Theoretische Akustik Vorlesungsskript

M. Möser Theoretische Akustik Skript zur Vorlesung 27. März 2008 Nichts ist praktischer als eine (richtige) Theorie. (nach Manfred Heckl, dem dieses Skript gewidmet ist) Vorwort Diese Theoretische Akustik“ ist mehreren Zielen verpflichtet: ” • Sie versucht nicht nur, die bei der Berechnung von Schallfeldern benutzten Methoden und Verfahren aufzugreifen und an Beispielen durchzuführen, wie z. B. die allerdings wirklich recht naheliegende Benutzung der FourierTransformation und der Lösung gewisser Randwertprobleme. • Sie greift darüber hinaus auch höchst prinzipielle physikalische Fragestellung auf (wie z. B. die Physik der Abstrahlung und die der Beugung) und versucht, diese auf ihre wesentlichen Inhalte und Substanzen hin abzuklopfen, und dabei dürfen fraglos auch die praktischen Anwendungen z. B. im Schallschutz nicht in den Hintergrund treten. Zunächst werden sehr grundsätzliche Dinge besprochen: was ist sehr vielen akustischen Übertrager gemeinsam, wie kommt eigentlich die Vorliebe für die Betrachtung harmonischer (sinusförmiger) Zeitverläufe zustande, was meinen Impulsantwort und Übertragungsfunktion. Danach werden die Grundlagen der Schallausbreitung in Gasen besprochen. Hier ist die Darstellung teilweise gerafft, weil der Stoff in anderen Lehrveranstaltungen des Verfassers ausführlich behandelt wird. Danach wird die Abstrahlung von Ebenen betrachtet. Weil man diese auf sehr einleuchtende Prinzipien und gut zu verstehende Gesetze zurückführen kann, handelt es sich dabei sicher um ein zentrales Kapitel der Vorlesung. Auch beruhen einige praktisch recht bedeutsame Messvorschriften auf den hier erarbeiteten Sachverhalten. Es folgt anschließend die Behandlung von Randwert-Problemen, wobei die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten sozusagen als Beispiel benutzt wird. Anfangs wird geschildert, wie man dabei vorgeht, es steht also zunächst das Methodische und weniger das Ergebnis im Vordergrund. Anschließend wird das Gelernte dann allerdings auf die Beugung an Hindernissen angewendet, und diese Frage allerdings ist für die Praxis ausgesprochen wichtig: Fast der gesamte Lärmschutz an Straßen hat die Beugung an Schallschutzwänden zum physikalischen Hintergrund, und leider, leider ist deren Wirkung arg begrenzt, VIII Vorwort wie das entsprechende Kapitel zeigt, das sicher als zweiter zentraler Teil der Veranstaltung angesehen werden darf. Das ist (vielleicht schon mehr als) genug Stoff für die ein Semester währende Veranstaltung. Der Verfasser ist - mit anderen - der Meinung, dass Einiges ” klar durchdacht“ besser ist als Vieles oberflächlich gestreift“; weniger kann ” bekanntlich mehr sein. Schließlich darf ich noch erwähnen, dass die Teilnehmer an dieser Lehrveranstaltung nach meiner Erfahrung recht heterogen zusammengesetzt sind. Ein beträchtlicher Anteil der Hörer hat sonst kaum etwa mit Akustik zu tun. Ausdrücklich sind mir auch diese Teilnehmer herzlich willkommen; ich nehme auch gerne Rücksicht, indem die für das Verständnis erforderlichen Voraussetzungen wenigstens kurz besprochen werden, so dass man der Vorlesung auch (mit der üblichen mathematischen und physikalischen Grundausstattung“) folgen ” kann. Allerdings darf ich um Verständnis bitten, dass hier natürlich Grenzen gesetzt sind. Einige Dinge müssen wirklich anderen Vorlesungen überlassen bleiben. Warum z. B. in der Akustik Schallpegel benutzt werden, und welche Begründung für die adiabatische Zustandsgleichung (in den Details) gegeben wird, das kann hier nicht alles nochmals aufgearbeitet werden. Teile dieses Skriptes sind übrigens auch im meinem Buch Technische Akustik (erschienen beim Springer Verlag in Berlin, 7.-te Auflage im Jahr 2007, etwa 600 Seiten, 8.-te Auflage geplant für 2009) enthalten, dass auf einige der soeben aufgeworfenen Fragen ausführliche Antworten parat hält. Dieses Skript ist so ausführlich gestaltet, dass keine Mitschrift der Vorlesung mehr nötig ist; Nebenbemerkungen am Seitenrand während des Hörens sollten vollauf genügen. Es reicht auch zur Prüfungsvorbereitung völlig aus, in der Prüfung wird kein Verständnis oder Wissen erwartet, das darüber hinausgeht. Ich freue mich über jeden Fehler, den die Leser finden, denn das hilft mir, es besser zu machen. Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Übertragungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Eigenschaften von Übertragern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Beschreibung durch die Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Das Invarianz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fourier-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Die Übertragungsfunktion und der Faltungssatz . . . . . . . 1.4.4 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Impulsantworten und Hilbert-Transformation . . . . . . . . . 1.5 Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3 4 9 10 11 19 22 24 26 28 2 Die akustischen Zustandsgleichungen in Gasen . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Zustandsgleichungen für die Gesamtgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Boyle-Mariotte-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Adiabatische Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Zustandsgleichungen für die Schallfeldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 35 36 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . 3.1 Folgerung aus der Massen-Erhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Eindimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Dreidimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Folgerungen aus der Impuls-Erhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Eindimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lighthill-Gleichung und Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Eindimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Dreidimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 40 41 41 41 42 42 45 M. Möser X Inhaltsverzeichnis 3.4 Energie und Leistung in Schallfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 5 Schallabstrahlung von ebenen Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Örtlich harmonische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Allgemeine Form der Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Betrachtungen im Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Fernfeldbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Spezielle eindimensionale Strahler-Anordnungen . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Die Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Kurzwellige, endlich lange Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Dreidimensionale Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Spezielle (zweidimensionale) Strahler-Anordnungen . . . . . . . . . . 4.6.1 Die kreisförmige Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 53 56 59 60 60 63 65 67 67 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Das Koordinatensystem des Kreiszylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Wellengleichung in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 Massenerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2.2 Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Ebene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1 Lösungen der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.2 Abstrahlung von Zylinder-Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3.3 Beugung an Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4.1 Beugung an der schallharten Schneide . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4.2 Bedeutung der Höhe von Schallschutzwänden . . . . . . . . . 121 5.4.3 Schallschutzwälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.4 Absorbierende Schallschutzwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4.5 Schalldurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4.6 Beugung an Wänden mit aufgesetzten Zylindern . . . . . . 126 5.5 Abstrahlung und Beugung im dreidimensionalen Raum . . . . . . . 126 5.6 Schallausbreitung in Rohren (Kundtsches Rohr) . . . . . . . . . . . . . 128 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Alle akustischen Strukturen und Anordnungen haben eines gemeinsam: sie übertragen ein gewisses Zeitsignal und wandeln es dabei in ein anderes um. So regt z. B. ein elektrisches Signal die Lautsprecher-Membran einer Beschallungsanlage an, und bereits darin besteht eine Signal-verformende Änderung des Spannungs-Zeitverlaufes in den Zeitverlauf der Membran-Schnelle. Dann kann dieses Signal weiter in jede erdenkliche akustische Umgebung“ abge” strahlt werden, ins Freie, in die ganze Vielfalt der denkbaren Räume mit den unterschiedlichsten Nachhallzeiten und Einrichtungen; und auch dabei wird der Zeitverlauf der Membran-Schnelle in eine jeweils von der akustischen Umgebung (und sogar noch vom darin betrachteten Punkt) abhängende Signalgestalt des Schalldruck-Zeitverlaufes umgeformt. Natürlich beschreiben die genannten Beispiele nur sehr spezielle Fälle von Übertragern. Andere Beispiele - um nur noch einige wenige zu nennen - sind Filter, Schalldämpfer, Mikrophone, von Kräften zu Schwingungen angeregte Strukturen wie Platten, Stäbe, Bauwerke, Brücken, Fahrzeuge, und viele andere. Hier, in der Theoretischen Akustik, werden nur einige ganz spezielle Übertrager und Übertragunsgphänome behandelt werden, nämlich vor allem Abstrahl-Vorgänge von gewissen, noch halbwegs einfach behandelbaren Flächen und Beugungs-Vorgänge; aber auch bei diesen handelt es sich zweifellos um die Betrachtung und Beschreibung von Übertragern. Grund genug, die allgemeinen Eigenschaften und Beschreibungsmöglichkeiten von Übertragern an den Anfang der Theoretischen Akustik zu stellen. Allgemein soll unter einem Übertrager (oder einem System) eine jede Einrichtung zu verstehen sein, die aus einem zeitlichen Signal ein zweites, durch irgendeine Verformung aus dem ersten entstandenes, sogenannten Ausgangssignal macht. Das Anregesignal x(t) wird als Eingangssignal“ bezeichnet und ” ließe sich als Ursache“ für einen zeitlichen Vorgang ansehen, das Ausgangs” signal y(t) könnte dann wohl auch durch den Begriff Wirkung“ gekennzeich” net werden. Wie man an einem konkreten Übertrager sinnvoll Eingangssignal x(t) und Ausgangssignal y(t) wählt, das hängt von den Gegebenheiten, dem Zweck der Betrachtung und durchaus auch von der Wahl des Betrachters 2 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.1 Eigenschaften von Übertragern ab. Z. B. wird es gewiss sinnvoll sein, bei einem Mikrophon den anregenden Schalldruck-Zeitverlauf als Eingang und die Mikrophon-Spannung als Ausgang aufzufassen; nichts spräche andererseits dagegen, den Strom-Zeitverlauf im elektrischen Kreis als Ausgang aufzufassen. Will man erst einmal das lokale Geschehen bei einem Lautsprecher betrachten, dann würde man die Speisespannung als Eingang und die Membranschnelle als Ausgang definieren, ebensogut ließe sich alternativ auch die Membranbeschleunigung verwenden. Interessiert auch noch die Abstrahlung, dann wäre der Ausgang vernünftigerweise wohl das Schalldrucksignal in einem Punkt. Sollte jedoch aus irgend einem Grund die Luftschall-Schnelle interessieren, dann ließe sich natürlich auch diese als Ausgang benutzen. Die Operation L soll hinfort die genaue Art und Weise bezeichnen, in welcher der Übertrager das Eingangssignal in ein Ausgangssignal verwandelt: y(t) = L[x(t)] . (1.1) Dabei darf man sich jede beliebige, wohldefinierte Verformung eines ebenso beliebigen Eingangssignals x(t) zu einem Ausgang y(t) vorstellen, die durch L bewirkt wird. Um nur ein Beispiel aus der großen, denkbaren Vielfalt herauszugreifen: ein entsprechendes Filter verformt z. B. ein periodisch wiederholtes Dreiecksignal zu einer Sinusfunktion gleicher Frequenz. Neben den hier schon genannten Übertragern sei z. B. noch ein Gleichrichter genannt, von denen wir übrigens jeder (mindestens) so viele besitzen, wie wir Geräte mit Netzanschluss unser eigen nennen. Seine Aufgabe besteht ebenfalls in einer Signalverformung, er macht nämlich aus einer Wechselspannung (möglichst) eine Gleichspannung. Der Quadrierer ist ein nah verwandter Übertrager, er wird in Zukunft auch einmal als Beispiel zur Veranschaulichung herangezogen werden, um die im Folgenden erarbeiteten Sachverhalte zu veranschaulichen. 1.1 Eigenschaften von Übertragern 1.1.1 Linearität Übertrager können sich linear oder nichtlinear verhalten. Linear werden solche Systeme genannt, für die das Prinzip der ungestörten Überlagerung stets angewendet werden kann, für die also bei beliebigen Signalen x1 (t) und x2 (t) und beliebigen Konstanten c1 und c2 L[c1 x1 (t)] + L[c2 x2 (t)] = c1 L[x1 (t)] + c2 L[x2 (t)] (1.2) gilt. Die Reaktion des Übertragers auf eine Linearkombination von Signalen ist gleich der Summe der Teilreaktionen. Das Prinzip der ungestörten Über” lagerung“ wird auch als Superpositionsprinzip“ bezeichnet. ” 3 Viele Übertrager verhalten sich linear, solange die Eingangssignale eine gewisse, von Fall zu Fall unterschiedliche Grenze nicht überschreiten. Z. B. ist die Luftschallübertragung unter (etwa) 130 dB faktisch linear. Für sehr große Pegel oberhalb von 140 dB allerdings wird auch die Schallausbreitung in Luft zu einem nichtlinearen Phänomen. Auch die elektroakustischen Wandler sind bei ausreichend kleinen Anregegrößen linear. Nur bei den höchsten empfangenen Schalldrücken weisen Mikrophone Nichtlinearitäten auf. Etwas häufiger treten Nichtlinearitäten bei Lautsprechern dann auf, wenn ihre Eingangsspannung vor allem bei preiswerteren Exemplaren zwecks großer Lautstärke-Ausbeute übertrieben eingestellt wird. Ein einfaches, dabei vielleicht ein wenig konstruiert wirkendes Beispiel für einen nichtlinearen Übertrager besteht im Quadrierer y(t) = x2 (t). Schon dieses Beispiel zeigt, dass nichtlineare Systeme die Signalfrequenz eines harmonischen Eingangssignals verändern. Für x(t) = x0 cos ωt ist y(t) = x2 (t) = x20 cos2 ωt = x20 (1 + cos 2ωt) . 2 (1.3) Das Ausgangssignal enthält also einen Gleichanteil und einen Anteil mit der doppelten Frequenz des Einganges. Darin besteht allgemeiner die Konsequenz aus einer Nichtlinearität: zu einer Eingangsfrequenz entstehen im Ausgangssignal neue, zusätzliche Frequenzen. Obwohl das sehr oft der Fall ist, müssen diese neuen Frequenzen nicht immer - wie beim Quadrierer - Vielfache der Eingangsfrequenz sein; es können z. B. durchaus auch Frequenz-Halbierungen und allgemeine, gebrochene Frequenzverhältnisse auftreten. Wie oben schon angedeutet ist der Übergang zwischen dem linearen und dem nichtlinearen Bereich eines Übertragers in Wahrheit fließend. Deshalb werden Maßzahlen für den Nichtlinearitätsgrad angegeben. Am bekanntesten ist der sogenannte Klirrfaktor (er besteht in der Summe der AusgangsAmplituden der nicht im Eingang enthaltenen Frequenzen, geteilt durch die Ausgangs-Amplitude mit der Eingangsfrequenz). Statt einen Übertrager mit dem Beiwort linear“ zu charakterisieren, wäre die Angabe des Klirrfaktors ” als Funktion der Eingangsamplitude und der Frequenz präziser. Dieser ist allerdings oft unmessbar klein, wie zum Beispiel bei der Luftschallübertragung unter 100 dB. Benutzer von heute aus der Mode gekommenen Tonbandgeräten werden sich an das Aussteuern vor Aufnahmen erinnern. Damit ist in Wahrheit der Klirrfaktor auf (etwa) 0,03 begrenzt worden. 1.1.2 Zeitinvarianz Zeitinvariant wird ein Übertrager dann genannt, wenn die Systemreaktion L[x(t)] bei beliebiger Zeitverzögerung τ des Einganges ebenfalls nur um τ verzögert wird. Für beliebige x(t) und τ soll also y(t − τ ) = L[x(t − τ )] (1.4) 4 1 Grundlagen der Übertragungstheorie gelten, wobei natürlich für die unverzögerten Varianten y(t) = L[x(t)] vorausgesetzt worden ist. Zeitvariante Systeme andererseits sind solche, deren Parameter sich nach einer gewissen Zeit merklich verändert haben. Z. B. kann sich in einem Saal während einer Darbietung die Temperatur und damit auch die Schallgeschwindigkeit ändern, streng genommen handelt es sich also bei der Schallausbreitung im Raum um eine zeitvariante Übertragung. Andererseits erfolgt die Erwärmung oft so langsam, dass man in kleinen, nur wenige Minuten betragenden Zeitintervallen, die beispielsweise für Messungen vorgesehen sind, von Zeitinvarianz ausgehen kann. Ein wirklich zeitvariantes System besteht in der Schallübertragung, bei der Sender und Empfänger relativ zueinander bewegt werden, denn hier ändert sich die Laufzeit zwischen Quellort und Mikrophonort selbst zeitlich. Der dabei auftretende Effekt besteht in der Doppler-Verschiebung der Signalfrequenz. Nicht nur nichtlineare, sondern offensichtlich auch zeitvariante Systeme ändern demnach die Frequenz des Eingangssignals, bei der Übertragung findet eine Frequenzveränderung statt. Andererseits scheint die Erfahrung zu zeigen, dass lineare und zeitinvariante Übertrager frequenztreu sind. Besteht der Signaleingang eines linearen und zeitinvarianten Systems aus einem harmonischen Signal (also einer Cosinus-Funktion) einer gewissen Frequenz, dann bildet der Ausgang ebenfalls ein harmonisches Signal gleicher Frequenz, das dabei nur eine andere Amplitude und eine andere Phase als der Eingang besitzen kann. Alle hier besprochenen Beispiele weisen auf dieses Prinzip hin. Tatsächlich lässt sich allgemein zeigen, dass das Gesetz der Frequenztreue für alle linearen und zeitinvarianten Übertrager gilt; der Beweis wird im übernächsten Abschnitt geführt werden. 1.2 Beschreibung durch die Impulsantwort Aus Gründen der Anschaulichkeit erfolgt die Zerlegung zunächst in endlich breite Bausteine, die beliebig schmalen gehen dann als Grenzfall aus den endlich breiten hervor. Zuerst muss der Baustein selbst definiert werden. Bei endlicher Breite besteht er in der in Bild 1.1 gezeigten Rechteckfunktion r∆T (t), deren Funktionswert 1/∆T im Intervall −∆T /2 < t < ∆T /2 beträgt, außerhalb dieses Intervalls ist r∆T (t) = 0. Das Integral über r∆T (t) ist demnach unabhängig von ∆T gleich 1, solange nur der Integrationsbereich das Intervall −∆T /2 < t < ∆T /2 ganz enthält (a, b > ∆T /2): Zb r∆T (t)dt = 1. (1.5) −a Die Zerlegung des Eingangssignals x(t) in eine aus gegeneinander verschobenen Bausteinen bestehende Reihe in eine Treppenfunktion ergibt die Näherungsfunktion ∞ X x∆T (t) = x(n∆T )r∆T (t − n∆T ) (1.6) n=−∞ (siehe Bild 1.2), die natürlich bei endlichem ∆T die Originalfunktion x(t) nur unbefriedigend nachbildet; erst der Grenzübergang ∆T → 0 kann für eine exakte Nachbildung sorgen, erst dann sind wirklich auch nicht zerkleinerbare“ ” Bausteine definiert worden. r (t) ∆T 1.2 Beschreibung durch die Impulsantwort ∆T r∆ T Am einfachsten beschreibt man die Wirkung eines inhomogenen Ganzen, indem man es gedanklich in viele (im Grenzfall: in unendlich viele) nicht mehr zerkleinerbare Bestandteile zerlegt und die Wirkung der Bestandteile für sich betrachtet. So verfährt man zum Beispiel, wenn das Schwerefeld eines inhomogenen Körpers interessiert. Man zerlegt ihn in (infinitesimal) kleine Würfel mit konstanter Dichte. Für jeden Würfel kann man dann das Schwerefeld bestimmen; das Ganze ist dann die Summe der Teile (das läuft auf die Berechnung eines Integrals hinaus). Genauso kann man auch bei der Übertragungs-Beschreibung verfahren. Man zerlegt das Eingangssignal in nicht mehr verkleinerbare Teile, betrachtet dann die Übertragung dieser Teile und setzt dann das Ausgangssignal durch Summation zusammen, wobei im letzten Schritt die vorausgesetzte Linearität und Zeitinvarianz genutzt werden. 5 1/∆ T t Abb. 1.1. Rechteckfunktion r∆T (t) 6 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.2 Beschreibung durch die Impulsantwort 7 Zb δ(t)dt = 1. (1.10) −a Wegen ihres etwas ungewöhnlichen Aussehens wird die Delta-Funktion auch als Sonderfunktion bezeichnet. Mit kleiner werdendem ∆T rücken die einzelnen Rechteckfunktionen r∆T (t − n∆T ) immer näher zueinander, ihre Dichte wird immer größer. Im Grenzfall ∆T → 0 liegen die Bestandteile r∆T (t − n∆T ) beliebig nahe beieinander, deshalb geht die diskrete Verzögerungszeit n∆T in die kontinuierliche Variable τ über: n∆T → τ . Aus der Summation in der Gleichung für y∆T (t) wird eine Integration, aus dem diskreten Abstand ∆T zwischen zwei Rechteckfunktionen wird das infinitesimal kleine Element dτ . Damit ergibt sich also für die exakte Beschreibung des Systemausganges x (t) ∆T Signal x(t) Z∞ y(t) = 0 Zeit t Wenn es sich - wie vorausgesetzt - um einen linearen und zeitinvarianten Übertrager handelt, dann kann die Übertragung von x∆T (t) einfach berechnet werden, wenn bekannt ist, wie das System auf eine einzelne Rechteckfunktion r∆T (t) reagiert. Diese Information wird nun als gegeben vorausgesetzt, es ist also h∆T (t) = L[r∆T (t)] (1.7) bekannt. Wegen der Linearität und der Zeitinvarianz gilt dann = ∞ X x(n∆T )r∆T (t − n∆T )] = n=−∞ ∞ X ∞ X x(n∆T )L[r∆T (t − n∆T )] n=−∞ x(n∆T )h∆T (t − n∆T ) (1.8) Darin ist h(t) offensichtlich die Antwort des Übertragers auf den Deltaförmigen Eingang, es ist ja h i h(t) = lim h∆T (t) = lim L[r∆T (t)] = L lim r∆T (t) = L[δ(t)] (1.12) ∆T →0 ∆T →0 für die Systemantwort auf den Eingang x∆T (t). Beim Grenzübergang ∆T → 0 geht die Rechteckfunktion in die (unendlich schmale) Diracsche Delta-Funktion über: lim r∆T (t) = δ(t) (1.9) die nur in t = 0 einen von Null verschiedenen (unendlich großen) Funktionswert besitzt. Diese Deltafunktion erfüllt ihren Zweck, nicht weiter zerkleinerbar zu sein. Das Integral über die Deltafunktion existiert und ist gleich 1 (a, b > 0): ∆T →0 Die Systemantwort h(t) auf den Delta-Impuls am Eingang wird als Impulsantwort bezeichnet. Das Integral auf der rechten Seite von Gl. (1.11) wird Faltungsintegral genannt, weil in h(t − τ ) die Integrationsvariable mit negativem Vorzeichen auftritt: auf einem (nicht gegenständlichen) Blatt aufgezeichnet ergibt sich der Funktionsverlauf h(t − τ ) über τ aus h(τ ) durch Falten des Blattes an der Stelle τ = t und Umknicken des Blattes um 180◦ . Die Namensgebung knüpft an dieser geometrischen Vorstellung an und verweist dabei nicht auf die eigentliche Substanz der Betrachtungen: diese besteht in der Zerlegung des Eingangssignals in die (unzerkleinerbaren) Delta-förmigen Bestandteile Z∞ n=−∞ ∆T →0 (1.11) −∞ Abb. 1.2. Originalsignal x(t) und Nachbildung durch Treppenfunktion x∆T (t) y∆T (t) = L[ x(τ )h(t − τ )dτ . x(t) = x(τ )δ(t − τ )dτ , (1.13) −∞ aus der sich der Übertrager-Ausgang wie oben gezeigt berechnen lässt. Die Operation auf der rechten Seite von Gl. (1.11), die auf Eingangssignal x(t) und Impulsantwort h(t) angewandt wird, heißt Faltung“. Das Ausgangssignal ei” nes linearen und zeitinvarianten Übertragers ist gleich der Faltung aus Impulsantwort und Eingangssignal. Dabei können Eingangssignal und Impulsantwort miteinander vertauscht werden, d.h. es gilt 8 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Z∞ y(t) = 1.3 Das Invarianz-Prinzip Z∞ x(τ )h(t − τ )dτ = −∞ h(τ )x(t − τ )dτ , (1.14) −∞ wie man leicht mit einer Variablensubstitution in Gl. (1.11) zeigen kann (man setzt dazu u = t − τ und deshalb du = −dτ und schreibt anschließend für u einfach wieder τ ). Die Faltung ist also invariant gegenüber der Vertauschung der Signale, auf der sie angewandt wird. Bei einem Übertrager können demnach Eingangssignal und Impulsantwort vertauscht werden, ohne dass sich der Ausgang dabei ändert. Der Kern der geschilderten Überlegungen besteht in der Zerlegung von Signalen in nicht mehr dichter packbare Delta-Impulse, die deshalb beliebig schmal sein müssen. Damit ihr Integral von Null verschieden ist muss der Funktionswert notwendigerweise im Mittelpunkt unendlich groß sein. Dieser Gedankengang kann mit der bekannten Reihenzerlegung von gegebenen Funktionen verglichen werden, nur dass hier die Integration über unendlich schmale Teile an die Stelle der Summation über diskrete Elemente tritt. Der Zweck der Darstellung von Signalen durch ihren Delta-Kamm (so ließe sich Gl. (1.13) auch bezeichnen) besteht darin, dass nun der Übertrager-Ausgang aus dem derart zerlegten Eingang unmittelbar berechnet werden kann. Das ist natürlich auch direkt aus der Zerlegung (1.13) ohne den Umweg über die aus didaktischen Gründen an den Anfang gestellte Zerlegung in eine Treppenfunktion möglich:  ∞  Z y(t) = L  x(τ )δ(t − τ )dτ  . (1.15) eine einschalige (dünne) Wand übertragen worden ist, eine Art von verlänger” tem“ Impuls; tatsächlich besteht die Impulsantwort in einer sehr rasch abklin−t/T 00 genden Exponentialfunktion (h(t) ∼ e mit T = m /%0 c für den senkrechten Schalleinfall und für t ≥ 0, für t < 0 ist natürlich h(t) = 0, für die Bezeichnungen siehe auch Kapitel 8). Obwohl daraus die Schallübertragung gewiss korrekt berechnet werden kann, lässt sich doch der Impulsantwort nur sehr schwer eine anschauliche, leicht einprägsame Deutung des physikalischen Phänomens entnehmen. Die Beschreibung der Übertragung mit Hilfe von Frequenzgängen, die in den folgenden Abschnitten betrachtet wird, bietet dagegen ein unmittelbar einleuchtendes und eingängiges Konzept, in dessen Zentrum die Klangverfärbung von Signalen durch die Übertragung steht. 1.3 Das Invarianz-Prinzip Schon im vorletzten Abschnitt ist die Vermutung aufgestellt worden, dass lineare und zeitinvariante Übertrager ein harmonisches (sinusförmiges) Eingangssignal stets unverzerrt übertragen: Das Ausgangssignal besteht ebenfalls stets in einem harmonischen Signal gleicher Frequenz, lediglich Amplitude und Phase werden durch den Übertrager geändert, die Signalgestalt selbst ist also invariant gegenüber der Übertragung. Dass dieses vermutete Prinzip tatsächlich allgemein gilt, lässt sich mit Hilfe des Faltungsintegrales (1.14) zeigen. Dazu wird ein Eingangssignal x(t) = Re{x0 ejωt } −∞ Wegen der vorausgesetzten Linearität darf die Reihenfolge von Integration und Operation L vertauscht werden: Z∞ y(t) = Z∞ L[x(τ )δ(t − τ )]dτ = −∞ x(τ )L[δ(t − τ )]dτ . (1.16) −∞ Auf Grund der angenommen Zeitinvarianz wird daraus natürlich ebenfalls wieder Z∞ y(t) = x(τ )h(t − τ )dτ . (1.17) mit der komplexen Amplitude x0 angenommen. Der zugehörige Ausgang ergibt sich nach Gl. (1.14) zu   Z∞ Z∞   y(t) = h(τ )Re{x0 ejω(t−τ ) }dτ = Re x0 ejωt h(τ )e−jωτ dτ . (1.18)   −∞ −∞ Das letzte Integral hängt nur von der Signalfrequenz ω ab, es ist dabei insbesondere von t unabhängig. Setzt man zunächst kurz Z∞ h(τ )e−jωτ dτ , (1.19) x(t) = Re{H(ω)x0 ejωt } , (1.20) H(ω) = −∞ Faltungsintegral und Impulsantwort h(t) beschreiben die Übertragung im Zeitbereich, indem die Wirkungen vieler gegeneinander verschobener Eingangsimpulse auf der Ausgangsseite aufaddiert werden. Der Hauptnachteil dieser Methode besteht oft in einer gewissen Unanschaulichkeit der Impulsantwort zur Charakterisierung der Übertragung. Z. B. ist die in einem Empfangsraum ankommende Reaktion auf einen Knall im Senderaum, der durch 9 −∞ so erhält man und das beweist die aufgestellte Behauptung: ist der Eingang harmonisch mit der Frequenz ω, dann ist auch der Ausgang harmonisch mit der gleichen Frequenz. Die Übertragung wird vollständig beschrieben durch Angabe der 10 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Amplitudenänderung |H| und der Phasenverschiebung ϕ, die im komplexen Übertragungsfaktor H(ω) = |H|ejϕ (1.21) zusammengefasst sind. 1.4 Fourier-Zerlegung Es ist eine bestechend einfache und recht naheliegende Idee, die Übertragung von allgemeinen Signalen beliebiger anderer Form auf die von harmonischen Signalverläufen zurückzuführen. Dazu muss ein gegebener Signalverlauf, z. B. der Eingang x(t) eines Systems, durch eine Funktionenreihe der Form X x(t) = xn ejωn t (1.22) n dargestellt werden. Ist das erst einmal geschafft (das heißt, sind die erforderlichen Frequenzen ωn und die dazugehörigen komplexen Amplituden xn ermittelt), dann gestaltet sich die Beschreibung von Übertragungsvorgängen sehr einfach. Es muss sich nämlich auf Grund des Invarianzprinzips (und der dafür ja schon vorausgesetzten Linearität) der Ausgang stets aus den gleichen Frequenzen wie der Eingang zusammensetzen, wobei nur die Einzelamplituden durch die Übertragung geändert werden können: X y(t) = H(ωn )xn ejωn t (1.23) n Je nach Eingangssignal treten andere Frequenzen mit anderen Amplituden auf, die ja gerade für das spezielle Signal charakteristisch sind. Sollen alle Möglichkeiten erfasst werden, dann muss der komplexwertige Übertragungsfaktor H nun für alle Frequenzen bekannt sein. Eine vollständige Beschreibung der Übertragung erhält man also aus dem Frequenzgang H(ω). Um anzudeuten, dass dabei die Frequenz als kontinuierliche Variable aufzufassen ist, wird H(ω) als Übertragungsfunktion bezeichnet. Die Beschreibung der Übertragung durch den Frequenzgang der Übertragungsfunktion lässt eine recht anschauliche Interpretation zu. Wenn man sich den Eingang in Frequenzen - bildlich gesprochen in Klangfarben - zerlegt denkt, dann kann die Übertragung als eine reine Verfärbung aufgefasst werden. Ein über eine Wand übertragenes Schallsignal z. B. klingt im Empfangsraum leiser und dumpfer, weil die Übertragungsfunktion bei hohen Frequenzen klein wird. Voraussetzung für dieses Konzept, Übertragungen als Klangverfärbungen aufzufassen, ist, dass beliebige Signale durch eine Funktionenreihe mit harmonischen Bestandteilen tatsächlich auch dargestellt werden können, wie Gl. (1.22) fordert. Die folgenden Abschnitte sind den Einzelheiten dieser meist auch als Fourier-Zerlegung bezeichneten Dekomposition gegebener Signale und der 1.4 Fourier-Zerlegung 11 Frage ihrer Existenz gewidmet. Dabei sei nochmals die Ausgangsidee hervorgehoben. In Gl. (1.22) wird der Versuch unternommen, ein gegebenes, bekanntes Signal x(t) durch eine Funktionenreihe auszudrücken. Die Elemente der Funktionenreihe bestehen dabei in harmonischen, sinusförmigen Signalen mit (vielen) unterschiedlichen Frequenzen. Der Grund für die Darstellung von etwas ja eigentlich schon Bekanntem mit anderen Mitteln“ besteht einfach ” darin, dass sich dann - unter Anwendung des Invarianzprinzips - Übertragungen mit einfachen und anschaulichen Mitteln beschreiben lassen. 1.4.1 Fourier-Reihen Die Betrachtungen zur Fourier-Zerlegung beginnen mit dem einfachsten Fall, bei dem die zu zerlegende Funktion selbst mit der Periode T periodisch ist. Der Vorteil bei dieser Annahme besteht darin, dass von vornherein feststeht, welche Frequenzen vorkommen können: die in Gl. (1.22) noch nicht näher spezifizierten Frequenzen ωi sind von Anfang an bekannt. Die in Gl. (1.22) auftretenden Bausteine besitzen allgemein die Perioden Tn ωn = 2π . Tn (1.24) In einer Reihenentwicklung für eine periodische Funktion T dürfen nur Bausteine auftreten, deren Periodendauern Tn ganzzahlig in T enthalten sind. Für die Perioden der Bestandteile, die überhaupt vorkommen können, gilt also Tn = T . n (1.25) Es wird nun eine Modellfunktion“ definiert, die - so will es die Aufga” benstellung - nur aus den Bestandteilen zusammengesetzt ist, in die zerlegt werden soll. Es wird also xM (t) = N X t An ej2πn T (1.26) n=−N definiert. Wie man sieht, sind hier zunächst jeweils N positive und N negative Frequenzen ωn zugelassen worden Man bedenke dabei, dass es sich hier um eine mathematische und nicht um eine physikalische Formulierung handelt. Eine negative Frequenz im Sinne eines Zahlenwertes ωn < 0 bildet natürlich eine sinnvolle Größe, auch wenn die Frequenz eines periodischen Vorganges im Sinne von Anzahl pro Sekunde“ ebenso natürlich eine positive Zahl darstellt. ” Übrig bleibt nun nur die Aufgabe, die Koeffizienten An so zu bestimmen, dass sich Modellfunktion xM (t) und gegebenes Signal x(t) möglichst nicht unterscheiden. Wird das (ideal und damit fehlerfrei) erreicht, dann ist damit auch die beabsichtigte Reihenentwicklung vorgenommen worden; Modell und Original sind dann gleich. 12 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.4 Fourier-Zerlegung Es gibt (mindestens) zwei unterschiedliche Verfahren, mit denen die unbekannten Amplituden An so aus dem gegebenen Signal x(t) bestimmt werden, dass sich ein kleiner“, mit wachsendem N immer mehr abnehmender Fehler ” für xM (t) ergibt. Meist wird dazu die mittlere quadratische Abweichung E E= 1 T ZT Die 2N + 1 Bedingungsgleichungen (1.28) liefern jetzt aus der Modelldefinition (1.26) das Gleichungssystem für die gesuchten Koeffizienten: N X ni An ej2π 2N +1 = x(i∆t) . (1.30) n=−N |x(t) − xM (t)|2 dt (1.27) 0 minimiert. Dieses Verfahren wird als Methode des kleinsten Fehler-Quadra” tes“ (kurz auch einfach mit least squares“) bezeichnet. Auf diese – etwas un” anschaulichere – Vorgehensweise wird hier nicht eingegangen, sie ist in vielen Werken geschildert, in denen die Fouriersummen betrachtet werden. Zunächst sei hier das viel anschaulichere Verfahren vorgestellt, bei dem die unbekannten Amplituden An so bestimmt werden, dass Modell xM (t) und Original x(t) in 2N + 1 gleichabständigen Zeitpunkten übereinstimmen. Die Koeffizienten An werden also im Folgenden so berechnet, dass xM (i∆t) = x(i∆t) für 13 (1.28) i = 0, 1, 2, 3, ...2N N X (n−m)i mi An ej2π 2N +1 = x(i∆t)e−j2π 2N +1 . (1.31) n=−N Anschließend werden alle 2N + 1 Gleichungen dieses Gleichungssystems aufaddiert: 2N 2N X N X X (n−m)i mi x(i∆t)e−j2π 2N +1 . (1.32) An ej2π 2N +1 = i=0 i=0 n=−N gilt. Dabei beträgt das Inkrement ∆t ∆t = Wie gesagt gibt Gl. (1.30) das Gleichungssystem zur Bestimmung der gesuchten Koeffizienten An an. Durch Einsetzen von i = 0, 1, 2, 3, ..., 2N entstehen aus (1.30) 2N + 1 Gleichungen. Dieses Gleichungssystem kann nun leicht nach einer (beliebig gewählten) Unbekannten Am wie folgt aufgelöst werden. Dazu wird die i-te Gleichung des mi Systems (1.30) mit e−j2π 2N +1 multipliziert, das ergibt zunächst Die Umkehrung der Summationen-Reihenfolge links ergibt T . 2N + 1 (1.29) Bild 1.3 versucht das Verfahren anhand einer Grafik zu illustrieren. N X n=−N An 2N X (n−m)i ej2π 2N +1 = i=0 2N X mi x(i∆t)e−j2π 2N +1 . (1.33) i=0 Die innere Summe auf der linken Seite bildet eine geometrische Reihe mit 2N X Stützstellen (n−m)i ej2π 2N +1 = 0 , (1.34) i=0 Signal x(t) wenn n − m 6= 0 gilt. Für n = m ist 2N X (n−m)i ej2π 2N +1 = i=0 2N X 1 = 1 + 1 + 1 + ... = 2N + 1 , (1.35) i=0 Alle Elemente in der Summe mit dem Laufindex n auf der linken Seite von Gl. (1.33) sind deshalb gleich Null, mit Ausnahme nur des einzigen Summanden mit n = m. Wie beabsichtigt wird also Gl. (1.33) mit den ausgeführten Rechenoperationen tatsächlich nach der Unbekannten Am aufgelöst, für die 0 1 t/T Abb. 1.3. Anpassung von xM (t) an x(t) in den Stützstellen t = i∆t, in denen xM (i∆t) = x(i∆t) gesetzt wird. Am = 2N X mi 1 x(i∆t)e−j2π 2N +1 . 2N + 1 i=0 (1.36) 14 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.4 Fourier-Zerlegung gilt. Gl. (1.36) gibt die Auflösung des Gleichungssystems (1.30) nach der speziell ausgewählten Unbekannten Am an. Weil es völlig gleichgültig ist, welche spezielle Unbekannte Am dabei ausgesucht worden ist, gilt Gl. (1.36) für alle Unbekannten Am . Alle Amplituden An der Modellfunktion Gl. (1.26) sind damit aus dem Originalsignal x(t) berechnet. Von einem grundsätzlichen Standpunkt aus ist damit gezeigt worden, dass ein gegebenes Signal in einer endlichen, aber beliebig hohen Anzahl von Punkten durch die Funktionenreihe (1.26) exakt nachgebildet werden kann. Die Aufgabenstellung ist demnach sinnvoll und lösbar (und das gilt ja keineswegs für jede andere denkbare Aufgabenstellung). Wie gut - oder schlecht - ein gegebenes Signal x(t) nun durch sein Modell xM (t) nachgebildet wird, das zeigen zunächst durchgerechnete Beispiele. Die Bilder 1.4 bis 1.6 demonstrieren anhand eines als Beispiel gewählten Signals 15 1 0.9 0.8 x(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 xM(t) 0.2 0.1 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T 0.9 Abb. 1.5. Nachbildung eines abknickenden Signals mit N =16. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . 0.8 x(t) 0.7 0.6 rungen im zu entwickelnden Signal auf, der Signalverlauf ist glatt“. In der ” 0.5 0.4 1 0.3 0.9 xM(t) 0.2 0.8 0.1 0.7 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T Abb. 1.4. Nachbildung eines abknickenden Signals mit N =8. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . 0.6 x(t) 0.5 0.4 0.3 aus drei aneinander gesetzten Geradenstücken den Vergleich von Original x(t) und Nachbildung xM (t) für N = 8, N = 16 und N = 32. Wie man sieht ist die Nachbildung mit nur 17 Punkten (N = 8) bereits recht gut; für 65 Punkte (N = 32) liegen die Unterschiede zwischen x und xM bereits in der Größenordnung der Strichbreite in der grafischen Darstellung; Unterschiede sind kaum noch auszumachen. Die Reihe konvergiert auch zwischen den diskreten Stützstellen (in denen x und xM ohnedies gleich sind) sehr rasch gegen das Signal, dessen Entwicklung sie darstellt. Der Grund dafür ist leicht erklärt: zwischen den diskreten Stützstellen (den Punkten t = i∆t) treten keine großen Ände- 0.2 xM(t) 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T Abb. 1.6. Nachbildung eines abknickenden Signals mit N =32. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . Die Unterschiede zwischen Signal x und Signal-Nachbildung xM liegen hier schon in der Größenordnung der Strich-Dicke. 16 1 Grundlagen der Übertragungstheorie mathematischen Fachsprache bezeichnet man ein solches Signal als stetig“. ” Für stetige Signale - so lehrt das Beispiel - hat man also keine Schwierigkeiten für die beabsichtigte Reihenentwicklung zu erwarten. Es genügt eine (vergleichsweise) geringe Anzahl 2N + 1 von zu berücksichtigenden Frequenzen und von Stützstellen. Im Prinzip konvergiert also die Reihe mit wachsendem N rasch“ gegen das Signal, das sie repräsentiert, wenn dieses einen stetigen ” Verlauf besitzt. Für Signale, die nun umgekehrt gerade große Änderungen zwischen zwei Stützstellen vollziehen, ist andererseits auch eine langsame Konvergenz der Reihe zu erwarten. Der schlechteste Fall tritt dabei gewiss dann ein, wenn die Funktion springt“, also unstetig ist. Beispiele für ein solches Signal und seine ” Reihenentwicklungen mit verschiedenen Stützstellen-Anzahlen sind in den Bildern 1.7, 1.8 und 1.9 gezeigt. Offensichtlich werden diesmal sehr viel mehr Stützstellen und Reihenglieder benötigt, damit das Modell xM eine gute“ ” Nachbildung von x bildet. Die Gründe für diese mit wachsendem N sehr langsame Konvergenz lassen sich wie folgt beschreiben: • • Auf den aufsteigenden Kurvenast mit (im Grenzfall) unendlich großer Steigung entfällt bei jedem endlich großen N gar keine Stützstelle, deshalb muss die Nachbildung dieses Kurvenastes schlecht“ sein. Erst bei wirklich ” unendlich vielen Stützstellen kann der Kurvenast vernünftig nachgebildet werden. Die Funktionenreihe (1.26) besteht aus Element-Funktionen, die selbst überall stetige Funktionen bilden. Natürlich kann ein Signal in der Unstetigkeitsstelle nicht wirklich durch die Summe von endlich vielen stetigen Funktionen nachgebildet werden, dazu sind sehr viele - idealerweise unendlich viele - Reihenglieder erforderlich. Man erkennt daher auch in den Bildern 1.7 bis 1.9, dass das prinzipielle Problem der Nachbildung in der Unstetigkeitsstelle auch bei wachsendem N bestehen bleibt. Die stetigen Nachbaräste werden zwar immer besser erfasst, wenn N größer gemacht wird; die bloße Tatsache aber, dass xM überschwingt und offensichtlich durch den Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigen Grenzwert in der Unstetigkeitsstelle verläuft, bleibt auch bei wachsendem N bestehen (in der Unstetigkeit t0 gilt xM (t0 ) = (x(t0 − ε) + x(t0 + ε))/2, wie man auch in Bild 1.7 noch recht gut erkennen kann). Diesmal konvergiert also zwar ebenfalls die Reihe in jedem Punkt gegen das gegebene Signal, aber nun so, dass die Problemzone“, in welcher die Unstetigkeit liegt, immer schmäler ” gemacht wird; erst bei wirklich unendlich vielen Summanden in der Reihe verschwindet sie ganz. 1.4 Fourier-Zerlegung 17 1 x(t) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 xM(t) 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T Abb. 1.7. Nachbildung eines unstetigen Signals mit N =16. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . 1 x(t) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 xM(t) 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T Abb. 1.8. Nachbildung eines unstetigen Signals mit N =32. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . 18 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.4 Fourier-Zerlegung 1 ∞ X x(t) = x(t) 0.9 (1.38) n=−∞ schreiben. Der Integrand in Gl. (1.37) ist mit T periodisch. Aus diesem Grund dürfen die Integrationsgrenzen beliebig verschoben werden, solange nur die Intervallbreite dabei unverändert gleich T bleibt. Insbesondere gilt also auch 0.8 0.7 0.6 0.5 1 An = T 0.4 xM(t) 0.3 0.2 0.1 0 0 t An ej2πn T 19 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t/T Abb. 1.9. Nachbildung eines unstetigen Signals mit N =64. Wiedergegeben ist nur eine Periode der periodischen Signale x und xM . Das dabei auftretende Überschwingen kurz vor und kurz nach der Unstetigkeitsstelle, das bei jedem endlichen N in einem mit wachsendem N nur immer schmaleren Zeitintervall auftritt, ist unter dem Namen Gibbsches ” Phänomen“ wohlbekannt. Wie man auch den Bildern 1.7 bis 1.9 entnehmen kann bleibt die maximale Höhe des Überschwingens dabei von der Wahl von N unbeeinflusst. Es stellt sich nun noch die Frage, in welche Form die Gl. (1.36) für die Amplituden übergeht, wenn die Stützstellenanzahl immer weiter gesteigert wird und schließlich noch über alle Grenzen wächst. Dabei wird das Inkrement ∆t - der Abstand zweier Stützstellen - immer kleiner und konvergiert gegen Null. Die diskreten Punkte i∆t gehen dann notwendigerweise in die kontinuierliche Zeit t über. Der Ausdruck 1/(2N + 1) bedeutet das Verhältnis aus Inkrement ∆t und der Periodendauer T , 1/(2N + 1) = ∆t/T . Aus dem Inkrement ∆t wird das infinitesimal kleine Abstandselement dt, aus der Summe wird ein Integral. Auf diesem Wege erhält man im Grenzfall An = 1 T ZT t x(t)e−j2πn T dt . (1.37) 0 Diese Gleichung gibt an, auf welchem Wege die Koeffizienten der FourierReihendarstellung eines periodischen Signals x(t) berechnet werden. Wird in der Reihendarstellung des Signals eine unendlich große Anzahl von Summanden berücksichtigt, dann konvergiert die Modellfunktion xM an jeder Stelle t gegen das gegebene Signal x. Man kann deshalb auch kurz T /2 Z nt x(t)e−j2π T . (1.39) −T /2 Diese Form wird im nächsten Abschnitt benötigt. Gl. (1.37) (oder (1.39)) lässt sich auch als Transformationsgleichung“ oder ” Abbildung“ bezeichnen. Das Signal x wird dabei abgebildet in die Zahlen” folge An . Gl. (1.38) zeigt dann, wie aus der Abbildung An das Original x wiedergewonnen werden kann; diese Gleichung heißt deshalb auch inverse ” Transformation“ (auch Rücktransformation“ oder Rückabbildung“). Eine ” ” Analogie zu dieser mathematisch definierten Abbildung besteht z. B. in einem Foto-Positiv und seinem zugehörigen Foto-Negativ. Natürlich sind (bei einem idealen Fotoapparat) Positiv-Bild und Negativ-Bild durch ein geeignetes Verfahren auseinander herstellbar, und beide enthalten die gleiche Information. Genauso ist es auch bei der Fourier-Summen-Transformation: Das Signal x wird in An mit anderen Mitteln“ dargestellt; Information wird dabei we” der erzeugt noch vernichtet. Trotzdem ist die Anwendung der Transformation sinnvoll: Sie erlaubt die einfache Beschreibung von Übertragungsvorgängen. Wie bei der Foto-Analogie ist die Fourier-Summen-Transformation umkehrbar eindeutig. Jedes periodische Signal besitzt genau eine eindeutige Darstellung An . 1.4.2 Fourier-Transformation Natürlich sollen nicht nur periodische Signale in ihre Frequenzbestandteile zerlegt werden; dies soll auch für beliebige andere, nicht-periodische Signale durchgeführt werden können. Weil alle praktisch vorkommenden Signale stets einen Anfang und ein Ende besitzen, interessieren dabei besonders solche einmaligen“ Vorgänge, ” die sich dadurch auszeichnen, dass sie außerhalb eines gewissen, wie auch immer angebbaren Zeitintervalles - der Signaldauer - gleich Null sein sollen. Die im letzten Abschnitt erarbeiteten Prinzipien lassen sich nun anwenden, wenn aus dem Zeitsignal zunächst ein beliebiges Stück (das nicht mit der Signaldauer übereinstimmen muss) herausgeschnitten wird und als beliebig, zunächst völlig willkürlich gewählte Periodendauer angesehen wird. Das ist im Prinzipbild 1.10 dargestellt. Das Signal wird gedanklich künstlich periodisch 20 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.4 Fourier-Zerlegung fortgesetzt, damit ihm ein Amplitudenspektrum wie im vorigen Abschnitt zugewiesen werden kann. Anschließend lässt man die Periodendauer T wachsen. Das bedeutet, dass die beiden gestrichelten Linien rechts und links von der Mitte in Bild 1.10 nach außen wandern. Die nächste Periode kommt also immer später und später, und die vorangegangene Periode verschiebt sich immer weiter in die Vergangenheit: im Grenzfall unendlicher Periodendauer ist das Signal endlicher Dauer zutreffend beschrieben. 21 Überschreitet nämlich die künstlich gewählte Periodendauer Anfang und Ende des Signals, dann ändert sich der Wert des Integrales mit weiter wachsendem T nicht mehr. Da dieser Wert jedoch noch durch T geteilt wird, strebt der Gesamtgrenzwert gegen Null. Man kann also die folgenden Betrachtungen nicht auf den Grenzwert von An beziehen, es ist offensichtlich sinnvoll, das Produkt T An zu benutzen, denn diese Größe strebt einem Grenzwert zu, der nicht stets Null beträgt. Es wird also das Spektrum X(ω) von x(t) zu Z∞ X(ω) = lim T An = T →∞ x(t)e−jωt dt (1.41) −∞ definiert. X(ω) heißt auch Fourier-Transformierte von x(t). Es fragt sich nun noch, wie die Rücktransformationsvorschrift aussieht. Dazu wird der Grenzübergang auf Gl. (1.38) angewandt: Signal ∞ t 1 X T An ej2πn T . T →∞ T n=−∞ x(t) = lim (1.42) Jetzt sind noch folgende Übergänge durchzuführen: • • • künstliche Periode Zeit t −T/2 • T/2 Aus 2πn/T wird die kontinuierliche Frequenzvariable ω, aus T An wird X(ω), der Frequenzabstand 1/T geht in den infinitesimal kleinen Abstand df über (1/T → df = dω/2π) und aus der Summation wird eine Integration. Insgesamt erhält man also die Rücktransformationsvorschrift Abb. 1.10. Endlich langes, einmaliges“ Zeitsignal ” Beim Grenzübergang T → 0 muss nun zunächst beachtet werden, dass der Abstand ∆f = 1/T der Frequenzen n/T immer kleiner wird; die diskreten Frequenzen gehen dann in eine kontinuierliche Frequenzvariable über: n/T → f . Die Tatsache, dass für eine Beschreibung allgemeiner, völlig beliebiger Signale auch jede beliebige Frequenz zugelassen werden muss, ist ja auch selbstverständlich: Anders als bei den periodischen Signalen gibt es jetzt keinen Grund mehr, irgendwelche speziellen Frequenzen zu bevorzugen oder zu benachteiligen. Das Zulassen beliebiger Frequenzen erfordert natürlich die kontinuierliche Frequenzvariable f zur Beschreibung. Zur Abkürzung wird in Zukunft die Kreisfrequenz ω = 2πf benutzt. Damit wird aus (1.39) x(t) = 1 2π Z∞ X(ω)ejωt dω . (1.43) −∞ (1.40) Gl. (1.43) heißt auch inverse Fouriertransformation. An den im letzten Abschnitt genannten Prinzipien und Gedankengängen hat sich nichts Wesentliches geändert, außer dass im Interesse des Erfassens beliebiger Signale durch harmonische Bausteine diesmal nicht mehr über diskrete Teile summiert werden kann; notwendigerweise muss an die Stelle der Summation eine Integration treten. Deswegen wird die Fouriertransformation auch als eine Integraltransformation bezeichnet. Wie bei den Fouriersummen bildet die Fourier-Transformation eine eindeutige und umkehrbare Abbildung eines Signals, deren Zweck darin besteht, das Signal durch Summation“ (ei” gentlich Integration“) reiner Töne der Form ejωt zu erklären. Auch für die ” Fourier-Transformation gilt insbesondere die oben geschilderte Foto-Analogie. Der Grenzwert der rechten Seite beträgt allerdings Null. Dabei konvergiert das enthaltene Integral für eine feste Frequenz ω gegen einen festen Wert. Für die noch folgenden Betrachtungen ist es manchmal bequemer, Abkürzungen zu benutzen. Um auf die Tatsache hinzuweisen, dass es sich bei X(ω) um die Transformierte von x(t) handelt, wird in Zukunft kurz 1 T →∞ T T /2 Z lim An = lim T →∞ x(t)e−jωt dt . −T /2 22 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Z∞ X(ω) = F{x(t)} = 1.4 Fourier-Zerlegung x(t)e−jωt dt (1.44) −∞ geschrieben. Ebenso bedeutet x(t) = F −1 1 {X(ω)} = 2π Z∞ X(ω)ejωt dω , (1.45) −∞ gezeigt worden, dass die Impulsantwort des Übertragers diesen ebenfalls vollständig beschreibt. Auch die Impulsantwort gestattet die Bestimmung des Ausganges aus dem Eingang und bildet daher eine ebenso vollständige Darstellung des Übertragers wie H(ω). Übertragungsfunktion und Impulsantwort charakterisieren also ein und die selbe Sache und können deshalb nicht unabhängig voneinander sein; sie müssen im Gegenteil in einem bestimmten, festen Zusammenhang stehen. Dieser Zusammenhang kann leicht aus dem Faltungsintegral Gl. (1.11) hergeleitet werden. Dazu wird es der Fouriertransformation unterzogen: dass x(t) gleich der Rücktransformierten von X(ω) sein möge. Wegen der Eindeutigkeit und Umkehrbarkeit heben sich die Operationen F und F −1 gegenseitig auf, d.h., es gilt und ebenso F −1 {F{x(t)})} = x(t) (1.46) F{F −1 {X(ω)}} = X(ω) . (1.47) Abschließend sei noch angemerkt, dass Signal x(t) und Spektrum X(ω) nicht die gleiche physikalische Dimension besitzen. Offensichtlich gilt für die Dimensionen dim[x(t)] . (1.48) dim[X(ω)] = dim[x(t)]s = Hz Aus diesem Grund wird X(ω) manchmal auch als Amplitudendichtefunktion bezeichnet. 1.4.3 Die Übertragungsfunktion und der Faltungssatz Der Grund für die Einführung der Fourier-Transformation bestand wie erwähnt darin, dass sich mit diesem Hilfsmittel die Übertragung bei linearen und zeitinvarianten Systemen durch eine Multiplikation mit der komplexwertigen Übertragungsfunktion beschreiben lässt. Wegen des Invarianzprinzips folgt aus der Fourierdarstellung des Eingangssignals (1.43), dass der Ausgang stets die Gestalt Z∞ 1 y(t) = H(ω)X(ω)ejωt dω (1.49) 2π −∞ besitzen muss. Im Frequenzbereich ist die Übertragung also beschrieben durch das Produkt der Fouriertransformierten des Einganges und einer Übertragungsfunktion H(ω), die den Übertrager charakterisiert; die Fouriertransformierte Y (ω) des Ausganges y(t) besteht in Y (ω) = H(ω)X(ω) . (1.50) Immer erlaubt die Übertragungsfunktion die Berechnung des Ausgangssignals bei bekanntem Eingang. Andererseits ist in einem der letzten Abschnitte 23 Z∞ Z∞ Y (ω) = F{y(t)} = x(τ )h(t − τ )dτ e−jωt dt . (1.51) −∞ −∞ Die Reihenfolge der enthaltenen Integrationen darf umgekehrt werden, d.h. es ist Z∞ Z∞ Y (ω) = x(τ ) h(t − τ ) e−jωt dt dτ , (1.52) −∞ oder −∞ Z∞ Y (ω) = x(τ )e −∞ −jωτ Z∞ h(t − τ ) e−jω(t−τ ) dt dτ , (1.53) −∞ Das innere Integral besteht gerade in der Fouriertransformierten der Impulsantwort (der formale Beweis ließe sich durch die Variablensubstitution u = t − τ führen), das dann noch verbleibende Integral stellt die Transformierte X(ω) von x(t) dar. Es ist also Y (ω) = F{h(t)}X(ω) . (1.54) Durch Vergleich mit (1.50) erhält man für den gesuchten Zusammenhang zwischen Impulsantwort h(t) und Übertragungsfunktion H(ω) H(ω) = F{h(t)} . (1.55) Die Übertragungsfunktion ist also die Fouriertransformierte der Impulsantwort. Von einem mathematischen Standpunkt aus gesehen ist oben einfach gezeigt worden, dass die Faltung im Zeitbereich der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht. Es gilt  ∞  Z  X(ω)H(ω) = F x(τ )h(t − τ )dτ , (1.56)   −∞ wobei natürlich X(ω) = F{x(t)} und H(ω) = F{h(t)} Fourier-Paare sind. Dieser Zusammenhang wird Faltungssatz“ genannt. ” 24 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.4 Fourier-Zerlegung 25 Auch für ein Produkt zweier zeitlicher Signale gilt der Faltungssatz nur in etwas abgewandelter Form. Wie der Leser leicht durch Rücktransformieren des rechtsstehenden Faltungsintegrales“ im Frequenzbereich (wie oben ” vorgeführt) zeigen kann ist    1 Z∞  X(ν)G(ω − ν)dν , (1.57) x(t)g(t) = F −1  2π  Reellwertige und geradsymmetrische Signale wobei ebenfalls x, X und g, G Fourierpaare bilden. Die Faltung im Frequenzbereich entspricht der Multiplikation im Zeitbereich, nur dass hier im Fal1 auftritt. tungsintegral der Faktor 2π ist das Produkt x(t) sin(ωt) eine ungeradsymmetrische Funktion, das Integral über diesen Teil des Integranden ist damit gleich Null. Es bleibt also nur die reellwertige Transformierte Ein Signal, das mit xg (−t) = xg (t) geradsymmetrisch ist, besitzt ein reellwertiges Spektrum, wie folgende einfache Überlegungen zeigen. Im Integral Z∞ X(ω) = −∞ −∞ Z∞ x(t)e−jωt dt = x(t)[cos(ωt) − j sin(ωt)]dt −∞ Z∞ 1.4.4 Symmetrien x(t) cos(ωt)dt X(ω) = Die Symmetrieeigenschaften von Fourier-Transformierten spezieller Signale bilden Grundlagenwissen, das hier kurz erläutert werden soll. Reellwertige Signale X(ω) = übrig. Der Imaginärteil ist gleich Null, Im{X(ω)} = 0, der Realteil natürlich nach wie vor geradsymmetrisch, Re{X(−ω)} = Re{X(ω)}. Reellwertige und ungeradsymmetrische Signale Das Spektrum eines reellwertigen Verlaufes x(t) Z∞ −∞ Ein Signal, das mit xu (−t) = −xu (t) ungeradsymmetrisch ist, besitzt ein rein imaginäres Spektrum: Im Integral x(t)e−jωt dt . −∞ Z∞ geht in sich selbst über, wenn für ω der Wert von −ω eingesetzt wird und beide Seiten konjugiert komplex (∗ ) genommen werden: X ∗ (−ω) = Z∞ X ∗ (−ω) = X(ω) . −∞ Z∞ (1.58) X(ω) = −j Das Betragsspektrum ist demnach geradsymmetrisch 2 2 |X(−ω)| = |X(ω)| , (1.59) übrig. Der Realteil ist gleich Null, Re{X(ω)} = 0, der Imaginärteil natürlich nach wie vor ungeradsymmetrisch, Im{X(−ω)} = −Im{X(ω)}. (1.60) Zerlegung in symmetrische und unsymmetrische Anteile der Imaginärteil dagegen ist mit Im{X(−ω)} = −Im{X(−ω)} :, x(t) sin(ωt)dt −∞ der Realteil des Spektrums ist ebenfalls geradsymmetrisch Re{X(−ω)} = Re{X(−ω)} :, x(t)[cos(ωt) − j sin(ωt)]dt ist das Produkt x(t) cos(ωt) eine ungeradsymmetrische Funktion, das Integral über diesen Teil des Integranden ist damit gleich Null. Es bleibt also nur die imaginäre Transformierte x(t)e−jωt dt . −∞ Es gilt also offensichtlich X(ω) = (1.61) ungeradsymmetrisch. Das gilt für jedes reelle Signal unabhängig von seinem Verlauf. Allgemeine reelle Signale ohne Symmetrieeigenschaften können stets wie folgt in einen geradsymmetrischen und einen ungeradsymmetrischen Teil zerlegt werden: x(t) = 1 1 [x(t) + x(−t)] + [x(t) − x(−t)] = xg (t) + xu (t) . 2 2 (1.62) 26 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Darin ist natürlich 1.4 Fourier-Zerlegung hu (t) = sign(t) hg (t) 1 xg (t) = [x(t) + x(−t)] 2 der gerade Teil und xu (t) = (sign(t > 0) = 1, sign(t < 0) = −1). Bild 1.11 illustriert diese Sachverhalte noch einmal. Für negative Zeiten sind hu und hg entgegengesetzt gleich groß. Daraus folgt aber, dass sie für positive Zeiten gleich groß sind. Für t > 0 ist aus diesem Grund hu = hg = h/2. 1 [x(t) − x(−t)] 2 der ungerade Anteil. Das Spektrum von xg (t) ist reell, das Spektrum von xu (t) rein imaginär. Allgemein kann man daher feststellen, dass die Fouriertransformierte des geraden Signalteiles gleich dem Realteil des Gesamtspektrums von x(t) ist: Re{X(ω)} = F{xg (t)} . (mit z = Re{z} + jIm{z} für jedes komplexe z). 1.4.5 Impulsantworten und Hilbert-Transformation Die genannte Tatsache, dass geradsymmetrischer und ungeradsymmetrischer Signalanteil mit Real- und Imaginärteil des Spektrums zusammenhängen, hat eine interessante Konsequenz für die Transformierten von Impulsantworten. Letztere bestehen ja aus der Reaktion eines Übertragers auf die DeltaFunktion δ(t). Die Anregung beginnt also erst im Zeitpunkt t = 0. Aus diesem Grunde kann die Systemantwort h(t) für negative Zeiten ebenfalls nur gleich Null sein. Nach dem Kausalitätsprinzip ( von nichts kommt nichts“) kann ” die Impulsantwort ebenfalls erst in t = 0 (frühestens) beginnen. Für kausale Impulsantworten gilt also h(t < 0) = 0 . Nun kann aber andererseits eine Impulsantwort – wie jedes Signal – in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden: h(t) = hg (t) + hu (t) . Natürlich müssen dabei hg und hu für Zeiten t < 0 auch negativ gleich groß sein, denn nur dann kann die Impulsantwort auch kausal sein. Es muss also hu (t < 0) = −hg (t < 0) gelten. Wegen den vorausgesetzten Symmetrieeigenschaften von hg und hu folgt dann für positive Zeiten oder, zusammengefasst h(t) (1.63) Ebenso korrespondiert der ungerade Signalteil mit dem Imaginärteil des Gesamtspektrums: jIm{X(ω)} = F{xu (t)} (1.64) hu (t > 0) = hg (t > 0) , 27 hu(t) 0 hg(t) hg(t), hu(t) 0 Zeit t Abb. 1.11. Zerlegung der kausalen Impulsantwort h(t) in geraden Teil hg (t) und ungeraden Teil hu (t) am Beispiel eines Ausschwingvorganges Zusammengefasst lässt sich also feststellen, dass der ungerade Signalteil wie gezeigt aus dem geraden Signalanteil berechnet werden kann, wenn es sich um eine kausale Impulsantwort handelt. Weil nun aber die Transformierte des geraden Anteils hg gleich dem Realteil Re{H(ω)} der Übertragungsfunktion H(ω) ist und der ungerade Anteil hu mit dem Imaginärteil Im{H(ω)} der Übertragungsfunktion H(ω) korrespondiert, müssen dann auch Real- und Imaginärteil von H voneinander abhängen. In der Tat lässt sich der Zusammenhang zwischen Re{H(ω)} und Im{H(ω)} leicht bestimmen, indem hu (t) = sign(t) hg (t) zunächst transformiert wird jIm{H(ω)} = F{hu (t)} = F{sign(t) hg (t)} und anschließend noch hg (t) durch hg (t) = F −1 {Re{H(ω)}} ausgedrückt wird: Im{H(ω)} = −jF{hu (t)} = −jF{sign(t)F −1 {Re{H(ω)}}} . (1.65) 28 1 Grundlagen der Übertragungstheorie Gl. (1.65) konstatiert den Zusammenhang, in dem Realteil und Imaginärteil der Übertragungsfunktion eines jeden kausalen (linearen und zeitinvarianten) Übertragers stehen müssen. Es würde z. B. bei Messungen, Auswertungen oder theoretischen Berechnungen ausreichen, den Realteil der Übertragungsfunktion zu bestimmen; der Imaginärteil kann dann aus ihm ausgerechnet werden. Die Operationskette auf der rechten Seite von Gl. (1.65) wird Hilbert” Transformation“ genannt. Natürlich stellt sie insofern eine Transformation dar, als aus einem Spektrum ein anderes berechnet wird. Sie dient dabei aber nicht - wie die Fourier-Transformation - der Darstellung eines Signals durch viele andere Signale; die Hilbert-Transformation konstatiert im Gegenteil einen Zusammenhang zwischen Re{H(ω)} und Im{H(ω)} so, dass der damit bezeichnete Übertrager sich kausal verhält. Fourier-Auswertungen von Messsignalen in Form von Übertragungsfunktionen bestimmen immer die komplexe Übertragungsfunktion und enthalten daher eine gewisse Redundanz. Es könnte eine interessante Frage sein, ob sich diese Redundanz zur Beurteilung z. B. der Güte des Ergebnisses nutzen ließe. 1.5 Wellenleiter In der theoretischen Akustik ist die Übertragung von Wellen naturgemäß besonders wichtig; deshalb sollen die zugehörigen Begriffe hier kurz erläutert werden. Allgemein versteht man unter einer Welle“ eine Zustands-beschreibende ” physikalische örtliche Größe, die zeitlich über den Wellenleiter transportiert wird: Ein örtlicher Funktionsverlauf läuft zeitlich den Wellenleiter entlang. Beispiele dafür sind: • • • Die Oberflächen-Wellen auf dem Meer; die Zustandsgröße könnte hier die Auslenkung über dem glatten“ Meeresspiegel sein. ” Die Schall-Ausbreitung in (unbegrenzten) Gasen oder Flüssigkeiten; die Zustandsgröße könnte hier der (orts - und zeitabhängige Schall-) Druck sein (oder die Schalldichte oder die Schalltemperatur, siehe das folgende Kapitel). Und als letztes Beispiel für an Körper gebundene Wellen seien noch die Verbiegungen von Stäben oder Platten erwähnt (Bild 1.12); Zustandsgröße ist hier die senkrecht auf dem Wellenleiter stehende lokale Auslenkung. Natürlich ist die Vielfalt der in der Natur auftretenden Wellen sehr groß und in den genannten Beispielen bestenfalls angedeutet. Man unterscheidet bei allen Wellen zunächst dispersive und nicht-dispersive Ausbreitung voneinander. Weil Dispersion“ mit Auseinanderlaufen“ übersetzt werden kann, ” ” versteht man unter nicht-dispersiven“ Wellen solche, deren Signalform sich ” während der Ausbreitung nicht ändert. Nicht-dispersive Wellen sind z. B. 1.5 Wellenleiter 29 Luftschallwellen (jedenfalls, wenn Reflexionen keine Rolle spielen); Meereswellen sind offensichtlich dispersiv (sonst gäbe es keine Brandung), und auch bei den als Beispiel angeführten dispersiven Biegewellen zerläuft“ die Signal” form während des Wellen-Transportes. Abb. 1.12. Elastische Verformung eines Stabes zu Biegewellen Sowohl dispersive als auch nicht-dispersive Wellen können beide für harmonische (= zeitlich sinusförmige) Anregung auf gleiche Weise beschrieben werden. Wenn (wie jetzt angenommen wird) der Wellenleiter selbst linear und zeitinvariant ist, dann muss seine Reaktion den gleichen Zeitverlauf wie die Anregung besitzen, und das muss auch im dispersiven Fall zutreffen. An jeder Stelle des Wellenleiters liegt ebenfalls eine zeitlich harmonische Zustandsgröße vor, nur dass natürlich Amplitude und Phase von Ort zu Ort variieren können. Man kann also stets für die Zustandsgröße f f = f0 V (x, y, z) Re{e−jφ(x,y,z) ejωt } (1.66) notieren. Hierin sei f0 eine von der Quelle bedingte Größe (z. B. lässt sich f0 bei elektroakustischen Anlagen einfach durch den Lautstärkeregler beeinflussen). V bezeichnet die entlang des Wellenleiters sich ändernde Amplitude (V > 0 und reell) und φ(x, y, z) die ortsabhängige Phasendifferenz. Für (vermutlich) alle bekannten akustischen Wellenleiter zeigt sich nun im eindimensionalen Fall ohne Reflexionen und ohne Dämpfung, dass V (x, y, z) = 1 (1.67) gilt: weil keine Energie aus dem System entnommen wird, kann die Amplitude nicht abnehmen, aber natürlich auch nicht anwachsen. Die noch vorhandene Phasenverschiebung φ(x) lässt sich immer auch als eine Zeitverschiebung τ deuten f = f0 Re{e−jφ(x) ejωt } = f0 cos (ωt − φ(x)) = f0 cos (ω(t − τ )) mit φ = ωτ . Meist wird die Laufzeit zwischen zwei Punkten proportional zum Abstand zwischen diesen Punkten sein, in diesen Fällen gilt also φ = ωτ = ωx/c . (1.68) Darin ist c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (= von der Welle zurückgelegter Weg x, geteilt durch die dafür benötigte Zeit τ ). Zusammengefasst kann also die eindimensionale Wellenausbreitung (ohne Reflexion und 30 1 Grundlagen der Übertragungstheorie 1.5 Wellenleiter ohne Dämpfung) bei harmonischer Anregung stets durch die komplexe Wellenfunktion (1.69) f = f0 e−jωx/c beschrieben werden, wobei man den Zeitverlauf durch bilden des Realteils nach (1.70) f (x, t) = Re{f ejωt } erhält. Meist kürzt man das jetzt stets vorkommende Verhältnis aus Frequenz und Wellengeschwindigkeit c ab und definiert die Wellenzahl ω k= . c (1.71) In ihr ist die örtliche Periodenlänge, die man als Wellenlänge λ bezeichnet, mit 2π . (1.72) k= λ enthalten. Offensichtlich gilt für sämtliche Wellenarten λ= c . f (1.73) Es seien nun zusammengesetzte Signale mit mehreren Frequenzbestandteilen betrachtet. Im nicht-dispersiven Fall ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c offensichtlich für alle Frequenzen gleich: alle an einer gewissen Stelle x vorgefundenen harmonischen Anteile müssen mit der gleichen Geschwindigkeit laufen, wenn die Signalform ihrer Summe an einer anderen Stelle unverändert sein soll. In einer Frequenzgruppe weisen also im nicht-dispersiven Fall alle Gruppen-Mitglieder die gleiche Geschwindigkeit auf. Gerade das Gegenteil gilt nun natürlich für die dispersive Ausbreitung. Alle Mitglieder einer Frequenzgruppe laufen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, und deshalb verändert sich auch die Signalform beim Wellentransport. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist hier demnach frequenzabhängig c = c(ω) . Um darauf hinzuweisen, dass c jetzt nur noch eine vernünftige Beschreibung für monofrequente Vorgänge abgibt, ersetzt man die Bezeichnung Ausbrei” tungsgeschwindigkeit“ durch Phasengeschwindigkeit“. Im Fall ohne Disper” sion würde sich diese Unterscheidung eigentlich erübrigen, man sagt dann, dass die Phasengeschwindigkeit gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Im nicht-dispersiven Fall ist also die Frage nach der Geschwindigkeit eines aus mehreren Frequenzen zusammengesetzten Signals bereits geklärt; wie aber kann man die Geschwindigkeit“ einer dispersiven Frequenzgruppe allgemein ” einschätzen? Eine Antwort erfordert naturgemäß eine Einschränkung hinsichtlich der zugelassenen Frequenzbestandteile. Für breitbandige Vorgänge wird 31 es kaum möglich sein, allgemeine Aussagen zu treffen, weil es hier gewiss auf jeden speziellen Fall ankommt. Für schmalbandige Gruppen hingegen lassen sich leicht zu verstehende und übersichtliche Feststellungen treffen, wie der einfachste Fall der Überlagerung aus zwei Wellen gleicher Amplitude mit den nur wenig unterschiedlichen Frequenzen ω1 und ω2 und den zugehörigen Wellenzahlen k1 und k2 zeigt. Diese Signalsumme bildet die sogenannte Schwebung“ ” = 2 sin sin(ω1 t − k1 x) + sin(ω2 t − k2 x) k1 + k2 ω1 − ω2 k1 − k2 ω1 + ω2 t− x cos t− x . (1.74) 2 2 2 2 Das Summensignal besteht also aus einer Trägerwelle“ und einer langsam“ ” ” an- und abschwellenden Einhüllenden“. Dabei besitzt die Trägerwelle die ” mittlere Kreisfrequenz (ω1 + ω2 )/2 und die mittlere Wellenzahl (k1 + k2 )/2. Die Einhüllende moduliert die Amplitude der Trägerwelle gemäß der Kosinusfunktion in (1.74) mit der viel niedrigeren Frequenz (ω1 − ω2 )/2 und der viel niedrigeren Wellenzahl (k1 − k2 )/2. Während sich aber nun die Träger-Wellen mit der mittleren Phasengeschwindigkeit c= ω1 + ω2 k1 + k2 (1.75) ausbreiten, ist für die Hüllkurven die Gruppengeschwindigkeit cG = ∆ω ω1 − ω2 = k1 − k2 ∆k (1.76) maßgebend. Im Grenzfall, bei dem die Frequenzen und Wellenzahlen beliebig dicht beieinander liegen, ist cG durch die Ableitung cG = dω 1 = dk dk/dω (1.77) gegeben. Die so definierte Gruppengeschwindigkeit cG ist nun nicht nur maßgebend für die Hüllkurve einer Schwebung nach (1.74), sondern allgemein für die Hüllkurven aller Vorgänge, die sich aus beliebig vielen benachbarten Wellenzügen mit beliebigen Amplituden und Phasen-Winkeln zusammensetzen lassen. 2 Die akustischen Zustandsgleichungen in Gasen 2.1 Die Zustandsgrößen Bekanntlich wird der Zustand von Gasen durch drei Größen, nämlich durch den Druck pG , durch die Dichte %G und durch die Temperatur TG beschrieben. Alle drei Größen erfahren bei Beschallung des Gases eine (sehr) kleine Änderung. Zum Ruhedruck p0 , zur Ruhedichte %0 und zur Ruhetemperatur T0 treten kleine, durch das Schallfeld bedingte Änderungen p, % und T hinzu. Für die Gesamtgrößen gilt also und pG = p0 + p , (2.1) %G = %0 + % (2.2) TG = T0 + T . (2.3) Dabei bestehen die Schallfeldgrößen Schalldruck p, Schalldichte % und Schalltemperatur T in Feldern. Darunter versteht man orts- und zeitabhängige Funktionen, es ist demnach p = p(x, y, z, t) , % = %(x, y, z, t) und T = T (x, y, z, t) . Alsbald geschilderte Überlegungen werden zeigen, dass die Signalformen der drei Schallfeldgrößen (bis auf Skalierungskonstante) untereinander (zeitlich und örtlich) gleich sind. Ein lokaler, momentaner Überdruck (durch Schall) beispielsweise geht also stets einher mit einer ebensolchen Überdichte und einer ebensolchen Über-Temperatur. Zum Schluss sei noch ein Hinweis auf die zu erwartenden Größenordnungen der Zahlenwerte gegeben. Während der statische Ruhedruck (etwa) bei 34 2 Die akustischen Zustandsgleichungen in Gasen 2.2 Zustandsgleichungen für die Gesamtgrößen p0 = 100.000 N/m2 = 105 N/m2 liegt, beträgt der Effektivwert des Schalldruckes bei einem schon als sehr laut empfundenen Schallpegel von 100 dB nur etwa peff = 2 N/m2 und ist damit um etwa 5 Größenordnungen kleiner. Aus diesem Grund kann man Produkte von Schallfeldgrößen gegenüber linearen Ausdrücken in ihnen stets vernachlässigen; der dadurch bedingte Fehler ist außerordentlich klein. Auch Experimente belegen deshalb, dass die Schallausbreitung selbst bei den höchsten (für den Menschen noch erträglichen) Pegeln keine nachweisbaren Nichtlinearitäten enthält. 2.2 Zustandsgleichungen für die Gesamtgrößen 2.2.1 Boyle-Mariotte-Gleichung Die Erwartungen, die man vernünftigerweise an eine feste Gasmasse (die beispielsweise in einem Gefäß mit veränderlichem Volumen untergebracht ist) richten wird, lassen sich etwa so beschreiben: • • Aufheizen des Gases wird bei konstantem Volumen eine Druckerhöhung pG ∼ TG nach sich ziehen und der Druck im Gas ist umgekehrt proportional zu seinem Volumen, pG ∼ 1/VG . Stellt man noch in Rechnung, dass eine vergrößerte Masse (bei konstantem Druck und bei konstanter Temperatur) auch einen größeren Platzbedarf besitzt, so lassen sich diese Aussagen in der sogenannten Boyle-MariotteGleichung zusammenfassen. Sie lautet pG VG = M RTG . Mmol statt des Volumens und der Masse, für akustische Zwecke“ wird deshalb ” (2.4) in R %G TG (2.5) pG = Mmol umgeformt. Jeder beliebige, mögliche Zustand aller idealen Gase muss die genannte Boyle-Mariotte-Gleichung erfüllen. Das gilt für jeden Zustand mit Schall, aber natürlich auch für den Fall der Ruhe mit p = % = T = 0. Es gilt also als Sonderfall von Gl. (2.5) insbesondere auch p0 = Die beiden Zusammenhänge zwischen den genannten drei Zustandsgrößen für Gase bestehen bekanntlich in den beiden im Folgenden genannten Beziehungen (eine etwas ausführlichere Begründung kann man z. B. dem Buch Technische Akustik von M. Möser (7. Auflage, Springer Verlag Berlin 2007) entnehmen. (2.4) Dabei ist unter Mmol eine Materialkonstante, nämlich die sogenannte molare ” Masse“, zu verstehen. Mmol bezeichnet das Molekulargewicht in Gramm“ des ” betreffenden Stoffes. Zum Beispiel ist (siehe das Periodensystem der Elemente) Mmol (N2 ) = 28 g und Mmol (O2 ) = 32 g, daraus ergibt sich Mmol (Luft) = 28, 8 g (bekanntlich besteht die Luft zu etwa 20% aus Sauerstoff und zu etwa 80% aus Stickstoff). R = 8, 314 Nm/K (K=Kelvin=Maßeinheit der absoluten Temperatur, 0 ◦ C = 273 K) ist die allgemeine Gaskonstante. Bei der Beschreibung von Schallfeldern kann man feste Massen“ und ” veränderliche Volumina“ nicht gebrauchen. Man benötigt dafür die Dichte ” 35 R %0 T0 . Mmol (2.6) Um Missverständnissen vorzubeugen sei noch darauf hingewiesen, dass die Boyle-Mariotte-Gleichung (2.5) für die jeweils aus der Summe von Ruhegröße und Schallgröße bestehenden Gesamtgrößen und nicht etwa für die Schallfeldgrößen alleine gilt, wie die Herleitung zeigt. Formal ausgedrückt: man kann also in ihr zwar die Schallgrößen (für den Fall ohne Schall) weglassen, nicht aber die Ruhegrößen: einen Zustand ohne letztere gibt es nicht, weil dann gar kein Gas mehr vorhanden ist. 2.2.2 Adiabatische Zustandsgleichung Bekanntlich kann man Experimente mit isothermer (gleichbleibende Temperatur), isobarer (gleichbleibender Druck) oder isochorer (gleichbleibende Dichte) Zustandsänderung eines Gases nur durchführen, wenn dabei für einen Wärmeleitungsprozess gesorgt wird. Zum Beispiel ließen sich diese Versuche mit einer festen Gasmasse in einem Kolben mit veränderbarem Volumen durchführen. Wenn man das Volumen des Kolbens plötzlich reduziert, so wird man mit Hilfe eines Thermometers feststellen können, dass dann gleichzeitig die Temperatur des Gases im Inneren steigt. Nur wenn man also lange genug wartet bzw. die Volumenänderung sehr langsam und allmählich vollzieht, wenn dabei also ein Wärmetransport von innen nach außen möglich gemacht wird, kann man wirklich auch einen isothermen Versuch durchführen. Das gleich gilt für die beiden anderen genannten Experimente. So lässt sich der isochore Versuch (der beim Kolbenversuch ja gleichzeitig auch konstantes Volumen verlangt) ohnedies nur durch Aufheizen des Gases bewerkstelligen, das dann natürlich eine Druckänderung nach sich zieht. Und schließlich setzt der isobare Versuch eine frei bewegliche Kolbenwand voraus, die den Druckausgleich zwischen innen und außen herstellt, wenn das innere Gas aufgeheizt wird. Isotherme, isobare und isochore Verdichtungen sind also langsame, an Wärmeleitung gebundene Vorgänge. Nun vollziehen sich aber gerade Zustandsänderungen durch Schall gewiss so rasch, dass die Wärmeleitung im Gas (von den allertiefsten Frequenzen vielleicht abgesehen) ganz gewiss keine Rolle spielen kann. Wärmeleitungsvorgänge sind so langsam, dass sie der sehr 36 2 Die akustischen Zustandsgleichungen in Gasen 2.3 Zustandsgleichungen für die Schallfeldgrößen raschen zeitlichen Änderung im Schallfeld nichts anhaben können. Und aus diesem Grund können Schallvorgänge nicht isotherm und natürlich schon gar nicht isobar oder isochor verlaufen. Zustandsänderungen, die ohne Wärmetransport auskommen, nennt man adiabatisch. Für feste Gasmassen in einem veränderbaren Volumen VG gilt für sie die adiabatische Zustandsgleichung pG = p0 VG V0 −κ . (2.7) Natürlich wird auch in dieser Gleichung das Volumen wieder für akustische Zwecke durch die Dichte ausgedrückt, was wegen der unveränderlichen Masse ohne weiteres möglich ist: κ pG %G = . (2.8) p0 %0 Vielleicht ist der nochmalige Vermerk angebracht, dass auch diese Gleichung für die Gesamtgrößen gilt (und keineswegs für die Schallfeldgrößen alleine). Dass sie von den Ruhegrößen ohne Schall erfüllt wird, das ist offensichtlich. Soweit also die Schilderung der beiden Zustandsgleichungen für ideale Gase ohne Wärmeleitung. Natürlich fragt sich nun noch, was aus diesen beiden Zustandsgleichungen für die Schallfeldgrößen p, % und T folgt. Die Antwort darauf ergibt sich einfach durch Einsetzen der Gesamtgrößen nach den Gleichungen (2.1), (2.2) und (2.3). Es wird mit der Boyle-Mariotte-Gleichung (2.5) begonnen: R R (%0 + %)(T0 + T ) ≈ (%0 T0 + %0 T + T0 %) . Mmol Mmol (2.9) Im letzten Schritt ist das (quadratisch kleine) Produkt aus Schalltemperatur und Schalldichte %T vernachlässigt worden. Weil wie gesagt auch die statischen Ruhegrößen selbst die Boyle-Mariotte-Gleichung (2.5) erfüllen (es gilt also p0 = R%0 T0 /Mmol ), folgt aus der letzten Gleichung für die Schallfeldgrößen p= R (%0 T + T0 %) . Mmol (2.10) Etwas übersichtlicher wird diese Gleichung noch, wenn man durch den Ruhedruck p0 teilt, man erhält dann nämlich % T p = + . p0 %0 T0 Wenn man die auftretenden Quotienten als relative Größen“ bezeichnet, dann ” besagt (2.11), dass der relative Schalldruck gleich der Summe aus relativer Schalldichte und relativer Schalltemperatur ist. Den zweiten Zusammenhang zwischen den Schallfeldgrößen liefert die adiabatische Zustandsgleichung (2.8), die im Folgenden noch auf die vergleichsweise sehr kleinen Schallfeldgrößen zugeschnitten wird. Zunächst ist festzustellen, dass die adiabatische Zustandsgleichung (2.8) einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Druck und Dichte im Gas konstatiert. Andererseits interessieren nur kleinste Änderungen um den Arbeitspunkt (%0 , p0 ); deshalb kann die gekrümmte Kennlinie (2.8) durch ihre Tangente in diesem Arbeitspunkt ersetzt werden. Anders ausgedrückt: Die Kennlinie kann linearisiert werden, weil quadratische Anteile und alle höheren Potenzen der Taylorentwicklung vernachlässigt werden können. Dazu werden die Schallfeldgrößen zunächst in die für die Gesamtgrößen geltende adiabatische Zustandsgleichung (2.8) eingesetzt: κ κ % p %0 + % p0 + p = 1+ . (2.12) =1+ = p0 p0 %0 %0 Die nach dem linearen Glied abgebrochene Potenzreihen-Entwicklung von f (x) = (1 + x)κ um x = 0 besteht in f (x) = 1 + κx, also gilt 2.3 Zustandsgleichungen für die Schallfeldgrößen p0 + p = 37 (2.11) 1+ p % =1+κ . p0 %0 Die linearisierte, auf die Zwecke der Akustik zugeschnittene adiabatische Zustandsgleichung lautet also p % =κ . (2.13) p0 %0 Weil der Schalldruck eine gut durch Mikrophone messbare Größe bildet, die Schalldichte dagegen nur indirekt aus dem Druck bestimmt werden kann, werden Schallfelder fast immer durch Angabe ihrer Druckverteilung beschrieben. Deswegen werden auch alle nachfolgenden Betrachtungen – soweit möglich – durch Drücke formuliert. Dazu muss dann die möglicherweise vorkommende Schalldichte noch durch den Druck ersetzt werden. Deshalb wird (2.13) nach der Dichte aufgelöst p %= 2 , (2.14) c mit p0 c2 = κ . (2.15) %0 Wie man erkennt, sind Schalldruck und Schalldichte gleiche Zeit- und Ortsfunktionen. Eliminiert man mit Hilfe von (2.13) noch in (2.11) die relative Dichte, so erhält man für die relative Schalltemperatur p % 1 p T = − = 1− . T0 p0 %0 κ p0 38 2 Die akustischen Zustandsgleichungen in Gasen Alle drei relativen Größen haben also die gleiche Signalgestalt, sie unterscheiden sich nur durch einen Zahlenfaktor. Die Betrachtungen im nächsten Abschnitt werden zeigen, dass die in (2.15) eingeführte Konstante c eine besondere physikalische Bedeutung besitzt: c bezeichnet die Schallausbreitungsgeschwindigkeit im Gas. Obwohl darin natürlich kein Beweis gesehen werden kann, spricht die Dimensionskontrolle wenigstens nicht gegen diese Behauptung: s s s dim(p) Nm3 kg m m m = = = . dim(c) = dim(%) m2 kg s2 kg s Die Dimension von c, dim(c), ist also tatsächlich eine Geschwindigkeit. Setzt man noch die (auch für die statischen Größen gültige) BoyleMariotte-Gleichung (2.5) in (2.15) ein, so erhält man für die Schallgeschwindigkeit c r R c= κ T0 . (2.16) Mmol Sie hängt nur vom Material und von der absoluten Temperatur, nicht aber von Ruhedruck oder Ruhedichte ab. Als Kontrolle seien die Parameter von Luft Mmol = 28, 8 · 10−3 kg bei T0 = 288 K (15 ◦ C) eingesetzt; man erhält dafür den bekannten Wert von c = 341 m/s. Für praktische Anwendungen reicht es nahezu immer aus, Temperaturschwankungen von bis zu 10 ◦ C unter den Tisch fallen zu lassen und mit dem gerundeten Wert von 340 m/s zu rechnen. Erwähnenswert ist vielleicht, dass die (im freien Gas nicht zutreffende, also falsche) Annahme isothermer Verdichtung bei Schallvorgängen auf die zu kleine Ausbreitungsgeschwindigkeit r RT0 cadia ciso = = √ ≈ 0.85cadia Mmol κ führen würde. Tatsächlich hat man erst aus der Diskrepanz zwischen ciso und Messwerten gelernt, dass Schall-Verdichtungsvorgänge eben nicht isotherm, sondern adiabatisch ablaufen. Natürlich müssen gemessene Schallgeschwindigkeiten gleich cadia sein. 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten Dieses Kapitel dient der Herleitung der zur Schallfeldbeschreibung notwendigen Differentialgleichungen. 3.1 Folgerung aus der Massen-Erhaltung In diesem und im nächsten Abschnitt wird zunächst der eindimensionale Fall betrachtet, bei dem nur die Änderungen entlang einer einzigen Ortskoordinate interessieren. Dieser Fall ist natürlich einfacher und es gelingt deswegen leichter, das Wesentliche herauszuarbeiten. Im Anschluss daran werden dann die entsprechenden Gleichungen für den allgemeinen räumlichen Fall angegeben. 3.1.1 Eindimensionale Betrachtung Es wird ein festes Volumenelement ∆V = S · ∆x mit der Kantenlänge ∆x und den Seitenflächen S (Bild 3.1) betrachtet. Abb. 3.1. Volumenelement für die eindimensionale Betrachtung. Die beiden äußeren Kräfte, die bei der Impuls-Bilanz vorkommen, sind schon mit eingezeichnet. 40 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten 3.2 Folgerungen aus der Impuls-Erhaltung Wenn nun das Medium mit einer x-gerichteten Geschwindigkeit u(x) in Bewegung ist, so erhält das Volumenelement während der Zeit ∆t einen NettoMassen-Zufluss ∆M , der gleich der Differenz aus links zufließender Masse und rechts abfließender Masse ist: ∆M = %G (x) · u(x) · ∆t · S − %G (x + ∆x) · u(x + ∆x) · ∆t · S = [%G (x) · u(x) − %G (x + ∆x) · u(x + ∆x)] · S · ∆t . Andererseits muss natürlich die Zu- oder Abnahme von im Volumenelement ∆V gespeicherter Masse in einer entsprechenden Zu- oder Abnahme der innen vorhandenen Dichte resultieren: ∆M = [%G (t + ∆t) − %G (t)] · ∆x · S . %G (x) · u(x) − %G (x + ∆x) · u(x + ∆x) %G (t + ∆t) − %G (t) = , ∆t ∆x 3.2.1 Eindimensionale Betrachtung Das Volumenelement (siehe Bild 3.1) kann einen Impuls-Zuwachs ∆I während der Zeit ∆t auf zwei Weisen erfahren (∆I = ∆I1 +∆I2 ): einmal wirken äußere (Druck-) Kräfte auf es ein, deren Impuls-Zuwachs ∆I1 = [pG (x) − pG (x + ∆x)] · S · ∆t ist. Zum anderen transportiert die während ∆t zu-/abfließende Masse gleichfalls einen zu-/abfließenden Impuls. Es ist also: Impulszufluß oder, nach dem Grenzübergang ∆t → 0 und ∆x → 0 (3.1) Diese sogenannte Kontinuitätsgleichung“ ist - die Herleitung zeigte es - nur ” eine Folge des Prinzips der Massen-Erhaltung. Impulsabfluß Natürlich geht die Änderung des in ∆V gespeicherten Impulses mit einer Änderung des Produktes aus Masse und Geschwindigkeit des Volumenelements einher: ∆I = [%G (t + ∆t) · u(t + ∆t) − %G (t) · u(t)] · ∆x · S . Zusammenfassend ist also pG (x) − pG (x + ∆x) %G (x) · u2 (x) − %G (x + ∆x) u2 (x + ∆x) + ∆x ∆x 3.1.2 Dreidimensionale Betrachtung Im allgemeinen dreidimensionalen Fall beträgt der Massen-Zufluss in ein Volumenelement mit den Kantenlängen ∆x, ∆y und ∆z während ∆t ∆M = [%G (x) · ux (x) − %G (x + ∆x) · ux (x + ∆x)] · ∆y ∆z ∆t %G (t + ∆t) u (t + ∆t) − %G (t) u (t) , ∆t oder, nach Grenzübergang ∆x → 0 bzw. ∆t → 0 = ∂(%G u) ∂pG ∂(%G u2 ) + + = 0. ∂t ∂x ∂x + [%G (y) · uy (y) − %G (y + ∆y) · uy (y + ∆y)] · ∆x ∆z ∆t + [%G (z) · uz (z) − %G (z + ∆z) · uz (z + ∆z)] · ∆x ∆y ∆t , (3.3) 3.2.2 Dreidimensionaler Fall der sich in einer Dichte-Änderung gemäß ∆M = [%G (t + ∆t) − %G (t)] ∆x ∆y ∆z niederschlagen muss. Zusammenfassend gilt also nach gleicher Vorgehensweise wie oben und ∆x → 0, ∆y → 0 und ∆t → 0 ∂%G ux ∂%G uy ∂%G uz ∂%G + + + = 0. ∂x ∂y ∂z ∂t 3.2 Folgerungen aus der Impuls-Erhaltung ∆I2 = %G (x) · u(x) · S · ∆t · u(x) − %G (x + ∆x) · u(x + ∆x) · S · ∆t · u(x + ∆x). | {z } {z } | Massenzufluß Massenabfluß | {z } | {z } Zusammenfassend ist also: ∂%G u ∂%G + = 0. ∂x ∂t 41 (3.2) Da der Impuls eine vektorielle Größe ist, muss man komponentenweise vorgehen. Betrachtet sei deshalb nur der x-gerichtete Impuls. Der Anteil ∆I1 durch den äußeren Druck bleibt gleich. Bei dem wegen der einfließenden Masse hinzukommenden Impuls ∆I2 dagegen muss noch die durch die anderen vier Seitenflächen oben“, unten“, hinten“ und vorne“ strömenden ” ” ” ” Impulse berücksichtigt werden 42 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten 3.3 Lighthill-Gleichung und Wellengleichung 2 ∆I2 = %G (x) · u2x (x)∆y ∆z ∆t − %G (x + ∆x)u2x (x + ∆x)∆y ∆z ∆t | {z } (%G u) eliminieren und nach t und (3.4) nach x, so kann man den Term ∂ ∂x∂t erhält die eindimensionale Lighthill-Gleichung links-rechts + %G (y)uy (y)∆x ∆z ∆t ux (y) −%G (y + ∆y)uy (y + ∆y)∆x ∆z ∆t ux (y + ∆y) | {z } Massenzufluß {z } | x-Impulszufluß | {z vorn-hinten } + %G (z)uz (z)∆x ∆y ∆t ux (z) −%G (z + ∆z)uz (z + ∆z)∆x ∆y ∆t ux (z + ∆z). | {z } Massenzufluß | {z } x-Impulszufluß | {z unten-oben } Es ist also %G (t + ∆t) · ux (t + ∆t) − %G (t) · ux (t) ∆t pG (x) − pG (x + ∆x) %G (x) · u2x (x) − %G (x + ∆x) · u2x (x + ∆x) = + ∆x ∆x %G (y) ux (y) uy (y) − %G (y + ∆y) · ux (y + ∆y) + ∆y %G (z) ux (z) uz (z) − %G (z + ∆z) · ux (z + ∆z) uz (z + ∆z) + , ∆z ∂ 2 pG ∂ 2 %G ∂ 2 %G u2 − + = 0. ∂x2 ∂t2 ∂x2 (3.5) Sie ist die allgemeinste Form der Beschreibung von (eindimensionalen) dynamischen Vorgängen in Gasen, d. h. sie enthält noch alle Nichtlinearitäten, wie den Einfluss von Strömungen und die Krümmung der Adiabatenkurve, Vernachlässigungen sind nicht getroffen (Ausnahme: Einfluss der Viskosität). Für die meisten interessierenden Fälle (mit einigen Ausnahmen, wie Turbulenzen und Nichtlinearitäten bei sehr hohen Schalldrücken) kann man die LighthillGleichung erheblich vereinfachen. Man geht dazu wieder von im Verhältnis zu den statischen Bedingungen p0 , %0 kleinen überlagerten Wechselgrößen aus pG = p0 + p %G = %0 + % . Wenn jetzt der Fall ohne Gleichströmung betrachtet wird, dann wird die Geschwindigkeit u zur Schallschnelle u = v. Geht man weiter von konstanten statischen Bedingungen aus ∂%0 ∂%0 ∂p0 = = = 0, ∂x ∂t ∂x oder so folgt unter Benutzung der linearisierten Adiabatengleichung (2.14): ∂(%G u2x ) ∂(%G ux uy ) ∂(%G ux uz ) ∂(%G u) ∂pG + + + + = 0. ∂t ∂x ∂x ∂y ∂z Spätestens an dieser Stelle wird das Ausschreiben der Einzelkomponenten umständlich. Legt man fest, dass ein beigestellter Index von 1 die x-Richtung, 2 die y-Richtung und 3 die z-Richtung bezeichnen soll, so gilt: 3 ∂(%G uj ) ∂pG X ∂(%G ui uj ) + + = 0 , j= 1, 2, 3 . ∂t ∂xj ∂xi i=1 43 (3.4) Für j = 1 wurde die Gleichung oben abgeleitet. Es wird dem Leser nicht schwer fallen, dies auch für j = 2 und j = 3 gegebenenfalls selbst durchzuführen. 3.3 Lighthill-Gleichung und Wellengleichung 3.3.1 Eindimensionaler Fall Die Lighthill-Gleichung stellt nur eine Zusammenfassung der in den beiden letzten Abschnitten dargelegten Sachverhalte dar. Differenziert man (3.1) ∂2p 1 ∂ 2 p ∂ 2 (%0 + %) v 2 − 2 2 + = 0. 2 ∂x c ∂t ∂x2 Zunächst kann man im letzten Term die Wechseldichte % gegenüber der Ruhedichte %0 vernachlässigen. Die folgende Abschätzung der Größenordnungen zeigt, dass auch der dann noch verbleibende Ausdruck %0 v 2 sehr klein ist gegenüber dem Schalldruck p. Für ebene Wellen gilt bekanntlich v = p/(%0 c). In Amplituden gedacht ist also %0 v 2 = p2 /(%0 c2 ) und damit: %0 v 2 p p = = p %0 c2 κp0 (mit c2 = κp0 /%0 ). Für Luftschall mit Pegeln von weniger als 137 dB (!) ist die rechte Seite jedenfalls kleiner als 10−3 . Also kann man %0 v 2 gegenüber p vernachlässigen. Damit erhält man die Wellengleichung ∂2p 1 ∂2p − 2 2 =0 2 ∂x c ∂t (3.6) für den Schalldruck. Unter den gleichen Vernachlässigungen wie oben geht aus Gleichung (3.3) noch die Schallschnelle v aus dem Schalldruck p hervor: 44 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten 3.3 Lighthill-Gleichung und Wellengleichung ∂v 1 ∂p =− ∂t %0 ∂x f (x + ∆x − c(t + ∆t)) = f (x − ct) (3.7) Wie man leicht durch Einsetzen zeigen kann, wird die Wellengleichung (3.6) von jedem beliebigen Funktionsverlauf f erfüllt, der nur vom Argument x ± ct abhängt: p = f (x ± ct) . (3.8) 45 oder natürlich ∆x = c · ∆t. Wie erwartet, ist die bei der Behandlung der Adiabatengleichung eingeführte Konstante c“ mit der Ausbreitungsgeschwindig” keit identisch cA = c 3.3.2 Dreidimensionaler Fall Mit der Indizierungs-Vereinbarung bezüglich der Richtung x1 = x, x2 = y und x3 = z lautet das Massenerhaltungsgesetz (3.2) 3 X ∂%G ui i=1 p(x,t) = f(t−x/c) ∆ x ∂xi + ∂%G = 0, ∂t (3.9) und das Impulserhaltungsgesetz (3.4) wird zu t=0 t= ∆ t 3 ∂%G uj ∂pG X ∂%G ui uj + + = 0 , j = 1, 2, 3 . ∂t ∂xj ∂xi i=1 (3.9) nach t differenziert gibt 3 X ∂ 2 %G ui i=1 x Abb. 3.2. Druckverlauf über dem Ort für zwei verschiedene Zeiten t = 0 und t = ∆t. In Bild 3.2 ist die anschauliche Interpretation dargestellt: nach einer Zeit ∆t > 0 ist der Funktionsverlauf im Falle des negativen Vorzeichens x−ct nach rechts (pos. Vorzeichen x + ct: nach links) gewandert“. Es handelt sich also ” um eine Welle, die sich für −“ in positive, für +“ in negative x-Richtung ” ” ausbreitet. Wie man sieht, ist die Welle nicht-dispersiv, die Funktion wird bei der Ausbreitung in ihrer Form nicht verzerrt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit - sie wird vorläufig mit cA bezeichnet, um sie nicht schon gleich mit c zu verwechseln - geht aus ∆x cA = ∆t hervor. Dabei ist ∆x (siehe oben) das Stück, um das die Welle weitergewandert ist, nachdem die Zeit ∆t vergangen ist. Die über x so rückverschobene“ ” Funktion f (x − c(t + ∆t)), dass sie gerade mit f (x − ct) zur Deckung kommt, ist f (x + ∆x − c(t + ∆t)) (siehe obiges Bild). Es ist also: (3.10) ∂xi ∂t + ∂ 2 %G = 0, ∂t2 (3.10) nach xj differenziert und summiert ergibt 3 X ∂ 2 %G uj j=1 ∂xj ∂t + 3 3 X X ∂ 2 %G ui uj + = 0, 2 ∂xj ∂xi ∂xj j=1 i=1 j=1 3 X ∂ 2 pG oder, zusammengefasst in der LIGHTHILL-Gleichung 3 X ∂ 2 pG ∂x2j j=1 − 3 3 ∂ 2 %G X X ∂ 2 %G ui uj + = 0. ∂t2 ∂xi ∂xj i=1 j=1 (3.11) Mit den gleichen Vernachlässigungen und Annahmen wie im eindimensionalen Fall wird daraus die Wellengleichung für den Schalldruck p ∆p − 1 ∂2p =0 c2 ∂t2 mit ∆ = Delta-Operator = 3 X ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 . + 2+ 2 = 2 ∂x ∂y ∂z ∂x2i i=1 (3.12) 46 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten 3.4 Energie und Leistung in Schallfeldern 47 Für die Schnelle-Komponente gilt noch nach (3.10) unter den gleichen Vernachlässigungen: ∂vi 1 ∂p =− , i = 1, 2, 3 , (3.13) ∂t %0 ∂xi oder, in Vektorschreibweise: 1 ∂~v = − grad p , ∂t %0 (3.14) wobei grad = ~ex ∂/∂x + ~ey ∂/∂y + ~ez ∂/∂z und ~ex , ~ey , ~ez die orthogonalen Einheitsvektoren des kartesischen Systems sind. Die Kontinuitätsgleichung (3.9) geht über in ∂vy ∂vz 1 ∂p ∂vx + + = div ~v = − . ∂x ∂y ∂z %0 c2 ∂t (3.15) Abb. 3.3. Die durch die Fläche S hindurchtretende Leistung ist örtlich verteilt. Ihre Flächendichte wird als Intensität bezeichnet. 3.4 Energie und Leistung in Schallfeldern Da bei der Schallausbreitung in Gasen naturgemäß sowohl Kompressionen als auch Bewegungen der Gasteilchen vorkommen, besteht die in einem Volumenelement ∆V gespeicherte Energie aus potentiellem und kinetischem Anteil 1 1 2 E∆V = p + %0~v · ~v · ∆V , (3.16) 2 %0 c2 wobei ~v · ~v das Skalarprodukt ist. Hierin ist 1 1 2 w= p + % ~ v · ~ v 0 2 % 0 c2 w dV ∆w · ∆V = ∆t · ∆y · ∆z · [Ix (x) − Ix (x + ∆x)] + ∆t · ∆x · ∆z · [Iy (y) − Iy (y + ∆y)] + ∆t · ∆x · ∆y · [Iz (z) − Iz (z + ∆z)] , (3.17) die räumliche Energiedichte, aus der sich die im Gesamtfeld gespeicherte Energie durch Z E= Aus dieser Definition lässt sich der Zusammenhang zwischen Intensität und Energiedichte leicht herleiten. Die zeitliche Änderung des Energie-Inhaltes ∆w · ∆V im Volumenelement mit den Kantenlängen ∆x, ∆y und ∆z muss sich aus der Differenz von Leistungs-Zufluss und Abfluss ergeben: (3.18) V (V = Gesamtvolumen des Feldes) ergibt. Nun fließt in einem Schallfeld bekanntlich Energie von der Quelle durch den Raum hindurch. Um den Energie~ Sie ist definiert als (vekFluss zu beschreiben, benutzt man die Intensität I. torielle) Leistungsdichte derart, dass sich die durch eine Fläche S hindurchtretende Leistung P nach Z P = In , dS (3.19) S berechnen lässt (Bild 3.3, n: Normalkomponente des Vektors, also senkrecht auf der Fläche). oder, nach Grenzübergang ∆t → 0, ∆x → 0, ∆y → 0, ∆z → 0 ∂Ix ∂Iy ∂Iz ∂w =− + + , ∂t ∂x ∂y ∂z (3.20) wofür man auch kurz ∂w = − div Ĩ ∂t schreibt. Setzt man in (3.20) die Energiedichte (3.17) ein, so ist ∂Ix ∂Iy ∂Iz 1 ∂p ∂~v + + =− p + %0~v . ∂x ∂y ∂z %0 c2 ∂t ∂t (3.21) Unter Benutzung der Impuls-Bilanz (3.13) und der Kontinuitätsgleichung (3.15) wird daraus ∂Ix ∂Iy ∂Iz ∂vx ∂vy ∂vz ∂p ∂p ∂p + + =p + + + vx + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂pvx ∂pvy ∂pvz = + + . ∂x ∂y ∂z (3.22) 48 3 Schallfeld-Gleichungen in kartesischen Koordinaten Da (3.22) auch gelten muss, wenn nur eine Komponente vorkommt (vy = vz = 0 beispielsweise) und in diesem Fall der Leistungsfluss auch nur eine Komponente haben kann, gilt: Ix = p vx bzw. 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen Iy = p vy bzw. Iz = p vz oder allgemeiner für die Vektoren I~ = p · ~v . (3.23) Die Intensität ist also einfach gleich dem Produkt von Druck und Schnelle. Leistungsflüsse durch Flächen lassen sich aus ihr durch Integration nach (3.19) bestimmen. Für reine Töne 1 p ejωt + p∗ e−jωt p = Re p ejωt = 2 ist 1 jωt I~ = p e + p∗ e−jωt ~v ejωt + ~v ∗ e−jωt 4 1 ∗ 1 = Re p ~v + Re p~v ej2ωt . 2 2 Der erste, zeitlich konstante Anteil heißt Wirk-Intensität, die zugehörige, durch Flächenintegration ermittelte Leistung wird Wirk-Leistung genannt. Überlagert ist ein mit der doppelten Frequenz hin und her flutender Wechselanteil, der Blind-Intensität (-Leistung) genannt wird; diese ist im zeitlichen Mittel gleich Null. Wie bei elektrischen Verbrauchern beschreibt man akustische Quellen oft durch die Angabe der von ihnen bereitgestellten akustischen Wirk-Leistung. Blind-Größen spielen in der Akustik keine Rolle. In diesem Kapitel wird das Schallfeld betrachtet, das von einer gegebenen schwingenden Fläche in einer Ebene (z = 0) hervorgerufen wird. Es wird also angenommen, dass die anregende Schallschnelle in der Ebene bekannt ist. Anschaulich kann man sich einen (oder mehrere) Lautsprecher in einer (großen) Schallwand eingebaut vorstellen, es kann sich aber auch um Platten (oder in einer Schallwand eingebaute Plattenstücke) handeln, die durch Kräfte zu Biegeschwingungen angeregt werden und dadurch Schall abstrahlen. Methodisch wird dabei genauso vorgegangen wie bei der Betrachtung der (zeitlichen) Fourier-Transformation. Betrachtet wird zunächst eine spezielle Schnelle in der Ebene, die selbst die Form einer Welle besitzt, und das davon hervorgebrachte Schallfeld. Es wird dann leicht sein, wiederum die Linearität auszunutzen, mehrere (anregende) Wellenlängen und ihre Wirkungen auf das Schallfeld zu superponieren. Im Grenzfall führt das zur örtlichen FourierTransformation: Z∞ F (k) = f (x) = 1 2π −∞ Z∞ f (x)e−jkx dx (4.1a) F (k)ejkx dk , (4.1b) −∞ bei der gegenüber der zeitlichen Fourier-Transformation nur die Variable t (Zeit) durch die Variable x (Ort) und die Variable ω (Frequenz) durch die Variable k (Wellenzahl) ersetzt worden ist. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass nun keine Orts-Kausalität“ mehr verlangt werden kann. Ebenso ” können die Original-Funktionen f (x) komplex sein: sie repräsentieren komplexe Amplituden von Zeitverläufen oder zeitliche Fourier-Transformierte. Um die bei Ebenen vorhandenen beiden unabhängigen Richtungen zu berücksichtigen, muss man im allgemeinen Fall auch zweifach transformieren: 50 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen Z∞ Z∞ F (kx , ky ) = f (x, y)e−jkx x e−jky y dxdy 4.1 Örtlich harmonische Anregung (4.2a) −∞ −∞ 1 f (x, y) = 4π 2 Z∞ Z∞ F (kx , ky ) ejkx x ejky y dkx dky . (4.2b) −∞ −∞ Wieder werden in den nächsten Abschnitten zunächst zweidimensionale Probleme behandelt, bei denen nur bezüglich einer Richtung zu transformieren ist. Im Anschluss daran wird auf den allgemeinen 3-dimensionalen Fall eingegangen. 2. treten für k02 < k 2 exponentielle Felder auf, so müssen diese mit z abnehmen. Diese Bedingungen werden befriedigt, wenn  p 2  + k0 − k 2 , k02 ≥ k 2 kr =  p 2 −j k − k02 , k02 < k 2 Sei also in der Ebene z = 0 ein Schnelleverlauf der Form v = v0 · ejkx vorhanden. Man beachte noch, dass die so definierte Strahlerschnelle ein in negative x-Richtung laufenden Welle beschreibt. Diese Wahl ist nur getroffen worden, um den später geschilderten Übergang zu Fourier-Transformierten (etwas) einfacher zu machen. Änderungen bezüglich der y-Richtung kommen nicht vor: für alle Größen gilt d/dy = 0. Für die im Folgenden vorausgesetzten reinen Töne als Zeitverlauf der Anregung erfüllt die komplexe Amplitude p(x, z) nach (3.12) die zweidimensionale Wellengleichung. ∂2p ∂2p + 2 + k02 p = 0 ∂x2 ∂z (4.3) mit k0 = ω/c. Natürlich wird p bezüglich der x-Richtung die gleiche Welligkeit wie die Anregung v besitzen. Man macht also den Ansatz p(x, z) = f (z)ejkx . Aus (4.3) findet man und damit die Lösung ∂2f + (k02 − k 2 ) f = 0 ∂z 2 p(x, z) = p0 e−jkr z ejkx mit kr = (4.4) q k02 − k 2 . Es stellt sich die Frage, welches Vorzeichen beim Wurzelziehen benutzt werden soll. Die Antwort ergibt sich aus den beiden einleuchtenden physikalischen Forderungen: 1. Liegen für den Fall k02 > k 2 Wellen in z-Richtung vor, dann müssen diese von der Anregung weg in z-Richtung laufen, und (4.5) definiert wird. Schließlich muss noch die Konstante p0 aus der Randbedingung in z = 0 bestimmt werden. Nach (3.13) gilt für die z-gerichtete Schnelle v(x, z): v(x, z) = 4.1 Örtlich harmonische Anregung 51 j ∂p kr = p0 e−jkr z ejkx . ω%0 ∂z ω%0 Sie muss für z = 0 mit der Vorgabe v0 ejkx übereinstimmen. Es ist also p0 = ω%0 k0 v0 = % 0 c v0 kr kr und damit: p(x, z) = v0 %0 c k0 −jkr z jkx e e . kr (4.6) Das Ergebnis (4.6) besitzt eine sehr anschauliche Interpretation. Ist die Anregung mit k > k0 (und deswegen λ < λ0 = 2π/k0 ) kurzwelliger als die freie Luftwellenlänge λ0 , dann beschränkt sich das Schallgeschehen auf ein exponentiell abklingendes Nahfeld (siehe Bild4.1) in der unmittelbaren Nachbarschaft der Platte. Im echten Sinne“ wird gar kein Schall abgestrahlt, d. h., ” die z-gerichtete Wirkintensität I= 1 Re {p(x, 0) · v ∗ (x, 0)} 2 (4.7) beträgt I = 0, denn p v ∗ ist rein imaginär. Man kann das natürlich auch an der Impedanz Z = p(x, 0)/v(x, 0) sehen, die ebenfalls keinen Realteil besitzt. Ist die Anregung mit k < k0 (und deswegen λ < λ0 ) langwelliger als die freie Luftwellenlänge λ0 , dann wird eine ebene Luftschallwelle unter einem gewissen Winkel abgestrahlt (Bild 4.2). Den Abstrahlwinkel ϑ erhält man aus einer einfachen Betrachtung. Allgemein besitzt eine schräg laufende Welle im hier verwendeten Koordinatensystem die Form p = p0 e−jk0 z cos ϑ ejk0 x sin ϑ . Durch Vergleich mit (4.4) findet man die beiden für k < k0 widerspruchsfreien Gleichungen 52 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 4.2 Allgemeine Form der Anregung woraus sin ϑsp = k/k0 = −λ0 /λ 53 (4.8) folgt. Wie man auch Bild 4.2 entnehmen kann, erfolgt die Abstrahlung so, dass im schrägen Schnitt, den die strahlende Ebene durch das Wellengebirge des Luftschalls bildet, die (größere) Strahlerwellenlänge λ vorliegt. Diesen physikalischen Effekt nennt man anschaulich Spuranpassung“, der sich einstel” lende Abstrahlwinkel ϑsp heißt Spuranpassungswinkel“. Im Falle der echten ” ” Abstrahlung“ beträgt die z-gerichtete Wirkintensität (siehe (4.7)): I= Abb. 4.1. Schallfeld vor einem kurzwelligen Strahler in Form einer nach oben laufenden Welle mit der Schallschnelle vz = v0 e−j2πy/λ für λ = 0, 9λ0 . Die durchgezogene Linie links zeigt die Strahler-Schwingung selbst. k0 1 %0 c 1 2 v %0 c = v02 . 2 0 kr 2 cos ϑ (4.9) 4.2 Allgemeine Form der Anregung Bei einem allgemeinen Funktionsverlauf v(x) zerlegt man diesen in seine infinitesimalen Wellenkomponenten V (k) Z∞ V (k) = v(x) e−jkx dx . −∞ Da nun die Luftschall-Reaktion auf jede Komponente V (k) aus dem vorigen Abschnitt bekannt ist, nämlich P (k) = V (k)%0 c k0 −jkr z e kr nach (4.4), folgt durch Rücktransformation %0 c p(x, z) = 2π Abb. 4.2. Schallfeld vor einem langwelligen Strahler in Form einer nach oben laufenden Welle mit der Schallschnelle vz = v0 e−j2πy/λ für λ = 2λ0 . Die durchgezogene Linie links zeigt die Strahler-Schwingung selbst. q kr = + k02 − k 2 = k0 cos ϑsp k = −k0 · sin ϑsp , Z∞ V (k) −∞ k0 −jkr z jkx e e dk kr (4.10) (man beachte, dass kr von k abhängt), womit das Problem gelöst ist. Da einzig vom Superpositionsprinzip für Teilwellen Gebrauch gemacht wurde, ist es wohl nicht mehr weiter verwunderlich, dass die Fourier-Transformierte P (k) P (k) = V (k) · %0 c k0 −jkr z e kr das Produkt aus Anrege-Wellenzahlspektrum und einem system-typischen“ ” Spektrum darstellt. Man kann also den Faltungssatz ausnutzen, wenn die Rücktransformierte k0 −jkr z −1 h(x, z) = F H(k, z) = %0 c e kr 54 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 4.2 Allgemeine Form der Anregung bekannt ist. Die Ortsfunktion hat dabei wieder die im Kapitel 1 dargelegte Interpretation: es ist die örtliche Impulsantwort“, d. h., h ist die Reaktion des ” Lufthalbraumes auf eine Anregung mit der Distribution v = δ(x) in der strahlenden Ebene. Mit Hilfe einer Integraltafel (z. B. Abramowitz/Stegun, S. 360, Nr. 9.1.18 - 9.1.23) findet man für den hier betrachteten zweidimensionalen Fall (mit sin Θ = k/k0 für |k| < k0 und cos Θ = k/k0 für |k| > k0 ) 1 h(x, z) = 2π Z∞ %0 c −∞ k0 −jkr z jkx e e dk kr = p 1 (2) %0 ck0 H0 k0 x2 + z 2 , (4.11) 2 (2) worin H0 die Hankelfunktion zweiter Art bedeutet. Wie man an der Herleitung sehen kann, ist das durch (4.11) gegebene Schallfeld durch eine Linien(2) quelle entlang der y-Achse hervorgerufen. H0 hängt mit der Besselfunktion J0 und der Neumannfunktion N0 durch (2) H0 (x) = J0 (x) − jN0 (x) (2) r H0 (k0 r) ≈ 2 ejπ/4 e−jk0 r πk0 r mit k0 r = k0 p x2 + z 2 1 55 (4.13) √ deutlich: im Wesentlichen stellt die Lösung (4.11) eine mit 1/ r abnehmende, in r-Richtung nach außen laufende Welle dar. Da die Schallabstrahlung nur vom Abstand r zwischen Aufpunkt und Quellpunkt abhängt, gibt es keine Vorzugsrichtung der Abstrahlung. Man bezeichnet die Quelle daher auch als Linienmonopol. Mit Hilfe des Faltungssatzes kann man nun bei beliebigem Ortsverlauf der anregenden Schnelle v(x) in der Ebene z = 0 das Schallfeld im gesamten Raum bestimmen. 1 p(x, z) = %0 ck0 2 Z∞ (2) v(xQ )H0 q 2 2 k0 (x − xQ ) + z dxQ . (4.14) −∞ (4.12) zusammen. 1 J0(x) 0.5 N (x) 0 0 −0.5 −1 0 5 10 x 15 20 Abb. 4.3. Besselfunktion J0 (x) und Neumannfunktion N0 (x) Wie man in Bild 4.3 erkennen kann, sind J0 und N0 im Prinzip“ schwach ” abklingende Schwingungsverläufe. Das wird auch aus der für große Argumente (2) k0 r gültigen Näherung für H0 Abb. 4.4. Besselfunktion J0 (x) und Neumannfunktion N0 (x) Die Bedeutung der vorkommenden Größen kann auch Bild 4.4 entnommen werden. Hier erscheint also das Gesamtfeld als Summe der Wirkungen von 56 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen vielen einzelnen, in der Ebene z = 0 verteilten Monopol-(Linien-)Quellen der infinitesimal kleinen Abmessung dxQ . Man kann also • • entweder, wie in (4.14), eine Zerlegung in Monopolquellen vornehmen und die Wirkungen der Monopole im betrachteten Aufpunkt summieren, oder wie in (4.10), eine Zerlegung der Anregung in Wellenformen durchführen und die Wirkungen der Teilwellen aufaddieren. Im Grunde wurde die Dualität der beiden Möglichkeiten schon bei der Herleitung des Faltungssatzes gezeigt. Natürlich müssen beide Vorgehensweisen zu ein und demselben Resultat führen. 4.3 Betrachtungen im Fernfeld Man wird erwarten, dass die Näherung (4.13) für die Hankelfunktion eine größere Übersichtlichkeit in der Lösung des allgemeinen Problems (4.14) möglich machen wird. Dazu ist die Beschränkung auf den Fall erforderlich, bei dem q k0 (x − xQ )2 + z 2 1 4.3 Betrachtungen im Fernfeld oder s r = R 1+ x2Q R2 −2 57 xQ sin ϑ . R Da xQ R angenommen wurde, kann das quadratische Glied vernachlässigt werden: r xQ r ≈ 1−2 sin ϑ . R R x Eine Taylor-Entwicklung nach 2 RQ sin ϑ liefert 1 x 2 1 xQ r Q 2 2 ≈1− sin ϑ − sin ϑ + höhere Potenzen R 2 R 8 R Wie gesagt, kommt es auf die Differenz zwischen k0 r und k0 R an. Wenn man bis zum quadratischen Term nähert, dann ist k0 r − k0 R ≈ k0 xQ sin ϑ − 1 k0 x2Q sin2 ϑ . 2 R Will man also den enthaltenen quadratischen Term auch noch vernachlässigen, so kommt zu den Forderungen R λ0 und R l noch die dritte Forderung gilt. Dies setzt voraus, dass Aufpunkte betrachtet werden, die - in Wellenlängen ausgedrückt - weit vom Strahlermittelpunkt entfernt sind: l R l λ0 R 1. λ0 hinzu. Der Abstand, bezogen auf die Strahlerabmessung, muss auch noch groß sein gegenüber der Strahlerabmessung in Wellenlängen ausgedrückt. Unter diesen genannten Voraussetzungen kann man Es R= p √ sei weiter angenommen, dass das Verhältnis aus Mittelpunktabstand x2 + z 2 und laufendem Quellpunkt-Aufpunkt-Abstand r = (x − xQ )2 + z 2 von 1 nicht allzu sehr abweichen soll. Das setzt voraus, dass die Strahlerabmessung l klein gegenüber dem Abstand R ist: R l. In diesem Fall die prinzipielle Änderung der Wellen-Einhüllen√ √ kann in (4.13) den mit 1/ r durch 1/ R ersetzt werden: r 2 (2) ejπ/4 e−jk0 r . (4.15) H0 (k0 r) ≈ πk0 R Im Argument k0 r der Wellenfunktion dagegen kann k0 r nicht ohne weiteres durch k0 R ersetzt werden. √Hier kommt es nämlich - anders als beim reinen √ Abstandgesetz, bei dem 1/ r = 1/ R benutzt wurde - nicht auf den Quotienten r/R ≈ 1 an, sondern auf die Differenz k0 (r − R), und diese kann trotz r/R ≈ 1 natürlich beträchtlich sein. Eine Näherung für den Phasenausdruck e−jk0 r stützt sich zunächst auf rein geometrische Überlegungen. Der Kosinussatz liefert r2 = R2 + x2Q − 2xQ R cos(90◦ − ϑ) k0 r ≈ k0 R − k0 xQ sin ϑ nähern, und erhält (2) H0 (k0 r) ≈ r 2 ejπ/4 e−jk0 R ejk0 xQ sin ϑ . πk0 R Mithin gilt im Fernfeld r p(R, ϑ) = %0 c k0 jπ/4 −jk0 R e e 2πR Z∞ v(xQ ) ejk0 xQ sin ϑ dxQ . (4.16) −∞ Da das Integral gerade die (örtliche) Fourier-Transformierte der StrahlerSchnelle Z∞ V (k) = v(xQ ) e−jkxQ dxQ (4.17) −∞ für k = −k0 sin ϑ darstellt, ist der Druck durch die Fourier-Transformation der Strahler-Schnelle gegeben: 58 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen r p(R, ϑ) = %0 c 4.3 Betrachtungen im Fernfeld k0 jπ/4 −jk0 R e e V (k = −k0 sin ϑ) . 2πR (4.18) Dieses Ergebnis ist nicht eben überraschend. Bereits in Abschnitt 4.1 wurde festgestellt, dass nur die Strahler-Wellen-Anteile mit k02 ≥ k 2 zur Abstrahlung ins Fernfeld beitragen. Aus diesem Grund können im Fernfeld auch nur die Strahler-Anteile |k| ≤ k0 merklich sein: der Schalldruck über dem Winkel ergibt sich unmittelbar als Ausschnitt“ aus der fouriertransformierten ” Strahler-Schnelle. Im genannten Wellenzahl-Intervall, das für die Abstrahlung quasi sichtbar“ ist, ist darüber hinaus jeder Strahler-Wellenlänge ge” rade eine Abstrahlrichtung zugeordnet. Kein Wunder also, dass gerade die Fourier-Wellenzahl-Zerlegung unmittelbar die Richtcharakteristik beschreibt. Wie man unter Benutzung der oben gemachten Voraussetzungen zeigen kann, ist die radial nach außen weisende Schnelle-Komponente vR im Fernfeld vR (R, ϑ) = p(R, ϑ) . %0 c (4.19) Für alle Strahler liegt also im Fernfeld die Impedanz %0 c vor. Für die radiale Intensität heißt das IR = 1 %0 ck0 2 ∗ Re {p · vR }= |V (k = −k0 sin ϑ)| . 2 4πR (4.20) Die über dem Winkel ϑ aufgetragene Intensität IR wird als Richtwirkung bezeichnet. Wie man sieht, kann sie aus der Messung des Schalldruckquadrates bestimmt werden. Schließlich erlaubt Gleichung (4.20) noch die Berechnung der (pro Längeneinheit der y-Richtung) abgestrahlten Leistung: 0 Zπ/2 P = IR · R dϑ Zπ/2 2 |V (k = −k0 sin ϑ)| dϑ . (4.21) −π/2 Als Abstrahlgrad σ bezeichnet man das Leistungsverhältnis σ= P , P∞ (4.22) wobei P∞ die (pro Längeneinheit y-Richtung) abgestrahlte Leistung eines im Vergleich zur Wellenlänge sehr langen, als Ganzes bewegten Strahlers (v(x) = const. für − 2l ≤ x ≤ 2l ) mit gleichem mittleren Schnelle-Quadrat v2 = 1 l darstellt. Da vom sehr langen als Ganzes bewegten Strahler ebene Wellen ausgesandt werden, ist 1 P ∞ = %0 c v 2 · l , 2 und folglich gilt für den Abstrahlgrad: 1 k0 σ= 2π lv 2 Zπ/2 2 |V (k = −k0 sin ϑ)| dϑ . (4.24) −π/2 Es sei darauf hingewiesen, dass die nach (4.21) im Strahler-Fernfeld berechnete Leistung exakt“ ist und nicht etwa eine Näherung für die wahre Leistung ” angibt. Weil die Leistung durch eine beliebige, um den Strahler gelegte (gedachte) Hüllfläche stets die gleiche sein muss, führt die Betrachtung r → ∞ zum korrekten“ Resultat. An den Gl. (4.18) bis (4.21) lässt sich auch noch ” der oft interessierende Sonderfall tiefer Frequenzen ablesen. Ist nämlich die Strahler-Abmessung l viel kleiner als die akustische Wellenlänge λ0 , dann kann man die Fourier-Transformierte V (k) im hier nur interessierenden Intervall |k| < k0 durch den Nettovolumenfluss Q0 (pro Längeneinheit der y-Richtung) V (k) ∼ = Z∞ v(x) dx = Q0 −∞ ersetzen. Strahler ohne Netto-Volumenfluss Q0 = 0 strahlen also sehr viel schlechter Schall ab als solche mit Q0 6= 0. Diese Tatsache spielt vor allem bei den wellenförmigen Strahlern (siehe Abschnitt 4.4.2) eine Rolle. 4.3.1 Fernfeldbedingungen −π/2 %0 ck0 = 4π 59 Zl/2 2 |v(x)| dx −l/2 (4.23) Die Betrachtungen im vorigen Abschnitt im Fernfeld eines Strahlers standen unter den drei Bedingungen R 1, (4.25) λ0 R 1 (4.26) l und R l . (4.27) l λ0 Für theoretische Berechnungen können natürlich immer Abstände R so angenommen werden, dass diese drei Fernfeldbedingungen auch eingehalten werden. Das gilt nicht für einen festen Messaufbau, der zur Vereinfachung unter ” Fernfeldbedingungen“ benutzt werden soll. Er würde es z. B. erlauben, aus einfachen Druckmessungen auf die abgestrahlte Leistung zu schließen. Für ein festes R wird die Bedingung (4.25) bei entsprechend tiefen Tönen mit großen 60 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 4.4 Spezielle eindimensionale Strahler-Anordnungen Wellenlängen verletzt. Ähnlich gerät man mit Bedingung (4.27) bei hohen Frequenzen in Konflikt. Die Bedingungen (4.25) und (4.27) begrenzen also das Frequenzband, in dem bei fester Geometrie von Fernfeld“ tatsächlich ” gesprochen werden kann. Wenn man z. B. 1“ durch mindestens 5 mal ” ” größer“ ersetzt (also R/λ0 ≥ 5 , R/l ≥ 5 und R/l ≥ 5 l/λ0 ) so ergeben sich die 2 Bandgrenzen 5c/R < f < Rc/(5l ). Für l = 0, 5 m und R = 5 m erhält man so beispielsweise den erlaubten“ Frequenzbereich 340 Hz ≤ f ≤ 1360 Hz, der ” nur gerade zwei Oktaven umfasst. 0 −5 10 lg (sin(π l/λ)/π l/λ)2 −10 4.4 Spezielle eindimensionale Strahler-Anordnungen 4.4.1 Die Kolbenmembran Der Gegenstand des ersten Beispiels besteht in der Abstrahlung von einem auf seiner ganzen Länge l konphas bewegten Strahler, der sogenannten Kolbenmembran ( v0 für |x| ≤ l/2 v(x) 0 sonst . −15 −20 −25 −30 −35 −40 −45 −50 −5 sin (k 2l ) k 2l = v0 l sin(π λl ) π λl , −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 l/λ Die Fourier-Transformierte dieses Rechteck-Verlaufes ist V (k) = v0 l 61 Abb. 4.5. Betragsspektrum der Spaltfunktion in dB (4.28) worin die Transformations-Variable Wellenzahl k“ noch durch die zugehörige ” Wellenlänge, k = 2π/λ, ausgedrückt worden ist. Das zugehörige Betragsspektrum ist in Bild 4.6 dargestellt. Nach (4.20) ergibt sich die (Intensitäts-) Richtwirkung aus 2 |V (k = −k0 sin ϑ)| . Man setzt also für die Variable l/λ noch l/λ = −l/λ0 sin ϑ und kann dann aus der Transformierten V die Richtwirkung leicht abschätzen. Je nach betrachteter Frequenz ergibt sich ein bestimmtes Intervall |l/λ| ≤ |l/λ0 |, das bei Variation von ϑ überdeckt wird. Man braucht den Verlauf des Wellenzahlspektrums in diesem Intervall dann nur noch den Richtungen zuzuordnen. Dabei gehört der spektrale Punkt l/λ = 0 zur Richtung ϑ = 0, mit wachsendem |ϑ| entfernt man sich im Wellenzahlspektrum immer mehr von diesem Punkt, bis schließlich bei |ϑ| = π/2 die Intervall-Grenzen |l/λ| = |l/λ0 | erreicht sind. Einige Beispiele der daraus folgenden Richtcharakteristika werden in Bild 4.6 (a), (b) und (c) für unterschiedliche Verhältnisse aus Länge und Wellenlänge gezeigt. Für tiefe Töne l λ0 (l/λ0 = 0, 5 in Bild 4.6 (a) entsteht eine fast ungerichtete Abstrahlung, deren Richtwirkung sich aus dem Ausschnitt |l/λ| < 0, 5 90° 0 dB −10 45° −20 ϑN −30 −40 −50 0° −40 −30 −20 −10 −45° 0 −90° Abb. 4.6. (a) Richtcharakteristik (links) und Teilchenauslenkungen (rechts) einer Lautsprecherzeile für l/λ0 = 0, 5 62 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 90° 0 dB −10 45° −20 ϑN −30 −40 −50 0° −40 4.4 Spezielle eindimensionale Strahler-Anordnungen keule liegt. Der Einbruch“ liegt bei l/λ0 sin ϑE = 1, also bei sin ϑE = 0, 5 oder ” bei ϑE = 30◦ . Bei hohen Frequenzen l/λ0 = 4 (für l = 2 m wäre λ = 50 cm, die Frequenz also bei 680 Hz) schließlich verfügt die Richtcharakteristik schon über eine recht scharfe Bündelung nach vorne mit schmaler Hauptkeule, der beidseitig je 3 Nebenkeulen folgen. Besonders anschaulich lassen sich die so erhaltenen Richtwirkungen deuten, wenn man die Teilchenbewegungen im den Strahler umgebenden Medium berechnet und graphisch darstellt. Der Schalldruck lässt sich aus der nicht auf das Fernfeld beschränkten Gleichung (4.10) bestimmen, daraus erhält man die Schnellen −30 vx (x, z) = −20 −45° −10 0 −90° j ∂p 1 vz (x, z) = = ω%0 ∂z 2π Abb. 4.6. (b) Richtcharakteristik (links) und Teilchenauslenkungen (rechts) einer Lautsprecherzeile für l/λ0 = 2 0 dB −10 45° −20 ϑN −30 −40 −50 0° −40 −30 −20 −10 1 j ∂p =− ω%0 ∂x 2π und 90° −45° 0 −90° Abb. 4.6. (c) Richtcharakteristik (links) und Teilchenauslenkungen (rechts) einer Lautsprecherzeile für l/λ0 = 4 in Bild 4.5 ergibt. Nur an den Rändern ϑN ≈ 90◦ ist schon eine leichte Einschnürung von einigen wenigen dB zu erkennen. Für den Fall einer mittle” ren“ Frequenz l/λ0 = 2 (für l = 2 m wäre λ0 = 1 m und die Frequenz mit f = 340 Hz eigentlich eher noch niedrig) ist der Ausschnitt |l/λ| < 2 relevant; die Charakteristik hat nun schon eine recht deutliche Vorzugsrichtung nach vorne, gefolgt von je einer Nebenkeule, die um etwa 13,5 dB unter der Haupt- 63 Z∞ V (k) −∞ Z∞ k −jkr z jkx e e dk kr V (k) e−jkr z ejkx dk . (4.29) (4.30) −∞ Sie können in jedem gewünschten Aufpunkt (x, z) (mit numerischen Methoden) berechnet werden; die Auslenkungen ergeben sich aus ξ = v/jω. Zeichnet man die Teilchen in Form eines Punktrasters am Ort ihrer momentanen Lage auf, so erhält man eine Momentaufnahme des Schallfeldes. Diese quasi fotografische Methode bietet den Vorteil großer Anschaulichkeit in der Darstellung der wichtigsten physikalischen Phänomene. Sie lässt weiter Rückschlüsse auf die Schallentstehungs-Orte zu, eine Deutung, die mit keiner anderen Methode zu erreichen ist. In den Bildern 4.6 (a) bis (c) ist die Teilchenbewegung für die jeweiligen Parameter mit gezeigt. Man erkennt gut die kugelförmige Abstrahlung in alle Richtungen gleichmäßig bei der tiefsten Frequenz mit l/λ0 = 0,5. Bei der mittleren Frequenz mit l/λ0 =2 ist die Abstrahlung - ähnlich wie bei einem Dipol - schon mehr auf die Mitte begrenzt, bei der hohen Frequenz mit l/λ0 = 4 findet anscheinend die Abstrahlung einer räumlich begrenzten ebenen Welle statt. Eine genauere Betrachtung - die leichter bei zweidimensionalen Flächen durchgeführt werden kann (Abschnitt 4.6) - zeigt, dass das nicht der Fall ist: innerhalb des Schallstrahles ist das Schallfeld strukturiert, in z-Richtung also nicht etwa konstant. 4.4.2 Kurzwellige, endlich lange Strahler Die prinzipiellen Qualitäten des von einem monochromatischen Strahler hergestellten Luftschallfeldes sind schon genannt worden: • ist die Strahlerwellenlänge (hier: λB ) größer als die Luftschallwellenlänge λ0 , dann wird eine schräg laufende Welle unter dem Winkel ϑ mit sin ϑ = −λ0 /λB abgestrahlt, 64 • 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen für eine Strahlerwellenlänge λB , die kürzer als die Luftschallwellenlänge λ0 ist, existiert dagegen nur ein von der Strahlerfläche weg exponentiell abklingendes Nahfeld, das im zeitlichen Mittel keine Leistung transportiert. Bei kurzwelligen Strahlern mit endlicher Ausdehnung können dann noch (kleine) Rest-Schallfelder“ übrig bleiben, die auch noch in größeren Abstän” den von der strahlenden Fläche festgestellt werden können. Die Tatsache, dass sich für diese kurzwelligen Strahler endlicher Abmessung eine schwache RestAbstrahlung ergibt, lässt sich aus einem anschaulichen Prinzip begründen, das in Bild 4.7 skizziert ist. Im Sinne einer etwas einfacheren Vorstellung sind hier kurzwellige Strahlerschnellen in Form von stehenden Wellen abgebildet (stehende Wellen ergeben sich bekanntlich als Summe von zwei entgegengesetzt laufenden fortschreitenden Wellen; ebenso gut lässt sich eine fortschreitende Welle übrigens auch als Summe zweier stehender Wellen auffassen). Wenn die Abstände der gegenphasig schwingenden Bezirke klein sind verglichen mit der Luftschallwellenlänge (wenn also λ λ0 ), dann ergibt sich in den beiden gezeigten Fällen ein Muster aus Ersatzquellen mit schnell wechselndem Vorzeichen. Fast alle“ Schallquellen heben sich dabei gegeneinander ” in ihrer Wirkung auf: Je ein Paar mit entgegengesetztem Vorzeichen lässt sich näherungsweise wie an einem Platz“ auffassen, der von ihm insgesamt pro” duzierte Volumenfluss ist also gleich Null. Das vom Paar hervorgerufene Bewegungsfeld in der umgebenden Luft besteht in bloßen Masseverschiebungen. Die mit dem sich hebenden Strahlerbezirk ebenfalls angehobene Luftmasse wird seitlich zu dem sich senkenden Strahlerbezirk geschoben. Welche Rest-Schallabstrahlung“ bei solchen kurzwelligen Strahlern ent” steht, das hängt ganz offensichtlich vor allem davon ab, ob jede lokale Einzelquelle auch auf einen Nachbarn trifft, mit dem sie sich zu Null ergänzt. In der Strahlermitte ist das stets der Fall; an den Strahlerrändern dagegen können Einzelquellen ohne Partner“ übrigbleiben. Wie man in Bild 4.7 sieht, ” ist der Kurzschluss von Paaren bei Strahlerschwingungen mit Bäuchen an ” den Rändern“ vollständig, die Schallabstrahlung deshalb sehr, sehr gering. Im Fall mit Knoten an den Rändern“ dagegen bleiben außen liegende Strah” lerbezirke übrig, die wie Volumenquellen wirken. Verglichen mit langwelligen Strahlern (mit Beteiligung der ganzen Strahlerfläche am Abstrahlgeschehen) ist hier die Abstrahlung zwar immer noch gering, weil die meisten“ Strah” leranteile gar nicht zur Abstrahlung beitragen; verglichen mit dem Fall mit ” Bäuchen an den Rändern“ ist das Schallfeld jedoch weit größer, weil diesmal ein Nettovolumenfluss übrig bleibt. Das Schallfeld eines Biegewellenleiters, der einen Schwingungsknoten am oberen Ende und einen Schwingungsbauch am unteren Ende besitzt, ist in Bild 4.8 gezeigt. Die Teilchenauslenkungen sind mit den Mitteln der oben geschilderten Fourier-Akustik aus der Schnellevorgabe des Strahlers berechnet worden. Der obere Rand mit Schwingungsknoten ist gut als Schallquelle identifizierbar; vom Schwingungsbauch wird dagegen weit weniger abgestrahlt. 4.5 Dreidimensionale Behandlung 65 Strahler−Schnelle + + + + − − + + − − − − Ersatzquellen Strahler−Schnelle + + + − − + + − − − Ersatzquellen Abb. 4.7. Ersatzquellen für kurzwellige Strahler mit Schwingungsbauch oder Schwingungsknoten an den Rändern Abb. 4.8. Schallfeld eines kurzwelligen Strahlers mit Schwingungsknoten am oberen, Schwingungsbauch am unteren Ende. Der Schwingungsknoten am oberen Ende bildet eine Volumenquelle, um die herum sich eine Schallausbreitung mit kreisförmigen Wellenfronten ergibt. Der Bauch am unteren Ende strahlt fast nicht. 4.5 Dreidimensionale Behandlung Im dreidimensionalen Fall geht man in analoger Weise vor, wobei diesmal eine zweidimensionale Fourier-Transformation durchgeführt wird. Für das Folgende wird die Strahler-Ebene mit z = 0 bezeichnet. Diesmal muss bezüglich der beiden Koordinaten der Strahler-Ebene transformiert werden. Mit der Transformierten 66 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen Z∞ Z∞ V (k1 , k2 ) = 4.6 Spezielle (zweidimensionale) Strahler-Anordnungen v (x, y) e−jk1 x e−jk2 y dx dy −∞ −∞ %0 c 4π 2 p(x, y, z) = mit V (k1 , k2 ) −∞ −∞ v2 = k0 −jkr z jk1 x jk2 y e e e dk1 dk2 kr ( p + k02 − k12 − k22 p kr = −j k12 + k22 − k02 ; k12 + k22 ⩽ k02 ; k12 + k22 > k02 . (4.32) (4.33) Geht man wieder auf das Prinzip der Quellen-Superposition mit Hilfe des Faltungssatzes über, so gilt mit der Strahlerfläche S und 2 jω%0 p (x, y, z) = 2π Z Z S e−jk0 r v (xQ , yQ ) dxQ dyQ . r (4.34) jω%0 e−jk0 R p(R, ϑ, ϕ) = V (k1 = −k0 sin ϑ cos ϕ, k2 = −k0 sin ϑ sin ϕ) , 2π R (4.35) so dass die Wirkintensität durch %0 ck02 2 V (k1 = −k0 sin ϑ cos ϕ, k2 = −k0 sin ϑ sin ϕ) 8π 2 R2 (4.36) gegeben ist. Die Leistung IR (R, ϑ, ϕ) = Z2π Zπ/2 P = IR (R, ϑ, ϕ) R2 sin ϑ dϑ dϕ 0 beträgt also %0 ck02 P = 8π 2 Z2π Zπ/2 V (k1 = −k0 sin ϑ cos ϕ, k2 = −k0 sin ϑ sin ϕ) 0 0 Der Abstrahlgrad σ ist 1 S Z 2 |v(xQ , yQ )| dxQ dyQ . (4.38) (4.39) S An den Gl. (4.35) bis (4.37) lässt sich noch der praktisch oft wichtige Sonderfall tiefer Frequenzen betrachten. In einem Frequenzbereich, bei dem die Strahler-Abmessungen lx und ly klein sind, verglichen mit der Wellenlänge λ0 , kann man die Strahler-Transformierte V (k1 , k2 ) in erster Näherung für den hier nur interessierenden Bereich |k1 | < k0 und |k2 | < k0 durch den Netto-Volumenfluss Q des Strahlers abschätzen V (k1 , k2 ) ∼ = Z∞ Z∞ v(x, y) dx dy = Q . (4.40) Demnach geht (4.35) bei tiefen Frequenzen in die bekannte Beziehung Gleichung (4.34) ist unter dem Namen Rayleighsches Integral“ bekannt. Die ” hieraus abgeleitete Beziehung für den Schalldruck im Fernfeld lautet 0 (S = Strahlerfläche) , −∞ −∞ 2 r2 = (x − xQ ) + (y − yQ ) + z 2 für den Schalldruck P 2 2 %0 cS v mit der Schnelle findet man für den Schalldruck im Raum Z∞ Z∞ σ= 1 (4.31) 67 2 sin ϑ dϑ dϕ . (4.37) p∼ = jω%0 Q −jk0 R e 2πR (4.41) über, die abgestrahlte Leistung wird nach 4.37 zu P = %0 ck02 2 Q . 4π (4.42) Bei tiefen Frequenzen zählt also immer der Netto-Volumenfluss Q. Strahler mit Q = 0 haben deshalb tieffrequent immer eine sehr viel kleinere Leistungsabgabe als solche mit Q 6= 0. 4.6 Spezielle (zweidimensionale) Strahler-Anordnungen 4.6.1 Die kreisförmige Kolbenmembran Bei Fernfeldbetrachtungen ist in den vorigen Abschnitten stets großer Wert darauf gelegt worden, die Voraussetzungen dafür zu nennen. Eine gewiss recht interessante Frage besteht darin, welche Effekte wohl zu erwarten sind, wenn die Fernfeldbedingungen verletzt werden. Die folgenden Betrachtungen geben eine Antwort anhand eines Beispiels. Dazu wird der Schalldruck auf der MittelAchse vor einer kreisförmigen Kolbenmembran (Schnelle v0 = const. in r < b) aus dem Rayleigh-Integral (4.34) berechnet (siehe Bild 4.9). In Polarkoordinaten xQ = RQ cos(ϕQ ) yQ = RQ sin(ϕQ ) dxQ dyQ = dS = RQ dRQ dϕQ 68 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 4.6 Spezielle (zweidimensionale) Strahler-Anordnungen bzw. r RQ y ϕQ Daraus folgt de en ng n i hw ra sc mb as sme h i np re ko K (n + z0 /λ)2 = n2 + (z0 /λ)2 + 2nz0 /λ = (b/λ)2 + (z0 /λ)2 , oder Abb. 4.9. Lage der kreisförmigen Kolbenmembran im Koordinatensystem mit Bezeichnung der geometrischen Größen • ausgedrückt wird aus Gl. (4.34) Z2πZb 0 0 e−jkr RQ dRQ dϕQ , r • (4.43) q 2 + z 2 den Abstand zwischen Strahlerelement R worin r = RQ Q und dem Punkt auf der z-Achse bedeutet. Der Radius der Kolbenmembran wird mit b bezeichnet. Bei Drehung des Quellpunktes in Bild 4.9 um die z-Achse ändert sich der Quellpunkt-Aufpunkt-Abstand r nicht, der Integrand in Gl. (4.43) ist also von ϕQ unabhängig. Deshalb wird 2 +z 2 Zb −jk√RQ e q RQ dRQ . (4.44) p = jω%0 v0 2 + z2 R Q 0 Mit Hilfe der Substitution u= q 2 + z2 RQ RQ dRQ du = q 2 + z2 RQ RQ = 0 u = z p RQ = b u = b2 + z 2 lässt sich (4.44) leicht lösen: √ Z b2 +z 2 p = jω%0 v0 z (b/λ)2 − n2 . (4.46) 2n In (4.46) durchläuft n solange die Werte n = 1, 2, 3, . . . wie sich positive Werte z0 /λ ergeben. Zum Beispiel erhält man z0 /λ = x jω%0 v0 p= 2π √ 2 2 e−jku du = %0 c v0 e−jkz − e−jk b +z (4.45) Offensichtlich kann der Schalldruck auf der z-Achse Nullstellen besitzen. Die Lage der Nullstellen p(z0 ) = 0 ergibt sich aus p (b/λ)2 + (z0 /λ)2 − z0 /λ = n . 2b z √ 2 2 p = %0 c v0 e−j2πz/λ 1 − e−j2π( b +z −z)/λ . 69 für b/λ = 1 die einzige Nullstelle z0 /λ = 0 (n = 1) auf der Membran-Mitte selbst und für b/λ = 4 die Nullstellen z0 /λ = 7, 5 (n = 1); z0 /λ = 3 (n = 2); z0 /λ = 1, 1667 (n = 3) und wieder die Membran-Mitte z0 /λ = 0 (n = 4). Einige Bespiele für die axiale Pegelverteilung zeigen die Bilder 4.10, 4.11 und 4.12. Jeweils ergibt sich die am weitesten von der Quelle entfernte Nullstelle aus n = 1 zu etwa 1 (4.47) zmax /λ ≈ (b/λ)2 . 2 Im Bereich z < zmax liegen also axiale Druckknoten p = 0 vor, ihre Anzahl beträgt (etwa) b/λ. Nun widerspricht aber gerade eine Schallfeld-Struktur aus abwechselnden Druck-Knoten und Bäuchen in Abstandsrichtung (hier die z-Richtung) der Annahme des Fernfeldes: Wie Gl. (4.35) zeigt, ließe sich das Fernfeld als derjenige Bereich von Strahlerabständen auffassen, in dem als einzige R-Abhängigkeit die Amplitudenabnahme mit 1/R (und damit der Pegelabfall von 6 dB pro Entfernungs-Verdopplung) vorkommt. Nach der das Fernfeld beschreibenden Gleichung (4.35) ist eine Struktur aus Minima und Maxima entlang der Abstandsachse im Fernfeld nicht möglich. Demnach kann der Bereich z < zmax nicht zum Fernfeld gehören, nur für z zmax = oder für 1 b2 2λ b z (4.48) λ b können Fernfeldbedingungen“ vorliegen. (4.48) ist mit der früher abgeleiteten ” Gleichung (4.27) identisch. 4 Schallabstrahlung von ebenen Flächen 4.6 Spezielle (zweidimensionale) Strahler-Anordnungen 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 −15 −15 −20 −20 −25 −25 −30 −30 −35 −35 −40 0.25 71 p/ρcv0 [dB] 10 p/ρcv0 [dB] 70 0.5 1 2 4 8 16 32 64 −40 0.25 0.5 z/λ 1 2 4 8 16 32 64 z/λ Abb. 4.10. Ortsverlauf des Schalldruckpegels entlang der Mittelachse z vor der Membran für b/λ = 0, 5 10 Abb. 4.12. Ortsverlauf des Schalldruckpegels entlang der Mittelachse z vor der Membran für b/λ = 4 sind, bei anderen, größeren Abständen aber gar nicht auftauchen. Die gemessene Richtcharakteristik ist also untypisch für andere Abstände und damit ziemlich bedeutungslos. Nur im Fernfeld misst man Richtwirkungen, die sich mit wachsendem Abstand nicht mehr verändern, und gerade darin kann man auch den Zweck der Fernfeld-Definition sehen. Abschließend sei noch die zu (4.45) gehörende Fernfeldnäherung abgeleitet. Wenn man z b voraussetzt, dann ist p p 1 b2 1 b2 , z 2 + b2 = z 1 + (b/z)2 ≈ z 1 + =z+ 2 2z 2 z 5 0 −5 p/ρcv0 [dB] −10 −15 −20 −25 und also wird −30 n o b2 pfern ≈ %0 c v0 e−j2πz/λ 1 − e−jπ λz . −35 −40 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 64 z/λ Abb. 4.11. Ortsverlauf des Schalldruckpegels entlang der Mittelachse z vor der Membran für b/λ = 2 Aus den genannten Betrachtungen zeigen sich umgekehrt die zu erwartenden Effekte, wenn ein zu kleiner Messabstand z gewählt und (4.48) verletzt wird. Der gemessene Pegel-Umfangsverlauf kann Schalldruck-Minima aufweisen, die zwar für den speziellen Messabstand so auch tatsächlich vorhanden Wenn nach (4.48) b2 λz ist, dann findet man mit e−jx ≈ 1 − jx den Fernfelddruck pfern = jω%0 πb2 v0 −j2πz/λ j%0 c v0 b2 π −j2πz/λ e = e . λz 2πz (4.49) (4.49) ist mit dem Ergebnis von ( 4.35) für ϑ = 0 (das bezeichnet die z-Achse) identisch. 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten Für einige praktisch interessante Fragestellungen ist ihre Behandlung in Zylinderkoordinaten angemessen. Dies gilt zunächst natürlich, wenn Strahler oder Reflektor selbst Zylinder-Form (mit Kreisquerschnitt) besitzen, also z. B. bei der Behandlung der Schallabstrahlung von Zylinder-Oberflächen mit bekannter radialer Schnelle (etwa von Rohrleitungen) oder bei der Schallausbreitung in Rohren selbst. Aber auch die praktisch im Schallschutz außerordentlich wichtige Frage der Beugung an gestreckten oder stumpfen Hindernissen (damit sind Schallschutzwände oder Wälle, auch z. B. Hausdächer, gemeint) lassen sich mit Hilfe von Zylinderkoordinaten bewältigen. Im Folgenden werden alle soeben angeschnittenen Themen behandelt. Naturgemäß müssen dazu zunächst das Koordinatensystems und die zugehörige Wellengleichung nebst den prinzipiellen Lösungen vorgestellt werden. 5.1 Das Koordinatensystem des Kreiszylinders Das Koordinatensystem des Kreiszylinders besteht bekanntlich in der Beschreibung eines Aufpunktes (x, y, z) • • • durch seinen Abstand r von der z-Achse (Bild 5.1) durch seinen z-Abschnitt und durch den Winkel ϕ, den die Halbebene durch die z-Achse und den Aufpunkt (x, y, z) mit der x-Achse einschließt. Es ist also und x = r cos ϕ (5.1) y = r sin ϕ. (5.2) Umgekehrt ergibt sich der Abstand r zur z-Achse aus p r = x2 + y 2 , (5.3) 74 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.2 Wellengleichung in Zylinderkoordinaten 75 Als Ausgangspunkte dienen bei den folgenden Betrachtungen wieder die schon im Kartesischen benutzten Prinzipien zur Herleitung der Feldgleichungen, nämlich die Gesetze von Massen- und Impuls-Erhaltung. Abb. 5.1. Zylinderkoordinatensystem und für den Winkel ϕ gilt y . (5.4) x Flächen r = const. sind Kreis-Zylinder mit der z-Achse als gemeinsame Achse. tan ϕ = 5.2 Wellengleichung in Zylinderkoordinaten Die Schallfeld-Gleichungen in Zylinderkoordinaten lassen sich (mindestens) auf zwei Wegen herleiten: • • Erstens kann man die vorn in kartesischen Koordinaten abgeleiteten Beziehungen einfach mit Hilfe eines geeigneten mathematischen NachschlageWerkes in Zylinderkoordinaten quasi übersetzen“. Z. B. kann man sich ” (fast) alle Mühe durch Nachschlagen bei Moon, P.; Spencer, D.E.: Field Theory Handbook (Springer, Berlin 1971) sparen. Oder man kann die Feldgleichungen (wie schon einmal, siehe Kapitel 3) aus anschaulichen Betrachtungen der Kräfte und Verdichtungen an einem - diesmal natürlich zylindrischen - Volumenelement (Bild 5.2) vornehmen. Selbstverständlich müssen beide Wege zum selben Ziel führen. Für eine Vorlesung versteht es sich wohl fast von selbst, dass der weniger formalmathematische letztgenannte Weg gewählt wird. Um Zeit und Mühe zu sparen, unterbleibt hier auch der Vergleich zwischen den beiden genannten Methoden und ihren Resultaten; diese Mühe wird dem interessierten Leser überlassen. Abb. 5.2. Volumen-Element in Zylinderkoordinaten. Es wird durch Flächen r = const., ϕ = const. und z = const. begrenzt. 5.2.1 Massenerhaltungssatz Es ist [%G (t + ∆t) − %G (t)] r ∆ϕ ∆r ∆z = [ur (r) %G (r) r − ur (r + ∆r) %G (r + ∆r) (r + ∆r)] ∆ϕ ∆z ∆t + [uϕ (ϕ) %G (ϕ) − uϕ (ϕ + ∆ϕ) %G (ϕ + ∆ϕ)] ∆r ∆z ∆t + [uz (z) %G (z) − uz (z + ∆z) %G (z + ∆z)] r ∆ϕ ∆r ∆t . Bei der r-Komponente ur musste der Unterschied zwischen den Flächen r∆ϕ∆z und (r + ∆r)∆ϕ∆z berücksichtigt werden. Der Grenzübergang ∆t → 0, ∆r → 0, ∆ϕ → 0 und ∆z → 0 liefert 76 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.2 Wellengleichung in Zylinderkoordinaten ∂%G 1 ∂(%G rur ) 1 ∂(%G uϕ ) ∂(%G uz ) + + + = 0. ∂t r ∂r r ∂ϕ ∂z Für die ϕ-Komponente Mit %G = %0 + %, % = p/c2 , u = v und Vernachlässigung quadratisch kleiner Größen wird daraus 1 ∂(r vr ) 1 ∂ vϕ ∂ vz 1 ∂p + + + = 0. r ∂r r ∂ϕ ∂z %0 c2 ∂t (5.5) [%G (t + ∆t) uϕ (t + ∆t) − %G (t) uϕ (t)] r∆ϕ ∆r ∆z = [pG (ϕ) − pG (ϕ + ∆ϕ)]∆r ∆z ∆t bzw. ∂vϕ 1 1 ∂p + = 0. ∂t %0 r ∂ϕ 5.2.2 Impulserhaltungssatz Wie bei der Herleitung der Wellengleichung in kartesichen Koordinaten gezeigt, kann der Impulsanteil durch die zufließende Masse vernachlässigt werden. Weil es sich dabei um ein nichtlineares, quadratisch kleines Phänomen handelt, gilt das auch hier. Im Folgenden werden die Raumrichtungen einzeln betrachtet. [%G (t + ∆t) · uz (t + ∆t) − %G (t) · uz (t)]r∆ϕ ∆r ∆z = [pG (z) − pG (z + ∆z)]r∆ϕ ∆r ∆t ∂vz 1 ∂p + = 0. ∂t %0 ∂z (%G (t + ∆t) · ur (t + ∆t) − %G (t) ur (t)) r ∆ϕ ∆r ∆z = (pG (r) r − pG (r + ∆r) · (r + ∆r)) ∆ϕ ∆z ∆t + pG (r)∆r ∆ϕ ∆z∆t (5.6) . Der letzte Term berücksichtigt die Vorschubkraft, die aus der keilförmigen Gestalt des Volumenelements resultiert (Bild 5.3). Da die Seitenflächen bei z pG(r+ r) (r+ r) z (5.9) 5.2.3 Wellengleichung Die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten erhält man natürlich auch hier, indem die Betrachtungen von Massen- und Impuls-Erhaltung zusammenge” nommen“ werden, also aus Gleichungen (5.5) und (5.7), (5.8), (5.9). Gl. (5.5) nach t differenziert liefert 1 ∂vr ∂ 2 vr 1 ∂ 2 vϕ ∂ 2 vz 1 ∂2p + + + + = 0. r ∂t ∂r ∂t r ∂ϕ ∂t ∂z ∂t %0 c2 ∂t2 r (5.8) Für die z-Komponente bzw. Für die r-Komponente pG(r)r 77 (5.10) (5.7) nach r differenziert liefert 1 ∂2p ∂ 2 vr =− , ∂r ∂t %0 ∂r2 FKeil = z pG r (5.8) nach ϕ differenziert liefert Abb. 5.3. Radiale Kräfte am Volumen-Element ϕ und ϕ + ∆ϕ nicht parallel sind, erfährt das Volumenelement eine Kraft FKeil = pG · S · ∆ϕ in r-Richtung. Darin ist S die Seitenfläche mit S = ∆r · ∆z. Geht man wieder zu infinitesimal kleinen Änderungen über, so erhält man ∂%G ur ∂pG + =0 ∂t ∂r oder für die Schallfeldgrößen ∂ 2 vϕ 1 1 ∂2p =− , ∂ϕ ∂t %0 r ∂ϕ2 (5.9) nach z differenziert liefert ∂ 2 vz 1 ∂2p =− . ∂z ∂t %0 ∂z 2 Setzt man die letzten drei Gleichungen und (5.7) in (5.10) ein, so folgt ∂vr 1 ∂p + = 0. ∂t %0 ∂r (5.7) ∂ 2 p 1 ∂p 1 ∂2p ∂2p 1 ∂2p + + + − =0 ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z 2 c2 ∂t2 (5.11) 78 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten. Wenn entweder nur reine Töne zugelassen sind oder eine zeitliche Fourier-Transformation durchgeführt wird, so geht die Wellengleichung (5.11) über in die sogenannte Helmholtz-Glei” chung“ 2 2 2 ∂ p 1 ∂ p ∂ p 1 ∂p + + 2 + k02 p = 0 , (5.12) + 2 ∂r2 r ∂r r ∂ϕ2 ∂z wobei unter p dann die komplexe Amplitude bzw. die (zeitliche) FourierTransformierte des Schalldrucks zu verstehen ist. Oft wird hier in diesem Skript die Helmholtz-Gleichung kurz auch als Wellengleichung bezeichnet (obwohl erstere eigentlich ein Spezialfall ist); es wird also nicht extra unterschieden. 5.3 Ebene Probleme Im Folgenden werden zunächst Schallfelder betrachtet, die sich entlang der z-Achse nicht ändern, also ebene Probleme, für die ∂/∂z = 0 gilt. Die Gründe dafür liegen nicht nur darin, dass damit natürlich eine Vereinfachung einhergeht, die schon aus didaktischen Überlegungen als Anfangspunkt sinnvoll erscheint. In vielen Fällen genügt es durchaus, wenigstens doch abschnittsweise entlang der z-Achse konstante Felder zu betrachten. Das ist zum Beispiel bei der Reflexion an Zylinder-Flächen der Fall, wenn die (eigentlich punktförmige) Quelle sich im größeren Abstand vom Reflektor befindet: dann trifft innerhalb eines vernünftig gewählten Abschnitts der z-Achse eine ebene Welle auf. 5.3.1 Lösungen der Wellengleichung Im ebenen Fall ∂/∂z = 0 vereinfacht sich die Wellengleichung (5.12) zu 1 ∂2p ∂ 2 p 1 ∂p + + + k02 p = 0 ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 (5.13) Die beiden nächsten Abschnitte 5.3.2 und 5.3.3 dienen der Behandlung • • der Schallabstrahlung von Zylinder-Flächen und der Reflexion an Zylindern. Bei beiden Aufgaben liegen die zylindrischen Körper-Strahler oder Reflektoren im freien Medium (aus Luft oder Gas oder Fluid), über dem Umfangswinkel ϕ muss das Schallfeld hier also immer an sich selbst anschließen“, wenn man ” den Aufpunkt um 2π in Umfangsrichtung wandern lässt: p(r, ϕ) = p(r, ϕ + 2π) . (5.14) 79 Gl. (5.14) besagt einfach, dass das Schallfeld über ϕ mit 2π periodisch sein muss. Aus diesem Grunde muss eine Reihendarstellung des Schallfeldes in der Form ∞ ∞ X X p(r, ϕ) = an fn (r) cos(nϕ) + bn fn (r) sin(nϕ) (5.15) n=0 n=1 möglich sein. Natürlich hängt das Schallfeld noch von r ab, das ist in (5.15) auch berücksichtigt. Weil das Einsetzen von cos(nϕ)- und sin(nϕ)- Anteilen in die Wellengleichung zur selben gewöhnlichen Differential-Gleichung führt, sind die r-Abhängigkeiten für beide Bestandteile die gleichen (siehe unten). In (5.15) sind gerade Feld-Bestandteile p(ϕ) = p(−ϕ) und ungerade Anteile p(ϕ) = −p(−ϕ) einfach getrennt aufgeführt worden. Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man auf negative n verzichten kann. Hätte man p(r, ϕ) = ∞ X an fn (r) ejnϕ n=−∞ angesetzt, wäre das nicht der Fall. Für symmetrische p(ϕ) = p(−ϕ) – die ja natürlich vorkommen können – muss man hier zwingend negative Ordnungen n zulassen. Man kann hieran sehen, dass Ansätze immer eine gewisse Willkür enthalten. Sie möglichst einfach“ zu machen, erfordert auch eine gewisse Erfahrung, ” von der hier ja gerade berichtet wird. Wenn man nur den oberen oder den unteren Anteil von (5.15) in die Wellengleichung (5.13) einsetzt, dann gelangt man direkt zur Differentialgleichung 1 dfn n2 d2 fn 2 + + k − fn = 0 (5.16) 0 dr2 r dr r2 für die bisher noch unbekannten r-abhängigen Funktionen fn (r).Wenn man noch durch die quadrierte Wellenzahl teilt: d2 fn n2 1 dfn + 1 − 2 2 fn = 0 , + k02 dr2 k0 r k0 dr k0 r so erkennt man, dass fn nur vom Produkt k0 r abhängt. Deshalb wird die dimensionslose Variable x = k0 r eingeführt (das ist also nicht etwa die x-Koordinate x). Mit ihr wird aus (5.16) n2 d2 fn 1 dfn + + 1 − fn = 0 . (5.17) dx2 x dx x2 80 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme Gl. (5.17) heißt Besselsche Differentialgleichung“, ihre Lösungen bestehen ” aus den Besselfunktionen Jn (x) und den Neumannfunktionen Nn (x) (letztere werden auch Besselfunktionen zweiter Art genannt): 0.6 Rn = An Jn (x) + Bn Nn (x) . (5.18) 0.2 Die Funktionen Jn (x) und Nn (x) sind in den Bildern 5.4 und 5.5 dargestellt. 0 n=0 1 2 Nn(x) 0.4 3 4 5 81 6 −0.2 −0.4 1 −0.6 n=0 −0.8 1 −1 2 3 4 5 −1.2 0 6 Jn(x) 0.5 2 4 6 8 10 x Abb. 5.5. Neumannfunktionen der Ordnungen 0 bis 6. 0 H(1) n (x) = Jn (x) + j Nn (x) H(2) n (x) = Jn (x) − j Nn (x) . −0.5 0 2 4 6 8 Wie man aus (5.19) sieht, gelten für die Hankelfunktionen die Näherungen für xn r 2 j (x−n π2 − π4 ) e H(1) (x) ≈ n πx (5.21) r 2 −j (x−n π2 − π4 ) (2) Hn (x) ≈ e πx 10 x Abb. 5.4. Besselfunktionen der Ordnungen 0 bis 6. Wie man auch aus den für große x (x n) gültigen Näherungen q 2 π Jn (x) ≈ πx cos x − nπ 2 − 4 q 2 π sin x − nπ Nn (x) ≈ πx 2 − 4 x1 und xn (2) (5.19) sehen kann, handelt √ es sich im Prinzip um Sinus- und Kosinus-Funktionen mit der Einhüllenden 1/ x. Für Probleme mit radialer Wellenausbreitung (x ∼ r) ist es deshalb übersichtlicher, die Lösung (5.18) durch eine Linearkombination Rn = Cn [Jn (x) + j Nn (x)] + Dn [Jn (x) − j Nn (x)] (2) = Cn H(1) n (x) + Dn Hn (x) (5.20) der Besselfunktion zu ersetzen, den sogenannten Hankelfunktionen erster und zweiter Art (1) Hn beschreibt also eine Wellenausbreitung in radiale Richtung, Hn stellt (2) eine Welle entgegen der r-Richtung dar. Physikalisch kann man daher Hn als (1) von einem Zylindermantel abgestrahlte Welle deuten, Hn beschriebe einen auf den Zylinder zulaufenden (fremden) Schall. Für die Diskussion der Konvergenzeigenschaften von Summen, deren Summanden Besselfunktionen enthalten, muss man klären, wie sich die Besselfunktionen bei festem Argument mit veränderlicher Ordnung verhalten. Wie man auch an Bild 5.4 sehen kann, nehmen die Jn (x) sehr rasch ab, wenn die Ordnung n größer als das Argument wird. Auch die Zahlenangaben einer Tabelle belegen diese Tatsache: 82 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme Näherungen für kleine Argumente x 1: Tabelle 5.1. Jn (x) für x = const. (Beispiele) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Jn (1) 0,765 0,440 0,115 0,020 0,248 · 10−2 0,250 · 10−3 0,210 · 10−4 0,150 · 10−5 0,940 · 10−7 Jn (2) 0,224 0,577 0,353 0,129 0,034 0,704 · 10−2 0,120 · 10−2 0,175 · 10−3 0,222 · 10−4 83 Jn (4) - 0,397 - 0,066 0,364 0,430 0,281 0,132 0,049 0,016 0,403 · 10−2 Jn (x) ≈ x n 1 2 n! x −n (n − 1)! Nn (x) ≈ − 2 π 2 N0 (x) ≈ ln x π (5.25) für n 6= 0 (5.26) (5.27) Orthogonalitäts-Relationen Der Literatur (siehe Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions, Cover Books, S. 365 Nr. 9.3.1) kann man auch die folgende, für x n geltende Näherung entnehmen (e=Basis der ExponentialFunktion = 2,7183): 1 e · x n . (5.22) für x n : Jn (x) ∼ =√ 2πn 2n Auch sie besagt, dass Jn (x) mit wachsendem n ab einer kritischen Grenze n = N außerordentlich rasch gegen Null konvergiert: ist 2n in Gleichung (5.22) erst einmal größer als ex , dann ist das Argument in der Klammer, ex /2n, kleiner als 1, und deshalb ist Jn (x) eine sehr, sehr kleine Zahl. Man kann also stets die Besselfunktionen Jn mit n x gegenüber denen mit n ≤ x vernachlässigen. Gerade umgekehrt verhalten sich die Neumannfunktionen. Wie man auch an Bild 5.5 sehen kann, wachsen die Nn (x) dramatisch bei festem x und zunehmendem n an, wenn n größer als x wird. Deshalb ist auch (siehe wieder das Werk von Abramowitz und Stegun) r 2 e · x −n ∼ Nn (x) = − . (5.23) πn 2n Seien mit αv die Nullstellen der Ableitung J0n (x) von Jn (x) bezeichnet, also J0n (αv ) = 0, dann gilt: Z1 Jn (αµ x) · Jn (αv x) x dx = 0 ( 0 1 2 2 1 − αn2 v µ 6= v J2n (αv ) µ=v (5.28) Seien mit βv die Nullstellen von Jn (x) bezeichnet, also Jn (βv ) = 0, dann gilt: ( Z1 Jn (βv x) · Jn (βµ x) x dx = 0 0 µ 6= v µ=v 1 2 2 (Jn (βv )) (5.29) Wronski-Determinante: Jn+1 (x) · Nn (x) − Jn (x) · Nn+1 (x) = 2 πx (5.30a) wegen (5.24a) und (5.24b) gilt dann auch Jn (x) · N0n (x) − J0n (x) · Nn (x) = 2 πx (5.30b) (0 = Ableitung nach x, Beweis durch Einsetzen von (5.22)) Theoreme für die Besselfunktionen 5.3.2 Abstrahlung von Zylinder-Oberflächen Im Folgenden werden noch einige für den praktischen Gebrauch nützliche For(2) (1) meln angegeben. Dabei kann für zn (x) sowohl Jn (x), Nn (x), Hn (x), Hn (x) als auch jede beliebige Linearkombination dieser Funktionen eingesetzt werden. In diesem Abschnitt wird angenommen, dass die radial nach außen weisende Schallschnelle V (ϕ) auf der Zylinderoberfläche r = b (hier also eigentlich wegen ∂/∂z = 0 auf dem Kreis r = b) bekannt sei. Weil im unendlichen Raum außerhalb des Zylinders r > b keine Reflektoren oder sonstwie geartete Quellen vorkommen sollen, setzt man für die fn (r) in Gleichung (5.15) nur die radial nach außen laufenden Hankelfunktionen zweiter Art an: dzn n = zn−1 − zn dx x 2n Rekursion: zn+1 = zn − zn−1 x n negative Ordnung: z−n = (−1) zn Ableitung: (5.24a) (5.24b) (5.24c) p(r, ϕ) = ∞ X n=0 an H(2) n (k0 r) cos(nϕ) . (5.31) 84 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme Dabei sind geradsymmetrische Schnelle-Vorgaben V (ϕ) = V (−ϕ) vorausgesetzt worden. Für ungerad-symmetrische Schnelle-Vorgaben V (−ϕ) = V (ϕ) verfährt man ganz genauso wie hier geschildert, nur das cos(nϕ) überall durch sin(nϕ) ersetzt wird. Allgemeine Schnelle-Vorgaben ohne Symmetrien zerlegt man in 1 1 V (ϕ) = [V (ϕ) + V (−ϕ)] + [V (ϕ) − V (−ϕ)] 2 | {z } |2 {z } Vg (ϕ) Vu (ϕ) mit dem geraden Anteil vg und dem ungeraden Anteil vu und löst die beiden damit bezeichneten Probleme getrennt. Wegen der Linearität ist p = pg + pu . Die Unbekannten an werden aus der Schnellevorgabe V (ϕ) in r = b bestimmt. Dazu wird einfach die aus dem Ansatz (5.31) folgende Schnelle ∞ 0 j ∂p j X j ∂p = = an H(2) Vr (r, ϕ) = n (k0 r) cos(nϕ) ω%0 ∂r %0 ck0 ∂r %0 c n=0 −π 2 Zπ cos((n−m)ϕ)+cos((n−m)ϕ) dϕ = 0 . (5.34) −π cos (mϕ) dϕ = −π π 2π für für m 6= 0 m = 0. (2)0 V (ϕ) dϕ . (5.36b) −π Wenn man vom in (5.36b) genannten Fall m = 0 absieht, ist es natürlich völlig unerheblich, welches m in Gl. (5.36a) gewählt worden ist: (5.36a) gilt demnach für alle m > 0. Damit sind alle Koeffizienten am bekannt, das Problem ist gelöst. Es bleibt nur noch, das Resultat zu notieren. Wenn noch die Abkürzungen Zπ 1 V (ϕ) cos(nϕ) dϕ εn π −π ( 1 n 6= 0 εn = 2 n=0 (5.37a) Vn = mit p(r, ϕ) = −j%0 c Nur für n = m bleibt Zπ V (ϕ) cos(mϕ) dϕ (5.36a) −π Zπ a0 2π H0 (k0 b) = −j%0 c (5.33) Gl. (5.33) kann nun wie folgt nach einer beliebig gewählten Unbekannten am (irgendein fest gewähltes m) aufgelöst werden: Zunächst multipliziert man (5.33) mit cos(mϕ) und integriert danach über ϕ im Intervall −π bis π. Der Grund für diese Operationskette ist rasch erklärt: durch sie werden alle in (5.33) links stehenden Summanden gleich Null, mit Ausnahme des Summanden mit n = m. In der Tat, die Operationskette führt für m 6= n auf die Integrale 1 cos(nϕ) cos(mϕ) dϕ = 2 m=0: Zπ 0 am π H(2) m (k0 b) = −j%0 c (5.37b) benutzt werden, so ist das Resultat n=0 Zπ für m 6= 0 : (5.32) (das Hochkomma bezeichnet die Ableitung der Hankelfunktion nach dem Argument k0 r) für r = b mit der Vorgabe V (ϕ) in Übereinstimmung gebracht: Vr (b, ϕ) = V (ϕ), also ∞ X 0 an H(2) n (k0 b) cos(nϕ) = −j%0 cV (ϕ) . für 85 (5.35) Die Wirkung der genannten Operationskette besteht, wie gesagt, darin, (5.33) nach der Unbekannten am aufzulösen: ∞ X (2) Vn n=0 Hn (k0 r) (2)0 Hn (k0 b) cos(nϕ) . (5.38) Wenn (5.38) (oder eine ähnliche Gleichung) nummerisch ausgewertet werden soll, dann ist eine Konvergenz-Betrachtung erforderlich: wie viele SummandenN müssen denn mitgenommen“ werden, damit der Schalldruck ” hinreichend genau bekannt ist? Natürlich muss die für numerische Auswertungen erforderliche Summation bei einem gewissen N abgebrochen werden, es kann stets und immer nur pnum (r, ϕ) = −j%0 c N X n=0 (2) Vn Hn (k0 r) (2)0 Hn (k0 b) cos(nϕ) (5.39) wirklich auch berechnet werden. Wie also muss N gewählt werden, damit pnum ein guter“ Schätzwert für das wahre p ist? Die Antwort darauf hängt ” insbesondere vom Verhältnis aus Aufpunkt Abstand r und Zylinderradius b ab. Punkte in der Nähe der Zylinder-Oberfläche r ≈ b (2) (20 ) Für Abstände r ≈ b sind die Besselfunktionen Hn (k0 r) und Hn (k0 b) etwa von gleicher Größenordnung. Deshalb bestimmt hier das Verhalten von Vn die Konvergenz. Fallen die Vn rasch über n, dann genügen wenige Summanden 86 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme und die Summe kann früh abgebrochen werden. Wie auch im Abschnitt 1.4.1 erklärt, ist das der Fall für stetige Funktionen V (ϕ). Für unstetige Funktionen V (ϕ) dagegen nimmt die Folge Vn nur allmählich mit n ab. Allgemein kann man also für r ≈ b feststellen, dass das Verhalten von Vn die Konvergenz bestimmt und damit also der Funktionsverlauf der Quelle V (ϕ). Punkte weit entfernt von der Zylinder-Oberfläche r b (2) Für r b bleiben die Zähler-Funktionen Hn (k0 r) in (5.38) mit von n = 0 weg wachsender Ordnung n zunächst dem Betrage nach in der Größenordnung von 1, solange dabei noch n < k0 r erfüllt bleibt; erst wenn die Ordnung n über das Argument k0 r hinaus wachsen würde, werden diese Hankelfunktionen (2)0 dem Betrage nach groß. Die Nenner-Funktionen Hn (k0 b) dagegen wachsen bei den viel kleineren Ordnungen n > k0 b bereits an. Daraus folgt, dass die Summanden von Gl. (5.38) rasch klein werden, wenn die Ordnungszahl n über k0 b hinaus anwächst. Die Summanden bleiben auch bei den noch höheren Ordnungen n > k0 r klein, obwohl die Zähle-Funktionen nun auch angewachsen sind: Wegen n (2) b Hn (k0 r) ∼ (2)0 r Hn (k0 b) für n > k0 r bleiben die Summanden im hier diskutierten Fall r b weiterhin sehr klein und umso kleiner, je größer r/b ist. Insgesamt kann man also die Summation bei einer Ordnung N abbrechen, die etwas“ über k0 b liegt. Ein Vorschlag könnte z. B. ” N = 2k0 b (aufgerundet) (5.40) sein. Wie eine genauere Betrachtung anhand der numerisch berechneten Summanden zeigt, ist damit schon ein sehr, sehr kleiner Fehler im berechneten Druck hergestellt. Natürlich ist das nur ein Anhaltswert. Jeder, der solche Auswertungen vornimmt, ist gut beraten, selbst Erfahrungen zu sammeln. Fest steht jedenfalls, dass die Konvergenz-Eigenschaften für r b durch die Größe der Quelle in Wellenlängen, also durch b/λ0 bestimmt werden. Die genannte Tatsache, dass hohe Ordnungen n k0 b (im Fall r b) keinen Beitrag liefern, lässt sich auch anschaulich begründen. Die LösungsBestandteile cos(nϕ) (und sin(nϕ)) lassen sich deuten als auf der Zylinderoberfläche vorhandene stehende Wellen entlang der Umfangsrichtung ϕ. Ihre Ordnungszahl n beschreibt dabei einfach, wie viele Umfangswellenlängen λu auf dem Zylinderumfang 2πb vorkommen n= oder Nun müssen hier natürlich physikalisch sehr ähnliche Erscheinungen auftreten wie bei der Abstrahlung von Ebenen: kurze Strahlerwellenlänge λu λ0 (hohe Ordnungszahlen n) führen vor allem zu Nahfeldern, die in großen Entfernungen r kaum noch merklich sind; langwellige λu > λ0 hingegen besitzen eine echte“, weitreichende Abstrahlung. Diese Aussage ist völlig identisch mit ” dem Ergebnis der oben geschilderten Konvergenz-Betrachtung: Summanden mit - im Vergleich zur Luftschall-Wellenlänge - kurzer Strahler-Wellenlänge, also solche mit 2πb k0 b λu = = 1 λ0 nλ0 n bzw. mit n k0 b brauchen nicht berücksichtigt zu werden. Im Unterschied zu den ebenen Strahlern gibt es bei den gekrümmten, zylindrischen Strahler-Flächen jedoch keine scharfe Grenze hinsichtlich der strahlenden und der nicht-strahlenden Wellenlängen λu : auch kurzwellige Strahler mit hoher Ordnungszahl tragen diesmal ein wenig“ zur Gesamt-Abstrahlung ” bei, und zwar um so weniger, je höher die Ordnung n ist. Es ist üblich (und sinnvoll), diese Tatsache noch einmal an Hand der abgestrahlten Leistung auch quantitativ zu beleuchten. Dazu wird zunächst die Radialkomponente der Schallschnelle aus (5.38) zu 0 vr = ∞ (2) j ∂p X Hn (k0 r) Vn (2)0 = cos(nϕ) ω%0 ∂r n=0 Hn (k0 b) Ir = 1 Re {p · Vr ∗ } 2 (5.43) und der Schallleistung (pro Längeneinheit der z-Richtung) Z2π P = Ir r dϕ (5.44) 0 erhält man   Zπ ∞ X ∞ (2)0 ∗ (2)  X (k r) (k r)H 1  H m n 0 0 cos(nϕ) cos(mϕ)dϕ . rVn Vm∗ (2)0 P = Re −j%0 c 0 (2) ∗  2  Hn (k0 b)Hm (k0 b) n=0 m=0 −π (5.45) Das Integral über ϕ ist schon wohlbekannt: es ist nach Gl. 5.34 immer gleich Null, außer für n = m. Für n = m ist noch Zπ −π (5.41) (5.42) bestimmt. Mit der Intensität 2πb , λu 2πb λu = . n 87 es bleibt also cos2 (nϕ) dϕ = εn π , 88 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten     ∞ (2) (2)0 ∗  X %0 cπ (k0 r) · r  2 Hn (k0 r) · Hn Re −j . P = εn |Vn | 2   2 (2)0   n=0 Hn (k0 b) 5.3 Ebene Probleme (5.46) Der Realteil lässt sich noch leicht ausrechnen, weil alle Ausdrücke reell sind, mit Ausnahme des Produktes der Hankelfunktionen im Zähler: n o (2)0 ? Re −jH(2) (k0 r) = Re −j [Jn − jNn ] Jn 0 + jNn 0 n (k0 r) Hn =Re −j Jn Jn 0 + Nn Nn 0 + j [Jn N0n − J0n Nn ] (5.47) 2 =Jn N0n − J0n Nn = π k0 r und zum Vergleich der Moden-Abstrahlung benutzt. Darin ist Vn2 noch das mittlere Schnelle-Quadrat der Mode Vn cos(nϕ), also Vn2 = ∞ %0 c X k0 n=0 2 εn |Vn | (2)0 Hn (k0 b) 2 . (5.48) ∞ X (5.51) 2 2 εn |Vn | 2 (2)0 Hn (k0 b) (5.52) 2 (2)0 2 %0 c · πbεn |Vn | Hn (k0 b) k0 bπ . Die modalen Leistungen (5.49b) werden damit zu 1 2 %0 cπ bεn |Vn | · σn . 2 (5.53) Die modalen Abstrahlmaße αn nach (5.45) sind in Bild 5.6 wiedergegeben. Für hohe Frequenzen k0 b n streben alle Abstrahlgrade gegen den Wert 1, Pn mit (5.49a) 2 εn |Vn | (2)0 Hn (k0 b) 2 . (5.49b) Pn 2π bVn2 12 %0 c (5.50) Abstrahlmaß 10 lg(σn) 5 Das Ziel der folgenden Betrachtungen besteht darin, die unterschiedliche Abstrahlung der Moden zu quantifizieren. Nun sind ja die Vn eine Beschreibung der Anregung und nicht der Abstrahlung. Deshalb wird ein Amplitu” denbereinigter“ Abstrahlgrad definiert σn = εn 2 |Vn | . 2 10 n=0 %0 c Pn = k0 0 2 = Vn cos(nϕ) auch Moden nennt (damit ist der einzelne Summand gemeint). Die Summe der von den Moden einzeln hervorgebrachten Leistung ist gleich der Leistung, die von der Moden-Summe erzeugt wird (das ist ja keineswegs selbstverständlich, schließlich ist die Leistung eine quadratische Größe!): P = 2 |Vn cos(nϕ)| dϕ = %0 c k0 σn = n=0 ∞ X Z2π Pn = Diese Gleichung zeigt, dass die Gesamtleistung gleich der Summe der modalen Leistungen ist. Zur Erläuterung dieser Bezeichnung sei festgestellt, dass man die Bestandteile der Zylinder-Schnelle (siehe (5.42) mit r = b) Vr = V (ϕ) = 1 2π Demnach gilt nach Anwendung von (5.30b) im letzten Schritt. Demnach vereinfacht sich die abgestrahlte Leistung zu P = 89 0 n=0 −5 1 2 3 −10 4 5 6 7 −15 8 9 −20 10 11 −25 12 13 14 −30 −35 −40 0 2 4 6 k b 0 Abb. 5.6. modale Abstrahlmaße 8 10 90 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme da nach (5.21) ja auch r 0 H(2) n (k0 b) ≈ −j 91 schallharten und an schallweichen Körpern herausgestellt werden sollen, wird allgemein angenommen, dass auf der Zylinderoberfläche die beliebige Impedanz z vorliege. Sie ist bekanntlich gleich dem Verhältnis aus Schalldruck p(b) und der in den Zylinder hinein gerichteten Schnelle. Wenn Vr mit 2 −j(k0 b− nπ − π ) 2 4 e πk0 b ist, woraus direkt σn ≈ 1 für k0 b n folgt. Für tiefe Frequenzen ist (siehe (5.25) für n > 0) 0 0 H(2) n (k0 b) ≈ −j Nn (k0 b) ≈ − j 2 k0 b 2 −n−1 n! π oder (n > 0) 2 (k0 b)2n+2 k0 b π 1 n! 2 4 π 2n+1 k0 b 4π = (n!)2 2 σn ≈ (5.54) für kleine k0 b. Zu tiefen Frequenzen hin fallen die modalen Abstrahlgrade also exponentiell mit (etwa) der doppelten Ordnung. Die großen Unterschiede zwischen den modalen Abstrahlgraden können bei der Berechnung von abgestrahlten Leistungen aus Messdaten auf der Zylinderoberfläche zu Problemen führen, wenn die Schnelle auf der Zylinderoberfläche kurzwellig ist. Sie wird dann fast nicht abgestrahlt. Andererseits sind Messungen immer etwas fehlerbehaftet. Das kann dazu führen, dass eine eigentlich gar nicht vorhandene langwellige Mode nur auf Grund von kleinen Fehlern berechnet wird. Weil aber nur diese Mode in großen Entfernungen im Schallfeld überhaupt merklich ist, ist dann der Schalldruck fast nur durch kleine Fehler hergestellt und daher ziemlich falsch. 5.3.3 Beugung an Zylindern Dieser Abschnitt ist der Betrachtung von Schallfeldern hinter endlich großen Reflektoren - hier gestreckte zylindrische Körper - gewidmet. Weil es bekanntlich im Schatten“ solcher Reflektoren nicht völlig ruhig ist, muss sich das ” Schallfeld quasi um diese herumbeugen. Weil auch das zurückgeworfene Schallfeld gerade bei gekrümmten Oberflächen nicht geometrisch“ wie ein Strahl re” flektiert, sondern auf mehrere Richtungen verteilt wird, spricht man von Streuung an Stelle von Reflexion. Das hier behandelte Streu- und Beugungsproblem ist in Bild 5.7 wiedergegeben. Es besteht in einer Linien-Monopolquelle, die ohne Reflektor im freien Feld ein ungerichtetes Schallfeld erzeugen würde, das im Mittelpunktabstand a vor einem reflektierenden Zylinder (Radius b) angeordnet ist. Weil hier vor allem auch die Unterschiede der Reflexion an Abb. 5.7. Modellanordnung zur Behandlung der Beugung am Zylinder Vr = j ∂p ω%0 ∂r die radial nach außen weisende Schnelle bezeichnet, dann ist also p(b) = −ZVr (b) = − jZ 1 ∂p jZ ∂p =− ω%0 ∂r r=b %0 c k0 ∂r r=b (5.55) die Randbedingung auf der Zylinderoberfläche. Wie so oft gibt es (wie bei den sprichwörtlichen Wegen nach Rom) nicht nur einen, sondern mehrere denkbare Lösungswege zur Behandlung des gestellten Problems. Es soll hier ein in der elektrischen Feldtheorie üblicher Weg vorgeschlagen werden, der auch in der Akustik sehr erfolgversprechend (weil leicht auf andere Problemstellungen übertragbar) ist. Dabei wird die Schallquelle einfach als inhomogene Randbedingung aufgefasst. Die Prozedur ist wie folgt: Zunächst seien einmal die Feldgrößen p und Vr betrachtet, wenn man einmal auf einem Kreis r = a + (mit sehr klein) herumläuft, wobei die Quelle 92 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme innerhalb der Kreisfläche liegt, und wenn man ein anderes Mal auf einem Kreis r = a − den Zylinder umfährt, wobei diesmal die Quelle außerhalb der Kreisfläche liegt. Zunächst sei der Druck betrachtet. Natürlich ist für Winkel ϕ, die mit ϕ 6= 180 ◦ den Quell-Winkel ϕ0 = 180 ◦ gerade nicht betreffen, p(a + ) = p(a − ) wenn gegen Null geht. Weil die Quelle selbst aber ungerichtet ist, baut sie links und rechts von sich den gleichen Druck auf. p(a + ) = p(a − ) gibt also auch für ϕ = 180 ◦ , d. h. p(a + ) = p(a − ) (5.56) gilt auf dem ganzen Kreis r = a. Für die Schnelle Vr stimmt zwar auch Vr (a + ) = Vr (a − ); Vr (a + ) − Vr (a − ) = Qδ(ϕ − π) r<a 2: r>a ∞ X und An H(2) n (k0 r) cos(nϕ) . Wegen der Symmetrie p(ϕ) = p(−ϕ) sind wieder Sinus-Funktionen sin(nϕ) weggelassen worden. Im Teilraum 1 dagegen können sowohl auf den Zylinder zulaufende wie die an ihm reflektierten Wellen auftreten: ∞ X n=0 n o (2) cos(nϕ) Bn H(1) n (k0 r) + Cn Hn (k0 r) . p1 = ∞ X (5.59) (1)0 (2) (2)0 Hn (k0 b) + j %Z0 c Hn (k0 b) n o (2) Bn cos(nϕ) H(1) n (k0 r) − Rn Hn (k0 r) . (5.61) (5.62) n=0 Es bleibt nur noch übrig, die Koeffizienten An und Bn aus den verbleibenden Randbedingungen (5.56) und (5.57) auszurechnen. Die Gleichheit der Drücke in (5.56) verlangt n o (2) (2) Bn H(1) (5.63) n (k0 a) − Rn Hn (k0 a) = An Hn (k0 a) . Gl. (5.63) kann man dazu nutzen, An oder Bn zu eliminieren. Entscheidet man sich für letzteres, so ist ∞ X An cos(nϕ) n=0 (5.58) (1) Hn (k0 b) + j %Z0 c Hn (k0 b) die hier nur zur Ersparnis von (viel) Schreibarbeit eingeführt worden sind. Gl. (5.60) zurück in Gl. (5.59) eingesetzt, liefert p1 = n=0 p1 = mit den bekannten Größen (5.57) unterschieden. Der Ansatz für den Teilraum 2 ist bald gemacht. Hier kommen natürlich nur nach außen laufende, aber nicht nach innen laufende Wellen in Betracht: p2 = (Hochkomma beschreibt Ableitung nach dem Argument) bzw. nach Cn aufgelöst: Cn = −Rn Bn (5.60) Rn = beschreiben. Gl. (5.57) besagt einfach, dass Vr beim Durchgang des Aufpunktes durch r = a überall stetig ist, mit Ausnahme des Quellpunktes. Durchquert der Aufpunkt den Quellpunkt, dann ist Vr unstetig. Q in Gl. (5.57) ist eine quellbeschreibende“ Größe, deren physikalische Bedeutung erst später näher ” erläutert werden soll. Randbedingungen wie in (5.56) und (5.57) machen es erforderlich, links“ ” und rechts“ vom Rand eben auch verschiedene Lösungsansätze für die Wel” lengleichung zu machen. Im Folgenden werden daher die Teilräume 1: Es sei zunächst die Reflexion am Zylinder r = b betrachtet. Die Randbedingung (5.55) verlangt einfach o 0 jZ n (2)0 (2) Bn H(1) Bn H(1) n (k0 b) + Cn Hn (k0 b) n (k0 b) + Cn Hn (k0 b) = − %0 c für ϕ 6= 180 ◦ , in ϕ = 180 ◦ sind die von der Quelle weg weisenden Schnellen gleich, und das heißt, Vr (a + ) und Vr (a − ) sind entgegengesetzt gleich groß. Insgesamt lässt sich der Schnelleverlauf deshalb durch 93 (1) (2) (1) (2) Hn (k0 r) − Rn Hn (k0 r) Hn (k0 a) − Rn Hn (k0 a) H(2) n (k0 a) . (5.64) Gl. (5.64) hätte man - mit etwas Erfahrung - auch gleich als Ansatz, der ” die Randbedingung gleicher Drücke bereits erfüllt“, hinschreiben können. In den nächsten Abschnitten wird von dieser hier gewonnenen Erfahrung dann Gebrauch gemacht. Aber auch hier ist das Aufschreiben des Bruches in (5.64) bereits etwas langatmig. Es sollen deshalb neue Unbekannte an = An (2) (1) Hn (k0 a) − Rn Hn (k0 a) eingeführt werden. Die verbleibenden Druck-Ansätze werden dadurch zu p1 = ∞ X n=0 n o (2) (2) an cos(nϕ) H(1) n (k0 r) − Rn Hn (k0 r) · Hn (k0 a) (5.65) 94 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme und oder p2 = ∞ X n o (2) (2) an cos(nϕ) H(1) n (k0 a) − Rn Hn (k0 a) · Hn (k0 r) . (5.66) n=0 Jetzt müssen noch die Koeffizienten an aus der inhomogenen Randbedingung (5.57) bestimmt werden. Dazu berechnet man zunächst die aus den DuckAnsätzen (5.65) und (5.66) folgende Schnelle-Differenz: j ∂(p2 − p1 ) ω%0 ∂r r=a ∞ nh i o j X (2) (2)0 = an cos(nϕ) H(1) n (k0 a) − Rn Hn (k0 a) · Hn (k0 a) %0 c n=0 h i 0 (2)0 (2) − H(1) (5.67) n (k0 a) − Rn Hn (k0 a) · Hn (k0 a) . V2 (a) − V1 (a) = Die geschweifte Klammer kann ganz erheblich vereinfacht werden, z. B. fallen die Ausdrücke mit Rn weg. Lässt man das Aufschreiben des Arguments zur Ersparnis von Schreibarbeit weg, so ist 0 am = mit ( 1 εm = 2 n o Q0 X (−1)n (2) (2) cos(nϕ) H(1) n (k0 r) − Rn Hn (k0 r) · Hn (k0 a) π n=0 εn p2 = n o Q0 X (−1)n (2) cos(nϕ) H(1) (k a) − R H (k a) · H(2) 0 n 0 n n n (k0 r) , (5.74) π n=0 εn ∞ womit das Randwertproblem gelöst ist. Es bleibt allerdings noch, die physikalische Bedeutung von Q0 zu ergründen. Dazu lässt man den Reflektor weg (b → 0) und betrachtet den Druck, der sich im Punkt 0 einstellt: das ist dann gleich dem Druck pQ (0), den die Quelle im Ursprung ohne Reflektor hinterlässt. Wie man Gl. (5.61) entnimmt, ist (z. B. für z → ∞) (1)0 (5.68) (2)0 Hn (k0 b) ≈ jNn 0 (k0 b) = −1 −jNn 0 (k0 b) ∞ ∞ X 4 an cos(nϕ) %0 cπk0 a n=0 %0 cπk0 a Qδ(ϕ − π) = Q0 δ(ϕ − π) an cos(nϕ) = 4 n=0 (5.69) %0 cπ k0 a Qδ(ϕ − π) = Q0 δ(ϕ − π) = Q0 cos(mπ) 4 Q0 X 2(−1)n Jn (k0 r) · H(2) n (k0 a) · cos(nϕ) π n=0 εn (5.75) und Q0 (2) H (k0 a) , π 0 weil Jn (0) = 0 für n > 0 und J0 (0) = 1. Es ist also pQ (0) = p1 (0) = Q0 pQ (0) = (2) , π H (k0 a) (5.70) (wieder ist mit Q0 nur eine Schreibvereinfachung bezeichnet). Wie schon im vorigen Abschnitt geschildert ist das Auflösen von (5.70) nach einer beliebigen Unbekannten am ganz leicht (siehe die Gleichungen (5.35) bis (5.37)): man multipliziert mit cos(mϕ) und integriert und erhält so n=0 Hn (k0 b) für b → 0, und natürlich muss Rn von z unabhängig sein, wenn b → 0 ist. Also gilt nach (5.73) p1 = ∞ X an cos(nϕ) = (5.73) ∞ Rn = übrig, in der Tat eine recht beträchtliche Vereinfachung. Nach (5.57) bleibt noch ∞ X (5.72) p1 = (wegen (5.30b)). Es bleibt also nur V2 (a) − V1 (a) = m 6= 0 m = 0. (5.71) Die so bestimmten Koeffizienten in Gln. (5.65) und (5.66) eingesetzt, ergibt 0 (2) (2) {. . .} = H(1) − H(1) n · Hn n · Hn 0 = [Jn + jNn ] · Jn − jNn 0 − Jn 0 + jNn 0 [Jn − jNn ] = j Nn Jn 0 − Jn Nn 0 + j Nn Jn 0 − Jn Nn 0 4j 2 =− = −2j Jn Nn 0 − Jn 0 Nn = −2j π k0 a π k0 a Q0 (−1)m εm π 95 0 wobei – wie gesagt – pQ (0) den Druck beschreibt, den die Quelle im Abstand a von ihrem Mittelpunkt im ungestörten Fall ohne Reflektor hervorruft. Drückt man Q0 in Gln. (5.73) und (5.74) noch durch pQ (0) aus, so erhält man p1 = pQ (0) ∞ X (−1)n n=0 und εn o Hn (k0 a) n (1) (2) H (k r) − R H (k r) (5.76) 0 n 0 n n (2) H0 (k0 a) (2) cos(nϕ) 96 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten p2 = pQ (0) ∞ X (−1)n n=0 εn cos(nϕ) 5.3 Ebene Probleme (2) o Hn (k0 r) n (1) (2) H (k a) − R H (k a) . (5.77) 0 n 0 n n (2) H0 (k0 b) Noch etwas lässt sich die Feldbeschreibung vereinfachen, wenn man zu einer weit entfernten Quelle a → ∞ übergeht. Das ungestörte Schallfeld ohne Reflektor pi wird dann zur ebenen Welle pi = pQ (0) e−jk0 x . (5.78) Wegen (5.21) kann man ∼ H(2) n (k0 a) = r nπ π 2 e−j (k0 a− 2 − 4 ) πk0 a annähern und erhält mit (2) Hn (k0 a) (2) H0 (k0 a) nπ = ej 2 = jn (5.79) schließlich p1 = pQ (0) ∞ X (−j)n n=0 εn n o (2) cos(nϕ) H(1) n (k0 r) − Rn Hn (k0 r) . (5.80) Der Teilraum 2 liegt jetzt im Unendlichen und interessiert also nicht mehr. Es fehlt nun wieder nur noch eine Konvergenz-Betrachtung, dann kann das durch (5.80) beschriebene Schallfeld sofort programmiert werden. Nun sieht man der geschweiften Klammer in (5.80) nicht sofort das Verhalten mit wach(2) (1) sendem n an, sowohl Hn als auch Hn werden groß, die Differenz daraus ist nicht unmittelbar ersichtlich. Deshalb muss man die geschweifte Klammer noch umformen. Hinfort sollen nur schallharte (z → ∞) und schallweiche (z = 0) Randbedingungen betrachtet werden, für diese ist nach (5.61) (1) z=0: Rn = z→∞: Rn = Hn (k0 b) (2) Hn (k0 b) (1)0 Hn (k0 b) (2)0 Hn (k0 b) . Es genügt dann, den Fall z = 0 auf Konvergenz zu untersuchen; den Fall z → ∞ erhält man einfach, indem die Hankelfunktionen vom Argument k0 b durch ihre Ableitungen ersetzt werden. Die geschweifte Klammer in (5.80) wird für z = 0 also zu (1) {· · · } = (2) (2) (1) Hn (k0 r) Hn (k0 b) − Hn (k0 r) Hn (k0 b) (2) Hn (k0 b) . (2) 97 (1)∗ Der zweite, rechts stehende Ausdruck im Zähler ist wegen Hn = Hn gerade konjugiert komplex zum ersten Ausdruck. Wegen z − z ∗ = x + jy − (x − jy) = 2jy = 2j Im {z} ist also {· · · } = = 2j (2) Hn (k0 b) 2j (2) Hn (k0 b) n o (2) Im H(1) n (k0 r) Hn (k0 b) [Nn (k0 r) Jn (k0 b) − Jn (k0 r) Nn (k0 b)] . Der erste Ausdruck verhält sich genauso wie beim Abstrahl-Problem im vorigen Kapitel: wird n k0 b, dann konvergiert dieser Ausdruck sehr rasch gegen Null. Das stimmt freilich nicht für den zweiten Ausdruck: mit wachsendem n (2) wird Nn (k0 b)/Hn (k0 b) ≈ j und demnach bestimmt die Folge Jn (k0 r) hier die Konvergenzeigenschaften. Jn (k0 r) aber wird erst für n k0 r rasch klein: diesmal muss also die Anzahl der berücksichtigten Summanden am Verhältnis r/λ und nicht an b/λ orientiert werden. Empfehlung also wie vorne: bei n = N abbrechen und N ∼ = 4k0 r wählen (und immer mindestens 10 Summanden mitnehmen). In größeren Abständen kann das zu Unbequemlichkeiten führen. Weil hier aber nur das Schallfeld in nicht allzu großen Abständen vom Zylinder noch interessieren soll, wird auf die Frage, ob und wie diese Unbequemlichkeit behoben werden kann, hier nicht eingegangen. Im nächsten Abschnitt werden dann gerade große r interessieren, und dort wird die Beseitigung der genannten Unbequemlichkeit ausführlich diskutiert werden müssen. Es bleibt nun nur noch, die wesentlichen Qualitäten der numerischen Auswertung von Gl. (5.80) zu schildern und zu erläutern. Dazu sind in den Bildern 5.8 und 5.9 die Schallfelder am schallharten und am schallweichen Zylinder beispielhaft einander gegenübergestellt. Die Unterschiede zwischen den beiden Fällen sind augenfällig: das Schallfeld macht für z = 0 einen ziemlich großen Bogen um den Reflektor und lässt das der Lichtseite abgewandte Schattengebiet ein gutes Stück lang fast feldfrei. Für den schallharten Reflektor interessiert sich das Schallfeld kaum: es schließt sich hinter ihm sofort wieder, es existiert fast kein Kernschatten. Man kann also festhalten, dass schallweiche Oberflächen den Schalleinfall wesentlich mehr von sich schräg ablenken als schallharte. Diese Erkenntnis ist nun allerdings nicht gerade überraschend, z = 0 heißt ja auch p = z · V = 0, und das heißt einfach, dass schallweiche Flächen vollständig feldfrei sind. Weil die tangentiale Schnellekomponente Vϕ ≈ ∂p/∂ϕ = 0 ebenfalls Null ist, baut sich keine tangentiale Ausgleichs-Bewegung auf, und natürlich gibt es deshalb auch keinen tangentialen Leistungsfluss: das Schattengebiet wird nicht über die Zylinderoberfläche mit Volumenfluss oder Leistung versorgt und bleibt deswegen dunkel. Bild 5.10 versucht eine graphische Schilderung dieser Sachverhalte in Gegenüberstellung zu z → ∞. Schallharte Oberflächen verhalten sich völlig anders. Hier ist zwar die radiale Schnellekomponente Vr gleich Null, aber gerade wegen Vr ∼ ∂p/∂r hat 98 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.3 Ebene Probleme 99 Schallhart Abb. 5.8. Feld am schallharten Zylinder b = λ, Einfall einer ebenen Welle von links. Schallweich Abb. 5.9. Feld am weichen Zylinder b = λ, Einfall einer ebenen Welle von links. Abb. 5.10. Prinzip-Unterschied der Schallfelder an schallharten und an schallweichen Oberflächen der Druck keinen Knoten, sondern einen Bauch. Das Druckfeld legt sich bis an die Oberfläche an, und selbstredend kommt es zu Ausgleichs-Vorgängen in tangentialer Richtung, und damit wird das Schattengebiet mit Leistung und Volumenstrom versorgt – und so beleuchtet. Dass es sich hier bei der Schilderung der zunächst ja etwas mathematisch erscheinenden Grenzfälle z = 0 und z → ∞ jedoch durchaus um realisierbare Aufbauten handelt, zeigen Messungen. Das wirft natürlich die Frage auf, wie man denn z = 0 überhaupt herstellen kann (z → ∞ scheint kein gedankliches Problem zu sein: schwere und/oder steife Strukturen). Hier sei nur gesagt, dass man dazu Resonatoren verwendet und ein halbwegs schmalbandiges Schallfeld, dessen Bandbreite die Resonanz enthält. Bild 5.11 zeigt die gemessenen Intensitäten (terzbreites Rauschen als Prüfsignal) mit und ohne schallharter Abdeckung des Mantels. Auch oben offene, unten geschlossene Röhrchen sind in Resonanz, wenn sie gerade λ/4 lang sind. Ein Vorlesungs-Versuch zeigt, welch große Pegeldifferenzen sich in der Nähe ihrer Mündung mit und ohne Abdeckung ergeben. 100 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle 101 der Reflexion am Boden (und Wind und Wetter) abgesehen wird. Dazu wird eine Modellanordnung benutzt, die in Bild 5.12 wiedergegeben ist. Betrachtet Abb. 5.12. Modellanordnung zur Behandlung der Beugung am Keil Abb. 5.11. Gemessene Intensität an einer schallharten (oben) und an einer schallweichen Oberfläche (unten). Der Zylinder war dabei auf eine Schall-undurchlässige Platte aufgesetzt, die unterhalb des Zylinders angedeutet ist. 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Nun sind ja zylindrische Reflektoren und der Einfluss der Oberflächen-Impedanz sicher recht interessante, vielleicht zunächst aber etwas akademi” sche“ Fragestellungen: wie verhält es sich andererseits mit der Beugung an aus dem Alltag gut bekannten Bauteilen wie Schallschutzwänden oder Schallschutzwällen, die man in großer Zahl z. B. an Autobahnen oder EisenbahnTrassen vorfindet? Es soll eine Antwort versucht werden, in der das BeugungsPhänomen im Vordergrund steht und bei der von sekundären Einflüssen wie wird ein keilförmiger, halbunendlicher Reflektor mit schallharten Flanken bei ϕ = 0 und ϕ = 2π − γ. der Öffnungswinkel des Keiles beträgt also γ, und α = 2π − γ stellt den zugehörigen Außenwinkel dar. Außerdem sei die Anregung durch eine Linien-Monopolquelle gegeben, die sich im Abstand a von der Keil-Spitze befindet und mit der Flanke bei ϕ = 0 den Winkel ϕ0 einschließt. Es sei hier noch auf die Bezeichnung von Aufpunkten (r, ϕ) durch ihren Beugungswinkel β hingewiesen. β zählt ab der geometrischen Schattengrenze (= Einfallsrichtung, über Spitze verlängert), d. h. es ist ϕ = ϕ0 + π + β, β = ϕ − ϕ0 − π . oder (5.81) Bei den genaueren Betrachtungen des Schallfeldes wird man sich später erst einmal für das Einfachste interessieren und die Beugung an der schallharten, dünnen Wand (halbunendliche Schneide) mit γ = 0 und α = 2π studieren. Danach erst sollen dann die Veränderungen betrachtet werden, die sich aus größeren, von Null verschiedenen Öffnungs-Winkeln ergeben. 102 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Für die Lösungen der Wellengleichung werden diesmal Funktionen in Umfangsrichtung ϕ so angesetzt, dass sie die Randbedingungen an den KeilFlanken ∂p = 0 für ϕ = 0 und für ϕ=α ∂ϕ Die noch unbekannten q werden so bestimmt, dass auch in ϕ = α ein Druckbauch vorliegt. Daraus folgt sin(qα) = 0 oder bzw. Wenn man damit in die Wellengleichung (5.13) geht, erhält man d2 fn 1 dfn 1 nπ 2 2 + + k − fn = 0 . 0 dr2 r dr r2 α 0.6 ν 0.4 0.2 −0.4 0 (5.82) (5.83) Der einzige Unterschied gegenüber (5.16) ist, dass an Stelle der ganzen Zahl n nun die gebrochene Zahl nπ/2 auftritt. Konsequenterweise erhält man wieder Bessel-, Neumann- oder Hankelfunktionen als Lösungen von (5.83), nur dass diesmal ihre Ordnungen nicht mehr ganzzahlig sind: fn (r) = An J nπ (k0 r) + Bn N nπ (k0 r) . α α 0.8 −0.2 nπ , n = 0, 1, 2, ... α Als Lösungsansatz für die Wellengleichung benutzt man also q= nπ ϕ . fn (r) cos p(r, ϕ) = α n=0 1 0 qα = nπ ∞ X 1.2 Jν(x) erfüllen. Wegen der Randbedingung in ϕ = 0 kommen nur Cosinus-Funktionen in Frage p ∼ cos(qϕ) . 103 (5.84) Definition von und Umgang mit Besselfunktionen gebrochener Ordnung bereitet keinerlei prinzipielle Schwierigkeit: wie auch Bild 5.13 beispielhaft zeigt liegt Jn+ (x) (mit 0 ≤ ≤ 1) eben zwischen Jn (x) und Jn+1 (x)“, nicht an” ders wie auch sin((n + )x) zwischen sin(nx) und sin((n + 1)x) liegt. Für moderne Numerik-Software wie MATLAB R ist die Berechnung von Jn und Nn mit beliebigem reellem n eine simple Selbstverständlichkeit. Auch in allen, die Eigenschaften von Besselfunktionen beschreibenden Gleichungen (5.19) bis (5.30b) darf ohne weiteres n als gebrochene Zahl angesehen werden; die Einschränkung auf ganzzahlige n ist schlichtweg überflüssig. Die Lösungsansätze für die durch r = a (der Kreis, der die Quelle trägt“) ” begrenzten Teilräume werden ähnlich zu den Gleichungen (5.65) und (5.66) so gemacht, dass sie die Randbedingung p1 (a) = p2 (a) bereits von selbst“ ” 2 4 6 8 10 x Abb. 5.13. Besselfunktionen der Ordnungen ν = 0; 0,1; 0,2; ... 1 erfüllen. Für den Innenraum“ 1 zwischen Quell-Kreis r = a und r = 0 kom” men nur Besselfunktionen Jnπ/a , nicht aber Nnπ/a in Frage, weil die Neumannfunktionen in r = 0 Polstellen haben; auf der Keil-Spitze muss der Schalldruck aber natürlich endlich groß sein. Für den Außenraum“ 2 r > a werden Han” kelfunktionen zweiter Art angesetzt, weil nur diese nach außen laufende Wellen beschreiben. Also ist p1 ∼ Jν (k0 r) p2 ∼ H(2) ν (k0 r) , wobei hier wie im Folgenden zur Ersparnis von Schreibarbeit ν= nπ α (5.85) benutzt worden ist. Die Randbedingung p1 (a) = p2 (a) erfüllt man einfach schon, wenn die genannten prinzipiellen Ansätze noch kreuzweise unter Einsetzen von r = a multipliziert werden: p1 (r, ϕ) = p2 (r, ϕ) = ∞ X n=0 ∞ X n=0 an cos(νϕ) Jν (k0 r) · H(2) ν (k0 a) (5.86) an cos(νϕ) Jν (k0 a) · H(2) ν (k0 r) . (5.87) 104 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Man sieht sofort, dass p1 (a) = p2 (a) bereits erfüllt ist. Es bleibt nur noch, die inhomogene Randbedingung wie in (5.57) V2 (a) − V1 (a) = Q δ(ϕ − ϕ0 ) j 1 ∂p2 − p1 j ∂p2 − p1 V2 (a) − V1 (a) = = ω%0 ∂r % ∂r 0 c k0 r=a r=a ∞ n o X 0 0 (2) = an cos(νϕ) Jν (k0 a)H(2) ν (k0 a) − Jν (k0 a)Hν (k0 a) . (5.89) n=0 Die geschweifte Klammer wird zu { } = Jν [J0ν − jN0ν ] − J0ν [Jν − jNν ] = −j [Jν N0ν − J0ν Nν ] = an cos(νϕ) = Q0 δ(ϕ − ϕ0 ) (5.90) ermöglicht es wieder, ein Element in (5.90) zu isolieren: (0 = 2, m = 1 für m > 0) Zα mπ εm α · am = Q0 δ(ϕ − ϕ0 ) cos ϕ dϕ 2 α 0 Nun zur Betrachtung der Bedeutung von Q0 . Dazu wird die Quelle auf ϕ0 = π gedreht, und gleichzeitig wird der reflektierende Keil mit α = 2π zur halbunendlichen, schallharten Schneide gemacht. Es ist damit ν= und n nπ = α 2 nπ . 2 Die Summanden mit n = 1, 3, 5, ..., 2m + 1, ... entfallen also, es bleiben nur die Summanden mit n = 0, 2, 4, ...2m, ... übrig. Demnach wird aus (5.92) mit cos(mπ) = (−1)m cos(νϕ0 ) = cos Q0 X (−1)m cos(mϕ) Jm (k0 r) H(2) m (k0 a) . π m=0 εm (5.94) Dass dieses Schallfeld genau gleich ist zum Beugungsfeld am Zylinder bei ” weggelassenem Zylinder“ Gl. (5.75), das ist eigentlich selbstverständlich. Dann liegt die Linienquelle nämlich in einer Ebene mit der halbunendlichen Schneide, die dem Schallfeld keinerlei Angriffsfläche bietet: sie ist akustisch gänzlich unwirksam, man kann sie also in Gedanken einfach weglassen. Demnach beschreiben also (5.94) und (5.75) beide einfach das freie“, durch kei” nen Reflektor veränderte Feld einer Quelle im Punkt r = a, ϕ0 = π. Wieder genügt es einfacherweise, die Quelle durch den Druck zu beschreiben, den sie im Freien im Abstand a – im Ursprung zum Beispiel – hinterlassen würde pQ (0) = Q0 (2) H (k0 a) . 2π 0 (5.95) Damit ist nach (5.92) und (5.93) ∞ p1 (r, ϕ) = pQ (0) 4π X cos(νϕ) cos(νϕ0 ) Jν (k0 r)Hν (k0 a) (2) α n=0 εn H (k0 a) (2) (5.96) 0 und (5.91) ∞ p2 (r, ϕ) = pQ (0) 4π X cos(νϕ) cos(νϕ0 ) Jν (k0 r)Hν (k0 r) . (2) α n=0 εn H (k0 a) (2) (5.97) 0 Damit gehen die Ansätze (5.86) und (5.87) über in Lösungen ∞ 2Q0 X 1 p1 (r, ϕ) = cos(νϕ) cos(νϕ0 ) Jν (k0 r) H(2) ν (k0 a) α n=0 εn (5.93) ∞ mit dem neu definierten Q0“, das später physikalisch bestimmt und dessen ” Zusammenhang mit Q deshalb gar nicht interessiert. Die Auflösung von (5.90) nach einem am gestaltet sich wieder denkbar einfach: das Integral   Zα 0 n 6= m nπϕ mπϕ cos cos dϕ = α2 n = m 6= 0  α α  α n=m=0 0 mπ 2Q0 am = cos ϕ0 . αεm α 2Q0 X 1 cos(νϕ) cos(νϕ0 ) Jν (k0 a) H(2) ν (k0 r) . α n=0 εn p1 (r, ϕ) = n=0 oder ∞ p2 (r, ϕ) = 2j πk0 a nach (5.30b). Damit lässt sich (5.88) vereinfachen zu ∞ X und (5.88) zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten zu benutzen, und danach die ominöse“ Größe Q durch eine Sonderbetrachtung auf ihre Bedeutung hin zu ” untersuchen. Die aus (5.86) und (5.87) folgende Schnelle-Differenz ist 105 (5.92) Wieder sollen bei Auswertungen und Prinzip-Diskussionen weit entfernte Quellen und damit schräg einlaufende ebene Wellen betrachtet werden. Mit α → ∞ wird also der Schalleinfall beschrieben durch 106 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle pi = pQ (0)ejk0 (x cos ϕ0 +y sin ϕ0 ) , oder, in Zylinderkoordinaten ausgedrückt pi = pQ (0)ejk0 r(cos ϕ cos ϕ0 +sin ϕ sin ϕ0 ) = pQ (0)ejk0 r cos(ϕ−ϕ0 ) . (5.98) Das davon am Keil erzeugte Schallfeld geht aus (5.96) mit (siehe Gl. (5.21)) (2) lim Hν (k0 a) a→∞ H(2) (k a) 0 0 zu = ejνπ/2 ∞ p1 (r, ϕ) = pQ (0) 4π X ejνπ/2 cos(νϕ) cos(νϕ0 ) Jν (k0 r) α n=0 εn (5.99) hervor. Konvergenz-Betrachtungen sind diesmal sehr einfach. Man erkennt sofort, dass hier alle Glieder berücksichtigt werden müssen, bis die Ordnung größer als ” das Argument“ k0 r wird, also für ν k0 r rechts vor allem von der Wahl des Abstandes r abhängig. Gerade bei, im Anwendungsfall besonders interessierenden, großen Abständen (Wohngebiete neben Straßen mit Schallschutzwänden) wird die nummerische Berechnung sehr aufwendig, weil die Besselfunktionen mit wachsender Ordnung erst dann klein werden, wenn die Ordnung größer wird als das Argument kr. Das sind Gründe genug, in den einschlägigen Tabellenwerken nach anderen Darstellungsformen zu suchen. In der Tat findet man z. B. in dem Werk (das übrigens auch sonst sehr zu empfehlen ist) der Autoren Gradshteyn, Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products (Academic Press, New York 1965), dort Seite 973, Nr. 8.511.5, die Möglichkeit, die Reihe auf der rechten Seite durch die sogenannten Fresnel-Integrale auszudrücken. Die Anwendung der dort genannten Gleichung darf gewiss dem Leser überlassen bleiben. Man erhält nach einfachster Rechnung für den Schalldruck o 1 + j n jkr cos(ϕ−ϕ0 ) e φ+ + ejkr cos(ϕ+ϕ0 ) φ− , (5.101) p(r, ϕ) = pQ (0) 2 worin zur besseren Übersicht √ √ 1−j ϕ − ϕ0 ϕ − ϕ0 φ+ = +C 2kr cos − jS 2kr cos 2 2 2 (oder n = 2ν 2k0 r). Als Empfehlung könnte wieder etwa der Abbruch bei n ≈ 2k0 rα/π angenommen werden. Für große Abstände r hinter der Abschirmeinrichtung kann das zu langen Rechenzeiten führen. Hier interessiert aber gerade auch das Verhalten des Schallfeldes in großen Entfernungen; die von Schallschutzwänden geschützten Gebiete liegen ja oft ziemlich weit weg. Darin liegt einer der Gründe dafür, dass der nächste Unterabschnitt zunächst der schallharten Schneide α = 2π gewidmet ist. und 5.4.1 Beugung an der schallharten Schneide und durch Für die schallharte Schneide α = 2π ist ν = n/2, und deshalb wird aus (5.99) p(r, ϕ) = p1 = pQ (0) ∞ X 2ejnπ/4 n=0 εn Jn/2 (kr) cos (nϕ/2) cos (nϕ0 /2) . (5.100) Gl. (5.100) gibt das Schallfeld für den Grenzfall der ebenen Welle mit unendlich weit entfernter Quelle an. Der Teilraum 2 ist nun ins Unendliche gerückt und interessiert daher nicht mehr, Gl. (5.100) bezeichnet nun also das Schallfeld im ganzen Raum. Um das anzudeuten ist in Gl. (5.100) statt p1 auch schon kurz p geschrieben worden, und das wird nun beibehalten. Nun ist der Ausdruck für den Schalldruck zwar etwas einfacher geworden, weil ein nicht sehr wichtig erscheinender Parameter (der Quellabstand) nicht mehr auftritt; übersichtliche, leicht zu verstehende Ergebnisse sind jedoch noch immer nicht direkt ablesbar. Überdies ist die Konvergenz der Reihe 107 φ− = √ √ ϕ + ϕ0 ϕ + ϕ0 1−j +C − jS 2kr cos 2kr cos 2 2 2 (5.102) (5.103) benutzt worden ist. Die dabei auftretenden sogenannten Fresnel-Integrale sind durch r Zx 2 C (x) = cos t2 dt (5.104) π 0 r S (x) = 2 π Zx sin t2 dt (5.105) 0 definiert. Sie sind in Bild 5.14 gezeigt (das verwendete MATLAB R -Programm zur Berechnung von C und S ist im Anhang zu diesem Kapitel zur freien Benutzung für jedermann abgedruckt). Diese Darstellung des Schalldruckes bietet gegenüber der Reihenform in Gl. (5.100) große Vorteile. Die Fresnel-Integrale sind nicht nur sehr einfach zu programmieren (siehe den Anhang zu diesem Kapitel), sie können überdies gerade für die vor allem interessierenden großen Abstände r recht einfach angenähert werden. Damit wird eine direkte und unmittelbare Einschätzung des Schallfeldes möglich gemacht. Wie man erkennt, handelt es sich bei C und S um Funktionen, die bei wachsendem Argument mit abnehmender Amplitude um den Wert von 1/2 schwanken. Näherungen für die Fresnel-Integrale lauten deshalb für x 1 108 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Die Amplitude der ebenen Welle ist naturgemäß ortsunabhängig und beträgt überall pQ (0). Deshalb gilt für das Einfügungsdämmmaß der halbunendlichen Wand 2 p(r, ϕ) . (5.111) RE = −10 lg pQ (0) 1 0.9 Fresnel−Integrale 0.8 0.7 C(x) Das Einfügungsdämmmaß kann natürlich von Ort zu Ort verschieden sein. Vielleicht ist es angebracht, zunächst einmal einige Ergebnisse durch anschauliche Darstellungen typischer Anwendungsfälle vorzustellen. Dazu werden die Auslenkungen der Aufpunkte im elastischen Kontinuum aus Gas berechnet 1 ∂p 1 ∂p ξx = ; ξy = (5.112) %0 ω 2 ∂x %0 ω 2 ∂y 0.6 0.5 0.4 0.3 S(x) 0.2 0.1 0 0 109 1 2 3 4 x 5 6 7 8 Abb. 5.14. Fresnel-Integrale S(x) und C(x) 1 1 +√ sin x2 2 2πx 1 1 S (x) ≃ − √ cos x2 . 2 2πx C (x) ≃ (5.106) (5.107) Für negative Argumente muss die aus den Definitionen (5.104) und (5.105) folgende Symmetrie C (−x) = −C (x) (5.108) S (−x) = −S (x) (5.109) beachtet werden. Ausdrücklich sei noch daran erinnert, dass der für den Umfangswinkel ϕ zugelassene Wertebereich 0 < ϕ < 2π beträgt. Winkel außerhalb dieses Intervalls - insbesondere negative Winkel - sind nicht erlaubt, sie führen zu falschen Ergebnissen bei der Auswertung. Auch für die Einfallsrichtung ϕ0 sind positive Werte vorausgesetzt. Wie oben ausgeführt, ist unter pQ (0) in Gl. (5.101) derjenige Schalldruck zu verstehen, den die einfallende ebene Welle ohne Abschirmwand (im Freien) im Koordinatenursprung r = 0 erzeugen würde. Für die schräg einfallende ebene Welle alleine gilt bekanntlich pein = pQ (0) ejk(x cos ϕ0 +y sin ϕ0 ) , oder, mit x = r cos ϕ und y = rsinϕ für die Koordinatensysteme (x, y) und (r, ϕ), und wegen cos ϕ cos ϕ0 + sin ϕ sin ϕ0 = cos(ϕ − ϕ0 ), pein = pQ (0) ejkr cos(ϕ−ϕ0 ) . (5.110) und anhand eines Punktrasters dargestellt (siehe Bilder 5.15 bis 5.17). Die Ableitungen kann man näherungsweise aus Differenzenquotienten gewinnen, also z. B. aus dp/dx ≈ (p(x + ∆x) − p(x))/∆x (für die Bilder 5.15 bis 5.17 ist ∆x = λ/100 benutzt worden, eine Wahl, die sich auch sonst gut bewährt), wobei p jeweils aus Gl. (5.101) bestimmt wird. Das so entstandene Bewegungsmuster ist leicht zu lesen: Überdichte“ der Punkte (gegenüber ” dem gleichabständigen Muster ohne Schall“) zeigt Schalldichte und Schall” druck oberhalb der atmosphärischen Größen an ( Unterdichte“: unterhalb), ” der Abstand zweier Gebiete mit hoher (niedriger) Kompression zeigt die Wellenlänge an. Die Bilder geben das jeweilige Schallfeld für eine bestimmte, feste (eingefrorene) Zeit wieder; mehrere solche Momentaufnahmen (z. B. für t/T = 0; 1/50; 2/50; . . . , 49/50 mit T = Periodendauer) nacheinander würden einen Trickfilm ergeben, der die zeitliche Geschichte der Wellenausbreitung schildert. Die so hergestellten Momentaufnahmen des Schallfeldes in den Bildern 5.15 bis 5.17 zeigen vernünftige Tendenzen. Neben der Tatsache, dass es sich offenbar wirklich überall um Wellen handelt, • • • • sind die Randbedingungen zu beiden Seiten der schallharten Schneide erfüllt, ist die Reflexion an der Schirmoberseite mit dem Resultat stehender Wellen im Bereich ϕ < π − ϕ0 zu erkennen, besteht das Gesamtfeld im Lichtbereich“ π − ϕ0 < ϕ < π + ϕ0 nur in der ” ungestört vorbeilaufenden einfallenden ebenen Welle, und schließlich ist die erwartete Beugungswelle in das Schattengebiet (je nach Einfallswinkel mehr oder weniger gut) erkennbar. 110 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten Abb. 5.15. Teilchenbewegungen im Schallfeld vor der halbunendlichen Schneide, Einfallswinkel ϕ0 = 90 ◦ 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle 111 Abb. 5.17. Teilchenbewegungen im Schallfeld vor der halbunendlichen Schneide, Einfallswinkel ϕ0 = 45 ◦ Abb. 5.16. Teilchenbewegungen im Schallfeld vor der halbunendlichen Schneide, Einfallswinkel ϕ0 = 60 ◦ Abb. 5.18. Farbkodierte Darstellung des Einfügungsdämmmaßes, Einfallswinkel ϕ0 = 90 ◦ 112 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Für den Schattenbereich ist anzumerken, dass die sichtbare Dynamik der Darstellungsweise in Teilchenbewegungs-Bildern wie in den Bildern 5.15 bis und 5.17 schätzungsweise etwa 10 dB beträgt, weswegen Einfügungsdämmmaße von RE > 10 dB auf diese Weise optisch kaum darstellbar sind. Eine hinsichtlich des Einfügungsdämmmaßes besser lesbare“ Darstellung gibt Bild ” 5.18 mit der farbkodierten Wiedergabe des Einfügungsdämmmaßes (wobei das Koordinatensystem gleichzeitig noch so gedreht worden ist, dass die Wand – hier rosa eingezeichnet – aufrecht steht“ und der Schall-Einfall von links ” erfolgt). Wie erwähnt besteht einer der Vorteile der Schallfelddarstellung durch Gl. (5.101) in den recht einfach durchführbaren Näherungsbetrachtungen. Diese werden hier nicht nur zur Untersuchung des natürlich vorrangig interessierenden Schattenfeldes angestellt; zur Kontrolle des Ergebnisses seien darüber hinaus auch noch der Reflexionsbereich, der Lichtbereich“ und die ” Schattengrenze betrachtet. Welche Raumbezirke mit diesen Bezeichnungen gemeint sind, das ist in Bild 5.19 wiedergegeben. Weil die Umgebung der Schirmkante r ≈ 0 praktisch fast nicht interessant ist, wird im Folgenden kr 1 vorausgesetzt. 113 folgt aus Gl. (5.106) bis Gl. (5.109) φ ≈ 1−j falls u>0 und |u| 1 (5.113) falls u<0 und (5.114) und 2 je−ju φ≈ √ 2π |u| |u| 1 . Mit den in Gl. (5.113) und Gl. (5.114) genannten Vereinfachungen lässt sich nun das prinzipielle Verhalten des Schallfeldes in den genannten Raumbezirken leicht diskutieren. a) Reflexionsbereich Der Bereich Reflexion“ ist durch ” ϕ < π − ϕ0 gekennzeichnet. In ihm ist Einfallsrichtung Reflexionsgrenze ϕ − ϕ0 π < − ϕ0 2 2 und ϕ + ϕ0 π < . 2 2 Reflexion Demnach gilt cos Einfallswinkel j0 Licht Schallschirm Schattengrenze Schatten Abb. 5.19. Bezeichnung der Raumbezirke Über das prinzipielle Verhalten der Größen φ+ und φ− entscheidet das Vorzeichen des Argumentes in den zugehörigen Fresnel-Integralen, denn diese schwanken um den Wert 1/2 für positive Argumente und um −1/2 für negative Argumente (siehe Gl. (5.108) und Gl. (5.109)). Wenn√man mit u jeweils das Argument der √ Fresnel-Integrale bezeichnet, also u = 2kr cos(ϕ − ϕ0 )/2 für φ+ und u = 2kr cos(ϕ + ϕ0 )/2 für φ− , dann und cos ϕ − ϕ0 2 ϕ + ϕ0 2 >0 >0. Die beiden Argumente der auftretenden Fresnel-Integrale sind demnach positiv, damit gibt Gl. (5.113) die Näherung sowohl für φ+ als auch für φ− an. Es ist also im Reflexionsbereich nach Gl. (5.101) mit (1 − j)(1 + j) = 2 n o p (r, ϕ) ≈ pQ (0) ejkr cos(ϕ−ϕ0 ) + ejkr cos(ϕ+ϕ0 ) . (5.115) Der erste Term beschreibt (siehe Gl. (5.110)) das einfallende, der zweite Term das in ϕ = 0 reflektierte Feld. 114 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten b) Lichtbereich Der Bereich Licht“ bezeichnet den Raumteil, in dem die ungestörte, einfal” lende Welle als Resultat erwartet wird. Hier ist und demnach gilt und Das Argument der Fresnel-Integrale für φ− ist wegen ϕ + ϕ0 cos <0 2 negativ. Nach Gl. (5.114) kann man dann φ− wieder gegenüber φ+ vernachlässigen und erhält π ϕ − ϕ0 π − ϕ0 < < 2 2 2 1 p (r, ϕ) = pQ (0) e−jkr . 2 π ϕ + ϕ0 π < < + ϕ0 . 2 2 2 Für größere Entfernungen von der Schirmkante erhält man demnach auf der Schattengrenze eine Halbierung des einfallenden Schallfeldes. Man könnte diese Tatsache als durch den Schirm hergestellte halbe Abdeckung“ der weit ” entfernten Quelle deuten, ähnlich wie beim Sonnenuntergang, bei dem zu einem bestimmten Zeitpunkt nur das halbe Himmelsgestirn sichtbar ist. Auf der Schattengrenze strebt das Einfügungsdämmmaß mit der Entfernung gegen cos und cos ϕ − ϕ0 2 ϕ + ϕ0 2 >0 p (r, ϕ) = pQ (0) ejkr cos(ϕ−ϕ0 ) ganz richtig nur aus der einfallenden Welle. Die Betrachtungen im Reflexions-Bereich und im Licht-Bereich dienten mehr der nachträglichen Kontrolle der Gleichungen; die folgenden Betrachtungen im Schattenbereich dagegen geben an, welcher Nutzen vom Schallschirm erwartet werden kann. c) Schattengrenze ϕ = π + ϕ0 und π ϕ + ϕ0 = + ϕ0 . 2 2 Das Argument der Fresnel-Integrale für φ+ ist, wegen cos((ϕ − ϕ0 )/2) = 0, ebenfalls gleich Null, und es ist mit S = C = 0 φ+ = 1−j . 2 (5.117) d) Schattengebiet Im Schattengebiet ϕ > ϕ0 + π gilt π ϕ − ϕ0 > 2 2 und π ϕ + ϕ0 > + ϕ0 . 2 2 Diesmal sind die Argumente aller Fresnel-Integrale negativ, und es ist deshalb nach Gl. (5.114) 2 ϕ−ϕ0 je−j2kr cos ( 2 ) φ+ ≈ √ √ 0 2π 2kr cos ϕ−ϕ 2 je−j2kr cos ( φ− ≈ √ √ 2π 2kr cos 2 ϕ − ϕ0 π = 2 2 (5.116) RE = 6 dB . <0. Es ist also φ+ ≈ 1 − j, für die vorausgesetzten großen Abstände kr 1 dagegen wird φ− nach Gl. (5.114) klein und kann deswegen gegenüber φ+ vernachlässigt werden. Demnach besteht das Gesamtfeld nach Gl. (5.101) gilt 115 π − ϕ0 < ϕ < π + ϕ0 , Aus diesem Grund ist Auf der Schattengrenze 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle ϕ+ϕ0 2 ) ϕ+ϕ0 2 . Demnach gilt für den Druck j − 1 e−jkr p = pQ (0) √ √ 2 2π 2kr ( 1 cos ϕ−ϕ0 2 + 1 cos ϕ+ϕ0 2 ) (5.118) (für die Argumente der Exponentialfunktionen ist von cos(α) − 2 cos2 (α/2) = cos(α) − (1 + cos(α)) = −1 Gebrauch gemacht worden). 116 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Für Betrachtungen im Schatten ist es recht naheliegend zu vermuten, dass es auf den Abstand eines Punktes zur Schattengrenze ϕ = ϕ0 + π ankommt. Aus diesem Grund sei hier der sogenannte Beugungswinkel β eingeführt. Er zählt relativ zur Schattengrenze, d. h. es gilt 117 Schall-Einfall ϕ = π + ϕ0 + β . Für die beiden Winkelausdrücke in Gl. (5.118) ist also β ϕ − ϕ0 = sin cos 2 2 und cos ϕ + ϕ0 2 = sin β + ϕ0 2 Schallschirm b . b Für kleine Beugungswinkel gelten die hier für das Schattengebiet abgeleiteten Näherungen ohnedies nicht (siehe die obigen Bemerkungen zur Schattengrenze), man muss also mittlere bis größere“ Beugungswinkel voraussetzen. ” Für (etwa) 30 ◦ < β < 120 ◦ und 0 ◦ < ϕ0 < 90 ◦ unterscheiden sich aber sin(β/2 + ϕ0 ) und sin(β/2) nicht sehr. Man darf deshalb in Gl. (5.118) den zweiten Term durch den ersten abschätzen: e−jkr (j − 1) , p ≈ pQ (0) √ √ 2π 2kr sin β (5.119) 2 für das Einfügungsdämmmaß gilt dann pQ (0) RE = 10 lg p 2 β ≈ 10 lg 4π sin . λ 2 2r 2 (5.120) Der darin enthaltene Ausdruck 2r sin2 (β/2) lässt sich noch geometrisch deuten. Er ist nämlich gleich dem Unterschied U aus dem Weg, den ein Schallstrahl von der weit entfernten Quelle abknickend“ über die Schirmkante zum ” Aufpunkt nimmt, und aus dem direkten“ Weg des Schallstrahles zum Auf” punkt bei weggelassener Wand (Bild 5.20). Diese Wegdifferenz heißt Umweg U , für ihn gilt nach Bild 5.20 β U = r − D = r − r cos β = r (1 − cos β) = 2r sin2 , 2 und folglich ist RE ≈ 10 lg 2π 2U λ . .. r (5.121) Gleichung (5.121) heißt Umweggesetz“, weil es besagt, dass die von Schall” schutzwänden hervorgerufene Einfügungsdämmung nur vom Verhältnis aus Umweg und Wellenlänge abhängt. D Abb. 5.20. Schallumweg U = Kantenweg r - Direktweg D Praktisch alle Berechnungen der Wirkung von Schallschutzwänden (siehe z. B. VDI 2720: Schallschutz durch Abschirmung im Freien) werden auch heute noch nach Gl. (5.121) oder jedenfalls doch nach einer sehr ähnlichen Näherung durchgeführt. In dieser Richtlinie (und auch sonst manchmal in der Literatur) wird der Umweg (etwas unanschaulich) als z-Wert“ bezeichnet. Das Umweg” prinzip wird auch auf Quellen mit endlichem Wandabstand angewandt. Der Umweg wird dann aus der weiter unten noch genannten geometrischen Betrachtung berechnet. Die Reflexion am Boden wird vernachlässigt. Nach Gl. (5.121) sind die folgenden prinzipiellen Tendenzen für Schallschutzwände zu erwarten: • • • Das Einfügungsdämmmaß ist frequenzabhängig, für tiefe Frequenzen ist die Wirkung schlechter als für hohe Frequenzen. Möglichst hohe Schallschutzwände sind für möglichst große Umwege erforderlich. Tiefliegende Quellen direkt auf Straße oder Schiene sind für die abschattende Wirkung günstiger als hochliegende Schallerzeuger. Das Reifengeräusch eines LKW wird also besser abgeschattet als ein hochliegendes, offenes Auspuffrohr. Bei Eisenbahnzügen ist die Wandwirkung für die Lok schlechter als für den angehängten Wagen, weil beim Wagen fast nur der Rad-Schiene-Kontakt, bei der Lok jedoch auch noch die obenliegenden Luftschlitze für den Motor zählen. 118 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Näherung für das Einfügungsdämmmaß 30 (5.123) und tanh bezeichnet den hyperbolischen Tangens. Gl. (5.122) ist dem Taschenbuch der Technischen Akustik (Springer-Verlag, Berlin 2004, Herausgeber G. Müller und M. Möser) entnommen. Die Genauigkeit der von der Näherung Gl. (5.122) gemachten Aussage lässt sich untersuchen, indem sie mit dem Ergebnis aus der exakten Gleichung (5.101) verglichen wird. Dazu wählt man (bei festem Einfallswinkel ϕ0 ) am besten U/λ als unabhängige Variable und zeichnet eine Kurvenschar für das Einfügungsdämmmaß mit dem Beugungswinkel als Parameter. Die für die nummerische Auswertung mit Hilfe von Gl. (5.101) erforderlichen Größen ergeben sich dann aus r U 1 = λ λ 2 sin2 (β/2) und aus ϕ = ϕ0 + π + β. Die so berechnete Kurvenschar ist in Bild 5.21 wiedergegeben. Wie man sieht, ergeben sich im gezeigten Intervall von Beugungswinkeln Fehler von höchstens 2 dB. Sollen die Ergebnisse noch genauer sein, dann muss man entweder selbst Gl. (5.101) programmieren oder die in Bild 5.22 eingetragenen Kurven benutzen (sie sind nach Gl. (5.101) gerechnet). Wie man in Bild 5.21 erkennen kann, gibt Gl. (5.122) auch für kleine Beugungswinkel β eine recht genaue Näherung an. An der Schattengrenze N = 0 ist nach Gl. (5.122) RE = 5 dB (wegen tanh(x) = x für kleine x); der vorne abgeleitete, korrekte Wert von 6 dB wird also nur ganz √ knapp unterschritten. Für Fresnel-Zahlen N > 0, 36 gilt 0, 9 < tanh( 2πN ) ≤ 1. Der Rechenfehler beträgt für N > 0, 36 deshalb stets weniger als 1 dB, wenn man den hyperbolischen Tangens in (5.122) gleich 1 setzt. Mit der in der Akustik üblichen Genauigkeit gilt also für N > 0, 36 RE = 10 lg (2πN ) + 5 dB . (5.124) Die Bestimmung der Einfügungsdämmung ist damit auf rein geometrische Betrachtungen reduziert, deren qualitative und quantitative Bedeutung für die praktische Anwendung hier noch diskutiert werden sollen. Bild (5.23) zeigt eine typische Anordnung aus Quelle (Abstand aQ zur Wand), Schallschirm der Näherung Einfügungsdämmmaß /dB Darin ist N die sogenannte Fresnel-Zahl β = 10°, 20°, 30°, ... ,80° 25 20 exakt 15 10 5 0 1 2 4 8 16 Umweg U/λ Abb. 5.21. Vergleich der Näherung Gl. (5.122) (durchgezogene Linie) mit der exakten Rechnung (gestrichelt) nach Gl. (5.101), gerechnet für ϕ0 = 45 ◦ 25 0 β= 45 20 Einfügungsdämmmaß/dB Obwohl das Umweggesetz sicher die wesentlichen Grundprinzipien bei der Abschirmung herausstellt, ist es doch in der Angabe des tatsächlichen Einfügungsdämmmaßes ungenau. Eine noch genauere Näherung für den wahren Sachverhalt erhält man aus der folgenden Näherungsgleichung: ! √ 2πN √ + 5 dB . (5.122) RE = 20 lg tanh( 2πN ) N = 2U/λ 119 200 15 150 0 10 10 50 5 0 1 β= 00 2 4 8 16 r/λ Abb. 5.22. Einfügungsdämmmaß nach Gl. (5.101) für kleinere Beugungswinkel, gerechnet für ϕ0 = 45 ◦ Höhe hS (über der Quelle) und Einwirkungsort E, der um hE über der Quelle liege und den Abstand aE von der Wand besitze. Bei Straße oder Schiene liegen die Hauptquellen auf dem Fahrweg; die Höhen hS und hE zählen dann relativ zu diesem. Für den Kantenweg K (=Strahlenweg von Q nach E über die 120 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle Schallschutzwand E, Empfänger, Einwirkungsort hS hE Q, Quelle aE aQ Boden Abb. 5.23. Anordnung aus Quelle Q, Schallschutzwand der Höhe hS und Einwirkungsort E Schirmspitze) folgt nach zweimaliger Anwendung des Satzes von Pythagoras q q K = h2S + a2Q + (hS − hE )2 + a2E , für den Direktweg gilt D= q h2E + (aE + aQ )2 . Der Umweg U beträgt U = K − D. In der Praxis liegen die schützenswerten Gebiete fast immer so weit entfernt, dass aE >> hS gilt. Typisch sind gewiss Entfernungen aE von mindestens 100 Metern oder sogar mehreren hundert Metern und Schirmhöhen von selten mehr als 5 Metern. Praktisch immer gilt also aE >> hS . Die Ausdrücke mit (hS − hE )2 bzw. mit h2E sind also sehr viel kleiner als a2E , solange hE nicht zu sehr über die Schirmhöhe hS hinauswächst. Betrüge beispielsweise aE = 20(hS − hE ), dann wäre ja (hS − hE )2 = a2E /400 eine vergleichsweise außerordentlich kleine Zahl, die den Wert der betroffenen Wurzel fast nicht beeinflusst. Die quadratisch kleinen Terme in den Wurzeln können also vernachlässigt werden. Dafür erhält man q K = h2S + a2Q + aE und D = aE + aQ . Für grosse Abstände aE hängt also der Umweg U mit q U = K − D = h2S + a2Q − aQ (5.125) fast nicht von Messabstand aE und Messpunkthöhe hE ab. Das Einfügungsdämmmaß wird daher ausschließlich durch Quellabstand aQ und Schirmhöhe hS bestimmt, es ist fast unabhängig von der Wahl des Empfangspunktes E. Aus dieser Überlegung kann auch die realistische Größenordnung des Einfügungsdämmmaßes abgeschätzt werden. Als Beispiel sei eine (etwa übliche) 5 m Wand an einer breiten, dreispurigen Straße betrachtet. Die Spurbreite beträgt etwa 3,5 m, hinzu kommen noch einmal 3 m Abstand vom Fahrbahnrand zur Schallschutzwand (z. B. für die Standspur). In etwa kann man die 121 Quelle in der Straßenmitte, also in ungefähr 8 m Entfernung zur Wand annehmen. Damit ergibt sich ein Umweg von 1,43 m. Die Schwerpunktfrequenz für Verkehrslärm liegt bei etwa 1000 Hz mit λ = 0, 34 m. Die Fresnelzahl beträgt damit N = 8, 44. Wegen N > 0, 36 kann Gl. (5.124) benutzt werden, und aus ihr ergibt sich RE = 22, 2 dB. Bemerkenswert ist noch, dass der Umweg U über dem Abstand aQ zwischen Wand und Quelle monoton abnimmt. Die Wirkung der Schallschutzwand ist also um so größer, je näher Quelle und Wand zusammengebracht werden können. 5.4.2 Bedeutung der Höhe von Schallschutzwänden Natürlich fragt sich noch, welche Vorteile eine vergrößerte Bauhöhe der Wand zu bieten hat. Wenn bei ansonsten unveränderter Situation eine höhere Schallschutzwand h2 gegenüber der bisherigen Höhe h1 vorgesehen wird, dann wird damit der Vorteil ∆R U2 (5.126) ∆R = 10 lg U1 für das Einfügungsdämmmaß erreicht. Dabei bezeichnen U1 und U2 die zu h1 und h2 gehörenden Umwege. Der gewonnene Vorteil hängt jetzt noch vom Quellabstand ab. Das Intervall, in dem der Zugewinn ∆R liegen muss, kann allgemein jedoch einfach eingeschätzt werden. Der minimale Zugewinn ergibt sich dann, wenn die Wand bereits gut wirkt“; das ist der Fall für einen kleinen ” Wandabstand zur Quelle. Dann sind nach Gl. (5.125) die Umwege gleich den Höhen und es gilt h2 ∆Rmin = 10 lg . (5.127) h1 Für weit entfernte Quellen andererseits, deren Abstand a viel größer ist als die Wandhöhe h, gilt etwa p a2 + h2 ≈ a + h2 , 2a also beträgt der Umweg U ≈ h2 /2a. Deswegen gilt h2 ∆Rmax = 20 lg = 2∆Rmin . h1 (5.128) (5.129) Für weit entfernte Quellen wirkt sich also ein Bauhöhenzuwachs in einem größeren Dämmungsgewinn aus als für nah an der Wand angesiedelte Quellen. Die Verbesserungen sind dabei - jedenfalls unter realistischen Annahmen - nicht allzu hoch. Wird z. B. statt einer Wand von 5 m Höhe eine mit 6 m Höhe gebaut, dann liegt der Zugewinn an Dämmung zwischen 0,8 dB und 1,6 dB, abhängig von der Lage der Quelle. Selbst die Verdopplung der Bauhöhe bewirkt nur Verbesserungen zwischen 3 und 6 dB. Hohe erforderliche Einfügungsdämmmaße sind bei Schallschutzwänden recht teuer. 122 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle 123 Wie das Beispiel im vorigen Abschnitt zeigt, können Schallschutzwände grob etwa 20 dB Einfügungsdämmung erzielen. Noch deutlich größere Dämmmaße würden wahre Wand-Giganten erforderlich machen. Schallschutzwände bilden damit gewiss ein wichtiges Hilfsmittel zur Lärmbekämpfung; ebenso gewiss stellen sie allerdings auch kein Allheilmittel dar. 5.4.3 Schallschutzwälle Das einfache Modell eines Hindernisses in Form einer halbunendlichen Wand hat eine recht übersichtliche Beschreibung des Beugungs- und Reflexionsgeschehens ergeben. Dafür sind doch einige Fragen offen geblieben. Lassen sich z. B. die Berechnungsvorschriften ohne weiteres auch auf andere Geometrien, wie zum Beispiel auf Schallschutzwälle an Stelle von Wänden, übertragen? Z. B. lässt sich auch die Wirkung keilförmiger Schallschutzwände (also von Schallschutzwällen) theoretisch berechnen (siehe die Bilder 5.24 und 5.25). Abb. 5.25. Reflexion und Beugung an keilförmigen Schallschutzwällen 25 Zwei numerische Auswertungen davon seien hier noch in den Bildern 5.24 und 5.25 wiedergegeben. Wie man in Bild 5.24 erkennt, spielt der Öffnungswinkel unterhalb von 90 ◦ praktisch keine Rolle, man kann also für γ < 90 ◦ ganz zu recht das Umweggesetz benutzen, oberhalb von 90 ◦ dagegen werden die Abweichungen vom Umweggesetz rasch signifikant, hier liegen schlechtere RE vor als sie sich für die gestreckte halbunendliche Schneide ergeben würden. Öffnungswinkel von mehr als 120 ◦ kommen durchaus bei Hausdächern und aufgeschütteten Erdwällen vor; wie man sieht muss man mit zum Teil nicht unerheblichen Einbußen bei der Schalldämmung gegenüber gleich hohen, gestreckten Wänden rechnen. Einfügungsdämmmaß/dB 20 15 10 Keilöffnungswinkel in Grad = 0, 30, 60, 90, 120 5 0 0 5.4.4 Absorbierende Schallschutzwände 5 1 2 4 r/λ Abb. 5.24. Einfügungsdämmmaß von keilförmigen Schallschutzwällen, gerechnet für den Einfallswinkel ϕ0 = 60 ◦ und den Beugungswinkel β = 60 ◦ Die zur Berechnung erforderliche Gleichung ist bereits bekannt (nämlich Gl. (5.99)), wobei für die Ordnungs-Zahlen ν = nπ/α = nπ/(2π − γ) gilt (γ = Öffnungswinkel des Keiles innen“). Hier scheint keine andere Ausdrucksform ” durch einfacher handhabbare Funktionen bekannt zu sein; deshalb wird die Summation direkt ohne weitere Umformung programmiert, wobei man sich zunächst (wie weiter oben geschildert) darüber Gedanken machen muss, wo die Summe abgebrochen werden kann. Bei großen Geräuscherzeugern wie z. B. Lastkraftwagen oder Eisenbahnzügen liegen die eigentlichen Quellen zwar tief, sie bestehen nämlich wie gesagt hauptsächlich aus Reifengeräusch oder Rollgeräusch des Rad-Schiene-Kontaktes. Das Schallfeld wird aber auf einem Zick-Zack-Kurs wie in Bild 5.26 nach oben geführt und trifft dann schließlich unter einem für die Abschirmwirkung recht ungünstigen Winkel auf die Kante. Dieser Effekt bewirkt quasi eine Verlagerung der Quelle von Schiene oder Straße zu einem viel höher gelegenen Ort. Dadurch sinkt die dämmende Wirkung ganz beträchtlich. Vermieden werden kann dieser Effekt durch die Benutzung von quellseitig absorbierenden Schallschutzwänden, nur diese werden heute fast ausschließlich in der Praxis eingesetzt. Eine robuste, wetterbeständige und feuerfeste Absorptionsschicht kann zum Beispiel aus einer Mischung aus Beton, Holzfasern und Luft hergestellt werden. Messbeispiele für die Wirkung der absorbierenden Belegung im Schattengebiet hinter der Wand gibt Bild 5.27. 124 Y Y 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.4 Abschirmwände und Abschirmwälle 125 In Bild 5.27 sind die Pegelminderungen angegeben, die sich durch die quellseitige Wandabsorption gegenüber einer reflektierenden Wand ergeben. Bei der Messung wurde dazu die absorbierende Wand-Belegung mit Blechen abgedeckt, die Pegel sind und mit und ohne diese Abdeckung ermittelt worden. Die so bestimmten Verbesserungen waren beträchtlich, wie Bild 5.27 lehrt. Auch der qualitative Zusammenhang zwischen Abschirmwirkung und Absorption ist hier nachgewiesen: Der höchste Absorptionsgrad führt auch zur größten Pegeldifferenz. Es zeigt sich allerdings, dass diese großen Verbesserungen sehr rasch mit dem Abstand zwischen Reflektor (in Bild 5.26: das Fahrzeug) und Schallschutzwand nachlassen. Bei einem Abstand, der gleich der Höhe der Schallschutzwand ist, bleiben nur etwa 3 dB Verbesserung durch die Absorption übrig. Weil dieser Effekt auch nur für große Fahrzeuge wie Lastkraftwagen auftritt und bei den kleinen Quellen wie Personenwagen und Motorrädern nicht vorkommt, spielt die Absorption von Schallschutzwänden an Straßen hinsichtlich des Immissionspegels nur eine sehr kleine, unbedeutende Rolle. Wand ohne Absorption Straße Wand mit Absorption Straße Abb. 5.26. Prinzipweg des Schallstrahles von der Quelle zur Schirmkante bei Schallschutzwänden mit oder ohne Absorption auf der Quellseite 20 Absorber Hohlkammer 15 Peheldifferenz/dB Absorber Pilzform 10 5 5.4.5 Schalldurchgang Schließlich wäre noch zu erwähnen, dass auch der Schalldurchgang durch die Wand selbst eine Rolle spielen kann, wenn die Schallschutzwand keine ausreichende Schalldämmung besitzt. Die Schallversorung auf der Wandrückseite vollzieht sich sowohl durch die oben behandelte Beugung als auch durch die Wand hindurch. Allgemein sind also zwei Übertragungswege zu berücksichtigen. Sie seien hier durch die Transmissionsgrade τB für den Beugungspfad und durch τD für den Durchgangspfad bezeichnet. Das zu den Transmissionsgraden gehörende Schalldämmmaß beträgt nach dessen Definition 1 . (5.130) R = 10 lg τ Weil für beide Wege ein und dieselbe Quelle zählt, gilt für den GesamtTransmissionsgrad τges = τB + τD . (5.131) Faseton Welle 0 Deswegen besteht das Gesamt-Dämmmaß aus −5 125 250 500 1000 2000 4000 Frequenz/Hz Abb. 5.27. Terzpegelminderung im örtlichen Mittel (30 Messpositionen) durch absorbierende Belegung, gemessen hinter einer 3,5 m hohen Wand bei LKWVorbeifahrt (LKW-Höhe ebenfalls 3,5 m) in 1 m Abstand von der Wand für drei unterschiedliche absorbierende Belegungen. Wände der Fa. Rieder, Maishofen, Österreich. Rges = 10 lg 1 1 1 . = 10 lg = 10 lg −R /10 τges τB + τD 10 B + 10−RD /10 (5.132) Etwas übersichtlicher kann man dafür auch Rges = 10 lg 10RB /10 = RB − 10 lg(1 + 10(RB −RD )/10 ) 1 + 10(RB −RD )/10 (5.133) schreiben. Demnach bewirkt ein Durchgangsdämmmaß von RD = RB eine Verschlechterung von 3 dB in der Gesamtwirkung gegenüber einer sehr gut 126 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.5 Abstrahlung und Beugung im dreidimensionalen Raum dämmenden Wand. Für RD = RB + 6 dB beträgt das Gesamt-Dämmmaß Rges = RB − 1 dB; für RD = RB + 10 dB gilt schließlich Rges = RB − 0, 4 dB. Wie oben gezeigt, sind selbst kleinere Zugewinne an Dämmung oft nur mit nicht unbeträchtlichen Bauhöhenzuwächsen erreichbar. Deshalb sollte wenigstens beim Schalldurchgang keine Dämmung verschenkt“ und etwa RD = ” RB + 6 dB angestrebt werden. Es ist naheliegend, die Dämmung von Schallschutzwänden durch aufgesetzte Zylinder zu beeinflussen: wenn man oben auf der Kante einen schallweichen Zylinder z = 0 anbringt, dann macht das Schallfeld - wie in Abschnitt 5.3.3 beschrieben - einen Bogen“ um diesen Reflektor, weil es sich an Flächen z = 0 ” nicht anlegen kann. Das müsste doch in einem längerem Umweg bei gleichzeitig nur geringer Bauhöhen-Vergrößerung der Konstruktion resultieren; es ließen sich also so Schallschutzwände bauen, die akustisch höher“ sind als ” optisch“. Dieser Gedanke wird in den Arbeiten von M. Möser: Die Wir” kung von zylindrischen Aufsätzen an Schallschirmen, ACUSTICA 81 (1995), S. 565-586, näher untersucht. 5.5 Abstrahlung und Beugung im dreidimensionalen Raum Es sei angenommen, dass die radial nach außen weisende Schallschnelle v(ϕ, z) auf einem Zylinder r = a überall bekannt sei. Dieses Problem ist leicht zu lösen, wenn man alle Feldgrößen hinsichtlich der z-Richtung fouriertransformiert: V (k, ϕ) = P (k, r, ϕ) = v(ϕ, z) e−jkz dz (5.134) p(r, ϕ, z) e−jkz dz (5.135) −∞ R∞ −∞ Der Vergleich mit Gl. (5.13) zeigt sich: Der ganze Unterschied zu den zweidimensionalen Problemen besteht darin, dass an die Stelle von k02 hier nun k02 − k 2 tritt. Für Ansätze der Form (der Einfachheit halber ist p(ϕ) = p(−ϕ) angenommen) ∞ X P (k, ϕ, r) = cos(nϕ) fn (r) (5.138) n=0 erhält man also diesmal 5.4.6 Beugung an Wänden mit aufgesetzten Zylindern R∞ 127 Wenn P einmal bekannt ist, dann braucht man nur noch die Rücktransformation Z∞ 1 p(r, ϕ, z) = P (k, r, ϕ) ejkz dk (5.136) 2π −∞ auszuführen und erhält den Druck p. Die Wellengleichung (5.12) wird ebenfalls über z fouriertransformiert und liefert ∂2P 1 ∂P 1 ∂2P + + + k02 − k 2 P = 0 (5.137) ∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 (2) fn (r) = An · H(1) n (kr r) + Bn Hn (kr r) (5.139) kr2 = k02 − k 2 (5.140) worin Weil kr2 größer oder kleiner als Null sein kann, ist kr reell oder imaginär. Es ist empfehlenswert, das Vorzeichen beim Wurzelziehen jetzt zu definieren: ( p k02 > k 2 + k02 − k 2 p (5.141) kr = 2 2 −j k − k0 k02 < k 2 Offensichtlich können diesmal - abhängig von k - auch Bessel- und Hankelfunktionen eines imaginären Arguments auftreten. Sie bereiten keinerlei nummerische Schwierigkeiten (MATLAB R z. B. lässt allgemein komplexe Argumente zu). Auch die Gleichungen (5.19) bis (5.30) behalten für komplexe x ihre Gültigkeit. Gleichung (5.21) liefert folgende anschauliche Zuordnungen: (2) Hn (kr r) beschreibt • • (2) für reelles kr eine in r-Richtung nach außen laufende Welle, Hn ∼ e−jkr r , für imaginäres kr = −j|kr | ein nach außen exponentiell abklingendes Feld, (2) Hn ∼ e−|kr |r , (1) und Hn (kr r) beschreibt • • für reelles kr eine entgegen der r-Richtung nach innen laufende Welle, (2) Hn ∼ ejkr r und für imaginäres kr = −j|kr | ein nach innen exponentiell abklingendes (2) Feld, Hn ∼ e|kr |r . Für das Abstrahl-Problem macht man daher den Ansatz P (k, ϕ, r) = ∞ X n=0 An cos(nϕ) H(2) n (kr r) (5.142) 128 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.6 Schallausbreitung in Rohren (Kundtsches Rohr) Es müssen nun nur noch (auf genau dem gleichen Weg wie in Abschnitt 5.3.2 beschrieben) die Koeffizienten An aus V (k, ϕ) bestimmt werden, und das Problem ist gelöst. Für Aufgabenstellungen, in denen Reflexionen vorkommen können (Beugung am Zylinder z. B.), muss man natürlich P (k, ϕ, r) = ∞ X n o (1) cos(nϕ) An H(2) n (kr r) + Bn Hn (kr r) (5.143) n=0 ansetzen. Punkt-Quellen ließen sich durch v(a + ε) − v(a − ε) = Q δ(ϕ − ϕ0 ) · δ(z) (5.144) modellieren. 5.6 Schallausbreitung in Rohren (Kundtsches Rohr) In diesem Abschnitt wird die Schallausbreitung in einem mit einem Gas gefüllten Rohr mit Kreisquerschnitt behandelt (Radius = a, z-Achse = RohrAchse). Die Rohrwandung wird dabei • • entweder als schallhart mit vr (r = a, ϕ) = 0 oder als schallweich mit p(r = a, ϕ) = 0 angenommen. Der schallharte Fall kommt z. B. bei den für die Messung von Absorptionsgraden verwendeten sogenannten Kundtschen Rohren“ vor; oft ” handelt es sich dabei um Rohre mit einem sehr steifen und schweren Stahlmantel. Schallweiche Rohre würden z. B. einem luftgefüllten Schlauch aus weichem und leichtem Material in Wasser entsprechen. Eine solche Anordnung ist praktisch sicher nur sehr selten wirklich auch von Interesse. Andererseits bedeutet die Mit-Behandlung des schallweichen Zylinders bei der Betrachtung des schallharten Falles nur eine recht geringfügige Mehrarbeit. Überdies besteht zwischen den Glasfaserkabeln zur Leitung von Licht und gerade dem schallweichen, gasgefüllten Zylinder eine Analogie, so dass vielleicht schon aus diesem Grund der zusätzliche Aufwand lohnt. Zur Bestimmung des Schallfeldes im Inneren des Rohres geht man von dem naheliegenden Ansatz p(r, ϕ, z) = ∞ X Rn (r) cos(nϕ) e−jkz z (5.145) n=0 aus. Dabei sind die beiden folgende Annahmen und Überlegungen berücksichtigt worden: • Bezüglich der Umfangsrichtung ϕ wurde Symmetrie p(−ϕ) = p(ϕ) vorausgesetzt; falls das nicht der Fall ist, muss die Lösung wie vorne um den ungeraden Anteil ergänzt werden. • 129 Hinsichtlich der Rohr-Längsrichtung z ist eine Wellenausbreitung mit den zunächst noch unbekannten Wellenzahlen kz angenommen worden. Falls man imaginäre kz erhält, liegen exponentiell abklingende Nahfelder vor. Zunächst müssen die noch nicht bestimmten Funktionen Rn (r) aus der Helmholtz-Gleichung 5.12 bestimmt werden. Durch Einsetzen der Summanden des Ansatzes (5.145) erhält man 1 dRn n2 d2 Rn 2 2 + (5.146) + k0 − kz − 2 Rn = 0 . dr2 r dr r Der Vergleich mit der Differentialgleichung (5.16) mit den Lösungen Jn (k0 r) und Nn (k0 r) zeigt, dass auch diesmal die Lösungen Rn in Bessel- und Neumann-Funktionen bestehen Rn (r) = an Jn (qr) + bn Nn (qr) nur dass diesmal k0 durch q mit q 2 = k02 − kz2 (5.147) ersetzt werden musste. Weil die Neumannfunktionen wieder Pole auf der Rohrachse r = 0 besitzen, kommen sie hier nicht als Ansatzfunktionen in Frage. Damit geht der Ansatz Gl. (5.145) über in p(r, ϕ, z) = ∞ X an Jn (qr) cos(nϕ) e−jkz z , (5.148) n=0 wobei die Wellenzahlen kz und die Koeffizienten q in den Bessel-Funktionen noch durch Gl. (5.147) miteinander verknüpft sind. Wie das Folgende zeigt, folgen die Zahlenwerte von möglichen q direkt aus den Randbedingungen am Zylinder-Mantel. Man bestimmt nun also alle denkbaren Werte von q und dann aus Gl. (5.147) die zugehörigen Wellenzahlen für die Ausbreitung entlang der z-Richtung. Dabei müssen natürlich die beiden genannten prinzipiellen Randbedingungen, schallharte Wandung mit vr (r = a, ϕ) = 0 oder schallweiche Berandung mit p(r = a, ϕ) = 0, getrennt betrachtet werden. Weil der schallweiche Fall (ein wenig) leichter ist, sei mit ihm begonnen. Schallweicher Mantel Ganz offensichtlich müssen die zugelassenen Zahlenwerte von q so beschaffen sein, dass Jn (qa) = 0 (5.149) gilt. Die möglichen qa sind also die Nullstellen der Besselfunktion. Um das präzise zu formulieren, bezeichnet man die Nullstellen der Besselfunktion Jn (x) mit xnm . Es gilt also Jn (xnm ) = 0; xnm gibt demnach die m-te Nullstelle der Besselfunktion Jn der Ordnung n an. Die Zahlenwerte von xnm kann 130 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 5.6 Schallausbreitung in Rohren (Kundtsches Rohr) man im Prinzip dem Bild 5.4 (besser natürlich einer Tabelle) entnehmen; einige Werte sind in der folgenden Tabelle genannt. Dabei sind die Nullstellen Jn (0) = 0 (n > 0) nicht mit aufgeführt, denn diese Summanden liefern keinen Beitrag zum Schallfeld und können deshalb einfach weggelassen werden. Die zugelassenen Werte von q ergeben sich dann aus q= xnm . a (5.150) 131 r Die enthaltenen Lösungs-Bausteine Jn xnm a cos(nϕ) werden als Moden bezeichnet. Das sind also einfach Ortsfunktionen, die die möglichen DruckQuerverteilungen darstellen. Jedes Schallfeld im Rohr kann nur aus einer Moden-Summe bestehen. Jede Mode hat dabei eine andere Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung z, die sich aus Gl. (5.147) und (5.150) zu x 2 nm (5.153) kz2 = k02 − q 2 = k02 − a ergibt. Natürlich kann die rechte Seite positiv oder negativ sein: Tabelle 5.2. Nullstellen xnm von Jn (x) (es gilt also Jn (xnm ) = 0) J0 (x): J1 (x): J2 (x): 2,405 3,832 5,136 5,520 7,016 8,417 • Ist kz2 > 0, dann ist die Wurzel kz reell. Es seien nur Wellen betrachtet, die in z−Richtung laufen (und nicht solche, die sich entgegen der z−Richtung ausbreiten); dafür wird dann die positive Wurzel kz = |kz | ausgewählt. Insgesamt erhält man also eine Wellenausbreitung e−jkz z mit der Phasengeschwindigkeit ω cz = (5.154) kz • Für kz2 < 0 ist die Wurzel kz imaginär, d. h. es ist kz = −j|kz |. Es seien nur Felder betrachtet, die in z−Richtung fallen (und nicht solche, die anwachsen): dafür wird dann, wie gesagt, die Wurzel kz = −j|kz | ausgewählt. Insgesamt erhält man also exponentielle fallende, sogenannte Nahfelder der Form e−|kz |z . 8,654 10,17 11,62 Schallharter Mantel Beim schallharten Mantel besteht der ganze Unterschied darin, dass Gl. (5.149) durch J0n (qa) = 0 (5.151) ersetzt werden muss (wie stets bedeutet das Hochkomma die Ableitung nach dem Argument). Alles bleibt gleich, nur dass diesmal unter xnm die Nullstellen der Ableitung von Jn (x) zu verstehen sind. Es gilt also J0n (xnm )=0. Einige Zahlenwerte findet man in der folgenden Tabelle. Wieder sind Nullstellen xnm =0 weggelassen worden, wenn sie keinen Beitrag zum Schallfeld liefern (das ist für J0 (0) = 0 NICHT der Fall, weswegen das auch mit aufgelistet ist). Wenn man in wachsenden Frequenzen denkt, dann besteht eine Mode (nm) zunächst aus einem Nahfeld; erst bei einer gewissen cut-on-Frequenz“ fnm ” wird sie zur ausbreitungsfähigen Welle. Offensichtlich gilt für die cut-onFrequenz xnm c . (5.155) ωnm = 2πfnm = a Die Phasen-Geschwindigkeiten cz der Moden kann man dann auch durch cz = Tabelle 5.3. Nullstellen xnm von J0n (x) (es gilt also J0n (xnm ) = 0) J00 (x): J01 (x): J02 (x): 0 1,841 3,054 3,832 5,331 6,706 0 5,136 8,536 9,969 p(r, ϕ, z) = n=0 m=1 anm Jn xnm r a −jkz z cos(nϕ) e (5.156) a ausdrücken. Die Phasen-Geschwindigkeiten sind stets größer als die Geschwindigkeit c der freien Wellen. Die Gruppen-Geschwindigkeiten cG werden aus In beiden Fällen wird jetzt ein allgemeiner Lösungsansatz formuliert, der alle Möglichkeiten enthält: ∞ X ∞ X ω c ω =p =q 2 kz xnm 2 2 1 − ( ωnm k −( ) ω ) , (5.152) Je nach betrachtetem Mantel (weich oder hart) sind nur die entsprechenden Zahlenwerte Jn (xnm ) = 0 (weich) oder J0n (xnm ) = 0 (hart) zu benutzen. 1 cG = dkz (5.157) r ωnm 2 ) cG = c 1 − ( ω (5.158) dω zu bestimmt. Die Gruppen-Geschwindigkeiten sind stets kleiner als die Geschwindigkeit c der freien Wellen. Für den Fall der schallharten Rohrwandung breitet sich zwischen der tiefsten cut-on-Frequenz ω01 =0 und der nächsthöheren cut-on-Frequenz ω11 = 132 5 Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten 1, 841 c/a (siehe Tabelle 5.6), also im Frequenzbereich 0 < ω < ω11 , nur die Mode mit konstanter Querverteilung aus. In ausreichender Entfernung von der Quelle besteht das Schallfeld also nur noch in p(r, φ, z) = a01 e−jk0 z . (5.159) Oberhalb von ω11 können dann andere ausbreitungsfähige Moden dazu kommen; das Schallfeld im Rohr ist dann nicht mehr eben. Für den Fall der schallweichen Rohrwandung ist die tiefste vorkommende cut-on-Frequenz mit ω01 = 2, 405 c/a größer als Null (siehe Tabelle 5.6). Deshalb existieren im Frequenzband ω < ω01 ausschließlich Nahfelder: in diesem Frequenzband findet gar keine Wellenausbreitung statt! Der Wellenleiter wird erst oberhalb von ω01 sozusagen in Betrieb gesetzt“. Schallweich be” randete Rohre wären deshalb (im genannten Frequenzbereich) ausgezeichnete Schalldämpfer. Leider zeigt die Betrachtung der Realisierungsmöglichkeiten, dass diese nur recht schmalbandig herstellbar sind (siehe Vorlesung Technische Akustik II ). Schließlich bliebe noch die Frage offen, wie die bislang noch unbekannt gebliebenen modalen Amplituden anm berechnet werden können. Natürlich wird die Größe eines Schallfeldes immer von der Quelle bestimmt, und das ist auch hier der Fall. Deshalb muss es möglich sein, die modalen Amplituden aus der Quelle zu berechnen. Am einfachsten nimmt man dazu an, dass die z-gerichtete Schallschnelle an der beliebig gewählten Stelle z = 0 bekannt sei: die Schnellevorgabe vz (r, ϕ) bildet damit die Quelle (die beispielsweise durch die Schwingungen einer gestreckten Membran dann realisiert werden könnte). Im nächsten Schritt entwickelt man vz (r, ϕ) nun in Moden-Funktionen vz (r, ϕ) = r cos(nϕ) , Vnm Jn xnm a n=0 m=1 ∞ X ∞ X (5.160) (wobei die Koeffizienten Vnm durch Integration über r vz (r, ϕ)Jn xnm cos(nϕ) a berechnet werden können) und vergleicht das mit der aus dem Ansatz (5.152) folgenden Schnelle vz (r, ϕ, z = 0) = ∞ ∞ 1 X X kz r anm Jn xnm cos(nϕ) . %0 c n=0 m=1 k0 a Dieser Vergleich liefert anm = %0 cVnm k0 , kz womit die modalen Amplituden berechnet worden sind. (5.161) (5.162) Literaturverzeichnis 1. Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions, 9th Dover Printing, Dover, New York (1972) 2. Bronstein, I.; Semendjajew, K.: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Frankfurt am Main (2001) 3. Cremer, L.; Heckl, M.: Körperschall, Springer, Berlin (1994) 4. 5. Gradshteyn, I.S.; Rhyzik, I.M.: Tables of Integrals, Series and Products, Academic Press, New York (1980) Gröbner, W.; Hofreiter, N.: Integraltafel, 4. Auflage, Springer, Wien (1965) 6. Heckl, M.: Abstrahlung von ebenen Schallquellen, ACUSTICA 37 (1977), S. 155 – 166 7. Kuttruff, H.; Quadt, H.P.: Elektroakustische Schallquellen mit ungebündelter Schallabstrahlung, ACUSTICA 41 (1978), S. 1 – 10 8. Kuttruff, H.; Quadt, H.P.: Lautsprecherzeilen mit ungebündelter Schallabstrahlung, Fortschritte der Akustik – DAGA’78, Bad Honnef (1978), S. 637 – 640 9. Kuttruff, H.; Sung, K.M.: Piezoelektrische Ultraschallsender mit ungebündelter Schallabstrahlung, ACUSTICA 43 (1979), S. 162 – 166 10. Möser, M.: Schallabstrahlung durch ebene Strahler, Fortschritte der Akustik – DAGA’85, Bad Honnef (1985), S. 63 – 70 11. Möser, M.: Die Wirkung von zylindrischen Aufsätzen an Schallschirmen, ACOUSTICA 81 (1995), S. 565 – 586 12. Möser, M.: Schallschutzwände mit verbesserter Schattenwirkung, Fortschritte der Akustik – DAGA 2001 (2001) 13. Möser, M.: Technische Akustik, 7. Auflage, Springer, Berlin (2007) 14. Möser, M.; Volz, R.: Improvement of sound barriers using headpieces with finite acoustic impedance, J. Acoust. Soc. Am. 106 (1999), S. 3049 – 3060 15. Morse, P.M.: Vibration and Sound, McGraw-Hill, New York (1948) 16. Morse, P.M.; Ingard K.U.: Theoretical Acoustics, McGraw-Hill, New York (1968) 17. Müller, G.; Möser, M.: Taschenbuch der Technischen Akustik, 4. Auflage, Springer, Berlin (2004) 18. Skudrzyk, E.: The Foundations of Acoustics, Springer, Wien (1971)

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