RESOLUÇÃO DAS
APLICAÇÕES
MBA Projeto, Detalhamento e Desempenho das Estruturas e Fundações
Projeto e Detalhamento de Radier e Sapata
Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
douglasmab.eng@gmail.com
2. Dimensionamento Geotécnico – ELU
2.5 Resistência da fundação pela NBR 6122
a) Prova de carga: ensaio de placa ABNT NBR 6489
APLICAÇÃO 1
Tendo em vista a curva tensão x recalque apresentada no Slide 20
da Aula 02, determine:
a) O lado (B) de uma sapata com base quadrada para suportar
uma carga vertical de 750 tf;
b) O recalque imediato da sapata ao suportar esse carregamento.
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1
2
APLICAÇÃO 1a
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
Fundação
Bloco
Sapata
Térreo: N = 0,00
Adotando:
FM = ?
Carga vertical
FM
≥ 20 tf
1,10
< 20 tf
1,20
≥ 20 tf
1,05
< 20 tf
1,10
A obra possui subsolos?
Podemos considerar
FM=1
= Terreno Natural
3,5m
Subsolo 1: N = -3,5m
1,0m
1,0m
Cálculo da Tensão devido ao Peso Próprio
(estimado a favor da segurança):
𝜎 = 𝛾∙𝑧
𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜 = 1,5𝑡𝑓/𝑚³
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 = 2,5𝑡𝑓/𝑚³
𝜎𝑠𝑜𝑙𝑜 = 1,5 ∙ 3,5 + 1 + 1 = 8,25 𝑡𝑓/𝑚²
𝜎𝑐𝑜𝑛𝑐 = 2,5 ∙ 1 + 1 = 5,0 𝑡𝑓/𝑚²
∴ 𝝈𝒄𝒐𝒏𝒄 < 𝝈𝒔𝒐𝒍𝒐 → 𝑭𝑴 = 𝟏
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3
APLICAÇÃO 1a
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
Adotando:
FM = 1,0
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐵 ∙ 𝐿
Tensão admissível do solo...
(Critério de Boston):
 → para  = 10mm
 adm  
 2 → para  = 25mm
Adotando:
B = lado em “x” e L = lado em “y”
Para uma sapata de base quadrada:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐵2
𝐵≥
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝜎𝑎𝑑𝑚
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4
APLICAÇÃO 1a
8,1
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9,3
5
APLICAÇÃO 1a
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
Adotando:
FM = 1,0
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐵 ∙ 𝐿
Adotando:
Tensão admissível do solo...
(Critério de Boston):
 → para  = 10mm
 adm  
 2 → para  = 25mm
B = lado em “x” e L = lado em “y”
𝑘𝑔𝑓
8,1
𝜎𝑎𝑑𝑚 ≤ ቊ
0,5 ∙ 9,3 = 4,65 𝑐𝑚2
Para uma sapata de base quadrada:
𝜎𝑎𝑑𝑚 ≤ 4,65 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
= 𝐵2
𝐵≥
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝜎𝑎𝑑𝑚
Na prática:
𝐵≥
𝜎𝑎𝑑𝑚 ≤ 4,5 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
1,0 ∙ 750 ∙ 103
4,5
Na prática:
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𝐵 ≥ 408𝑐𝑚
𝐵 = 410 𝑐𝑚
6
APLICAÇÃO 1b
𝐵𝑠
𝜌𝑠 = 𝜌𝑝 ∙
𝐵𝑝
ρs = recalque da sapata com diâmetro Bs
ρp = recalque da placa com diâmetro Bp
Bs = diâmetro uma sapata circular
Bp = diâmetro de uma placa circular
Recalque da placa na mesma tensão
de trabalho da sapata (ρp):
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7
APLICAÇÃO 1b
4,5
3,5
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8
APLICAÇÃO 1b
Área de um círculo de diâmetro (Bs)
com a mesma área da sapata:
𝐵𝑠
𝜌𝑠 = 𝜌𝑝 ∙
𝐵𝑝
ρs = recalque da sapata com diâmetro Bs
𝜋 ∙ 𝐵𝑠 2
= 𝐵 ∙ 𝐿 → 𝐵𝑠 =
4
4∙𝐵∙𝐿
𝜋
ρp = recalque da placa com diâmetro Bp
Bs = diâmetro uma sapata circular
Bp = diâmetro de uma placa circular
Recalque da placa na mesma tensão
de trabalho da sapata (ρp):
𝐵𝑠 =
4 ∙ 410 ∙ 410
= 462,64 𝑐𝑚
𝜋
462,64
𝜌𝑠 = 3,5 ∙
80
𝑘𝑔𝑓
𝜎𝑝 = 𝜎𝑠 = 4,5
→ 𝜌𝑝 = 3,5 𝑚𝑚
𝑐𝑚2
𝜌𝑠 = 20,24 𝑚𝑚
𝐵𝑝 = 80 𝑐𝑚
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9
APLICAÇÃO 2
Dado o perfil de SPT a seguir,
determine as dimensões em
planta de uma sapata de base
quadrada (B x B), instalada a
2,0 m de profundidade, para
suportar uma carga vertical Fz
igual a 50 tf.
Prof. (m)
NSPT
1
-
2
4
3
10
4
15
5
17
6
23
7
29
8
45
9
48
10
57
11
35/27
12
30/13
13
5/0
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2
Tipo de
solo
Argila
arenosa
Silte
argiloso
Areia fina
10
APLICAÇÃO 2
Dado o perfil de SPT a seguir,
determine as dimensões em
planta de uma sapata de base
quadrada (B x B), instalada a
2,0 m de profundidade, para
suportar uma carga vertical Fz
igual a 50 tf.
Prof. (m)
NSPT
1,00
-
1,45
4
2,45
10
3,45
15
4,45
17
5,45
23
6,45
29
7,45
45
8,45
48
9,45
57
10,45
35/27
11,45
30/13
12,45
5/0
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Tipo de
solo
Argila
arenosa
Silte
argiloso
Areia fina
11
APLICAÇÃO 2
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
Adotando:
FM = 1,05
• O NSPT é o valor médio do intervalo
entre a cota da base da fundação até
uma profundidade de 2B;
• A fórmula vale para NSPT ≤ 20.
Fz
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐵 ∙ 𝐿
Prof. (m)
NSPT
Adotando:
1
-
B = lado em “x” e L = lado em “y”
2
4
3
10
4
15
5
17
6
23
7
29
Para uma sapata de base quadrada:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐵2
ALONSO
𝐵≥
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑁𝑆𝑃𝑇
5
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
Camada de apoio
𝑁𝑆𝑃𝑇 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 10
10
𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 =
= 2,0 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
5
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12
𝐵𝑢𝑙𝑏𝑜 = 2 ∙ 𝐵 = 2 ∙ 1,7 = 3,4 𝑚
APLICAÇÃO 2
Fz
Prof. (m)
NSPT
1
-
2
4
3
10
4
15
5
17
6
23
7
29
𝑁𝑆𝑃𝑇 𝑏𝑢𝑙𝑏𝑜 = 14,7
14,7
𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑏𝑢𝑙𝑏𝑜 =
= 2,94 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
5
Camada de apoio
𝑁𝑆𝑃𝑇 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 10
𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 2,0 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
𝐵(𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜) ≥
10 + 15 + 17 + 20 ∙ 0,4
𝑁𝑆𝑃𝑇
=
𝑏𝑢𝑙𝑏𝑜
3,4
1,05 ∙ 50 ∙ 103
2,0
𝐵 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 ≥ 162 𝑐𝑚 → 170 𝑐𝑚
𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑏𝑢𝑙𝑏𝑜 = 2,5 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
Como σadm (bulbo) ≥ σadm (cálculo) o
valor de B (cálculo) = 170 cm é
adequado. Caso não, recalcular B e
reavaliar σadm (bulbo).
𝐵 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 = 170 𝑐𝑚
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13
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.1 Sapata Isolada
APLICAÇÃO 3
Dimensionar e detalhar uma sapata isolada de um projeto:
Projeto Estrutural (Pilar):
Fz = 250 tf
b = 60 cm | l = 25 cm
fck = 30 MPa
Fundação (Sapata Isolada):
z = 1,5 m
Tensão admissível:
3,0 kgf/cm²
Aço CA-50
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3
14
APLICAÇÃO 3
(a) Dimensões da base (B;L):
𝑙−𝑏
𝐿=
+
2
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝑙−𝑏 2
+ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
4
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐵≥
𝐿
87500
𝐵≥
= 312,5
280
𝐵 = 320 𝑐𝑚
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
≤ 2,5
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
320
= 1,14 ≤ 2,5
280
Adotando:
(b) Altura da base (d;H):
FM = 1,05
𝐵−𝑏
3
𝐿−𝑙
3
1,05 ∙ 250 ∙ 103
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
= 87500 𝑐𝑚2
3,0
25 − 60
𝐿=
+
2
25 − 60 2
+ 87500 = 278,8 𝑐𝑚
4
𝑑≥
𝐹𝑧
1,44 ∙
𝜎𝑎
𝐿 = 280 𝑐𝑚
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𝑓𝑐𝑘
𝜎𝑎 = 0,85 ∙
1,96
30 ∙ 10
𝜎𝑎 = 0,85 ∙
1,96
𝜎𝑎 = 130,10 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
15
APLICAÇÃO 3
(b) Altura da base (d;H) – continuação:
𝑑≥
320 − 60
= 86,7 𝑐𝑚
3
280 − 25
= 85 𝑐𝑚
3
𝑑 ≥ 86,7 𝑐𝑚
250 ∙ 103
1,44 ∙
= 63,1 𝑐𝑚
130,10
𝑑 = 90 𝑐𝑚
𝐻 = 𝑑 + 𝑑′
𝐻 = 90 + 5
20 𝑐𝑚
ℎ≥ቊ
0,5 ∙ 90 = 45𝑐𝑚
ℎ = 45 𝑐𝑚
(d) Dimensões do Pilarete (bp;lp):
𝐻 = 95 𝑐𝑚
(c) Altura do Rodapé (h):
20 𝑐𝑚
ℎ≥ቊ
0,5 ∙ 𝑑
A necessidade do Pilarete deve ser avaliada pelo
projetista estrutural, em função da estabilidade
global e da flambagem.
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16
APLICAÇÃO 3
(d) Dimensões do Pilarete (bp;lp) – cont.:
A expressão anterior é resolvida por tentativas
observando-se as duas direções.
Para este estudo de caso, a recomendação é
atendida,
por
exemplo,
aumentando-se
as
dimensões do pilar em 15 cm (Δp).
Na prática, recomenda-se:
𝑏𝑝 = 𝑏 + ∆𝑝𝑥
𝑏𝑝 = 60 + 15 = 75 𝑐𝑚
𝑙𝑝 = 𝑙 + ∆𝑝𝑦
𝑙𝑝 = 25 + 15 = 40 𝑐𝑚
(e) Dimensões do Topo da Sapata (bt;lt):
𝐼𝑃𝐼𝐿𝐴𝑅𝐸𝑇𝐸 ≥ 3 ∙ 𝐼𝑃𝐼𝐿𝐴𝑅
Considerar uma “folga” para a espessura da
IPILARETE = momento de inércia da seção transversal
do pilarete;
IPILAR = momento de inércia da seção transversal
do pilar.
fôrma. Adotando 2,5cm de cada lado:
𝑏𝑡 = 𝑏𝑝 + 5𝑐𝑚
𝑏𝑡 = 75 + 5 = 80 𝑐𝑚
𝑙𝑡 = 𝑙𝑝 + 5𝑐𝑚
𝑙𝑡 = 40 + 5 = 45 𝑐𝑚
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17
APLICAÇÃO 3
(f) Volume de Concreto (VT):
𝑉1 = 8,96 ∙ 0,45 → 𝑉1 = 4,032 𝑚³
𝑧 = 1,5 𝑚
𝐵 = 320 𝑐𝑚
𝐿 = 280 𝑐𝑚
𝐻 = 95 𝑐𝑚
𝑉2 =
0,95 − 0,45
∙ 8,96 + 0,36 + 8,96 ∙ 0,36
3
→ 𝑉2 = 1,853 𝑚³
𝑉3 = 0,3 ∙ 1,5 − 0,95 → 𝑉3 = 0,165 𝑚³
ℎ = 45 𝑐𝑚
𝑉𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 = 4,032 + 1,853 → 𝑉𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎 = 5,885 𝑚³
𝑉𝑇 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3
𝑉3 = 𝐴𝑝 ∙ 𝑧 − 𝐻
𝑉1 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ
𝐻−ℎ
𝑉2 =
∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑡 + 𝐴𝑏 ∙ 𝐴𝑡
3
𝐴𝑏 = 3,2 ∙ 2,8 = 8,96 𝑚²
𝐴𝑡 = 0,8 ∙ 0,45 = 0,36 𝑚²
𝑉𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑡𝑒 = 0,165 𝑚³
𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 5,885 + 0,165 = 6,05 𝑚³
𝐴𝑝 = 0,75 ∙ 0,4 = 0,30 𝑚²
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18
APLICAÇÃO 3
(g) Esforços de Tração:
𝐹𝑧 ∙ 𝐵 − 𝑏
𝑇𝑥 =
8∙𝑑
(h) Áreas de Aço:
250 ∙ 320 − 60
𝑇𝑥 =
8 ∙ 90
1,61 ∙ 𝑇𝑥
𝐴𝑠𝑥 =
𝑓𝑦𝑘
𝐴𝑠𝑥 = 29,07 𝑐𝑚²
𝑇𝑥 = 90,28 𝑡𝑓
𝐹𝑧 ∙ 𝐿 − 𝑙
𝑇𝑦 =
8∙𝑑
1,61 ∙ 90,28
𝐴𝑠𝑥 =
5,0
250 ∙ 280 − 25
𝑇𝑦 =
8 ∙ 90
1,61 ∙ 𝑇𝑦
𝐴𝑠𝑦 =
𝑓𝑦𝑘
𝑇𝑦 = 88,54 𝑡𝑓
1,61 ∙ 88,54
𝐴𝑠𝑦 =
5,0
𝐴𝑠𝑦 = 28,51 𝑐𝑚²
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19
APLICAÇÃO 3
Adotando esp ≥ 10 cm:
(i) Detalhamento:
10 𝑐𝑚 ≤ 𝑒𝑠𝑝 ≤ 20 𝑐𝑚
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
(6) 𝑒𝑠𝑝 =
𝑄𝑒𝑠𝑝
𝑄𝑒𝑠𝑝 = 𝑛 − 1
Sdisp = espaço disponível
Qesp = quant. de espaços
n = nº de barras / seções
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑥 = 𝐿 − 20𝑐𝑚
(1)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
≥ 10
𝑛−1
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
(2)
Adotando esp ≤ 20 cm:
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
≤ 20
𝑛−1
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≥
+1
20
(2)
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
(3)
Escolher a bitola φ(As), na Tabela
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑦 = 𝐵 − 20𝑐𝑚
(4) de Armaduras, que atenda à área
de aço necessária (As).
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20
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
TABELA DE ARMADURAS
Bitola (mm)
Área (cm²)
Massa Nominal
(kg/m)
5,0
0,20
0,154
6,3
0,31
0,245
8,0
0,50
0,395
10,0
0,79
0,617
12,5
1,22
0,963
16,0
2,01
1,578
20,0
3,14
2,466
25,0
4,90
3,853
32,0
8,00
6,313
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21
APLICAÇÃO 3
𝐵 = 320 𝑐𝑚
(i) Detalhamento – continuação:
(i.1) Armadura na direção x:
𝐿 = 280 𝑐𝑚
(4) Adotar φ12,5mm (1,22 cm²)
𝐴𝑠𝑥 = 29,07 𝑐𝑚²
(1) 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑥 = 𝐿 − 20𝑐𝑚
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
29,07
𝑛≥
= 23,8
1,22
𝑛 ≥ 24 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑒𝑠𝑝 =
𝑄𝑒𝑠𝑝
260
𝑒𝑠𝑝 =
= 11,3
24 − 1
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑥 = 280 − 20 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑥 = 260 𝑐𝑚
(2)
(3)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
260
𝑛≤
+1
10
𝑛 ≤ 27 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
𝑒𝑠𝑝 = 11 𝑐𝑚
29,07
𝐴𝑠 𝜙 ≥
27
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
𝐴𝑠 𝜙
≥ 1,08 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
N1 - 24φ12,5mm c/ 11cm
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22
APLICAÇÃO 3
𝐵 = 320 𝑐𝑚
(i) Detalhamento – continuação:
(i.2) Armadura na direção y:
𝐿 = 280 𝑐𝑚
(4) Adotar φ12,5mm (1,22 cm²)
𝐴𝑠𝑦 = 28,51 𝑐𝑚²
(1) 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑦 = 𝐵 − 20𝑐𝑚
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
28,51
𝑛≥
= 23,4
1,22
𝑛 ≥ 24 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑒𝑠𝑝 =
𝑄𝑒𝑠𝑝
300
𝑒𝑠𝑝 =
= 13,0
24 − 1
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑦 = 320 − 20 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝,𝑦 = 300 𝑐𝑚
(2)
(3)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
300
𝑛≤
+1
10
𝑛 ≤ 31 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
𝑒𝑠𝑝 = 13 𝑐𝑚
28,51
𝐴𝑠 𝜙 ≥
31
𝐴𝑠 𝜙 ≥ 0,92 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
N2 - 24φ12,5mm c/ 13cm
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23
APLICAÇÃO 3
(f) Dobras da Armadura:
(f.1) Armadura na direção x:
𝐵 = 320 𝑐𝑚
𝐿 = 280 𝑐𝑚
ℎ = 45 𝑐𝑚
(f.2) Armadura na direção y:
h – 10cm
h – 10cm
B – 10cm
35
L – 10cm
35
35
35
310
270
N1 - 24φ12,5mm c/ 11cm - c=380cm
N2 - 24φ12,5mm c/ 13cm - c=340cm
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24
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
APLICAÇÃO 3
3.1 Sapata Isolada
Detalhamento da Sapata
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25
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
APLICAÇÃO 3
3.1 Sapata Isolada
Detalhamento da Sapata
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26
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
27
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
28
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
29
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
30
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
31
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.2 Sapata Associada
APLICAÇÃO 4
Dimensionar e detalhar uma sapata associada de um projeto:
Projeto Estrutural (Pilares):
fck = 25 MPa
P1 (20x40) = 80 tf
P2 (20x60) = 120 tf
P2
P1
Fundação (Sapata Associada):
z = 1,5 m
Tensão admissível:
2,5 kgf/cm²
Aço CA-50
150cm
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4
32
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.2 Sapata Associada
N1 – ARMADURA DA SAPATA
N2 – Armadura Longitudinal Inferior
N3 – Armadura Longitudinal Superior
N4 – Estribos
N5 – Armadura de Pele
N6 – Armadura de Distribuição
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33
APLICAÇÃO 4
<< Dimensionamento da Sapata >>
P1
(a) Dimensões da base (B;L):
P2
B/2
Adotando:
FM = 1,0
L/2
1,0 ∙ 80 + 120 ∙ 103
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
= 80000 𝑐𝑚2
2,5
(a.2) Posição do Centro de Carga
σ 𝐹𝑧 ∙ 𝑥𝑖
𝑋𝑐𝑐 =
σ 𝐹𝑧
CC
150cm
(a.1) Área mínima da base
𝐹𝑀 ∙ σ 𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ≥
𝜎𝑎𝑑𝑚
B/2
90cm
(a.3) Locação da Base:
Adota-se L/2 como a distância entre o CC e a
face externa do pilar mais afastado acrescida de
um valor arbitrário (Δx ≥ 20cm).
Adotando:
Eixo de referência no eixo do P1
80 ∙ 0 + 120 ∙ 150
𝑋𝑐𝑐 =
= 90 𝑐𝑚
80 + 120
L/2
Adotando Δx = 100cm:
𝐿
20
𝑃1 → = 90 +
+ 100 = 200 𝑐𝑚
2
2
𝐿
20
𝑃2 → = 60 +
+ 100 = 170 𝑐𝑚
2
2
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34
APLICAÇÃO 4
(a.3) Locação da Base - continuação:
P1
𝐿
= 200
2
𝐵≥
𝐿 = 400 𝑐𝑚
80000
400
L/2
Obrigatório
400
= 2,0 ≤ 2,5
200
B/2
L/2
(b) Altura da Base (d;H):
𝐵 − 𝑏𝑤
3
𝑑≥
Sugestão
P2
CC
150cm
𝐵 = 200 𝑐𝑚
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
2,0 ≤
≤ 2,5
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
B/2
90cm
𝑞
1,44 ∙
𝜎𝑎
σ 𝐹𝑧
𝑞=
𝐿
𝑓𝑐𝑘
𝜎𝑎 = 0,85 ∙
1,96
𝑏 + 20 𝑐𝑚
𝑏𝑤 ≥ ቊ 1
𝑏2 + 20 𝑐𝑚
80 + 120 ∙ 10
𝑞=
= 500 𝑘𝑁/𝑚
4,0
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
35
APLICAÇÃO 4
(b) Altura da Base (d;H) - continuação:
200 − 80
= 40 𝑐𝑚
3
𝑑 ≥ 40 𝑐𝑚
500
1,44 ∙
= 0,31 𝑚
10841,84
𝑑 = 40 𝑐𝑚
B/2
P1
bw
CC
P2
𝑑≥
B/2
L/2
𝐻 = 𝑑 + 𝑑′
L/2
𝐻 = 40 + 5
(b) Altura da Base (d;H) - continuação:
(c) Esforço de Tração na direção B:
25 ∙ 103
𝜎𝑎 = 0,85 ∙
= 10841,84 𝑘𝑃𝑎
1,96
𝑞 ∙ 𝐵 − 𝑏𝑤
𝑇𝐵 =
∙𝐿
8∙𝑑
40 + 20 = 60 𝑐𝑚
𝑏𝑤 ≥ ቊ
60 + 20 = 80 𝑐𝑚
𝐻 = 45 𝑐𝑚
50 ∙ 200 − 80
𝑇𝐵 =
∙4
8 ∙ 40
𝑇𝐵 = 75 𝑡𝑓
(d) Área de aço na direção B:
𝑏𝑤 = 80 𝑐𝑚
1,61 ∙ 𝑇𝐵
𝐴𝑠𝐵 =
𝑓𝑦𝑘
1,61 ∙ 75
𝐴𝑠𝐵 =
5,0
𝐴𝑠𝐵 = 24,15 𝑐𝑚²
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36
APLICAÇÃO 4
(e) Altura do rodapé (h):
20 𝑐𝑚
ℎ≥ቊ
0,5 ∙ 𝑑
𝐵 = 200 𝑐𝑚
𝐿 = 400 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
ℎ≥ቊ
0,5 ∙ 40 = 20 𝑐𝑚
(4) Adotar φ10mm (0,79 cm²)
(5)
𝑛≥
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙
24,15
𝑛≥
= 30,6 𝑛 ≥ 31 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
0,79
Adotar h=25 cm (NBR 6118 / prática)
(f) Detalhamento:
𝐴𝑠𝐵 = 24,15 𝑐𝑚²
(1) 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐿 − 20𝑐𝑚
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 400 − 20 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 380 𝑐𝑚
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
380
𝑒𝑠𝑝 =
𝑒𝑠𝑝 =
= 12,6
𝑄𝑒𝑠𝑝
31 − 1
𝑒𝑠𝑝 = 12,5 𝑐𝑚
15
(2)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
380
𝑛≤
+1
10
(3)
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
24,15
𝐴𝑠 𝜙 ≥
39
𝐴𝑠 𝜙 ≥ 0,62 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
15
190
𝑛 ≤ 39 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
N1 - 31φ10mm c/ 12,5cm - c=220cm
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
37
APLICAÇÃO 4
400
<< Dimensionamento da Viga >>
110
90
P1
60
Xcc
140
P2
90cm
B/2
P1
CC
bw
P2
Diagrama de Momento Fletor (DMF) – kN.m
B/2
L/2
L/2
(a) Obtenção dos Esforços Solicitantes:
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) – kN
400
110
90
P1
60
Xcc
140
P2
Mk = 490 kN.m
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Vk = 700 kN
38
APLICAÇÃO 4
Vk = 700 kN
(b) Altura útil (d) mínima:
𝛾𝑓 ∙ 𝑉𝑘
𝑑≥
𝑏𝑤 ∙ 𝜏𝑤𝑑
0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝜏𝑤𝑑 ≤ ቊ
4,5 𝑀𝑃𝑎
25
𝑓𝑐𝑑 =
= 17,86 𝑀𝑃𝑎
1,4
1,4 ∙ 700
𝑑≥
= 0,27 𝑚
0,8 ∙ 4,47 ∙ 103
𝑓𝑐𝑘
𝑓𝑐𝑑 =
𝛾𝑐
0,25 ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 4,47 𝑀𝑃𝑎
(c) Dimensionamento à flexão:
(c.1) Armadura necessária:
Mk = 490 kN.m
𝑓𝑐𝑑
𝐴𝑠 = 𝜔 ∙
∙𝑏 ∙𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑤
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓 ∙ 𝑀𝑘
𝑀𝑑 = 1,4 ∙ 490
2,36 ∙ 𝑀𝑑
𝜔 = 0,85 ∙ 1 − 1 −
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 2 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝑀𝑑 = 686 𝑘𝑁. 𝑚
𝑑𝑣𝑖𝑔𝑎 ≥ 𝑑𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎
Tendo em vista o dimensionamento à flexão,
será adotado d = 90cm.
𝜔 = 0,85 ∙ 1 − 1 −
2,36 ∙ 686
0,8 ∙ 0,92 ∙ 17,86 ∙ 103
= 0,0617
500
𝑓𝑦𝑑 =
= 434,78 𝑀𝑃𝑎
1,15
17,86
𝐴𝑠 = 0,0617 ∙
∙ 80 ∙ 90 = 18,25 𝑐𝑚²
434,78
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39
APLICAÇÃO 4
(c.4) Armad. Longitudinal Inferior 𝐴𝑠 = 18,25 𝑐𝑚²
(c.2) Armadura mínima:
(1)
𝑁𝐵𝑅 6118 → 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 0,15% ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
→ 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 0,15% ∙ 80 ∙ 90 = 10,8 𝑐𝑚²
𝑃𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 80 − 20 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 60 𝑐𝑚
(2)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
(3)
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
→ 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 0,20 ∙ 𝐴𝑠
→ 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 0,20 ∙ 18,25 = 3,65 𝑐𝑚²
(c.3) Armadura máxima: 𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 𝜌𝑚á𝑥 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝜌𝑚á𝑥 = 0,68 ∙
𝑓𝑐𝑑
735
∙
𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑦𝑑 735 + 𝑓𝑦𝑑
𝑛≤
60
+1
10
𝑛 ≤ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
18,25
𝐴𝑠 𝜙 ≥
7
𝐴𝑠 𝜙 ≥ 2,61 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
(4) Adotar φ20mm (3,14 cm²)
17,86
735
𝜌𝑚á𝑥 = 0,68 ∙
∙
= 0,0176
434,78 735 + 434,78
𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 0,0176 ∙ 80 ∙ 90 = 126,7 𝑐𝑚²
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏𝑤 − 20𝑐𝑚
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
60
𝑒𝑠𝑝 =
𝑒𝑠𝑝 =
= 12 𝑐𝑚
𝑄𝑒𝑠𝑝
6−1
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18,25
𝑛≥
= 5,8
3,14
𝑛 ≥ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
40
APLICAÇÃO 4
(c.4) Armadura Longitudinal Inferior (cont.)
30
30
390
N2 - 6φ20mm c/ 12cm - c=450cm
(4) Adotar φ10mm (0,79 cm²)
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
60
𝑒𝑠𝑝 =
𝑒𝑠𝑝 =
= 15 𝑐𝑚
𝑄𝑒𝑠𝑝
5−1
(1)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝑏𝑤 − 20𝑐𝑚
(2)
𝑛 ≤ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
(3)
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
15
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 60 𝑐𝑚
𝑛 ≥ 5 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
390
(c.5) Armadura Longitudinal Superior
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 3,65 𝑐𝑚²
3,65
𝑛≥
= 4,6
0,79
15
N3 - 5φ10mm c/ 15cm - c=420cm
3,65
𝐴𝑠 𝜙 ≥
7
𝐴𝑠 𝜙 ≥ 0,52 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
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41
APLICAÇÃO 4
(d.1) Verificação da compressão diagonal do
concreto
(d) Dimensionamento ao Cortante:
Vk = 700 kN
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
e
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤
𝑉𝑠𝑑 = 𝛾𝑓 ∙ 𝑉𝑘 = 1,4 ∙ 700 = 980 𝑘𝑁
Vsd = força cortante solicitante de cálculo
VRd2 = força cortante resistente de cálculo,
relativa à ruína das diagonais comprimidas de
concreto
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
𝑓𝑐𝑘
𝑓𝑐𝑘
𝛼𝑣2 = 1 −
𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑐𝑑 =
250
𝛾𝑐
25
25000
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 1 −
∙
∙ 0,8 ∙ 0,9
250
1,4
𝑉𝑅𝑑2 = 3124,29 𝑘𝑁
∴ 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2
(d.2) Cálculo de Vc
2ൗ
0,21 ∙ 𝑓𝑐𝑘 3
VRd3 = força cortante resistente de cálculo,
relativa a ruína por tração diagonal
𝑉𝑐 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
VC = parcela de força cortante resistida pelo
concreto
𝑉𝑐 = 0,6 ∙
Vsw = parcela de força cortante resistida pela
armadura transversal (estribo)
𝑉𝑐 = 554,03 𝑘𝑁
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2
0,21 ∙ 253
1,4
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝛾𝑐
(𝑀𝑃𝑎)
∙ 103 ∙ 0,8 ∙ 0,9
42
APLICAÇÃO 4
(d.4) Armadura Transversal Mínima
(d.3) Armadura Transversal
𝐴𝑠𝑤
𝑉𝑠𝑤
=
𝑆
0,9 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙ 𝑑 ∙ sin 𝛼 + cos 𝛼
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑐𝑚²
= 2000 ∙
∙ 𝑏𝑤 ∙ sin 𝛼
𝑆
𝑓𝑦𝑤𝑘
𝑚
𝑐𝑚²
𝑚
fctm = tensão média a tração no concreto
𝑉𝑠𝑤 = 980 − 554,03 = 425,97 kN
fywd = tensão na armadura transversal passiva,
limitada ao valor do fyd ou 43,5 kN/cm²
α = ângulo de inclinação da armadura
transversal (45º ≤ α ≤ 90º)
fctm = 0,3.fck2/3 (MPa)
fywk = resistência ao escoamento do aço da
armadura transversal, limitada ao valor do fyk
ou 500MPa
bw = largura da seção em metro
α = 90º (estribos verticais)
Vsw = parcela de força cortante resistida pela
armadura transversal (estribo)
𝐴𝑠𝑤
425,27
𝑐𝑚²
=
= 12,09
𝑠
0,9 ∙ 43,5 ∙ 0,9 ∙ sin 90 + cos 90
𝑚
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
= 2000 ∙
𝑠
2ൗ
0,3 ∙ 25 3
500
∙ 0,8 ∙ sin 90°
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑐𝑚²
= 8,21
𝑠
𝑚
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43
APLICAÇÃO 4
(d.5) Espaçamento Máximo dos Estribos (Smáx)
𝑉𝑠𝑑
0,6 ∙ 𝑑
≤ 0,67 → 𝑆𝑚á𝑥 ≤ ቊ
30 𝑐𝑚
𝑉𝑅𝑑2
(d.7) Espaçamento Necessário (Snec)
𝑆𝑛𝑒𝑐 ≤
100 ∙ 𝑛𝑟 ∙ 𝐴𝑒𝑠𝑡
𝑐𝑚
𝐴𝑠𝑤 Τ𝑆
nr = número de ramos
𝑉𝑠𝑑
0,3 ∙ 𝑑
> 0,67 → 𝑆𝑚á𝑥 ≤ ቊ
20 𝑐𝑚
𝑉𝑅𝑑2
Aest = área (cm²) da bitola do estribo adotado
𝑉𝑠𝑑
980
0,6 ∙ 90 = 54𝑐𝑚
=
= 0,31 → 𝑆𝑚á𝑥 ≤ ቊ
30 𝑐𝑚
𝑉𝑅𝑑2 3124,29
(d.6) Bitola do Estribo (ϕt)
𝑏𝑤 800
5 𝑚𝑚 ≤ 𝜙𝑡 ≤
=
= 80 𝑚𝑚
10
10
Prática → 5 𝑚𝑚 ≤ 𝜙𝑡 ≤ 12,5𝑚𝑚
simples
duplo
simples
duplo
Adotando φt = 10mm (Aest = 0,79cm²) e nr=2:
100 ∙ 2 ∙ 0,79
𝑆𝑛𝑒𝑐 ≤
→ 𝑆𝑛𝑒𝑐 ≤ 13 𝑐𝑚
12,09
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44
APLICAÇÃO 4
(d.8) Quantidade de Estribos/Detalhamento
(1) 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐿 − 20𝑐𝑚
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≥
+1
𝑆𝑛𝑒𝑐
𝑁𝐵𝑅 6118 → 𝐴𝑠𝑝 = 0,1% ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
380
𝑛≥
+ 1 = 30,2 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
13
85
H – 10cm
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
380
𝑒𝑠𝑝 =
𝑒𝑠𝑝 =
= 12,5 𝑐𝑚
𝑄𝑒𝑠𝑝
31 − 1
10.φt
→ 𝐴𝑠𝑝 = 0,1% ∙ 80 ∙ 90 = 7,2 𝑐𝑚2 /𝑓𝑎𝑐𝑒
𝑃𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑛 = 31 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠
(6)
Obrigatória para vigas com mais de 60cm de
altura. As ≤ 5cm²/m por face e esp ≤ 20cm.
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 400 − 20 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 380 𝑐𝑚
(2)
(e) Armadura de Pele (Asp) – por face:
→ 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 1/8 ∙ 18,25 = 2,28 𝑐𝑚2 /𝑓𝑎𝑐𝑒
(e.1) Detalhamento
(1) 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 𝐻 − 30𝑐𝑚
10
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 95 − 30 → 𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 = 65 𝑐𝑚
(2)
bw – 10cm
→ 𝐴𝑠.𝑚í𝑛 = 1/8 ∙ 𝐴𝑠
70
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≤
+1
10
65
𝑛≤
+1
10
𝑛 ≤ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
N4 - 31φ10mm c/ 12,5cm - c=330cm
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
45
APLICAÇÃO 4
(f) Armadura de distribuição:
(e.1) Detalhamento
(3)
𝐴𝑠
𝐴𝑠 𝜙 ≥
𝑛
Sugere-se φ6,3mm c/20cm (cada lado).
2,28
𝐴𝑠 𝜙 ≥
7
(1)
𝐴𝑠 𝜙 ≥ 0,33 𝑐𝑚2 /𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
(4) Adotar φ8mm (0,5 cm²)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 =
(5)
𝐴𝑠
𝑛≥
𝐴𝑠 𝜙
(6)
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
65
𝑒𝑠𝑝 =
𝑒𝑠𝑝 =
= 16 𝑐𝑚
𝑄𝑒𝑠𝑝
5−1
2,28
𝑛≥
= 4,6
0,5
𝐵 − 𝑏𝑤
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝 =
− 15𝑐𝑚
2
𝑛 ≥ 5 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
(2)
200 − 80
− 15 = 45 𝑐𝑚
2
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑛≥
+1
𝑆𝑛𝑒𝑐
45
𝑛≥
+ 1 = 3,25
20
𝑛 = 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
(6)
390
2xN5 - 5φ8mm c/ 16cm - c=390cm
𝑆𝑑𝑖𝑠𝑝
𝑒𝑠𝑝 =
𝑄𝑒𝑠𝑝
𝑒𝑠𝑝 =
45
= 15 𝑐𝑚
4−1
390
2xN6 - 4φ6,3mm c/ 15cm - c=390cm
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
46
N3 - 5φ10mm c/ 15cm - c=420cm
APLICAÇÃO 4
15
390
30
390
15
30
N2 - 6φ20mm c/ 12cm - c=450cm
85
70
10
N4 - 31φ10mm c/ 12,5cm - c=330cm
390
15
190
15
2xN5 - 5φ8mm c/ 16cm - c=390cm
390
N1 - 31φ10mm c/ 12,5cm - c=220cm
2xN6 - 4φ6,3mm c/ 15cm - c=390cm
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
47
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.3 Sapata submetida à Momento e à Força Horizontal
APLICAÇÃO 5
Dimensionar a sapata isolada de um projeto:
Projeto Estrutural (Pilar):
Fz = 30 tf
Fx = 1,5 tf; Fy = 0 tf
Mx = 0 tf.m; My = 4 tf.m
Fundação (Sapata Isolada):
z = 1,2 m
Solo da base:
Argila arenosa
NSPT = 10
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
5
48
APLICAÇÃO 5
(b) Cálculo das excentricidades:
(a) Correlações:
ALONSO
𝑁𝑆𝑃𝑇
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
5
𝑀𝑦 + 𝐹𝑥 ∙ 𝑧
𝑒𝑥 =
𝐹𝑧
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
𝑒𝑦 =
10
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
= 2,0 𝑘𝑔𝑓Τ𝑐𝑚2
5
Douglas (para argilas)
𝑐 = 𝑁𝑆𝑃𝑇 𝑘𝑃𝑎
𝑐 = 10 𝑘𝑃𝑎 ≤ 25 𝑘𝑃𝑎
Teixeira e Godoy
𝜙=
20 ∙ 𝑁𝑆𝑃𝑇 + 15°
𝜙 = 20 ∙ 10 + 15° → 𝜙 = 29° ≤ 35°
Terzaghi
tan 𝛿 = 2/3 ∙ tan 𝜙
𝑎 = 0,5 ∙ 𝑐
𝑎 = 5 𝑘𝑃𝑎
2
tan 𝛿 = ∙ tan 29 = 0,37
3
−𝑀𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑧
𝐹𝑧
𝑒𝑥 =
4 + 1,5 ∙ 1,2
= 0,19 𝑚
30
𝑒𝑦 = 𝑧𝑒𝑟𝑜
(c) Avaliação da Tensão Mínima:
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥 6 ∙ 𝑒𝑦
𝜎𝑚í𝑛 =
∙ 1−
−
≥0
𝐵∙𝐿
𝐵
𝐿
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥
∙ 1−
≥0
𝐵∙𝐿
𝐵
6 ∙ 𝑒𝑥
1−
≥0
𝐵
𝐵 ≥ 6 ∙ 𝑒𝑥
𝐵 ≥ 6 ∙ 19 → 𝐵 ≥ 114 → 𝐵 ≥ 120 𝑐𝑚
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49
APLICAÇÃO 5
(e) Resistência à Translação:
(d) Avaliação da Tensão Máxima:
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥 6 ∙ 𝑒𝑦
𝜎𝑚á𝑥 =
∙ 1+
+
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐵∙𝐿
𝐵
𝐿
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
≤ 2,5
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
𝐵
≤ 2,5
𝐿
𝐵
𝐿≥
2,5
Resolve-se por tentativas e respeitando-se o
critério anterior. Adotando:
240
𝐿≥
= 96 →
2,5
𝐵 = 240 𝑐𝑚
𝐹𝑆 =
𝐹𝑎𝑡
1,5 → 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠
≥ቊ
2,0 → 𝑎𝑟𝑔𝑖𝑙𝑎𝑠
𝐹𝐻
𝐹𝑎𝑡 = 𝑎 + 𝜎𝑣 ∙ tan 𝛿 ∙ 𝐵 ∙ 𝐿
1,05 ∙ 30 ∙ 10
𝜎𝑣 = 0,5 ∙
= 65,63 𝑘𝑃𝑎
2,4 ∙ 1,0
𝐹𝑎𝑡 = 5 + 65,63 ∙ 0,37 ∙ 2,4 ∙ 1,0
𝐹𝑎𝑡 = 70,28 𝑘𝑁
𝐿 = 100 𝑐𝑚
1,05 ∙ 30 ∙ 103
6 ∙ 19
𝜎𝑚á𝑥 =
∙ 1+
240 ∙ 100
240
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
𝜎𝑣 = (0,5) ∙
𝐵∙𝐿
𝑒𝑦 = 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝜎𝑚á𝑥 = 1,94 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 2,0 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²
𝐹𝐻 =
𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2
𝐹𝐻 = 1,5 𝑡𝑓 = 15 𝑘𝑁
70,28
𝐹𝑆 =
= 4,69 ≥ 2,0
15
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50
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.4 Sapata Isolada de Divisa
APLICAÇÃO 6
Dimensionar e detalhar uma sapata isolada de um projeto:
Projeto Estrutural (Pilar):
Fz = 10 tf
b = 40 cm | l = 40 cm
Afastamento: a = 3 cm
Divisa na vertical
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Fundação (Sapata Isolada):
Tensão admissível:
3,0 kgf/cm²
6
51
APLICAÇÃO 6
(a) Avaliação da Tensão Mínima:
𝑒𝑦 = 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥 6 ∙ 𝑒𝑦
𝜎𝑚í𝑛 =
∙ 1−
−
≥0
𝐵∙𝐿
𝐵
𝐿
𝐵 ≥ 6 ∙ 𝑒𝑥
𝑀𝑦 + 𝐹𝑥 ∙ 𝑧
𝐵
𝑏
𝑒𝑥 =
+
−𝑎−
𝐹𝑧
2
2
60
40
𝑒𝑥 =
−3−
2
2
𝐵
𝑒𝑥 ≤
6
𝑒𝑦 = 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝑒𝑥 = 7 𝑐𝑚
(c) Avaliação da Tensão Máxima:
𝑀𝑦 + 𝐹𝑥 ∙ 𝑧
𝐵
𝑏
𝑒𝑥 =
+
−𝑎−
𝐹𝑧
2
2
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥 6 ∙ 𝑒𝑦
𝜎𝑚á𝑥 =
∙ 1+
+
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐵∙𝐿
𝐵
𝐿
𝐵
𝑏
𝐵
−𝑎− ≤
2
2
6
3
𝐵 ≤ ∙𝑏+3∙𝑎
2
3
𝐵 ≤ ∙ 40 + 3 ∙ 3
2
𝐵 ≤ 69 𝑐𝑚
Adotando:
(b) Cálculo das excentricidades:
𝐹𝑀 ∙ 𝐹𝑧
6 ∙ 𝑒𝑥
𝐿≥
∙ 1+
𝐵 ∙ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐵
1,10 ∙ 10 ∙ 103
6∙7
𝐿≥
∙ 1+
60 ∙ 3,0
60
𝐵 = 60 𝑐𝑚
𝑒𝑦 = 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝐿 ≥ 103,9𝑐𝑚
𝐿 = 110 𝑐𝑚
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52
APLICAÇÃO 6
(c) Verificação:
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
≤ 2,5
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
110
= 1,83 ≤ 2,5
60
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53
3. Dimensionamento Estrutural – ELU
3.5 Sapata de Divisa com Viga Alavanca
APLICAÇÃO 7
Dimensionar as sapatas com viga alavanca de um projeto:
Projeto Estrutural (Pilares):
P1 (20x40) = 40 tf
P2 (20x50) = 160 tf
Fundação (Sapatas):
Tensão admissível:
2,0 kgf/cm²
a = 5cm
DIVISA
P1
P2
300cm
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
7
54
APLICAÇÃO 7
(c) Calcular R1 e determinar L:
<< SAPATA DA DIVISA >>
(a) Partir da relação L = 2B e adotar e = 0:
𝐵=
𝐹𝑀 ∙ 𝑃1
2 ∙ 𝜎𝑎𝑑𝑚
𝐵 = 102,5 𝑐𝑚
𝐵=
1,05 ∙ 40 ∙ 103
2 ∙ 2,0
𝑅1 = 𝑃1 + ∆𝑃
𝑅1 = 40 + 5,28
𝑅1 = 45,28 𝑡𝑓
𝐹𝑀 ∙ 𝑅1
𝐿≥
𝐵 ∙ 𝜎𝑎𝑑𝑚
1,05 ∙ 45,28 ∙ 103
𝐿≥
≥ 238 𝑐𝑚
100 ∙ 2,0
𝐿 = 240 𝑐𝑚
𝐵 = 100 𝑐𝑚
(b) Com o valor de “B” fixado:
(d) Verificação:
𝐵 𝑏
𝑒 = − −𝑎
2 2
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
≤ 2,5
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜
100 20
𝑒=
−
− 5 = 35 𝑐𝑚
2
2
𝑑 =𝑥−𝑒
𝑑 = 300 − 35
𝑑 = 265 𝑐𝑚
𝑒
∆𝑃 = 𝑃1 ∙
𝑑
35
∆𝑃 = 40 ∙
265
∆𝑃 = 5,28 𝑡𝑓
240
= 2,40 ≤ 2,5
100
Para a sapata de reação (S2), calcular como
sapata isolada, considerando-se no máximo 50%
do alívio (ΔP).
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
55
APLICAÇÃO 8
Prof. (m)
NSPT
1
0
Estime o recalque imediato
máximo de uma sapata instalada
a 1,5 m de profundidade em solo
permeável com base B = 100 cm
e L = 140 cm que suporta uma
carga vertical de 42 tf.
2
15
3
18
4
20
5
16
6
14
7
22
8
26
9
28
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
8
Tipo de solo
Argila
arenosa
Areia argilosa
Areia siltosa
56
APLICAÇÃO 8
Convenção de Terminologia:
• Camada(s) = refere-se ao perfil de solo descrito pela sondagem
SPT. Cada camada sempre possui 1 metro de espessura;
• Fatia(s) = refere-se à discretização do solo abaixo do base da
fundação, definida pelo projetista, variável e necessária para o
cálculo do recalque da fundação.
(a) Calcular o módulo de elasticidade do solo de cada camada (Es):
Para este estudo de caso foi escolhida a metodologia de Teixeira e
Godoy (1996).
ES = .K.NSPT (MPa)
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
57
1
Teixeira e Godoy (1996):
ES = .K.NSPT (MPa)
APLICAÇÃO 8
Prof.
(m)
NSPT
1
0
Tipo de
solo
Argila
arenosa

K (MPa)
Es
(MPa)
7
0,30
0,00
7
0,30
31,50
2
15
3
18
7
0,30
37,80
4
20
3
0,55
33,00
3
0,55
26,40
14
3
0,55
23,10
7
22
3
0,70
46,20
8
26
3
0,70
54,60
9
28
3
0,70
58,80
5
6
16
Areia
argilosa
Areia
siltosa
Solo

K
(MPa)
Areia com
pedregulho
3
1,1
Areia
3
0,90
Areia siltosa
3
0,70
Areia argilosa
3
0,55
Silte arenoso
5
0,45
Silte
5
0,35
Silte argiloso
5
0,25
Argila arenosa
7
0,30
Argila siltosa
7
0,20
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
58
APLICAÇÃO 8
(b) Definir as espessuras das fatias (Δzi):
Não existe uma regra obrigatória. É subjetiva! Sugestões:
i.
Para zi ≥ 0,0:
➢
ii.
Fz
Δzi ≤ 0,25.B ou Δzi ≤ 0,5 m
Para zi ≥ B:
➢
Δzi ≤ 0,5.B ou Δzi ≤ 1,0 m
Definições:
iii. Para zi ≥ 2.B:
➢
Δzi ≤ 1,0.B ou Δzi ≤ 3,0 m
Obs.: ∑Δzi ≥ 6.B
z
zi = distância entre a base da
fundação e o ponto médio da
fatia “i”;
B = menor dimensão em planta
da fundação.
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
59
APLICAÇÃO 8
(b) Definir as espessuras das fatias (Δzi):
i.
Para zi ≥ 0,0:
➢
ii.
Fz
Δzi ≤ 0,25.B ou Δzi ≤ 0,5 m
z
Para zi ≥ B:
➢
Δzi ≤ 0,5.B ou Δzi ≤ 1,0 m
iii. Para zi ≥ 2.B:
➢
Δzi ≤ 1,0.B ou Δzi ≤ 3,0 m
Obs.: ∑Δzi ≥ 6.B
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
B = 1,0m
L = 1,4m
Fatia
Δzi (m)
1
0,25
2
0,25
3
0,25
4
0,25
5
0,50
6
1,00
7
1,50
8
2,00
60
APLICAÇÃO 8
(c) Calcular (zi):
Fz
Fatia
z
B = 1,0m
L = 1,4m
zi = distância entre a base da
fundação e o ponto médio da
fatia “i”.
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
Δzi (m) zi (m)
1
0,25
0,1250
2
0,25
0,3750
3
0,25
0,6250
4
0,25
0,8750
5
0,50
1,2500
6
1,00
2,0000
7
1,50
3,2500
8
2,00
5,0000
61
Fz
APLICAÇÃO 8
(d) Calcular o módulo de
elasticidade do solo de cada
fatia (Esi):
➢ Identificar a cota de apoio
da base da fundação no
perfil de sondagem.
➢ Profundidade da sapata =
1,5 m.
➢ Observar a correspondência
entre as fatias e as camadas.
Prof. (m)
Es (MPa)
1
0,00
2
31,50
1,5m
0,25m
0,25m
0,25m
0,25m
0,5m
3
37,80
4
33,00
1,0m
5
26,40
1,0m
6
23,10
7
46,20
8
54,60
9
58,80
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
1
2
3
4
5
6
1,5m
7
1,0m 2,0m
8
0,5m
0,5m
0,5m
62
Fz
APLICAÇÃO 8
(d) Calcular o módulo de
elasticidade do solo de cada
fatia (Esi):
➢ Fatia 7:
26,4 ∙ 1 + 23,1 ∙ 0,5
𝐸𝑠 7 =
1 + 0,5
𝐸𝑠 7 = 25,30 𝑀𝑃𝑎
➢ Fatia 8:
Prof. (m)
Es (MPa)
1
0,00
2
31,50
1,5m
0,25m
0,25m
0,25m
0,25m
0,5m
3
37,80
4
33,00
1,0m
5
26,40
1,0m
6
23,10
7
46,20
23,1 ∙ 0,5 + 46,2 ∙ 1 + 54,6 ∙ 0,5
𝐸𝑠 8 =
0,5 + 1 + 0,5
8
54,60
𝐸𝑠 8 = 42,53 𝑀𝑃𝑎
9
58,80
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
1
2
3
4
5
6
1,5m
7
1,0m 2,0m
8
0,5m
0,5m
0,5m
63
APLICAÇÃO 8
Fz
(d) Calcular o módulo de
elasticidade do solo de cada
fatia (Esi):
Fatia
Δzi (m) zi (m) Esi (MPa)
1
0,25
0,1250
31,50
2
0,25
0,3750
31,50
3
0,25
0,6250
37,80
4
0,25
0,8750
37,80
5
0,50
1,2500
37,80
6
1,00
2,0000
33,00
7
1,50
3,2500
25,30
8
2,00
5,0000
42,53
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
1,5m
64
APLICAÇÃO 8
(e) Calcular o acréscimo de tensão no ponto médio de cada fatia, ou
seja, Δσi (total):
1,4m
➢ HOLL: Δσz é máximo sob o
ponto central da base.
∆𝜎𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 ∙ ∆𝜎𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
Aplicar no
cálculo do
recalque da fatia
Obter com a
Fórmula de Holl
I
II
b
III
IV
b
a
a
1,0m
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑥
𝑎=
2
𝑎 = 0,7 𝑚
𝑞
𝑎∙𝑏
𝑎∙𝑏∙𝑧
Δ𝜎𝑧 =
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+
∙ 𝑅1−2 + 𝑅2−2
2𝜋
𝑧 ∙ 𝑅3
𝑅3
𝑅1 =
𝑎2 + 𝑧 2 𝑅2 =
𝑏2 + 𝑧 2 𝑅3 =
𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑧 2
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
𝑞=
Ponto
Central
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑦
𝑏=
2
𝑏 = 0,5 𝑚
𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
42 ∙ 10
𝑞=
1,4 ∙ 1,0
𝑞 = 300 𝑘𝑃𝑎
65
APLICAÇÃO 8
(e) Calcular o acréscimo de tensão no ponto médio de cada fatia, ou
seja, Δσi (total):
➢ Para a Fatia 1:
▪ z1 = 0,125 m
𝑞 = 300 𝑘𝑃𝑎
𝑅1 =
0,72 + 0,1252 = 0,71 m
𝑅3 =
0,72 + 0,52 + 0,1252 = 0,87 𝑚
𝑎 = 0,7 𝑚
𝑅2 =
𝑏 = 0,5 𝑚
0,52 + 0,1252 = 0,52 𝑚
300
0,7 ∙ 0,5
0,7 ∙ 0,5 ∙ 0,125
Δ𝜎1 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 =
∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+
∙ 0,71−2 + 0,52−2
2𝜋
0,125 ∙ 0,87
0,87
Δ𝜎1 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 = 74,43 𝑘𝑃𝑎
Δ𝜎1 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 ∙ 74,43 = 297,71 𝑘𝑃𝑎
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
66
APLICAÇÃO 8
(e) Calcular o acréscimo de tensão no ponto médio de cada fatia, ou
seja, Δσi (total):
Fatia
Δzi (m) zi (m) Esi (MPa) R1 (m) R2 (m) R3 (m)
Δσi parcial
(kPa)
Δσi total
(kPa)
1
0,25
0,1250
31,50
0,7111 0,5154 0,8693
74,43
297,71
2
0,25
0,3750
31,50
0,7941 0,6250 0,9384
65,06
260,22
3
0,25
0,6250
37,80
0,9384 0,8004 1,0633
49,63
198,53
4
0,25
0,8750
37,80
1,1205 1,0078 1,2270
36,27
145,08
5
0,50
1,2500
37,80
1,4327 1,3463 1,5174
23,01
92,06
6
1,00
2,0000
33,00
2,1190 2,0616 2,1772
10,86
43,44
7
1,50
3,2500
25,30
3,3245 3,2882 3,3619
4,48
17,94
8
2,00
5,0000
42,53
5,0488 5,0249 5,0735
1,96
7,83
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
67
APLICAÇÃO 8
(f) Calcular o recalque de cada fatia (ρi):
Δ𝜎𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ Δ𝑧𝑖
𝜌𝑖 =
𝐸𝑠𝑖
➢ Para a Fatia 1:
▪ Δσ1 (total) = 297,71 kPa
297,71 ∙ 0,25
𝜌1 =
= 2,36 ∙ 10−3 𝑚
31,5 ∙ 1000
▪ Δz1 = 0,25 m
▪ Es1 = 31,5 MPa
𝜌1 = 2,36 𝑚𝑚
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
68
APLICAÇÃO 8
(f) Calcular o recalque de cada fatia (ρi):
Fatia
Δzi (m) zi (m) Esi (MPa) R1 (m) R2 (m) R3 (m)
Δσi parcial Δσi total
ρi (mm)
(kPa)
(kPa)
1
0,25
0,1250
31,50
0,7111 0,5154 0,8693
74,43
297,71
2,36
2
0,25
0,3750
31,50
0,7941 0,6250 0,9384
65,06
260,22
2,07
3
0,25
0,6250
37,80
0,9384 0,8004 1,0633
49,63
198,53
1,31
4
0,25
0,8750
37,80
1,1205 1,0078 1,2270
36,27
145,08
0,96
5
0,50
1,2500
37,80
1,4327 1,3463 1,5174
23,01
92,06
1,22
6
1,00
2,0000
33,00
2,1190 2,0616 2,1772
10,86
43,44
1,32
7
1,50
3,2500
25,30
3,3245 3,2882 3,3619
4,48
17,94
1,06
8
2,00
5,0000
42,53
5,0488 5,0249 5,0735
1,96
7,83
0,37
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
69
APLICAÇÃO 8
(g) Recalque da sapata (ρtotal):
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍ 𝜌𝑖
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,36 + 2,07 + 1,31 + 0,96 + 1,22 + 1,32 + 1,06 + 0,37
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 10,67 𝑚𝑚
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
70
9
Aplicação 9
Fz = 800 kN
0,0 m
Estime o recalque imediato da
sapata indicada na figura ao
lado, sabendo que a base da
sapata é retangular, com
B(x)=2,5m e L(y)=3,2m, e que a
altura da sapata (Hb) é de 0,9m.
O pilar possui dimensões de:
b(x) = 25cm e l(y) = 65 cm.
-2 m
-12 m
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
71
𝟏 − 𝝂𝟐
𝝆𝒊 = ∆𝒒 ∙ 𝑩 ∙
∙ 𝑰𝒘
𝑬𝒖
Δq = q (neste caso)
B = 2,5m e L = 3,2m
b = 25cm e l = 65cm
𝑞=
𝐹𝑧
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
ν = 0,5
Eu = 30 MPa
Hb = 0,9m
H = 10m
800
𝑞 = 100 𝑘𝑃𝑎
𝑞=
3,2 ∙ 2,5
APLICAÇÃO 9
0,0 m
-2 m
Como Hb = 0,9m ≥ 0,75m e 0,85m, a
sapata é rígida.
H = 10m
𝐵 − 𝑏 250 − 25
𝐻𝑏 ≥
=
= 75 𝑐𝑚
3
3
𝐿 − 𝑙 320 − 65
𝐻𝑏 ≥
=
= 85 𝑐𝑚
3
3
Fz = 800 kN
-12 m
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
72
APLICAÇÃO 9
B = 2,5m e L = 3,2m
𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜 320
=
= 1,28
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐿𝑎𝑑𝑜 250
L/B
(Iw) RÍGIDA
1,0
0,86
1,28 − 1,0
𝑥 − 0,86
=
2,0 − 1,0
1,17 − 0,86
1,28
x
𝑥 = 0,9468
2,0
1,17
1 − 𝜈2
𝜌𝑖 = ∆𝑞 ∙ 𝐵 ∙
∙ 𝐼𝑤
𝐸𝑢
1 − 0,52
𝜌𝑖 = 100 ∙ 2,5 ∙
∙ 0,9468
30 ∙ 1000
𝜌𝑖 = 5,92 ∙ 10−3 𝑚
𝜌𝑖 = 5,92 𝑚𝑚
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
73
APLICAÇÃO 10
Recalque por adensamento
0,0 m
a) Estime o recalque por adensamento
primário para o mesmo perfil de solo.
∆𝑞 = 100 𝑘𝑃𝑎
10
Fz = 800 kN
-2 m
𝐵 = 2,5 𝑚
H = 1000cm
𝜎𝑓′
𝜎𝑝′
𝐶𝑟 ∙ 𝐻
𝐶𝑐 ∙ 𝐻
𝜌𝑎 =
∙ 𝑙𝑜𝑔 ′ +
∙ 𝑙𝑜𝑔 ′
1 + 𝑒𝑖
𝜎𝑖
1 + 𝑒𝑖
𝜎𝑝
𝜎𝑓′ = 𝜎𝑖′ + ∆𝑞
𝜎𝑖′ = 19 ∙ 2 + 16 − 10 ∙ 5 = 68 𝑘𝑃𝑎
-12 m
Como a argila é NC:
𝜎𝑝′ = 𝜎𝑖′ = 68 𝑘𝑃𝑎
𝜎𝑓′
𝐶𝑐 ∙ 𝐻
(3) → 𝜌𝑎 =
∙ 𝑙𝑜𝑔 ′
1 + 𝑒𝑖
𝜎𝑝
𝜎𝑓′ = 68 + 100 = 168 𝑘𝑃𝑎
0,3 ∙ 1000
168
𝜌𝑎 =
∙ 𝑙𝑜𝑔
= 42,09 𝑐𝑚
1 + 1,8
68
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
74
APLICAÇÃO 10
Recalque por adensamento
a)
𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝜇 ∙ 𝜌𝑎
μ = fator de correção = f (A, H/B)
A = 0,8
H = 10m
0,84
B = 2,5m
𝐻 10
=
=4
𝐵 2,5
𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0,84 ∙ 42,09
𝜌𝑟𝑒𝑎𝑙 = 35,35 𝑐𝑚
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
75
APLICAÇÃO 10
Recalque por adensamento
0,0 m
b) Qual o tempo necessário
para ocorrer o recalque total?
U = 100% → tempo = infinito
𝑇=
-2 m
𝑐𝑣 ∙ 𝑡
𝐻𝑑2
H = 1000cm
𝜌𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑈=
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
U = 99,9% → adota-se T = 2,0
𝑇 ∙ 𝐻𝑑2
𝑡=
𝑐𝑣
𝑡=
Fz = 800 kN
2 ∙ 500²
4,0 ∙ 10−3
-12 m
𝑡 = 125 ∙ 106 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
ℎ
𝑚𝑖𝑛.
𝑠
1 𝑎𝑛𝑜 = 365 𝑑𝑖𝑎𝑠 ∙ 24
∙ 60
∙ 60
𝑑𝑖𝑎
ℎ
𝑚𝑖𝑛.
1 𝑎𝑛𝑜 = 31.536.000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑡 = 3,96 𝑎𝑛𝑜𝑠
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
76
APLICAÇÃO 10
Recalque por adensamento
0,0 m
c) Qual o tempo necessário para
ocorrer 50% do recalque total?
𝜌𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑈=
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
-2 m
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35,35 𝑐𝑚
𝑐𝑣 ∙ 𝑡
𝑇= 2
𝐻𝑑
H = 1000cm
U = 50% → T = ?
Fz = 800 kN
Fórmulas de Taylor para o T:
𝜋 2
∙ 𝑈 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑈 ≤ 0,6
4
𝑇 = −0,933 ∙ log 1 − 𝑈 − 0,085 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑈 > 0,6
𝑇=
𝜋
𝑇 = ∙ 0,52 = 0,196
4
0,196 ∙ 500²
𝑡=
= 12.250.000 𝑠
4,0 ∙ 10−3
-12 m
1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 ∙ 24
ℎ
𝑚𝑖𝑛.
𝑠
∙ 60
∙ 60
𝑑𝑖𝑎
ℎ
𝑚𝑖𝑛.
1 𝑚ê𝑠 = 2.592.000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
𝑡 = 4,7 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
77
APLICAÇÃO 10
Recalque por adensamento
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35,35 𝑐𝑚
0,0 m
Fz = 800 kN
d) Qual o valor do recalque após 30 dias?
30 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 2.592.000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑐𝑣 ∙ 𝑡
4,0 ∙ 10−3 ∙ 2592000
𝑇= 2
𝑇=
= 0,0415
𝐻𝑑
500²
-2 m
𝑈=
4∙𝑇
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑈 ≤ 0,6
𝜋
H = 1000cm
Fórmulas de Taylor para o U:
−0,085−𝑇
𝑈 = 1 − 10 0,933 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑈 > 0,6
-12 m
𝑈=
4 ∙ 0,0415
= 0,2299 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑈 ≤ 0,6
𝜋
𝜌𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑈=
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜌𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 0,2299 ∙ 35,35
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
𝜌𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 8,13 𝑐𝑚
78
11
APLICAÇÃO 11
Recalque por compressão
secundária:
Fz = 800 kN
0,0 m
-2 m
Admitindo Cα =0,6%, estime o
recalque
por
compressão
secundária depois de 50 anos
de iniciado o carregamento.
-12 m
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
79
APLICAÇÃO 11
Recalque por compressão secundária
0,0 m
𝑡2
𝜌𝑠 = 𝐶𝛼 ∙ 𝑙𝑜𝑔
∙𝐻
𝑡1
-2 m
𝜌𝑠 = 6,61 𝑐𝑚
H = 1000cm
0,6
50
𝜌𝑠 =
∙ 𝑙𝑜𝑔
∙ 1000
100
3,96
Fz = 800 kN
RECALQUE TOTAL
-12 m
𝜌𝑡 = 𝜌𝑖 + 𝜌𝑎 + 𝜌𝑠
𝜌𝑡 = 0,59 + 35,35 + 6,61
𝝆𝒔 = 𝟒𝟐, 𝟔𝒄𝒎
Não é aceitável, pois é maior
que o admissível (40 a 50mm)
Eng. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
80