Ing. Rodrigo Carranza
U.T.N. - F.R.D
FUNDAMENTOS DE ANALISIS DE SEÑALES
PRÁCTICA
Unidad 5
Serie de Fourier. Espectro de una señal periódica. Transformada de Fourier. Propiedades de la
transformada de Fourier. Espectro de una señal aperiódica. Respuesta en frecuencia de sistemas LTI de
tiempo continuo.
1
ANÁLISIS DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
1.1
SERIE DE FOURIER.
1) Encuentre los coeficientes de Fourier complejos de las siguientes señales
periódicas.
a) 𝑥 𝑡 = cos(𝜔0 𝑡)
b) 𝑥 𝑡 = sin( 𝜔0 𝑡)
𝜋
c) 𝑥 𝑡 = sin( 2𝑡 + 4 ) (NO por definición)
d) 𝑥 𝑡 = sin( 6𝑡) + cos 4𝑡 (NO por definición)
e) 𝑥 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
f) 𝑥 𝑡 :
g) 𝑥 𝑡 :
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h) 𝑥 𝑡 :
i) 𝑥 𝑡 :
j) 𝑥 𝑡 :
k) 𝑥 𝑡 :
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l) 𝑥 𝑡 :
m) 𝑥 𝑡 :
0 − 2 < 𝑡 ≤ −1
n) La extensión periódica de 𝑥 𝑡 = 𝑒 − 𝑡 − 1 < 𝑡 ≤ 1
0
1<𝑡≤2
o) La extensión periódica de 𝑥 𝑡 = 1 − 𝑡 ∶ 0 ≤ 𝑡 < 1
p) La extensión periódica de 𝑥 𝑡 = 𝑡 ∶ 0 ≤ 𝑡 < 4
2) Encuentre los coeficientes de Fourier trigonométricos de las siguientes
señales.
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a) La señal del ejercicio 1 b)
b) La señal del ejercicio 1 d)
c) La señal del ejercicio 1 e)
d) La señal del ejercicio 1 g)
e) La señal del ejercicio 1 j)
f) La señal del ejercicio 1 m)
3) Encuentre y grafique los espectros de amplitud y fase de las siguientes
señales.
a) La señal del ejercicio 1 f)
b) La señal del ejercicio 1 g)
c) La señal del ejercicio 1 h)
d) La señal del ejercicio 1 l)
e) La señal del ejercicio 1 m)
2
ANÁLISIS DE FOURIER DE SEÑALES APERIÓDICAS.
2.1
TRANSFORMADA DE FOURIER.
4) Calcule la transformada de Fourier de las siguientes señales (Por definición).
a) 𝑥 𝑡 = 𝑝𝑎 𝑡 =
1 𝑡 <𝑎
0 𝑡 >𝑎
b) 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑎 𝑡 , 𝑎 > 0
c) 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑡)
d) 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑡 µ 𝑡 , 𝑎 > 0
e) La señal de la figura,
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f) La señal de la figura,
5) Calcule la transformada inversa de Fourier.
a) 𝑋 𝜔 =
1 𝜔 ≤𝑎
0 𝜔 >𝑎
b) 𝑋 𝜔 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎,
c) 𝑋 𝜔 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎,
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2.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER.
a) Demuestre la propiedad de desplazamiento de tiempo:
Si 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) , entonces 𝐹 𝑥(𝑡 − 𝑡0 ) =𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 0 . 𝑋(𝜔)
b) Demuestre la propiedad de derivación:
Si 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹
𝑑𝑥 (𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑗𝜔. 𝑋(𝜔)
c) Demuestre la propiedad de desplazamiento de frecuencia
Si 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔 − 𝜔0 )
d) Demuestre la propiedad de dualidad
Si 𝐗 𝛚 = 𝐅 𝐱(𝐭) , 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝐅 𝐗(𝐭) = 𝟐𝛑. 𝐱(−𝛚)
e) Demuestre la propiedad de escalamiento de tiempo y frecuencia.
1
Si 𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑥(𝑎𝑡) =
𝑎
𝜔
𝑋( )
𝑎
f) Demuestre el teorema de modulación.
1
1
𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) → 𝐹 𝑥 𝑡 . cos(𝜔0 𝑡) = 𝑋 𝜔 − 𝜔0 + 𝑋(𝜔 + 𝜔0 )
2
2
y
1
1
𝑋 𝜔 = 𝐹 𝑥(𝑡) → 𝐹 𝑥 𝑡 . sin(𝜔0 𝑡) = −𝑗 𝑋 𝜔 − 𝜔0 − 𝑋(𝜔 + 𝜔0 )
2
2
6) Encuentre la transformada de Fourier, mediante sus propiedades.
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a) 𝑥 𝑡 = 1
b) 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡
c) 𝑥 𝑡 = cos(𝜔0 𝑡)
d) 𝑥 𝑡 = sin(𝜔0 𝑡)
e) 𝑥 𝑡 , 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇0 (𝒑𝒊𝒔𝒕𝒂: 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑒 𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟)
f) 𝛿𝑇0 =
∞
𝑘=−∞ 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇0 )
g) 𝑥 𝑡 = 𝑠𝑔𝑛 𝑡 =
1 𝑡>0
−1 𝑡 < 0
h) 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡)
i) 𝑥 𝑡 =
j) 𝑥 𝑡 =
1
𝑎 2 +𝑡 2
sin (𝑎𝑡 )
𝜋𝑡
k) 𝑥 𝑡 = 𝑒 −2 𝑡−9 cos(4𝑡)
l) 𝑥 𝑡 =
m) 𝑥 𝑡 =
1
𝑡 2 +16
3
𝑡
5+𝑗 3
n) 𝑥 𝑡 = 𝛿 𝑡 + 8 + 𝛿(𝑡 − 8)
7) Encuentre la transformada inversa de Fourier, mediante sus propiedades.
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a) 𝑋 𝜔 =
4
92 +𝜔 2
b) 𝑋 𝜔 = 𝑢 𝜔 − 𝑢(𝜔 − 2)
𝜋
c) 𝑋 𝜔 = cos(4𝜔 + 3 )
d) 𝑋 𝜔 = 𝑆𝑎 4𝜔 + 5 + 𝑆𝑎(4𝜔 − 5)
e) 𝑋 𝜔 = −2𝜋𝜔2 𝛿(𝜔 − 2)
f) 𝑋 𝜔 = 2 𝛿 𝜔 − 1 − 𝛿(𝜔 + 1) + 3 𝛿(𝜔 − 2𝜋) + 𝛿(𝜔 + 2𝜋)
𝜔
g) 𝑋 𝜔 = cos 2𝜔 sin( 2 )
8) Encuentre y grafique los espectros de amplitud y fase de las siguientes señales.
a) La señal del ejercicio 6 i)
b) La señal del ejercicio 6 j)
c) La señal del ejercicio 6 k)
d) La señal del ejercicio 6 l)
e) La señal del ejercicio 6 m)
3
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO CONTINUO.
9) Considere el siguiente sistema LTI de tiempo continuo descripto por,
dy (t)
dt
+ 2y t = x(t)
Utilizando la transformada de Fourier, encuentre las salida y(t) para cada una de las
siguientes señales de entrada.
a) 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑡 µ(𝑡)
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b) 𝑥 𝑡 = 5 cos(3𝑡)
10) Considere el sistema LTI del problema anterior y suponga que la señal de
entrada x(t) es la señal del problema 1 f) encuentre la amplitud de la primera y
tercera armónica de la salida y(t).
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