Pemrograman R untuk Distribusi Gamma-Normal
Herlina Hanum1, Novi Rustiana Dewi2, Delia Paramitha3
1,2,3)Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sriwijaya
Jl. Raya Palembang – Prabumulih KM. 32 Indralaya Ogan Ilir 30662
Email: linhanum@gmail.com, novirustianadewi@unsri.ac.id, paramithadelia6@gmail.com
ABSTRAK
Distribusi Gamma-Normal (G-N) merupakan distribusi baru yang di bentuk dari dua
distribusi kontinu yaitu gamma dan normal dengan pembentukan distribusi
transformed-transformer(T-X).Distribusi G-N terbagi menjadi distribusi G-N dua
parameter (gamma-normal standar) dengan μ=0 dan σ=1 dan empat parameter
(gamma-normal). Software R adalah software yang bersifat open source dan cocok
digunakan untuk distribusi G-N. Pada penelitian ini dibahas mengenai pembuatan
pemrogram R untuk fungsi-fungsi khusus distribusi G-N. Program yang dibuat
adalah program 1) pendugaan parameter yang diawali dengan menentukan nilai
awal, 2) fkp, 3) fungsi kumulatif, 4) fungsi kuantil dan 5) pembangkitan peubah acak
berdistribusi G-N. Uji coba program pada data Breaking stress of carbon
fibersmemberikan hasil yang hampir sama dengan hasil analisis pada software SAS
pada data tersebut. Untuk data tersebut diperoleh nilai AIC,MAPE, p-value KS
masing-masingadalah 175,8405, 6,057551%, 0,9915 untuk dua parameter dan
178,9064, 4,855483%, 0,9915 untuk empat parameter distribusi G-N.
Kata Kunci: Distribusi T-X, Distribusi G-N, dan Pemrograman R.
ABSTRACT
The Gamma-Normal Distribution (G-N) is a new distribution which is in the form of
two continuous distributions of gamma and normal with the formation of
transformer-transformer distributions (T-X). The G-N distribution is consist of G-N
distributions of two parameters (gamma-standard normal) with μ = 0 and σ = 1 and
four parameters (gamma-normal). Software R is software that is open source and
suitable for the distribution of G-N. This study discussed the development of R
programmers for special functions of G-N distribution. The program created is the
program 1) parameter estimation that begins by determining the initial value, 2) pdf,
3) cumulative function, 4) the quantile function and 5) the generation of randomly
distributed G-N variables. Testing the program on Breaking stress of carbon fibers
data gives almost similar results for the analysis of SAS software on the data. For the
data obtained the value of AIC, MAPE and p-value KS is 175.8405, 6.057551%,
0.9915 for two parameters and 178.9064, 4.855483%, 0.9915 for four parameters G-N
distribution.
Keywords: T-X distribution, G-N distribution, and R programming.
1. Pendahuluan
Distribusi peluang baru sangat berpengaruh terhadap statistika inferensia karena
jenis prosedur pengolahan data yang diterapkan. Sebuah metode dilakukan untuk
menghasilkan distribusi baru yaitu dengan pembentukan distribusi transformedtransformer (T-X). Distribusi T-X pertama kali dipopulerkan oleh Alzaatreh et
al.(2013), yang menjelaskan bahwa variabel acak X sebagai “transformator”
digunakan untuk mengubah variabel acak T yang “ditransformasikan”.
Pembentukan distribusi baru dapat dilakukan dengan beberapa distribusi peluang
kontinu. Alzaatreh et al. (2014) menggunakan distribusi peluang kontinu gamma
dan normal dalam pembentukan distribusi T-X yang dimana distribusi gamma
sebagai variabel acak T dan distribusi normal sebagai variabel acak X, sehingga
dinamakan distribusi Gamma-Normal (G-N).
Penelitian sebelumnya, aplikasi dari distribusi G-Ntelah dilakukan oleh
Alzaatreh et al. (2014) dengan menggunakan software SAS dan PROC NLMIXED
(Procedure Non Linier Mixed) sebagai model dalam SAS yang digunakan untuk
mencari penduga parameter G-N dua parameter (gamma-normal standar) dengan
parameter μ=0 dan σ=1 dan G-N empat parameter (gamma-normal) yang semua
parameternya tidak ditetapkan sebelumnya. Duningan (2011), menjelaskan PROC
NLMIXED merupakan prosedur pada software SAS yang digunakan untuk
menganalisis model regresi non linier yang mengandung lebih dari satu parameter
yaitu parameter tetap dan acak.
Penelitian ini, akan dibuat pemrograman untuk mencari nilai kemungkinan
maksimum dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
yang diperkirakan menghasilkan nilai yang hampir sama dan membuat fungsi
(function) peluang distribusi G-N dengan menggunakan software Rstudio
dikarenakan software R dinilai open source serta memiliki kapasitas memori yang
lebih kecil dibandingkan dengan software SAS yang bersifat komersil serta memiliki
kapasitas memori yang lebih besar. Script dengan program
R ini juga
memanfaatkan beberapa package yang harus diinstall telebih dahulu diantaranya
package bbmle, stats4, MASS, zipfR, dan numDeriv. Data yang digunakan sebagai
uji coba pemrograma yaitu data breaking stress of carbon fibers yang merupakan
data tekanan pecahan serat karbon (Alzaatrehet al. 2014). Versi perangkat lunak
yang digunakan adalah RStudio dengan versi 3.4.2. Uji kesesuaian distribusi yang
digunakan adalah dengan plot kuantil, uji KS (Kolmogorov-Smirnov), MAPE (Mean
Absolute Precentage Error) dan AIC (Akaike Information Criterion).
2. Metode Penelitian
Data yang digunakan sebagai uji coba pemrograman adalah salah satu data dari
penelitian Alzaatreh et al.(2014) yaitu data breaking stress of carbon fibers. Data
Breaking stress of carbon fibers merupakan data tekanan pecahan serat karbon.
Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menginstall package yang belum terdapat dalam software R yang diperlukan
dalam pembuatan program yaitu package bbmle, stats4, MASS, zipfR dan
numDeriv.
2. Menyimpan package yang diperlukan kedalam library.
3. Membuat pemrograman mencari nilai awal masing-masing parameter yaitu
, , , .
4. Membuat pemrograman mencari nilai pendugaan parameter dengan
memasukkan nilai awal parameter , , ,
yang telah diperolah dengan
mengubah rumus loglikelihood( , , , ) berikut kedalam sintaks program R dan
menjalankannya dengan menggunakan paket bbmle.
1
( )−
(2 ) −
( ) −
( − )
logL(α, β, μ, σ) = −
−
2
2
+( − 1)
(−
1−
( ) +(
− 1)
1 − ( ) (1)
5. Mengubah fkp, fungsi kumulatif, fungsi kuantil G-N kedalam bentuk sintaks
program R untuk mencari masing-masing nilai.
Fungsi kepekatan peluang (fkp)
( )=
(
(2)
( ))
( )[− log 1 − ( ) ]
1− ( )
Fungsi kumulatif
( )
( ,
( )=
( )
(3)
Fungsi kuantil
=
exp −
,
( )
(4)
6. Mengetahui kecocokan distribusi G-N pada data dengan plot kuantil, AIC,
Kolmogorov-Smirnov, dan MAPE dengan menggunakan program R.
Nilai MAPE ditentukan dengan rumus:
MAPE = ∑
100%
7. Membangkitkan data peubah acak dari distribusi G-N.
8. Menarik kesimpulan.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Pemrograman Menentukan Nilai Awal Parameter , , ,
Nilai awal digunakan untuk mencari nilai maksimum pendugaan paramete α, β,
μ dan σ. Parameter α dan β adalah parameter pada variabel acak Y yang mengikuti
distribusi gamma pada variabel acak =
(1 −
) pada distribusi G-X sehingga
(
)
sampel acak = −
1−
mengikuti distribusi gamma pada variabel acak
=
(1 −
) pada distribusi G-N diasumsikan
=
dan
=
dengan
adalah rata-rata dari sampel acak Y dan
adalah standar deviasinya. Dari
pemrograman diperoleh nilai awal = 2,759545, = 0,8914525,
= 1,027788, dan
= 0,9633582.
3.2. Pemrograman Fungsi Pendugaan Parameter Distribusi G-N
fungsi likelihood diubah kedalam sintaks program R dengan menuliskan
( , , , )adalah sebagai berikut :
sintaksnya −
+(n*log(gamma(alfa)))+(n*alfa*log(beta))+((n/2)*log(2*(22/7)))+(n*log(sd))+
((1/(2*(sd^2)))*sum((x-mean)^2))-((alfa-1)*sum(log(-log(1-pnorm(x,mean,sd)))))(((beta^-1)-1)*sum(log(1-pnorm(x,mean,sd))))
Dengan menggunakan nilai awal parameter yang telah diperoleh sehingga
dapat dituliskan fungsi untuk mendapatkan nilai kemungkinan maksimum yang
diperoleh seperti yang terlihat pada Tabel. 1 berikut :
Tabel.1 Hasil pemrograman pendugaan parameter
Distribusi
Pendugaan parameter
G-N dua parameter
= 4,797471 (0,80706 )
= 1,292847(0,22926)
G-N empat parameter
= 0,7536255(2,37552)
= 0,6880634(2,42719)
= 3,3389658(1,02498)
= 0,9118493(1,59728)
Log-likelihood
-85,92
-85,45
AIC
175,8405
178,9064
3.3. Fungsi Kepekatan Peluang (FKP)
Fkp G-N diubah kedalam bentuk sintaks program R sebagai berikut :
(((beta^alfa)*gamma(alfa))^-1)*dnorm(x,mean,sd)*((-log((1pnorm(x,mean,sd))))^(alfa-1))*(((1-pnorm(x,mean,sd)))^((1/beta)-1))
hasil dari nilai fungsi tersebut diperoleh histogram pada Gambar 1 berikut :
Gambar 1. Perbandingan fkp dan data
keterangan pada gambar 1 adalah dalam plot fkp, fkp sebaran G-N dua dan empat
parameter dapat mengikuti naik dan turunnya histogram dengan baik,
Fungsi Kumulatif
Fungsi kumulatif G-N diubah kedalam bentuk sintaks program R sebagai
berikut :
3.3.1.
((gamma(alfa))^-1)*Igamma(alfa,log(1-pnorm(x,mean,sd))*(-beta^-1))
hasil dari nilai fungsi tersebut diperoleh plot fungsi kumulatif pada Gambar 2
berikut :
Gambar 2. Perbandingan fungsi kumulatif dan data
keterangan pada Gambar 2 adalah dalam plot fungsi kumulatif G-N dua dan empat
parameter dapat mengikuti plot fungsi kumulatif data dengan baik,
3.4. Mengetahui Kecocokan Distribusi
Untuk melihat kebaikan data juga dapat dilihat dari plot perbandingan nilai kuantil
dan data pada Gambar 3.
Gambar 3. perbandingan kuantil dan data
Gambar 2. keterangannya dalam plot perbandingan nilai kuantil dan data juga
dapat dilihat bahwa nilai kuantil yang dihasilkan juga mengikuti nilai dari data asli.
Analisis lebih lanjut terhadap kesesuaian data yang digunakan dilakukan
berdasarkan ukuran kebaikan suai. Penduga parameter untuk kedua distribusi
beserta ukurannya kebaikannya disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 2. Penduga parameter untuk dua dan empat parameter G-N
Distribusi
Pendugaan parameter
G-N dua parameter
= 4,797471 (0,80706 )
= 1,292847(0,22926)
G-N empat parameter
= 0,7536255(2,37552)
= 0,6880634(2,42719)
= 3,3389658(1,02498)
= 0,9118493(1,59728)
Log-likelihood
-85,92
-85,45
AIC
175,8405
178,9064
K-S
0,075758
0,075758
K-S p-value
0,9915
0,9915
MAPE (%)
6,057551
4,855483
Berdasarkan nilai MAPE, kedua distribusi sangat sesuai dengan data. Kesesuaian
ini terlihat oleh nilai MAPE kurang dari 10%. Dari data distribusi empat parameter
gamma-normsl memberikan nilai dugaan yang paling dekat dengan nilai amatan
yang ditunjukkan oleh nilai MAPE yang lebih kecil dari distribusi dua parameter
gamma-normal.
Nilai-p uji KS menunjukkan bahwa kedua distribusi sesuai dengan data karena
kedua nilai-p lebih besar dari taraf nyata 0,05 yaitu 0,9915. Nilai-p yang mendekati
1 menunjukkan bahwa sebaran data sangat sesuai.
Untuk nilai AIC terlihat bahwa kessesuaian data dengan distribusi dua parameter
gamma-normal lebih baik dibandingkan distribusi empat parameter gamma-normal.
Nilai AIC yang lebih kecil mengindikasikan nilai pendugaan yang mendekati nilai
sebenarnya.
3.5. Pemrograman Pembangkitkan Peubah Acak G-N
Pembangkitan bilangan acak distribusi GN menggunakan nilai fungsi kuantil
distribusi G-N sebagai nilai bilangan acak untuk distrubsi G-N .
4. Simpulan
Dengan menggunakan program R diperoleh hasil yang hampir sama dengan dengan
jurnal penelitian sebelumnya bahwa data tersebut cocok menggunakan distribusi gammanormal dilihat dari nilai MAPE yang kurang dari 10%. Sehingga program R dapat dijadikan
sebuah aplikasi dalam mengelola data yang berdistribusi gamma-normal
Daftar Pustaka
1.
Alzaatreh, A., Famoye, F., and Lee, C. 2013. A New Method for Generating
Families of Continuous Distributions. Metron 71: 63-79.
2.
Alzaatreh, A., Famoye, F., and Lee, C. 2014. The Gamma-Normal Distribution:
Properties and Application. Computational Statistics and Data Analysis
69 : 67-80.
3.
Duningan, Keith. 2011. PROC NLMIXED for Basic Non-Linear Regression.
Paper SA-10-2011.