Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Matemáticas III (MAT 023), 2-2025
Ayudantı́a 1 – Transformaciones lineales
Problema 1. Sea T : R3 → R3 una transformación lineal tal que
T (0, 0, −1) = (2, −5, −3).
T (v) = 3v para todo v ∈ S := {(x, y, z) ∈ R3 : x + z = 0}.
a) Encontrar la matriz [T ]CC , donde C es la base canónica de R3 .
b) Encontrar una base para T −1 (L), siendo L la recta intersección de los planos de ecuaciones
2x + 4y + 3z = 0 y x + 2y + z = 0 respectivamente.
Solución:
a) Para encontrar [T ]CC , debemos conocer [T (1, 0, 0)]C , [T (0, 1, 0)]C y [T (0, 0, 1)]C . Veamos,
como el plano S tiene base {(1, 0, −1), (0, 1, 0)}, se tiene que T (1, 0, −1) = 3(1, 0, −1)
y T (0, 1, 0) = 3(0, 1, 0). Ahora, como (1, 0, 0) = (1, 0, −1) − (0, 0, −1) y (0, 0, 1) =
−(0, 0, −1), se tiene que
T (1, 0, 0) = T (1, 0, −1) − T (0, 0, −1) = 3(1, 0, −1) − (2, −5, −3) = (1, 5, 0),
T (0, 1, 0) = (0, 3, 0)
y
T (0, 0, 1) = −T (0, 0, −1) = (−2, 5, 3).
Ası́, la matriz está dada por
1 0 −2
[T ]CC = 5 3 5 .
0 0 3
b) Notemos que, como la matriz asociada a T es invertible, T lo es como función. Para
encontrar la intersección de los planos, resolvemos el sistema matricialmente
1 2 1
1 2 1
∼
=⇒ z = 0, x = −2y
2 4 3
0 0 1
Por lo tanto, la recta intersección es la recta L = ⟨{(−2, 1, 0)}⟩. Finalmente, como T es
invertible, T −1 (L) = ⟨{T −1 (−2, 1, 0)}⟩. Podemos encontrar tal preimagen mediante
[T −1 ]CC · [(−2, 1, 0)]C = [T −1 (−2, 1, 0)]C ∧ [T −1 ]CC = ([T ]CC )−1
Para calcular ([T ]CC )−1 hacemos:
1 0 −2 | 1 0 0
1 0 −2 | 1 0 0
1 0 −2 |
1
0
0
1
5 3 5 | 0 1 0 ∼ 0 3 15 | −5 1 0 ∼ 0 1 5 | −5/3 1/3 0 ∼ 0
0 0 3 | 0 0 1
0 0 3 | 0 0 1
0 0 1 |
0
0 1/3
0
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Ası́,
1
0
2/3
−2
−2
[T −1 (−2, 1, 0)]C = −5/3 1/3 −5/3 1 = 11/3 ,
0
0
1/3
0
0
y por lo tanto, T −1 (L) = {(−2, 11/3, 0)} .
Problema 2. Considere los planos:
H1 = (x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 0
y
H2 = (x, y, z) ∈ R3 : x − 2y + 2z = 0 .
Construir una transformación lineal T : R3 → R3 que verifique simultáneamente las condiciones
siguientes:
i) T (H1 ) = H2 .
ii) T (v) = v, para todo v ∈ H, donde H es un plano que pasa por el origen. [Sugerencia:
Para el plano H = ⟨{v1 , v2 }⟩, considere v1 tal que ⟨{v1 }⟩ = H1 ∩ H2 .]
Solución:
Para construir una transformación lineal, definimos una base de R3 adecuada, definimos las
imágenes de los vectores de tal base de acuerdo a las condiciones del problema y usamos el
teorema de existencia y unicidad (la parte de existencia) para definir tal transformación. En
efecto, notemos que
H1 = ⟨{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}⟩ y H2 = ⟨{(2, 1, 0), (−2, 0, 1)}⟩.
Definiendo T (1, 0, 1) = (2, 1, 0) y T (0, 1, 1) = (−2, 0, 1) se tendrı́a que T (H1 ) = H2 , pero se
cambiará la segunda imagen para satisfacer la segunda condición. Para satisfacer tal segunda
condición, necesitamos H = ⟨{v1 , v2 }⟩ tal que T (v1 ) = v1 y T (v2 ) = v2 . Siguiendo la sugerencia,
consideramos H1 ∩ H2 = ⟨{v1 }⟩ donde v1 es cualquier vector distinto de cero en la intersección,
por ejemplo (0, 1, 1) ∈ H1 y (0, 1, 1) = (2, 1, 0) + (−2, 0, 1) ∈ H2 (se puede hacer el cálculo resolviendo el sistema de ecuaciones que define los planos como en el problema 1). Ası́, consideramos
la base de R3 , B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 0)} y definimos
T (1, 0, 1) = (2, 1, 0), T (0, 1, 1) = (0, 1, 1) y T (0, 1, 0) = (0, 1, 0).
Como H2 = ⟨{(2, 1, 0), (−2, 0, 1)}⟩ = ⟨{(2, 1, 0), (0, 1, 1)}⟩, una transformación lineal que satisfaga las condiciones arriba cumple i) y ii). Para construir la transformación lineal explı́citamente,
necesitamos las coordenadas de un vector (x, y, z) con respecto a la base B, es decir, [(x, y, z)]B .
Veamos,
(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + γ(0, 1, 0) ⇐⇒ α = x, β = z − x, γ = y + x − z.
Con todo lo anterior, definimos
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T (x, y, z) = T (x(1, 0, 1) + (z − x)(0, 1, 1) + (y + x − z)(0, 1, 0))
= xT (1, 0, 1) + (z − x)T (0, 1, 1) + (y + x − z)T (0, 1, 0)
= x(2, 1, 0) + (z − x)(0, 1, 1) + (y + x − z)(0, 1, 0)
= (2x, x + y, z − x).
Problema 3. Sean B = (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1) base de R3 , C = {x , x + 1 , x2 + 1}
base de R2 [x] y T : R3 → R2 [x] transformación lineal tal que:
1 −1
0
2
0
1 .
[T ]C
B =
1 −3 −1
Considerar S : R2 [x] → R2 tal que S p(x) = p(1) , p′ (1) .
a) Encuentre una base del núcleo de S ◦ T .
b) Encuentre una base de la imagen de S ◦ T .
Solución:
(a) Necesitamos una base D de R2 para tener una expresión matricial de S ◦ T . Considerar
D = {(1, 0) , (0, 1)} la base canónica de R2 .
Nota: Cualquier base de R2 sirve, pero podrı́a dificultar los calculos.
Luego
S(x) = (1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1)
S(x + 1) = (2, 1) = 2(1, 0) + 1(0, 1)
S x2 + 1 = (2, 2) = 2(1, 0) + 2(0, 1)
Por lo tanto
[S]D
C
=
1 2 2
1 1 2
.
Entonces
C
D
[S ◦ T ]D
B = [S]C · [T ]B =
1 2 2
1 1 2
1 −1
0
7
−7
0
2
0
1 =
.
5 −7 −1
1 −3 −1
Para
determinar el nucleo tomar (x, y, z) ∈ Ker(S ◦ T ) y suponer que [(x, y, z)]B =
α
β
γ
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7 −7 0
5 −7 −1
α
β = 0
0
γ
⇔
7α − 7β = 0
5α − 7β − γ = 0
⇔
β = α
γ = −2α
Asi (x, y, z) ∈ Ker (S ◦ T ) si y solo si
(x, y, z) = α(1, 1, 0) + α(1, 0, 1) − 2α(0, 1, 1) = α(2, −1, −1)
Por lo tanto : Ker(S ◦ T ) = ⟨ (2, −1, −1) ⟩ .
(b) Versión rápida, usando el Teorema de las dimensiones.
Se sabe que dim(Ker(T )) = 1 , luego la dim(Im(T )) = 2 . Por otra parte Im(T ) ≤ R2
y por lo tanto Im(T ) = R2 (el único subespacio de R2 de dimensión 2 es el mismo R2 .
Para contestar la pregunta, cualquier base de R2 sirve.
Versión más larga, usando la matriz.
Para calcular la imagen de S ◦ T hacer:
Im(S ◦ T ) = ⟨S ◦ T (1, 1, 0) ; S ◦ T (1, 0, 1) ; S ◦ T (0, 1, 1)⟩ .
Ademas se sabe por Teorema de las dimensiones que dim(Im(S ◦ T )) = 2 . Usando la
matriz de S ◦ T se tiene
S ◦ T (1, 1, 0) = 7(1, 0) + 5(0, 1) = (7, 5)
S ◦ T (1, 0, 1) = −7(1, 0) − 7(0, 1) = (−7, −7)
S ◦ T (0, 1, 1) = 0(1, 0) − 1(0, 1) = (0, −1)
Por lo tanto
Im(S ◦ T ) = ⟨ (7, 5) ; (−7, −7) ; (0, −1) ⟩ = ⟨ (−7, −7) ; (0, −1) ⟩
Ademas {(−7, −7) , (0, −1)} son linealmente independientes y por tanto una base de la
Im(S ◦ T ).
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