Materia: Calculo Avanzado – Mecánica-Civil
Prof. : Ing. Bernardo R. Soria
Ecuaciones Diferenciales – Problemas de Valor Inicial
Sistemas Dinámicos Lineales
El Modelo Matemático es de la forma de una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes Constantes
+
+
= ( )
+
+
= ( )
(1)
Que satisface las condiciones iniciales:
( )=
,
( )=
( )=
,
( )=
( )=
( )+
y la solución del sistema es:
( )=
( )+
( )
( )
Sistema Masa-Resorte
Consiste en una masa m que está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido, la
cual se encuentra en una posición de equilibrio:
En esta posición de equilibrio hay una fuerza de restitución del resorte
Hooke) y una fuerza debida al peso =
=
(Ley de
=
Si desplazamos una distancia x de la posición de equilibrio y de acuerdo a la Segunda ley de
newton tenemos (No consideramos fuerza de retardo ni externas):
=− ( + )+
=−
(2)
=−
+
−
=−
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a) Movimiento Libre No Amortiguado
Si a la Ecuación (2) la dividimos entre la masa obtenemos:
+
=0
+
=0
si
=
Tenemos:
Movimiento Armónico Simple ó
Movimiento Armónico No Amortiguado
Solución:
La ecuación característica ó auxiliar es:
complejos , = ±
( )=
+
+
= 0 y las raíces son números
(3)
Con período:
=
Y frecuencia
=
=
Forma Alternativa de x(t):
La amplitud de las vibraciones libres no se puede conocer de
inmediato con la forma de la ecuación (3), entonces es más conveniente la forma más
simple:
( )=
(
+ ∅)
=
Amplitud:
Angulo de fase
⎧tan
⎪
⎪
+ tan
∅=
⎨
⎪
⎪
2 + tan (
⎩
)
∅=
cos ∅ =
+
tan ∅ =
> 0,
>0(
)
<0(
ó
)
<0(
)
> 0,
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b) Movimiento Libre Amortiguado
Dado que la masa no está colgada en un vacío perfecto (Caso ideal del Movimiento
Libre No Amortiguado), por lo menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que
lo rodea, por ejemplo la masa podría estar suspendida en algún medio viscoso ó puede
estar conectada a un dispositivo amortiguador.
Se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan en un cuerpo son
proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea, es decir supondremos que
es un múltiplo constante de
Entonces tenemos que:
=−
−
(4)
Cte de Amortiguamiento
Si dividimos la ecuación (4) entre la masa m tenemos:
+
+
=0
+2
+
=0
2 =
=
Solución:
+2
La ecuación característica ó auxiliar es:
=− +√
( )=
−
=− −√
+
= 0 y las raíces son:
−
(5)
Tenemos Tres Casos Posibles que dependen de
CASO I:
−
amortiguamiento
+
−
> 0 Sistema Sobreamortiguado, porque el
es grande comparado con la constante del resorte k
( )=
(
√
+
√
)
coeficiente
de
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Factor de amortiguamiento:
Representa un movimiento suave y no oscilatorio
CASO II:
−
= Sistema Críticamente Amortiguado, porque cualquier pequeña
disminución de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio
( )=
(
+
)
Factor de amortiguamiento:
El movimiento se parece mucho al sistema sobreamortiguado, y puede
pasar la masa por la posición de equilibrio, solo una vez.
CASO III:
−
<
Sistema Subamortiguado, porque el coeficiente de
amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte, la raíces son
complejas
( )=
(
cos
−
+
−
)
Factor de amortiguamiento:
El Movimiento es oscilatorio pero a causa del coeficiente
las
amplitudes de vibración tienden a cero en función del tiempo
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c) Movimiento Forzado
Ahora tenemos en cuenta una fuerza externa f(t) que actúa en la masa suspendida
con un resorte, lo que nos da la siguiente ecuación diferencial:
=−
−
+ ( )
Si dividimos la ecuación entre m tenemos:
+2
+
= ( )
(6)
2 =
=
( )=
( )
Solución:
Para resolver esta ecuación diferencial no homogénea (6) tenemos el método de
los coeficientes indeterminados ó el método de variación de parámetros.
Términos transitorio y de estado estable:
Cuando F es una función periódica, como por ejemplo ( ) =
ó
( ) = cos , la solución general de la ecuación (6), para > 0 es la suma de una
función no periódica, ( ) y una función periódica ( ) .
Además
( ) tiende a desaparecer cuando aumenta el tiempo, esto es
lim →
( ) . Así, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos de la masa se
aproximan bien con la solución particular ( ) .
( )=
( )+
( )
( ) : Término transitorio ó solución transitoria
( ) : Término de estado estable ó solución de estado estable
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Si aplicamos el método de los coeficientes indeterminados, y proponemos la
ecuación:
( )=
+
Agrupamos los coeficientes de cos
+2
+
= (−
= cos
=
=
y
+ 2
(
(
, se obtienen las dos ecuaciones:
) + (2
)
− )
) + (2
)
−
2
) + (2
)
+
=
(
(
−
− )
) + (2
)
(
−
) + (2
)
(
−
− )
) + (2
( )=
+ (−
(
−
=
( )=
) cos
+
(
−
+
cos(
(
− 2
−
)
+
2
) + (2
)
+ ∅)
Solución general:
( )=
( )+
(
+
)
(
−
2
) + (2
)
Movimiento forzado sin amortiguamiento:
Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no
hay parte transitoria en la solución de un problema.
Veremos también si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi
igual a las de las vibraciones libres no amortiguadas, se puede originar un grave problema
en un sistema mecánico oscilatorio
Dado el problema de valor inicial
+
=
(7)
(0) = 0,
(0) = 0
Constante
≠
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Solución:
Solución Complementaria
( )=
cos
+
Proponemos una solución particular
( )=
cos
+
Reemplazando en (7) obtenemos:
+
= (
=0
=
−
) cos
−
)
+ (
)
−
=
Donde:
(
( )=
Solución Particular
( )=
cos
+
+
Solución General
Si aplicamos condiciones iniciales obtenemos:
=0
=−
(
−
)
Y la solución es:
( )=
(
)
(−
)
+
≠
(8)
Resonancia Pura:
Vemos que la ecuación (8) no está definida cuando
aplicamos el límite cuando → usando la regla de L’Höpital:
−
( ) = lim
(
→
=
=
=
lim
−
(−
)
=
→
+
−2
−
cos
por lo que si
+
)
lim
+
−2
→
−
+
−
=
(9)
(
−
)
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Cuando → ∞ los desplazamientos crecen, el fenómeno que acabamos
de describir se llama resonancia pura.
La ecuación (9) es consecuencia de resolver el problema de valor inicial:
+
=
(0) = 0,
(0) = 0
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Ejemplo:
Encuentre el movimiento transitorio y las oscilaciones periódicas en estado permanente
de un sistema masa-resorte amortiguado con = 1; = 2; = 26 bajo la influencia de una
(0) = 6
(0) = 0 .
fuerza externa ( ) = 82 cos 4
Solución:
El movimiento resultante ( ) =
valores iniciales
+2
( )+
( ) de la masa satisface el problema de
(0) = 6;
+ 26 = 82 cos 4
(0) = 0
( )
1) Solución Ec. Dif. Homogénea. Asociada ó Solución Transitoria
+2
+ 26 = 0
Ecuación Auxiliar ó Característica
+2
+ 26 = 0
Solución
( )
( )=
(
,
cos 5 +
= −1 ± 5
5 )
Solución Transitoria
2) Solución Ec. Dif. No Homogénea ó Solución Estado Estable
( )
Proponemos:
( )=
cos 4 +
4
( ) = −4 sen 4 + 4
4
( ) = −16 cos 4 − 16
4
Reemplazando y agrupando términos tenemos:
+2
+ 26
= (−16 + 8 + 26 ) cos 4 + (−16 − 8 + 26 )
= 82 cos 4
10 + 8 = 82
−8 + 10 = 0
= 5;
( ) = 5 cos 4 + 4
La Solución General Será:
( )=
( )+
( )
4
=4
Solución Estado Estable
4
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( )=
(
5 ) + 5 cos 4 + 4
cos 5 +
Aplicando condiciones Iniciales (0) = 6;
4
Solución General
(0) = 0 tenemos que:
=1
( ) = 5 cos 4 + 4
4
La Solución Será:
=
(cos 5 − 3
5 )
∅ = tan
4
= 0,67
5
( ) = √41 cos(4 − 0,67)
( )=
(cos 5 − 3
5 ) + 5 cos 4 + 4
( )=
(cos 5 − 3
5 ) + √41 cos(4 − 0,67)
4
= −3
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Ecuaciones Diferenciales – Problemas de Valores en la Frontera
Deflexión de una Viga
Las vigas forman parte de muchas y variadas estructuras, que se flexionan por fuerzas
externas o por su propio peso. La curva elástica está determinada por una ecuación diferencial de
4to. Orden.
Considere una viga horizontal que es uniforme tanto en su sección transversal como en su
material. Si está sostenida únicamente en sus extremos, entonces la fuerza de su propio peso y/o
carga aplicada distorsiona su eje longitudinal de simetría, dando una forma curva y=f(x), curva de
deflexión ó curva elástica ó flecha de la viga.
En la teoría de elasticidad se demuestra que el momento de flexión M(x) en un punto x a lo
largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación:
=
( )
(1)
Además el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, k de la curva elástica:
( )=
(2)
Modulo de Young: E
Momento de inercia de la viga: I
Rigidez a flexión: EI
Según el cálculo diferencial la curvatura es:
=
[1 + ( ) ] ⁄
Cuando la flexión es pequeña, la pendiente
entonces:
=
La ecuación (2) es
La segunda derivada es:
=
(
)=
Reemplazamos (1) en (3) y obtenemos:
(3)
≈ 0 de modo que [1 + ( ) ] ⁄ ≈ 1
( )=
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=
( )
Ecuación Diferencial de la elástica de una viga.
Solución:
Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea de dos formas:
1) Determinar
teniendo en cuenta q m=0 es una raíz de multiplicidad cuatro de la
ecuación auxiliar
= 0 , para después hallar una solución particular
por el
método de los coeficientes determinados. = +
( )
2) Simplemente integramos la ecuación
=
cuatro veces sucesivas.
De cualquier forma, llegamos a que la solución general de la ecuación diferencial es:
( )=
+
+
+
+
24
Para determinar las constantes , ,
debemos tener en cuenta las Condiciones
en la Frontera, es decir dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de
la viga (simplemente apoyada, empotrada, etc.).
La tabla que a continuación se detalla expone las Condiciones de Frontera
correspondiente a los tres casos más comunes.
Soporte
Simplemente Apoyada
Empotrada
Extremo Libre
Condición de Frontera
=
=0
= =0
=
=0
Ejemplo:
Determínese la forma de la curva de deflexión de una viga horizontal uniforme de
longitud L y peso w por unidad de longitud, apoyada simplemente en cada uno de sus extremos.
Solución:
Las condiciones en frontera son:
=
( )
Integrando:
=
+
(0) =
(0) = 0;
( )=
( )=0
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=
1
2
+
=
1
6
+
=
+
1
2
+
+
La condición (0) = 0
+
+
+
+
(4)
(0) = 0
= 0 y la condición
=0
De la condición ( ) = 0 tenemos
0=
+
+
(5)
( ) = 0 tenemos
De la condición
0=
+
=−
(6)
=
Reemplazando (6) en (5):
Finalmente tenemos de (4)
( )=
(
−2
+
)
Ecuación de la Elástica
Nos queda determinar la flecha máxima, teniendo en cuenta la simetría de cargas y de
forma, la flecha máxima
=
=
2
5
381
se producirá en la mitad de la viga
=
24
1
(
16
−
2
8
+
1
2
)
=
2: