos (3θ + π/4) =
ei(3θ+π/4) + e−i(3θ+π/4)
2
cos (θ − π/4) =
ei(θ−π/4) + e−i(θ−π/4)
,
2
et
de sorte que
√ cos (3θ + π/4) + 3 cos (θ − π/4)
.
z=2 2
3
(eiθ + e−iθ )
Pour ce qui en est du dénominateur, il s’agit également d’un cosinus (en fait, nous savons depuis
le tout début qu’il s’agit d’un cosinus). Nous avons
eiθ + e−iθ = 2 cos θ,
et donc
√
√
2 2 cos (3θ + π/4) + 3 cos (θ − π/4)
2
z=
=
sec3 θ (cos (3θ + π/4) + 3 cos (θ − π/4)) .
3
8
cos θ
4
Les formules d’Euler ne peuvent plus nous donner d’autres informations. La réponse recherchée
est donc
√
2
3
sec3 θ (cos (3θ + π/4) + 3 cos (θ − π/4)) .
1 + tan θ =
4
1.2.6
Applications aux circuits électriques
L’algèbre des nombres complexes et des fonctions exponentielles complexes permet des calculs expéditifs, de façon très efficace, dans divers domaines, notamment dans l’étude des circuits électriques
à courant alternatif, où apparaissent des quantités telles que
V = E0 cos (ωt)
(voltage),
I = I0 cos (ωt + φ)
(courant),
qui sont des oscillations harmoniques. On rattache à chacune des oscillations harmoniques un nombre
complexe en considérant que le cosinus, dans chaque cas, est la partie réelle d’un nombre complexe,
soit
V = E0 cos ωt = E0 Re(cos ωt + i sin ωt) = E0 Re(eiωt ),
et de même,
I = I0 Re(ei(ωt+φ) ) = I0 Re(eiφ eiωt ).
30
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Souvent, on fait face à plusieurs oscillations harmoniques. En particulier, il est possible de trouver
des nombres réels A et α tels que
cos (ωt) + cos (ωt + φ)) = A cos (ωt + α) ,
c’est-à-dire tels que la somme des oscillations harmoniques cos (ωt) et cos(ωt + φ) est elle-même une
oscillation harmonique de la forme A cos(ωt + α), où A est appelé l’amplitude et α la phase.
Exemple 28. Trouvons A et α tels que
π
= A cos (ωt + α) .
cos (ωt) + cos ωt +
2
Au moins deux approches sont possibles :
π
1. Calculons tout d’abord eiωt + ei(ωt+ 2 ) . Nous avons
π
eiωt + ei(ωt+ 2 ) = eiωt 1 + eiπ/2
= eiωt (1 + i) .
Ne connaissant pas ω, nous allons devoir travailler sous forme exponentielle.
√
√
Puisque |1 + i| = 1 + 1 = 2, alors
√
√
1+i
1+i
2
2
= √ =
+
i,
|1 + i|
2
2
2
√
et 1 + i = 2eiπ/4 , de sorte qu’on obtient
√
√
π
eiωt + ei(ωt+ 2 ) = 2eiωt eiπ/4 = 2ei(ωt+π/4) .
Par définition de eiθ , on a en égalant les parties réelles que
π √
cos (ωt) + cos ωt +
= 2 cos (ωt + π/4) ,
2
√
c’est-à-dire A = 2 et α = π/4.
2. La deuxième manière de procéder est d’utiliser directement les formules d’Euler. On a
alors
ei(ωt+π/2) + e−i(ωt+π/2)
eiωt + e−iωt
+
2
2
eiωt + e−iωt
eiωt eiπ/2 + e−iωt e−iπ/2
=
+
2
2
1 iωt iπ/2
−iωt
=
e
1+e
+e
1 + e−iπ/2
2
1 iωt
=
e (1 + i) + e−iωt (1 − i) .
2
√ iπ/4
√
Puisque 1 + i = 2e
, on a 1 − i = 1 + i = 2e−iπ/4 (il est important de choisir le
cos (ωt) + cos (ωt + π/2) =
1 Les nombres complexes
31
même angle avec un signe opposé), de sorte que
√ 2 iωt iπ/4
cos (ωt) + cos (ωt + π/2) =
e e
+ e−iωt e−iπ/4
2
i(ωt+π/4)
√
e
+ e−i(ωt+π/4)
= 2
2
√
= 2 cos (ωt + π/4) ,
√
ce qui correspond à A = 2 et α = π/4.
1.3
Les polynômes
1.3.1
Les principales définitions
Soit n, un entier positif, et a0 , a1 , a2 , · · · , an , des nombres complexes, avec an 6= 0. Alors, l’expression
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n
est appelée un polynôme de degré n. Les nombres a0 , a1 , a2 , · · · , an sont appelés les coefficient(s)
de p(z). Le coefficient an est appelé le coefficient directeur du polynôme.
On dit que le polynôme p(z) est réel si tous ses coefficients sont réels. Par ailleurs, un nombre
complexe z1 tel que p(z1 ) = 0 est appelé une racine ou un zéro du polynôme p(z).
Il faut faire attention au fait que les zéros d’un polynôme réel peuvent être des nombres complexes
non réels !
Exemple 29. Le polynôme p(z) = z 3 + 2z 2 + z + 2 est un polynôme réel de degré 3 dont z1 = i
est une racine.
En effet, on a
p (z1 ) = p(i) = i3 + 2i2 + i + 2 = −i − 2 + i + 2 = 0.
Trouver les racines d’un polynôme peut être une chose bien compliquée ! Bien entendu, dans le cas
des polynômes de degrés 2 ou 3, il existe des formules, dont entre autres la formule quadratique.
Néanmoins, pour les polynômes qui ont un degré plus élevé, il n’y a pas de formules générales. Ici,
nous allons étudier certains cas qui peuvent être résolus avec les méthodes vues lors des sections
précédentes.
Mais avant de donner des exemples, nous devons discuter du théorème fondamental de l’algèbre.
1.3.2
Le théorème fondamental de l’algèbre
Un des plus beaux résultats de l’algèbre est que tout polynôme à coefficients dans C possède au moins
une racine dans C. Ce résultat est connu sous le nom de théorème fondamental de l’algèbre.
Comme sa démonstration fait appel à la théorie des fonctions d’une variable complexe, on la laisse
ici de côté.
On peut aussi démontrer que si p(z) est un polynôme de degré n ≥ 1 et que z1 est une racine de
32
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
p(z), alors il existe un polynôme pn−1 (z) de degré n − 1 tel que
(40)
p(z) = (z − z1 )pn−1 (z).
Exemple 30. Si p(z) = z 4 − 1, alors, comme p(1) = 0,
p(z) = (z − 1)p3 (z).
En fait ici p3 (z) = z 3 + z 2 + z + 1, ce qui peut être obtenu par une simple division polynomiale.
−
z 4 + 0z 3 + 0z 2 + 0z − 1
4
z − z
3
−
z−1
3
3
2
z +z +z+1
2
z + 0z + 0z − 1
z3 − z2
−
z 2 + 0z − 1
z2 − z
z−1
z−1
−
0
Exemple 31. Si p(z) = z 3 + 2z 2 + z + 2, il est facile de voir que p(i) = 0 et on a alors
−
z3 +
2z 2 +
3
2
z −
iz
z−i
z+2
2
z + (2 + i) z + 2i
2
−
(2 − i) z +
z+2
(2 − i) z 2 + (1 − 2i) z
−
2iz + 2
2iz + 2
0
Ainsi, p(z) = (z − i) z 2 + (2 + i) z + 2i .
Plus loin, nous allons voir une manière de factoriser certains polynômes réels en produit de
polynômes réels.
Revenons à l’équation (40) et appliquons à nouveau le théorème fondamental de l’algèbre, mais cette
fois au polynôme pn−1 (z). On obtient alors que pn−1 (z) possède une racine z2 et c’est pourquoi,
comme précédemment, il existe un polynôme pn−2 (z) de degré n − 2 tel que
(41)
pn−1 (z) = (z − z2 )pn−2 (z).
Ainsi, en substituant (41) dans (40), on obtient
p(z) = (z − z1 )(z − z2 )pn−2 (z).
1 Les nombres complexes
33
En poursuivant ce raisonnement, on arrive à montrer que p(z) peut s’écrire sous la forme
p(z) = (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn )p0 (z),
où p0 (z) est un polynôme de degré 0, c’est-à-dire une constante. Or, il est facile de voir que cette
constante est égale à an . On a ainsi obtenu que tout polynôme de degré n peut s’écrire sous la forme
(42)
p(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ),
où an est le coefficient du terme de plus haut degré de p(z). Si un facteur (z − zj ) apparaît à une
puissance k, on dit que zj est une racine de multiplicité k de p(z).
Exemple 32. Le polynôme p(z) = z 2 (z − 1)(z − 3)4 possède une racine de multiplicité 2 en
z1 = 0 et une racine de multiplicité 4 en z2 = 3.
Il découle facilement de (42) que le polynôme p(z) ne peut s’annuler que lorsque z prend une des
valeurs zi , où i = 1, 2, · · · , n. C’est pourquoi on peut affirmer que p(z) possède au plus n racines, et
donc exactement n racines, si l’on compte bien sûr k fois les racines de multiplicité k.
Il résulte de cette dernière observation que si deux polynômes p(z) et q(z) sont de degrés n au plus
et qu’il existe des nombres z1 , z2 , · · · , zn+1 tels que p(zi ) = q(zi ) pour i = 1, 2, · · · , n + 1, alors
p(z) ≡ q(z). En d’autres mots, si deux polynômes de degrés ≤ n coïncident sur n + 1 valeurs de z,
alors il s’agit bel et bien du même polynôme ! Pour démontrer ce résultat, on procède comme suit.
Soit
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n ,
q(z)
= b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · + bn z n .
Considérons le nouveau polynôme r(z) = p(z) − q(z), un polynôme dont le degré est n au plus et qui
s’annule pour z = zi , i = 1, 2, · · · , n + 1. Or, cette considération contredit le résultat qu’on vient de
démontrer, à savoir qu’un polynôme de degré n ≥ 1 ne peut avoir plus de n racines. Il s’ensuit que
le degré de r(z) doit être 0, auquel cas on doit avoir ai = bi pour i = 1, 2, · · · , n, et c’est pourquoi
p(z) − q(z) = a0 − b0 = c est une constante. Par ailleurs, on doit avoir c = 0, puisqu’en particulier
c = p(z1 ) − q(z1 ) = 0. D’où p(z) ≡ q(z).
Exemple 33. Combiens de racines possède le polynôme z 4 + 3z + 1 ?
Puisqu’il s’agit d’un polynôme de degré 4, alors le théorème fondamental de l’algèbre nous
affirme qu’il possède exactement 4 racines avec multiplicité.
1.3.3
Les racines d’un polynôme réel
Rappelons tout d’abord qu’un polynôme est dit réel si tous ses coefficients sont des nombres réels.
Il est intéressant de remarquer que si z1 est une racine complexe non réelle d’un polynôme réel p(z),
alors automatiquement, z1 est aussi une racine de p(z). En d’autres mots, les racines complexes d’un
polynôme réel peuvent être jumelées deux par deux, soit par paires de conjugués complexes.
En fait, il s’agit là d’un phénomène qu’on a déjà observé pour les polynômes de degré 2. En effet,
on se souvient que si p(z) = az 2 + bz + c, alors ses racines (complexes) z1 et z2 sont données par
(11), et il est clair que z2 = z1 .
34
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Pourquoi en est-il ainsi ?
Parce que si p(z) est un polynôme réel, alors
(43)
p(z) = p(z).
Supposons pour le moment que (43) soit vrai et que z1 soit telle que p(z1 ) = 0. Alors, d’après (43),
on a p(z1 ) = p(z1 ) = 0, d’où le résultat. Il reste à démontrer (43). Or, en posant
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n
et en utilisant le fait que ai = ai (étant donné que les coefficients ai sont réels), on a
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n = p(z),
comme souhaité.
On déduit de cela que tout polynôme réel peut s’écrire comme un produit de facteurs linéaires (c’està-dire des polynômes réels de degré 1) et de facteurs quadratiques réels (c’est-à-dire des polynômes
réels de degré 2).
En particulier, ces facteurs de degré 2 sont dits irréductibles s’ils ne possèdent aucune racine
réelle.
Exemple 34. Trouvons les racines du polynôme p(z) = z 3 − z 2 + z − 1 et factorisons-le en
produit de facteurs réels irréductibles.
Puisqu’il est de degré 3, alors, selon le théorème fondamental de l’algèbre, il possède 3 racines
avec multiplicité. De plus, puisqu’il s’agit d’un polynôme réel, seul 2 choix sont possibles : soit
il s’agit de 3 racines réelles, soit d’une racine réelle simple et d’une racine non réelle simple avec
son conjugué.
Comment trouver ses racines ?
Puisqu’aucun indice n’est donné dans l’énoncé, il nous faut essayer avec de petits nombres,
c’est-à-dire 0, ±1, ±i, ±2, ±2i et ainsi de suite. De cette manière, nous voyons rapidement que
z1 = 1 est une racine de p(z), car
13 − 12 + 1 − 1 = 0.
Ainsi, nous pouvons factoriser p(z) par z − 1 (c’est toujours z moins la racine). On a alors
−
z3 − z2 + z − 1
z−1
z3 − z2
z2 + 1
−
z−1
z−1
0
Ainsi, p(z) = (z − 1) z 2 + 1 . Le polynôme q(z) = z 2 + 1 est irréductible dans les réels. En
effet, on a z 2 + 1 = 0 lorsque z = i ou z = −i (il suffit de résoudre l’équation z 2 = −1).
Le polynôme p(z) = z 3 − z 2 + z − 1 possède ainsi 3 racines simples, à savoir 1, i et −i, et il peut
1 Les nombres complexes
35
s’écrire sous la forme
p(z) = (z − 1) z 2 + 1 .
Exemple 35. Cherchons le polynôme réel p(z) de degré minimal qui possède i comme racine
double, −3 comme racine triple et 0 comme racine simple, et dont le coefficient directeur est 4.
Avant de procéder, il faut indiquer ce que signifie «degré minimal». En fait, le terme degré
minimal signifie ici que nous ne cherchons pas seulement un polynôme qui possède toutes les
propriétés précédentes, mais que nous voulons parmi tous ces polynômes celui qui a le plus petit
degré. Voyons comment procéder.
Tout d’abord, puisqu’il s’agit d’un polynôme réel et que i est une racine double, alors son
conjugué, à savoir −i, est également une racine double.
Cela signifie que nous pouvons factoriser notre polynôme par
2
2
2
(z − i) (z + i) = z 2 + 1 .
Puisque −3 est une racine triple, on peut factoriser p(z) par
3
(z + 3) .
Puisque 0 est une racine simple, on peut le factoriser par z. Ainsi, nous avons
2
3
p(z) = az z 2 + 1 (z + 3) ,
où a est le coefficient directeur. On veut a = 4, de sorte que le polynôme recherché est
2
3
p(z) = 4z z 2 + 1 (z + 3) .
1.4
Résumé
— L’unité imaginaire i est un nombre complexe dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1.
— On appelle nombre complexe tout nombre pouvant s’écrire sous la forme x + iy, où
x et y sont des nombres réels et i est l’unité imaginaire.
— Un nombre complexe z est dit sous forme cartésienne, ou rectangulaire, s’il est
écrit sous la forme
z = x + iy,
où x et y sont des nombres réels et i est l’unité imaginaire. On appelle x la partie
réelle de z, notée Re(z), et y la partie imaginaire de z, notée Im(z).
p
— Le module du nombre complexe z = x + iy, noté |z|, est |z| = x2 + y 2 .
— Un nombre complexe z est dit sous forme polaire s’il est écrit sous la forme
z = r (cos θ + i sin θ) ,
36
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
où r = |z| est le module de z et θ est un nombre réel, appelé un argument de z. Le
nombre complexe z est dit sous forme exponentielle s’il est sous la forme
z = reiθ .
— Le conjugué d’un nombre complexe z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ , noté z, est
z = x − iy = r (cos θ − i sin θ) = re−iθ .
— Quelques propriétés du module : soit z, z1 et z2 des nombres complexes.
? |z| ≥ 0,
? |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
? |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (inégalité triangulaire),
|z1 |
z1
=
,
?
z2
|z2 |
? |z| = |z|.
— Quelques propriétés du conjugué : soit z, z1 et z2 des nombres complexes.
? Re (z) = Re (z),
? Im (z) = −Im (z),
? z1 + z2 = z1 + z2 ,
? z1 · z2 = z1 · z2 ,
z1
z1
= .
z2
z2
— Un lieu géométrique est un sous-ensemble du plan complexe. Il s’agit habituellement
de déterminer tous les nombres complexes satisfaisant à une formule et d’en donner une
interprétation géométrique.
? z1 ÷ z2 = z1 ÷ z2 , c’est-à-dire
— Formule de de Moivre : Soit z = r (cos θ + i sin θ) = reiθ où r = |z| ≥ 0 et θ est un
argument de z. Alors, pour tout entier n ≥ 1,
z n = rn (cos (nθ) + i sin (nθ)) = rn einθ .
— Soit w un nombre complexe. On dit que le nombre complexe z est une racine n-ième
de w si
z n = w.
— Pour déterminer une racine n-ième, on utilise généralement la forme polaire ou exponentielle.
— Propriétés de l’exponentielle : Soit z = x + iy, où x et y sont des nombres réels, et soit
w un nombre complexe. Alors,
? eiy = cos y + i sin y,
? ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y),
? ez+w = ez ew ,
1 Les nombres complexes
? |ez | = ex .
— Formules d’Euler : Soit θ un nombre réel. Alors,
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
et
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
— Un polynôme est une expression de la forme
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n .
Les nombres a0 , a1 , · · · an sont appelés les coefficients du polynôme. Si an 6= 0, le polynôme p(z) est dit de degré n et an est appelé le coefficient directeur du polynôme.
— Soit p(z) un polynôme de degré n.
? Si tous les coefficients a0 , a1 , · · · , an sont réels, le polynôme est dit réel.
? Si p (z1 ) = 0, alors z1 est appelé une racine du polynôme.
? Il est toujours possible de factoriser un polynôme en fonction de ses racines, c’està-dire si p(z1 ) = 0, alors il existe un polynôme de degré n − 1, q(z), tel que
p(z) = (z − z1 ) q(z).
? Nous disons que z1 est une racine de multiplicité k du polynôme p(z) si
k
p(z) = (z − z1 ) q(z)
où q(z1 ) 6= 0 et q(z) est un polynôme de degré n − k.
— Selon le théorème fondamental de l’algèbre, un polynôme p(z) de degré n possède
exactement n racines avec multiplicité.
? Si z1 , z2 , · · · , zn sont ses racines (répétées avec multiplicité), alors
p(z) = (z − z1 ) (z − z2 ) · · · (z − zn ) .
? Si z1 , z2 , · · · , zm sont ses racines et qu’elles sont respectivement de multiplicités
a1 , a2 , · · · , am , alors a1 + a2 + · · · + am = n et
a
a
a
p(z) = (z − z1 ) 1 (z − z2 ) 2 · · · (z − zm ) m .
— Propriétés des polynômes réels : Soit n ≥ 1 un entier et p(z) un polynôme réel de degré
n.
? Si z1 est une racine non réelle de multiplicité a1 , alors z1 est également une racine
de multiplicité a1 .
? Un polynôme réel de degré 2 est dit irréductible s’il ne possède aucune racine
réelle. Un polynôme réel de degré 1 est toujours irréductible.
? Tout polynôme réel peut s’écrire comme un produit de facteurs linéaires et quadratiques réels avec multiplicité.
? Si z1 est une racine non réelle de multiplicité a1 , alors
2
(z − z1 ) (z − z1 ) = z 2 − 2zRe(z1 ) + |z1 |
37
38
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
est un facteur quadratique irréductible du polynôme p(z), et p(z) peut être factorisé par
a1
2
z 2 − 2zRe (z1 ) + |z1 |
.
Exercices
z+i
a) Trouver Re (w) et Im (w) pour le nombre complexe w =
, où z = x + iy avec
i
x, y ∈ R.
z+i
b) Si z = 2 + 3i, situer z et w =
dans le plan de Gauss. (Utiliser a).)
i
z−i
2. a) Trouver Re (w) et Im (w) pour le nombre complexe w =
, où z = x + iy avec
i
x, y ∈ R.
z−i
b) Si z = −2 + 3i, situer z et w =
dans le plan de Gauss. (Utiliser a).)
i
z+i
3. a) Soit z = x + iy et w =
. Calculer Re (w) et Im (w).
i−1
z+i
dans le plan de Gauss.
b) Si z = 1 + 2i, situer z et w =
i−1
4. Calculer i54 .
1.
5. Utiliser les formules de la section 1.1.1 pour calculer les racines de z 2 − 2z + 5 = 0 et vérifier
que ce sont effectivement des racines de l’équation.
6. Trouver l’inverse de i, le conjugué de i, l’inverse de −i et le conjugué de −i.
7. Comme la différence entre 3 et 2 est la même qu’entre 8 et 7, est-il vrai que 3 − 2i = 8 − 7i ?
(Comparer avec la discussion sur l’unicité de la représentation d’un nombre complexe, à la
fin de la section 1.1.2.)
8. Trouver le nombre complexe z = x + iy tel que zi = 1 + i.
9. Pour z = 3 − 2i, calculer Re(z) + Im(z), Re(z) + Im(z), Re(z) + Im(iz) et Re(iz) + Im(z).
10. Où sont situés les nombres complexes z = x + iy tels que Re(z) + Im(z) = 1 ?
11. Pour z = 1 − 2i, trouver 1/z, 1/z, z/z et z/z.
12. Évaluer
2 + 2i
.
1−i
* 13. Existe-t-il un nombre complexe z 6= 0 satisfaisant
z z + z̄
·
= 1?
|z| z − z̄
Suggestion Vérifier avec la forme cartésienne.
1
14. Soit z = x + iy avec x, y ∈ R. Montrer que |z| = |z + 1| si et seulement si z = − + iy, y
2
1 Les nombres complexes
39
étant arbitraire. Fournir à la fois les calculs algébriques et l’interprétation géométrique. Faire
une représentation dans le plan de Gauss.
15. En utilisant les propriétés du conjugué et du module d’un nombre complexe :
√
√
a) Montrer que |(2z̄ + 5)( 2 − i)| = 3|2z + 5|.
(3 + 4i)(2 + 2i)
.
b) Calculer
(1 − i)(3 − 4i)
16. Calculer
2 + 5i 2 − 5i
.
+
1−i
1+i
17. Évaluer
(3 + 2i)(2 + i)
.
(2 + 4i)(3 − 2i)
(1 + i)13
18. Calculer le module du nombre complexe √
.
( 3 + i)7
19. Trouver le lieu géométrique représenté par
z
= 1.
2z + 1
2
2
4
20. Décrire les nombres complexes z tels que |z| = (Re(z)) + (Re(z)) .
Suggestion Vérifier avec la forme cartésienne.
21. Sans calculs algébriques, décrire les lieux géométriques suivants :
a) |z + 2| + |z − 2| = 6,
b) |z + i| + |z − i| = 3.
z+i
= 1 ? Résoudre selon les approches a) et b).
i
a) Résoudre analytiquement avec z = x + iy.
b) Résoudre en arrivant à une expression pour la distance entre deux nombres complexes.
22. Pour quels nombres complexes z a-t-on
23. Pour quels nombres complexes z a-t-on
z + 2i − 1
= 1 ? Résoudre selon les approches a) et
i
b).
a) Résoudre en arrivant à une expression pour la distance entre deux nombres complexes.
b) Résoudre analytiquement avec z = x + iy.
z − z̄
24. a) Trouver toutes les valeurs de z ∈ C telles que |z| =
.
i
Dessiner une figure dans le plan de Gauss.
b) Trouver toutes les valeurs de z ∈ C telles que |z − i| < |z − 1|.
Dessiner une figure dans le plan de Gauss.
25. Identifier le lieu des points du plan de Gauss satisfaisant |z + 6| = |Re (z) + 2i Im (z)|.
1
1
26. Tracer la courbe définie par l’équation Re
= .
z
4
1
1
27. Soit R > 0. Décrire le lieu des points z ∈ C tels que Re
= .
z
R
28. Identifier le lieu des points du plan de Gauss satisfaisant
2z − i
≤ 1.
−iz − 2
40
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
29. Pour le nombre complexe u = −1 + i, calculer u3 et u4 en formes polaire et rectangulaire et
situer ces nombres complexes dans le plan de Gauss.
30. Mettre sous formes polaire et cartésienne les nombres complexes suivants :
π 5
π
+ 3i sin
,
a) 3 cos
6
6
!
b)
1+i
i
1
2 − 2
31. Calculer
9
.
(1 + i)9
.
(1 − i)7
(1 + i)100
.
(1 − i)80
33. Mettre sous formes polaire, exponentielle et cartésienne les nombres complexes suivants :
5
2 + 2i
a)
,
i−1
!1997
√
3 1
b)
− i
.
2
2
32. Calculer
34. Décrire le lieu des points z ∈ C tels que Re (z 3 ) = Im (z 3 ).
35. Le cercle unité et les axes divisent le plan en huit régions étiquetées de A à H à la figure 1.8.
Figure 1.8
Pour le point z identifié sur la figure, indiquer dans quelle région se trouvent les points
suivants :
a) ez
b) eiz
c∗ ) −1/z
d) z 2
e) z/z 2
f) eiπ z
g∗ ) eiπ/3 (z + z)
π
Note On doit comprendre que z est à une hauteur ≤ 1, 5 < au-dessus de l’axe horizontal ;
2
1
sa position à gauche de l’axe vertical est à interpréter à la fois selon − < Re(z) < 0 et selon
2
π
π π
2π
< arg(z) < + =
.
2
2
6
3
1 Les nombres complexes
41
Suggestion La forme cartésienne est suggérée pour les exponentielles et la forme exponentielle
pour les multiplications et les divisions.
36. Écrire la forme cartésienne des nombres complexes :
a) e(π/2)e
iπ/2
,
(iπ/2)eiπ/2
b) e
,
π(1+i)/(1−i)
c) e
,
* d) eiπ/8 .
Suggestion Pour d), utiliser le fait que eiπ/8
forme cartésienne.
2
= eiπ/4 pour ensuite résoudre avec la
37.
a) Mettre le produit ie2πi/3 sous forme polaire.
π
π √2
iπ
b) Étant donné que sin
= cos
=
, mettre eln(2)+ 4 sous la forme x + iy.
4
4
2
38. L’origine étant fixée, selon quel angle faut-il faire pivoter le vecteur associé au nombre
com√
plexe z1 = −2 pour obtenir le vecteur associé au nombre complexe z2 = 1 − 3 i ? (Cela
revient à chercher θ tel que z1 eiθ = z2 ).
39. Soit z = 1 + i. Par un choix approprié de l’angle θ, 0 < θ < π, le nombre eiθ z est réel et
négatif. Quel est cet angle θ ? Est-il vrai qu’on a alors eiθ z = −|z| ?
40. Représenter graphiquement les ensembles suivants :
{z ∈ C | |ez | ≤ 1},
n
πo
z ∈ C | arg z =
,
4
z
{z ∈ C | Re (e ) > 0}.
41. Trouver toutes les solutions z de l’équation e3z = i.
42.
iπ/2
a) Évaluer eπ(e ) .
b) Trouver toutes les solutions z de l’équation e5z = −1.
43. Montrer que eiθ = eiθ = e−iθ et que ez = ez .
44.
a) L’origine étant fixée,
√ selon quel angle faut-il faire pivoter le vecteur associé au nombre
√
complexe
z
=
1
−
3 i pour obtenir le vecteur associé au nombre complexe z2 = 2 +
1
√
2i ?
b) Trouver un nombre réel α tel que z2 = eiα z1 .
c) Que peut-on dire de z et de w si ez = ew ?
d) Déterminer tous les nombres z tels que |ez | = 2.
2
* e) Déterminer tous les nombres z tels que eiz = e−z .
45. Deux nombres z(z ∈ C) et θ réel (0 < θ < π) sont tels que ze2iθ = −i et ze−iθ = 1.
a) Trouver la valeur de |z|.
b) Trouver z et θ.
1−i
√ .
46. Résoudre l’équation z 4 =
1+i 3
42
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
47. Calculer les racines quatrièmes de −1 et les représenter dans le plan de Gauss.
√
3
1
48. Calculer les racines quatrièmes de − +
i et les représenter dans le plan de Gauss.
2
2
√
3
1
49. Résoudre l’équation (z + 1)4 = − +
i.
2
2
Suggestion Poser w = z + 1 et résoudre d’abord pour w, puis donner les valeurs demandées
de z. Situer les solutions w et les solutions z dans le (même) plan complexe.
50. Résoudre l’équation z 14 − 16 384 = 0.
Suggestion Observer d’abord que 16 384 = 1282 .
51. Trouver tous les nombres complexes qui sont le conjugué de leur carré.
52. On considère les nombres complexes satisfaisant z 3 + 8 = 0.
a) Sans résoudre pour z, montrer que |z| = 2.
b) Désignons par w le nombre complexe obtenu en faisant subir une rotation de π/3 à z ;
comment s’écrit le nombre w ? Montrer que w satisfait alors w3 − 8 = 0.
c) Résoudre en forme polaire et en forme rectangulaire et faire un dessin sommaire représentant les valeurs de z.
d) Faire un dessin sommaire représentant les valeurs de w.
53. Résoudre pour z dans chacun des cas suivants :
a) z 4 = z 2 ,
b) |z 4 | = |z 2 |,
c) z 4 = z 2 .
* 54. Soit z, un nombre complexe quelconque non nul. Montrer que 0, z, z+iz et iz sont les sommets
d’un carré (il s’agit de montrer qu’ils forment les sommets d’un quadrilatère dont tous les côtés
sont de la même longueur et dont au moins deux côtés s’intersectent perpendiculairement).
55. En se référant à l’exercice 54, indiquer où se situent les nombres complexes z si l’aire du carré
doit être 1 ?
56. Trouver les représentations polaires des nombres complexes suivants :
√
a) 2 + 2 3i,
b) −2 + 2i.
√
57. Trouver les représentations polaires des nombres complexes −2 + 2 3i et −1 + i.
* 58.
a) Déterminer les nombres complexes qui correspondent aux sommets d’un hexagone régulier de centre 0 sachant qu’un des sommets est le point 1 (un hexagone est un polyèdre
régulier à 6 côtés, c’est-à-dire qu’il possède 6 côtés de même longueur et dont tous les
angles intérieurs sont égaux.)
Note Étant centré à l’origine, cela signifie qu’il est possible de passer d’un sommet à un
autre par une rotation.
b) Trouver une équation polynomiale simple qui est satisfaite par tous les sommets de
l’hexagone décrit ci-dessus.
Suggestion Vérifier ce qui se produit avec le polynôme z 6 .
59. Écrire l’oscillation harmonique cos(ωt)+cos(ωt−π/2) sous la forme A cos(ωt+α). Déterminer
A (l’amplitude) et α (la phase).
1 Les nombres complexes
43
Suggestion Utiliser le fait que A cos(ωt + α) = Re (aeiωt ), où a = Aeiα .
60. Calculer cos x + sin x à l’aide des exponentielles complexes.
61. Trouver ce que vaut 1 + tan2 θ en utilisant les formules d’Euler (pour les fonctions sinus et
cosinus en termes d’exponentielles complexes).
62. Exprimer chacune des expressions suivantes comme une somme de termes de la forme cos (mθ)
et sin (nθ) :
a) sin2 θ − 3 sin θ cos2 θ,
b) sin4 θ.
63.
a) Soit 0 < θ < 2π tel que θ 6= π. Montrer que 0, 1, eiθ et 1 + eiθ sont les sommets d’un
losange, c’est-à-dire un quadrilatère dont les quatre côtés sont tous de même longueur.
* b) Déduire que


si 0 ≤ θ < π,
θ/2
iθ
arg(1 + e ) = indéterminé si θ = π,


θ/2 + π
si π < θ ≤ 2π,
en s’aidant de représentations géométriques.
Suggestion Vérifier ce que font les axes du losange.
−3
i
1
.
64. Soit le nombre complexe z = 1 − i √ − √
2
2
a) Montrer que
π
π
3π
3π
− i cos
= 1 + cos
z = 1 + sin
+ i sin
= 1 + eiπ/4 .
4
4
4
4
* b) Donner la forme polaire de z.
Suggestion Observer que cos x = 2 cos2 (x/2) − 1 et sin x = 2 cos (x/2) sin (x/2) ou utiliser
l’exercice 63.
c) Avec le même nombre complexe z que ci-dessus, situer i/ (1 − z) dans le plan complexe.
65. En utilisant les formules d’Euler, écrire sin (2x) cos3 x sous la forme d’une somme de cosinus
et de sinus.
66. En utilisant les formules d’Euler, écrire 2 sin2 θ − 1 sous la forme d’une combinaison linéaire
de termes de la forme sin θ, cos θ, sin (2θ) et cos (2θ).
* 67. Si les nombres complexes z1 et z2 sont situés du même côté d’une droite L qui passe par
l’origine, est-il vrai qu’on a nécessairement
z1 + z2 6= 0 et
1
1
+
6= 0 ?
z1
z2
Suggestion Effectuer une rotation du plan complexe autour de l’origine jusqu’à ce que la
droite L coïncide avec l’axe imaginaire et que les points z1 et z2 se retrouvent tous deux à
droite de L. Compléter le raisonnement en observant que si Re(z) > 0, alors Re (1/z) > 0.
* 68. Obtenir (2 + 3i)3 sans calculer explicitement l’argument θ de 2 + 3i, mais plutôt en utilisant
les formules pour cos (3θ) et sin (3θ) (démontrées dans la section 1.2.4).
44
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
69. Résoudre l’équation (z 4 − 16)(z 3 + 1) = 0.
70. Dans chacun des cas suivants, écrire l’expression donnée en facteurs linéaires ou quadratiques
irréductibles réels et donner ensuite les racines :
a) z 4 − 81,
b) z 3 − 2z 2 + z − 2,
√
√
c) z 3 − 2z 2 + z − 2,
d) z 4 + 5z 2 + 6.
71. Factoriser les polynômes suivants sous la forme an (z − z1 ) · · · (z − zn ) :
a) z 3 − 1,
b) z 4 + 7z 2 + 10.
72. Factoriser le polynômes suivants sous la forme an (z − z1 ) · · · (z − zn ) :
a) z 4 + 5z 2 + 6,
b) 4z 4 + 5z 2 + 1.
73. Décomposer p(z) = z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z+1 en facteurs linéaires réels et en facteurs quadratiques
réels irréductibles.
Suggestion On rappelle que
z 6 − 1 = (z − 1)(z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1).
74. Considérer le polynôme p(z) = (z + 3)4 + 16.
a) Trouver toutes les racines de p(z).
Suggestion Écrire d’abord z + 3 = w.
b) Si l’on écrit p(z) comme un produit de facteurs linéaires réels ou quadratiques irréductibles réels, combien de facteurs de chaque type obtient-on ? Justifier. (Il n’est pas
essentiel de faire tous les calculs en détail.)
75. Considérer le polynôme p(z) = (z − 1)4 + 81.
a) Trouver toutes les racines de p(z).
Suggestion Écrire d’abord z − 1 = w.
b) Si l’on écrit p(z) comme un produit de facteurs linéaires réels ou quadratiques irréductibles réels, combien de facteurs de chaque type obtient-on ? Justifier brièvement. (Il
n’est pas essentiel de faire tous les calculs en détail.)
76. Résoudre
a) z 6 − z 3 + 1 = 0,
* b) z 4 − 8iz 2 − 25 = 0,
c) z 3 + z + 2 = 0.
* 77. Soit a et b, deux nombres réels non nuls. Sachant que dans le plan complexe, deux des racines
du polynôme p(z) = z 3 + az 2 + bz sont sur la droite y = −2x, donner l’équation de la droite
(passant par l’origine) sur laquelle se trouve la troisième racine de p(z).
Remarque L’une des racines est facile à identifier ; laquelle ?
78. Trouver un polynôme p(z) à coefficients réels de degré minimal ayant 2i comme racine
(simple), 2 comme racine double et 1 + i comme racine de multiplicité 3.
1 Les nombres complexes
45
√
79. Trouver un polynôme p(z)pà coefficients
√ réels de degré minimal qui possède 0,56 et − 2
comme racines simples et 5/3 et 3 − 7i comme racines doubles.
* 80. On sait que le polynôme réel p(z) de degré 4 possède la racine complexe z1 = 1 + i et que sa
seule racine réelle est z2 = 3. Sachant que p(1) = 4, déterminer ce polynôme.
81. Sachant que 2i − 1 est une racine du polynôme p(z) = z 4 + 3z 2 − 6z + 10, factoriser p
complètement.
82. Trouver un polynôme à coefficients réels de degré minimal qui a 2 comme racine simple, 0
comme racine double et qui s’annule en −i.
83. Trouver un polynôme à coefficients réels de degré minimal qui possède les racines :
√
√
a) 3, − 3, i, 3 + 2i,
√
b) 3, i, 3 + 2i.
84. Trouver un polynôme à coefficients réels de degré minimal qui a 1 − i comme racine double,
1 comme racine simple, 0 comme racine triple et qui s’annule en 1 + i.
85. Trouver un polynôme à coefficients réels de degré minimal qui a 1 + i comme racine double,
1 comme racine simple et 0 comme racine triple.
86.
a) Trouver les nombres réels a et b tels que le nombre complexe 1 + i soit solution de
l’équation
z 3 + az 2 + b = 0.
b) En déduire la décomposition en facteurs linéaires du polynôme
p(z) = z 3 − z 2 + 2,
c’est-à-dire, écrire p(z) sous la forme
p(z) = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ).
87. Soit p(z), un polynôme de degré 3 à coefficients réels tel que i est une racine de p(z) et tel
que p(4) = 0 et p(1) = −3. Trouver p(z).
88. Considérons le polynôme p(z) = z 3 + az 2 + bz + 10, où a et b sont des constantes réelles.
a) Étant donné que p(2 + i) = 0, trouver (sans calcul !) une autre racine non réelle de p.
b) Trouver la troisième racine en utilisant le fait que p(z) = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ) et que
les racines z1 et z2 sont déjà connues.
Suggestion Évaluer le produit et comparer les coefficients.
c) En déduire les valeurs de a et de b.
89. Considérons le polynôme p(z) = z 3 + az 2 + bz + 5, où a et b sont des constantes réelles.
a) Étant donné que p(2 + i) = 0, trouver une autre racine non réelle de p.
b) Trouver la troisième racine en faisant le développement p(z) = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )
et en utilisant le fait que les racines z1 et z2 sont déjà connues.
c) En déduire la valeur des constantes a et b.
90. Soit p, un polynôme de degré 3, tel que
a) le produit des racines de p est égal à 6,
46
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) la somme des racines de p est égale à 1,
c) p(2) = 0,
d) p(1) = 10.
Quel est ce polynôme ?
* 91. Est-il vrai que les racines du polynôme p(z) = z 4 + z + 4 sont toutes localisées à l’extérieur
du disque unité ?
Suggestion Utiliser l’inégalité triangulaire.
2
Les équations différentielles
2.1
Équations différentielles du premier ordre
2.1.1
L’origine des équations différentielles
Les équations différentielles sont apparues lorsque les scientifiques en ont eu besoin pour résoudre
des problèmes issus de la physique. Aujourd’hui, nombreux sont ceux qui disent que les équations
différentielles représentent l’outil le plus important pour la compréhension des sciences physiques.
En effet, plusieurs phénomènes physiques peuvent être traduits par des modèles (ou représentations)
mathématiques. Lorsque ces phénomènes sont dynamiques, leurs modèles contiennent presque
toujours des équations différentielles.
C’est ainsi que la plupart des phénomènes naturels dynamiques, comme la chute d’un objet, le
mouvement d’un pendule et le mouvement des planètes, se décrivent par des modèles mathématiques impliquant des équations différentielles. Nous en donnerons un exemple à la section 2.2.1.
Auparavant, présentons quelques définitions ainsi que quelques exemples.
2.1.2
Définitions et exemples
Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction y(x) à certaines de ses dérivées. Le
cas le plus simple d’équation différentielle est celui du type
(1)
dy
= g(x).
dx
Résoudre l’équation différentielle (1) revient à chercher les fonctions y(x) dont la dérivée est g(x).
Exemple 1. Ainsi, les solutions de
(2)
dy
= x3
dx
sont données par
x4
+ C,
4
où C est une constante arbitraire (c’est-à-dire un nombre réel quelconque).
(3)
y(x) =
D’ailleurs, il est possible de vérifier les solutions obtenues, car en substituant (3) dans (2), on
x4
vérifie facilement que y(x) =
+ C est une solution de l’équation différentielle (2). En effet,
4
nous avons
y0 =
4x3
= x3 .
4
48
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Le fait que l’équation différentielle (2) possède une infinité de solutions (une pour chaque valeur
de C) n’est pas une coïncidence. En effet, comme on va le voir plus loin, si une équation différentielle implique des dérivées d’ordre 1, alors on verra en général apparaître une constante dans sa
solution. S’il s’agit d’une équation différentielle impliquant des dérivées d’ordre 2, alors il y aura en
général deux constantes dans la solution, et ainsi de suite.
Exemple 2. Ainsi, pour résoudre l’équation différentielle
y 00 = ex + x2 ,
il suffit d’intégrer à deux reprises. Nous avons
y 0 = ex +
x3
+ c1
3
et ensuite
x4
+ c1 x + c2 .
12
La méthode générale pour résoudre de telles équations est présentée à la section 2.2.
y = ex +
On dit qu’une équation différentielle est d’ordre n si l’ordre le plus élevé d’une dérivée est n.
La plupart des équations différentielles possèdent une infinité de solutions 1 . Cela se traduit habituellement par la présence de une ou de plusieurs constantes dans la formule qui exprime
l’ensemble des solutions.
1
Exemple 3. Considérons l’équation différentielle y 0 = et son ensemble de solutions (obtenu
2
1
par intégration) y(x) = x + b, où b est une constante qui peut prendre n’importe quelle valeur
2
1
1
réelle. En fait, l’équation y = x + b décrit la famille de droites (toutes parallèles) de pente .
2
2
Quelques membres de cette famille apparaissent dans le graphique ci-dessous (figure 2.1).
Figure 2.1
En général, vérifier qu’une fonction particulière (ou même une famille de fonctions) est une solution
d’une équation différentielle donnée est relativement facile. Il suffit de remplacer la variable y de
1. Il est très rare que ce soit le contraire : une des exceptions est fournie par l’équation différentielle (y 0 )2 + y 2 = 0,
laquelle ne possède que la solution y = 0.
2 Les équations différentielles
49
l’équation différentielle par la fonction (ou la famille de fonctions) et de vérifier que l’égalité est
toujours respectée.
Exemple 4. Dans le tableau ci-dessous, on peut vérifier que la fonction (ou famille de fonctions)
donnée dans la colonne de gauche est une solution de l’équation différentielle donnée dans la
colonne de droite (ici, c, c1 et c2 sont des constantes).
0
y = x3 + c
−→ y 0 = 3x2 , car x3 + c = 3x2 ,
y = c1 sin (3x) + c2 cos (3x) −→ y 00 + 9y = 0.
De même, nous avons
y = x tan x
−→ xy 0 − y − x2 − y 2 = 0,
y = t + sin t
−→ y 00 + y = t,
−5t
y = ce
−→ y 0 + 5y = 0,
3x
y = ce − 1
−→ y 0 = 3(y + 1),
y = c1 + c2 ln x
−→ xy 00 + y 0 = 0.
Par contre, trouver une solution d’une équation différentielle n’est pas toujours une mince affaire.
C’est précisément cela qui rend l’étude des équations différentielles très intéressante.
Avec des constantes telles que c, c1 et c2 (dans les sept exemples donnés ci-dessus), des fonctions
comme y = x3 + c et y = c1 sin (3x) + c2 cos (3x) pourraient s’écrire respectivement y(x, c) et
y(x, c1 , c2 ). Elles désigneraient alors une famille de fonctions dépendant de x et soit d’un ou
deux paramètres, à savoir c1 et c2 . Il en est de même pour les autres exemples. (Paramètre :
valeur constante de notre choix.)
Nous disons que y(x) est une solution particulière d’une équation différentielle si y vérifie
l’équation différentielle.
On dit que y(x, c), ou y(x, c1 , c2 ), est la solution générale d’une équation différentielle si toute
fonction représentée par une telle formule satisfait l’équation différentielle et si, réciproquement,
chaque solution particulière de l’équation différentielle peut être obtenue de y(x, c) ou de y(x, c1 , c2 )
en spécifiant un choix particulier des paramètres. Autrement dit, tous les membres de la famille
considérée satisfont l’équation différentielle en question, et toute solution (de l’équation différentielle)
qu’on peut trouver est en fait un membre de la famille considérée.
Tout cela doit être nuancé, car il existe des exceptions occasionnelles.
1
, c étant une constante arbitraire
1 + ce−t
(paramètre), est la solution générale de l’équation différentielle dy/dt = y(1 − y), car toutes les
solutions sont représentées, à l’exception de la solution y = 0.
Exemple 5. La famille de fonctions y = y(t, c) =
Une solution d’une équation différentielle ne pouvant pas être écrite sous la même forme que la
solution générale est appelée une solution singulière. Dans l’exemple précédent, la solution y = 0
est une solution singulière.
50
2.1.3
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Les équations différentielles à variables séparables
Si une équation différentielle du premier ordre peut s’écrire sous la forme
(4)
g(y(x))y 0 (x) = f (x) ou y 0 =
f (x)
,
g(y)
on dit alors qu’elle est à variables séparables (ou qu’il s’agit d’une équation différentielle
séparable).
Si G(y) et F (x) sont respectivement les primitives de g(y) et de f (x), ou, en d’autres mots, si
(5)
G0 (y) = g(y)
et
(6)
F 0 (x) = f (x),
alors, par la règle de l’enchaînement des dérivées (pour une fonction composée),
d
G(y(x))
dx
= G0 (y(x)) · y 0 (x)
(où l’on a utilisé (5))
=
g(y(x)) · y 0 (x)
=
f (x)
(où l’on a utilisé (4))
d
F (x)
(où l’on a utilisé (6)).
dx
=
On tire ainsi la conclusion que
G(y(x)) = F (x) + C,
pour une certaine constante C.
Mentionnons en terminant qu’une fois qu’on comprend le concept de la résolution des équations
différentielles à variables séparables, on peut procéder de façon plus expéditive en ce sens : comme
une primitive
s’obtient
en pratique en calculant une intégrale, l’équation G(y(x)) = F (x) + C peut
R
R
se lire g(y) dy = f (x) dx + C. C’est comme si l’on avait manipulé algébriquement g(y), f (x), dy
et dx, pour ensuite intégrer.
Exemple 6. Cherchons la solution de
(7)
xy 0 − 2y = 0.
Nous devons tout d’abord isoler y 0 . Nous obtenons successivement
xy 0 − 2y = 0
xy 0 = 2y
2y
y0 =
x
Remplaçons y 0 par
dy
afin d’obtenir
dx
dy
2y
=
dx
x
si x 6= 0.
si x 6= 0.
2 Les équations différentielles
51
Il nous faut ensuite placer tous les termes en y du côté gauche de l’équation et tous les termes en
x du côté droit de l’équation. Il est important que la différentielle dy multiplie tous les termes
en y.
dy
2
= dx
y
x
si x 6= 0, y 6= 0.
Il s’agit donc d’une équation différentielle à variables séparables, car nous avons réussi à séparer
les variables x et y. Il nous reste donc à intégrer des deux côtés afin d’obtenir
ln |y| = 2 ln |x| + C
pour une constante arbitraire réelle C. Rappelons que pour toute constante réelle a et pour tout
b > 0, nous avons a ln b = ln (ba ). Ainsi,
ln |y| = ln x2 + C = ln x2 + C,
car x2 = x2 . Il suffit ensuite d’utiliser la fonction exponentielle (rappelons que eln a = a pour
toute constante a > 0). Nous obtenons alors
2
2
eln|y| = eln(x )+C = eln(x ) eC .
Ainsi,
|y| = x2 eC .
Puisque C est une constante arbitraire réelle, nous avons que eC est une constante arbitraire
réelle et strictement positive, c’est-à-dire eC > 0. Posons eC = D. On obtient ainsi
|y| = Dx2
où D > 0. Pour enlever la valeur absolue, il suffit de laisser D prendre des valeurs négatives.
y = Dx2 ,
où D 6= 0 est une constante arbitraire (nous omettons le cas D = 0, car rappelons que nous
avons supposé depuis le début que y 6= 0).
Il nous reste donc à vérifier que le cas y = 0 (ou encore D = 0) est possible, c’est-à-dire s’il
s’agit d’une solution particulière de l’équation différentielle (7). En remplaçant y par 0, nous
avons y 0 = 0, de sorte que
xy 0 − 2y = 0x − 2 · 0 = 0.
Ainsi, il est possible de conclure que y = 0 est une solution particulière de l’équation différentielle, de sorte que la solution générale de l’équation différentielle à variables séparables (7)
est
y = Dx2 ,
où D est une constante arbitraire réelle. Notons que, dans cet exemple, la solution y = 0 n’est
pas une solution singulière, car elle peut être écrite sous la même forme que la solution générale
avec le choix D = 0.
52
2.1.4
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Proportionnalité
En mathématiques, il arrive souvent de travailler avec plusieurs variables. Parfois, ces dites variables
sont reliées entre elles. La proportionnalité est un moyen de spécifier une relation entre des variables.
Plus concrètement, nous disons que la variable X est proportionnelle à la variable Y s’il existe
une constante réelle et non nulle k telle que
X = kY.
Le nombre k est alors appelé constante de proportionnalité. La notation
X ∝ Y
est souvent utilisée afin d’indiquer que la variable X est proportionnelle à la variable Y .
Notons que si X est proportionnelle à Y avec constante de proportionnalité k, alors Y est propor1
tionnelle à X avec constante de proportionnalité .
k
La variable X est dite inversement proportionnelle à la variable Y s’il existe une constante réelle
et non nulle k telle que
X=k
1
.
Y
Dans ce cas-ci, nous utilisons la notation
1
.
Y
La constante k est également appelée constante de proportionnalité. Tout comme lors du cas
précédent, si X est inversement proportionnelle à Y avec constante de proportionnalité k, alors Y
1
est inversement proportionnelle à X avec constante de proportionnalité .
k
X ∝
Afin de pratiquer cette notion de proportionnalité, voyons maintenant quelques problèmes de modélisation concernant les équations différentielles séparables. Dans tous les cas, il sera très important
de définir les variables en jeu.
Notons qu’en pratique, il faut spécifier si la constante de proportionnalité est positive ou négative,
et que le signe de cette constante dépend toujours du problème à résoudre.
2.1.5
La croissance d’une population : le modèle simple
Considérons une population de cellules qui se multiplient sans cesse et supposons qu’il n’y ait pas
de mortalité. Soit N (t), le nombre de cellules dans la population au temps t. Il va de soi que le taux
de changement de la population en tout temps est proportionnel à N (t), c’est-à-dire à la taille de la
population au temps t. Ce phénomène se traduit mathématiquement par l’équation différentielle
(8)
N 0 (t) = kN (t),
pour une certaine constante k > 0. En effet, le taux de changement de la taille de la population
correspond à N 0 (t), et ce taux est proportionnel à la taille de la population, à savoir N (t). La
constante de proportionnalité est positive, car il s’agit d’un accroissement de la population. En
2 Les équations différentielles
53
séparant les variables, cette équation peut s’écrire sous la forme
N0
= k.
N
Cette équation a du sens, car N > 0. Cela donne, après intégration,
ln N (t) = kt + c.
Notons que nous n’avons pas écrit ln |N (t)|, car N (t) > 0. Après exponentiation, nous obtenons
(9)
N (t) = ekt+c = ec ekt .
def
Comme N0 = N (0) = ec , on peut écrire (9) sous la forme
N (t) = N0 ekt .
Cette équation traduit le fait que la population croît de manière exponentielle. Ci-dessous, on illustre
le modèle de croissance N (t) = 2et/4 (figure 2.2).
Figure 2.2
Souvent, ces phénomènes sont observables, et c’est pourquoi on peut calculer la valeur de la constante
k en comptant, par exemple, le nombre N (1) d’individus au bout d’une unité de temps, auquel cas
N (1)
N (1)
ek =
, auquel cas k = ln
.
N0
N0
2.1.6
La croissance d’une population : le modèle plus réaliste
Dans le modèle de croissance de population examiné à la section 2.1.5, on a supposé qu’il n’y avait
pas de mortalité, ce qui n’est habituellement pas le cas dans une population normale. Dans une telle
population, nous supposons toujours que le taux de changement de la population en tout temps est
proportionnel à la taille de la population, et nous notons par n et m les taux (ou spécifiques) de
natalité et de mortalité. Si N (t) représente la taille de la population, nous avons donc
(10)
N 0 (t) = nN (t) − mN (t) = (n − m)N (t)
(n, m > 0) .
En effet, nN (t) est positif, car il s’agit d’un accroissement de la population, et −mN (t) est négatif,
car il s’agit d’une diminution de la population.
On pourrait croire que (10) est une équation qui équivaut à (8), où la constante k a simplement
été remplacée par la constante n − m. Mais, en réalité, ces deux quantités n et m varient souvent
elles-mêmes selon la taille de la population, et donc le temps, c’est-à-dire n = n(t) et m = m(t).
54
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
C’est le cas, par exemple, du taux relatif de mortalité m, qui peut varier si, dans une population
donnée, le stock de nourriture est limité. Pour effectuer une simulation raisonnable, prenons le cas le
plus simple, soit celui où le taux relatif de mortalité est directement proportionnel à la population,
c’est-à-dire lorsque m = m(t) = m1 · N (t), pour une certaine constante positive m1 . L’équation (10)
devient alors
(11)
N 0 (t) = (n − m1 N (t)) N (t),
qu’on appelle le modèle logistique. Supposons, de plus, que n − m1 N (t) > 0 pour tout t ≥ 0.
En utilisant les fractions partielles, nous avons
1
1
=
(n − m1 N )N
n
m1
1
+
n − m1 N
N
.
Ainsi, en appliquant la méthode développée à la section 2.1.3, à partir de (11), nous obtenons
successivement
N0
= 1,
(n − m1 N )N
m1 N 0
N0
+
= n,
n − m1 N
N
− ln(n − m1 N ) + ln N = nt + C.
N0
En posant t = 0 et N (0) = N0 , on obtient C = ln
. Il s’ensuit que
n − m 1 N0
N0
N
=
ent .
n − m1 N
n − m1 N0
Enfin, nous obtenons après quelques manipulations
N = N (t) =
(nN0 /(n − m1 N0 ))ent
.
1 + (m1 N0 /(n − m1 N0 ))ent
À noter L’équation du type (11) est réétudiée à l’exercice 72 b).
2.1.7
La désintégration radioactive
La perte de masse d’un corps radioactif dans une unité de temps est proportionnelle à la masse
présente (au début de l’intervalle de temps). Ainsi, si m(t) désigne la masse au temps t, ce phénomène
se traduit par l’équation différentielle
m0 (t) = −km(t),
(k > 0 constante).
Le tout doit être négatif, car il s’agit d’une perte de masse.
Cette équation étant à variables séparables, la solution s’obtient comme suit :
m0
=
m
ln m(t) =
−kt + c,
m(t)
e−kt+c .
=
−k,
car m > 0,
2 Les équations différentielles
55
Comme ec = m(0) = m0 , soit la masse initiale du corps radioactif, la solution m(t) s’écrit
(12)
m(t) = m0 e−kt .
Il est coutumier d’appeler demi-vie le temps > au bout duquel le corps a perdu la moitié de sa
masse par rayonnement radioactif. On peut établir la valeur de > à partir de (12) en cherchant la
solution > de l’équation
m0
= m0 e−k> ,
2
ce qui donne
ln 2
.
k
Cette formule s’avère très utile pour déterminer les dates d’événements qui ont eu lieu il y a des
millions d’années. C’est ainsi qu’on peut déterminer la date de certaines éruptions volcaniques. De
même, c’est par cette méthode qu’on a pu estimer l’âge de la terre à 4,5 milliards d’années.
(13)
>=
Le principe de datation à l’aide du 14 C (carbone quatorze) est l’un des plus classiques. Il est basé
sur les trois faits suivants : le 14 C
— est en quantité fixe dans l’atmosphère (il est formé régulièrement dans la haute atmosphère) ;
— est assimilé et fixé par les plantes et les animaux ;
— a une demi-vie de 5 715 années.
Nous devons l’idée d’utiliser le 14 C pour estimer l’âge des fossiles à W. F. Libby, idée qui lui a
d’ailleurs valu le prix Nobel de chimie en 1960. Voici un exemple :
Exemple 7. Supposons qu’on arrive à mesurer que la quantité de 14 C d’un certain fossile est
un dixième de sa quantité originale ; quel est l’âge de ce fossile ?
En fait, on cherche à calculer l’âge t du fossile à l’aide de la formule (12). Pour ce faire, il nous
faut connaître la valeur de la constante k. Comme la demi-vie du 14 C est de 5 715 années, on
utilise (13) avec > = 5 715, ce qui donne
k=
ln 2
ln 2
=
= 0, 000 121.
>
5 715
L’équation (12) devient donc
(14)
m(t) = m0 e−0,000 121 t .
Or, on a comme information que
m0
.
10
En combinant (14) et (15), on obtient successivement
m0
= m0 e−0,000 121 t ,
10
e0,000 121 t = 10,
ln 10
t =
≈ 19 029.
0, 000 121
(15)
m(t) =
56
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Le fossile date donc d’environ 19 000 années.
2.1.8
La chute des corps
D’après la deuxième loi de Newton, si un corps de masse m se déplace avec une vitesse v et est
soumis à une force F , on a
d
(mv) = F,
dt
c’est-à-dire m
où a =
dv
dm
+v
= F . Lorsque la masse est constante, on retrouve la relation familière
dt
dt
ma = F,
dv
est l’accélération.
dt
En mécanique, on appelle p = mv la quantité de mouvement linéaire du corps. En l’absence
d
de force exercée sur le corps, on obtient
p = 0, d’où p = constante. On obtient ainsi le principe
dt
important suivant :
Loi de conservation de la quantité de mouvement En l’absence de force, la quantité de mouvement
est conservée (c’est-à-dire p = mv = constante).
Considérons un corps de masse m se déplaçant verticalement dans un fluide sous l’effet de la gravité.
D’après la deuxième loi de Newton, on a toujours
d
(mv) = F,
dt
mais il s’agit maintenant, pour obtenir l’équation du mouvement, de modéliser la résultante des
forces s’exerçant sur le corps. Dans un premier temps, remarquons que F est la résultante des trois
forces suivantes (figure 2.3) :
— P = mg, le poids ;
— FR , la résistance due à la viscosité du fluide ;
— FA , la poussée hydrostatique (ou poussée d’Archimède) qui, d’après le principe d’Archimède,
est égale au poids du fluide déplacé.
C’est pourquoi l’équation du mouvement est
dv
dm
+v
= mg − FR − FA .
dt
dt
Dans l’air, la poussée d’Archimède est négligeable si la densité du corps est beaucoup plus grande
que la densité de l’air. Cependant, si l’on s’intéressait par exemple à un ballon gonflé à l’hélium ou
à une montgolfière, on devrait tenir compte de la poussée hydrostatique.
(16)
m
2 Les équations différentielles
57
Figure 2.3
Dans les premiers exemples qui suivent, on émet l’hypothèse que la masse est constante et qu’il n’y
a pas de poussée hydrostatique. Ainsi, l’équation du mouvement est
(17)
m
dv
= mg − FR .
dt
Chute libre sans résistance de l’air
Si l’on suppose que FR = 0, l’équation du mouvement devient
dv
dv
= mg,
c’est-à-dire
= g.
dt
dt
Remarquons qu’ici la direction positive est celle vers le bas.
(18)
m
Supposons que la vitesse initiale soit v(0) = v0 . Alors, (18) est une équation différentielle séparable,
car
dv = g dt.
Après intégration, nous obtenons
v(t) = gt + C.
Puisque v(0) = v0 , alors
v0 = v(0) = g · 0 + C = C,
de sorte que
v(t) = gt + v0 .
Maintenant, si x(t) désigne la distance parcourue de l’instant 0 à l’instant t (de sorte que x ≥ 0 et
x(0) = 0), nous avons
dx
= v,
dt
de sorte que
dx
= gt + v0 .
dt
58
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Il s’agit encore une fois d’une équation différentielle séparable, car nous obtenons
dx = (gt + v0 ) dt.
En intégrant des deux côtés de cette équation, nous en déduisons que
x(t) =
1 2
gt + v0 t + D.
2
Puisque x(0) = 0, nous avons
0 = x(0) =
1
g · 02 + v0 · 0 + D = D.
2
Ainsi,
x(t) =
1 2
gt + v0 t.
2
Dans le cas général où x(0) = x0 , nous aurions obtenu
(19)
x(t) =
1 2
gt + v0 t + x0 .
2
Chute libre avec résistance de l’air proportionnelle à la vitesse
Pour des corps de forme assez régulière se déplaçant à des vitesses relativement basses dans l’air,
on émet habituellement l’hypothèse que la force due à la résistance de l’air est proportionnelle à la
vitesse, c’est-à-dire
FR = kv,
où k est une constante positive.
Ainsi, l’équation du mouvement (17) devient ici (figure 2.4) :
(20)
m
dv
= mg − kv.
dt
Figure 2.4
Supposons que la vitesse initiale soit v(0) = 0 et désignons par x(t) la distance parcourue de l’instant
0 à l’instant t, de sorte que
dx
= v.
dt
Résolvons d’abord l’équation (20) avec la condition initiale v(0) = 0. En séparant les variables, dans
2 Les équations différentielles
59
le cas mg − kv 6= 0, nous obtenons
dv
k
g− m
v
dv
mg
k −v
ou encore
=
dt
=
k
dt.
m
En intégrant, si nous supposons de plus que mg − kv > 0, il vient
mg
k
− ln
− v = t + c0 ,
k
m
pour une certaine constante c0 , d’où
k
mg
− v = e−c0 e− m t .
k
mg
−c0
=
Sachant que v(0) = 0, on obtient e
, et de là,
k
k
mg (21)
v(t) =
1 − e− m t .
k
k
Puisque k > 0, e− m t → 0 lorsque t → ∞, alors
mg
v(t) →
= v∞
k
lorsque t → ∞,
mg
. Remarquons en particulier
k
que v(t) < v∞ pour tout t > 0, auquel cas on a bien, comme nous l’avons supposé ci-dessus, que
mg
mg
v<
, c’est-à-dire
− v > 0. Ces résultats sont représentés par la figure 2.5.
k
k
c’est-à-dire que la vitesse du corps tend vers la vitesse limite v∞ =
Figure 2.5
Remarque Sans résoudre l’équation différentielle, on peut déterminer la vitesse limite v∞ . Pour cela,
dv
remarquons que si le corps se déplace à la vitesse limite, c’est-à-dire v = v∞ , l’accélération
est
dt
nulle. On a alors, selon l’équation différentielle (20), 0 = mg − kv∞ , d’où v∞ = mg/k. En d’autres
mots, la fonction constante v(t) ≡ v∞ est une solution de l’équation différentielle et correspond au
cas mg − kv = 0 exclu lors de la démarche de séparation des variables.
Déterminons maintenant x(t), la distance parcourue. On a
dx
= v(t)
dt
et
x(0) = 0,
60
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d’où, en utilisant (21), il vient
Z
x(t) =
v(t) dt + c =
mg
m2 g k
t + 2 e− m t + c.
k
k
Puisque x(0) = 0, on obtient c = −m2 g/k 2 et donc
mg
m2 g k
t + 2 e− m t − 1 .
k
k
Nous pouvons tout de suite remarquer que cette équation semble plus compliquée que l’équation
(19) obtenue en ignorant la résistance de l’air.
x(t) =
Chute libre avec résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse
Pour des corps se déplaçant à des vitesses relativement élevées, on émet l’hypothèse que la résistance
de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse, c’est-à-dire
(22)
où k est une constante positive.
FR = kv 2
1
CρA2 , où
2
C = coefficient de résistance (ou de traînée aérodynamique) ;
En fait, k =
ρ =
densité du fluide ;
A =
aire de la section du corps mesurée perpendiculairement à la direction
du mouvement.
Le coefficient C est habituellement déterminé expérimentalement, comme c’est le cas en soufflerie,
par exemple.
En utilisant la relation (22), l’équation de mouvement (17) devient
(23)
m
dv
= mg − kv 2 .
dt
Figure 2.6
Désignons par x(t) la distance parcourue et prenons x = 0 lorsque t = 0 (figure 2.6). On a
où v vérifie l’équation (23). Ainsi,
(
(24)
dv
= mg − kv 2 ,
dt
v(0) = 0.
m
dx
= v,
dt
2 Les équations différentielles
61
Comme dans l’exemple précédent, on peut déterminer la vitesse limite v∞ , laquelle doit ici vérifier
dv
2
2
par 0 dans
0 = mg − kv∞
, c’est-à-dire v∞
= mg/k. (En effet, il suffit de remplacer v par v∞ et
dt
l’équation différentielle (24).)
En divisant l’équation (24) par m, on obtient
dv
k
k 2 mg v −
,
= g − v2 = −
dt
m
m
k
ce qui conduit à
dv
g
2
),
= − 2 (v 2 − v∞
dt
v∞
(25)
car
mg
m
v2
2
= v∞
et
= ∞.
k
k
g
En séparant les variables dans l’équation (25), on obtient
g
dv
= − 2 dt,
2
v 2 − v∞
v∞
d’où, selon les tables d’intégration de l’Aide-mémoire (voir appendice A, page 316),
1
g
v − v∞
= − 2 t + c,
ln
2v∞
v + v∞
v∞
et alors
2g
v − v∞
= be− v∞ t
v + v∞
avec b = ±ec (nouveau symbole c).
La condition initiale entraîne que b = −1, de sorte que
v − v∞
= −e−2Kt ,
v + v∞
(K = g/v∞ ).
Après avoir résolu cette dernière équation pour v, on obtient
Kt
1 − e−2Kt
e − e−Kt
v(t) = v∞
=
v
.
∞
1 + e−2Kt
eKt + e−Kt
Finalement, il faut savoir qu’il est possible d’obtenir à l’aide de cette équation une expression pour
x(t) en passant par des fonctions hyperboliques.
Chute libre avec résistance et poussée hydrostatique
Ici, nous considérons un mouvement dans un fluide pour lequel il faut tenir compte de la poussée
hydrostatique. Nous supposons que le corps en mouvement a une masse constante. Ainsi, l’équation
du mouvement (16) devient
dv
= mg − FR − FA .
(26)
m
dt
Si V désigne le volume du corps et ρ la densité du fluide, d’après le principe d’Archimède, on a
FA = V ρg. En dernier lieu, nous supposons que la force de résistance due à la viscosité du fluide
est proportionnelle à la vitesse et est donc donnée par FR = kv, où k est une constante positive.
62
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
L’équation (26) devient donc
m
dv
= mg − V ρg − kv.
dt
Prenons la condition initiale v(0) = 0 et résolvons cette équation différentielle, que nous pouvons
d’abord écrire sous la forme
V ρg
k
k
mg V ρg
k
dv
=g−
− v=−
v−
−
= − (v − A) ,
dt
m
m
m
k
k
m
mg V ρg
où l’on a posé la constante A =
−
. Alors, dans le cas où v − A 6= 0, nous séparons les
k
k
variables pour obtenir
dv
k
= − dt,
v−A
m
d’où, en intégrant,
ln |v − A| =
v−A =
k
t + c,
m
k
avec b = ±ec .
be− m t ,
−
La condition initiale entraîne que b = −A, d’où
k
v − A = −Ae− m t .
Ainsi,
k
k
v(t) = A − Ae− m t = A(1 − e− m t ),
c’est-à-dire,
(27)
v(t) =
mg V ρg
−
k
k
En particulier, on obtient de (27) que v(t) → v∞ =
k
1 − e− m t .
mg V ρg
−
lorsque t → ∞.
k
k
Si, comme dans les exemples précédents, on désigne par x(t) la distance parcourue depuis le début
dx
= v(t),
jusqu’à l’instant t et qu’on choisit la condition initiale x(0) = 0, on obtient, en intégrant
dt
que
2
mg V ρg
m g V ρgm − k t
x(t) =
e m −1 .
−
t+
−
2
2
k
k
k
k
2.1.9
Problèmes de mélange
Il arrive que nous nous intéressons à la concentration d’un produit versé dans un lieu comme, par
exemple, un bassin.
Ces problèmes-ci sont appelés des problèmes de mélange (par souci de simplicité, ces mélanges sont
toujours considérés homogènes). Notons par C(t) la concentration d’un produit au temps t, par V (t)
le volume de ce même produit au temps t et par M (t) la masse de ce produit au temps t. Ces trois
2 Les équations différentielles
63
variables sont liées par la relation
C(t) =
M (t)
.
V (t)
La résolution de ces problèmes suit essentiellement les étapes présentées dans l’exemple suivant :
Exemple 8. Un bassin de 20 ` contient 15 ` d’eau pure. Un mélange d’eau salé à 0, 2 kg/` est
versé dans ce bassin à un taux de 5 `/min. Simultanément, un trou au fond du bassin cause un
écoulement hors du réservoir de 5 `/min.
Déterminons la concentration de sel dans ce réservoir au temps t.
Dans un premier temps, il nous faut déterminer le volume de liquide dans le bassin. Notons-le
par V (t). Nous savons qu’il y entre de l’eau à un débit de 5 `/min et qu’il en sort à 5 `/min.
Ainsi, le taux de variation du volume (qui est en `/min, car il s’agit d’une variation du volume
par rapport au temps) satisfait
dV
= 5 − 5 = 0,
dt
c’est-à-dire que le volume est constant. Puisqu’il était initialement de 15 `, alors
V (t) = V = 15.
Maintenant, que pouvons-nous dire par rapport à la concentration de sel dans le bassin ? De
manière générale, nous ne pouvons pas le savoir directement. En effet, ce n’est pas parce qu’il y
a de l’eau salée à 0, 2 kg/` versée dans le bassin que la concentration va augmenter de 0, 2 kg/`
dans le bassin. Cependant, nous pouvons travailler avec la masse M (t) de sel.
En effet, nous savons qu’il y a un débit entrant de 5 `/min à 0, 2 kg/`. Ainsi, en multipliant les
deux, nous obtenons
`
kg
kg
· 0, 2
=1
.
min
`
min
Cela signifie qu’à chaque minute, il devrait y avoir 1 kg de sel versé dans le bassin.
5
Néanmoins, il ne faut pas oublier qu’il y a de l’eau qui s’écoule du bassin. Si nous notons
par C(t) la concentration de sel dans l’eau du bassin, nous avons que l’eau qui s’écoule a, au
temps t, une concentration de C(t). Puisque le débit de l’eau sortant est de 5 `/min, nous avons
que
kg
`
kg
·5
= 5C(t)
`
min
min
sort du bassin. Ainsi, le taux de variation de la masse de sel dans le bassin par rapport au
temps t satisfait
C(t)
dM
= 1 − 5C(t).
dt
64
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Puisque C(t) =
M (t)
, alors
V (t)
dM
M (t)
=1−5
.
dt
V (t)
Rappelons-nous que V (t) = V = 15, de sorte que
M
dM
=1−
.
dt
3
Il s’agit d’une équation différentielle à variables séparables. En effet, si M 6= 3, nous avons
(28)
dM
1
= − dt,
M −3
3
de sorte que
t
ln |M − 3| = − + D1 .
3
L’utilisation de l’exponentielle permet de déduire que
|M − 3| = D2 e−t/3
pour une certaine constante D2 > 0, c’est-à-dire
M − 3 = D3 e−t/3
où D3 6= 0. Puisque M (0) = 0 (car l’eau du bassin est pure au temps t = 0), nous en déduisons
que D3 = −3, de sorte que
M = 3 1 − e−t/3 .
Finalement, nous avons que la concentration de sel dans le bassin satisfait
1 − e−t/3
3 M
=
.
1 − e−t/3 =
C=
V
15
5
Notons que l’équation différentielle (28) obtenue dans cet exemple permet également d’obtenir une
équation différentielle pour la concentration. D’une part, nous avions
M0 = 1 −
M
.
3
D’autre part, puisque C = M/V = M/15, alors M = 15C et M 0 = 15C 0 . Ainsi,
15C 0 = 1 −
15
C = 1 − 5C,
3
c’est-à-dire
1
C
− .
15
3
Contrairement à l’exemple précédent, il peut arriver des situations où le volume du bassin n’est pas
constant.
C0 =
2 Les équations différentielles
65
Exemple 9. Un bassin de 20 ` contient 15 ` d’eau pure. Un mélange d’eau salé à 0, 2 kg/` est
versé dans ce bassin à un taux de 5 `/min. Simultanément, un trou au fond du bassin cause un
écoulement hors du réservoir de 1 `/min.
Déterminons une équation différentielle pour C(t).
Dans un premier temps, il nous faut déterminer le volume de liquide dans le bassin. Notons-le
par V (t). Nous savons qu’il y entre de l’eau à un débit de 5 `/min et qu’il en sort à 1 `/min.
Ainsi, le taux de variation du volume (qui est en `/min, car il s’agit d’une variation du volume
par rapport au temps) satisfait
dV
= 5 − 1 = 4.
dt
En intégrant, nous obtenons
V (t) = 4t + D1 .
Puisque le bassin contient initialement 15` d’eau, alors V (0) = 15. Ainsi,
15 = V (0) = 4 · 0 + D1 = D1 ,
de sorte que
(29)
V (t) = 4t + 15.
Nous devons maintenant travailler avec la masse M (t) de sel dans le bassin
Nous savons qu’il y a un débit entrant de 5 `/min à 0, 2 kg/`. Ainsi, en multipliant les deux,
nous obtenons
kg
kg
`
· 0, 2
=1
.
5
min
`
min
Cela signifie qu’à chaque minute, il devrait y avoir 1 kg de sel versé dans le bassin.
Néanmoins, il ne faut pas oublier qu’il y a de l’eau qui s’écoule du bassin. Si nous notons par
C(t) la concentration de sel dans l’eau du bassin, nous avons que l’eau qui s’écoule possède, au
temps t, une concentration de C(t). Puisque le débit de l’eau sortant est de 1`/min, nous avons
que
kg
`
kg
·1
= C(t)
`
min
min
sort du bassin. Ainsi, le taux de variation de la masse de sel dans le bassin par rapport au
temps t satisfait
C(t)
(30)
Puisque C(t) =
dM
= 1 − C(t).
dt
M (t)
, alors M = CV , de sorte que M 0 = C 0 V + CV 0 . Ainsi,
V (t)
C0 =
M 0 − CV 0
,
V
66
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
de sorte qu’en utilisant (29) et (30), nous obtenons
C0 =
1 − C − 4C
1 − 5C
1 − C − CV 0
=
=
.
V
4t + 15
4t + 15
Signalons que l’équation différentielle obtenue dans cet exemple est à variables séparables.
Cependant, il peut arriver que l’équation obtenue ne soit pas séparable. Certaines équations de ce
type sont traitées à la section 2.1.12.
2.1.10
Équation différentielle d’une famille de courbes
Après intégration, il y a toujours présence d’au moins une consante d’intégration. L’équation ainsi
obtenue fait partie d’un ensemble de fonctions beaucoup plus large appelé une famille de courbes.
De manière générale, étant donné une fonction F (x, y, c) (où c est un paramètre), on dit que l’équation F (x, y, c) = 0 représente la famille de courbes planes de paramètre c.
Voyons quelques exemples afin de nous familiariser avec le concept.
Exemple 10. Considérons toutes les équations de la forme
x2 + y 2 = c,
où c est un nombre réel positif. De toute évidence, chacune de ces équations
√ représente un
cercle : dans chaque cas, il s’agit du cercle centré à l’origine et de rayon c. On dit que la
relation x2 + y 2 − c = 0 représente la famille des cercles centrés à l’origine (figure 2.7).
Figure 2.7
Exemple 11. Considérons la famille des hyperboles xy − c = 0, où c parcourt l’ensemble des
nombres réels non nuls. Dans le cas où c > 0, on obtient les hyperboles dont les branches sont
localisées dans les premier et troisième quadrants (figure 2.8), alors que dans le cas où c < 0, on
obtient les hyperboles dont les branches sont situées dans les deuxième et quatrième quadrants
2 Les équations différentielles
67
(figure 2.9).
Figure 2.8
Figure 2.9
Les familles de courbes F (x, y, c) = 0 sont parfois associées à une équation différentielle
appelée l’équation différentielle associée à la famille de courbe. Il s’agit en fait d’une équation
différentielle de la forme G (x, y, y 0 ) = 0 dont les solutions sont données par la famille de courbes
F (x, y, c) = 0. Prenons note que le paramètre c n’est pas du tout présent dans l’équation différentielle. La famille de courbe F (x, y, c) = 0 est parfois appelée la famille des courbes intégrales
de l’équation différentielle G (x, y, y 0 ) = 0.
Exemple 12. Revenons à la famille de cercles
(31)
x2 + y 2 = c.
Si l’on dérive les deux membres de cette équation par rapport à x (en tenant compte du fait
que y dépend de x), on obtient
(32)
c’est-à-dire x + yy 0 = 0,
2x + 2yy 0 = 0,
soit une équation différentielle du premier ordre. Inversement, étant donné l’équation différentielle (32), on peut retrouver (31) en cherchant sa solution. En effet, puisque (32) est une
équation différentielle à variables séparables, on peut appliquer la méthode développée à la
section 2.1.3, auquel cas on a successivement
yy 0
y2
2
y2
x2 + y 2
= −x,
x2
= − + C,
2
= −x2 + 2C,
= c,
où l’on a posé c = 2C. C’est donc dire que la famille de cercles x2 + y 2 = c est entièrement
caractérisée par son équation différentielle associée x + yy 0 = 0.
68
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Trouver l’équation différentielle associée à une famille de courbes n’est pas toujours aussi simple.
Exemple 13. Considérons la famille de cercles (illustrés ci-dessous) :
(33)
x2 + y 2 = 2cx.
Comme cette équation peut aussi s’écrire sous la forme
x2 − 2cx + c2 + y 2
ou encore
(x − c)2 + y 2
= c2
= c2 ,
on reconnaît la famille de cercles centrés au point (c, 0) et de rayon |c| : ce sont les cercles
tangents à l’axe des y à l’origine (figure 2.10).
Figure 2.10
En dérivant par rapport à x, on obtient
(34)
c’est-à-dire x + yy 0 = c.
2x + 2yy 0 = 2c,
Remarquons que le paramètre c est présent dans cette équation. Hors, dans l’équation différentielle associée à une famille de courbes, il ne doit pas être présent !
Pour arriver à éliminer c, il y a deux manières de procéder :
1. La première est d’isoler c dans l’équation de la famille de courbes du départ, c’est-à-dire
(33). Nous obtenons ainsi
x2 + y 2
.
2x
Il suffit ensuite de remplacer le paramètre c de l’équation différentielle par cette formule.
En effet, si nous combinons (34) et (35), nous obtenons successivement
(35)
c=
x + yy 0
=
yy 0
=
x2 + y 2
,
2x
y 2 − x2
2x
(36)
et y 0
2 Les équations différentielles
y −x
1 y
x
=
−
,
2xy
2 x y
2
=
69
2
soit l’équation différentielle cherchée, c’est-à-dire l’équation différentielle associée à la
famille de cercles x2 + y 2 = 2cx. Bien entendu, on aurait pu trouver l’équation différentielle (36) en allant de (33) à (35), puis en dérivant cette dernière par rapport à x.
2. La deuxième manière est d’isoler c dans l’équation différentielle obtenue, c’est-à-dire (34).
Nous obtenons ainsi
c = x + yy 0 .
Il suffit ensuite de remplacer cette expression pour c dans l’équation de la famille de
courbes données au tout début du problème (voir (33)). Nous obtenons ainsi
x2 + y 2 = 2 (x + yy 0 ) x = 2x2 + 2xyy 0 .
Il reste ensuite à isoler y 0 . Si x 6= 0 et y 6= 0, nous obtenons successivement
2xyy 0 = y 2 − x2 ,
x
1 y
−
.
y0 =
2 x y
Bien entendu, il s’agit de la même équation différentielle obtenue avec la première méthode
(voir (36)).
En pratique, pour choisir la bonne méthode, il suffit de vérifier s’il est plus facile d’isoler c dans
l’équation de la famille de courbes ou dans l’équation différentielle (par exemple, isoler c2 peut
s’avérer ardu s’il n’est présent que dans l’une des deux équations).
Qu’en est-il de la réciproque ? En effet, connaissant une équation différentielle, comment peut-on en
déduire sa famille de courbes intégrales ? Le problème consiste donc à résoudre l’équation différentielle.
Notons que dans le dernier exemple, l’équation différentielle obtenue n’est pas à variables séparables,
mais d’un certain type étudié plus tard à la section 2.1.12, page 73.
Exemple 14. Voici quelques exemples où, dans la colonne de gauche, on donne une famille de
courbes avec un ou plusieurs paramètres, alors que, dans la colonne de droite, on trouve l’équation différentielle correspondante, dont l’ordre est égal au nombre de paramètres (à éliminer) :
1. 3x2 − xy 2 = c
6x − y 2 − 2xyy 0 = 0
2
2. xy − 1 = cy
y 3 + (xy 2 + 1)y 0 = 0
2
3. y = ax + bx + c
y (3) = 0
1. En dérivant l’équation par rapport à x, nous obtenons
6x − y 2 − 2xyy 0 = 0,
ce qui correspond bel et bien à l’équation différentielle voulue.
70
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Pour ce qui en est du chemin inverse, nous avons
6x − y 2
3
y
= −
,
2xy
y 2x
y0 =
ce qui n’est pas une équation différentielle à variables séparables. La section 2.1.12 va nous
donner les outils nécessaires afin de la résoudre.
2. En dérivant l’équation par rapport à x, nous avons
(37)
y 2 + 2xyy 0 = cy 0 .
Nous pouvons utiliser les deux méthodes afin de nous débarrasser du paramètre c. Si nous
l’isolons dans l’équation de la famille de courbes, nous obtenons
1
xy 2 − 1
= xy − .
y
y
c=
En substituant cette valeur de c dans l’équation (37), nous en déduisons que
1
y 2 + 2xyy 0 = xyy 0 − y 0 .
y
En multipliant le tout par y, il s’ensuit que
y 3 + 2xy 2 y 0 = xy 2 y 0 − y 0 ,
c’est-à-dire
y 3 + xy 2 + 1 y 0 = 0.
Si l’on essaie de résoudre l’équation différentielle, nous voyons qu’il s’agit encore une fois
d’une équation différentielle qui n’est pas à variables séparables, car nous avons
y0 = −
y3
.
xy 2 + 1
3. En dérivant l’équation par rapport à x à trois reprises, nous obtenons successivement
y 0 = 2ax + b,
y 00 = 2a,
y (3) = 0.
Si nous intégrons à trois reprises cette équation différentielle, nous obtenons successivement
c1
y 00 = c1 , y 0 = c1 x + c2 , y = x2 + c2 x + c3 ,
2
c1
ce qui correspond à l’équation de la famille de courbes, où nous avons a = , b = c2 et
2
c = c3 .
2.1.11
Trajectoires orthogonales
Rappelons tout d’abord que deux courbes C1 et C2 sont dites perpendiculaires, ou orthogonales,
en un point si leurs droites tangentes en ce point sont perpendiculaires. Ainsi, si m1 est la pente de
la droite tangente de C1 au point P0 et si m2 est la pente de la droite tangente de C2 au point P0 ,
2 Les équations différentielles
71
alors les quantités m1 et m2 doivent satisfaire
m2 = −
1
m1
pour que les deux courbes C1 et C2 soient perpendiculaires.
Entre autres, on observe, dans la figure 2.11, que la famille C des cercles centrés à l’origine est
perpendiculaire à la famille D des droites qui passent par l’origine.
Figure 2.11
En effet, ces deux familles de courbes ont la propriété de se couper à angle droit, en ce sens qu’en
un point d’intersection, leurs tangentes respectives se coupent à angle droit. C’est pourquoi on dit
que la famille C constitue les trajectoires orthogonales de la famille D, et réciproquement.
De manière générale, étant donné une famille de courbes F (x, y, c) = 0 (avec paramètre c), il est
intéressant de chercher la famille G(x, y, d) = 0 (avec paramètre d) qui représente les trajectoires
orthogonales de F (x, y, c) = 0.
Voici comment procéder afin d’obtenir la famille des trajectoires orthogonales à la famille de courbes
F (x, y, c) = 0.
On trouve d’abord son équation différentielle associée
y 0 = f (x, y).
Nous savons que la dérivée d’une fonction représente la pente de sa droite tangente en un point.
Ainsi, l’équation différentielle associée à la famille de courbes orthogonales y = y(x) doit satisfaire
y0 = −
1
.
f (x, y)
72
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
La résolution de cette équation différentielle permet d’obtenir la famille orthogonale recherchée.
Exemple 15. Pour établir rigoureusement que la famille D des droites y − mx = 0 représente
bien les trajectoires orthogonales de la famille C des cercles
x2 + y 2 − c = 0,
on procède comme suit : d’abord, comme on l’a vu à l’équation (32), l’équation différentielle
associée à la famille C est donnée par
x
y 0 = − , pour y 6= 0.
y
Or, on sait que si m1 et m2 représentent les pentes respectives des deux tangentes à deux
1
courbes qui se coupent à angle droit en un point donné, alors m1 = −
. Ainsi, la famille des
m2
trajectoires orthogonales y = y(x) sera celle dont l’équation différentielle associée est
y0 = −
1
.
− xy
Comme il s’agit là d’une équation différentielle à variables séparables, on la résout en écrivant
successivement
y
y0 =
,
x
y0
1
=
si y 6= 0,
y
x
ln |y| = ln |x| + c1 ,
y
= mx.
Or, y = mx est bien l’équation qui représente la famille D des droites qui passent par l’origine.
Réciproquement, en procédant essentiellement de la même manière, on peut établir que la famille
des trajectoires orthogonales de la famille des droites qui passent par l’origine est précisément la
famille des cercles centrés à l’origine.
Exemple 16. Cherchons les trajectoires orthogonales de la famille d’hyperboles xy − c = 0.
Son équation différentielle associée est bien sûr
xy 0 + y = 0.
On en déduit que
y
y0 = − .
x
C’est donc dire que l’équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales y = y(x)
est donnée par
y0 = −
1
.
− xy
2 Les équations différentielles
73
Il s’ensuit que
yy 0
y2
2
y 2 − x2
= x,
x2
=
+ c1 ,
2
= c,
soit une autre famille d’hyperboles. À la figure 2.12, on voit bien que les deux familles d’hyperboles se coupent à angle droit en leurs points d’intersection.
Figure 2.12
Comme on l’a vu au début de cette section, la famille des droites qui passent par l’origine a pour
trajectoires orthogonales la famille des cercles centrés à l’origine. Quelles sont les trajectoires orthogonales de la famille des droites parallèles y = 3x + c ? Non, ce ne sont pas des cercles ! En fait, il
1
est possible de montrer qu’il s’agit de la famille de droites y = − x + d !
3
2.1.12
Changements de variables
Par un changement de variables approprié, certaines équations différentielles du premier ordre
peuvent être réduites au cas d’une équation différentielle à variables séparables.
y
Premier cas : y 0 = f
x
De manière générale, si une équation différentielle est de la forme 2
y
(38)
y 0 (x) = f
,
x
alors, par la substitution y = ux ou u = y/x, on peut ramener l’équation (38) à
u0 (x)
1
= ,
f (u) − u
x
2. Certains auteurs disent d’une telle équation qu’elle est du type homogène.
74
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
laquelle est à variables séparables. C’est là un premier cas classique de changement de variable.
Exemple 17. Considérons le cas de l’équation différentielle
x+y
y
=1+ .
x
x
Elle n’est pas du type à variables séparables. Toutefois, en faisant le changement de variables
y = ux, on obtient y 0 = u0 x + u, de sorte que l’équation (39) se trouve réduite à
(39)
y0 =
u0 x = 1,
laquelle équation est bien à variables séparables. On obtient alors
1
et donc
x
Il s’ensuit que la solution y de (39) est
u0 =
u = ln |x| + c.
y = ux = x(ln |x| + c).
Exemple 18. Considérons l’équation différentielle
y 2 y
+ ,
(40)
y0 =
x
x
laquelle, par la substitution y = ux, se ramène à
u0 x + u = u2 + u,
c’est-à-dire u0 =
u2
, ou encore
x
1
u0
= ,
u2
x
lorsque u 6= 0, qui est bien à variables séparables. En intégrant, nous obtenons
−
1
= ln |x| + c,
u
de sorte que
u=−
1
,
ln |x| + c
ce qui mène à la solution générale y = y(x) de (40) donnée par
x
(41)
y(x) = −
ln |x| + c
lorsque ln |x| + c 6= 0. Il reste cependant à vérifier si u = 0 (ou encore y = 0) est une solution
(singulière ou non) de l’équation différentielle. En remplaçant la fonction y de (40) par la
fonction nulle, nous avons
0 = 02 + 0 = 0,
de sorte que y = 0 est une solution. Il s’agit de plus d’une solution singulière, car elle ne peut
2 Les équations différentielles
75
pas être écrite sous la forme (41).
Exemple 19. Considérons maintenant l’équation différentielle
(42)
y0 =
x2 + xy
.
xy + y 2
Si l’on ne prend pas la peine de simplifier pour obtenir y 0 = x/y, qui est séparable, on doit alors
faire la substitution y = ux et ramener l’équation à
u + xu0 =
1
1+u
= ,
2
u+u
u
laquelle est bien à variables séparables, puisqu’on peut l’écrire sous la forme
uu0
1
=
1 − u2
x
lorsque 1 − u2 6= 0, c’est-à-dire u 6= ±1. On a alors
1
− ln |1 − u2 | = ln |x| + C,
2
1
p
= k|x|,
|1 − u2 |
1
1
=
,
|1 − u2 |
k 2 x2
a2
|1 − u2 | =
,
x2
±a2
1 − u2 =
,
x2
c
y2
.
1− 2 =
x
x2
En simplifiant cette dernière équation, on reconnaît alors l’équation de la famille d’hyperboles
(43)
x2 − y 2 = c,
laquelle relation fournit implicitement la solution générale de (42). Lorsque u = ±1, nous avons
y = ux = ±x, y 0 = ±1 et
x2 ± x2
x2 + xy
=
= 1,
2
xy + y
±x2 + x2
de sorte que y = ±x sont deux solutions de l’équation différentielle. Elles ne sont pas singulières,
car ce sont les solutions obtenues par (43) lorsque c = 0.
Exemple 20. Revenons à l’équation différentielle (36), page 69. Comme on l’a vu à ce moment,
trouver sa solution revient à trouver sa famille de courbes intégrales. Pour la résoudre, on va
la ramener à une équation différentielle à variables séparables, et cela en posant y = ux. Elle
76
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
peut alors s’écrire sous la forme
2xuu0 + u2 + 1 = 0,
ou encore
2uu0
1
=− .
1 + u2
x
Par intégration, on obtient alors
ln(1 + u2 ) = − ln |x| + c1 ,
de sorte que
1 + u2 =
c
,
|x|
c > 0.
En remplaçant u par y/x, on retrouve
x2 + y 2 = c|x|,
soit la famille de cercles anticipée. En effet, si x ≥ 0, nous avons
x2 + y 2 = cx
avec c > 0, de sorte que
x2 − cx + y 2 = 0,
c’est-à-dire
x−
c 2
c2
+ y2 = .
2
4
Dans le cas où x < 0, alors |x| = −x, de sorte que
x2 + y 2 = c |x|
devient
x2 + y 2 = −cx,
c’est-à-dire
x+
c 2
c2
+ y2 = .
2
4
Deuxième cas : y 0 = f (ax + by)
Un deuxième cas classique d’équation différentielle qui se ramène à une équation différentielle à
variables séparables est celui où l’équation différentielle est de la forme
(44)
y 0 (x) = f (ax + by),
2 Les équations différentielles
77
où a et b sont des nombres réels non nuls et fixes. On pose alors u = ax + by, de sorte que (44) se
ramène à
u0 − a
= f (u),
b
soit une équation différentielle à variables séparables.
Exemple 21. Cherchons la solution de l’équation différentielle
(45)
y 0 = 2x + y
En posant u = 2x + y, l’équation (45) peut s’écrire
ou encore
u0 − 2 = u,
u0
=1
u+2
si u + 2 6= 0. Ceci est bien une équation différentielle à variables séparables. Sa solution générale
s’obtient en écrivant successivement
ln |u + 2| =
u+2 =
x + c1 ,
cex ,
2x + y
=
cex − 2,
y
=
cex − 2x − 2.
Lorsque u + 2 = 0, nous avons y + 2x + 2 = 0, c’est-à-dire y = −2x − 2, ce qui correspond au
cas c = 0 dans la solution générale obtenue.
Troisième cas : changement quelconque
Il est également tout à fait possible que les changements de variables précédents ne soient pas
adéquats pour résoudre une équation différentielle. Ainsi, il faut parfois faire de petits ajustements,
comme permettre d’additionner des constantes aux variables. En voici un exemple.
Exemple 22. Considérons l’équation différentielle
y0 =
y+x+3
.
x+3
Il ne s’agit pas directement d’un des deux cas précédents. Néanmoins, si nous posons X = x + 3,
on obtient
y+X
y
y0 =
=
+ 1.
X
X
y
Il s’agit en fait de l’équation différentielle de l’exemple 17 qui est de la forme y 0 = f
. De
X
plus, il est facile d’observer que sa résolution se fait de manière similaire à celle de l’exemple 17.
Nous avons ainsi
y = (x + 3) (ln |x + 3| + c) .
78
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
2.1.13
Les équations différentielles linéaires du premier ordre
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation différentielle pouvant
s’écrire sous la forme
(46)
y 0 + p(x) y = q(x).
Elle est dite homogène lorsque q(x) ≡ 0, alors qu’elle est dite non homogène lorsque q(x) 6= 0.
Remarquons que le terme linéaire ici est par rapport à la variable y, c’est-à-dire qu’on n’y retrouve
ici qu’au plus deux termes en y, à savoir y et y 0 , qui sont séparés (ils ne se multiplient ou ne se
divisent pas entre eux). Ainsi, il n’y a pas de y 2 , yy 0 , sin y, etc., et il n’y a aucune condition quant
à la variable x.
On considère les deux cas séparément : homogène et non homogène.
Le cas d’une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre
Commençons par un exemple.
Exemple 23. Cherchons à résoudre l’équation différentielle
y 0 + (3x2 − 4)y = 0.
Comme cette équation peut se mettre sous la forme
y0
= −3x2 + 4,
y
elle est à variables séparables. Sa solution est donc donnée par
ln |y(x)| = −x3 + 4x + c1 ,
3
c’est-à-dire y(x) = ce−x +4x ,
où on a pris c = ±ec1 .
En ce qui concerne le cas général, la solution de
y 0 + p(x)y = 0
s’obtient en l’écrivant d’abord sous la forme d’une équation différentielle à variables séparables,
c’est-à-dire comme suit :
y0
= −p(x).
y
Il n’est donc nullement nécessaire de retenir de formule, car résoudre une équation différentielle
linéaire homogène revient à résoudre une équation différentielle à variables séparables.
Le cas d’une équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre
Comment peut-on résoudre (46) avec q(x) 6= 0 ?
Avant de répondre à cette question, nous allons rappeler le concept de solution particulière
et définir les concepts d’équation différentielle homogène associée ainsi que le principe de
superposition.
2 Les équations différentielles
79
Étant donné une équation différentielle, une solution de l’équation est appelée une solution particulière.
Exemple 24. Nous avons vu à l’exemple 23 que la solution générale de l’équation différentielle
homogène
(47)
y 0 + 3x2 − 4 y = 0
est donnée par
3
y(x) = ce−x +4x
3
où c ∈ R. Ainsi, la fonction y1 = e−x +4x (où on a choisi c = 1) est une solution particulière
3
de (47). Bien entendu, y0 = 0 (où c = 0) et y3 = 3e−x +4x (où c = 3) sont également des
solutions particulières de (47).
Exemple 25. La fonction yp = 1 est une solution particulière de l’équation différentielle linéaire
non homogène
y 0 + y = 1,
car
yp0 + yp = 0 + 1 = 1.
Ces deux exemples nous montrent, en particulier, qu’il est possible de parler de solution particulière,
que ce soit pour les équations différentielles linéaires homogènes ou non homogènes.
Étant donné une équation différentielle linéaire
y 0 + p(x)y = q(x),
nous appelons équation différentielle linéraire homogène associée l’équation différentielle
suivante :
y 0 + p(x)y = 0.
En fait, il s’agit seulement d’éliminer tous les termes qui ne multiplient (ou ne divisent) pas les
variables y et y 0 .
Le principe de superposition stipule que la solution générale y(x, c) de l’équation différentielle linéaire non homogène y 0 + p(x)y = q(x) est donnée par
(48)
y(x, c) = yh (x, c) + yp (x).
L’expression yh (x, c) désigne alors la solution générale de l’équation différentielle homogène
associée y 0 + p(x)y = 0, alors que yp (x) désigne une solution particulière de l’équation différentielle non homogène y 0 + p(x)y = q(x).
Nous avons vu à la section précédente comment obtenir la solution générale à une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1. Il nous reste donc à trouver une solution particulière à l’équation
80
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
non homogène.
La méthode que nous allons utiliser est appelée la méthode de Lagrange. Mais avant de passer à
cette méthode, on peut se demander d’où provient le principe de superposition.
En fait, si y1 et y2 sont deux solutions particulières distinctes d’une équation différentielle linéaire
non homogène
(49)
y 0 + p(x)y = q(x),
on a
y10 + p(x)y1 = q(x)
et
y20 + p(x)y2 = q(x).
De plus, la fonction y3 = y1 − y2 est une solution de l’équation différentielle homogène associée
y 0 + p(x)y = 0.
En effet, nous avons
0
y30 + p(x)y3 = (y1 − y2 ) + p(x) (y1 − y2 )
= y10 − y20 + p(x)y1 − p(x)y2
= (y10 + p(x)y1 ) − (y20 + p(x)y2 )
= q(x) − q(x) = 0.
Ainsi, deux solutions particulières distinctes de l’équation différentielle linéaire non homogène (49)
diffèrent d’une solution au problème homogène associé, c’est-à-dire que
y1 = y2 + y3 = y2 + une solution de l’équation homogène.
La méthode de Lagrange
La méthode de Lagrange, aussi appelée la méthode de variation de la constante, permet
d’obtenir une solution particulière de l’équation différentielle
(50)
y 0 + p(x)y = q(x)
lorsque q(x) 6= 0 En fait, il s’agit d’abord de trouver une solution particulière non nulle yh∗ de
l’équation différentielle homogène associée
y 0 + p(x)y = 0
(cela revient donc à trouver la solution générale et à choisir une constante non nulle). On pose ensuite
yp = u(x)yh∗
où u(x) est une fonction inconnue, mais que nous allons déterminer. En fait, il suffit ensuite de trouver
u afin que yp soit une solution particulière de l’équation différentielle (50), c’est-à-dire résoudre
yp0 + p(x)yp = q(x).
2 Les équations différentielles
81
Puisque yp = uyh∗ , nous obtenons
u0 yh∗ + uyh0 ∗ + p(x)uyh∗ = q(x).
Après avoir obtenu u, il ne nous reste qu’à poser yp = uyh∗ .
Avant de passer à des exemples, voyons les origines de la méthode de Lagrange.
Si yp est une solution particulière à l’équation différentielle non homogène (50), que pouvons-nous
dire du quotient
yp
U = ∗,
yh
où yh∗ est une solution particulière non nulle de l’équation différentielle homogène associée ?
Puisque toutes les solutions du problème homogène sont de la forme cyh∗ , où c est une constante,
alors nous devons forcément avoir que U n’est pas une constante. Posons ainsi U = u(x). Cela nous
ramène donc à
yp = u(x)yh∗ ,
et le reste de la méthode de Lagrange consiste à déterminer u(x) de sorte que yp soit une solution
de (50).
Exemple 26. Cherchons à résoudre l’équation différentielle
3
x+1
y=
.
x
x
L’équation différentielle homogène associée est
(51)
y0 −
y0 −
3
= 0.
x
Il s’agit d’une équation à variables séparables. Isolons y 0 pour obtenir
y0 =
3
y.
x
Si y 6= 0,
3
1 0
y = ,
y
x
c’est-à-dire
1
3
dy = dx.
y
x
En intégrant, nous obtenons
ln |y| = 3 ln |x| + C1 = ln x3 + C1 ,
de sorte que
y = Cx3 ,
82
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
où C ∈ R. La solution générale au problème homogène est donc
(52)
yh = Cx3 .
Il nous faut maintenant utiliser la méthode de Lagrange afin d’obtenir une solution particulière
de (51).
Posons
yp = u(x)x3 ,
obtenu en remplaçant la constante C dans (52) par la fonction u(x).
Nous voulons que yp soit une solution de (51), c’est-à-dire
yp0 −
x+1
3
yp =
.
x
x
Nous obtenons successivement
3
3
x+1
= yp0 − yp = u0 x3 + 3x2 u − ux3 = u0 x3 .
x
x
x
Ainsi, u doit résoudre l’équation différentielle
u0 x3 =
x+1
,
x
c’est-à-dire
u0 =
1
1
x+1
= 3 + 4.
x4
x
x
Il suffit d’intégrer pour obtenir
1
1
− 3 + D.
2x2
3x
Puisque nous voulons une seule solution particulière, nous pouvons choisir D = 0 (dans tous les
cas, le choix D = 0 est possible). Ainsi, nous avons
u(x) = −
u(x) = −
1
1
− 3,
2x2
3x
de sorte que
3
yp = ux =
1
1
− 2− 3
2x
3x
x3 = −
x 1
− .
2 3
Selon le principe de superposition, nous avons que la solution générale à (51) est
y = Cx3 −
x 1
− ,
2 3
où C ∈ R.
Exemple 27. Tentons de résoudre l’équation différentielle
y 0 (t) cos t + y(t) sin t = 1,
2 Les équations différentielles
qu’on peut écrire
(53)
y 0 (t) + tan t y(t) = sec t
lorsque cos t 6= 0. L’équation différentielle homogène associée est
y 0 + y tan t = 0.
Ainsi, en isolant y 0 , nous obtenons
y 0 = −y tan t.
Lorsque y 6= 0,
1 0
y = − tan t,
y
c’est-à-dire
1
dy = − tan t dt.
y
En intégrant, nous obtenons
ln |y| = ln |cos t| + C1 ,
ce qui entraîne
y = C cos t,
où C ∈ R. Ainsi, la solution générale du problème homogène est
(54)
yh = C cos t
(C ∈ R) .
Pour trouver une solution particulière au problème non homogène, posons d’abord
yp = u cos t.
Nous voulons que
yp0 + yp tan t = sec t.
Nous obtenons successivement
sec t = yp0 + yp tan t = u0 cos t − u sin t + u cos t tan t
= u0 cos t − u sin t + u sin t = u0 cos t.
Ainsi, u doit être une solution de l’équation différentielle
u0 cos t = sec t,
c’est-à-dire
u0 = sec2 t.
Par intégration, nous trouvons
u = tan t + D,
83
84
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
où D ∈ R. Choisissons D = 0 de sorte que
u = tan t.
Ainsi, nous obtenons
yp = tan t cos t = sin t.
Par le principe de superposition, cette équation, combinée avec (54), nous dit que la solution
générale à l’équation différentielle (53) est
y = C cos t + sin t
(C ∈ R) .
Exemple 28. La sécrétion d’hormones dans le sang est très souvent un phénomène périodique.
Ainsi, si une hormone est sécrétée sur un cycle de 24 heures (le rythme circadien), le taux
de variation du niveau de cette hormone dans le sang peut être représenté par une équation
différentielle pour x(t), la quantité d’hormone dans le sang au temps t, soit
πt
− kx(t), avec la condition initiale x(0) = λ,
x0 (t) = α − β cos
12
où :
i) α (constante) est le taux moyen de sécrétion ;
dx
autour de la moyenne α, fluctuations
dt
proportionnelles à cos(2πt/24) avec constante de proportionnalité −β, β positive ;
ii) −β cos(πt/12) décrit les fluctuations du taux
iii) −kx(t) exprime le fait que l’hormone est retirée du sang à un taux proportionnel à la
quantité présente x(t) elle-même, avec constante de proportionnalité −k, k positive.
Dans le cas particulier où α = β = 1, k = 2 et λ = 10, cherchons x(t).
L’équation différentielle donnée peut donc s’écrire
πt
, avec la condition initiale x(0) = 10.
(55)
x0 (t) + 2x(t) = 1 − cos
12
Il s’agit bien d’une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour obtenir sa solution, il
faut d’abord trouver la solution générale x0 (t, c) de l’équation différentielle homogène associée,
c’est-à-dire l’équation
(56)
x0 (t) + 2x(t) = 0.
Celle-ci s’obtient en écrivant successivement (en rappelant que x(t) > 0)
x0 (t)
= −2,
x(t)
ln x(t) = −2t + c1 ,
x(t)
(car x > 0) ,
= ce−2t .
On a ainsi obtenu
(57)
x0 (t, c) = ce−2t
2 Les équations différentielles
85
comme solution générale de (56). Pour obtenir une solution particulière x1 (t) de (55), on peut
utiliser la méthode de Lagrange. On pose d’abord
(58)
x1 (t) = u(t)e−2t .
En substituant cette représentation de x1 (t) dans (55), on obtient
u0 (t)e−2t + u(t)e−2t (−2) + 2u(t)e−2t = 1 − cos
πt
12
.
Il en résulte que
πt
u (t) = e
1 − cos
12
0
2t
et donc que
Z
u(t) =
πt
dt + D.
e
1 − cos
12
2t
Pour calculer cette dernière
intégrale, on utilise la technique habituelle pour intégrer une exZ
pression de la forme
eat cos(bt) dt, c’est-à-dire en intégrant deux fois par parties (voir aussi
l’appendice A, page 316), auquel cas on obtient aussitôt
(59)
u(t) =
1 2t 576 + π 2 − 576 cos (πt/12) − 24π sin (πt/12)
e
+ D.
2
576 + π 2
En reportant (59) dans (58) avec D = 0, on trouve
(60)
x1 (t) =
576 + π 2 − 576 cos (πt/12) − 24π sin (πt/12)
.
2(576 + π 2 )
Ainsi, en faisant la superposition de (57) et (60), selon l’énoncé (48), on obtient que la solution
de (55) est donnée par
x(t) = x0 (t, c) + x1 (t) = ce−2t +
576 + π 2 − 576 cos (πt/12) − 24π sin (πt/12)
,
2(576 + π 2 )
avec la condition initiale x(0) = 10. Cette condition initiale entraîne que
10 = x(0) = c +
576 + π 2 − 576
π2
=
c
+
,
2(576 + π 2 )
2(576 + π 2 )
de sorte que
c = 10 −
π2
.
2(576 + π 2 )
On a ainsi obtenu que la solution de (55) est donnée par
π2
576 + π 2 − 576 cos (πt/12) − 24π sin (πt/12)
−2t
x(t) = 10 −
e
+
.
2(576 + π 2 )
2(576 + π 2 )
86
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Remarque Quand on constate que seuls des coefficients constants apparaissent dans le membre
de gauche d’une équation différentielle linéaire comme (55), on peut essayer de calculer une
solution particulière x1 en posant
x1
=
même forme que celle du membre de droite
=
constante + expression trigonométrique
= A + (B cos (πt/12) + C sin (πt/12)) .
Il reste bien sûr à déterminer les coefficients constants A, B et C à l’aide de la condition que x1
est solution de l’équation différentielle (55).
En substituant cette valeur de x1 dans (55) et en comparant les coefficients correspondants dans
le membre de gauche et dans celui de droite, on obtient les équations
2A = 1
(les constantes),
π
2B + C = −1 (les coefficients de cos (πt/12)) ,
12
π
− B + 2C = 0 (les coefficients de sin (πt/12)) .
12
288
12π
Les résultats A = 1/2, B = −
et C = −
donnent lieu à la même solution x1
576 + π 2
576 + π 2
qu’en (60).
2.1.14
Circuits électriques
On considère le circuit électrique RLC ci-dessous (figure 2.13), constitué d’une résistance, d’une
bobine et d’un condensateur. Pour obtenir un modèle qui décrit correctement le comportement d’un
tel circuit, on procède comme on l’a fait à la section 2.1.8, c’est-à-dire qu’on énonce d’abord une loi
générale pour ensuite modéliser la contribution de chacune des composantes.
Figure 2.13
La loi d’évolution est la loi de Kirchhoff qui dit que la chute de potentiel, aux bornes d’un circuit
en série, est égale à la somme algébrique des chutes de potentiel aux bornes des composantes :
(61)
E(t) = (Vb − Va ) + (Vd − Vc ) + (Vf − Ve ).
Si Q(t) désigne la charge électrique au temps t et I(t) l’intensité du courant, c’est-à-dire
(62)
I(t) =
dQ
,
dt
2 Les équations différentielles
87
on peut calculer les contributions des composantes comme suit :
— La différence de potentiel aux bornes d’une résistance est proportionnelle à l’intensité du
courant et la constante de proportionnalité est appelée résistance (loi d’Ohm) :
Vb − Va = RI(t);
— La différence de potentiel aux bornes d’une bobine est proportionnelle au taux de variation
de l’intensité du courant et la constante de proportionnalité est appelée inductance (loi
d’induction) :
Vd − Vc = L
dI
;
dt
— La différence de potentiel aux bornes d’un condensateur est proportionnelle à la charge Q et
la constante de proportionnalité est l’inverse de la capacité (loi de Coulomb) :
Vf − Ve =
1
Q(t).
C
La prise en compte de ces trois équations conduit à
1
dI
+ RI(t) + Q(t) = E(t).
dt
C
Nous reviendrons sur ce type de circuits à la fin de la section 2.4.4. Pour le moment, considérons
deux cas plus simples.
(63)
L
Circuit RL
Si l’on enlève le condensateur dans le circuit précédent (figure 2.13), on obtient un circuit RL
(figure 2.14). Pour déterminer l’équation d’évolution de ce circuit, il suffit de retrancher le terme
Vf − Ve dans (61), auquel cas l’équation (63) devient
(64)
L
dI
+ RI = E(t).
dt
Figure 2.14
88
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Circuit RC
S’il n’y a pas de bobine, on obtient un circuit RC (figure 2.15). L’équation d’évolution est alors
obtenue en retirant le terme Vd − Vc dans (61). L’équation (63) donne alors
(65)
R I(t) +
1
Q(t) = E(t).
C
Figure 2.15
En utilisant la relation (62), on obtient une équation différentielle pour la charge Q(t) :
dQ
1
+ Q(t) = E(t).
dt
C
En dérivant (65) par rapport à t et en utilisant de nouveau (62), on trouve cette fois l’équation
différentielle pour le courant :
R
R
dI
1
+ I = E 0 (t).
dt
C
Exemple 29. Un circuit RL est constitué d’une bobine d’inductance L de 2 henrys, d’une
résistance R de 10 ohms et d’une source E(t) ≡ 100 volts. Déterminons l’intensité du courant
à tout instant si I(0) = 0.
L’équation (64) se lit ici
2
dI
+ 10I = 100,
dt
soit
dI
+ 5I = 50.
dt
(66)
On résout par séparation des variables :
dI
= 5(10 − I),
dt
Z
Z
dI
= 5 dt + A,
10 − I
− ln |10 − I| = 5t + A,
10 − I
= Be−5t .
2 Les équations différentielles
89
La solution générale de (66) est donc donnée par
I(t, c) = ce−5t + 10,
c étant arbitraire.
La condition initiale I(0) = 0 entraîne alors que
I(t) = −10e−5t + 10 = 10(1 − e−5t ).
Exemple 30. Considérons le même circuit, mais, cette fois, avec une source
E(t) = 100 sin (60t) .
L’équation (64) pour ce circuit devient
2
dI
+ 10I = 100 sin (60t) ,
dt
c’est-à-dire
dI
+ 5I = 50 sin (60t) .
dt
(67)
La solution générale de l’équation homogène associée dI/dt + 5I = 0 ou dI/dt = −5I est
I0 (t, c) = ce−5t . Pour déterminer une solution particulière de (67), on pourrait utiliser la méthode de Lagrange. Mais, puisqu’on tient compte de la forme du second membre de (67) et que
les coefficients du membre de gauche sont constants, on cherchera une solution particulière de
cette même forme trigonométrique :
(68)
Ip (t) = A cos (60t) + B sin (60t) .
On a ainsi
(69)
Ip0 (t) = −60A sin (60t) + 60B cos (60t)
et, en substituant (68) et (69) dans (67), on trouve
−60A sin (60t) + 60B cos (60t) + 5A cos (60t) + 5B sin (60t) = 50 sin (60t) .
En identifiant de part et d’autre les coefficients de sin (60t) et cos (60t), on obtient les deux
équations
−60A + 5B
=
50,
5A + 60B
=
0,
d’où A = −24/29 et B = 2/29.
Ces valeurs substituées dans (68) donnent
Ip (t) = −
24
2
cos (60t) +
sin (60t) .
29
29
La solution générale de (67) est donc
I(t) = ce−5t +
2
24
sin (60t) −
cos (60t) .
29
29
90
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Si la condition initiale est encore ici I(0) = 0, on obtient c = 24/29, d’où
24 −5t
2
24
e
+
sin (60t) −
cos (60t) .
29
29
29
24 −5t
e , est un terme transitoire. En effet, e−5t → 0
Remarquons que I(t) = Itr + Iperm , où Itr =
29
2
24
lorsque t → ∞ , et Iperm =
sin (60t) −
cos (60t) est le régime permanent du circuit,
29
29
puisque I(t) → Iperm (t) lorsque t → ∞. Traçons sur la même figure I(t) et Iperm pour obtenir la
figure 2.16.
I(t) =
Figure 2.16
Notons finalement que, dans ce dernier exemple, nous avons utilisé une autre méthode que la méthode de Lagrange afin d’obtenir une solution particulière. Il s’agit en fait d’une méthode qui sera
développée un peu plus loin dans la section 2.4.2.
2.2
Équations différentielles du deuxième ordre se ramenant
à des équations différentielles du premier ordre
Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation de la forme
(70)
F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0,
c’est-à-dire une équation dans laquelle apparaissent la variable x, une fonction y(x) et ses dérivées
première et deuxième.
Or, il arrive parfois qu’en effectuant un changement de variable judicieux, on puisse ramener l’équation différentielle (70) à une équation différentielle du premier ordre prenant la forme d’une des
équations différentielles étudiées à la section 2.1. Plus précisément, on va s’attarder à l’étude de
deux cas précis aux sections 2.2.2 et 2.2.3.
Notons qu’il arrive fréquemment que la variable t est utilisée à la place de x.
2 Les équations différentielles
2.2.1
91
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (x, y 00 ) = 0
Supposons qu’on souhaite résoudre une équation différentielle du deuxième ordre de la forme
F (x, y 00 ) = 0.
L’idée est simplement de séparer les variables x et y et ensuite d’intégrer à deux reprises.
Exemple 31. Nous allons utiliser un exemple bien simple pour montrer comment on peut traduire un phénomène gravitationnel par une équation différentielle et, ensuite, comment obtenir
la solution du problème par la résolution de cette équation différentielle.
Le problème est le suivant :
À quelle vitesse une plongeuse entre-t-elle dans l’eau lorsqu’elle plonge d’une tour de 10 mètres ?
Disons qu’on peut négliger la résistance de l’air et, de plus, supposons que la plongeuse quitte
le niveau de la tour à une vitesse verticale nulle.
On pose x = x(t), soit la hauteur à laquelle se trouve l’athlète au temps t lorsqu’elle exécute son
plongeon. On a par hypothèse x(0) = 10. De plus, si t0 est le temps qu’elle prend pour atteindre
dx
. Son accélération, c’est-à-dire
la surface de l’eau, alors x(t0 ) = 0. Sa vitesse au temps t est
dt
dx
le taux de variation de sa vitesse
par rapport au temps t, est constante et donnée par
dt
d2 x
d dx
2
= 2 = −g = −9.8 m/s .
dt dt
dt
On va d’abord résoudre l’équation différentielle
x00 (t) = −g.
En procédant comme on l’a fait à la section 2.1.2, on obtient
(71)
x0 (t) = −gt + c1 .
Comme on a par hypothèse x0 (0) = 0, on doit avoir c1 = 0. L’équation (71) s’écrit donc
(72)
x0 (t) = −gt.
On obtient alors
(73)
x(t) = −g
t2
+ c2 .
2
Puisque x(0) = 10, on doit avoir c2 = 10. L’équation (73) s’écrit donc
t2
+ 10.
2
C’est donc dire que le temps t0 requis pour atteindre la surface de l’eau doit satisfaire
r
t2
20
0 = −g 0 + 10, ce qui implique que t0 =
.
2
g
x(t) = −g
92
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
En substituant cette valeur t = t0 dans (72), on obtient
r
p
√
20
0
x (t0 ) = −g
= − 20g = − 196 = −14 m/s.
g
C’est donc dire que notre plongeuse entre dans l’eau à une vitesse approximative de 14 mètres
par seconde (environ 50 km/h).
2.2.2
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (x, y 0 , y 00 ) = 0
Si une équation différentielle du deuxième ordre est de la forme
(74)
F (x, y 0 , y 00 ) = 0,
alors on pose
y 0 (x) = p(x),
de sorte que y 00 (x) = p0 (x).
En substituant ces valeurs dans (74), l’équation devient
F (x, p, p0 ) = 0,
ce qui est bien une équation différentielle du premier ordre.
Exemple 32. Cherchons à résoudre l’équation différentielle
(75)
xy 00 − y 0 = 8x2 .
On reconnaît tout de suite que la variable y est absente, c’est-à-dire qu’on a une équation
différentielle de la forme F (x, y 0 , y 00 ) = 0. C’est pourquoi on pose
y 0 (x) = p(x), de sorte que y 00 (x) = p0 (x).
En substituant ces valeurs dans (75), on obtient
xp0 − p = 8x2 ,
une équation qui s’écrit aussi sous la forme
1
p = 8x,
x
qui est bien une équation différentielle linéaire du premier ordre du type étudié à la
section 2.1.13. Sa solution générale p(x, c) est donc de la forme
(76)
(77)
p0 −
p(x, c) = p0 (x, c) + ppart. (x),
1
p = 0 et où
x
ppart. (x) est une solution particulière de l’équation différentielle non homogène (76).
où p0 (x, c) est la solution générale de l’équation différentielle homogène p0 −
En effet, afin d’obtenir p0 , il faut résoudre l’équation différentielle à variables séparables
p0 −
1
p = 0,
x
2 Les équations différentielles
93
laquelle mène successivement à
1
p,
x
1 0
1
p =
(p 6= 0) ,
p
x
ln |p| = ln |x| + d,
p0 =
p = cx.
Ainsi,
(78)
p0 (x, c) = cx
Quant à ppart , nous pouvons l’obtenir par la méthode de Lagrange. Posons
(79)
ppart. (x) = u(x)x
et substituons cette valeur dans (76) de sorte que
u0 (x)x + u(x) −
1
u(x)x = 8x.
x
Cela donne, après simplification,
u0 (x) = 8,
de sorte qu’on peut choisir
(80)
u(x) = 8x.
En ramenant (80) dans (79), on obtient
(81)
ppart. (x) = 8x2 .
En reportant (78) et (81) dans (77), on trouve que la solution générale p(x, c1 ) de (76) est
donnée par
p(x, c1 ) = c1 x + 8x2 .
En se rappelant la substitution y 0 (x) = p(x), la solution générale y(x) de (75) est donc donnée
par
Z
Z
8
x2
y(x) = p(x, c1 ) dx + c2 =
c1 x + 8x2 dx + c2 = x3 + c1
+ c2 .
3
2
2.2.3
Le cas d’une équation différentielle de la forme F (y, y 0 , y 00 ) = 0
Supposons qu’on ait à résoudre une équation différentielle du deuxième ordre de la forme
(82)
F (y, y 0 , y 00 ) = 0,
c’est-à-dire où la variable indépendante x n’apparaît pas comme telle. On introduit une nouvelle
variable z, soit z = y 0 , et on fait provisoirement jouer à y le rôle de la variable indépendante en
94
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
posant
y 0 = z = z(y),
fonction de y. Il faut alors exprimer y 00 , qui est toujours
indépendante y. On a
y
00
=
=
=
=
d
dx
dy
, en termes de la nouvelle variable
dx
d 0
d
d dy
=
(y ) =
(z(y))
dx dx
dx
dx
dz(y) dy
(dérivée d’une fonction composée)
dy dx
dz
z
dy
dz
z
.
dy
En substituant ces valeurs dans (82), cette dernière devient
dz
= 0,
F y, z, z
dy
ce qui est bien une équation différentielle du premier ordre.
Exemple 33. Cherchons à résoudre l’équation différentielle
(83)
y 00 + k 2 y = 0.
En effectuant la substitution
dy
y0 =
= z, fonction de y,
dx
et
y 00 =
dz
dz dy
dz
=
·
=z ,
dx
dy dx
dy
l’équation (83) devient
(84)
z
dz
+ k 2 y = 0,
dy
c’est-à-dire zz 0 + k 2 y = 0,
où z 0 désigne la dérivée par rapport à y.
Comme l’équation (84) est une équation différentielle à variables séparables, on obtient sa
solution en écrivant successivement
zz 0
z2
2
2
2 2
z +k y
= −k 2 y,
y2
= −k 2 + c
2
2 2
= k a ,
où l’on a écrit 2c = k 2 a2 , de sorte que
z = ±k
p
a2 − y 2 .
(c ≥ 0) ,
2 Les équations différentielles
95
dy
On choisit le signe de k selon la condition initiale imposée à z = y 0 . En se rappelant que z =
,
dx
on est ramené à résoudre l’équation différentielle
p
y 0 = ±k a2 − y 2 .
Cette équation est également une équation différentielle à variables séparables dont la solution
s’obtient en écrivant
dy
p
= ±k dx,
2
a − y2
arcsin (y/a) = ±kx + b.
Ainsi, la solution générale y = y(x) de (83) peut s’écrire sous la forme
y = a sin (±kx + b) = a (sin (±kx) cos b + cos (±kx) sin b) = c1 sin (kx) + c2 cos (kx) .
2.3
Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre :
principes généraux
Une équation différentielle pouvant s’écrire sous la forme
(85)
y 00 (x) + p(x)y 0 (x) + q(x)y(x) = r(x)
est appelée une équation différentielle linéaire du deuxième ordre. Si r(x) est nul, alors on
dit que l’équation (85) est homogène ; sinon on dit qu’elle est non homogène.
Notons tout de suite une propriété importante : toute combinaison linéaire de solutions d’une équation différentielle linéaire homogène est aussi une solution. Attention ! Cet énoncé est faux si l’équation différentielle linéaire n’est pas homogène. Tout cela est détaillé à l’exercice 125, page 161.
On s’intéressera surtout aux équations différentielles linéaires à coefficients constants, c’està-dire celles où les coefficients p(x) et q(x) de (85) sont constants. Auparavant, voici tout de même
quelques résultats généraux concernant les équations différentielles à coefficients variables.
2.3.1
Existence et unicité des solutions
Une équation différentielle du type (85) a-t-elle nécessairement une solution ? Si oui, en a-t-elle
plusieurs ? En fait, on a le résultat suivant (dont on ne donnera pas ici la démonstration).
Théorème Supposons que les fonctions p(x), q(x) et r(x) soient continues dans un intervalle
donné [a, b]. Si x0 est un point fixe appartenant à ]a, b[ et si, de plus, λ et µ sont deux nombres
réels arbitraires, alors l’équation différentielle (85) possède une et une seule solution y = y(x)
satisfaisant les conditions y(x0 ) = λ et y 0 (x0 ) = µ.
Ce résultat signifie géométriquement que si l’on spécifie un point x0 dans l’intervalle ]a, b[ , alors
l’équation différentielle (85) possède une solution unique y(x) dont la pente au point (x0 , λ) est
égale à µ, c’est-à-dire telle que y 0 (x0 ) = µ (figure 2.17).
96
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 2.17
2.3.2
Indépendance linéaire et Wronskien
On dit que deux fonctions y1 (x) 6= 0 et y2 (x) 6= 0 sont linéairement dépendantes s’il existe une
y1 (x)
constante c telle que le rapport
= c. Dans le cas contraire, c’est-à-dire si une telle constante
y2 (x)
c n’existe pas, on dit que les fonctions y1 (x) et y2 (x) sont linéairement indépendantes.
sin x
Exemple 34. Les fonctions sin x et cos x sont linéairement indépendantes, puisque
= tan x
cos x
est une fonction non constante.
Il est possible de montrer que si l’on connaît deux fonctions linéairement indépendantes y1 (x) et
y2 (x) qui sont solutions de l’équation différentielle homogène
(86)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0,
alors on connaît automatiquement toutes les solutions de (86).
Pour arriver à démontrer ce résultat, il est commode d’introduire au préalable un outil qui facilite
grandement la vérification de la dépendance ou de l’indépendance linéaire : le Wronskien.
Si f (x) et g(x) sont deux fonctions, le déterminant
W (x) = W [f (x), g(x)] :=
f (x) g(x)
f 0 (x) g 0 (x)
est appelé le Wronskien 3 des fonctions f et g (différentiables sur un intervalle ouvert, par hypothèse).
Le Wronskien s’avère un outil très commode pour déterminer si deux solutions y1 (x) et y2 (x) de
(86) sont linéairement indépendantes ou non. En effet, on a le résultat suivant, présenté sans démonstration.
Théorème Deux solutions y1 (x) et y2 (x) de (86) sont linéairement indépendantes sur [a, b] si
et seulement si W [y1 (x), y2 (x)] 6= 0 sur [a, b].
3. La notion de Wronskien est due au mathématicien polonais H. Wronski (1778-1853).
2 Les équations différentielles
97
De plus, W [y1 (x), y2 (x)] est une solution du problème homogène
y 0 + p(x)y = 0
et est soit toujours nul sur [a, b], soit jamais nul.
2.3.3
La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène
du deuxième ordre
On est maintenant en mesure de d’énoncer (sans démonstration) le résultat suivant :
Théorème La solution générale yh (x, c1 , c2 ) de l’équation différentielle linéaire homogène
(87)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
a la forme
(88)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x),
où y1 (x) et y2 (x) sont des fonctions linéairement indépendantes solutions de (87) et où c1 et
c2 sont des constantes arbitraires.
Pour vérifier que la fonction yh (x, c1 , c2 ) est effectivement solution de l’équation différentielle donnée,
il suffit de substituer (88) dans (87) et d’utiliser le fait que les fonctions y1 (x) et y2 (x) sont ellesmêmes des solutions de (87) (voir l’introduction de la section 2.3).
2.3.4
La solution générale d’une équation différentielle linéaire non
homogène du deuxième ordre
On a vu à la section 2.1.13 que la solution générale y = y(x, c) de l’équation différentielle linéaire
du premier ordre
(89)
y 0 + p(x)y = q(x)
est de la forme
y(x, c) = yh (x) + yp (x),
où yh (x) est la solution générale de l’équation différentielle homogène associée à (89) et où yp (x) est
une solution particulière de (89) (voir la formule (48)). Or, on a un résultat tout à fait semblable
pour les équations différentielles linéaires non homogènes du deuxième ordre.
En effet, nous avons également un principe de superposition pour les équations linéaires de
second ordre.
98
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Théorème La solution générale y = y(x, c1 , c2 ) de l’équation différentielle linéaire du
deuxième ordre
(90)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x)
est de la forme
y(x, c1 , c2 ) = yh (x, c1 , c2 ) + yp (x),
où yh (x, c1 , c2 ) est la solution générale de l’équation différentielle homogène associée à (90),
c’est-à-dire
(91)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0,
et où yp (x) est une solution particulière de (90).
Pourquoi en est-il ainsi ? En fait, cela peut s’expliquer avec le même raisonnement que dans le cas
du premier ordre (voir la section 2.1.13).
On note finalement qu’il y a deux constantes dans la solution générale, alors qu’il n’y en avait qu’une
seule dans le cas de l’ordre 1. En fait, nous allons voir que dans le cas d’une équation différentielle
linéaire d’ordre n, où n ≥ 1 est un entier, il y a exactement n constantes.
2.3.5
Problèmes avec conditions initiales
On a vu à la section 2.3.3 que la solution générale y = y(x, c1 , c2 ) d’une équation différentielle linéaire
homogène du deuxième ordre
(92)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
est donnée par
(93)
y(x, c1 , c2 ) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x),
où y1 (x) et y2 (x) sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation (92). Comme on l’a
vu au début du chapitre, l’intérêt pratique de l’étude des équations différentielles, par exemple en
sciences naturelles, est que, très souvent, les équations différentielles constituent la substance même
du modèle mathématique qui traduit un phénomène naturel.
Or, en général, lorsqu’on décrit un phénomène naturel par une équation différentielle, et si les
hypothèses de départ sont bien établies, c’est-à-dire si les conditions initiales du problème sont bien
définies, on s’attend, après résolution de cette équation différentielle, à obtenir une solution unique.
Dans le cas d’une équation différentielle du deuxième ordre, cela revient à dire que les constantes c1
et c2 qu’on retrouve dans l’équation (93) doivent avoir des valeurs bien précises.
Afin de déterminer ces deux valeurs, il nous faut deux équations. Ces équations peuvent être sous
deux formes : les conditions initiales et les conditions aux limites.
Nous disons qu’il s’agit d’un problème avec conditions initiales si sa résolution repose sur le
2 Les équations différentielles
99
système d’équations

00
0

y + p(x)y + q(x)y = r(x),
y (x0 ) = a,

 0
y (x0 ) = b.
Cela signifie que les deux équations données en plus de l’équation différentielle dépendent du même
point initial, à savoir x0 .
Exemple 35. Cherchons à déterminer la solution de l’équation différentielle
(94)
y 00 − y = 0,
soumise aux conditions initiales
(95)
y 0 (0) = 6.
y(0) = 2,
Il est facile de vérifier que les fonctions y1 (x) = ex et y2 (x) = e−x sont deux solutions linéairement indépendantes de (94) (nous allons voir plus loin comment obtenir ces solutions). Comme
la solution générale de (94) est alors de la forme
y(x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e−x ,
la solution particulière cherchée y = y(x) de (94) doit en particulier satisfaire les conditions
(95). C’est pourquoi
c1 e0 + c2 e0
0
0
c1 e − c2 e
=
2,
=
6,
c’est-à-dire
c1 + c2
=
2,
c1 − c2
=
6,
de sorte que c1 = 4 et c2 = −2.
Ainsi, la solution recherchée est
y(x) = 4ex − 2e−x .
Géométriquement, on a trouvé la solution dont la courbe passe par le point (0, 2) avec une pente
égale à 6 en ce point.
Rappelons finalement le fait suivant :
Une équation différentielle linéaire avec conditions initiales admet toujours une solution
unique.
100
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
2.3.6
Problèmes avec conditions aux limites
Il arrive qu’on se trouve face à un problème particulier : résoudre une équation différentielle du
deuxième ordre en trouvant une solution qui satisfait des valeurs prescrites pour cette fonction en
deux points différents (parfois aux deux points limites de l’intervalle sur lequel la fonction est définie).
Dans ce cas, on dit qu’il s’agit d’une équation différentielle avec conditions aux limites.
Si x1 6= x2 , dans le cas d’équations linéaires du second ordre, ce type de problème est habituellement
posé sous la forme

00
0

y + p(x)y + q(x)y = r(x),
y (x1 ) = a,


y (x2 ) = b,
ou

00
0

y + p(x)y + q(x)y = r(x),
y (x1 ) = a,

 0
y (x2 ) = b,
ou

00
0

y + p(x)y + q(x)y = r(x),
0
y (x1 ) = a,

 0
y (x2 ) = b.
D’autres formes sont possibles, mais il faut seulement retenir que les deux conditions données en
plus de l’équation différentielle ne sont pas aux mêmes points.
Avant de passer à des exemples, terminons par le fait suivant :
Contrairement à une équation différentielle linéaire avec conditions initiales, une équation
différentielle linéaire avec conditions aux limites n’admet pas toujours une solution.
Exemple 36. Cherchons la solution de l’équation différentielle avec conditions aux limites
(96)
y 00 − 3y 0 = 0,
y(0) = −6,
y(1/3) = e − 7.
On se convainc assez facilement que y1 (x) = 1 et y2 (x) = e3x sont deux solutions linéairement
indépendantes de (96). Il s’ensuit que la solution générale de (96) est alors donnée par
y(x, c1 , c2 ) = c1 + c2 e3x .
Les conditions aux limites font en sorte que
y(0, c1 , c2 )
= c1 + c2 = −6,
y(1/3, c1 , c2 )
= c1 + c2 e = e − 7.
La solution de ce système d’équations donne c1 = −7 et c2 = 1. C’est pourquoi la solution
2 Les équations différentielles
101
recherchée est
y(x) = e3x − 7.
Géométriquement, on a déterminé la solution dont la courbe passe par les points (0, −6) et
(1/3, e − 7).
Exemple 37. On a vu à la fin de la section 2.2.3 que la solution générale de l’équation différentielle
(97)
y 00 + 4y = 0,
avec ici k = 2, est donnée par
y(x) = c1 sin (2x) + c2 cos (2x) .
Or, il n’est pas possible de trouver des constantes c1 et c2 telles que
y(0, c1 , c2 ) = 1
et
y(π/2, c1 , c2 ) = 1.
En effet, supposons que de telles constantes c1 et c2 existent. On aurait alors
y(0, c1 , c2 )
y(π/2, c1 , c2 )
= c1 sin 0 + c2 cos 0 = 0 + c2 = 1,
= c1 sin π + c2 cos π = 0 + c2 · (−1) = 1,
c’est-à-dire
c2 = 1
et
c2 = −1,
ce qui est impossible. Ainsi, le problème au limite de cet exemple n’a pas de solution.
2.3.7
Obtention d’une deuxième solution d’une équation différentielle
linéaire homogène du deuxième ordre
Comme on sait que la détermination de la solution générale d’une équation différentielle linéaire
homogène du deuxième ordre
(98)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
nécessite la connaissance de deux solutions linéairement indépendantes de cette équation, il devient
impératif de développer des méthodes pour trouver des solutions particulières de (98).
En fait, lorsqu’on connaît déjà une solution de (98), il est possible d’en trouver une deuxième en
utilisant à nouveau la méthode de Lagrange.
En effet, si y1 (x) est une solution partiulière non nulle de (98) et si y2 (x) est une solution linéairement
indépendante avec y1 (x), alors le quotient
y2 (x)
y1 (x)
n’est pas constant.
102
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
On pose ainsi
(99)
y2 (x) = u(x)y1 (x),
où u(x) reste à déterminer.
Comme
et y200 = u00 y1 + 2u0 y10 + uy100 ,
y20 = u0 y1 + uy10
la substitution de y2 (x) dans l’équation (98) donne lieu à
u00 y1 + u0 (2y10 + p(x)y1 ) + u(y100 + p(x)y10 + q(x)y1 ) = 0.
Or, comme y1 est une solution de (98), cette dernière équation devient
(100)
u00 y1 + u0 (2y10 + p(x)y1 ) = 0.
On reconnaît ici une équation différentielle de la forme F (x, u0 , u00 ) = 0, soit la forme étudiée à la
section 2.2.2.
Exemple 38. Cherchons à établir une deuxième solution de l’équation différentielle
(101)
y 00 − 2y 0 + y = 0
en utilisant le fait que y1 (x) = ex est une solution de (101).
Posons y2 (x) = u(x)ex . Alors, nous voulons que y2 (x) soit une solution de (101), c’est-à-dire
y200 − 2y 0 + y = 0.
Or,
y20 = u0 ex + uex ,
y200 = u00 ex + 2u0 ex + uex ,
de sorte que
0 = y200 − 2y20 + y2
= u00 ex + 2u0 ex + uex − 2u0 ex − 2uex + uex
= u00 ex .
Ainsi,
u00 ex = 0.
Puisque ex 6= 0, cela signifie que u00 = 0, c’est-à-dire
u(x) = ax + b.
Puisque nous ne voulons qu’une seule solution particulière, nous pouvons choisir b = 0 et
a = 1 (nous pouvons toujours choisir 0 pour les termes constants qui ne multiplient pas la
variable x), de sorte que
u(x) = x.
Ainsi, y2 (x) = xex . Selon le principe de superposition, la solution générale de l’équation
2 Les équations différentielles
103
différentielle linéaire homogène (101) est
yh = c1 y1 + c2 y2 = c1 ex + c2 xex ,
où c1 et c2 sont des nombres réels.
2.3.8
La méthode de Lagrange : cas non homogène
La méthode de Lagrange, développée à la page 80 de la section 2.1.13, permet de trouver une solution
particulière d’une équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre, à condition qu’on
connaisse au préalable la solution de l’équation différentielle homogène associée. Cette méthode
peut être adaptée à la recherche d’une solution particulière d’une équation différentielle linéaire non
homogène du deuxième ordre. Voici de quelle façon.
À partir de deux solutions y1 (x) et y2 (x) linéairement indépendantes de l’équation différentielle
linéaire homogène
(102)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
et de sa solution générale y = yh = c1 y1 + c2 y2 (où c1 et c2 sont des constantes), on cherche donc
une solution particulière de
(103)
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x).
Posons
(104)
yp (x) = u(x)y1 (x) + v(x)y2 (x),
où les fonctions u(x) et v(x) restent à déterminer.
On doit ainsi trouver deux fonctions u(x) et v(x) telles que l’expression (104) soit effectivement une
solution de (103).
Puisque nous voulons résoudre un système linéaire avec deux inconnus (à savoir u(x) et v(x)), il va
nous falloir deux équations. La première sera bien entendu l’équation (103), où y est remplacé par
yp . En ce qui a trait à la seconde, nous pouvons choisir celle que nous voulons, à condition qu’elle
ne contredise pas la première et qu’elle permette d’obtenir une seconde solution qui est linéairement
indépendante avec les fonctions y1 et y2 .
D’abord, il découle de (104) que
(105)
yp0 (x) = u0 (x)y1 (x) + v 0 (x)y2 (x) + u(x)y10 (x) + v(x)y20 (x).
Afin de simplifier le membre de droite de (105), considérons déjà une contrainte sur u(x) et v(x),
soit
(106)
u0 (x)y1 (x) + v 0 (x)y2 (x) = 0,
ce qui sera notre première équation pour les inconnues u0 (x) et v 0 (x). Alors, (105) devient
yp0 (x)
(107)
=
=
u0 (x)y1 (x) + v 0 (x)y2 (x) +u(x)y10 (x) + v(x)y20 (x)
{z
}
|
=0
0
u(x)y1 (x) + v(x)y20 (x).
104
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
En dérivant une deuxième fois, on obtient
(108)
yp00 (x) = u(x)y100 (x) + v(x)y200 (x) + u0 (x)y10 (x) + v 0 (x)y20 (x).
En substituant (104), (107) et (108) dans (103), celle-ci devient
(109)
u (y100 + p(x)y10 + q(x)y1 ) + v (y200 + p(x)y20 + q(x)y2 ) + u0 y10 + v 0 y20 = r(x).
Comme, par hypothèse, y1 (x) et y2 (x) sont solutions de (102), alors (109) devient
u (y100 + p(x)y10 + q(x)y1 ) +v (y200 + p(x)y20 + q(x)y2 ) +u0 y10 + v 0 y20 = r(x),
{z
}
|
{z
}
|
=0
=0
c’est-à-dire
(110)
u0 y10 + v 0 y20 = r(x).
Nous voilà avec une deuxième équation pour les inconnues u0 et v 0 . On regroupe (106) et (110) en
un système d’équations :
0
u y1 + v 0 y2 = 0,
u0 y10 + v 0 y20 = r(x),
où les inconnues sont u0 (x) et v 0 (x).
La résolution de ce système d’équations permet d’obtenir u0 (x) et v 0 (x), ce qui nous amènera, après
intégration, à connaître les fonctions u(x) et v(x) et, par le fait même, la solution particulière
recherchée.
Exemple 39. Cherchons les solutions de l’équation différentielle non homogène
(111)
w00 − 7w0 + 12w = cos t.
Pour cela, il faut d’abord trouver deux solutions linéairement indépendantes de l’équation
différentielle homogène associée
(112)
w00 − 7w0 + 12w = 0.
En premier lieu, voyons s’il est possible de trouver un nombre réel a tel que w0 (t) := eat soit
solution de (112) (dans la prochaine section, on va expliquer pourquoi ce choix est judicieux).
Comme
w00 (t) = aeat
et
w000 (t) = a2 eat ,
pour que w0 (t) soit solution de (112), il faut que
a2 eat − 7aeat + 12eat = 0.
Or, cela revient à trouver les solutions de l’équation quadratique
a2 − 7a + 12 = 0,
lesquelles sont a = 3 et a = 4.
On est ainsi assuré que w1 (t) = e3t et w2 (t) = e4t sont deux solutions de (112). Sont-elles
2 Les équations différentielles
105
linéairement indépendantes ? Oui, elles le sont, car
W (t) = W [w1 (t), w2 (t)] =
w1 (t) w2 (t)
w10 (t) w20 (t)
=
e3t
3e3t
e4t
4e4t
= e7t 6= 0 pour tout t.
Le théorème de la section 2.3.3 nous garantit alors que
(113)
wh (t, c1 , c2 ) = c1 e3t + c2 e4t
est la solution générale de l’équation différentielle homogène (112).
Il reste donc à trouver une solution particulière de (111).
Nous cherchons une solution wp de la forme
wp = u(t)e3t + v(t)e4t .
Selon la méthode de Lagrange, il nous faut résoudre le système suivant :
(
u0 e3t + v 0 e4t
= 0,
0
0
u0 e3t + v 0 e4t
= cos t.
Notons qu’il est très important que le terme r(t) soit du côté opposé de w00 dans l’équation
différentielle (111) et que le coefficient pour w00 soit de 1.
Le système se ramène à
(
(114)
u0 e3t + v 0 e4t
3u0 e3t + 4v 0 e4t
= 0,
= cos t.
En soustrayant à trois reprises la première équation à la seconde, nous obtenons
(115)
v 0 e4t = cos t.
La fonction v(t) doit donc satisfaire
v 0 = e−4t cos t.
Pour le calcul de cette intégrale, on utilise la formule
Z
eat
eat cos(bt) dt = 2
(a cos(bt) + b sin(bt)) + C
a + b2
mentionnée dans l’Aide-mémoire (appendice A, page 316).
On obtient ainsi
e−4t
(−4 cos t + sin t)
17
avec le choix C = 0 (il est toujours possible de choisir C = 0).
(116)
v(t) =
De même, en utilisant (115) dans la première équation du système (114), nous avons
u0 e3t + cos t = 0,
106
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c’est-à-dire que la fonction u(t) est une solution à
u0 = e−3t cos t.
En intégrant, nous obtenons
e−3t
(−3 cos t + sin t)
10
(avec une constante d’intégration égale à 0).
u(t) =
Combinée avec (116), cette équation nous permet de conclure que la solution particulière recherchée est
1
1
11 cos t − 7 sin t
(117)
wp (t) = − (sin t − 3 cos t) + (sin t − 4 cos t) =
.
10
17
170
En combinant (113) et (117), on peut conclure que la solution générale de (111) est
w(t, c1 , c2 ) = c1 e3t + c2 e4t +
2.4
11 cos t − 7 sin t
.
170
Les équations différentielles linéaires du deuxième ordre à
coefficients constants
Nous allons voir qu’il est plus simple de résoudre des équations différentielles linéaires du deuxième
ordre lorsque les coefficients sont constants.
2.4.1
Le cas de l’équation homogène
On s’intéresse d’abord à la résolution de l’équation différentielle linéaire homogène à coefficients
constants
(118)
y 00 + py 0 + qy = 0.
Chercher à résoudre cette équation peut relever de la section 2.2.3 (x étant absente), mais on a vu
à quelques reprises que, par un choix judicieux de la constante λ, la fonction y(x) = eλx est une
solution de (118). Justement, avoir y(x) = eλx comme solution de (118) équivaut à écrire que
λ2 eλx + pλeλx + qeλx = 0
ou, en divisant par eλx ,
λ2 + pλ + q = 0.
Il s’agit là d’une équation quadratique, appelée l’équation caractéristique (ou encore polynôme
caractéristique) associée à (118), et dont les solutions, données par la formule quadratique, sont
p
p
−p + p2 − 4q
−p − p2 − 4q
λ1 =
,
λ2 =
.
2
2
On a ainsi établi que les fonctions
(119)
y1 (x) = eλ1 x
et
y2 (x) = eλ2 x
2 Les équations différentielles
107
sont solutions de (118), un exemple numérique étant la résolution de (112).
La nature des nombres λ1 et λ2 peut toutefois être problématique. Ainsi, si λ1 = λ2 , alors (119)
ne fournit malheureusement qu’une seule solution de (118). Pis encore, si les racines λ1 et λ2 sont
complexes, la relation (119) ne fournit que des solutions complexes de l’équation différentielle homogène, alors qu’on ne s’intéresse qu’aux solutions réelles. Voilà pourquoi on va considérer séparément
les trois cas suivants :
— Cas no 1 : p2 − 4q > 0 : les racines λ1 et λ2 sont réelles et distinctes.
— Cas no 2 : p2 − 4q = 0 : λ = λ1 = λ2 est la seule racine ; elle est double.
— Cas no 3 : p2 − 4q < 0 : les racines λ1 et λ2 ne sont pas réelles, mais complexes.
Cas n o 1 : p2 − 4q > 0
Dans ce cas, il est clair que les fonctions données en (119) sont des solutions réelles de (118) et qu’en
plus, elles sont linéairement indépendantes, soit parce que y1 /y2 = e(λ1 −λ2 )x n’est pas égale à une
constante, soit parce que
W (x) =
y1 (x) y2 (x)
y10 (x) y20 (x)
=
eλ1 x
λ1 eλ1 x
eλ 2 x
λ2 eλ2 x
= (λ2 − λ1 )e(λ1 +λ2 )x 6= 0,
étant donné que λ1 6= λ2 .
Il résulte donc de cela que si l’équation caractéristique de l’équation différentielle homogène
y 00 + py 0 + qy = 0 possède deux racines réelles distinctes λ1 et λ2 , alors sa solution générale est
donnée par
y(x, c1 , c2 ) = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x .
Exemple 40. Premièrement, trouvons la solution générale de l’équation différentielle
(120)
2y 00 − 13y 0 + 6y = 0.
Deuxièmement, trouvons la solution particulière y0 (x) qui répond aux contraintes y0 (0) = 3 et
y00 (0) = 7.
D’abord, on trouve aisément que les racines de l’équation caractéristique associée
2λ2 − 13λ + 6 = 0
sont λ1 = 6 et λ2 =
1
.
2
La solution générale de (120) est donc
y(x, c1 , c2 ) = c1 e6x + c2 ex/2 .
On cherche maintenant c1 et c2 telles que
y(0, c1 , c2 )
y 0 (0, c1 , c2 )
= c1 + c2 = 3,
1
= 6c1 + c2 = 7.
2
108
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
La solution particulière cherchée (c1 = 1 et c2 = 2) est donc
y0 (x) = y(x, 1, 2) = e6x + 2ex/2 .
Cas no 2 : p2 − 4q = 0
Dans ce cas, la racine de l’équation caractéristique est
p
λ := λ1 = λ2 = − ,
2
ce qui ne fournit qu’une solution de (118), soit
p
y1 (x) = eλx = e− 2 x .
Pour en obtenir une autre, on utilise la méthode exposée à la section 2.3.7. On pose donc
(121)
y2 (x) = u(x)y1 (x) = u(x)eλx ,
de sorte que
y20 (x) = u0 eλx + λueλx ,
y200 (x) = u00 eλx + 2λu0 eλx + λ2 ueλx .
En reportant ces valeurs dans (118), celle-ci devient
(122)
u00 eλx + u0 eλx (2λ + p) + ueλx (λ2 + pλ + q) = 0.
p
Or, comme 2λ + p = 0 (car λ = − ) et comme λ2 + pλ + q = 0 (c’est l’équation caractéristique !),
2
l’équation (122) devient
u00 eλx = 0,
et donc
u00 = 0,
car eλx 6= 0. On cherche donc une fonction u(x) telle que u00 = 0. Il est clair que u(x) = x convient
très bien (rappelons qu’il nous faut seulement une fonction non nulle u satisfaisant l’équation différentielle). En reportant cette valeur dans (121), celle-ci devient
p
y2 (x) = xeλx = xe− 2 x .
Il résulte donc de cela que si l’équation caractéristique de l’équation différentielle homogène
y 00 + py 0 + qy = 0 possède une racine (réelle) double λ, alors sa solution générale est donnée par
y(x, c1 , c2 ) = c1 eλx + c2 xeλx = (c1 + c2 x)eλx .
Exemple 41. Premièrement, trouvons la solution générale de l’équation différentielle
(123)
y 00 + 6y 0 + 9y = 0.
Deuxièmement, trouvons la solution particulière y0 (x) qui répond aux contraintes y0 (0) = 4 et
y00 (0) = 5.
D’abord, on trouve aisément que l’équation caractéristique associée
λ2 + 6λ + 9 = 0
2 Les équations différentielles
109
peut s’écrire (λ + 3)2 = 0 et possède donc une racine double, soit λ = −3. La solution générale
de (123) est donc
y(x, c1 , c2 ) = c1 e−3x + c2 xe−3x .
On cherche maintenant c1 et c2 telles que
y(0, c1 , c2 )
= c1 = 4,
y 0 (0, c1 , c2 )
= −3c1 + c2 = 5.
Comme la résolution de ce système d’équations donne c1 = 4 et c2 = 17, la solution particulière
cherchée est
y0 (x) = y(x, 4, 17) = 4e−3x + 17xe−3x .
Cas no 3 : p2 − 4q < 0
Dans ce cas, les racines de l’équation caractéristique λ2 + pλ + q = 0 ne sont pas réelles. Or, comme
4q − p2 > 0, nous avons
p
p
p
p
p2 − 4q = (−1)(4q − p2 ) = i2 (4q − p2 ) = ±i 4q − p2 .
Il s’ensuit que
p
p i 4q − p2
p 1p 2
p − 4q = − +
λ1 = − +
,
2 2
2
p 2
p i 4q − p2
p 1p 2
p − 4q = − −
λ2 = − −
.
2 2
2
2
Pour simplifier la notation, écrivons
λ2 = α − iβ,
λ1 = α + iβ,
où α = −
1p
p
et β =
2
2
4q − p2 . À partir des solutions non réelles
Y1 (x) = eλ1 x
et
Y2 (x) = eλ2 x ,
nous allons créer deux solutions réelles linéairement indépendantes. Pour ce faire, on observe d’abord
que
Y1 (x)
=
eλ1 x = eαx+iβx = eαx (cos (βx) + i sin (βx))
et Y2 (x)
=
eλ2 x = eαx−iβx = eαx (cos (βx) − i sin (βx))
sont des nombres conjugués complexes. En utilisant cela et le fait que la somme (ou la différence)
de deux solutions de (118) est aussi une solution de (118), on peut conclure que les fonctions
y1 (x)
:=
et y2 (x)
:=
1
(Y1 (x) + Y2 (x)) = eαx cos (βx)
2
1
(Y1 (x) − Y2 (x)) = eαx sin (βx)
2i
110
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
représentent deux solutions réelles de (118). Elles sont, de plus, linéairement indépendantes, parce
que
eαx sin (βx)
sin (βx)
y2 (x)
= αx
=
= tan (βx)
y1 (x)
e cos (βx)
cos (βx)
est une fonction et non une constante.
Ainsi, si l’équation caractéristique de l’équation différentielle homogène y 00 + py 0 + qy = 0 possède
deux racines complexes λ1 = α + iβ et λ2 = α − iβ, alors sa solution générale est donnée par
y(x, c1 , c2 ) = c1 eαx cos (βx) + c2 eαx sin (βx) .
Exemple 42. Premièrement, trouvons la solution générale de l’équation différentielle
(124)
y 00 + 6y 0 + 10y = 0.
Deuxièmement, trouvons la solution particulière y0 (x) qui répond aux contraintes y0 (0) = 2 et
y00 (0) = 3.
D’abord, les solutions de l’équation caractéristique λ2 + 6λ + 10 = 0 sont λ1 = α + iβ et
λ2 = α − iβ, où α = −3 et β = 1.
Il s’ensuit que la solution générale de (124) est
y(x, c1 , c2 ) = c1 e−3x cos x + c2 e−3x sin x.
Pour obtenir la solution particulière demandée, observons d’abord que
y 0 (x, c1 , c2 ) = e−3x ((c2 − 3c1 ) cos x − (c1 + 3c2 ) sin x) .
Compte tenu des conditions initiales imposées, les constantes c1 et c2 doivent saisfaire
y(0, c1 , c2 )
=
c1 = 2,
0
=
c2 − 3c1 = 3.
y (0, c1 , c2 )
On en déduit les valeurs c1 = 2 et c2 = 9. La solution particulière cherchée est donc
y0 (x) = e−3x (2 cos x + 9 sin x).
2.4.2
La méthode des coefficients indéterminés (équation non homogène)
On a vu à la section 2.3.4 que la solution générale de l’équation différentielle non homogène
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x) est donnée par y(x, c1 , c2 ) = yh (x, c1 , c2 ) + yp (x), où yh (x, c1 , c2 ) est
la solution générale de l’équation homogène associée et où yp (x) est une solution particulière de
l’équation.
À la section 2.4.1, on a vu comment trouver la solution générale de l’équation homogène dans le cas
où les coefficients p(x) et q(x) sont constants. Il reste maintenant à établir comment trouver une
solution particulière yp (x).
À la section 2.3.8, on a exposé une méthode très générale, appelée méthode de Lagrange, pour trouver
une solution particulière d’une équation non homogène quelconque, même à coefficients variables. La
2 Les équations différentielles
111
forme générale de la solution yp (x) peut toutefois s’avérer assez compliquée à calculer. Or, pour le cas
où les équations sont des équations différentielles linéaires non homogènes à coefficients constants,
soit du type
(125)
y 00 + py 0 + qy = r(x),
il existe une méthode de résolution relativement simple, appelée méthode des coefficients indéterminés. Cette méthode s’avère très efficace lorsque le terme r(x) est un polynôme, une exponentielle, un sinus, un cosinus, ou encore une somme ou un produit de telles fonctions. Plus précisément,
en posant
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
un polynôme de degré n, nous allons examiner l’un après l’autre les cas où r(x) prend l’une des six
formes suivantes :
1. P (x) ;
2. Aeax ;
3. A cos βx ou A sin βx ;
4. P (x)eax ;
5. P (x) cos βx ou P (x) sin βx ;
6. P (x)eax cos βx ou P (x)eax sin βx.
La méthode des coefficients indéterminés consiste essentiellement à choisir yp (x) d’une forme
similaire à la fonction r(x) correspondante, quitte à ce que la forme d’abord proposée pour yp (x)
contienne des coefficients inconnus qu’on déterminera plus tard en substituant yp (x) dans (125).
Le tableau suivant propose, dans sa troisième colonne, une forme appropriée pour yp (x) selon la
nature de la fonction correspondante r(x) donnée dans la deuxième colonne.
Ainsi, pour établir la forme finale d’une solution particulière de (125) grâce à cette méthode, on
substitue la forme suggérée yp (x) et ses dérivées dans (125) et on détermine par la suite la valeur
des coefficients inconnus afin que l’équation (125) soit vérifiée. Il reste à déterminer le nombre entier
s qui apparaît dans la troisième colonne.
En fait, s est le plus petit entier positif possible tel qu’une expression xs Q(x), ou xs Beax , etc.,
ne soit pas déjà une solution de l’équation homogène associée. En particulier, s correspond
toujours à la multiplicité de la racine concernée du polynôme caractéristique.
Dans le tableau ci-dessous, P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 est un polynôme donné, tandis
que Q(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 et R(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + · · · + c1 x + c0 sont des
polynômes dont on cherche à déterminer les coefficients.
112
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Cas no 1
Cas no 2
Cas no 3
Cas no 4
Cas no 5
Cas no 6
r(x)
P (x)
Aeax
A cos (βx)
ou
A sin (βx)
P (x)eax
P (x) cos (βx)
ou
P (x) sin (βx)
P (x)eαx cos (βx)
ou
P (x)eαx sin (βx)
yp (x)
xs Q(x)
xs Beax
Racine concernée
0
a
xs (B cos (βx) + C sin (βx))
βi
xs Q(x)eax
a
xs (Q(x) cos (βx) + R(x) sin (βx))
βi
xs eαx (Q(x) cos (βx) + R(x) sin (βx))
α + iβ
On remarquera que ces cas ne s’excluent pas mutuellement ; par exemple, (4) devient (2) si Q(x) est
un polynôme constant.
La section suivante est entièrement consacrée à des exemples de résolutions d’équations différentielles
linéaires du deuxième ordre. Enfin, la section 2.4.4 traite des oscillations linéaires qui surgissent en
mécanique des fluides de même que dans des circuits électriques.
2.4.3
Exemples d’équations différentielles linéaires du deuxième ordre
Exemple 43. Tentons de résoudre l’équation différentielle
(126)
y 00 − 3y 0 + 2y = 7x2 + 4x.
On trouve que les racines de l’équation caractéristique associée λ2 − 3λ + 2 = 0 sont λ1 = 1 et
λ2 = 2.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(127)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e2x .
Il reste à trouver une solution particulière yp (x) de (126). On reconnaît aussitôt le cas no 1
dans le tableau de la page précédente, car r(x) = 7x2 + 4x est un polynôme de degré 2, et c’est
pourquoi on doit poser temporairement
yp (x) = Ax2 + Bx + C.
Puisque la solution homogène ne comporte que des termes de la forme ex ou e2x , alors nous
n’avons pas à multiplier par xs (λ = 0 n’est pas une racine du polynôme caractéristique).
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (126), celle-ci devient,
après simplification,
2A − 3B + 2C + (2B − 6A)x + 2Ax2 = 7x2 + 4x.
De cette équation, et compte tenu de l’unicité de la représentation d’un polynôme (c’est-à-dire
2 Les équations différentielles
113
que les coefficients doivent être égaux), on déduit les trois équations suivantes :
2A
=
7,
2B − 6A
=
4,
2A − 3B + 2C
=
0.
et
C=
La résolution de ce système d’équations donne
7
25
,
B=
2
2
Ces valeurs donnent donc la solution particulière
A=
61
.
4
61
7 2 25
x + x+ .
2
2
4
En joignant (127) et (128), on obtient finalement que la solution générale de (126) est
(128)
yp (x) =
7
25
61
y(x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e2x + x2 + x + .
2
2
4
Exemple 44. Résolvons l’équation différentielle
(129)
y 00 − 5y 0 + 4y = 3ex .
On trouve facilement que les racines de l’équation caractéristique associée λ2 − 5λ + 4 = 0 sont
λ1 = 1 et λ2 = 4.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(130)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e4x .
Il reste à trouver une solution particulière yp (x) de (129). On reconnaît aussitôt le cas no 2
dans le tableau de la page 112, car r(x) = 3ex est de la forme Aex . Puisque ex est une solution
de l’équation différentielle homogène associée, c’est-à-dire puisque a = 1 est une racine de
multiplicité 1 du polynôme caractéristique, nous posons à la place
yp (x) = Bxex .
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (129), celle-ci devient,
après simplification,
B(−3)ex = 3ex ,
d’où B = −1. On a ainsi obtenu la solution particulière
(131)
yp (x) = −xex .
En joignant (130) et (131), on obtient finalement que la solution générale de (129) est
y(x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e4x − xex .
114
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Exemple 45. Considérons l’équation différentielle
(132)
y 00 + 6y 0 + 9y = e−3x .
On trouve facilement que l’équation caractéristique associée λ2 + 6λ + 9 = 0 possède une racine
double λ = −3.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(133)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 e−3x + c2 xe−3x .
Il reste à trouver une solution particulière yp (x) de (132). On reconnaît aussitôt le cas no 2 dans
le tableau de la page 112, car r(x) = e−3x est de la forme Ae−3x . Puisque les fonctions e−3x
et xe−3x sont des solutions de l’équation différentielle homogène associée, c’est-à-dire puisque
a = −3 est une racine de multiplicité 2 du polynôme caractéristique, nous posons
yp = Bx2 e−3x .
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (132), celle-ci devient,
après simplification,
2Be−3x = e−3x ,
d’où B = 1/2. On a ainsi obtenu la solution particulière
1 2 −3x
x e
.
2
En combinant (133) et (134), on obtient finalement que la solution générale de (132) est
(134)
yp (x) =
1
y(x, c1 , c2 ) = c1 e−3x + c2 xe−3x + x2 e−3x .
2
Exemple 46. Tentons de résoudre l’équation différentielle
(135)
y 00 + 2y 0 + 10y = sin (3x) .
On trouve facilement que l’équation caractéristique associée λ2 + 2λ + 10 = 0 possède les deux
racines complexes λ1 = −1 + 3i et λ2 = −1 − 3i.
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(136)
yh (x, c1 , c2 ) = e−x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) .
Il reste à trouver une solution particulière yp (x) de (135). On reconnaît aussitôt le cas no 3 dans
le tableau de la page 112, car r(x) = sin (3x), et c’est pourquoi on pose temporairement
yp (x) = B cos (3x) + C sin (3x) .
Puisqu’aucune des deux fonctions cos (3x) et sin (3x) n’apparaît dans yh , nous n’avons pas à
multiplier par x (λ = 3i n’est pas une racine du polynôme caractéristique).
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (135), celle-ci devient,
2 Les équations différentielles
115
après simplification,
(B + 6C) cos (3x) + (C − 6B) sin (3x) = sin (3x) ,
d’où B + 6C = 0 et C − 6B = 1. Il s’ensuit que B = −6/37 et C = 1/37. On a ainsi obtenu la
solution particulière
6
1
cos (3x) +
sin (3x) .
37
37
En combinant (136) et (137), on obtient finalement que la solution générale de (135) est
(137)
yp (x) = −
y(x, c1 , c2 ) = e−x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) −
6
1
cos (3x) +
sin (3x) .
37
37
Exemple 47. Considérons l’équation différentielle
(138)
y 00 + 9y = sin (3x) .
Les solutions de l’équation caractéristique associée λ2 + 9 = 0 sont λ1 = 3i et λ2 = −3i. Il
s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(139)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) .
Pour trouver une solution particulière yp (x) de (138), on remarque qu’il s’agit du cas no 3 dans
le tableau de la page 112, car r(x) = sin (3x). Puisque les fonctions cos (3x) et sin (3x) sont des
solutions de l’équation différentielle homogène associée, c’est-à-dire puisque les racines λ = ±3i
sont simples, nous posons
yp (x) = x (B cos (3x) + C sin (3x)) .
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (138), celle-ci devient,
après simplification,
−6B sin (3x) + 6C cos (3x) = sin (3x) ,
d’où C = 0 et B = −1/6. La solution particulière qui en découle est
1
yp (x) = − x cos (3x) .
6
En combinant (139) et (140), on obtient finalement que la solution générale de (138) est
(140)
1
y(x, c1 , c2 ) = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) − x cos (3x) .
6
Exemple 48. Résoudre l’équation différentielle
(141)
y 00 − 3y 0 + 2y = (x + 1)e4x .
Les solutions de l’équation caractéristique associée λ2 − 3λ + 2 = 0 sont λ1 = 1 et λ2 = 2.
116
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Il s’ensuit que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(142)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 e2x .
Pour trouver une solution particulière yp (x) de (141), on remarque qu’il s’agit du cas no 4
dans le tableau de la page 112, car r(x) est de la forme P (x)e4x , où P (x) est un polynôme de
degré 1.
Puisque les fonctions xe4x et e4x ne sont pas parmi les solutions de l’équation différentielle
homogène représentées par yh , nous n’avons pas à multiplier par x (cela est équivalent à dire
que λ = 4 n’est pas une racine du polynôme caractéristique).
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (141), celle-ci devient,
après simplification,
(5A + 6B) + 6Ax = 1 + x,
d’où A = 1/6 et B = 1/36. Il s’ensuit que la solution particulière est
1
x
+
e4x .
(143)
yp (x) =
6 36
En combinant (142) et (143), on obtient finalement que la solution générale de (141) est
x
1
x
2x
y(x, c1 , c2 ) = c1 e + c2 e +
+
e4x .
6 36
Exemple 49. Résoudre l’équation différentielle
(144)
y 00 + y = x cos x.
Les solutions de l’équation caractéristique associée λ2 + 1 = 0 sont λ1 = i et λ2 = −i. Il s’ensuit
que la solution générale de l’équation différentielle homogène associée est
(145)
yh (x, c1 , c2 ) = c1 cos x + c2 sin x.
Pour trouver une solution particulière yp (x) de (144), on remarque qu’il s’agit du cas no 5 dans
le tableau de la page 112, car r(x) est de la forme P (x) cos x, où P (x) est un polynôme de
degré 1.
Or, les fonctions termes cos x et sin x sont des solutions de l’équation différentielle homogène
associée, c’est-à-dire que les racines λ = ±i sont de multiplicité 1. Nous posons ainsi
yp = x ((Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x) .
En substituant cette fonction et ses dérivées première et deuxième dans (144), celle-ci devient,
après simplification,
(2A + 2D) cos x − 4Ax sin x + (2C − 2B) sin x + 4Cx cos x = x cos x,
2 Les équations différentielles
117
d’où B = C = 1/4 et A = D = 0. Il s’ensuit que la solution particulière est
1
x cos x + x2 sin x .
4
En combinant (145) et (146), on obtient finalement que la solution générale de (144) est
(146)
yp (x) =
y(x, c1 , c2 ) = c1 cos x + c2 sin x +
1
x cos x + x2 sin x .
4
Exemple 50. Principe de superposition
Trouvons la solution générale de l’équation différentielle
y 00 + 9y = sin (3x) + x.
L’équation différentielle homogène associée est la même que celle de l’exemple 47. Nous obtenons
ainsi que ±3i sont des racines simples et que
yh = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) .
Pour obtenir yp , nous remarquons tout d’abord que le terme sin (3x)+x ne correspond à aucune
forme du tableau de la page 112. Cependant, il s’agit d’une somme de deux termes qui y sont
présents, à savoir les fonctions sin (3x) et x. Selon le principe de superposition, nous devons
nous attendre à ce que la solution yp soit la somme de deux fonctions, à savoir yp1 et yp2 , où
yp1 est une solution de
y 00 + 9y = sin (3x)
et yp2 est une solution de
(147)
y 00 + 9y = x.
La fonction yp1 a déjà été obtenue à l’exemple 47. Pour ce qui en est de yp2 , puisque x est un
polynôme de degré 1 et comme λ = 0 n’est pas une solution du polynôme caractéristique, nous
voulons
yp2 = Ax + B.
En remplaçant dans l’équation différentielle (147), nous obtenons
9Ax + 9B = x,
c’est-à-dire A = 1/9 et B = 0. Ainsi,
y p2 =
x
.
9
La solution particulière yp est donc
yp = yp1 + yp2 =
x 1
− x cos (3x)
9 6
118
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
et la solution générale recherchée est
y = e−x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) +
x 1
− x cos (3x) .
9 6
Le principe de superposition s’applique également dans le cas où le terme indépendant de la fonction
y est une somme de m termes, où m ≥ 2, et yp est de la forme
yp = yp1 + yp2 + · · · + ypm .
2.4.4
Les oscillations linéaires
Une des principales applications de la théorie des équations différentielles linéaires du deuxième
ordre concerne l’étude des systèmes périodiques. On rencontre de tels systèmes un peu partout en
génie : les circuits électriques en courant alternatif, les structures en vibrations sous l’effet du vent
ou des vagues, l’acoustique, etc.
La version qu’on présente ici est volontairement simplifiée et ne s’applique qu’aux problèmes unidimensionnels. Cependant, elle contient tous les principes de base. Nous regarderons deux cas particuliers : un système masse-ressort en mouvement dans un fluide et un circuit électrique à trois
composantes : une résistance, une bobine et un condensateur. D’un point de vue mathématique, les
problèmes seront identiques, mais l’importance et la pertinence de tel ou tel résultat dépendront du
contexte physique.
Un système masse-ressort
On considère une masse m (supposée ponctuelle) attachée à un ressort et qui se déplace sous l’action
d’une force externe F appliquée parallèlement à son axe. On suppose que l’instant initial t = 0 est
celui où la force commence à agir. On choisit, comme axe pour décrire le mouvement, l’axe du ressort
et, comme origine, la position d’équilibre en l’absence de force externe, c’est-à-dire la position pour
laquelle la réaction du ressort compense l’action de la gravité, qui ne jouera donc aucun rôle.
Figure 2.18
2 Les équations différentielles
119
Le mouvement du système est alors décrit par la deuxième loi de Newton :
d2 y
= F + Re + Ra.
dt2
Re désigne alors la résistance due à la viscosité du fluide dans lequel a lieu le mouvement et Ra
désigne la force de rappel du ressort. L’équation du mouvement est générale et ne dépend pas du
système étudié. Pour pouvoir l’utiliser, il faut modéliser les réactions des composantes de ce système.
(148)
m
— Pour des déplacements faibles, la réaction du ressort est donnée par la loi de Hooke, qui
stipule que la réaction est proportionnelle au déplacement tout en s’y opposant :
(149)
Ra = −ky(t).
La constante k est appelée constante de rappel.
— Pour les basses vitesses, la résistance du fluide est proportionnelle à la vitesse et s’oppose au
mouvement :
dy
(150)
Re = −c .
dt
La constante c est appelée coefficient de viscosité. Sa valeur dépend à la fois du fluide et
du corps en mouvement.
La combinaison des équations (148), (149) et (150) conduit au modèle suivant :
(151)
m
d2 y
dy
+c
+ ky(t) = F.
dt2
dt
Il est important de comprendre qu’à la différence de (148), (151) n’est pas l’expression d’une loi
physique générale, mais plutôt celle d’un modèle déduit de la loi générale en faisant plusieurs
hypothèses simplificatrices. La formule (151) ne s’applique alors qu’à une situation particulière et
n’est valable que pour certaines valeurs des quantités physiques. Comme représentation, voir la
figure 2.18.
Un circuit électrique RLC
Revenons à l’équation (63), page 87, qui prend en compte les contributions des composantes d’un
circuit RLC :
dI
1
(152)
L
+ RI(t) + Q(t) = E(t).
dt
C
L’équation (152) n’est pas une équation différentielle, car on y retrouve deux fonctions inconnues I
dQ
et Q. Cependant, en dérivant et en utilisant la relation connue I(t) =
, on peut éliminer Q et
dt
obtenir
d2 I
dI
1
+R
+ I(t) = E 0 (t).
dt2
dt
C
Il est clair que les formules (151) et (153) sont de même nature. Dans les deux cas, on devrait les
compléter avec des conditions initiales. Habituellement, on choisit des conditions qui décrivent l’état
du système au temps t = 0. Cependant, par la suite, on s’intéressera surtout au comportement à
long terme des systèmes lorsque la force perturbatrice (c’est-à-dire F ou E) sera périodique. On
(153)
L
120
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
montrera que, sous certaines conditions, la réponse est alors indépendante de l’état initial.
Nous allons limiter notre analyse à (153). Lorsque les conclusions ne s’appliqueront pas à (151), nous
formulerons alors des remarques spécifiques.
Considérons donc un cas particulier de l’équation (153), soit le cas E 0 (t) = K cos (ωt), où K est une
constante. L’équation et sa version homogène s’écrivent alors
(Λ)
L
dI
1
d2 I
+R
+ I = K cos (ωt) ,
dt2
dt
C
dI
1
d2 I
+R
+ I = 0.
dt2
dt
C
Les trois prochaines sections feront l’objet de la résolution de ces deux équations différentielles.
(Λ0 )
L
Solution générale de l’équation homogène (Λ0 )
L’équation (Λ0 ) s’écrit sous la forme
d2 I
R dI
1
+
+
I=0
dt2
L dt
CL
et son équation caractéristique est
λ2 +
1
R
λ+
= 0,
L
CL
dont les racines sont
−R +
λ1 =
On supposera que R2 −
q
R2 − 4L
C
et
2L
−R −
λ2 =
q
R2 − 4L
C
2L
.
4L
< 0. Ainsi, les racines sont complexes :
C
q
q
4L
2
2
−R + i 4L
−
R
−R
C
C −R
λ1 =
=
+i
,
2L
2L
q 2L
q
−R − i
λ2
=
4L
2
C −R
2L
−R
=
−i
2L
4L
2
C −R
2L
.
On en déduit que la solution générale de (Λ0 ) est
où
I0 (t, c1 , c2 ) = e−αt (c1 cos (βt) + c2 sin (βt)) ,
q
4L
2
R
C −R
α=
et β =
.
2L
2L
√
1
3
3
Par exemple, en choisissant L = 4, R = 6 et C = , on obtient α = et β =
, auquel cas
3
4
4
!
!!
√
√
3
3
− 34 t
c1 cos
I0 (t, c1 , c2 ) = e
t + c2 sin
t
.
4
4
2 Les équations différentielles
121
− 43 t
→ 0 lorsque t → ∞, on a I0 (t, c1 , c2 ) → 0 lorsque t → ∞ et il en est ainsi
Remarque Puisque e
quelles que soient les valeurs données à c1 et à c2 .
Voici le graphe de I0 (t, c1 , c2 ) pour quelques valeurs possibles de c1 et de c2 (figures 2.19, 2.20
et 2.21).
c1 = 0, 2,
c2 = 0 :
Figure 2.19
c1 = 0,
c2 = 0, 2 :
Figure 2.20
122
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c1 = 0, 2,
c2 = 0, 2 :
Figure 2.21
Remarque Les équations (153) et (151) sont équivalentes. En effet, les variables m, y, c, k et F de
1
l’équation différentielle (151) ont simplement été remplacées par L, I, R,
et E 0 (t) respectivement.
C
Dans l’expression de I0 , la constante β est appelée la fréquence du système. Pour un système
mécanique, la fréquence de I0 (lorsque c est négligeable) est appelée fréquence naturelle, et on la
notera
r
k
ω0 =
.
m
Solution particulière de (Λ)
Il va s’avérer ici plus simple de travailler en arithmétique complexe. L’idée repose sur l’observation
suivante : puisque
K cos ωt = Re Keiωt ,
si Ic est une solution de
(Λc )
L
d2 Ic
dIc
1
+R
+ Ic = Keiωt ,
dt2
dt
C
alors Ip = Re (Ic ) est une solution de l’équation de départ. On cherche donc Ic . Puisque iω n’est pas
une racine de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière de la forme
Ic (t) = Aeiωt .
On a donc
Ic0 (t) = iωAeiωt
et
Ic00 (t) = −ω 2 Aeiωt .
2 Les équations différentielles
123
En reportant ces résultats dans l’équation (Λc ), on trouve
1
2
A −ω L + iωR +
eiωt = Keiωt .
C
Posons
1
− Lω 2
C
où, à l’aide de la figure 2.22,
s
2
1
2
+ R2 ω 2
ρ=
− Lω
C
+ iRω = ρeiθ ,
et
θ = arctan
Rω
1
−
Lω 2
C
.
Figure 2.22
K −iθ
e , et donc
ρ
K i(ωt−θ)
K
e
=
cos(ωt − θ).
Ip = Re(Ic ) = Re
ρ
ρ
Le coefficient A s’écrit alors
Ainsi, Ip (t) devient
Ip (t) = q
K
1
2 2 + R2 ω 2
C − Lω
cos(ωt − θ).
2π
et
On dit alors que Ip (t) est une oscillation harmonique de fréquence ω, de période T =
ω
s
2
1
d’amplitude K/
− Lω 2 + R2 ω 2 .
C
Solution générale de (Λ)
Comme on l’a vu à la section 2.3.4, la solution générale de (Λ) est donnée par
I(t, c1 , c2 ) = I0 (t, c1 , c2 ) + Ip (t).
C’est pourquoi
I(t, c1 , c2 ) = e−αt (c1 cos (βt) + c2 sin (βt)) + q
K
1
2 2 + R2 ω 2
C − Lω
cos(ωt − θ).
124
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Puisque I0 (t, c1 , c2 ) = e−αt (c1 cos (βt) + c2 sin (βt)) → 0 lorsque t augmente, on aura I(t, c1 , c2 ) ≈
Ip (t) après un certain temps.
Résonance et amplification
Comme on vient de le voir, I(t, c1 , c2 ) → Ip (t) lorsque t devient grand. Cela revient à dire que toutes
les solutions de (Λ) tendent vers
Ip (t) = q
K
1
2 2 + R2 ω 2
C − Lω
cos(ωt − θ),
une expression qu’on appelle régime permanent du circuit.
Supposons que R et L soient constants, mais qu’on fasse varier C. Alors, l’amplitude du régime
1
permanent sera maximale en choisissant C de telle sorte que
= Lω 2 , auquel cas on aura
C
K
cos(ωt − θ).
Ip (t) =
Rω
K
est grande : c’est ce qu’on appelle le phénomène de résonance.
Si R est petit, l’amplitude
Rω
Remarque
Faire varier la capacité du condensateur est physiquement réalisable. C’est justement ce qu’on fait
lorsqu’on sélectionne une émission radiophonique. Dans ce cas, ce qu’on veut, c’est mettre le condensateur en résonance avec la fréquence d’entrée du poste qu’on désire ; la résonance est alors souhaitable. Il faut noter que si R → 0, l’amplitude de Ip devient infinie, ce qui n’a pas de sens. Sauf
1
que, lorsque
= Lω 2 , l’équation caractéristique a une racine double et le régime permanent change
C
de forme.
Pour le système ressort-masse, faire varier C équivaut à faire varier k, c’est-à-dire à changer la
structure elle-même du ressort, ce qui n’est guère évident (sauf peut-être pour un guitariste).
En fait, on s’intéressera plutôt à ce qui se passe lorsque la fréquence de la source change, ce qui est
le cas, par exemple, lorsque le vent qui souffle sur un édifice augmente d’intensité en le contournant.
Si l’on considère l’expression de l’amplitude de la réponse Ip pour le cas mécanique, on a
Ampl = p
F
(k − mω 2 )2 + c2 ω 2
.
Encore une fois, cette amplitude est maximale si l’expression au dénominateur est minimale. Cela
se produit pour
r
c2
ωmax = ω02 −
,
2m2
r
k
.
étant donné que ω0 =
m
2 Les équations différentielles
125
L’amplitude vaut alors
2mF
.
Amplmax = p
c 4m2 ω02 − c2
On propose ici une représentation graphique (figure 2.23) de Ampl pour m = k = 1 et c =
1
.
4
Figure 2.23
Lorsque c → 0, alors ωmax → ω0 , et l’amplitude devient infinie. Si c est petit, le système se rompt
avant que ω n’atteigne cette valeur maximale dite de résonance. Ce phénomène n’est pas si rare,
et c’est pour éviter la résonance qu’il est si important pour un ingénieur de bien identifier les
fréquences naturelles, que ce soit celles d’une machine-outil ou celles d’un pont.
1
Exemple 51. Prenons L = 4, R = 6, C = , K = 2 et ω = 4, ce qui nous amène à considérer
3
l’équation
4
d2 I
dI
1
+6
+
I = 2 cos (4t) .
dt2
dt
1/3
La solution générale est donc
I(t, c1 , c2 ) = e
− 34 t
c1 cos
√ !
3
t + c2 sin
4
√ !!
3
2
t
+√
cos(4t − θ),
4
4297
24
= π + Arctan(−24/61) ≈ π + (−0, 374840) ≈ 2, 766752. Voici d’ailleurs
−61
les graphes de I(t, c1 , c2 ) (où c1 = 0, 2 et c2 = 0, 2) et de Ip (t) (figure 2.24).
où θ = arctan
126
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 2.24
Noter que la fonction I(t, c1 , c2 ) est supérieure à Ip (t) pour les petites valeurs de t et que, par
la suite, elle se confond progressivement avec Ip (t).
Exemple 52. Prenons L = 1, R = 0, 01, K = 1 et ω = 1, ce qui donne lieu au circuit
d2 I
dI
1
+ 0, 01
+ I = cos t.
dt2
dt
C
En posant
1
= Lω 2 , c’est-à-dire C = 1, on obtient
C
1
Ip (t) =
cos(t − θ) = 100 cos(t − θ).
0, 01
Application du principe de superposition
Les fonctions périodiques sont rarement aussi simples que celle étudiée plus haut. Regardons maintenant ce qui se passe si l’on a une combinaison de fonctions périodiques, comme c’est le cas pour
l’équation suivante :
dI
1
d2 I
+R
+ I = F1 cos(ω1 t) + F2 cos(ω2 t) + · · · + FN cos(ωN t).
dt2
dt
C
D’après le principe de superposition, une solution particulière de cette équation est donnée par
(154)
L
Ip (t) = I1 (t) + I2 (t) + · · · + IN (t),
où Ik (t) est une solution particulière de
L
d2 I
dI
1
+R
+ I = Fk cos(ωk t)
dt2
dt
C
(k = 1, · · · , N ).
2 Les équations différentielles
127
On déduit de ce qui précède que
Ik (t) = q
Fk
cos(ωk t − θk ),
2
1
2
2
2
+ R ωk
C − Lωk
où
θk = arctan
Rωk
1
2
C − Lωk
(k = 1, · · · , N ).
D’autre part, on a vu que pour toute solution I(t) de l’équation différentielle (154) ci-dessus,
I(t) ≈ Ip (t) = I1 (t) + I2 (t) + · · · + IN (t)
pour t assez grand.
Exemple 53. Choisissons L = 1 et R = 0, 1 et considérons
d2 I
dI
I
+ 0, 1
+
= cos t + 2 cos (2t) .
dt2
dt
C
Le régime permanent est alors donné par
(155)
Ip (t) = q
1
2
cos(t − θ1 ) + q
cos (2t − θ2 ) .
2
2
1
1
+ 0, 01
+ 0, 04
C −1
C −4
a) En choisissant C = 1, l’amplitude du terme en cos(t − θ1 ) (c’est-à-dire l’oscillation de
fréquence ω1 = 1) est maximale. Dans ce cas, on obtient :
Ip (t) = 10 cos (t − θ1 ) + 0, 665 cos (2t − θ2 ) ,
Figure 2.25
ce qui correspond à la figure 2.25.
128
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) Avec C =
1
, l’amplitude de l’oscillation de fréquence ω2 = 2 est maximale. On a alors
4
Ip (t) = 0, 333 cos (t − θ1 ) + 10 cos (2t − θ2 ) ,
ce qui correspond à la figure 2.26.
Figure 2.26
Finalement, l’analyse de Fourier nous apprend que toutes les sources périodiques peuvent être
« approximées » par des combinaisons de fonctions trigonométriques qu’on appelle harmoniques.
On a montré qu’en variant C (c’est-à-dire en changeant la fréquence naturelle), on peut ajuster la
réponse de notre circuit pour qu’il entre en résonance avec l’harmonique de notre choix. À l’inverse,
pour un système mécanique, on peut chercher à éviter (par exemple, en renforçant notre structure)
qu’une harmonique de la source ait une fréquence trop voisine de la fréquence de résonance.
2.5
Les équations différentielles linéaires d’ordre n
2.5.1
Le cas général
Soit n, un entier positif. Une équation différentielle linéaire d’ordre n est une équation différentielle pouvant s’écrire sous la forme
(Λ)
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + pn−2 (x)y (n−2) + · · · + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = r(x),
où y (i) = y (i) (x) désigne la i-ième dérivée de la fonction y = y(x) par rapport à la variable x.
Si r(x) = 0, c’est-à-dire si (Λ) est de la forme
(Λ0 )
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + pn−2 (x)y (n−2) + · · · + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0,
on dit qu’elle est homogène.
Les cas particuliers n = 1 et n = 2 de (Λ) et (Λ0 ) ont déjà été étudiés, respectivement, dans les
2 Les équations différentielles
129
sections 2.1.13 et 2.4.
Tout comme c’était le cas pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 et d’ordre 2, il existe
un théorème d’existence et d’unicité
Théorème d’existence et d’unicité Si les fonctions p0 (x), p1 (x), · · · , pn−1 (x) et r(x) sont
continues sur un intervalle donné [a, b], alors l’équation différentielle (Λ) possède une solution
y(x). De plus, si l’on attribue à l’avance des valeurs µ0 , µ1 , · · · , µn−1 pour les dérivées
successives de y(x) en un point x0 ∈]a, b[, c’est-à-dire si l’on exige que
y(x0 )
= µ0 ,
0
y (x0 )
= µ1 ,
00
= µ2 ,
..
.
y (x0 )
..
.
y (n−1) (x0 )
= µn−1 ,
alors la solution à ce problème est unique.
Tout comme pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 et d’ordre 2, on a un principe de
superposition
Principe de superposition La solution générale de (Λ) est
y(x, c1 , · · · , cn ) = yh (x, c1 , · · · , cn ) + yp (x),
où yh (x, c1 , · · · , cn ) est la solution générale de (Λ0 ) et yp (x) est une solution particulière de
(Λ).
Indépendance linéaire On dit que y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) sont linéairement indépendantes
si la relation
k1 y1 (x) + k2 y2 (x) + · · · + kn yn (x) = 0
entraîne k1 = k2 = · · · = kn = 0. Il est facile de voir qu’il s’agit là d’une généralisation de
la notion d’indépendance linéaire de deux fonctions y1 (x) et y2 (x). De plus, il est possible de
démontrer que le Wronskien
y2
y20
..
.
···
···
(n−1)
···
y1
y10
..
.
W (x) = W [y1 , y2 , · · · , yn ] :=
(n−1)
y1
y2
yn
yn0
..
.
(n−1)
yn
est non nul si et seulement si les solutions y1 , y2 , · · · , yn de (Λ0 ) sont linéairement indépendantes.
130
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
En généralisant le raisonnement utilisé pour le cas n = 2, on peut établir que la solution générale
de (Λ0 ) est donnée par
yh (x, c1 , · · · , cn ) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x),
où y1 (x), y2 (x), · · · , yn (x) sont n solutions linéairement indépendantes de (Λ0 ).
2.5.2
Le cas d’une équation différentielle homogène à coefficients constants
Lorsque les coefficients p0 (x), p1 (x), · · · , pn−1 (x) sont des constantes, l’équation différentielle
homogène (Λ0 ) est souvent facile à résoudre. Les techniques de résolution sont tout à fait analogues
à celles développées dans le cas des équations différentielles homogènes d’ordre 2.
Exemple 54. Pour établir la solution générale de
(156)
y (3) + 2y 00 − y 0 − 2y = 0,
on cherche des solutions exponentielles eλx , ce qui conduit à l’équation caractéristique
λ3 + 2λ2 − λ − 2 = 0.
Elle peut s’écrire sous la forme
(λ + 1)(λ − 1)(λ + 2) = 0
et ses solutions sont λ1 = −1, λ2 = 1 et λ3 = −2. Les solutions correspondantes de (156) sont
alors
y1 (x) = eλ1 x = e−x ,
y2 (x) = eλ2 x = ex
et y3 (x) = eλ3 x = e−2x .
Pour démontrer qu’elles sont linéairement indépendantes, on s’assure que leur Wronskien est
non nul. C’est bien le cas, car
W [y1 , y2 , y3 ] =
y1
y10
y100
y2
y20
y200
y3
y30
y300
=
e−x
−e−x
e−x
ex
ex
ex
e−2x
−2e−2x
4e−2x
= 6e−2x ,
une quantité qui est toujours non nulle. Il s’ensuit que la solution générale de (156) est
y(x, c1 , c2 , c3 ) = c1 e−x + c2 ex + c3 e−2x .
On comprend vite que le nœud du problème de la résolution d’une équation différentielle linéaire
homogène à coefficients constants réside, en pratique, dans la résolution de l’équation caractéristique
associée. Illustrons cela à nouveau par un exemple.
Exemple 55. Considérons l’équation différentielle
(157)
y (5) − 3y (4) + 4y (3) − 4y 00 + 3y 0 − y = 0.
Son équation caractéristique est
p(λ) := λ5 − 3λ4 + 4λ3 − 4λ2 + 3λ − 1 = 0.
Trouver les racines d’un polynôme de degré 5 peut s’avérer très difficile.
2 Les équations différentielles
131
On peut cependant vérifier que λ = 1 est une racine triple, effectuer la division polynomiale et
obtenir que
p(λ) = (λ − 1)3 (λ2 + 1).
Il s’ensuit que λ = i et λ = −i sont deux racines complexes de p(λ). On en déduit les solutions
y1 (x) = ex ,
y2 (x) = xex ,
y3 (x) = x2 ex ,
y4 (x) = cos x et y5 (x) = sin x
de l’équation différentielle (157). Ces solutions sont linéairement indépendantes, car leur
Wronskien W [y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ] est non nul. On peut donc conclure que la solution générale
de (157) est
y(x, c1 , c2 , c3 , c4 , c5 ) = c1 ex + c2 xex + c3 x2 ex + c4 cos x + c5 sin x.
Méthodologie
Considérons l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre n à coefficients constants
(Λ0 )
y (n) + pn−1 y (n−1) + pn−2 y (n−2) + · · · + p1 y 0 + p0 y = 0.
De manière générale, si l’on peut arriver à trouver les racines de son polynôme caractéristique, alors
on peut regrouper ses racines en trois catégories :
1) Ses racines réelles et distinctes λ1 , λ2 , · · · , λr ;
2) Ses racines réelles de multiplicité ≥ 2, disons les racines µ1 de multiplicité m1 , µ2 de multiplicité
m2 , · · · , µs de multiplicité ms ;
3) Ses racines complexes α1 ± β1 i, · · · , αt ± βt i de multiplicités respectives n1 , · · · , nt .
La catégorie 1) fournit les solutions linéairement indépendantes
y1 (x) = eλ1 x , · · · , yr (x) = eλr x .
La catégorie 2) fournit les solutions linéairement indépendantes
eµ1 x , xeµ1 x , · · · , xm1 −1 eµ1 x , · · · , eµs x , xeµs x , · · · , xms −1 eµs x .
En d’autres mots, une racine réelle µ de multiplicité m fournit les m solutions eµx , xeµx , x2 eµx , · · · ,
xm−1 eµx .
La catégorie 3) fournit, pour chaque paire de racines αk ± βk i de multiplicité nk , les 2nk solutions
linéairement indépendantes
eαk x cos (βk x)
eαk x sin (βk x) ,
xeαk x cos (βk x)
..
.
xeαk x sin (βk x) ,
..
.
xnk −1 eαk x cos (βk x) xnk −1 eαk x sin (βk x) .
Qu’en est-il de l’indépendance linéaire de toutes ces solutions ? En fait, on peut démontrer que le
Wronskien associé à un ensemble de solutions ainsi déterminé est toujours non nul. Il s’ensuit que
si y1 , y2 , · · · , yn sont les solutions de (Λ0 ) recueillies par la méthode exposée ci-dessus, la solution
132
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
générale de (Λ0 ) est donnée par
y(x, c1 , c2 , · · · , cn ) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x).
Exemple 56. Voici un exemple d’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 12 :
(158)
y (12) − 48y (8) + 768y (4) − 4096y = 0.
Pour résoudre cette équation, on examine d’abord son équation caractéristique associée
(159)
λ12 − 48λ8 + 768λ4 − 4096 = 0,
laquelle peut s’écrire
(λ4 − 16)3 = 0.
Comme
λ4 − 16 = (λ2 − 4)(λ2 + 4) = (λ − 2)(λ + 2)(λ − 2i)(λ + 2i),
l’équation caractéristique (159) a :
— λ = 2 comme racine de multiplicité 3 ;
— λ = −2 comme racine de multiplicité 3 ;
— λ = 2i comme racine de multiplicité 3 ;
— λ = −2i comme racine de multiplicité 3.
On obtient donc 12 solutions de (158) :
e2x ,
e−2x ,
cos (2x) ,
sin (2x) ,
xe2x ,
xe−2x ,
x cos (2x) ,
x sin (2x) ,
x2 e2x ,
x2 e−2x ,
2
x cos (2x) ,
x2 sin (2x) .
La solution générale de (158) est donc donnée par
y(x, c1 , · · · , c12 ) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 x2 e2x + c4 e−2x + c5 xe−2x + c6 x2 e−2x + c7 cos (2x)
+c8 x cos (2x) + c9 x2 cos (2x) + c10 sin (2x) + c11 x sin (2x) + c12 x2 sin (2x) .
2.5.3
Le cas d’une équation différentielle non homogène à coefficients
constants
Compte tenu du principe de superposition mentionné à la section 2.5.1, page 128, tout ce qu’il
reste à faire pour résoudre une équation différentielle linéaire non homogène à coefficients constants,
c’est-à-dire une équation du type
(Λ)
y (n) + pn−1 y (n−1) + pn−2 y (n−2) + · · · + p1 y 0 + p0 y = r(x),
c’est de trouver une solution particulière yp (x) de (Λ). Pour ce faire, on utilise la méthode élaborée
aux sections 2.4.2 et 2.4.3. On utilise alors le tableau de la page 112.
2 Les équations différentielles
133
Nous nous contenterons de ne donner qu’un seul exemple illustrant le processus.
Exemple 57. Cherchons la solution générale de l’équation différentielle
(160)
y (3) − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 10e2x .
Comme dans le cas des équations différentielles non homogènes du deuxième ordre, on cherche
d’abord la solution générale de l’équation différentielle homogène correspondante
(161)
y (3) − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0.
Le polynôme caractéristique associé à (161) est
p(λ) := λ3 − 6λ2 + 12λ − 8,
lequel polynôme peut s’écrire sous la forme
p(λ) = (λ − 2)3 .
Ce polynôme possède donc la racine triple λ = 2. On en déduit les solutions
y1 (x) = e2x ,
y2 (x) = xe2x
et y3 (x) = x2 e2x
de (161). Ces solutions étant linéairement indépendantes, la solution générale de l’équation
différentielle homogène (161) est
(162)
yh (x, c1 , c2 , c3 ) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 x2 e2x .
Il reste à trouver une solution particulière de (160). Nous avons r(x) = 10e2x . De plus, les
fonctions e2x , xe2x et x2 e2x sont des solutions de l’équation différentielle homogène associée,
c’est-à-dire que λ = 2 est une racine de multiplicité 3 du polynôme caractéristique. C’est
pourquoi nous posons
yp = Bx3 e2x .
On a alors
yp0
=
2Bx3 e2x + 3Bx2 e2x ,
yp00
=
4Bx3 e2x + 12Bx2 e2x + 6Bxe2x ,
yp000
=
8Bx3 e2x + 36Bx2 e2x + 36Bxe2x + 6Be2x .
En substituant ces valeurs dans (160), celle-ci se réduit à
6Be2x = 10e2x ,
ce qui implique que B = 5/3. C’est pourquoi le choix
(163)
yp (x) =
5 3 2x
x e
3
donne bien une solution particulière de (160).
Enfin, en combinant (162) et (163), on peut conclure que la solution générale de (160) est
5
y(x, c1 , c2 , c3 ) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 x2 e2x + x3 e2x .
3
134
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
2.6
Les équations différentielles linéaires de type Euler-Cauchy
Une équation différentielle linéaire de la forme
(164)
x2 y 00 + axy 0 + by = 0,
où a et b sont des nombres réels, est appelée une équation différentielle de type Euler-Cauchy.
Posons y = xm , de sorte que y 0 = mxm−1 et y 00 = m(m − 1)xm−2 , et substituons ces valeurs dans
(164). Celle-ci devient alors
x2 m(m − 1)xm−2 + axmxm−1 + bxm = 0,
laquelle équation, si x 6= 0, se réduit à l’équation quadratique
m2 + (a − 1)m + b = 0.
(EQ)
On se retrouve maintenant face au même problème qu’on avait rencontré lorsqu’on voulait résoudre
les équations différentielles linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants. En effet, pour
résoudre l’équation différentielle (164), le problème principal, c’est de résoudre (EQ), soit une simple
équation quadratique.
On a donc, encore une fois, trois cas à considérer, selon que ∆ := (a − 1)2 − 4b est positif, nul ou
négatif :
Cas no 1 : ∆ > 0
Dans ce cas,
√
√
1−a− ∆
1−a+ ∆
et m2 =
2
2
sont deux racines réelles et distinctes de (EQ). Il s’ensuit que
m1 =
y1 (x) = xm1
et
y2 (x) = xm2
sont deux solutions de (164) et qu’elles sont linéairement indépendantes, car
donc n’est pas une constante. C’est pourquoi, dans ce cas,
y(x, c1 , c2 ) = c1 xm1 + c2 xm2
est la solution générale de (164).
Cas no 2 : ∆ = 0
Dans ce cas,
m = m1 = m2 =
1−a
,
2
auquel cas
y1 (x) = xm = x(1−a)/2
y2
= xm2 −m1 6= x0 et
y1
2 Les équations différentielles
135
est une solution de (164). Pour obtenir une deuxième solution y2 (x) de (164) (linéairement indépendante de y1 (x)), montrons que le choix
y2 (x) = xm ln x
est adéquat. On peut procéder comme à la section 2.3.7, ou faire une vérification directe comme
suit :
y20 = mxm−1 ln x + xm−1
et y200 = m(m − 1)xm−2 ln x + mxm−2 + (m − 1)xm−2 ,
d’où
x2 y200 + axy20 + by2
= x2 m(m − 1)xm−2 ln x + mxm−2 + (m − 1)xm−2
+ax mxm−1 ln x + xm−1 + bxm ln x
= xm ((m(m − 1) + am + b) ln x + 2m − 1 + a)


= xm (m2 + (a − 1)m + b) ln x + 2m − 1 + a
|
{z
}
{z
}
|
=0
=
=0
0,
ce qui prouve que y2 est bien une solution de (164). De plus, les solutions y1 et y2 sont linéairement
indépendantes, car y2 /y1 = ln x n’est pas une constante. C’est pourquoi, dans ce cas,
y(x, c1 , c2 ) = c1 xm + c2 xm ln x
est la solution générale de (164).
Cas no 3 : ∆ < 0
Dans ce cas,
m1
=
et m2
=
p
√
1 − a + i 4b − (a − 1)2
1−a+ ∆
=
= α + iβ
2
p2
√
1 − a − i 4b − (a − 1)2
1−a− ∆
=
= α − iβ,
2
2
1−a
1p
et β =
4b − (a − 1)2 sont les deux racines complexes conjuguées de (EQ).
2
2
où α =
Puisque
Y1 (x)
=
xm1 = xα+iβ = xα xiβ = xα eiβ ln x = xα (cos(β ln x) + i sin(β ln x))
et Y2 (x)
=
xm2 = xα−iβ = xα x−iβ = xα e−iβ ln x = xα (cos(β ln x) − i sin(β ln x))
sont des solutions complexes de (164), il s’ensuit que
y1 (x)
=
et y2 (x)
=
Y1 (x) + Y2 (x)
= xα cos(β ln x)
2
Y1 (x) − Y2 (x)
= xα sin(β ln x)
2i
136
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
sont deux solutions réelles de (164). C’est pourquoi, dans ce cas,
y(x, c1 , c2 ) = xα (c1 cos(β ln x) + c2 sin(β ln x))
est la solution générale de (164).
Exemple 58. Trouvons la solution de l’équation différentielle
(165)
xy 00 + 5y 0 = 0,
laquelle est une forme simplifiée de l’équation différentielle d’Euler-Cauchy x2 y 00 + 5xy 0 = 0.
En posant y = xm et en calculant les dérivées y 0 et y 00 , on obtient, en substituant ces valeurs
dans (165), l’équation quadratique
m2 + 4m = 0,
dont les solutions sont m = 0 et m = −4. Cela conduit aux solutions
y1 (x) = x0 = 1
et
y2 (x) = x−4 .
Il s’ensuit que la solution générale de (165) est donnée par
c2
y(x) = c1 + 4 .
x
2.7
Résumé
Équations différentielles du premier ordre
— Équations différentielles à variables séparables
R
R
g(y)y 0 = f (x) ; g(y) dy = f (x) dx + C.
— Équations différentielles se ramenant à des équations séparables
— Forme y 0 = f (y/x). Poser u(x) = y(x)/x.
— Forme y 0 = f (ax + by). Poser u(x) = ax + by(x).
— Autres changements de variables.
— Équations différentielles linéaires
(I) y 0 + p(x)y = q(x),
(H) y 0 + p(x)y = 0.
1. Trouver y1 , une solution particulière de (H), qui est séparable.
2. La solution générale de (H) est yh = cy1 .
3. Trouver yp , une solution particulière de (I).
— Méthode des coefficients indéterminés (forme de q(x)).
— Méthode de Lagrange (variation de la constante) : yp (x) = u(x)y1 (x).
4. La solution générale de (I) est yg = yh + yp .
— Équations différentielles se ramenant à des équations linéaires
2 Les équations différentielles
137
Équations différentielles générales du deuxième ordre
— Équations différentielles se ramenant à des équations du premier ordre
— Équations où y est absente. Poser p(x) = y 0 (x).
— Équations où x est absente. Poser y 0 (x) = z(y) et y 00 = z
dz
.
dy
Équations différentielles linéaires d’ordre quelconque à coefficients
constants
(I)
y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y 0 + p0 y = q(x).
(H)
y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y 0 + p0 y = 0.
1. Trouver n solutions particulières de (H) qui sont linéairement indépendantes.
a) Essayer la forme y = eλx .
b) Factoriser le polynôme caractéristique p(λ) ainsi obtenu.
c) Si λ = α + iβ est une racine de p(λ) de multiplicité m, on obtient les solutions
eαx cos (βx), xeαx cos (βx), · · · , xm−1 eαx cos (βx),
eαx sin (βx), xeαx sin (βx), · · · , xm−1 eαx sin (βx).
2. La solution générale de (H) est yh = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn .
3. Trouver yp , une solution particulière de (I).
— Méthode des coefficients indéterminés (forme de q(x)).
Si q(x) est de la forme P (x)eαx cos (βx) ou P (x)eαx sin (βx), alors on choisit
yp (x) = xs eαx (Q(x) cos (βx) + R(x) sin (βx)) .
— P , Q et R sont des polynômes de même degré.
— P peut être simplement une constante et α, β peuvent être nuls.
— s est la multiplicité de α + iβ comme racine du polynôme caractéristique p(λ).
(s = 0 si α + iβ n’est pas une racine de p.)
— Si q(x) est une somme de plusieurs formes, on choisit pour yp la somme des
formes correspondantes (superposition).
— Méthode de Lagrange (ordre 2) : yp (x) = u(x)y1 (x) + v(x)y2 (x).
4. La solution générale de (I) est yg = yh + yp .
Équations différentielles linéaires d’ordre quelconque à coefficients
généraux
(I)
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + · · · + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = q(x).
(H)
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + · · · + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = 0.
1. Trouver n solutions particulières de (H) qui sont linéairement indépendantes.
— Inspection de l’équation.
138
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
— Hypothèses sur la forme des solutions.
— Ordre 2 : pour construire y2 à partir de y1 , utiliser la méthode de Lagrange :
y2 (x) = u(x)y1 (x).
— Euler-Cauchy : xn y (n) + pn−1 xn−1 y (n−1) + · · · + p2 x2 y 00 + p1 xy 0 + p0 y = q(x),
où pi , i = 0, 1, · · · , n − 1, sont des constantes.
a) Essayer la forme y = xλ , pour l’équation (H) correspondante.
b) Factoriser le polynôme caractéristique p(λ) ainsi obtenu.
c) Pour chaque racine λ = α + iβ de p(λ) de multiplicité m, on obtient les
solutions
xα cos(β ln x), xα cos(β ln x) ln x, · · · , xα cos(β ln x)(ln x)m−1 ,
xα sin(β ln x), xα sin(β ln x) ln x, · · · , xα sin(β ln x)(ln x)m−1 .
2. La solution générale de (H) est yh = c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn .
3. Trouver yp , une solution particulière de (I).
— Inspection de l’équation.
— Méthode des coefficients indéterminés (forme de q(x)).
— Méthode de Lagrange (ordre 2) : yp (x) = u(x)y1 (x) + v(x)y2 (x).
4. La solution générale de (I) est yg = yh + yp .
EXERCICES
1. Trouver la solution générale des équations différentielles suivantes et identifier la famille de
courbes représentées :
a)
dy
x
= ,
dx
y
b)
dy
x
=− ,
dx
y
c)
dy
y
= ,
dx
x
d)
dy
y
=− .
dx
x
2. Dans chaque cas de l’exercice 1, trouver la solution compatible avec la condition y(1) = 1.
3. Résoudre pour y en fonction de x : y 0 = −
1
.
2y 1/2
4. Trouver
la solution particulière de l’équation différentielle y 0 +4y = 0 qui satisfait la condition
Z
1
y(x) dx = 2.
0
2 Les équations différentielles
5.
a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 0 =
139
2
1+y
.
x
b) Résoudre l’équation précédente avec la condition initiale y(1) = 0.
6. Résoudre l’équation différentielle
dy
y2
=
en tenant compte de la condition initiale y(1) = 1.
dx
x
7. Résoudre l’équation différentielle
dy
y2
= 3 en tenant compte de la condition initiale y(1) = 1.
dx
x
8. Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 0 =
1+y
.
1 + x2
9. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y 0 − y sin x = 0,
√
b) 1 + x2 y 0 − y = 0,
c) 2xy 0 + y = 0 si y(2) = 1.
10. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y 0 = −xy,
b) yy 0 −
1
= 0,
x
c) y 0 = 2y 1/2 ; trouver la solution particulière telle que y(0) = 1.
11. Résoudre l’équation différentielle y 0 sin x = y ln y avec la condition initiale y
π
2
= e.
12. On donne l’équation différentielle (x + 2)y 0 = y − 1.
a) Résoudre l’équation sous la condition y 6= 1 et dessiner la courbe qui passe par le point
(0, 3).
b) Vérifier que y = 1 est aussi une solution.
* 13.
a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle (E) : (y 0 )2 =
1
− 1.
y2
b) Observer que y = −1 est une solution de (E). Cette solution peut-elle être obtenue à
partir de la solution générale ?
* 14. Un réservoir d’eau de forme cylindrique, d’une hauteur de 4 mètres et d’une base de rayon
0,5 mètre, est placé à la verticale et se vide par une ouverture au fond de celui-ci. On constate
que le volume d’eau dans le réservoir au temps t, désigné par V (t), diminue à un taux (volume
par unité de temps) proportionnel à la racine carrée de la hauteur h(t) de l’eau contenue dans
le réservoir au temps t. Combien de temps faut-il pour vider le réservoir sachant qu’il est à
moitié plein après une heure ?
140
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Procéder selon les étapes suivantes :
a) Justifier brièvement qu’on a d’abord l’équation différentielle
√
dV
= −λ h,
dt
où −λ représente une constante (de proportionnalité) négative (donc λ > 0). Pourquoi
la constante de proportionnalité est-elle négative ?
dV
. Comdt
biner ensuite le résultat obtenu avec l’équation différentielle en a) et arriver à l’équation
différentielle suivante pour h(t) :
√
dh
π(0, 5)2
= −λ h.
dt
b) Sachant que V = V (t) = π(0, 5)2 h(t), écrire l’expression qui en découle pour
c) Trouver la solution générale de l’équation différentielle en b), ainsi que la solution particulière compatible avec la condition initiale h(0) = 4.
d) En utilisant l’hypothèse h(1) = 2, trouver la ou les valeurs possibles pour λ.
e) Trouver t tel que h(t) = 0 (réservoir vide) avec la bonne valeur pour λ.
15. Pendant un certain temps, une population croît à un taux proportionnel à la population ellemême, c’est-à-dire que le taux d’augmentation du nombre d’individus N est proportionnel à
la quantité N elle-même.
a) Écrire l’énoncé ci-dessus sous la forme d’une équation différentielle, en prenant k comme
constante de proportionnalité. (La variable indépendante est le temps t.)
b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.
c) Trouver la solution particulière qui est compatible avec les conditions initiales t = 0,
N = 1 000 000 ou N (0) = 1 000 000.
d) Calculer le temps requis pour que la population double (c’est-à-dire, pour qu’elle passe
de 1 000 000 à 2 000 000).
e) Calculer k, sachant que N (1) = 1 010 000. Quelle est alors la valeur numérique du temps
calculé à l’étape d) ?
16. Une rumeur a commencé à circuler dans une ville de 100 000 habitants. Pour étudier la façon
dont elle se répand, il est naturel d’émettre l’hypothèse que le taux d’accroissement du nombre
de personnes ayant entendu parler de la rumeur est directement proportionnel au nombre de
personnes qui n’en ont pas encore eu vent.
a) Si x = x(t) désigne le nombre de personnes au courant de la rumeur au temps t (mesuré
en semaines), justifier que
dx
= k(100 000 − x),
dt
2 Les équations différentielles
141
où k est une constante positive.
b) Trouver la solution de l’équation en a) qui vérifie la condition initiale x(0) = 0 (idéalisation mathématique du début du processus).
c) On sait qu’après une semaine, 10 000 personnes ont entendu parler de la rumeur. Utiliser
cette information et la solution obtenue en b) pour déterminer la constante de proportionnalité k.
d) Combien de temps faudra-t-il pour que la moitié de la population de la ville soit au
courant de la rumeur ?
e) Esquisser le graphe de x en fonction de t.
17. Une pièce contient 1 000 m3 d’air pur. À partir de l’instant t = 0, des fumées toxiques contenant 4 % de monoxyde de carbone pénètrent dans la pièce au taux de 0,1 m3 /min, tandis
qu’un mélange homogène d’air et de fumée est évacué au même taux.
a) Si V (t) désigne le volume (mesuré en m3 ) de monoxyde au temps t (mesuré en minutes),
modéliser la situation par une équation différentielle.
b) Trouver la solution générale de cette équation différentielle.
c) À partir de l’énoncé, exprimer la condition initiale et déterminer la solution particulière
correspondante.
d) À quel instant t le monoxyde de carbone occupera-t-il 0,012 % du volume total de la
pièce ? (Il s’agit là du niveau considéré comme dangereux.)
e) Esquisser le graphe de V (t).
18. On considère un bien dont la demande D et l’offre O, au temps t, sont des fonctions linéaires
du prix p(t) :
D(p(t)) = a − bp(t), a > 0 et b > 0,
O(p(t)) = cp(t) − d,
c>0
et d > 0.
a) Déterminer le prix p∗ du bien pour lequel l’offre est égale à la demande. p∗ s’appelle le
prix d’équilibre.
b) Sachant que le taux de variation du prix sur le marché est proportionnel à la demande
excédentaire qui est D(p(t)) − O(p(t)), obtenir l’équation différentielle pour la fonction
p(t).
c) Si initialement le prix du bien est p0 , obtenir p(t).
d) Vérifier que le prix p(t) du bien tend vers le prix d’équilibre, c’est-à-dire montrer que
lim p(t) = p∗ .
t→∞
e) Esquisser le graphe de p en fonction de t.
19. Une population croît dans un espace restreint pouvant loger au maximum 500 individus.
Supposons que les observations permettent de constater qu’en tout temps, le taux de variation
142
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
du nombre d’individus par unité de temps est proportionnel à l’espace disponible.
a) Si N = N (t) désigne le nombre d’individus au temps t, déterminer l’espace qui reste à
être occupé. (Cet espace se calcule en nombre d’individus.)
b) Modéliser par une équation différentielle le mode de croissance observé. La constante de
proportionnalité s’écrit-elle k (positive) ou −k (négative, avec k positive) ?
c) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.
d) Trouver la solution particulière compatible avec le fait que la population initiale est de
50 individus.
e) Calculer la valeur de la constante de proportionnalité si l’on sait qu’on a N = 275 lorsque
t = 10.
f) Esquisser le graphe représentant N en fonction de t.
20. Une culture bactérienne croît à un rythme proportionnel à la racine carrée du nombre de
bactéries P (t).
a) Obtenir une équation différentielle qui représente la dynamique du processus. La
constante de proportionnalité est-elle positive ou négative ?
b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle.
c) Sachant qu’au début, à l’instant t = 0, il y avait 100 bactéries et qu’il y en a 400 après
deux heures, déterminer à quel moment il y aura 1 000 bactéries.
d) Esquisser le graphe de P (t) et commenter.
21. Du toit d’un immeuble de 100 mètres de hauteur, on laisse tomber un objet pesant 1 kg. La
résistance de l’air est supposément égale à FR = −0, 49v, où v(t) est la vitesse à l’instant t.
a) Quelle est la vitesse de l’objet après 5 secondes ?
b) À quelle hauteur se situe l’objet après 5 secondes ?
22. Une balle de 200 grammes est lancée verticalement dans les airs avec une vitesse constante
initiale v0 = 20 m/s. La résistance de l’air est FR = v/2.
a) À quel instant la balle atteindra-t-elle son altitude maximale ?
b) Quelle est cette altitude maximale ?
23. On lance verticalement vers le bas un caillou de 100 grammes dans un lac dont la profondeur
est de 20 mètres. Le caillou a un volume de 20 cm3 . La force de résistance due à la viscosité
de l’eau est FR = 5v, où v(t) représente la vitesse du caillou. Si la vitesse du caillou lorsqu’il
pénètre dans l’eau est 20 m/s, quelle est la profondeur du caillou après 1 dixième de seconde.
Rappelons que la poussée d’Archimède est V ρg, où V est le volume du corps en m3 , ρ est la
densité du fluide (1000 kg/m3 pour l’eau) et g est la constante gravitationnelle.
2 Les équations différentielles
143
24. Un bateau de 20 000 kg, initialement au repos, est propulsé par ses moteurs exerçant une force
constante Fp = 500 000 newtons. Il est ralenti par la résistance de l’eau qu’on suppose égale
à FR = 100 000 v, où v est la vitesse du bateau. Déterminer la vitesse en fonction du temps.
* 25. Un parachutiste, dont la masse est 81 kg, saute d’une altitude de 4 000 mètres. Après une
chute libre de 15 secondes, il ouvre son parachute. On suppose que durant la chute libre,
1 2
v et que lorsque le parachute est ouvert,
la résistance de l’air est donnée par FR =
9, 8
FR = 121, 5v.
a) Montrer que la vitesse du parachutiste est donnée par
1 − e−2t/9
1 − e−2t/9
=
88,
2
v(t) = 9 · 9, 8
1 + e−2t/9
1 + e−2t/9
lors de la chute libre.
b) Quelle est la vitesse du parachutiste après les 15 secondes de chute libre ?
c) Montrer que l’accélération du parachutiste est donnée par
2
−3
v (t + 15) − · 9, 8
a(t) =
2
3
lorsque le parachute est ouvert.
d) Si v0 est la vitesse obtenue en b), montrer que la vitesse du parachutiste 30 secondes
après son saut est de
2
v0 e−1,5·15 + · 9, 8 1 − e−1,5·15 m/s.
3
26. Lorsqu’un objet se déplace sur une surface, il est ralenti par une force due à la friction. Cette
force de frottement est proportionnelle à la force N de la contrainte normale (c’est-à-dire la
force normale à la surface exercée sur l’objet) qui est égale à la grandeur de la composante
normale (à la surface) du poids de l’objet. Ainsi, la force de frottement Ffr = µN , où µ est
une constante appelée coefficient de frottement . Elle dépend des matériaux utilisés.
Un bloc de masse m glisse sur un plan incliné faisant un angle θ avec l’horizontale. Supposons
qu’en plus de la force de frottement, la résistance de l’air soit FR = kv. La figure 2.27 illustre
les différentes forces en présence.
a) Montrer que l’équation du mouvement est
dv
k
= g(sin θ − µ cos θ) − v.
dt
m
b) Résoudre l’équation différentielle précédente avec la condition initiale v(0) = 0, lorsque
π
1
m = 1 kg, θ = radian, µ = √ et k = 0, 1 kg/s.
6
2 3
c) En utilisant les mêmes données qu’en b), déterminer la distance parcourue par le bloc
après 2 secondes.
144
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 2.27
27. Dans une culture de bactéries, le taux instantané d’accroissement du nombre de bactéries est
proportionnel au nombre de ces dernières.
a) Si l’on constate que le nombre initial x0 de bactéries double en 4 heures, quel sera-t-il
au bout de 12 heures ?
b) Si, au lieu d’émettre l’hypothèse a), on suppose qu’il y a 104 bactéries au bout de
3 heures et 4 × 104 au bout de 5 heures, quel était le nombre initial de bactéries ?
28. On a une concentration c = c(t) pour laquelle des observations permettent de conclure qu’elle
diminue à un taux proportionnel à sa valeur c, avec une constante de proportionnalité de
−1, 437 × 10−2 . Trouver la concentration initiale sachant qu’en t = 10, on a c = 44.
29. Une substance est graduellement éliminée d’un réservoir par délavage à un taux proportionnel
à la quantité présente dans le réservoir.
a) À l’aide d’une équation différentielle, trouver, pour la masse M , l’expression de la substance dans le réservoir (en fonction du temps t) sachant que la masse initiale était
M0 .
b) En combien de temps la masse initiale est-elle éliminée à moitié ? Est-ce une valeur
numérique ?
c) En sachant que M =
3
M0 pour t = 5, calculer de nouveau la valeur de t trouvée en b).
4
d) Si les hypothèses formulées au début sont toujours vérifiées, la masse M peut-elle atteindre la valeur 0 ? En pratique, quelle conclusion doit-on tirer ?
30. La datation de coraux et de coquillages se fait à l’aide du thorium radioactif. Ce dernier a un
dN
taux de désintégration qui obéit à la loi
= −9, 2 × 10−6 N, où t est donné en années.
dt
Quelle est la demi-vie du thorium radioactif ?
31. Un groupe d’animaux de laboratoire fut l’objet d’une expérience qui dura plusieurs mois. La
masse totale M du groupe augmenta jusqu’à la valeur maximale 30 et fut stable par la suite.
2 Les équations différentielles
145
On remarqua que le taux d’augmentation de M , par mois, s’était maintenu à 22 % de l’écart
entre M et la valeur maximale 30.
a) Modéliser l’évolution (la dynamique) de la croissance par une équation différentielle.
b) Trouver M en fonction de t, sachant qu’initialement, on avait M = 2.
c) Faire un graphe sommaire de M en fonction de t.
d) En utilisant l’équation différentielle, calculer la pente de la courbe en s’éloignant du
point (0, 2). (Bien entendu, on pourrait calculer cette pente à partir de l’expression pour
M trouvée en b).)
32. L’air d’une pièce dont le volume est 30 m3 contient initialement 0,001 % (du volume) de
monoxyde de carbone (CO). À un moment particulier, des fumées toxiques contenant 5 % de
CO commencent à se dégager dans la pièce à raison de 0,003 m3 par minute. Cependant, le
même volume d’air (homogène, par hypothèse) quitte la pièce chaque minute (car l’air n’est
pas comprimé dans la pièce).
a) Modéliser le phénomène par une équation différentielle pour le volume variable V = V (t)
dV
= 0, 00015 − 0, 0001V.
de CO présent dans la pièce au temps t afin d’arriver à
dt
b) Trouver l’expression de V en fonction de t.
c) En combien de minutes atteint-on le seuil critique pour la santé, qui est de 0,015 % de
CO ?
33. Un réservoir d’une capacité de 19 ` contient une saumure (mélange de sel dissous dans l’eau)
dont la concentration est de 0, 05 kg/`. On y déverse une autre saumure dont la concentration
est de 0, 1 kg/`, à raison de 4, 2 `/min alors qu’on laisse s’écouler une partie du mélange
(gardé uniforme par brassage) à raison de 4, 2 `/min. Le volume se maintient donc à la valeur
constante 19.
a) Si M (t) désigne la masse de sel présente dans le mélange au temps t, montrer que son
dM
M
évolution est décrite par l’équation
= 0, 42 − 4, 2
et déterminer l’expression de
dt
19
M en fonction de t.
b) Vers quelle concentration le mélange évoluera-t-il ? En combien de temps la concentration
atteindra-t-elle la valeur intermédiaire 0,075 ?
34. Un réservoir d’une capacité de 20 000 ` contient une saumure (mélange de sel dissous dans
l’eau) dont la concentration est de 0, 05 kg/`. On y déverse une autre saumure dont la concentration est de 0, 1 kg/`, à raison de 100 `/min alors qu’on laisse s’écouler une partie du mélange
(gardé uniforme par brassage) à raison de 100 `/min. Le volume se maintient donc à la valeur
constante 20 000.
a) Si M (t) désigne la masse de sel présente dans le mélange au temps t, montrer que son
dM
M
évolution est décrite par l’équation
= 10 − 100
et déterminer l’expression de
dt
20 000
M en fonction de t.
146
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) Vers quelle concentration le mélange évoluera-t-il ? En combien de temps la concentration
atteindra-t-elle la valeur intermédiaire 0,075 ?
35. Selon la loi de refroidissement de Newton, si un objet à une température T (mesurée en degrés
Celsius) est plongé dans un milieu maintenu à une température constante A, alors le taux de
variation de T par rapport au temps t (mesuré en minutes) est proportionnel à la différence
de température A − T . Ce phénomène se traduit par l’équation différentielle
dT
= k(A − T ), où k est une constante.
dt
a) La constante k est-elle positive ou négative ? Justifier.
b) Déterminer la solution générale de cette équation différentielle.
c) On sait que la température du milieu ambiant est A = 20 °C. Sachant que l’objet est
initialement à 100 °C, obtenir la solution vérifiant cette condition initiale.
d) D’autre part, après 1 minute, la température de l’objet est de 60 °C. Utiliser cette information pour déterminer la constante k.
e) Quelle sera la température de l’objet au bout de 5 minutes ?
36. La masse totale M (t) de bois (en m3 ) dans une région forestière est soumise à deux influences
simultanées : elle augmente à un taux de 0, 01M (t) par unité de temps et elle diminue de
6000 m3 par unité de temps, en raison de la coupe de bois. Cela conduit à l’équation différentielle pour M (t) > 0 :
dM
= 0, 01M (t) − 6000.
dt
(∗)
a) Trouver la solution générale de cette équation.
b) Selon l’hypothèse M (0) = 800 000 m3 , quelle est la masse totale après 50 unités de temps
et quel est le comportement de M (t) pour t −→ ∞ ?
c) Selon l’hypothèse M (0) = 300 000 m3 , à quel moment le bois sera-t-il entièrement épuisé ?
37. Soit y 2 − 2 ln x = c, une famille de courbes avec paramètre c.
a) Représenter, par une équation différentielle, la famille donnée.
b) Écrire l’équation différentielle des trajectoires orthogonales à la famille donnée.
c) Déterminer la famille des trajectoires orthogonales dont il est question en b).
38. Les lignes de force (ou de courant) d’un dipôle magnétique (Nord et Sud en (1, 0) et (−1, 0),
par exemple) se décrivent par la famille de cercles
(∗)
x2 + (y − b)2 = 1 + b2
avec centres sur l’axe vertical et passant par (1, 0) et (−1, 0) (figure 2.28).
2 Les équations différentielles
147
Figure 2.28
a) Trouver l’équation différentielle de la famille (∗). (Il faudra éliminer le paramètre b.)
b) Quelle est l’équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales à la
famille (∗) ?
c) L’équation différentielle en b) est d’un type qu’on ne sait pas résoudre à ce stade-ci (elle
devient exacte une fois multipliée par 1/x2 ). Ici, trouver la solution par un autre chemin,
soit en montrant que la famille
(∗∗)
x2 + y 2 − Cx + 1 = 0
a précisément comme équation différentielle celle en b). Cette famille (∗∗) des trajectoires orthogonales à la famille (∗) est constituée des lignes équipotentielles du champ
magnétique ; quelles sont ces courbes ?
39. Trouver la famille de courbes orthogonales aux paraboles y = (x−h)2 , où h est un paramètre.
Figure 2.29
148
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
40. Considérer la fonction
f (x, y) = x −
1 3 1 2
x − y + 13,
12
4
ainsi que la famille de courbes f (x, y) = c. Trouver la trajectoire orthogonale qui passe par
le point M (x0 , y0 ), en considérant, tel qu’illustré ci-dessous, que x0 < 2 (figure 2.29).
41. Déterminer les trajectoires orthogonales à la famille de courbes à un paramètre c :
y = cx + c.
42.
a) Obtenir la famille de courbes associée à l’équation différentielle (x2 − 1)y 0 = xy.
b) Déterminer la famille des trajectoires orthogonales à la famille en a).
43.
a) Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la famille de courbes d’équation
y = λ ln x + 1 ?
b) Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la famille des cercles centrés sur la première
bissectrice (c’est-à-dire celle du premier quadrant) et passant par l’origine.
44.
a) Trouver l’équation différentielle de la famille de courbes yex = c.
b) Résoudre l’équation différentielle en a) et retrouver la famille de courbes comme solution
générale.
c) Trouver la famille des trajectoires orthogonales à la famille en a). Quel genre de courbes
obtient-on ?
45. Trouver les trajectoires orthogonales des familles de courbes Cλ d’équation :
a) xy = λ,
b) y = λ ln x.
46. Considérer la famille de courbes ye−x = c.
a) Trouver l’équation différentielle de cette famille de courbes.
b) Déterminer la famille des trajectoires orthogonales à la famille donnée.
47.
a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle (1 + ex )yy 0 = ex .
b) Parmi les trajectoires orthogonales de la famille de courbes à un paramètre obtenue en
a), déterminer celle qui passe par le point P = (0, 1).
Z 0
u (x)
dx = ln |u(x)| + C.
Aide-mémoire
u(x)
48. Trouver les trajectoires orthogonales des familles de courbes Cλ d’équation :
a) x/y = λ,
2 Les équations différentielles
149
b) ln y = λx.
49.
a) Trouver la famille de courbes qui représentent les solutions de l’équation différentielle
(1 + x2 )yy 0 = x.
b) Déterminer la famille des trajectoires orthogonales aux courbes en a).
50. Trouver les trajectoires orthogonales de la famille de courbes d’équation y = x2 + λ.
51. Considérer l’équation différentielle
xy 0 − 2y = 0.
a) Déterminer la solution générale et décrire géométriquement la famille de courbes obtenue.
b) Écrire l’équation différentielle des trajectoires orthogonales à la famille de courbes dont
il est question en a).
c) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle obtenue en b). Donner une
description géométrique de cette famille de courbes.
52. Pour chaque énoncé ci-dessous, indiquer s’il est vrai ou faux :
a) Les fonctions constantes y = 0 et y = 1 sont des solutions de l’équation différentielle
y 0 = 0, 01y(1 − y).
b) Les solutions de l’équation différentielle y 0 = x/y sont représentées par une famille
d’hyperboles.
c) La solution générale de l’équation différentielle y 0 = 3y/(2x) est y = kx3/2 .
d) y = A sin (ωt) (où ω est constante et où A est une constante arbitraire
√ 6= 0) est une
solution de l’équation différentielle y 00 + 3y = 0 si et seulement si ω = ± 3.
e) L’équation différentielle y 0 = x + y est séparable.
f) L’équation différentielle associée à la famille de droites ax + y = a est y 0 = y/(x − 1).
g) Les solutions de l’équation différentielle y 0 = y/x sont représentées par une famille de
cercles.
h) La solution de l’équation différentielle y 0 = 1/(x2 y), dont la courbe passe par le point
(−2, 0), est donnée par y 2 + 2/x − 1 = 0.
i) L’équation différentielle des trajectoires orthogonales aux courbes de la famille x2 +3y 2 =
a2 est y 0 = y/3x.
53. Résoudre pour y(x) l’équation différentielle
1
y 0 = (x − 2y)4 + .
2
54. Résoudre l’équation différentielle y 0 =
x y
+ . Peut-on indifféremment utiliser la substitution
y
x
150
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
u = y/x ou u = x/y ?
55. La croissance d’une population de caribous du Québec est décrite par l’équation différentielle
de Gompertz
dx
10 000
(∗)
= 0, 001x ln
,
dt
x
où x(t) représente la population de l’espèce au temps t.
a) En effectuant le changement de variable u = ln(10 000/x), montrer que
dx
du
= −x .
dt
dt
b) Utiliser l’étape a) pour déterminer la solution générale de l’équation (∗).
c) Trouver l’expression pour la population au temps t sachant que la population initiale de
caribous est de 5 000.
d) Que peut-on dire de la population lorsque t augmente indéfiniment (c’est-à-dire t → ∞) ?
56.
a) Trouver l’équation différentielle de la famille de courbes x2 + (y − a)2 = a2 . (Développer
le carré.)
b) Trouver la famille des trajectoires orthogonales à la famille de courbes x2 + (y − a)2 = a2 .
57.
a) Utiliser la substitution v = y/x2 pour résoudre l’équation différentielle
y
dy
= 2 + x cos(y/x2 ).
dx
x
b) Peut-on résoudre l’équation différentielle en a) avec la substitution u = y/x ?
58.
dy
x2 + xy + y 2
=
et obtenir la solution y(x) satisfaidx
x2
sant à y(−1) = 0. Cette solution est-elle unique ?
a) Résoudre l’équation différentielle
b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle xy 0 = y + y ln y − y ln x.
59.
a) Résoudre l’équation différentielle
Observation utile :
dy
2xy
= 2
.
dx
x − y2
2u
1
u2 − 1
= 2
− .
2
u(u + 1)
u +1 u
b) Trouver l’équation G(x, y, c) = 0 de la famille des trajectoires orthogonales à la famille
des courbes trouvée en a).
60.
a) Faire la substitution u = y 2 afin de transformer l’équation différentielle
(∗)
2yy 0 = x + y 2
2 Les équations différentielles
151
en l’équation différentielle
u0 = x + u.
(∗∗)
b) Résoudre (∗∗) et en déduire la solution de (∗).
61. Résoudre le problème à valeur initiale suivant :
y + xy 0 = 2x,
y(1) = 0.
62. Résoudre l’équation différentielle (4x2 + 3y 2 ) − 2xy
63. Résoudre l’équation différentielle xy 0 =
p
dy
= 0.
dx
x2 − y 2 + y.
64. Résoudre l’équation différentielle 2xyy 0 = x2 + y 2 .
65. Déterminer la courbe passant par le point (1, 3) et dont la pente de la tangente en chaque
2y
point de la courbe est donnée par y 0 = 1 + .
x
66. Trouver l’équation de la courbe dont la pente en chaque point a pour expression
y
− 1+
x
et qui passe par le point (2, 1).
67. Résoudre l’équation différentielle y 0 = (x + y + 3)2 .
68. Trouver la famille des trajectoires orthogonales à la famille de courbes dont l’équation différentielle est y 0 − 2y = −2x + 1.
69. Résoudre l’équation différentielle y 0 + 2y = 2x + 1.
70. Résoudre y 0 = (x + y) ln(x + y) − 1, où l’on considère que x + y > 0.
71. Résoudre les équations différentielles suivantes :
72.
a)
dy
= e2x−y ,
dx
b)
du
= eu+t−1 − 1.
dt
a) Par une transformation simple, montrer qu’une équation différentielle de la forme
dy
= α(a − y)(b − y),
dt
où a 6= b, se ramène à une équation différentielle de la forme
dz
= αz(B − z).
dt
152
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) Montrer que l’ensemble des solutions d’une équation différentielle de la forme
dy
= λy(B − y),
dt
où λ et B sont des constantes 6= 0, est donné par
(
y = 0,
y = B/(1 + ke−λBt ), k arbitraire.
1
1
Note
=
y (B − y)
B
1
1
+
.
y B−y
73. Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 0 + y cos x = sin x cos x e− sin x .
74. Résoudre l’équation différentielle
5M
dM
=3−
,
dt
t+1
en tenant compte des conditions initiales t = 0, M = 0.
75. Une quantité q (valeur constante) d’un médicament est ingérée au temps t = 0. Au temps t,
cette quantité est ainsi répartie :
(∗)
q = x(t) + y(t) + z(t),
où
x(t)
=
la quantité non absorbée (encore présente dans l’estomac ou les intestins),
y(t)
=
la quantité absorbée (dans les tissus et dans le sang),
z(t)
=
la quantité éliminée.
De plus, on doit tenir compte des hypothèses suivantes :
x(0) = q,
dx
∝x
dt
dz
∝y
dt
ou
ou
y(0) = 0,
dx
= −αx,
dt
dz
= βy,
dt
z(0) = 0,
α > 0,
β > 0,
constante,
constante,
β 6= α.
a) Trouver x(t).
b) Obtenir l’équation différentielle pour y(t) en dérivant l’équation (∗) par rapport à t et
en utilisant les hypothèses ou résultats ci-dessus.
c) Résoudre l’équation différentielle en b) pour y(t).
2 Les équations différentielles
153
d) Résoudre pour z en fonction de t.
e) Vérifier que les expressions de x(t), y(t) et z(t) satisfont bien l’équation (∗).
76. Une fonction y(t) satisfait l’équation différentielle
3y + et + 3t
dy
= 0.
dt
Sachant que y(1) = 1, trouver y(t).
77. Trouver l’équation de la courbe dont la pente en tout point (x, y) vaut
passe par le point (1, 0).
2y + x + 1
et qui
x
78. Voici un modèle d’échange d’une substance entre deux compartiments :
Quantité
x = x(t) = 5(1 − e−0,1t )
0.2
−→
Quantité
y = y(t)
0.4
−→
On a émis l’hypothèse habituelle : la substance quitte un compartiment à un taux proportionnel à la quantité (de substance) contenue dans le compartiment. Les constantes de
proportionnalité sont inscrites près des flèches.
a) Obtenir l’équation différentielle qui décrit le taux de variation de y dans le deuxième
compartiment.
b) Identifier le type d’équation différentielle et résoudre pour y en fonction de t, sachant
que y(0) = 0.
79. Une roche renferme deux isotopes RA1 et RA2 appartenant à la même chaîne radioactive.
Par radioactivité, le RA1 se transforme en RA2 au rythme de 48e−10t . D’autre part, le taux
de désintégration de RA2 est proportionnel à la masse de RA2 présente.
dy
a) Si y(t) désigne la masse de RA2 à l’instant t, justifier brièvement que
= 48e−10t − ky,
dt
où k est une constante positive.
b) Prendre k = 2 et trouver la solution générale de l’équation différentielle.
c) Si y(0) = 24, quelle sera la masse de RA2 au temps t = 0, 1 ?
80. Un réservoir contient 5 litres d’eau. On commence alors à déverser dans le réservoir 10 litres
par minute de saumure (sel dissous dans de l’eau) de concentration 0,1 kg/`. Simultanément,
on a un écoulement, hors du réservoir, de 9 litres par minute. Laquelle des équations différentielles suivantes modélise l’évolution de la masse M de sel dans le réservoir ? Justifier
brièvement et identifier le type d’équation différentielle obtenu.
M
dM
=1−9 .
(I)
dt
5
dM
M
(II)
= 10 − 9 .
dt
5
154
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
(III)
dM
9M
=1−
.
dt
5+t
81. Le diagramme (figure 2.30) montre un réservoir de 50 `. Au moment où débutent nos observations (t = 0), on a 5 ` d’eau (pure) dans le réservoir. On commence à y déverser une saumure
de concentration 0,1 kg/` à raison de 12 `/min et on constate qu’il y a une fuite de liquide
dont le débit est de 7 `/min.
Figure 2.30
a) De combien de litres le volume de liquide dans le réservoir augmente-t-il chaque minute ?
Que vaut le volume V de liquide après t minutes ?
b) Désignons par M = M (t) la masse de sel dans le réservoir au temps t. Modéliser l’évolution du système au moyen d’une équation différentielle pour M .
c) Trouver alors M en fonction de t.
d) Quelle est la valeur de M lorsqu’on arrive tout juste à remplir le réservoir ?
82. Sachant que y1 = x3 /4 et y2 = (8 + x4 )/4x sont deux solutions particulières de l’équation
différentielle y 0 + p(x)y = x2 , trouver la solution qui satisfait y(1) = 1. Identifier la bonne
réponse parmi les suivantes :
a) y =
3 + x4
,
4x
b) y = x3 ,
8 + x4
,
9x
1
d) y = ,
x
c) y =
e) Aucune de ces réponses.
83. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y0 −
2
1
y =1+
x
x
2 Les équations différentielles
155
en utilisant seulement l’information que y1 = −x − 1/2 et y2 = 48x2 − x − 1/2 sont des
solutions particulières de l’équation différentielle.
Suggestion Que pouvons-nous dire de y2 − y1 ?
1
1
84. Soit y1 (x) = 1 + e x et y2 (x) = 1 + 8e x , des solutions particulières de l’équation différentielle
y 0 = p(x)y + q(x).
a) Trouver la solution générale de cette équation différentielle.
b) Déterminer les fonctions p et q.
6 + x4
x3
et y2 =
sont deux solutions particulières de l’équation différen85. Sachant que y1 =
2
2x
tielle
y 0 + p(x)y = 2x2 ,
trouver la solution qui satisfait y(1) = 0.
a) y = x3 − 1,
b) y =
x4 − 1
,
2x
−x4 + 1
,
6x
1
d) y = − 1,
x
c) y =
e) Aucune de ces réponses.
86. L’équation différentielle y 0 = p(x)y + q(x) possède les solutions particulières y1 (x) = x2 ex et
y2 (x) = x2 (1 + ex ). Sa solution générale est :
a) y(x) = x2 (c + ex ), c constante,
b) y(x) = x2 (1 + 2ex ) + c,
c) y(x) = c1 x2 ex + c2 x2 (1 + ex ),
d) y(x) = ex (x2 + c),
e) Aucune des réponses précédentes.
87. Identifier trois méthodes permettant de résoudre une équation différentielle de la forme
dy
= ax + by + c,
dx
a, b, c constantes.
88. Identifier deux méthodes permettant de résoudre une équation différentielle de la forme
dy
ay
=
+ b,
dx
x
a, b constantes.
156
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
89. Identifier deux méthodes permettant de résoudre une équation différentielle de la forme
dy
= ayf (x) + bf (x),
dx
a, b constantes.
90. Soit un circuit électrique où sont branchées en série une source E(t) ≡ 30 volts, une bobine
pour laquelle L = 0, 1 henry et une résistance R de 5 ohms.
a) Montrer que l’équation différentielle de ce circuit est
dI
+ 50I = 300.
dt
b) Si le circuit est fermé à l’instant t = 0, déterminer l’intensité du courant dans le circuit
pour t > 0.
c) Montrer que I(t) → 6 lorsque t → ∞.
91. Un circuit est constitué d’une résistance R de 200 ohms, d’un condensateur de capacité
C = 10−4 farad et est alimenté par une source E(t) ≡ 100 volts.
a) Déterminer la charge Q(t) dans le condensateur pour t > 0 si Q(0) = 0.
b) Déterminer le courant I(t).
92. On considère un circuit où sont branchés en série une source dont la tension est E(t) =
10 sin(ωt), une résistance R de 10 ohms et un condensateur de capacité C = 10−2 farad.
a) Déterminer la charge dans le condensateur en régime permanent.
b) Quelle est l’intensité du courant dans le circuit en régime permanent ?
93. Résoudre l’équation différentielle y 0 − 2y = −2x + 1 par deux méthodes différentes (l’une
d’elles étant une substitution).
94. Résoudre les problèmes aux valeurs initiales suivants :
Z
a) xy 0 + y − x cos x = 0,
y(0) = 1, (Note
x cos x dx = x sin x + cos x + C)
b) xy 0 + y − x cos x = 0,
c) (1 + x2 )y 0 + 2xy = 4x3 ,
y(π) = 0,
y(2) = 0.
95. Déterminer les solutions générales des équations différentielles suivantes :
a) y 0 tan x − y = a (une constante),
y
b) xy 0 −
− x = 0,
x+1
c) y 0 − y tan x =
1
.
cos x
2 Les équations différentielles
157
96. Déterminer les solutions particulières des équations différentielles suivantes satisfaisant aux
conditions initiales indiquées :
a) y 0 cot x + y = 2,
y(0) = 2,
b) y 0 + y = 2x,
y(0) = −1,
c) y 0 + y = cos x,
y(0) =
d) y 0 − 2y = −x2 ,
1
,
2
1
y(0) = .
4
97. Déterminer la courbe passant par le point (1, 3) et dont la pente de la tangente en chaque
dy
2y
point est donnée par
=x− .
dx
x
98. Résoudre l’équation différentielle y 0 + x2 y = 2x2 .
99. Résoudre l’équation différentielle xy 0 − 2y = x3 ex .
100. Trouver la solution de l’équation différentielle (x2 + 4)y 0 + 3xy = x satisfaisant y(0) = 1.
101. Trouver la fonction y(x) qui satisfait l’équation différentielle
et qui passe par les points (1, e) et
102.
xy 0 + y = ex
e2
2,
.
2
a) L’équation différentielle y 0 + y = 2 sin x est linéaire du premier ordre.
Trouver une solution particulière yp de la forme yp = A cos x + B sin x, où A et B sont
des constantes à déterminer.
b) Trouver une solution particulière yp de la forme yp = ax + b de l’équation différentielle
y 0 + y = x.
c) Trouver une solution particulière de l’équation différentielle y 0 + y = x + 2 sin x.
103. Un réservoir d’une capacité de 19 ` contient 2 ` d’une saumure (mélange de sel dissous dans
l’eau) dont la concentration est de 0,05 kg/`. On y déverse une autre saumure dont la concentration est de 0,1 kg/`, à raison de 4, 2 `/min alors qu’on laisse s’écouler une partie du mélange
(gardé uniforme par brassage) à raison de 2, 8 `/min. Le volume V se met alors à augmenter.
a) Que vaut le volume de liquide après t minutes ?
b) Si M (t) désigne la masse de sel présente dans le mélange au temps t, montrer que son
dM
M
évolution est décrite par l’équation
= 0, 42 − 2, 8
et déterminer l’expression de
dt
V
M en fonction de t.
c) Quelle sera la concentration de sel lorsque le réservoir sera plein ?
158
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
104. Voici un modèle d’échange d’une substance entre deux compartiments (figure 2.31).
Figure 2.31
Hypothèse La matière quitte un compartiment à un taux proportionnel à la quantité de
matière contenue dans le compartiment. Les constantes de proportionnalité sont inscrites
près des flèches.
a) Écrire l’équation différentielle décrivant le taux de variation de la quantité x dans le
premier compartiment. Résoudre l’équation différentielle sachant que x(0) = 0. Faire un
graphe sommaire de x en fonction de t. Quelle est la pente de la courbe à l’origine ?
b) Écrire l’équation différentielle décrivant le taux de variation de y dans le deuxième compartiment. Résoudre l’équation différentielle sachant que y(0) = 0. Faire un graphe sommaire de y en fonction de t. Quelle est la pente de la courbe à l’origine ?
105. Pour un circuit électrique RL (R est la résistance, L est l’inductance), le courant I = I(t)
dI
est régi par une équation différentielle de la forme RI + L
= E(t), où E(t) est la force
dt
électromotrice (constante ou variable selon le temps t).
Trouver l’expression générale pour I lorsque L = 3 et R = 15 (en unités appropriées), alors
que E(t) = 110 sin(60(2π)t), soit 60 cycles à 110 volts (formulation simplifiée). Quel est I si
les conditions initiales sont t = 0 et I = 0 ? Quel est le comportement de I lorsque t −→ ∞ ?
106. Résoudre l’équation différentielle y 00 = 0 par :
a) intégration directe (deux fois).
b) réduction au premier ordre, sachant que la variable dépendante y est absente.
c) réduction au premier ordre, sachant que la variable indépendante x est absente.
107. Pour quelles valeurs des constantes a, b, c ou d une des fonctions données est-elle solution de
l’équation différentielle
x2 00
y − y + x = 0?
6
a) y = ax3 + bx,
b) y = ax2 + c,
c) y = x4 + d.
2 Les équations différentielles
159
108. Une solution particulière de l’équation différentielle y 00 − 3y 0 + 2y = 5ex est donnée par :
a) −5xex ,
b) 3x + ex ,
c) ex − e2x ,
d) e2x ,
e) Aucune des réponses précédentes.
109. Une solution particulière de l’équation différentielle y 00 + y = 4 cos x est :
a) yp (x) = 2 cos x,
b) yp (x) = 2 sin x,
c) yp (x) = 2x sin x,
d) yp (x) = 2x cos x,
e) Aucune des réponses précédentes.
110. De laquelle des équations différentielles suivantes, la fonction yp = e2x est-elle une solution
particulière ?
a) y 00 − 4y 0 + 4y = 7e2x
b) y 00 − 4y 0 + y = −3e2x + 2
c) −y 0 + y = e2x
d) y 00 + y 0 − y = e2x
e) Aucune de ces réponses.
111. Résoudre l’équation différentielle
1
y 0 − x = 0.
y 00 − 1 +
x
112. Par réduction au premier ordre, trouver la solution générale de l’équation différentielle
(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 = 0.
113. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y 00 + (y 0 )3 ey = 0.
114. Résoudre l’équation
différentielle φ00 + 2ηφ0 = 0 pour φ en fonction de η. (On pourra laisser
Z
l’intégrale
2
e−η dη telle quelle.)
160
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
115. Résoudre l’équation différentielle y 00 · y 0 − 2 = 0, d’abord en utilisant la démarche générale,
puis directement en utilisant l’observation que (z 2 )0 = 2z 0 z.
116. Réduire les équations différentielles du deuxième ordre suivantes à des équations du premier
ordre et les résoudre.
a) yy 00 = (y 0 )2 ,
b) x2 y 00 + xy 0 = 1.
117. Résoudre
a) yy 00 + (y 0 )2 = 0,
b) x2 y 00 = 2xy 0 + (y 0 )2 .
* 118. Trouver une solution particulière qui satisfait aux conditions initiales données :
a) (x2 + 2y 0 )y 00 + 2xy 0 = 0,
y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
b) y 00 + y 0 = 0,
y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
119. On veut décrire le mouvement d’une masse de 1 kg attachée au bout d’un ressort placé
verticalement.
a) On considère le modèle de la chute libre tel que vu au début de la section 2.1.8, page 56,
ainsi que les hypothèses simplificatrices suivantes :
— La masse est suffisamment lourde pour négliger la résistance de l’air et la poussée
hydrostatique ;
— L’élasticité du ressort soumet la masse à une force de rappel proportionnelle au
déplacement ;
— On peut négliger la gravité en choisissant comme origine la position du système
masse-ressort au repos.
Montrer alors que, si y(t) désigne le déplacement du système et s’il n’y a aucune force
externe agissant lorsque t > 0, y est une solution de
(EL)
y 00 + ky = 0.
b) En général, quel est le signe de la constante dans (EL) ?
c) En ramenant (EL) à une équation du premier ordre, trouver sa solution générale si
k = 36.
d) Pour la même valeur de k, déterminer le mouvement obtenu si l’on étire le ressort d’une
longueur égale à 1, pour ensuite relâcher la masse au temps 0, sans lui imprimer de
vitesse.
120. Résoudre l’équation différentielle xy 00 + 2y 0 = 6x.
2 Les équations différentielles
161
* 121. Résoudre l’équation différentielle y 00 − yy 0 = 0.
* 122. Déterminer les solutions générales des équations différentielles suivantes :
a) yy 00 − y 0 (1 + y 0 ) = 0,
b) y 00 = −
1
,
2y 3
c) yy 00 = y 2 y 0 + y 02 ,
d) y 00 y 3 = 1,
y = y 0 = 1 en x =
1
.
2
123. Résoudre l’équation différentielle de l’exercice 112 comme une équation différentielle linéaire
homogène.
Suggestion Constater que y1 = 1 est une solution et construire une autre solution y2 = u(x)y1 .
124.
a) En se ramenant à une équation du premier ordre, trouver la solution générale de
(∗)
xy 00 − y 0 = 0.
b) Déterminer les constantes A, B et C afin que
yp = x(Ax2 + Bx + C)
soit solution de l’équation différentielle
(∗∗)
xy 00 − y 0 = 9x2 .
c) En indiquant les principes sur lesquels on doit se baser, utiliser a) et b) pour obtenir la
solution générale de l’équation (∗∗).
125.
a) Si y0 représente une solution de l’équation différentielle linéaire homogène y 00 + p(x)y 0 +
q(x)y = 0, déduire que cy0 est également une solution, pour toute constante c.
b) Si y1 et y2 sont des solutions de l’équation différentielle en a), montrer que toute combinaison linéaire c1 y1 + c2 y2 (avec c1 et c2 constantes arbitraires) est également une
solution.
c) Si l’on considère l’équation différentielle linéaire non homogène y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = r(x),
avec r(x) 6= 0, les énoncés a) et b) ne tiennent plus. Pourquoi ?
d) Montrer que si y1 et y2 sont des solutions de l’équation différentielle non homogène en
c), alors y1 − y2 et y2 − y1 sont solutions de l’équation différentielle homogène associée,
soit l’équation différentielle en a).
e) Sachant qu’une équation différentielle de la forme vue en c) a les solutions particulières
y1 = 2x sin x, y2 = (1 + 2x) sin x et y3 = 2(x sin x − cos x), trouver sa solution générale
(section 2.3.4, page 97).
f) Même question, mais si y1 = ex (1 − 2x), y2 = −2(e3x + xex ) et y3 = −2xex .
162
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
3 −5x
3
e
− ex , qui sont solutions de l’équation dif2
4
férentielle y 00 + 4y 0 − 5y = 0, sont-elles linéairement indépendantes ? À vérifier à l’aide du
Wronskien.
126. Les fonctions y1 = ex − 2e−5x et y2 =
127. Montrer que les fonctions y1 = (x + 1)2 et y2 = (x − 1)2 forment une paire de solutions
linéairement indépendantes de l’équation différentielle linéaire (x2 − 1)y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
définie sur l’intervalle −1 < x < 1. Vérifier à l’aide du Wronskien. Déterminer la solution
particulière y(x) vérifiant les conditions initiales y(0) = 0 et y 0 (0) = 1.
128. Sachant que y1 (x) = x est une solution particulière de l’équation différentielle
x2
dy
d2 y
− 2x
+ 2y = 0,
dx2
dx
quelle est sa solution générale ?
a) y(x) = c1 x + c2 ex ,
1
b) y(x) = c1 x + c2
,
x
c) y(x) = c1 x2 + c2 x,
1
+ c2 x2 ,
d) y(x) = c1
x
e) Aucune de ces réponses.
129. L’équation différentielle y 00 + 25y = 0 a les solutions linéairement indépendantes
y1 = cos (5x)
et
y2 = sin (5x) .
Pour l’équation différentielle y 00 + 25y = 2x, trouver yp des deux manières suivantes :
a) En prenant pour yp une forme polynomiale suggérée par la forme du terme 2x.
b) En calculant yp par la méthode de Lagrange (variation des constantes).
Remarque Selon les tables (appendice A, page 316),
Z
cos (ax) x sin (ax)
x cos (ax) dx =
+
+ C,
a2
a
Z
sin (ax) x cos (ax)
x sin (ax) dx =
−
+ D.
a2
a
130. L’équation différentielle y 00 − 36y = 0 a les solutions linéairement indépendantes
y1 = e−6x
et
y2 = e6x .
a) Pour l’équation différentielle y 00 − 36y = 2x, trouver yp des deux manières suivantes :
i – En prenant pour yp une forme polynomiale suggérée par la forme du terme 2x.
2 Les équations différentielles
163
ii – En calculant yp par la méthode de Lagrange (variation des constantes).
b) Trouver la solution y = y(x) de y 00 − 36y = 0 qui satisfait les conditions initiales y(1) = 5
et y 0 (1) = 10.
131. L’équation différentielle y 00 + 16y = 0 a les solutions linéairement indépendantes
y1 = cos (4x)
et
y2 = sin (4x) .
Pour l’équation différentielle y 00 + 16y = 3x, trouver yp des deux manières suivantes :
a) En prenant pour yp une forme polynomiale suggérée par la forme du terme 3x.
b) En calculant yp par la méthode de Lagrange (variation des constantes).
Remarque Selon les tables (appendice A, page 316),
Z
cos (ax) x sin (ax)
+
+ C,
x cos (ax) dx =
a2
a
Z
sin (ax) x cos (ax)
−
+ D.
x sin (ax) dx =
a2
a
* 132. L’équation différentielle x4 y 00 + k 2 y = 0 décrit la déformation (gauchissement) de colonnes
coniques lorsque celles-ci sont soumises à une charge axiale.
a) Faire la substitution (changement de variable) x = 1/t et arriver à l’équation différentielle
d2 y
dy
t 2 +2
+ k 2 ty = 0.
dt
dt
b) Poser z = yt et obtenir maintenant
d2 z
+ k 2 z = 0.
dt2
c) Résoudre l’équation différentielle donnée au début.
133. Obtenir la solution générale des équations différentielles suivantes :
a) y 00 + 3y 0 + 2y = 0,
b) y 00 − 3y 0 + 2y = 0,
√
√
c) y 00 + (1 + 2)y 0 + 2y = 0.
134. Résoudre l’équation différentielle y 00 + 25y = 0 selon les deux méthodes suivantes :
a) Par réduction au premier ordre.
b) En sachant qu’elle est linéaire du deuxième ordre à coefficients constants.
Z
dx
1
b
√
Remarque Selon les tables (appendice A, page 316),
= arcsin
x +C.
2
2
2
b
a
a −b x
135. Résoudre l’équation différentielle y 00 + 16y = 0 selon les deux méthodes suivantes :
164
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
a) Par réduction au premier ordre.
b) En sachant qu’elle est linéaire du deuxième ordre à coefficients constants.
Z
1
b
dx
√
= arcsin
x +C.
Remarque Selon les tables (appendice A, page 316),
2
2
2
b
a
a −b x
136. Déterminer les solutions générales des équations différentielles suivantes :
a) y 00 + y 0 − 20y = 0,
b) y 00 − 6y 0 + 9y = 0,
c) y 00 + 6y 0 + 25y = 0.
137. On considère l’équation différentielle suivante avec conditions initiales
 00
 y − k 2 y = 0, (k 6= 0, constante)
y(0) = 0,
 0
y (0) = 1.
Indiquer laquelle des réponses ci-dessous donne la bonne forme pour la solution de cette
équation différentielle :
a) y(x) = ex sin (kx),
b) y(x) =
1
sin (kx),
k
c) y(x) =
ekx + e−kx
,
2k
d) y(x) =
ekx − e−kx
,
2k
e) Aucune de ces réponses.
138. Pour chacune des équations différentielles données ci-dessous, trouver la solution y(x) dont
la courbe passe par (0, 1) avec une pente nulle :
a) y 00 + 2y 0 + y = 0,
b) y 00 − 2y 0 + y = 0.
139. Trouver deux solutions de l’équation différentielle
d2 y
dy
+ 0, 0001y = 0
− 0, 02
dt2
dt
et vérifier qu’elles sont linéairement indépendantes. Donner ensuite la solution générale.
140. Calculer la solution y(x) de y 00 + y/4 = 0 qui passe par (π, 0) avec une pente de 1.
2 Les équations différentielles
165
141. Donner la solution générale de
1
y 00 − y 0 + y = 0,
2
en ayant soin de vérifier que les deux solutions de base sont linéairement indépendantes.
142. On considère les équations différentielles suivantes :
a) y 00 + 4y = 0,
b) y 00 − 3y 0 = 0,
et les quatre graphes ci-dessous (figures 2.32, 2.33, 2.34 et 2.35).
Figure 2.32
Figure 2.33
Figure 2.34
Figure 2.35
Parmi ces graphes, il y en a un qui représente une solution de l’équation a) et un autre
qui représente une solution de l’équation b). Identifier ces deux graphes et indiquer à
quelle équation chacun d’eux correspond.
143.
a) L’équation différentielle y 00 + y 0 = 0 peut être résolue en utilisant le fait que x est absente
ou encore en utilisant le fait que y est absente. Traiter ce même problème par une
troisième méthode et trouver la solution particulière qui satisfait aux conditions initiales
166
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
y(1) = 0 et y 0 (1) = 1.
b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 00 + y 0 = x2 − 2x + 1.
144.
a) L’équation différentielle y 00 − y 0 = 0 peut être résolue en utilisant le fait que x est absente
ou encore en utilisant le fait que y est absente. Traiter ce même problème par une
troisième méthode et trouver la solution particulière qui satisfait aux conditions initiales
y(1) = 1 et y 0 (1) = 2.
b) Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 00 − y 0 = 2x2 + x − 1.
145. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) −2y 00 + 8y 0 − 8y = e2x ,
b) y 00 + 4y 0 + 5y = 0.
146.
a) L’équation différentielle linéaire
x2 (ln x)2 y 00 − 2x(ln x)y 0 + (2 + ln x)y = 0
possède les deux solutions
y1 (x) = ln x
,
y2 (x) = x ln x.
Quelle est sa solution générale ?
b) L’équation différentielle linéaire
(sin x)y 00 − (cos x + sin x)y 0 + (cos x)y = 1
possède les trois solutions particulières suivantes :
y1 (x) = cos x
,
y2 (x) = 2ex − sin x
,
y3 (x) = − sin x.
Quelle est sa solution générale ?
147. Soit yp (x), une solution particulière de l’équation différentielle linéaire non homogène
y 00 + y 0 − 12y = r(x) . Compléter le tableau suivant en appliquant les règles des coefficients
indéterminés.
r(x)
x3
e3x
x
e cos x
ex + cos x
yp (x)
Ne pas calculer explicitement les coefficients.
148. Quelle doit être la forme d’une solution particulière yp de l’équation différentielle
y 00 + 4y 0 + 4y = x + cos x ?
2 Les équations différentielles
167
149. Quelle est la forme d’une solution particulière de l’équation différentielle
y 00 − 2y 0 + 2y = x3 + ex cos x ?
150. Quelle est la forme appropriée pour une solution particulière yp (x) de l’équation différentielle
y 00 + 3y 0 = e−3x + x2 ?
a) yp (x) = ae−3x + bx2 ,
b) yp (x) = ae−3x + x(bx2 + cx + d),
c) yp (x) = ae−3x + bx3 ,
d) yp (x) = x(ae−3x + bx2 + cx + d),
e) Aucune des suggestions précédentes.
151. Trouver une solution particulière yp (x) de l’équation différentielle
y 00 + y 0 = sin x − x.
x
152. Trouver la solution générale de l’équation différentielle 5y 00 + 5y 0 + 5y = e 2 .
153. Résoudre le problème aux limites
y 00 + 4y 0 + 5y
=
0,
y(π/2)
=
14e−π ,
y(3π/2)
=
−14e−3π .
Obtient-on une solution unique ? Sinon, est-ce en contradiction avec le théorème d’existence
et d’unicité ? (Voir les sections 2.3.1, page 95, et 2.3.6, page 100, ainsi que la question 154
ci-dessous.)
154. Considérons l’équation différentielle y 00 + y = 0 .
a) Montrer qu’il existe une seule solution qui vérifie les conditions aux limites
y(0) = 2 et y(π/2) = 0 .
b) Montrer qu’il n’existe pas de solution telle que y(0) = 2 et y(π) = 0 .
c) Montrer qu’il existe une infinité de solutions vérifiant les conditions aux limites
y(0) = 2 et y(π) = −2 .
* 155. Voici une méthode basée sur les nombres complexes pour déterminer une solution particulière
de l’équation différentielle
(166)
y 00 + 3y 0 + 2y = 20 sin t.
a) Utiliser la démarche usuelle pour calculer une solution particulière ỹp de l’équation
différentielle complexe y 00 + 3y 0 + 2y = 20eit .
Remarque On utilisera la formule de dérivation (eiλt )0 = iλ eiλt .
168
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) Déterminer une solution particulière de l’équation (166). Étant donné que sin t = Im (eit ),
on obtient une solution particulière de (166) en posant yp = Im (ỹp ) = la partie imaginaire
de ỹp .
156. Trouver la solution de l’équation différentielle
dy
1
d2 y
−2
+ 5y = t + ,
2
dt
dt
2
si l’on a les conditions initiales y(0) = 9/50 et y 0 (0) = −4/5.
157.
a) Trouver la solution générale de l’équation différentielle y 00 + y 0 = 0.
b) Trouver une solution particulière de l’équation différentielle y 00 + y 0 = cos x.
c) Trouver une solution particulière de l’équation différentielle y 00 + y 0 = cos x + x et donner
sa solution générale.
158. Résoudre l’équation différentielle y 00 − 4y 0 + 3y = 4ex .
159. L’équation différentielle homogène
y 00 − 6y 0 + 13y = 0
a une équation caractéristique dont les racines sont λ = 3 ± 2i. Quelle solution l’équation
différentielle non homogène
y 00 − 6y 0 + 13y = 39
possédera-t-elle, sachant que, pour x = 0, on a y = 4 et y 0 = 3 ?
a) y(x) = e3x cos (2x) + 3,
b) y(x) = e3x sin (2x) + 3,
c) y(x) = e3x sin (2x),
d) y(x) = e3x cos (2x),
e) Aucune de ces réponses.
160. Parmi les cinq réponses proposées ci-dessous, indiquer laquelle est la solution du problème
 00
 y − 6y 0 + 9y = 2e3x ,
y(0) = 0,
 0
y (0) = 0.
a) y = 0,
b) y = (1 − x)e3x ,
c) y = (x + x2 )e3x ,
d) y = x2 e3x ,
e) Aucune de ces réponses.
2 Les équations différentielles
169
161. Trouver la solution y(x) de l’équation différentielle
y 00 − 5y 0 + 6y = e2x
qui satisfait aux conditions initiales y 0 (0) = 6 et y 00 (0) = 13.
162. Résoudre l’équation différentielle
y 00 + 9y = −2 cos 3x + 3x2 .
163. Résoudre ce problème aux valeurs initiales :
y 00 + y 0 = ex − sin x + cos x,
y(0) = y 0 (0) = 0.
164. Résoudre l’équation différentielle y 00 − 2y 0 + 5y = 3 cos (2x) pour y en fonction de x, sachant
que y(0) = 2 et y 0 (0) = 1.
165. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y 00 + 4y = 7 cos (2x) + sin (2x) .
166. Trouver la solution de
d2 y
+ y = 4 cos x dont la pente est de −1 au point (0, 1).
dx2
167. Déterminer la solution de
y 00 − y 0 − 6y = −36xex ,
qui vérifie y(0) = 1 et y 0 (0) = 12.
168. Trouver la solution de l’équation différentielle y 00 + π 2 y = 0 qui satisfait les deux conditions
suivantes :
Z 1/2
1
= 0,
y(x) dx = 1.
y
2
0
169. Parmi les énoncés ci-dessous, distinguer ceux qui sont vrais de ceux qui sont faux et justifier.
a) La solution générale de l’équation différentielle y 00 − 2y 0 = 0 est y = c1 x + c2 e2x .
b) Pour l’équation différentielle y 00 = 2x, une solution particulière est de la forme yp = ax+b.
2
c) Si l’on trouve que − e−x est une solution d’une équation différentielle linéaire homogène
3
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0,
on peut en conclure que e−x est également une solution de l’équation différentielle.
d) Pour une équation différentielle linéaire d’ordre 2, à résoudre pour y en fonction de x,
170
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
des conditions du type
y(x0 ) = y0
et y(x1 ) = y1
déterminent une solution unique de l’équation différentielle.
170. Est-il possible de résoudre les équations différentielles suivantes grâce aux méthodes du présent chapitre ? Justifier brièvement.
a) x(y 0 + xy 00 ) = (x + 1) cos x,
b)
dθ
− (sin θ)t = 1,
dt
c) y 00 + π 2 y + π 2 = 0,
d) y 00 + π 2 y 0 + π 2 y = 0,
e)
dI
d2 I
+8
+ 17I = 167 sin (120πt).
2
dt
dt
171. Une poutre fixée à une extrémité fléchit sous le poids d’une charge (figure 2.36). Le fléchissement est mesuré par la hauteur h, variable selon x.
Figure 2.36
Il est possible de montrer (non requis ici) que h doit satisfaire l’équation différentielle
x2
,
2
où E > 0 est le module de Young (qui est une mesure de la rigidité de la poutre), I > 0
est le moment d’inertie de la section de la poutre, W > 0 est la densité de charge et P > 0
est la traction à l’extrémité (non fixée). Bien sûr, E, I, W et P sont des constantes. Poser
P
W
k2 =
> 0 et
= α et résoudre l’équation, pour h = h(x), sachant que h0 (0) = 0 et
EI
EI
h(0) = 0. Calculer également h(1).
EIh00 = P h − W
172. Une bouée cylindrique ayant un diamètre de 2 mètres est partiellement immergée dans l’eau
2 Les équations différentielles
171
à la verticale. Si on la relâche après l’avoir enfoncée légèrement, elle se met à osciller avec une
période de 2 secondes.
Remarque Ceci est un exemple d’oscillateur où la force de rappel ne vient pas d’un ressort,
mais bien de la poussée hydrostatique. Puisque le mouvement oscillatoire ne s’arrête pas,
on suppose que la résistance de l’eau est négligeable, ce qui n’est réaliste que sur un petit
intervalle de temps.
a) Montrer que si m désigne la masse de la bouée (exprimée en kg), la hauteur h (exprimée
en m) de la partie immergée de la bouée avant qu’on ne l’enfonce est donnée par
m = 1000hπ.
b) Si y(t) désigne l’écart, au temps t, entre la hauteur de la partie immergée et la hauteur
h, montrer que y (mesuré en m) est une solution du problème

1000gπ

 y 00 (t) +
y(t) = 0,
m
y(0)
= y0 ,

 0
y (0)
= 0,
où y0 est l’écart initial et g l’accélération due à la pesanteur (≈ 9, 8).
c) En déduire que la masse est d’environ 3 tonnes.
173. Une chaîne de 4 mètres est déposée sur une tablette, d’une hauteur supérieure à 4 mètres,
de telle façon qu’une portion de un mètre dépasse au bout. On suppose que la friction est
négligeable et que la masse de la chaîne par unité de longueur est constante.
Remarque Dans ce problème, la masse en mouvement ne change pas. Ce qui change, c’est la
force de pesanteur qui dépend de la longueur de chaîne qui dépasse de la tablette.
a) Montrer que si x(t) est la longueur de la chaîne qui dépasse au temps t, on a
g
x00 (t) − x(t) = 0.
4
b) Quelles sont les conditions initiales qu’on doit adjoindre à cette équation ?
c) Quelle est la solution particulière à ce problème ?
d2 θ
dθ
174. Le mouvement d’une porte battante est décrit par l’équation différentielle I 2 +b +kθ = 0,
dt
dt
où I désigne le moment d’inertie de la porte par rapport à ses charnières, b et k étant les constantes de proportionnalité des forces d’amortissement et de rappel des charnières à ressort
(figure 2.37). On suppose que I = 1, k = 2 et qu’on a les conditions initiales θ(0) = 2 et
θ0 (0) = −3.
172
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 2.37
a) Déterminer la solution si b = 3. Faire le graphe de la solution.
b) Déterminer la solution si b = 2. Faire le graphe de la solution.
175. Un système biologique est composé de deux parties séparées par une membrane. Une substance X de concentrations x1 et x2 pour les parties 1 et 2 se diffuse à travers la membrane
(figure 2.38).
Figure 2.38
Pour un choix particulier des paramètres de diffusion h1 et h2 , les équations différentielles
décrivant l’évolution des concentrations x1 et x2 sont données par :
(167)
(168)
dx1
dt
dx2
dt
= −3x1 + x2 ,
=
3x1 − x2 ,
avec les conditions initiales x1 (0) = 0 et x2 (0) = 1.
a) Dériver chaque membre de l’équation (167) par rapport à t et éliminer
le fait que dx2 /dt = −dx1 /dt selon l’équation (168). On devrait obtenir
dx2
en utilisant
dt
d2 x1
dx1
+4
= 0.
dt2
dt
b) Pour l’équation différentielle en a), trouver la solution satisfaisant les conditions initiales.
c) À l’aide de l’équation (168), trouver d’abord la solution générale x2 (t), puis la solution
particulière vérifiant les données initiales.
176. Pour chacune des équations différentielles énumérées ci-dessous, en indiquer l’ordre. Ensuite,
indiquer celles qui peuvent être résolues à l’aide de l’une ou l’autre des méthodes présentées
dans ce livre et spécifier leur type. Enfin, trouver la solution générale de deux de ces équations
différentielles.
a) xy 0 + y ln x = y ln y,
2 Les équations différentielles
173
b) y 00 + 2y 0 = ex ,
c) y 00 + xe−y = 0,
d) y 0 + xe−y = 0,
e) xy 0 − xe−y/x = y + x,
f) y 0 + y 2 = 2x.
177. Parmi les équations différentielles suivantes, identifier celle qu’on ne peut pas résoudre par
les méthodes présentées dans ce livre.
a) y 0 + sin y = x,
b) y 0 +
1
x
,
y= √
2
1+x
x 1 + x2
c) x2 y 00 + 2xy 0 + 10y = 0,
d) y 00 − y 0 = x,
e) On peut résoudre chacune des équations ci-dessus par les méthodes présentées dans ce
livre.
178. Trouver la solution de l’équation différentielle y (3) −y 00 = ex satisfaisant les conditions initiales
y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 1.
179. Déterminer ω réel, non nul, de telle sorte que le problème aux limites
(
y (4) − ω 4 y = 0,
y(0) = y 00 (0) = y(`) = y 00 (`) = 0
admet d’autres solutions que la solution triviale y(x) ≡ 0. C’est un problème de vibrations
d’une poutre de longueur ` appuyée aux deux extrémités.
180. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y (4) − 8y (3) + 26y 00 − 40y 0 + 25y = 0
dont le polynôme caractéristique se factorise comme (λ2 − 4λ + 5)2 .
181. Le polynôme caractéristique de l’équation différentielle
y (4) − 4y (3) + 5y 00 − 4y 0 + 4y = 0
est p(λ) = (λ − 2)2 (λ2 + 1). Alors, la solution générale de l’équation différentielle est donnée
par :
a) c1 e2x + c2 cos x + c3 sin x + c4 x sin x,
b) c1 xe2x + c2 cos x + c3 sin x + c4 e2x ,
c) e2x (c1 + c2 x) + ex (c3 cos x + c4 sin x),
174
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d) c1 e2x + c2 x cos x + c3 sin x,
e) Aucune des réponses précédentes.
182. Si la solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du quatrième ordre à
coefficients constants est
y = e3x (A + Bx + C cos (3x) + D sin (3x)) ,
où A, B, C et D sont des constantes arbitraires, le polynôme caractéristique de l’équation
différentielle est donné par :
a) (λ − 3)2 (λ2 + 6λ + 18),
b) (λ2 − 9)(λ2 − 6λ + 18),
c) (λ2 − 9)(λ2 + 6λ + 18),
d) (λ − 3)2 (λ2 − 6λ + 18),
e) Aucune de ces réponses.
183. Si la solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène du quatrième ordre à
coefficients constants est
y = e2x (C + Dx + E cos (2x) + F sin (2x)) ,
où C, D, E et F sont des constantes arbitraires, le polynôme caractéristique de l’équation
différentielle est donné par :
a) (λ2 − 4)(λ2 − 4λ + 8),
b) (λ − 2)2 (λ2 − 4λ + 8),
c) (λ − 2)2 (λ2 + 4λ + 8),
d) (λ2 − 4)(λ2 + 4λ + 8),
e) Aucune de ces réponses.
184. Quelle est la forme appropriée pour une solution particulière yp (x) de l’équation différentielle
y (3) + y 00 = x3 ?
a) yp (x) = x(ax3 + bx2 + cx + d),
b) yp (x) = ax3 + bx2 + cx + d,
c) yp (x) = ax5 ,
d) yp (x) = x2 (ax3 + bx2 + cx + d),
e) Aucune de ces suggestions.
185. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
y (3) − y 00 + y 0 − y = x.
2 Les équations différentielles
175
186. Trouver les solutions générales des équations suivantes :
a) y 00 + 25y 0 = 2x,
b) y 00 + 25y = x cos(5x),
c) y 000 − y = 0.
187. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y (4) − 8y 00 + 16y = 0,
b) 6y (4) + 11y 00 + 4y = 0,
c) y (3) + 27y = 0,
d) y (3) + 2y 00 − y 0 − 2y = 0 ;
y(0) = 1 , y 0 (0) = 2 , y 00 (0) = 0.
188. Trouver la solution générale de l’équation différentielle y (3) − y = 0.
189. Trouver la solution de l’équation différentielle y (4) + y 0 = x2 qui satisfait y(0) = 0,
y 0 (0) = 1, y 00 (0) = 0 et y (3) (0) = 1.
190. Trouver la solution générale y(x) de l’équation différentielle
y (5) − y 0 = x.
191. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
d4 y
− y = 0.
dx4
192. L’équation caractéristique d’une équation différentielle linéaire d’ordre 3 à coefficients
constants est
λ2 (λ − 1) = 0.
(∗)
Parmi les quatre suggestions énumérées ci-dessous, indiquer laquelle donne le Wronskien des
solutions qui correspondent aux racines de (∗) :
a) ex ,
b) 0,
c) −e−x ,
d) e−x .
193. Une équation différentielle linéaire d’ordre 4 avec coefficients constants a une équation caractéristique dont les racines sont
λ = 2,
λ = −2,
λ = 3i,
λ = −3i.
176
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
La solution générale de l’équation différentielle homogène associée est :
a) e2x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) + e−2x (c3 cos (3x) + c4 sin (3x)),
b) x e2x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) ,
c) c1 e2x + c2 e−3x + Re(e3ix ) + Im(e−3ix ),
d) c1 e2x + c2 e−2x + c3 cos (3x) + c4 sin (3x).
194. Sachant que y1 = sin x est une solution de
y (3) − 2y 00 + y 0 − 2y = 0,
en déduire la solution générale de
y (3) − 2y 00 + y 0 − 2y = ex .
195. On peut vérifier directement que l’équation différentielle y (3) = 0 possède les solutions
y1 = 1 − x, y2 = x − x2 et y3 = (1 − x2 )/2. Sont-elles linéairement indépendantes ? Justifier.
196. Dire si l’énoncé suivant est vrai ou faux et justifier la réponse :
Si x, xe−x et x cos x sont des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, alors les fonctions
1,
e−x ,
cos x,
sin x,
x sin x
sont nécessairement des solutions de cette même équation différentielle.
197. Sachant que y = cos (2x) est une solution de l’équation différentielle 6y (4) + 5y (3) + 25y 00 +
20y 0 + 4y = 0, trouver la solution générale.
198. Dans chaque cas, déterminer une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients
constants, d’ordre minimal, qui possède les solutions particulières données.
a) y1 = −0, 4,
y2 = e−x ,
b) y1 = xe−x cos x,
y3 = cos x.
y2 = x.
199. Quelles sont les autres solutions de base des deux équations différentielles obtenues à la
question 198 ci-dessus ?
200. Faire un tableau avec six colonnes numérotées de (1) à (6) et avec six lignes identifiées ainsi :
a) ordre n de l’équation différentielle ;
b) équation différentielle séparable ;
c) équation différentielle qui se ramène à une équation différentielle séparable par une transformation usuelle ;
d) équation différentielle linéaire ;
2 Les équations différentielles
177
e) équation différentielle linéaire à coefficients constants ;
f) équation différentielle linéaire homogène.
Après avoir indiqué la valeur de n dans chaque case de la ligne a), cocher toutes les cases
appropriées, si (1) à (6) représentent les équations différentielles suivantes :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
y 00 + sin y = 0,
y 00 + sin x = 0,
y 0 + sin y = 0,
y 00 + 2y 0 = 1,
y (3) ln x + yex = x,
y 0 + y 2 = x.
201. Trouver la solution générale de chacune des trois équations différentielles de l’exercice 200
précédent qu’on peut résoudre par les méthodes habituelles.
202. Trouver la solution générale de l’équation différentielle
x2 y 00 + 2xy 0 − 12y = 0.
203. Résoudre l’équation différentielle
x2 y 00 + 6xy 0 + 6y = 0.
Justifier que les deux solutions obtenues sont linéairement indépendantes.
204. Trouver la solution particulière y(x) de l’équation différentielle
x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
qui passe par le point (1, 0) et qui satisfait
Z 1
1
y(x)dx = .
6
0
3
3.1
Le calcul différentiel
des fonctions de
plusieurs variables
Représentation géométrique
Pour arriver à comprendre un phénomène scientifique, on doit, la plupart du temps, le décrire par
une fonction qui dépend de plusieurs variables.
C’est ainsi, par exemple, que la superficie d’un champ rectangulaire dépend de deux données, soit sa
longueur et sa largeur. C’est pourquoi si S désigne l’aire de ce champ, et si l’on connaît sa longueur
x et sa largeur y, alors on dit que S dépend de x et de y et que, plus précisément, S = xy. On écrira
aussi que S = S(x, y) = xy pour expliciter le fait que S est une fonction des deux variables x et y.
Plusieurs phénomènes physiques peuvent être décrits par une fonction de plusieurs variables. Un
exemple classique est celui qui donne la pression P d’un gaz. On sait que cette pression P est
directement proportionnelle à la température T de ce gaz et inversement proportionnelle au volume
V qu’occupe ce gaz. Ce phénomène est décrit par l’équation
T
,
V
où k est une constante de proportionnalité qui dépend de la nature du gaz en question. On dira
parfois que la formule (1) est le modèle mathématique qui décrit le phénomène physique de la
pression d’un gaz.
(1)
P =k
Le volume V d’un réservoir cylindrique s’exprime également comme une fonction de deux variables,
en l’occurrence, son rayon r et sa hauteur h. Plus précisément,
V = V (r, h) = πr2 h.
Certains modèles mathématiques sont plus complexes à établir. Ainsi, en négligeant la résistance de
l’air, on peut démontrer que la portée P d’un projectile, lancé à la vitesse initiale v0 avec un angle
θ par rapport à l’horizontale, est donnée par la formule
P =
v02 sin (2θ)
,
g
où g désigne la constante gravitationnelle (g = 9, 8 mètres par seconde carrée). Il en résulte que la
portée P = P (v0 , θ) est une fonction des deux variables v0 et θ.
Certains phénomènes sont décrits par des fonctions de plus de deux variables. Ainsi, le volume V
d’un parallélépipède rectangle est donné par une fonction de trois variables, soit les longueurs de ses
arêtes x, y et z. C’est ainsi que
V = V (x, y, z) = xyz.
180
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Un autre exemple d’une fonction de trois variables est celui qui donne la distance entre un point
fixe (x0 , y0 , z0 ) et un point quelconque (x, y, z) dans R3 . Cette distance f (x, y, z) est exprimée par
la formule
p
f (x, y, z) = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .
Un exemple d’une fonction de cinq variables est l’amplitude
Ampl = p
F
(k − mω 2 )2 + c2 ω 2
,
rencontrée à la page 124 de la section 2.4.4.
Nous nous attarderons, dans ce chapitre, à l’étude des principales propriétés des fonctions de
plusieurs variables réelles et, en particulier, à la représentation géométrique des fonctions de
deux variables.
3.1.1
Définitions
Une fonction réelle f à deux variables réelles x et y est une application d’un certain domaine de
définition D (ou D(f )) du plan cartésien dans une partie de l’axe réel notée I (ou I(f )) et appelée
l’image de f ou l’ensemble des valeurs de f . Ainsi, à chaque couple (x, y) ∈ D ⊂ R2 est associé
par la fonction f un et un seul point, ou une et une seule valeur z = f (x, y) dans R.
En d’autres mots, le domaine de définition (ou domaine d’existence) de la fonction f (x, y) est
l’ensemble des points (x, y) du plan cartésien pour lesquels cette fonction admet une valeur.
Il est également coutumier d’écrire z = f (x, y) pour parler d’une fonction f de deux variables. Ainsi,
on parlera de la fonction z = x2 + y 2 au même titre que de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 .
Habituellement, lorsqu’on définit une fonction réelle f de deux variables réelles, on indique son
domaine de définition et son ensemble de valeurs.
Exemple 1. Par exemple, on écrira
f:
R2
−→
[0, ∞)
(x, y) 7−→
x2 + y 2
pour décrire la fonction f (x, y) = x2 + y 2 qui associe à chaque couple de nombres réels (x, y) le
nombre réel non négatif z = x2 + y 2 . Ici, nous avons D(f ) = R2 et I(f ) = R+ ∪ {0} = [0, ∞),
car pour tous nombres réels x et y, la quantité x2 + y 2 est toujours positive.
Notons que lorsqu’une fonction f (x, y) est écrite sous la forme
f:
R2
−→
|{z}
toujours le domaine
[0, ∞)
,
| {z }
pas toujours l’image
alors à gauche de la flèche on indique toujours le domaine, alors qu’à droite de la flèche, on
pourra avoir un ensemble qui contient l’image. Par exemple, pour la fonction f (x, y) = x2 + y 2 ,
on pourrait écrire
f:
R2
−→
R
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
(x, y) 7−→
181
x2 + y 2
puisque l’ensemble R contient l’image de la fonction f (x, y).
Pour déterminer l’image de la fonction f (x, y), il est également possible de procéder de la
manière suivante. On peut se demander pour quels nombres réels c l’équation f (x, y) = c a au
moins une solution. Nous avons que l’équation
f (x, y) = x2 + y 2 = c
(x ∈ R, y ∈ R)
a des solutions pour tout c ≥ 0 (équation d’un cercle). Ceci implique que I(f ) = [0, ∞).
Par contre, il peut arriver qu’on définisse une fonction de deux variables sans spécifier explicitement
ni son domaine de définition (dans R2 ), ni son image (dans R). Dans ce cas, pour bien comprendre
la nature de la fonction, il faut établir son domaine de définition maximal.
Exemple 2. Par exemple, la fonction f (x, y) =
définition D(f ) est donné par
p
1 − x2 − y 2 est celle dont le domaine de
D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1},
soit le disque unité centré à l’origine. En effet, puisque la fonction racine carrée n’est définie
que pour les nombres réels positifs, alors on doit avoir 1 − x2 − y 2 ≥ 0.
En ce qui a trait à l’image, nous avons I(f ) = [0, 1]. En effet, l’image de la fonction racine
carrée est un nombre réel positif, de sorte que f (x, y) ≥ 0. De plus, nous avons
1 − x2 − y 2 = 1 − x2 + y 2 ,
| {z }
toujours ≥0
de sorte que
1 − x2 − y 2 ≤ 1 − 0 = 1.
Ainsi, f (x, y) ≤
√
1 = 1, et I(f ) = [0, 1].
Une autre manière d’obtenir l’image est la suivante : Cherchons les nombres réels c pour lesquels
l’équation f (x, y) = c a une solution lorsque (x, y) ∈ D(f ). Nous avons
p
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 = c ⇐⇒ 1 − x2 − y 2 = c
(c ≥ 0)
⇐⇒ 1 − c = x2 + y 2
(c ≥ 0) .
Puisque x + y ≥ 0, alors 1 − c ≥ 0, c’est-à-dire 1 ≥ c. Ainsi, 0 ≤ c ≤ 1, de sorte que
I(f ) = [0, 1].
2
2
Exemple 3. La fonction f (x, y) = ln(x+y) est celle dont le domaine de définition est constitué
des couples (x, y) ∈ R2 pour lesquels x + y > 0, c’est-à-dire y > −x. En effet, la fonction ln
n’est définie que pour les nombres réels > 0.
182
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
C’est pourquoi
D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > −x}
est la région du plan cartésien située au-dessus de la droite y = −x.
Par ailleurs, I(f ) = R, puisque nous avons
ln (x + y) = c ⇐⇒ x + y = ec ,
et cette équation a une solution pour chaque c ∈ R (c’est l’équation d’une droite) lorsque
x, y ∈ R.
3.1.2
Représentation géométrique d’une fonction de deux variables
Pour faciliter l’introduction de certaines notions, ramenons-nous au cas des fonctions d’une variable
réelle.
Étant donné une fonction y = f (x), on définit le graphe de f , noté G(f ), comme suit :
def
G(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D(f ), y = f (x)}.
Il est clair que pour une fonction f d’une variable réelle, G(f ) représente alors une courbe dans le
plan cartésien.
Exemple 4. Ainsi, le graphe de la fonction f (x) = 2x + 1 est une droite, soit précisément le
lieu des points (x, y) tels que y = 2x + 1.
Le graphe d’une fonction de deux variables se définit de manière analogue. Ainsi, le graphe de la
fonction f (x, y), noté G(f ), est défini par
def
G(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D(f ), z = f (x, y)}.
Habituellement, le graphe d’une fonction de deux variables est une surface dans R3 .
Exemple 5. Par exemple, le graphe de la fonction z = x2 +y 2 est un paraboloïde de révolution.
Exemple 6. Le graphe de la fonction f (x, y) =
sphère de rayon 1 centrée à l’origine.
p
1 − x2 − y 2 est l’hémisphère supérieur de la
En effet, le domaine de la fonction, déterminé dans l’exemple 2, est 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1. Pour z ≥ 0,
en posant z = f (x, y), nous obtenons
p
(z ≥ 0) ,
z = 1 − x2 − y 2 ,
c’est-à-dire
z 2 = 1 − x2 − y 2 ,
(z ≥ 0) ,
x2 + y 2 + z 2 = 1,
(z ≥ 0) ,
ou encore
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
183
soit l’hémisphère supérieur de la sphère de rayon 1 centrée à l’origine.
Exemple 7. On sait que le graphe de la fonction y = 2x + 1 est une droite dans R2 .
Exemple 8. Par comparaison avec l’exemple précédent, le graphe
de la
z
= 2x+3y +1
fonction
1
1
est un plan dans R3 , soit celui qui coupe les axes aux points − , 0, 0 , 0, − , 0 et (0, 0, 1).
2
3
En effet, en posant y = z = 0, nous avons
0 = 2x + 3 · 0 + 1 ⇒ x =
−1
,
2
0 = 2 · 0 + 3y + 1 ⇒ y =
−1
3
pour x = z = 0, nous obtenons
et pour x = y = 0, nous avons
z = 2 · 0 + 3 · 0 + 1 = 1.
3.1.3
Courbes et surfaces de niveau
Il peut cependant être difficile d’esquisser un croquis du graphe (en trois dimensions) d’une fonction
à deux variables.
Pour mieux se représenter le lieu des points (x, y, z) situés sur le graphe d’une fonction z = f (x, y),
on peut utiliser la notion de courbes de niveau. C’est précisément cette notion qu’on utilise sur
les cartes topographiques pour décrire le relief d’un terrain ou les surfaces montagneuses.
Étant donné une fonction z = f (x, y) et soit c ∈ I(f ), alors la courbe de niveau c est l’ensemble
des points (x, y) ∈ D(f ) tels que f (x, y) = c, ce qui décrit (habituellement) une courbe dans R2 .
Exemple 9. Étant donné la fonction f (x, y) = x2 + y 2 et soit c ≥ 0, alors la courbe de niveau
c est l’ensemble des points (x,√y) tels que x2 + y 2 = c, soit les points (x, y) situés sur le cercle
centré à l’origine et de rayon c.
Pour une fonction f (x, y) donnée, les différentes courbes de niveau de f constituent la carte topographique de f , ce qui permet de décrire l’allure générale du graphe de f , c’est-à-dire la surface
de f .
Exemple 10. La carte topographique de la fonction
√
C = C(v, T ) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T )
peut en principe être faite à la main, mais la voici toute prête (figure 3.1).
184
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.1
En effet, nous avons
√
k = 10, 45 + 10 v − v (33 − T ) ⇐⇒ T = 33 −
k
√
.
10, 45 + 10 v − v
La fonction C(v, T ) est en fait la formule de Siple et Passel (1945) pour l’indice de refroidissement : c’est la quantité de kilocalories captées par l’environnement à même une personne
exposée à des conditions telles que v correspond à la vitesse du vent en mètres par seconde et T
à la température en degrés Celsius. La fonction C (v, T ) mesure donc le nombre de kilocalories
par m2 (de peau exposée) par heure. Pour convertir les kilocalories en joules, il suffirait de
multiplier l’expression par 4186.
Remarque
Quand on considère une équation f (x, y) = c, par exemple x2 − y = 1, on vient de fixer une valeur
de f et on cherche la courbe de niveau correspondante. Dans ce cas, x et y ne sont pas des variables
indépendantes ; ensemble, elles doivent concourir à ce que l’équation f (x, y) = c soit satisfaite. Si x
est choisie comme variable indépendante (c’est-à-dire que les valeurs de x sont choisies librement),
la variable y dépend alors de x afin d’arriver à satisfaire l’équation f (x, y) = c. Bien entendu, on
peut échanger les rôles de x et de y.
Exemple 11. Dans le cas où x2 − y = 1, on voit explicitement la dépendance de y par rapport
à x en réécrivant l’équation ainsi : y = x2 − 1. Si l’on choisit y comme variable indépendante,
√ la
2
dépendance
de
x
par
rapport
à
y
s’exprime
par
x
=
y
+
1
ou
par
les
deux
équations
x
=
y+1
√
et x = − y + 1.
Exemple 12. Avec f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 40, l’équation de la courbe de niveau c est
f (x, y) = c ou
x3 + y 3 − 3x − 12y + 40 = c.
Encore une fois, quand x est une variable indépendante, y est dépendante, et inversement. La
dépendance de y par rapport à x ou de x par rapport à y ne peut être explicitée comme ce fut fait
lors de l’exemple précédent, car ici l’algèbre ne permet pas d’isoler une des variables en termes
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
185
de l’autre. C’est l’exigence que l’équation f (x, y) = c soit satisfaite qui définit la dépendance
de y par rapport à x (ou réciproquement), auquel cas on dit que y est définie implicitement
comme fonction de x.
2
2
Exemple 13. La fonction C = C(x, y) = e−(x +4y ) peut représenter, par exemple, une concentration en chaque point (x, y) du plan xOy. La concentration est 1 en (0, 0) et elle décroît si
l’on s’éloigne de l’origine. Les valeurs prises par la fonction C(x, y) sont égales pour les points
d’une même courbe de niveau. Chacune de ces courbes est en fait une ellipse (figure 3.2).
Figure 3.2
Ces courbes de niveau ont été obtenues comme suit :
2
2
k = e−(x +4y ) ⇐⇒ ln k = − x2 + 4y 2
(0 < k ≤ 1, car ln k ≤ 0 ⇐⇒ 0 < k ≤ 1)
⇐⇒ x2 + 4y 2 = − ln k
⇐⇒ √
x
2
− ln k
2 + √
(0 < k ≤ 1)
y
2
2 = 1
− ln k/2
Il s’agit de l’équation d’ellipses centrées à l’origine.
Figure 3.3
(0 < k ≤ 1) .
186
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Le graphe est une surface avec un sommet, situé ici à l’altitude 1 au-dessus de l’origine
(figure 3.3).
Exemple 14. La figure 3.4 décrit la carte topographique de la fonction
f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 40,
mais n’indique pas la valeur de f associée à chaque courbe de niveau. Si la valeur de f était
indiquée, on pourrait conclure qu’il y a un sommet au-dessus d’une région du troisième quadrant
et un creux (une cuvette) au-dessus d’une région du premier quadrant.
Figure 3.4
Le graphe (ou la surface) illustre le tout (figure 3.5).
Figure 3.5
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
187
Exemple 15. La longueur du jour (en heures) est une fonction de la latitude (en degrés) et de
la position du jour dans l’année. Ces variations sont d’une grande importance, non seulement en
botanique et en biologie, mais aussi en ce qui concerne les différents aspects de l’activité humaine.
En recueillant des données empiriques, on peut obtenir suffisamment de points (n, θ, L) pour
ébaucher une surface (assez semblable à la figure 3.6) comme représentation géométrique de la
fonction L, où
n
= rang, dans l’ordre numérique attribué à chaque jour de l’année ;
θ
= latitude, en degrés ;
L = longueur du jour en heures (du lever au coucher du soleil).
Figure 3.6
Pour la figure 3.6, on a utilisé simplement
2πn
πθ
L = L(θ, n) = 12 1 − cos
sin
.
365
180
√
Exemple 16. En considérant l’équation z = f (x, y) = 1 − x2 , on constate que la variable y
est absente de la formule, de sorte que la correspondance
p
(x, y) 7→ 1 − x2
associe à chaque couple (x, y) ∈ D(f ) une valeur qui ne dépend que de l’abscisse x. Le domaine
est ici |x| ≤ 1 et y ∈ R, car
1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1.
Les courbes de niveau, quant à elles, sont des droites parallèles à l’axe des y.
En effet, nous avons
p
c = 1 − x2 ⇐⇒ x2 = 1 − c
(0 ≤ c ≤ 1)
où il n’y a aucune condition quant à la variable y.
√
⇐⇒ x = ± 1 − c
(0 ≤ c ≤ 1) ,
188
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
1
Par exemple, la courbe de niveau est donnée par f (x, y) = 1/2, une équation en x et y qui
2
√
√
s’écrit 1 − x2 = 1/2, d’où l’on tire que x = ± 3/2. Puisque les valeurs
√ de y sont arbitraires,
√
cela décrit deux droites parallèles formées respectivement des points ( 3/2, y) et (− 3/2, y)
dans le plan xOy.
√
La surface z = f (x, y) = 1 − x2 est la moitié supérieure du cylindre circulaire droit de rayon
1 dont
√ l’axe de symétrie est l’axe des y. En effet, dans le plan vertical xOz, où y = 0, l’équation
z = 1 − x2 décrit la partie supérieure d’un cercle de rayon 1, car nous avons
p
z = 1 − x2 ⇐⇒ x2 + z 2 = 1 avec z ≥ 0.
On retrouve cette forme dans tout plan vertical d’équation y = constante,
√ ce qui explique et
justifie l’existence de notre demi-cylindre. La surface z = g(x, y) = − 1 − x2 est la partie
inférieure du même cylindre.
Une seule équation x2 + z 2 = 1 englobe les deux fonctions ci-dessus et décrit donc le cylindre
complet. Le contexte doit toutefois préciser qu’il s’agit d’un lien entre x, y et z, où y est absente.
Exemple 17. En se référant à l’exemple précédent, on conclut que les deux cylindres circulaires
droits de rayon a et dont les axes de symétrie sont respectivement l’axe des x et l’axe des z ont,
comme équations respectives, y 2 + z 2 = a2 et x2 + y 2 = a2 (dans ce dernier cas, y est fonction
de x et de z, z étant absente).
x2 y 2
+
=1
a2 b2
2
représente, dans l’espace, un cylindre elliptique vertical , alors que l’équation z = y représente,
dans R3 , un cylindre parabolique , soit une vallée en U dont le fond coïncide avec l’axe des x.
Exemple 18. Dans la foulée des deux exemples précédents, on dira que l’équation
Pour une fonction de trois variables w = f (x, y, z), on parle de surface de niveau. Ainsi, étant
donné c ∈ I(f ), alors la surface de niveau c est l’ensemble des points (x, y, z) tels que f (x, y, z) = c,
ce qui (sauf exception occasionnelle) décrit une surface dans R3 .
Exemple 19. Étant donné la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 et soit c ≥ 0, alors la surface
2
2
2
de niveau c est l’ensemble des points (x, y, z) tels que
√ x + y + z = c, soit les points (x, y, z)
situés sur la sphère centrée en l’origine et de rayon c.
3.2
Dérivées partielles et différentielle totale
Lorsque nous utilisons des fonctions à plusieurs variables, il peut être intéressant de se demander
s’il est possible de définir le concept de dérivation.
3.2.1
Dérivées partielles
Soit z = f (x, y), une fonction de deux variables réelles. Si l’on fixe la valeur d’une de ces deux
variables, disons y, la fonction f peut alors être considérée comme une fonction d’une variable, soit
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
189
la variable x. On peut alors évaluer la dérivée de f par rapport à x, comme on le fait habituellement
pour une fonction d’une variable réelle. Voilà essentiellement ce qu’on entend par la dérivée partielle
de f par rapport à x.
Exemple 20. Considérons la fonction f (x, y) = x2 + y 2 . Si l’on fixe la variable y, disons en
posant y = 1, alors f (x, 1) = x2 + 1. On peut donc considérer la dérivée de f par rapport à x
d
pendant que y est maintenue constante, auquel cas
f (x, 1) = 2x.
dx
On aurait pu aussi considérer la dérivée de f par rapport à y pendant que x conserve une valeur
d
constante, en posant, par exemple, x = 2, auquel cas
f (2, y) = 2y.
dy
Face à un tel cas de figure, pour indiquer clairement que x est la variable par rapport à laquelle on
dérive, pendant que la variable y conserve une valeur constante (c’est-à-dire qu’elle est fixée), on
∂f
introduit la nouvelle notation
ou fx et le nouveau terme dérivée partielle de f par rapport
∂x
∂f
ou fy et le nouveau terme dérivée partielle de f par rapport
à x . Il en est de même avec
∂y
à y.
Ainsi, pour évaluer la dérivée partielle par rapport à x (respectivement y), il suffit de considérer
toutes les autres variables comme des constantes et dériver par rapport à x (respectivement y).
Exemple 21.
i) Soit f (x, y) = x2 + 4xy + y 3 , alors
∂f
= 2x + 4y
∂x
et
∂f
= 4x + 3y 2 .
∂y
et
∂f
= 2x sin y cos y = x sin 2y.
∂y
ii) Soit f (x, y) = cos (2x) + x sin2 y, alors
∂f
= −2 sin (2x) + sin2 y
∂x
Exemple 22. Considérons la fonction (soit l’indice de refroidissement)
√
C = C(v, T ) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T )
et les conditions P0 = (v0 , T0 ) = (4, 5, −15).
Si l’on calcule le taux moyen de variation de C entre P0 et P1 = (5, 5, −15), à savoir le rapport
C(P1 ) − C(P0 )
, on a un accroissement sur la première variable v, alors que T conserve la valeur
−−−→
| P0 P1 |
−15. Le taux instantané associé à cette situation est la dérivée partielle
∂C
1
5
(P0 ) = 0 + 10 √ − 1 (33 − T )
= √
− 1 (33 + 15) ≈ 65, 14.
∂v
2 v
P0
4, 5
Le taux moyen, qui vaut 59,47, est une approximation du taux instantané. Qu’obtiendrait-on
si l’on calculait le taux moyen de variation de la fonction C entre P0 = (4, 5, −15) et divers
190
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
points (v, −15), en prenant des abscisses v se rapprochant de 4, 5, telles que 4, 6, 4, 59, 4, 58,
· · · ? Les résultats seraient de plus en plus près du taux instantané calculé ci-dessus.
Le taux moyen de variation de la fonction C(v, T ) ci-dessus entre P0 = (4, 5, −15) et P2 =
C(P2 ) − C(P0 )
(4, 5, −14) est
≈ −27, 16.
|P0~P2 |
Le taux instantané associé à cette situation est la dérivée partielle
p
√
∂C
= −(10, 45 + 10 4, 5 − 4, 5) = −27, 16.
(P0 ) = (10, 45 + 10 v − v)(0 − 1)
∂T
P0
Or, ce résultat est identique au taux moyen de variation de C entre P0 et P2 . Est-ce un hasard ?
Non, c’est un cas particulier, car, en général, on trouve des résultats différents, comme le montre
d’ailleurs le calcul précédent. Dans notre cas particulier, les taux moyens et les taux instantanés,
calculés avec√T croissante et v maintenue constante, sont toujours identiques, car l’expression
(10, 45 + 10 v − v)(33 − T ) est une fonction linéaire de T lorsque
√ v est maintenue constante.
Dans ce cas-là, le coefficient de T est la constante −(10, 45 + 10 v − v), qui représente la valeur
du taux de variation.
Étant donné une fonction de trois variables f (x, y, z), on définit de la même manière les dérivées
partielles
∂f
,
∂x
∂f
,
∂y
∂f
.
∂z
∂f
Par exemple, dans le cas de
, il suffit de considérer les variables y et z comme des constantes et
∂x
de dériver par rapport à x.
Exemple 23. Si f (x, y, z) = x2 + 3xyz + y 2 + z 2 , nous avons
∂f
= 2x + 3yz,
∂x
∂f
= 3xz + 2y,
∂y
∂f
= 3xy + 2z.
∂z
Exemple 24. Considérons la fonction
12, 87
f (P, T, V ) = P +
(V − 0, 1142) − 0, 08205T,
V2
rencontrée lors de l’étude du gaz réel isobutane (2-méthyl propane), avec les conditions P = 2,
T = 300 et V = 11, 88549, considérées comme les coordonnées du point A = (P, T, V ) =
∂f
∂f
∂f
(A),
(A) et
(A), on procède
(2, 300, 11, 88549). Pour calculer les dérivées partielles
∂P
∂T
∂V
comme suit : dans le premier cas, on dérive la fonction f par rapport à la variable P , alors que
T et V sont considérées constantes (respectivement 300 et 11,88549). On obtient donc :
∂f
∂P
=
(1 + 0)(V − 0, 1142) − 0,
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
∂f
(A) =
∂P
Dans le deuxième cas, on obtient
191
11, 88549 − 0, 1142 = 11, 77129.
∂f
(A) = 0 − 0, 08205 × 1 = −0, 08205.
∂T
∂f
Enfin, l’expression générale pour
est :
∂V
12, 87
∂f
2 × 12, 87
(V − 0, 1142) + P +
(1 − 0) − 0,
= 0−
∂V
V3
V2
de sorte que
∂f
(A) = 1, 91065.
∂V
3.2.2
Le plan tangent à une surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
Comme on l’a vu à la page 183, l’équation z = f (x, y) représente une surface dans R3 . (On peut
maintenant consulter la figure 3.14, page 211, pour suivre pas à pas ce qui sera exposé ici.) Soit
∂f
(x0 , y0 ) représente
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )), un point sur cette surface. De par sa définition, l’expression
∂x
la pente de la courbe C « couchée sur la surface » et qui est dans une direction parallèle à l’axe
des x. Considérons alors le vecteur ~u = (1, 0, fx (x0 , y0 )), qui est perpendiculaire à l’axe des y et dont
fx (x0 , y0 )
la pente relativement au plan xOz est
= fx (x0 , y0 ). Il s’agit d’un vecteur tangent à la
1
courbe C, puisque fx (x0 , y0 ) représente la pente de C au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). De même, on
construit le vecteur ~v = (0, 1, fy (x0 , y0 )), qui est perpendiculaire à l’axe des x et dont la pente
fy (x0 , y0 )
= fy (x0 , y0 ). Les vecteurs ~u et ~v engendrent alors un plan
par rapport au plan yOz est
1
qui est lui-même tangent à la surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Soit ~n = ~u × ~v , le
produit vectoriel (voir appendice A, Calcul vectoriel, page 311) de ~u et ~v ; ~n est donc un vecteur
perpendiculaire au plan tangent cherché. On obtient donc
~n = (1, 0, fx (x0 , y0 )) × (0, 1, fy (x0 , y0 )) = (−fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1).
Il s’ensuit que l’équation du plan tangent est donnée par l’équation vectorielle
~n • ((x, y, z) − (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) = 0,
qui est équivalente à l’équation analytique
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
Exemple 25. Pour obtenir l’équation du plan tangent à la surface f (x, y) = x2 + y 2 au point
(2, 2, 8), on calcule d’abord
fx (2, 2) = 2x
=4
(2,2)
et
fy (2, 2) = 2y
= 4.
(2,2)
192
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
On obtient alors comme équation du plan tangent (figure 3.7)
z = 8 + 4(x − 2) + 4(y − 2),
c’est-à-dire z = 4x + 4y − 8.
Figure 3.7
3.2.3
Différentielle totale et calculs d’erreurs
Tout d’abord, rappelons la notion de différentielle pour les fonctions d’une variable. Si une fonction
f (x) est dérivable au point x = x0 , on a
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
,
∆x→0
∆x
f 0 (x0 ) = lim
ce qui veut dire
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
≈ f 0 (x0 ).
∆x
Ainsi, pour un certain ε petit, on a
(2)
(3)
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) + ε.
∆x
Remarquons par ailleurs que la relation (2) peut s’écrire, en posant x = x0 + ∆x,
(4)
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ),
ce qui revient à dire que la fonction y = f (x) peut être approximée au voisinage du point x = x0
par sa tangente y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). C’est d’ailleurs ce que montre la figure 3.8.
Revenons à (3), qu’on peut écrire comme suit :
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )∆x + ε∆x.
En posant ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ), cette dernière équation devient
∆f = f 0 (x0 )∆x + ε∆x,
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
193
ou, en d’autres termes, puisque le terme ε∆x est négligeable par rapport au terme f 0 (x0 )∆x,
(5)
∆f ≈ f 0 (x0 )∆x.
Figure 3.8
Si l’on considère une illustration montrant la distinction entre ∆f et le segment identifié df
(figure 3.9), on voit que ∆f ≈ df , ce qui revient à (5), car df = f 0 (x0 ) ∆x, étant donné que
df
.
∆x
La différentielle de f au point x = x0 , qu’on désigne par df , est définie par
f 0 (x0 ) = pente de la tangente =
(6)
df = f 0 (x0 ) ∆x = f 0 (x0 ) dx,
car ∆x et dx sont interchangeables. Le fait que ∆x et dx sont interchangeables est observable non
seulement à la figure 3.10 avec la fonction g(x) = x, mais aussi d’après le simple calcul suivant :
d(g)
Figure 3.9
=
d(x) = dx, d’une part,
=
g 0 (x0 )∆x = (1)∆x = ∆x, d’autre part.
Figure 3.10
Tout comme la relation (4) permettait d’approximer f (x), près d’un point x0 , par sa tangente au
point x0 , on se propose maintenant de faire de même avec une fonction f (x, y), près d’un point
(x0 , y0 ), grâce au plan tangent au point (x0 , y0 ).
Soit f (x, y), une fonction de deux variables telle que fx et fy existent et sont continues en un point
194
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
(x0 , y0 ) situé à l’intérieur du domaine de définition de f . On ajoute un petit accroissement ∆x à x0
et un petit accroissement ∆y à y0 , puis on examine le comportement de
def
(7)
∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ).
On observe que
(8)
∆f = (f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)) + (f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )) .
Dans le premier terme de (8), seule la variable x change. On peut donc utiliser le théorème des
accroissements finis pour les fonctions d’une variable, lequel affirme que si g(x) est dérivable au
voisinage de x0 , alors
g(x0 + ∆x) − g(x0 ) = g 0 (x0 + θ∆x) · ∆x
(0 < θ < 1).
C’est pourquoi le premier terme de (8) peut s’écrire
(9)
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) = fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)∆x
(0 < θ1 < 1).
De même, le deuxième terme de (8) peut s’écrire
(10)
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y
(0 < θ2 < 1).
En substituant (9) et (10) dans (8), on obtient
∆f = fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)∆x + fy (x0 , y0 + θ2 ∆y)∆y
(0 < θ1 , θ2 < 1).
Puisqu’on a supposé que les fonctions fx et fy sont continues au point (x0 , y0 ), on peut écrire
fx (x0 + θ1 ∆x, y0 + ∆y)
= fx (x0 , y0 ) + ε1 ,
fy (x0 , y0 + θ2 ∆y)
= fy (x0 , y0 ) + ε2 .
Les quantités ε1 = ε1 (∆x, ∆y) et ε2 = ε2 (∆x, ∆y) tendent alors vers 0 lorsque ∆x et ∆y tendent
vers 0. On peut donc écrire
(11)
∆f = fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y.
Cette dernière relation signifie essentiellement que
∆f ≈ fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y.
C’est dans cet esprit qu’on introduit la différentielle totale de f (x, y) au point (x0 , y0 ). On désigne
la différentielle totale de f(x,y) au point (x0 , y0 ) par df et on la définit par
(12)
ou
df
= fx (x0 , y0 ) ∆x + fy (x0 , y0 ) ∆y,
df
= fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy,
car ∆x et dx sont interchangeables, de même que ∆y et dy. On peut se référer à l’explication qui
suivait (6), mais en l’appliquant ici avec les fonctions g(x, y) = x et h(x, y) = y.
On considère les trois objets suivants : le point P0 = (x0 , y0 ), le plan tangent à la surface de f (x, y)
au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )), décrit par
z = z(x, y) = f (P0 ) + fx (P0 )(x − x0 ) + fy (P0 )(y − y0 ),
et, enfin, le point Q0 = (x0 + ∆x, y0 + ∆y). On constate alors que la définition (7) donne la différence
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
195
∆f = f (Q0 ) − f (P0 ), alors que la définition (12) donne la différence df = z(Q0 ) − z(P0 ), parce que
z(Q0 ) − z(P0 )
=
(f (P0 ) + fx (P0 )(x0 + ∆x − x0 ) + fy (P0 )(y0 + ∆y − y0 ))
− (f (P0 ) + 0 + 0)
= fx (P0 )∆x + fy (P0 )∆y
=
df, par définition.
La figure 3.14, page 211, pourra aider à visualiser géométriquement ∆f et df , grâce à une méthode
semblable à celle utilisée à la figure 3.9.
La relation (11) peut également s’écrire sous la forme
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y,
ce qui signifie essentiellement que lorsque ∆x et ∆y sont suffisamment petits,
(13)
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y.
Géométriquement, la dernière relation exprime aussi le fait que la fonction f (x, y) peut être
approximée au voisinage du point (x0 , y0 ) par notre plan tangent.
Dans le cas d’une fonction de trois variables f (x, y, z), la différentielle totale de f (x, y, z) au
point (x0 , y0 , z0 ) est définie par
(14)
df = fx (x0 , y0 , z0 ) dx + fy (x0 , y0 , z0 ) dy + fz (x0 , y0 , z0 ) dz.
L’analogue de (13) pour les fonctions de trois variables est
(15)
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + fx (x0 , y0 , z0 )∆x + fy (x0 , y0 , z0 )∆y + fz (x0 , y0 , z0 )∆z.
Cette dernière formule, ou encore celle de la différentielle totale df , permet donc d’obtenir une
approximation de la fonction f au voisinage du point (x0 , y0 , z0 ).
Exemple 26. Supposons qu’on cherche à mesurer l’augmentation du volume V d’une boîte de
métal de dimensions x = 10 cm, y = 20 cm et z = 30 cm sous l’effet de la chaleur, sachant que
chacune de ces trois dimensions augmentera d’environ 1 cm. On utilise la formule (15), puisque
V = xyz et que ∆x = ∆y = ∆z = 1, et on obtient
V (11, 21, 31)
≈ V (10, 20, 30) + Vx (10, 20, 30)∆x + Vy (10, 20, 30)∆y + Vz (10, 20, 30)∆z
=
6000 + yz
+ xz
(10,20,30)
=
+ xy
(10,20,30)
(10,20,30)
6000 + 600 + 300 + 200 = 7100.
L’augmentation approximative dV est donc 1100 cm3 . On aurait pu, bien sûr, obtenir dV = 1100
en utilisant la formule de la différentielle donnée en (14).
Exemple 27. Si la marge d’erreur sur x peut aller jusqu’à 2 %, quelle sera la marge d’erreur
dans l’évaluation de la quantité f (x) = xe−x ?
196
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
La donnée du problème est
∆x
≤ 0, 02. Il s’avérera utile de la réécrire sous la forme
x
|∆x| ≤ 0, 02|x|,
à partir du fait que
∆x
|∆x|
est identique à
.
x
|x|
∆f
, et cela dans le but d’obtenir un résultat en pourcentage qui nous donnera
f
l’erreur relative. On obtient
On recherche
∆f ≈ df
= f 0 (x) ∆x
(e−x − xe−x ) ∆x,
(e−x − xe−x )∆x
=
xe−x
1
=
− 1 ∆x.
x
=
d’où
∆f
df
≈
f
f
Il s’ensuit que
df
∆f
≈
f
f
=
≤
1
− 1 |∆x|
x
1
− 1 (0, 02)|x|,
x
selon la deuxième forme de la donnée, ce qui entraîne une inégalité. Après un regroupement des
termes, on tire la conclusion
∆f
df
≈
f
f
1
− 1)x
x
≤ (0, 02)|1 − x|,
≤ (0, 02) (
ce qui dépend de la valeur de x.
Pour x = 2, on obtient
df
∆f
≈
≤ (0, 02)|1 − 2| = 0, 02,
f
f
soit une erreur allant jusqu’à 2 % sur f , approximativement.
Si x = 10, on a plutôt
∆f
df
≈
≤ (0, 02)|1 − 10| = 0, 18,
f
f
ce qui signifie que des fluctuations allant jusqu’à 2 % autour de x = 10 entraînent des fluctuations
sur f (x) = xe−x pouvant aller jusqu’à 18 %, approximativement.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
197
Exemple 28. Si x = x0 = 1 et y = y0 = 2, estimons comment un accroissement de ∆x = 0, 1 à
x0 = 1 et une diminution de ∆y = −0, 05 à y0 = 2 modifieront la valeur f (1, 2) de f (x, y) = xey .
En fait, on se demande quelle sera la modification ∆f sur f (1, 2). On fait l’estimation, telle que
demandée, à l’aide de la différentielle :
∆f ≈ df = fx ∆x + fy ∆y = ey ∆x + xey ∆y,
ce qui donne, avec les valeurs numériques précédentes,
∆f ≈ df = e2 × 0, 1 + 1 × e2 × (−0, 05) = e2 (0, 1 − 0, 05) = 0, 369.
En guise de comparaison, prenons la peine de calculer ∆f selon la définition (car on a suffisamment d’informations). On a ainsi
∆f = f (1 + ∆x, 2 + ∆y) − f (1, 2) = f (1, 1, 1, 95) − f (1, 2) = 1, 1 × e1,95 − 1 × e2 = 0, 343.
L’approximation calculée pour l’erreur n’était donc pas tout à fait précise, malgré le fait qu’elle
nous donnait une idée de son ordre de grandeur (environ 0,37 au lieu de 0,34).
Exemple 29. On reprend l’exemple précédent en considérant des valeurs de x pouvant se situer
à ±0, 1 autour de x0 = 1 et des valeurs de y fluctuant jusqu’à ±0, 05 autour de y0 = 2. On veut
maintenant estimer les fluctuations obtenues autour de la valeur f (1, 2).
Cette fois, les données sont
|∆x| ≤ 0, 1
et
|∆y| ≤ 0, 05,
soit des inégalités. On veut estimer |∆f |. Les valeurs absolues sont nécessaires, car on s’attend
à des résultats supérieurs ou inférieurs à la valeur f (1, 2).
Voici les premiers calculs :
∆f ≈ df = fx ∆x + fy ∆y = ey ∆x + xey ∆y.
Ces premiers calculs ne sont pas satisfaisants, car les données concernent |∆x| et |∆y|, et non
∆x et ∆y. On considère donc les valeurs absolues :
|∆f | ≈ |df | = |ey ∆x + xey ∆y| ≤ |ey ∆x| + |xey ∆y|,
selon l’inégalité triangulaire. On obtient ainsi
|∆f | ≈ |df | ≤ ey |∆x| + |x|ey |∆y| ≤ ey × 0, 1 + |x|ey × 0, 05,
l’usage des données créant une nouvelle inégalité dans le même sens que la précédente. En
substituant nos valeurs numériques, on obtient la conclusion
|∆f | ≈ |df | ≤ e2 × 0, 1 + 1 × e2 × 0, 05 = 1, 108,
ce qui décrit des fluctuations autour de f (1, 2) pouvant aller approximativement jusqu’à ±1, 108.
Exemple 30. Supposons que les valeurs x et y sont lues expérimentalement avec des erreurs
relatives pouvant aller respectivement jusqu’à 2 % et 3 %. On s’intéresse à la marge d’erreur que
198
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
cela entraîne dans l’évaluation de f (x, y) = xey . Quelle est cette marge d’erreur si les valeurs
expérimentales sont x0 = 1 et y0 = 2 ? Et quelle est-elle si les valeurs expérimentales sont x0 = 2
et y0 = 3 ? Nos données sont des inégalités concernant des erreurs relatives :
∆x
≤ 0, 02 ou |∆x| ≤ 0, 02|x|
x
et
∆y
≤ 0, 03 ou |∆y| ≤ 0, 03|y|.
y
∆f
afin d’avoir une erreur relative, car il est coutumier de fournir une réponse
f
dans une forme identique à celle des données. Comme dans les exemples précédents, on a
On doit estimer
∆f ≈ df = fx ∆x + fy ∆y = ey ∆x + xey ∆y,
d’où
∆f
df
ey ∆x + xey ∆y
∆x
≈
=
=
+ ∆y.
f
f
xey
x
À noter que les données sont exprimées avec des valeurs absolues, ce que nous n’avons pas
encore à ce stade-ci des calculs. Alors,
∆x
df
∆x
∆f
≈
=
+ ∆y ≤
+ |∆y| ≤ 0, 02 + 0, 03|y|,
f
f
x
x
la première inégalité provenant de l’inégalité triangulaire, et la deuxième inégalité, toujours
dans le même sens, étant déterminée par l’utilisation des données (l’une et l’autre des deux
formes possibles s’avérant utiles).
On voit que le résultat dépend de la valeur de y, mais pas de celle de x. Quand x = 1 et y = 2,
on trouve
∆f
df
≈
≤ 0, 02 + 0, 03|2| = 0, 08,
f
f
soit une erreur sur f pouvant aller jusqu’à 8 %, approximativement. Cependant, si x = 2 et
y = 3, on a
∆f
df
≈
≤ 0, 02 + 0, 03|3| = 0, 11,
f
f
soit une erreur sur f pouvant aller (approximativement) jusqu’à 11 %, cette fois.
On constate donc qu’en général, les erreurs relatives ne s’additionnent pas. Cependant, il peut
arriver, dans certains cas particuliers, qu’elles le fassent.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
3.3
199
Dérivées des fonctions composées
Pour calculer la dérivée de sin t2 , on calcule d’abord la dérivée de la fonction sin et, ensuite, la
dérivée de t2 , auquel cas on obtient
d
sin t2 = (cos t2 ) · 2t = 2t cos t2 .
dt
On a en fait appliqué la règle de dérivation des fonctions composées.
Règle de dérivation des fonctions composées : Soit une fonction f (x) dérivable par rapport
à x, et supposons que x est une fonction de t, c’est-à-dire x = x(t), et que x0 (t) existe ; alors,
la fonction f est dérivable par rapport à t et
d
df
df dx
f (x(t)) =
=
·
.
dt
dt
dx dt
Dans l’exemple ci-dessus, f (x) = sin x et x = t2 , de sorte que
df
= (cos x) · 2t = 2t cos t2 .
dt
−0,1x
Exemple 31. La fonction f (x) = e−2e
est un exemple de croissance de Gompertz. Ici, f
croît à partir de la valeur f (0) = e−2 = 0, 135 pour s’approcher de la valeur e0 = 1 avec x → ∞.
On peut écrire
−0,1x
df
= e−2e
× −2e−0,1x × (−0, 1),
dx
ce qui peut, si l’on détaille la démarche, s’exprimer comme suit :
x −→ v −→ u −→ f,
avec indication des règles de correspondance des fonctions f = f (u) = eu , u = u(v) = −2ev et
enfin v = v(x) = −0, 1x, notre dérivée revenant alors à
df
df
du dv
=
×
×
= eu × (−2ev ) × (−0, 1).
dx
du
dv
dx
Nous allons maintenant généraliser cette notion (de dérivées des fonctions composées) aux fonctions
de deux variables.
Soit f (x, y), une fonction dont les dérivées partielles fx et fy existent et sont continues dans un
domaine D. Supposons de plus que les variables x et y soient elles-mêmes des fonctions d’une
troisième variable t, c’est-à-dire x = x(t) et y = y(t). Il en résulte que la fonction f est alors une
fonction d’une seule variable, soit de la variable t.
200
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Exemple 32. Si f (x, y) = x + y, avec x = sin t et y = cos t, alors f est en réalité une fonction
de t, puisque
f (x, y) = x + y = sin t + cos t.
Il est donc possible de considérer la dérivée de cette fonction par rapport à t, auquel cas, dans
df
= cos t − sin t.
l’exemple ci-dessus, on aurait
dt
df
∂f
Remarquons que nous avons écrit
et non
. Cela s’explique par le fait que nous considérons
dt
∂t
maintenant la fonction f comme une fonction d’une seule variable, à savoir t.
Notons qu’il est possible de dériver la fonction f par rapport à t sans faire la substitution x = x(t)
et y = y(t) dans f (x, y), mais plutôt en utilisant la définition de f comme une fonction de deux
variables.
D’abord, par la formule de la différentielle totale, on a
(16)
df = fx dx + fy dy.
Par ailleurs, en utilisant la notion de différentielle pour les fonctions d’une variable, et puisque
x = x(t) et y = y(t), on obtient
(17)
et
dx = x0 dt
dy = y 0 dt.
En combinant (16) et (17), on obtient
(18)
df = fx x0 dt + fy y 0 dt = (fx x0 + fy y 0 )dt.
Par ailleurs, si l’on considère f comme une fonction de la seule variable t, alors on peut considérer
la différentielle de f et écrire
(19)
df = f 0 dt =
df
dt.
dt
En combinant (18) et (19), on obtient
(20)
∂f dx ∂f dy
df
= fx x0 + fy y 0 =
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
On peut associer cette formule au schéma de dépendance suivant (les règles de correspondance de
nos fonctions) :
x
%
&
&
%
f.
t
y
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
201
1
1
Exemple 33. Soit f (x, y) = x2 + y 2 . Supposons que x = x(t) = t − et que y = y(t) = t + .
t
t
df
On souhaite calculer
. Alors, d’après (20), on obtient
dt
df
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
1
1
= 2x · 1 + 2 + 2y · 1 − 2
t
t
1
1
1
1
= 2 t−
· 1+ 2 +2 t+
· 1− 2
t
t
t
t
4
= 4t − 3 .
t
On peut généraliser le résultat exprimé en (20) aux fonctions de plus de deux variables comme suit :
Théorème Soit f (x1 , x2 , · · · , xn ), une fonction telle que ses dérivées partielles
fx1 , fx2 , · · · , fxn existent et sont continues à l’intérieur d’un domaine D. Supposons de plus
que les xi soient des fonctions de t, c’est-à-dire que xi = xi (t) pour i = 1, 2, · · · , n, et que
chacune de ces fonctions xi (t) soit dérivable par rapport à t. Alors,
df
∂f dx1
∂f dx2
∂f dxn
=
+
+ ··· +
.
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
∂xn dt
Qu’en est-il si, pour une fonction f (x, y) donnée, les variables x et y sont elles-mêmes des fonctions
de deux variables (et non des fonctions d’une seule variable) ? Dans un tel contexte, on a le résultat
suivant :
Théorème Soit f (x, y), une fonction telle que ses dérivées partielles fx et fy existent et sont
continues à l’intérieur d’un domaine D. Supposons de plus que x = x(r, s) et y = y(r, s), et
∂x ∂x ∂y ∂y
que leurs dérivées partielles
,
,
,
existent et qu’elles soient continues. Alors,
∂r ∂s ∂r ∂s
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
·
+
·
,
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂f
∂f ∂x ∂f ∂y
=
·
+
·
.
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
Exemple 34. Considérons un gaz dont la pression P , le volume V et la température T obéissent
à la formule
T
P = 0, 08205 ,
V
soit un cas particulier de (1), page 179, avec k = 0, 08205. Supposons qu’à un moment particulier,
202
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
on observe que V = 32 et qu’il diminue au taux de 4 unités par minute. Au même moment,
T = 274 et augmente au taux de 1,5 unité par minute. Dans ces conditions, à quel taux (vitesse)
la pression varie-t-elle par minute ?
Pour répondre à cette question, on procède comme suit. D’abord, on pose t = t1 , soit l’instant
correspondant aux observations précédentes. On sait que T et V varient en fonction du temps
t, mais seules les valeurs en t = t1 sont connues, de même que les taux de variation au même
instant :
dT
(t1 ) = 1, 5,
T (t1 ) = 274,
dt
dV
V (t1 ) = 32,
(t1 ) = −4.
dt
Les représentations graphiques de ces données sont les suivantes, où les ondulations servent
à indiquer qu’on ne connaît ni les expressions ni les courbes de T et de V en fonction de t
(figures 3.11 et 3.12).
Figure 3.11
Figure 3.12
Grâce au schéma suivant, on peut traduire le fait que P dépend de t par l’intermédiaire de T et
de V :
T
%
&
&
%
P.
t
V
Pour calculer
dP
(t1 ), tel que demandé précédemment, on fait appel à (20) et on obtient
dt
dP
∂P dT
∂P dV
0, 08205 dT
0, 08205T dV
=
+
=
+ −
.
dt
∂T dt
∂V dt
V
dt
V2
dt
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
203
Cette expression évaluée en t = t1 donne
dP
(t1 )
dt
0, 08205 dT
0, 08205T (t1 ) dV
(t1 ) −
(t1 )
V (t1 ) dt
(V (t1 ))2
dt
0, 08205(274)
0, 08205
(−4)
(1, 5) −
=
32
322
= 0, 09165 unité de P par unité de temps
=
(ou atmosphère par minute).
Exemple 35. En chimie physique et en thermodynamique, il arrive de faire face au problème
(simplifié) suivant :
S = ln E,
où S désigne l’entropie d’un système, E l’énergie interne, P et T la pression et la température.
∂S
∂S
et
?
Si E est fonction de P et de T , quelles sont les expressions pour
∂P
∂T
Observons d’abord que S est une fonction composée de P et de T par l’intermédiaire de E, ce
qu’on peut représenter par le schéma de dépendance suivant :
P
&
E
→
S.
%
T
L’expérience acquise jusqu’à maintenant nous permet de traiter sur-le-champ cette nouvelle
situation :
∂S
dS
∂E
1
∂E
=
×
=
×
,
∂P
dE
∂P
E
∂P
∂S
dS
∂E
1
∂E
=
×
=
×
.
∂T
dE
∂T
E
∂T
dS
est simplement écrite comme une dérivée d’une fonction d’une
On aura remarqué que
dE
variable.
Exemple 36. La mesure de l’entropie S d’un système est donné par
S = S(E, V ) = ln E + ln2 V,
où E et V sont chacune des fonctions de P et de T . Il en résulte que S est, à son tour, une
fonction composée de P et de T par l’intermédiaire de E et de V . On peut considérer cette
représentation :
204
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
P
→
E
&
%
&
S.
%
T
→
V
∂S
∂S
et
sont données par
∂P
∂T
∂S
∂S
∂E
∂S
∂V
1
∂E
2 ln V
∂V
=
×
+
×
=
×
+
×
,
∂P
∂E
∂P
∂V
∂P
E
∂P
V
∂P
∂S
∂S
∂E
∂S
∂V
1
∂E
2 ln V
∂V
=
×
+
×
=
×
+
×
.
∂T
∂E
∂T
∂V
∂T
E
∂T
V
∂T
Bien entendu, on peut calculer les dérivées partielles restantes dès que E et V , qui sont des
fonctions de P et de T , sont spécifiées. Dans certains cas, ces dérivées partielles sont données
comme observations (numériques) pour des valeurs particulières (observées) de P et de T , d’une
manière analogue à ce qu’on retrouve à l’exemple 34, page 201.
Alors, les expressions des dérivées partielles
Exemple 37. En revenant à l’exemple précédent, on voit que P et T pourraient varier en
fonction du temps t, de sorte que S serait une fonction composée de la variable t, selon le
schéma de dépendance suivant :
P
→
E
%
&
%
&
t
S,
&
%
T
→
V
dS
.
dt
Dans ce cas, comme dans tout autre cas qu’on pourrait rencontrer par la suite, on ne procédera
pas par des propositions et des démonstrations formelles, on se bornera plutôt à donner ici la
règle qui s’appliquera uniformément, comme dans les autres cas traités : le taux de variation de
la quantité à droite d’un schéma de fonction composée, par rapport à une variable à l’extrémité
gauche du schéma, est la somme des termes (d’enchaînement de dérivées) obtenus en passant
dS
par chacun des chemins qui relient les deux quantités. Ainsi, pour obtenir
, on utilise les
dt
quatre chemins reliant S à t et on obtient
à partir duquel on demanderait la dérivée
dS
∂S ∂E dP
∂S ∂E dT
∂S ∂V dP
∂S ∂V dT
=
+
+
+
.
dt
∂E ∂P dt
∂E ∂T dt
∂V ∂P dt
∂V ∂T dt
Remarquons que les symboles ∂ et d occupent les places appropriées.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
205
Exemple 38. Le volume V d’un organisme cylindrique (un micro-organisme, par exemple) est
fonction du rayon r et de la hauteur h. Si une contrainte oblige r à varier selon h, et si h varie
selon le temps t, le schéma le plus « économique » de fonction composée qui permet d’obtenir
dV
l’expression pour
est
dt
r
%
t
→
&
→
h
V.
On en déduit que
∂V dr dh ∂V dh
dV
=
+
.
dt
∂r dh dt
∂h dt
Les deux dérivées de V qui apparaissent à droite sont des dérivées partielles, car V est fonction
des deux variables r et h.
Un autre schéma acceptable est celui qui est obtenu lorsqu’on considère préalablement que h
est elle-même fonction de h ; cette information additionnelle pouvant apparaître explicitement :
r
t
−→
%
&
&
%
V.
h
h
Ici, on aura
dV
∂V dr dh ∂V dh dh
=
+
.
dt
∂r dh dt
∂h dh dt
dh
= 1, on retrouve le même résultat que ci-dessus.
dh
Un troisième schéma possible est
Puisque
h
−→
r
%
&
V,
t
&
%
h
dans lequel il y a répétition de l’information que h est fonction de t. Autrement, il serait
insuffisant de ne considérer que le schéma
206
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
t
−→
h
−→
r
&
V.
%
h
3.4
Dérivées d’ordre supérieur
∂f
Soit f (x, y) = xy 2 + x2 y + 1, alors
= y 2 + 2xy. Or, cette dernière expression peut elle-même être
∂x
dérivée par rapport à x, auquel cas on obtient
∂ 2
∂ ∂f
=
(y + 2xy) = 2y.
∂x ∂x
∂x
On vient donc d’introduire la dérivée partielle d’ordre 2 d’une fonction de deux variables, qu’on
∂2f
ou encore (fx )x ou, tout simplement, fxx . On peut également considérer la
écrira sous la forme
∂x2
dérivée mixte d’une fonction f (x, y), c’est-à-dire
∂ ∂f
.
∂y ∂x
∂2f
ou encore (fx )y ou, tout simplement, fxy . Ainsi, étant donné une fonction
∂y∂x
f (x, y), ses dérivées partielles d’ordre 2 sont
On la désignera par
∂2f
,
∂x2
∂2f
,
∂y 2
∂2f
,
∂y∂x
∂2f
.
∂x∂y
Il est naturel de se demander si ces deux dernières expressions sont égales ! Elles le sont... dès que
la fonction f en question est assez régulière ! C’est précisément ce qu’affirme le résultat suivant :
Théorème de Schwarz Soit f (x, y), une fonction telle que ses dérivées partielles mixtes fxy
et fyx existent et sont continues à l’intérieur d’un domaine D. Alors,
(21)
fxy (a, b) = fyx (a, b)
pour chaque point (a, b) ∈ D.
Exemple 39. Considérons l’équation de van der Waals pour l’isobutane (2-méthyl propane),
écrite sous la forme
0, 08205T
12, 87
P = P (T, V ) =
−
.
V − 0, 1142
V2
En calculant les dérivées secondes de P , on remarque qu’on a une illustration du théorème de
Schwarz. En effet, on a successivement
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
PT
PV
PT T
PT V
PV T
PV V
207
0, 08205
,
V − 0, 1142
2(12, 87)
−0, 08205T
+
,
=
(V − 0, 1142)2
V3
= 0,
−0, 08205
=
,
(V − 0, 1142)2
−0, 08205
=
,
(V − 0, 1142)2
6(12, 87)
2(0, 08205)T
−
.
=
3
(V − 0, 1142)
V4
=
On a bien PT V = PV T , tel que prévu par le théorème de Schwarz, sauf aux points (T, V ) =
(T, 0, 1142) où il n’y a pas continuité de P , PT , PV , PT V et PV T . De surcroît, ces fonctions ne
sont pas définies lorsque V = 0, 1142. Bien entendu, P (T, V ) n’est pas définie lorsque V = 0.
Il va de soi que le théorème de Schwarz peut être généralisé aux dérivées d’ordre supérieur à 2. Ainsi,
on peut facilement démontrer que si les dérivées d’ordre 3 de f (x, y) existent et sont continues en
(a, b), alors, en particulier,
(22)
fxxy (a, b) = fxyx (a, b) = fyxx (a, b)
pour chaque point (a, b) ∈ D. Démontrons seulement la première égalité. Comme il faut montrer
que
(23)
(fx )xy = (fx )yx
et que fx satisfait les hypothèses du théorème de Schwarz, alors (23) découle de (21).
3.5
Dérivée directionnelle, gradient et plan tangent
3.5.1
Dérivée directionnelle
∂f
(x0 , y0 ), ou encore
∂x
fx (x0 , y0 ), celle-ci mesure le taux de variation de f lorsque x se déplace, à partir du point (x0 , y0 ),
dans une direction parallèle à l’axe des x (c’est-à-dire dans la direction du vecteur ~i = (1, 0)).
Selon la discussion et la description, à la section 3.2, de la dérivée partielle
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) mesure le taux de changement de f lorsque y se
∂y
déplace, à partir du point (x0 , y0 ), dans une direction parallèle à l’axe des y (c’est-à-dire dans la
direction du vecteur ~j = (0, 1)). Ainsi,
De même, l’expression
∂f
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )
∂x
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 )
∂y
def
=
def
=
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
,
h
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
lim
.
h→0
h
lim
h→0
208
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Qu’en est-il si l’on se déplace, à partir du point (x0 , y0 ), dans une direction qui n’est pas nécessairement parallèle à l’un des deux axes ? Afin de répondre à cette question, on introduit la notion
de dérivée directionnelle. Cela signifie, en fait, qu’on introduit la dérivée dans la direction d’un
vecteur unitaire ~u = (u1 , u2 ) donné, que l’on désignera par D~u f (x0 , y0 ). La direction est décrite par
un vecteur unitaire afin de réaliser ceci : avec t ≥ 0, le vecteur t~u = (tu1 , tu2 ) est de longueur t, et ce
paramètre compte les unités de distance à partir de (x0 , y0 ), dans la direction choisie. Il est possible
de définir la dérivée directionnelle de la manière suivante :
Soit f (x, y), une fonction telle que fx (x0 , y0 ) et fy (x0 , y0 ) existent et sont continues au point (x0 , y0 ).
La dérivée directionnelle de la fonction f (x, y) au point (x0 , y0 ) dans la direction du vecteur
unitaire ~u = (u1 , u2 ), notée D~u f (x0 , y0 ), est
(24)
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
.
t→0
t
D~u f (x0 , y0 ) = lim
La dérivée directionnelle est donc en unités de f par unité de distance (sur la carte topographique)
à partir de (x0 , y0 ), dans la direction déterminée par ~u.
Le calcul de cette dernière limite peut s’avérer difficile. Aussi, nous allons établir une autre
représentation pour D~u f (x0 , y0 ), d’abord à l’aide d’un support géométrique, puis au moyen de
considérations analytiques.
Dérivées directionnelles : support géométrique
Commençons donc par cette illustration (figure 3.13) dans la carte topographique de f (x, y). Pour
tout point P = (x, y) sur la demi-droite déterminée par ~u, on a
−−→
−−→ −−→
OP = OP0 + P0 P
−−→
= OP0 + t~u,
t étant ici un multiple approprié de ~u, variable selon la position de P et qui représente les unités de
distance à partir de P0 = (x0 , y0 ).
Figure 3.13
On réécrit l’équation vectorielle au moyen des composantes :
(x, y) = (x0 , y0 ) + t(u1 , u2 ),
d’où
x
= x0 + tu1 ,
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
y
209
= y0 + tu2 ,
deux fonctions de t. Donc, pour les points (x, y) sur la demi-droite, on a ce schéma (de dépendance)
de fonction composée :
x
%
&
&
%
t
f.
y
Le taux instantané de variation de f , en P0 , par unité de distance à partir de P0 dans la direction ~u,
df
(car ce dernier taux a les mêmes unités).
que nous avons noté D~u f (P0 ), s’exprime aussi par
dt t=0
Selon l’équation (20), page 200, on conclut que
df
∂f
dx ∂f
dy
(25)
D~u f (P0 ) =
=
(x, y)
+
(x, y)
dt t=0
∂x
dt
∂y
dt t=0
= fx (P0 )u1 + fy (P0 )u2 .
Cette formule simple est utilisable pour un calcul expéditif de la dérivée directionnelle D~u f (P0 ).
Dérivées directionnelles : considérations analytiques
Procédons maintenant en utilisant la démarche analytique. Cette démarche mène à la même formule.
On fixe d’abord t > 0 et on débute avec l’identité
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 + tu2 )
t
f (x0 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
+
.
t
En utilisant le théorème des accroissements finis, il s’avère qu’il existe des nombres θ1 et θ2 tels que
(26)
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
t
=
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 + tu2 ) = fx (x0 + θ1 tu1 , y0 + tu2 ) · tu1
(0 < θ1 < 1)
et
f (x0 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 + θ2 tu2 ) · tu2
(0 < θ2 < 1).
En reportant ces relations dans (26), il s’ensuit que
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
t
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 + tu2 ) f (x0 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
=
+
t
t
fx (x0 + θ1 tu1 , y0 + tu2 ) · tu1
fy (x0 , y0 + θ2 tu2 ) · tu2
=
+
t
t
= fx (x0 + θ1 tu1 , y0 + tu2 ) · u1 + fy (x0 , y0 + θ2 tu2 ) · u2 .
Or, puisque fx et fy sont continues au point (x0 , y0 ), il s’ensuit que limt→0 fx (x0 + θ1 tu1 , y0 + tu2 ) =
fx (x0 , y0 ) et que limt→0 fy (x0 , y0 + θ2 tu2 ) = fy (x0 , y0 ). On peut donc compléter la définition (24)
210
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
en écrivant
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
= fx (x0 , y0 ) · u1 + fy (x0 , y0 ) · u2 ,
t→0
t
D~u f (P0 ) = lim
soit la même conclusion qu’en (25).
Dérivées directionnelles et gradient
En langage vectoriel, on a ainsi établi que
(27) D~u f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) • (u1 , u2 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) • ~u = ∇f (x0 , y0 ) • ~u,
où l’expression ∇f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )) désigne un vecteur appelé gradient de f au
point (x0 , y0 ).
Dérivées directionnelles particulières
On remarque tout de suite que les dérivées partielles de f sont des cas particuliers de la dérivée
directionnelle D~u f (x0 , y0 ). En effet, en posant ~u = ~i = (1, 0) dans (27), on obtient
D(1,0) f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) • (1, 0) = fx (x0 , y0 ).
De même, en posant ~u = ~j = (0, 1) dans (27), on obtient
D(0,1) f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) • (0, 1) = fy (x0 , y0 ).
Exemple 40. Soit f (x, y) = 3x2 y − 4y 2 et ~u =
directionnelle D~u f (2, −1).
1
1
√ , − √ . On veut calculer la dérivée
2
2
Puisque fx = 6xy et fy = 3x2 − 8y, on a fx (2, −1) = −12 et fy (2, −1) = 20. On obtient donc
√
1
1
D~u f (2, −1) = (fx (2, −1), fy (2, −1)) • √ , − √
= −16 2 ≈ −22, 6.
2
2
Par ailleurs, tout vecteur unitaire ~u peut s’écrire sous la forme ~u = (cos θ, sin θ), où θ est l’angle que
fait le vecteur ~u avec l’axe des x positifs.
Il résulte de ce qui précède une autre représentation de la dérivée directionnelle, soit
D~u f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) • (cos θ, sin θ) = fx (x0 , y0 ) cos θ + fy (x0 , y0 ) sin θ.
Exemple 41. On cherche à établir le taux de variation de f (x, y) = x2 y 3 au point (1, 2) dans
π
la direction faisant un angle de
avec l’horizontale.
3
Puisque fx = 2xy 3 et fy = 3x2 y 2 , on a fx (1, 2) = 16 et fy (1, 2) = 12. Posons
√ !
π
π 1
3
~u = cos
, sin
=
,
.
3
3
2 2
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
211
Il s’ensuit que le taux de variation cherché est
D~u f (1, 2) = (fx (1, 2), fy (1, 2)) •
√ !
√
1
3
,
= 8 + 6 3.
2 2
Advenant qu’on cherche le taux de variation de la fonction f (x, y) dans la direction d’un vecteur
~v qui n’est pas nécessairement unitaire, on doit d’abord, afin de pouvoir utiliser la formule (27),
construire le vecteur unitaire qui va dans la même direction que ~v . Pour ce faire, on considère le
vecteur ~u = ~v /|~v |, qui est bien un vecteur unitaire de même direction que le vecteur ~v : on peut alors
utiliser (27).
Exemple 42. On cherche le taux de variation de f (x, y) = x2 + xy 3 au point (1, 2) dans la
direction du vecteur ~v = (3, 4). Pour ce faire, on calcule d’abord
(3, 4)
(3, 4)
3 4
~v
~u =
=√
=
=
,
.
|~v |
5
5 5
32 + 4 2
Utilisons la formule (38) et, puisque fx (1, 2) = 2x + y 3
on obtient
D~u f (1, 2) = (10, 12) •
(1,2)
3 4
,
5 5
= 10 et fy (1, 2) = 3xy 2
=
= 12,
(1,2)
78
.
5
Dérivée directionnelle : une pente de tangente
À la section 3.2.2, on a interprété géométriquement les dérivées partielles en deux variables comme
les pentes des tangentes T1 et T2 sur le dessin qui suit (figure 3.14).
Représentation graphique des tangentes
Figure 3.14
212
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
De la même manière, D~u f (P0 ) en deux variables s’interprète comme la pente de la tangente T3 ,
laquelle se trouve dans le plan vertical formé par les segments P0 Q0 , P0 P et Q0 Q, et qui contient
également la courbe de P à Q, sur la surface.
Exemple 43. On s’intéresse au taux instantané de variation de l’indice de refroidissement
C(v, T ) (introduit aux exemples 10 et 22) à partir des conditions où v = 4, 5 et T = −15,
en supposant que v et T varient simultanément dans un rapport de 1 pour −1. Les conditions
données sont représentées par le point P0 = (4, 5, −15), et la direction selon laquelle on s’éloigne
de P0 est donnée par
1
1
1
(1, −1) = √ , − √
.
~u = p
2
2
12 + (−1)2
Le taux instantané recherché est alors
1
1
D~u C(P0 ) = Cv (P0 ) · √ + CT (P0 ) − √
.
2
2
Les dérivées partielles se retrouvent à l’exemple 22, d’où
1
1
D~u C(P0 ) ≈ (65, 14) · √ + (−27, 16) − √
≈ 65, 27,
2
2
en unités de C par unité de déplacement sur la carte topographique à partir de P0 , dans la
direction ~u. On peut expliciter ce taux instantané en le décrivant
√ comme l’équivalent d’une
augmentation de C de √
65,27 unités, pour un accroissement de 1/ 2 unité de v simultané à une
diminution de T de 1/ 2 unité.
Soit f , une fonction, et P0 , un point donné. Si l’on quitte P0 en suivant une courbe issue de P0 ,
plutôt qu’une droite, il est possible de calculer le taux instantané de variation de f en P0 .
En fait, on cherche le taux instantané de variation de f , au point P0 , dans la direction de la courbe
spécifiée. Or, cette direction au point P0 est celle de la tangente à la courbe, en P0 , qui est une droite.
Le taux instantané requis se calcule donc dans la direction du vecteur unitaire ~u sur la tangente. Le
choix de ~u doit être fait à l’aide de données décrivant la direction en question, comme dans les deux
exemples ci-dessous.
Exemple 44. Soit f (x, y) = x2 + y 2 − xy et P0 = (2, 3). On veut calculer le taux instantané
de variation de f en P0 , si l’on quitte P0 en suivant la courbe y = x2 − 1, où x est croissante.
On doit trouver ~u sur la tangente en P0 à la courbe y = x2 − 1. La pente de la tangente est
dy
= 2x
= 2 × 2 = 4.
dx P0
P0
1
4
Un vecteur dans la direction requise est donc (1, 4) et ~u = √ , √
. On a enfin
17
17
D~u f (P0 )
=
=
(fx (P0 ), fy (P0 )) • ~u
√
1
4
17
1 × √ + 4 × √ = √ = 17,
17
17
17
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
213
où les dérivées partielles 1 et 4 sont faciles à calculer.
Exemple 45. On pose le même problème qu’à l’exemple précédent, mais, cette fois, avec x
décroissante. La direction
la tangente est alors celle du vecteur (−1, −4), le vecteur
à prendre sur 4
1
. Ainsi,
unitaire étant, lui, ~a = − √ , − √
17
17
√
1
4
D~a f (P0 ) = (fx (P0 ), fy (P0 )) • ~a = 1 × − √
+ 4 × −√
= − 17.
17
17
3.5.2
Le gradient d’une fonction de plusieurs variables
On a défini ci-dessus le gradient d’une fonction f (x, y) au point (x0 , y0 ) comme le vecteur (fx (x0 , y0 ),
fy (x0 , y0 )). Pour désigner ce vecteur, on utilise habituellement l’une des deux notations suivantes :
∇f (x0 , y0 ) ou
grad f (x0 , y0 ).
Exemple 46. Considérons un contenant cylindrique dans lequel la concentration d’une substance varie selon la hauteur. Une tranche plane verticale passant par l’axe du cylindre est un
domaine rectangulaire (dans un plan xOy) dans lequel on peut décrire la concentration variable,
qu’on suppose donnée par
C = C(x, y) = 81 − 2y.
Le gradient de concentration est le vecteur
∇C = (Cx , Cy ) = (0, −2),
qui est constant en tout point (x, y). En chaque point, le gradient est un vecteur vertical de
longueur 2, pointant vers le bas. Notre gradient véhicule deux informations à la fois :
— L’idée de différence, de gradation des valeurs de la concentration (différence de 2, par
unité de distance) ;
— L’idée de direction (vers le bas) dans laquelle la concentration augmente.
Les deux idées qui ressortent ici sont caractéristiques du gradient et sont consignées dans la
discussion plus détaillée qui suit concernant les propriétés intéressantes du vecteur ∇f dans R2 .
Propriétés particulières du gradient
Tout d’abord, la longueur de ∇f (x0 , y0 ) représente la plus grande dérivée directionnelle de f au
point (x0 , y0 ). De plus, la direction de ∇f (x0 , y0 ) est la direction qui fournit la plus grande dérivée
directionnelle au point (x0 , y0 ). En effet, on a
D~u f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) • ~u = |∇f (x0 , y0 )| · |~u| cos ϕ = |∇f (x0 , y0 )| · cos ϕ,
où ϕ est l’angle entre ∇f (x0 , y0 ) et ~u. Il s’ensuit que D~u f (x0 , y0 ) est maximale lorsque l’expression
|∇f (x0 , y0 )| · cos ϕ est maximale, c’est-à-dire lorsque cos ϕ = 1, soit lorsque ϕ = 0. La valeur
maximale de D~u f (x0 , y0 ) est donc |∇f (x0 , y0 )|. Il découle de ce qui précède que la valeur maximale
214
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
de D~u f (x0 , y0 ) est atteinte lorsque ~u =
gradient.
∇f (x0 , y0 )
, soit le vecteur unitaire dans la direction du
|∇f (x0 , y0 )|
La même démarche donne −|∇f (P0 )| comme valeur minimale de D~u f (P0 ), obtenue avec cos ϕ = −1,
soit ϕ = π, ce qui correspond à la direction opposée à celle du gradient.
Une autre des propriétés intéressantes du gradient est le fait qu’il soit perpendiculaire aux courbes
de niveau. Soyons plus précis. Soit f (x, y), une fonction, et (x0 , y0 ) ∈ D(f ) tels que fx et fy existent
et sont continues au point (x0 , y0 ). Supposons que ∇f (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Posons c = f (x0 , y0 ) et
considérons la courbe de niveau c, c’est-à-dire la courbe f (x, y) = c. On prétend que ∇f (x0 , y0 ) est
perpendiculaire à cette courbe de niveau au point (x0 , y0 ). Cela, en fait, est presque évident. En
effet, soit ~u, un vecteur unitaire tangent à cette courbe de niveau au point (x0 , y0 ). Il est clair que
D~u f (x0 , y0 ) = 0 puisque le taux d’accroissement de f lorsqu’on se « promène » sur la courbe de
niveau c est nul. Or, D~u f (x0 , y0 ) = 0 si et seulement si
D~u f (x0 , y0 ) = ∇f • ~u = |∇f (x0 , y0 )| · |~u| cos ϕ = 0.
3π
π
ou
, soit lorsque le vecteur
2
2
~u est perpendiculaire au vecteur ∇f (x0 , y0 ). On peut donc conclure que le gradient d’une fonction
f (x, y), en chaque point (x0 , y0 ), est perpendiculaire à la courbe de niveau f (x0 , y0 ).
Or, cela n’arrive que lorsque cos ϕ = 0, c’est-à-dire lorsque ϕ =
Les propriétés du gradient et de la dérivée directionnelle évoquées ci-dessus sont présentées visuellement à la figure 3.15.
Figure 3.15
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
215
On se rappelle alors que D~u f (P0 ) = ∇f (P0 ) • ~u signifie, en langage vectoriel, que la dérivée directionnelle est la projection du vecteur gradient sur le vecteur (unitaire) ~u. Chaque point sur chaque
cercle représente l’emplacement de la projection (orthogonale) du gradient sur la droite supportant
un vecteur unitaire issu de P0 .
Exemple 47. On considère à nouveau l’indice de refroidissement
√
C = C(v, T ) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T )
avec les conditions v0 = 4, 5 et T0 = −15. Quelles variations simultanées doit-on avoir sur v et
T , à partir des conditions observées, afin que C augmente le plus ? Quel est le taux instantané
de variation ? Pour répondre à ces questions, on doit prendre en compte le fait que C doit varier
selon un taux instantané maximal en P0 = (4, 5, −15). Selon l’exemple 22, page 189, on a
et
Cv (P0 ) ≈ 65, 14
CT (P0 ) ≈ −27, 16.
C’est pourquoi
∇C(P0 ) ≈ (65, 14, −27, 16).
Selon les résultats obtenus ci-dessus, ce vecteur donne la direction requise, ce qui décrit une
variation simultanée de v et de T dans le rapport de 65, 14 : −27, 16, à partir de P0 .
Ce rapport est le même que
27, 16
65, 14
ou
1 : −0, 4169
65, 14
: −1
27, 16
ou
2, 399 : −1,
1:−
ou que
si l’on juge plus utile de l’exprimer ainsi.
Si l’on insiste pour indiquer la direction au moyen du vecteur unitaire ~u qui est dans la même
direction que le gradient, on aura
~u =
1
∇C(P0 ) = (0, 9230, −0, 3848).
|∇C(P0 )|
La variation simultanée de v et de T sera alors dans le rapport de 0, 9230 : −0, 3848, équivalent
aux précédents.
Toujours selon les résultats obtenus ci-dessus, le taux instantané de variation de l’indice C dans
la direction identifiée, soit celle du gradient, a la valeur
p
|∇C(P0 )| = 65, 142 + 27, 162 ≈ 70, 58.
Exemple 48. Pour un gaz qui obéit à
T
,
V
comment doit-on modifier T et V , à partir des conditions T = 300 et V = 10, si l’on veut
P =k
216
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
une diminution maximale de la pression ? Quel sera alors le taux instantané de variation
de P ? Selon les résultats déjà établis, il faut aller dans la direction opposée à celle du gradient de pression au point A = (300, 10). Le calcul des dérivées partielles donne
∂P
(A) =
∂T
∂P
(A) =
∂V
k
k
=
,
V A
10
300k
kT
− 2 =−
= −3k.
V A
100
Alors,
∇P (A) = (k/10, −3k)
et la direction requise est celle du vecteur
−∇P (A) = (−k/10, 3k).
Ce que nous venons d’établir décrit une modification à faire sur T et sur V dans le rapport
de −0, 1k : 3k, de −0, 1 : 3 ou de −1 : 30. Si l’on veut l’exprimer à l’aide du vecteur unitaire ~u dans la direction de −∇P (A), on donne alors le rapport −0, 3333 : 0, 999, obtenu de
−1
1
(−1, 30) où ~u =
∇P (A).
~u = √
2
|∇P
(A)|
1 + 30
Le taux instantané de variation voulu est, selon ce qu’on a déjà vu,
p
−|∇P (A)| = − (k/10)2 + (3k)2 = −3, 002k.
Exemple 49. Pourquoi un ruisseau dessiné sur une carte topographique (géographique)
traverse-t-il les courbes de niveau à angle droit ?
Si l’on se place en un point particulier sur le terrain, l’eau s’écoule par gravité le long de la pente
la plus forte (et non de biais, à flanc de colline). Si l’on fait une projection de cette direction
(ainsi que de la courbe de niveau) sur le plan horizontal au niveau de la mer, on obtient un
vecteur de sens opposé à celui du gradient, dans le sens de l’écoulement de l’eau, et un vecteur
aligné avec le gradient, dans la direction à contre-courant. Ces vecteurs sont orthogonaux à la
courbe de niveau projetée sur le plan horizontal. C’est d’ailleurs ce qu’on voit sur une carte
topographique.
3.5.3
Les fonctions de trois variables et le plan tangent
On peut généraliser les notions de gradient et de dérivée directionnelle aux fonctions de plusieurs
variables. Nous allons considérer uniquement le cas d’une fonction de trois variables. Ainsi, étant
donné une fonction f (x, y, z) et un point P0 = (x0 , y0 , z0 ) situé à l’intérieur du domaine de définition
de f , on définit le gradient de f , qu’on désigne par grad f (P0 ) ou par ∇f (P0 ), comme suit :
def
grad f (P0 ) = ∇f (P0 ) = (fx (P0 ), fy (P0 ), fz (P0 )) .
La dérivée directionnelle de f au point P0 dans la direction du vecteur unitaire ~u = (u1 , u2 , u3 ),
qu’on désigne par D~u f (P0 ), est définie comme suit :
def
D~u f (P0 ) = ∇f (P0 ) • ~u.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
217
Il est facile de démontrer que, tout comme pour les fonctions de deux variables, le maximum de
D~u f (P0 ) est atteint lorsque ~u est dans la direction du gradient, et son minimum lorsque ~u est dans
la direction contraire, de sorte qu’on a toujours
−|∇f (P0 )| ≤ D~u f (P0 ) ≤ |∇f (P0 )|.
Enfin, tout comme dans le cas des fonctions de deux variables, le gradient évalué au point P0 est un
vecteur dans R3 qui est perpendiculaire à la surface de niveau f (x, y, z) = f (P0 ).
Il découle de cette dernière propriété que l’équation du plan tangent à une surface d’équation
F (x, y, z) = 0 au point P0 = (x0 , y0 , z0 ) s’obtient en trouvant le lieu des points P = (x, y, z) tels que
le vecteur P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) est perpendiculaire au vecteur ∇F (P0 ), puisque ce dernier
est perpendiculaire à la surface de niveau F (x, y, z) = F (P0 ) = 0. En d’autres mots, on cherche les
points P = (x, y, z) tels que
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) • ∇F (P0 ) = 0,
c’est-à-dire
(28)
Fx (P0 )(x − x0 ) + Fy (P0 )(y − y0 ) + Fz (P0 )(z − z0 ) = 0.
Dans le cas particulier où une surface est donnée de manière explicite par l’équation z = f (x, y), on
pose F (x, y, z) = z − f (x, y), de sorte qu’on est bien dans la situation où F (x, y, z) = 0. On peut
donc appliquer (28), auquel cas on obtient, puisque Fx = −fx , Fy = −fy , Fz = 1,
fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0.
Ce dernier résultat est bien la formule établie à la section 3.2.2.
Il reste tout de même que, pour certaines surfaces qui ne peuvent pas s’écrire explicitement sous la
forme z = f (x, y), la formule (28) s’avère fort commode.
Exemple 50. Considérons la surface
zx2 + sin y = ln(1 + z 2 ).
√
Le point P0 = (x0 , y0 , z0 ) = ( ln 2, π, 1) appartient effectivement à cette surface. En effet, nous
avons
√
2
1·
ln 2 + sin π = ln 2 + 0 = ln 2
et ln 1 + 12 = ln 2.
Supposons qu’on cherche l’équation du plan tangent à cette surface au point P0 . En utilisant
(28), on obtient successivement
2z0
2
(z − z0 ) = 0,
2x0 z0 (x − x0 ) + (cos y0 )(y − y0 ) + x0 −
1 + z02
√
√
2 ln 2(x − ln 2) − (y − π) + (ln 2 − 1)(z − 1) = 0,
√
(2 ln 2)x − y + (ln 2 − 1)z + π + 1 − 3 ln 2 = 0.
218
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
3.6
Le théorème de Taylor et le calcul approché
3.6.1
Le théorème de Taylor
Rappelons le théorème de Taylor pour les fonctions d’une variable.
Théorème Soit f , une fonction d’une variable qui est au moins n + 1 fois dérivable dans le
voisinage d’un point x0 , alors
(29) f (x0 + h) = f (x0 ) +
h 0
h2
hn
hn+1 (n+1)
f (x0 ) + f 00 (x0 ) + · · · + f (n) (x0 ) +
f
(x0 + θh),
1!
2!
n!
(n + 1)!
où 0 < θ < 1.
Dans le cas où n = 0, on retrouve le théorème des accroissements finis :
f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 + θh)
(0 < θ < 1).
On cherche à établir une formule analogue à (29) pour les fonctions de deux variables. On va d’abord
considérer le cas où n = 2. Soit f (x, y), une fonction dont les dérivées partielles d’ordre 2 existent
et sont continues. Étant donné f (x0 , y0 ), on cherche à estimer f (x0 + h, y0 + k) pour des petits
accroissements h et k.
Pour ce faire, on se ramène au cas d’une variable en introduisant la fonction g(t) définie par
(30)
g(t) = f (x0 + ht, y0 + kt).
Ici, il est clair que h et k sont fixés pour le moment. Puisque g est une fonction d’une variable, on
peut appliquer le théorème de Taylor pour les fonctions d’une variable dans le cas où n = 2. Ainsi,
en posant x0 = 0 et h = 1 dans (29), on obtient :
1 0
1
1
g (0) + g 00 (0) + g 000 (θ)
1!
2!
3!
Or, par la définition de g donnée en (30), il est clair que
(31)
g(1) = g(0) +
(32)
g(1) = f (x0 + h, y0 + k),
Par ailleurs, puisque x = x0 + ht et y = y0 + kt, on a
(30), on a
(33)
g 0 (t)
(0 < θ < 1).
g(0) = f (x0 , y0 ).
dx
dy
= h et
= k. C’est pourquoi, en dérivant
dt
dt
dy
dx
+ fy (x0 + ht, y0 + kt)
dt
dt
= hfx (x0 + ht, y0 + kt) + kfy (x0 + ht, y0 + kt).
= fx (x0 + ht, y0 + kt)
En particulier,
(34)
g 0 (0) = hfx (x0 , y0 ) + kfy (x0 , y0 ).
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
219
Pour calculer g 00 (t), on dérive les deux membres de (33) et on obtient
g 00 (t)
=
=
∂
dx
(hfx (x0 + ht, y0 + kt) + kfy (x0 + ht, y0 + kt))
∂x
dt
∂
dy
+
(hfx (x0 + ht, y0 + kt) + kfy (x0 + ht, y0 + kt))
∂y
dt
2
h fxx (x0 + ht, y0 + kt) + 2hkfxy (x0 + ht, y0 + kt) + k 2 fyy (x0 + ht, y0 + kt).
En particulier,
(35)
g 00 (0) = h2 fxx (x0 , y0 ) + 2hkfxy (x0 , y0 ) + k 2 fyy (x0 , y0 ).
En substituant (32), (34) et (35) dans (31), on obtient
f (x0 + h, y0 + k)
= f (x0 , y0 ) + hfx (x0 , y0 ) + kfy (x0 , y0 )
1
1 2
+
h fxx (x0 , y0 ) + 2hkfxy (x0 , y0 ) + k 2 fyy (x0 , y0 ) + g 000 (θ),
2!
3!
pour un certain 0 < θ < 1. Si l’on néglige le terme d’ordre 3, on obtient (avec h = ∆x et k = ∆y) :
(36)
1
∆f ≈ fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y +
fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2 .
2!
Si x = x0 + ∆x et y = y0 + ∆y, alors (36) s’écrit
f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
1
+
fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 .
2!
L’expression p1 (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) est appelée le polynôme
de Taylor de degré 1 de f (x, y) autour du point (x0 , y0 ).
L’expression
p2 (x, y)
(37)
=
f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
1
+
fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2
2!
est, quant à elle, appelée le polynôme de Taylor de degré 2 de f (x, y) autour du point (x0 , y0 ).
Exemple 51. On cherche le polynôme de Taylor de degré 2 de f (x, y) = ex−y + cos(2x + 3y)
autour du point (0, 0). On calcule alors successivement les dérivées partielles fx , fy , fxx , fyy ,
fxy qui sont
fx = ex−y − 2 sin (2x + 3y) , fxx = ex−y − 4 cos (2x + 3y) , fxy = −ex−y − 6 cos (2x + 3y)
et fy = −ex−y − 3 sin (2x + 3y) , fyy = ex−y − 9 cos (2x + 3y), et on obtient ensuite que
f (0, 0) = 2, fx (0, 0) = 1, fy (0, 0) = −1, fxx (0, 0) = −3, fyy (0, 0) = −8, fxy (0, 0) = −7.
En substituant ces valeurs dans l’expression (37), on obtient que le polynôme de Taylor de degré
220
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
2 associé à f à l’origine est :
1
p2 (x, y) = 2 + x − y + (−3x2 − 14xy − 8y 2 ).
2
De manière générale, le polynôme de Taylor de degré n peut s’obtenir en calculant g (3) (t), · · · ,
g (n) (t) et en insérant ensuite les valeurs correspondantes g (3) (0), · · · , g (n) (0) (ainsi que les valeurs
g(0), g 0 (0) et g 00 (0) déjà obtenues) dans le développement de Taylor d’ordre n + 1 de g(t), soit dans
g(1) = g(0) +
1
1
1
1 0
g (0) + g 00 (0) + · · · + g (n) (0) +
g (n+1) (θ),
1!
2!
n!
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
À ce moment-là, on obtient que le polynôme de degré n autour du point P0 = (x0 , y0 ), noté
pn (x, y), est donné par
pn (x, y)
= f (P0 ) + fx (P0 )∆x + fy (P0 )∆y
1
+
fxx (P0 )(∆x)2 + 2fxy (P0 )∆x∆y + fyy (P0 )(∆y)2
2!
1
+
fxxx (P0 )(∆x)3 + 3fxxy (P0 )(∆x)2 ∆y + 3fxyy (P0 )∆x(∆y)2 + fyyy (P0 )(∆y)3
3!
n 1 X n
∂n
+··· +
f (P0 )(∆x)n−k (∆y)k .
n−k
n!
k ∂x
∂y k
k=0
On a alors écrit ∆x pour désigner x − x0 et ∆y pour désigner y − y0 . En particulier, nous avons
f (x, y) = pn (x, y) + Rn (∆x, ∆y) .
Ici, Rn (∆x, ∆y) est négligeable par rapport aux autres termes, puisqu’il contient des termes de la
forme « · · · (∆x)r (∆y)s », où r + s = n + 1, de sorte que
f (x, y) ≈ pn (x, y) .
3.6.2
Le calcul approché
Comme on l’a vu à la section 3.2.3, il est possible d’approximer une fonction f (x, y) au voisinage
d’un point P0 = (x0 , y0 ), en utilisant, par exemple, la formule
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
ou encore la formule analogue
(38)
f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
Or, comme on l’a vu à la section 3.6.1, l’expression à droite de (38) est appelée le polynôme (ou
l’approximation) de degré 1 de f (x, y) autour du point P0 . Il est donc clair que l’expression (37)
constitue une approximation de f (x, y) encore meilleure que celle à droite de (38). C’est pourquoi
on obtient un bien meilleur résultat en remplaçant (38) par
f (x, y) ≈
(39)
f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
1
fxx (x0 , y0 )(x − x0 )2 + 2fxy (x0 , y0 )(x − x0 )(y − y0 ) + fyy (x0 , y0 )(y − y0 )2 .
+
2!
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
221
Ainsi, (39) permet de calculer, avec plus de précision que (38) ne permettait de le faire, la variation
de f (x, y) lorsque les variables subissent des accroissements ∆x et ∆y.
Exemple 52.
1. Supposons qu’on veuille calculer une valeur approchée de (0, 98)1,01 sans
utiliser une calculatrice. Autrement dit, voyons en fait comment s’y prend la calculatrice
pour fournir le résultat. Posons f (x, y) = xy , x0 = y0 = 1, ∆x = −0, 02 et ∆y = 0, 01. En
utilisant (39), avec fx (1, 1) = 1, fy (1, 1) = 0, fxx (1, 1) = 0, fyy (1, 1) = 0 et fxy (1, 1) = 1,
on obtient
f (0, 98, 1, 01) ≈ 1 + 1(−0, 02) + 0(0, 01)
1
0(−0, 02)2 + 2 · 1 · (−0, 02)(0, 01) + 0(0, 01)2
+
2!
= 0, 9798.
Avec une calculatrice, on obtient 0, 981,01 = 0, 979802 (grâce à un développement de Taylor
d’ordre plus élevé, bien entendu).
2. Soit f (x, y) = yex . On veut utiliser le fait que f (0, 1) = 1 pour trouver une valeur
approchée de (0, 98) × e0,01 . Soit P0 = (0, 1). Alors,
f (0, 01, 0, 98)
≈ f (0, 1) + (0, 01)fx (0, 1) + (−0, 02)fy (0, 1) +
1
(0, 01)2 fxx (0, 1) + 2(0, 01)(−0, 02)fxy (0, 1) + (−0, 02)fyy (0, 1)
2
= 0, 98985.
y
. On peut utiliser la technique vue ci-dessus pour approximer
1−x
f (−0, 01, 5) et ainsi obtenir la valeur 4, 95.
3. Soit f (x, y) =
3.7
Extremums libres et extremums liés
3.7.1
Extremums libres
Dans cette section, on s’intéresse à la recherche des points (x0 , y0 ) où une fonction donnée f (x, y)
atteint un maximum, un minimum ou un point de selle (le pendant d’un point d’inflexion en une
variable). Expliquons d’abord clairement ce qu’on entend par un maximum absolu (ou global), un
minimum absolu (ou global), un maximum local (ou relatif) et un minimum local (ou relatif).
Définitions On dit que f admet un maximum absolu au point (x0 , y0 ) si, pour tout (x, y) ∈
D(f ), f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y). De même, on dit que f admet un minimum absolu au point
(x0 , y0 ) si, pour tout (x, y) ∈ D(f ), f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y). Par ailleurs, on dit que f (x0 , y0 ) est
un maximum local de f (x, y) s’il existe un disque ouvert U , centré au point (x0 , y0 ), tel
que f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y) pour tout (x, y) ∈ U ∩ D(f ). De même, on dit que f (x0 , y0 ) est un
minimum local de f (x, y) s’il existe un disque ouvert U , centré au point (x0 , y0 ), tel que
f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) pour tout (x, y) ∈ U ∩ D(f ).
Les minima et les maxima, qu’ils soient de nature globale ou locale, sont aussi appelés des
extremums.
222
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Exemple 53.
i) On constate que la fonction f (x, y) = x2 + y 2 possède un minimum absolu
au point (0, 0) et pas d’autre minimum (absolu ou local) ou maximum (absolu ou local).
En effet, nous avons x2 + y 2 ≥ 0 et x2 + y 2 = 0 si et seulement si x = y = 0.
ii) Soit D, le disque unité centré à l’origine. La fonction f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , définie sur le
domaine D, possède un maximum absolu au point (0, 0) et pas d’autre maximum absolu
ou maximum local dans D. Par ailleurs, tous les points (x0 , y0 ) tels que x20 + y02 = 1 sont
des minima locaux et globaux de f , toujours sur le domaine D considéré.
iii) La fonction z = 1 − x − y qui décrit l’ensemble des points du plan x + y + z = 1 ne possède
évidemment aucun minimum ou maximum (local ou absolu).
Soit f (x, y), une fonction telle que fx et fy existent partout dans le domaine de f . Il est clair,
surtout en songeant à la surface de f , que si (x0 , y0 ) est un maximum ou un minimum pour f , alors
fx (x0 , y0 ) = 0 et fy (x0 , y0 ) = 0. On vient donc de trouver une condition nécessaire pour que (x0 , y0 )
soit un maximum ou un minimum de f , à savoir qu’il faut absolument que ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0). Un
tel point est appelé un point critique de f . Plus précisément, on a la définition suivante :
Définition Un point (x0 , y0 ) est appelé un point critique de f (x, y) si les dérivées partielles
de f au point (x0 , y0 ) existent et sont nulles toutes les deux.
Ainsi, (x0 , y0 ) est un point critique de f (x, y) si et seulement si
∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) .
Par conséquent, toutes les dérivées directionnelles au point (x0 , y0 ) sont nulles (si f est continûment
dérivable). Il est clair, par ailleurs, qu’un point critique n’est pas nécessairement un maximum ou
un minimum, comme l’illustre l’exemple qui suit.
Exemple 54. Posons la fonction f (x, y) = x2 − y 2 . On a ∇f (0, 0) = (0, 0), et pourtant le point
(0, 0) n’est ni un maximum ni un minimum. En effet, cette fonction ne possède ni minimum, ni
maximum sur R2 .
En fait, ce point est un point de selle, une notion qu’on introduira plus loin.
Ainsi, une fois qu’on a identifié qu’un point P0 = (x0 , y0 ) est un point critique pour une fonction
f (x, y), il reste à déterminer s’il s’agit d’un minimum, d’un maximum ou d’un point de selle. Somme
toute, si P0 = (x0 , y0 ) est un point critique, on doit étudier le signe de f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 )
lorsque h et k sont de « petits » accroissements de x0 et de y0 , respectivement.
Examinons d’abord quelques exemples, histoire de bien comprendre le principe.
Exemple 55. Soit f (x, y) = 5 + 2x2 + y 2 . Il est clair que ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) si et seulement si
(x0 , y0 ) = (0, 0). En effet, nous avons
∇f = (4x, 2y) = (0, 0) ⇐⇒ 4x = 0 et 2y = 0 ⇐⇒ x = 0 et y = 0.
On a donc identifié un seul point critique. Quelle est la nature de ce point ? Pour trouver la
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
223
réponse à cette question, on examine le signe de l’expression
f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = 5 + 2h2 + k 2 − 5 = 2h2 + k 2 ,
laquelle est strictement positive si au moins un des accroissements h et k est différent de 0 (c’està-dire s’il y a effectivement déplacement autour de l’origine). Cela nous permet de conclure que
(0, 0) est un minimum pour f .
Exemple 56. Soit f (x, y) = 2x2 + y 2 − 12x + 4y + 10. On établit aisément que (3, −2) est le
seul point critique de f . En effet,
∇f = (4x − 12, 2y + 4) = (0, 0) ⇐⇒ 4x − 12 = 0 et 2y + 4 = 0 ⇐⇒ x = 3 et y = −2.
Par ailleurs, on observe que
f (x, y) = 2(x2 − 6x + 9) − 18 + (y 2 + 4y + 4) + 6 = 2(x − 3)2 + (y + 2)2 − 12,
laquelle expression est égale à −12 si (x, y) = (3, −2) et supérieure à −12 si x 6= 3 ou y 6= −2.
On en conclut que (3, −2) doit être un point minimum. En réalité, on vient encore d’établir que
f (3 + h, −2 + k) − f (3, −2) > 0 si (h, k) 6= (0, 0).
Exemple 57. Revenons à la fonction f (x, y) = x2 − y 2 . Son seul point critique est P0 = (0, 0),
car
∇f = (2x, −2y) = (0, 0) ⇐⇒ x = y = 0.
La différence f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = h2 − k 2 est positive lorsque h2 > k 2 , nulle si h2 = k 2 et
négative lorsque h2 < k 2 . Il s’ensuit que le point (0, 0) n’est ni un maximum ni un minimum.
Le graphe de cette fonction est le suivant (figure 3.16) :
Figure 3.16
Inspiré par l’allure d’une telle surface, on appelle le point (0, 0) un point de selle.
224
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Définition Étant donné une fonction f (x, y) dont les dérivées partielles existent et s’annulent
en P0 = (x0 , y0 ), alors P0 est appelé un point de selle s’il existe des valeurs de h et
de k telles que f (x0 + h, y0 + k) > f (x0 , y0 ) et d’autres valeurs de h et de k telles que
f (x0 + h, y0 + k) < f (x0 , y0 ), où (x0 + h, y0 + k) désignent des points dans un voisinage de
(x0 , y0 ).
Il peut sembler difficile d’utiliser cette définition afin de vérifier si un point (x0 , y0 ) est un point de
selle ou non. C’est pourquoi nous allons développer quelques outils afin de simplifier certains cas.
Les points critiques et le Hessien
Nous allons maintenant développer une méthode qui, dans certains cas, permet d’établir avec certitude si un point critique est un maximum, un minimum ou un point de selle.
Soit une fonction f (x, y) dont les dérivées partielles d’ordre 3 existent et sont continues au voisinage
d’un point critique P0 = (x0 , y0 ). Nous devons examiner la différence entre f (x0 + h, y0 + k) et
f (x0 , y0 ), ce que permet la formule de Taylor établie à la section 3.6.1.
(40)
f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 )
=
hfx (x0 , y0 ) + kfy (x0 , y0 )
1
+ h2 fxx (x0 , y0 ) + 2hkfxy (x0 , y0 ) + k 2 fyy (x0 , y0 )
2
+R(h, k),
où R(h, k) est négligeable par rapport aux autres termes. Puisque P0 est un point critique, on a
∇f (P0 ) = (0, 0), de sorte que hfx (x0 , y0 ) + kfy (x0 , y0 ) = 0. C’est pourquoi l’équation (40) s’écrit
(41) f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) =
1 2
h fxx (x0 , y0 ) + 2hkfxy (x0 , y0 ) + k 2 fyy (x0 , y0 ) + R(h, k).
2
Pour des petites valeurs de h et de k, le terme R(h, k) devient négligeable par rapport au premier
terme apparaissant à droite de (41). Ainsi, lorsque h et k sont petits, le signe de f (x0 + h, y0 + k) −
f (x0 , y0 ) est celui de
def
Ψ = h2 fxx (x0 , y0 ) + 2hkfxy (x0 , y0 ) + k 2 fyy (x0 , y0 ).
Il nous faut donc étudier le signe de Ψ.
Supposons que fxx (P0 ) 6= 0. Pour simplifier la notation, on écrira fxx au lieu de fxx (P0 ), fyy au lieu
de fyy (P0 ) et fxy au lieu de fxy (P0 ). Alors, en complétant le carré, on peut réécrire l’expression Ψ
comme suit :
2
1 2
2
(42)
Ψ=
(hfxx + kfxy ) + fxx fyy − fxy
k .
fxx
Il apparaît donc clairement que
2
— Ψ > 0 si fxx > 0 et fxx fyy − fxy
> 0, auquel cas P0 est un minimum,
2
— Ψ < 0 si fxx < 0 et fxx fyy − fxy
> 0, auquel cas P0 est un maximum.
2
D’autre part, si fxx fyy − fxy
< 0, alors il découle de (42) que Ψ peut s’écrire comme une différence
de deux carrés, ce qui signifie que Ψ dépend du quotient h/k. C’est d’ailleurs ce que nous allons
détailler. Si fxx fyy − (fxy )2 < 0, on peut écrire fxx fyy − (fxy )2 = −a2 , auquel cas, à la lumière de
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
225
(42),
Ψ
=
=
=
1
(hfxx + kfxy )2 − a2 k 2
fxx
k 2 (hfxx + kfxy )2
2
−
a
fxx
k2
!
2
k2
h
2
fxx + fxy − a .
fxx
k
h
prend des valeurs à volonté, de sorte que la différence de carrés prend des valeurs
Le quotient
k
positives et négatives, ce qui entraîne les mêmes propriétés pour Ψ. Ainsi, P0 est un point de selle.
2
En résumé, si l’on pose Γ = fxx fyy − fxy
, appelé le Hessien et noté aussi H à l’occasion, on a le
tableau suivant :
Signe de Γ
Γ>0
Γ>0
Γ<0
Signe de fxx
fxx < 0
fxx > 0
Nature du point P0
maximum local
minimum local
point de selle
Si Γ = 0, on ne peut rien conclure et on doit revenir à l’analyse du signe de f (x0 +h, y0 +k)−f (x0 , y0 ).
Enfin, mentionnons que si Γ > 0 et fxx < 0, alors nécessairement fyy < 0. De même, si Γ > 0 et
fxx > 0, alors nécessairement fyy > 0.
Exemple 58.
i) Soit f (x, y) = x3 − 12xy + 8y 3 . On trouve les points critiques P1 = (0, 0)
et P2 = (2, 1). En effet,
∇f = 3x2 − 12y, −12x + 24y 2 = (0, 0) ⇐⇒ x2 = 4y et x = 2y 2 ⇐⇒ x = 2y 2 et y 4 = y
⇐⇒ x = 2y 2 et y y 3 − 1 = 0 ⇐⇒ x = 2y 2 et y = 0 ou y = 1
⇐⇒ x = y = 0 ou encore x = 2 et y = 1.
De plus, nous avons fxx = 6x, fxy = −12 et fyy = 48y, de sorte que
2
Γ = fxx fyy − fxy
= 288xy − 144.
Comme Γ(P1 ) = −144 < 0, on a un point de selle en (0, 0). Par ailleurs, puisque Γ(P2 ) =
432 > 0 et comme fxx (P2 ) = 12 > 0, on a un minimum en P2 .
ii) Reprenons l’exemple de la page 222 où f (x, y) = 5 + 2x2 + y 2 . Cette fonction possède un
seul point critique, soit P0 = (0, 0). De plus, fxx = 4, fxy = 0 et fyy = 2, de sorte que
Γ = 4 · 2 − 02 = 8.
On a donc fxx (P0 ) = 4 > 0 et Γ(P0 ) = 8 > 0, ce qui permet de conclure que P0 est un
minimum, comme on l’avait obtenu ci-dessus par tâtonnement.
iii) Considérons f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x + 16. Nous avons
fx = 2x + y − 3, fxx = 2, fxy = 1, fy = x + 2y, fyy = 2,
226
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
de sorte que
∇f = (2x + y − 3, x + 2y) = (0, 0) ⇐⇒ x = −2y, 2x + y − 3 = 0 ⇐⇒ x = −2y, −3y = 3
⇐⇒ y = −1 et x = 2.
Ainsi, P0 = (2, −1) est le seul point critique. On a fxx (P0 ) = 2 > 0, fxy (P0 ) = 1 et
fyy (P0 ) = 2, de sorte que Γ(P0 ) = 3 > 0. On conclut donc que P0 est un minimum.
iv) Soit f (x, y) = x2 − y 2 . Selon l’exemple 57, page 223, P0 = (0, 0) est le seul point critique
de f . Par ailleurs, on établit assez aisément que fxx (P0 ) = 2 > 0 et que Γ(P0 ) = −4 < 0,
d’où, d’après le tableau ci-dessus, P0 est un point de selle.
Exemple 59. On peut facilement calculer les points critiques de la fonction
f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 40,
rencontrée dans la section sur les cartes topographiques et les surfaces (figures 3.4 et 3.5). En
effet, nous avons fx = 3x2 − 3, fy = 3y 2 − 12, de sorte que
∇f = 3x2 − 3, 3y 2 − 12 = (0, 0) ⇐⇒ x2 = 1 et y 2 = 4.
Les points critiques sont ainsi P1 = (1, 2), P2 = (1, −2), P3 = (−1, 2) et P4 = (−1, −2).
Appliquons les tests pour déterminer leur nature. D’abord,
fxx = 6x,
fyy = 6y,
fxy = 0,
et ainsi
Γ = Γ(x, y) = fxx fyy − (fxy )2 = (6x)(6y) − 02 = 36xy.
En P1 = (1, 2), on a
Γ(P1 ) = 36 × 1 × 2 = 72 > 0,
ce qui entraîne que P1 est un extremum. Comme fxx (P1 ) = 6 > 0 et fyy (P1 ) = 12 > 0, on
conclut que P1 correspond à un minimum de f .
En P2 = (1, −2), on a
Γ(P2 ) = 36 × 1 × (−2) = −72 < 0,
ce qui entraîne que P2 est un point de selle.
En P3 = (−1, 2), on a
Γ(P3 ) = 36 × (−1) × 2 = −72 < 0.
On conclut donc que P3 est un point de selle.
En P4 = (−1, −2), on a
Γ(P4 ) = 36 × (−1) × (−2) = 72 > 0,
ce qui entraîne que P4 est un extremum. Avec fxx (P4 ) = −6 < 0 et fyy (P4 ) = −12 < 0, on
conclut que P4 correspond à un maximum de f .
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
227
Remarque Quand fxx , fyy et fxy sont des expressions plutôt lourdes, il est préférable de ne pas
calculer l’expression générale du Hessien Γ(x, y). On évalue les dérivées secondes elles-mêmes à
chaque point critique et on obtient la valeur numérique de Γ (à chaque point critique) avec les
valeurs numériques des dérivées. C’est ce qu’illustre l’exemple suivant, où, en plus, on a Γ = 0, ce
qui nous oblige à examiner plus à fond la fonction pour être en mesure de conclure.
Exemple 60. On calcule les points critiques de
f (x, y) = (x2 + y 2 − 4)2
avec le système fx = 0, fy = 0, soit
(
2 x2 + y 2 − 4 (2x)) = 0,
2 x2 + y 2 − 4 (2y) = 0,
ce qui s’écrit
(
x(x2 + y 2 − 4) = 0,
y(x2 + y 2 − 4) = 0.
Si x2 + y 2 − 4 6= 0, on obtient alors (x, y) = (0, 0) comme point critique. Si x2 + y 2 − 4 = 0, on
a un nombre infini de points critiques, soit ceux du cercle x2 + y 2 = 4.
Le calcul des dérivées d’ordre 2 donne
fxx = 4 (x2 + y 2 − 4) + 2x2 ,
fyy = 4 (x2 + y 2 − 4) + 2y 2 ,
fxy = 8xy.
Au point (0, 0), on a
fxx (0, 0) = −16,
fyy (0, 0) = −16,
fxy (0, 0) = 0,
de sorte que
Γ(0, 0) = (−16) × (−16) − 02 = 256 > 0.
Il s’ensuit que (0, 0) est un maximum de f , avec f (0, 0) = 16. Par ailleurs, en chaque point
critique (x, y) sur le cercle x2 + y 2 = 4, on a
fxx = 8x2 ,
fyy = 8y 2 ,
fxy = 8xy,
Γ = (8x2 )(8y 2 ) − (8xy)2 = 0.
On ne peut donc rien conclure à partir des tests basés sur les dérivées d’ordre 2. Or, l’expression
algébrique montre qu’en chaque point critique (x, y) sur le cercle x2 + y 2 = 4, on a f (x, y) = 0,
soit la valeur minimale de f , puisque f (x, y) ≥ 0. La carte topographique fournit les mêmes
renseignements.
Les courbes de niveau ci-dessous (figure 3.17) sont obtenues en posant
2
c = f (x, y) = x2 + y 2 − 4 ,
(c ≥ 0)
c’est-à-dire
x2 + y 2 = 4 +
√
c
(c ≥ 0) .
228
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.17
Figure 3.18
La méthode présentée ci-dessus pour classer les points critiques d’une fonction f n’est pas toujours
efficace, comme en témoigne l’exemple suivant.
Exemple 61. Considérons la fonction f (x, y) = x4 + y 4 . On sait très bien que cette fonction
possède un seul point critique, à savoir (0, 0), et que ce point critique donne évidemment un
minimum global de f . En effet, nous avons x4 + y 4 ≥ 0, et
∇f = 4x3 , 4y 3 = (0, 0) ⇐⇒ x = y = 0.
Si l’on cherche plutôt à utiliser le tableau, on se heurte à fxx (0, 0) = 0, ce qui nous empêche de
conclure. Voilà qui montre bien que le tableau précédent a ses limites !
On vous propose maintenant une application très pratique si l’on veut trouver la droite qui s’approche
le plus d’un ensemble de points donnés dans le plan cartésien.
3.7.2
La droite des moindres carrés
Soit (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ), des points situés dans le plan cartésien. On cherche la droite
y = mx + b qui s’ajuste le mieux à ces n points, dans le sens où la somme des carrés des écarts entre
chacun de ces points et la droite est minimale, c’est-à-dire telle que l’expression
f (m, b) = (mx1 + b − y1 )2 + (mx2 + b − y2 )2 + · · · + (mxn + b − yn )2
est minimale. On cherche donc à établir le minimum de la fonction f (m, b). Il faut d’abord trouver
ses points critiques. Un tel point P0 = (m0 , b0 ) doit donc satisfaire à fm (P0 ) = 0, fb (P0 ) = 0.
Cela veut dire que
fm
=
2(mx1 + b − y1 )x1 + 2(mx2 + b − y2 )x2 + · · · + 2(mxn + b − yn )xn = 0,
fb
=
2(mx1 + b − y1 ) + 2(mx2 + b − y2 ) + · · · + 2(mxn + b − yn ) = 0,
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
229
soit, après simplification,
m
n
X
x2i + b
i=1
m
n
X
xi
=
i=1
n
X
xi + bn =
i=1
n
X
i=1
n
X
xi yi ,
yi .
i=1
Or, il s’agit là d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, soit les inconnues
m et b. Sa résolution donne
Pn
Pn
Pn
n i=1 xi yi − ( i=1 xi ) ( i=1 yi )
,
m0 =
Pn
Pn
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
Pn
Pn
Pn
Pn
Pn
Pn
2
i=1 xi (
i=1 yi ) − (
i=1 xi ) (
i=1 xi yi )
i=1 yi − m0
i=1 xi
b0 =
=
.
Pn
Pn
2
2
n
n i=1 xi − ( i=1 xi )
Il reste à prouver que le point P0 = (m0 , b0 ) trouvé est effectivement un minimum de f . Pour cela,
2
on va établir qu’en ce point,
a fmm > 0 et fmm fbb − fmb
> 0. La première de ces inégalités est
Pon
n
évidente, puisque fmm = 2 i=1 x2i > 0. Par ailleurs,
2
fmm fbb − fmb
= 4n
n
X
x2i − 4
i=1
n
X
!2
xi
> 0,
i=1
cette dernière inégalité étant une conséquence immédiate de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir
appendice A, page 299). On peut aussi établir que P0 est un point minimum d’une manière encore
plus facile. En effet, il est clair que f ne prend que des valeurs non négatives et qu’elle peut être
aussi grande que l’on veut. Elle n’a donc pas de maximum. D’autre part, il est clair qu’elle possède
un minimum. Comme ce minimum doit être un point critique et que P0 est le seul point critique, il
s’ensuit que P0 est le minimum absolu cherché.
Exemple 62. Ainsi, supposons que, lors d’une expérience, on observe l’augmentation de la
température d’un corps sous l’effet d’une source de chaleur. Supposons que l’on effectue une
lecture toutes les minutes et que l’on obtienne alors les données suivantes pour la température :
20°, 23°, 26°, 25°, 26°, 29°.
On obtient alors que la droite des moindres carrés est donnée par
y=
293 53
+ x.
15
35
En effet, il nous faut calculer m0 et b0 à l’aide des points (0, 20), (1, 23), (2, 26), (3, 25), (4, 26)
53
293
et (5, 29), auquel cas on obtient m0 =
et b0 =
.
35
15
On obtient ainsi le graphe voulu (figure 3.19).
230
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.19
Exemple 63. Soit les points (1,2), (2,4), (3,6), (4,5), (5,9) et (6,12). On cherche la droite qui
colle
le mieux
à ces six points. En utilisant les relations précédentes, on trouve P0 = (m0 , b0 ) =
64
1
,−
, de sorte que la droite des moindres carrés est
35 15
y = m0 x + b0 =
64
1
x− .
35
15
Figure 3.20
3.7.3
La recherche d’extremums sur un domaine fermé
Précédemment, on s’est préoccupé de la recherche d’extremums sur des domaines non bornés. Ainsi,
on a vu que la fonction f (x, y) = x2 + y 2 admet un minimum à l’origine et qu’elle n’a pas de
maximum dans R2 . Que serait-il arrivé si on avait restreint le domaine de la fonction ?
Exemple 64. Posons D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2} et
f:
D
→
(x, y) 7−→
R
x2 + y 2 ?
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
231
Encore une fois, cette fonction possède un minimum à l’origine, car x2 + y 2 est non négatif et
est égal à 0 si et seulement si x = y = 0. Cette fois, par√contre, elle possède des maxima. En
effet, tous les points (x0 , y0 ) situés sur le cercle de rayon 2 centré à l’origine sont des maxima
et la valeur maximale de f sur D est 2. Pourtant, en ces points (x0 , y0 ), le gradient ne s’annule
pas !
Voici un autre exemple plus complexe :
x
Exemple 65. Soit f (x, y) = x2 + 2xy + + y définie sur le domaine D de R2 délimité par les
2
droites y = 0, y = x + 1 et y = 1 − x : il s’agit de la région du plan cartésien délimitée par le
triangle dont les sommets sont les points (−1, 0), (0, 1) et (1, 0). On cherche donc les minima
et les maxima situés sur D ou à l’intérieur de D. (On est assuré a priori que les extremums
existent, si f est continue.)
Examinons d’abord s’il existe des points critiques à l’intérieur de D. Pour cela, il suffit de se
1 1
, un point
demander s’il existe des points P0 tels que ∇f (P0 ) = (0, 0). On trouve P0 = − ,
2 4
1
qui est dans D. En effet, nous avons fx = 2x + 2y + et fy = 2x + 1, de sorte que
2
−1
1
−1
1
1
et y = −x − ⇐⇒ x =
et y = .
∇f = 2x + 2y + , 2x + 1 = (0, 0) ⇐⇒ x =
2
2
4
2
4
Par ailleurs, retenons que f (P0 ) = 0. Il nous reste donc à chercher ce qui se passe sur la
frontière de D, notée ∂D. On va examiner successivement les trois côtés du triangle, soit les
côtés a, b et c. Les côtés a, b et c sont ceux qui joignent respectivement les points (−1, 0) et
(1, 0), les points (0, 1) et (1, 0), et enfin les points (−1, 0) et (0, 1).
— Le côté a : c’est celui où −1 ≤ x ≤ 1 et y = 0. On veut donc trouver les extremums de
x
1
la fonction g1 (x) = f (x, 0) = x2 + . Or, g10 (x) = 0 si et seulement si 2x + = 0, soit
2
2
1
1
lorsque x = − . On a ainsi identifié le point P1 = − , 0 . On déterminera plus tard
4
4
s’il s’agit d’un point minimum ou d’un point maximum (après tout, il faut savoir ce qui
se passe pour les autres points de ∂D !).
— Le côté b : c’est celui où 0 ≤ x ≤ 1 et y = 1 − x. On veut donc trouver les extremums de
x
3
la fonction g2 (x) = f (x, 1 − x) = x2 + 2x(1 − x) + + 1 − x = −x2 + x + 1. Or, g20 (x) = 0
2
2
3
3 1
si et seulement si x = . On a ainsi identifié le point P2 =
,
.
4
4 4
— Le côté c : c’est celui où −1 ≤ x ≤ 0 et y = x + 1. On veut donc trouver les extremums de
7
7
la fonction g3 (x) = f (x, 1 + x) = 3x2 + x + 1. Or, g30 (x) = 0 si et seulement si x = − .
2 12
7 5
.
On a ainsi identifié le point P3 = − ,
12 12
On a trouvé jusqu’ici quatre candidats possibles : P0 , P1 , P2 et P3 . Est-ce tout ? Non, ce n’est
pas tout, car il y a aussi les sommets du triangle qui forment ∂D. Il faut donc les ajouter à la
232
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
liste : ce sont P4 = (−1, 0), P5 = (0, 1) et P6 = (1, 0).
Il nous reste donc à examiner la valeur de f en chacun des points P0 , P1 , P2 , · · · , P6 et à identifier
les plus grandes et les plus petites valeurs de f ! Un tableau nous facilitera la tâche :
f (Pi ) =
P0
P1
P2
0
−
1
16
↓
min
25
16
↓
max
P3
P4
P5
P6
1
48
1
2
1
3
2
−
La fonction possède donc un minimum au point P1 =
3 1
P2 =
,
.
4 4
1
− , 0 et un maximum au point
4
Voici la méthode générale afin de trouver les extrémums absolus d’une fonction définie sur un domaine
fermé et borné :
Soit D un domaine fermé et f (x, y) une fonction définie sur D.
1. Trouvez les points critiques à l’intérieur de D, c’est-à-dire les points (x, y) pour lesquels
∇f (x, y) = (0, 0).
2. Trouvez les points critiques sur la frontière de D, à savoir ∂D, en la transformant en
une fonction à une variable (soit en x, soit en y) grâce à l’équation de la frontière.
3. Placez les points obtenus aux deux étapes précédentes dans un tableau.
4. Ajoutez les « sommets » de la frontière s’il y a lieu.
5. Évaluez la fonction en chacun de ces points et comparez les valeurs obtenues.
Il existe également une méthode, appelée la méthode des multiplicateurs de Lagrange, qui peut être
parfois plus simple afin de déterminer les points critiques sur la frontière d’un domaine fermé. En
fait, il s’agit de remplacer le point 2. par « Utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange ».
Cette méthode fait l’objet de la section qui suit.
3.7.4
Extremums liés et la méthode des multiplicateurs de Lagrange
On cherche une façon de maximiser ou de minimiser la fonction f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0.
On verra qu’il suffit de chercher les points P0 pour lesquels le vecteur ∇f (P0 ) est parallèle au vecteur
∇g(P0 ), c’est-à-dire qu’on doit chercher les points P0 qui sont les solutions du système
∇f (P0 ) = λ∇g(P0 ),
g(P0 )
= 0,
pour un certain λ ∈ R, à déterminer comme troisième inconnue.
Voici pourquoi. D’abord, le graphe de g(x, y) = 0 est une courbe C dans R2 . On cherche les points
P0 = (x0 , y0 ) de C pour lesquels f (x, y) atteint un maximum ou un minimum alors que (x, y)
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
233
parcourt les points de C. Pour simplifier le propos, supposons que P0 est un point où f atteint
un maximum sur C. Considérons une paramétrisation de C : G(t) = (x(t), y(t)). Soit t0 tel que
~ 0 , où O désigne l’origine. Puisqu’on s’intéresse seulement aux points
G(t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )) = OP
(x, y) qui sont sur C, la fonction f sur C peut s’écrire sous la forme
u(t) = f (x(t), y(t)).
Or, il découle de la formule de la dérivée d’une fonction composée (voir (20)) que
u0 (t) = fx (x(t), y(t))x0 (t) + fy (x(t), y(t))y 0 (t) = ∇f (x(t), y(t)) • G0 (t).
Puisque f atteint un maximum en P0 , cela veut dire que u0 (t0 ) = 0 et donc que
(43)
∇f ((x(t0 ), y(t0 )) • G0 (t0 ) = 0.
En admettant (sans justification) que G0 (t0 ) 6= (0, 0) lorsque la courbe C est suffisamment régulière,
on peut tirer deux conséquences de (43) : soit que ∇f (P0 ) = (0, 0), soit que ∇f (P0 ) 6= (0, 0) et est
donc perpendiculaire à G0 (t0 ). Dans ce dernier cas, on conclut que ∇f (P0 ) est parallèle à ∇g(P0 ),
puisque ∇g(P0 ) est aussi perpendiculaire à G0 (t0 ), qui est un vecteur tangent à la courbe C en P0 .
C’est pourquoi ∇f (P0 ) = λ∇g(P0 ), pour un certain λ ∈ R.
Qu’en est-il du cas de (43) avec ∇f (P0 ) = (0, 0) ? Le point P0 est alors un point critique de f situé
sur la courbe-contrainte C. Si P0 donne un maximum (ou un minimum) local de f , il en sera de
même en passant par P0 tout en se restreignant au parcours de la courbe C. Par contre, si P0 est
un point de selle de f , tout peut arriver sous la contrainte envisagée. Voici d’ailleurs trois exemples
où le lecteur est invité à faire les calculs et les dessins dans chaque cas :
Exemple 66.
i) f (x, y) = xy, g(x, y) = x − y, P0 = (0, 0) est la solution du système
∇f = λ∇g,
g
= 0,
et ∇f (P0 ) = (0, 0). Ici, P0 est un point de selle de f , et on peut voir géométriquement
que P0 donne un minimum de f sur la courbe C d’équation g = 0.
ii) f (x, y) = xy, g(x, y) = x + y. Nous faisons face à la même situation qu’en i), sauf que P0
donne un maximum de f sur C.
iii) f (x, y) = xy, g(x, y) = x2 − y. La situation est semblable à celles en i) et ii), sauf que P0
ne correspond ni à un maximum ni à un minimum de f sur C.
La méthode de Lagrange On conclut en disant que pour maximiser ou minimiser la fonction
f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0, il faut chercher les solutions x et y (et λ si nécessaire)
du système d’équations
∇f (x, y) = λ∇g(x, y),
(44)
g(x, y)
= 0.
234
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Ce système d’équations est équivalent au système de trois équations

= λgx ,
 fx
fy
= λgy ,
(45)

g(x, y) = 0,
ou encore au système

 Lx
Ly

Lλ
(46)
= 0,
= 0,
= 0,
où L désigne la fonction de Lagrange
L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y),
qui, en quelque sorte, rassemble les éléments principaux du problème posé, et avec laquelle (46)
représente évidemment un système équivalent à (45) ou à (44).
Note Cette méthode a été découverte par le mathématicien français (né cependant à Turin) JosephLouis Lagrange (1736-1813) et c’est pourquoi elle est connue sous le nom de la méthode des
multiplicateurs de Lagrange. Mentionnons que cette méthode s’applique également aux fonctions
de plus de deux variables. Voici deux exemples correspondant, respectivement, aux cas de fonctions
de deux et de trois variables.
Exemple 67. On doit construire une passe à truites dont chaque échelon est une boîte rectangulaire, telle qu’illustrée de côté et de face (figure 3.21).
Figure 3.21
L’intérieur de la boîte (le fond et les deux parois latérales) doit être tapissé d’une feuille de
métal de un mètre de largeur à plier à deux endroits, comme le montre la figure 3.22.
Figure 3.22
En construisant les coffres de la passe, comment seront les dimensions correspondantes pour
faire en sorte que chaque coffre de la passe ait une contenance maximale ?
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
235
Pour résoudre ce problème, il faut d’abord interpréter « contenance maximale » comme l’exigence d’avoir une coupe transversale, ou de face, d’aire maximale, dont les dimensions x et y
sont à déterminer (figure 3.23).
Figure 3.23
Cela revient à trouver le maximum de la fonction f (x, y) = xy en respectant la contrainte
x + 2y = 1. Ici, on est certain qu’on trouvera un maximum, en raison du contexte concret du
problème. En effet, si l’on plie la feuille de métal très près des bords (hauteur y très petite),
on obtiendra une conduite qui ne contiendra presque rien (contenance minimale ≈ 0). On
obtiendra le même résultat si les deux plis sont très près du milieu. Il s’avère donc que c’est
avec une configuration intermédiaire appropriée qu’on créera une contenance maximale.
On peut faire la carte topographique de f (x, y) = xy, dans le premier quadrant, et dessiner la
courbe-contrainte C d’équation x + 2y = 1. On constate alors que le long de C, on atteint une
valeur maximale (et non pas minimale) de f , comme nous le laissait déjà supposer le contexte
physique. La résolution du problème est donc essentiellement de nature géométrique.
Résolvons le problème par la méthode de Lagrange. La fonction à maximiser est f (x, y) = xy
et la contrainte est g(x, y) = x + 2y − 1 = 0, soit le niveau 0 de la fonction de deux variables
g(x, y) = x + 2y − 1. On doit résoudre les équations
∇f (x, y) = λ∇g(x, y),
x + 2y − 1 = 0,
à savoir
(y, x) = λ(1, 2),
x + 2y = 1.
Ainsi, x = 2λ = 2y. Donc, avant même d’avoir résolu numériquement ces équations, on sait que
x doit être le double de y. La méthode de Lagrange fournit fréquemment ce genre d’information
qualitative. Avec la dernière équation, on obtient aisément y = 1/4, d’où x = 1/2.
On peut évidemment résoudre par substitution, à l’aide de la contrainte. L’aire A = f (x, y) =
xy devient une fonction d’une variable :
A = (1 − 2y)y.
d2 A
dA
= 0 a comme solution y = 1/4, alors que
= −4 < 0 confirme qu’on a un
dy
dy 2
maximum de A. On trouve x = 1 − 2y = 1 − 2(1/4) = 1/2.
L’équation
Exemple 68. On cherche le point (x, y, z) sur la sphère x2 +y 2 +z 2 = 1 qui est le plus éloigné du
point (1, 2, 3). On cherche donc à maximiser la fonction f (x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 ,
236
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
soit le carré de la distance entre (x, y, z) et (1, 2, 3), sous la contrainte g(x, y, z) = x2 + y 2 +
z 2 − 1 = 0. On cherche ainsi les points P = (x, y, z) qui satisfont l’équation
∇f (P ) = λ∇g(P ).
Cette dernière équation se compose en réalité de trois équations, soit
2(x − 1)
=
2λx,
2(y − 2)
2(z − 3)
=
=
2λy,
2λz.
À celles-ci s’ajoute l’équation x2 + y 2 + z 2 = 1. On est donc en face d’un système de quatre
équations à quatre inconnues. Les trois premières équations mènent à
x=
1
,
1−λ
y=
2
,
1−λ
z=
3
,
1−λ
car λ = 1 est impossible. En substituant
ces trois expressions dans la quatrième équation, on
√
trouve (1 − λ)2 = 14, d’où λ = 1 ± 14. Il y a donc deux points extrêmes possibles :
2
3
1
2
3
1
√ ,√ ,√
,
−√ , −√ , −√
.
14
14
14
14
14
14
Il est clair que le premier de ces points est un minimum de f , c’est-à-dire le point de la sphère
qui est le plus près de (1, 2, 3). Le deuxième de ces points est, quant à lui, un maximum de f ,
c’est-à-dire le point de la sphère qui est le plus loin de (1, 2, 3).
Extremums liés avec deux contraintes
Supposons que f , g et h soient des fonctions de trois variables dont les dérivées partielles d’ordre 1
existent et sont continues sur un domaine D. Supposons également qu’on cherche le maximum de
f (x, y, z) sous les deux contraintes g(x, y, z) = 0 et h(x, y, z) = 0. Nous allons montrer que si un tel
point maximum P0 = (x0 , y0 , z0 ) existe, alors il existe deux nombres réels λ et µ tels que
(47)
∇f (P0 ) = λ∇g(P0 ) + µ∇h(P0 ).
Voici une ébauche de démonstration. Supposons que les surfaces g = 0 et h = 0 se rencontrent en
une courbe C (dans R3 ). On « paramétrise » C par la fonction G(t) = (x(t), y(t), z(t)). Si f atteint
un maximum en un point P0 = (x0 , y0 , z0 ) sur C lorsque (x, y, z) parcourt les points de C, et si
G(t0 ) = P0 , alors
∇f (P0 ) • G0 (t0 ) = 0.
En laissant de côté le cas où ∇f (P0 ) = (0, 0, 0), cas suffisamment abordé à la suite de l’équation
(43), on considère que ∇f (P0 ) 6= (0, 0, 0) et que c’est donc un vecteur perpendiculaire à G0 (t0 ). Or,
∇g(P0 ) est un vecteur perpendiculaire à la surface de niveau g(x, y, z) = 0, alors que ∇h(P0 ) est un
vecteur perpendiculaire à la surface de niveau h(x, y, z) = 0. Il s’ensuit que ∇g(P0 ) et ∇h(P0 ) sont
tous deux perpendiculaires à G0 (t0 ) au point P0 , puisque ce dernier vecteur est tangent à chacune
des deux surfaces de niveau g = 0 et h = 0. On a ainsi établi que ∇f (P0 ), ∇g(P0 ) et ∇h(P0 ) sont
tous perpendiculaires à G0 (t0 ) au point P0 . Il s’ensuit que ∇f (P0 ) est dans le plan engendré par les
vecteurs ∇g(P0 ) et ∇h(P0 ) (vecteurs qu’on suppose non parallèles). Cela signifie qu’il existe deux
nombres réels λ et µ tels que ∇f (P0 ) = λ∇g(P0 ) + µ∇h(P0 ), ce qu’il fallait montrer.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
237
Ainsi, pour résoudre un problème d’extremum en présence de deux contraintes, on résout une équation de la forme (47), accompagnée des deux contraintes, pour x, y et z (et λ et µ, si nécessaire).
3.8
Les fonctions implicites et leurs dérivées
On a l’habitude d’exprimer le fait que la variable y dépend de la variable x en écrivant cette relation
sous la forme explicite
y = f (x).
Toutefois, cette dépendance entre deux variables x et y n’est pas toujours aussi facile à exprimer
explicitement. Par exemple, deux variables x et y peuvent être liées par l’équation
(48)
y 2 + yx + x2 + 1 = 0.
Une telle relation ne peut s’écrire sous la forme y = f (x). Cette relation (48) peut toutefois s’écrire
sous la forme dite « implicite »
F (x, y) = 0,
où F (x, y) = y 2 + yx + x2 + 1. La relation définit donc implicitement la variable y en fonction de la
variable x, représentée par une courbe dans R2 . L’exemple le plus simple de courbe dans R2 qui est
définie implicitement est celle du cercle (x − a)2 + (y − b)2 = r2 , soit le cercle de rayon r centré au
point (a, b). Un autre exemple classique, mais plus pointu, est celui de la courbe
F (x, y) = x3 + y 3 − 3xy = 0,
appelée le folium de Descartes. Au point x = 0 correspond la valeur y = 0. Toutefois, à certaines
valeurs de x > 0, par exemple à x = 1, correspondent trois valeurs différentes de y. En effet, avec
x = 1, la relation devient y 3 − 3y + 1 = 0, soit une équation qui possède trois racines réelles.
Exemple 69. L’équation
(49)
12, 87
P+
(V − 0, 1142) = 24, 615
V2
pour l’isobutane (2-méthyl propane) à 300 °K peut être considérée comme le niveau 24,615 de
la fonction
12, 87
f (P, V ) = P +
(V − 0, 1142).
V2
L’équation (49) impose donc une dépendance entre P et V . Si l’on considère que P doit s’ajuster
aux valeurs assignées librement à V , on considère en fait V comme variable indépendante et P
comme fonction de V . Cela peut être exhibé explicitement en isolant P dans l’équation (49) :
P =
12, 87
24, 615
−
.
V − 0, 1142
V2
Si, au contraire, on décide que P est la seule variable indépendante (valeurs choisies librement
en premier), la loi exprimée par l’équation (49) impose à V de prendre des valeurs qui dépendent
238
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
de celles de P . Comme il est difficile algébriquement d’isoler V en fonction de P à partir de
l’équation (49) (voir la fin du prochain exemple), la dépendance de V par rapport à P est dite
implicite. On dit également que V est fonction implicite de P , définie par l’équation (49).
Exemple 70. L’isobutane (2-méthyl propane) à pression, température et volume variables,
satisfait l’équation de van der Waals
12, 87
(V − 0, 1142) = 0, 08205T,
(50)
P+
V2
qu’on peut aussi écrire comme
12, 87
(51)
P+
(V − 0, 1142) − 0, 08205T = 0.
V2
Sous cette dernière forme, l’équation est le niveau 0 de la fonction
12, 87
F (P, T, V ) = P +
(V − 0, 1142) − 0, 08205T.
V2
Il y a donc une dépendance entre P , T et V qui fait en sorte que la loi (50) ou (51) soit satisfaite.
On peut voir explicitement la dépendance de P par rapport à T et à V (ces deux dernières étant
alors retenues comme variables indépendantes) en isolant P en fonction de T et de V à partir
de l’équation (50) :
P =
12, 87
0, 08205T
−
.
V − 0, 1142
V2
De même, si P et V sont prises comme variables indépendantes, on isole facilement T afin de
montrer explicitement la dépendance de T par rapport à P et à V .
Enfin, si l’on choisit librement P et T (variables indépendantes, donc), la loi (50) ou (51) à
satisfaire exige que V dépende des choix de P et de T : c’est dire que l’équation (50) ou (51)
définit V comme fonction implicite de P et de T . En effet, il n’est pas facile d’isoler la variable
V algébriquement, puisqu’on se retrouve avec une équation cubique en V :
3
(P V 2 + 12, 87)(V − 0, 1142) − 0, 08205T V 2
=
0,
2
=
0.
P V − (0, 1142P + 0, 08205T )V + 12, 87V − 1, 469754
Remarque Dans chacun des exemples précédents, on peut considérer que l’équation (49) définit P
comme fonction implicite de V , alors que l’équation (51) définit P comme fonction implicite de T
et de V . On est libre d’adopter cette perspective ou d’exprimer P explicitement comme on l’a déjà
fait.
Exemple 71. Revenons à l’exemple plus simple du cercle x2 + y 2 = 1. Au voisinage du point
P0 = (1, 0), on voit bien, géométriquement, qu’il n’est pas possible de définir y comme étant
une fonction explicite de x. Par contre, au√voisinage du point (0, 1), on peut écrire y comme
étant une fonction de x, c’est-à-dire y = + 1 − x2 .
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
239
De manière générale, on peut donc se poser naturellement la question suivante : étant donné une
courbe F (x, y) = 0, en quels points P0 = (x0 , y0 ) situés sur cette courbe est-il possible de définir
localement y comme une fonction de x, donc d’écrire y = f (x) pour une certaine fonction f ? Par
localement, on entend sur un petit rectangle ouvert R ayant le point P0 comme centre, c’est-à-dire
R =]x0 − ∆x, x0 + ∆x[ × ]y0 − ∆y, y0 + ∆y[,
pour certains nombres réels positifs ∆x et ∆y.
On énonce sans démonstration le résultat suivant :
Théorème des fonctions implicites Soit F (x, y), une fonction telle que les dérivées partielles
d’ordre 1 existent et sont continues, et soit P0 = (x0 , y0 ), un point situé sur la courbe
F (x, y) = 0. Supposons que Fy (P0 ) 6= 0. Alors, il existe un petit rectangle R =]x0 − ∆x, x0 +
∆x[ × ]y0 − ∆y, y0 + ∆y[ autour du point P0 et une fonction f définie sur ]x0 − ∆x, x0 + ∆x[
et à valeurs dans ]y0 −∆y, y0 +∆y[ tels que le graphe de f coïncide avec la courbe F (x, y) = 0
dans R. De plus, on a
f 0 (x0 ) = −
Fx (x0 , y0 )
.
Fy (x0 , y0 )
Ce qui est surprenant de ce résultat est que nous n’avons aucune information sur la fonction f (x)
en elle-même, sauf sur sa dérivée en un point. En fait, le théorème nous dit seulement que cette
fonction existe et nous donne sa dérivée en un point.
De plus, il est possible d’énoncer le théorème des fonctions implicites dans le cas où nous voulons
considérer x comme une variable dépendante de la variable indépendante y. Dans ce cas-ci, il existe
localement une fonction g telle que x = g(y) lorsque Fx (x0 , y0 ) 6= 0, et le théorème permet de
conclure que
g 0 (y0 ) = −
Fy (x0 , y0 )
.
Fx (x0 , y0 )
2xy
+ sin y − 2 = 0. Peut-on écrire y comme étant une fonction
π
de x autour du point (1, π/2) (qui est bien un point de la courbe) ? Si oui, quel est le taux de
variation de y comme fonction de x au point (1, π/2) ?
Exemple 72. Soit F (x, y) =
D’abord, on a
Fy (1, π/2) =
2x
2
+ cos y
= 6= 0.
π
π
(1,π/2)
On peut donc écrire y comme étant une fonction de x au voisinage du point (1, π/2). Par ailleurs,
on a
y 0 (1) = −
Fx (1, π/2)
2y/π
1
π
=−
=−
=− .
Fy (1, π/2)
2x/π + cos y (1,π/2)
2/π
2
240
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Exemple 73. Soit F (x, y) = x3 + y 3 − 3xy = 0. Pour chacun des points
2 4
P1 = (0, 0),
P2 =
,
,
P3 = 22/3 , 21/3
3 3
de la courbe F (x, y) = 0, existe-t-il une fonction f qui coïncide avec F (x, y) = 0 dans un
voisinage du point correspondant ?
On calcule d’abord
Fy (x, y) = 3(y 2 − x),
laquelle expression vaut 0 aux points P1 et P3 , alors qu’au point P2 , elle vaut 10/3. En ce dernier
point, on a donc que y peut s’écrire sous la forme y = f (x) et que
f 0 (2/3) = −
Fx (2/3, 4/3)
= 4/5.
Fy (2/3, 4/3)
On peut généraliser le théorème des fonctions implicites aux surfaces dans R3 . On obtient alors :
Théorème des fonctions implicites (pour les fonctions de trois variables) Soit F (x, y, z),
une fonction telle que les dérivées partielles d’ordre 1 existent et sont continues, et soit
P0 = (x0 , y0 , z0 ), un point situé sur la surface F (x, y, z) = 0. Supposons que Fz (P0 ) 6= 0.
Alors, il existe un petit parallélépipède rectangle
R =]x0 − ∆x, x0 + ∆x[ × ]y0 − ∆y, y0 + ∆y[ × ]z0 − ∆z, z0 + ∆z[
autour du point P0 et une fonction f définie sur
]x0 − ∆x, x0 + ∆x[ × ]y0 − ∆y, y0 + ∆y[
et à valeurs dans ]z0 −∆z, z0 +∆z[ tels que le graphe de f coïncide avec la surface F (x, y, z) = 0
dans R. De plus, on a
fx (x0 , y0 ) = −
Fx (x0 , y0 , z0 )
Fz (x0 , y0 , z0 )
et
fy (x0 , y0 ) = −
Fy (x0 , y0 , z0 )
.
Fz (x0 , y0 , z0 )
Ces deux dernières relations découlent du fait que si z = f (x, y) au voisinage du point P0 , alors la
relation F (x, y, z) = 0 devient F (x, y, f (x, y)) = 0, de sorte qu’on a
u(x, y) = F (x, y, f (x, y)) = 0
et ainsi
ux (x, y) = Fx + Fz fx = 0 =⇒ fx = −
Fx
.
Fz z=f (x,y)
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
241
De même, on a
uy (x, y) = Fy + Fz fy = 0 =⇒ fy = −
Fy
.
Fz z=f (x,y)
Tout comme dans le cas du théorème des fonctions implicites à deux variables, il est possible de
réécrire celui à trois variables dans le cas où nous voulons considérer x = g (y, z) ou y = h (x, z).
Exemple 74. Soit F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 et P0 = (0, 0, 1). Alors, Fz = 2z et
Fz (0, 0, 1) = 2 6= 0. On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites pour les
fonctions de trois variables, auquel cas on obtient qu’au voisinage du point P0 = (0, 0, 1) de la
sphère unité, on peut écrire z comme z = f (x, y) et, de plus,
fx (0, 0) = −
Fx (0, 0, 1)
2x
= 0.
=−
Fz (0, 0, 1)
2z (0,0,1)
De même, on a fy (0, 0) = 0.
Exemple 75. On considère V comme fonction implicite de P définie à l’équation (49). Sachant
que P = 2 et V = 11, 88549 sont des valeurs expérimentales satisfaisant l’équation (49), on
s’intéresse maintenant au taux instantané de variation de V si P croît à partir de P = 2.
dV
En fait, on doit calculer
dans les conditions observées. Comme l’équation (49) est le niveau
dP
24,615 de la fonction
12, 87
f (P, V ) = P +
(V − 0, 1142),
V2
on aura
dV
fP
(1 + 0)(V − 0, 1142)
=−
=−
.
2×12,87
dP
fV
0− V3
(V − 0, 1142) + P + 12,87
×1
V2
dV
≈ −6, 16 (litres par atmosphère).
dP
On aurait pu obtenir le même résultat en procédant autrement. Ainsi, en faisant le calcul à
partir de l’équation (49), soit
12, 87
P+
(V − 0, 1142) = 24, 615,
V2
Avec P = 2 et V = 11, 88549, on obtient
on dérive chaque membre par rapport à la variable indépendante P , tout en tenant compte du
fait que V est une fonction de P :
12, 87
d
d
P+
(V − 0, 1142)
=
(24, 615),
dP
V2
dP
12, 87
2 × 12, 87 dV
dV
(V − 0, 1142) + P +
= 0.
1−
×
V3
dP
V2
dP
242
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Si on isole
dV
, on obtient bien sûr la même expression qu’avec la première approche.
dP
On termine cette section en rappelant qu’il est possible de calculer toutes les autres dérivées d’une
fonction implicite z(x, y) définie par une équation f (x, y, z) = k. Par exemple, dès que les dérivées
∂z
∂z
partielles
et
sont évaluées, par les méthodes propres aux fonctions implicites, on peut écrire
∂x
∂y
le gradient de z, soit
∇z = (zx , zy ),
et calculer alors toute dérivée directionnelle de z correspondant à une variation simultanée de x et
de y décrite par un vecteur unitaire ~u :
D~u z = ∇z • ~u.
D’autre part, si x et y sont fonctions d’une autre variable t (le temps, par exemple), on peut
immédiatement calculer la dérivée de z comme fonction composée de t :
x
%
&
&
%
t
z
y
|
{z
z fonction implicite
}
On a ainsi
dz
dx
dy
= zx
+ zy ,
dt
dt
dt
où zx et zy s’obtiennent en tenant compte du fait que z est fonction implicite de x et y. La situation
est semblable si l’on a un autre schéma de fonction composée, par exemple :
u
−→
x
&
%
&
z
%
v
−→
y
|
{z
z fonction implicite
}
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
3.9
Les équations différentielles exactes
3.9.1
L’équation différentielle d’une famille f (x, y) = c
243
Commençons par faire un retour sur l’obtention de l’équation différentielle d’une famille de courbes
(section 2.1.10, page 66) afin d’observer davantage ce qui se passe. Avec une famille comme celle
donnée par x2 − xy = c, de paramètre c, ou considérée comme la famille des courbes de niveau de
la fonction f (x, y) = x2 − xy, on trouve l’équation différentielle associée à cette famille en dérivant
chaque membre de l’équation par rapport à x, tout en tenant compte du fait que y est une fonction
(implicite) de x pour chaque choix de la constante c :
dy
= 0,
2x − y + x
dx
dy
= 0.
(2x − y) + (−x)
dx
On remarque que (2x − y) et (−x) correspondent respectivement à fx et à fy , pour la bonne raison
que c’est ce qui se produit en général. En effet, à partir de f (x, y) = c, on peut faire une dérivation
par rapport à x, d’où
x
∂
(f (x, y))
∂x
dy
c’est-à-dire, fx + fy
dx
=
0,
=
0,
%
x
& f
%
−→ y
| {z }
y fonction de x
car le membre de gauche est la dérivée d’une fonction composée.
En résumé, l’équation différentielle associée à une famille de courbes de la forme
(52)
f (x, y) = c
est
(53)
fx + fy
dy
= 0.
dx
Réciproquement, si une équation différentielle
dy
=0
dx
est de la forme (53), la famille (52) représente l’ensemble des courbes-solutions. Voici un petit exemple
qui s’ajoutera à celui du début de la présente section :
p(x, y) + q(x, y)
Exemple 76. L’équation différentielle 2xy + (x2 + y 2 )
dy
= 0 a p(x, y) = 2xy = fx et q(x, y) =
dx
244
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
y3
. La solution générale (famille de solutions) se représente donc
3
y3
par f (x, y) = c, c’est-à-dire x2 y +
= c. Évidemment, si l’on cherche l’équation différentielle
3
associée à cette famille, on retrouve l’équation différentielle proposée au départ.
x2 +y 2 = fy , où f (x, y) = x2 y+
3.9.2
Équations différentielles exactes et méthode de résolution
Comment peut-on reconnaître rapidement qu’une équation différentielle
(54)
p(x, y) + q(x, y)
dy
=0
dx
est de la forme (53) ? Si c’est bien le cas, on a p(x, y) = fx et q(x, y) = fy pour une certaine fonction
f (x, y) et, en conséquence, py = qx , car leur valeur commune est fxy = fyx (selon le théorème de
Schwarz).
On dit que l’équation différentielle (54) est exacte lorsque la condition py = qx est satisfaite (cette
condition s’appelle le test d’exactitude). On s’attend alors à ce que p(x, y) = fx et q(x, y) = fy
pour une certaine fonction f (x, y) et à ce que la solution générale de l’équation différentielle soit
de la forme f (x, y) = c. Est-il possible de retrouver f (x, y) ? Si l’on ne la devine pas par simple
observation, il faut alors la construire. Voici un exemple qui illustre cette méthode.
Exemple 77. Considérons l’équation différentielle
1
1
x dy
− +
= 0.
x y y 2 dx
Ici, p(x, y) =
donc exacte.
1
1
1
x
1
− , avec py = 2 , et q(x, y) = 2 , avec qx = 2 . L’équation différentielle est
x y
y
y
y
Il reste à identifier f (x, y) telle que p = fx et q = fy . Notre équation différentielle sera alors de
la forme (53) et sa solution générale de la forme (52), soit f (x, y) = c.
La condition p = fx permet de construire une forme provisoire de f (x, y). En effet, fx = p =
1 1
x
− entraîne que f (x, y) = ln |x| − + g(y), où g(y) peut être une fonction quelconque de y
x y
y
(seulement).
C’est l’autre condition q = fy qui nous permettra de connaître la forme définitive de f (x, y).
D’une part, à partir de la forme provisoire de f (x, y), on a
x
fy = 0 + 2 + g 0 (y),
y
où g 0 (y) désigne la dérivée de g(y) par rapport à y. D’autre part,
x
fy = q = 2 ,
y
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
245
et c’est pourquoi
x
+ g 0 (y) =
y2
g 0 (y) =
x
,
y2
0,
g(y) = 0 (ou constante).
x
x
Donc f (x, y) = ln |x| − et la solution générale de l’équation différentielle est ln |x| − = c.
y
y
Ici, il est facile d’isoler y en fonction de x, au besoin.
À noter que si l’on avait retenu g(y) = a, a constante, la solution générale aurait été la même,
car a aurait été « absorbée » par la constante c.
À noter également qu’en construisant f (x, y), l’ordre d’utilisation des conditions fx = p et
fy = q aurait pu être inversé.
Signalons enfin un détail mathématique : dans certains cas très particuliers, la construction de f (x, y)
selon la méthode de l’exemple précédent doit avoir lieu sur un domaine dit simplement connexe où
la condition py = qx se réalise. Habituellement, on ne se rend pas compte de la présence de cette
contrainte, sauf si l’on a affaire, par exemple, à une fonction qui n’est pas bien définie, telle que
arctan(y/x).
3.9.3
Facteur intégrant
On dit qu’une équation différentielle (54) n’est pas exacte lorsque py 6= qx .
Exemple 78. L’équation différentielle
(55)
(x2 − y 2 + 2xy) + (y 2 − x2 + 2xy)
dy
=0
dx
∂ 2
∂ 2
(x − y 2 + 2xy) = −2y + 2x et qx =
(y − x2 + 2xy) = −2x + 2y = (−1)py .
∂y
∂x
Elle n’est donc pas exacte.
donne py =
Un théorème mathématique affirme qu’il existe un nombre infini de facteurs intégrants d’une
telle équation différentielle, chacun étant une fonction µ(x, y) qui, multipliée avec chaque membre
de l’équation différentielle, produit une nouvelle équation différentielle équivalente à la précédente,
mais exacte cette fois. Le théorème ne donne aucune méthode pour construire un facteur intégrant.
Ce dernier doit donc être deviné ou obtenu par essais et erreurs. Ainsi, on peut finir par trouver
1
que µ = 2
est un facteur intégrant de (55), car l’équation différentielle transformée (après
(x + y 2 )2
multiplication par µ) est
x2 − y 2 + 2xy y 2 − x2 + 2xy dy
+
= 0,
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2 dx
et celle-ci est maintenant exacte, selon un calcul direct.
246
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
On conclut que les équations différentielles
p(x, y) + q(x, y)
dy
=0
dx
qui ne sont pas exactes (py 6= qx ) et pour lesquelles un facteur intégrant n’est pas facile à trouver
doivent, en pratique, être résolues par des méthodes numériques.
3.9.4
Différentielle exacte
Il reste à parler brièvement des présumées équations différentielles
(56)
p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0,
dont le membre de gauche est, en fait, une forme linéaire des différentielles dx et dy, du type de
la différentielle totale df = fx dx + fy dy. On essaie d’ailleurs de résoudre (56) en l’écrivant comme
suit :
fx dx + fy dy
=
0,
df
=
0,
=⇒
f (x, y)
= constante.
On dit que p(x, y)dx + q(x, y)dy est une différentielle exacte lorsque la condition d’exactitude
py = qx est satisfaite. On peut alors construire f (x, y) comme on l’a vu à l’exemple 77, page 244.
Trouver la solution générale de (56) revient donc à résoudre l’équation différentielle exacte p(x, y) +
dy
= 0, la famille f (x, y) = c étant la solution dans chaque cas.
q(x, y)
dx
3.10
Résumé
— Le domaine d’une fonction réelle f (x, y), noté D(f ), est le plus grand sous-ensemble
de points de R2 pour lequel la fonction f (x, y) est définie.
— L’image d’une fonction réelle f (x, y), notée I(f ), est l’ensemble des valeurs que peut
prendre la fonction.
— Le graphe d’une fonction réelle f(x) est
G(f ) := (x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ D(f ) .
— Le graphe d’une fonction réelle f(x,y) est
G(f ) := (x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D(f ) .
— La courbe de niveau c de f (x, y) est le sous-ensemble de points (x, y) de R2 obtenu
par la résolution de
f (x, y) = c.
— La surface de niveau c de f (x, y, z) est le sous-ensemble (x, y, z) de R3 obtenu par
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
247
la résolution de
f (x, y, z) = c.
— La dérivée partielle par rapport à x de f (x, y), notée fx , s’obtient en dérivant la
fonction f (x, y) par rapport à x tout en considérant y comme une constante.
— La dérivée partielle par rapport à y de f (x, y), notée fy , s’obtient en dérivant la
fonction f (x, y) par rapport à y tout en considérant x comme une constante.
— La différentielle totale de f (x, y) au point (x0 , y0 ) est
df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) ∆x + fy (x0 , y0 ) ∆y
= fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy,
car ∆x = dx et ∆y = dy.
— Selon le théorème de Schwarz, si les dérivées partielles de f (x, y) existent et sont
continues au voisinage d’un point (a, b), alors l’ordre de dérivation n’a pas d’importance.
Ainsi,
fxy = fyx ,
fxxy = fxyx = fyxx ,
etc.
— Le gradient de f (x, y) au point (x0 , y0 ) est le vecteur
∇f (x0 , y0 ) = (fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )) .
— Soit ~v = (a, b) un vecteur de R2 . Alors,
~v
~v
~u =
=√
=
2
|~v |
a + b2
a
b
√
,√
2
2
2
a +b
a + b2
est un vecteur unitaire, c’est-à-dire |~u| = 1, qui est dans la même direction que le
vecteur ~v .
— Soit f (x, y) une fonction dont les dérivées partielles sont continues au point (x0 , y0 ).
Soit ~u = (u1 , u2 ) un vecteur unitaire. La dérivée directionnelle de f(x,y) au point
(x0 , y0 ) est
D~u f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) • ~u = (fx (x0 , y0 ) , fy (x0 , y0 )) • (u1 , u2 ) .
— Quelques propriétés du gradient :
? La direction donnée par ∇f (x0 , y0 ) est la direction où la dérivée directionnelle est
maximale au point (x0 , y0 ).
? La direction donnée par −∇f (x0 , y0 ) est la direction où la dérivée directionnelle
est minimale au point (x0 , y0 ).
? Si f (x0 , y0 ) = c, alors le vecteur ∇f (x0 , y0 ) est perpendiculaire à la courbe de
niveau c de f (x, y).
— Le plan tangent à la surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est donné par
l’équation
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 ) .
248
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Si nous posons z0 = f (x0 , y0 ), alors cette équation se ramène à
∇F (x0 , y0 , z0 ) • (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0,
où F (x, y, z) = z − f (x, y). Cette seconde équation est utile lorsqu’il semble difficile
d’isoler la variable z.
— Pour chaque entier n ≥ 1, nous avons n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1. Nous posons
également 0! = 1.
— Soit n ≥ 1. Le polynôme de Taylor de degré n de f (x) en x0 est
pn (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
k
(x − x0 ) .
Si nous posons ∆x = (x − x0 ) et écrivons seulement f (k) au lieu de f (k) (x0 ), alors
1
1
1
2
3
k
pn (x) = f + f 0 ∆x + f 00 (∆x) + f (3) (∆x) + · · · + f (k) (∆x) .
2
6
k!
n
n!
— Pour chaque entier n ≥ 1 et m ≥ 1, nous posons
=
.
m
m! (n − m)!
— Soit n ≥ 1. Le polynôme de Taylor de degré n de f (x, y) en (x0 , y0 ) est
k n
X
∂k
1 X k
m
k−m
f (x0 , y0 ) (∆x) (∆y)
,
pn (x, y) =
m
k! m=0 m ∂x ∂y k−m
k=0
où ∆x = x − x0 et ∆y = y − y0 . En particulier, si nous omettons les variables où sont
évaluées les dérivées, nous avons
1
2
2
pn = f + (fx ∆x + fy ∆y) +
fxx (∆x) + 2fxy ∆x∆y + fyy (∆y)
2
1
3
2
2
3
+
fxxx (∆x) + 3fxxy (∆x) ∆y + 3fxyy ∆x (∆y) + fyyy (∆y ) + · · ·
6
— Un point critique d’une fonction f (x, y) est un point (x0 , y0 ) du domaine de définition
de f qui satisfait
∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) .
— Le maximum absolu d’une fonction f (x, y) est la plus grande valeur que peut prendre
la fonction f sur son domaine de définition.
— Le minimum absolu d’une fonction f (x, y) est la plus petite valeur que peut prendre
la fonction f sur son domaine de définition.
— Un maximum local d’une fonction f (x, y) est un élément (x0 , y0 ) de D(f ) qui correspond à un maximum de la fonction f lorsque le domaine est restreint à un petit disque
centré en (x0 , y0 ).
— Un minimum local d’une fonction f (x, y) est un élément (x0 , y0 ) de D(f ) qui correspond à un minimum de la fonction f lorsque le domaine est restreint à un petit disque
centré en (x0 , y0 ).
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
249
— Un point de selle d’une fonction f (x, y) est un point (x0 , y0 ) du domaine de définition
de f pour lequel il est possible de trouver deux directions différentes ayant les propriétés
suivantes :
? Le point (x0 , y0 ) correspond à un minimum sur l’une des deux directions
? Le point (x0 , y0 ) correspond à un maximum sur l’autre direction
— Nous appelons Hessien de la fonction f (x, y) la fonction
2
Γf (x, y) = fxx (x, y) fyy (x, y) − fxy
(x, y)
en tout point où les dérivées partielles d’ordre 2 sont continues.
Signe de Γ
Γ>0
Γ>0
Γ<0
Signe de fxx
fxx < 0 ou fyy < 0
fxx > 0 ou fyy > 0
Nature du point P0
maximum local
minimum local
point de selle
— Méthode des multiplicateurs de Lagrange : Pour maximiser ou minimiser la fonction f (x, y) sous la contrainte g (x, y) = 0, il faut chercher les solutions x et y (et λ si
nécessaire) du système d’équations
(
∇f (x, y)
= λ∇g (x, y) ,
g (x, y) = 0.
— Méthode générale afin de trouver les extrémums absolus d’une fonction définie sur un
domaine fermé et borné : Soit D un domaine fermé et borné et f (x, y) une fonction
définie sur D.
1. Trouvez les points critiques à l’intérieur de D, c’est-à-dire les points (x, y) pour
lesquels ∇f (x, y) = (0, 0).
2. Trouvez les points critiques sur la frontière de D. Il y a deux manières d’y parvenir :
(a) Pour chacun des côtés de la frontière de D, utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange
(b) Pour chacun des côtés de la frontière de D, utilisez l’équation du dit côté afin
d’isoler soit la variable x, soit la variable y. Remplacez ensuite dans la fonction
f (x, y) pour ensuite optimiser une fonction à une variable.
3. Placez les points obtenus aux deux étapes précédentes dans un tableau.
4. Ajoutez les «sommets» de la frontière s’il y a lieu.
5. Évaluez la fonction en chacun de ces points et comparez les valeurs obtenues.
— Théorème des fonctions implicites (deux variables) : Soit F (x, y) une fonction
telles que les dérivées partielles d’ordre 1 sont continues. Pour tous les points (x0 , y0 )
tels que F (x0 , y0 ) = 0, si Fy (x0 , y0 ) 6= 0, alors il existe localement une fonction f telle
que y = f (x). De plus,
f 0 (x0 ) = −
Fx (x0 , y0 )
.
Fy (x0 , y0 )
250
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
— Théorème des fonctions implicites (trois variables) : Soit F (x, y, z) est une
fonction telles que les dérivées partielles d’ordre 1 sont continues. Pour tous les points
(x0 , y0 , z0 ) tels que F (x0 , y0 , z0 ) = 0, si Fy (x0 , y0 ) 6= 0, alors il existe localement une
fonction f telle que z = f (x, y). De plus,
fx (x0 , y0 ) = −
Fx (x0 , y0 , z0 )
Fz (x0 , y0 , z0 )
et
fy (x0 , y0 ) = −
Fy (x0 , y0 , z0 )
.
Fz (x0 , y0 , z0 )
EXERCICES
1. Pour chacune des fonctions f (x, y) définies ci-dessous, déterminer son domaine de définition
D(f ) ainsi que son ensemble de valeurs I(f ) :
x
a) f (x, y) = 2
,
x + y2
b) f (x, y) = e2x/y ,
c) f (x, y) = ln(x + y + 6),
x−y
,
x+y
x+y
e) f (x, y) =
.
x−y
d) f (x, y) =
2. Trouver le domaine de définition et l’ensemble des valeurs (image) des fonctions suivantes :
a) z = ln(x2 + y),
b) z = ln(ln(xy)),
p
√
c) z = 1 − x2 + 1 − y 2 ,
d) z =
1
1
+ .
x−y y
3. Trouver le domaine de définition et l’ensemble des valeurs des fonctions suivantes :
x √
a) z = arcsin
+ xy,
2
p
b) z = sin(x2 + y 2 ),
s p
R2
2
2
2
c) z = xy + x + y − R + ln
, où R est une constante.
x2 + y 2
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
251
4. Parmi les cinq fonctions suivantes, quatre ont le même domaine de définition :
f1 (x, y) = ln(1 + x2 + 2y 2 ), f2 (x, y) = ln(x2 + y 2 ),
p
2xy
f4 (x, y) = x2 + y 2 ,
f5 (x, y) =
1 + y2
f3 (x, y) = x3 +
2x
,
1 + x2 + y 2
Identifier la fonction qui n’a pas le même domaine de définition que les autres.
a) f1 (x, y),
b) f2 (x, y),
c) f3 (x, y),
d) f4 (x, y),
e) f5 (x, y),
f) Aucune de ces réponses.
5. Tracer dans R3 le graphe de chacun des plans suivants :
a) y = 2,
b) z = −4,
c) x + y + z = 2,
d) x + y = 1,
e) x + z = 1.
6. Dessiner le graphe de chacune des surfaces d’équations suivantes :
a) z = x4 + y 4 ,
b) z 2 = x2 + y 2 ,
p
c) |z| = x2 + y 2 ,
d) z = 4 − x2 − y 2 ,
e) z = x2 − y 2 ,
f) z =
1
x2 + y 2 + 1
,
g) 36x2 + 4y 2 + 9z 2 = 36,
h) x2 − 4x + 4y 2 + 8y + 4z 2 − 8z + 8 = 0.
7. Pour chacune des fonctions suivantes, tracer quelques courbes de niveau et en esquisser le
graphe.
a) f (x, y) = 4 − 3x + 2y,
p
b) f (x, y) = 100 − x2 − y 2 ,
p
c) f (x, y) = x2 + y 2 ,
252
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d) f (x, y) = x2 + y 2 .
8. Esquisser et décrire les surfaces données par les équations suivantes :
x2
y2
− ,
4
9
2
b) z = x ,
a) z =
c) 4x2 + y 2 = 16,
d) z 2 = y 2 + 4,
e)
x
y2
z2
=
+ .
4
4
9
9. Construire les courbes de niveau des fonctions suivantes :
a) z = x + y,
y
b) z = 2 ,
x
y
c) z = √ ,
x
d) z = ln(x2 + y),
e) z = arcsin(xy).
10. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de la fonction
r
y2
x2
− .
z = 1−
4
9
Représenter l’ensemble des courbes de niveau et le graphe de cette fonction.
11. On considère la fonction
f (x, y) = −2 +
2(x2 + y 2 )
.
1 + x2 + y 2
a) Déterminer le domaine de définition de f et l’ensemble des valeurs (image) de f .
1
b) Décrire, si elles existent, les courbes de niveaux − , −1 et 2 de f .
2
c) Faire une représentation graphique de la surface de f .
p
12. Soit f (x, y) = x2 + 4y 2 − 1.
a) Déterminer le domaine de définition de f et l’ensemble des valeurs (image) de f .
b) Décrire, si elles existent, les courbes de niveaux 0, 1 et 2 de f .
c) Faire une représentation graphique de la surface de f . La représentation sera peutêtre meilleure
p si l’on considère l’autre partie symétrique correspondant à la fonction
g(x, y) = − x2 + 4y 2 − 1.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
253
RT
afin
V
d’illustrer la carte topographique de la fonction P = P (T, V ). (Ici, R désigne une constante
positive.)
13. Dans le premier quadrant, T > 0 et V > 0, tracer quelques courbes de niveau de P =
14. En se basant sur l’expression algébrique définissant chacune des fonctions suivantes, identifier
le type de courbes de niveau qu’on retrouve dans la carte topographique correspondante :
a) f = f (x, y) = xy,
√
b) f = f (x, y) = xy, où x et y sont positives,
273P
,
273 + T
1
d) T = T (P, V ) = P V ,
R
c) ρ = ρ(P, T ) =
2
2
e) C = C(x, y) = e−(x +y ) ,
p
x2 + y 2 ,
f) f = f (x, y) = sin
g) S = S(B, G) = 35B(20 − B) + 50G,
h) f = f (x, y) = cos(x + y),
p
i) f = f (x, y) = x2 + y 2 − 1,
j) V = V (r, h) = πr2 h,
k) f = f (x, y) = y/x,
l) f = f (x, y) = x2 + 4y 2 ,
2
2
m) g = g(x, y) = e−(x +4y ) ,
y
1
ln(x2 + y 2 ) − (ln 0, 9) arctan
− ln 2.
2
x
Pour voir en quoi consiste la courbe de niveau k, écrire l’équation en coordonnées polaires.
n) f = f (x, y) =
15. Relier les fonctions a) à e) aux surfaces 3.24, 3.25, 3.26, 3.27 et 3.28 :
a) f (x, y) = y 2 − x2 ,
b) f (x, y) =
1
,
1 + x2 + y 2
c) f (x, y) = −
2
,
1 + x2 + y 2
1
,
x2 + y 2
x
e) f (x, y) = 2
.
x + y2
d) f (x, y) =
254
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.24
Figure 3.25
Figure 3.26
Figure 3.27
Figure 3.28
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
255
16. Parmi les représentations graphiques proposées ci-dessous (figures 3.29 à 3.34), identifier celles
qui peuvent être associées à chacune des fonctions suivantes :
a) f (x, y) = 3y 2 − x + 3,
b) f (x, y) = x sin(x + y),
c) f (x, y) = ln(x + y),
2
d) f (x, y) = ex −y ,
p
e) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 ,
f) f (x, y) = x3 + y 3 .
Figure 3.29
Figure 3.30
Figure 3.31
Figure 3.32
256
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.33
Figure 3.34
17. Pour chacun des cas suivants, identifier et représenter graphiquement l’intersection des deux
surfaces données.
p
a) 4 − z − x2 + y 2 = 0 et le plan y = x,
p
b) 4 − z − x2 + y 2 = 0 et le plan z = 2,
c) x2 + 3(y − z)2 = 3 et le plan x = 0,
d) x2 + 3(y − z)2 = 3 et le plan y = c, où c est une constante quelconque.
18. La surface donnée ici (figure 3.35) correspond-elle à f (x, y) = xy ou à g(x, y) =
√
xy ?
Suggestion Déterminer l’altitude z aux points (x, x) sur la droite y = x dans le premier
quadrant de la carte topographique.
Figure 3.35
19. On considère les trois fonctions
f (x, y)
=
g(x, y)
=
h(x, y)
=
2
2
e(x +2y ) ,
x2
+ y 2 − 3,
2
2y 2 − x2 − 3,
et la famille de courbes illustrée ci-dessous (figure 3.36).
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
257
Figure 3.36
Lequel des énoncés suivants est vrai ?
a) Les courbes illustrées correspondent aux courbes de niveau des fonctions f (x, y) et g(x, y).
b) Les courbes illustrées correspondent aux courbes de niveau d’une seule des trois fonctions,
soit la fonction f (x, y).
c) Les courbes illustrées correspondent aux courbes de niveau d’une seule des trois fonctions,
soit la fonction g(x, y).
d) Les courbes illustrées correspondent aux courbes de niveau d’une seule des trois fonctions,
soit la fonction h(x, y).
e) Les courbes illustrées correspondent aux courbes de niveau des fonctions g(x, y) et h(x, y).
f) Les cinq énoncés proposés sont faux.
20. Décrire géométriquement le graphe ou la surface de la fonction constante f (x, y) = c.
21. Associer les fonctions suivantes aux surfaces de niveau énumérées :
a) f (x, y, z) = x − 2y + 3z − 1,
b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + 4z 2 + 2,
2
2
c) f (x, y, z) = z − e−(x +9y ) ,
d) f (x, y, z) = (x2 + y 2 )z.
i – des ellipsoïdes emboîtés.
ii – des surfaces semblables à celle de l’exemple 13, page 185, et successivement empilées.
iii – des surfaces successivement empilées et semblables à celle en d) de l’exercice 15.
iv – des plans parallèles ayant comme vecteur normal (1, −2, 3).
22.
a) On considère, comme à l’exemple 46, page 213, une coupe longitudinale d’un contenant
258
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
cylindrique dans lequel on a une substance dont la concentration C varie selon la hauteur.
En tout point (x, y) de la tranche rectangulaire, on a
C = C(x, y) = 81 − 2y.
Dessiner des courbes d’égale concentration (courbes de niveau). Quelle est la surface
décrite par la carte topographique ?
b) On considère le contenant cylindrique lui-même (voir a)) dans lequel la concentration C
en chaque point (x, y, z) est donnée par
C = C(x, y, z) = 81 − 2z,
car on a placé le cylindre afin que son axe de symétrie soit l’axe des z. Quelles sont les
surfaces de niveau de C (surfaces d’égale concentration) ?
23. Laquelle des fonctions suivantes correspond au graphe donné à la figure 3.37 ?
a) f (x, y) = x2 − y 2 ,
b) f (x, y) =
1
,
x2 + y 2
x2
,
1 + y2
x
d) f (x, y) =
,
1 + y2
c) f (x, y) =
e) Aucune des réponses précédentes.
Figure 3.37
24. Considérons la fonction f (x, y) =
1 + y2
et les cinq surfaces suivantes :
1 + x2
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
Figure 3.38
Figure 3.39
Figure 3.40
Figure 3.41
Figure 3.42
Laquelle de ces surfaces représente le graphe de f (x, y) ?
a) La surface 3.41.
b) La surface 3.39.
c) La surface 3.40.
259
260
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d) La surface 3.42.
e) La surface 3.38.
f) Aucune des surfaces ne représente le graphe de f (x, y).
25. Calculer les dérivées partielles des fonctions f (x, y) suivantes aux points (x0 , y0 ) indiqués :
p
a) f (x, y) = x4 + y 4 , (x0 , y0 ) = (2, 3),
p
b) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , (x0 , y0 ) = (0, 0),
π
p
c) f (x, y) = sin(xy) x2 + y 2 , (x0 , y0 ) = 1,
.
2
26. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes :
a) z = xa y b (a, b entiers positifs),
2
b) z = ex y ,
c) z = x2 arctan(y/x),
d) w = (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 .
27. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes :
2
a) z = x4 y + exy ,
b) z = ln(y + 3x ),
2
c) z = x3 y − ex y ,
d) z = ex ln y.
28. Pour chacune des surfaces z = f (x, y) ci-dessous, établir l’équation du plan tangent à la
surface au point (x0 , y0 ) donné :
a) f (x, y) = 2x2 + 3y 2 ,
b) f (x, y) = xy,
(x0 , y0 ) = (1, 1),
(x0 , y0 ) = (1, 1),
c) f (x, y) = sin x sin y, (x0 , y0 ) = (π, π),
x
, (x0 , y0 ) = (1, 1).
d) f (x, y) = 2
x + y2
29. Trouver l’équation de la tangente à la courbe d’équation x3 + y 3 + 3x − y = 0 au point (0, 0).
a) y = 3x,
b) y = −3x,
1
x,
3
1
d) y = − x,
3
e) Aucune des réponses précédentes.
c) y =
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
261
30. On considère les fonctions f = f (x, y) dont la différentielle totale est donnée par df =
y dx + x dy.
a) Identifier les fonctions f .
b) Parmi les fonctions f obtenues en a), identifier celle qui prend la valeur 1 au point
P = (1, 1). On la notera f¯.
c) Déterminer l’équation de la normale à la courbe de niveau f¯ = 1 au point P = (1, 1).
31. On considère la surface définie par la fonction z = z(x, y) = x2 + y 2 + 2.
a) Établir l’équation du plan tangent en (x, y, z) = (1, 1, 4) sous forme analytique ou implicite (vectorielle).
b) Quelle est l’intersection de ce plan tangent avec le plan horizontal donné par z = 0 ?
1
aux points (0, 0, 1)
1 + x2 + y 2
et (1, 2, f (1, 2)). (Un dessin de la surface est donné à l’exercice 15.)
32. Trouver l’équation du plan tangent à la surface z = f (x, y) =
33. Trouver l’équation du plan tangent au graphe de la fonction f (x, y) = x2 − 3y 3 au point
(2, 1, 1).
34. Soit S, la surface donnée par l’équation z 2 = 3xy 2 + 2x2 y. Trouver l’équation du plan tangent
à S au point (1, 2, 4).
a) −20(x − 1) − 14(y − 2) + 8(z − 4) = 0,
b) −20(x − 1) − 14(y − 2) − 8(z − 4) = 0,
c) 14(x − 1) + 20(y − 2) + 8(z − 4) = 0,
d) −8(x − 1) + 14(y − 2) + 20(z − 4) = 0,
e) Aucune des réponses précédentes.
35. Déterminer tous les points de la surface d’équation z = x2 y + (1 − x)y 3 − y où le plan tangent
est horizontal.
36. On considère les fonctions f (x, y) = x2 + x + y + 1 et g(x, y) = x cos y + sin y + x2 + 1.
Lequel des énoncés suivants est vrai ?
a) Les graphes de f et g se rencontrent au point (0, 0, 1), ont le même plan tangent en ce
point et ce plan est horizontal.
b) Les graphes de f et g se rencontrent au point (0, 0, 1), ont le même plan tangent en ce
point et ce plan est vertical.
c) Les graphes de f et g ne se rencontrent pas au point (0, 0, 1) et le plan tangent au graphe
de f en ce point est horizontal.
d) Les graphes de f et g se rencontrent au point (0, 0, 1), ont le même plan tangent en ce
point et ce plan n’est ni horizontal ni vertical.
e) Les graphes de f et g se rencontrent au point (0, 0, 1), mais n’ont pas le même plan
262
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
tangent en ce point.
f) Aucune de ces réponses.
37. Pour un gaz parfait obéissant à P =
obtenir :
0, 08205T
, et dans les conditions où T = 300 et V = 12,
V
a) le taux instantané de variation de la pression à température constante et pour V croissant.
Donner les unités.
b) le taux instantané de variation de la pression lorsqu’on augmente la température tout en
maintenant le volume constant. Donner les unités.
38. Soit f (x, y) = x2 − 2y 2 .
a) Calculer la valeur de ∆f = f (1 + ∆x, 3 + ∆y) − f (1, 3) en termes de ∆x et de ∆y.
1
1
et ∆y = , calculer la valeur de ∆f .
2
4
c) Comparer la valeur obtenue en b) avec la valeur de la différentielle df (avec x = 1, y = 3,
1
1
dx = , dy = ).
2
4
b) Si ∆x =
39. Soit f (x, y) = x2 + xy + 2y 2 . Calculer la valeur approximative de f (1, 1, 0, 9).
p
40. Calculer la valeur approximative de 3, 022 + 3, 972 .
41. De quelle façon une petite erreur ∆x sur x se répercute-t-elle sur :
a) f (x) = ln x ?
b) g(x) = ex ?
42. Voici des cas d’addition d’erreurs relatives :
a) Si f (x, y) = cxy, c constante, montrer que les erreurs relatives sur x et y s’additionnent
lorsqu’on calcule une estimation de l’erreur relative résultante sur f .
x
b) Même exercice qu’en a), mais pour g(x, y) = c .
y
y
c) Même exercice qu’en a), mais pour h(x, y) = c .
x
c
d) Même exercice qu’en a), mais pour u(x, y) =
.
xy
RT
, quelle sera l’erreur sur P si l’on a des erreurs (relatives) de mesure sur T et
V
sur V ? (Voir l’exercice 42.)
43. Pour P =
44. Avec P =
1 %.
RT
, estimer l’effet sur P si T (6= 0) est diminuée de 0,4 % et V est augmenté de
V
45. Si la valeur de |x| est supérieure aux valeurs de |y|, de |z| et de |w|, la variable qui est
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
responsable de la plus grande variation du déterminant
x
z
y
w
263
= xw − yz est :
a) la variable w.
b) la variable z.
c) la variable y.
d) la variable x.
e) aucune des réponses précédentes.
46. On considère la fonction c = c(r, t) = 1 − e−t/r , qui est un modèle simple de la concentration
à l’intérieur de cellules (sphériques) immergées dans un milieu de concentration 1. Ici, r est
le rayon (variable) des cellules et t est le temps d’immersion. Si l’on prend des valeurs près
de r = 2 et de t = 4, avec au plus 2 % d’écart autour de r = 2 et au plus 2,5 % d’écart autour
de t = 4, estimer pour les valeurs de c ainsi obtenues la marge d’erreur autour de la valeur
c(2, 4).
47. On s’apprête à remplir d’eau une piscine circulaire qui a une profondeur constante p de
1 mètre et un rayon r de 4 mètres. La piscine devrait donc normalement contenir
× 1 000 litres = π × 16 000 litres = 50 265, 5 · · · litres.
V = πr2 p
(r,p)=(4,1)
Or, puisque les mesures effectuées pour calculer la profondeur de la piscine et son rayon
comportaient une imprécision possible de 1 %, combien de litres d’eau faut-il prévoir en plus
des 50 265 déjà comptés pour pallier ces erreurs possibles ?
a) Environ 1 005 litres.
b) Environ 1 508 litres.
c) Environ 503 litres.
d) Environ 2 011 litres.
e) Environ 2 513 litres.
48. Soit f (x, y) = x2 − y 2 . Pour des valeurs de x s’écartant de 2 d’au plus 2 % et pour des valeurs
de y s’écartant de 4 d’au plus 3 %, on peut estimer que les valeurs de f obtenues s’écartent
de f (2, 4) d’au plus :
a) 5 %
1
b) 9 %,
3
2
c) 6 %,
3
1
d) 1 %,
3
e) Aucune des réponses précédentes.
264
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
* 49. Pour l’équation différentielle
(
dy
= −ky,
dt
y(0) = y0 ,
supposons que nous ayons une erreur relative qui puisse aller jusqu’à 5 %, sur la condition
initiale y0 . Quelle est l’erreur se répercutant sur la solution ?
50. La masse M d’un serpent d’une espèce donnée est une fonction de la longueur L, soit
M = 429L2,9 .
a) Sachant que les constantes 429 et 2,9 sont des moyennes expérimentales avec des écarts
de 2 % et de 5 %, respectivement, autour de ces moyennes, trouver l’imprécision dans
l’évaluation de M . Considérer L comme exacte (un paramètre) et poser
M = M (x, y) = xLy .
Quel est le résultat en général ? Quel est le résultat pour L = 0, 6 ?
b) Reprendre le problème en a), sachant qu’on a aussi une erreur sur L de 0,5 %.
51. La hauteur h et le rayon r d’un cylindre de base circulaire varient en fonction du temps. Si, à
un instant donné, on a mesuré que r = 3 cm, h = 1 cm et que la hauteur h augmente au taux
de 2 cm par seconde, on cherche le taux de variation du rayon r qui permettra de maintenir
le volume à une valeur constante de 9π cm3 ; c’est lorsque :
a) r augmente au taux de 3 cm par seconde.
b) r diminue au taux de 1 cm par seconde.
c) r diminue au taux de 3 cm par seconde.
d) r augmente au taux de 1 cm par seconde.
e) Aucune des réponses précédentes.
52. La pollution de l’air dans une ville se mesure par un indice P qui dépend de deux facteurs :
— la quantité x de déchets solides (poussière, suie, etc.) dans l’air ;
— la quantité y de gaz nocifs (dioxyde de soufre, monoxyde de carbone, etc.) dans l’air.
Cet indice est décrit par la formule
P (x, y) = x2 + 2xy + 4xy 2 .
a) Quelle est la signification des expressions
∂P
∂P
et
au point (a, b) ?
∂x
∂y
b) Calculer ces quantités au point (10, 5).
c) Utiliser les dérivées partielles pour estimer ce qui modifie le plus l’indice P : une augmentation de 10 % de x ou une augmentation de 10 % de y, à partir des conditions x = 10,
y = 5.
53. En se référant à la figure 3.43, on aimerait connaître la distance entre A et B. Étant donné
qu’il y a un lac entre ces deux endroits, on est obligé de mesurer la distance entre A et un
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
265
point C, et celle entre B et ce même point C, ainsi que l’angle θ en C formé par CA et CB.
On a trouvé les résultats suivants : AC = 5 ± 0, 2, CB = 10 ± 0, 2 et θ = 60 ± 2 degrés.
Utiliser la différentielle pour évaluer la distance AB ainsi que l’erreur sur cette mesure.
Figure 3.43
54. La résistance électrique R d’un fil est directement proportionnelle à sa longueur et inversement
proportionnelle au carré de son diamètre. La longueur et le diamètre sont mesurés avec des
erreurs possibles respectives de ±1 % et ±3 %. Quelle est l’erreur maximale, exprimée en
pourcentage, commise sur la valeur obtenue de R ?
55. La résistance équivalente à deux résistances R1 et R2 branchées en parallèle est donnée par
1
1
1
=
+
.
Re
R1
R2
Si R1 = 300Ω ± 5Ω et R2 = 400Ω ± 5Ω, déterminer l’erreur maximale faite sur la mesure
de Re .
xy
56. Soit f (x, y) =
. Laquelle des relations suivantes est toujours vraie ?
2
df
4x
4y
a)
=
+
,
f
x
y
4x
4y
df
≤
+
,
f
x
y
df
1 4x
4y
c)
,
=
+
f
2
x
y
df
1 4x
4y
d)
≤
+
,
f
2
x
y
b)
e)
df
4x
4y
>
+
,
f
x
y
f) Aucune des cinq relations proposées.
57. Soit f (x, y) = ln x + ln y. Supposons que x = x(r, s) = res et que y = y(r, s) = re−s . Calculer
266
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
∂f /∂r et ∂f /∂s.
58. Soit f (x, y) =
point t = 1.
x2 y 2
x2 + y 2
. Supposons que x = x(t) = t et que y = y(t) = t2 . Calculer
df
au
dt
59. On étire un objet de forme cylindrique au taux de 2 cm par minute. Pendant ce temps, son
rayon diminue au taux de 0,1 cm par minute.
Quel est le taux instantané de variation du volume (V = πr2 h) de cet objet par rapport au
temps lorsque la longueur est de 20 cm et le rayon 1 cm ?
a) 2π,
b) 6π,
c) −4π,
d) −2π,
e) 0,
f) Aucune de ces réponses.
60. Montrer que si w = f (x/z, y/z), alors
x
∂w
∂w
∂w
+y
+z
= 0.
∂x
∂y
∂z
61. Une fonction f (x, y, z), une fois continûment dérivable, est dite homogène de degré n si f
vérifie : f (tx, ty, tz) = tn f (x, y, z) ∀x, y, z, t ∈ R.
Montrer que f satisfait la relation
∂f
∂f
∂f
x+
y+
z = nf.
∂x
∂y
∂z
Suggestion Dériver la première relation par rapport à t, puis poser t = 1.
62. Soit w = f (r, θ), r =
p
x2 + y 2 et θ = arctan (y/x). Déterminer
dérivées partielles en fonction de r et de θ.
∂f
∂f
et
. Exprimer les
∂x
∂y
Rappel x = r cos θ et y = r sin θ.
63. Supposons que les dimensions d’un parallélépipède à l’instant t0 soient données par
a(t0 ) = 13 cm,
b(t0 ) = 9 cm,
c(t0 ) = 5 cm.
Si a et c augmentent au taux de 2 cm par seconde, et si b décroît au taux de 4 cm par seconde,
trouver le taux de variation du volume et de l’aire.
64. Un gaz, dont la densité est ρ0 à une température de 0 °C et à une pression de 760 mm de
mercure, a une densité
273
P
ρ = ρ(T, P ) = ρ0
273 + T
760
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
267
à la température T et à la pression P .
À un moment particulier, on fait les observations suivantes : T = 20 et elle augmente au taux
de 2 unités par minute ; P = 1520 et elle diminue au taux de 25 unités par minute.
a) Traduire mathématiquement et graphiquement l’information donnée.
b) Calculer le taux de variation de ρ par rapport au temps au moment où les observations
sont faites. (En d’autres mots, on demande à quelle « vitesse » varie la densité.)
65. On administre à un patient par voie intraveineuse un soluté à l’aide d’une bouteille conique
dont le débit est contrôlé de façon à ce que le niveau du liquide baisse à un taux constant de
0,2 cm/min. Le rayon du dessus de la bouteille est de 5 cm, la hauteur est de 20 cm (en
supposant que la bouteille se termine en pointe).
a) Faire un schéma de fonction composée où intervient le volume V , la hauteur h et le
temps t.
b) À quel taux, en cm3 /min, le patient reçoit-il le soluté lorsque le niveau se situe au milieu
de la bouteille ?
c) Quel était le taux lorsque le système fut mis en marche ?
66. Lorsque les conditions sont T = −17, 8 °C et v = 6, 7 m/s, quel
√ est le taux (instantané) de
variation de l’indice de refroidissement C(v, T ) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T ), par rapport
au temps, si la température augmente à un taux de 2 °C à l’heure et si la vitesse du vent
diminue à un taux de 1,5 m/s à l’heure ? Quelles sont les unités ?
67. On étudie la croissance d’un type de micro-organisme dont la forme est celle d’un cylindre
circulaire droit fermé à chaque bout par un hémisphère.
Lorsque la longueur h de la partie cylindrique est 200 µm et le rayon r du cylindre et des
hémisphères est 30 µm, on constate que h augmente au taux de 5 µm par heure et que r
augmente au taux de 0,75 µm par heure.
À quels taux (instantanés) l’aire externe et le volume augmentent-ils dans les conditions
observées ? Quelles sont les unités ?
68. Un objet se déplace en suivant une courbe (sur une carte topographique). Son déplacement
se donne en fonction du temps t par :
x
= x(t) ,
y
= y(t) .
Le trajet est représenté par la ligne pointillée (figure 3.44). La vitesse en tout point sur la
courbe (en se référant à la carte topographique) est le vecteur
dx dy
~v =
,
.
dt dt
Les courbes de niveau de la carte topographique (lignes pleines) sont celles d’une fonction
f (x, y). (On peut penser à la température au sol.) Supposons qu’un observateur occupe la
position de l’objet en mouvement et que, pour lui, la variable significative soit le temps t.
268
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Quelle est alors son interprétation du taux instantané de variation de f en P0 , si l’on sait
qu’en ce point :
— la vitesse est ~v = (5, 2) ;
— f décroît de 0,5 unité par unité de distance en direction de l’est ;
— f croît de 1,2 unité par unité de distance en direction du nord ?
Figure 3.44
69. La tension V dans le circuit électrique représenté ci-dessous (figure 3.45) diminue avec
l’épuisement de la batterie.
Simultanément, le réchauffement du résisteur amène une augmentation de la résistance R.
Sachant que V = RI et qu’à un instant donné on a R = 600 ohms, I = 0, 04 ampère,
dR
dV
= 0, 5 ohm par seconde et
= −0, 01 volt par seconde, déterminer le taux de variation
dt
dt
de l’intensité I par rapport au temps à cet instant.
Suggestion On peut considérer que V (t) = R(t)I(t).
Figure 3.45
√
70. La fonction C = C(v, T ) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T ) est l’indice de refroidissement, où C
est en kcal/m2 /h et v en m/s. (vitesse du vent) et T en °C (température extérieure).
Lorsqu’on se trouve dans les conditions v = 4 et T = −15, supposons que v augmente à un
taux de 0,5 m/s/h et que T diminue à un taux de 1 °C/h.
a) Traduire mathématiquement et illustrer graphiquement les taux de variation donnés
ci-dessus.
b) Calculer le taux instantané de variation de C dans le contexte donné. Quelles en sont les
unités ?
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
269
71. Il arrive assez souvent en thermodynamique qu’on place en indice la variable compagne, c’està-dire
celle qui est maintenue constante lorsqu’on calcule une dérivée partielle. Ainsi, avec
∂P
∂P
, on comprend que P est fonction de T et de V , et qu’on calcule la dérivée
ou
∂V T
∂V T
partielle de P par rapport à V alors que T est maintenue constante.
a) Dans le contexte ci-dessus, que signifie cette fois
∂P
?
∂T V
b) Si S est fonction de P , de E et de V , et si E et V sont fonctions de P et de T , faire
le schéma de dépendance (fonction composée) et donner les expressions de SP et de ST ,
∂S
∂S
et de
.
étant entendu qu’il s’agit de
∂P T
∂T P
c) Que deviennent les résultats obtenus en b) si
ln E + (ln V )2
,
P +1
E = E(P, T ) = T P 0,4 ,
0, 08T
V = V (P, T ) =
?
P 0,5
(Les fonctions sont simplifiées, mais demeurent raisonnablement représentatives de celles
qu’on rencontre en thermodynamique. Au besoin, on peut tout évaluer numériquement,
par exemple lorsque P = 2 et T = 300.)
S
= S(P, E, V ) =
72. À partir de la fonction f = f (x, y), on construit la fonction g = g(x, y) en posant
g(x, y) = f (2x2 + y 2 , x2 + 2y 2 ).
Alors :
a) gx (x, y) = (fx (x, y))(4x),
b) gx (x, y) = (fx (x, y))(4x) + (fx (x, y))(2x),
c) gx (x, y) = (fx (2x2 + y 2 , x2 + 2y 2 ))(4x) + (fy (2x2 + y 2 , x2 + 2y 2 ))(2x),
d) gx (x, y) = (fx (2x2 + y 2 , x2 + 2y 2 ))(4x) + (fy (2x2 + y 2 , x2 + 2y 2 ))(4y),
e) Aucune de ces réponses.
73. Considérons la formule de Dubois A = A(M, H) = 0, 007184M 0,425 H 0,725 . Si, à partir des
conditions M = 50 et H = 160, on assiste à une diminution de la masse M (la personne perd
1
du poids) et à une augmentation de la grandeur H, dans le rapport de − : 1, quel est le
4
taux instantané de variation de l’aire A (retenir six décimales) ? Quelles en sont les unités ?
2
∂2f
∂f
74. Laquelle des fonctions suivantes satisfait l’équation aux dérivées partielles
=
?
2
∂x
∂y
a) f (x, y) = 3x4 + 6xy,
b) f (x, y) = ex − ey ,
270
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c) f (x, y) = exy ,
d) f (x, y) = x2 y,
e) f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 .
2
75. Vérifier le théorème de Schwarz avec les fonctions f (x, y) = x2 sin 3y et f (x, y) = ex y .
76. Considérons la fonction f (x, y, z) = (x2 +y 2 +z 2 )n , où n représente un nombre réel. Déterminer
∂2f ∂2f ∂2f
+
+
= 0.
les valeurs de n pour lesquelles la fonction satisfait l’équation de Laplace
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
77. On donne la fonction v = v(x, t) = (x − at)4 + cos(x + at).
a) Montrer que
∂2v
∂2v
=
∂x∂t
∂t∂x
(théorème de Schwarz).
b) Montrer que la fonction v satisfait l’équation d’onde
∂2v
∂2v
= a2 2 .
2
∂t
∂x
* 78. Il existe une fonction f (x, y) avec des dérivées partielles du deuxième ordre continues telles
que :
a) Aucun des quatre cas proposés n’est possible,
b)
∂f
∂f
= y 2 et
= x2 ,
∂x
∂y
c)
∂f
∂f
= xy et
= xy,
∂x
∂y
d)
∂f
∂f
= x2 + y 2 et
= x2 + y 2 ,
∂x
∂y
e)
∂f
∂f
= x sin y et
= x cos y.
∂x
∂y
79. Soit f (x, y) = arctan(y/x). Vérifier que
∂2f
∂2f
+ 2 = 0.
2
∂x
∂y
80. Si ϕ(x, y, z) = f (x, y) + g(x, z) + h(y, z), est-il vrai que
∂3ϕ
=0?
∂x∂y∂z
81. Soit k, un entier positif. Est-il vrai que f (r, θ) = rk cos (kθ) est une solution de
∂2f
1 ∂f
1 ∂2f
+
+
=0?
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
82. Soit z = f (x, y) = x2 + 2y 2 . Supposons que x = x(r, s) = 3r + s et que y = y(r, s) = r − s.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
Est-il vrai que
271
2
∂ z
est une constante ?
∂r∂s
83. Soit f (x, y, t) = e−2t (cos x + sin y). Laquelle des relations suivantes est vraie en tout point
(x, y, t) ?
2
∂2f
∂f
∂ f
+ 2 ,
a)
=2
∂t
∂x2
∂y
2
2
∂f
∂ f
∂ f
b)
+ 2 ,
=
∂t
∂x2
∂y
2
∂f
∂2f
∂ f
c)
+
,
= −2
∂t
∂x2
∂y 2
2
∂2f
∂f
∂ f
+
,
d)
=−
∂t
∂x2
∂y 2
∂f
∂f
∂f
e)
=−
+
,
∂t
∂x
∂y
f) Aucune des relations n’est vraie.
84. Calculer la dérivée directionnelle de f (x, y) = x4 y 5 au point (1, 1) dans la direction θ donnée
par
a) θ = π/2,
b) θ = 3π/4,
c) θ = 3π/2.
85. Si f (x, y) = xy 2 , pour quelle valeur de t la dérivée directionnelle de f au point (1, 1) dans la
direction du vecteur ~v = (t, 1) est-elle égale à 1 ?
a) −1,
3
,
4
3
c) − ,
4
d) 1,
b)
e) Aucune des réponses précédentes.
86. Pour une fonction f (x, y) et un point P0 , on a ∇f (P0 ) = (3, 2). Quelle est la direction à partir
de P0 pour laquelle la dérivée directionnelle de f vaut 5 ?
a) (1, 1),
b) (−1, −1),
c) (5, −5),
d) Une telle direction n’existe pas,
272
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
e) Aucune des réponses précédentes.
87. Soit f (x, y) = ex cos y. Calculer le gradient de f au point (1, π).
88. Soit f (x, y) = x2 y 3 . On se place au point (2, 3) et on cherche la direction qui donnera la plus
grande dérivée directionnelle.
89. Soit f (x, y), une fonction, et (x0 , y0 ), un point, tels que fx (x0 , y0 ) = 2 et fy (x0 , y0 ) = 3. Dans
quelle direction doit-on calculer la dérivée directionnelle au point (x0 , y0 ) afin qu’elle soit
a) égale à 0 ?
b) aussi grande que possible ?
c) aussi petite que possible ?
90. Soit f (x, y) = x2 +y 2 et P0 = (1, 2). Trouver la direction dans laquelle le taux d’accroissement
de f est maximal, et trouver ce taux d’accroissement.
91. Le potentiel f (x, y, z) de Newton d’un point (x, y, z) 6= (0, 0, 0) est un nombre réel positif égal à
l’inverse de la distance entre ce point et l’origine. Trouver la direction du taux d’accroissement
maximal au point (1, 2, 2).
92. Pour chacune des fonctions f ci-dessous, calculer le taux d’accroissement de f au point P0
indiqué dans la direction du vecteur ~v donné.
a) f (x, y) = 2x2 + y 2 , P0 = (1, 2), ~v = (1, 0),
b) f (x, y) = sin(xy), P0 = (1, π), ~v = (3, −4),
√ √
2
2
c) f (x, y) = ex +3y , P0 = ( 2, 2), ~v = −~i + ~j,
1 1 1
3
2
, ,√ .
d) f (x, y, z) = x + y + z, P0 = (1, 1, 1), ~v =
2 2
2
93. Lequel des énoncés suivants est faux ?
a) Le gradient de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 est tangent à la courbe de niveau f (x, y) = 4.
b) La plus grande dérivée directionnelle de la fonction f au point (x0 , y0 ) vaut |∇f (x0 , y0 )|.
c) Le gradient évalué en un point critique d’une fonction f est nul en ce point.
d) La direction du gradient coïncide avec la direction de croissance maximale de f au point
(x, y).
e) Soit P0 , un point critique d’une fonction f (x, y). Toutes les dérivées directionnelles de f
sont nulles au point P0 .
1
, 4 . On examine le taux d’accroissement de f dans la
94. Soit f (x, y) = x2 − y et P0 =
2
direction des √
vecteurs ~u = (cos θ, sin θ), pour 0 < θ < π/2. Pour quels angles θ a-t-on
D~u f (P0 ) > 1/ 2 ?
95. Soit f (x, y) = x sin(xy) et P0 = (1, π). Dans quelle direction, parmi celles fournies par les
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
273
vecteurs v~1 = (1, 0), v~2 = (0, −1) et v~3 = (−1, −1), le taux d’accroissement de f est-il le plus
grand ? Existe-t-il une direction dans laquelle le taux d’accroissement est plus grand que celui
obtenu avec chacun de ces trois vecteurs ?
96. Soit f (x, y), !
une fonction de deux
! variables définie et dérivable au point (x0 , y0 ) = (2, 3). Soit
√
√
3
3 1
1
et w
~=
. Si
,
,
~u =
2 2
2 2
√
D~u f (x0 , y0 ) =
3,
Dw~ f (x0 , y0 )
=
1,
on a :
a) ∇f (x0 , y0 ) = (1, 0),
b) ∇f (x0 , y0 ) = (0, 2),
√
c) ∇f (x0 , y0 ) = (1, 3),
√
d) ∇f (x0 , y0 ) = (2, 2 3),
√
e) ∇f (x0 , y0 ) = ( 3, 1),
f) Aucune de ces réponses.
97. Une plaque de métal occupe le domaine ]0, 1[×]0, 1[ du plan R2 . La température T de cette
plaque varie selon le point (x, y) et
par T (x, y) = xy(1 − x)(1 − y). Dans quelle
est donnée
1 1
,
devrait-il se déplacer pour trouver instantanément
direction un insecte situé au point
4 3
une région plus froide ?
98. Soit f (x, y) = xy 4 − 2y 2 . Dans quelle direction f croît-elle le plus au point (1, 1) ?
a) ~u = (0, −1),
b) ~u = (−1, 0),
c) ~u = (0, 1),
d) ~u = (1, 0),
e) Aucune des réponses précédentes.
99. Une alpiniste grimpe une montagne dont la hauteur h en tout point (x, y) dans le plan horizontal au niveau de la mer est donnée par h(x, y) = 9000 − 20x2 − 30y 2 . Lorsque l’alpiniste est
située au point (1, 1, 8950), dans quelle direction, horizontalement parlant, doit-elle s’orienter
pour monter le plus abruptement possible ? Si elle continue à grimper toujours dans la direction horizontale procurant la plus grande ascension, montrer que la projection de ce trajet
dans le plan xOy est donnée par l’équation y 2 = x3 .
2 4
, − . Est-il vrai que la dérivée directionnelle
100. Soit f (x, y) = x3 + 3x2 + 4xy + y 2 et P0 =
3 3
de f au point P0 dans toutes les directions est nulle ?
274
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
101. Calculer la dérivée directionnelle de f (x, y) = 2xy + sin(xy) au point P0 =
direction de l’axe des x négatifs.
π
2
, 1 suivant la
102. Soit (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) et g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Si ~u est la direction de croissance
maximale de g au point (x0 , y0 , z0 ) et si f (x, y, z) = x2 − y + 3z, alors :
a) D~u f (x0 , y0 , z0 ) = −4,
√
b) D~u f (x0 , y0 , z0 ) = 14,
√
c) D~u f (x0 , y0 , z0 ) = −2/ 3,
d) D~u f (x0 , y0 , z0 ) = (2, −1, 3),
√
e) D~u f (x0 , y0 , z0 ) = 12,
f) Aucune de ces réponses.
103. Si ~u et w
~ sont unitaires, de directions opposées, c’est-à-dire w
~ = −~u, comment D~u f et Dw~ f ,
en un même point, sont-elles reliées ?
104. Soit z = f (x, y) = x3 y 2 + xy 3 . Lequel des vecteurs suivants ~v est orthogonal à cette surface
au point (1, 1, 2) ?
a) ~v = (5, 4, −1),
b) ~v = (4, 5, 1),
c) ~v = (4, 5, −1),
d) ~v = (5, 4, 1),
e) Aucune des réponses précédentes.
~
105. Si f (P ) = f (x, y) est le potentiel électrique au point P = (x, y), le champ électrique E,
~
au point P , est donné par −∇f . Calculer E si f (x, y) = sin(αx) cos(βy), α et β étant des
constantes.
3
106. Un gaz, dont la densité est ρ0 (en g/cm ) lorque la température est de 0 °C et que la pression
est de 760 mm de mercure, a une densité
P
273
ρ = ρ(T, P ) = ρ0
273 + T
760
lorsque la température est T et que la pression est P .
a) À partir des conditions T = 27 et P = 1520, quel changement simultané sur T et sur
P doit-on faire pour que la densité diminue le plus ? Quelle signification donne-t-on à
l’expression diminue le plus ?
b) Dans quel rapport T : P doit-on changer simultanément la température et la pression, à
partir des conditions T = 20 et P = 1520, afin que la densité augmente le plus ?
c) Dans les conditions T = 20 et P = 1520, à quel taux instantané changera ρ si l’on
diminue la pression tout en maintenant la température constante ? Quelles en sont les
unités ?
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
275
107. Pour chaque surface donnée ci-dessous, trouver l’équation de son plan tangent au point P0
indiqué :
a) x2 + y 2 + z 2 = 4, P0 = (2, 0, 0),
b)
√
y2
z2
x2
−
−
= 1, P0 = (2 3, 3, 4).
4
9
16
108. Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée directionnelle de la fonction f au point
donné et dans la direction indiquée.
a) f (x, y) = x3 y + ln(x + y); (1, 0) ; direction ~v = (3, 4).
b) f (x, y, z) = z 2 + x4 y 2 ; (0, 0, 1) ; dans la direction donnée par le vecteur joignant ce point
au point (0,0,2).
π
avec la
c) f (x, y) = cos(x + y) ; (1,1) ; dans la direction du vecteur faisant un angle de
3
droite y = x, l’angle étant mesuré dans le sens positif.
p
d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ; (1,1,1) ; dans la direction de croissance maximale de g(x, y, z)
= z.
109. Déterminer deux directions dans le plan xOy pour lesquelles la dérivée directionnelle de
f (x, y) = xy + y 2 au point (2, 5) est nulle.
√
110. La dérivée de f au point P0 = (1, 2) dans la direction du vecteur ~i + ~j est 2 2 et la dérivée
de f en P0 dans la direction du vecteur −2~j vaut −3. Calculer la dérivée de f au point P0
dans la direction du vecteur −~i − 2~j.
Rappel ~i = (1, 0) et ~j = (0, 1).
111. Pour la fonction f (x, y) = x2 y + 2y 2 x, trouver, au point (1, 3), la direction suivant laquelle
a) le taux de variation est maximal.
b) le taux de variation est minimal.
c) le taux de variation est nul.
112. Une fonction f (x, y, z) décroît le plus, au point P0 , dans la direction du√vecteur ~i + ~j − ~k =
(1, 1, −1) et, dans cette direction, la dérivée directionnelle en P0 vaut −2 3. Alors, la dérivée
directionnelle en P0 dans la direction du vecteur ~i + ~j = (1, 1, 0) est égale à :
√
a) −2 2,
√
b) 2,
√
c) − 2,
√
d) 2 2,
e) Aucune de ces réponses.
113. Un vecteur orthogonal à la courbe y 2 = x + 4 au point (5, −3) est :
a)
1
,
6
276
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b)
dy
,
dx x=5
c) (−6, −1),
d) (−5, 3),
e) (−1, −6),
f) Aucune des réponses proposées.
114. Si ∇f (P0 ) • ~u = 0, avec f = f (x, y) et P0 = (x0 , y0 ), alors :
a) ~u pointe dans la direction de décroissance maximale de f en P0 .
b) ~u est orthogonal à la courbe de niveau de f passant par P0 .
c) ~u est tangent à la courbe de niveau de f passant par P0 .
d) ~u est tangent à la surface z = f (x, y) au point (x0 , y0 , z0 ), où z0 = f (x0 , y0 ).
e) Aucune des réponses précédentes.
* 115. Estimer la variation de la fonction f (x, y) = cos(πxy) + xy 2 lorsqu’on se déplace du point
(−1, −1) dans la direction ~i + ~j d’une distance ds = 0, 1.
116. Soit f (x, y, z),une fonction définie
etdérivable en
un point P0 = (x0 , y0 , z0 ). Pour les vecteurs
1
1
1
1
1
et w
~ = (0, 0, 1), on suppose que
unitaires ~u = √ , √ , √ , ~v = 0, √ , √
3
3
3
2
2
√
D~u f (P0 ) =
3,
√
D~v f (P0 ) =
2,
Dw~ f (P0 )
=
1.
Identifier, parmi les énoncés suivants, celui qui est vrai.
a) ∇f (P0 ) = (3, 2, 1),
√ √
b) ∇f (P0 ) = ( 3, 2, 1),
c) ∇f (P0 ) = (0, 0, 1),
d) ∇f (P0 ) = (0, 1, 1),
e) On n’a pas assez d’informations pour calculer ∇f (P0 ),
f) ∇f (P0 ) = (1, 1, 1).
117. Supposons que la température en (x, y, z) soit donnée par T (x, y, z) = 20 + x2 − y 2 + 2z 2 . Au
point P0 = (2, 1, 1), on prend la direction ~v suivant laquelle la température diminue le plus
(selon un taux instantané). Si l’on se déplace de 3 unités dans la direction du vecteur ~v , à
partir de P0 , on arrive au point P1 , qui est :
a) P1 = (4, −2, 4),
b) P1 = (−4, 2, −4),
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
277
c) P1 = (−2, 3, −3),
d) P1 = (0, 2, −1),
e) P1 = (6, −1, 5),
f) P1 = (4, 0, 3).
118. Rodolphe aime bien grimper les montagnes. Aujourd’hui, il a choisi de gravir le Mont Glacier,
dont l’altitude h (mesurée en mètres) par rapport à tout point (x, y) au niveau de la mer est
900
. Il se fait déposer par hélicoptère à une altitude de
donnée par h = h(x, y) =
5 + x2 + y 2
30 mètres sur la montagne, soit au point (3, 4, 30). Il veut aussitôt entrependre son escalade
dans la direction horizontale suivant laquelle le terrain présente la plus forte pente. Le vecteur
unitaire (u1 , u2 ) qui lui fournit cette direction est :
4 3
a) (u1 , u2 ) = − , − ,
5 5
3 4
,
,
b) (u1 , u2 ) =
5 5
3 4
c) (u1 , u2 ) = − , − ,
5 5
4 3
,
,
d) (u1 , u2 ) =
5 5
e) Aucun de ces vecteurs.
119. Voici la carte topographique d’une fonction f avec niveau 0 en C et niveaux croissants autour
de C (figure 3.46).
Figure 3.46
Sachant que la tangente en P rencontre les axes aux points indiqués, trouver un vecteur
278
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
dans la direction de ∇f (P ) et le dessiner au point P . Tenir compte, en dessinant le vecteur
demandé, des unités sur les axes qui n’ont pas la même échelle.
120. On considère la fonction f (x, y) = x4 + 2y 2 . Parmi les énoncés suivants, combien sont vrais ?
— Le gradient de f évalué en (1, 1) fait un angle de π/4 avec le vecteur (1, 0).
— Toutes les dérivées directionnelles de f évaluées au point (0, 0) sont nulles.
— Le gradient de la fonction F (x, y, z) = z − x4 − 2y 2 , évalué en tout point de la surface
d’équation z = f (x, y) = x4 + 2y 2 , est orthogonal à cette surface.
— Le gradient de f en (1, 1) est tangent à la courbe de niveau x4 + 2y 2 = 3.
a) Trois énoncés sont vrais.
b) Aucun des énoncés n’est vrai.
c) Deux énoncés sont vrais.
d) Un seul des énoncés est vrai.
e) Les quatre énoncés sont vrais.
* 121. Au point (1, 2), la courbe de niveau d’une fonction f (x, y) a comme tangente la droite d’équation x + 2y − 5 = 0. Sachant que fx (1, 2) = −1, donner la direction dans laquelle la fonction
admet la plus forte décroissance en (1, 2).
a) (−1, −2),
b) (1, 2),
c) (−1, 2),
d) (1, −2),
e) Aucune des réponses précédentes.
122. Quelle variation simultanée doit-on avoir sur v et
√ sur T , à partir des conditions v = 4, T = 3,
afin que la fonction C = C(v, t) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − T ) diminue le plus ? Quelle est
alors la valeur correspondante du taux instantané de variation de C ?
Note C est l’indice de refroidissement, v est la vitesse du vent (en m/s) et T est la température
(en degrés Celsius).
123. D’après le contexte de la question 122, quel est le taux instantané de variation de C, à partir
des conditions observées, si v et T changent simultanément selon un rapport de 1 : −1 ?
124. Considérer les deux sphères d’équations (x − a)2 + y 2 + z 2 = 3 et x2 + (y − 1)2 + z 2 = 1. Pour
quelles valeurs de la constante a les deux sphères se coupent-elles perpendiculairement ?
Suggestion Que peut-on dire de leurs plans tangents aux points où ces deux sphères se coupent
perpendiculairement ?
125. Dans cet exercice, on désignera
par ~r le vecteur position dans R3 et par r sa longueur, c’estp
à-dire ~r = (x, y, z), r = x2 + y 2 + z 2 .
Soit f (t), une fonction de la variable réelle t, et g(x, y, z), la fonction composée g(x, y, z) =
f (r).
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
279
a) Montrer que, si f (t) = t, ∇g est parallèle à ~r et de longueur 1.
b) Montrer qu’en général, ∇g(x, y, z) = f 0 (r)∇r.
2
c) Soit f (t) = et /2 . Utiliser a) et b) pour calculer la dérivée directionnelle de g au point
(1, 1, 1) :
i – dans la direction de la tangente, en ce point, à la sphère x2 + y 2 + z 2 = 3, qui est
parallèle au plan z = 0.
ii – dans la direction normale à la sphère.
126. On considère trois fonctions f (x, y, z), u(s, t) et v(s, t). On suppose que u(0, 0) = 1,
v(0, 0) = −1, et que ∇u(0, 0) = (a, b), ∇v(0, 0) = (c, d). Si l’on définit la fonction g(s, t)
par g(s, t) = f (s, u(s, t), v(s, t)), que vaut gs (0, 0) ?
a) fx (0, 1, −1) + afy (0, 1, −1) + cfz (0, 1, −1),
b) fx (0, 0) + afy (0, 0) + bfz (0, 0),
c) fx (0, 0) + afy (0, 0) + dfz (0, 0),
d) fx (0, 1, −1) + afy (0, 1, −1) + bfz (0, 1, −1),
e) fx (0, 1, −1),
f) Aucune de ces réponses.
127. Soit f (x, y, z) = x2 + 2xy − y 2 + z 2 .
a) Calculer le gradient au point (1, −1, 3).
b) Déterminer l’équation du plan tangent à la surface x2 + 2xy − y 2 + z 2 = 7 au point
(1, −1, 3).
128. On considère dans l’espace R3 la surface S d’équation x2 + y 2 = 1.
On désigne par Π1 et Π2 , respectivement, les plans tangents à S aux points
1
1
et √ , √ , −1998 .
2
2
1
1
√ , √ , 1998
2
2
Identifier, parmi les énoncés suivants, celui qui est vrai.
a) Π1 et Π2 sont parallèles, distincts et horizontaux.
b) L’intersection de Π1 et Π2 est une droite horizontale.
c) L’intersection de Π1 et Π2 est une droite verticale.
d) Π1 et Π2 sont parallèles, distincts et verticaux.
e) Π1 et Π2 sont confondus.
f) Les cinq énoncés précédents sont faux.
129. L’équation du plan tangent à la surface de niveau sin(xy) + exz − ln(yz) − 1 = 0 au point
(0,1,1) est :
280
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
a) x − 2y − z + 2 = 0,
b) 2x + y − z − 2 = 0,
c) 2x − y − z + 2 = 0,
d) 2x + y − z + 2 = 0,
e) Aucune des réponses précédentes.
130. Trouver tous les points de la surface xy + yz + zx − x − z 2 = 0 dont le plan tangent est
parallèle au plan xOy.
131. Soit f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 .
a) Trouver la direction de croissance maximale ainsi que la valeur du plus grand taux
d’accroissement de f au point (1, 2, −2).
b) Déterminer l’équation du plan tangent en P0 = (1, 2 − 2) à la surface de niveau de f
passant par P0 .
132. Si les dérivées partielles d’une fonction de trois variables f (x, y, z) sont données par
fx (x, y, z)
= ax + cz,
fy (x, y, z)
= ay + bz,
fz (x, y, z)
= cx + by,
pour quelles valeurs de a, b et c l’équation du plan tangent à la surface f (x, y, z) = 2, au point
(1, 0, 2), est-elle 3(x − 1) + 2y − (z − 2) = 0 ?
a) a = 0, b = −1, c = 1,
b) a = 5, b = 1, c = −1,
c) a = 5, b = −1, c = 0,
d) a = 1, b = 1, c = −1,
e) Aucune de ces réponses.
133. Quel est le polynôme P1 de Taylor de degré 1 d’une fonction f (x, y) au voisinage du point
(x0 , y0 ) ? Que reconnaît-on dans cette expression ?
134. Pour chacune des fonctions f (x, y) ci-dessous, calculer son polynôme de Taylor de degré 2 à
proximité du point P0 indiqué :
a) f (x, y) = x2 y, P0 = (1, 2),
b) f (x, y) = exy , P0 = (0, 0),
c) f (x, y) = sin(xy), P0 = (0, 0),
d) f (x, y) = x3 + xy 2 , P0 = (1, 0).
2
135. Soit f (x, y) = ex+y . Calculer le polynôme de Taylor de degré 2 de f (x, y) au voisinage de
l’origine de deux façons différentes :
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
281
a) d’abord, en calculant le polynôme de Taylor de degré 2 de chacune des fonctions ex et
2
ey ;
b) ensuite, en utilisant la formule pour établir directement le polynôme de degré 2 de f (x, y).
136. Trouver le polynôme de degré 3 de la fonction f (x, y) = x3 + x2 y au voisinage du point (1, 1).
137. Considérons la fonction f (x, y) = x2 + 2y 2 − cos(x + y) + sin(xy). Déterminer le polynôme de
Taylor p2 (x, y) de degré 2 au point P0 = (0, 0).
138. Calculer le polynôme P2 de Taylor (de degré 2) de la fonction f (x, y) = 5/(1 + x2 + y 2 ) au
voisinage du point (x0 , y0 ) = (0, 0).
139. Soit f (x, y) = ex ln (1 + y). Calculer le polynôme de Taylor de degré 2 de f (x, y) de deux
façons différentes :
a) En calculant séparément les polynômes de Taylor de degré 2 de chacune des fonctions ex
et ln (1 + y).
b) En utilisant la formule (37), page 219.
140. Obtenir le développement de Taylor de degré 1 de f (x, y) = cos(xy) autour de P0 =
π
2
,1 .
141. Pour chacune des fonctions f (x, y) données ci-dessous, trouver ses points critiques, s’il en
existe :
a) f (x, y) = x2 + 5y 2 − x + y,
b) f (x, y) = x2 − xy + 2y 2 + x + 7y + 4,
c) f (x, y) = 3x + 4y 2 ,
d) f (x, y) = x4 − 2x2 + y 2 + 4y − 2,
2
2
e) f (x, y) = e−x −y ,
f) f (x, y) =
x2 − y 2
,
x2 + y 2
g) f (x, y) = (x + y + 1)(x − y + 1),
h) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + x − y + 1.
142. Pour chacune des fonctions f (x, y) données à l’exercice précédent, examiner les points critiques
trouvés et dire s’il s’agit de maxima, de minima ou de points de selle.
143. Laquelle des conditions suivantes est suffisante pour que f (x, y) ait un minimum en (x0 , y0 ),
sachant que ∇f (x0 , y0 ) est nul ?
2
a) fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) > 0,
2
b) fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) < 0,
2
c) fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) > 0 et fxx (x0 , y0 ) > 0,
2
d) fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) < 0 et fxy (x0 , y0 ) < 0,
282
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
2
e) fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) < 0 et fxy (x0 , y0 ) > 0.
144. Si f (x, y) a un point de selle en (x0 , y0 ), alors nécessairement :
a) ∇f (x0 , y0 ) existe et est nul.
b) ∇f (x0 , y0 ) existe et est non nul.
c) ∇f (x0 , y0 ) n’existe pas.
d) ∇f (x0 , y0 ) n’existe pas ou est nul.
e) ∇f (x0 , y0 ) n’existe pas ou est non nul.
145. Dans quel cas est-on sûr que la fonction f (x, y) = x2 + 2xy + cy 2 admet un minimum au point
critique (0, 0) ?
a) c < 1,
b) c = 0,
c) c > 1,
d) c = 1,
e) Aucune de ces réponses.
146. Dans quel cas est-on sûr que la fonction f (x, y) = x2 + cxy + cy 2 admet un minimum au point
critique (0, 0) ?
a) c 6= 0,
b) c 6= 4,
c) c > 0,
d) 0 < c < 4,
e) Aucune de ces réponses.
147. Soit f (x, y) telle que ∇f (P0 ) = (0, 0) et fxx (P0 ) > fyy (P0 ) > fxy (P0 ). Alors, on peut conclure
avec certitude qu’en P0 , on a :
a) un point de selle.
b) un maximum si fxx (P0 ) < 0.
c) un minimum si fxy (P0 ) ≥ 0.
d) un minimum si fxx (P0 ) > 0.
e) aucune des réponses précédentes.
148. Les figures 3.47, 3.48 et 3.49 représentent les courbes de niveau et les vecteurs gradients au
voisinage de trois points critiques P1 , P2 et P3 du domaine de définition d’une fonction g(x, y).
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
Figure 3.47
Figure 3.48
Figure 3.49
En utilisant ces trois figures, dire lequel des énoncés suivants est vrai :
a) P1 est un maximum local et P2 est un maximum local.
b) P1 est un point de selle et P2 est un maximum local.
c) P3 est un minimum local et P2 est un minimum local.
d) P3 est un maximum local et P1 est un point de selle.
e) P3 est un point de selle et P2 est un minimum local.
f) Aucune de ces réponses.
* 149. Si f (x, y) admet un minimum local en (x0 , y0 ) et si fxx (x0 , y0 ) = 0, alors :
a) fxy (x0 , y0 ) = 0,
b) fxy (x0 , y0 ) > 0,
c) Le Hessien n’existe pas.
283
284
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d) fxy (x0 , y0 ) = 0 ou le Hessien n’existe pas.
e) Cela est impossible, car si fxx (x0 , y0 ) = 0, on ne peut pas avoir un minimum.
150. On considère la fonction f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 27. Alors, f admet :
a) un point de selle en (0,0) et un minimum en (3,3).
b) un point de selle en (0,0) et un maximum en (3,3).
c) un maximum en (0,0) et un minimum en (3,3).
d) un minimum en (0,0) et un maximum en (3,3).
e) aucune des réponses précédentes.
151. Le point P0 = (0, 0) est un point critique de la fonction f (x, y) = 2x2 y + 2x2 + y 2 .
Identifier, parmi les énoncés suivants, celui qui est vrai.
a) P0 correspond à un maximum local de f .
b) En se basant sur les dérivées de f en P0 , on ne peut rien conclure au sujet de la nature
de P0 .
c) P0 correspond à un minimum local de f .
d) P0 correspond à un point de selle de f .
e) Aucune de ces réponses.
152. La fonction f (x, y) = x3 +y 3 +3x2 −3y 2 −8 admet quatre points critiques : (0, 0), (0, 2), (−2, 0)
et (−2, 2). En lequel de ces points la fonction f atteint-elle un minimum local ?
a) (0, 2),
b) (−2, 0),
c) (0, 0),
d) (−2, 2),
e) La fonction f n’a pas de minimum local.
153. Parmi les points suivants, lequel est un maximum local de la fonction z = f (x, y) = y 3 − x2 +
y 2 + xy ?
a) (0, 0),
5
5
b) − , − ,
12 6
5
5
c)
,− ,
12 6
3
d)
,1 ,
2
e) Aucune de ces réponses.
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
285
154. Choisir l’énoncé qui est vrai concernant la fonction f (x, y) = x2 − y 2 .
a) Le Hessien au point (3,2) est négatif et f a un point de selle en (3,2).
b) f a un minimum en (0,0) car fxx (0, 0) > 0.
c) f n’a pas de points critiques car le Hessien ne s’annule pas.
d) f a un point de selle en (0,0).
e) Aucune de ces réponses.
155. La fonction f (x, y) = x2 + y 3 + 6x − 3y 2 + 4 possède deux points critiques : (−3, 0), (−3, 2).
Lequel des énoncés suivants est vrai ?
a) Les deux points sont des points de selle.
b) (−3, 0) est un point de selle et (−3, 2) est un minimum local.
c) (−3, 0) est un point de selle et (−3, 2) est un maximum local.
d) Les deux points sont des minima.
e) (−3, 0) est un maximum local et (−3, 2) est un minimum local.
f) Aucun des énoncés proposés n’est vrai.
156. Pour chaque point P = (x, y) du plan cartésien, soit f (x, y), la somme des carrés des distances
aux points (0, 0), (1, 1), (2, 0), de sorte que
f (x, y) = x2 + y 2 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 2)2 + y 2 .
Le point qui minimise cette fonction est :
1
,1 ,
a)
3
1 1
,
,
b)
3 3
1
c) 1,
,
3
1 2
,
,
d)
3 3
e) Aucun de ces points.
157. Supposons que les dérivées partielles d’une fonction de deux variables f (x, y) soient données
par fx (x, y) = cx + d et fy (x, y) = ay + b , où a 6= 0 et c 6= 0. Dans lequel des cas suivants le
b
d
est-il un maximum ?
point critique − , −
c
a
a) a > 0 , c > 0,
b) a < 0 , c > 0,
286
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c) a > 0 , c < 0,
d) a < 0 , c < 0,
e) Aucune de ces réponses.
2
158. Soit f (x, y) = rx2 − 2x + y 2 − y 3 , où r est un paramètre. Alors, la fonction admet :
3
a) un minimum en (1/r, 0) et un point de selle en (1/r, 1) si r < 0.
b) un maximum en (1/r, 0) et un minimum en (1/r, 1) si r > 0.
c) un point de selle en (1/r, 0) et un maximum en (1/r, 1) si r > 0.
d) un minimum en (1/r, 0) et un point de selle en (1/r, 1) si r > 0.
e) aucune des réponses précédentes.
159. Trouver la droite des moindres carrés correspondant aux points (0, 1), (2, 3), (3, 6) et (4, 8).
160. Trouver les dimensions de la boîte rectangulaire d’aire minimale et dont le volume est de
27 cm3 .
161. Trouver la distance minimale entre l’origine et le plan x + y + z = 3.
162. Trouver la distance minimale entre le point (1, 2, 3) et le plan x − 2y + z = 5.
163. Minimiser x2 + y 2 sous la contrainte 2x + 3y = 4.
x2
+ y 2 = 1 par la méthode
164. Si l’on cherche le maximum de f (x, y) = x3 + y 2 sur l’ellipse
4
des multiplicateurs de Lagrange, alors on aura à déterminer, par la méthode de Lagrange, ce
maximum parmi différents points P0 = (x0 , y0 ), appelés candidats, qui sont solutions d’un
système d’équations. Lequel des points suivants n’est pas un candidat obtenu par la méthode
de Lagrange ?
a) P0 = (0, 1),
!
√
1
143
b) P0 =
,
,
6 12
c) P0 = (2, 0),
√ !
1
35
,
,
d) P0 =
3 6
e) P0 = (0, −1).
165. Une menuiserie se spécialise dans la fabrication de tables. Supposons qu’elle produise
f (x, y) = 60x3/4 y 1/4 tables lorsqu’elle dispose de x heures de main-d’œuvre et de y arbres.
Supposons qu’une heure de travail coûte 100 $ à la compagnie et qu’un arbre lui coûte 200 $.
Si l’industrie dispose de 30 000 $, combien devrait-elle investir en main-d’œuvre et en bois ?
166.
a) Utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour maximiser la fonction
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
287
f (x, y, z) = xyz sous la contrainte x + y + z = 60. Quelle information qualitative trouvet-on en cours de résolution avant d’avoir résolu numériquement ?
b) Résoudre le problème par substitution. Pour vérifier si la fonction f , écrite maintenant
en deux variables, atteint un maximum ou un minimum, faire le test du Hessien.
167. Trouver le maximum de l’expression de x2 + 2x − y 2 parmi les points du disque fermé
x2 + y 2 ≤ 4.
168. Trouver le maximum de x2 y sur le cercle x2 + y 2 = 1.
169. Soit D, la région du plan R2 bornée par le triangle dont les sommets sont les points (−1, 0),
(0, 1) et (1, 0). Trouver les extremums de la fonction f (x, y) = x2 + xy − x + y sur D ∪ ∂D.
* 170. Un lac doit être ensemencé de deux espèces de poissons.
a) lorsqu’on est en présence de x et de y individus de chaque espèce respectivement, la masse
moyenne (en kg) de chaque poisson de la première espèce, après une certaine période de
croissance, est
M1
=
1, 5
=
1, 5
−
−
−
[une réduction ∝ x]
[une réduction ∝ y]
4 × 10−5 x − 2 × 10−5 y .
De même, pour la deuxième espèce, la masse moyenne est donnée par
M2 = 2 − 2 × 10−5 x − 8 × 10−5 y .
Trouver les valeurs de x et y qui font que la masse totale M de poissons sera maximale.
Justifier qu’il s’agit bien d’un maximum.
b) Reprendre a) avec
M1
=
1, 5 − αx − βy ,
M2
=
2 − βx − 2αy ,
où α et β sont des constantes de proportionnalités positives, non spécifiées.
* 171. Le test de la dérivée seconde pour les fonctions d’une variable ne se généralise pas directement
aux fonctions de deux variables. Par exemple, fxx < 0 et fyy < 0 en un point critique ne
permettent pas de conclure qu’il s’agit d’un maximum. Des « espoirs » dans ce sens sont vite
anéantis par l’exemple suivant :
f (x, y) = 5xy − x2 − y 2 ,
dont le point critique est (0, 0).
Que sont fxx et fyy ? Près de (0, 0), quelles sont les valeurs de f (x, y) pour les points sur les
droites y = x et y = −x ? Quel genre de point critique le point (0, 0) est-il ? À confirmer avec
le test complet basé sur le Hessien.
288
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
172. Le potentiel au point P (x, y, z) d’une charge électrique e à l’origine est la fonction
e
.
f (x, y, z) = p
2
x + y2 + z2
La fonction a-t-elle un maximum (valeur numérique) ? La fonction a-t-elle une valeur minimale
en un point ?
173. On considère f (x, y, z) = 5x2 +4y 2 +6z 2 avec les deux contraintes x+y+z = 100 et x+y = 3z.
a) Trouver le maximum ou le minimum de f par la méthode de Lagrange.
b) Résoudre le problème en procédant par substitution. Déterminer s’il s’agit d’un maximum
ou d’un minimum.
* 174. Utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour démontrer que si x, y, z sont trois
nombres réels positifs, alors
√
3
xyz ≤
x+y+z
.
3
Suggestion Poser f (x, y, z) = xyz et g(x, y, z) = x + y + z − s = 0, où s > 0 est constant, et
trouver le maximum de f sous la contrainte g = 0.
De manière générale, montrer que si x1 , x2 , · · · , xn sont des nombres réels positifs, alors
√
n
x1 + x2 + · · · + xn
n
ou, en d’autres termes, que la moyenne géométrique de n nombres réels positifs est inférieure
ou égale à leur moyenne arithmétique.
x1 · x2 · . . . · xn ≤
175. On doit construire un enclos rectangulaire de 5000 mètres carrés. Un des côtés est formé d’une
clôture déjà existante ; il faut donc construire les côtés de longueurs y, x et y, tels qu’illustrés
à la figure 3.50.
Figure 3.50
Quelles valeurs de x et de y doit-on choisir afin que les côtés à construire soient d’une longueur
totale minimale ?
Utiliser la méthode de Lagrange. Vous assurer aussi, par un test numérique simple ou par
l’étude de la configuration géométrique du problème à résoudre, que le résultat correspond
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
289
bien à un minimum.
176. Dans un parc zoologique, on dispose de 600 mètres de clôture grillagée pour la construction
de six enclos d’exposition pour des espèces animales, assemblés selon le schéma ci-dessous
(figure 3.51) :
Figure 3.51
On cherche x et y afin que l’aire totale des six enclos soit maximale.
Parmi les systèmes d’équations proposés, lequel permet de résoudre le problème ?
∇(xy) = ∇(3x + 4y − 600)
a)
3x + 4y = 600
∇(xy) = λ∇(3x + 4y − 600)
b)
3x + 4y = 600
∇(3x + 4y) = λ∇(xy − 600)
c)
xy = 600
 y
1

 x
= (600)
3
2
6
d)
1
1

 x + y = (600) + (600)
3
4
e) Le problème posé n’a pas de solution.
f) Aucun des cinq choix proposés.
177. Pour trouver la valeur maximale ou minimale de f (x, y) = 9−x2 −y 2 sur la courbe y = x2 +1,
on doit trouver x et y à l’aide des équations :
a) fx = 0
fy = 0
c) fx = 0
fy = 0
y = x2 + 1
∂
∂
b) ∂x
(9 − x2 − y 2 ) = λ ∂x
(y − x2 − 1)
∂
∂
2
2
2
∂y (9 − x − y ) = λ ∂y (y − x − 1)
2
y =x +1
∂
d) ∂x
(y − x2 − 1) = 0
∂
2
∂y (y − x − 1) = 0
y = x2 + 1
290
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
e) fx = 0
fy = 0
9 − x2 − (x2 + 1)2 = 0
f) Aucune des réponses proposées.
* 178. Une plaque circulaire est délimitée par le cercle d’équation x = cos t et y = sin t. La température de cette plaque varie selon le point (x, y) et est donnée par une fonction T (x, y). On
suppose que, sur le cercle unité, les dérivées partielles vérifient les relations :
∂T
∂T
= 8x − 4y et
= 8y − 4x.
∂x
∂y
Trouver les points du cercle unité pour lesquels la température est la plus chaude et la plus
froide.
Une approche plus directe consisterait à considérer T comme fonction de t, par l’intermédiaire
des variables x et y.
179. Trouver les valeurs maximale et minimale de f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 40 sur la droite
x + 4y = 1 selon les deux méthodes suivantes :
a) Par la méthode de Lagrange : évaluer f aux points obtenus et consulter la carte topographique et la surface (chapitre 3, exemple 14, page 186) pour distinguer les points
correspondant à un maximum et à un minimum.
b) Par substitution : déterminer mathématiquement le maximum et le minimum.
180. Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de f (x, y) = xy + x − y + 1 sur l’anneau
délimité par les cercles x2 + y 2 = 4 et x2 + y 2 = 1/4.
181. Soit g, une fonction continue sur [0, 1]. Trouver les constantes a et b qui minimisent
Z 1
2
(g(x) − ax − b) dx.
0
* 182. Maximiser la somme x1 + x2 + · · · + xn sous la contrainte x21 + x22 + · · · + x2n = 1. Donner une
interprétation géométrique de ce résultat dans les cas où n = 2 et n = 3.
x2
y2
z2
183. Étant donné l’ellipsoïde
+
+
= 1, trouver la pente de la section (de l’ellipsoïde)
24
12
6
obtenue après une coupe
a) par le plan y = 1, au point où x = 4 et z ≥ 0.
b) par le plan x = 2, au point où y = 3 et z ≥ 0.
184. Montrer que l’équation y 7 − 11y 6 x5 − x15 + 11 = 0 définit localement une fonction y = f (x)
autour du point P0 = (1, 1) sur la courbe, et calculer f 0 (1).
185. Montrer que l’équation x2 + xy + y 2 + x + y = 1 définit localement une fonction y = f (x)
autour du point P0 = (−1, 1) sur la courbe, et qu’en ce point, la tangente à la courbe
x2 + xy + y 2 + x + y = 1 est de pente nulle.
186. Considérer la courbe F (x, y) = x3 + x2 y + y 2 + x + y − 1 = 0. Cette courbe coïncide-t-elle avec
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
291
le graphe d’une fonction f (x) au voisinage du point P0 = (1, −1) sur la courbe ? Expliquer.
2
187. On considère l’équation ex+y + y 3 = 0.
a) Vérifier que le point (−1, −1) satisfait l’équation précédente.
b) Montrer qu’on peut écrire y comme fonction de x autour de (−1, −1).
c) Évaluer
dy
au point (−1, −1).
dx
188. L’équation de la tangente à la courbe x3 + y 3 + y = 3 au point (1,1) est :
3
7
a) y = − x + ,
4
4
3
1
b) y = x + ,
4
4
1
4
c) y = x − ,
3
3
7
4
d) y = − x + ,
3
3
e) y = 1.
189. Voici une équation qui ressemble à une équation de van der Waals et qui relie trois quantités
x, y, z :
1
xy +
(z 2 + 1) + xyz = 20.
(1)
z
Les valeurs particulières x = 2, y = 3, z = 1 satisfont l’équation (1). On pose P = (2, 3, 1).
a) Les quantités x, y, z reliées à l’équation (1) sont-elles trois variables indépendantes ?
Justifier brièvement.
b) Lorsqu’on est au point P = (2, 3, 1), c’est-à-dire en x = 2 et y = 3, à quel taux instantané
z varie-t-elle si l’on accroît x et si l’on maintient y constante ?
Attention À résoudre en travaillant directement avec l’équation (1).
c) Même question qu’en b), mais en échangeant les rôles de x et de y.
Attention À résoudre en utilisant une expression constituée de dérivées partielles à
évaluer.
* 190. Pour la fonction f (x, y) = 2x2 + y 2 + ln(x2 + 2y 2 ), on a
fx
=
fy
=
2x
,
x2 + 2y 2
4y
2y + 2
.
x + 2y 2
4x +
292
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
On peut alors interpréter l’équation différentielle
dy
4y
2x
2y + 2
= − 4x + 2
x + 2y 2 dx
x + 2y 2
comme :
a) l’équation de la tangente à la courbe f (x, y) = 0.
b) une description de la pente de la droite alignée avec le gradient de f au point (x, y).
c) l’équation différentielle de la famille de courbes f (x, y) = constante.
d) la dérivée directionnelle D~u f = ∇f · ~u dans la direction donnée par le vecteur ~u =
dy
, −1 .
dx
e) aucune de ces réponses.
191. Trouver la valeur maximale et la valeur minimale de f (x, y) = x + y sur le cercle x2 + y 2 = 1,
selon les quatre approches suivantes :
a) Tracer le cercle x2 + y 2 = 1 dans la carte topographique de f et donner la solution
géométrique du problème.
b) Identifier la contrainte et procéder par substitution.
c) Identifier la contrainte et procéder par la méthode de Lagrange.
d) Procéder par dérivation d’une fonction composée :
x
&
%
f
%
x
|
−→
{z
sur le cercle
y
}
df
dy
df
= 0. En écrivant les termes qui constituent
, obtenir
et résoudre l’équation
dx
dx
dx
comme la dérivée d’une fonction implicite.
192. On considère l’équation z + ez + x − 2y − 1 = 0 qui est satisfaite par (x, y, z) = (0, 0, 0).
Identifier, parmi les énoncés suivants, celui qui est faux.
a) z est définie implicitement comme une fonction z = z(x, y) près de (x, y) = (0, 0).
∂z
1
(0, 0) = − ,
∂x
2
−2
∂z
=
,
c)
∂y
1 + ez
b)
d)
∂z
(0, 0) = 1,
∂y
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
293
∂z
∂z
+ ez
+ 1 = 0,
∂x
∂x
∂z
∂z
f)
+ ez
− 2 = 0.
∂y
∂y
e)
193. Si y est définie implicitement comme une fonction de x et de z par
x
y 3 + 7xz 2 + = 0,
z
on a au point x = 1, z = 1 :
∂y
7
∂y
1
=− ,
=− ,
∂x
12
∂z
2
∂y
2
∂y
13
b)
= ,
=− ,
∂x
3
∂z
12
2
∂y
13
∂y
=− ,
=− ,
c)
∂x
3
∂z
12
∂y
7
∂y
1
d)
=
,
= ,
∂x
12
∂z
2
e) Aucune de ces réponses.
a)
194. Interpréter géométriquement les solutions de l’équation différentielle fx (x, y)
dy
−fy (x, y) = 0.
dx
Les solutions représentent :
a) la famille des courbes de niveau de f (x, y).
b) la famille des trajectoires orthogonales aux courbes de niveau de f (x, y).
c) la famille de courbes d’équation f (y, x) = constante.
d) la famille de courbes d’équation f (−y, x) = constante.
e) aucune des interprétations précédentes.
* 195. On suppose que y = −x + 1 est l’équation de la tangente au point (1, 0) à la courbe de
∂f
(1, 0) = 1. Quelle est
niveau de f (x, y) qui passe par ce point. On suppose également que
∂x
la direction de croissance maximale de f au point (1, 0) ?
a) (1, 0),
1
1
b) √ , √ ,
2
2
1
1
c) √ , − √ ,
2
2
d) (0, 1),
e) Aucune de ces réponses.
196. Sachant qu’autour du point (0, 1), l’équation x2 + y + 3xy 5 = 1 définit y comme fonction de
294
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
x, que vaut
dy
(0) ?
dx
a) −5,
b) 3,
c) 0,
d) −1,
e) 1,
f) Aucune de ces réponses.
197. Considérer la courbe F (x, y) = 0 définie par l’équation F (x, y) = 4x4 + y 2 − 4x2 = 0. En
utilisant sa représentation paramétrique
(
x(t) = sin t,
y(t) = sin (2t) ,
on a
Figure 3.52
a) Vérifier qu’il s’agit bien là de deux représentations de la même courbe.
b) En quels points P0 = (x0 , y0 ) est-il possible de trouver une fonction f (x) dont le graphe
coïncide avec la courbe F (x, y) = 0 au voisinage de P0 ?
c) Trouver les trois points Pi (i = 1, 2, 3) au voisinage de chacun desquels il n’est pas
possible de trouver une fonction fi (x) (i = 1, 2, 3) dont le graphe coïncide avec la courbe
F (x, y) = 0.
d) Comment cela est-il évident, géométriquement ?
198. Considérons un gaz dont le volume V , l’énergie interne E et l’entropie S sont reliés par une
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
295
équation
3
R ln E + R ln V − S = 0,
2
(1)
où R est une constante positive.
a) Considérons que l’équation (1) définit E implicitement comme fonction de V et de S.
(Ne pas isoler E en fonction de V et de S, même si c’est ici possible.)
Trouver à quels taux (instantanés) E varie par rapport à V et par rapport à S lorsqu’on
a les conditions V = 20, S = (8, 1)R et E = 30 (unités appropriées). On appellera A le
point de coordonnées (20, 8, 1R, 30).
b) Désignons par t1 l’instant où sont observées les conditions mentionnées ci-dessus. Supposons qu’en cet instant, le volume diminue à un taux (instantané) de 0,5 unité par minute
R
unités par minute.
et que l’entropie augmente à un taux (instantané) de
2
Ici, V et S varient en fonction du temps t. Donc E, qui est fonction de V et de S, sera
aussi fonction de t. Trouver à quel taux (instantané) E varie par rapport au temps, à
l’instant t1 .
199. Selon l’exemple 70, page 238, l’isobutane (2-méthyl propane) est un gaz qui satisfait cette
équation de van der Waals :
12, 87
P+
(V − 0, 1142) = 0, 08205 T.
V2
a) Les variables P , T et V sont-elles indépendantes ?
b) Obtenir les expressions pour le taux de variation de V par rapport à la pression, à
température constante, et le taux de variation de V par rapport à la température, à
pression constante.
* 200. La pente de la tangente à la courbe ey = sin(x + y) au point P0 = (x0 , y0 ) (où −π < x0 < π)
est nulle. Ce point est :
π a) P0 =
,0 ,
2
π
b) P0 = 0,
,
2
π π
,
,
c) P0 =
4 4
π d) P0 = − , 0 ,
2
e) Aucun de ces points.
201. On se situe dans le cadre de l’exercice 199. À partir des conditions P = 2, T = 300 et
V = 11, 88549, valeurs qui satisfont l’équation de van der Waals, supposons que P augmente
de 0,1 atmosphère par minute et que T diminue de 2 °K par minute. Quel est alors le taux
instantané de variation de V par minute ? Quelles sont les unités ?
296
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
202. Construire la fonction f (x, y) de l’exemple 77, page 244, en établissant d’abord une forme
provisoire de f à l’aide de la condition q = fy , puis obtenir l’expression définitive de f à l’aide
de la condition p = fx .
203. L’équation différentielle y + x4 y 2 + xy 0 = 0 est-elle exacte ? La fonction xy est-elle un
1
facteur intégrant ? Et la fonction 2 2 ? Trouver la solution générale. Vérifier que l’équax y
tion différentielle de cette famille est bien l’équation différentielle donnée au départ.
204. Même si l’équation différentielle 2x + y + xyy 0 = 0 n’est pas exacte (à vérifier), essayer
de trouver la solution générale sous la forme f (x, y) = c avec la méthode de l’exemple 77,
page 244. Que constate-t-on ?
205.
a) À l’exercice 38 (réponses) du chapitre 2, on donne l’équation différentielle
2xy
dy
,
=−
dx
1 − x2 + y 2
dont la famille de solutions doit être l’équation, identifiée (∗), des lignes de force du
champ magnétique. Montrer que c’est bien le cas en résolvant l’équation différentielle
donnée ici.
Suggestion L’équation différentielle doit être rendue exacte grâce au facteur intégrant
1/y 2 .
b) Même question pour l’équation différentielle
dy
1 − x2 + y 2
=
dx
2xy
et la famille (∗∗) des lignes équipotentielles du champ magnétique.
Suggestion Prendre le facteur intégrant 1/x2 .
206.
a) Vérifier que les équations différentielles séparables
g(y)y 0 = f (x)
sont exactes.
b) Les équations différentielles linéaires du premier ordre
y 0 + p(x)y = q(x)
sont-elles exactes ? Trouver un facteur intégrant.
207. Pour quelles valeurs réelles de λ, l’expression (λ3 sin x)dy − (8y cos x + ex )dx est-elle de la
forme fx dx + fy dy ?
a) 2,
b) 1,
c) −1,
d) −2,
3 Le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables
297
e) Aucune des réponses précédentes.
208. Lequel des énoncés suivants est faux ?
a) L’expression (3x2 sin y)dx + (x3 cos y)dy est de la forme fx dx + fy dy.
b) La fonction f (x, y) = x2 − y 2 possède un point de selle au point (0, 0).
c) Le vecteur ~v = (2, 12) est perpendiculaire à la courbe x2 + y 3 = 9 au point P0 = (1, 2).
d) Le vecteur ~v = (12, 1) est tangent à la courbe x3 + y = 9 au point P0 = (2, 1).
π , 0 , alors D~u f (P0 ) = 0.
e) Si ~u = (1, 0), f (x, y) = x sin y et P0 =
2
Appendice
A
Aide-mémoire
Inégalités
— Inégalités triangulaires : Soit a et b, deux nombres réels. Alors,
et
|a ± b| ≤ |a| + |b|
|a ± b| ≥ |a| − |b|.
— Inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · , bn , des nombres réels. Alors,
(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ).
Les racines d’un polynôme de degré 2
Les racines de ax + bx + c = 0 sont x =
2
−b ±
√
b2 − 4ac
.
2a
Les coefficients binomiaux
n!
n def
=
Soit k et n, deux entiers satisfaisant 0 ≤ k ≤ n. On pose
, où
k
k!(n − k)!
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1
(n ≥ 1)
et 0! = 1.
Le développement de (a + b)n peut alors s’écrire (binôme de Newton)
n n−1
n n−2 2
n
(a + b)n = an +
a
b+
a
b + ... +
abn−1 + bn .
1
2
n−1
Les coefficients s’obtiennent également en lisant la ligne commençant par 1 et n dans le triangle de
Pascal donné ci-dessous :
1
1
1
3
1
2
1
3
1
1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
300
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Somme et série géométriques
1 + r + r2 + r3 + · · · + rn
=
1 + r + r2 + r3 + · · ·
=
1 − rn+1
si r 6= 1
1−r
1
si |r| < 1
1−r
Exponentielles et logarithmes
Soit a > 0, x > 0 et y > 0. Alors,
(ax )y = axy
1
a−x = x
a
ax = ex ln a
ln x
loga x =
ln a
ax · ay = ax+y
loga (1/x) = − loga x
loga xy = y loga x
loga (xy) = loga x + loga y
Aires et volumes
L’aire A d’un cercle de rayon r est donnée par A = πr2 (figure A.1).
.
r
Figure A.1
L’aire A d’un parallélogramme de base b et de hauteur h est donnée par A = b × h (figure A.2).
h
b
Figure A.2
L’aire A d’un triangle de base b et de hauteur h est donnée par A =
1
b × h (figure A.3).
2
A Aide-mémoire
301
h
b
Figure A.3
Le volume V et l’aire A d’une sphère de rayon r sont donnés par V =
(figure A.4).
4 3
πr et A = 4πr2
3
. r
Figure A.4
Le volume V et l’aire A d’un cylindre dont la base est de rayon r et dont la hauteur est h sont
donnés par V = πr2 h et A = 2πr2 + 2πrh (figure A.5).
.r
h
Figure A.5
Le volume V et l’aire latérale A d’un cône dont la base est de rayon r et dont la hauteur est h sont
√
1
donnés par V = πr2 h et A = πr r2 + h2 (figure A.6).
3
302
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
r
.
h
Figure A.6
Géométrie analytique
La droite
L’équation de la droite passant par les deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) est donnée par
y − y1
y2 − y1
=
.
x − x1
x2 − x1
L’expression
y2 − y1
est la pente de la droite, notée habituellement m.
x2 − x1
L’équation de la droite de pente m et passant par le point (x1 , y1 ) est donnée par
y − y1 = m(x − x1 ).
L’équation de la droite de pente m et d’ordonnée à l’origine b est
y = mx + b.
L’équation de la tangente à la courbe y = f (x) au point (x1 , y1 ) = (x1 , f (x1 )) est donnée par
y − y1 = f 0 (x1 )(x − x1 ).
Deux droites perpendiculaires de pente respective m1 et m2 sont telles que
m1 = −
1
.
m2
Distances
La distance d dans le plan R2 entre deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) est donnée par
p
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
La distance d dans le plan R3 entre deux points (x1 , y1 , z1 ) et (x2 , y2 , z2 ) est donnée par
p
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 .
A Aide-mémoire
303
Cercles
L’équation du cercle centré en (x0 , y0 ) et de rayon r est donnée par
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
Ainsi, l’équation x2 + y 2 + ax + by + c = 0 représente le cercle de centre (x0 , y0 ) =
p
rayon r = x20 + y02 − c.
a b
− ,−
2 2
Ellipses
Ellipse centrée à l’origine d’axe horizontal 2a et d’axe vertical 2b (figures A.7 et A.8) :
x2
y2
+ 2 =1
2
a
b
y
y
.(0,b)
.(0,b)
(–a,0)
.
(–a,0)
.(a,0) x
.
. (a,0) x
.(0,–b)
.(0,–b)
Figure A.8
Figure A.7
Ellipse centrée en (x0 , y0 ) d’axe horizontal 2a et d’axe vertical 2b (figure A.9) :
(y − y0 )2
(x − x0 )2
+
=1
2
a
b2
y
b
a
.(x ,y ) a
0
0
b
x
0
Figure A.9
et de
304
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
√
√
Dans le cas où a > b, les foyers de l’ellipse sont F1 = ( a2 − b2 , 0) et F2 = (− a2 − b2 , 0), et la
somme des distances de tout point P de l’ellipse, à chacun des foyers, est constante, c’est-à-dire :
P F1 + P F2 = 2a (voir figure A.7).
Paraboles
Voici quatre types de paraboles avec sommets à l’origine (figures A.10 à A.13) :
y = ax2
a>0
y = ax2
a<0
x = ay2
a>0
x = ay2
a<0
y
y
y
y
x
x
Figure A.10
x
x
Figure A.12
Figure A.11
Figure A.13
Parabole avec sommet en (x0 , y0 ), et a > 0, c’est-à-dire une translation de la parabole d’équation
y = ax2 , a > 0 (figure A.14) :
y − y0 = a(x − x0 )2
y
.(x ,y )
0
0
x
0
Figure A.14
La formulation est analogue dans les trois autres cas de translation : remplacement de y par y − y0
et de x par x − x0 .
A Aide-mémoire
305
Hyperboles
Les hyperboles ci-dessous sont données par :
y2
x2
− 2 = 1 (figure A.15)
2
a
b
et
x2
y2
− 2 = −1 (figure A.16).
2
a
b
y
y
(0,b)
(–a,0)
(a,0)
x
x
(0,–b)
Figure A.15
Figure A.16
Dans les deux cas, les asymptotes sont décrites par l’équation
y = ±(b/a)x.
x2
y2
− 2 = 0, soit les deux droites
2
a
b
L’hyperbole xy = c, c > 0, est représentée par la figure A.17.
ax + b
, c 6= 0, est une hyperbole d’asymptotes x = −d/c et y = a/c. En voici un exemple à la
cx + d
figure A.18.
y=
y
y
( c, c)
a/c
x
x
−d
c
(− c , − c )
Figure A.17
Figure A.18
Note Les asymptotes et les branches de l’hyperbole occupent diverses positions selon les valeurs des
constantes a, b, c 6= 0 et d.
306
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Surfaces quadriques : quelques cas particuliers
Ellipsoïde
y2
z2
x2
+ 2 + 2 = 1 (figure A.19). (Si a = b = c, on obtient une sphère.)
2
a
b
c
z
c
b
y
a
x
Figure A.19
Paraboloïde elliptique
x2
y2
+ 2 = cz (figure A.20). Ici, c > 0. Si c < 0, le paraboloïde est orienté vers le bas.
2
a
b
z
y
0
x
Figure A.20
A Aide-mémoire
Paraboloïde hyperbolique
z=
x2
y2
− 2 (figure A.21).
2
b
a
Hyperboloïde à une nappe
Hyperboloïde à deux nappes
z
z
(0,0,c)
0
y
y
(0,0,–c)
x
x
Figure A.22
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 1 (figure A.22).
2
a
b
c
Figure A.23
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = −1 (figure A.23).
2
a
b
c
307
308
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Cône elliptique
z2 =
y2
x2
+ 2 (figure A.24).
2
a
b
z
0
y
x
Figure A.24
Trigonométrie
En s’aidant de la figure A.25 :
sin θ
= y
csc θ
=
1
sin θ
=
1
y
cos θ
= x
sec θ
=
1
cos θ
=
1
x
tan θ
=
cot θ
=
1
tan θ
=
x
y
y
sin θ
cos θ = x
. (0,1)
.
1
y
θ
0
x
Figure A.25
.(1,0)
A Aide-mémoire
Tableau : valeurs d’usage courant
θ
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
cos θ
√1
√3/2
2/2
1/2
0
−1/2
√
−√2/2
− 3/2
−1
0
1
sin θ
0
√1/2
√2/2
3/2
√1
√3/2
2/2
1/2
0
−1
0
tan θ
√0
3/3
√1
3
–
√
− 3
−1
√
− 3/3
0
–
0
π radians
=
1 radian
=
=
1 degré
=
=
180 degrés
180
degrés
π
57.2957... degrés
π
radian
180
0.017... radian
Tableau : quelques valeurs trigonométriques particulières
θ
0
π
12
cos θ
1
p
√
1
2+ 3
2
sin θ
0
p
√
1
2− 3
2
π
8
1
2
13π
12
cos θ
−1
p
√
− 12 2 + 3
p
√
2− 2
9π
8
− 12
3
2
1
2
7π
6
− 23
√
2
2
√
2
2
5π
4
− 22
− 22
π
3
1
2
√
3
2
4π
3
− 12
− 23
π
2
0
1
3π
2
0
−1
2π
3
− 12
√
3
2
5π
3
1
2
− 23
3π
4
− 22
√
2
2
7π
4
5π
6
− 23
1
2
11π
6
p
2+
√
2
1
2
√
π
6
π
4
√
√
7π
8
− 12
p
2+
11π
12
− 12
p
2+
√
√
θ
π
p
2+
√
2
sin θ
0
p
√
− 12 2 − 3
− 12
√
p
2−
√
2
− 12
√
√
√
√
√
√
2
2
− 22
√
3
2
− 12
2
1
2
p
√
2− 2
15π
8
1
2
p
√
2+ 2
− 12
p
2−
3
1
2
p
√
2− 3
23π
12
1
2
p
√
2+ 3
− 12
p
2−
√
√
2
3
309
310
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Les graphes des fonctions sin x, cos x et tan x (figures A.26, A.27 et A.28, respectivement) :
y
y
1
1
–π
x
π
x
–π
π
–1
–1
y = sin x
y = cos x
Figure A.26
Figure A.27
y
π
π
2
2
x
−
y = tan x
Figure A.28
Quelques identités trigonométriques
sin(−θ) = − sin θ
cos(−θ) = cos θ
tan(−θ) = − tan(θ)
sin2 θ + cos2 θ = 1
tan2 θ + 1 = sec2 θ
cot2 θ + 1 = csc2 θ
sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ
cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ
tan θ + tan φ
tan(θ + φ) =
1 − tan θ tan φ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
=
1 − 2 sin2 θ = 2 cos2 θ − 1
A Aide-mémoire
311
Valeurs de arctan(y/x) :
Pour x 6= 0, désignons ici par Arctan(y/x) la valeur principale de la fonction arctangente (qui est la
π
π
valeur que donne en particulier une calculatrice). On a − < Arctan(y/x) < , de sorte que :
2
2

Arctan(y/x),
si x > 0(1er et 4e quadrants),



π + Arctan(y/x), si x < 0(2e et 3e quadrants),
arctan(y/x) =

π/2,
si x = 0, y > 0,



−π/2,
si x = 0, y < 0.
Calcul vectoriel
p
Étant donné un vecteur ~v = (x, y, z), on désigne sa longueur par |~v |. On a ainsi |~v | = x2 + y 2 + z 2 .
~v
Étant donné un vecteur quelconque ~v non nul, le vecteur correspondant ~u =
est un vecteur
|~v |
unitaire (c’est-à-dire |~u| = 1) qui a la même direction que ~v .
Soit ~u = (x1 , y1 , z1 ) et ~v = (x2 , y2 , z2 ), deux vecteurs de R3 . Alors :
1) la somme des vecteurs ~u et ~v , notée ~u +~v , est le vecteur w
~ défini par w
~ = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
(figure A.29).
w = u+v
v
u
Figure A.29
Note Il est facile de constater géométriquement que |~u + ~v | ≤ |~u| + |~v |, inégalité que l’on appelle
aussi inégalité triangulaire pour les vecteurs.
2) si c est un nombre réel et ~v = (x, y, z), alors c~v désigne le vecteur (cx, cy, cz). Dans l’illustration,
c > 0 (figure A.30).
v
cv
Figure A.30
3) le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v , noté ~u • ~v , est le nombre réel ~u • ~v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Le produit scalaire de ~u et ~v peut aussi s’écrire ~u • ~v = |~u||~v | cos θ, où θ désigne l’angle entre ~u et ~v
(figure A.31).
312
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
u
θ
v
Figure A.31
Note De cette dernière interprétation géométrique du produit scalaire, il découle que |~u • ~v |2 ≤
|~u|2 |~v |2 , soit l’inégalité de Cauchy-Schwarz du début du présent appendice, dans les cas n = 2 et
n = 3.
Remarque Tout ce qui précède est valide pour les vecteurs dans le plan R2 ; il s’agirait alors de tout
récrire en l’absence des troisièmes composantes z, z1 et z2 .
Produit vectoriel : pour ~u = (x1 , y1 , z1 ) et ~v = (x2 , y2 , z2 ), le produit vectoriel ~u × ~v est orthogonal
à ~u et à ~v , et s’écrit comme le vecteur :
~u × ~v = (y1 z2 − y2 z1 , −(x1 z2 − x2 z1 ), x1 y2 − x2 y1 ).
L’équation du plan passant par le point (x0 , y0 , z0 ) et perpendiculaire au vecteur ~n = (a, b, c) est
donnée par
~n • (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0,
c’est-à-dire par ax + by + cz = d, où d = ax0 + by0 + cz0 .
Les équations de la droite, dans l’espace, passant par le point (x0 , y0 , z0 ) et parallèle au vecteur
~v = (a, b, c) sont données par
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
c
ou, sous forme paramétrique,
x =
x0 + ta,
y
=
y0 + tb,
z
=
z0 + tc,
où t ∈ R.
Les équations de la droite, dans l’espace, passant par les points (x1 , y1 , z1 ) et (x2 , y2 , z2 ) sont
données par :
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
ou, sous forme paramétrique,
x
= x1 + t(x2 − x1 ),
y
= y1 + t(y2 − y1 ),
z
= z1 + t(z2 − z1 ),
où t ∈ R.
A Aide-mémoire
313
Calcul différentiel
Théorème de Rolle Soit f : [a, b] → R, une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), et
telle que f (a) = f (b). Alors, il existe c ∈ (a, b) tel que f 0 (c) = 0.
Soit f : [a, b] → R, une fonction continue sur [a, b] et
f (b) − f (a)
dérivable sur (a, b). Alors, il existe c ∈ (a, b) tel que f 0 (c) =
.
b−a
Théorème des accroissements finis
La méthode de Newton (pour la recherche des zéros d’une fonction) Soit f (x), une fonction
dérivable dont on cherche un zéro. Soit x0 , une valeur approchée du zéro cherché telle que f 0 (x0 ) 6= 0.
f (x0 )
Alors, le nombre x1 défini par x1 = x0 − 0
fournit généralement une meilleure approximation
f (x0 )
f (x1 )
du zéro cherché. Pour faire encore mieux, on choisit x2 = x1 − 0
, et ainsi de suite (figure A.32).
f (x1 )
y
y = f(x)
x1 x0
x
Figure A.32
La règle de L’Hospital Soit f et g, deux fonctions dérivables telles que lim f (x) = 0 et lim g(x) =
x→a
x→a
0. Alors,
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
,
x→a g(x)
x→a g (x)
(∗)
lim
à condition que cette dernière limite existe. La conclusion (∗) demeure valable si l’on a plutôt
lim f (x) = +∞ et lim g(x) = +∞.
x→a
x→a
sin x
cos x
= lim
=1
x→0
x
1
Quelques règles de dérivation
Exemple lim
x→0
— La dérivée d’une constante :
dc
=0
dx
df (x) dg(x)
d
(f (x) ± g(x)) =
±
dx
dx
dx
d
df (x)
— La dérivée d’un produit particulier, c constante :
(cf (x)) = c
dx
dx
— La dérivée d’une somme :
314
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d
(f g)(x) = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x)
dx
d f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
— La dérivée d’un quotient :
(x) =
dx g
(g(x))2
— La dérivée d’un produit :
— La dérivée d’une fonction composée :
Le calcul de certaines dérivées
d n
x = nxn−1
dx
d
df (u) du(x)
df du
f (u(x)) =
·
=
·
dx
du
dx
du dx
d x
(a ) = (ln a)ax
dx
d
sec x = sec x tan x
dx
d
1
ln x =
dx
x
(x > 0)
d
sin x = cos x
dx
d
csc x = − csc x cot x
dx
1
d
ln |x| =
dx
x
(x 6= 0)
d
cos x = − sin x
dx
d
1
arcsin x = √
dx
1 − x2
1
d
loga x =
dx
x ln a
d
tan x = sec2 x
dx
d
−1
arccos x = √
dx
1 − x2
d x
e = ex
dx
d
cot x = − csc2 x
dx
d
1
arctan x =
dx
1 + x2
d
−1
arccot x =
dx
1 + x2
d ax
e = aeax
dx
Le développement en série de MacLaurin de quelques fonctions
1
1−x
1
1+x
=
1 + x + x2 + x3 + . . .
(|x| < 1)
=
1 − x + x2 − x3 + . . .
(|x| < 1)
x3
x5
x7
+
−
+ ...
3!
5!
7!
2
4
6
x
x
x
1−
+
−
+ ...
2!
4!
6!
x3
x2
−
− ... − 1 ≤ x < 1
−x −
2
3
x2
x3
x4
x−
+
−
+ ... − 1 < x ≤ 1
2
3
4
x2
x3
1+x+
+
+ ...
2!
3!
sin x
= x−
cos x
=
ln(1 − x)
=
ln(1 + x)
=
ex
=
Calcul intégral
Théorème fondamental du calcul
— Première versionR : Soit f : [a, b] → R, une fonction continue sur [a, b]. Pour chaque x ∈ [a, b],
x
on pose F (x) = a f (t) dt. Alors,
A Aide-mémoire
c’est-à-dire
F 0 (x) = f (x)
d
dx
315
Z x
f (t) dt = f (x).
a
— Deuxième version :
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a), où F 0 (x) = f (x).
a
Note On dit que F est une primitive de f .
L’intégration par parties
— Calcul de primitives
Z
Z
u dv = uv −
v du.
— Calcul d’intégrales définies
Z b
Z b
0
u(x)v (x)dx = (u(b)v(b) − u(a)v(a)) −
v(x)u0 (x)dx.
a
a
R
R
Exemple L’intégrale x sin x dx est de la forme u dv, avec u = x et dv = sin x dx. C’est pourquoi
on peut écrire
Z
Z
x sin x dx = x(− cos x) − (− cos x) dx = −x cos x + sin x + C.
Fractions partielles
L’intégration d’un quotient de deux polynômes peut s’avérer un problème compliqué. Il existe toutefois une méthode pour simplifier ce problème qui consiste à écrire ce quotient comme une somme
de fractions.
Z
dx
Exemple On cherche à évaluer
. Pour ce faire, on écrit
(x − 3)(x + 7)
1
(x − 3)(x + 7)
=
=
A
B
+
x−3 x+7
(A + B)x + (7A − 3B)
.
(x − 3)(x + 7)
Il en découle que l’on doit avoir A + B = 0 et 7A − 3B = 1. De ces deux équations, on déduit que
A = 1/10 et B = −1/10. Il s’ensuit que
Z
Z
Z
1/10
1/10
dx
=
dx −
dx
(x − 3)(x + 7)
x−3
x+7
1
1
=
ln |x − 3| −
ln |x + 7| + C.
10
10
316
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Le calcul de certaines intégrales
Z
xn dx =
xn+1
+C
n+1
Z
Z
1
dx = ln |x| + C
x
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
Z
ln x dx = x ln x − x + C
Z
x
b
x
dx = − 2 ln |ax + b| + c (a 6= 0)
ax + b
a a
dx
= ln | ln x| + C
x ln x
Z
1
dx
= ln |ax + b| + C (a 6= 0)
ax + b
a
Z
ef (x) f 0 (x) dx = ef (x) + C
Z
x2
x2
x ln x dx =
ln x −
+C
2
4
Soit a 6= 0 ; alors
R ax
e dx = a1 eax + C
R
ax
xeax dx = ea
R
x − a1 + C
R
dx
1
a+x
a2 −x2 = 2a ln a−x
R
x dx
1
2
2
a2 −x2 = − 2 ln |a − x | + C
√
+C
R
ax dx = ln1a ax + C
dx
a2 +x2
= a1 arctan
(a 6= 1)
x
a
+C
R
dx
1
x−a
x2 −a2 = 2a ln x+a
+C
R
√ dx
= arcsin
a2 −x2
x
a
+C
R
√ dx
= ln
x2 ±a2
R
sin(ax) dx = − a1 cos(ax) + C
R
cos(ax) dx = a1 sin(ax) + C
R
tan(ax) dx = − a1 ln | cos(ax)| + C
R
cot(ax) dx = a1 ln | sin(ax)| + C
R
sec2 (ax) dx = a1 tan(ax) + C
R
csc2 (ax) dx = − a1 cot(ax) + C
R
sec(ax) dx = a1 ln | sec(ax) + tan(ax)| + C
R
csc(ax) dx = a1 ln | csc(ax) − cot(ax)| + C
R
sin2 x dx = 21 x − 14 sin (2x) + C
R
cos2 x dx = 12 x + 14 sin (2x) + C
R
x cos ax dx = cos(ax)
+ x sin(ax)
+C
a2
a
R
x sin ax dx = sin(ax)
− x cos(ax)
+C
a2
a
R
eax cos bx dx = a2e+b2 (a cos (bx) + b sin (bx)) + C
R
eax sin bx dx = a2e+b2 (a sin bx − b cos bx) + C
x+
x2 ± a2 + C
ax
ax
A Aide-mémoire
317
Quelques intégrales définies ou impropres
Z ∞
0
e
−a2 x2
−∞
−ax
e
0
Z ∞
0
Z ∞
0
(m > 0)
0
√
Z ∞
Z ∞
Z ∞
sin (mx)
π
dx =
x
2
π
dx =
a
1
dx =
a
Z ∞
(a > 0)
sin2 x
π
dx =
2
x
2
xn e−x dx = n!
(n = 0, 1, 2, . . . )
0
Z ∞
(a > 0)
e−ax sin (mx) dx =
0
Z ∞
xp−1 dx
π
=
1+x
sin (pπ)
(0 < p < 1)
e−ax cos (mx) dx =
a
a2 + m2
0
m
a2 + m2
xm−1
π
dx =
n
1+x
n sin m nπ
(a > 0)
(0 < m < n)
(a > 0)
Quelques rappels sur les notations ensemblistes
Un ensemble E est une collection d’éléments, disons x1 , x2 , · · · , xn , et est noté par
E = {x1 , x2 , · · · , xn } .
La notation x ∈ E est utilisée afin de dénoter que l’élément x appartient à l’ensemble E.
Si F est un sous-ensemble de E, c’est-à-dire si tous les éléments de F sont dans l’ensemble E, on
écrit F ⊂ E.
Si x ∈ E, on note par E \ {x} l’ensemble E auquel on a enlevé l’élément x.
Les symboles « : » et « | », utilisés dans des ensembles, signifient « tel(les) que ». Par exemple, si
E = {x ∈ R : x ≥ 1} = {x ∈ R|x ≥ 1} ,
alors l’ensemble E est l’ensemble des nombres x réels tels que x ≥ 1.
Soit E et F deux ensembles. L’union de E et F est un ensemble G, noté par G = E ∪ F , qui contient
tous les éléments de E et F . L’intersection de E et F est un ensemble H, noté par H = E ∩ F , qui
contient tous les éléments de E qui sont également dans l’ensemble F .
Réponses aux exercices
Remarque Dans certains cas, on trouve une esquisse de la solution.
CHAPITRE 1
1.
a) Re (w) = 1 + y, Im (w) = −x
b) w = 4 − 2i (figure 1.9)
Figure 1.9
2.
3.
a) Re (w) = y − 1, Im (w) = −x
b) z correspond au point (−2, 3), et w = 2 + 2i correspond au point (2, 2).
1−x+y
x+y+1
a) Re (w) =
et Im (w) = −
2
2
b) w = 1 − 2i = z (figure 1.10)
Figure 1.10
Réponses aux exercices
319
4. (i2 )27 = −1
5. 1 ± 2i. Vérification : après substitution de chacune des racines dans le membre de gauche de
l’équation, le résultat sera 0.
1
1
i = −i,
−i = i.
6.
= −i,
= i,
i
(−i)
7. Faux ; poser 3 − 2i = 8 − 7i mène à la contradiction i = 1. Aussi :
Re (3 − 2i) = 3
6=
8 = Re (8 − 7i),
Im (3 − 2i) = −2
6=
−7 = Im (8 − 7i).
8. x = 1, y = −1, z = 1 − i
9. 1, 5, 6, 0
10. Les nombres complexes z demandés correspondent aux points (x, y) sur la droite x + y = 1
(ou y = −x + 1).
11.
1
z
=
1 2
+ i
5 5
1
z
=
1 2
− i
5 5
z
z
3 4
= − + i
5 5
z
z
3 4
= − − i
5 5
z
,
|z|2
!
1
=
,
z
(z)2
=
,
|z|2
!
z
=
.
z
=
12. 2. Propriété utilisée : |z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |
|z|y
13. x 6= 0, x + iy =
i est une contradiction. Réponse : non.
x
Autre solution : arriver à la contradiction z = ±i|z| et |Re z| = |Im z|.
p
p
1
14.
x2 + y 2 = (x + 1)2 + y 2 =⇒ x = −1/2, y arbitraire. Réciproquement, x = − + iy =⇒
2
|z| = |z + 1|.
Interprétation géométrique : la distance de z à 0 est égale à celle de z à −1.
15.
a) |2z̄ + 5| = |2z + 5|
√
√
| 2 − i| = 3
Utilisation de : |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
b) 2 + 2i = 2(1 + i)
|1 + i| = |1 − i|
|3 + 4i| = |3 − 4i|
Résultat : 2
16. 3
320
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
|z|
z
1
=
; utiliser |zw| = |z||w| et
.
2
w
|w|
√
18. 2/2. À utiliser : le module d’un quotient et le module d’un produit.
4
1
2
19. C’est le cercle x2 + y 2 + x + = 0 ou, écrit autrement, (x + 2/3) + y 2 = (1/3)2 , de centre
3
3
(−2/3, 0) et de rayon 1/3.
17.
20. Ce sont les points représentés par les deux paraboles y = x2 et y = −x2 .
21. La somme des distances de z à deux points donnés demeure constante : par définition, les
points z décrivent une ellipse.
a) Ellipse de foyers (2, 0) et (−2, 0), de demi-axe horizontal de longueur 3.
b) Ellipse de foyers i et −i ou (0, 1) et (0, −1), de demi-axe vertical de longueur 3/2.
22.
a) z = x + iy, où x2 + (y + 1)2 = 1, un cercle de centre (0, −1) ou −i et de rayon 1.
z+i
= 1 ⇐⇒ |z + i| = 1
b)
i
⇐⇒ |z − (−i)| = 1,
ce qui décrit les mêmes valeurs de z qu’en a).
23.
a) |z − (1 − 2i)| = 1 ; cercle centré en 1 − 2i ou (1, −2) et de rayon 1.
b) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 1
24.
a) y ≥ 0, y 2 =
x2
|x|
,y=√
3
3
b) y > x
25. On obtient z = x + iy, où y 2 = 4x + 12, ce qui décrit les points d’une parabole dont le sommet
est en (−3, 0) et dont l’axe de symétrie est la partie de l’axe horizontal à droite du point
(−3, 0).
26. x2 + y 2 − 4x = 0, un cercle de centre (2, 0) et de rayon 2.
27. Il s’agit du cercle de centre (R/2, 0) et de rayon R/2.
28. |z| ≤ 1 (frontière et intérieur du disque unité)
π
π √ 29. u3 = 2 2 cos
+ i sin
= 2(1 + i) et u4 = 4(cos π + i sin π) = −4 (figure 1.11)
4
4
Figure 1.11
30.
√
5π
5π
243 3 243
a) 243 cos
+ i sin
=−
+
i
6
6
2
2
Réponses aux exercices
321
π
3π
3π
π
+ i sin −
, ou encore
b) −512i = 512 cos
+ i sin
= 512 cos −
2
2
2
2
remplacer 512 par 29 .
31. 2
32. −1024 = −210 . Utiliser la représentation polaire ou exponentielle.
3π
3π
3π
33.
a) 32 cos
+ i sin
= 32ei 2 = −32i, ou encore remplacer 32 par 25 .
2
2
1997
5
b) En utilisant
= 332 + , on obtient
6
6
√
1997
5π
5π
3 1
−iπ/6
−i5π/6
= cos −
e
+ i sin −
=e
=−
− i.
6
6
2
2
34. Il s’agit des six demi-droites émanant de l’origine et faisant respectivement un angle avec
l’horizontale de π/12, 5π/12, 9π/12, 13π/12, 17π/12 et 21π/12.
35. Posons z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ . On a alors
a) ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y). Ici, x < 0, de sorte que ex < 1, c’est-à-dire |ez | < 1 et
0 < y < π/2 ≈ 1, 57, d’où 0 < arg ez < π/2. On en conclut que ez est dans la région A.
b) eiz = eix−y = e−y (cos x + i sin x). Puisque −y < 0, on a |eiz | = e−y < 1. D’autre part,
−π/2 < −1 < x < 0, de sorte que −π/2 < arg eiz < 0. On en conclut que eiz est dans
la région D.
c) −1/z = −z/zz = −z/|z|2 = (−1/r)(cos θ + i sin θ). Il s’ensuit que | − 1/z| = 1/r < 1
et −1/z est dans la direction diamétralement opposée à z, d’où −1/z ∈ D. Une autre
solution se lit comme suit :
1
1
−1/z = −1/(re−iθ ) = (−1/r)eiθ = eiπ eiθ = ei(π+θ) ∈ D.
r
r
d) z 2 = r2 (cos (2θ) + i sin (2θ)). Comme r > 1 et π/2 < θ < 3π/4, il s’ensuit que r2 > 1 et
π < θ < 3π/2 et z 2 ∈ G.
e) |z/z 2 | = |z|/|z|2 = 1/|z| < 1 et arg z/z 2 = arg zz/z 3 = − arg z 3 = −3 arg z.
Puisque π/2 < arg z < π/2 + π/6, on a 3π/2 < 3 arg z < 2π. Il s’ensuit que
0 < −3 arg z < π/2 et ainsi z/z 2 ∈ A.
f) De toute évidence z ∈ G. Puisque eiπ = −1, on a eiπ z ∈ E.
g) (z + z) = 2Re(z) = 2x est un nombre réel négatif dont le module (ou valeur absolue)
est plus petit que 1. Par ailleurs, la multiplication par eiπ/3 produit une rotation d’un
angle de π/3 dans le sens anti-horaire. Il s’ensuit donc que eiπ/3 (z + z) ∈ C.
36.
37.
a) i
b) e−π/2
c) −1
q
q
√
√
1
i
d)
2+ 2+
2 − 2, en utilisant cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x, avec x = π/8.
2
2
7π
7π
i7π/6
iπ/2
a) Avec i = e
, on obtient le résultat e
= cos
+ i sin
.
6
6
On peut également écrire i et eiπ/3 en forme polaire au départ.
322
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
√
√
b) 2 + i 2 ; noter que eln 2 = 2.
2π
38.
ou 120°
3
39. θ = 3π/4. Il est vrai que l’on a alors eiθ z = −|z|.
40. Premier ensemble Le demi-plan avec x ≤ 0 et y arbitraire.
Deuxième ensemble La demi-droite à 45° dans le premier quadrant, origine exclue.
π
Troisième ensemble Les bandes horizontales décrites par x arbitraire et − + k · 2π < y <
2
π
+ k · 2π, où k = 0, ±1, ±2, · · ·
2
π 2kπ
41. i
+
, où k est un entier (0, ±1, ±2, · · · ). Dans le plan de Gauss, il s’agit de points
6
3
tous situés sur l’axe vertical.
42.
a) −1
π 2kπ
+
, k entier
b) i
5
5
43. Utiliser les définitions de base.
44.
a) 7π/12
b) e7πi/12
c) z = w + 2nπi (n = 0, ±1, ±2, · · · )
d) Les points de la droite verticale Re z = ln 2
i
i i√
1√
8nπ − 1+ . Lorsque n ≤ 0, nous avons ±
1 − 8nπ.
e) Lorsque n ≥ 1, cela donne ±
2
2
2 2
45.
a) |z| = 1
π
b) z = eiπ/2 = i, θ =
2
1
17π
17π
46. z 4 = √
cos
+ i sin
,
12
12
2
1/8 17π
2π
17π
2π
1
cos
+k·
+ i sin
+k·
, k = 0, 1, 2, 3
zk =
2
48
4
48
4
√
π
π
2
47. z0 = cos
+ i sin
=
(1 + i),
4
4
2
√
3π
3π
2
z1 = cos
+ i sin
=
(−1 + i),
4
4
2
√
5π
5π
2
z2 = cos
+ i sin
=
(−1 − i),
4
4
2
√
7π
7π
2
z3 = cos
+ i sin
=
(1 − i).
4
4
2
√
√
( 3 + i)
(1 − 3 i)
48. ±
,±
2
2
Réponses aux exercices
49.
323
√
z0
=
z1
=
z2
=
z3
=
3
i
−1+ ,
2
2
√
3
3
− +
i,
2√
2
3
i
−
−1− ,
2 √
2
1
3
i.
− −
2
2
50. Les solutions sont les 14 nombres complexes z = zk donnés par
kπ
kπ
zk = 2 cos
+ i sin
, où k = 0, 1, 2, 3, · · · , 13.
7
7
√
√
4πi
2πi
1 i 3
1 i 3
3
3
,z=e
=− +
=− −
51. z = 0, z = 1, z = e
2
2
2
2
52.
a) Utiliser l’identité |z n | = |z|n .
b) w = zeiπ/3 , w3 = z 3 (−1)
π
2π
π
2π
c) zk = 2 cos( + k ) + i sin( + k ) , k = 0, 1, 2
3
3
3
3
√
z0 = 1 + 3i,
2π
z1
= −2,
z2
=
1−
√
2π
d) wk = zk eiπ/3 = 2ei( 3 +k· 3 ) , k = 0, 1, 2
53.
3i = z0 .
w0
= −1 +
w1
= −1 −
w2
=
√
√
3i,
3i = w0 ,
2.
a) 0, 1, −1
b) z = 0, z = eiθ , sur le cercle unité, car |z| = 1.
c) z = 0, z = eiθ , en considérant les modules. De retour à l’équation proposée, on trouve
les six valeurs
zk = eikπ/3 ,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
à savoir les six racines sixièmes de 1.
54. Longueur des côtés : valeur commune |z|.
π π
+ i sin
est le résultat d’une rotation d’angle
Présence d’un angle droit : zi = z cos
2
2
π/2 de z.
55. Aire = |z||zi| = 1 =⇒ x2 + y 2 = 1. Cercle de rayon 1 centré à l’origine.
324
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
π
π + i sin
56.
a) z = 4 cos
3
3
√
3π
3π
b) a = 2 2 cos
+ i sin
4
4
√
2π
2π
3π
3π
57. z = 4(cos
+ i sin
), u = 2 cos
+ i sin
3
3
4
4
58.
a)
z0
=
1
z1
=
eiπ/3
z2
=
ei2π/3
z3
= −1 = −z0
z4
=
ei4π/3 = −z1
z5
=
ei5π/3 = −z2
b) z 6 = 1
√
59. A = 2 et α = −π/4
√
60. 2 cos(x − π/4).
2 2
2
1
61.
=
= sec2 θ
eiθ + e−iθ
cos θ
1
3
1 3
62.
a) − sin θ − cos (2θ) − sin (3θ)
2 4
2
4
3 1
1
b) − cos (2θ) + cos (4θ)
8 2
8
63.
a) Longueur des côtés : 1.
64.
b) La diagonale joignant 0 et 1 + eiθ est la bissectrice de l’angle θ quand 0 ≤ θ < π. La
demi-droite opposée à cette diagonale est la bissectrice de l’angle θ quand π < θ ≤ 2π.
1
i
a) Utiliser l’identité √ − √ = e−iπ/4 .
2
2
b) Avec la première suggestion, on obtient
π π
π z = 2 cos
cos
+ i sin
.
8
8
8
À l’aide de la deuxième suggestion, on a
r
π 2
π q
√
π
π/4
= et |z| =
1 + cos
+ sin2
= 2 + 2,
arg z =
2
8
4
4
ce qui est identique à 2 cos (π/8).
√
√
i
2
2
c)
=−
−i
, un nombre qui est situé dans le troisième quadrant.
1−z
2
2
1
3
1
65.
sin (5x) + sin (3x) + sin x
8
8
4
66. − cos (2θ)
Réponses aux exercices
325
67. Oui.
68. −46 + 9i
69. Les racines de z 4 − 16 = (z 2 − 4)(z 2 + 4) sont ±2, ±2i.
√
1
3
3
Les racines de z + 1 sont −1, ±
i.
2
2
70.
a) Au départ, on remarque une différence de carrés, d’où
z 4 − 81 = (z + 3)(z − 3)(z 2 + 9).
Les racines sont donc −3, 3, 3i, −3i.
b) En regroupant les termes par paires, on obtient
z 3 − 2z 2 + z − 2 = (z − 2)(z 2 + 1),
ce qui donne les racines 2, i, −i.
c) Comme en b), on obtient
√
2z 2 + z −
√
ce qui donne lieu aux racines 2, i, −i.
z3 −
√
2 = (z −
√
2)(z 2 + 1),
d) On a
71.
72.
z 4 + 5z 2 + 6 = (z 2 + 2)(z 2 + 3),
√
√
ce qui donne les racines ± 2i, ± 3i.
√ !
√ !
1
3
1
3
3
a) z − 1 = (z − 1) z + −
i
z+ +
i
2
2
2
2
√
√
√
√
b) (z − 2 i)(z + 2 i)(z − 5 i)(z + 5 i)
√
√
√
√
a) (z − 2 i)(z + 2 i)(z − 3 i)(z + 3 i)
i
i
4
2
b) 4z + 5z + 1 = 4(z − i)(z + i) z −
z+
2
2
73. Trouver d’abord les racines de z 6 − 1, soit zk = eikπ/3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. On obtient alors
p(z) = (z − z3 ) ((z − z1 )(z − z1 )) ((z − z2 )(z − z2 )) = (z + 1)(z 2 − z + 1)(z 2 + z + 1).
74.
a) w = z + 3,
2π
π
2π
π
1/4
+ i sin
, où k = 0, 1, 2, 3,
+k·
+k·
w = 16
cos
4
4
4
4
√
√
z0 = (−3 + 2) + 2i,
√
√
z1 = (−3 − 2) + 2i,
√
√
z2 = (−3 − 2) − 2i,
√
√
z3 = (−3 + 2) − 2i.
b) z3 = z̄0 , z2 = z̄1 ; deux facteurs quadratiques réels irréductibles.
326
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
75.
a) zk
1 + wk , où
π
π w0 = 3 cos
+ i sin
4
4
√
3 2
=
(1 + i),
2 π π π π w1 = 3 cos
+ i sin
+
+
4
2
4
2
√
3 2
(−1 + i),
=
2
π 2π
π 2π
w2 = 3 cos
+
+ i sin
+
4
2
4
2
√
3 2
= −
(1 + i),
2 π 3π
π 3π
+
+ i sin
+
w3 = 3 cos
4
2
4
2
√
3 2
(1 − i).
=
2
b) Deux facteurs quadratiques réels irréductibles, car z3 = z̄0 et z2 = z̄1 .
76.
a) Poser d’abord w = z 3 . Les racines z sont : eiπ/9 , ei7π/9 , ei13π/9 , ei5π/9 , ei11π/9 , ei17π/9 .
=
b) Poser d’abord w = z 2 . Racines z : ±(2 + i), ±(1 + 2i).
√
1 ± 7i
.
c) Racine immédiate : z = −1. Autres racines : z =
2
77. La racine évidente est z = 0. Les deux autres racines sont des conjuguées complexes. La droite
demandée est y = 2x.
78. p(z) = (z − 2)2 (z 2 + 4)(z 2 − 2z + 2)3 , un polynôme de degré 10.
p
√
79. p(z) = (z − 0, 56)(z + 2)(z − 5/3)2 (z 2 − 6z + 16)2 , un polynôme de degré 8.
2
80. Il s’agit du polynôme p(z) = (z − 3) z 2 − 2z + 2 = z 4 − 8z 3 + 23z 2 − 30z + 18.
81. p(z) = (z − 2i + 1)(z + 2i + 1)(z − 1 − i)(z − 1 + i)
82. Les racines du polynôme p sont 2, 0, 0, −i et i. Donc,
p(z) = (z − 2)(z − 0)(z − 0)(z + i)(z − i) = z 5 − 2z 4 + z 3 − 2z 2 .
83.
a) (z 2 − 3)(z 2 + 1)(z 2 − 6z + 13)
√
b) (z − 3)(z 2 + 1)(z 2 − 6z + 13)
84. z 3 (z − 1)(z 2 − 2z + 2)2
85. z 3 (z − 1)(z 2 − 2z + 2)2
86.
a) a = −1, b = 2
b) p(z) = (z − (1 + i)) (z − (1 − i)) (z + 1)
1
87. p(z) = (z 2 + 1)(az + b), avec a = , b = −2
2
88.
a) z2 = 2 − i
b) z3 = −2
Réponses aux exercices
c) a = −2, b = −3
89.
a) Deuxième racine = 2 + i = 2 − i
b) z1 z2 z3 = −5, donc la troisième racine est −1.
c) a = −(z1 + z2 + z3 ) = −3
b = z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 = 1
90. p(z) = −2 (z − 2) z 2 + z + 3 = −2z 3 + 2z 2 − 2z + 12
91. Oui.
327
CHAPITRE 2
1.
a) x2 − y 2 = c, c arbitraire. On obtient des hyperboles, ainsi que les deux droites y = ±x.
b) x2 + y 2 = a2 , a arbitraire. On obtient des cercles centrés à l’origine.
c) y = cx, c arbitraire. On obtient des droites passant par l’origine.
d) y = c/x, c arbitraire. On obtient des hyperboles ayant les axes comme asymptotes.
2.
a) y = x
b) x2 + y 2 = 2
c) y = x
d) y = 1/x
2/3
3
3
3. y = c − x
, c arbitraire. Dans chaque cas, la fonction est définie pour c − x > 0, car
4
4
1/3
3
√
y = c− x
.
4
8
e−4x .
4. Solution générale : y = ke−4x , k arbitraire. Solution particulière : y =
1 − e−4
5.
a) y = tan(ln |x| + C), C arbitraire
b) y = tan(ln |x| + kπ) = tan(ln |x|), k entier
1
6. y =
1 − ln |x|
2x2
1 + x2
8. y = cearctan x − 1
7. y =
9.
a) y(x) = ke− cos x
√
b) y(x) = k(x + 1 + x2 )
s
2
c) y(x) =
|x|
10.
a) y = k e−x /2
√
b) y = ± ln x2 + c
2
c) y = 0, y = (x + c)2 , y = (x + 1)2
x
11. y = etan( 2 ) ou y = e(csc x−cot x)
12.
a) Solution générale : y = 1 + D · (x + 2), D 6= 0
Courbe demandée : la droite y = 1 + (1)(x + 2) = x + 3
b) Immédiat.
Réponses aux exercices
13.
14.
15.
329
a) Intégrale générale : (x − c)2 + y 2 = 1
b) Non ! La solution y = −1 ne peut pas être obtenue à partir de l’intégrale générale en
spécifiant convenablement le paramètre c.
√
√
dV
dV
a)
∝ h, c’est-à-dire
= c h, où c est une constante négative et écrite −λ, λ positif,
dt
dt
dV
car
< 0, étant donné que V décroît.
dt
dV
dh
b)
= π(0, 5)2
dt
dt
2
2λt
1 −λ
. On a c = ±2, mais c = −2 est incompatible
t + c, h(t) = c −
c) h1/2 =
2 0, 25 π
π
2
2λ
1/2
avec l’expression de h . Alors h(t) = 2 −
t .
π
√ !
2
d) λ = π 1 ±
2
√
e) t = 2 + 2 ou 3, 414 heures (approximativement).
dN
dN
dN
a)
∝ N , c’est-à-dire
= kN , où k est une constante positive, car
> 0, étant
dt
dt
dt
donné que N est une quantité croissante.
b) N = cekt , c arbitraire
c) N = 1 000 000 ekt
d) t = (ln 2)/k
16.
e) k = ln(1, 01), t = 69, 66
dx
dx
∝ 100 000 − x =⇒
= k(100 000 − x), pour une certaine constante positive k, car
a)
dt
dt
dx
> 0, étant donné que x croît.
100 000 − x > 0 (durant le processus) et
dt
b) x = x(t) = 100 000(1 − e−kt )
c) t = 1, x = 10 000 =⇒ k = − ln 0, 9 = 0, 10536
d) x(t) = 100 000/2 =⇒ t = − ln 2/ ln 0, 9 = 6, 58
e) Croissance restreinte : la courbe croît et se rapproche de l’asymptote horizontale
x = 100 000.
17.
a) Au temps t :
dV
dt
=
(volume de CO qui entre par unité de temps)
−(volume de CO qui est évacué par unité de temps)
=
(0, 04)(0, 1) − (concentration de CO)(0, 1)
=
0, 004 − 0, 0001V
b) Séparation des variables ; V = 40 + ce−0,0001t
c) V (0) = 0 =⇒ V = 40(1 − e−0,0001t )
330
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d) V = (0, 00012)1000 =⇒ t =
ln(0, 997)
≈ 30
−0, 0001
e) Croissance restreinte : la courbe est croissante à partir de l’origine et se rapproche de
l’asymptote horizontale V = 40.
18.
a) p∗ = (a + d)/(b + c)
b)
dp
dt
dp
dt
dp
dt
∝
(D(p(t)) − O(p(t)))
=
m (D(p(t)) − O(p(t))) ,
=
m(a + d) − m(b + c)p
m>0
c) Il s’agit d’une équation différentielle à variables séparables :
p = ke−m(b+c)t +
a+d
,
b+c
k arbitraire
Autre solution Comme équation différentielle linéaire du premier ordre :
ph
= ke−m(b+c)t
p
= ph + ppart
ppart =
a+d
= p∗
b+c
Troisième méthode On utilise la substitution u = m(a + d) − m(b + c)p, et il s’ensuit que
u = Ce−m(b+c)t , C arbitraire. On revient ensuite à p grâce à la substitution de départ.
Conditions initiales : t = 0, p = p0 ; il s’ensuit que
a+d
p(t) = p0 e−m(b+c)t +
1 − e−m(b+c)t
b+c
a+d
(1 − 0) = p∗
b+c
e) Croissance restreinte : à partir du point (0, p0 ), la courbe croît et se rapproche de l’asymptote horizontale p = p∗ . Si p0 > p∗ , on a une décroissance asymptotique vers p∗ .
d) lim p(t) = 0 +
t→∞
19.
a) 500 − N (t)
b) Au temps t,
dN
dN
∝ 500 − N (t) =⇒
= k(500 − N (t)), k > 0,
dt
dt
dN
car 500 − N > 0 et
> 0 (étant donné que N est croissante).
dt
c) N = 500 + ce−kt (voir réponse 10 c))
d) t = 0, N = 50 =⇒ N = 500 − 450e−kt
ln 2
= 0, 0693
10
f) Courbe croissant de (0,50) à 500, asymptotiquement (croissance restreinte).
e) t = 10, N = 275 =⇒ k =
Réponses aux exercices
20.
331
dP
représente le rythme de croissance, soit le taux de variation ou la dynamique du
dt
processus.
√
√
dP
dP
∝ P =⇒
= k P , k > 0,
dt
dt
√
dP
car P > 0 et
> 0, étant donné que P croît.
dt
b) Par séparation des variables, on obtient
2
kt
+ b , b arbitraire
P =
2
c)
a)
t = 0,
P = 100
=⇒ b = 10
P (2) = 400
=⇒ k = 10
√
P (t) = 1000 =⇒ T = 2 10 − 2 ≈ 4, 325 heures
d) P (t) = 25(t + 2)2 , une parabole ; racine double t = −2. Le phénomène est représenté par
la partie de la courbe dans le premier quadrant, à partir du point (0, 100). En pratique,
le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment. La représentation mathématique
cesse donc d’être appropriée après un certain temps.
21. Soit x(t), la distance parcourue à partir du toit. L’équation du mouvement est
dv
= 9, 8 − 0, 49v.
dt
— La solution vérifiant v(0) = 0 est v(t) = 20 1 − e−0,49t .
— La distance parcourue x(t) (vérifiant x(0) = 0) est x(t) = 20t +
20 −0,49t
20
e
−
.
0, 49
0, 49
— La vitesse après 5 secondes est v(5) ≈ 18, 274 mètres par seconde.
— La hauteur après 5 secondes est 100 − x(5) ≈ 100 − 62, 705 ≈ 37, 294 mètres.
22. Soit x(t), l’altitude de la balle au temps t. L’équation du mouvement est donnée par
0, 2
dv
1
= −0, 2 × 9, 8 − v.
dt
2
La solution v(t) vérifiant v(0) = 20 est v(t) = 23, 92e−2,5t − 3, 92. La solution x(t) vérifiant
23, 92 −2,5t
23, 92
x(0) = 0 est x(t) = −
e
− 3, 92t +
. Il s’ensuit que :
2, 5
2, 5
a) Le temps T pour atteindre la hauteur maximale est celui correspondant à v(T ) = 0, ce
qui donne
1
23, 92
T =
ln
≈ 0, 72345 seconde.
2, 5
3, 92
b) L’altitude maximale est alors x(T ) ≈ 5, 16 mètres.
332
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
23. Soit x(t), la distance parcourue par le caillou au temps t à partir de la surface de l’eau.
L’équation du mouvement est donnée par
dv
= 7, 84 − 50v.
dt
La solution v(t) telle que v(0) = 20 est donnée par v(t) = 19, 8432e−50t + 0, 1568. La solution
x(t) vérifiant x(0) = 0 est donnée par
x(t) = −
x (1/10) = −
19, 8432 −50t
19, 8432
e
.
+ 0, 1568t +
50
50
19, 8432 −5
19, 8432
e + 0, 01568 +
≈ 0, 40987 mètres.
50
50
24. L’équation du mouvement est donnée par
dv
= 25 − 5v.
dt
La solution v(t) vérifiant v(0) = 0 est v(t) = 5 1 − e−5t .
25.
— Première étape : chute avant l’ouverture du parachute
L’équation du mouvement est donnée par
dv
1 2
= 81 × 9, 8 −
v .
dt
9, 8
1 − e−10/3
La vitesse après 15 secondes est v(15) = 88, 2
≈ 82, 12386748 m/s.
1 + e−10/3
81
— Deuxième étape : chute après l’ouverture du parachute
Soit t = 0, l’instant de l’ouverture du parachute, y(t), la distance depuis le point d’ouverture du parachute et enfin u(t), la vitesse dans la deuxième étape du saut. L’équation
du mouvement est alors donnée par
81
du
= 81 × 9, 8 − 121, 5u.
dt
Ainsi,
26.
3
du
= 9, 8 − u.
dt
2
En évaluant la solution de cette équation différentielle en t = 15, nous obtenons la vitesse
désirée.
5
b) v(t) = g 1 − e−0,1t
2
c) La distance parcourue est
5
5g −0.1t
5
gt +
e
−
g.
2
0, 2
0, 2
En remplaçant t par 2, nous obtenons 5g 5e−0,2 − 4 m.
x(t) =
27.
a) 8 fois le nombre initial de bactéries.
Réponses aux exercices
333
4
10
bactéries intialement.
8
dc
28. Proportionnalité :
∝c
dt
dc
Équation (différentielle) :
= −1, 437 × 10−2 c
dt
−2
Solution générale : c = Be−1,437×10 t
Valeurs particulières : B = 44e0,1437 , c(0) = 50, 8
dM
dM
dM
∝ M,
= −λM , λ positif (car
est négative)
29.
a)
dt
dt
dt
M = M0 e−λt
ln 2
b) t =
λ
c) λ = 0, 05754, t = 12, 05
b)
d) M = M0 e−λt 6= 0, fonction exponentielle décroissante −→ 0 lorsque t −→ ∞. En
pratique : les hypothèses cessent de représenter adéquatement le phénomène après un
certain temps.
dN
= −λN , N = ke−λt , N = N0 e−λt
30.
dt
−6
N = N0 e−(9,2×10 )t
ln 2
ln 2
td =
=
= 75342
λ
9, 2 × 10−6
31.
a) Écart : 30 − M (positif)
dM
= 0, 22(30 − M )
dt
b) M = 30 + ke−0,22t
M = 30 − 28e−0,22t
c) Voir la figure 2.39.
Figure 2.39
334
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
d)
dM
dt t=0
= 0, 22(30 − M )|t=0
= 0, 22(30 − 2) = 6, 16
32.
a) Taux de variation de V en m3 par minute
= entrée de CO par minute − sortie de CO par minute
V
= 0, 00015 −
× 0, 003 (approximativement)
30
dV
Idéalisation :
= 0, 00015 − 0, 0001V
dt
b) V = ke−0,0001t + 1, 5
V = 1, 5 − 1, 4997e−0,0001t
c) t = 28, 04 minutes
33.
a) M (t) = 1, 9 + ke− 19 t . La condition initiale est M (0) = 19 × 0, 05 = 0, 95, ce qui donne
comme constante k = −0, 95.
b) La concentration dans le réservoir se dirige vers la valeur 0,1. La valeur de t demandée
19
ln 2 ≈ 3, 14.
est t =
4, 2
34.
a) M (t) = 2000 + ke− 20 000 t . La condition initiale est M (0) = 20 000 × 0, 05 = 1000, ce qui
donne comme constante k = −1000.
b) La concentration dans le réservoir se dirige vers la valeur 0,1. La valeur de t demandée
est t = 200 ln(2) = 138, 63.
dT
dT
< 0, soit T < A et
>0
a) k > 0. On a soit T > A et
dt
dt
b) T = T (t) = A + b e−kt
c) T (t) = 20 + 80e−kt
d) k = ln 2
80
e) T (5) = 20 + , car eln 2 = 2
32
a) M = 600 000 + ke0,01t , par séparation des variables ou en faisant d’abord la substitution
u = 0, 01M − 6000.
b) M = 600 000 + 200 000e0,01t
M (50) = 929 744, 25
M −→ ∞ lorsque t −→ ∞
c) M = 600 000 − 300 000e0,01t
ln 2
= 69, 3
M = 0 pour t =
0, 01
a) y 0 = 1/xy
1
b) y 0 = −
= −xy
1/xy
35.
36.
37.
4,2
100
2
38.
c) y = ke−x /2 , k arbitraire
dy
2xy
a)
=−
dx
1 − x2 + y 2
Réponses aux exercices
2
335
2
dy
1−x +y
=
dx
2xy
c) L’équation (∗∗) et l’équation 2x + 2yy 0 − C = 0 permettent d’éliminer le paramètre C
et d’arriver à l’équation différentielle cherchée. La famille (∗∗) : cercles dont les centres
sont sur l’axe horizontal.
2/3
3x
39. Voir exercice 3. Il y a aussi la solution y = a +
.
4
40. On a
1/2
2−x
y
dy
=⇒
y
=
k
.
= −2
dx
4 − x2
2+x
1/2
2 + x0 2 − x
Solution particulière : y = y0
.
·
2 − x0 2 + x
b)
41. Solution géométrique : les droites y = cx + c passent par (−1, 0), donc les trajectoires
orthogonales sont les cercles centrés en (−1, 0).
La solution analytique mène à (x + 1)2 + y 2 = D, D ≥ 0.
42.
a) y 2 = a(x2 − 1)
b) y 2 = 2 ln |x| − x2 + b = ln x2 − x2 + b
43.
a) xy 0 (ln x) + 1 = y
b) y 2 − x2 − 2xy + (x2 − y 2 − 2xy)y 0 = 0
44.
a) y 0 = −y
b) Séparation des variables.
1
c) y 0 = =⇒ y 2 = 2x + C, une famille de paraboles (dont l’axe des x est l’axe de symétrie.
y
Ces paraboles sont orientées vers la droite).
45.
a) y 2 − x2 = c
1
2
2
− ln x + c
b) y = x
2
46.
a) y 0 = y
b) y 2 = c − 2x, une famille de paraboles.
47.
a)
y2
= ln(1 + ex ) + c
2
b) y(x) = e−1−x+e
−x
48.
a) x2 + y 2 = a2
1
=C
b) x2 + y 2 ln y −
2
49.
a) y 2
= ln(1 + x2 ) + c,
= ln k(1 + x2 ) ,
2
b) y =
ce−x /2
x
c≥0
k≥1
336
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
1
50. y = − ln |x| + c
2
51.
a) y = kx2 ; famille de paraboles.
1
x
b) y 0 = −
=−
2y/x
2y
x2
c)
+ y 2 = c, c ≥ 0 ; famille d’ellipses.
2
52. On a le tableau suivant :
a) Vrai
f) Vrai
b) Vrai
g) Faux
c) Vrai
h) Faux
d) Vrai
i) Faux
e) Faux
53. En utilisant la substitution u = x − 2y, on obtient
1
1
x−
.
y=
2
(6x + c)1/3
Solutions singulières : u = 0 ; y = x/2
54. D’abord, u = y/x =⇒ xu0 = 1/u =⇒ y 2 = x2 ln(kx2 ). Ici, la substitution u = x/y est possible
et l’équation différentielle séparable (en u) devient xu0 = −u3 .
55.
56.
57.
a) Dériver u par rapport à t, en tenant compte du fait que x est une fonction de t.
−0,001t
du
= −0, 001u ; u = c e−0,001t , x = 10 000e−ce
b)
dt
e−0,001t
1
c) x = 10 000
2
d) x −→ 10 000e0 = 10 000
2xy
a) y 0 = 2
x − y2
c 2
c 2
b) Substitution : u = y/x. Famille de cercles : x2 + y 2 − cx = 0, x −
+ y2 =
ou
2
2
2
2
2
(x − b) + y = b
a) xv 0 = cos v
Première intégration possible (cas où cos v 6= 0) :
ln | sec v + tan v| = ln |x| + C =⇒ sec(y/x2 ) + tan(y/x2 ) = cx.
Deuxième intégration possible (cas où cos v 6= 0) :
ln | tan(π/4 + v/2)| = ln |x| + C =⇒ y = x2 (2 arctan(cx) − π/2).
π
Solutions singulières dans le cas où cos v = 0 : y = (2n + 1) x2 .
2
b) u0 = u/x + cos(u/x), qui doit être résolue à l’aide de la substitution u/x = v, ce qui
revient donc à a).
58.
a) u = y/x =⇒ arctan(y/x) = ln(c|x|), c > 0,
y = x tan(ln(c|x|)), où −π/2 < ln(c|x|) < π/2.
Réponses aux exercices
337
Les conditions initiales impliquent que c = 1. Il faut alors soit retourner à arctan(y/x) =
ln(c|x|), soit tenir compte de −π/2 < ln(c|x|) < π/2, sinon tan(ln c) = 0 pourrait être
interprété comme ayant ln c = kπ, k = 0, ±1, ±2, · · · et c = ekπ , non unique.
b) On pose u = y/x et on intègre 1/u ln u grâce à la formule
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + C.
f (x)
On obtient alors y = xekx , k arbitraire.
59.
y
x
c
a) En posant u = y/x, on obtient la solution
+ = , y 2 + x2 = cy ou encore
x y
x
c 2
c2
x2 + y −
= , une famille de cercles centrés en (0, c/2) et de rayon |c|/2.
2
4
Solution singulière : y = 0, avec x 6= 0.
b) x2 + y 2 = cx ou (x − c/2)2 + y 2 = c2 /4, une famille de cercles centrés en (c/2, 0) et de
rayon |c|/2.
60.
a) u = y 2 =⇒ u0 = 2yy 0 ; le reste s’ensuit.
b) On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre, mais qui se résout grâce
à une séparation des variables après avoir posé z = x + u. Les solutions sont données
par u(x, c) = cex − x − 1, c’est-à-dire y 2 = cex − x − 1.
61. Trois types sont possibles :
i) Une équation différentielle pouvant se résoudre grâce à la transformation u = y/x ;
ii) Une équation différentielle linéaire du premier ordre ;
d
(xy) = 2x.
iii) Une équation différentielle interprétée comme
dx
Solution générale : y = x + k/x. Solution particulière : y = x − 1/x.
62. Substitution : u = y/x
Solution sous forme implicite : 4x2 + y 2 + cx3 = 0
√
Aussi : y = ±x kx − 4
63. Solution générale : y = x sin (ln (cx))
Solutions singulières : y = x, y = −x
64. y 2 − x2 + cx = 0
65. y = 4x2 − x
66. Équation différentielle : y 0 = −(1 + y/x).
Première solution : par la substitution u = y/x.
Deuxième solution : équation différentielle linéaire du premier ordre avec yh = c/x et
1
yp = − x.
2
Troisième solution : usage du facteur intégrant x (ou −x).
1
Solution générale : y = c/x − x.
2
Remarque Lors du calcul de yp , on peut utiliser la méthode de Lagrange ou essayer yp = a,
1
une constante (ce qui est inadéquat) ou encore yp = ax + b, d’où a = − , b = 0.
2
338
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Condition initiale y(2) = 1 =⇒ c = 4.
67. Substitution : u = x + y ou u = x + y + 3
y = tan(x + C) − x − 3
68. u = 2x − 2y, u = x − y ou u = 2x − 2y − 1
Solution sous forme implicite : ln |x − y − 1| − 2y = k, k constante arbitraire.
Autre solution (singulière) : y = x − 1
69. Voir la réponse à la question 93. y = ce−2x + x
x
x
x
70. y = ece − x. La courbe qui passe par (0, a), a > 0, est y = e(ln a)e − x ou y = (a)e − x.
2x
e
71.
a) y = ln
+ c (Il est plus simple de séparer les variables.)
2
t
b) u = −t − ln − + c , ce que l’on peut aussi écrire sous la forme u = 1 − t − ln(−t + a).
e
72.
a) Substitution : z = a − y. On a B = a − b 6= 0.
b) Solutions constantes : y = 0, y = B. Le cas y(B − y) 6= 0 permet une séparation des
variables :
Z
Z
1
dy = λ dt + C.
y(B − y)
L’évaluation du membre de gauche, à l’aide de tables d’intégrales ou de la formule
algébrique (fractions partielles)
1
1 1
1
=
+
,
y(B − y)
B y B−y
mène à
1
y
ln
= λt + C.
B
B−y
Après avoir isolé y, on a
y=
BAeλBt
,
1 + AeλBt
A arbitraire 6= 0,
d’où, après division par AeλBt au numérateur et au dénominateur, on obtient
B
B
y = 1 −λBt
=
,
−λBt
1
+
Ke
+1
Ae
avec K = 1/A, une constante arbitraire différente de 0. En regroupant ces solutions-ci
avec les solutions constantes y = 0 et y = B, on a la conclusion voulue.
sin2 x − sin x
e
.
2
k
1
74. M = Mh + Mp =
+ (t + 1)
5
(t + 1)
2
1
Conditions initiales =⇒ k = −
2
73. y = Ce− sin x +
Réponses aux exercices
75.
339
a) x(t) = qe−αt
dy
b)
+ βy = αqe−αt , une équation différentielle linéaire du premier ordre.
dt
αq
c) y(t) =
e−βt − e−αt
α−β
βe−αt − αe−βt
d) z(t) = q 1 +
α−β
e) Calcul algébrique direct.
1 e − et
76. y(t) =
+1
t
3
1
3
1
77. La solution générale est y(x) = cx2 − x − . La courbe recherchée est y = x2 − x − .
2
2
2
78.
a)
dy
dt
79.
=
quantité entrante (proportionnelle à x) − quantité sortante (proportionnelle à y)
=
0, 2x − 0, 4y
=
1 − e−0,1t − 0, 4y
b) Une équation différentielle linéaire du premier ordre.
5 10
Solution générale : y(t) = ke−0,4t + − e−0,1t
2
3
5 −0,4t 5 10 −0,1t
Solution particulière : y(t) = e
+ − e
6
2
3
a) Le taux de désintégration du RA2 par unité de temps est de −ky et est proportionnel à
la masse y, avec k > 0 et −k < 0. Ce taux est négatif, car la masse décroît. Le taux de
production du RA2 par unité de temps est de 48e−10t . Alors, dy/dt est la somme (ou le
bilan) des deux taux, ce qui donne l’équation différentielle indiquée.
b) y = yh + yp = Ae−2t − 6e−10t
c) y(t) = 30e−2t − 6e−10t , y(0, 1) = 22, 35
80. Modélisation mathématique : au temps t, le taux de variation de M est
dM
M
9M
= quantité entrante − quantité sortante = 10 × 0, 1 − 9 ×
=1−
,
dt
V (t)
5+t
une équation différentielle linéaire du premier ordre.
81.
a) 5 litres ; V (t) = 5 + 5t = 5(t + 1)
b) Concentration dans le réservoir au temps t :
M (t)
M (t)
M
=
=
.
V
V (t)
5(t + 1)
Pendant l’intervalle de temps allant de t à t + ∆t :
— la masse de sel entrée = (volume entré) × concentration = (12∆t) × 0, 1,
M (t)
— la masse de sel évacuée ≈ (7∆t) ×
,
V (t)
340
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
la dernière expression étant une approximation, car la concentration utilisée
celle présente à l’instant t et non la valeur moyenne sur l’intervalle [t, t + ∆t].
Il s’ensuit que la variation ∆M de la masse de sel dans l’intervalle ∆t est
M
kg.
∆M ≈ 1, 2 ∆t − 7 ∆t
V
M (t)
est
V (t)
Le taux de variation en kg/min est
∆M
1, 2∆t − 7∆t(M/V )
≈
∆t
∆t
∆M
≈ 1, 2 − 7(M/V ).
∆t
Lorsque ∆t → 0, la ligne ci-dessus devient l’expression (exacte) du taux instantané de
variation de M à l’instant t (par définition de la dérivée) :
7M
1, 4M
dM
= 1, 2 −
= 1, 2 −
.
dt
V
t+1
1
k
+ (t + 1)
(t + 1)1,4
2
Les conditions initiales
sont
t
=
0 et
M = 0, d’où
1
1
M = M (t) =
t+1−
2
(t + 1)1,4
d) t = 9 et M (9) = 4, 98 kg
c) M = Mh + Mp =
3 + x4
. À noter que y1 − y2 est une solution de l’équation différentielle homogène et
4x
qu’alors, yh = c(y1 − y2 ) = k/x. Ainsi, avec yp = y1 (ou y2 si l’on désire), on obtient la
solution générale y = yh + y1 . Ensuite, y(1) = 1 =⇒ k = 3/4.
82. y =
83. y = cx2 − x − 1/2. Méthode : voir l’exercice 82.
84. On obtient
a) y = Ce1/x + 1
1
1
b) p(x) = − 2 , q(x) = 2
x
x
85. b)
86. a)
87.
i) Substitution u = ax + by.
ii) Substitution u = ax + by + c.
iii) Une équation différentielle linéaire du premier ordre.
88.
i) Substitution u = y/x.
ii) Une équation différentielle linéaire du premier ordre.
89.
i) Séparation des variables.
ii) Une équation différentielle linéaire du premier ordre.
90. I(t) = 6 1 − e−50t
Réponses aux exercices
91.
92.
341
dQ
1
+ 50Q = .
dt
2
1
La solution Q(t), telle que Q(0) = 0, est Q(t) =
1 − e−50t .
100
dQ
1 −50t
b) I(t) =
= e
dt
2
dQ
a) L’équation du circuit est
+ 10Q = sin (ωt).
dt
La solution générale est
a) L’équation du circuit est
Q(t) = ce−10t −
10
ω
cos (ωt) +
sin (ωt) .
2
100 + ω
100 + ω 2
La charge en régime permanent est
Qperm (t) = −
ω
10
cos (ωt) +
sin (ωt) .
2
100 + ω
100 + ω 2
b) L’intensité en régime permanent est
Iperm (t) =
10ω
ω2
sin (ωt) +
cos (ωt) .
100 + ω 2
100 + ω 2
93. Substitution : u = 2y − 2x + 1, u = 2y − 2x ou u = y − x
Solution générale : y = x + ke2x , k arbitraire.
Autre solution : y = yh + yp = (ce2x ) + (x), où yp est calculée selon la méthode de Lagrange
ou en posant yp = ax + b, de la même forme que le membre de droite −2x + 1.
94.
a) Si l’on pose x = 0 dans l’équation différentielle, on obtient y = 0, ce qui est incompatible
avec la condition initiale proposée. Ce problème n’a pas de solution. En fait, la solution
générale est
1
(c + cos x) + sin x,
x
et une telle fonction n’est pas définie en 0.
y=
b) La solution générale est celle donnée en a). La condition initiale donne c = 1.
c) La solution générale est
y=
La condition initiale donne c = −16.
95.
96.
a) y(x) = c sin x − a
x
b) y(x) =
(c + x + ln |x|)
x+1
1
c) y(x) =
(c + x)
cos x
a) y(x) ≡ 2
b) y(x) = e−x + 2(x − 1)
1
c) y(x) = (sin x + cos x)
2
c + x4
.
1 + x2
342
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
1
(2x2 + 2x + 1)
4
x2
11
97. y = 2 +
4x
4
98. Séparable ou linéaire du premier ordre.
d) y(x) =
x3
y = ke− 3 , k arbitraire
99. y = yh + yp = cx2 + x2 ex = x2 (c + ex )
k
1
16
100. y = yh + yp = 2
+ , k=
3
3
(x + 4)3/2
c
ex
101. y = yh + yp = +
x
x
Pour yp : méthode de Lagrange.
Autre solution : usage du facteur intégrant x (ou −x). Ici c = 0, avec l’une ou l’autre des
conditions initiales (compatibles).
102.
a) yp (x) = sin x − cos x
b) yp (x) = x − 1
c) yp (x) = x − 1 + sin x − cos x
103.
a) V (t) = 2 + 1, 4t
b) M (t) = C(2 + 1, 4t)−2 + 0, 1(2 + 1, 4t). La condition initiale est M (0) = 2 × 0, 05 = 0, 1,
ce qui donne comme constante C = −0, 4.
104.
c) La concentration quand le volume est de 19 l est de 0,09994.
dx
a)
= 2 − 0, 16x − 0, 04x = 2 − 0, 2x
dt
x = x(t) = 10(1 − e−0,2t )
dx
= 2. Pour le graphe, voir la figure 2.40.
dt t=0
Figure 2.40
Figure 2.41
Réponses aux exercices
343
dy
= 0, 16x − 0, 5y
dt
Substitution : x selon a).
16
y = y0 + yp = ke−0,5t − e−0,2t + 3, 2.
3
Calcul de yp : en utilisant la méthode de Lagrange ou la méthode de superposition,
yp1 + yp2 = (a) + (be−0,2t )
6, 4
y(0) = 0 =⇒ k =
3
dy
= 0. Pour le graphe, voir la figure 2.41.
dt t=0
176π
105. I = ke−5t −
cos (120πt)
1 + (24π)2
22
sin (120πt)
+
3(1 + (24π)2 )
176π
I(0) = 0 =⇒ k =
1 + (24π)2
Lorsque t −→ ∞, e−5t −→ 0. L’expression qui reste est le régime permanent du circuit. À
l’aide de l’exponentielle complexe, cela peut s’exprimer au besoin comme une seule oscillation
résultante.
b)
106.
a) y = ax + b, a et b arbitraires
b) Une équation différentielle d’ordre 1 :
dp
= 0, p(x) = a, y(x) = ax + b
dx
dp
=0
dy
Cas p = 0 : y 0 = 0 =⇒ y = c (fonction constante de x)
dp
dy
Cas p 6= 0 :
= 0 =⇒ p = a (fonction constante de y), d’où
= a et y(x) = ax + b,
dy
dx
ce qui inclut le premier cas.
c) Une équation différentielle d’ordre 1 : p
107.
a) b = 1, a arbitraire.
b) Aucune valeur possible.
c) Aucune valeur possible.
108. a)
109. c)
110. e)
111. Une transformation donne
dp
1
− 1+
p = x,
dx
x
une équation différentielle linéaire du premier ordre. On obtient ainsi
p(x) = c1 xex − x,
344
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
ce qui donne
y(x) = c1 xex − c1 ex −
x2
+ c2 .
2
112. Une transformation donne
(1 − x2 )
dp
− 2xp = 0.
dx
On obtient alors successivement
p(x) =
A
1 − x2
et
y(x) = c1 ln
1+x
+ c2 .
1−x
113. Réduction au premier ordre. Solution y sous forme implicite : ey − C1 y + C2 = x
114. La variable dépendante φ est absente. Voici l’équation différentielle après transformation :
Z
2
dp
−η 2
+ 2ηp = 0 =⇒ p = ke
=⇒ φ = k e−η dη + c.
dη
3
1
115. y = ± (4x + C) 2 + D
6
116.
a) Équation où x n’apparaît pas. La famille des solutions est y = DeCx .
1
(ln |x|)2 + C ln |x| + D.
2
a) Sous forme implicite : y 2 = ax + b, avec a arbitraire 6= 0, b arbitraire, d’une part, et avec
a = 0, b arbitraire ≥ 0, d’autre part.
b) Équation où y n’apparaît pas. La solution est y =
117.
b) La réduction au premier ordre donne une équation différentielle de Bernoulli avec n = 2.
On la transforme en une équation différentielle linéaire non homogène, dont la solution
est
c
c−x
1
.
z = zh + zp = 2 − =
x
x
x2
Alors, y 0 =
x2
s’intègre directement (tables, par exemple) :
c−x
(x − c)2
− 2c(x − c) − c2 ln |x − c| + d,
2
c et d sont des constantes arbitraires.
y=−
118.
a) Réduction au premier ordre :
(x2 + 2p)
dp
+ 2xp = 0,
dx
d’un type non répertorié. Par essais et erreurs : p = −x2 est une solution. Alors,
x3
y =−
+ c représente une famille de solutions et non pas toutes les solutions. Avec
3
3
x
y =−
+ 1, les conditions initiales sont satisfaites. Autre solution : y = 1, solution
3
constante.
Réponses aux exercices
345
b) Deux méthodes disponibles de réduction au premier ordre (même si la méthode de
l’équation caractéristique s’applique aussi).
Solution générale : y = c1 e−x + c2 , c1 , c2 constantes arbitraires.
Solution demandée : y = 1 − e−x .
119.
a) En utilisant le fait qu’il n’y a qu’une force (de rappel), de forme Cy, le résultat suit.
b) Le ressort s’oppose au mouvement, donc la force est de signe opposé à y, c’est-à-dire
k > 0.
c) En réduisant au premier ordre, on obtient y = C sin(6t) + D cos(6t).
d) y = cos(6t)
120. Variable y : absente. Équation différentielle résultante : linéaire du premier ordre.
a
y = x2 + + b, a et b constantes.
x
y 2 + 2c
121. La réduction au premier ordre mène à y 0 =
.
2
ax
+k
Cas 2c = a2 > 0 : y = a tan
2
2
Cas 2c = 0 : y =
A−x
2a
Cas 2c = −a2 < 0 : y = a −
.
1 + ke−ax
1
122.
a) y(x) = 0; y(x) =
+ c2 ec1 x , c1 arbitraire 6= 0, c2 arbitraire ; y(x) = C − x, C arbitraire.
c1
p
√
1
1
2
(c2 ± c1 x) −
b) y = ± B ± 2x ; y 2 (x) =
c1
2c1
c) y = a/(1 + keax ), a et k arbitraires, y = −1/(x + A), A arbitraire.
d) 2y 2 − 4x2 = 1.
123.
y2 = ln
1+x
,
1−x
d’où il découle, par superposition, que y = c1 y1 + c2 y2 .
dp
124.
a) x
− p = 0 =⇒ p(x) = cx. Alors, y(x) = ax2 + b.
dx
b) Une comparaison des coefficients de x2 et de x, ainsi que des termes constants, donne
A = 3, B arbitraire et C = 0. On peut choisir B = 0 pour simplifier, d’où yp = 3x3 .
c) L’équation différentielle (∗∗) est linéaire et, même si ses coefficients ne sont pas constants,
sa solution générale est donnée par
y = yh + yp = (solution générale de (∗)) + yp = ax2 + b + 3x3 .
(Si l’on avait conservé B, le coefficient de x2 aurait été a + B = c.)
125.
a) La donnée s’écrit y000 + p(x)y00 + q(x)y0 = 0. Considérer ensuite (cy0 )00 + p(x)(cy0 )0 +
q(x)(cy0 ) et déduire que le résultat est bien 0, après avoir isolé c et invoqué la donnée.
b) Les idées sont les mêmes qu’en a), sauf qu’il y a deux données au départ.
346
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c) On procède comme en a) ; mais on n’arrive pas à r(x), tel que désiré, mais plutôt à cr(x).
d) Nos deux données s’expriment comme deux équations. En faisant la soustraction et en
regroupant les termes, on trouve une équation qui stipule que y1 − y2 est solution de
l’équation différentielle homogène. De même pour y2 − y1 .
e) y2 − y1 et y3 − y1 sont solutions de l’équation différentielle homogène associée, de sorte
que yh = c1 sin x + c2 cos x (car l’équation différentielle est linéaire). La solution générale
est donc y = yh + yp , où l’on a le choix de y1 , de y2 ou de y3 pour yp .
f) y = c1 ex + c2 e3x − 2xex
3
126. W = 0. Linéairement dépendantes. En fait, y2 = − y1 .
4
127. On vérifie que y1 et y2 sont des solutions de l’équation différentielle. Le Wronskien donne
W (y1 , y2 )(x) = 4(x2 − 1) 6= 0 dans l’intervalle − 1 < x < 1.
Solution particulière : y(x) = x.
128. c)
129.
2
,b=0
25
b) yp (x) = c1 (x) cos (5x)+c2 (x) sin (5x), où c1 (x) et c2 (x) sont obtenues grâce aux formules
de Lagrange
a) yp (x) = ax + b ; a =
c01 (x) = −
y2 (x)r(x) 0
y1 (x)r(x)
, c2 (x) =
,
W (x)
W (x)
c1 (x)
=
c2 (x)
=
yp (x) =
130.
a) yp = −
W (x) = 5
2 sin (5x) 2x cos (5x)
+
125
25
2 cos (5x) 2x sin (5x)
+
125
25
−
2
2x
cos2 (5x) + sin2 (5x) =
x
25
25
1
x
18
5 6 −6x 10 −6 6x
e e
+ e e
3
3
3
,b=0
a) yp = ax + b. a =
16
b) yp = c1 (x) cos (4x) + c2 (x) sin (4x), où c1 (x) et c2 (x) sont données par
b) y =
131.
c1 (x)
=
c2 (x)
=
yp =
−3 sin (4x) 3x cos (4x)
+
64
16
3 cos (4x) 3x sin (4x)
+
64
16
3x
3
cos2 (4x) + sin2 (4x) =
x
16
16
Réponses aux exercices
132.
347
a) Utiliser les schémas de dépendance de fonctions composées
dy
x → t → y (ou t → x → y), x → t →
,
dt
2
2
dy
dy
d y
3 dy
4d y
pour obtenir
=
2t
.
= −t2
et
+
t
dx
dt
dx2
dt
dt2
dy
d2 y
b) À partir de z(t) = y(t) · t, écrire y = z/t et calculer
et 2 .
dt
dt
c) Solution générale :
k
k
y = y(x) = x c1 cos
+ c2 sin
,
x
x
c1 , c2 constantes arbitraires.
133.
a) y = c1 e−x + c2 e−2x
b) y = c1 ex + c2 e2x
√
c) y = c1 e−x + c2 e− 2x
134. y(x) = c1 sin (5x) + c2 cos (5x), où c1 et c2 sont des constantes arbitraires.
√
C
dp
00
0
(± cos D sin (4x) + sin D cos (4x)),
135.
a) y = p(y), y = p . Solutions : y = 0 et y =
dy
4
c’est-à-dire y = c1 sin (4x) + c2 cos (4x), c1 , c2 constantes arbitraires.
b) λ = ±4i = α ± βi avec α = 0, β = 4
y1 = cos (4x), y2 = sin (4x), y = k1 y1 + k2 y2
136.
a) y(x) = c1 e4x + c2 e−5x
b) y(x) = e3x (c1 + c2 x)
c) y(x) = e−3x (c1 cos (4x) + c2 sin (4x))
137. d)
138.
a) y = (1 + x)e−x
b) y = (1 − x)ex
139. y1 = e0,01t , y2 = te0,01t , W (y1 , y2 ) = e0,02t 6= 0 ou y1 /y2 6= constante. La solution générale
est y = c1 y1 + c2 y2 .
140. y = c1 cos(x/2) + c2 sin(x/2), où c1 = −2, c2 = 0
141. y = c1 y1 + c2 y2 = ex/2 (c1 cos(x/2) + c2 sin(x/2))
W (y1 , y2 ) = ex /2 6= 0 ou y1 /y2 6= constante
142.
a) Figure 2.32, car les solutions linéairement indépendantes sont cos (2x) et sin (2x).
b) Figure 2.34, car la solution générale est de la forme y = a + be3x .
143.
a) y = yh = c1 + c2 e−x
c1 = 1, c2 = −e
1−x
y =1−e
1 2
b) yp = x
x − 2x + 5
3
y = yh + yp
348
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
144.
a) y = yh = c1 + c2 ex
y = −1 + 2ex−1
b) y = yh + yp
2
5
yp = − x3 − x2 − 4x
3
2
a) y(x) = (a + bx)e2x − x2 e2x /4
b) y(x) = e−2x (a cos x + b sin x)
145.
146.
a) y = c1 y1 + c2 y2 = c1 ln x + c2 x ln x
b) Y1 = y1 −y3 et Y2 = y2 −y3 sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation
différentielle homogène, d’où yh = c1 Y1 + c2 Y2 . Alors y = yh + y1 (c’est-à-dire yp = y1 ,
y2 ou y3 ).
Autres choix possibles : Y1 = y1 − y2 , Y2 = y1 − y3 , ou Y1 = y1 − y2 , Y2 = y2 − y3
147.
r(x)
x3
e3x
x
e cos x
ex + cos x
yp (x)
A + Bx + Cx2 + Dx3
Axe3x
ex (A cos x + B sin x)
Aex + B cos x + C sin x
148. λ = −2, racine double
yp = yp1 + yp2 = ax + b + A cos x + B sin x
149. yp = yp1 + yp2 , où yp1 = ax3 + bx2 + cx + d et yp2 = x (ex (A cos x + B sin x))
150. d)
1
1
1
151. Superposition : yp = yp1 + yp2 = − cos x − sin x + x − x + 1
2
2
2
√ !
√ !!
x
4 x
3
3
152. yg (x) = e− 2 C1 cos
x + C2 sin
x
+ e2
2
2
35
153. La solution du problème aux limites est
y(x) = e−2x (a cos x + 14 sin x)
où a est un nombre réel arbitraire.
Ainsi, on obtient une infinité de solutions. Cela n’est pas en contradiction avec le théorème
d’existence et d’unicité, car il s’applique seulement aux problèmes avec des conditions initiales.
154.
155.
a) y(x) = 2 cos x
b) Les conditions entraînent que c1 = 2 et c1 = 0, ce qui est contradictoire.
c) y(x) = 2 cos x + c2 sin x, où c2 ∈ R est arbitraire.
a) ỹp (t) = (2 − 6i)eit = (2 cos t + 6 sin t) + i(2 sin t − 6 cos t)
b) yp (t) = 2 sin t − 6 cos t
t
9
156. y = yh + yp = et (c1 cos (2t) + c2 sin (2t)) + +
5 50
1
Les conditions initiales impliquent que c1 = 0 et c2 = − .
2
Réponses aux exercices
157.
349
a) y = c1 + c2 e−x
1
1
b) yp = − cos x + sin x
2
2
c) yp = yp1 + yp2 , avec yp1 identique à la fonction donnée en b) et yp2 = x2 /2 − x étant une
solution particulière de y 00 + y 0 = x. La solution générale est y = yh + yp , où yh provient
de a).
158. y = yh + yp = c1 ex + c2 e3x − 2xex
159. a)
160. d)
161. y(x) = 2e2x + e3x − xe2x
162. yh = c1 cos (3x) + c2 sin (3x)
yp obtenue par superposition :
yp = yp1 + yp2 = (x(A cos (3x) + B sin (3x))) + ax2 + bx + c
1
2
1
y = yh + yp = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) − x sin (3x) + x2 −
3
3
27
1
163. y = yh + (yp1 + yp2 ) = c1 + c2 e−x + ex + sin x
2
Les conditions initiales impliquent que c1 = −2 et que c2 = 3/2.
12
3
cos (2x) −
sin (2x)
164. y = yh + yp = ex (c1 cos (2x) + c2 sin (2x)) +
17
17
Les conditions initiales donnent c1 = 31/17 et c2 = 5/17.
1
7
165. y = yh + yp = c1 cos (2x) + c2 sin (2x) − x cos (2x) + x sin (2x)
4
4
166. y(x) = c1 cos x + c2 sin x + 2x sin x, où c1 = 1 et c2 = −1
167. L’expression −36xex est le produit d’un polynôme et d’une exponentielle ; donc
yp = (ax + b)ex = (6x + 1)ex .
La solution générale est
y(x) = yh + yp = c1 e3x + c2 e−2x + yp .
Les conditions initiales donnent c1 = 1 et c2 = −1.
168. y = c1 cos (πx) + c2 sin (πx)
c1 = π, c2 = 0
169.
a) Faux : y = c1 (1) + c2 e2x
b) Faux : yp = x2 (ax + b)
c) Vrai : l’équation différentielle est linéaire et homogène, ce qui permet, après substitution
2
2
de la solution − e−x , de simplifier le facteur constant − . L’équation résultante est
3
3
l’énoncé que e−x est une solution.
d) Faux
Le même problème y 00 + 4y = 0, mais avec y(0) = 1 et y(π/2) = −1 (au lieu de
y(π/2) = 1), mène à une infinité de solutions, soit y = cos (2x) + a sin (2x), a arbitraire.
350
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
170.
a) Dans l’équation différentielle x(y 0 + xy 00 ) = (x + 1) cos x, la variable dépendante y
n’apparaît pas. L’équation différentielle se résout donc par réduction au premier ordre
en posant y 0 = p = p(x). Autre méthode de résolution : reconnaître que l’équation
différentielle est de type Euler-Cauchy non homogène.
b) Cette équation différentielle du premier ordre ne se résout pas par les méthodes étudiées : elle n’est pas séparable, ne se ramène pas à une équation différentielle à variables
séparables par les transformations usuelles et elle n’est pas linéaire du premier ordre.
c) Cette équation différentielle se résout comme une équation différentielle d’ordre 2, linéaire, à coefficients constants, non homogène, avec r(x) = −π 2 .
d) Cette équation différentielle quelque peu différente de celle en c) se résout comme une
équation différentielle d’ordre 2, linéaire, à coefficients constants, homogène.
e) Mêmes observations qu’en c), sauf qu’ici, r(t) = 167 sin (120πt).
171. La solution générale est
h(x) = hh + hp = c1 ekx + c2 e−kx +
α
α 2
x + 4.
2
2k
k
Les conditions initiales donnent
α
α
h(x) = − 4 (ekx + e−kx ) + 2
2k
k
2
x
1
+ 2 .
2
k
ekx + e−kx
.
2
a) Utiliser le principe d’Archimède, qui dit que la masse d’eau déplacée est égale à la masse
de la bouée.
b) Utiliser la deuxième loi de Newton, où la force est la poussée hydrostatique :
On peut écrire cosh kx au lieu de
172.
my 00 = poussée hydrostatique = −(1000πy)g.
c) La solution générale est
y = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) ,
r
1000πg
. On obtient c1 = y0 , c2 = 0. La période est de 2π/ω, d’où l’on tire
m
m = 3, 119 tonnes.
où ω =
173.
a) Utiliser la deuxième loi de Newton :
(masse de la chaîne) × x00 = force = poids du bout qui pend.
b) x(0) = 1, x0 (0) = 0
c) La solution générale est
x(t) = c1 eλt + c2 e−λt ,
où λ =
1√
g.
2
1
.
2
a) θ(t) = e−t + e−2t . Pour le graphe, voir la figure 2.42.
On trouve c1 = c2 =
174.
Réponses aux exercices
351
b) θ(t) = e−t (2 cos t − sin t). Pour le graphe, voir la figure 2.43.
Figure 2.42
175.
Figure 2.43
a) Réponse déjà donnée.
b) Équation différentielle linéaire, deuxième ordre, homogène, à coefficients constants.
x1 = c1 + c2 e−4t ,
c1 =
1
,
4
1
c2 = − .
4
c) Équation différentielle de x2 : linéaire, premier ordre, une fois x1 substituée dans l’équation (168).
x2
c
= (x2 )h +(x2 )p
3 1 −4t
−t
= ce +
+ e
4 4
=0
Remarque (x2 )p est calculée selon la méthode de Lagrange ou selon une superposition
(x2 )p
= (x2 )p1 + (x2 )p2
= (A) + (Be−4t )
Deuxième méthode pour obtenir x2 : utiliser l’équation (168), sachant que
en remplaçant x1 par l’expression calculée en b).
176.
Ordre
dx1
dx2
=−
,
dt
dt
Résoluble
Type
(oui ou non)
a)
1
oui
y 0 = g(y/x) : se ramène à une équation différentielle séparable.
b)
2
oui
linéaire, coefficients constants, non homogène.
c)
2
non
(pas étudié dans ce livre.)
d)
1
oui
séparable.
e)
1
oui
y 0 = g(y/x) : se ramène à une équation différentielle séparable.
f)
1
non
(pas étudié dans ce livre.)
y y
a) y 0 =
ln
; y = xe(1+cx)
x
x
352
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
1 x
−2x
b) y = yh + yp = (c1 + c2 e
)+
e
3
c) Non linéaire, ordre 2
1 2
d) y = ln c − x
2
e) y 0 = e−y/x + y/x + 1 ; y = x ln(cx − 1)
f) Non linéaire d’un type qui n’a pas été étudié dans ce livre.
177. a)
178. y = yh + yp = (c1 ex + c2 + c3 x) + (xex )
c1 = −1, c2 = 2, c3 = 1
Autre solution : substitution y 00 = p (fonction de x), résolution de p0 − p = ex comme une
équation différentielle linéaire du premier ordre : p = ex (x + C)
Intégrer ensuite deux fois.
179. La solution générale est
y = A cos (ωx) + B sin (ωx) + Ceωx + De−ωx .
Les conditions initiales impliquent que A = C = D = 0, B 6= 0, sin (ω`) = 0 =⇒ ω` = nπ,
ω = nπ/` = ωn .
Les solutions linéairement indépendantes sont
nπ x ,
n = 1, 2, 3, ...
yn = Bn sin
`
180. y = e2x (c1 cos x + c2 sin x + c3 x cos x + c4 x sin x)
181. b)
182. d)
183. b)
184. d)
185. y = yh + yp = c1 ex + c2 cos x + c3 sin x − x − 1
1
2
186.
a) yg (x) = C1 + C2 e−25x + x2 −
x
25
625
x2
x
b) yg (x) = C1 cos (5x) + C2 sin (5x) +
cos (5x) +
sin (5x)
100
20
√ !
√ !!
x
3
3
c) yg (x) = e− 2 C1 cos
x + C2 sin
x
+ C3 ex
2
2
187.
a) y = c1 e2x + C2 xe2x + C3 e−2x + C4 xe−2x
x
x
2x
2x
b) y = c1 cos √
+ c2 sin √
+ c3 cos √
+ c4 sin √
2
2
3
3
√ !
√ !!
3x
3 3
3 3
c) y = c1 e−3x + e 2 c2 cos
x + c3 sin
x
2
2
Réponses aux exercices
d)
4 x 1 −2x
e − e
3
3
188. y = Ae + e
x
−x/2
√
3
x
2
B cos
√
!
+ C sin
3
x
2
353
!!
√
!
√ !!
3
3
x3
189. yg (x) = C1 + C2 e + e
x + D2 sin
x
D1 cos
+
2
2
3
Pour satisfaire les conditions initiales, il faut que les valeurs des constantes soient :
1
C1 = −1, C2 = 0, D1 = 1, D2 = √ .
3
1
190. y(x) = c1 + c2 ex + c3 e−x + c4 cos x + c5 sin x − x2 ,
2
où il a fallu choisir yp = x(ax + b).
−x
x
2
191. y = c1 ex + c2 e−x + c3 cos x + c4 sin x
192. a). Le Wronskien est (1)(1)ex , le produit des éléments de la diagonale.
193. d)
194. Les racines λ = ±i sont nécessairement présentes. Autre racine : λ = 2.
1
y = yh + yp = c1 cos x + c2 sin x + c3 e2x − ex .
2
195. Non, car W = 0.
1
1
y1 + y2 .
2
2
196. Vrai, car λ = 0, λ = −1 et la paire λ = ±i sont des racines doubles (ou de multiplicités plus
élevées).
Autre solution y3 est une combinaison linéaire de y1 et de y2 , soit
197. yg (x) = c1 e−x/2 + c2 e−x/3 + c3 cos (2x) + c4 sin (2x)
198.
a) y (4) + y (3) + y 00 + y 0 = 0
b) y (6) + 4y (5) + 8y (4) + 8y (3) + 4y 00 = 0
199.
a) sin x
b) 1, e−x cos x, e−x sin x, xe−x sin x
200. n = 2, 2, 1, 2, 3, 1
Pour (1)
: c), par réduction au premier ordre
Pour (2)
: d) et e)
Pour (3)
: b)
Pour (4)
: d) et e). c) également après réduction au premier ordre
Pour (5)
: d)
Pour (6)
: aucune case
201.
— L’équation différentielle (2) : résolution par deux intégrations successives ou selon la
formule y = yh + yp . Solution : y = a + bx + sin x.
— L’équation différentielle (3) : ln | tan(y/2)| = −x + C.
— L’équation différentielle (4) : réduction au premier ordre, où p = ke−2x + 1/2 et ensuite
y = ae−2x + x/2 + b, ou selon la formule y = yh + yp .
354
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
— Pour l’équation différentielle (1) : l’intégration élémentaire est impossible à la deuxième
étape.
202. Il s’agit d’une équation différentielle de type Euler-Cauchy, linéaire homogène.
c2
y(x) = c1 x3 + 4 .
x
203. Il s’agit d’une équation différentielle de type Euler-Cauchy. Une recherche de solutions de la
forme xm donne y1 = x−2 , y2 = x−3 . On a y1 /y2 6= constante ou W [y1 , y2 ] = −x−6 6= 0. On
a donc
y = c1 x−2 + c2 x−3 .
204. Type Euler-Cauchy : y = c1 x + c2 x2 , c1 = 1, c2 = −1
CHAPITRE 3
1.
a) D(f ) = R2 \ {(0, 0)} et I(f ) = R
b) D(f ) = R2 \ {(x, 0) : x ∈ R} et I(f ) = R+
c) D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > −x − 6} et I(f ) = R
d) D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= −x} et I(f ) = R
e) D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= x} et I(f ) = R
2.
a) Domaine de définition : la région du plan au-dessus de la parabole y = −x2 (c’est-à-dire
y > −x2 ).
Image ou ensemble des valeurs : R
b) Domaine de définition : la région du premier quadrant au-dessus de l’hyperbole xy = 1
et la région du troisième quadrant au-dessous de l’hyperbole xy = 1.
Image ou ensemble des valeurs : R
c) Domaine de définition : {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}, c’est-à-dire le carré décrit à
la figure 3.53.
Image ou ensemble des valeurs : 0 ≤ z ≤ 2
Figure 3.53
d) Domaine de définition : le plan tout entier privé des droites y = x et y = 0.
Image ou ensemble des valeurs : R
3.
a) Domaine de définition : {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 0} et {(x, y) | −2 ≤ x ≤ 0, y ≤ 0}, selon
la figure 3.54.
Image ou ensemble des valeurs : −π/2 ≤ z < +∞
356
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.54
2
2
b) Domaine
√ de définition : 2kπ ≤ x + y ≤ (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, 3, · · · , soit le disque de
rayon π, ainsi que des anneaux concentriques, tous centrés à l’origine.
Image ou ensemble des valeurs : 0 ≤ z ≤ 1
c) Le domaine est réduit à une courbe, soit les points du cercle x2 + y 2 = R2 .
Image : [−R2 /2, R2 /2], trouvée en utilisant les coordonnées polaires x = R cos θ,
y = R sin θ.
4. b)
5.
a) y = 2 ; le plan « vertical » parallèle au plan xOz et à une distance de 2 de ce plan xOz.
b) z = −4 ; voir la représentation à la figure 3.55 :
Figure 3.55
c) x + y + z = 2 ; voir la représentation à la figure 3.56 :
Réponses aux exercices
357
Figure 3.56
d) x + y = 1. Dans le plan xOy, on trace la droite x + y = 1 et on l’élève et l’abaisse (dans
le sens de l’axe des z), ce qui balaie un plan vertical comme surface.
e) x + z = 1 ; voir la représentation à la figure 3.57 :
Figure 3.57
6. Voici le graphe de quelques-unes de ces surfaces :
c) |z| =
p
x2 + y 2 ; voir la représentation à la figure 3.58, soit un cône :
358
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.58
e) z = x2 − y 2 ; voir la représentation à la figure 3.59, soit un parabloïde hyperbolique :
Figure 3.59
f) z =
1
; voir la représentation à la figure 3.60 :
x2 + y 2 + 1
Figure 3.60
Réponses aux exercices
359
g) 36x2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 ; il s’agit de l’ellipsoïde centré en (0, 0, 0) et dont les demi-axes
sont de longueurs respectives 1, 3 et 2.
h) x2 − 4x + 4y 2 + 8y + 4z 2 − 8z + 8 = 0 ; on tente d’abord de compléter les carrés en écrivant cette équation sous la forme :
x2 − 4x + 4 + 4(y 2 + 2y + 1) + 4(z 2 − 2z + 1)
2
2
2
(x − 2) + 4(y + 1) + 4(z − 1)
(x − 2)2
(y + 1)2
(z − 1)2
+
+
4
1
1
=
−8 + 4 + 4 + 4
=
4
=
1.
On reconnaît alors l’ellipsoïde centré en (2, −1, 1) et dont les demi-axes sont de longueurs
respectives 2, 1 et 1.
7. Voici les courbes et les surfaces de chacune des fonctions données :
a) Figures 3.61 et 3.62.
Figure 3.61
Figure 3.62
b) Figures 3.63 et 3.64.
Figure 3.63
c) Figures 3.65 et 3.66.
Figure 3.64
360
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Figure 3.65
Figure 3.66
d) Figures 3.67 et 3.68.
Figure 3.67
8. Voici les surfaces en question :
a) Voir la figure 3.69.
Figure 3.69
Figure 3.68
b) Voir la figure 3.70.
Figure 3.70
Réponses aux exercices
361
c) Voir la figure 3.71.
Figure 3.71
d) Voir la figure 3.72.
e) Voir la figure 3.73.
Figure 3.72
9.
Figure 3.73
a) Droites x + y = c
b) Paraboles y = cx2
√
c) Demi-paraboles y = c x
d) Paraboles y = k − x2
(k > 0)
e) Hyperboles xy = k
(−1 ≤ k ≤ 1)
10. Le domaine de la fonction est
x2
y2
+
≤ 1,
4
9
c’est-à-dire la portion du plan délimitée par une ellipse de demi-axe horizontal 2, de demi-axe
vertical 3 et centrée en (0, 0). La courbe est incluse dans le domaine. Courbes de niveau :
ellipses.
362
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
Le graphe est le demi-ellipsoïde situé dans z ≥ 0 de demi-axes 3,2,1 et centré en (0, 0, 0).
11.
a) D(f ) = R2 et I(f ) = [−2, 0[
1
b) La courbe de niveau − est donnée par x2 + y 2 = 3. La courbe de niveau −1 est donnée
2
par x2 + y 2 = 1. La courbe de niveau 2 n’existe pas, puisque 2 6∈ I(f ).
c) Voici l’allure générale de cette surface (figure 3.74) :
Figure 3.74
12.
y2
≥ 1}, soit l’extérieur ainsi que les points de l’ellipse
1/4
centrée en l’origine et dont les demi-axes sont de longueurs respectives 1 et 12 .
Par ailleurs, I(f ) = [0, ∞[.
b) La courbe de niveau 0 est l’ellipse mentionnée ci-dessus. La courbe de niveau 2 est
x2
y2
x2
y2
l’ellipse
+
= 1. La courbe de niveau 1 est l’ellipse
+
= 1.
5
5/4
2
1/2
c) C’est la partie supérieure de l’hyperboloïde z 2 = x2 + 4y 2 − 1 (figure A.22).
a) On a D(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2 +
13. Courbe de niveau k :
R
RT
=k
V = T
V
k
Avec le niveau k croissant, les pentes des droites décroissent (figure 3.75).
Figure 3.75
Réponses aux exercices
363
14. Voici, pour chaque cas, le type de courbes de niveau retrouvé :
k
a) Hyperboles y = , deux branches
x
k2
b) Hyperboles y =
, deux branches (une branche dans le premier quadrant)
x
c) Droites
kR
d) Hyperboles V =
P
e) Cercles
f) Cercles
g) Paraboles
h) Droites
i) Cercles
k
πr2
k) Droites (origine exclue)
j) Courbes h =
l) Ellipses
m) Ellipses
n) Spirales logarithmiques ; x2 + y 2 = r2 et arctan(y/x) = θ, d’où la courbe de niveau k est
r = 2ek (0, 9)θ .
15. Voici les courbes de niveau :
a) Courbes de niveau : hyperboles
Surface : figure 3.26
b) Courbes de niveau : cercles
Image V (f ) = {c|0 < c ≤ 1}
Surface : figure 3.24
c) Cas semblables à b)
Surface : figure 3.28
d) Courbes de niveau : cercles
Pour (x, y) −→ (0, 0), on a f −→ ∞
Surface : figure 3.25
e) Courbes de niveau : cercles
x2 + y 2 −
1
x = 0,
k
1
de centre
, 0 sur l’axe des x positifs si k > 0 et sur l’axe des x négatifs si k < 0.
2k
Ces cercles passent par (0, 0), qui est le seul point du plan exclu du domaine de f .
Surface : figure 3.27
16.
a) −→ Figure 3.32
b) −→ Figure 3.29
364
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
c) −→ Figure 3.33
d) −→ Figure 3.30
e) −→ Figure 3.34
f) −→ Figure 3.31
17.
a) La nappe inférieure d’un cône dont le sommet est en (0, 0, 4) est tranchée par un plan
vertical (d’équation y = x), ce qui produit deux demi-droites comme intersection.
√
√
L’équation z = 4 − 2x2 revient à z = 4 − 2|x|, une relation entre x et z qui décrit
deux demi-droites, dans le plan xOz, qui sont les projections des deux demi-droites
d’intersection. Ces dernières peuvent se décrire par les équations
√
z = 4 − 2|x|,
y
= x,
√
ou par l’ensemble des points (x, x, 4 − 2|x|).
b) Un cercle horizontal centré en (0, 0, 2), d’équations x2 + y 2 = 4, z = 2.
c) Une paire de droites x = 0, z = y ± 1, dans le plan yOz.
x2
d) L’équation
+ (z − c)2 = 1 est une ellipse dans le plan xOz, centrée en (0, 0, c).
3
L’intersection est l’ellipse de même forme, centrée en (0, c, c), dans le plan vertical y = c ;
x2
+ (z − c)2 = 1.
elle est donc décrite par les deux équations y = c,
3
18. Dans le premier quadrant, les courbes de niveau 6= 0 sont, dans chaque cas, des hyperboles.
De même, le niveau 0 est atteint aux points se trouvant sur les axes.
On a en (x, x), pour la première fonction,
z = f (x, x) = x2 ,
ce qui indique une croissance quadratique de l’altitude. Plus précisément, sur
√ la droite y = x,
la distance r à partir de l’origine jusqu’au point (x, x) est donnée par r = 2x. L’altitude au
point (x, x) est donc
2
r
1
2
z = f (x, x) = x = √
= r2 ,
2
2
ce qui signifie que le profil de la surface est une parabole au-dessus de la droite y = x.
√
1
Avec la fonction g, on a z = g(x, x) = x2 = x (x > 0), c’est-à-dire z = √ r, et ainsi la
2
croissance de l’altitude au-dessus de la droite y = x est linéaire. La surface donnée correspond
à ce dernier cas.
19. a)
20. La surface est formée par les points (x, y, z) = (x, y, f (x, y)) = (x, y, c), ce qui décrit un plan
horizontal, parallèle au plan xOy, à l’altitude c(> 0, < 0 ou = 0).
On peut également dire que l’équation de la surface est
z = c,
qui est un plan horizontal, car la normale est (0, 0, 1). (En général, ax + by + cz + d = 0 est
un plan dont la normale est le vecteur (a, b, c).)
Réponses aux exercices
21.
365
a) Surfaces de niveau :
x − 2y + 3z − 1 = k,
chacune étant un plan avec vecteur normal (1, −2, 3). On retrouve donc les surfaces
décrites en iv).
b) Surfaces de niveau : les mêmes qu’en i).
c) Surfaces de niveau : les mêmes qu’en ii).
d) Surfaces de niveau : les mêmes qu’en iii).
22.
a) Niveau k : courbe d’équation
C(x, y)
=
k,
81 − 2y
=
k,
y
=
81 − k
,
2
constante.
C’est l’équation d’une droite horizontale, aux points de laquelle C prend la valeur k.
La surface est d’équation
z = C(x, y),
z = 81 − 2y,
2y + z − 81 = 0,
qui est un plan incliné, ayant comme vecteur normal (0, 2, 1).
b) Surface de niveau k :
C(x, y, z)
=
k,
81 − 2z
=
k,
81 − k
,
2
C’est un plan horizontal, parallèle au plan xOy.
z
=
constante.
23. c)
24. e)
25.
26.
∂f
24
∂f
2 · 33
=√
et
= √
∂x (2,3)
∂y (2,3)
97
97
∂f
∂f
b)
= 0 et
=0
∂x (0,0)
∂y (0,0)
−1/2
−1/2
∂f
π2
∂f
π
π2
c)
= 1+
et
=
1+
∂x (1, π2 )
4
∂y (1, π2 )
2
4
∂
∂
a)
z = axa−1 y b ,
z = bxa y b−1
∂x
∂y
2
2
∂
∂
b)
z = 2xyex y ,
z = x2 ex y
∂x
∂y
a)
366
27.
28.
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
y y
1
+ x2 ·
·
− 2
c) zx = 2x arctan
x
1 + (y/x)2
x
1
1
zy = x2
1 + (y/x)2 x
1
d) wx = − (x2 + y 2 + z 2 )−3/2 · 2x
2
1 2
wy = − (x + y 2 + z 2 )−3/2 · 2y
2
1 2
wz = − (x + y 2 + z 2 )−3/2 · 2z
2
2
2
∂z
∂z
= 4x3 y + y 2 exy ,
= x4 + (2xy)exy
a)
∂x
∂y
1
1
x
b) zx =
((ln 3)3 ), zy =
y + 3x
y + 3x
Remarque 3x = (eln 3 )x
2
∂z
= 3x2 y − 2xyex y
c)
∂x
2
∂z
= x3 − x2 ex y
∂y
∂z
ex
∂z
d)
= ex ln y,
=
∂x
∂y
y
a) z = 4x + 6y − 5
b) z = x + y − 1
c) z = 0
y
d) z = 1 −
2
29. a)
30.
a) f (x, y) = xy + C, C constante arbitraire.
b) f¯(x, y) = xy
c) y = x
31.
a) On doit calculer les dérivées partielles a =
∂
∂
z(1, 1) et b =
z(1, 1). Un petit calcul
∂x
∂y
donne a = b = 2. La forme analytique du plan tangent est donc :
z
=
4 + a(x − 1) + b(y − 1)
=
2x + 2y.
Sous forme implicite : ~n = (−2, −2, 1) ;
~n • (x − 1, y − 1, z − 4) = 0.
b) À partir de la forme explicite (analytique), on pose z = 0, qui donne 0 = 2x + 2y, ou
bien x + y = 0. Il s’agit d’une droite.
32. Plan tangent au point (0, 0, 1) : z = 1
1
Plan tangent au point 1, 2,
: x + 2y + 18z − 8 = 0
6
Réponses aux exercices
367
33. z = 4x − 9y + 2
34. a)
√
√
35. (1, 0, 0), (−1, 0, 0), (1, 2, 0), (1, − 2, 0),
1
,
5
r
2 16
,−
5 25
r !
2
et
5
r !
r
1
2 16 2
,−
,
5
5 25 5
36. d)
37.
38.
∂P
(300, 12) = −0, 171 unité de P par unité de V (ou atmosphère par litre).
∂V
∂P
b)
(300, 12) = 0, 00684 unité de P par unité de T (ou atmosphère par degré Kelvin).
∂T
a) ∆f = 2∆x − 12∆y + (∆x)2 − 2(∆y)2
a)
15
8
c) df = −2
b) ∆f = −
39. En utilisant la formule
df = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy
et en posant (x0 , y0 ) = (1, 1), dx = 0, 1 et dy = −0, 1, on obtient
df = 3 × (0, 1) + 5 × (−0, 1) = −0, 2
de sorte que
f (1, 1, 0, 9) ≈ f (1, 1) + df = 4 − 0, 2 = 3, 8.
40. En adoptant la méthode utilisée à l’exercice 39, on arrive au résultat 4,988.
1
41.
a) ∆f ≈ df = ∆x
x
b) ∆g ≈ dg = ex ∆x
42.
a)
∆f
df
≈
f
f
=
≤
b)
∆g
dg
≈
g
g
=
≤
fx ∆x + fy ∆y
cxy
∆y
∆x
+
x
y
∆x ∆y
−
x
y
∆x
∆y
+
x
y
c) Semblable à b)
d) Semblable à b) et à c)
43. On a un des cas d’addition des erreurs relatives :
∆P
dP
∆T
∆V
≈
≤
+
.
P
P
T
V
368
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
44. Ici, on a des égalités :
∆T
= −0, 004 ,
T
∆V
= 0, 01.
V
dP
∆P
≈
= −0, 004 − 0, 01 = −0, 014,
P
P
soit une diminution estimée de 1,4 % de P .
45. a)
∆r
∆t
≤ 0, 02 ou |∆r| ≤ (0, 02)|r| et
≤ 0, 025 ou |∆t| ≤ (0, 025)|t|. On
r
t
∆c
. Alors,
demande d’estimer
c
46. Les données sont
− t2 e−t/r ∆r + 1r e−t/r ∆t
∆c
dc
cr ∆r + ct ∆t
≈
=
= r
,
c
c
c
1 − e−t/r
d’où
dc
∆c
≈
c
c
=
≤
≤
− rt2 e−t/r ∆r + 1r e−t/r ∆t
1 − e−t/r
|t|e−t/r |∆r|
e−t/r |∆t|
+
2
−t/r
r |1 − e
| |r||1 − e−t/r |
|4|e−2 (0, 02)|r| e−2 (0, 025)|t|
+
4|1 − e−2 |
2|1 − e−2 |
(inégalité triangulaire)
(utilisation des données).
Il reste à substituer 2 à r et 4 à t, et alors
dc
e−2
∆c
≈
≤ 0, 09
= 0, 014.
c
c
1 − e−2
L’erreur approximative sur c peut aller jusqu’à 1,4 %.
47. b)
48. b)
49. La solution générale est y = y(t) = ce−kt et la solution compatible avec les conditions initiales
est
y(t) = y0 e−kt .
On peut travailler avec y0 comme symbole ou le remplacer par x, par exemple. Dans l’un
ou l’autre cas, t est considéré comme un paramètre (constante dont la valeur est choisie
arbitrairement). Considérons donc
y = f (y0 ) = y0 e−kt ,
Réponses aux exercices
avec
369
∆f
∆y0
≤ 0, 05, et où il est nécessaire d’estimer
. On a
y0
f
∆f
∆y0
df
(df /dy0 )∆y0
e−kt ∆y0
=
≈
=
=
,
−kt
f
f
f
y0 e
y0
d’où
df
∆y0
∆f
≈
=
≤ 0, 05,
f
f
y0
ce qui signifie que l’erreur relative sur f , ou y, peut aller jusqu’à 5 % également.
dM
dx
50. Posons M (x, y) = xLy . On a alors ∆M/M ≈
=
+ ln L dy.
M
x
a) On a
dx
≤ 0, 02,
x
dy
≤ 0, 05,
y
d’où |dy| ≤ 0, 05|y| = (0, 05) × (2, 9). Il s’ensuit que
dx
dM
≤
+ |dy|| ln L| ≤ 0, 02 + (0, 05)(2, 9)| ln L| = 0, 02 + 0, 145| ln L|.
M
x
Si L = 0, 6, on a
dM
dM
≤ 0, 094, ce qui veut dire que
≤ 9, 4 %.
M
M
b) Il y aura un troisième terme |y|
vera ainsi à 10,9 %.
dL
≤ (2, 9)(0, 005) à ajouter aux précédents. On arriL
51. c)
52.
a)
∂P
représente le taux de changement de l’indice de pollution lorsque x varie, pendant
∂x
∂P
que y est gardée fixe, alors que
représente le taux de changement de l’indice de
∂y
pollution lorsque y varie alors que x est gardée fixe.
b) Puisque Px = 2x + 2y + 4y 2 et Py = 2x + 8xy, il s’ensuit que Px (10, 5) = 130 et que
Py (10, 5) = 420.
c) Un accroissement de 10 % de x, soit lorsque x passe de 10 à 11 unités, fait que P augmente
d’environ Px (10, 5)∆x = 130·1 = 130 unités. Un accroissement de 10 % de y, soit lorsque
y passe de 5 à 5,5 unités, fait que P augmente d’environ Py (10, 5)∆y = 420 · (0, 5) = 210
unités. Il découle de cela qu’une augmentation de 10 % des gaz est plus dommageable
qu’une augmentation des matières solides.
√
π
3
53. |∆c| ≈ |dc| ≤
(0, 2) + 0 + 5
= 0, 348
2
90
54. ±7 % ou 7 % en valeur absolue.
125
55.
49
370
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
56. b)
57.
a) En utilisant les formules des dérivées partielles des fonctions composées, on obtient
fr = 2/r et fs = 0.
b) En écrivant f comme une fonction de r et s puis en dérivant par rapport à r et en
dérivant par rapport à s, on a f = 2 ln r, d’où fr = 2/r et fs = 0.
58. On obtient
2t3 (2 + t2 )
3
df
=
= .
dt t=1
(1 + t2 )2 t=1
2
59. d)
60. On a w = f (u, v), avec u = u(x, y, z) = x/z et v = v(x, y, z) = y/z, de sorte que
w = w(x, y, z). On obtient successivement
(1)
(2)
(3)
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
=
=
=
∂w ∂u ∂w ∂v
∂w 1
+
=
∂u ∂x
∂v ∂x
∂u z
∂w ∂u ∂w ∂v
∂w 1
+
=
∂u ∂y
∂v ∂y
∂v z
∂w ∂u ∂w ∂v
∂w x ∂w y +
=
− 2 +
− 2
∂u ∂z
∂v ∂z
∂u
z
∂v
z
En combinant alors les valeurs obtenues en (1), en (2) et en (3), on obtient
x
∂w
∂w
∂w
+y
+z
= 0,
∂x
∂y
∂z
tel que demandé.
61. Fixons x, y, z ∈ R et considérons la fonction de la variable t : g(t) = f (tx, ty, tz).
D’une part, à l’aide de la dérivation des fonctions composées,
dg
dt
dg
dt
=⇒
dg
(1)
dt
=
=
=
∂f d
∂f d
∂f d
(tx) +
(ty) +
(tz)
∂x dt
∂y dt
∂z dt
∂f
∂f
∂f
x+
y+
z
∂x
∂y
∂z P =(tx,ty,tz)
∂f
∂f
∂f
x+
y+
z
∂x
∂y
∂z
D’autre part, on a que :
g(t) = tN f (x, y, z)
dg
=⇒
= N tN −1 f (x, y, z)
dt
dg
(1) = N f (x, y, z)
dt
d’où le résultat.
Remarque importante
Réponses aux exercices
371
Quand on fixe x, y, z afin de considérer g(t) = f (tx, ty, tz), on peut concevoir les choses ainsi :
— On considère notre fonction f comme f (u, v, w), où les variables u, v, w remplacent les
variables x, y, z ;
∂f
— La dérivée
(u, v, w) est la même expression que celle obtenue en remplaçant x, y, z
∂u
∂f
(x, y, z) ;
par u, v, w dans
∂x
— Il en est de même pour les autres dérivées ;
— Avec x, y, z fixes, u, v, w sont fonctions de t si l’on pose
u = tx,
fonction u(t) = (constante)t,
v = ty,
fonction v(t),
w = tz,
fonction w(t);
— La fonction g(t) est la fonction composée décrite par ce schéma de dépendance
(Figure 3.76) :
Figure 3.76
— On aura
df
, f considérée comme une fonction composée,
dt
∂f du ∂f dv
∂f dw
=
+
+
,
∂u dt
∂v dt
∂w dt
ce qui peut être remplacé, grâce aux observations précédentes, par les calculs qu’on voit
dans la solution donnée au départ.
dg
dt
=
62.
∂f
∂x
∂f
∂y
=
=
∂f
∂f sin θ
cos θ −
∂r
∂θ r
∂f
∂f cos θ
sin θ +
∂r
∂θ r
63. Le volume V est donné par la formule V (a, b, c) = abc, alors que l’aire S est donnée par la
formule S = S(a, b, c) = 2ab + 2ac + 2bc. On a par ailleurs
a0 (t) = 2,
b0 (t) = −4,
c0 (t) = 2.
Posons
u(t)
= V (a(t), b(t), c(t)),
372
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
v(t)
= S(a(t), b(t), c(t)).
En utilisant la formule (31), on obtient
u0 (t) = Va · a0 (t) + Vb · b0 (t) + Vc · c0 (t) = bc · a0 (t) + ac · b0 (t) + ab · c0 (t)
de sorte que
u0 (t0 ) = 9 × 5 × 2 + 13 × 5 × (−4) + 13 × 9 × 2 = 64 cm3 /s.
De même, on obtient
v 0 (t) = Sa · a0 (t) + Sb · b0 (t) + Sc · c0 (t) = 2(b + c) · a0 (t) + 2(a + c) · b0 (t) + 2(a + b) · c0 (t)
de sorte que
v 0 (t0 ) = 2(9 + 5)(2) + 2(13 + 5)(−4) + 2(13 + 9)(2) = 0.
64. On a ρ = ρ(T, P ) où T = T (t) et P = P (t), avec T (t0 ) = 20 et P (t0 ) = 1520. Posons alors
u(t) = ρ(T (t), P (t)).
En utilisant la formule (31), on obtient
u0 (t)
∂ρ dP
∂ρ dT
·
+
·
∂T dt
∂P dt
P dT
273
1 dP
−273
= ρ0
·
·
+
·
·
.
(273 + T )2 760 dt
273 + T 760 dt
=
En t = t0 , on a
0
u (t0 ) = ρ0
65.
273 1
−273 1520
·
·2+
·
· (−25) ≈ −0, 043ρ0 .
(293)2 760
293 760
a) t −→ h −→ V
V =
1 2
1
πr h = π
3
3
2
h
π 3
h=
h , selon la figure 3.77.
4
48
Figure 3.77
Réponses aux exercices
b)
dh
dt
= −0, 2 (constante)
dV
dt h=10
= −
π
(10)2 ≈ −3, 928
80
π
dV
= − (20)2 ≈ −15, 712
dt h=20
80
66. Avec la notation t = t0 , l’instant correspondant aux observations :
T (t0 ) = −17, 8,
v(t0 ) = 6, 7,
c)
dv
dT
(t0 ) = 2,
(t0 ) = −1, 5.
dt
dt
dC
(t0 ) = −130, 66 unités de C par unité de t ou kcal/m2 /h/h. Voici le schéma :
dt
v
%
&
&
%
t
C
T
67.
A = 2πrh + 4πr2 ,
4
V = πr2 h + πr3 .
3
dr
= 0, 75 ,
dt (30,200)
dh
= 5.
dt (30,200)
dA
= 780π ≈ 2450, 4µm2 /heure,
dt (30,200)
dV
= 16200π ≈ 50893, 8µm3 /heure.
dt (30,200)
Voici les schémas :
r
%
r
&
t
A
&
%
&
&
%
t
%
h
V
h
68. Voici le schéma :
x
%
&
&
%
t
f
y
373
374
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
dx
= 5,
dt P0
dy
= 2,
dt P0
∂f
= −0, 5,
∂x P0
∂f
= 1, 2,
∂y P0
df
= −0, 1,
dt P0
unité de f par unité de t.
69. Première solution Si l’on considère que V (t) = R(t)I(t), on aura
dV
dR(t)
dI(t)
(t) =
· I(t) + R(t) ·
dt
dt
dt
et, à l’instant donné, disons t = t0 , on obtiendra donc
−0, 01 = (0, 5)(0, 04) + (600)
dI
(t0 ),
dt
d’où
dI
(t0 ) = −5 × 10−5 .
dt
Deuxième solution On peut écrire I = V /R = I(R, V ), fonction de deux variables R et V et
fonction composée de t par l’intermédiaire de R et de V .
Alors, on a le schéma
R
%
&
&
%
t
I
V
de sorte que
dI
∂I dR
∂I dV
V dR
1 dV
=
+
=− 2
+
.
dt
∂R dt
∂V dt
R dt
R dt
À l’instant t = t0 , on a en particulier V (t0 ) = RI
les autres données, on obtient
t0
= (600)(0, 04) = 24, donc, en utilisant
dI
24
1
(t0 ) = −
(0, 5) +
(−0, 01) = −5 × 10−5 .
dt
(600)2
600
70.
a) Variable t = temps exprimé en heures.
Les observations ont lieu en un instant noté, disons, t = t0 .
dv
dT
On a
(t0 ) = 0, 5,
(t0 ) = −1
dt
dt
Le graphe de v en fonction de t a une pente 0,5 au point (t0 , 4).
Le graphe de T en fonction de t a une pente −1 au point (t0 , −15).
dC
b)
(t0 ) = 62, 45 unités de C par heure ou kcal/m2/h/h.
dt
Réponses aux exercices
71.
∂P
est la dérivée partielle de P par rapport à T alors que V est
∂T V
maintenue constante.
a) P = P (T, V ) et
b) Schéma : voir la figure 3.78 ou la figure 3.79.
Figure 3.78
Figure 3.79
Il est préférable d’utiliser le premier schéma pour calculer ceci :
SP
∂S
∂P T
∂P
∂S
∂E
∂S
+
E
P
∂P V ∂P T
∂E V ∂P T
=
=
+
où
∂S
∂V
,
P
∂V E ∂P T
∂P
peut ensuite être remplacée par 1.
∂P T
Par contre, il est plus simple d’utiliser le deuxième schéma pour obtenir
ST
=
=
∂S
∂T P
∂S
∂E
∂S
∂V
+
P
P
∂E V ∂T P
∂V E ∂T P
c) On a
SP =
∂S
=
∂P T
−
+
+
ln E + (ln V )2
· (1)
(P + 1)2
1
0, 4T
·
(P + 1)E P 0,6
(−0, 5)(0, 08T )
2 ln V
·
V (P + 1)
P 1,5
et
ST =
72. c)
375
∂S
2 ln V
0, 08
1
· P 0,4 +
·
=
∂T P
E(P + 1)
V (P + 1) P 0,5
376
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
73.
~u =
4
1
, D~u A(50, 160)
−√ , √
17
17
1
4
(0, 012760) − √
+ (0, 0068020) √
17
17
= 0, 00350416
=
en unités de A par unité de distance à partir de (50, 160) dans la direction ~u.
74. f (x, y) = 3x4 + 6xy
75. fxy = fyx = 6x cos (3y) pour la première fonction. Pour la deuxième fonction, on obtient
2
fxy = fyx = 2xex y (1 + x2 y).
76.
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
= (x2 + y 2 + z 2 )N −1 (6N + 4N (N − 1)) = 0
∂x2
∂y 2
∂z 2
=⇒ 4N 2 + 2N = 0 =⇒ N = 0 ou N = −
1
2
Par conséquent, seules les fonctions
f = 1 ou f = (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 ,
parmi celles proposées, vérifient l’équation de Laplace.
∂2v
∂2v
= (−12a)(x − at)2 − a cos(x + at) =
.
∂x∂t
∂t∂x
∂2v
∂2v
b) On obtient 2 = 12a2 (x − at)2 − a2 cos(x + at) et
= 12(x − at)2 − cos(x − at), ce
∂t
∂x2
qui suffit.
77.
a) On trouve
78. Aucun des quatre cas proposés n’est possible.
79. Il suffit de faire les calculs.
80. Oui. On a d’abord
∂3
∂3
∂3
∂3
ϕ(x, y, z) =
f (x, y) +
g(x, z) +
h(y, z).
∂x∂y∂z
∂x∂y∂z
∂x∂y∂z
∂x∂y∂z
Puisqu’on peut inverser l’ordre de dérivation, lorsqu’on dérive f (x, y) par rapport à z, le
résultat est 0. De même, lorsqu’on dérive g(x, z) par rapport à y, on obtient encore 0. Puis,
lorsqu’on dérive h(y, z) par rapport à x, on obtient aussi 0, d’où le résultat.
81. Oui. Il suffit de faire les calculs.
82. Oui. On a
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= 6x + 4y.
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
Posons w = w(x, y) = 6x + 4y. On a alors
∂ ∂z
∂
∂w ∂x ∂w ∂y
=
w=
+
= 6 · 1 + 4 · (−1) = 2.
∂s ∂r
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
83. a)
Réponses aux exercices
84.
377
a) θ = π/2. On a ~u = (0, 1) et D~u f (1, 1) = 5
√
√
√
b) θ = 3π/4. On a ~u = (− 2/2, 2/2) et D~u f (1, 1) = 2/2
c) θ = 3π/2. On a ~u = (0, −1) et D~u f (1, 1) = −5
85. c)
86. d)
87. ∇f (1, π) = (−e, 0)
88. On évalue d’abord ∇f (2, 3). On a ∇f (2, 3) = (fx (2, 3), fy (2, 3)) = (108, 108).
θ
√ L’angle
√
cherché est donc θ = π/4. Le vecteur unitaire ~u indiquant cette direction est ( 2/2, 2/2).
Dans cette direction, la dérivée directionnelle est donnée par
p
√
D~u f (2, 3) = |∇f (1, 2)| = 1082 + 1082 = 108 2.
89.
a) 0 : étant donné que D~u f = ∇f • ~u, la direction demandée est celle d’un
vecteur ortho3
2
gonal à ∇f (x0 , y0 ) = (2, 3), soit (3, −2) ou (−3, 2), c’est-à-dire ~u = √ , − √
ou
13
13
2
3
.
~u = − √ , √
13
13
b) Aussi grande que possible : c’est dans la direction du gradient, soit dans la direction du
vecteur (2, 3).
c) Aussi petite que possible : c’est dans la direction opposée à celle du gradient, soit dans
la direction du vecteur (−2, −3).
√
90. Le taux maximum est de 2 5 = |∇f (1,2)|, ce qui
se produit dans la direction du vecteur
1
2
∇f (1, 2) = (2, 4) ou du vecteur unitaire √ , √ .
5
5
91. On a
1
f (x, y, z) = p
.
2
x + y2 + z2
1
2
2
.
La direction cherchée est celle du gradient de f évalué au point (1, 2, 2), soit − , − , −
27 27 27
92.
a) D~v f (P0 ) = fx (P0 ) = 4x
=4
x=1
b) Posons ~u = ~v /|~v | = (3/5, −4/5)
Alors, D~u f (P0 ) = (y cos(xy), x cos(xy))
• (3/5, −4/5) = (4 − 3π)/5
(1,π)
√
√
c) Posons ~u = ~v /|~v | = (−1/ 2, 1/ 2)
2
2
2
2
Alors, D~u f (P0 ) = (2xex +3y , 6yex +3y ) √ √ • ~u = 4e8
( 2, 2)
1
1
5
1
1
2
, ,√
= +√
d) On a D~v f (P0 ) = (3x , 2y, 1)
•
2 2
2
(1,1,1)
2
2
93. a)
√
94. On cherche les valeurs de θ telles que cos θ − sin θ > 1/ 2, c’est-à-dire telles que
1
1
cos2 θ + sin2 θ − 2 sin θ cos θ > , soit lorsque sin (2θ) < , ce qui se produit lorsque
2
2
378
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
0 < θ < π/12.
95. Dans chaque
cas,√ on calcule D~u f (P0 ) successivement avec ~u = v~1 , ~u = √
v~2 et
√
~u = (−1/ 2, −1/ 2). On obtient alors les taux d’accroissement −π, 1, et (π + 1)/ 2. Il
y a une direction qui donne un taux d’accroissement maximal : il s’agit de celle du
√ gradient
(−π, −1), auquel cas le taux d’accroissement maximal est donné par |∇f (P0 )| = π 2 + 1.
96. b)
97. Il suffit de calculer −∇T
1 1
,
4 3
; la direction cherchée est donc (−1/9, −1/16).
98. d)
99. Il s’agit de la direction du gradient
∇h(P0 ) = (hx (P0 ), hy (P0 )) = (−40x, −60y)
= (−40, −60).
(1,1)
On cherche maintenant à obtenir l’équation y = f (x) du parcours horizontal spécifié cidessus. En chacun de ses points (x, y), cette courbe a nécessairement comme direction celle
du gradient de h en ce point, donc la pente de la tangente à la courbe y = f (x) satisfait
y 0 = f 0 (x) = hy /hx =
−60y
.
−40x
On obtient alors successivement
y0
=
y0
y
=
ln y
=
3y
2x
31
2x
3
ln x + C,
2
pour une certaine constante C. Puisque, par hypothèse, la courbe y = f (x) passe par le point
(1, 1), on obtient C = 0. L’équation cherchée est donc y = x3/2 .
100. Oui. En effet, on remarque facilement que le gradient de f est égal à (0, 0) au point P0 , d’où
D~u f (P0 ) = ∇f (P0 ) • ~u = (0, 0) • ~u = 0,
quel que soit le vecteur ~u.
101. Il est clair que
D~u f (P0 ) = −fx (P0 ) = −2y − y cos(xy)
(π
2 ,1)
102. c)
103. On a
Dw~ f (P ) = D−~u f (P ) = −D~u f (P ),
car w
~ = (w1 , w2 ) = (−u1 , −u2 ) = −~u.
104. c)
= −2.
Réponses aux exercices
379
~ = −∇f = −(α cos(αx) cos(βy), −β sin(αx) sin(βy))
105. E
106.
a) L’expression diminue le plus signifie que ρ varie avec un taux instantané de variation
minimal, à partir des conditions données.
Il faut quitter les conditions (27, 1520) dans la direction opposée à celle du gradient, soit
273ρ0
273ρ0
(2),
−∇ρ(27, 1520) = − −
.
3002
(300)(760)
On peut aussi dire qu’il faut faire varier simultanément T et P dans un rapport de
273ρ0
273ρ0
(2) : −
ou 1 : −0, 197 ou 5, 067 : −1, à partir de T = 27 et de P = 1520.
3002
(300)(760)
b) Les conditions T = 20, P = 1520, correspondent au point A = (20, 1520) sur la carte
topographique de ρ (système d’axes T OP ). On doit quitter le point A dans la direction
du gradient ∇ρ(A) = (ρT (A), ρP (A)). On a alors
P
−273
= −0, 006360ρ0 ,
ρT (A) = ρ0
(273 + T )2 760 A
273
1
ρP (A) = ρ0
= 0, 001226ρ0 .
273 + T
760 A
Le changement simultané demandé est donc dans un rapport de −0, 006360ρ0 : 0, 001226ρ0 ,
qui décrit une diminution de T simultanément à une augmentation de P . Ce rapport est
équivalent aux rapports de −1 : 0, 1928 et de −5, 188 : 1.
c) Le taux demandé est la dérivée directionnelle D~u ρ(A), où la direction est celle du vecteur
(unitaire) ~u = (0, −1). On a donc
D~u ρ(A) = ∇ρ(A) • ~u = (ρT (A), ρP (A)) • (0, −1) = −ρP (A) = −0, 001226ρ0 ,
selon l’étape b), ce qui décrit un taux de diminution, en unités de ρ par unité de P .
Remarque S’il est déjà connu que D~u f = −fx et que Dα~ f = −fy lorsque ~u = (−1, 0) et
α
~ = (0, −1), on peut abréger les calculs ci-dessus.
107.
108.
a) x = 2
√
3
y z
b)
x− − =1
2
3 4
a) 11/5
b) 2
c) − sin(2) cos
√
d) 1/ 3
7π
12
+ sin
7π
12
109. ~u = (−12, 5)/13 et w
~ = (12, −5)/13 = −~u
√
(−1, −2)
√
110. ∇f (P0 ) = ~i + 3~j et D~u f (P0 ) = −7/ 5, où ~u =
5
111.
a) ∇f (1, 3) = (24, 13)
∇f (1, 3)
~u =
|∇f (1, 3)|
380
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
b) −∇f (1, 3) ou −
∇f (1, 3)
|∇f (1, 3)|
c) ~v = (13, −24), w
~ = −~v = (−13, 24) ou ~u = ±
scalaire du genre
~v
, tout cela afin d’obtenir un produit
|~v |
∇f (1, 3) • ~v = 0.
112. Le vecteur (1, 1, −1) est dans la direction du gradient : ∇f (P0 ) = λ(1, 1, −1).
1
1
1
Dans la direction de ~u = √ , √ , − √ ,
3
3
3
√
D~u f (P0 ) = −2 3
= ∇f (P0 ) • ~u
=⇒ λ
Avec w
~=
= −2
∇f (P0 ) = (−2, −2, 2)
√
1
1
√ , √ , 0 , on a Dw~ f (P0 ) = ∇f (P0 ) • w
~ = −2 2.
2
2
113. e)
114. c)
0, 1
0, 1
115. x1 = −1 + √ , y1 = −1 + √ , selon la figure 3.80.
2
2
Figure 3.80
∆f
= f (x1 , y1 ) − f (x0 , y0 )
= f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 )
(1, 1)
avec (x0 , y0 ) = (−1, −1), (u1 , u2 ) = √ et t = 0, 1
2
f (x0 + tu1 , y0 + tu2 ) − f (x0 , y0 ) ∼
Or,
= D~u f (x0 , y0 ). Par conséquent, ∆f ∼
= tD~u f (x0 , y0 ) =
t
∇f (x0 , y0 ) • t~u. Or,
∂f
∂x
∂f
∂y
= − sin(πxy) · πy + y 2
=1
(−1,−1)
= − sin(πxy) · πx + 2xy
=2
(−1,−1)
Réponses aux exercices
donc,
∆f ∼
= (1, 2) •
1
1
√ ,√
2
2
381
√
3
3 2
· (0, 1) = √ =
20
10 2
116. Choix à retenir : f)
117. Choix à retenir : d)
118. c)
119. Vecteur sur la droite tangente : ~v = (−50, 37, 5). Vecteurs orthogonaux : (−37, 5, −50) et
(37, 5, 50). Vecteur dans la même direction que celle du gradient : w
~ = (37, 5, 50).
À noter L’orthogonalité n’entraîne pas un angle de 90°, car les axes sont différemment calibrés
(figure 3.81).
Figure 3.81
120. Premier énoncé : vrai, car ∇f (1, 1) = (4, 4).
Deuxième énoncé : vrai, car ∇f (0, 0) = (0, 0).
Troisième énoncé : la surface est le niveau 0 de F (x, y, z) ; donc, ∇F est orthogonal à cette
surface de niveau.
Quatrième énoncé : faux.
121. b)
122. Direction : −∇C(P0 ) = (−45, 26, 45)
Taux instantané : −|∇C(P0 )| = −52, 20
1
1
√ , − √ . D~u C(P0 ) = 50, 52
2
2
124. Soit F (x, y, z) = (x − a)2 + y 2 + z 2 et G(x, y, z) = x2 + (y − 1)2 + z 2 .
Considérons les deux surfaces de niveau F (x, y, z) = 3 et G(x, y, z) = 1 qui représentent
respectivement deux sphères qu’on nomme S1 et S2 . Aux points d’intersection (x0 , y0 , z0 ) ∈
S1 ∩ S2 , les deux surfaces sont perpendiculaires. Il s’ensuit que les gradients ∇F (x0 , y0 , z0 )
et ∇G(x0 , y0 , z0 ) sont perpendiculaires en tout point (x0 , y0 , z0 ) ∈ S1 ∩ S2 . C’est donc dire
1
123. Direction résultante : ~a = (1, −1), ~u =
~a =
|~a|
382
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
qu’on a (2(x0 − a), 2y0 , 2z0 ) • (2x0 , 2(y0 − 1), 2z0 ) = 0, c’est-à-dire
x20 + y02 + z02 = ax0 + y0 .
(1)
Puisque l’équation de la sphère S1 s’écrit aussi
x2 + y 2 + z 2 = 2ax − a2 + 3,
(2)
on a, en reportant (1) dans (2), aux points d’intersection (x0 , y0 , z0 ),
ax0 + y0 = 2ax0 − a2 + 3, c’est-à-dire y0 = ax0 − a2 + 3.
(3)
De même, comme S2 s’écrit sous la forme x2 + y 2 + z 2 = 2y, on a, en reportant (1) dans cette
dernière équation,
ax0 + y0 = 2y0 c’est-à-dire y0 = ax0 .
(4)
√
En reportant (4) dans (3), on obtient ax0 = ax0 − a2 + 3, c’est-à-dire a = ± 3.
p
~r
125.
a) f (r) = r = x2 + y 2 + z 2 = g(x, y, z) =⇒ ∇g =
r
b) Règle de dérivation des fonctions composées.
c) (a) 0
√
(b) ± 3 e3/2
126. Choix à retenir : a)
127.
a) ∇f (1, −1, 3) = (0, 4, 6)
b) 0 + 4(y + 1) + 6(z − 3) = 0 ou 2y + 3z = 7
128. Choix à retenir : e)
129. c)
130. Il suffit de déterminer les points P tels que
∇f (P ) ⊥ plan xOy
=⇒ ∇f (P )k(0, 0, 1) = ~k
où f (x, y, z) = xy + yz + zx − x − z 2 .
1 1 1
Points trouvés : P1 = (0, 1, 0), P2 = − , ,
2 2 2
131.
a) Direction : ∇f (1, 2, −2) = (2, 4, 4)
Taux maximal : |∇f (1, 2 − 2)| = 6
b) x + 2y + 2z = 1
132. b)
133. On a P1 (x, y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ), qui est une fonction dont la
surface z = P1 (x, y) représente précisément le plan tangent à la surface z = f (x, y) au point
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
134.
a) p2 (x, y) = 2 + 4(x − 1) + (y − 2) + 2(x − 1)2 + 2(x − 1)(y − 2)
b) p2 (x, y) = 1 + xy
Réponses aux exercices
383
c) p2 (x, y) = xy
d) p2 (x, y) = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1)2 + y 2
x2
2
135. Puisque ex = 1 + x +
+ r(x) et que ey = 1 + y 2 + s(y), où r(x) = O(x3 ) et s(y) = O(y 4 ),
2
et puisque
2
2
ex+y = ex · ey ,
on obtient
p(x, y) = 1 + x +
x2
+ y2 .
2
D’autre part, puisque f (0, 0)
=
1, fx (0, 0)
fxx (0, 0) = 1, fyy (0, 0) = 2 et fxy (0, 0) = 0, on obtient
p(x, y) = 1 + 1(x − 0) + 0(y − 0) +
=
1,
fy (0, 0)
=
0,
x2
1
1(x − 0)2 + 2(y − 0)2 = 1 + x +
+ y2 .
2!
2
3
La notation r(x) = O x3 signifie qu’il existe une
constante C > 0 telle que |r(x)| ≤ Cx
4
pour tout x ≥ 1. De même, puisque s(y) = O y , alors il existe une constante D > 0 telle
que |s(y)| ≤ Dy 4 pour tout y ≥ 1.
136. On obtient successivement
fx = 3x2 + 2xy, fxx = 6x + 2y, fxxx = 6, fy = x2 , fyy = 0,
fyyy = 0, fxy = 2x, fxxy = 2, fxyy = 0.
On en déduit que
f (1, 1) = 2, fx (1, 1) = 5, fxx (1, 1) = 8, fxxx (1, 1) = 6,
fy (1, 1) = 1, fyy (1, 1) = 0, fyyy (1, 1) = 0, fxy (1, 1) = 2,
fxxy (1, 1) = 2, fxyy (1, 1) = 0.
Il s’ensuit que
p3 (x, y)
=
=
1
8(x − 1)2 + 2 · 2(x − 1)(y − 1)
2
1
+ 6(x − 1)3 + 3 · 2(x − 1)2 (y − 1)
6
2 + 5(x − 1) + (y − 1) + 4(x − 1)2 + 2(x − 1)(y − 1)
2 + 5(x − 1) + (y − 1) +
+(x − 1)3 + (x − 1)2 (y − 1).
137. En appliquant la formule pour trouver le polynôme de Taylor de degré 2, on obtient
3
5
p2 (x, y) = −1 + x2 + 2xy + y 2 .
2
2
138.
P2 (x, y)
1
−10x2 + 0 − 10y 2
2
=
5+0+0+
=
5(1 − x2 − y 2 )
384
139.
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
x2
y2
y3
x
a) e ln(1 + y) =
1+x+
+ ···
y−
+
+ ···
2
2
3
=
y + xy −
y2
+ termes d’ordre supérieur
2
=⇒ p2 (x, y) = y + xy −
y2
2
b) Le calcul direct de p2 (x, y) produit le même résultat.
π π
− (y − 1)
140. f (x, y) = cos(xy) ≈ 0 − x −
2
2
1
1
141.
a) P0 =
,−
2 10
b) P0 =
11 15
− ,−
7
7
c) Aucun point critique.
d) P0 = (0, −2), P1 = (1, −2), P2 = (−1, −2)
e) P0 = (0, 0)
f) Tous les points (0, y) et (x, 0), sauf le point (0, 0).
g) P0 = (−1, 0)
142.
h) P0 = (−1, 1)
1
1
a) P0 =
,−
est un minimum.
2 10
b) P0 =
−
11 15
,−
7
7
est un minimum.
c) Aucun point critique.
d) P0 = (0, −2) est un point de selle, tandis que P1 = (1, −2) et P2 = (−1, −2) sont des
minima absolus, car la fonction peut s’écrire (x2 − 1)2 + (y + 2)2 − 7.
e) P0 = (0, 0) est un maximum.
f) Le test n’est pas concluant. C’est algébriquement ou géométriquement qu’on conclut que
chaque point (x, 0) (avec x 6= 0) est un maximum, puisque f ≡ 1. D’autre part, chaque
point (0, y) (avec y 6= 0) est un minimum, puisque f ≡ −1. Voici l’allure de cette surface
(figure 3.82) :
Réponses aux exercices
385
Figure 3.82
Algébriquement, on observe que
−1 ≤
−y 2
x2 − y 2
x2
≤
≤
≤ 1.
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
g) P0 = (−1, 0) est un point de selle.
h) P0 = (−1, 1) est un minimum.
143. c) (x0 , y0 ) est un point critique.
H(x0 , y0 ) > 0 et fxx (x0 , y0 ) > 0 =⇒ minimum.
144. a) Par définition, un point de selle est un point critique, soit un point (x0 , y0 ) solution de
fx = 0
∇f (x, y) = 0 ou
fy = 0
Si l’on voulait admettre les cas de points de selle qui puissent être « anguleux » avec au moins
une dérivée fx ou fy qui n’existe pas, on devrait répondre d).
145. c) c > 1 =⇒ H > 0. Avec fxx > 0 : minimum
146. d) H = 4c − c2 > 0 ⇐⇒ 0 < c < 4, car l’expression quadratique en c est > 0 ⇐⇒ c est situé
entre les racines 0 et 4 (figure 3.83). Avec fxx > 0 : minimum.
Figure 3.83
386
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
147. c)
148. d)
2
149. d) Si la dérivée fxy (x0 , y0 ) existe, on a le Hessien H = 0 − (fxy (x0 , y0 )) ≤ 0. Si l’on avait
H < 0, on aurait un point de selle. Donc H = 0 et fxy (x0 , y0 ) = 0.
Si la dérivée fxy (x0 , y0 ) n’existe pas, le Hessien n’existe pas.
150. a)
151. Choix à retenir : c)
152. fxx = 6(x + 1), fyy = 6(y − 1), fxy = 0
H(x, y) = 36(x + 1)(y − 1)
H(0, 2) = 36 > 0, fxx (0, 2) = 6 > 0
153. b)
154. d)
155. b)
156. c)
157. Choix à retenir : d)
158. d)
18
62
x+
35
35
160. Soit x, y et z, les dimensions de la boîte. Son volume V est donné par V = xyz = 27. Son
aire S est donnée par S = 2xy + 2yz + 2xz. Puisque z = 27/xy, l’aire S devient une fonction
de deux variables. On peut donc écrire
159. y =
S(x, y) = 2xy +
54 54
+ .
x
y
La recherche des points critiques P = (x, y) se fait en cherchant les solutions de (Sx (x, y),
Sy (x, y)) = (0, 0), ce qui donne
Sx
=
Sy
=
54
= 0,
x2
54
2x − 2 = 0,
y
2y −
un système d’équations dont la solution est (x, y) = (3, 3). On a donc un seul point critique.
Pour être assuré qu’il s’agit bien d’un minimum, il suffit d’observer que Sxx (3, 3) = 4 > 0
et que Γ(3, 3) = 12 > 0. Comme V = 27, on obtient z = 3. Les dimensions x = y = z = 3
donnent donc une boîte cubique, dont l’aire est égale à 54.
161. La distance d entre l’origine et un point (x, y, z) est donnée par
p
d(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
On cherche le minimum de d(x, y, z) sous la contrainte x + y + z = 3. Il est clair que cela
revient au même que de chercher le minimum de
D(x, y) = x2 + y 2 + (3 − x − y)2 .
Réponses aux exercices
387
La recherche des points critiques, soit la recherche des solutions de (Dx , Dy ) = (0, 0), donne
(x, y) = (1, 1). On établit aisément qu’il s’agit bien d’un minimum.
y + z = 3, on
√ Puisque x +√
trouve z = 1, d’où la distance minimale cherchée est d(x, y, z) = 1 + 1 + 1 = 3.
162. La distance d entre le point (1, 2, 3) et un point (x, y, z) est donnée par
p
d(x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 .
On cherche le minimum de d(x, y, z) sous la contrainte x − 2y + z = 5. Il est clair que cela
revient au même que de chercher le minimum de
D(x, y) = (x − 1)2 + (y − 2)2 + (2y − x + 2)2 .
La recherche des points critiques, soit la recherche des solutions de (Dx , Dy ) = (0, 0), donne
(x, y) = (11/6, 1/3). On établit qu’il s’agit bien d’un minimum. Puisque z = 5 − x + 2y, on
5p
3/2.
trouve z = 23/6, d’où la distance minimale cherchée est d(x, y, z) =
3
163. On pose f (x, y) = x2 + y 2 et g(x, y) = 2x + 3y − 4 = 0 et on utilise la méthode de Lagrange.
En solutionnant le système d’équations
∇f (x, y)
= λ∇g(x, y),
g(x, y)
=
0,
8
,
13
y=
12
,
13
on obtient
x=
Le minimum cherché est donc
λ = x.
16
.
13
164. d)
165. On veut maximiser f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 30 000 − 100x − 200y = 0. On utilise
la méthode de Lagrange. En solutionnant le système d’équations
∇f (x, y) = λ∇g(x, y),
g(x, y) = 0,
on obtient x = 225 et y = 37, 5. La réponse est donc 225 heures de travail avec 37 arbres et
demi.
166.
a) Posons f (x, y, z) = xyz et g(x, y, z) = x + y + z − 60. On cherche le maximum de f
sous la contrainte g = 0. Par la méthode de Lagrange, il nous faut d’abord résoudre le
système d’équations :
∇f (x, y, z)
=
λ∇g(x, y, z),
g(x, y, z)
=
0.
Ce système se ramène au système suivant :
yz
= λ,
xz
= λ,
xy
= λ,
388
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
x+y+z
=
60.
Il s’ensuit que x = y = z = 20. On a ainsi montré que
f (x, y, z) = xyz ≤ (20)3 = 8 000.
b) Quantité f comme fonction de deux variables :
f = xy(60 − x − y) = 60xy − x2 y − xy 2 .
Les équations fx = 0, fy = 0 donnent x =
60
= y, d’où z = 20.
3
2
2
2
C’est un maximum, car Γ (20, 20) = 4 (20) − (20) = 3 (20) > 0 et fxx (20, 20) < 0.
167. Soit D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 4}. On vérifie d’abord s’il y a des points critiques à l’intérieur
de D. Pour cela, on cherche les points (x, y) tels que ∇f (x, y) = (0, 0) : ce sont les points
(x, y) tels que (2x + 2, −2y) = (0, 0). On obtient ainsi (x, y) = (−1, 0). En ce point, on a
fxx = 2 > 0 et Γ = −4 < 0, ce qui veut dire que le point P1 = (−1, 0) est un point de selle.
Ensuite, sur la frontière de D, c’est-à-dire pour les points (x, y) tels que x2 + y 2 = 4, on a
y 2 = 4 − x2 pour −2 ≤ x ≤ 2, auquel cas
def
f (x, y) = x2 + 2x − (4 − x2 ) = 2x2 + 2x − 4 = g(x).
On cherche les extremums de g(x) pour x ∈] − 2, 2[ : on a g 0 (x) = 0 lorsque 2(2x + 1) = 0,
1
c’est-à-dire x = − (comme g 00 (x) = 4 > 0, il s’agit d’un minimum), ce qui implique que
2
√
√ !
15
15
1
y=±
. On a donc identifié les deux points correspondant à un minimum P2 = − ,
2
2 2
√ !
15
1
. Il reste à examiner ce qui se passe aux points de la frontière, soit
et P3 = − , −
2
2
lorsque x = −2 et x = 2. Au point (−2, 0), on a f (x, 0) = 4 − 4 = 0, tandis qu’au point (2, 0),
on a f (x, 0) = 4 + 4 = 8. On a donc un maximum au point P4 = (2, 0).
168. On pose f (x, y) = x2 y et g(x, y) = x2 +y 2 −1 = 0. En utilisant la méthode des multiplicateurs
de Lagrange, on identifie quatre points, soit
√ √ !
√ √ !
√
√ !
√
√ !
6
3
6
3
6
3
6
3
,
,
−
,
,
−
,−
,
,−
.
3
3
3
3
3
3
3
3
2
Pour les deux premiers points,
de f sur le cercle
√ on a x y > 0, donnant lieu à des maxima
2
y
<
0, donnant lieu à
unité, ce maximum étant 2 3/9. Pour les deux autres points,
on
a
x
√
des minima de f sur le cercle unité, ce minimum étant −2 3/9.
169. On constate d’abord que le système
(
fx (x, y) = 2x + y − 1 = 0,
fy (x, y) = x + 1
=0
possède la solution (x, y) = (−1, 3), un point qui n’est ni sur le triangle ni dans le triangle.
Ce point est donc à exclure.
Examinons maintenant les points sur le triangle.
Réponses aux exercices
389
a) Côté horizontal : −1 ≤ x ≤ 1, y = 0. On a
1
g(x) = f (x, 0) = x2 − x ⇒ g 0 (x) = 2x − 1 = 0 ⇒ x = ,
2
1
ce qui donne le point P1 =
, 0 comme étant un candidat possible.
2
b) Côté liant les sommets (0,1) et (1,0) : x + y = 1 (x ≥ 0, y ≥ 0). On a
g(x) = f (x, 1 − x) = x2 + x(1 − x) − x + (1 − x) = 1 − x ⇒ g 0 (x) = −1 6= 0
⇒ aucun extremum sur ce segment.
c) Côté liant les sommets (−1, 0) et (0,1) : y − x = 1 (x ≤ 0, y ≥ 0). On a
1
g(x) = f (x, 1+x) = x2 +x(1+x)−x+(1+x) = 2x2 +x+1 ⇒ g 0 (x) = 4x+1 = 0 ⇒ x = − ,
4
1 3
ce qui donne le point P2 = − ,
comme étant un candidat possible.
4 4
Il reste aussi à considérer les trois sommets (−1, 0), (0, 1) et (1, 0) qu’on notera respectivement
P3 , P4 et P5 . On a alors le tableau suivant :
f (Pi )
P1
1
−
4
P2
7
8
P3
P4
P5
2
1
0
On déduit de ce tableau que le minimum f (x, y) = −
f (x, y) = 2 est atteint en P3 .
170.
1
est atteint en P1 et que le maximum
4
a) M
= M (x, y)
= 1, 5x + 2y − 4 × 10−5 (xy + x2 + 2y 2 )
Point critique : x = 14285, 7, y = 8928, 6 (ou x = 14286, y = 8929, en prenant des
valeurs entières).
Valeurs constantes pour le Hessien et les dérivées secondes (négatives) ; ici,
H = 112 × 10−10 > 0.
Il s’agit bien d’un maximum.
b) M = 1, 5x + 2y − 2βxy − αx2 − 2αy 2
Les équations Mx = 0, My = 0 =⇒
x=
3α − 2β
,
2(2α2 − β 2 )
y=
2α − 1, 5β
.
2(2α2 − β 2 )
Le Hessien est constant :
H = 4(2α2 − β 2 ).
Lorsque H > 0, on a un maximum, car Mxx < 0 et Myy < 0. Si H < 0, on a un point
de selle. Si H = 0, on peut conclure que le problème n’a pas de solution.
390
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
√
En effet, premièrement, H = 0 =⇒ 2α2 − β 2 = 0 =⇒ 2α = β, car le cas ±β se réduit à
un seul choix étant donné que α et β sont positifs. Deuxièmement, les équations Mx = 0,
My = 0, s’écrivent
2αx + 2βy
=
1, 5,
βx + 2αy
=
1.
On obtient ensuite, après multiplication par α et β respectivement,
2α2 x + 2αβy
2
β x + 2αβy
=
1, 5α,
=
β.
Enfin,une soustraction nous amène au résultat
(2α2 − β 2 )x
=
1, 5α − β,
(0)x
=
1, 5α − β,
1, 5α
qui mène à la contradiction
√
= β,
√
2α = 1, 5α ou 2 = 1, 5.
On peut aussi voir que les expressions symboliques des solutions x et y ont un sens si
et seulement si le dénominateur 6= 0, ce qui équivaut à dire que 2α2 − β 2 6= 0 et que
H = 4(2α2 − β 2 ) 6= 0.
171. Valeurs constantes : fxx = −2, fyy = −2
f (x, x)
f (x, −x)
=
=
3x2 > 0,
−7x2 < 0,
pour x 6= 0,
pour x =
6 0.
Point de selle. Valeur du Hessien : −21
172. f n’admet pas de maximum (valeur numérique), car f −→ ∞ lorsque (x, y, z) se rapproche
de l’origine.
p
f n’admet pas de minimum en un point, car f −→ 0 lorsque la distance x2 + y 2 + z 2 , entre
le point (x, y, z) et l’origine, croît vers ∞.
Autre solution Les équations fx = 0, fy = 0 et fz = 0 n’ont pas de solution.
173.
a) L(x, y, z, λ, µ)
=
5x2 + 4y 2 + 6z 2
−λ(x + y + z − 100)
−µ(x + y − 3z).
100
125
, y=
, z = 25.
3
3
Test pratique avec x, y et z satisfaisant les deux contraintes :
Système de cinq équations ; la résolution donne x =
f (33, 42, 25)
=
16 251
> 16 250 = f
100 125
,
, 25 .
3
3
On semble avoir un minimum.
b) Quantité f comme fonction d’une variable :
f = 5x2 + 4(75 − x)2 + 6(25)2 .
Réponses aux exercices
Équation
391
df
100
= 0 =⇒ x =
;
dx
3
d2 f 100
= 18 > 0 =⇒ minimum.
dx2
3
174. Quels que soient x, y et z donnés, disons de somme s, on doit montrer que xyz ≤ (s/3)3 . De
là vient l’idée de minimiser xyz pour tous les x, y et z satisfaisant x + y + z = s. Ainsi, posons
f (x, y, z) = xyz et g(x, y, z) = x + y + z − s, où s > 0 est constant. On cherche le maximum
de f sous la contrainte g = 0. Par la méthode de Lagrange, il nous faut d’abord résoudre le
système d’équations suivant :
∇f (x, y, z)
g(x, y, z)
= λ∇g(x, y, z),
=
0.
Ce système se ramène au système suivant :
yz
=
λ,
xz
=
λ,
xy
=
λ,
x+y+z
=
s.
Il s’ensuit que x = y = z = 3s . On a ainsi montré que
s 3
f (x, y, z) = xyz ≤
,
3
ce qui veut dire que
√
3
xyz ≤
x+y+z
.
3
Le cas général s’obtient de manière analogue.
Figure 3.84
392
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
175.
L(x, y, λ)
= f (x, y) − λg(x, y)
= x + 2y − λ(xy − 5000)
x = 100, y = 50, f (100, 50) = 200, minimum (figure 3.84).
176. Choix à retenir : b)
177. b)
178. Première solution
dT
= 4(y 2 − x2 ) à partir d’une dérivée de fonction composée et en utilisant le fait
Obtenir
dt
dx
dy
que
= − sin t = −y et
= cos t = x.
dt
dt
dT
L’équation
= 0 =⇒ y = ±x.
dt
d2 T
= 16xy à partir des faits connus ci-dessus.
Obtenir
dt2
1
1
1
1
Points de minimum avec x = y, soit √ , √
et − √ , − √ .
2
2 2
2
1
1
1
1
Points de maximum avec x = −y, soit √ , − √
et − √ , √ .
2
2
2
2
Deuxième solution
dT
π 3π 5π 7π
dT
= 4(sin2 t − cos2 t). L’équation
= 0 =⇒ t = ,
,
,
.
Obtenir
dt
dt
4 4 4 4
2
d T
Obtenir
directement.
dt2
π
5π
Mimimum avec t = et t =
.
4
4
3π
7π
Maximum avec t =
et t =
.
4
4
Troisième solution
Contrainte : g(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
1
1
Résolution des trois équations : x = ± √ , y = ± √ , donnant quatre points.
2
2
Cette solution comporte l’inconvénient qu’on ne sait pas où se trouvent les maxima ou les
minima, étant donné que T (x, y) est inconnue. Pour tirer une conclusion, il faut revenir à la
variable t, comme dans la première ou dans la deuxième solution.
1 2
1
179.
a) f
,
= 37 + ,
9
9
81
1 2
1
f − ,
= 37 + ,
7 7
49
respectivement un minimum local et un maximum local, selon la carte topographique et
la surface.
b) Substitution (qui évite les fractions) : x = 1 − 4y. Mêmes résultats que ci-dessus. De
plus,
d2 f
(2/9)
dy 2
=
12 > 0
Réponses aux exercices
393
2
d f
(2/7)
dy 2
=
−12 < 0
180. Point critique de f :f (1, −1) = 2
Points critiques de f sur le cercle x2 + y 2 = 4 :
— Méthode de Lagrange, F (x, y, λ) = f + λ(x2 + y 2 − 4)
— Déduction : (x + y)(1 + 2λ) = 0
— Cas y = −x =⇒
√
√
√
f ( 2, − 2) = 2 2 − 1
√ √
√
f (− 2, 2) = −2 2 − 1
— Cas λ = −
=
1, 828
= −3, 828 (minimum absolu)
1
=⇒
2
1 1√
1 1√
7, − +
7
=
+
2 2
2 2
1 1√
1 1√
f
−
7, − −
7
=
2 2
2 2
f


3, 5 


(maximum absolu)


3, 5 

Points critiques de f sur le cercle x2 + y 2 = 1/4 :
1
2
2
— Méthode de Lagrange, L(x, y, µ) = f − µ x + y −
4
— Déduction : (x + y)(1 − 2µ) = 0
— Cas y = −x =⇒
√
f
f
√ !
√
2
2
7
2
,−
= +
4
4
8
2
√ √ !
√
2
2
7
2
−
,
= −
4
4
8
2
=
1, 582
=
0, 168
1
: solutions x et y n’existent pas.
2
Z 1
2
181. Soit f (a, b) =
(g(x) − ax − b) dx. On veut minimiser la fonction f . Pour ce faire, il faut
— Cas µ =
0
d’abord trouver ses points critiques. Or, ∇f (a, b) = (0, 0) implique que
Z 1
fa (a, b) = −2
(g(x) − ax − b)x dx = 0,
0
Z 1
fb (a, b)
= −2
(g(x) − ax − b) dx = 0.
0
Si l’on pose c =
Z 1
0
g(x) dx et d =
Z 1
0
xg(x) dx, la solution du système d’équations ci-dessus
394
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
donne
a = 12d − 6c,
b = 4c − 6d.
182. On pose f (x1 , · · · , xn ) = x1 + · · · + xn et g(x1 , · · · , xn ) = x21 + · · · + x2n − 1 = 0. Par la
méthode de Lagrange, il nous faut d’abord résoudre le système d’équations :
∇f (x1 , · · · , xn )
g(x1 , · · · , xn )
= λ∇g(x1 , · · · , xn ),
=
0.
1
=
Ce système se ramène au système suivant :
2λx1
1 = 2λx2
..
.
. = ..
1
=
2λxn
x21 + · · · + x2n
=
1.
On obtient alors x1 = x2 = · · · = xn =
1
, d’où
2λ
n
X
1
i=1
4λ2
= 1.
√
Il √
découle de cela que n/(4λ2 ) = 1 et√donc que λ = n/2. C’est pourquoi x1 = · · · = xn =
1/ n. La somme maximale est donc n.
√
√
√
Si n = 2, x + y = 2 est√la droite tangente au cercle x2 + y 2 = 1 au point (1/ 2, 1/ 2).
Si n
y + z = 3 est le plan tangent à la sphère x2 + y 2 + z 2 = 1 au point
√ = 3,√ x + √
(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3).
183. Ce sont des dérivées partielles vues géométriquement.
z2
11
x2
+
=
. C’est une courbe dans
a) Équation de la courbe de section, avec y = 1 :
24
6
12
le plan xOz! qui est la projection dans le plan xOz de la courbe de section. Pente :
√
√
∂z
6
6
4,
=−
, calculée soit en résolvant d’abord pour z en fonction de x, soit en
∂x
2
3
considérant z comme fonction implicite de x.
b) Démarche équivalente :
∂z
3√
(2, 3) = −
2
∂y
2
184. On pose F (x, y) = y 7 − 11y 6 x5 − x15 + 11 = 0 et on utilise le théorème des fonctions
implicites. On a Fy (1, 1) = 7y 6 − 66y 5 x5
(1,1)
= 7 − 66 = −59 6= 0. Il existe donc une fonction
y = f (x) qui coïncide avec la courbe F (x, y) = 0 au voisinage du point (1, 1). De plus,
f 0 (1) = −Fx (1, 1)/Fy (1, 1) = −70/59.
185. On pose F (x, y) = x2 + xy + y 2 + x + y − 1 = 0 et on utilise le théorème des fonctions
implicites. On a Fy (−1, 1) = x + 2y + 1
(−1,1)
= 2 6= 0. Il existe donc une fonction y = f (x)
Réponses aux exercices
395
qui coïncide avec la courbe F (x, y) = 0 au voisinage du point (−1, 1). De plus,
f 0 (1) = −Fx (−1, 1)/Fy (−1, 1) = −
2x + y + 1
= 0.
x + 2y + 1 (−1,1)
D’où le résultat.
186. Non. Cela découle du fait que Fy (1, −1) = x2 + 2y + 1
= 0.
(1,−1)
2
187. b) F est différentiable et Fy (−1, −1) = 1 6= 0, où F (x, y) = ex+y + y 3 .
dy
c)
= −1
dx
dy
fy (1, 1)
3
(1, 1) = −
=−
188. Pente :
dx
fx (1, 1)
4
3
7
Droite : y = − x + b, avec b =
4
4
189.
a) L’équation donnée est le niveau 20 de la fonction
1
(z 2 + 1) + xyz,
f = f (x, y, z) = xy +
z
ce qui impose une dépendance entre x, y, z (afin que l’équation f = 20 soit satisfaite).
b) On dérive chaque membre de l’équation donnée, par rapport à x, en tenant compte du
fait que y est maintenue constante et que z est fonction de x (et y). On isole ensuite
∂z
1
∂z/∂x, d’où
(P ) = − .
∂x
2
c)
∂z
fy
1
=− =−
∂y
fz
3
190. c)
191.
a) Par symétrie, le maximum et le minimum ont lieu aux extrémités du diamètresitué surla
1
1
droite y = x qui est orthogonale aux courbes de niveau de f . Maximum en √ , √ ,
2
2
1
1
minimum en − √ , − √ .
2
2
b) On cherche les valeurs extrémales de f = x + y aux points (x, y) du cercle x2 + y 2 = 1,
équation qui représente notre contrainte. La carte topographique de f est constituée de
droites parallèles. La quantité f admet deux expressions en une variable :
p
f = x ± 1 − x2 .
√
√
Dans le premier
cas, df /dx
√
√ = 0 √=⇒ x = 1/ 2. Maximum. Valeur de y : y = 1/ 2,
et non −1/ 2, car f (1/ 2, −1/ 2) = 0 n’est ni une valeur maximale ni une valeur
minimale de f .
√
√
Dans l’autre
√ cas, on obtient x = −1/ 2. Minimum. Valeur correspondante : y = −1/ 2,
et non 1/ 2.
c) L(x, y, λ) = x + y − λ(x2 + y 2 − 1). Les deux premières équations du système de Lagrange
396
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
donnent l’information qualitative x = y. Ensuite,
1
x=y= √ ,
2
1
et aussi x = y = − √ .
2
d) Avec le schéma de dépendance
x
&
%
f
%
x
{z
|
y
sur le cercle
on aura
df
dx
−→
=
}
∂f
dx ∂f
dy
(x, y) ·
+
(x, y) ·
∂x
dx ∂y
dx
dy
.
dx
Comme y est définie implicitement en fonction de x par l’équation
=
(1)(1) + (1)
x2 + y 2
=
1,
c’est-à-dire F (x, y)
=
1,
où F (x, y) désigne la fonction F (x, y) = x2 + y 2 , on a
dy
Fx
x
2x
=−
=− .
=−
dx
Fy
2y
y
Alors,
df
x
=1+ −
.
dx
y
L’équation
df
= 0 se lit donc
dx
x
= 0,
1+ −
y
d’où x = y. Le ou les points correspondant à ces valeurs sont sur le cercle x2 + y 2 = 1,
1
1
d’où x = y = √ et x = y = − √ .
2
2
192. Choix à retenir : c)
193. c)
194. b)
195. b)
196. f)
197.
a) Il suffit de vérifier qu’on a bien F (x(t), y(t)) = F (sin t, sin (2t)) = 0.
Réponses aux exercices
397
b) On a Fy = 2y. C’est pourquoi Fy 6= 0 ⇐⇒ y 6= 0. Ainsi, tous les points P0 = (x0 , y0 )
tels que y0 6= 0 ont la propriété souhaitée.
c) On a y = 0 si et seulement si x2 (x2 − 1) = 0, ce qui se produit seulement lorsque x = 0,
x = −1 ou x = 1. Les trois points cherchés sont P1 = (0, 0), P2 = (−1, 0) et P3 = (1, 0).
d) En observant le tracé de la courbe F (x, y) = 0 (figure 3.52), il apparaît clairement que
les trois points en question ne peuvent satisfaire la propriété mentionnée en b).
3
198. F = F (V, S, E) = R ln E + R ln V − S, dont le niveau 0 est l’équation (1).
2
∂E
FV (A)
a)
(A) = −
= −1,
∂V
FE (A)
∂E
20
(A) =
.
∂S
R
Deuxième solution : on peut appliquer les opérations de dérivation sur l’équation donnée.
b) On a une fonction composée :
V
%
&
&
%
t
E
S
d’où
dE
(t1 ) = (−1)(−0, 5) +
dt
199.
20
R
R
2
= 10, 5.
a) Les variables P , T et V sont liées par l’équation à satisfaire. On peut en choisir deux
comme variables indépendantes, la troisième devenant la variable dépendante, que l’équation définit comme fonction implicite. Les détails sont donnés à l’exemple 70.
b) V est fonction implicite de P et de T définie par l’équation donnée ou par l’équation
(50) (exemple 70), qu’on considère ici comme le niveau 0 de la fonction
12, 87
F = F (P, T, V ) = P +
(V − 0, 1142) − 0, 08205 T.
V2
Le premier taux demandé est
FP
(1)(V − 0, 1142)
∂V
=−
= − 2(12,87)
,
∂P
FV
−
(V − 0, 1142) + (P + 12,87
3
2 )(1)
V
V
tandis que l’autre taux est
FT
−0, 08205
∂V
=−
= − 2(12,87)
.
∂T
FV
−
(V − 0, 1142) + (P + 12,87
3
2 )(1)
V
V
200. a)
201. Dans les conditions numériques données, les dérivées de V , comme fonction implicite de P et
∂V
∂V
de T , sont
= −6, 16 litres par atmosphère,
= 0, 043 litres par degré Kelvin. Alors,
∂P
∂T
398
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
dV
(t0 )
dt
=
(−6, 16)(0, 1) + (0, 043)(−2)
= −0, 702
unité de V par unité de temps (ou litres/min).
Voici le schéma :
P
%
&
&
%
t
V
T
|
{z
}
V fonction implicite
202. fy = q =⇒ f (x, y) = −
x
+ h(x)
y
Avec cette forme provisoire de f , on a fx = −
h0 (x) =
1
+ h0 (x), à rapprocher de fx = p. Alors,
y
1
=⇒ h(x) = ln |x|.
x
203. Les réponses sont successivement : non, non, oui. La solution générale est la famille
c ; son équation différentielle est x2 +
lorsqu’on multiplie par x2 y 2 .
x3
1
−
=
3 xy
1
1
+ 2 y 0 = 0, qui revient à celle qui est donnée
x2 y
xy
204. (2x + y)y = 1 6= y = (xy)x
On cherche une forme provisoire de f (x, y) à partir de la condition fx = 2x + y, d’où
f (x, y) = x2 + xy + g(y). Alors, fy = x + g 0 (y) et, en comparant avec fy = xy, on obtient une
contradiction : g 0 (y) serait à la fois xy − x et fonction de y seulement.
2x
205.
a) py = − 2 = qx
y
La famille f (x, y) = c est
x2
1
+y− =c
y
y
c 2
c 2
ou x2 + y −
=1+
, identique à (∗).
2
2
2y
b) py = − 2 = qx
x
En cherchant la famille F (x, y) = C, on trouve x+
ce qui correspond à (∗∗).
y2 1
+ = C ou x2 + y 2 − C x + 1 = 0,
x x
df (x)
dg(y)
et [g(y)]x =
.
dy
dx
R
b) [p(x)y − q(x)]y = p(x) 6= 0 = (1)x . Facteur intégrant
: e p(x)dx . L’équation différentielle
R
0
p(x)dx
devient P (x, y) + Q(x, y)y = 0 avec Py = e
p(x) = Qx .
207. d)
208. d)
206.
a) [−f (x)]y = 0 = [g(y)]x , où [−f (x)]y =
Index
A
accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
accroissements finis, théorème des - . . . . . . . . . 313
aire (formules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
algorithme
de résolution d’équations différentielles . 136
amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 123, 125, 180
application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Archimède
poussée d’ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
principe d’ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 61
arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
arg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
axe
imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B
binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
bissectrice, première - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C
capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87, 124
caractéristique, équation - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
carbone-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
cartésienne, forme - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
carte topographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
cercle(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300, 303
unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
champ
électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147, 296
changements de variables . . . . . . . . . . . . 73, 90, 136
charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
chute
de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
des corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 86, 119
coefficient(s)
d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
coefficients
binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
constants . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 130, 132, 137
indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 136
commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
complexes, nombres - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
conditions
aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301, 308
conjugué complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
conservation, loi de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
constante
de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
de rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
contrainte(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
deux - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
substitution à l’aide de la - . . . . . . . . . . . . 235
coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12
cos (nθ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Coulomb, loi de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 86
courbes
de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
famille de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66, 243
intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
400
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
critique, point - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222, 224
cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 301
elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
D
datation au carbone-14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
formule de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 44
demi-vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
dépendance, schéma de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
dépendantes, linéairement - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 189, 206
dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
désintégration radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
deuxième
loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
solution, obtention d’une - . . . . . . . . . . . . . 101
développement en série de MacLaurin . . . . . . . 314
diagramme d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
différentielle
exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
directeur, coefficient - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
disque unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
distance(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 16, 302
distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
fermé, extremums sur un - . . . . . . . . . . . . . 230
droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E
éliminer un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
ellipsoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
ensemble des valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
entiers
Z ........................................ 1
positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
équation
az 2 + bz + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 21
caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 119
quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 21
équation(s) différentielle(s) . . . . . . . . . . . . . . . 47, 48
d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . 67
exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
linéaire homogène associée . . . . . . . . . . . . . . 79
linéaire(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 95, 128, 136
linéaires à coefficients constants . . . . 95, 106
séparable(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 136
erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 27
Euler-Cauchy, équation différentielle d’ - . . . . 134
exacte(s)
différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
équations différentielles - . . . . . . . . . . . . . . . 243
exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
existence et d’unicité, théorème d’ - . . . . . 95, 129
exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
exponentielle(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24
forme - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
extraction de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
liés avec deux contraintes . . . . . . . . . . . . . . 236
libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
sur un domaine fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
F
facteur(s)
intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . 31, 34
famille
de courbes, équation différentielle d’une - 66
de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
fonction(s)
composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
composées (schéma de dépendance) . . . . 200
de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
famille de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Index
implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
implicites, théorème des - . . . . . . . . . . . . . . 239
trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
force(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
de rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
forme
analytique, cartésienne ou rectangulaire . 12
cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
polaire ou trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . 12
formule de de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
foyers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
fractions partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
fréquence naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
G
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
générale, solution - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
géométrique
lieu - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
série - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207, 210, 213
graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . 310
gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
gravitationnelle, constante - . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
H
harmonique(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
oscillation - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 123
Hessien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 225
homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 101, 106, 130
équation différentielle du premier ordre - 78
équation différentielle linéaire - . . . . . . 78, 95
Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
hydrostatique, poussée - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 61
hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
hyperboloïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
I
i (nombre complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 26, 310
Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5
pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
unité - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
401
implicite
fonction - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237, 239
forme - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 129
indépendantes, linéairement - . . . . . . . 96, 135, 137
indéterminés, coefficients - . . . . . . . . 110, 111, 136
inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
induction, loi d’ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
inégalité
de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 299, 311
intégrales
définies ou impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
table d’ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
intégrant, facteur - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
intensité du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
inversement proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
irréductibles, facteurs - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
K
Kirchhoff, loi de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
L
L’Hospital, règle de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Lagrange, méthode de - . . . . . . . . . . . . 80, 103, 233
lieu géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
limites, conditions aux - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
linéaire
équation différentielle du premier ordre - 78
linéairement
dépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 135, 137
logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
loi
d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
longueur d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
M
MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 221
absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
402
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
mélange, problèmes de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
méthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 80, 103, 233
minimal, degré - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 12
moindres carrés, droite des - . . . . . . . . . . . . . . . . 228
mouvement
équation du - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 119
quantité de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . .232
multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 131
N
N .............................................1
nature des points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Newton
binôme de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
deuxième loi de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
niveau
courbes de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
surfaces de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 188
nombres
complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 110, 132
équation différentielle linéaire - . . . . . . 78, 95
équation différentielle linéaire du premier
ordre - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
notations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
O
obtention d’une deuxième solution . . . . . . . . . . 101
Ohm, loi d’ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
ordre d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . 48
orthogonales
courbes - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
trajectoires - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
orthogonalité du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 118
P
parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
paraboloïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . 66
particulière
solution - 49, 79, 97, 103, 105, 110, 112, 129
partie
imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Pascal, triangle de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
pente de la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
périodiques
fonctions - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
systèmes - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
permanent, régime - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90, 124
perpendiculaires, courbes - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
point
critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222, 224
de selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221, 222, 224
polaires, coordonnées - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 12
polulation, croissance d’une - . . . . . . . . . . . . . 52, 53
polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33
potentiel
chute de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
différence de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
poussée
d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 61
primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
principe
d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 61
de superposition . . . . . . 79, 97, 117, 126, 129
problèmes de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
produit
scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
projection du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
constante de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
proportionnelle(s)
inversement - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
variables - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Index
403
variables - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
propriétés du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
série
Q
Q .............................................1
quadratique(s)
équation - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 21
facteurs - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
R
R .............................................2
R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
règle(s)
de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
racine(s)
n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 21
d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–33
de l’équation az 2 + bz + c = 0 . . . . . . . . 4, 21
de multiplicité k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
extraction de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
radioactive, désintégration - . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
rappel
constante de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
force de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
réduction au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 90, 158
réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
représentation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
chute libre avec - . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 60, 61
chute libre sans - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
résolution d’équations différentielles
algorithme de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 125
ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
résultante des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Rolle, théorème de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314
géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
sin (nθ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
singulière, solution - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
solution
de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 49
générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 79
singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301, 306
substitution à l’aide de la contrainte . . . . . . . . 235
superposition, principe de - 79, 97, 117, 126, 129
surface de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 188
T
table d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
taux
moyen de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Taylor
polynôme de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
théorème de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
test d’exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
théorème
d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . 95, 129
de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 313
des fonctions implicites . . . . . . . . . . . .239, 240
fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
topographique, carte - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
trajectoires orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
U
unicité de la représentation . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 38
unité
cercle - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
disque - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
S
V
scalaire, produit - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
schéma de dépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Schwarz, théorème de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
selle, point de - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221, 222, 224
séparables
équations - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 136
valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
variables
proportionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . 80, 136
vecteur(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
404
Les mathématiques appliquées aux domaines du génie
unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208, 211
vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
voltage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
volume (formules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
W
Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 129
Z
Z ............................................. 1
zéro(s)
d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313