종관기상학 정리
강릉원주대학교 대기환경과학과 배윤환
1. 기호와 단위
대기과학에서 단위는 국제 단위계(SI)를 사용한다.
평면각을 표현함에 있어서 로 표현하며 의 단위는 생략이 가능1)하다.
위도는 ∅ 로 표현하며 경도는 로 표현한다.
흔히 우리가 좌표계에서 속도를 정의할 때 ( )로 정의하는데 이때
는 직각좌표계에서 정의하고 는 기압좌표계에서 정의하며 연직 아랫방향이 양의 방향임
● 차원의 균일성: 방정식 내 모든 항들은 동일한 차원을 가진다는 의미
=> 즉, 방정식 내의 모든 항들은 동일한 단위(=차원)을 가져야 한다는 것이다.
ex) 운동방정식 좌변이 가속도 차원이므로 우변 또한 가속도 항들로 이루어짐
2. 편미분과 전미분
쉽게 말하면 편미분은 라면 () 안을 만 미분하며 나머지 변화는 고려 하지 않음
전미분은 로 표현2)하며 () 안의 전체 독립변수의 모든 변화를 고려한 미분이다.
그래서 전미분이 좀 더 큰 개념이고 편미분이 작은 개념이라 봐도 무방함
이때, 편미분과 전미분의 관계가 있다.
예를 들어 어떤 온도변화( )를 알고 싶은데
온도는 를 다 고려해야하므로 각 독립변수를 편미분 해주고 그 독립변수의 변화율을
곱해주면 된다.
즉, 를 에 대해서 편미분하면 로 표현3)하고 이동거리가 있기 때문에 간 거리인 를
곱해주면 된다.
이것을 다른 변수들에 대해서도 똑같이 나타내면
로 표현
로 나눠준 후 극한을 보내면
∙ ∇
: 말고도 같은 것도 해도 된다.
이 식을 기억해야한다.
기상학에서 기술하고자 하는 방정식은 유체 즉, ‘작은 공기덩어리’다.
1) 각도는 근본적으로 차원이 없기 때문에
2) 로도 많이 표현한다.
3) 각 고정된 지점에서의 변화율( )을 거리( )만큼 곱하면 연속적인 흐름이 된다.
- 1 -
이 유체는 임의로 모양을 설정할 수 있기 때문에 가장 이해하기 쉬운 정사각형 모양의 유체
덩어리로 설정한다.
이 유체 모양은 굉장히 작기 때문에 미소 제어체적이라고 한다.
방정식을 기술하는 관점은 오일러 관점과 라그랑지안 관점으로 나뉜다.
오일러 관점은 좌표계에 대해서 ‘고정된 정사각형 박스’를 생각 !(AWS)
라그랑지안 관점은 정사각형 박스가 이동한다고 생각하면 된다.(라디오존데)4)
=> 안 외워져서,, ‘오’일러는 ‘고’정, 라그랑지안은 ‘라’디오존데!
따라서, 오일러는 좌표를 고정해 놓았기 때문에 편미분으로 표현
라그랑지안은 유체가 연속적으로 이동하므로 전미분으로 표현한다.
3. 스칼라와 벡터
스칼라는 크기만 표현, 벡터는 크기와 방향을 표현한다.
벡터의 표기로는 라고도 표현하고 라는 새로운 단위벡터로 표현할 수 있고
좌표로도 표현할 수 있다.
즉, 라고 표현한다.
는 로 대체하여 표현하기도 한다.
벡터의 내적과 합과 곱은 생략한다.
sin로 표시하며 방향은 오른손의 법칙5)을 이용하여 두 벡터가
벡터의 외적은 ×
형성하는 평면에 수직인 방향으로 결정된다.
벡터의 곱은
를 참조
4) 질량은 보존된다. 즉, 보존형태 방정식이다.
5)
× 의 방향: 앞에 변수 즉, 를 기준으로 오른손으로 시계방향으로 돌려 엄지가 가르키는 방향
- 2 -
4. ∇ 연산자
델은 그 자체로는 의미를 가지지 않으나 대상이 적용되면 실제적인 의미를 지니는 물리량이
된다.
기호는 ∇ 로 표현
∇라면 의 3차원 변화율 혹은 3차원 기울기를 나타낸다고 생각하면 된다.6)
일반적으로 델은 스칼라와 내적되어 기울기를 나타내지만
벡터의 내적을 하면 발산과 수렴을 나타내는 식으로도 응용이 된다.
즉, 델 연산자에 바람 벡터가 결합되면 ∇ ∙
로 표현되며 두 벡터의 내적이므로 방향성이
없어져 스칼라로 바뀌게 된다.
따라서, ∇ ∙
를 다이버전스(divergence)로 나타내며 발산과 수렴을 의미한다.
발산은 값이 양수일 때, 수렴은 값이 음수일 때를 의미한다.
즉, 델 연산자와 바람벡터의 내적은 발산을 의미한다.
내적을 했으면 외적을 봐야하는데, 델과 어떤 벡터의 외적은 회전(Curl)을 의미한다.
즉, ∇ ×
를 회전이라고 정의한다는 것
∇×
로 표현할 수 있는데
이때, 종관규모에서 는 거의 0에 가까우며 지구 수평면 상일 때 회전은 수평면의 연직
방향인 성분을 주로 다룹니다.
즉, 회전의 연직 성분인 이며 CurlF의 방향은 바람개비가 수평면상에
놓여있을 때 반시계 또는 시계로 회전하는지를 나타내는 물리량을 의미한다.
이 값이 강할수록(=양일수록) 저기압성 회전을 한다고 보면 된다.
델 연산자를 활용하는 또 다른 방식으로 라플라시안이 있다.
라플라시안은 기호로 ∇ 이며 수학적으로는 예를들어 ∇ 를 취한 벡터에 델 연산자 내적을
취하기 때문에 결국 스칼라임을 알 수 있다.
수학적으로 두 번 미분한다는 것은 어떤 함수의 ‘접선의 변화율’을 의미하며 다른 말로는
곡률이라고 말한다.7)
만약, ∇ 가 있을 때는 기온변화의 접선 변화율이라고 보면 된다.
이계도함수이며 이계도함수 값이 0보다 크면 아래로 볼록 0보다 작으면 위로 볼록하다.
문제) 변수가 인 다항함수 이 있을 때, 최댓값과 최솟값은?
한 번 미분하면, ′ , 두 번 미분하면, ″ 이 된다.
′ 이 되는 값은 이 되며 ″ ″ 의 값을 가진다.
이때, 1일 때는 의 최솟값, 일 때는 의 최댓값을 가진다.
따라서, 이계도함수가 0보다 클 때는 원함수가 최솟값, 0보다 작을 때는 원함수가 최댓값이며
결국, ∇ ≈ 로 대응시킬 수 있다는 것이다.
6) 이렇게 델 연산자와 스칼라가 결합한 식을 그레디언트(Gradient)라고 한다.
7) 아래로 볼록하냐 위로 볼록하냐를 보는 것이다. 0보다 크면 아래로 볼록, 0보다 작으면 위로 볼록
- 3 -
5. 대기에 작용하는 힘(1)
뉴턴의 제1법칙(관성의 법칙): 물체에 외부 힘이 작용하지 않으면8) 정지해 있거나 혹은
일정한 속도로 움직인다.
뉴턴의 제2법칙(가속도의 법칙): 물체에 힘이 작용하면 속도의 변화가 생긴다. ( )
뉴턴의 제3법칙(작용과 반작용의 법칙): 힘은 항상 쌍으로 존재하며 크기는 같고 방향은 반대
기압: 어떤 면을 수직으로 미는 힘 즉, 단위면적당 힘으로 정의된다.
=> 모든 방향에서 면의 수직으로 힘이 작용한다. (기압을 생각할 때 면과 수직을 생각)
따라서, 기압이라는 건 단위면적당 공기가 면을 수직으로 누르는 힘이며 더 쉽게 말하면
단위면적의 평면 위에 쌓여 있는 공기 덩어리의 무게라고 보면 된다.
# 기압경도력 유도
어떤 작은 체적의 정사각형이 있을 때 왼쪽 면이 받는 기압을 라 하고 오른쪽 면이 받는
기압을 편미분을 이용하여 표현하면 ∆ 로 표현된다.
왼쪽은 방향, 오른쪽은 방향으로 힘을 받기 때문에 ∆ 에 를 붙여 방향을
똑같이 만들어 준 후 힘( )으로 나타내기 위해 면적인 ∆∆를 곱해주고 더하면
순수한 기압경도력이 나온다.
즉, ∆∆∆인데 ‘유체에 역학을 적용할 때는 단위 질량당 힘을
고려’ 해야한다.
따라서, 으로 나눈 후 밀도의 정의인 ∆∆∆ 이므로 결국
임을 알 수 있다.
방향과 방향에서도 똑같이 적용하여 벡터로 표현하면
∇
앞에서 봤듯이 Gradient는 스칼라의 공간적인 분포 변화를 나타낼 때 쓰인다.
항상 마이너스가 붙기 때문에 저기압에서 고기압으로 기압이 증가하는 방향으로 작용한다는
것을 의미한다.9)
만유인력10) 공식은 외우는 것이 좋은데
이다.
하지만, 유체는 ‘단위 질량당’이라는 조건이 붙기 때문에 질량 으로 나눠줘야한다.
이고 11)라고 할 수 있는데 ≫ 이므로 결국 만유인력은
8) 알짜힘이 0, 물체에 작용하는 모든 힘이 균형을 이룬다면
9) -는 방향을 의미해주는 것임 즉, 는 +방향이라 낮은 값에서 큰 값으로 가는데 –라서 반대
10) 서로 물체 사이에 서로 끌어당기는 힘을 말함 이때, 만유인력의 방향은 항상 지구 중심 방향임
11) 는 지구 반경, 는 평균 해수면으로부터와 유체 사이의 거리
- 4 -
상수 값으로 표현되며 식으로 표현하면
로 표현된다.
따라서, 만유인력은 항상 지구의 중심을 향한다.
우리가 흔히 아는 중력은 ‘만유인력+원심력’인데 원심력의 힘이 너무 작아 거의 표시가 나지
않을 뿐이다.
하지만, 개념적으로 다르다는 것은 인지하고 있어야 한다.
6. 대기에 작용하는 힘(2)
이 파트에서는 가짜 힘에 대해서 알아보겠습니다.
가짜 힘을 알아야 하는 이유는 우리가 살고있는 지구가 회전하고 있기 때문입니다.
간단하게 설명하면 물체가 움직이기 위해서는 물체에 힘을 가해야 하며 움직임이 있다는 건
알짜 힘이 0이 아니라는 의미다.
이때, 관찰자의 시점에 따라 알짜 힘이 0일 수도 아닐 수도 있다는 것이다.
예를 들어, 실에 매달려 회전운동을 하는 상자를 생각해보자
이때, 관성좌표계는 중력()과 수직항력() 그리고 장력( )만 필요로 하지만
비관성좌표계는 물체랑 서로 같이 돌기 때문에 물체가 정지해야 한다.
따라서, 장력과 크기는 같지만 방향이 반대인 힘을 도입하여 알짜힘을 0으로 만들어 주어
상자가 정지할 수 있도록 해야한다.
이 힘을 바로 비관성좌표계에서 ‘원심력’이라고 하며 관성좌표계에서는 존재하지 않는 힘이다.
이 비관성좌표계를 대기과학에서 계속 쓰는데 이때 좌표계를 직교 회전좌표계라고 하며
이 직교 회전좌표계를 이용하기 위해서 위에서 말한 것과 같이 가짜 힘을 도입해야 한다.
이때, 가짜 힘은 원심력과 전향력이라는 힘이 있어야 물체의 움직임을 설명할 수 있다.
- 구심가속도
∆
; 구심가속도의 유도를 간략하게 설명하면 가속도기 때문에 라고 표현할 수 있고
∆
여기서, 원의 중심을 O라고 표현하고 어떤 두 점을 각각 라 하고 원의 각 점에 해당하는
접선 속도 벡터를
12)라 하자
그러면, 삼각형 와
과
로 이루어진 삼각형은 닮은 꼴이기 때문에
∆
∆
닮음비에 의해서 이므로 가속도로 표현하기 위해서 ∆로 나눠준 후 양변을
적당히 조합하면 이 나온다.
∆
∆
이때, 13) 그래서 위에 대입하여 정리하면 임을 알 수 있다.
∆
∆
이것을 벡터로 표현하면 이 원에서 밖으로 나가는 벡터인데 구심 가속도는 안쪽으로
들어가는 벡터이므로 임을 알 수 있다.
12) 이때, 두 속도 벡터의 크기는 서로 같음
13) ∆ 는 이동거리 즉, 호의 길이, 는 각속도
- 5 -
7. 대기에 작용하는 힘 (3)
이 파트에서는 전향력을 배운다.
전향력은 위에서 언급한대로 실제 힘이 아닌 비관성 좌표계에서 겉보기 힘으로 도입되는
가상의 힘에 해당한다.
원심력과 다르게 전향력은 움직일 때만 작용한다.
예를 들어, 지구 표면에서 좌표계가 움직이지 않을 때는 전향력이 작용되지 않기에 원심력만
고려하면 된다.
전향력은 극으로 갈수록 움직이는 속도가 빠를수록 크기가 강해집니다.14)
북반구에서는 전향력은 물체 움직임의 오른쪽 수직 방향, 남반구에서는 왼쪽 수직 방향으로
힘이 작용한다.
전향력이 왜 이렇게 발생하는지에 대해서는 일단 ‘각운동량 보존 법칙’에 대해서 알아야한다.
각운동량 보존 법칙은 외부에 힘이 작용하지 않는 이상 각운동량은 보존된다는 법칙이다.
만약, 같은 위도에서, 서에서 동으로 움직이는 물체가 있을 때 각운동량( )은 상층에서
알짜힘이 0이기 때문에 각운동량이 보존된다.
이때도 관성좌표계에서 관찰하면 북반구는 오른쪽으로 휘게 되는데 이때의 원인은
‘원심력’이다.
지구 북반구에서 서→ 동으로 가는 물체가 있다고 생각할 때15) 원심력은 지구 표면에 수직이
아닌 물체의 수직 방향이므로 로 나누어 벡터 분해를 하면 적도로 향하는 벡터를 확인할
수 있다. 남반구도 마찬가지다.
이제, 위도가 바뀐다고 생각하면, 이로 인하여 위로 갈수록 회전반경()이 작아짐을 알 수
있다.
이때 위도가 바뀌어 지구의 반지름이 변하고 만유인력의 힘이 강해지지만 ‘내력’이기 때문에
내력의 합은 항상 0이라서 외부의 힘이 없으므로 지구의 각운동량은 보존된다.16)
각운동량은 물리1에 배웠던 운동량()에 원의 특성을 이용해야 하므로 반지름 을 곱해준
라고 할 수 있으며 이므로 대입하면 결국, 이다.
이로 인하여 지구 각운동량( )은 항상 보존된다. 즉 라는 것이다.
그러므로 이 줄어들면 의 값이 증가하여 지구 회전속도가 빨려져서 북반구에서는 마치
오른쪽으로 휘는 것 같이, 남반구에서는 왼쪽으로 휘는 것 같이 보이는 것이다.
전향력을 다룰 때 암기해야 할 것이 있는데 바로 코리올리 상수( )다.
코리올리 상수의 유도는 지구 자전 각속도(를 위도에 따라 벡터 분해를 한 후 삼각함수를
이용하여
축과 같은 를 나타내면 sin 인데 지구에서는 소용돌이도는 각속도의
2배이므로 지구에서 사람이 느끼기엔 소용돌이도를 느끼기 때문에 2를 붙어 sin 라고 하는
것이다.
이에 따라 전향력의 수식을 적어보면 ≈ ≈ 라고 정리가 된다.
14) 벡터로 표현하면
×
sin sin
15) 곡률이 변하지 않을 때 즉, 위도가 일정할 때
16) 다르게 보면 외부의 힘을 판단하는데 토크( )라는 공식이 필요한데 ×
로 표현한다.
이때, 만유인력은 지구 중심방향, 회전반경( )은 지구 중심방향의 반대방향이므로 외적하면 0이다.
따라서 토크가 0이라는 건 외부 힘이 0이라는 의미다.
- 6 -
직관적으로 이해하자면 전향력이 성분으로 정의되려면 바람이 있을 때 성립하고 북반구
기준으로 북쪽으로 분다면 오른쪽으로 작용하기 때문에 양수라서 이며
전향력이 성분으로 정의되려면 바람이 있을 때 성립하고 북반구 기준으로 동쪽으로 분다면
오른쪽으로 작용할 때 음수라서 라고 할 수 있는 것이다.
그래서 전향력 식은 ×
로 표현되며 실제로 방향을 따져보면 바람의 오른쪽으로
작용하는 식이기에 잘 맞는 것을 확인할 수 있다.
식에 의하여 생각하면 전향력은 바람 속도가 크면 클수록 크고 고위도일수록 강하다는 것을
알 수 있다.
8. 대기 기본 방정식
대기운동에 작용하는 힘은 기압 경도력, 중력, 전향력, 마찰력이 있는데
마찰력은 상층 즉, 종관규모 운동에서는 중요하지 않다.
앞에서 배운 기압경도력, 전향력이 가속도 항임을 알 수 있다.
이 힘을 뉴턴의 운동 방정식인 즉, 단위질량당 힘으로 표현하자
이때, 유체에서 가속도는 동서방향, 남북방향으로 나눌 수 있다.
그러므로 위에서 배운 운동 방정식을 성분으로 표현하면
성분:
성분:
하지만, 실제로 회전 좌표계 운동 방정식은 지구의 곡률(curvature)를 고려해야한다.
여기서는 곡률항을 유도하지는 않겠지만, 블로그에 쓸 예정이다.
궁금하시면 ‘운명기상학’ 책을 참고하셔도 된다.
회전 좌표계 운동 방정식을 성분별로 표현하면
sin cos
tan
cos
여기서 항이 곡률항이고 크기가 매우 작으며 종관규모에서 마찰항( ) 또한 무시 되고 항
또한 크기가 매우 작으므로 무시가 되기에
남는 건 가속도 항과 기압경도력, 전향력( )항과 중력()가 남는다는 걸 알 수 있다.
다음으로 유체의 질량 보존 법칙을 배울 건데
유체가 들어가고, 나가고를 계산해야 한다. 이때, 미소 체적()가 있다고 가정하면 질량이
제어체적(Control Volume)으로 들어가고 나가는 것을 계산하여 연속 방정식을 구할 수 있다.
이때, 들어가고 나가는 면을 정의하기 위해 플럭스(flux)라는 개념을 사용합니다.
플럭스란? 단위 시간, 단위 면적을 통해 유입 혹은 유출되는 어떤 양을 의미한다.
- 7 -
질량 플럭스라고 하면 단위 시간, 단위 면을 통해 유출되고 유입되는 질량의 양을 의미하고
를 말한다. 이때, 로 나누면 라고 쓸 수 있다.
따라서, 방향의 질량 플럭스는 라고 쓸 수 있다.
제어체적을 생각했을 때 질량 플럭스의 중심 지점을 라고 하자
좌측면을 통해 들어오는 질량 유입 비율은
우측면을 통해 나가는 질량 방출 비율은
따라서, 유입되는 질량의 순 비율은 (유입-방출) 해야 남는 게 있으므로
-{ } 임을 알 수 있음
이 식을 방향을 다 따지면
결국,
위 식을 단위체적당으로 쓰면, ∇ ∙
단위시간, 단위면적당 질량 순 유입은 제어 체적의 질량의 변화를 의미하므로
시간에 따라 밀도가 변화한다는 의미임을 유추할 수 있다.
따라서, ∇ ∙
라 쓸 수 있고
위 식을 전개하여 편미분과 전미분 관계식을 이용하자
∇ ∇
∙ ∇ ∇
∇ ∙
∇ ∙
로 쓸 수도 있다.
앞에서 살펴본 것과 같이 ∇ ∙ 는 발산을 의미하므로 ∇ ∙
는 질량 발산을 의미
이 값이 +면 질량 발산을 의미 –면 질량 유입을 뜻함
∙ ∇는 이류(advection)를 의미한다.
- 발산과 이류의 차이
: 발산은 ‘속도’의 관점 즉, 공기가 나가는 것을 중점으로 보는 것이고
이류는 밀도, 온도와 같은 변수의 변화에 따른 변화율을 중점적으로 보면서 동시에
부가적으로 생기는 속도를 고려하는 것이다.
다음으로 에너지 보존법칙에 관한 식을 유도할 것이다.
: 이때 에너지 보존은 정말 에너지가 보존된다는 것이 아니라 에너지가 유입되면 온도가
증가하고 이에 따라 ‘주변에 일을 한다’ 의 의미로 ‘들어간 에너지 = 쓰인 에너지’ 라고
생각하면 된다.
따라서, 열역학 제 1법칙인 로 유도한다.
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궁극적으로 를 얻기 위해서 시간에 대해서 미분하면
: 단위질량당 가열율 즉, 시간에 따른 열량 변화
: 단위질량당 기체가 외부에 일을 얼마나 하는가?
: 운동하고 있는 유체의 시간에 따른 온도 변화율(일정한 체적)
9. 규모분석
지구상에 존재하는 여러 가지 운동들은 규모에 따라 분류됩니다.
1. Global Scale: 10,000km이상
2. Synoptic Scale: 1000km~3000km (종관규모 운동)
3. Mesoscale: 100km 미만
4. Microscale: 수미터 규모
종관규모 이상에서는 지구회전이 중요하다. 즉, 전향력을 무시할 수 없다는 의미다.
=> 대기의 수평운동 규모가 커질수록 연직으로는 잘 움직이지 않아 정적 상태를 이루는데
이것을 정역학 평형이라고 한다. (태풍, 고·저기압, 전선, 편서풍대 장파 등등)
지구상에서 일어나는 여러 가지 운동의 크기를 구별하는 기준은 ‘지구의 회전을 느끼는지’에
대한 여부에 따라 결정된다.
지구에서 일상생활 할 때 사람들이 지구의 회전을 느끼지 못하는 이유는 지구 회전에 비해
사람들의 활동반경이 매우 작기 때문입니다.
즉, 스케일이 클수록 자기 운동을 하려고 하기 때문에 지구 자전이 방해가 되지만 스케일이
작으면 지구 자체의 운동에 종속되어 회전하는지 전혀 모른다는 것이다.
따라서, 여러 가지 복잡한 식이 있을 때 규모 항들중 크기가 작은 것들은 제거하여 간단하게
만드는 것을 규모분석이라고 합니다.
=> 항을 무시하기 위해서는 보고자 하는 현상의 시공간규모에 대한 정리를 해야합니다.
태풍과 토네이도와 같이 규모가 다른 현상의 규모를 파악한 다음 이에 해당하는 시간,
속도, 기압등의 특징적인 값들을 파악한 후 작은 항들을 무시하여 간단한 방정식을
유도한다.
● 종관 규모 현상의 규모 (외워야한다.)
수평 속도 규모(U): 10
시간규모(L/U):
연직 속도 규모(w):
코리올리 파라메터 규모( ) sin ≈ cos
마찰력( ):
길이 규모(L): (고저기압의 크기)
깊이 규모(H): (대류권 높이)
수평 기압변화규모():
=> 코리올리 파라메터 값은 중위도 45도 정도로 하면 sin 과 cos 값이 같기 때문
- 9 -
10. 지균균형과 정역학균형
의 값은 지구 반지름인데 이므로 크기가 매우 작아 무시가 가능하고 와 마찰력이
들어간 항 또한 값이 너무나 작아서 무시가 가능
, 전향력 항은 × 이므로 10배
이때, 가속도 항은 ≈
정도가 차이가 나서 무시하기 애매하지만, 과감하게 무시하면
결국, 기압경도력과 전향력이 균형을 맞춘 상태가 된다.
이 항들을 무시했을 때 나오는 방정식을 지균균형(애매한 균형)이라고 합니다.17)
따라서, 지균균형의 방정식을 적어보면
≈ ≈
실제로 일기도에 저기압을 따라서 고기압으로 바람이 부는 듯 하지만
저기압을 가로지르는 애매한 방향의 바람이 관찰될 때가 있는데
이렇게 완벽하게 저기압을 따라 부는 바람이 아닌, 애매한 균형 상태를 지균 균형이라고
한다.
∇
벡터로 표현:
≈ ×
여기서 는 “geostrophic(지균)”의 약자입니다.
규모분석을 할 때 각 항들을 서로 나누어 그 값들을 비교하면 ‘차원 균질성’에 의해 각
항들의 차원이 사라져 무차원수를 얻게 되어 비교적으로 쉽게 규모분석이 가능하다.
이와 같은 방식으로 얻어지는 ‘로스비 수(Ro)’는 가속도 항과 전향력의 비율로 정의된다.
즉, ≡
위에서 배웠지만 가속도 항의 규모 크기는
, 전향력의 크기는 이기 때문에
17) 애매한은 영어로 qusai로 준지균 방정식(qusai-geostrophic equation)에도 사용되며 후반부에는
가속도항을 무시하지 않고 다룬다.
- 10 -
전체적으로 고려하면 0.1이라는 값이 나온다.
로스비 수는 가속도가 얼마나 유체의 운동에 영향을 주냐? 에 대한 관심이기 때문에
이 값이 크면 가속도가 크다는 것이며, 이는 지구의 회전을 느끼지 못하는 소규모 운동이
된다는 것이다.
반면 이 값이 작아진다는 건 가속도가 작다는 것이고 이는 종관규모에서 애매한 항들이
사라진다는 의미라서 완벽한 지균균형에 가까워진다는 의미다.
결국 수평운동에서는 ‘가속도’가 중요한 항이 된다.
하지만, 연직운동에서의 가속도 항인 는 매우 작은 값이 되고 수평운동을 분석할 때처럼
기압경도력과 중력 말고는 나머지 항의 값은 매우 작기에 무시할 수 있게된다.
즉, 라고 하며
이를 정역학 균형이라고 한다.
이다.
의 값은
연직운동에서 정역학균형을 만족한다고 해도 연직속도( )가 0이 아니라는 것을 알아야 함!
정역학균형에서 또 하나의 공식을 유도할 수 있는데
에서, 18)를 이용하자 즉, 라는 공식을 유도할 수 있다.
이 두가지 공식은 정역학 방정식을 통해 유도할 수 있다.
11. 등압면좌표계
일기도를 혹시 자세히 본 적이 있는가?
일기도를 보면 등고도좌표계가 아닌 등압좌표계를 사용하는 걸 볼 수 있다.
그렇기 때문에 등압좌표계를 이해하는 것은 매우 중요하다.
등고도 좌표계 대신 등압좌표계를 사용하는 이유는 무엇일까?
바로 대기과학에서 측정이 어려운 ‘밀도’항을 없앨 수 있기 때문이다.
공기에서 밀도는 매우 측정하기 어려운 항임으로 웬만하면 없애주는 것이 좋다.
따라서, 정확한 분석과 간단하게 표현하기 위해 등고도 좌표계가 아닌 등압좌표계를 표현하는
것입니다.
기상학에서는 변수들이 다양하지만 기본적으로 의 변수를 주로 사용하는데
이 변수들은 위치, 시간 즉, 에 대한 함수이다.
이때, 독립적인 의 변수를 ‘독립변수’라고 하고 이 독립변수에 의해서 값이
결정되어지는 종속적인 를 ‘종속변수’라고 한다.19)
18) 는 지오포텐셜을 의미한다.
19) 일반적인 함수 즉, 로 보면 에 의해서 가 결정되므로 가 독립변수, 가 종속변수
- 11 -
기압에서 ‘압’은 기압인데 위로 갈수록 기압은 점점 감소하고 아래로 갈수록 점점 증가하는
단조 증가 혹은 단조 감소20)라고 하며 이 경우 좌표를 만들 수 있다.
그래서 기압좌표계가 나올 수 있는 것이며 따라서, 라는 좌표계 나오게 된다.
즉, 이며 각각 방향으로 얼마나 움직이는가를 나타낸다.
이때, 등압면 좌표계로 바꾸게 되면 대신 로 바꾸게 된다.
즉, 기압 속도(Pressure Velocity)로 나타낼 수 있습니다.
중요한 건 연직고도는 올라갈수록 증가하지만 기압은 감소하므로 가 음수인 경우 상승운동,
양수인 경우 하강운동임을 나타냅니다.
이제 등압면 좌표계를 유도해보겠습니다.
위 그림을 참고하여 유도를 해보자
구하는 것은, 등압면 좌표계인데 일단 기압 변화율 를 써볼 때, ① 가 일정한 경우, ②
가 일정한 경우인 두 가지 경우로 나누어 더하여 최종적인 를 구할 수 있겠다.
로 쓸 수 있다.
근데, 등압면 좌표계이므로 을 적용하며 → →을 취하여 정리하면
가 되며
이 식에 정역학 방정식인 와 지오포텐셜 공식인 를 쓰면
이 된다.
20) 주어진 범위 내에 계속해서 증가하거나 계속해서 감소하는 것을 단조 증가, 단조 감소라고 함
- 12 -
이렇게 고도좌표계와 기압좌표계의 관계식을 알아보았다.
괄호 뒤에 작은 첨자들은 ‘첨자를 고정’한다.라는 의미입니다.
이제 방향으로도 똑같이 따지면 밑에 대신 만 들어가면 되는 걸 알 수 있다.
이것을 벡터로 나타내면
∇ ∇
위에서 배운 운동방정식을 등압좌표계로 나타내면
×
∇ ×
∇
전향력은 등압면이나 고도좌표계나 차이가 없으므로 고정된다는 것을 또한 알 수 있다.
따라서, 밀도가 사라지면서 운동량 방정식이 간단하게 유도된다.
∇ 을 등압좌표계로 바꾸면
위에서 고도좌표계에서 지균풍은
×
∇ 로 바뀐다는 걸 알 수 있다.
×
이 항은 지균풍의 발산이 0인지 아닌지 논의할 때 매우 중요한 의미를 지닌다.
즉, 고도좌표계에서는 밀도가 바뀔 수도 있어서 다른 지균풍이 나타나 비발산이 아닌
발산장이 존재한다는 것이다.
즉, 고도좌표계 ∇ ∙
≠ 이고 기압좌표계 ∇ ∙
이다.
고도좌표계는 밀도가 미분항에 포함되지만 기압좌표계는 포함되지 않음
증명)
∇
∇ ∙
∇ ∙ ×
를 에 대해서 편미분 하고 로 편미분한 값이나 그 반대나 값이 같기 때문에 0이다.
∇
∇ ∙
∇ ∙ ×
≠
(밀도)를 에 대해서 편미분 한 값과 에 대해서 편미분했을 때의 값이 다르며
와 의 값은 서로 다르다.
그렇기 때문에 등압좌표계의 장점은 발산연산자(∇ ∙
)를 취했을 때 지균풍이 비발산
흐름의 형태를 가지게 된다는 것이다.
지금 계속해서 등압좌표계의 발산과 비발산에 대해서 이야기하고 있다.
이때, 공기의 흐름이 비발산 형태를 가지며 질량이 보존될 때 즉, 풍선이 바람을 따라
자유롭게 이동할 때 라그랑지안 방법으로 질량이 변하지 않는다고 가정하면 연속방정식을
얻을 수 있다.
- 13 -
즉, 움직임에 따라 미소 부피가 변하면 이고 질량으로 나타내면
이다.
정역학 방정식 를 이용하면
와 같이 표현할 수 있다.
라그랑지안 방법에 의해서
따라서,
를 없애주기 위해서 으로 나눈 값을 보면
전미분 형태이므로 전개하여 정리하면
21)
여기서
그러므로, 22)
lim 이면
→
위에서 말했듯 등압좌표계이므로 위 식은
이다.
발산을 ∇ ∙ 라고 했으므로
괄호는 수평 발산, 뒤의 항은 연직 발산을 의미
8단원에서 배운 유체 질량 보존 법칙은 고도 좌표계로 표현한 식이다.
여기서 배운 유체 질량 보존 법칙은 등압 좌표계로 표현한 식이다.
둘 다 결과를 잘 외워야 할 것이다.
이제, 열역학 방정식을 등압좌표계로 표현할 것인데
고도좌표계에서 배운 것과 크게 다르지 않다.
위에서, 라고 배웠을 건데 등압 좌표계이므로 정압비열을 이용하여 표현한
열역학 제 1법칙 형태를 이용하면 된다.
즉, 를 이용
21) 로 정의한다.
22) 는 연직방향 상승속도 차이를 나타낸 것이다. ( 가 정역학 방정식으로부터 유도되었기 때문에
연직방향인 것이다.)
- 14 -
양변을 로 나누면
( )
여기서 로 나눈 후 (기압속도)와 전미분 관계를 이용하면
끼리 묶어주어 정리하면
의 형태가 된다.
의 계수를 라고 하며 ‘등압좌표에서의 정적안정도 매개변수’라고 표현한다.
즉,
※ 의 또 다른 표현
는 또 다르게 표현할 수 있다.
온위 방정식인
에서 ln을 씌우자
즉, ln ln ln ln 이며 이 식을 으로 표현하면
양변에 를 곱해주고 를 나누고 상태방정식을 적용( )하면
가 되고 정역학 방정식( )과 를 쓰면
가 된다.
따라서,
그러므로 최종식은
이렇게 열역학 방정식은 등압좌표계로 표현하는 것이 고도좌표계와 비교하여 큰 장점이
없지만 이러한 형태가 사용된다는 것을 알고 있어야 한다.
12. 층후(Thickness)
이 단원에서는 층후에 관한 내용들을 정리하는데
층후란? 두 등압면 사이의 두께를 의미합니다.
위에서 쳐다본 면이 아닌 잘라 옆면에서 바라보게 되면 위 아래로 구불렁하게 되어 있음을
확인할 수가 있다.
- 15 -
이때, 등압면이 위로 솟아있는 지역은 고기압이 존재하며 ‘기압능’이라 부른다.
등압면이 아래로 꺼져있는 지역은 저기압이 존재하며 ‘기압골’이라 부른다.
=> 영어로 Rigde는 가장 두꺼운 층후, Trough는 가장 얇은 층후가 분포
※ 기압에 대한 이해
지표면에서의 기압이 해면기압인 1013hPa이라고 가정할 때 온도에 따라 공기의 밀도
비율이 달라지게 됩니다.
즉, 지표면에 차가우면 지표면 부근에 밀도가 높게 되고 반대로 지표면이 따뜻하면 지표면
부근의 밀도가 낮게 됩니다.
이에 따라, 고도에 따른 밀도 분포가 달라지게 되는데
즉, ‘고도에 따른 기압 변화율이 상이’하다는 것입니다.
차가운 지역의 층후는 굉장히 얇은 반면, 따뜻한 지역의 층후는 두꺼운 편입니다.
따라서, 두꺼운 공기는 따뜻하고 얇은 공기는 차갑다고 표현할 수 있습니다.
이 개념을 지구 전체로 적용해보면 지구는 극쪽으로 갈수록 태양에너지가 적게 도달하기
때문에 기온이 떨어지고, 적도 지역에 가까울수록 기온이 높아집니다.
이에 따라, 적도 쪽은 층후가 두껍고 극쪽은 촘촘해지는 등압면의 형태가 나오게 되는 걸 알
수 있습니다.
잘 생각해보시면 등고도에서 적도는 층후가 두껍고 극쪽으로 갈수록 층후가 얇아지면
기압경도력은 고에서 저로 가는데 고도가 높아질수록 같은 높이에서의 기압경도력은 더욱 더
쎄지게 되고 이에 따라 전향력 또한 크기가 커지게 됨으로써 바람의 세기가 연직으로
올라갈수록 강해진다는 것을 알 수 있습니다.
이와 같이 연직바람시어가 강해지는 현상을 온도풍(Thermal wind)라고 합니다.
=> 제트기류의 근본 원리가 바로 이 온도풍이다.
- 층후 유도
층후는 기층의 두께와 온도를 연결시키기 위해 이상 기체 상태 방정식과 정역학 방정식을
이용하자
의 식에 밀도 대신 를 대입하면
좌변은 에 대한 함수, 우변은 에 대한 함수이므로 에 해당하는 기압을
에 해당하는 기압을 라 하여 적분을 취하면 에 관한 식이 나온다.
즉,
이때, 고도가 올라갈수록 의 값이 변하지만 고도에 해당하는 를 일일이 측정하기 어렵기
때문에 평균값(
)을 쓴다.
식을 정리하면 ln 라고 쓸 수 있다.
- 16 -
: 평균 규모 고도23)
● 평균 온도 구하는 법
분자는 를 고려한 전체 기압 값이며 분모는 해당 기압에 해당되는 전체 값이다.
13. 온도풍
위에서 온도풍에 관해서 잠깐 언급한 적이 있다.
결론을 말하면 온도풍은 정역학 균형과 지균균형을 고려하면 온도풍균형이라는 결론에
도달하게 된다.
즉, 온도의 수평분포에 따라서 바람의 연직시어가 존재한다는 개념이 온도풍의 핵심이다.
이 온도풍에 의해서 생기는 연직바람의 크기가 최고가 되는 지점이 존재하는데
이 바람이 바로 ‘제트기류’다.
제트기류는 30도 부근에서 생기는 아열대 제트기류, 60도 부근에서 생기는 한대 제트기류가
있다.
즉, 중간지역은 적도 지역보다 덜 따뜻하고 극지역보다 덜 차갑기 때문에 생기는 것이다.
따라서, 대기 상에 존재하는 한대 제트와 아열대 제트 모두 온도풍 개념으로 설명할 수 있는
것입니다.
온도풍의 수학적 개념은 바로 연직바람 시어다.
상층 과 하층( )에서 부는 지균풍을 각각 라 하면
온도풍(Thermal Wind)은
라고 정의한다.24)
이러한 온도풍은 항상 오른쪽이 따뜻하고 등온선과 방향이 평행하게 분다.
23) ∙ => ,
24) 상층바람-하층바람 = 온도풍 방향
단위 계산하면 가 나옴
- 17 -
온도풍 수식을 유도 해 봅시다.
온도풍은 정역학 방정식과 지균균형(=지균풍 방정식)을 서로 연립해야 한다.
고도좌표계는 밀도항이 있기 때문에 등압좌표계로 유도를 하자
등압좌표계에서 정역학 방정식은 이며
∇
등압좌표계에서 지균풍 방정식은
×
풀어쓰면 ,
궁극적으로 를 만들어주어야 서로 연립할 수 있으므로
와 의 양변에 로 미분을 하자
여기서는 만 해보겠다.
라고 쓸 수 있으며25)
를 대입하여 정리하면
임을 알 수 있다.
나머지 항도 적으면
따라서, 정역학 방정식과 지균풍을 연결하여 정리하면 고도에 따른 지균풍의 분포는
온도로부터 독립적이지 않다는 걸 알 수 있다.
위 식을 벡터로도 적을 수 있다.
양변에 를 곱하고 를 이용하면
ln
임을 알 수 있고
ln
나머지 를 이용하여 벡터로 표현하면
ln
×
∇ 이다.
ln
온도풍은 상층 지균풍(
) – 하층 지균풍(
)이라서
×
∇
ln ln
정리하면
×
∇ ln × ∇ ln
성분으로 분해하여 적어보면
25) sin 는 기압의 항이 없어서 상수 취급 가능하여 미분의 순서를 바꿀 수가 있음
- 18 -
ln
ln 26)
14. 이류와 순압·경압대기
유체의 흐름에는 두 가지 관점이 있다.
(1) 라그랑지안 관점: 라디오존데를 생각하면 되고 상자가 유체의 흐름에 따라 이동하는
상황이다. 이때, 질량은 보존된다고 생각함
(2) 오일러리안 관점: 고정된 관측지점에서 변수를 측정하는 상황을 생각하면 된다.
그러므로, 라그랑지안은 전미분 형태, 오일러리안은 편미분 형태로 쓰게 되며
전미분인지 편미분인지에 따라 역학을 바라보는 관점이 달라지게 된다.
예를들어, 이류 같은 경우는 ‘공기가 얼마나 상자 안으로 들어오고 있는가’를 측정하는
것이므로 상자를 고정시키고 측정하는 것이다.
따라서, 편미분 관점으로 봐야하는 오일러리안으로 서술하게 되는 것이다.
즉, 위에서 배운 전미분과 편미분의 식을 이용하면
∙ ∇
여기서 편미분()의 관점으로 생각해야 하므로
∙ ∇ 를 좌변으로 넘기면
∙ ∇ 가 된다.
∙ ∇ 가 우변에 있을 때는 라그랑지안 관점이므로 박스 자체의 속도에 따른 온도 변화의
관점이었다면
좌변으로 옮김으로써 오일러리안 관점으로 바뀌게 되고 고정된 박스 자체에서 들어오는
바람에 따른 온도 변화를 의미하게 되는 것이다.
우변으로 옮겨진
∙ ∇ 를 ‘이류항’27)이라고 하고
∙ ∇ 의 값이 양수면 온난이류
∙ ∇ 의 값이 음수면 한랭이류28)
(이류항에는 음수부호가 붙는다는 것에 유의하자!)
온도풍을 정의할 때
라고 정의하였다.
결론부터 말하면 지균풍에 의해서 온난이류가 있으면 시계방향으로 순전(veering)
지균풍에 의해서 한랭이류가 있으면 반시계방향으로 반전(backing)
그림을 보자
26) 여기서 또한 를 상층과 하층 사이의 평균 온도를 적어야한다. / 는 upper, 은 lower
27)
∙ ∇ : “()이류”라고 부른다. 즉, 앞에 바람 벡터와 ∇ 의 연산이 있으면 무조건 이류항이라 한
다.
28) 즉, 박스 안의 온도가 차가워지냐 따뜻해지냐에 관한 관점임
- 19 -
위쪽이 차가운 공기 아래쪽이 따뜻한 공기라고 했을 때
시계 방향으로 돈다는 건 시계 바늘 끝쪽 방향도 생각해야하기에 저렇게 밖에 그림이 나오지
않는다.
따라서, 시계 방향으로 돌면 왼쪽 그림이며 따뜻한 공기가 유입되고 있으므로 온난이류
반시계 방향으로 돌면 오른쪽 그림이며 찬 공기가 유입되고 있으므로 한랭이류
그러므로 라디오존데를 띄어 상층의 바람이 시계인지 반시계인지에 따라 앞으로 추워질지
더워질지 판단할 수 있다는 것이다.
다음으로 순압대기와 경압대기에 대해서 서술하겠습니다.
순압대기란? 밀도가 기압에만 의존하는 대기상태를 의미한다. 즉, 등압면=등밀도면
경압대기란? 밀도가 기압과 온도에 의존하는 대기를 의미한다. 등압면≠ 등밀도면
경압대기는 일반적인 대기를 생각하면 된다.
순압대기에 대해서 좀 더 말하자면
원래 대기는 기압과 온도 밀도에 대한 함수인데 상태방정식인 에서
라면 × 가 되므로 밀도는 기압만의 함수가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 라서 변수가 말고는 없다는 걸 볼 수 있습니다.
위에서 가 상수이므로 등압좌표계에서 ∇ 29)인 수평 온도 경도와 연직바람시어가
0이라는 결론에 도달하게 됩니다.
이로 인하여, 연직방향으로의 지균풍 방향 변화 없이 일정하다는 결론을 얻게 되는데
이때는 온도풍 또한 없다는 걸 알 수 있습니다.
이를 ‘순압 대기’라고 합니다.
다른 말로 하자면 순압 대기는 온도풍이 존재하지 않는 대기를 의미
29) 에 대한 온도 변화가 없다는 의미 즉, 상층과 하층의 혼합이 잘 일어나 연직으로 온도변화가
없을 때를 의미한다. 이때는 연직 시어가 존재하지 않는다.
- 20 -
이제 경압대기에 대해서 말하자면
밀도가 기압과 온도의 함수이므로 ∇ ≠ 임을 파악할 수 있고 이로 인하여 하층과 상층
사이에 온도풍이 발생하게 된다.
예를 들어, 적도지역은 구름에 의한 수증기들의 대류 활동으로 인하여 포화 상태의
평형(saturation euilibrium)이 일어나게 되어 모든 지역의 온도가 수평적, 수직적으로
일정하여 밀도가 거의 기압만의 함수가 된다는 걸 알 수 있습니다.
따라서, 적도 지역은 순압 대기 극 지역은 경압 대기를 주로 사용한다.
Q. 시베리아 고기압은 왜 키가 작은 고기압일까??
A. 온도풍 균형 때문이다.
기본적으로 온도풍은 온도풍 균형에 의해서 상층으로 올라갈수록 세기가 강해집니다.
즉, 상층으로 올라갈수록 남북과의 온도차가 심해짐에 의해 등고도에서 기압차가 많이 나게
되고
온도가 높은 쪽은 고기압 낮은 쪽은 저기압이 되어야 한다는 걸 생각할 수 있다.
그러므로, 올라갈수록 편서풍이 심화되기 때문에 시베리아 고기압이 시계방향으로 돌고
있어도
온도풍에 의해서 연직시어가 편서풍 계열로 바뀌어야 하기에 고도가 올라갈수록 저기압성
순환으로 바뀌어야 합니다.
따라서, 고기압에서 올라갈수록 저기압성 회전 즉, 반시계 방향으로 바뀌어야하므로
키가 작은 고기압이 됩니다.
하지만, 따뜻한 쪽에서 고기압이 발생했을 경우 올라가도 고기압을 유지해야 하기 때문에 키
큰 고기압이 됨을 알 수 있다.
-층두께 분류 영역
층두께란? 층후와 같은 말로 일기도 중 ‘층후도’라는 것이 있는데
이는 1000~500hPa의 층후를 등압선으로 그려놓은 일기도를 말한다.
=> 대류성 호우 구역을 찾아내는데 유용하다.30)
15 온위(1)
위로 갈수록 공기의 온도는 감소하는데 이때, 대류 순환에 의하면 따뜻한 공기가 위로 가는
대류와 순환이 일어나야 정상이다.
하지만, “ .대기는 항상 대류와 순환이 일어나지 않는데 과연 그 이유는 무엇일까??“
하나의 예를 한번 생각해보면
풍선이 지상에서부터 점점 올라가며 열이 차단되었음에도 불구하고 온도가 떨어지는 기이한
현상이 나타난다.
이러한 이유는 바로 기압감소로 인한 풍선의 팽창 즉, 풍선덩이가 가지고 있는 열을 가지고
30) 층후 두께가 갑자기 확 넓어지는 지역에서 뒤에는 바람이 빠르고 앞에는 바람이 느려 수렴이 일어나
온난이류에 의해 상승하게 되고 결국 호우가 발생할 수 있다.
- 21 -
밖으로 일( )을 하기 때문에 전체적인 열에너지가 감소하므로 온도 또한 감소한다는 결론에
도달한다.
따라서, 열적으로 차단된 환경에서도 풍선이나 공기의 온도가 바뀔 수 있는 개념이
존재한다는 것이다.
이렇듯, 공기의 온도를 결정하는 요소는 열 뿐만이 아니라 고도의 위치 또한 중요하기 때문에
이 위치를 고려한 온도를 사용하여 기상학에서는 ‘온위’라는 개념을 사용하게 되는 것입니다.
즉, 고도 효과를 배제한 상태에서 온도를 비교해야 대응이 된다는 것입니다.
열역학 제 1법칙의 공식을 보면 라고 쓰며 는 정적비열로 정의합니다.
정적비열은 공기 덩이의 부피가 일정할 때 성립합니다.
즉, 부피가 다른 공기 덩이의 내부에너지( )를 비교하는 것은 열역학 제 1법칙에
위배 된다는 것을 알 수 있습니다.
따라서, 공기덩이의 온도를 정의하려면 고도 효과를 배제하는 작업이 필요하게 됩니다.
즉, 같은 높이에서 공기의 온도를 비교하는 것이 중요하며
아래로 내려올수록 단열 압축에 의해 공기온도가 상승하게 됩니다.
쉽게 말하면 ‘같은 고도 상에서 온도를 온위’라고 정의합니다.
이제 에 대한 답을 해보자
공기가 떠오르기 위해서는 ‘부력’이라는 개념이 존재하는데
이 부력은 온도에 비례하지 않고 온위의 함수로 정의되기 때문에 대류가 일어나지 않습니다.
즉, 대기의 안정도는 온도로 결정되는 것이 아닌 온위의 연직분포에 따라 결정된다고 볼 수
있습니다.
=> 공기는 온도와 부력의 함수로 정의되는 것
위 그림은 온위의 연직 분포를 나타냅니다.
대부분 지역에서 온위는 연직으로 갈수록 전점 높아진다는 걸 알 수 있습니다.31)
31) 온도( )와 반대가 된다.
- 22 -
즉, 으로 대기의 평균 온위의 분포가 양수라는 것이다.
또한, 위도별 온위는 적도에서 극으로 갈수록 낮아진다는 것 또한 알고 있어야 한다.
위에서 공기는 온위와 온도의 함수로 정의된다고 하였다.
온도가 급격하게 변하는 지역 즉, 전선면에서 온위 또한 급격하게 변한다는 걸 보여주는
분포다.
그림에 기류가 보이는데 한대 기류(polar jet)와 아열대 기류(subtropical jet)가 있을 때
공기의 온도 차에 의해 온위는 이 경계면을 기준으로 급격한 변화들이 나타나게 됩니다.
고도에 따른() 온위 변화()를 따져보자
즉, 의 값은 항상 양수임을 알 수 있다.
이 값이 크면 클수록 안정하다는 사실 또한 위의 내용을 생각해봤을 때 유추할 수 있으며
간격이 촘촘한 온위 지역일수록 의 값이 커지기 때문에 북극이 적도나 중위도보다 ‘더
안전하다.’라고 표현할 수 있는 것이다.
-온위 유도온위는 열역학 제 1법칙으로 유도할 수 있다.
열역학 제 1법칙 공식: 32)
여기서 온위는 단열과정을 따르므로 이며
상태방정식( )를 대입하여 정리해보자
32) 에서 비교해야 하므로 ‘정압비열’로 유도하는 것이다.
- 23 -
우변으로 넘겨주고 라는 상수 (0.289)라고 두고
열을 차단한 채 공기를 같은 고도로 끌어내린다는 개념을 수학적으로 표현하면
에서 온도를 , 에서의 온도를 로 표현할 수 있고
온도와 기압을 더한다는 개념이므로 적분하여 표현하자
즉,
이 식을 적분하여 정리하여 표현하면
라는 걸 알 수 있다.
이 온위 식은 반드시 암기하여야 한다.
암기 팁: 앞 온도는 헷갈리지 않는데 괄호 안의 분모 분자가 헷갈린다. 이때, 지수에
정압비열( )이 있으므로 밑에 첨자가 있기 때문에 분모가 라고 외우면 헷갈리지 않는다.
온위의 가장 중요한 성질은 단열 과정에서 보존되는 양이라는 것
즉, 고도로 올라갔을 때 온도는 에서 로 떨어지겠지만 온위는 그대로 유지된다는 것
다시 말해, ‘열을 받지 않으면 온위는 변하지 않는다.’고 말할 수 있습니다.
이제, 온위의 중요한 두 가지 성질 을 유도하기 위해서는 의 식에서 출발해야
하는데
이 식의 양변에 자연로그를 씌우면 곱하기 식들을 더하기로 쪼갤 수 있으므로
ln ln ln ln
위 식을 미분한 형태로 표현하자
ln
ln ln ln
는 상수이므로 식을 정리하면
ln
( 를 이용)
ln
33)
단열과정을 가정하면 이라고 표현할 수 있으며 이라고도 볼 수 있다.
즉, 엔트로피와 온위가 시간에 따라 변하지 않고 보존되는 양임을 알 수 있다.
ln
=> 시간에 따라 온위가 보존되는 즉, 공기덩어리가 등온위면을 따라 움직일 때
어떠한 열 교환도 일어나지 않는다는 것을 나타낸다.34)
33) 여기서 는 엔트로피라고 부르며 단위시간당 가해진 열로 라고 정의한다
- 24 -
이제 건조단열감률이 왜 가 되는지 증명하겠습니다.
ln ln ln ln의 식에서
건조단열감률은 고도 변화()에 따른 기온 감률이므로
고도로 미분하여 표현하자
ln ln ln ln
정역학 방정식 ( )과 를 대입하면
로 정리됩니다.
단열과정이므로 을 대입하여 정리하면
×
올라갈 때, 씩 감소한다는 의미다.
따라서, 온위의 중요한 두가지 성질은
1. 단열과정에서 보존되며, 등온위면 상에서 움직이는 공기는 절대 열을 받지 않는다.
2. 온위를 보존한 채 상승하는 공기덩이의 기온감률은 일정하다. (건조단열감률)
16. 온위(2)
여기서는 오늘 안정과 불안정에 대해서 배우도록 하겠습니다.
안정이란? 주변 대기 온도보다 어떤 공기덩어리의 온도가 낮아 더 이상 올라갈 수 없는
상태를 말함
불안정이란? 주변 대기 온도보다 어떤 공기덩어리의 온도가 더 높아 가벼워 계속해서
올라가는 상황을 말함
=> 안정과 불안정을 판단하는 방법은 건조단열감률과 주변 대기 온도를 비교하면 된다.
공기는 포화되기 전( 고도 전)까지 건조단열감률을 따라 온도가 감소하기 때문이다.
의 식에
양변에 를 곱하여 정리하면
34) 공기는 열 전도율이 굉장히 낮지만 엄밀하게 말하면 0은 아니다. 하지만, 전체 표면적에 비해 공기
덩어리의 볼륨이 매우 크기에 이 표면으로 들어오는 열의 양은 매우 작아 무시가 가능
- 25 -
이고 는 고도에 따른 온도 감소 즉, 환경기온감률이다.
따라서, 라고 쓸 수 있다.
일 경우 안정 ( )
일 경우 불안정( )
일 경우 중립 ( )
크다는 건 크기가 크다는 것임 즉, 더 많이 감소한다는 의미다.
이렇게 누가 더 온도가 많이 떨어지냐에 대한 관점으로 보는 것이고
일반적인 온위 같은 경우는 평균적으로 올라갈수록 온위는 증가( )한다고 배웠다.
즉, 일상적인 조건에서는 이기 때문에 대부분의 공기덩어리는 정적 안정 상태에
있다고 할 수 있습니다.
정리하면 기온감률보다 건조단열감률이 더 급한 경우 안정 덜 급하다면 불안정이라는 것이다.
여기서 이제 한가지 생각해야 할 점이 있다. 불안정이라면 계속해서 위로 올라갈텐데
이때, 고려해야 할 한가지가 바로 ‘응결’이다.
즉, 고도가 상승함에 따라 이슬점 온도에 도달하게 되고 응결이 일어나게 되는데
기체가 액체로 바뀌는 것이므로 열을 방출한다는 사실이다.
그래서 건조단열감률보다 크기가 작을 수 밖에 없다는 것 또한 유추할 수 있다.
이 개념을 좀 더 확장하여 ‘상당온위’라는 개념이 나오게 되는데
상당온위란? 공기덩어리를 최대한 상승시켜 건조단열감률 및 습윤단열감률을 따를 때
수증기가 전부 응결하여 제거된 후, 까지 건조단열적으로 하강했을 때의 온도를
의미합니다.
따라서, 기울기 값이 더 크기 때문에 원래의 온위( 온도) 값보다 더 크다는 것을 알 수 있다.
이 예가 바로 푄현상입니다.
=> 강제상승으로 인해 산 정상에서 모든 수증기를 탈락시킨 후 산에서 내려갈 때는 오직
건조단열감률을 따라서 내려가기 때문에 온도가 원래 가지고 있던 것보다 더 높아질 수
밖에 없다.
- 26 -
이해가 안되시는 분들을 위한 그림입니다.35)
이제, 습윤단열감률을 고려한 안정도를 따져보겠습니다.
건조단열감률( )의 크기보다 습윤단열감률( )의 크기가 작기 때문에 항상 이다.
이제 환경기온감률( )의 역할이 중요하다.
1. 일 때: 환경기온감률이 더 크기 때문에 주변 공기덩이의 온도가 더 높아 절대
불안정
2. 일 때: 습윤단열감률이 더 크기 때문에 주변 공기덩이의 온도가 낮아 절대 안정
3. 일 때: 조건부 불안정
외우는 팁: 큰놈보다 크면 절대 불안정 작은놈 보다 작으면 절대 안정 그 사이는 조건부
불안정
17. 제트기류
제트기류에 대해서 정리하겠습니다.
제트기류는 상공에서 연직바람시어 형태로 강하게 부는 바람이며 남북 방향의 온도 분포와
매우 밀접한 관계가 있습니다.
풍속: ∼ , 길이: 수천, 폭: , 두께: ∼
북반구에는 아열대 제트기류와 한대 제트기류로 나뉘며 아열대 제트기류가 더 강하며 제트
지역에는 온도 차에 의해서 항상 전선이 존재한다.
이 전선대가 상층까지 이어지며 제트기류가 부는 고도를 기준으로 항상 대류권계면이
존재한다.
이 전선이 존재하는 곳에서는 남북 방향 온도경도가 크기 때문에 종관 규모의 파동이
움직이게 된다.
따라서, 제트기류는 대류권계면 근처에서 형성되는 강한 바람으로 정의가 가능
35) 여기서 LCL은 ‘Lifting Condensation Level’의 약자
- 27 -
제트기류는 위에서 말했듯 남북 방향의 온도 경도와 밀접한데 온도 경도가 약화되는
여름철에는 제트기류가 약해지고 온도 경도가 강화되는 겨울철에는 제트기류가 매우
강해진다.36)
온도 경도가 약해지면 북극에 머물게 되고 강해지면 남쪽으로 남하하게 된다.
제트기류는 동서방향의 흐름에서 남북 방향으로 진동한다는 개념을 외우도록 하자
또한, 제트기류를 동서방향의 바람( )을 평균 하여 나타낸 그림이 바로 밑에 그림이다.
실선으로 표현한 것이 제트기류가 흐르는 중심의 위치정도라고 볼 수 있는데
북반구는 제트의 중심이 하나처럼 보이지만 남반구는 제트류 중심이 몇 개 있는 것처럼
보입니다.
이때, 남반구처럼 한대 제트기류, 아열대 제트기류의 중심 위치가 다르게 보이는 게 정상이나
북반구는 대륙 분포와 해양분포가 복잡하므로 동서 평균을 시키면 한대 제트기류의 중심이
없는 것처럼 보인다.37)
왜냐하면, 사행을 하다가도 동서 방향으로 움직이고 대륙 분포와 해양 분포가 굉장히
복잡하기 때문에 평균을 하면 위도 별로 풍속이 비슷하기 때문에 한대 제트의 형체가
사라지는 것처럼 보인다.
한대 제트기류와 아열대 제트류의 특징
한대 제트류가 강해지는 겨울에는 남하하여 아열대 제트류와 함쳐지는 시기가 있을 수 있다.
이때, 합쳐지는 부근의 위도가 바로 우리나라 부근이기 때문에 한파가 발생한다.
합류의 의미는 한대 제트가 감싸고 있는 찬 공기가 그 지역을 통해서 내려오는 것을 뜻한다.
이 한대 제트가 강해지는지 약해지는지에 대한 지수를 바로 ‘동서지수38)’라고 이야기합니다.
한대 제트가 강한 시기를 바로 고지수 시기, 약해져 사행을 할 때 바로 저지수 시기라 한다.
36) 여름엔 백야, 겨울엔 극야 현상에 의해 바람의 세기와 범위가 넓어진다는 점에서 약해지고 강해진다
는 것이다.
37) ∼ 사이의 중심이 없음
38) 북극진동이라고도 부른다. / 고지수 순환 = 양의 북극진동, 저지수 순환 = 음의 북극진동
- 28 -
헷갈리지 말아야 하는 것이 한대 제트가 강해지는 겨울 이 시기에 비교적 약해질 수도,
비교적 더 강해질 수도 있다는 것이다.39)
고지수 시기에는 한대 제트가 매우 강하여 남북의 공기가 서로 섞이지 않아 매우 불안정한
상태이므로 이 상태로 계속 머무를 수가 없습니다.
따라서, 이런 불안정한 상태가 파동들을 만들어내면서 저지수 순환으로 이행하는 과정을
거칩니다.
고지수 순환에는 편서풍이 강하기 때문에 파동 이동이 빠르고, 저지수 순환의 경우 편서풍
흐름이 방해를 받으므로 매우 느립니다.
이 매우 느린 흐름이 한 지역에서 2주 이상 머무르는 강력한 볼텍스(Vortex)가 형성이 되는데
이 현상을 블로킹(Blocking)이라 한다.
정리하면, 블로킹은 주로 고지수 순환에서 저지수 순환으로 진행되다가 중단되면서 한 지역에
머무르는 강력한 고기압이 형성될 때 발생하는 파동이라고 생각할 수 있습니다.
18. 바람장의 분해(솔직히 몰라도 될 것 같음..!)
바람이 회전하는 성분과 발산하는 성분으로 분해될 수 있다는 것을 이 챕터를 통해
알아야한다.
일반적인 바람이라고 이야기하면 수평성분의 바람을 의미40)하며 동서와 남북으로 분해할 수
있다는 것을 알 수 있다.
이때, 동서 방향 성분을 Zonal wind라 하고, 남북 방향 성분을 Meridional wind라 합니다.
(기본 배경지식: 중위도는 서에서 동으로, 적도는 동풍대가 분다)
하지만, 대기과학의 날씨 관점에선 바람의 회전성분과 발산성분으로 이해하는 것이 더
39) 여름보다 겨울이 온도경도가 심하므로 ‘무조건’ 강해지긴 하나 다른 년의 겨울과 비교
40) ‘동서남북’
- 29 -
적합하다.
모든 바람은 헬름홀츠의 정리로 표현할 수 있다.
로 표현하며 회전 성분을 프사이(), 발산 성분을 카이()로 표현한다.
유도과정을 배우는 것은 중요하지 않다.
유선함수41) psi(, stream function)에 대하여 Gradient(∇ )를 취하면 벡터가 된다.
여기서 를 취하면 회전 성분의 바람이 된다는 것을 알 수 있다.
∇
즉,
×
또, 속도 포텐셜 chi(, velocity potential)에 ∇ 을 취하면 벡터가 된다.
즉, 발산에 대한 바람을 의미한다.
즉,
∇
에 라플라시안(∇ )을 취하면 회전 성분의 가속력42)인 소용돌이도( )가 나온다.
즉, ∇
에 라플라시안을 취하면 발산의 가속력이 나오며 ()로 표현한다.
즉, ∇
유선함수는 수학적으로 위에서 정의한 식에 inverse laplacian(∇ )을 붙여 정의한다.
즉, ∇ 이다.
여기서 중요한 사실은 중위도에서 유선함수()가 지위고도()와 거의 유사한 개념이라는
것이다.
즉,
왜냐하면, 유선함수()는 가속도들을 연결하여 공간으로 표현한 것인데
이때, 지위고도는 온도의 영향을 받으므로 극쪽이 저기압 적도 쪽이 고기압이다.
따라서, 지균풍은 저기압을 왼쪽으로 하여 부는 바람이기 때문에 이 지균풍의 순간
속도벡터를 연결하여 공간장으로 표현하면 유선함수가 되는 것이다.
그러므로, 중위도에서 유선함수를 통해 구하게 되는 회전 성분 바람(
)도 지균풍과 거의
같다.
정리하면 중위도에서는 회전 성분의 바람이 지균풍이라는 것이다.43)
다른 위도에서는 지균풍의 정의가 성립하지 않으므로 회전 바람 벡터는 유선함수에
평행하다는 것을 알 수 있습니다.
마지막으로, 속도 포텐셜에 ∇ 을 취하면 발산 바람장이 됩니다.
즉,
∇
속도 포텐셜은 낮은 곳에서 높은 곳으로 바람이 분포됩니다.
41) 비발산 흐름 장에서 순간의 속도벡터를 연결한 선을 유선(streamline)이라 하고, 각 유선이 가지는
값을 공간의 함수로 정의한 것을 유선함수라고 한다.
42) 회전량을 측정하는 스칼라
43) 사실 지균풍은 회전하지 않음,, 등압선과 평행할 때 부는 바람인데 그냥 이걸 편하게 생각하고자 회
전 성분이라고 보는 것임
- 30 -
정리하면, 수평바람은 회전성분과 발산 성분으로 나누어질 수 있으며 회전 성분 바람은
유선함수나 소용돌이를 알면 구할 수 있습니다.
소용돌이에 ∇ 을 취하면 유선함수장이 되고 반대로, 유선함수장에 ∇ 을 취하면
소용돌이도가 됩니다.
또한, 유선함수를 알면 벡터연산( × ∇)을 통해 회전 성분 바람을 구할 수 있다.
소용돌이도는 지균소용돌이도와 유사하고 지위고도장을 로 나눈 것이 유선함수장과 같은
개념이라는 것
속도 포텐셜에 대해 ∇ 을 취하면 발산장을 구할 수 있고,
속도 포텐셜에 ∇ 을 취하면 발산 벡터를 구할 수 있습니다.
(여기는 솔직히 잘 모르겠으니 나중에 배울 때 궁금한 거 물어보기)
19. 소용돌이도
소용돌이도란? 회전하는 바람을 말한다.44)
소용돌이도를 정의하기 위해서는 어떤 한 축을 중심으로 유체의 회전 속도를 측정하는
것이다.
따라서, 소용돌이도를 정의하려면 회전축과 회전속도의 개념이 필요하다.
회전축은 오른손의 엄지가 가르키는 방향이며 오른손의 법칙에 따라 감는 방향인 반시계
방향이 플러스(+) 회전의 방향이다.
이러한 반시계 방향 회전은 북반구 기준으로 정의된다.
수학적으로 소용돌이도를 정의하면 ∇ ×
로 간단하게 정의된다.
즉, 속도의 기울기 정도로 보면 된다.
값을 적어보면
여기서 토네이도, 태풍과 같은 건 축을 회전축으로 하는 회전을 의미하기에
의 성분은 무시하고 성분인
를 라고 표시한다.
이것을 상대소용돌이도라고 표현하는 것도 기억하자
상대 소용돌이에 반대되는 개념이 바로 지구 소용돌이(planetary vorticity)입니다.
상대 소용돌이와 지구 소용돌이의 차이점을 한 번 살펴보면
상대 소용돌이는 지구가 고정되었을 때 물체가 직접적으로 가지는 속도를 의미하고
지구 소용돌이도45)는 북극 위에 회전축을 설정해서 측정되는 지구 자체의 회전을 의미한다.
지구는 고체이기 때문에 지구 소용돌이도를 간단하게 정의할 수 있다.
지구 소용돌이는 로 표시하며 지구가 회전하는 속도는 각 위도 상에서 정의되는 지구 회전
선속도46)로 정의되며 이것을
로 표현합니다.
44) 어떤 한 점에서 회전을 측정하는 개념
45) 행성 소용돌이
- 31 -
즉, ∇ ×
로 표현한다는 것입니다.
이와 같이 고체 상태의 소용돌이도는 항상 회전 각속도의 두 배의 값이 됩니다.
즉, 는 지구 회전 각속도이며 지구 소용돌이도는 지구 회전 각속도의 2배인 라는 것이며
항상 일정하다는 것입니다.
다음은 절대 소용돌이에 대해서 정리해보겠습니다.
절대 소용돌이(absolute vorticity)는 고정된 좌표계를 기준으로 측정한 상대 소용돌이도와
행성 소용돌이도의 연직 성분을 합한 것을 말한다.
즉, 절대 소용돌이도는 상대 소용돌이도( )와 행성 소용돌이도( )의 합이다.
절대 소용돌이도는 라고 표현하며 위의 식을 수학적으로 표현하면
이때, sin ( 는 위도)이다.
Q. 왜 sin 인가요??
지구 회전 각속도가 인데 지구 소용돌이도는 이거의 2배임을 위에서 말했다.
이때, 는 북극면에서의 연직방향 벡터이며 지구는 구형이기 때문에 각각의 면에서 연직방향
벡터가 달라질 수 있음을 이해할 수 있다.
따라서, 어떤 위도( )에서 를 그대로 가져온 후 그 면에서의 연직방향을
이라 하면
과
수직이며 직각삼각형을 이루도록 만들면
sin 라는 위도에 따른 회전 각속도 벡터가
나온다.
그럼, 지구 소용돌이도는 이거의 2배이므로 sin 라는 것이 나온다.
정리하면 절대 소용돌이도( )는 sin 로 표현 가능
-상대 소용돌이도의 특징
그림을 보면 왼쪽은 방향으로 갈수록 의 속력이 줄어들고
오른쪽은 방향으로 갈수록 의 속력이 증가한다는 것을 알 수 있다.
그러므로 위 식을 고려하여 식을 따지면 의 값이 양수임을 알 수 있다.
따라서, 이면 반시계 방향, 저기압성 바람
반대로 이면 시계방향, 고기압성 바람47)이라는 걸 알 수 있다.
저기압성 바람은 양의 상대 소용돌이도
고기압성 바람은 음의 상대 소용돌이도라고도 부른다.
46) ∇ ×
47) , 인 경우를 말한다.
- 32 -
이렇게 직선으로 차이나는 바람을 ‘시어효과’라고 하고 시어 말고 반지름이 있으면 곡률이
있기 때문에 곡률로 인하여 부는 바람을 ‘곡률효과’라고 한다.
즉, 바람시어는 거의 없지만 흐름을 따라서 움직이는 양상이 달라지는 것을 의미합니다.
오른쪽 그림에서 왼쪽에서 오른쪽으로 바람이 분다고 하면, 첫 번째 곡률에서는 시계방향으로
돌기 때문에 고기압성이며 , 두 번째 곡류에서는 반시계 방향으로 돌기 때문에
저기압성이며 임을 쉽게 알 수 있다.
지균풍의 흐름을 생각해 볼 때 왼쪽에 저기압을 두고 바람이 불어야 한다는 것 또한 알 수
있다.48)
20. 켈빈의 순환정리와 잠재소용돌이도 보존
순환: 대기의 흐름과 대기의 특징을 나타내는 중요한 성질
소용돌이도: 어떤 한 점에서 회전을 측정하는 개념
=> 순환은 global, 소용돌이도는 하나의 점(point) 즉, 로컬(local)의 개념
이 순환과 소용돌이도를 이어주는 방정식 ‘스토크스 정리’에 대해서 배워보겠습니다.
식부터 한 번 보자
∙ ∇ × ∙
=> 이 식을 스토크스 정리라고 한다.
적분 기호에 동그라미가 있는데 이건 둘러싸인 ‘폐곡선’이라는 의미다.
즉, 폐곡선49) 에 해당되는
와 의 곱을 다 더한다는 것이다.
이때,
는 어떤 한 점에서의 접선 바람이고
48) 지균풍일 때 왼쪽에 무조건 저기압 오른쪽 무조건 고기압이 있다는 의미
곡률에서는 지균풍이라는 건 없지만 순간순간의 속도는 직선이므로 작게보면 지균풍이라고도 이해하
고 접근하는 것이다.
49) 맨 바깥 쪽 선을 의미
- 33 -
은 폐곡선의 중심과 한 점을 이은 위치벡터를 , 폐곡선의 다른 점과 중심 사이의 거리를
이라 하면
그 차이는 임을 알 수 있고
아주 미세하게 보면 접선 바람과 의 내적50)이므로 아주 작은 폐곡선의 일부분이다.
이 작은 폐곡선의 일부를 다 합하면 순환이 된다는 개념임을 알 수 있다.
이제 우변을 해석 해 보자
는 폐곡선 안을 로 아주 잘게 쪼개 폐곡선안에 포함되는 사각형의 넓이합을 이야기
하며
∇ × 는 사각형 안의 소용돌이도를 의미한다.
은 사각형의 연직벡터이며 는 를 의미
따라서,
∇ × ∙ 는
51)
폐곡선 안에 있는 조그만한 사각형의 소용돌이도의 합을 의미52)한다.
결국, 좌변은 크게 보는 거시적인 관점 우변은 작게 보는 미시적인 관점이다.
순환과 소용돌이도를 직관적으로 이해하는 방법이 있는데
각각의 미시적인 소용돌이도를 합하면 순환이 나오고 면적으로 나누어 평균 소용돌이도를
구하면 된다.
즉, ( 는 평균 소용돌이도, 는 순환, 는 면적)
행성 소용돌이도()를 스토크스 정리로 유도할 수 있다.
위도마다 지구 자전 선속도가 다르기 때문에
순환을
∙ 라고 정의할 때
관성 좌표계에서 본
는 그 물체가 가지는 속도 + 지구 자전 속도다.
따라서,
∙ 라고 표현하는데
∙
우리가 구하고 싶은 건 지구 순환이므로
∙ 을 계산해야한다.
∙
즉, 행성 소용돌이도는 ∇ ×
라고 표현한다.
50) lim
→
51) ∇ ×
의 방향은 윗 방향이며 이거를
와 내적하면 cos 이 되어 결국, 스칼라가 된다.
52) 소용돌이도가 다닥다닥 붙어있으면 결국, 위 아래로 나란히 놓인 두 격자 사이의 경계면에서는 양쪽
에서 회전하는 방향에 서로 상쇄되는 부분이 생겨 결국 폐곡선과 같은 방향으로 돌게 되어 있다.
- 34 -
위 그림53)을 보면
와 지구 자전 속도인
를 연결 시키기 위해 외적으로 표현하면
( : 지구 중심의 위치벡터)로 표현 가능
×
즉,
×
sin
cos
이때, 특정 위도에서의 지구 반지름을 이라 하면
cos
위 식에 대입하면
다르게 이렇게도 구할 수 있다.
인데, 시간()로 미분하자
즉,
이므로 정리하면
은 앞에
을 고려하면 어떤 위도의 지구 둘레이므로
면적은
∙
다 대입하면 행성 소용돌이도( ) ∇ ×
이로써, 행성 소용돌이도( )는 지구 자전 각속도()의 2배가 증명되었다.
-소용돌이도 보존회전에 대한 보존은 결국 소용돌이도가 어떤 식으로 보존되는지에 대한 식이 된다.
절대좌표계에서의 순환을 라고 하면 가 된다.
53) 그림 잘못됐습니다. cos 가 아니라 sin 입니다.
- 35 -
증명은 하지 않지만, 절대 좌표계 순환의 시간에 따른 변화율은 다음과 같이 정의된다.
(솔레노이드 항이라고도 부른다.)
위 식을 순압대기 즉, 밀도가 기압에 의해서 변할 때 생각하면
적분에 있는 순환 기호에 의해서 다시 제자리로 돌아오면 결국, 기압은 상태함수이므로
이라는 의미기 때문에
이기에 순환이 보존된다는 걸 알 수 있다.
21. 켈빈의 순환정리와 잠재소용돌이도 보존(2)
위에서 절대좌표계의 순환( )은 지구좌표계의 속도 성분에 의한 순환( )과
지구의 회전 선속도로부터 발생하는 순환( )으로 정의할 수 있습니다.
즉,
이때, 를 한 번 생각해보자
어떤 위도상의 작은 공기 원기둥의 한 면적을 라고 할 때, 순환을 정의대로 쓰면
∙ 로 쓸 수 있다. 이때, 는 의 연직방향 벡터이면서
동시에, 는 평균 지구 소용돌이도54)이므로 sin 라고 쓸 수 있다.
순압대기라고 가정하면 이므로
sin 가 성립되며
이 식은 보존식임을 알 수 있다.
소용돌이도의 정의를 사용하기 위해 로 묶어내는 테크닉을 활용하자
sin
여기서 는 상대소용돌이도()가 된다는 걸 알 수 있다.
따라서, sin 가 된며
미분하기 전 식인 sin 의 값은 상수()임을 알 수 있다.
즉, sin
따라서, 회전원기둥의 면적( )*(상대소용돌이도()+행성소용돌이도( ))의 값은
시간에 따라서 절대 바뀌지 않습니다.
면적이 줄어들면 회전성분이 커지고 면적이 커지면 회전성분이 작아진다는 것입니다.55)
대기의 규모가 작을수록 대기는 경압대기에 가깝고 규모가 조금 더 커지면 순압대기에 가까워
지기 때문에 이러한 가정과 결과가 가능한 것이다.
54) 위에서 배운 것처럼 어떤 위도에서의 회전 각속도는 소용돌이도의 1/2배임
55) 면적이 줄어든다는 건 수렴, 면적이 늘어난다는 건 발산한다는 것
- 36 -
이때, 이상의 대규모 운동에서는 라고 가정56)할 수 있으므로
라고 할 수 있다.
켈빈의 순환정리에서는 밀도항(
)이 포함하기 때문에 항상 순압대기라는 전제가
있어야 한다.
하지만, 등온위좌표계를 사용하면 순압대기를 가정하지 않아도
의 항이 사라집니다.
=> 등온위면 상에서의 운동일 경우 항상 단열과정이기 때문에
순압대기를 가정하지 않아도 절대좌표계에서의 순환이 보존57)된다.
즉, 등온위면 좌표계에서 는 항상 성립하며 58)입니다.
큰 규모의 대기는 거의 단열상태에서 움직인다.
가 되기 때문에
와 의 간격이 커지면 가 줄어들고 회전은 늘어나게 됩니다.
위 그림을 외우시길 바랍니다.
이제, 등온위면좌표계에서 솔레노이드(
)항이 사라지는 것을 증명해봅시다.
에서 등온위면이므로 온도( ) 대신 온위( 식을 사용하자
즉, 에서 밀도(항으로 정리하면
×
여기서, 의 값은 다 상수이고 만 오직 변수기 때문에 결국, 밀도는 압력만의 함수로
바뀌게 된다.
따라서, 순압대기를 가정하지 않고도 등온위면을 따른다고 하면 밀도가 오직 기압만의 함수가
되기 때문에 절대순환이 보존된다는 것이다.
56) 비발산이라는 의미다.
57) 이기 때문에 밀도는 오직 압력만의 함수로 바뀌게 된다.
58) 밑에 는 등온위면에서의 상대 소용돌이도를 의미한다.
- 37 -
또, 등온위면이기에
온위는 보존되므로 온위선을 가로지르는 운동은 하지 못한다.
따라서, 두 온위선 사이의 공기기둥의 질량( )은 변하지 않습니다.
공기기둥의 질량을 나타내면 이고
정역학 방정식을 이용하여 표현하면
라고 쓸 수 있다.
이고 또한 상수59)이므로
× 이며, 가 에 비례하는 양이라는 걸 알 수 있습니다.
여기서, 는 중요한 물리적 의미를 가진 양이며, 정적안정도에 비례하는 양입니다.
정리하면, 입니다.
라는 걸 고려하면
이며
이 식을 에르텔 잠재소용돌이도라고 합니다.
즉, 에르텔 잠재소용돌이도는 소용돌이도의 합( )과 정적안정도( )로 구성
정리하면, 잠재소용돌이도를 만족하는 조건60)에서 순압대기라는 가정이 없고
단지 단열상태에서 소용돌이도× 정적안정도는 항상 보존된다는 것이다.
이제 물리적인 의미를 파악해보겠습니다.
기둥의 등온위면이 넓어진다고 생각해보면 온위 간격이 넓어진다는 것은 온위가 고도에 따라
크게 변하지 않는다는 뜻이고 온위 간격이 좁아진다는 것은 온위가 고도에 따라 급격하게
변한다는 뜻입니다.
59) 온위 간의 차이기 때문에 그냥 하나의 상수임
60) 등온위면이라는 조건
- 38 -
일반적으로 온위는 고도에 따라 증가하므로 급격하게 증가하면 매우 안정이고 간격이
넓어질수록 안정도가 작아지게 됩니다.
따라서, 안정도를 나타내는 가 작아지면 소용돌이도의 합( )
즉, 회전이 커져야 하므로 온위면이 넓어진 쪽의 기둥이 훨씬 빠르게 회전합니다.
앞에서 언급하였듯이 는 와 거의 같은 개념이라는 것 또한 확인 가능한데
면적개념으로 생각하면 면적이 좁을수록 회전이 강해진다는 것이다.
정리하자면, 정적안정도가 작아지면(=면적이 작아지면) 회전은 강해져야 한다는 것입니다.
물리학에서 회전은 보존되는 법칙이라는 개념은 기억해두면 좋다.
22. 소용돌이도 (미분) 방정식
- 방정식이란?
변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식을 방정식이라 한다.
이 정의에 입각하여 ‘소용돌이도 방정식’의 의미를 추측하면
소용돌이도라는 방정식에서 어떤 변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 것을 의미한다.
이러한 의미는 한 개 이상의 변수로 이루어진 다항식이라는 의미다.
우리가 정의하기로 소용돌이도는 속도(
)에 curl(∇ × )을 하여 방향의 값을 본다고 했다.
즉,
이 소용돌이도()에 대한 방정식을 만들어야 한다는 것이다.
근데, 눈을 씻고 찾아봐도 이러한 방정식에 대한 항은 찾을 수 없다.
그렇다. 사실은, 공학수학에서 배우는 미분방정식이다. 정확하게 말하면 ‘편미분 방정식’이다.
소용돌이도를 미분하냐? 그건 아니다.
소용돌이도를 포함하는 미분 방정식을 만들면 된다.
예를 들어, 와 같은 식을 말이다.
그러므로, 우리가 배웠던 지배 방정식(Governing equation)을 쓰면
, 을 ‘편미분’하여 소용돌이도의 형태를 만들어야 한다.
- 39 -
전미분과 편미분 형태를 이용하여 표시하면
⋯ ㉠
⋯ ㉡
의 형태를 만들기 위해서 잘 들여다 보면
에 가 있어야 하고 에 가 있어야 한다. 따라서, ㉠에 , ㉡에 에 대하여 미분하며
또한, ㉡ ㉠을 해야 소용돌이도 방정식의 형태를 만들 수 있겠다.
① 좌변 첫째 항
인데 변수인 에서 편미분을 로 먼저 해주고 로 미분하나 반대로 미분하나
값은 같기 때문에 미분 순서를 바꾸어도 된다.
따라서, 가 된다.
② 좌변 둘째 항
여기서부터는 나열하지말고 하나씩 미분하자
(미분)
(미분)
(1) 만 미분
을 로 먼저 편미분 한 후 로 편미분한 값과 순서가 바뀌어도 상관없으므로
좌측 두 번째 항은 이다.
이 개념들을 밑에 식에 다 적용시켜 정리하자
(2) 편미분을 미분
- 40 -
③ 좌변 셋째 항
(1) 만 미분
(2) 편미분을 미분
④ 좌변 넷째 항 미분
(1) 만 미분
※주의: 얘는 편미분이라 해도 분모의 변수가 다르기 때문에 함부로 바꾸면 안된다.
(2) 편미분을 미분
⑤ 우변 첫 번째 항 미분
(1) 에 대해서 미분
는 에 대한 함수이다. ( sin 즉, 위도에 대한 함수)
가 된다. ( )
(2) 수평 속도를 미분
⑥ 우변 두 번째 항 미분
(1) 에 대해서 미분
61)
×
61) 를 로 미분하면
이나, 자세히 들여다 보면
가 있다.
- 41 -
(2) 편미분을 미분
식을 정리하면
여기서, 이고, , 이므로
가 된다.
정리하면
종관규모 이상에서는 첫 번째 항이 제일 크기 때문에 두 번째 항과 세 번째 항은 무시가 되나
종관규모 보다 작은 기상현상에서는 두 번째 항과 세 번째 항이 작지 않고 중요한 역할을
합니다.
따라서, 이제부터 각 항의 의미에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.62)
(1) 수평 발산·수렴 항(Stretching term):
순압대기에서 라고 배웠다.
이때, ≈ 다.
즉, 이라는 의미는 이라는 의미로 발산이 된다.
또, 이라는 의미는 이라는 의미로 수렴이 된다.
정리하면, 동일한 가 있는 상태에서 공기가 수렴하냐 발산하냐를 따지는 것이다.
이때, 방향을 따져야 한다.
방향은 에 의해서 결정되는데, 이면 반시계 방향, 이면 시계 방향이다.63)
따라서, 이면, 이 증가하게 되며, 회전이 증가한다는 것은 곧
소용돌이도가 강화된다는 것을 의미한다.64)
62) 고도좌표계의 관점에서 소용돌이도 방정식을 살펴본다.
63) 는 항상 양수이며 중위도 종관규모에서 ≫
- 42 -
(2) 기울기항(뒤틀림항, Tiliting) :
두 번째 항은 tilting 항이라고 하며 ‘기울기항’ 또는 ‘뒤틀림항’이라고 합니다.
즉, 소용돌이 회전축이 주풍에 의해 축이 바뀌면서 생기는 새로운 바람을 말한다.
예를 들어, 축에 대한 회전이 관찰자와 나란하지 않을 경우 관찰자는 이 회전을 실제
회전보다 약하게 혹은 강하게 인지할 수 있다.
하지만, 회전축이 관찰자의 방향과 나란할 경우 같은 방향으로 움직이기 때문에 정확한
회전을 알 수 있다는 의미다.
이러한 개념을 적용할 수 있는 것이 바로 행성소용돌이도(sin)입니다.
즉, 관찰자의 위도에 따라 값이 달라지는 것처럼 회전축이 기울어져서 생기는 현상을
의미합니다.
밑 그림을 보자
일 때, 그림을 보면 양의 방향으로 갈수록 방향의 풍속이 감소함을 알 수 있다.
이에 따라 축과 평행을 이루던 중심축은 소용돌이도의 방향에 의해서 위로 도 각도로
돌아가려고 할 것이다. → 연직방향의 소용돌이도 벡터가 생성됨
일 때, 그림을 보면 방향으로 갈수록 방향의 풍속이 증가한다는 것이므로
이에 따라, 위로 45도 각도를 이루던 중심축에 안쪽으로 들어가는 가 고도에 따라
강해지므로 양의 방향에서 보면 시계방향으로 회전하므로 음의 소용돌이도( )가 있다.
즉, Tilting term은 회전이 실질적으로 강해지거나 약해지는 것이 아니라 축이 기울어짐에
따라 바라보는 관점이 달라지기 때문에, 바라보는 회전축 성분이로의 기여도가 달라져서
생기는 성분이라는 것입니다.
(3) 솔레노이드 항:
밀도의 수평 변화에 의해 소용돌이도를 만들어내는 항이다.
64) 공기가 발산( )인 경우 수렴과 반대로 소용돌이도가 약해진다.
- 43 -
솔레노이드 항은 Tilting 항보다 작은 항이라서 무시된다.
따라서, 솔레노이드 항을 분석하는 경우는 거의 없습니다.
그래도 간단하게 살펴보면 와 의 분포이기 때문에 경압성65)을 통해 알 수 있다.
즉, 경압성이 강할수록 솔레노이드 항이 강합니다. → 등압면과 등밀도면의 각도가 큰 것을
의미
따라서, 순압이 될수록 이 항은 거의 사라진다고 볼 수 있다.
쉽게 말하면, 밀도가 기압의 함수라면 방향으로 갔을 때의 의 변화량이나 방향으로 갔을
때의 의 변화량이 같기 때문이다.
=> 경압이 심한 정도가 아니기 때문에 거의 사라진다고 볼 수 있다.
예를 들어 설명하면, 북쪽으로 갈수록 기압이 약하고 동쪽으로 갈수록 밀도가 커진다고
생각하자
이때, 기압경도력에 의해서 남풍이 불며 남풍의 크기는 단위질량당 기압경도력인 ∇에
의하여 밀도가 작은 쪽의 기압경도력이 더 큼에 따라 바람이 더 빠르게 불게 된다.
따라서, 시계 방향의 회전이 있게 되고 시간이 흐르면 가벼운 공기는 북쪽, 무거운 공기는
남으로 이동하여 기압과 밀도가 균형을 이루게 된다.
이제 기압좌표계에서 소용돌이도 방정식을 살펴보자
고도좌표계에서 기압좌표계로 바뀔 때 밀도()항이 전부 사라지고 가 로, 가 로 바뀌게
된다.
1. 전미분 전개:
2. 기압좌표계 항 변환: ,
을 묶기 전 식인
위 식에다가 1, 2를 적용하자
이때, 우변의 마지막 항은 어떠한 가정도 없이 사라지게 된다.
이제 좌변을 보자
좌변의 (sin)는 위도 함수 즉, 의 함수이므로 에 대해서 미분하면 0이 된다.
65) 온도에 의해서 등압면과 등밀도선이 일치하지 않는 경우
- 44 -
즉,
이렇게 기압좌표계에서 전미분과 편미분의 관계가 정의된다.
따라서, 가 되며
이 방정식은 기압좌표계에서의 소용돌이도 방정식입니다.
정리하면, Tilting 항에서는 를 로 를 로 치환해야하며 는 그냥 사라진다고 생각하면
편하다.
------------------------------------------1. 고도좌표계에서의 소용돌이도 방정식
2. 기압좌표계의 소용돌이도 방정식
=> 밀도 변화에 의한 솔레노이드항이 사라진다는 것이 차이점!
23. 소용돌이도 방정식(2)
이 파트에서는 소용돌이도 방정식의 규모 분석을 할 것이다.
바라보는 규모에 따라 방정식을 구성하는 항의 중요도가 달라지기 때문에
바라보는 규모에서 중요한 항들만 남기는 과정은 매우 중요하다.
위에서 유도하는 건 했으므로 생략하고
고도좌표계에서의 소용돌이도 방정식의 좌변을 편미분으로 쓰면 는 에 대한 함수를
고려하여 방정식을 완성하자
즉, 위에 식은 단순히 소용돌이도 방정식의 좌변에 있는 를 제거하고 정리한 식이다.
이제 규모 분석을 하자
● 소용돌이도( ) ≈ , 중위도 행성소용돌이도( ) ≈
, cos ≈ )
( ≈
따라서, 상대소용돌이도( ) ≪ 행성소용돌이도( )
(
1.
)
(
2.
)
- 45 -
3.
4.
5. - ≈ -
6. - ≈
7. ≈
66)
8.
≈
행성소용돌이도( )가 가장 큰 것을 볼 수 있다.
이제, 매우 작은 항인 항을 제거하고 이상이 되는 항들만 남기면
좌변에 연직이류항이 사라지고 우변은 tilting term과 stretching term이 삭제된다.
편미분 형태는 고정된 지점에서의 변화율이므로 보존형태가 아니다.
따라서, 보존형태로 바꾸기 위해서 ‘전미분’형태로 바꾸자
즉, 67)
66) 방향으로의 밀도 변화( )와 방향으로의 밀도 변화( )는 같은 값이 아닐 확률이 크기 때문에 저
렇게 하나만 계산할 수 있음 즉, 0.1에서 2 곱한 0.2나 0.1이나 규모분석에서는 소수자리수만 본다는
것
67) 는 즉, 고도좌표계라는 걸 표시해주는 것이다.
- 46 -
또, 에서 가 에 대한 함수이므로 고도좌표계에선
임을 알 수 있다.
따라서, 정리하면 의 고도좌표계에서의 전미분과 편미분의 관계식은 이다.
규모분석을 통한 소용돌이도 방정식은 68)입니다.
쉽게 정리하면, 소용돌이도 이류의 연직성분( )은 거의 기여하지 않는다.
따라서, 우변은 모두 삭제되고 stretching term만 남는다는 것이다.
이 식은 켈빈의 순환정리를 통해 유도한 과 비슷한 식이며
는 발산의 의미이므로 면적 변화율( )과 관계가 있다.
즉, 와 는 거의 유사한 식이다.
이제 소용돌이도 방정식이 어디에 주로 적용되는지 알아보겠습니다.
소용돌이도를 분석할 때는 발산 항이 없는 경우가 해석이 간편하기 때문에
바람이 지균풍에 가까운 규모로 분다고 하면
이라고 할 수 있다.
지균풍에 가까운 바람이 부는 고도 지점이 바로 임을 알 수 있다.
즉, 은 비발산고도라고 불리며 수평 발산과 수렴이 없는 것이다.
다르게 말하면 기압좌표계의 연속방정식( )을 고려하면
에서는 지균풍이 불기 때문에 위에 말한 것처럼 앞에 두 항은 0이 되므로
세 번째 항인 연직 발산의 항이 0이 된다.
즉, 가 가장 강력한 레벨, 비발산고도, 이 되는 지점이 이다.
따라서, 에서는 임을 알 수 있다.
이제, 세 가지 가정을 하게 된다.
1. 대기는 순압대기(수평 온도 일정, 밀도는 오직 기압만의 함수)라고 한다.
2. 산맥이 존재한다
3. 지균풍은 고도에 대해 독립적 ‘즉, 바람이 불 때 고도와 상관없이 똑같이 분다’ → 1번과
연결됨
68) 좌변은 고도좌표계, 우변은 기압좌표계를 통하여 쓴 식이다.
- 47 -
: Vertical Wind Shear이 없다는 것이다. 즉, 온도풍이 발생하지 않음
순압유체 즉, 순압대기일 때
에서 발산,수렴은 면적과 매우
밀접한 관계가 있으므로 이를 다시 정리하면 를 유도 가능하다. (유도 생략)
위 식은 와 거의 같은 의미다.
즉, 가 커지는 기둥은 가 작아지고 가 작아지는 기둥은 가 커진다는 것이다.
따라서, ∝ 이다.
가정에 대한 그림을 보자
각각 부분에 원기둥이 세워져있다고 생각해보자(서풍일 때)
1. 맨처음: 소용돌이도 변화 없음
2. 두 번째: 밑 온위( )와 위 온위( )의 차이 즉, 위 온위가 연직방향으로 살짝
올라감에 따라 높이()가 커졌으므로 전체 값이 작아지므로 분자가 커져야한다.
이때, 높이가 커졌다는 건 수렴이 있다는 것이고 위에서 배운 것과 마찬가지로 ‘저기압성
소용돌이’ 즉, 이라는 의미가 된다. 이후 북쪽으로 옮겨진 지균풍에 의해서 또한
증가하게 된다.
3. 세 번째: 온위 사이의 간격이 줄어들고 있으므로 가 감소하고 있다.
즉, 발산하는 의미와 같으므로 고기압성 회전( )이라고 할 수 있으며
남쪽으로 이동한 공기에 의해서 또한 감소한다. → 절대소용돌이도 보존
4. 네 번째: 가 증가하고 있다. 즉, 수렴하는 것과 같은 의미라서 저기압성 회전이며 가
증가함
5. 다 섯째: 위 온위( )가 아래로 내려오므로 온위 높이차()가 감소한다. 그러므로
고기압성 회전( )임을 알 수 있고 또한 감소
- 48 -
이렇게 산을 완전히 내려온 이후에는 서서히 가 일정하게 되며 가 되어 와
가 보존된다.
하지만, 현재 같이 커지고 작아졌기 때문에 다시 처음과 같은 보존 상태를 만들기는 어렵기에
어느 정도 진동하면서 물결형태로 동작이 일어난다.
각각 부분에 원기둥이 세워져있다고 생각해보자(동풍일 때)
오른쪽부터 시작해야 한다.
1. 첫 번째: 가 커졌으므로 수렴하는 저기압성 회전이라서 이며 가 남쪽으로
이동함에 따라 감소한다.
2. 두 번째: 가 감소했으므로 발산하는 고기압성 회전이라서 이며 가 북쪽으로
이동함에 따라 증가한다.
3. 1과 동일
이때, 동풍의 경우는 산맥을 넘으면서 파동이 거의 사라지는데 와 의 방향이 서로 반대기
때문에 그렇습니다.
즉, 서로 삭제가 된다는 것입니다. 기억해두시길 바랍니다.
조금 더 정리하자면
서풍의 경우 상대소용돌이도와 행성소용돌이도가 같은 방향
동풍의 경우 상대, 행성 소용돌이도의 방향이 서로 반대
24. 로스비 파
배경지식으로 알고 있어야 할 것
진동: 운동의 한 형태이며 한 점에서 주기적인 물체의 상하(좌우) 이동, sin cos 으로 운동이
표현됨
- 49 -
주기( )와 진동수( )가 진동의 본질적 요소다.
진동하고 있는 물체를 수학적으로 표현하면
여기서 로 표현하며 는 각진동수입니다.
주기의 역수는 진동수다. 즉,
는 진폭이며 축을 기준으로 의 최고점 사이의 거리를 의미한다.
파동: 어떤 매질이 있고 주기적으로 진동이 전달되는 것을 의미하며 진동의 공간적인 확장을
의미한다.
파동의 성질에서 중요한 건 속도는 매질이 결정하며 상하로만 움직이지 좌우로 이동하고 있지
않다는 것이다.
주기( )와 파장()을 기준으로 주기의 역수는 진동수( ), 파장의 역수는 파수( )로 표현하며
진동수의 의미는 ‘단위 시간당 단위주기 속에 몇 번 진동하냐?’, 파수의 의미는 ‘단위 파장당
단위주기 속에 몇 개의 파장이 들어가나?’인지 묻는 것이다.
, 로 표시한다.
파장은 삼각함수로 표현되기 때문에 주기 때문에 분자에 항상 가 들어간다.
‘이 파동이 얼마만큼 빨리 전파 되는가?’ 에 대한 개념을 바로 위상속도69)( )라 한다.
거리
즉, 으로 표현한다.70)
시간
이제, 임의의 모든 파동을 표현하는 식을 표현하면
sin 로 표현된다.
이 수식은 유도를 하지 않고 외우시길 바랍니다.
먼저, 일 때 살펴보면
69) 위상속도: 마루와 골이 이동하는 속도를 일컬음
70) 속도는 ‘거리/시간’으로 표현한다는 것이다.
- 50 -
이므로, 입니다.
고등학교 때 배운 삼각함수 주기 공식을 이용하여 생각하면 주기는 이며 최대, 최소는
임을 알 수 있다.
이제, sin 식과 비교하면, 를 축으로 평행이동 시킨
함수라고 볼 수 있다.
즉, 가 증가할수록 축으로 만큼 계속해서 평행이동 시키고 그 속도는 임을 알 수 있다.
위 식을 전개하면 sin sin 가 된다.
이제 본격적으로 로스비 파에 대해서 배우면
로스비 파란? 기상학적으로 차드에서 보는 꼬불꼬불한 패턴들이 바로 로스비
파입니다.
파동의 기본원칙을 모두 만족하는 파동입니다.
로스비 파는 두 가지로 나뉘는데 1. 순압 로스비 파, 2. 경압 로스비 파로 나뉩니다.
일반적으로 규모가 커지면 순압대기에 가까워져 1을 따르고 (거시적으로 본다는 의미)
종관규모인 ∼ 정도가 되면 남북 온도경도에 연관이 되기에 경압 로스비
파로 나뉘게 됩니다. (미시적으로 본다는 의미)
일반적으로 로스비 파라고 하면 순압 로스비 파동을 말합니다.
로스비 파의 확인은 회전수조실험을 통해서도 할 수 있는데
회전수조의 안쪽을 차갑게(북극) 만들고 바깥쪽은 열선을 통해 가열(적도)해주고
반시계방향(자전)을 하면 중간에서 편서풍 파동이 형성되는 것을 확인할 수 있습니다.
- 51 -
밑에는 실제 실험 그림입니다.
극 지역에는 액체 질소를 이용해 굉장히 차갑게 하고 중위도는 송진 가루를 뿌려 물의
움직임을 잘 들어나게 하면 파동이 형성되어 끊임없이 돌고 있는 것이 확인된다.
이제 로스피 파가 왜 형성되는지 살펴보겠습니다.
로스비 파를 거시적으로 보게 되면, 남북 방향으로 온도차가 일정하게 나기 때문에 등압선의
간격이 일정하다고 할 수 있습니다.
따라서, ≈ 라고 할 수 있습니다.
이제, 모든 파동을 표현하는 식인 sin 을 제트기류 즉, 바람으로 나타내려면
시간에 대해서 미분을 하여 표현하자
즉, cos cos cos
cos
여기서 인데 가 전부 다 상수고 가 동서 방향의 바람이므로
는 동서 바람의 속도라고 볼 수 있다.
순압대기에서의 제트기류를 보고 있기 때문에
순압대기에서 보존되는 방정식인 을 이용하자
이때, 이고 앞에서 ≈ 라고 했으므로 만 알면 소용돌이도를 알 수 있다.
위 식에 를 알기 때문에 로 편미분하면
sin : 를 SI 단위계로 이라 쓴다.
- 52 -
sin 이므로 두 식 모두 에 대입하여 정리하자
cos
이때, 는 만의 함수이므로 전미분과 편미분의 관계를 이용하면 로 미분한 양은 다
사라지게 되므로 방향 이류성분만 남게 된다.
즉,
여기서, 가 나왔는데 는 ‘남북방향으로의 행성소용돌이도 경도’입니다.
즉, 행성소용돌이도가 남북방향으로 얼마나 크게 변하는지를 의미하며
편서풍 방향(동쪽)에서 에 의해 로스비 파동은 항상 서쪽으로 이동하는 독특한 현상이
생기며 이것은 로스비 파동만의 고유한 성질입니다.
대신 cos 를 넣어주고 cos 는 두 항의 공통부분이므로 양변을
cos 로 나누면 소멸71)됩니다.
결국, 가 됩니다.
위 식을
가 되며
으로
나눠서
정리하면
이 관계식을 ‘분산관계(Dispersion relation)’이라고 합니다.
위상속도( )에 대해 정리하면
의 식을 얻게 되며
여기서, 는 평균류 즉, 제트기류라고 보면 되며 위상속도는 평균류에 의해서 움직인다.
쉽게 말하면 가 양수면 동쪽으로, 가 음수면 서쪽으로 움직인다는 것이다.
이때, 가 0 즉, 평균류가 없으면
가 되고 는 항상 양수이므로
로스비파는 평균류에 대해 반드시 서쪽으로 이동한다는 매우 중요한 사실을 알 수 있다.
※가 항상 양수인 이유
1. 북쪽으로 가는 경우
에서 이기 때문
2. 남쪽으로 가는 경우
에서 이기 때문
따라서, 항상 양수다.
71) 방정식 풀 때 원래 이렇게 나누면 안된다. 논리적이지 않기 때문 즉, cos 자체가 0
이 될 수 있음 하지만, 여기선 아무런 뜻이 없어서 나눠준 것 뿐이다.
- 53 -
정리하면, 제트기류에 의한 소용돌이도 이류는 파동을 동쪽으로 이동시키고 행성소용돌이도
이류는 파동을 서쪽으로 이동시킨다는 걸 알 수 있다.
-제트기류 직관적 이해
위에서는 ‘펑균류가 없을 때 로스비 파동이 왜 서쪽으로 이동하는가?’에 대해 수학적으로
살펴보았습니다.
이제부터 직관적으로 살펴보면
로스비 파동이 서쪽으로 이동하는 이유는 베타효과 때문이며
이 제트류는 순압대기에서의 제트류라고 했기 때문에 가 된다.
이때, 평균류에 의해서 골 서쪽(①)에서는 북풍이 불면 가 작아지고 결국 보존하기 위해선
가 커져야 한다. 가 커진다는 건 저기압이 발달하는 것을 의미하므로
저 자리에 저기압이 발달하기 위해서는 골이 왼쪽으로 이동할 수 밖에 없다.
반대로, 골 동쪽(②)에서는 남풍이 불면 가 커지고 결국 보존하기 위해선
가 작아져야 한다는 것이다.
가 작아진다는 건 고기압이 발달하는 것을 의미하므로 기압 마루가 서쪽으로 이동할 수
밖에 없다.
즉, 평균류와 무관하게 소용돌이도 방정식을 만족시키기 위해서 파동이 전체적으로 서쪽으로
이동한다는 의미다.
간단하게 말하면 의 변화 즉, 효과로 인해 이러한 일들이 일어난다는 것이다.
하나 더 생각해야할 것은
의 식에서 즉, 파장()이 길어지면72) 위상속도는 작아져
서쪽으로 이동하는 경향이 커지게 된다.
72) 행성파(planetary wave)에 가까울수록 즉, 파장이 짧아 잠시 일어나는 그런 흐름이 아닌 긴 띠를
이룰 수록
- 54 -
25. 온대저기압의 이해
온대저기압을 기술하는 방정식은 ‘준지균 방정식’입니다.
제트기류란 온도풍균형에 의해 생기는 바람장의 순환을 말합니다.
북쪽이 차갑고 남쪽이 따뜻하면 기압차에 의해 연직바람 sheer가 생깁니다.
즉, 남북방향 온도경도에 의해 연직방향으로 강한 바람이 생긴다는 것입니다.
따라서, 온도풍 관계식에 의해 수평온도변화가 큰 페렐순환과 극순환, 해들리 순환과
페렐순환 사이의 대류권계면 부근 제트류가 형성된다.
- 한대 제트류에 대한 설명
한대 제트기류는 위도상으로 ∼ 상공에 위치합니다.
또한, 모두 편서풍 형태로 불며 상층바람이 하층바람보다 훨씬 커 제트기류가 존재한다.
한대 제트기류는 겨울에 남하하게 되는데 이때 아열대 제트기류와 합쳐지며 이것을 우리나라
말로 ‘한파’라고 하는 이류가 발생하게 되는 것입니다.
합쳐지는 위치는 동아시아 연안과 미국 동부 연안입니다.
한 위치에 있지 않고 변화가 심해 장기간 평균했을 때 등장하지 않습니다.
- 아열대 제트류에 대한 설명
아열대 제트류는 한 대 제트류보다 남쪽에 위치하고 ∼ 에 위치
또한, 경압성이 강해 하층에서는 동풍 상층에서는 서풍이 분다.
거의 정체되어 있는 편이라 시간 평균해도 뚜렷하게 나타난다.
본격적으로 온대저기압에 대해서 서술하면
위에서 배운 제트기류와 편서풍 파동은 모두 상층에서 일어나는 것이지만
지상에 있는 사람들은 상층보단 하층의 날씨 변화에 대해서 직접적으로 느낀다.
전선과 전선면 그리고 온대 저기압의 특징은 고등학교 지구과학 수준이기 때문에 딱히
설명하지는 않겠습니다.
상층의 도움 없이 한대전선이론이 어떻게 만들어질 수 있는지 설명하면
1. 정체전선을 경계로 키 큰 고기압과 키 작은 고기압이 대치하고 있으며 이로 인해 전선면이
생긴다.
2. 두 전선면 상에서 작은 섭동73)에 의해 저기압 씨앗이 생기면 저기압이 반시계 방향으로
73) 남북수평온도경도가 있는 지역에서 작은 파동으로 살짝 트리거(trigger)를 주는 것으로 이 작은 파동
은 서쪽에서 다가오는 짧은 단파로 파동의 원인은 남북 수평 온도차, 지형적 요인으로 인한 수평기
류의 불연속, 약화된 저기압성 흐름 등이 있습니다.
- 55 -
회전하기에 저기압 중심으로 서쪽은 차가운 공기가 내려오고 동쪽은 따뜻한 공기가
올라간다.
즉, 서쪽의 cold advection과 동쪽의 warm advection이 저기압을 강화74)시킵니다.
이런 파동이 발생하기 위해서는 반드시 좌측에 cold advection, 우측에 warm advection이
존재하여야 하고 파동이 많이 발달하면 cold advection이 warm advection 보다 빠르기
때문에 결국에는 완전히 폐색(blocking) 되면서 전선면 북쪽으로 저기압이 올라가 마찰에
의해 소멸이 된다.
즉, 온대저기압은 따뜻한 공기가 북쪽으로 열을 어느정도 수송하면 마찰에 의해 소멸하는
일생을 가진다는 것이다.
이제 이 하층 온대 저기압이 상층과 연결되는 것을 설명할 것인데 Jule Charney라는 사람이
준지균 이론을 확립하고 발달하는 온대저기압의 연직적인 구조가 어떻게 되는지를 최초로
밝혀낸 사람입니다.
즉, 발달하는 온대저기압 구조는 반드시 cold front와 warm front를 동반하며 이 전선이
존재하면 상층순환과 결합되어 더욱더 하층 저기압을 발달시킬 수 있다는 것을 밝혀냈습니다.
여기서 핵심은 정체전선 상에서 갑자기 생겨나는 아주 작은 이동성 저기압입니다.
저기압이 생성되면 경압성이 발달하게 된다.
저기압 즉, 반시계 방향으로 회전함에 있어 공기들이 서로 이동하는데 이때, 밀도는 공기의
이동에 따라 변하지만 온도 변화는 등압선을 따라 변하지 않고 좀 더 등압선 골의 오른쪽에
등온선의 골이 생기게 됩니다.
왜냐하면 공기의 열전도율은 상당히 낮기 때문에 서로 섞이면서 온도를 주고 받는 것이 아닌
이동에 따른 공기 그 자체의 온도가 이동하기 때문이다.
74) 아직 정확한 이유가 없음.. 그래서 불완전한 이론
- 56 -
밑에 그림을 보자
이렇게 저기압이 생성되어 등압선과 등온선의 평행이 깨지면 공기의 평화로운 상황을
파괴하게 됩니다.
이것을 경압불안정이라고 합니다.
즉, 남북방향으로 찬 공기와 따뜻한 공기가 대치된 상황은 결코 안정된 상황이 아니며
경압성이 잘 발달할 수 있는 상황이 되어 남북 방향의 온도 차이가 해소될 때까지 경압성이
유지된다.
이 경압성에 의해서 상층과 하층의 기압골이 달라지게 되는데
경험적으로 상층으로 올라갈수록 기압골이 서쪽으로 이동하게 된다.
밑에 그림을 보면
실선이 기압골과 기압마루이며 점선은 온도축이다.
온도축이 또 중요한데 온도축은 올라갈수록 오른쪽으로 기울어져있다.75)
1000 등압면을 보면 왼쪽부터 첫 번째 축과 만나는 지점은 고기압, 두 번째는 저기압,
세 번째는 고기압이다.
75) 온도가 높아진다는 것이 아닌 cold center, warm center를 표시한 것
- 57 -
따라서, 실선을 따라 계면까지 올라가면 두 번째 지점은 저기압(반시계 방향)이기에 실선
오른쪽이 남쪽에서 북쪽으로 부는 온난한 쪽이며 세 번째 지점은 고기압(시계 방향)이기
때문에 실선 오른쪽이 한랭하다는 것을 알 수 있다.
실제 기압배치도이다.76)
여기서의 핵심은 ‘발달하는 온대저기압의 상층의 패턴과 하층의 저기압 및 고기압 패턴 간에
서쪽으로 기울어진 구조를 지니면서 연결되어 발달한다는 것’입니다.
26. 준지균 근사
준지균 근사를 하기 전 원시방정식계77)를 복습하자.
1. 운동량 방정식 : ×
∇ (기압경도력과 전향력으로 이루어짐)
2. 정역학 방정식: , → →
따라서,
3. 연속 방정식(질량 보존):
4. 열역학 방정식(에너지 보존):
준지균의 방정식의 핵심은 항들의 ‘근사’인데 이 중에서도 바람을 지균풍으로 근사한 것이
핵심이다.
즉, 날씨를 기술하는 방정식을 유도하되 너무 간단하지 않으면서 가장 간단한 방정식은
무엇인가?에 대한 것이다.
지균풍을 근사하는 것은 좌변을 0이라고 두게 되는 것과 같게 됩니다.
76) 위 그림에서 기압마루에서 수렴되고 기압골에서 발산하는데 이는 경도풍의 식을 구하여 고기압성 경
도풍, 저기압성 경도풍을 구하여 속도 비교를 하면 고기압성 경도풍의 속도가 더 빠르기 때문이다.
77) 원시: 태초의 시작이 되는 것, 원시방정식을 Primitive equation이라 한다.
- 58 -
하지만, 좌변이 0이라는 건 시간에 따라서 변하지 않게 됩니다.
그러므로, 변화의 여지를 남겨두어야 하므로 바람은 ‘거의 지균풍’이라는 말을 쓰게 되는
것입니다.
즉, 준지균 방정식은 연직운동 같은 운동을 포함하지만 지균풍 방정식은 연직 운동을
깔끔하게 무시해버리는 상황입니다.
이 연직운동을 포함하여 고려한 방정식이 바로 준지균 방정식이며 준지균 근사라고 합니다.
준지균 근사 첫 번째는 바로 바람의 성질입니다.
바람은 완전한 지균풍이 아니기 때문에 비지균성분이 지균성분의 약 정도의
크기78)입니다.
즉, 비지균성분이 지균성분보다 작다는 걸 알 수 있습니다.
따라서, 바람(
)은
(지균성분+비지균성분)으로 표현됩니다.
지균풍의 성질을 다시 한 번 보면 좌변을 0으로 만든 후 지균풍 방정식을 만들면
∇ 이며 양변에 ∇ 를 취하면 좌변은 발산의 항이 된다.
×
∇ 이며
∇ ∙
∇ ∙ ×
우변을 계산하면 이 된다.
따라서, ∇ ∙
이 되며
비발산이라는 의미다.79)
즉, 등압면상에서 수평방향으로 비발산하므로 상승/하강운동이 생길 수 없지만 실제 대기는
그렇지 않다.
준지균 근사 두 번째는 베타 평면입니다.
코리올리 함수( )를 테일러 전개 하면 ⋯ 가 되는데 뒷부분의 이차항 이상들은
무시해도 충분히 좋은 근사입니다.
이고, 여기서 는 위도 45도이고 구하면 의 크기는 정도 나옵니다.
나중에 규모 분석을 위해 와 의 크기를 비교하면
이며 ≈ × 이므로 정도 작다.80)
78) 로스비 넘버인 의 값이 약 0.1
79) 지균풍은 반드시 비발산임!
cos
80) 다르게 구하면 cos 이므로 두 식을 연립하면
- 59 -
이제 준지균 방정식을 유도해 보겠습니다.
위에서 배운 2가지 개념으로 유도를 해 보면
×
∇ 에서 출발하는데
좌변을 근사해보자
로 분해하고 전미분과 편미분의 관계를 ‘시간에 따른 변화율’에 대한 크기를
비교한다.
즉, ≈ 라고 쓸 수 있는 이유가 비지균풍은 시간에 따라 거의 변화가 없기
때문이다.
즉, 바람의 가속도 중에서 지균풍의 가속도만 관심있게 다룬다는 것이다.
또, 에서 대신 를 넣고 또한 같으나 시간에 따른
비지균풍의 값은 지균풍에 비해 매우 작기 때문에 무시하고 의 값도 매우 작기 때문에
무시한다.
따라서, 근사식은 가 된다.
우변을 근사해보자
대신
를 대입, ∇ 는 지균풍의 식으로부터 표현이 가능하다.
대신 ,
즉,
×
∇
양변에 를 외적하여 표현하면81) ×
∇
그러면 ×
가 되고 를 대입해야 하나 ≫ 이므로
∇ ×
대입하면
× ∇ ×
×
×
×
×
∙
∙
81)
×
- 60 -
다 합치면, 가 된다.
이제 여기서 성분별(
)로 크기가 작은 항을 제거( )
이 식을 벡터로 표현하면
×
×
위 식들을 종합하여 정리하면 준지균 운동량 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
×
×
우변의 첫 항은 비지균풍의 코리올리 가속, 두 번째항은 베타 평면에 의한 지균풍의 코리올리
가속항이다.
----------------------------------------사실 너무 복잡하게 유도한 것 같아서 쉽게 유도하는 방법? 이라고는 그렇고
한꺼번이 아닌, 성분별로 쪼개어 유도하는 방법을 쓰면 헷갈리지 않는다.
즉, 운동방정식에서의 방향과 방향을 분해하면
방향:
방향:
여기서, 좌변은 전미분과 편미분의 관계식을 이용하여 항이 작은 걸 없애주고
방향의 우변은 대신 대입하고, , 지균풍인 를 이용하여
기압경도력 항을 정리하고 가 다른 항에 비해서 작다고 하여 정리하면 된다.
또한, 방향 또한 똑같이 하여 정리하면
×
×
식이 나온다.
---------------------------------------이제 연속방정식
을 해보면
를 넣어서 계산하면 이므로
지균풍 성분은 사라지고 비지균풍 발산만 남게 됩니다.
따라서, 최종식은
식을 보면 연직 속도는 비지균풍의 수평 수렴 혹은 수평 발산으로 결정됩니다.
이제 열역학 방정식을 따져보자
기압좌표계에서 열역학 방정식은
위 식에 를 곱하자
- 61 -
그러면 식이 가 되며
위에서 배웠듯, 준지균에서 정역학 방정식은 이고
ln
를 이용하여 를 합친 함수를 라고 한다.
이때, 준지균 역학은 간단한 방정식을 만드는데 목적이 있으므로 가 너무 복잡하기 때문에
기압좌표계 즉, 기압만의 함수로 가정하면 같은 위도 상일 때 온도( )는 거의 변화가 없기
때문에 를 쓴다.
ln
즉, 라는 것이다.
위 식은 정적안정도 파라미터(대류권 중층에서 × )라고 한다.82)
이제 근사 시키기 위해서 바람항에 지균풍과 비지균풍을 넣어야 하는데 기압 좌표계에서는
지균풍항이 훨씬 크기 때문에 비지균풍항을 무시한다.
따라서, 정리하면
∙ ∇
는 기층의 두께를 재는 것이므로 온도에 비례하기 때문에 열역학 방정식임이 확인된다.
즉, 준지균 방정식은 를 직접적으로 사용하지 않고 를 사용하여 온도를 나타낸다.
이제 결과 값들만 나타내보자
나중에 이 식을 자세하게 볼 기회83)가 있을 것이다.
그러면, 준지균에서 가장 중요한 것은 지오포텐셜장입니다.
82) 기압만의 함수라고 하면 기압 변화에 따른 의 값 또한 거의 정해지므로 상수라고 보는 것이다.
83) 지위고도 예단 방정식과 준지균 오메가 방정식
- 62 -
지오포텐셜만 알면 미래와 상승운동까지 알 수 있습니다.
즉, 매시간 지오포텐셜의 분포만으로 다음의 지오포텐셜을 예측하는 방정식을 이해할 수
있다는 것이다.
27. 비지균풍의 이해와 준지균 예측
준지균 운동량 방정식에서 종관규모 즉, 위도변화가 크지 않는 파동일 경우는 84)가 기준
위도에 해당하는 위도에서는 0이므로 두 번째 항을 무시할 수 있다.
즉, 위도 변화가 큰 경우에는 두 번째 항을 고려해야 한다는 것이다.
따라서, 종관규모에 준지균 운동량 방정식은 ≈ ×
가 된다.
양변에 를 외적하면
×
위 식은 지균풍과 비지균풍이 어떠한 관련이 있는지를 보여주는 식이다.
지균풍의 가속항( )과 관련이 있으며 즉, 비지균풍은 아무렇게나 부는 게 아니라
지균풍과 특정한 관계를 가지면서 부는 바람이다.
※ 비지균풍의 성질
1. 비지균풍의 크기:
2. 비지균풍의 방향: ×
비지균풍의 크기는 지균가속도에 비례하며 비지균풍의 방향은
인 즉, 지균풍이
수평방향으로 어떻게 불든지 간에 와는 무조건 수직관계이며 외적을 한 방향은
‘무조건 지균풍 가속방향의 왼쪽 직각으로 비지균풍이 분다는 것’을 알 수 있다.
밑에 그림을 보자
왼쪽은 제트기류의 입구, 오른쪽은 제트기류의 출구다.
비지균풍의 방향은 지균 가속 방향의 왼쪽 방향이다.
따라서, 입구에서 부는 비지균풍은 북쪽, 출구에서 부는 비지균풍은 남쪽이다.
이때, 지역으로 수렴이 일어나고 지역에서는 발산이 일어난다.
즉, 지역은 비지균풍에 의한 수렴, 지역은 비지균풍에 의한 발산이 일어난다.
기압좌표계에서 비지균풍의 연속방정식은 인데
≠ 이 아니므로 ≠ 이 아니다.
즉, 상승운동과 하강운동이 동반되어 나타난다는 것이다.
84) 중위도 에서 얼마만큼 북쪽으로 갔는지, 남쪽으로 갔는지
- 63 -
이에 따라, 제트입구는 반시계방향으로 바람이 형성되고
출구는 시계방향으로 이어지는 순환이 형성된다.
비지균풍의 또 다른 응용을 보면
지균풍의 가속 방향에 왼쪽으로 작용한다고 하였다.
지균풍은 오른쪽으로 가지만, 유체가 원운동을 할 때는 구심 가속도를 받고 있다.
그러므로, 고기압 중심방향에서는 쪽으로 비지균풍이 분다는 걸 알 수 있고
저기압 또한 마찬가지로 따지면 쪽으로 비지균풍이 분다는 걸 알 수 있다.
따라서는 수렴이 일어난다.
마찬가지로 따지면 는 발산이 일어난다는 것을 알 수 있다.
즉, 저기압의 서쪽에서는 수렴, 동쪽에서는 발산이 일어나며 이것은 연속방정식에 의해
수렴하는 쪽에서는 하강이 일어나고 발산하는 쪽에서는 상승이 일어난다.85)
85) 이 식에서 수평 방향으로 수렴이면 이므로 하강하며 부호가 양수
면 상승한다는 의미다.
- 64 -
비지균풍의 성질에 대해서 보면
비지균풍은 단지 지균풍보다 작은 크기의 바람이 아닌, 온도풍 균형을 맞추기 위해 지균풍
가속의 왼쪽 직각 방향으로 부는 바람이다.
즉, 일반적인 지균풍은 속도가 일정하므로 가속도( )가 0이라는 뜻이고 이것은 항상
온도풍 균형을 이룬다는 의미다.
하지만, 실제 대기는 가속도 즉, 속도가 일정하지 않기 때문에 온도풍이 파괴된다.
따라서, 이 가속도를 지균 가속이라고 하며 지균 가속에 의해 온도풍 균형이 파괴되었을 때
대기는 균형을 맞추려는 움직임을 나타내는데 이것이 바로 비지균풍이며 지균 가속의 왼쪽
직각 방향이라는 것이다.
우리가 비지균풍을 허리케인에서 볼 수 있는데
허리케인은 기본적으로 반시계 방향으로 도는데 우리가 흔히 계산할 때 허리케인의 바람은
지균풍이라고 생각하고 계산한다.
하지만, 실제 바람 측정 값은 계산한 지균풍보다 훨씬 작다.
그 이유는 바로 비지균풍 때문이다.
허리케인이 지균풍으로 분다는 것은 가속도항을 제거했을 때이므로 실제 바람과 차이가 있다.
즉, 이 말을 다르게 하면 지균풍은 ‘구심 가속도’를 고려하지 않았기 때문에 발생하는
오차라는 것이다.
그러므로 구심가속도의 방향은 항상 원 안이므로 비지균풍은 가속도의 왼쪽 방향이므로 이
방향을 다 모으게 되면 시계 방향이라는 걸 알 수 있다.
따라서, 반시계와 시계 방향의 합이기 때문에 계산한 지균풍과 측정한 실제 속도와의 차이가
발생하는 것이다.
따라서, 구심 가속도의 왼쪽 직각 방향으로 비지균풍이 강하게 분다는 걸 알 수 있다.
준지균 역학 시스템의 미래를 예측하는데 가장 중요한 것은 지오포텐셜()입니다.
지오포텐셜 즉, 평균해수면으로부터 어떤 고도()까지 단위질량의 공기덩이가 가지는
위치에너지인데 이 위치에너지는 고도에 비례하다는 것을 알 수 있다.
따라서, 온도는 기층 두께 변화( )와 비례하다는 것을 알 수 있고
∇ 이므로 지오포텐셜만의 함수라는 걸 알 수 있다.
지균풍 또한
×
또, 비지균풍(
)은 준지균 연속방정식을 이용하면 계산이 가능하다.
즉, 에서 이고 는 ∇ 로 표현할 수 있으므로
결국, 는 의 함수라는 걸 알 수 있다.
따라서, 의 연직수평분포를 알면 비지균풍을 풀 수 있다는 것이다.
- 65 -
그러므로 이걸 통해서 라고 할 수 있으며 이 식을 지오포텐셜 예측방정식이라고
한다.
이 식에 있는 의 변화량만 알 수 있다면 어디에서 지상 저기압과 고기압이 발달 혹은
쇠퇴할 것인지 등을 파악할 수 있다.
준지균 예측 방정식에 대한 방정식을 유도하기 전에
준지균 상대소용돌이도 방정식을 유도해보겠습니다.
상대소용돌이도 방정식인 이 식에
대신 를 넣어야 하지만, 에 따른 는 거의 무시가 가능하기에
준지균 소용돌이도는 지균풍만 알면 구할 수 있다는 결론에 다다른다.
즉, 이다.
이 식에서 , 이므로 대입하여 정리하면
∇ 가 된다.
이 식은 라플라시안(∇ )에 비례하는 양이다.
두 번째로 준지균 운동량 방정식으로부터 준지균 소용돌이도 방정식을 유도 해보자
첫 번째 방향 운동량 방정식: ⋯ ㉠
두 번째 방향 운동량 방정식: ⋯ ㉡
위 두 식에서 준지균 운동량 방정식을 얻기 위해서
ㄴ
ㄱ
를 계산하자.
ㄴ
1) 의 전미분
ㄴ
⋯ 86)
정리하면
ㄴ
2) 의 나머지 두 항
86) 지균풍이라 수직항이 없음 또 ⋯ 뒤에 식을 정리하면 이 된다.
- 66 -
ㄱ
3) 의 전미분
유도과정 생략, 결과만 적으면
ㄱ
4) 의 나머지 두 항87)
ㄴ
ㄱ
따라서, 을 하면
이 된다.
좌변 4번째 항은 없어지므로
최종식은 가 된다.
여기서 한 번 더 풀어쓸 수 있는데
∙ ∇ ,
∙ ∇ ,
이며
이 세 식을 대입하면
∙ ∇
∙ ∇
∙ ∇
이 식이 준지균 소용돌이도 방정식이며 준지균 소용돌이도의 시간에 따른 변화를 의미합니다.
위 식은 절대소용돌이도의 이류 항과 발산효과(스트레칭항)에 의해 제어됩니다.
만약, 스트레칭 항이 없는 경우88)에는 이므로
∙ ∇ 가 되고
우변을 좌변으로 넘기고 을 고려하면 라는 식이 나오게 된다.
즉, 절대와도89) 보존 법칙으로 환원된다는 것이다.
이 식은 순압 소용돌이도 방정식과 같은 형태다.
87) 전미분은 하지 않겠습니다..
88) 소용돌이도의 생성과 소멸이 없는 경우
89) 와도=소용돌이도=vorticity
- 67 -
절대와도가 보존된다는 것은 스트레칭항이 없기 때문에 ‘소용돌이가 어떤 지역으로 유입되고
유입되지 않았는지?’를 나타내는 것입니다.
이제 준지균 소용돌이도 방정식의 의미에 대해서 살펴보자
행성소용돌이도 이류는 날씨 패턴을 서쪽으로 이동하게 하며
상대소용돌이도 이류는 날씨 패턴을 동쪽으로 이동시킵니다.
위에서 우리가 로스비 파를 배울 때 베타에 의해서 행성 소용돌이도는 항상 파동을 서쪽으로,
상대 소용돌이도는 평균류의 속도에 의해서 항상 동쪽으로 패턴을 이동한다고 배웠습니다.
여기서 많이 쓰이는 용어를 보면
PVA(Positive Vorticity Advection): 양의 소용돌이도 이류 = 저기압성 이류90)
NVA(Negative Vorticity Advection): 음의 소용돌이도 이류 = 고기압성 이류91)
이 용어를 배우는 이유는 어떤 지역으로 소용돌이도 이류가 들어오면 상승운동이 일어나거나
하강운동 혹은 지위고도가 변하는등 준지균 역학에서는 매우 중요한 일들이 일어나기
때문입니다.
1. 기압골 왼쪽:
, ∇ , →
∙ ∇ , 92)
2. 기압골 오른쪽:
∇ , →
∙ ∇ ,
90) CVA(Cyclonic Vorticity Advection)
91) AVA(Anticyclonic Vorticity Advection)
92) 변곡점 생각하면 가 기압골 왼쪽에서 음의 소용돌이도 이류 최대, 오른쪽에서 양의 소용돌이도 이
류 최대
는 남북 방향 성분임 즉, 기압골에서 양의 방향으로 갈 때 음수 또한 ∇ 는 편미
분이므로 고정된 지점에서의 변화율이다.
- 68 -
28. 준지균 지오포텐셜 예측 방정식의 이해
준지균 예측에 대해 알아보자
위에서 배웠듯 준지균 예측에 중요한 두 가지 방정식이 있다.
1. 준지균 지오포텐셜 예측 방정식 : ‘의 분포만으로 시간에 따른 지오포텐셜의 변화( )를
어떻게 예측하는가?’
2. 준지균 오메가 방정식 : ‘의 분포만으로 어떻게 를 구해낼 수 있는가?’에 대한 것
준지균 지오포텐셜 예측 방정식은 준지균 소용돌이도 방정식( ∇ )와 같이
지위고도의 형태로 나타냈습니다.
여기서 알고 싶은 건 인데
준지균 와도 방정식인
∙ ∇ 의 식을 보면
좌변 에 준지균 소용돌이도 방정식을 넣으면 의 식이 비슷하게 나올 것 같다.
우변에 지균풍 항 또한 지위고도 함수로 나타낼 수 있으므로
여기서 핵심은 ‘ 를 어떻게 제거해야하나?’ 에 초점을 맞추어야 할 것이다.
즉, 를 구하기 위해서는 를 제거하는 과정이 중요하며 를 제거하기 위해서
준지균 열역학 방정식을 활용하자
∙ ∇ 에서 단열과정을 이용( )하여 정리하면
∙ ∇
여기서, 는 단열팽창(단열압축)에 의한 온도변화를 나타내는 항입니다.
여기서 기호 를 도입하여 대입하자
즉, 이므로
정리하면,
∙ ∇ 가 된다.
위 식이 바로 준지균 열역학 방정식이며 외워야한다.
두 번째로 준지균 소용돌이도 방정식을 로 정리해보자
≡
∙ ∇ 를
준지균 소용돌이도의 정의( ∇ )와 지오포텐셜 경향성( )을 위의 식에 대입하자
- 69 -
∇
∙ ∇ ∇ (양변에 곱하자)
∇
∙ ∇
∙ ∇
∇
그림으로 보자
이 식에서 는 기본전제로 알고 있을 때 경향성(tendency)이 어떻게 되는지 아는 게
목적이기에 알고 있는 값이며 미지수는 2개()이며 방정식도 2개라서 계산할 수 있다.
먼저, 에 대해서 풀어보기 위해서 를 제거해야 하므로
첫 번째 준지균 열역학 방정식에 를 곱한 후 를 하여 정리하자
따라서, 최종 식은
∇
∙ ∇ ∇ ∙ ∇
≈ ∝
※ : Absolute Vorticity Advection (절대 소용돌이도 ‘이류’)
: Temperature Advection (온도 ‘이류’)
- 70 -
1. 좌변
좌변은 ∇ 으로 표현된다는 걸 볼 수 있는데 이때, ∇ 즉, 라플라시안 오퍼레이터는 어떤
함수를 두 번 미분하므로 곡선의 함수에서만 적용된다는 걸 알 수 있다. 즉, 일차함수가 아닌
이차함수 이상의 다항함수 혹은 곡선함수에 대해서 적용된다는 것이다.
이때, ∇ 의 부호는 함수가 아래로 볼록하냐, 위로 볼록하냐를 결정하는 것이다.
즉, 양수라면 아래로 볼록, 음수라면 위로 볼록하다는 의미며 이때, 도함수의 부호가 양수에서
음수 혹은 음수에서 양수로 바뀌기 때문에
부호가 바뀌는 지점이라고 봐야한다.
따라서, 부호가 바뀌기 위해선 ‘-’에 대응한다고 볼 수 있으므로 ∇ ≈ 임을 알 수 있다.
그러므로, ∇ ∇ 입니다.
이 개념을 적용하면 좌변은 로 대응시킬 수 있다.
는 공간적으로 하층에 변화가 있을 때 상층이 어떻게
좌변의 식인 ∇
변하지는지에 대한 정보를 말하는 것이다.
2. 우변의 첫 번째 항
지균풍에 의한 절대 지균소용돌이도의 이류에 해당하는 양이다.
이때, 상층은 소용돌이도 이류, 하층은 온도이류다.
=> 온도이류는 상층으로 갈수록 순압성을 띄기 때문에 온도이류 항이 드물다.
반대로 소용돌이도가 상층에서는 매우 크기에 소용돌이도를 따진다.
즉, 지균풍에 의한 상층의 절대소용돌이도 이류가 있으면 지위고도가 변한다.
3. 우변의 두 번째 항
지균풍에 의한 온도이류의 연직차분이며 는 에 해당하는 양이며
는 상수이기에 예측 방정식을 표현하면
∙ ∇ 가 된다.
즉, 준지균 지오포센셜 예측 방정식은 절대 지균소용돌이도 이류, 지균풍에 의한 온도 이류의
연직차분으로 정리된다.
하나는 연직 미분, 하나는 어떤 층에서의 값으로 기억하면 된다.
1. A항과 B항의 해설
∙ ∇ ∇
이므로 시간에 따른 지오포텐셜이 어떻게 변하는지에 대한 항이다.
즉, 지균 소용돌이도 이류 항에 비례93)하는 것이다.
- 71 -
왼쪽 그림은 동쪽으로 파가 진행한다는 관점에서 서술한다.
북반구에서 양의 소용돌이도 지역은 저기압이고 음의 소용돌이도는 고기압이다.
이때, 양의 소용돌이도가 접근해오면 즉, 저기압이 가까이 오면 의 앞에 있는 ‘-’에 의해서
이고, 지위고도가 곧 떨어진다는 것이다.
2. A항과 C항의 해설
∙ ∇
C항은 온도 차분 이류입니다.
위 오른쪽 그림처럼 만약, 따뜻한 공기가 들어오면 지위고도(geopotential height)가
팽창해야하며 지위고도는 이 원리에 따라 상층에서는 상승하고 하층에서는 하강한다.
다시 말하면 지상에서는 , 상층에서는 입니다.
C항은 상층과 하층이 다르게 적용된다는 것을 기억해야한다.
두 번째로 한랭이류가 들어오게 되면 하층의 지위고도가 상승( ), 상층은 하강( )하는
결과가 나타납니다.
이것을 전선에 대해서 생각하면 한랭전선이 들어와 한랭이류에 의해서 지위고도가 하강하므로
골(trough)은 더 깊어지고 반대로 온난이류가 있을 때는 지위고도가 상승하므로 능(ridge)은
상승합니다.
29. 준지균 오메가 방정식의 이해(1)
오메가 방정식에서 오메가( 는 기압좌표계에서 연직속도( )를 의미하며
이 오메가 방정식은 의 진단 방정식이다.
오메가 방정식을 유도해보자
93) Stretching 항을 배제한 ∇
∙ ∇
- 72 -
28에서는 를 제거하여 에 대한 방정식을 만들어 보았고
이번에는 를 제거하여 )에 대한 식을 만들어보겠습니다.
준지균 열역학 방정식:
∙ ∇ ⋯ ㉠
준지균 소용돌이도 방정식: ∇
∙ ∇ ⋯ ㉡
㉠에는 ∇ 을 곱하고 ㉡에는 를 곱하자
1. 두 좌변 항들: ∇ , ∇ → ∇ 가 되므로 더하면 0이 된다.
2. 준지균 열역학 우변: ∇
∙ ∇ ∇
∙ ∇
3. 준지균 소용돌이도 우변:
여기서 끼리 묶어주고 나머지는 그냥 정리하자
정리한 식은
∇
∙ ∇ ∇ ∇
∙ ∇
≈ ∝
윗 식이 바로 오메가 방정식이며 연직 움직임을 측정하는 방정식이다.
이제 각 항의 의미를 보자
1. 좌변: 좌변은 에 비례하며 지오포텐셜 예측 방정식의 의미와 같다.
2. 우변 첫 번째 항: 지균풍에 의한 절대지균소용돌이도 이류의 연직 차분
3. 우변 두 번째 항: 지균풍에 의한 온도에류에 대한 3차원 라플라시안
① 좌항과 우변의 첫항의 기작94) 해설
∇ 이므로 ∝
∙ 라는 식이 된다.
의미를 파악하기 위해 와 의 관계를 이용95)하여 표현하면
∙ 가 되고 이므로 는 에 비례한다.
94) 메커니즘(mechanism)의 일본말이며 ‘기계적인/구조적인 작동원리’의 뜻
95) 정역학 방정식을 생각하면 밀도와 중력은 거의 변하지 않기에 ≈ 라고 볼 수 있고 결국
와 같다는 것
- 73 -
따라서, ∝
∙ ∇ 가 된다.
이 식을 해석하면 앞서 배운 내용인 상층은 소용돌이도 이류, 하층은 온도이류를 생각하면
하층은 지균풍이 많지 않으므로
≈ 때문에 절대소용돌이도 이류가 0이 되므로
결국, 상층에서의 절대소용돌이도 이류에 비례한다는 것을 알 수 있습니다.
다시 말하면 중층에서 발생하는 연직속도는 상층에서의 절대소용돌이도 이류에 비례하는
양입니다.
이제 여기서 중요한 건 PVA와 NVA를 찾는 것이 가장 중요하다.
PVA는 소용돌이도가 들어오는 지역(저기압의 전면)
NVA는 소용돌이도가 빠져나가는 지역(저기압의 후면)
그러므로, 상층에서 PVA 지역이 어디인지 찾는 것이 핵심96)이다.
② 좌변과 두 번째 우항의 기작 해설
∝
∙ ∇
∝
∙ ∇
연직속도는 하층에서의 온도이류에 비례한다는 것이다.
상승 및 하강 운동을 중층에서 찾기 위해서는 하층에서 어느 지역에 한랭이류(cold
advection)와 온난이류(warm advection)이 있는지를 확인하는 것이 중요하다.
또, 오메가 방정식의 핵심은 하층의 온도이류가 중상층의 상승운동을 변화시킬 수 있다는
것이다.
이 그림을 보자
하층 지균풍과 상층 지균풍이 있고 빨간선은 지상 기압면, 파란선은 상층 기압면
이때, 지상에 기압골(trough)이 존재하며 골의 축을 중심으로 왼쪽인 풍하측에서는
반시계방향으로 회전하고 있으므로 backing인 반전이 일어나며 cold advection이
96) 즉, 상층에서 파동이 움직임에 따라 고기압에서 저기압으로 바뀌는 지역이 소용돌이도 이류가 크다
는 것
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일어나므로 하강운동이 일어나게 된다.
반대로, 오른쪽인 풍상측은 시계방향으로 회전하고 있으므로 Veering이 일어나며
warm advection이 일어나므로 상승운동이 일어나게 된다.
(추가설명: 따뜻하면 상승하고 차가우면 하강하는 쪽으로 생각해도 된다.
아니면, 벡터가 위로 올라가면 온도풍도 위로, 아래로 내려가면 온도풍도 아래로)
즉, 온도풍 균형에 의해 backing인지 Veering인지에 따라 상승운동인지 하강운동인지 알 수
있다.
우리는 지금 식을 다 따로따로 어떻게 적용되는지 보았다.
하지만, 실제 대기에서는 오메가 방정식의 우변의 두 항이 독립적이 아니라 상쇄할 때가
많다.
예를 들어 밑의 그림을 보자
지역은 저기압 지역이므로 PVA 지역이라고 할 수 있으며 상승운동이 발생해야한다.
하지만, 온도풍 균형에 의해서 Veering이 발생하면 하강운동이 발생한다.97)
따라서, A와 같은 지역에서는 오메가 방정식으로는 상승운동과 하강운동을 예측하기 어렵다.
이것이 바로 오메가 방정식의 단점이다.
이 단점을 보완하는 몇가지 방법이 있다.
대표적으로 Q벡터가 있는데 이 정도까지만 해도 일기도 해석에 무리가 없기에 Q벡터는
배우지 않는다.
단, 오메가 방정식이 ‘치명적인 단점이 존재한다.’라는 사실을 알아두시길 바랍니다.
30. 준지균 오메가 방정식의 이해(2)
이 파트에서는 비지균 운동 생성 원리에 대해서 학습해보도록 해봅시다.
온도풍 파괴 즉, 상층으로 갈수록 기압경도력과 전향력이 약해지는 부분이 존재하는 곳이
있다면 원래의 온도풍 균형(지균균형)이 깨지게 된다.
97) 하층은 저기압, 상층은 기압골이다.
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따라서, 이 온도풍 균형을 맞추기 위해서 부는 바람이 바로 ‘비지균풍’이며 지균가속의
왼쪽방향으로 비지균풍이 부는 성질과 함께 온도풍 균형이 어떻게 다시 맞추어지는지
제트기류의 입구와 출구를 통해서 배워보도록 하겠습니다.
① 제트기류 입구
위 사진은 제트기류 입구를 나타낸 그림이다.
두 가지 관점으로 일단 바람을 해석해보자
지균풍의 관점에서 해석 즉, 라그란지안 관점(움직임)에서는 동쪽으로 갈수록 풍속이
빨라진다.
하지만, A의 지역 즉, 오일러리안 관점(고정)에서 보면 A의 입구는 풍속이 느린 쪽에서 오기
때문에 가 약해진다는 걸 알 수 있다.
따라서, 편서풍인 가 약해지기 때문에 상층으로 갈수록 증가해야하는 서풍이 이 부분에서
약화된 걸 알 수 있다.
또한, 전향력( )에서 가 줄어들었기 때문에 전향력이 줄어들었다는 걸 알 수 있다.
북쪽으로 향하는 기압경도력은 그대로인데 전향력이 줄었기 때문에 새로운 벡터가 나오고
벡터 합을 하면 바람은 남서풍이 분다는 걸 알 수 있다.
그리고 출구에서 멀어질수록 가속도의 방향은 동쪽이기 때문에 지균가속의 왼쪽방향인
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남풍 성분을 ‘비지균풍’이라 한다.
따라서, 비지균풍이 불면 A지역의 남쪽에서 불기 때문에 남쪽은 발산 북쪽은 수렴98)이 된다.
이때, 발산하는 상층에서는 하층에서의 상승이 있고 수렴하는 상층에서는 하층으로 가는
하강이 있다.
상승하면 단열팽창, 하강하면 단열수축이 된다.
따라서, 남북온도경도를 약화시키는 역할을 한다.
→ 비지균풍에 작용하는 전향력에 의해서 다시 가 증가
제트기류의 입구에서 일어나는 순환을 열적 직접순환이라고 하며
제트기류의 출구에서 일어나는 순환을 열적 간접순환이라고 한다.
=> 내 생각엔 지구 자체가 북쪽이 춥고 남쪽이 따뜻하기 때문에 남쪽은 상승기류가 잘
발달하고 북쪽은 하강기류가 잘 발달해야 하는데 이것이 열적 순환에 의해서 일어나는 즉,
자연적으로 일어나는 직접적 순환이고 제트기류 출구는 그 반대기 때문에 열적
간접순환이라고 하는 게 아닌가 싶다.
해들리 순환을 직접순환세포 페렐순환을 간접순환세포라 하는 것과 마찬가지가 아닐까 하는
생각이다.
② 제트기류 출구
오일러리안 관점(고정)에서 생각하면 출구는 풍속이 강화되는 쪽에서 오기 때문에 강해진다.
라그란지안 관점(움직임)에서 생각하면 풍속이 약화되고 있다.
B 지역의 출구에서는 빠른 풍속이 다가오기 때문에 원래의 편서풍보다 강해지므로 온도풍
균형이 깨지게 된다.
따라서, 가 더 강해졌기에 전향력이 원래 균형보다 더 강해졌다.
그러므로 지균균형을 이루고 있던 바람이 새로운 전향력을 고려하면 바람이 북서풍으로 분다.
또한, 출구에서 멀어질수록 바람이 약해지고 있으므로 가속 방향은 서쪽이다.
이 서쪽 방향의 왼쪽 즉, 북서풍의 북풍 방향을 ‘비지균풍’이라고 하며
이에 따라, 상층의 북쪽이 발산 남쪽이 수렴하여 하층에 영향을 주게 된다.
이때, 상층 북쪽이 발산하므로 하층에서 공기가 올라감에 따라 단열팽창(온도하강)
98) 비지균풍은 온도풍과 달리 실제 바람을 의미한다.
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상층 남쪽이 수렴하므로 하층에서 공기가 내려옴에 따라 단열수축(온도상승)
따라서, 남북간의 온도차가 더 강화되는 역할을 하게 된다.
→ 비지균풍에 작용하는 전향력에 의해서 가 감소
---------------------------Q. 가 강해지고 약해지는 거에 따라 새로운 벡터 생성이 이해가 안돼요,,
일반적은 지균풍(
)은 기압경도력( ∇)과 전향력()의 균형을 이루는 바람인데
이때, 바람은 서쪽을 기준으로 동쪽 즉, 서풍이 불게 된다고 가정하자
그러면 둘 중에 누가 더 쎄진다는 건 지균풍이 그 쪽으로 올라간다는 뜻이다.
예를 들어, 만약 기압경도력만 있다고 해보자 그러면 전향력항이 없으므로 바람은 완전한
북쪽으로 불게 되겠지만 남쪽으로 잡아 당기는 전향력이 조금이라도 있다고 한다면
북동쪽으로 꺾여 불게 될 것임을 짐작할 수 있다.
이와 같은 원리로 생각하면 새로운 벡터 생성에 대해서 이해할 수 있을 것이다.
----------------------------정리하면 연직운동은 대기가 파괴된 온도풍을 맞춰나가는 방식이며 준지균
연속방정식( )으로 연결되어 있음을 기억해두자
준지균 오메가 방정식의 우변 두 항은 지균항의 이류항으로 구성되어 있고 좌변은 실제
연직상승 속도를 의미한다.
지균항은 기본적으로 많은 경우 온도풍 균형을 파괴하는 방향으로 작동한다.
이 온도풍 균형을 파괴하는 것에 맞서 비지균 운동이 생성된다.
즉, 지균운동은 1차 순환이고 비지균 운동은 2차 순환이다.
마지막으로 준지균 오메가 방정식을 제트의 입구 및 출구에 어떻게 적용되며 해석되는지
살펴보자
∇
∙ ∇ ∇ ∇
∙ ∇
제트류 즉, 지균풍(
)은 등압선과 평행하게 불기 때문에 지균풍 자체의 온도이류는 0이라고
할 수 있다.
따라서, 우변의 두 번째 항은 무시가 가능하다. ( )
그러므로, 우변의 첫 번째 항인 ‘지균 강제력의 효과’에 주목해야한다.
이 항을 해석하는데 있어서 가장 중요한 건 두 가지이다.
1. PVA 지역인가? NVA 지역인가?
2. 상층에서의 절대소용돌이도 이류 고려
즉, 절대소용돌이도 이류가 PVA인가, NVA 인지를 파악해야한다.
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1. 기압골 왼쪽과 오른쪽
: 기압골 왼쪽은 고기압이 들어오므로 음의 소용돌이도 이류(NVA)가 들어온다고 할 수
있기에 하강기류가 있으며 기압골 오른쪽은 저기압이 들어오므로 양의 소용돌이도
이류(PVA)가 들어오기 때문에 상승기류라고 할 수 있다.
2. 기압능 왼쪽과 오른쪽
: 기압능 왼쪽은 저기압이 들어오므로 양의 소용돌이도 이류(PVA)가 들어온다고 할 수
있기에 상승기류가 있으며 기압능 오른쪽은 고기압이 들어오므로 음의 소용돌이도
이류(PVA)가 들어오기 때문에 하강기류라고 할 수 있다.
→ 위에서 배웠던 제트기류 입구와 출구의 개념과 동일하다는 것을 알 수 있다.
31. 지상 저기압 발달과정
온대저기압의 발달에 가장 중요한 요소는 바로 ‘상층패턴’이다.
바람은 곡률을 따르며 구심 가속도를 받기 때문에
비지균풍은 지균풍의 가속 왼쪽방향으로 분다는 걸 알면
이 그림에서 D는 발산, C는 상층 수렴이 된다는 걸 그대로 알 수 있다.
‘지균풍의 구심 가속도’라는 걸 이해해야하고 중요시 생각해야한다.
이때, 상층 발산 즉, D 지역은 연속방정식에 의해서 하층의 상승 운동이 있어야 하며
이에 따라 지상저기압이 발달하기 좋은 조건을 가집니다.
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또 지상저기압이 발달하면 항상 전선을 만들어 내고 저기압과 고기압을 더 깊게
만듭니다.
즉, 상층이 하층 저기압을 만들고 하층이 상층 고기압을 강화하는 것이다.99)
이것이 경압불안정 이론의 핵심이다.
하지만 중요한 건 온대저기압이 발달하기 위해서는 하층에서 ‘전선대’가 발달해야한다.
아무렇게나 막 만들어지는 것이 아니다.
전선대는 극지역의 찬 공기와 중위도 지역의 따뜻한 공기가 만나는 전선 구역입니다.
하층의 전선 구역과 상층의 PVA인 양의 소용돌이도 이류 지역이 겹치게 되면 소용돌이도와
관련된 부분이 강력하게 발달하게 된다.
절대 소용돌이도 이류는
∙ ∇ 인데 종관규모에서 ≫ 이므로
∙ ∇ 입니다.
전선대 내부 지역과 외부 지역이 있는데
내부 지역은 전선대가 만나 생기는 전선 지역에서 남북 위아래로의 얼마 안되는 부분
외부 지역은 내부 지역을 벗어난 부분을 외부 지역이라 한다.
이때, 외부 지역의 소용돌이도 값은 , 내부 지역의 소용돌이도 값은
내부 지역이 더 큰 이유는 전선대에서 온도이류에 의해 발생되는 윈드시어에 의해서다.
또한 중위도에서 이다.
소용돌이도에 의한 스트레칭 항을 계산할 때 를 이용해야한다.
이때, 수렴항 의 값은 ×
① 전선대 내부: 내부는 ≈ 이므로 × ×
② 전선대 외부: ≫ 이므로 × ×
전선대 내부의 값이 더 크기 때문에 상층의 양의 와도와 겹쳐졌을 때 상승 운동에 의해
하층의 저기압을 발달시킨다.
저기압들은 전선대 내에서 훨씬 강력하게 발달하며 양의 와도 이류( )가 전선대를 지날
때 온대 저기압은 급격한 성장을 이룬다.
이 성장을 통해 한랭/온난 이류를 형성시켜 상층 패턴을 강화시킨다. 이것이 경압 불안정
이론의 핵심이다.
99) 기압골의 왼쪽을 풍상측 오른쪽을 풍하측이라고 하며 풍하측은 PVA 지역이므로 하층 저기압이 발생
하기 좋은 조건이다.
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A는 서쪽, B는 동쪽이다.
지상과 상층 일기도를 겹쳐 그린 것인데 기압골 오른쪽 즉, 풍하측에는 PVA이므로
상승기류가 생긴다. 이때, 하층이 온도이류에 의해 상층이 파동형태를 띄기 때문에 하층이
상승기류가 발달함에 따라 서서히 상층의 패턴을 따라 가게 되며100) 이에 따라 서쪽과
동쪽에서 각각 cold advection, warm advection을 드라이브 하는 패턴을 만들게 된다.
즉, 상층이 하층의 드라이브를 이끌어 내면 하층이 상층의 발산을 도와주게 되어 서로
강화하게 되는 양의 피드백(positvie feedback)이 발생한다.
위와 마찬가지로 A는 서쪽 B는 동쪽이다.
PVA 지역에서 상승기류가 있기 때문에 지균이류에 의해서 저기압의 서쪽에는 cold
advection, 동쪽에는 warm advection이 있다는 걸 알 수 있으며
서쪽의 tendency equation( ) 즉, 상층골이 줄어듦으로 , 하층은 늘어나므로
동쪽의 상층은 늘어나기 때문에 , 하층은 줄어들기 때문에
하지만, 계속 평생 이렇게 발달할 수 없는데 이유가 두 가지가 있다.
1. 지상저기압과 상층저기압의 축이 기울어짐(tilt) 형태로 되어 있다가 나중에는 축이 딱 서
있는 상태가 된다면 양의 피드백이 사라지져 발달하지 않게 된다.
2. 상층 지균풍에 의해서 필연적으로 지균가속이 존재하고 온도풍을 파괴하는 방향이
100) 이것을 지균 이류(geostrophic advection)
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생기는데 이 방향성은 온도풍 보존을 위한 단열상승 및 하강 운동에 의해 경향성에 반하는
방향으로 작용하므로 저기압 발달에 방해하는 방향으로 작용하기 때문이다.
=> Tendency 즉, 이 잘 못 일어난다는 의미다. 왜냐하면 cold advection 지역은
상층에서 공기가 하강하는 지역이라 온도가 올라가기 때문에 경향성 발달을 방해하며
반대편인 warm advection에서도 공기가 상승하는 단열팽창 지역이기 때문이다 .
32. 전선의 이해
전선의 정의부터 보자
‘전선(Front): 다른 성질을 가진 두 기단의 경계인 전선면과 지표면이 마주치는 부분’
전선은 공간 규모 ∼ 이지만 가로지르는 규모가 굉장히 좁은 폭()101)을
지닌다.
전선은 성질이 다른 두 경계에 존재하는 경계면에서 불연속적인 특징이 아주 짧은 거리 내에
급격히 나타나게 되어 불연속적이라는 독특한 성질을 지닌다.
따라서, 준지균은 이보다 더 큰 규모에서 적용 가능하기에 준지균 근사로는 설명이 어렵다.
그러므로 준지균 방정식을 조금 변형한 반지균(semigeostrophic) 방정식을 이용해야한다.
위에서 말했듯 기압골은 천천히 변하며 규모가 큰 반면에 전선은 굉장히 좁은 지역에서
빠르게 변화하기 때문에 불연속으로 취급한다.
즉, 종관규모 관점에서 전선은 불연속이다.
어떤 불연속이 있는지 살펴보면
1. 바람(0차 불연속: 어떤 값의 불연속을 의미)
종관규모에서보면 기단에 의해서 경계가 있을 때, 경계상에서 갑 자체가 갑자기 휙 바뀌어 한
지점에서 마치 두 값이 존재하는 이상한 상태가 나온다.
101) 가로지른다는 건 변화폭을 의미 즉, 남하 혹은 북상의 의미를 지닌다.
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예를들어, 대륙의 cP와 남쪽 해양의 mT102)가 있다고 가정하자 둘 다 고기압성 기단이고
시계 방향으로 돈다.
그러므로. 우리나라 기준으로 북쪽에서는 북동풍이 불고 남쪽에서는 남서풍이 불게 된다.
따라서 전선을 경계로 바람의 방향이 갑자기 바뀌게 된다.
2. 기압(1차 불연속: 한 번 미분했을 때의 불연속)
위 그림에서 보면 저기압 중심에서 기압의 기울기가 바뀌게 된다.
즉, 기울기가 계속 이어져 있어야 하는데 저기압 중심 주변의 기울기가 –에서 0에서 바로
+로 간다는 의미다.
그러므로 저기압 지역에서 전선이 있는 경우 ‘기울기의 불연속’이 있으며 이 불연속인 곳을
따라서 Cold front 분석을 합니다.
3. 온도, 밀도(2차 불연속: 두 번 미분했을 때 불연속을 의미)
두 번 미분했을 때 불연속이라는 건 변곡점이 존재하지 않는다는 것이다.
즉, 곡선이 오목에서 볼록으로 가지 않고 오목하다가 확 꺾인다는 걸 의미하는 것
오른쪽 윗 그림은 높이에 따른 온위()의 분포를 나타낸 것인데 온위의 분포가 서쪽의 Cold,
오른쪽의 Warm을 중심으로 온위 값이 굉장히 밀집되어 있음을 알 수 있고
밑 그림은 지면에 연결된 온위의 최솟값과 최댓값을 보여주는 것인데 짧은 거리에서 확
102) cP(continent Polar), mT(marine Tropic)
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변하기 때문에 라인이 아닌 존(Zone,구역)을 형성한다고 볼 수 있고 이 존을 통과하기 전과
후의 높이가 확 변했기에 아래로 볼록에서 직선으로 갔다 다시 위로 볼록한 2차 불연속이
나타난다는 것을 알 수 있다.
이제부터 전선은 어디에서 나타나는지 살펴보겠습니다.
전선은 차가운 공기와 따뜻한 공기가 만나는 경계상에서 온도가 2차 불연속을 지니면서
나타납니다.(윗 그림을 잘 기억하세요 !)
이러한 전선을 경계로 대류권 계면이 Cold air와 Warm air 사이에서 큰 불연속성이
나타난다.
또한, 전선을 경계로 상공에는 굉장히 강력한 제트기류의 축이 지나는데 그 이유는
온도풍균형 때문이다.
하층의 강력한 온도 차이는 상층의 강력한 바람을 유도하기 때문에 항상 전선 상공 대류권
계면 바로 밑에는 강력한 바람의 맥시멈이 나타나게 된다.
위 붉은 실선들은 상당 온위( )를 나타낸다.
그림을 보면 상당온위가 전선 근처에 밀집되어 있는 것을 볼 수 있다.103)
‘Cold front 후면, Warm front 전면’에 밀집되어 있다.
이 같은 특징이 왜 일어나는지는 정확하게 모르겠으나, 특징으로써 외워야 한다.
103) 특히 한랭전선 근처에 매우 밀집되어 있다.
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위 그림은 소용돌이도를 나타내는데, 한랭전선 후면에 강하게 나타나고 온난전선은 약하지만
어느정도 소용돌이도가 존재하는 걸 알 수 있다.
이 또한 특징으로써 ‘전선면을 기준으로 소용돌이도가 강력하게 존재’한다는 건 외워야 한다.
위에서 배운 순전(Veering) 반전(backing)에 대해서 유추를 해 보면
한랭전선에서는 상공으로 갈수록 바람의 반전(반시계방향)이 일어날 것이며
온난전선에서는 상공으로 갈수록 바람의 순전(시계방향)이 일어날 것이 예상된다.
나머지 개념들은 고등학교 때 배운 개념들로 짧게 정리하면
한랭전선은 빠르게 이동하고 전선의 기울기가 1/50~1/150으로 기울기가 가파르며104) 전선
후면에 강수가 내린다.
온난전선은 한랭전선보다 느리게 이동하고 전선의 기울기가 1/150~1/300으로 기울기가
완만하고 전선 전면에 강수가 내립니다.
정체전선: 두 기단의 세력이 비슷하여 기단이 더 이상 움직이지 않는 것을 의미
이때, 비구름은 난층운 또는 적란운이 형성된다.
폐색전선: 한랭전선이 빠르게 이동함으로써 온난전선을 따라잡게 되는 현상이 일어나게
되는데 이 순간 폐색이 나타나는 것을 의미한다.
폐색전선은 두 가지가 있는데
1. 한랭형 폐색전선 2. 온난형 패색전선
=> 중요한 포인트는 폐색이 일어날 때 누가 더 차가운지를 봐야한다.
즉, 저 말이 주체가 되는 포인트다.
한랭형 폐색전선은 한랭전선 후면의 공기가 온난전선 전면 공기보다 더 차갑기 때문에 밀어
올리는 것이고
104) 상층으로 갈수록 마찰력이 약해지기 때문에 기울기가 가파르게 된다.
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온난형 폐색전선은 한랭전선 후면 공기보다 온난전선 전면 공기가 더 차갑기 때문에 타고
올라가는 것이다.
쉽게 구별하는 법은 ‘땅에 무슨 전선이 있나?’를 보면 된다.
이렇게 폐색 전선이 생겨 전선은 소멸하게 된다.
전설 발달 과정은 ‘정체전선→ 한랭/온난전선→ 폐색전선→ 전선소멸’으로 이루어진다.
33. 전선발달 역학(1)
활강전선과 활승전선의 차이점에 대해서 알아보겠습니다.
두 전선 모두 Cold front의 종류에 해당되는 용어입니다.
한랭전선이 있을 때 한랭전선 후면에 강수가 있다고 하였지만 전면에 강수가 내릴 수도
있습니다.
이것은 Cold fornt가 형성될 때 강하게 형성되냐, 약하게 형성되느냐에 따라 달려있습니다.
활강전선(kata front)과 활승전선(Ana front)105)의 이름부터 한 번 보면
활강에서 ‘강’은 하‘강’할 때 의미라 공기가 짓누르는 것을 의미한다.
활승에서 ‘승’은 상‘승’할 때 의미라 공기가 상승하는 것을 의미한다.106)
(둘 다 Cold front를 기준으로 상승 및 하강을 한다.)
우리가 흔하게 알고 있는 한랭전선은 다른 말로 ‘활승전선’이라고 합니다.
그림을 한번 보자
※참고: 활강전선은 단순히 상층의 한랭건조한 공기가 하층의 한랭건조한 공기보다 빠르게
들어오는 경우라고 보면 된다.
105) kata는 떨어지는 것을 의미 Ana는 상승하는 것을 의미
106) 난기로 따지면 활강전선은 난기 상승의 제한이 있고 활승전선은 난기의 상승하는 것을 의미
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흔하게 배우는 한랭전선은 오른쪽 그림이고
왼쪽 그림을 심층적으로 보면
전선이 형성될 때 종관규모적으로 상층 한기가 강력하게 발달하여 치고 내려와서 대기
중상층에 매우 강력한 하강기류가 발생하게 되고, 온난수송대가 더 이상 상승하지 못하며
동쪽으로 편항됩니다.
따라서, 구름이 한랭전선 후면에 생기는 게 아니라 전면의 먼 곳에 대류구름이 발달하는
특이한 현상입니다.
따라서, 분석할 때 활강전선인지, 활승전선인지 예측하는 것은 매우 중요하다.
즉, 위치가 달라지고 강수량이 달라지기 때문에 어떤 전선인지 구별하는 것은 중요하다.
정리하면 활승전선은 Active front(=활성전선)라고 하며, 상승기류가 더욱 활성화 되어
대류권계면까지 구름이 형성됩니다.
반대로 활강전선은 Inactive front(=비활성전선)이며 대류가 제한되는 것을 의미한다.
하강기류의 발달에 의해서 중층운과 상층운의 형성이 제한적이고 전선 전면에 구름이 생긴다.
(온난전선에도 활강 온난전선이 있는데 전면 가까운 곳에만 구름이 형성된다.)
왼쪽 그림은 활강형 전선이 강할 때 온난수송대가 동쪽으로 편향됨을 나타내고
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오른쪽 그림은 온난수송대가 강할 때 한랭전선을 타고 올라가 전선 후면에 강수가 내리는 걸
표현 것이다.
왼쪽 그림은 상층 의 일기도, 오른쪽 그림은 지상일기도다.
상층과 하층간의 기압골 위치가 많이 tilt(기울어짐)되어 있지 않고 서로 그 위상을 유지하려고
하며 또, 기압골 오른쪽은 PVA 지역으로 상승기류가 발달 왼쪽은 하강기류가 발달하게
됩니다.
또한, 매우 밀집된 등고선이 풍상측에 있다가 한반도로 올 때 지상의 등고선 간격이 매우
좁기에 한랭기류가 강하게 내려오는데 이때, 지상에는 저기압에 의해 강력한 상승기류가 있게
되며 이에 따라, 더욱 강한 한기가 내려온다는 것을 알 수 있다.
즉, Cold front가 발달하여도 상공의 강력한 한기에 의하여 이 경우에는 활강전선으로 인하여
한랭전선 전면에 강수가 내리게 됩니다.
이제 전선이 어떻게 발생하고 강화되며 필요충분조건은 무엇인지 보자
전선이 발달하기 위해서는 온도와 바람, 강력한 온도경도가 필요하다.
하지만, 이것만으로 전선이 발달하지는 않고 발달하기 위해서는 바람, 온도경도가 강력한
방향을 따라 수렴하는 것이 가장 중요하다.
미국 즉, 북아메리카 지역에서의 온대저기압 구조다.
자세히 보면 남쪽과 북쪽에 둘 다 고기압이 존재한다는 것을 알 수 있다.
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북쪽은 차가운 고기압, 남쪽은 따뜻한 고기압이 존재하며 이동성 저기압이 중간에 존을
이루면서 만들어져있다.
이 전선이 어떻게 만들어지는지 보자
원래 약하고 큰 고기압 덩어리가 불어나가고 있었을 때, 남쪽의 따뜻한 온도의 영향과 북쪽의
차가운 온도의 영향이 고기압에 강하게 작용하여 중간을 기점으로 북쪽과 남쪽의
공기덩어리들의 고기압이 강해지게 되고 서로 불어 나가는 도중에 겹치는 존이 생기게 된다.
이때의 경우 저 지역(존)에서 수렴이 일어나게 되고 이에 따라 급격한 온도의 불연속성이
발생하여 정체전선이 발달한다.
약해지는 과정을 보면
서로 정체전선이 생기지만, 남북방향의 온도경도가 점점 약해져 수렴 강도가 약해지는 경우
경계면의 불연속성이 사라지게 되고, 바람의 수렴이 완전히 사라진 경우 전선이 소멸된다.
이 경우에 북쪽과 남쪽 공기의 성질은 다르지만 불연속성이 아닌 종관규모로
완만(smooth)하게 공기가 전이되는 형태가 된다.
이제 전선 발생의 조건에 대해서 알아보자
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1. 좁은 지역에서 급격한 온도 경도 => 전선발달 강제력
2. 따뜻하고 찬 공기의 불연속적인 경계가 이루어지도록 바람이 일어나야 한다.
=> 전선 발생의 운동학적 관점
위 그림에서 빨간색 점선은 온도 경도이며 온도 경도가 강한 지역은 지역이다.
이 지역은 경도가 훨씬 더 강화되는 형태로 발달하게 될 수 있다.
이와 같은 상황을 Frontogenesis라고 하며 바람에 의해서 온도경도 폭이 좁아져107) 온도
경도와 바람의 분포가 전선이 발달하는 쪽으로 기울게 된다.
오른쪽 그림은 바람에 의해서 온도 경도가 벌어지는 쪽으로 가게 된다.
따라서, 온도 경도가 해소된다는 것을 알 수 있다.
이 같은 상황을 Frontolysis108)라고 합니다.
C축은 바람이 늘어나는 축이므로 신장축(유출축) B축은 바람이 모이는 축이므로
수축축(유입축)이라고 한다.
본격적으로 전선형성 강제력에 대해서 배워보자
전선형성 강제력의 수학적 표현을 먼저 보면 ∇
해석하면 ‘온위경도의 시간에 따른 변화율’이며 이것을 전선형성 강제력이라고 한다.
즉, 시간에 따라 온위 경도가 얼마나 더 강해지는가를 말합니다.
전선이 얼마나 급격하게 발달하는가를 나타내는 것109)이 전선형성 강제력입니다.
: 전선 형성
→ 시간이 지남에 따라 수평 방향의 온위의 변화가 커야한다.
(Maximum F를 갖는 지역: 불연속이 최대가 되는 지역)
이제 수학적으로 어떤 상황에서 양수가 되며, 어느 지역에서 Maximum이 되는지 보자
일단, 공기의 열 전도율은 매우 낮기에 시간에 따라 온위가 보존된다고 볼 수 있다.110)
107) 온도 경도의 각도가 이상인지 아닌지에 따라 전선의 발달이 결정된다.
108) 기본적인 영단어긴 한데 Fronto는 영어에서 front인데 라틴어를 사용하여 저렇게 나타낸 것이고
genesis는 발생, lysis는 ‘세포의 용해’라는 뜻인데 감퇴 정도로 받아들이면 될 듯하다.
109) 전선에 배치된 공기가 좁은 지역에서 온도 차이가 얼마나 더 강해지는가?
110) 단열과정을 가정한다는 의미다.
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즉,
그리고 ∇ 를 전미분이므로 편미분으로 전개하자
∇ ∇
∙ ∇ ∇
미분연산자는 선형(일차꼴)이므로 서로 순서를 바꿀 수 있다.
따라서, ∇
∙ ∇ ∇
이때,
∙ ∇ 이며,
∙ ∇이다.
이 식을 의 우변 첫 항(∇ )에 넣어서 ∇ 이 미분항이므로 각 항을 미분하여 정리하자
즉, ∇ ∙ ∇ ∇
∙ ∇
∙ ∇ ∇가 된다.
그러므로 에 대입하여 정리하면, ∇
∙ ∇라고 쓸 수 있다.
이때, ∇ 의 연산은 원래 스칼라 항에만 붙는데 하나의 개념을 배우면 우리가 알고 있는
양으로 환원이 된다. 그 과정을 증명해보자 !
∇ 의 미분 연산자는 좌표계가 이므로
가 직선이나 어떤 값이면 표현하기가 쉬우나
와 같은 유체의 그 자체 흐름은 미분과 계산도 그렇고 한 번에 나타내기가 어렵다.
이때, 도입하는 좌표계가 바로 자연좌표계다.
즉, 자연좌표계는 유체를 벡터로 나타나기 위한 좌표계이다.
이 흐름에 상응하는 좌표계를 만들어보자
어떤 한 지점에서 흐르는 방향에 평행하게 접선을 그은 것이 이고 방향이라고 하며
방향의 왼쪽을
이라고 정의하며 방향이라고 정의한다.111)
이것을 자연좌표계라고 한다.
이제, 자연좌표계에서 적용해야 하므로 ∇ 의 좌표도 과 의 방향으로 바뀌게 된다.
그러므로, ∇ 를
방향으로 분해하여 표현할 수 있다.
111) 임 즉, 방향으로 갈수록 온위는 증가
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∇
∇
따라서,
이때, 등온선을 따라 가는 온위( )는 변하지 않으므로 0이고 ∙
이므로
결국, 이라고 할 수 있다.
이려면 은 항상 양수이므로 이 음수여야 한다.
즉, 방향으로 갈수록 풍속이 약해져야한다는 의미가 된다.
따라서, Cold와 Warm의 분포가 점점 조밀하게 될 것이라는 걸 말해주고 있다.
34. 전선발달 역학(2)
전선형성 강제력에 있어서 중요한 건 두 가지라고 언급하였다. 1. 온도 경도 2. 바람의 수렴
및 발산
하지만, 아무리 온도 경도가 있다고 한들 바람의 수렴 즉, ‘바람의 변형’이 없으면 전선의
형성 혹은 파괴가 이루어지지 않습니다.
이 단원에서는 바람의 변형(deformation)의 종류에 대해서 알아보고 이 변형하는 바람들이
어떻게 전선 형성을 하는지 알아보도록 하겠습니다.
1, Translation(병진운동)
: 병진운동은 모양은 유지한 채로 이동하는 것을 말한다. 즉, 유체의 넓이/형태 변화가 없다는
것을 의미한다. => 일정한 속도로 부는 바람을 말한다.
2. Divergence(발산)
: 넓이는 변하나 모양은 유지되고 더 큰 원형으로 바뀌는 것
3. Convergence(수렴)
: 넓이는 변하나 모양은 유지되고 더 작은 원형으로 바뀌는 것
4. Vorticity(소용돌이도)
: 시계 및 반시계 회전을 의미한다. 회전이 강해져도 모양의 변형은 없다.
=> 따라서, 전선은 형태 즉, ‘모양’의 변화가 있어야 한다.
위에서 적은 네가지 특성들은 전선 형성과는 거리가 조금 멀다는 것을 기억해주자.
전선에서 deformation은 유체의 넓이는 변화 없이 형태만 변하는 것을 말한다.
Deformation의 종류는 Stretching deformation, Shearing deformation, Vertical
defotmation이 있으며 중요한 건 넓이의 변화가 전혀 없다는 것이다 !
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대표적인 deformation의 형태를 보면
위 그림과 같이 왼쪽은 정사각형의 형태를 띄나 오른쪽처럼 직사각형 형태로 변하며 모양의
변화가 있음을 알 수 있다.
이때, A를 수축축이라고 하고 B를 신장축이라고 한다.
이해를 돕기 위해 고무찰흙을 예로 들면 사람의 손으로 A쪽을 누르고 B축을 당긴다면 눌렀을
때 줄어든만큼 당긴쪽의 길이가 늘어나게 될 것이다.
그러므로, 넓이의 변화는 없고 형태의 변화 즉, 패턴의 변화만 있을 뿐입니다.
이것을 우리는 Stretching deformaion(인장변형)이라고 합니다.
두 번째는 Shearing deformation(전단변형)입니다.
우리가 흔히 생각하는 Shear은 어떤 방향으로의 바람 변화율에 의해서 생기는 것이라고
생각한다.
이것 또한 같은데, 위 그림처럼 어떤 고무찰흙의 밑 부분은 서풍이 불고 윗 부분은 동풍이
분다면 밑 부분은 동쪽으로 밀리고 윗 부분은 서쪽으로 밀려 모양의 변형이 생긴다.
이것이 바로 Shearing deformation이며 뒤틀림에 의한 변형이라고 합니다.
세 번째로는 Vertical deformation입니다.
Vertical이 뭡니까? ‘수직의’라는 뜻이지 않나요?
그러므로, 상승 또는 하강이 생겨 모양의 변형이 생기는 것을 의미합니다.
이때, 온도경도가 패킹되는 쪽은 신장축에 있다는 걸 기억하시길 바랍니다.
이처럼 넓이 변화 없이 형태의 변화로 인해 온도경도가 강화되는 조건을 유도할 수 있는 바람
분포는 deformation에 있다는 걸 반드시 기억해두시길 바랍니다.
이제 어떻게 전선들이 소멸되고 발생하는지 자세하게 한 번 살펴보겠습니다.
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1. Stretching deformation: 위에서 했으니 패스하겠습니다. 중요한 건 등온선과 유출축
사이의 각인 가 45보다 크냐 안 크냐가 중요합니다.
2. Sheraing deformation
이렇게 북쪽과 남쪽으로 따뜻하고 차가운 공기가 서로 어떻게 올라가고 내려가냐에 대해서
온도경도가 발달 혹은 쇠퇴하게 됩니다.
하지만, 종관규모에서 연직적인 상승, 하강에 의한 이런 남북운동들은 크지 않으므로 Sharing
deformation에 의한 전선 발생은 매우 작은 규모에서 형성됩니다.
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3. Vertical deformation
연직운동이 일어나기 위해서는 수렴과 발산이 있어야 한다.
이때, 상승운동이냐 하강운동이냐에 따라 등온선 간격이 서로 달라지게 되고 위와 같은
그림으로 전선의 발달과 소멸이 있을 수 있다.
4. Differential vertical motion
2번은 Shearing deformation과 거의 같다고 보면 되는데
위에는 수평방향 얘는 연직방향이다.
위에서 말했듯이, 연직방향은 종관규모에서 크지 않으므로 매우 작은 규모에서 형성된다.
35. 잠재소용돌이도112)의 활용
이번 시간에는 잠재 소용돌이도가 어떻게 실제 일기도 분석에 이용되는지 알아보도록
하겠습니다.
잠재소용돌이도는 대기상에서 보존되는 개념입니다. 즉, 저기압 덩어리를 의미하는
소용돌이도를 측정하는 개념이며 수식으로는 로 나타냅니다.
112) Potential Vorticity를 줄여서 라 표현한다. 다른 말로 잠재소용돌이도=위치소용돌이도
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이때, 의 단위()가 중요한데 이며
이것을 ( )로 정의합니다.
즉, 라는 뜻입니다.
지금부터 1.5 가 계속 강조될 것인데 대류권계면에 해당되는 잠재소용돌이도가
와 거의 일치하기 때문입니다.
잠재소용돌이도 식을 보면 절대소용돌이도에 를 나누는 형태로 정의되는데
이때 를 구해보면 밀도에 비례하는 양으로써 정적안정도의 역수113)가 됩니다.
따라서, 잠재소용돌이도(PV) ‘절대소용돌이도× 정적안정도’로 표시됩니다.
잠재소용돌이도는 보존되므로 안정도가 커지면 소용돌이도 값이 작아지고 안정도가 작아지면
소용돌이도 값이 커집니다.
안정도는 ‘온위의 조밀함’이 결정하게 되는데 성층권으로 진입하면 온위의 간격이 조밀하게
배치되는 것을 알 수 있다.
따라서, 성층권에서는 온위가 급격히 변화하며 안정화되므로 성층권 잠재소용돌이도는 매우
큰 값이다.
위에서 1.5 를 강조했는데 이거보다 크다면 성층권이며 이거보다 작으면 대류권이라는
뜻이 된다.
또한 잠재소용돌이도의 중요한 성질중 하나는 잠재소용돌이도의 분포만으로도 지위고도,
바람장, 연직속도, 온위등을 모두 역으로 구할 수 있게 됩니다.
이를 역산성(Invertability)라고 하며, 역함수가 존재하는 것을 의미한다.
식을 생각해보면 고도에 따라 밀도가 감소하므로 즉, 의 값이 감소하므로
는 상층으로 갈수록 증가하는 경향이 있으며, 성층권으로 들어서면 급격하게 증가한다.
또한, 위도가 증가할수록 가 증가하게 되어 는 극 지역으로 갈수록 커진다는 걸 알 수
있다.
잠재소용돌이도의 보존성에 대해 알아보겠습니다.
잠재소용돌이도는 기압면이 아닌 특정 온위면 사이에서 분석합니다.
상층의 잠재소용돌이도를 분석할 때는 주로 절대온도가 인 면에서 잠재소용돌이도를
분석합니다.
=> 상층의 온위분석에 가장 용이한 온위면은 온위면을 따라 계속해서 잠재소용돌이도 값이
변해야 하는데 이 온위면이 바로 이기 때문이다.
∆
113) 상태방정식에 의하면 밀도는 온도에 반비례하다. 그러면 식을 ∆ ≈ 라고 쓸 수 있다.
따라서, 밀도 변화가 크다는 건 온도 변화는 작다는 것, 밀도 변화가 작다는 건 온도 변화가 크다
는 것이며 온도 변화가 작다는 건 고도마다 온도가 크게 차이 나지 않기 때문에 정적안정도가 약하
고 온도 변화가 크다는 건 고도마다 온도가 크게 차이 나기 때문에 정적 안정도가 크다는 뜻이다.
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잠재소용돌이도는 온위 사이면이기 때문에 단열과정으로써 보존된다는 걸 알 수 있다.
그러므로, 여러 변형이 일어나도 잠재소용돌이도는 보존이 일어나게 된다.
왼쪽이 고도가 높은 지역 오른쪽이 고도가 낮은 지역이다.
또, 온위 간격()을 보면 왼쪽이 더 조밀하기 때문에 안정한 지역, 오른쪽이 덜 안정한
지역이다.
등온위면 간격이 조밀하다는 것은 차가운 지역임을 암시하는 것이고 간격이 넓어진다는 건
따뜻한 지역임을 알려주는 지표와 같은 것이다.
따라서, 절대소용돌이도 × 정적안정도 를 생각하면
정적안정도가 낮은 지역으로 가면 절대소용돌이도의 값이 증가하여야 하기 때문에 저기압
순환이 강화된다고 할 수 있다.
잠재소용돌이도는 역연산성을 성질을 가지고 있습니다.
역연산성이란? 잠재소용돌이도에 의해서 다른 변수들까지 알아낼 수 있다는 것인데
위에서 말했던 역함수와 같이 일대일 대응이라고 생각하면 된다.
이 일대일 대응에 해당되는 변수가 바로 온도와 주변 바람장이라는 것이다.
대류권계면에 양의 즉, 평균적인 보다 높은 값을 형성하게 된다면
온위면의 변형이 생기게 되고
위 그림과 같이 반시계방향으로 파란색 선과 같은 순환이 생기게 되어 바람장까지도 변화하게
된다.
이때, 상층이기 때문에 준지균 이론 즉, 단열과정이므로 지균운동을 따르는 공기덩어리에
대해 준지균 잠재소용돌이도 방정식이 보존되어야 함으로 역으로 지위고도, 온도, 바람장을
도출할 수 있다.114)
준지균 잠재소용돌이도 방정식은 인 지오포텐셜만의 함수이므로 보존되는 를 이용하여
파동의 변화, 온도 변화, 바람 분포 변화등을 파악할 수 있다는 것이다.
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쉽게 말하면 특정 지역에 잠재와도(=위치소용돌이도)의 편차가 존재하는 경우 잠재와도의
영향은 그 지역에만 국한되지 않고, 이와 균형을 이루는 주변의 온도, 지위고도, 바람장에
영향을 미친다는 것이다.
영향 반경은 대기의 상태와 잠재와도 편차의 공간규모에 따라 달라진다.
양의 아노말리가 존재할 때, 그림과 같이 자석에 이끌리듯 온도장이 아노말리로 끌려가게
됩니다.
정확하게 이야기하면 아노말리에 의한 변화라기 보단 ‘균형’이라고 보는게 맞습니다.
→ 상층의 값이 증가했다면, 하층의 값이 감소하는 ‘균형’을 이루게 된다.
이 균형은 준지균 역학을 만족하는 방향으로 흐르게 됩니다.
쉽게 생각하면 자석으로 이해하면 됩니다.
자석이 있을 때 전기장들이 자석 쪽으로 이끌려 가듯이 아래위에서 온도장이 끌려들어간다고
생각하면 됩니다.
지균균형을 맞추기 위해 양의 편차 주변에 저기압성 순환이 나타나고 상승기류로 인하여
하층에서도 저기압성을 유도하여 상층의 저기압을 더욱 강화시키는 역할을 합니다.
실제 일기도 상에서 상층에 강한 양의 아노말리가 존재하는 그림을 나타낸 것이다.
양의 가 있다는 건 그 레벨에서의 저기압성 순환을 의미하고 주풍이 동쪽이라고 하면
기압골과 마찬가지로 전면에 + 후면에 가 생겨
전면에 강한 상승운동 후면에 하강운동이 생기게 된다.
즉, 양의 만으로도 바람과 상승운동이 충분히 설명될 수 있다는 것이다.
114) ∇
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점선으로 나타낸 부분은 잠재소용돌이도의 분포
실선으로 나타낸 부분은 온위의 분포다.
우리가 잠재소용돌이도는 절대소용돌이도와 정적안정도의 곱으로 정의 했는데
잠재소용돌이도가 보존된다는 것은 같은 위도에서 고도에 따라 보존된다는 것이다.
잠재소용돌이도는 가 클수록, 정적안정도가 클수록 값이 큰데
이 부분은 북극과 남극의 성층권 이상에서 잠재소용돌이도 값이 크다는 것을 알 수 있다.
종합적으로 정리하면
성층권에서 가 난입하게 되면 위에서 말한 것과 같이 자석에 의해서 주변 전기장이
변하는 것처럼 노란선( )과 파란선(온위면)이 팽창하게 되고 전면에는 상승운동 후면하는
하강운동이 일어나게 된다는 걸 알 수 있다.
이처럼 성층권의 Cold air가 대류권으로 내려오는 것을 역학적으로 대류권계면의 폴딩이라고
합니다.
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36. 등온위면 분석
온위의 정의를 다시 살펴보겠습니다.
온위는 온도와 관련이 있고 위와 같이 압력의 지수함수로 표현됩니다.
온위를 이용하면 ‘공기덩어리가 온위면 상에서 움직인다’는 전제조건을 활용할 수 있기
때문에 분석이 쉽습니다.
종관규모의 운동은 거의 단열과정이므로 풍향을 알게 되면 온위면 상에서 풍향을 따라
공기덩어리가 움직이므로, 이 공기가 상승하는지 또는 하강하는지를 알 수 있습니다.
위 그림과 같이 공기 덩어리가 이동한다고 하면 종관규모에서 공기덩어리는 단열과정이므로
온위면 상에서 벗어날 수 없습니다.
따라서, 기압이 낮아지는 방향으로 간다면 상승기류이며 기압이 높아지는 방향으로 운동하면
하강기류가 존재하는 구역115)이 됩니다.
온위는 위에서 배웠듯이 온도의 함수이면서 동시에 부력의 함수이다.
그러므로 같은 온위 값을 지닌 공기는 높은 곳에 있을수록 차갑습니다.
즉, 같은 온위 값을 지니더라도 기압에 따라 온도가 달라질 수 있으며116)
등온위면 상에서는 높은 곳에 있으면 더 차갑다는 것을 기억해야 한다.
115) 기상직 단골 기출이다. 잘 알아두도록 하자
116) 온도와 온위는 열의 관점에서는 거의 같은 말이지만 개념 자체에서는 다르게 봐야 한다.
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평면은 등온위면이고, 실선은 기압, 점선은 수증기량(g/kg)을 나타낸다.
등압선 간격이 위로 갈수록 좁아지고 있는 걸 보여주고 수평 바람과 등압선의 각도를 통해
상승운동인지 하강운동인지 확인할 수 있다.117)
위 그림은 낮은 고도에 있던 공기덩어리가 남풍(Warm advetion)에 의해 북쪽으로 이동하여
상승운동을 한다는 걸 알 수 있고
화살표가 반대라면 고도가 낮아지므로 하강운동을 하게 된다.
117) 북쪽을 0도 기준으로 얼마나 각도를 이루었냐에 따라 남풍인지 북풍인지 알 수 있음
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계절별로 적절한 등온위면이 있다.
위의 표는 Namias가 제시한 계절별로 제시한 적절한 등온위면이다.
실제 겨울철은 한반도가 조금 더 Cold하므로 275~280 의 등온위면을 사용하여 분석한다.
이 밑에부터 나머지 부분들은 강의를 들으시면서 이해하시는 게 더 좋아보입니다.
혹은 기상청 손잡예를 보시면서 학습하시는 것을 추천드립니다.
더 이상 제 수준보다 높은 것 같아 말로 설명드리기가 어렵네요.
감사합니다.
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