Universidade Federal do Paraná
Setor de Tecnologia
Departamento de Hidráulica e Saneamento
TH019 – Mecânica dos Fluidos I
Turma B – Terças e Quintas: 13:30h – 15:30h - Sala: PH18
3º Semestre do
Curso de Engenharia Civil
Aula 12 – Equação da Continuidade – Formulação Diferencial
Prof. Bruno Victor Veiga
e-mail: bvveiga@ufpr.br
TH019 – Mecânica dos Fluidos I
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O que é uma derivada parcial?
Conceito de Derivada Parcial
z
f (x,y,z,t)
x
y
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Equação da Continuidade
• Considerando um elemento infinitesimal
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Aplicando o princípio de conservação massa
Considerando as variações de 𝑣 (velocidade) e  (massa específica) em x
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TH-019 Mecânica dos Fluidos I
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Aplicando o princípio de conservação massa
• Considerando o fluxo de massa pela face do elemento (𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧) em um
intervalo de tempo (𝑑𝑡). Variação é dada, apenas nessa direção:
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑥 −
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑥
2
𝜕𝑥
2
Aplicando-se esse princípio às três direções e somando os efeitos:
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
𝜌 ∙ 𝑣𝑥 +
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑥 −
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑥
2
𝜕𝑥
2
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝑑𝑦
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝑑𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑣𝑦 +
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑦 −
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑦
2
𝜕𝑦
2
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧 𝑑𝑧
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧 𝑑𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑣𝑧 +
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑧 −
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑧
2
𝜕𝑧
2
𝜌 ∙ 𝑣𝑥 +
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Aplicando o princípio de conservação massa
• Como resultado da consideração nas três direções:
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝑑𝑥
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑥 +
∙
𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑥
2
𝜕𝑥
2
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝑑𝑦
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝑑𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑣𝑦 −
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑦 +
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑦
2
𝜕𝑦
2
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧 𝑑𝑧
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧 𝑑𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑣𝑧 −
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑡 − 𝜌 ∙ 𝑣𝑧 +
∙
𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑧
2
𝜕𝑧
2
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧
= −𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜌 ∙ 𝑣𝑥 −
(III-8)
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Conservação da matéria no interior do elemento
Havendo a manutenção da massa em um dado intervalo de tempo 𝑑𝑡
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜌+
∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 − 𝜌 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 =
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(III-9)
Igualando-se as equações III-8 e III-9 tem-se a forma mais geral da equação da
continuidade:
𝜕𝜌
𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑥 𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝜕𝜌 ∙ 𝑣𝑧
∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑡
+
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Ou por unidade de volume e de tempo:
𝜕𝜌
=−
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 ∙ 𝑣𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 ∙ 𝑣𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 ∙ 𝑣𝑧
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(III-10)
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Simplificando para movimentos permanentes
Escoamentos que não variam ao longo do tempo:
𝜕𝜌
=0
𝜕𝑡
Tem-se a forma geral da equação da continuidade para escoamentos
permanentes:
𝜕
𝜕𝑥
𝜌 ∙ 𝑣𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌 ∙ 𝑣𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌 ∙ 𝑣𝑧 = 0
(III-11)
Para fluidos incompressíveis (𝜌=constante), tem-se a expressão:
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣
+
+ 𝑧=0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
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(III-12)
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Exercício 7 – Cap.III
Um tubo abaixo esquematizado (seções transversais circulares), a vazão
cresce linearmente com o tempo, como indicado na figura à direita. O
escoamento é de um fluido incompressível.
a. Classificar o regime de escoamento que ocorre no trecho AB;
b. Determinar a velocidade média na seção S para o instante t=2 min;
c. Determinar o instante em que a velocidade média na seção S é de 1,55
m/s.
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Exercício 8 – Cap.III
Considerando o escoamento abaixo:
a. Determinar a velocidade média onde o movimento é permanente
uniforme;
b. Sabendo-se que para o instante t=0 a velocidade média é 6 m/s no trecho
onde o movimento não é permanente uniforme, determinar a velocidade
média para o instante t=50 s;
c. Identificar o ponto de maior velocidade no trecho onde o movimento é
permanente variado;
d. Identificar os trechos onde o escoamento é não permanente variado.
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Exercício 9 – Cap. III
O perfil de velocidades do escoamento em um canal segue aproximadamente
a equação 𝑣 = 1,2 ∙ 𝑛0,188 . O canal tem 100 m de largura e o escoamento
com 5 m de profundidade, pode ser considerado bidimensional.
a. Determinar o ponto do perfil em que a velocidade local coincide com a
velocidade média do escoamento;
b. Determinar a vazão pelo método gráfico.
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Exercício 13 – Cap. III
Determinar a velocidade média para o perfil a seguir.
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Exercício Extra
Uma tubulação transporta 200 kg/s de água. Essa tubulação
entra num “T” com canos de 5 cm e 7 cm de diâmetro. Se a
velocidade média no cano menor é de 25 m/s, calcular a vazão
no tubo de diâmetro maior.
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