Inhalte der Vorlesung
§
HW-Entwurf mit VHDL
§
Darstellung von Information
§
Boolesche Algebra
§
Gatter und Schaltnetze
§
Logikoptimierung
§
Automaten
§
Schaltwerke
§
Entwurf auf RT Ebene
§
Fehlerkorrigierende Codes
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
1
Motivation
§ Bisher
• Wertetabelle für Boolesche Funktion liefert DNF
• Optimierung der DNF hängt von der gewünschten
technischen Realisierung ab
§ In diesem Kapitel
• Optimierung für PLA Implementierung als Beispiel
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Optimierung
2
PLA-Kosten für f: {0,1}n ® {0,1}m
Hauptkosten
§ Gesamtanzahl der
Produktterme bestimmt
Anzahl der Zeilen im UND
Feld
§ Anzahl der Produktterme für
fi bestimmt Hardwarekosten
für Spalte im ODER Feld
§ Anzahl der Literale in einem
Produktterm bestimmt
Hardwarekosten für die Zeile
Digitaltechnik - SS 2025
a0 a0’
an-1 an-1’
…
…
f0
UND Feld
fm-1
ODER Feld
Optimierung
3
Optimierungsziele
§ Gegeben
• Boolesche Funktion f: {0,1}n ® {0,1}
§ Gesucht
• Disjunktive Form mit minimalen Kosten,
d.h. mit minimaler Zahl von Produkttermen.
• Bei gleicher Zahl von Produkttermen wird die disjunktive
Form mit minimaler Gesamtzahl von Literalen bevorzugt.
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Optimierung
4
Grundlage: Minimierungstheorem*
§ Minterme in der Einsstellenmenge, die sich nur in
einem Literal unterscheiden, können
zusammengefasst werden
§ Beispiel: f(a,b,c) = abc + abc‘ = ab(c + c‘) = ab
§ Gilt auch allgemein für Produktterme, die eine
Teilmenge der Einstellenmenge beschreiben
(„Implikanten“)
* wird auch als Vereinigungstheorem bezeichnet
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Optimierung
5
Geometrische Veranschaulichung
Betrachte f: {0,1} 3 ® {0,1}, f(a,b,c) = abc + abc’ = ab(c+c’)
@ abc
Einsstelle
Minterme @ Ecken
c
@ abc’
b
a
@ ab Produktterm
Für benachbarte Ecken im Würfel gilt das Minimierungstheorem
Zusammenfassen von Einsstellen zu Kanten, Flächen des Würfels @ Ausklammern
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Optimierung
6
Allgemein
§ Jede Boolesche Funktion in n Variablen lässt
sich durch Markieren der Einsstellen in einem
n-dimensionalen Würfel darstellen
§ Produktterme mit k Literalen entsprechen
(n-k)-dimensionalen Teilwürfeln
§ Minterme entsprechen den Eckpunkten
(0-dim. Teilwürfel)
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Optimierung
7
Definitionen (1)
§ £-Relation für Boolesche Funktionen und Terme:
• Seien f: {0,1} n ® {0,1} und g: {0,1} n ® {0,1} Boolesche
Funktionen mit Einsstellenmengen E(f) und E(g).
Wenn E(f) Ì E(g) gilt, sagt man auch
“f ist kleiner oder gleich g” (f £ g).
• Seien F und G Boolesche Terme mit zugehörigen
Funktionen f und g. Man sagt F £ G, wenn f £ g gilt.
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Optimierung
8
Definitionen (2)
§ Implikant
• Sei T ein Boolescher Ausdruck. Ein Produktterm P heisst
Implikant von T, wenn P £ T gilt.
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Optimierung
9
Beispiel 1:
Einsstelle
Implikant
c
b
a
Implikanten: a’b’c’, ab’c’, a’bc’, abc’, a’bc, b’c’, bc’, a’c’, ac’, a’b, …
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Optimierung
10
Optimierung
§ Geometrische Formulierung des
Optimierungsproblems
• Suche eine möglichst kleine Menge von Implikanten, welche
die Einsstellenmenge “überdeckt”.
• Bei Mengen gleicher Größe wird die Lösung mit der
kleineren Gesamtzahl an Literalen bevorzugt.
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Optimierung
11
Beispiel 2: f(a,b,c) = a’b’c’ + ab’c’ + a’bc’+ a’bc
Einsstelle
c
Minimale
b
a
Überdeckung der
Einsstellenmenge
mit
Kanten/Flächen
Disjunktive Form nach der Optimierung: b’c’ + a’b
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Optimierung
12
Nochmal Beispiel 1:
Einsstelle
Implikant
c
b
a
Für Lösung mit minimaler Zahl von Implikanten, genügt es solche
Implikanten zu betrachten, die in keinen anderen enthalten sind.
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Optimierung
13
Definitionen (3)
§ Primimplikant
• Sei T ein Boolescher Ausdruck und P ein Implikant von T.
P heisst Primimplikant, wenn P ein maximaler Implikant ist,
d.h. es gibt keinen Implikanten Q mit P < Q £ T .
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Optimierung
14
Nochmal Beispiel 1:
Einsstelle
Primimplikant
c
b
a
Implikanten: a’b’c’, ab’c’, a’bc’, abc’, a’bc, b’c’, bc’, a’c’, ac’, a’b, …
Primimplikanten: c’, a’b
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Optimierung
15
Beobachtung
§ Für Produktterme P und Q mit P £ Q gilt:
• Anzahl der Literale in P ³ Anzahl der Literale in Q
§ Bei Primimplikanten kann man keine Literale mehr
weglassen.
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Optimierung
16
Quine’s Primimplikanten Satz
§ Satz
• Sei f: {0,1} n ® {0,1} eine Boolesche Funktion. Eine
disjunktive Form D mit minimalen Kosten besteht nur aus
Primimplikanten.
§ Beweis
• Wenn D einen Implikanten P enthält, der kein Primimplikant
ist, dann gibt es einen Primimplikanten P* mit P < P*. P
kann durch P* ersetzt werden. Weil P* weniger Literale
enthält sinken auf jeden Fall die Kosten.
• Widerspruch!
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Optimierung
17
Ansatz zur Optimierung
§ 1. Schritt
• Bestimme Kanten, Flächen aus Einsstellen, die nicht mehr
vergrößert werden können (“maximale” Implikanten,
“Primimplikanten”)
§ 2. Schritt:
• Wähle daraus eine minimale Überdeckung der Einsstellen
(das Überdeckungsproblem gehört zu den NP-vollständigen
Problemen)
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Optimierung
18
Optimierung nach Karnaugh-Veitch (1952/53)
Abbildung des n-dim. Würfels auf zweidimensionales Diagramm, so
dass für benachbarte Punkte weiterhin das Minimierungstheorem gilt
111
011
c
✄ 101
001
✄
b
010
110
010
111
110
011
a
000
100
000
100
101
001
Auftrennen und Abrollen
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Optimierung
19
KV Diagramm für n-stellige Funktion
§ Diagramm für n-stellige Funktion wird schrittweise
erzeugt.
• Starte mit Rechteck für n=0.
• Vergrößere Diagramme schrittweise durch abwechselndes
Spiegeln am rechten und unteren Rand. Neuer Teil des
Diagramms repräsentiert neue Variable, Rest repräsentiert
neue Variable in invertierter Form.
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Optimierung
20
Variablenzuordnung für n = 0, …,5
a
n=0
n=1
a a
a
n=2
n=3
b
b
c c
a a
n=4
a a
n=5
b
b
d
d
c c
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a a
b
b
d
d
c c c c
e e e e
Optimierung
21
Beispiele für KV-Diagramme
x0
1 0
x0
0 0
x1 0 1
x0
0 1
x1 1 1
Inverter
x0
1
y
UND
x0
x1
&
y
ODER
x0
x1
³1
y
Übung: KV-Diagramme für NAND, NOR, EXOR
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Optimierung
22
Welche Terme werden jeweils dargestellt?
n=2
n=3
a
b
a a
b
c c
n=4
a a
b
b
d
c c
d
n=5
a a
a a
Einsstellen von Term 1
b
b
d
d
Einsstellen von Term 2
Einsstellen von Term 3
c c c c
e e e e
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Optimierung
23
Optimierung
§ Aufstellen des KV-Diagramms
a b c d
y
0
...
0
0
...
1
...
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0 0 0
1 1 0
1 1 1
0 0 0
1 1 0
1 1 1
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a
1
a
1
b
1
1
b
1
1
d
d
c
c
Optimierung
24
Optimierung (2)
§ Ermittlung aller Primimplikanten
a
1
a
1
b
1
1
b
1
1 d
d
• Primimplikanten: b·c, b’·c’·d’
c
c
§ Auswahl einer minimalen Überdeckung
• Disjunktive Form mit minimalen Kosten: b·c + b’·c’·d’
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Optimierung
25
Optimierung (3)
§ Schaltnetz
d
c
1
b
1
1
&
³1
y
&
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Optimierung
26
Problem
§ Graphische Lösung nur für kleine n sinnvoll
• Beispiel: Addierer für 16-bit Zahlen: 33 Eingänge
– Wertetabelle oder KV-Diagramm benötigt 233 Einträge,
– bei ¼ cm2 pro Eintrag à Fläche: 4,6 km2
§ Notwendig: Effiziente Algorithmen
• zur Bestimmung von Primimplikanten und
• zur Lösung des Überdeckungsproblems
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Optimierung
27
Eigenschaften von Implikanten (1)
§ Lemma 1:
• Sei f: {0,1} n ® {0,1} eine Boolesche Funktion und T ein
Implikant von f. Ausserdem enthalte T weder das Literal x
noch x’. Dann sind auch Tx und Tx’ Implikanten von f.
§ Lemma 2:
• Sei f: {0,1} n ® {0,1} eine Boolesche Funktion und Tx, Tx’
Implikanten von f. Dann ist auch T ein Implikant von f.
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Optimierung
28
Eigenschaften von Implikanten (2)
§ Satz
Sei f: {0,1} n ® {0,1} eine Boolesche Funktion. Ein
Produktterm T ist genau dann ein Implikant von f,
wenn gilt:
• T ist ein Minterm von f oder
• Tx und Tx’ sind Implikanten von f und die Literale x und x’
kommen in T nicht vor.
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Optimierung
29
Damit
§ Schrittweise Konstruktion von Implikanten aus
Mintermen möglich
§ Primimplikanten erhält man als maximale Elemente
(keine weitere Zusammenfassung mehr möglich)
§ Bezeichnungen:
• Min(f) Menge aller Minterme einer booleschen Funktion f
• Im(f) Menge aller Implikanten
• Prim(f) Menge aller Primimplikanten
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Optimierung
30
Berechnung von Prim(f) nach Quine
§ Starte mit Min(f)
§ Suche Paare von Mintermen, die sich nur in einer
Variable unterscheiden (Hammingabstand 1)
§ Für “Partner” Minterme Mx und Mx’ ist M in Im(f)
§ Wiederhole das Verfahren solange, bis keine Partner
mehr gefunden werden können
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Optimierung
31
Pseudocode
Quine(f) {
// f boolesche Funktion mit n Variablen
// L[i] enthaelt Implikanten der Laenge n-i
L[0] = Min(f);
Prim(f) = {};
i = 1;
while (L[i-1] != {} && i<n) {
L[i] = {m|mx Î L[i-1] und mx’ Î L[i-1] für ein Literal x};
P[i] = {m|m Î L[i-1] und m hat keinen Partner in L[i-1]}
Prim(f) = Prim(f) È P[i];
i = i+1;
}
return Prim(f) È L[i-1];
}
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Optimierung
32
Beispiel
x1 x2 x3 x4
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Digitaltechnik - SS 2025
f(x1,x2,x3,x4)
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Optimierung
33
L0 = {x1’x2’x3’x4’,
x1’x2’x3’x4,
x1’x2’x3x4’,
x1’x2’x3x4,
x1’x2x3x4,
x1x2x3x4}
L1 = {x1’x2’x3’,
x1’x2’x4’,
x1’x2’x3,
x1’x3x4,
x1’x2’x4,
x2x3x4}
L2 = {x1’x2’}
L3 = {}
P2 = {x1’x3x4,
x2x3x4}
P3 = {x1’x2’}
Prim(f) = {x1’x3x4, x2x3x4 , x1’x2’}
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
34
Alternative Darstellung
L0 = {0000,
0001,
0010,
0011,
0111,
1111}
L1 = {000-,
00-0,
001-,
0-11,
00-1
-111}
Prim(f) = {0-11, -111, 00--}
Digitaltechnik - SS 2025
L2 = {00--}
L3 = {}
P2 = {0-11,
-111}
P3 = {00--}
0: Variable kommt negiert vor
1: Variable kommt positiv vor
-: Variable kommt nicht vor (“don’t care”)
Optimierung
35
Verbesserung von McCluskey*
§ Vergleiche nur Implikanten,
• welche die gleichen Variablen enthalten und
• bei denen sich die Zahl der positiven Literale um 1
unterscheidet
§ Vorgehen
• Bilde Klassen von Termen mit gleichen Variablen
• Ordne Terme nach Zahl der positiven Literale, bilde
entsprechende Blöcke
* E. J. McCluskey: Minimization of Boolean Functions, Bell Syst. Tech. J., Vol. 35, No. 5, pp. 1417-1444, 1956
siehe
auch: https://legacy.cs.stanford.edu/memoriam/professor-edward-j-mccluskey
Digitaltechnik
- SS 2025
Optimierung
36
Beispiel
0111
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
L0{x1,x2,x3,x4}:
0000
0001
0100
1000
0011
0101
1001
1010
1100
0111
1101
1110
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
x1
Optimierung
37
Beispiel
0111
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
L0{x1,x2,x3,x4}:
0000
0001
0100
1000
0011
0101
1001
1010
1100
0111
1101
1110
L1{x1,x2,x3}:
000–
...
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
x1
Optimierung
38
Beispiel
0111
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
L0{x1,x2,x3,x4}:
0000
0001
0100
1000
0011
0101
1001
1010
1100
0111
1101
1 1 1 0·
L1{x1,x2,x3}:
000–
...
L1{x1,x3,x4}:
0-00
...
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
x1
Optimierung
39
Beispiel
0111
L1{x1,x2,x3}:
000010100110-
L1{x1,x2,x4}:
00-1
10-0
01-1
11-0
L1{x1,x3,x4}:
0-00
0-01
1011
1-00
0-11
x2
1-01
x3
1-10
x1
L1{x2,x3,x4}:
-000
-001
-100
-101
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1000
1001
x4
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
40
L2{x1,x4}:
0--1
1--0
Beispiel
0111
L1{x1,x2,x3}:
000010100110-
L1{x1,x2,x4}:
00-1
10-0
01-1
11-0
L1{x1,x3,x4}:
0-00
0-01
1011
1-00
0-11
x2
1-01
x3
1-10
x1
L1{x2,x3,x4}:
-000
-001
-100
-101
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1000
1001
x4
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
41
Beispiel
0111
L2{x1,x2}:
L2{x1,x3}:
0-01-0-
L2{x1,x4}:
0--1
1--0
L2{x2,x3}:
-00–
-10-
L2{x2,x4}:
L2{x3,x4}:
--00
--01
1111
1101
0101
0110
prim
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
x1
Optimierung
42
Beispiel
0111
L2{x1,x2}:
L2{x1,x3}:
0-01-0-
L2{x1,x4}:
0--1
1--0
L2{x2,x3}:
-00-10-
L2{x2,x4}:
L2{x3,x4}:
--00
--01
1111
1101
0101
0110
prim
1110
0100
1100
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
prim
L3{x3}:
--0-
x1
Optimierung
43
Ausblick - „Don’t Cares“ (1)
§ Don‘t Cares im bisherigen Sinne („-“) vereinfachen die
Schreibweise
§ Beispiel: Zu den Primimplikanten
0--1, 1--0 und --0- gehören folgende Einstellen:
0--1: 0001, 0011, 0101, 0111
1--0: 1000, 1010, 1100, 1110
--0-: 0000, 0001, 0100, 0101, 1000, 1001, 1100, 1100
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
44
Ausblick - „Don’t Cares“ (2)
Don‘t Cares in der Ausgabe (für Entwerfer egal, ob Wert 0 oder 1
angenommen wird) verbessern die Optimierungsmöglichkeiten
abc
000
001
010
011
100
101
110
111
f(a,b,c)
0
0
0
0
1
01
1
Einsstelle
Don‘t Care
c
b
a
Primimplikanten: 1-0, 11Primimplikanten mit Don‘t Cares: 1-Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
45
Komplexität des Verfahrens (1)
§ Lemma 1
• Es gibt 3n verschiedene Produktterme in n Variablen
§ Beweis
Für Produktterm T und Variable x gibt es folgende Möglichkeiten:
• T enthält weder das positive noch das negative Literal von x
• T enthält das positive Literal x
• T enthält das negative Literal x‘
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
46
Komplexität des Verfahrens (2)
§ Lemma 2
• Das Verfahren von Quine-McCluskey macht höchstens O(n!·3n)
viele Vergleiche.
§ Beweis
• Es gibt höchstens n Implikanten mit k positiven Literalen.
k
• Die maximale Größe eines Blocks ist also
n
n/2 ≤ n!
• Jeder Produkterm wird nur mit Implikanten aus den benachbarten
Blöcken verglichen. Anzahl der Vergleiche pro Produktterm ist also
O(n!).
• Mit Lemma 1 folgt damit die Behauptung.
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
47
Komplexität des Verfahrens (3)
§ Folgerung
• Das Verfahren von Quine-McCluskey benötigt eine Laufzeit
von O(n! ·3n·n).
§ Beweis
• Jeder Vergleich kostet O(n) Zeit.
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
48
Lösung des Überdeckungsproblems
§ Gesucht: Kostenminimale Überdeckung der
Einsstellen mit Primimplikanten.
§ Problem: Überdeckungsproblem ist NP-vollständig
(nach derzeitigem Wissen optimale Lösung im Worst
Case nur mit exponentiellem Aufwand möglich)
§ Vorgehen:
• Reduktion der Problemgröße
• Arbeiten mit Heuristiken
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
49
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
50
Geeignete Darstellung??
0111
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
Prim(f) = {0-11, -111, 00--}
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
1001
x2
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
L0 = {0000,
0001,
0010,
0011,
0111,
1111}
Darstellung muss angeben,
wie Einsstellen/Minterme
von Primimplikanten
überdeckt werden
x1
Optimierung
51
Matrixdarstellung
1: Primimplikant
überdeckt
Einsstelle/Minterm
Einsstellen/
Minterme
0000
Primimplikanten
0001 0010
0011
0111
1111
0-11
0
0
0
1
1
0
-111
0
0
0
0
1
1
00--
1
1
1
1
0
0
“Primimplikantentafel”
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
52
Überdeckungsproblem
§ Gegeben:
• Primimplikantentafel für boolesche Funktion f
§ Gesucht:
• Minimale Zahl von Zeilen, die alle Minterme mit Einsen
abdecken
• Bei mehreren Lösungen wird die Lösung mit weniger
Literalen bevorzugt.
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
53
Problemreduktion
§ Wesentliche Implikanten (Kernprimimplikanten)
• Ein Primimplikant P heisst wesentlich (essential), wenn er
einen Minterm überdeckt, der von keinem anderen
Primimplikanten überdeckt wird
• Wesentliche Primimplikanten brauchen bei der Lösung des
Überdeckungsdeckungsproblems nicht berücksichtigt zu
werden (gehören sowieso zur Lösung)
• Reduktionsregel 1: Streiche aus der Primimplikantentafel
alle wesentlichen Primimplikanten und alle Minterme, die
davon überdeckt werden.
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
54
Beispiel 1
0111
L0 = {0000,
0001,
0010,
0011,
0111,
1111}
1111
1101
0101
0110
1110
0100
1100
Prim(f) = {0-11, -111, 00--}
0010
1010
0011
0000
0001
1011
1000
wesentlich
1001
x2
x3
x4
Digitaltechnik - SS 2025
x1
Optimierung
55
Matrixdarstellung
Einsstellen/
Minterme
0000
Primimplikanten
0001 0010
0011
0111
1111
0-11
0
0
0
1
1
0
-111
0
0
0
0
1
1
00--
1
1
1
1
0
0
Optimale Lösung: {-111,00--}
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
56
Beispiel 2
Einsstellen/
Minterme
Primimplikanten
0-00
-000
10-0
0-11
-011
10101--
0000
1
1
0
0
0
0
0
0011 0100
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0101
0110
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0111 1000
0
0
0
1
0
0
1
1010
1011
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
Optimierung
57
0
1
1
0
0
0
0
Lösung enthält auf jeden Fall: 01-Digitaltechnik - SS 2025
Weitere Problemreduktion
§ Zeilendominanz
• Ein Primimplikant P dominiert einen Primimplikanten Q,
wenn alle von Q überdeckten Minterme auch von P
überdeckt werden
• Wenn P nicht mehr Literale hat als Q, braucht nur noch P als
Lösungskandidat betrachtet zu werden. Q kann gestrichen
werden.
• Kann erst nach vorangehenden Reduktionen auftreten
(warum?)
• Reduktionsregel 2: Streiche alle Primimplikanten, die von
anderen, nicht teueren dominiert werden
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
58
Beispiel 2
Einsstellen/
Minterme
Primimplikanten
0-00
-000
10-0
0-11
-011
10101--
0000
1
1
0
0
0
0
0
0011 0100
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0101
0110
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0111 1000
0
0
0
1
0
0
1
1010
1011
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
Optimierung
59
0
1
1
0
0
0
0
Lösung enthält auf jeden Fall: 01-Digitaltechnik - SS 2025
Beispiel 2 - reduziert
Einsstellen/
Minterme
Primimplikanten
-000
10-0
-011
101-
0000
1
0
0
0
0011 1000
0
0
1
0
Lösung enthält auf jeden Fall: 01-Weitere Reduzierung durch Streichen
wesentlicher Primimplikanten: -000 und
-011 kommen zur Lösung hinzu.
Digitaltechnik - SS 2025
1
1
0
0
1010
1011
0
1
0
1
0
0
1
1
Lösung 1: {01--,-000,-011,10-0}
Lösung 2: {01--,-000,-011,101-}
Optimierung
60
Weitere Problemreduktion
§ Spaltendominanz
• Ein Minterm M dominiert einen Minterm N, wenn alle
Primimplikanten, die N überdecken, auch M überdecken
• Minterme, die andere dominieren, können aus der
Primimplikantentafel entfernt werden
• Reduktionsregel 3: Entferne alle Minterme, die einen
anderen Minterm dominieren
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
61
Beispiel 1
Einsstellen/
Minterme
0000
Primimplikanten
0001 0010
0011
0111
1111
0-11
0
0
0
1
1
0
-111
0
0
0
0
1
1
00--
1
1
1
1
0
0
Optimale Lösung: {-111,00--}
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
62
Insgesamt
§ Wende die drei Reduktionsregeln solange an, bis
keine Reduktion mehr möglich ist
§ Löse Restproblem
• Heuristiken (z.B. ESPRESSO, Berkeley)
• Suchbaum, Verzweigungsmethode, “Branch-and-Bound”
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
63
Einfache Heuristik
§ Schritt 1: Wähle Primimplikanten P, der die meisten
Minterme überdeckt und füge ihn zur Lösung hinzu
§ Schritt 2: Streiche P und die überdeckten Minterme
aus der Primimplikantentafel
§ Schritt 3: Wenn die Primimplikantentafel noch nicht
leer ist, führe evt. mögliche Reduktionen durch
§ Wenn die Primimplikantentafel noch nicht leer ist,
gehe zurück zu Schritt 1
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
64
Branch-and-Bound, Divide and Conquer,
Verzweigungsmethode
p2 = 1, Lösung enthält 10-0
Idee:
§ Teile Überdeckungsproblem
schrittweise in Teilprobleme
p1
p2
p3
p4
-000
10-0
-011
101-
0000 0011 1000 1010 1011
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
auf und untersuche
Teilprobleme getrennt weiter
§ Aufteilungskriterium:
• pi = 1
• pi = 0
Digitaltechnik - SS 2025
p2 = 0, Lösungsmenge noch leer
p1
p2
p3
p4
-000
10-0
-011
101-
0000 0011 1000 1010 1011
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
Optimierung
65
Ergebnis: Binärer Suchbaum
start
1
p1
p2
1
0
0
...
...
p3
1
0
...
p4
1
0
...
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
66
Lösung mit Hilfe des Suchbaums
§ Wenn der Suchbaum komplett durchlaufen wird,
werden alle Lösungsmöglichkeiten untersucht. Die
optimale Lösung wird gefunden.
§ Die Suche kann abgebrochen werden, wenn klar ist,
dass auf dem Pfad
• keine Lösung gefunden werden kann (z. B. pi = 0 macht bei
wesentlichen Primimplikanten keinen Sinn)
• die bisher beste Lösung nicht mehr verbessert werden kann
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
67
Im Beispiel
start
1
p1
p2
1
0
p1 -000
p2 10-0
p3 -011
p4 101-
0000
1
0
0
0
0
wesentlicher
Primimplikant
p3
1
0
1
0
2. Lösung
p4 1
Lösung
schlechter als
bisher beste
1
wesentlich
für Restproblem
0
wesentlich
für Restproblem
Lösung mit
3 Primimplikanten gefunden
0011 1000 1010 1011
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
Suchstrategie
§ Versuche möglichst schnell zu einer ersten Lösung
zu kommen
• z. B. Verzweige immer zuerst nach links
§ Reihenfolge der pi’s im Suchbaum ist beliebig.
Versuche Reihenfolge so zu definieren, dass gute
Lösungen zuerst gefunden werden
• z. B. Untersuche erst Primimplikanten, die möglichst viele
Minterme überdecken
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
69
Beispiel
§ Funktion f: {0,1}4 ® {0,1} gegeben durch folgende
Einsstellen
• 0001, 0010, 0011, 0110, 0111, 1000, 1001, 1100, 1110
§ Primimplikanten
• 00-1, -001, 100- 1-00, -110, 11-0, 0-1-
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
70
Primimplikantentafel
0001 0010
0011
0110
0111 1000 1001
1100 1110
p1 00-1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
p2 -001
1
0
0
0
0
0
1
0
0
p3 100-
0
0
0
0
0
1
1
0
0
3
p4 1-00
0
0
0
0
0
1
0
1
0
4
p5 -110
0
0
0
1
0
0
0
0
1
p6 11-0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
p7 0-1-
0
1
1
1
1
0
0
0
0
2
1
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
71
Suchbaum
start
1
p7 (0-1-)
0
...
p2 (-001)
1
0
...
p4 (1-00)
1
0
...
p5 (-110)
1
0
...
Erste Lösung mit 4 Primimplikanten
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
72
KV-Diagramme - Primimplikanten
a a
1 1
1 1
1 1
b
b
1
1
b
b
1 d
c c
a a
1 1
1 1
1 1
b
b
d
d
1 d
c c
Digitaltechnik - SS 2025
a a
1 1
1 1
1 1
1
1 d
c c
a a
1 1
1 1
1 1
b
b
1
d
d
a a
1 1
1 1
1 1
b
b
1
d
1 d
c c
Welche Beispiele zeigen
Primimplikanten?
1 d
c c
Optimierung
73
Quine - McCluskey
x1 x2 x3
000
001
010
011
100
101
110
111
f(x1,x2,x3)
1
1
1
1
0
0
0
1
Starte mit …
◻ Maxtermen?
◻ Mintermen?
Gruppierung nach …
◻ Zahl der Einsen?
◻ Erste Variable mit Eins?
Suche Partner, vergleiche …
◻ Alle möglichen Kombinationen?
◻ Mit benachbarter Gruppe?
◻ Nur innnerhalb einer Gruppe?
Was ist im nächsten Schritt zu beachten …
◻ Variablen passen zusammen?
◻ Striche an der gleichen Stelle?
Digitaltechnik - SS 2025
Optimierung
74
Wesentliche Primimplikanten?
◻ möglichst viele Einsen?
◻ notwendig für Lösung?
Überdeckungsproblem
Spaltendominanz, behalte 0110? 0111?
Einsstellen/
Minterme
Primimplikanten
0-00
-000
10-0
0-11
-011
10101--
Digitaltechnik - SS 2025
0000
1
1
0
0
0
0
0
0011 0100
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0101
0110
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0111 1000
0
0
0
1
0
0
1
1010
1011
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
Optimierung
75
0
1
1
0
0
0
0
Überdeckungsproblem
Zeilendominanz, behalte 0-11? -011?
Einsstellen/
Minterme
Primimplikanten
0-00
-000
10-0
0-11
-011
101-
Digitaltechnik - SS 2025
0000
1
1
0
0
0
0
0011 0100
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1000
1010
1011
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
Optimierung
76