1
Funkcja Liniowa - Podstawy
Funkcja liniowa to jedna z najprostszych i najważniejszych funkcji w matematyce. Jej
wzór ogólny to:
f (x) = ax + b
gdzie:
• a to współczynnik kierunkowy. Mówi nam, jak stroma jest linia i czy idzie w
górę, czy w dół.
• b to wyraz wolny. Mówi nam, w którym miejscu linia przecina oś Y.
2
Wykres Funkcji Liniowej
Wykresem funkcji liniowej jest zawsze linia prosta.
2.1
Jak narysować wykres funkcji liniowej?
Aby narysować wykres, wystarczą nam dwa dowolne punkty, które na nim leżą. Najłatwiej
jest znaleźć punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.
Krok po kroku:
1. Znajdź punkt przecięcia z osią Y: To najprostszy krok. Współrzędne tego
punktu to zawsze (0, b). Wartość b odczytujesz bezpośrednio ze wzoru funkcji.
2. Znajdź miejsce zerowe (punkt przecięcia z osią X): Miejsce zerowe to taki
argument x, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Aby je znaleźć, rozwiązujesz
proste równanie:
ax + b = 0
Stąd ax = −b, czyli x = − ab . Współrzędne tego punktu to (− ab , 0).
• Uwaga: Jeśli a = 0, funkcja ma postać f (x) = b. Jest to funkcja stała, a
jej wykresem jest linia pozioma. Jeśli dodatkowo b ̸= 0, to nie ma ona miejsc
zerowych.
3. Zaznacz punkty i narysuj linię: Zaznacz w układzie współrzędnych oba znalezione punkty: (0, b) oraz (− ab , 0), a następnie przy pomocy linijki narysuj prostą,
która przez nie przechodzi.
3
Własności funkcji liniowej
3.1
Znaczenie współczynnika kierunkowego a
Współczynnik a decyduje o monotoniczności funkcji (o tym, czy jest rosnąca, malejąca
czy stała).
• Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca. Idąc od lewej do prawej, wykres wznosi się.
• Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca. Idąc od lewej do prawej, wykres opada.
• Jeśli a = 0, funkcja jest stała. Wykres jest linią poziomą na wysokości b.
1
3.2
Dziedzina i zbiór wartości
• Dziedzina: Dla każdej funkcji liniowej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: Df = R.
• Zbiór wartości:
– Jeśli a ̸= 0, zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych: ZWf = R.
– Jeśli a = 0, zbiorem wartości jest tylko jedna liczba: ZWf = {b}.
3.3
Wartości dodatnie i ujemne
To, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie (f (x) > 0), a gdzie ujemne (f (x) < 0),
zależy od jej miejsca zerowego i od tego, czy jest rosnąca, czy malejąca.
• Gdy funkcja jest rosnąca (a > 0):
– wartości dodatnie (f (x) > 0) dla x > − ab (na prawo od miejsca zerowego).
– wartości ujemne (f (x) < 0) dla x < − ab (na lewo od miejsca zerowego).
• Gdy funkcja jest malejąca (a < 0):
– wartości dodatnie (f (x) > 0) dla x < − ab (na lewo od miejsca zerowego).
– wartości ujemne (f (x) < 0) dla x > − ab (na prawo od miejsca zerowego).
4
Proste równoległe i prostopadłe
Mając dwie funkcje liniowe f (x) = a1 x+b1 oraz g(x) = a2 x+b2 , możemy łatwo sprawdzić,
jak ich wykresy są ułożone względem siebie.
• Wykresy są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe są takie same:
a1 = a2
• Wykresy są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi
-1:
a1 · a2 = −1
5
Jak rozwiązywać typowe zadania?
Tutaj znajdziesz strategie na najczęstsze typy zadań, które pomogą Ci zrozumieć, jak
wykorzystać wiedzę w praktyce.
2
5.1
Wyznaczanie wzoru funkcji
• Gdy znasz punkt i współczynnik kierunkowy a: Masz wzór f (x) = ax + b.
Wstawiasz znane a oraz współrzędne punktu (x0 , y0 ) do wzoru: y0 = a · x0 + b.
Jedyną niewiadomą jest b, które łatwo obliczysz.
• Gdy znasz dwa punkty (x1 , y1 ) i (x2 , y2 ): Możesz stworzyć układ równań:

y
1 = ax1 + b
y2 = ax2 + b
I rozwiązać go, aby znaleźć a i b. Można też pójść na skróty i najpierw obliczyć a
ze wzoru:
y2 − y1
a=
x2 − x1
A następnie wstawić obliczone a i współrzędne jednego z punktów do wzoru y =
ax + b, aby obliczyć b.
• Gdy znasz punkt przecięcia z osią Y i miejsce zerowe (np. zad. 4.59): Zadanie: Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0, 9). Funkcja przyjmuje wartości
dodatnie dla x ∈ (−∞, 15).
1. Punkt (0, 9) to punkt przecięcia z osią Y, więc od razu wiesz, że b = 9. Wzór
to f (x) = ax + 9.
2. Funkcja ma wartości dodatnie dla x < 15. Oznacza to, że dla x = 15 wartość
funkcji wynosi 0 (to miejsce zerowe), a dla x > 15 wartości są ujemne. Skoro
wartości maleją, to funkcja jest malejąca (a < 0).
3. Skoro x = 15 to miejsce zerowe, to punkt (15, 0) należy do wykresu. Wstawiamy go do wzoru:
0 = a · 15 + 9
−9 = 15a
3
9
a=− =−
15
5
4. Wzór funkcji to: f (x) = − 35 x + 9.
5.2
Punkt przecięcia dwóch funkcji
Aby znaleźć punkt przecięcia wykresów funkcji f (x) i g(x), szukasz punktu, w którym
mają tę samą wartość. Wystarczy więc przyrównać ich wzory do siebie:
f (x) = g(x)
Rozwiązujesz otrzymane równanie, aby znaleźć współrzędną x punktu przecięcia. Następnie wstawiasz obliczony x do wzoru na f (x) lub g(x), aby obliczyć współrzędną y.
3
5.3
Nierówności z funkcjami liniowymi
Aby rozwiązać nierówność typu f (x) > g(x), po prostu wstawiasz wzory funkcji i rozwiązujesz otrzymaną nierówność liniową.
a1 x + b1 > a2 x + b2
Pamiętaj o zmianie znaku nierówności, jeśli dzielisz lub mnożysz obie strony przez liczbę
ujemną!
4