Guı́a de ejercicios - Semana #2
MAT024: Matemática IV
Profesor: Clemente Ferrer.
Orden de integración
1) (Control 1 2024-1) Sea D = [0, 1] × [0, 1], y considere la función f : D → R, definida por
(p
3
y 2 cos (y 2 ) , si y ≥ x3
f (x, y) =
4
ex ,
si y < x3
Justifique la integrabilidad de f en D y calcule
ZZ
f (x, y)dA.
D
2) (Control 1 2024-2) Sea D = [0, 1] × [0, 1]. Considere la función f : D → R definida por

 tan x , si (x, y) ∈ D tal que y < x
f (x, y) =
x
1,
si (x, y) ∈ D tal que y ≥ x
Justifique la integrabilidad de f en D y calcule
ZZ
f (x, y)dA.
D
3) (Control 1 2023-2) Considere la función f : [0, +∞[×[0, +∞[→ R, definida por

3

si x < y 2

sin (πy ) ,
si x = y 2
f (x, y) = 1, 

cos π x3/2 , si x > y 2
2
Justifique la integrabilidad de f en J = [0, 1]× [0, 1] y calcule
ZZ
f (x, y)dA.
J
4) (Control 1 2021-1) Calcule la siguiente integral doble
Z 1Z 1
x3 sin y 3 dydx
0
x2
1
5) (Control 1 2021-1) Calcule la siguiente integral doble
Z 2 Z −x3
3
x5 ey dydx
−8
0
6) (Control 1 2021-1) Sea D la región delimitada por las curvas y = 2x, y = 0 y x = 2, determine
el valor de
ZZ
mı́n{x, y}dxdy
D
Cálculo de volumenes con integrales dobles
7) (Control 1 2021-1) Sea la función f : D → R2 dada por f (x, y) = 8xy, donde D es la región
en el primer cuadrante acotada por las curvas y = x2 , y = x2 + 1, y = 1 − x2 e y = 4 − x2 .
Determine el volumen del solido acotado por la gráfica de f y la región D.
8) (Control 1 2021-1) Sea 0 < a < 6, considere el sólido S limitado por las superficies
√
√
y = x, y = 2 x, x + z = 6, z = a.
√
16 2
Halle el valor del parámetro a para que el volumen de S sea
.
15
9) (Control 1 2017-2) Sea V el sólido limitado superiormente por la superficie z = x + y,
inferiormente por la superficie z = xy, y lateralmente por los planos x + y = 1, x = 0, y = 0.
Use integración doble para calcular el volumen del sólido V .
10 (Control 1 2019-1) Sea m una constante positiva tal que 12 < m < 32 . Demuestre que el
volumen limitado por la superficie z = cos(mx − y) y el plano z = 0 en la región [0, π] × [0, π]
no depende de m.
2