Problema de bordes
13)
Const N : Int;
Var a : array [0, N) of Num;
r : Bool;
{N ≥ 0}
S
{r = <∀ i : 0 ≤ i < N : < ∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j>
> 0
>
}
{r = <∀ i : 0 ≤ i < n : h P j : 0 ≤ j ≤ i : a.j i > 0
≤ N ∧ n = N }
>
∧
1.​I : r = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑
∧ 0 ≤ n ≤ N
¬ B : n = N
j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0
0 ≤ n
>
5. Que pasa en el bucle
​
​
​
{I ∧ B}
r, n := E, n+1;
{I}
Asumo I ∧ B
wp.(r, n := E, n+1).(r = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j
> > 0 > ∧ 0 ≤ n ≤ N)
≡ {def de wp}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ 0
≤ n + 1 ≤ N
≡ { sup, aritm, neutro de ∧ }
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 >
≡ {sep de término}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j :
0 ≤ j ≤ n : a.j > > 0
≡ {aritm}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j :
0 ≤ j < n + 1 : a.j > > 0
≡ {separación de término}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j :
0 ≤ j < n : a.j > + a.n > 0
≡ { sup}
E = r ∧ <∑ j : 0 ≤ j < n : a.j > + a.n > 0
Necesitamos fortalecer el invariante
1.​I : r = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0
∧ 0 ≤ n ≤ N ∧ s = <∑ j : 0 ≤ j < n : a.j >
¬ B : n = N
>
2.​{0 ≤ N}
r,s,n : = E, F, 0;
{I}
wp.(r,s,n : = E, F, 0).(r = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤
i : a.j > > 0 > ∧ 0 ≤ n ≤ N ∧ s = <∑ j : 0 ≤ j < n :
a.j >)
≡ {def de wp}
E = <∀ i : 0 ≤ i < 0 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ 0
≤ 0 ≤ N ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < 0 : a.j >
≡ {aritm, neutro de ∧ }
E = <∀ i : False : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ F =
<∑ j : False: a.j >
≡ {rango vacío}
E = True ∧ F = 0
≡ {hago E = True y F = 0}
True
3.​I ∧ ¬ B ⇒ Q
4.​t : N - n
​
​
5.​{I ∧ B}
r,n,s := E, n+1, F;
{I}
​
wp.(r,n,s := E, n+1, F).I
​
≡ {def de wp}
​
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 >
∧ 0 ≤ n + 1 ≤ N ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
​
≡ {aritm, sup, neutro de ∧ }
​
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧
F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
​
≡ { sep de término}
​
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧
<∑ j : 0 ≤ j ≤ n : a.j > > 0
∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n : a.j >
+ a.n
​
≡ {aritm, sup}
​
E = r ∧ <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j > > 0
∧ F = s + a.n
​
≡ { sep de término}
​
a.n
​
​
​
​
E = r ∧
<∑
j : 0 ≤ j < n
≡ {suposición}
E = r ∧ s + a.n > 0
≡ {Hago }
True
∧
: a.j > + a.n
> 0
∧
F = s +
F = s + a.n
6.​Ver
7.​Ver
Const N : Int;
Var a : array [0, N) of Num;
r : Bool;
{N ≥ 0}
r,s,n := True, 0, 0
do n /= N →
​
r,s,n := r ∧ s + a.n > 0, s + a.n, n + 1
od
{r = <∀ i : 0 ≤ i < N : < ∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j>
> 0 > }
11. Const N : Int;
Var a : array[0, N) of Int;
r : Int;
{P : N ≥ 0}
S
{Q : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ N : sum.p.q > |[sum.p.q = <∑
: p ≤ i < q : a.i> ]| }
Q : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
0 ≤ n ≤ N ∧
1.​I : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
¬ B : n = N
i
n=N
0 ≤ n ≤ N
5. wp.(r,n:= E, n+1).I
​
≡
​
…
​
≡ {Distr Max +}
​
E = r max 0 max <Max p: 0 ≤ p < n : sum.p.n> + a.n
Fortalezco
I’ : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
<Max p: 0 ≤ p < n : sum.p.n>
0 ≤ n ≤ N ∧
m =
2.​Sup 0 ≤ N
wp.(r,n,s := E, 0 , S).I
≡ {def de wp}
r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ 0 : sum.p.q > ∧ 0 ≤ 0 ≤ N ∧ m =
<Max p: 0 ≤ p < 0 : sum.p.n>
≡ {aritm, sup}
r = <Max p, q : p = q = 0 : sum.p.q > ∧ m = <Max p: False :
sum.p.n>
≡ {anidado, rango unit 2 veces, rango vacio}
r = sum.0.0 ∧ m = - ∞
≡ { def de sum}
r = <∑ i : 0 ≤ i < 0 : a.i> ∧ m = - ∞
≡ {arimt, rango vacio}
r = 0 ∧ m = - ∞
≡ {hago }
True
3.​v
4.​v
5.​Asumo I ∧
B
wp.(r,s,n:= E, F, n+1).I
≡ {
15.
​
{P: 0 ≤ N}
r,n := True, 0;
do n /= N →
​
​
​
​
od
{Q : r ≡
​
​
​
Dejamos el mismo invariante
B’ = B ∧ r
I : el viejo invariante
​
​
​
2. {P}
​
r,n := True, 0;
{I}
r,n := r ∧
a.n > 0 , n+1
<∀i : 0 ≤ i < N : a.i > 0 >}
ya lo probamos
4. I ∧
B’ ⇒ 0 ≤ t
*
antes demos tramos I ∧ B ⇒ 0 ≤ t
Como I ∧ B’ ⇒ I ∧ B por transitividad demostramos ​*
5. Cuerpo del bucle
{I ∧ B}
r,n := r ∧
{I}
a.n > 0, n + 1
transitividad
6.​ya lo vimos
7.​cota disminuye
I ∧
B ∧
t = T ⇒ wp.().(t < T)
I ∧
B’ ∧
t = T ⇒ I ∧
B ∧
t =T
transitividad
3. I ∧ ¬ B’ ⇒ Q
demostré I ∧ ¬ B ⇒ Q
I ∧ ¬ B = I ∧ n = N
I ∧ ¬ B’ = I ∧ (n = N
∨
¬ r)
Hay que mostrar 3
(I ∧ n = N)
∨ ( I ∧ ¬ r) ⇒ Q
≡ {impl de la disyunción }
I ∧ n = N ⇒ Q
∧ I ∧ ¬ r ⇒ Q
≡ {ya dem}
I ∧ ¬ r ⇒ Q
Sup antecedente
vemos si se cumple Q
r ≡ <∀i : 0 ≤ i < N : a.i > 0 >
≡ {sup 0 ≤ n ≤ N }
r ≡ <∀i : 0 ≤ i < n ∨ n ≤ i < N : a.i > 0 >
≡
≡
r ≡
r ∧ <∀ i: n ≤ i < N : a.i > 0 >
≡
{
≡
False ≡
r ∧
≡ {equiv de negación}
¬ r ∨ ¬ <∀ >
≡ {sup
True ∨ ¬ <∀ >
≡ {abs de ∨ }
True
11. Const N : Int;
Var a : array[0, N) of Int;
r : Int;
{P : N ≥ 0}
S
{Q : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ N : sum.p.q > |[sum.p.q = <∑
: p ≤ i < q : a.i> ]| }
{Q’ : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
N |[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]| }
0 ≤ n ≤ N ∧
i
n =
1.​P ⇒ I
{P : 0 ≤ N }
r,n = E, 0
{I}
wp.(r,n = E, 0)).(r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
0 ≤ n ≤ N ∧
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|)
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ 0 : sum.p.q > ∧ 0 ≤ 0 ≤ N
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {sup, aritm,neutro de ∧ }
E = <Max p, q : p = 0 ∧ q = 0 : sum.p.q > |[sum.p.q = <∑ i :
p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {rango unit}
E = <∑ i : 0 ≤ i < 0 : a.i>
≡ {aritm}
E = <∑ i : False : a.i>
≡ {rango vacío}
E = 0
5. { I ∧ B }
​
r,n = F, n+1;
​
{I}
wp.(r,n = F, n+1).I
≡ {def de wp}
F = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n + 1 : sum.p.q > ∧ 0 ≤ n + 1 ≤ N
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {sup, aritm, neutro de ∧ }
F = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n + 1 : sum.p.q >
|[sum.p.q = <∑ i :
p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {aritm}
F = <Max p, q : (0 ≤ p ≤ q ≤ n) ∨ (0 ≤ p ≤ q = n+1) : sum.p.q >
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {partición de rango}
F = <Max p, q :0 ≤ p ≤ q ≤ n: sum.p.q > max <Max p,q : 0 ≤ p ≤ q =
n+1: sum.p.q>
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {sup ,aritm}
F = r max <Max p,q : 0 ≤ p ≤ q ∧ q = n+1: sum.p.q>
|[sum.p.q
= <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {elim de una dummy}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n + 1: sum.p.n+1>
|[sum.p.q = <∑ i :
p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {desabreviacion }
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n + 1: <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> >
≡ {partición de rango . rango unitario}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> > max <∑
i : n + 1 ≤ i < n+1 : a.i>
≡ {aritm}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> > max <∑
i : False: a.i>
≡ {rango vacío, neutro de max, aritm}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> >
≡ {sep de término}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n : a.i> + a.n >
≡ { distr de + con max}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n : a.i> > + a.n
≡ {abre}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : sum.p.n > + a.n
Fortalecemos el invariante
I’ : r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > ∧
<Max p: 0 ≤ p < n + 1 : sum.p.n >
1.​{P}
0 ≤ n ≤ N ∧
s =
r,n,s = E, 0, F;
{I}
wp.().I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ 0 : sum.p.q > ∧ 0 ≤ 0 ≤ N ∧ F =
<Max p: 0 ≤ p < 0 + 1 : sum.p.0 >
≡ {aritm, sup, neutro de ∧ }
E = <Max p, q : p = 0 ∧ q = 0 : sum.p.q > ∧ F = <Max p: p =
1 : sum.p.0 >
≡ {rango unitario, desabre}
E = <∑ i : 0 ≤ i < 0 : a.i> ∧ F = <∑ i : 1 ≤ i < 0 : a.i>
​
≡ {aritm, rango vacío}
​
E = 0 ∧ F = 0
3. I ∧
¬ B ⇒ Q
asumo antecedente
r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ N : sum.p.q > |[sum.p.q = <∑
< q : a.i> ]|
≡ {sup n = N }
r = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n : sum.p.q > |[sum.p.q = <∑
< q : a.i> ]|
≡ {sup }
True
i : p ≤ i
i : p ≤ i
4.
Cota candidata
t : N - n
5. { I ∧ B }
​
r,n, s = F, n+1, U;
​
{I}
wp.(r,n,s = F, n+1, U).I
≡ {def de wp}
F = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n + 1 : sum.p.q > ∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
: p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {sup, aritm, neutro de ∧ }
F = <Max p, q : 0 ≤ p ≤ q ≤ n + 1 : sum.p.q > ∧
≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
|[sum.p.q = <∑
a.i> ]|
≡ {aritm}
0 ≤ n + 1 ≤ N ∧
|[sum.p.q = <∑ i
U =
<Max p: 0
i : p ≤ i < q :
F = <Max p, q : (0 ≤ p ≤ q ≤ n) ∨ (0 ≤ p ≤ q = n+1) : sum.p.q >
∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
|[sum.p.q =
<∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {partición de rango}
F = <Max p, q :0 ≤ p ≤ q ≤ n: sum.p.q > max <Max p,q : 0 ≤ p ≤ q =
n+1: sum.p.q> ∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q : a.i> ]|
≡ {sup ,aritm}
F = r max <Max p,q : 0 ≤ p ≤ q ∧ q = n+1: sum.p.q> ∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤
i < q : a.i> ]|
≡ {elim de una dummy}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n + 1: sum.p.n+1> ∧
U =
<Max p: 0
≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
|[sum.p.q = <∑ i : p ≤ i < q :
a.i> ]|
≡ {desabreviacion }
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n + 1: <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> > ∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
≡ {partición de rango . rango unitario}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> > max <∑
i : n + 1 ≤ i < n+1 : a.i> ∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1
: sum.p.n >
≡ {aritm}
F = r max <Max p: 0 ≤ p ≤ n : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> > max <∑
i : False: a.i>
∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n
>
≡ {rango vacío, neutro de max, aritm}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n+1 : a.i> >
∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
≡ {sep de término}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n : a.i> + a.n >
∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
≡ { distr de + con max}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : <∑ i : p ≤ i < n : a.i> > + a.n
∧
U =
<Max p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.n >
≡ {abre}
F = r max <Max p: 0 ≤ p < n + 1 : sum.p.n > + a.n ∧
U =
<Max
p: 0 ≤ p < (n + 1) + 1 : sum.p.(n+1) >
…
≡
F = r max (s + a.n) max 0 ∧ U = (s + a.n) max 0
Const N : Int;
Var a : array[0, N) of Int;
r : Int;
{P : N ≥ 2}
S
{Q : r = <Max p, q : 0 ≤ p < q < N : (a.p − a.q)2 >}
I
¬ B
Q’: r = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n : (a.p − a.q)2 > ∧
n = N
2 ≤ n ≤ N ∧
5.
{I ∧ B}
r,n = E, n+1;
{I}
asumimos I ∧
B
wp.(r,n = E,n+1).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n + 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ n + 1 ≤
N
≡ { sup, aritm, neutro de ∧ , sep de término}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n : (a.p - a.n)2>
≡ {aritm}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1
∨ 0 ≤ p = n - 1 : (a.p 2
a.n) >
≡ {partición de rango}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1 : (a.p - a.n)2> max <Max p : p = n
- 1 : (a.p - a.n)2>
≡ {rango unit}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1 : (a.p - a.n)2> max (a.(n-1) a.n)2
necesitamos fortalecer el invariante
I ∧
u = < Max p : 0 ≤ p < n - 1 : (a.p - a.n)2>
5. wp.(r,n = E,n+1).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n + 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ n + 1 ≤
N
∧ u = < Max p : 0 ≤ p < (n - 1) + 1 : (a.p - a.(n+1))2>
≡ { sup, aritm, neutro de ∧ , sep de término}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n : (a.p - a.n)2>
≡ {aritm}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1
∨ 0 ≤ p = n - 1 : (a.p 2
a.n) > ∧ u = < Max p : 0 ≤ p < (n - 1) + 1 : (a.p - a.(n+1))2>
≡ {partición de rango}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1 : (a.p - a.n)2> max <Max p : p = n
- 1 : (a.p - a.n)2> ∧ u = < Max p : 0 ≤ p < (n - 1) + 1 : (a.p a.(n+1))2>
≡ {rango unit}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n - 1 : (a.p - a.n)2> max (a.(n-1) a.n)2
∧ u = < Max p : 0 ≤ p < (n - 1) + 1 : (a.p - a.(n+1))2>
≡ {sup, sep de término}
E = r max u max (a.(n-1) - a.n)2 ∧ u = < Max p : 0 ≤ p < n - 1 :
(a.p - a.(n+1))2> max (a.n - a.(n+1))2
no sirve
5.
{I ∧ B}
r,n = E, n+1;
{I}
asumimos I ∧
B
wp.(r,n = E,n+1).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n + 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ n + 1 ≤
N
≡ { sup, aritm, neutro de ∧ , sep de término}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n : (a.p - a.n)2>
≡ {aritm}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n : a.p 2 - 2 a.p a.n +a.n2>
≡ {distr de + con max}
E = r max < Max p : 0 ≤ p < n : a.p 2 - 2 a.p a.n > +a.n2
wp.(r,n = E,n+1).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n + 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ n + 1 ≤
N
≡ { sup, neutro de ∧ , sep de término }
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n : (a.p − a.q)2 > max <Max p : 0 ≤ p
< n : (a.p − a.n)2 >
≡ {aritm, sup}
E = r max <Max p : 0 ≤ p < n : ( (a.p - a.n) max - (a.p − a.n) )2 >
≡ {regla de término}
E = r max <Max p : 0 ≤ p < n : a.p - a.n > max <Max p : 0 ≤ p < n :
a.n - a.p >
≡ {distr de + con max}
E = r max (<Max p : 0 ≤ p < n : a.p > - a.n ) max (<Max p : 0 ≤ p <
n : - a.p > + a.n)
necesitamos fortelecer el invariante
I ∧ u = <Max p : 0 ≤ p < n : a.p > ∧
a.p >
s = <Max p : 0 ≤ p < n : -
5.
wp.(r,n, u,s = E,n+1, F, G).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n + 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ n + 1 ≤
N ∧ F = <Max p : 0 ≤ p < n + 1 : a.p > ∧ G = <Max p : 0 ≤ p < n +
1 : - a.p >
≡ { sup, neutro de ∧ , sep de término }
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < n : (a.p − a.q)2 > max <Max p : 0 ≤ p
< n : (a.p − a.n)2 > ∧ F = <Max p : 0 ≤ p < n : a.p > max a.n ∧
G = <Max p : 0 ≤ p < n : - a.p > max (-a.n)
≡ {aritm, sup}
E = r max <Max p : 0 ≤ p < n : ( (a.p - a.n) max - (a.p − a.n) )2 >
∧ F = u max a.n ∧ G = s max (-a.n)
≡ {regla de término}
E = r max <Max p : 0 ≤ p < n : a.p - a.n > max <Max p : 0 ≤ p < n :
a.n - a.p > ∧ F = u max a.n ∧ G = s max (-a.n)
≡ {distr de + con max}
E = r max (<Max p : 0 ≤ p < n : a.p > - a.n ) max (<Max p : 0 ≤ p <
n : - a.p > + a.n) ∧ F = u max a.n ∧ G = s max (-a.n)
≡ {sup}
E = r max (u - a.n ) max (s + a.n) ∧ F = u max a.n ∧ G = s max
(-a.n)
1.
{P}
r,u,s,n = E,F,G, 0
{I}
wp.(r,u,s,n = E,F,G, 2).I
≡ {def de wp}
E = <Max p, q : 0 ≤ p < q < 2 : (a.p − a.q)2 > ∧ 2 ≤ 2≤ N ∧ F =
<Max p : 0 ≤ p < 2: a.p > ∧ G = <Max p : 0 ≤ p < 2 : - a.p >
≡ {aritm, sup, neutro de ∧ }
E = <Max p, q : p = 0 ∧ q = 1 : (a.p − a.q)2 > ∧ F = <Max p : p
= 0 ∨ p = 1 : a.p > ∧ G = <Max p : p = 0 ∨ p = 1 : - a.p >
≡ {part de rango, rango unit}
E = (a.0 - a.1)2
∧ F = a.0 max a.1 ∧ G = (-a.0) max (-a.1)
13.
Const N : Int;
Var a : array [0, N) of Num;
r : Bool;
{N ≥ 0}
S
{r = <∀ i : 0 ≤ i < N : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 >}
Q’ : r = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧
n ≤ N ∧ n = N
0 ≤
5.
i ∧
b
wp
≡
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ 0 ≤ n
+ 1 ≤ N
≡ { ,,, sep de term}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j : 0
≤ j ≤ n : a.j > > 0
≡ {aritm}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j : 0
≤ j < n + 1 : a.j > > 0
≡ { sep de term}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ (<∑ j : 0
≤ j < n : a.j > + a. n) > 0
≡ { sup}
E = r ∧ (<∑ j : 0 ≤ j < n : a.j > + a. n) > 0
fortalezco el invariante
I ∧
u = <∑ j : 0 ≤ j < n : a.j >
5.
wp
≡
E = <∀ i : 0 ≤ i < n + 1 : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ 0 ≤ n
+ 1 ≤ N ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
≡ { ,,, sep de term}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j : 0
≤ j ≤ n : a.j > > 0
∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
≡ {aritm}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ <∑ j : 0
≤ j < n + 1 : a.j > > 0 ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
≡ { sep de term}
E = <∀ i : 0 ≤ i < n : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ (<∑ j : 0
≤ j < n : a.j > + a. n) > 0 ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
≡ { sup}
E = r ∧ ( u + a. n) > 0 ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n + 1 : a.j >
≡ { sep de término}
E = r ∧ ( u + a. n) > 0 ∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < n : a.j > + a.n
≡ {sup}
E = r ∧ ( u + a. n) > 0 ∧ F = u + a.n
2.
{P}
r,u,n: E,F, 0
{I}
wp.().I
≡ {def de wp}
E = <∀ i : 0 ≤ i <
: <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧ 0 ≤ 1 ≤ N
∧ F = <∑ j : 0 ≤ j < 0 : a.j >
≡ {sup arimt, neutro de ∧ }
E = <∀ i : False : <∑ j : 0 ≤ j ≤ i : a.j > > 0 > ∧
F = <∑ j :
False: a.j >
≡ {rango vacio}
E = True ∧ F = 0
3. I ∧
¬ B ⇒ Q
4 t : N - n
5.
6.
I ∧ B ⇒ 0 ≤ N - n
asumo antecedente, pruebo n ≤ N (sale faci, por hip del invariante)
7.
{I ∧ B ∧ N - n = T}
r,u,n := r ∧ ( u + a. n)
{ N - n < T}
> 0, u
+ a.n, n+1
Asumo antecedente
wp.( ).( N - n < T)
≡ {def de wp}
N - n - 1 < T
≡ {hip}
N - n - 1 < N - 1
≡ {airitm}
True
Const N : Int;
Var a : array[0, N) of Int;
r : Bool;
{P : N ≥ 2}
S
{Q : r ≡ < Min p, q : 0 ≤ p < q < N : a.p − a.q > ≤
8
}