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FRANCISCO BLANCO RAMOS
MÁXIMO FERRANDO BOLADO
MARÍA FUENCISLA MARTÍNEZ LOBATO
PROFESORES DE DIRECCIÓN FINANCIERA DEL DEPARTAMENTO DE FINANZAS EMPRESARIALES
DE LA UNIVERSIDAD DE VALENCIA
Teoría de la
inversión
EDICIONES PIRÁMIDE
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COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA»
Director:
Miguel Santesmases Mestre
Catedrático emérito de la Universidad de Alcalá
Edición en versión digital
Está prohibida la reproducción total o parcial
de este libro electrónico, su transmisión, su
descarga, su descompilación, su tratamiento
informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y
recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico,
conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del copyright.
© Francisco Blanco Ramos, Máximo Ferrando Bolado y María Fuencisla Martínez Lobato, 2015
© Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2015
Para cualquier información pueden dirigirse a piramide_legal@anaya.es
Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid
Teléfono: 91 393 89 89
www.edicionespiramide.es
ISBN digital: 978-84-368-3308-9
A nuestros padres.
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Índice
Prólogo ....................................................................................................................
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PARTE PRIMERA
Dirección financiera de la empresa: decisiones
de inversión productivas
1.
La dirección financiera de la empresa (F. Blanco Ramos y
M. Ferrando Bolado) ...................................................................................
1.1.
1.2.
2.
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La empresa como sistema ........................................................................
Los flujos financieros de la empresa y el equilibrio económico-financiero ..........................................................................................................
1.3. La teoría financiera de la empresa ...........................................................
1.4. Riesgo económico y riesgo financiero .....................................................
1.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
23
29
36
41
52
56
El valor del dinero en el tiempo (M. Ferrando Bolado) ................
59
2.1. Significado económico de la capitalización y del descuento ..................
2.2. Tipo de interés real y tipo de interés nominal sin riesgo ........................
2.3. Tipos de interés nominal y real con riesgo y con impuestos ..................
2.4. Tipos de interés trimestrales, mensuales y continuos..............................
2.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
61
65
69
77
80
84
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Índice
3.
La decisión de invertir (F. Blanco Ramos y M. Ferrando Bolado) .
87
3.1. Concepto de inversión ..............................................................................
3.2. Características financieras que definen una inversión .............................
3.3. Estimación de los flujos netos de caja.....................................................
3.4. Clasificación de las inversiones ...............................................................
3.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
89
91
95
106
109
117
PARTE SEGUNDA
Selección de inversiones productivas con certeza
y sin apalancamiento
4.
El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad del capital (F. Blanco Ramos y M. Ferrando Bolado) ..........
4.1.
4.2.
Consideraciones generales .......................................................................
Los mercados financieros y el ajuste de las pautas de consumo-inversión ......................................................................................................
4.3. Existencia de oportunidades de inversión productiva e incremento de la
riqueza del inversor: el teorema de la separación de Fisher ...................
4.4. El criterio del Valor Actual Neto (VAN) ..................................................
4.5. El coste de oportunidad del capital: primeras consideraciones...............
4.6. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
5.
6.
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146
148
Otros criterios de valoración de inversiones (F. Blanco Ramos) ...
151
5.1. El criterio de la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) ...............................
5.2. El criterio del plazo de recuperación .......................................................
5.3. El criterio del índice de rentabilidad .......................................................
5.4. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
153
163
166
168
176
Comparación de los criterios VAN y TIR (F. Blanco Ramos) .........
179
6.1. La valoración de proyectos de inversión simples ....................................
6.2. La ordenación de proyectos de inversión simples y homogéneos ..........
6.3. Discrepancias en la ordenación jerárquica ..............................................
6.4. La ordenación de proyectos no homogéneos...........................................
6.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
181
185
188
194
197
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Índice
PARTE TERCERA
Selección de inversiones productivas con riesgo
y/o apalancamiento
7.
Selección de inversiones productivas con riesgo (F. Martínez
Lobato) .............................................................................................................
209
7.1.
8.
Métodos sencillos de introducción del riesgo: el método de la tasa de
descuento ajustada al riesgo y el método de los equivalentes de certeza ..
7.2. Análisis de sensibilidad ............................................................................
7.3. Punto de equilibrio ...................................................................................
7.4. El modelo de Hillier .................................................................................
7.5. Análisis de las decisiones secuenciales: árboles de decisión ..................
7.6. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
211
215
220
223
229
243
248
Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación (M. Ferrando Bolado) ........................................................................
251
8.1.
Efecto de las decisiones de financiación sobre los flujos netos de caja
esperados y sobre la tasa de actualización ..............................................
8.2. El método del valor actual ajustado.........................................................
8.3. El método del coste medio ponderado del capital...................................
8.4. El método del flujo de caja de los accionistas ........................................
8.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
253
258
268
276
278
283
PARTE CUARTA
Inversiones financieras y tasa de retorno requerida
9.
Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión (M. Ferrando
Bolado y F. Martínez Lobato) ...................................................................
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
Las inversiones financieras en un universo media varianza ....................
Rentabilidad y riesgo de un título............................................................
Rentabilidad y riesgo de una cartera .......................................................
Ventajas de la diversificación. Riesgo sistemático y riesgo específico ...
9.4.1. Ventajas de la diversificación ......................................................
9.4.2. La diversificación ingenua. Riesgo sistemático y riesgo específico ............................................................................................
9.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
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Índice
10. Selección de carteras y valoración de activos (M. Ferrando
Bolado y F. Martínez Lobato) .................................................................
12
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329
10.1. Selección de carteras: modelo de Markowitz y modelo de Tobin ..........
10.1.1. Modelo de Markowitz de selección de carteras..........................
10.1.2. El modelo de Tobin y el teorema de la separación ....................
10.2. Equilibrio del mercado de capitales: modelo CAPM y la línea del mercado de capitales (Capital Market Line, CML).......................................
10.3. La línea del mercado de títulos (Security Market Line, SML) ...............
10.4. Valoración de activos financieros y de inversiones productivas .............
10.5. Un ejercicio de aplicación........................................................................
Preguntas.............................................................................................................
331
332
350
356
362
381
389
394
Respuestas a las preguntas.............................................................................
397
Bibliografía .............................................................................................................
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Prólogo
En su día, la entrada en vigor de los Nuevos Planes de Estudio de 1993 nos
obligó a replantear el contenido de nuestro libro, Dirección financiera de la empresa, coordinado y dirigido por la catedrática de Economía Financiera, doctora
doña Matilde Fernández Blanco. Debido al carácter semestral de los nuevos
módulos teóricos y prácticos y a que estos módulos podían formar parte tanto del
plan de estudios de una licenciatura adscrita a una facultad como de una diplomatura adscrita a una escuela universitaria, no necesariamente de la rama económico-empresarial, en el curso académico 1995-1996 creímos conveniente parcelar
dicho libro y elaborar, a partir de entonces, nuevas ediciones más reducidas dirigidas a cursos específicos.
Después de varias reediciones y de una segunda edición (modificada o reducida en unos casos y ampliada en otros), esta nueva edición incorpora cambios
significativos derivados de una readaptación de nuestro libro a los nuevos grados.
En efecto, el paso de las licenciaturas de cinco años a los grados de cuatro cursos
nos ha obligado a reducir la extensión de un capítulo y a eliminar otro, y también
hemos tenido que incorporar dos nuevos capítulos sobre las inversiones financieras y la tasa de retorno requerida. De modo que ahora no es sólo un libro dedicado a las inversiones productivas de las empresas, sino que también aborda el
tratamiento de las inversiones financieras. Ello nos ha llevado a cambiar el título
del libro: Teoría de la inversión, ya que ahora se analizan tanto las inversiones empresariales de tipo económico como las inversiones financieras que pueda realizar
un inversor particular o institucional.
Esta nueva edición consta de diez capítulos estructurados en cuatro partes:
— Dirección financiera de la empresa: decisiones de inversión productivas.
— Selección de inversiones productivas con certeza y sin apalancamiento.
— Selección de inversiones productivas con riesgo y/o apalancamiento.
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Prólogo
— Inversiones financieras y tasa de retorno requerida.
El estudio de la parte primera —Dirección financiera de la empresa: decisiones de inversión productivas— se realiza en tres capítulos. El primero de ellos es
de tipo teórico y pretende introducir al lector en los conceptos económico-empresariales básicos, así como en la problemática económica y financiera de la empresa: flujos financieros de entrada y salida, ciclos de transformación financiera
a largo plazo y a corto plazo, riesgo económico y financiero, etc.
Para comprender mejor el significado económico de los criterios VAN (Valor
Actual Neto) y TIR (Tasa Interna de Rentabilidad), que constituyen el núcleo de
este libro, se ha destinado un capítulo completo, el segundo, al estudio de los
útiles necesarios para el cálculo de los mismos (capitalización y descuento, rentas,
etc.), así como al concepto de tipo de interés y los factores que lo componen.
La parte primera se cierra con un capítulo dedicado al concepto de inversión
y a los distintos tipos de inversiones que se pueden distinguir, y se presta una
especial atención a la estimación de los flujos netos de caja después de impuestos
que se prevé va a originar una inversión, partiendo para ello de los estados financieros previsionales de la empresa.
En la parte segunda —Selección de inversiones productivas con certeza y sin
apalancamiento— se analizan diversas medidas que se pueden utilizar a la hora
de intentar averiguar la rentabilidad de las inversiones empresariales (criterios
VAN y TIR, plazo de recuperación, índice de rentabilidad, etc.). Los cálculos se
realizan partiendo de situaciones muy sencillas y alejadas de la realidad con la
finalidad de hacer más fácil su comprensión al lector. Así, se suponen situaciones
de certeza, con lo cual los flujos netos de caja son valores puntuales o fijos sin
posibilidad de variación o de error, esto es, sin riesgo. Igualmente, se supone que
se financia el proyecto de inversión únicamente con recursos propios, para dejar
momentáneamente de lado los problemas inherentes al riesgo financiero, y también se supone que los mercados de capitales son perfectos, no existiendo racionamiento alguno de capital.
En el capítulo cuarto se profundiza más en los fundamentos teóricos del valor
actual neto, introduciendo de entrada al lector en la discusión de cuál debe ser la
tasa de descuento requerida (coste de oportunidad del capital) que hay que emplear
en el criterio VAN, que vendrá dada por el estándar de comparación de la inversión
real que exista en el mercado financiero. De este modo, aceptando proyectos de
inversión cuya rentabilidad supere a la tasa de corte o rentabilidad mínima exigida
que proporciona el mercado financiero, se creará valor, aumentando así la cotización en Bolsa de las acciones de la empresa y la riqueza de sus accionistas.
El capítulo quinto desarrolla el resto de los criterios dinámicos de selección
de inversiones: tasa interna de rendimiento, plazo de recuperación e índice de
rentabilidad, mostrando que todos ellos presentan determinadas limitaciones que
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Prólogo
el criterio VAN no tiene, por lo que se propugna el uso de éstos de forma complementaria al VAN más que de modo sustitutivo o alternativo.
En el capítulo sexto, último de la parte segunda, se aborda la temática de la
valoración y jerarquización de los proyectos de inversión mediante los criterios
VAN y TIR, mostrando los problemas que se pueden presentar, así como las posibles vías de solución.
Debido al análisis inicial introductorio que se ha realizado en la segunda parte de los modelos tradicionales de selección de inversiones, el bloque siguiente
del libro, la parte tercera —Selección de inversiones con riesgo y/o apalancamiento—, es la que entra de lleno en la valoración de las oportunidades de inversión de tipo económico en situaciones más cercanas a la realidad de las empresas.
De este modo, el capítulo séptimo introduce de forma explícita el riesgo,
primero de forma sencilla y, luego, considerando directamente los flujos netos de
caja generados por un proyecto de inversión como variables aleatorias, lo cual
conduce a hablar no sólo del VAN esperado del mismo (como medida de rentabilidad o deseabilidad), sino también de su varianza (como medida del riesgo o
no deseabilidad). Asimismo, dada esta variabilidad del VAN, se aconseja también
completar el estudio con un análisis de sensibilidad del valor actual neto respecto de aquellas variables críticas que pueden volverlo negativo, así como la necesidad que surge muchas veces de medir la rentabilidad no de inversiones consideradas de forma aislada, sino de secuencias de inversiones que están influidas
por las decisiones de inversión que se tomaron en el pasado y que influyen sobre
las decisiones de inversión futuras.
En el capítulo octavo se estudian los criterios de selección de inversiones en
un contexto de riesgo y con apalancamiento financiero, es decir, considerando
que un proyecto de inversión arriesgado, en la práctica, suele estar financiado en
parte con recursos ajenos y en parte con recursos propios. En definitiva, se reconoce que las empresas soportan tanto un riesgo económico (derivado del activo y
su composición) como un riesgo financiero (originado por el peso del endeudamiento dentro de su estructura financiera) y se desarrollan tres criterios de selección de inversiones que, bajo determinados supuestos, pueden en ocasiones conducir al mismo resultado: el valor actual ajustado, el coste medio ponderado del
capital y el método del flujo de caja de los accionistas.
Por último, en la parte cuarta —Inversiones financieras y tasa de retorno
requerida— se aborda el tema de cuál debe ser la tasa de descuento ajustada al
riesgo que se debe emplear en la valoración de las inversiones productivas estudiadas hasta ahora.
Esa tasa requerida, o ajustada al riesgo de cada inversión empresarial, la
proporciona el mercado; de ahí que en los dos últimos capítulos se desarrolle el
tratamiento de las inversiones financieras que pueda realizar un inversor particular o institucional y el modelo CAPM de valoración de los activos financieros.
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Prólogo
En la selección de inversiones de Markowitz, se parte de unos supuestos relativos al comportamiento de un inversor racional, lo que da lugar al universo
media-varianza en el cual los individuos toman sus decisiones de inversión en
activos de capital. La conclusión lógica es que, en mercados eficientes y competitivos, por más bien que se diversifiquen las inversiones, no se puede aspirar o
pretender rentabilidades más elevadas si no es corriendo un mayor riesgo.
El añadido posterior de supuestos adicionales sobre los mercados financieros,
particularmente las expectativas homogéneas de los inversores y el equilibrio de
los mercados de capitales, permite llegar al modelo CAPM (Capital Asset Pricing
Model), en inglés, y MEAF (Model d’Équilibre des Actives Financiers), en francés. La relación fundamental del modelo CAPM es la SML (Security Market
Line), o línea del mercado de títulos, que muestra la rentabilidad adecuada al riesgo no diversificable o de mercado de cada activo financiero y, también, de cualquier cartera de inversión.
Aunque hay capítulos de carácter más introductorio y teórico, como el primero
y el tercero, dedicados a la función financiera en la empresa y al concepto y clasificación de las inversiones, en general el libro tiene un enfoque teórico-práctico. En
unos capítulos, las explicaciones teóricas se acompañan con un ejercicio de aplicación resuelto en un apartado final, mientras que en otros, como el capítulo segundo
y los de la parte tercera, los ejemplos numéricos o bien aparecen al final de cada
epígrafe, o bien son la base con la que se sustenta el propio razonamiento teórico.
En cualquier caso, todos los capítulos terminan con un ejercicio de aplicación.
Una vez mostrado el planteamiento del libro y los hilos conductores del mismo, es obligado entrar en el apartado de reconocimientos y agradecimientos.
En primer lugar, queremos mencionar a los distintos compañeros del Departament de Finances Empresarials de la Universitat de València, que han impartido
con nosotros docencia en cursos básicos de Dirección Financiera y que, con sus
comentarios y sugerencias, han enriquecido este libro.
En segundo lugar, no podemos olvidar a los estudiantes de las distintas promociones de la Facultat d’Economia de la Universitat de València, con quienes
nuestro contacto diario durante estos años ha dado lugar a una interacción en
donde sus preguntas y nuestros deseos porque nos entendieran más y mejor han
inducido un proceso clarificador que se retroalimenta y nos obliga a puntualizar
cada vez más y a ser más precisos en nuestros desarrollos. Las mejoras de unas
ediciones a otras son debidas a todos ellos: profesores y estudiantes. Las omisiones, errores o puntos oscuros, que sin duda seguirán subsistiendo, evidentemente,
sólo tienen unos responsables, los autores.
En tercer lugar, no se nos ocurre mejor homenaje a nuestra maestra, compañera y amiga, doctora doña Matilde Fernández Blanco, que transcribir el último
párrafo del prólogo, por ella escrito, del libro Dirección financiera de la empresa
del cual esta obra se desgajó en su día:
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Prólogo
«Finance is beautiful, así rezaba la primera transparencia proyectada a
través del ordenador en la primera clase de un curso superior en una universidad americana. Esperamos saber transmitir en este texto, ... , si no el
conocimiento necesario, al menos el interés por la materia, el deseo de
profundizar en su estudio y, por qué no, el amor que sentimos por esta área
de la dirección financiera de la empresa».
Finalmente, en último lugar, aunque ellas saben que son las primeras en nuestro pensamiento, sólo nos resta citar a nuestras familias, por su sacrificio, paciencia y apoyo durante los meses de elaboración de este trabajo y, en general, a lo
largo de nuestra labor docente e investigadora en la universidad.
Valencia, febrero de 2015.
Los Autores
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PARTE PRIMERA
Dirección financiera
de la empresa: decisiones
de inversión productivas
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1
La dirección financiera
de la empresa
F. Blanco Ramos
M. Ferrando Bolado
1.1. La empresa como sistema.
1.2. Los flujos financieros de la empresa y el equilibrio económico-financiero.
1.3. La teoría financiera de la empresa.
1.4. Riesgo económico y riesgo financiero.
1.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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1.1. LA EMPRESA COMO SISTEMA
Muchos investigadores han aplicado la metodología de la teoría general de
sistemas en el ámbito de la Economía de la Empresa. Su carácter interdisciplinario ha proporcionado una metodología de gran valor para abordar la amplia y
compleja problemática empresarial actual.
La noción fundamental de la teoría general de sistemas es el concepto de
sistema. Un sistema puede definirse como un conjunto de partes o elementos
interdependientes relacionados entre sí de manera no fortuita para alcanzar unos
objetivos, para lo cual realiza un conjunto de actividades o funciones que le son
básicas o características, las cuales le conducirán a un determinado estado o situación final. Este proceso de transformación da lugar a las salidas del sistema a
partir de las entradas y constituye el aspecto fundamental del mismo. En resumen,
un sistema queda caracterizado por la existencia de:
a) Un conjunto de partes o elementos interdependientes entre sí que lo integran.
b) Un conjunto de relaciones no fortuitas (denominado estructura del sistema o proceso) que unen a las partes o elementos del sistema.
c) Un objetivo común que se pretende alcanzar y en razón del cual se producen (de forma natural o artificial) el conjunto de relaciones no fortuitas
entre los elementos del sistema.
d) La realización de un conjunto de funciones o actividades específicas,
propias o características del sistema, con la finalidad de alcanzar los objetivos.
e) Un conjunto de posibles estados o situaciones finales del sistema. La
concreción de uno u otro dependerá de cómo se ejecuten las funciones
básicas o características.
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Teoría de la inversión
El ente que reúne las características enunciadas se denomina sistema y posee
tres propiedades que le son intrínsecas: globalidad, homeostasis y finalidad. Globalidad, porque cualquier estímulo que afecte a alguno de sus elementos repercutirá sobre el resto y, por tanto, sobre el conjunto. Homeostasis, por su capacidad
de adaptación ante cualquier estímulo que se produzca. Y finalidad, porque está
orientado a la consecución de un fin u objetivo.
Siguiendo a Cañibano1, una representación gráfica sencilla del concepto de
sistema sería la expuesta en la figura 1.1.
Figura 1.1
Bueno, Cruz y Durán definen la empresa como «un conjunto de factores de
producción, financieros, técnicos y humanos, localizados en una o varias unidades
técnicas y físico-espaciales, ordenadas según las normas de una determinada estructura organizativa, dirigidas en función de una determinada combinación entre
propiedad y control con el ánimo de alcanzar unos objetivos determinados»2.
Siguiendo esta concepción, en la empresa podemos encontrar:
— Un conjunto de elementos financieros, técnicos y humanos.
— Un conjunto de relaciones no fortuitas establecidas por el empresario, que
se concretan en la estructura organizativa formal de la empresa y que relacionan de forma precisa personas y medios materiales disponibles.
— Un objetivo común como meta a alcanzar en un determinado período de
tiempo denominado período de planificación.
— Un conjunto de funciones básicas o características (funciones de aprovisionamiento, producción, distribución, financiera y administración) que
deberá realizar para tratar de alcanzar los objetivos definidos.
— Un conjunto de posibles estados finales o niveles de consecución de objetivos que puede alcanzar la empresa dependiendo de cómo ejecute sus
funciones características.
1
2
24
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Cañibano, L. (1973): p. 45.
Bueno, E., Cruz, I. y Durán, J. J. (1991): p. 48.
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La dirección financiera de la empresa
La empresa, por tanto, es un conjunto de elementos interdependientes, relaciones no fortuitas, objetivos a alcanzar, funciones a desarrollar y estados finales.
Es, en definitiva, «un sistema que cumple todas las características propias del
mismo: sus elementos o partes están en constante interrelación, existiendo una
estrecha dependencia entre sus componentes (goza, por tanto, de globalidad);
cualquier estímulo sobre cualquiera de sus elementos incide inmediatamente sobre el resto, tendiéndose a alcanzar un nuevo equilibrio (homeostasis), y, por
último, está orientada a alcanzar unos objetivos determinados (finalidad)»3.
Gráficamente podemos representar4 al sistema empresa tal como muestra la
figura 1.2.
Figura 1.2
Precisando más la concepción de la empresa como sistema, podemos calificarlo como un sistema físico, artificial y abierto.
Es un sistema físico porque los elementos que lo integran son cuantificables
de alguna manera; es un sistema artificial porque no existiría como tal a no ser
por la actividad humana, y es un sistema abierto porque mantiene una dinámica
interacción con su medio ambiente: clientes, proveedores, competidores, sindicatos, Gobierno y otros muchos agentes económicos y sociales.
Siguiendo a Timms, un sistema puede concebirse como «un ente que engloba
partes interrelacionadas llamadas subsistemas»5, las cuales, al reunir las mismas
características que el sistema, pueden considerarse individualmente como
sistemas6.
3
Fernández Blanco M. y otros (1992): p. 49.
Cañibano, L. (1973): p. 51.
5
Timms, H. L. (1970): p. 88.
6
Existen enfoques distintos según autores y tendencias, por lo que se dan diferentes divisiones de la
empresa en subsistemas.
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Teoría de la inversión
En este sentido, Bachiller, Lafuente y Salas7, siguiendo a Ansoff, consideran
que la empresa es una organización que pretende alcanzar unos determinados
objetivos mediante la realización de dos procesos diferentes, pero íntimamente
relacionados: el proceso directivo y el proceso logístico. El proceso directivo es
el encargado de la fijación y logro de los objetivos empresariales, su actividad
genera un flujo de información. Una vez fijados los objetivos empresariales, el
proceso logístico se encargará de transformar los factores productivos en bienes
y servicios que serán vendidos en el mercado; este proceso generará en la empresa una corriente de naturaleza real (bienes y dinero).
Bueno, Cruz y Durán8, atendiendo a la propiedad enunciada por Timms, afirman que el sistema empresa puede dividirse, y, por tanto, estudiarse, según la
distinta naturaleza de los flujos o circulación de valores que se produce en su
seno. Aparecen dentro del sistema empresa dos subsistemas: sistema de administración y sistema físico, tal como muestra la figura 1.3.
Figura 1.3
I.
Sistema de administración
El sistema de administración es el encargado de fijar los objetivos empresariales, así como de plantear el conjunto de actividades a desarrollar para alcanzar
dichos objetivos (planificación); sobre la base de lo planificado, relaciona de
forma precisa los medios humanos y materiales disponibles (organización), y
verifica el grado de cumplimiento de los objetivos, proponiendo las acciones
correctoras que fueran necesarias (control).
En el sistema de administración se desarrolla la función de administración y
se corresponde con el proceso directivo de Ansoff. En su seno se producen flujos
7
8
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Bachiller, A., Lafuente, A. y Salas, V. (1987): p. 17, y Ansoff, H. I. (1976).
Bueno, E., Cruz, I. y Durán, J. J. (1991): pp. 115 a 117.
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La dirección financiera de la empresa
de información: entra información y sale información transformada en forma de
decisiones que tendrá que ejecutar el sistema físico.
II.
Sistema físico
Fijados los objetivos empresariales, el sistema físico transforma los factores
de producción en productos terminados, bienes y servicios que serán vendidos en
el mercado, realizando para ello las funciones financiera, de aprovisionamiento,
de producción y de distribución. Este proceso de transformación de los flujos
reales (tanto físicos como financieros) es denominado por Ansoff proceso logístico.
En el sistema físico se produce una circulación de carácter real: entran bienes
con unas determinadas características y salen bienes con otras características diferentes.
A su vez, Bachiller, Lafuente y Salas9 distinguen en el sistema físico, o proceso logístico, un proceso logístico real y un proceso logístico financiero, que
pueden asimilarse, tal como muestra la figura 1.4, a los sistemas físico-económico y físico-financiero10, y en los cuales los flujos que integran la circulación real
que se produce en ellos presentan, respectivamente, una naturaleza material o
financiera.
Figura 1.4
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Bachiller. A., Lafuente, A. y Salas, V. (1987): pp. 17 y 18.
Bueno, E., Cruz, I. y Durán, J. J. (1991): p. 117
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Teoría de la inversión
a)
Sistema físico-económico
En el sistema físico-económico nos encontramos con valores en unidades físicas; es decir, con unos flujos de bienes físicos de entrada (materias primas,
mano de obra, energía, bienes de equipo, etc.) y de salida (productos terminados
y servicios) en el interior de la empresa y entre la empresa y el exterior. Comprende las funciones de aprovisionamiento, producción y distribución.
b)
Sistema físico-financiero
La actividad desarrollada en el sistema físico-económico genera una corriente de bienes y servicios que valorados en unidades monetarias dan lugar a unos
flujos de dinero inducidos entre los elementos de la empresa y entre la empresa
y su entorno; es decir, se originan corrientes monetarias en el seno del sistema
físico-financiero de sentido opuesto a las materiales.
En este sistema se ejecuta la función financiera de la empresa en su doble
vertiente de aplicación de fondos (función de inversión) y de captación de fondos
(función de financiación).
En definitiva, Cañibano11 considera que, desde una perspectiva funcional, el
estudio del sistema empresa pasa por el análisis de los siguientes subsistemas
funcionales12:
a)
b)
c)
d)
e)
Subsistema de aprovisionamiento.
Subsistema de producción.
Subsistema de comercialización.
Subsistema financiero.
Subsistema de administración.
Además, en aquellas empresas que operan con una tecnología propia, habrá
que añadir otro subsistema funcional de Investigación y Desarrollo.
En la enumeración anterior quedan recogidas las funciones básicas que se
realizan en la empresa, tanto físicas como de administración. Nosotros vamos a
profundizar únicamente en el estudio del sistema financiero de la empresa y, por
tanto, en el análisis de la función empresarial que le es propia o característica: la
función financiera.
11
Cañibano, L. (1973): p. 54.
En el texto hemos recogido los subsistemas funcionales de una empresa tipo del sector secundario.
Evidentemente, las empresas del sector terciario y de servicios no poseerán el subsistema de producción
y, por tanto, no desarrollarán la función de producción entendida en sentido estricto.
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La dirección financiera de la empresa
No obstante, dado que todas las partes o subsistemas del sistema empresa son
interdependientes, siempre deberemos tener en cuenta que el cumplimiento de los
objetivos empresariales depende del nivel alcanzado en el cumplimiento de
los objetivos de los diferentes subsistemas que la constituyen y, en consecuencia,
que las decisiones que se adopten en cada una de sus diferentes áreas funcionales
repercuten directa o indirectamente en las demás.
1.2. LOS FLUJOS FINANCIEROS DE LA EMPRESA
Y EL EQUILIBRIO ECONÓMICO-FINANCIERO
En el subsistema financiero se encuadran todos los flujos de naturaleza monetaria que se originan en la empresa. De manera simplista podemos decir que,
una vez fijados los objetivos empresariales y determinadas las necesidades financieras para el período de planificación, la misión del subsistema financiero consiste en la captación de dichos fondos (función de financiación) así como la
aplicación de los mismos (función de inversión) en aquellos elementos de la estructura económica o activo que sean necesarios para la realización de la actividad
empresarial.
Desde la óptica financiera en la empresa entra dinero y sale dinero, siendo las
principales causas o vías de entrada y salida las siguientes:
a) Entradas de dinero:
— El cobro de la venta de la producción terminada (financiación interna
en sentido amplio).
— La captación de recursos financieros del exterior (financiación externa necesaria en el caso de que la cuantía o ritmo de entrada de la
autofinanciación interna sea insuficiente para hacer frente a las salidas
de dinero).
b) Salidas de dinero:
— El pago de los factores de producción necesarios para la realización
de la actividad productiva.
— La devolución de los capitales ajenos.
— La remuneración de capitales propios (pago de dividendos) y de los
capitales ajenos (pago de intereses).
— El pago de impuestos.
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Teoría de la inversión
Siguiendo a Bachiller, Lafuente y Salas13, en la figura 1.5 hemos representado
la circulación financiera que se produce en la empresa, y en ella podemos distinguir dos corrientes financieras de diferente naturaleza:
1. La corriente superior representa un flujo monetario inducido del sistema
físico-económico, puesto que el dinero que entra como consecuencia del
cobro de las ventas de la producción terminada depende de la cantidad
producida que ha sido vendida en el mercado; es decir, depende de las
salidas del sistema físico-económico. Asimismo, las salidas de caja consecuencia del pago de las compras de los factores de producción de tipo
material (mano de obra, materia prima, energía, elementos de activo
fijo, etc.) dependen de las necesidades o entradas del sistema físico-económico.
2. La corriente inferior refleja un flujo de dinero autónomo del sistema físico-financiero. Así, teniendo en cuenta las entradas de dinero por el
cobro de las ventas en el período y determinadas las necesidades globales
de fondos para el mismo, es en el sistema financiero donde se decide qué
fuentes financieras externas hay que utilizar y en qué cuantía cada una de
ellas con el fin de proporcionar a la empresa los recursos financieros,
complementarios a los internos, que necesita para financiar la actividad
productiva. Esta captación de recursos externos originará entradas de
dinero y, posteriormente, salidas como consecuencia de la remuneración
de los capitales propios y/o ajenos utilizados y por la devolución de los
capitales ajenos.
Figura 1.5
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Bachiller, A., Lafuente, A. y Salas, V. (1987): p. 18.
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La dirección financiera de la empresa
El sistema financiero desarrolla la función financiera como función empresarial característica, la cual se desglosa a su vez en dos funciones: la función de
inversión y la función de financiación.
La función de inversión supone la aplicación de los recursos financieros disponibles en la adquisición de todos aquellos elementos de activo que sean necesarios para la realización de la actividad productiva; es decir, supone la adopción
de decisiones de inversión. Desde un punto de vista monetario, las decisiones de
inversión originan salidas de dinero en la medida que se vaya efectuando el pago
de los elementos de activo adquiridos (materia prima, edificios, instalaciones,
maquinaria, etc.). Estos elementos de activo se adquieren en función de las necesidades (entradas) que tiene el sistema físico-económico de materia prima, mano
de obra, maquinaria, instalaciones, etc. Por tanto, las decisiones de inversión son
decisiones inducidas del sistema físico-económico, decisiones que configuran la
estructura económica o activo de la empresa. Sus consecuencias monetarias están
situadas en la corriente superior, parte derecha, de la figura 1.5.
Por su parte, la función de financiación, en sentido restringido, supone la
adopción de decisiones que, desde un punto de vista financiero, originan entradas
de dinero como consecuencia de los recursos financieros captados del exterior.
Estarían situadas en la parte izquierda de la figura 1.5. Son decisiones autónomas
del sistema financiero y, por tanto, representan las decisiones características del
mismo. Configuran la estructura financiera de la empresa, esto es, el conjunto
del pasivo (deudas) más el patrimonio neto del empresario.
Toda esta circulación monetaria que la actividad financiera origina en el sistema financiero de la empresa podemos representarla de forma alternativa14 tal
como muestra la figura 1.6.
En la parte superior de la figura 1.6 (cuadrantes 4.º y 1.º) aparece representada la circulación financiera denominada ciclo de explotación, ciclo a corto plazo
o ciclo dinero-mercancías-dinero. Este ciclo está asociado a la inmovilización y
liquidación del activo circulante (o corriente) y tarda en realizarse una duración
media que se conoce como período medio de maduración de la empresa.
El Período Medio de Maduración de la Empresa (PMME) puede definirse
como el período medio de tiempo que transcurre desde que una unidad monetaria
sale de la caja de la empresa, como pago por la adquisición de un determinado
factor productivo de activo circulante, hasta que se recupera dicha unidad monetaria mediante el cobro de la venta del producto terminado en el que se incorporó dicho factor de producción15.
14
La figura 1.6 la hemos obtenido de Bachiller, A., Lafuente, A., y Salas, V. (1987): p. 31, y Smith,
K. V. (1986): p. 16.
15
El período medio de maduración de la empresa lo estamos contemplando desde una perspectiva
financiera y, en este sentido, hay que entenderlo a lo largo del presente capítulo.
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Teoría de la inversión
Figura 1.6
Desde esta perspectiva financiera, el período medio de maduración de la empresa lo forman cinco subperíodos:
1. Período medio de almacenamiento de la materia prima (P1). Tiempo que,
por término medio, transcurre desde la adquisición de los factores productivos hasta que son incorporados al proceso de producción.
2. Período medio de fabricación (P2). Tiempo que, por término medio, se
requiere para la elaboración de los productos terminados.
3. Período medio de venta (P3). Tiempo que, por término medio, tarda en
venderse la producción terminada.
4. Período medio de cobro (P4). Tiempo que, por término medio, transcurre
hasta que es cobrada la producción terminada vendida a los clientes.
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La dirección financiera de la empresa
5. Período medio de pago (P5). Tiempo que, por término medio, pasa desde
que se adquieren los factores de producción hasta que éstos son pagados
a los proveedores.
Por tanto:
PMME = P1 + P2 + P3 + P4 − P5
El período medio de maduración muestra la velocidad de circulación del dinero en el seno de la empresa. Cuanto mayor sea esta velocidad, es decir, cuanto
menor sea el período medio de maduración, mayor será el número de operaciones
que se financiarán con la misma unidad monetaria invertida en circulante y, por
tanto, mayor será el beneficio que la empresa conseguirá en un determinado período de tiempo. Con esta finalidad y, en la medida sus posibilidades, la empresa
intentará reducir P1, P2, P3 y P4, así como incrementar P5.
El período medio de maduración es una magnitud propia y específica de cada
empresa que sirve, entre otras cosas, para delimitar lo que debe entenderse por
corto plazo y largo plazo en la unidad económica. Así, aquellos elementos de
activo vinculados a la empresa un período de tiempo igual o inferior al PMME
se denominan bienes económicos no duraderos o bienes a corto plazo, y forman
el activo circulante (o corriente); mientras aquellos cuya vinculación es por un
plazo superior al PMME son bienes económicos duraderos o bienes a largo plazo,
e integran el activo fijo (o no corriente).
En la parte inferior de la figura 1.6 (cuadrantes 3.º y 2.º) aparece representada
otra circulación financiera denominada ciclo de capital, ciclo a largo plazo o ciclo
de renovación del inmovilizado. Así, la maquinaria, instalaciones, bienes de equipo, etc., elementos amortizables en suma, permanecen en la empresa mientras
física, tecnológica o comercialmente sean capaces de contribuir a la actividad
productiva. Su coste de adquisición se va recuperando gradualmente mediante el
proceso de amortización. La duración de este ciclo se conoce con el nombre de
período medio de amortización y puede definirse como el período medio de
tiempo que transcurre hasta que todo el activo fijo se transforma lenta y gradualmente en líquido mediante el proceso de amortización.
Existen, por tanto, dos ruedas de transformación financiera: una que se mueve rápidamente, el ciclo de explotación, cuyo giro completo se produce en un
período corto de tiempo, denominado período medio de maduración, que es el que
genera el beneficio al empresario, y otra, mucho más lenta, el ciclo de capital,
cuyo giro completo ocurre en un período de tiempo mucho más largo, llamado
período medio de amortización del activo fijo, que sirve de sustento y soporte al
ciclo de explotación.
En cada empresa, estos dos ciclos tienen una duración particular. En general,
a efectos simplificativos, al ciclo de explotación se le asigna una duración anual,
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Teoría de la inversión
mientras que al ciclo de capital se le atribuye una duración plurianual. Sin embargo, en la práctica, el período medio de maduración fluctúa desde unas pocas
semanas, incluso unos pocos días en algunas empresas, hasta uno o varios años
en otras empresas. Lo único que se puede afirmar, desde un punto de vista teórico, es que el ciclo a largo plazo incluye varios ciclos a corto plazo y que, en un
intervalo de tiempo igual al período medio de amortización, todo el activo fijo se
transforma en líquido, mientras que en una duración igual al período medio de
maduración todo el activo circulante acaba transformándose en dinero.
El problema principal radica en conseguir un equilibrio entre las entradas y
salidas de dinero de tal forma que la empresa pueda atender en todo momento
las obligaciones de pago contraídas sin que ello altere el desarrollo normal de la
actividad productiva ni repercuta en la rentabilidad de la empresa. Por ello, para
que la empresa no tenga problemas de liquidez, debe hacer coincidir la forma
como el activo se va haciendo líquido con la manera como el pasivo se va haciendo exigible.
Esta necesidad de hacer coincidir la exigibilidad del pasivo con la liquidez
de los elementos de activo que están financiando obliga a:
1. Financiar los elementos del activo fijo con recursos financieros no exigibles (los recursos propios) o cuyo período medio de exigibilidad sea igual
o parecido al período medio de amortización del activo fijo, para que, con
el dinero que se vaya generando a través del proceso de amortización, se
pueda ir haciendo frente a la devolución de los préstamos a su vencimiento.
2. Financiar las partidas del activo circulante con recursos financieros que
se harán exigibles en un período de tiempo similar al período medio de
maduración. Ahora bien, la realización del ciclo de explotación requiere
mantener unos determinados niveles o stocks de seguridad (en materia
prima, productos semielaborados, productos terminados, dinero disponible en las cuentas de caja y bancos, etc.) que, aunque técnicamente son
líquidos, puesto que se convierten en dinero en un plazo de tiempo igual
o inferior al PMME, constituyen, desde la perspectiva financiera, una
inmovilización permanente que es conveniente financiar con capitales a
devolver a largo plazo.
Si dividimos la figura 1.6 longitudinalmente (cuadrantes 4.º y 3.º por un lado,
y cuadrantes 1.º y 2.º por otro lado) obtenemos, respectivamente, la estructura
económica o activo y la estructura financiera o pasivo más patrimonio neto de la
empresa16. Partiendo del principio contable de que activo es igual al pasivo más
16
Hemos clasificado el activo de mayor a menor liquidez y la estructura financiera o los medios de
financiación de la empresa de mayor a menor exigibilidad.
34
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La dirección financiera de la empresa
patrimonio neto, si plasmamos en dicha representación gráfica las normas de
equilibrio financiero comentadas anteriormente, tenemos:
Pasivo fijo
y neto
(Pf )
Figura 1.7
El fondo de maniobra puede definirse desde la óptica del activo (1), o aplicación del mismo, como aquella parte del activo circulante financiada con capitales
permanentes (FM = Ac − Pc) o, desde la óptica del pasivo y patrimonio neto (2),
o procedencia de los recursos que lo constituyen, como el exceso de pasivo fijo
sobre el activo fijo (FM = Pf − Af ).
En suma, para que se produzca una situación de equilibrio financiero en la
empresa es preciso que se dé «una adecuada correspondencia entre la exigibilidad
de los recursos financieros obtenidos por la empresa y la liquidabilidad de los
activos adquiridos con tales recursos»17. Además, en general, resulta muy conveniente mantener un fondo de maniobra positivo porque constituye un fondo de
solvencia o garantía que permitirá hacer frente a la evolución ordinaria de los
pagos y reembolsar, por tanto, los recursos ajenos utilizados con la realización
normal de las inversiones efectuadas18 y sin mermas en la rentabilidad de la empresa.
17
Tarragó, F. (1986): p. 687.
No obstante lo que se acaba de afirmar, existen empresas que pueden funcionar sin problemas de
liquidez con un fondo de maniobra negativo, ya que cuentan con poder económico suficiente para obrar
así, vendiendo al contado, pagando a plazos y manteniendo unos stocks muy reducidos.
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Teoría de la inversión
1.3. LA TEORÍA FINANCIERA DE LA EMPRESA
La teoría financiera de la empresa o dirección financiera de la empresa es
aquella parte de la Ciencia de la Economía de la Empresa que centra su atención
en la investigación del plano económico-financiero de los fenómenos empresariales; es decir, centra su atención en el subsistema financiero de la empresa y, por
tanto, en el estudio de la función financiera.
Esta disciplina empieza a desarrollarse de forma autónoma a principios del
siglo xx, si bien los temas objeto de estudio han variado en función de la problemática financiera de las empresas a lo largo del tiempo. Podemos distinguir en
ella dos etapas o enfoques:
— Teoría financiera clásica. Abarca desde sus comienzos, a principios del
siglo xx, hasta mediados del mismo. En este período, la función financiera de la empresa se ocupa básicamente de la captación de los recursos
financieros necesarios para el desarrollo de la actividad productiva.
— Teoría financiera moderna. Se desarrolla a partir de mediados del siglo xx
y abarca hasta nuestros días. Analiza tanto la obtención de los recursos
financieros como la aplicación de los mismos en los elementos de activo
que integran la estructura económica.
El origen de la teoría financiera se asocia a una serie de hechos económicos
que tuvieron lugar en Estados Unidos a finales del siglo xix y principios del xx.
La unión de la Costa Este con la Costa Oeste de los Estados Unidos mediante vía
férrea configuró el mercado norteamericano en toda su extensión y desencadenó
un proceso de fusiones, compras y absorciones empresariales con la finalidad de
constituir empresas con la dimensión adecuada a la demanda potencial del nuevo
mercado.
Este incremento de la dimensión empresarial originó un incremento en las
necesidades financieras de las empresas, acentuando su problemática financiera
y avivando el interés de economistas y directivos de empresa por el análisis y
resolución de un abanico de cuestiones financieras que hasta ese momento no
habían merecido atención19.
19
Dewing, en la que se considera como primera obra conocida de finanzas, Corporate promotions
and reorganizations, publicada en 1914, analizó las causas del proceso descrito e inició el estudio de dos
temas fundamentales en la dirección financiera: la determinación de la estructura financiera óptima y la
búsqueda de una adecuada política de dividendos. No obstante, es en su obra The financial policy of
corporations, publicada en 1919, donde el enfoque tradicional de las finanzas alcanza su máxima expresión.
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La dirección financiera de la empresa
Estos procesos de fusiones, adquisiciones, reorganizaciones empresariales, etc., junto con la existencia de un mercado no excesivamente competitivo, en
el que, salvo períodos concretos, las empresas operaban con márgenes de beneficio unitario suficientemente amplios, condicionó las características de la teoría
financiera de la empresa durante esta época.
El enfoque tradicional de las finanzas se caracteriza por las siguientes notas
distintivas:
— Es un enfoque eminentemente descriptivo, preocupado por el estudio y
análisis de las instituciones, medios e instrumentos financieros. Cuervo
indica que este enfoque «es la lógica consecuencia del marco económico
en que se desenvuelve la empresa —consideraciones estáticas—: los problemas de crecimiento de la empresa no son apenas considerados y el
resultado son políticas, procedimientos y capacitación profesional, pero no
teorías. Había demasiada descripción y poco análisis»20.
— Centra la atención en los medios de financiación de la empresa y, dentro
de ellos, en los recursos financieros permanentes, es decir, en la obtención
de recursos financieros a largo plazo, relegando a un segundo plano los
problemas financieros a corto plazo.
— Estudia primordialmente las necesidades financieras de las grandes empresas que revisten la forma jurídica de sociedades anónimas, olvidando
la problemática que presentan empresas de menor tamaño con otro tipo de
revestimiento jurídico.
— Presta excesiva importancia a hechos que, aunque son importantes, no son
habituales en la vida de una empresa: fusiones, reorganizaciones, concentraciones, quiebras, creación de nuevas empresas, etc.
En suma, la teoría financiera clásica estudia los problemas financieros de la
empresa de una manera meramente descriptiva e institucional, centrando su atención en la estructura financiera sin considerar el equilibrio que debe existir entre
la composición, la dimensión y el crecimiento tanto del activo como del pasivo y
patrimonio neto de la empresa.
Es indiscutible la importancia de este enfoque y el avance que supuso en el
análisis y tratamiento de los problemas financieros empresariales. Pero, la evolución de las características del mercado en el que operaban las empresas, así como
la evolución de las propias empresas, originó la aparición de nuevos problemas
financieros cuyo análisis e intento de solución supuso un incremento en el cuerpo
de conocimientos de la teoría financiera de la empresa.
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Cuervo, A. (1971): p. 254.
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A finales de la década de los años cincuenta y principios de los sesenta del
pasado siglo se producen dos hechos significativos:
— Una reducción paulatina de los beneficios unitarios de las industrias asentadas en sectores tradicionales.
— El nacimiento de nuevas tecnologías, lo que posibilita la realización de
proyectos de inversión en sectores emergentes ligados a ellas.
Estas circunstancias provocaron un profundo cambio en la orientación de las
finanzas, de tal forma que, a partir de este momento, y como consecuencia de la
reducción drástica de los márgenes de beneficio, la función financiera no se limitará únicamente a la obtención de los recursos para financiar la actividad empresarial, sino que, además, deberá hacerlo con aquella mezcla de recursos o estructura financiera cuyo coste de capital promedio sea mínimo21. Asimismo, también
deberá preocuparse de la rentabilidad de la empresa mediante la búsqueda de
proyectos de inversión rentables, así como del mantenimiento de liquidez suficiente para atender en todo momento las obligaciones de pago contraídas.
Suárez22 indica como características relevantes de este enfoque las siguientes:
1. El gerente financiero ya no se limita sólo a la obtención de recursos financieros, sino que también deberá buscar proyectos de inversión rentables. Adquieren gran relevancia los estudios sobre el presupuesto de capital y, como consecuencia de éstos, las investigaciones sobre el coste de
capital de los recursos financieros.
2. Creciente preocupación por el problema de la estructura financiera óptima de la empresa y, ligada a ella, la determinación del coste de capital
de la empresa.
3. La disminución de los márgenes de beneficios provoca un interés creciente por los problemas financieros a corto plazo de la empresa.
4. En conexión con la estructura financiera óptima y el coste de capital de
la empresa se realizan estudios sobre la política de dividendos.
Con esta nueva visión de las finanzas, la teoría financiera de la empresa añade al carácter meramente descriptivo de la etapa inicial un soporte mucho más
analítico que contempla a la empresa «desde dentro», desde la óptica de las
21
No hay en la literatura económica un acuerdo unánime respecto a la existencia de una estructura
financiera óptima dentro de la empresa y, por tanto, un coste medio ponderado de capital mínimo asociado a ella. Esta problemática no será abordada en el presente libro dado que desborda las pretensiones del
mismo.
22
Suárez, A. S. (2003): pp. 32 y 33.
38
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La dirección financiera de la empresa
personas que deben tomar decisiones en el interior de la misma. Haley y Schall
consideran que este nuevo enfoque constituye «un cuerpo de hechos, principios
y teorías relacionados con la búsqueda y utilización del dinero»23.
En idéntico sentido, Solomon24 afirma que la teoría financiera debe dar una
respuesta conjunta a tres cuestiones:
— ¿Cuál debe ser la dimensión y ritmo de crecimiento de la empresa?
— ¿Qué categorías de activos debe tener?
— ¿Cuál debe ser el peso del pasivo y del patrimonio neto?
Estas tres cuestiones están interrelacionadas y la respuesta a las mismas debe
realizarse simultáneamente. Así, la dimensión de la empresa viene condicionada
por los proyectos de inversión y por las posibilidades de financiación que tenga,
las cuales, a su vez, dependen de las características de los proyectos de inversión
existentes, puesto que, en general, será más fácil encontrar financiación para
aquellos proyectos que sean más rentables y/o lleven aparejados un menor riesgo.
En consecuencia, la dimensión de la empresa y las posibilidades de financiación determinan (directa o indirectamente) la composición de la estructura financiera, la cual afectará, a su vez, a la dimensión empresarial vía retención de beneficios: la necesidad de remunerar los recursos financieros utilizados así como
la de reembolsar los recursos ajenos incidirá sobre la cuantía de los beneficios
retenidos y, en definitiva, sobre las posibilidades de crecimiento de la empresa.
Estas interdependencias quedan reflejadas gráficamente25 en la figura 1.8.
Con este nuevo enfoque, la función financiera se ocupa tanto de la estructura
económica como de la estructura financiera de la empresa, así como de las relaciones de equilibrio que deben producirse entre ambas. De esta forma, la teoría
financiera moderna analiza, por un lado, las decisiones de inversión, las cuales
determinan el tamaño de la empresa, los beneficios de explotación, el riesgo
económico y la liquidez, y, por otro lado, las decisiones de financiación y la
política de dividendos, las cuales condicionan las cargas financieras y el riesgo
financiero de la empresa.
En este ámbito, el objetivo de la teoría financiera de la empresa se concreta
en la maximización del valor de mercado de la empresa para sus propietarios o
accionistas, valor que será una consecuencia de las decisiones de inversión, financiación y dividendos que se adopten.
Este objetivo, la maximización del precio unitario de las acciones de la empresa, es especialmente idóneo para las grandes empresas que cotizan en Bolsa,
23
Haley, L. y Schall, C. H. (1983): p. 12.
Solomon, E. (1972): p. 9.
25
La figura 1.8 la hemos extraído de Fernández Blanco, M. y otros (1992): p. 326.
24
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Teoría de la inversión
Figura 1.8
ya que es el propio mercado el que proporciona una valoración objetiva de la
empresa, común para todos los intervinientes en el mercado. Así, el valor de
mercado de la empresa depende del valor de cotización de sus acciones, el cual
depende, a su vez, de las expectativas que se generen en el mercado respecto a la
rentabilidad futura de la empresa y/o el reparto de dividendos. Bajo las hipótesis
simplificadoras de un mercado de capitales perfecto, dichas expectativas estarían
fundadas en el conocimiento de la empresa y de las decisiones que sus directivos
tomen en las diferentes áreas funcionales, decisiones que generarán un mayor o
menor beneficio y posibilitarán un futuro reparto de dividendos.
Sin embargo, los mercados reales normalmente no son perfectos y en ellos no
se produce siempre un reflejo inmediato y veraz de la situación de la empresa,
generándose en algunos casos unas expectativas, un valor de cotización y, en
definitiva, un valor de mercado de la empresa que no se corresponde con la realidad de la misma. No obstante, y bien o mal fundamentadas las expectativas, el
mercado proporciona una valoración de la empresa común para todos.
Por otro lado, este objetivo presenta dificultades de tipo operativo cuando se
intenta aplicar a pequeñas y medianas empresas que no cotizan en Bolsa. El valor
es un concepto subjetivo y depende de quién valora y de para qué se valora, no
existiendo en la actualidad un consenso generalizado respecto de los instrumentos
40
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La dirección financiera de la empresa
a utilizar para determinar el valor de mercado de una empresa que no cotiza en
Bolsa.
Pero, a pesar de estas y de otras limitaciones, el objetivo de maximizar el
valor de mercado de la empresa para sus propietarios se asume de forma generalizada debido a que es compatible con el objetivo clásico de la maximización de
beneficios (a mayor beneficio, mayor valor de la empresa, y viceversa); es un
objetivo único, sencillo y cuantificable y, por tanto, susceptible de incorporación
a modelos matemáticos.
Teniendo en cuenta lo expuesto, y considerando a la empresa como «una
sucesión en el tiempo de proyectos de inversión y de financiación»26, podemos
concluir que la teoría financiera moderna es una teoría normativa que se ocupa
de la toma de decisiones financieras, siendo el valor de mercado de la empresa
la meta que constituye la guía racional para su adopción, dependiendo en gran
medida su supervivencia y crecimiento de que la rentabilidad de las inversiones
realizadas supere el coste de capital utilizado para su financiación.
1.4. RIESGO ECONÓMICO Y RIESGO FINANCIERO
En próximos capítulos se analizará cómo una inversión de tipo económico
siempre implica un desembolso inicial con la esperanza de obtener unos cobros
futuros que compensen a la empresa por el importe inicialmente invertido y por
los posteriores pagos que va a generar dicha inversión.
Dado que los cobros y pagos futuros, al ser meras previsiones, siempre van a
llevar aparejado un mayor o menor grado de riesgo, una distinción fundamental
que de entrada queremos abordar es la diferencia entre el riesgo económico, que
se deriva del activo de la empresa y su composición (esto es, de su actividad
empresarial propiamente dicha), y el riesgo financiero, que se deriva de la estructura financiera (de la mezcla de recursos ajenos y recursos propios), y que, con
independencia de las operaciones diarias de compra y venta de la empresa, será
mayor cuanto mayores sean las deudas que ésta contraiga para financiar las inversiones que figuran en su balance.
Como se ha analizado en el epígrafe segundo, el activo de una empresa refleja su estructura económica y es la fuente generadora de la renta que luego se
distribuye entre los aportantes de fondos que figuran en su estructura financiera.
Si trabajamos con datos del último ejercicio cerrado por la empresa, al tratarse
de datos pasados (ex-post), no hay riesgo, todo se conoce con certeza y así está
reflejado en los estados contables de la misma.
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41
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Teoría de la inversión
El balance, por tanto, nos proporciona una foto estática de la empresa acerca
de su situación económico-financiera en un momento determinado del tiempo. Al
final de un ejercicio económico podemos compactar en tres grandes masas patrimoniales el balance que nos ofrece la contabilidad de una empresa:
— Total del activo: A.
— Total de las deudas a corto y a largo plazo: D.
— Neto patrimonial o recursos propios: N = A − D.
Gráficamente, el «ADN» de una empresa es el que se recoge en la figura 1.9.
ACTIVO
PASIVO Y NETO
PATRIMONIAL
D
A
N
Figura 1.9.
Balance de la empresa.
Por otra parte, en la cuenta de resultados vamos a trabajar con el siguiente
nivel de detalle:
27
Figura 1.10.
Cuenta de resultados de la empresa.
27
Al tipo impositivo del impuesto sobre sociedades lo denotaremos por el símbolo t. En España,
el tipo general en 2015 es del 28 por 100 (y será del 25 por 100 en 2016), si bien las empresas de dimensión más reducida lo tienen rebajado al 25 por 100, pudiendo llegar en algunos casos al 20 por 100.
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La dirección financiera de la empresa
De cara a nuestro objetivo de analizar cómo se reparte el beneficio que genera el activo entre los aportantes de fondos de la empresa, otro concepto de interés
es el del beneficio antes de intereses, pero después de impuestos:
BAIDT = BDIT + INT
Bt = R + F
Así, en el caso que nos ocupa, en el último ejercicio económico de la empresa, el activo ha generado una renta después de impuestos, R + F, que ha ido a
parar, en primer lugar, a manos de los prestamistas, para pagar los intereses de
las deudas contraídas por la empresa (F), y lo que resta, en segundo lugar, ha ido
a remunerar de forma residual a los accionistas (R), tal como se puede observar
en la figura 1.11.
ACTIVO
PASIVO Y
PATRIMONIO NETO
D
A
N
Figura 1.11.
Reparto del BAIDT generado por el activo.
Si ahora ponemos en relación la renta que cada masa patrimonial genera (caso
del activo) o la renta que cada masa patrimonial se lleva (caso del pasivo y patrimonio neto, o neto patrimonial) con las respectivas inversiones, esto da lugar a
tres ratios contables28 de enorme interés desde el punto de vista financiero29:
28
Un ratio contable es una relación o cociente entre dos masas contables; en nuestro caso, entre una
magnitud de la cuenta de resultados y una masa patrimonial del balance.
29
En este capítulo, todas las definiciones están referidas a datos contables. En el capítulo 8, al analizar la interrelación de las decisiones de inversión y de financiación, daremos una serie de definiciones
paralelas a éstas, pero expresadas no con valores contables, sino con valores de mercado. Para ello,
evidentemente, se debe partir de empresas que coticen en Bolsa y operar con las valoraciones que ésta
proporciona.
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Teoría de la inversión
1. k0t: rentabilidad del activo después de impuestos30:
k0t =
R + F (B − F)(1 − t) + F B (1 − t) + Ft
=
=
A
A
A
2. ki: coste medio ponderado de las deudas o recursos ajenos, tanto a largo
como a corto plazo, que tenga contraídas la empresa:
ki =
F
D
3. ket: rentabilidad de los accionistas después de impuestos o coste contable
de los recursos propios:
ket =
R (B − F)(1 − t)
=
N
N
Si llamamos ke a la rentabilidad del accionista antes de impuestos (ke = (B − F)/N),
la rentabilidad del accionista después de impuestos también se puede expresar
como sigue:
ket =
R
= ke (1 − t)
N
En los ratios contables que acabamos de definir hemos puesto en relación una
renta anual con la inversión que al final del año figura en el balance. Dado que
la inversión en elementos de activo, así como el volumen de la deuda y de los
recursos propios, cambian a lo largo del año, una definición un poco más rigurosa sería poner en relación la renta o el coste anual, según corresponda en cada
caso, con la inversión media a lo largo de todo el año, pero eso exigiría trabajar,
por ejemplo, con los balances diarios31. A los efectos de los conceptos que vamos
a analizar en este apartado, si el volumen de dichas partidas no sufre vaivenes
30
Como se puede observar en la expresión que sigue, ceteris paribus, la rentabilidad del activo
después de impuestos es mayor en una empresa con deudas que en una empresa sin deudas, ya que los
intereses, al ser deducibles de la base imponible del impuesto sobre sociedades, producen un ahorro de
impuestos igual a Ft.
31
Aun así, ésas tampoco serían las rentabilidades o costes exactos, ya que se debería aplicar el concepto de tasa interna de rentabilidad a los flujos netos de caja en lugar de a los beneficios contables, así
como considerar el horizonte temporal completo de cada una de esas inversiones y no un período aislado
de un año. Dado que ésos son conceptos que se van a desarrollar en los capítulos que siguen, se recomienda al lector volver a este punto cuando ya los haya estudiado para comprender mejor el sentido de
esta nota a pie de página.
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La dirección financiera de la empresa
bruscos a lo largo del año, el uso de las respectivas inversiones a final de año no
debe provocar sesgos de importancia.
Continuando con el tema que nos ocupa, k0t, que acabamos de definir como la
rentabilidad después de impuestos generada el año pasado por el conjunto del
activo fijo neto y del activo circulante de la empresa, también puede ser considerado como un coste medio ponderado del capital después de impuestos en términos contables. En efecto, la rentabilidad del activo antes de intereses, pero después de impuestos, (R + F) / A, debe ser idéntica, por definición, al coste medio
ponderado del pasivo y los recursos propios después de impuestos, (R + F) / (D + N),
siendo D las deudas de la empresa y N el neto patrimonial o patrimonio neto, ya
que, a partir de las definiciones relativas a ki y ket , se tiene que:
R = k te N
F = ki D
con lo que, llevando estos valores a la fórmula que nos proporciona el valor de
k0t , se obtiene:
k0t =
R+F
R + F ket N + ki D
D
N
=
=
= ki
+ ket
D+N
A
D+N
D+N
D+N
en donde D / (D + N) nos indica el tanto por uno que representan las deudas sobre
la suma del pasivo y el patrimonio neto de la empresa y N / (D + N) es el tanto
por uno restante que los recursos propios suponen en el total del balance de la
empresa. En términos gráficos, la igualdad de la rentabilidad del activo y el coste medio ponderado de los medios financieros que utiliza la empresa se pueden
comprobar en la figura 1.12.
ACTIVO
PASIVO Y
PATRIMONIO NETO
D
A
k0t = (R + F)/(D + N)
N
Figura 1.12. Rentabilidad media del activo y coste contable medio ponderado del capital después de impuestos.
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Teoría de la inversión
Otro ratio de sumo interés es el relativo a la rentabilidad del activo antes de
impuestos o rentabilidad económica:
k0 =
B
B
=
A D+N
Como se puede observar, la rentabilidad económica o ROA en inglés (Return
en Assets), al estar definida a partir del beneficio antes de intereses e impuestos,
no se ve afectada por la estructura financiera de la empresa, por lo que k0 mide
la rentabilidad que genera el activo con independencia de cómo está financiado.
Por último, con relación a esta serie de definiciones realizadas comparando
distintos parámetros de los estados financieros pasados, cabe añadir que la rentabilidad del accionista antes de impuestos (ke) también recibe el nombre de rentabilidad financiera, pudiéndose encontrar, a partir de las definiciones de las razones k0 y ki, la siguiente relación funcional entre la rentabilidad financiera y la
rentabilidad económica:
ke =
B − F k0 (D + N ) − ki D
D
=
= k0 + (k0 − ki )
N
N
N
De este modo, si una empresa es capaz de sacarle a cada euro del activo una
rentabilidad antes de intereses e impuestos superior al coste medio de las deudas32,
entonces, cuanto más se endeuda la empresa, mejor, mayor es la rentabilidad del
accionista antes de impuestos, ke, y, también, mayor es la rentabilidad del accionista después de impuestos o ROE (Return on Equity), ya que, como sabemos:
ket = ke (1 − t)
Así, por ejemplo, si la rentabilidad del activo antes de impuestos es del 20 por
100 y el coste medio de las deudas es del 10 por 100, en el supuesto de que la
empresa esté financiada un 50 por 100 por recursos ajenos y el otro 50 por 100
por recursos propios, tendríamos que, como la parte del activo que se financia
con deuda genera una rentabilidad del 20 por 100, igual que el resto del activo,
mientras que a los prestamistas sólo se les da el 10 por 100 acordado, el accio32
Dentro del exigible hay partidas, como los préstamos a corto plazo y a largo plazo, que siempre
tienen un coste explícito, otras que su coste efectivo es siempre nulo (sueldos por pagar, Hacienda Pública por pagar, etc.) y otras, como la financiación que proporcionan los proveedores, que a veces puede
tener un coste explícito nulo (si no existen descuentos por pronto pago) y a veces puede tener un coste
explícito muy alto (en caso de existir descuentos por pronto pago y que el comprador no los aproveche).
46
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La dirección financiera de la empresa
nista podría obtener un 30 por 100 de rentabilidad (10 puntos por encima de la
rentabilidad del activo):
ke = k0 + (k0 − ki )
50 %
D
= 20 % + (20 % − 10 %)
= 30 %
N
50 %
Igualmente, permaneciendo constante todo lo demás, si la empresa hubiese
estado financiada al 90 por 100 por deudas, el accionista, residualmente, podría
haber conseguido:
ke = k0 + (k0 − ki )
90 %
D
= 20 % + (20 % − 10 %)
= 110 %
N
10 %
Es indudable que cuando el apalancamiento financiero es positivo (k0 > ki),
las deudas ejercen un efecto favorable sobre la rentabilidad de los recursos propios, de modo que, cuanto más se endeuda la empresa, mejor, más alta será la
rentabilidad del accionista, ejerciendo en este caso las deudas un efecto palanca
positivo sobre la rentabilidad financiera.
La gráfica de la rentabilidad financiera, cuando el apalancamiento financiero
es positivo, se recoge en la figura 1.13.
Figura 1.13.
Apalancamiento financiero positivo: k0 > ki.
Ahora bien, de cara al futuro, la rentabilidad del activo, debido a una serie de
circunstancias desfavorables que se pueden concatenar, podría acabar siendo
perfectamente del 5 por 100 en lugar del 20 por 100 anterior. En este caso, al ser
el apalancamiento financiero negativo (k0 < ki), la rentabilidad del accionista
sería nula, aun cuando la empresa hubiese mantenido un coeficiente de endeuda© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
miento considerado normal en la práctica empresarial, como puede ser el del 50
por 100:
ke = k0 + (k0 − ki )
50 %
D
= 5% + (5% − 10 %)
= 0%
N
50 %
Es decir, aunque los activos de la empresa generan una rentabilidad modesta,
pero positiva, la rentabilidad del accionista se anula, situándose claramente por
debajo de la rentabilidad del activo. Si, en iguales circunstancias, el endeudamiento de la empresa fuese mucho más alto, por ejemplo, del 90 por 100, la rentabilidad del accionista se volvería negativa:
ke = k0 + (k0 − ki )
90 %
D
= 5% + (5% − 10 %)
= −40 %
N
10 %
La figura 1.14 muestra este efecto palanca negativo de las deudas sobre la
rentabilidad del accionista que se produce cuando la rentabilidad del activo no
llega a cubrir el coste medio de las deudas.
Figura 1.14.
Apalancamiento financiero negativo: ki > k0 > 0.
Por último, continuando con esta descripción de los distintos escenarios que
pueden suceder, la situación desembocaría directamente en una quiebra técnica
si, por ejemplo, la rentabilidad del activo fuese del −5 por 100 y las deudas se
elevasen al 90 por 100:
ke = k0 + (k0 − ki )
48
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90 %
D
= −5% + (−5% − 10 %)
= −140 %
N
10 %
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La dirección financiera de la empresa
En efecto, el neto patrimonial, al sufrir los accionistas unas pérdidas superiores al 100 por 100, ha desaparecido hasta transformarse en negativo, con lo cual
los activos de la empresa no llegan a cubrir el importe de las deudas. Gráficamente, este efecto se muestra en la figura 1.15.
Figura 1.15.
Apalancamiento financiero negativo: ki > k0 < 0.
Del análisis de las figuras 1.13, 1.14 y 1.15 se desprende que el apalancamiento financiero33 es un arma de doble filo. La empresa que se endeuda logrará ganar
mucho más de lo que generen sus activos (k0) en épocas de expansión y crecimiento; pero puede arruinarse si la economía del país, en general, y ella, en
particular, entra en una fase de recesión y de disminución de los beneficios brutos
antes de intereses e impuestos. En definitiva, de cara al futuro, si trabajamos con
magnitudes ex-ante (previsiones) y no con datos pasados o ex-post, el beneficio
antes de intereses e impuestos es una variable aleatoria (B̃) con una determinada
función de distribución34, con lo que B̃ puede ser más alto o más bajo, con más o
menos probabilidad y, por tanto, la rentabilidad económica y la rentabilidad financiera también serán variables aleatorias:
k0 =
B
D+N
33
Existe otro concepto de apalancamiento que hace referencia al efecto palanca de los costes fijos
operativos (amortizaciones) y financieros (intereses) sobre el beneficio de la empresa después de intereses e impuestos. Así, una empresa que tenga costes fijos y se encuentre a la derecha del punto muerto,
cuando incrementa sus ventas en unidades físicas un 20 por 100, su beneficio neto subirá de forma más
que proporcional, por ejemplo, un 40 por 100. Los interesados en esta otra acepción del término apalancamiento pueden dirigirse a Ferrando, M. y Fernández, M. (1986).
34
Como ya habrá podido observar, estamos colocando una tilde encima de cualquier variable cuyo
comportamiento sea aleatorio.
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Teoría de la inversión
B − F D
ke =
= k0 + ( k0 − ki )
N
N
Por otro lado, los poseedores de capitales ajenos y de capitales propios, conocedores de este problema, no son ajenos al ratio de endeudamiento que tenga
la empresa, ni al riesgo económico de las inversiones que acometa, por lo
que exigirán un mayor ki y un mayor ke si el riesgo de la empresa aumenta35. Así
que, una cosa es el valor contable del exigible y de los recursos propios y otra
cosa diferente es la valoración que haga el mercado de ellos: el valor contable
de una acción (neto patrimonial/núm. acciones) puede ser de 3 euros y que la
Bolsa la valore por debajo, 2 euros, o muy por encima de su valor contable,
6 euros.
Como al ser B̃ una variable aleatoria, k̃e también lo es, un accionista averso al
riesgo no sólo fijará su atención en el valor medio esperado de k̃e, sino también
en la varianza del mismo:
D
E( ke) = E( k0 ) + (E( k0 ) − ki )
N
D
D
var ( ke) = var ( k0) + var ⎡⎢( k0 − ki ) ⎤⎥ + 2 cov ⎡⎢k0, ( k0 − ki ) ⎤⎥
N⎦
N⎦
⎣
⎣
Si en la expresión de la varianza de k̃e realizamos los cálculos en ella indicados, finalmente se obtiene que:
D
σ 2 ( ke) = ⎡⎢σ ( k0) + σ ( k0) ⎤⎥
N⎦
⎣
2
Y, sacando raíces cuadradas en ambos lados de la igualdad, se concluye que:
D
σ ( ke) = σ ( k0) + σ ( k0)
N
35
Para no complicar en exceso el análisis, vamos a suponer que la deuda no es un activo arriesgado,
es decir, que los prestamistas tienen la certeza de que siempre van a cobrar los F euros de intereses por
dejar su dinero. En la práctica, la deuda debería considerarse como un activo tanto más arriesgado cuanto mayor sea el nivel de endeudamiento de la empresa, ya que, entonces, la probabilidad de que la misma
no llegue a generar suficientes beneficios brutos (B) con los que pagar los intereses (F) aumenta.
50
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La dirección financiera de la empresa
En donde cabe considerar:
σ ( ke) como el riesgo total que soporta el accionista,
σ ( k0) como el riesgo económico del activo (independiente de D / N),
σ ( k0)
D
como el riesgo financiero del accionista (dependiente de D / N).
N
Por tanto, la varianza o desviación típica de la rentabilidad de los recursos
propios se debe entender como el riesgo total del accionista. Al accionista-inversor le gustaría encontrar empresas que prometiesen una rentabilidad financiera
positiva que fuese única y cierta, con probabilidad del 100 por 100 y una varianza cero, y que, además, dicha rentabilidad fuese mayor que ki, pero esto no es
posible, no existe en el mercado esa posibilidad, ya que, si no, nadie sería prestamista u obligacionista. El accionista, si quiere invertir en una empresa en la cual
E(k̃e) > ki, debe ser a costa de soportar un mayor riesgo que con los títulos de
renta fija. Esto es, por término medio, es de esperar que gane más como accionista que como obligacionista, pero, en ciertos años, la rentabilidad que efectivamente obtenga como accionista será menor que la conseguida como obligacionista, incluso se podrá dar la situación de que llegue a ser negativa.
El riesgo total del accionista tiene pues dos componentes: el riesgo económico, medido por la variabilidad del beneficio que generan los activos de la empresa antes de intereses e impuestos, es decir, independiente de cómo esté financiada la empresa, s(k̃0), y el riesgo financiero, s(k̃0)D / N, que, a igual riesgo
económico, es mayor cuanto más elevado es el ratio de endeudamiento.
El riesgo financiero depende, por consiguiente, de la estructura financiera (de
la mezcla de recursos ajenos y recursos propios): cuanto más elevadas sean las
deudas de la empresa, mayor será el riesgo financiero; mientras que el riesgo
económico se deriva de la composición del activo, de la incertidumbre de la rentabilidad que puedan producir las inversiones en activo fijo y en activo circulante,
siendo este riesgo económico mayor cuando36:
— La demanda de los productos de la empresa sea muy sensible a la situación
económica del entorno.
— Las ventas de la empresa estén concentradas en unos pocos clientes, es
decir, cuando la diversificación de los clientes sea baja.
36
Aparte de los factores que comentaremos a continuación, hay otras variables a tener también en
cuenta en el momento de medir el riesgo económico de una empresa, como, por ejemplo, la política seguida por la competencia, la obsolescencia tecnológica, los cambios en los gustos y necesidades de los
consumidores, etc.
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Teoría de la inversión
— La empresa utilice muy pocas materias primas diferentes cuyo suministro
y precio futuro sean inciertos.
— La proporción de los costes fijos dentro de la estructura de costes sea más
alta, ya que, en dicho caso, si bajan las ventas, los costes variables disminuirán en la misma proporción que las ventas; pero el beneficio antes de intereses e impuestos bajará de una forma más que proporcional debido a la
existencia de los costes fijos, pudiendo aparecer antes las pérdidas.
En definitiva, si E(k̃0) > ki, cuanto más se endeuda la empresa mayor será la
rentabilidad esperada por el accionista, pero mayor será también el riesgo que
éste soporta. No se da nada a cambio de nada. En palabras del profesor Suárez
(2003), este teorema fundamental de la financiación se puede enunciar así:
«Para una rentabilidad y un riesgo económico dados, todo incremento de
la rentabilidad financiera derivado de un incremento del grado de endeudamiento va siempre unido a un incremento del riesgo de dicha rentabilidad.
Esto es, desde el punto de vista estrictamente financiero no se puede aumentar
la rentabilidad de los accionistas sin que éstos soporten un mayor riesgo»37.
Por lo que un inversor, de acuerdo con su actitud hacia el riesgo, deberá elegir
ser accionista de aquella empresa38 cuyo par rentabilidad-riesgo mejor se ajuste
a sus preferencias.
1.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Sea una empresa cuyo activo está financiado la mitad por recursos ajenos y
la otra mitad por recursos propios. En su último año de actividad, su rentabilidad
económica antes de impuestos fue del 15 por 100 y el coste medio ponderado de
sus deudas fue del 10 por 100.
Se pide:
a) ¿Qué rentabilidad financiera antes de impuestos obtuvo el accionista el
año pasado?
b) En dicho año, ¿el apalancamiento financiero fue positivo o negativo?
37
Suárez, A. S. (2003): p. 535.
Normalmente, en vez de ser una la empresa elegida, el inversor situará sus ahorros en varias empresas, es decir, que diversificará su cartera de valores mobiliarios, pudiendo también dedicar una parte
de su riqueza a la inversión en activos de renta fija libres de riesgo, como las letras del Tesoro. En los
dos últimos capítulos de este libro se abordará el estudio de estos temas.
38
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La dirección financiera de la empresa
De cara al próximo año, la empresa no va a cambiar su ratio de endeudamiento y, ante la incertidumbre en la situación económica, los accionistas están interesados en averiguar:
c) ¿Qué rentabilidad económica, en dicho año, anularía la rentabilidad financiera si el coste de las deudas sigue siendo el mismo? O, lo que es
equivalente, ¿hasta cuánto podría bajar la rentabilidad económica sin
entrar en pérdidas?
d) Dado el ratio de endeudamiento que la empresa piensa mantener, represente gráficamente la relación entre la rentabilidad financiera antes de
impuestos y la rentabilidad económica.
Por último, los accionistas también están interesados en visualizar la relación
del apartado a) en dos escenarios de partida diferentes: un endeudamiento bajo
del 20 por 100 y un endeudamiento alto del 90 por 100; para ello:
e) Añada a la representación gráfica anterior estos dos nuevos escenarios.
SOLUCIÓN
a) Como se sabe, la relación funcional entre la rentabilidad financiera de los
accionistas antes de impuestos y el ratio de endeudamiento es:
ke = k0 + (k0 − ki )
D
N
por lo que, llevando a dicha expresión los valores del enunciado del problema, se
llega a que la rentabilidad antes de impuestos que obtuvieron los accionistas el
año pasado fue:
ke = k0 + (k0 − ki )
50 %
D
= 15% + (15% − 10 %)
= 20 %
N
50 %
b) Dado que la rentabilidad del activo (k0) supera al coste medio ponderado
de las deudas (ki), las deudas han ejercido un efecto palanca positivo sobre la
rentabilidad financiera, de modo que, aunque la rentabilidad económica alcanzó
el 15 por 100, los accionistas acabaron consiguiendo más: un 20 por 100.
c) De cara al próximo año, la rentabilidad económica que, manteniendo el
actual nivel de endeudamiento, anularía la rentabilidad del accionista antes de
impuestos sería la que resultase de despejar k0 en la siguiente ecuación:
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Teoría de la inversión
ke = k0 + (k0 − ki )
50 %
D
= k0 + (k0 − 10%)
= 0%
N
50 %
Esto es:
2k0 − 10 % = 0
k0 = 5 %
d) Partiendo de la relación funcional entre la rentabilidad financiera antes
de impuestos y el ratio de endeudamiento que se ha obtenido en el último epígrafe de este capítulo:
ke = k0 + (k0 − ki )
D
N
y sustituyendo en ella ki y D/N por los correspondientes valores dados en el enunciado, obtenemos la siguiente expresión de ke en función de k0:
ke = k0 + (k0 − ki )
50 %
D
= k0 + (k0 − 10 %)
N
50 %
ke = 2k0 − 10 %
expresión cuya gráfica es la línea recta que se representa en la figura 1.16.
e) Por último, considerando los otros dos escenarios de endeudamiento
planteados, se obtienen otras dos rectas de pendientes diferentes de la del apartado anterior:
— Endeudamiento del 20 por 100:
ke = k0 + (k0 − ki )
D
20 %
= k0 + (k0 − 10 %)
= 1, 25k0 − 0,025
N
80 %
— Endeudamiento del 90 por 100:
ke = k0 + (k0 − ki )
54
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90 %
D
= k0 + (k0 − 10 %)
= 10k0 − 0,9
N
10 %
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La dirección financiera de la empresa
40%
ke
DE UDAS 50%
30%
20%
10%
ï30% ï20%
0%
−10%
0%
ï10%
10%
20%
30%
40%
50% 60%
k0
ï20%
ï30%
ï40%
Figura 1.16.
Relación entre la rentabilidad financiera y la rentabilidad económica.
Con lo que la representación de las tres relaciones funcionales entre la rentabilidad financiera y la rentabilidad económica correspondientes a los tres ratios
de endeudamiento (D/N) planteados (50 por 100, 20 por 100 y 90 por 100) es la
que recoge la figura 1.17.
Tal como se puede comprobar en la figura 1.17, cuando la rentabilidad económica que generan los activos de la empresa coincide con el coste medio ponderado de las deudas, que es del 10 por 100, el apalancamiento financiero es
neutro y resulta indiferente la estructura financiera que mantenga la empresa: la
rentabilidad del accionista antes de impuestos siempre será la misma: 10 por 100.
Por tanto en dicho punto se cumple que:
ke = k0 = ki
En cambio, si la rentabilidad económica supera al coste de las deudas (apalancamiento financiero positivo), cuanto más se endeude la empresa, mayor será la
rentabilidad financiera del accionista, pero a cambio de soportar el riesgo de que si,
en un año particular, la rentabilidad económica no llega a cubrir el coste de la financiación ajena (apalancamiento financiero negativo), entonces el accionista alcanzaría, con dicha estructura financiera más endeudada, la peor rentabilidad financiera.
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40%
ke
30%
DEUDA S 50 %
DEUDA S 20 %
20%
DEUDA S 90 %
10%
0%
ï30% ï20%
ï10%
0%
10%
20%
30%
ï10%
40%
50%
60%
k0
ï20%
ï30%
ï40%
Figura 1.17.
Relaciones entre la rentabilidad financiera y la rentabilidad económica.
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. La empresa es un sistema artificial, físico y abierto.
2. Las corrientes reales de entrada del sistema físico-económico inducen corrientes financieras de salida en el sistema físico-financiero.
3. Una ampliación de capital, suscrita y desembolsada por los accionistas,
es una fuente de financiación propia e interna a la vez.
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4.
Para lograr el equilibrio financiero en la empresa, debe hacerse coincidir la
forma en que el activo se hace líquido (se transforma en dinero) con la
forma en que el pasivo se hace exigible (se devuelve o paga).
5.
La estructura económica recoge todos aquellos elementos que son propiedad
de la empresa, como, por ejemplo, las reservas.
6.
Toda empresa con un fondo de maniobra negativo está en situación de suspensión de pagos o próxima a ella.
7.
Durante el tiempo que tarda en realizarse un ciclo de capital se producen
varios ciclos de explotación.
8.
Cuanto mayor es el período medio de maduración de la empresa, mayor es
el número de veces que se invierte la misma unidad monetaria a lo largo de
un determinado ejercicio económico.
9.
La teoría financiera clásica se ocupa fundamentalmente de la aplicación de
los recursos financieros obtenidos en aquellos elementos de activo fijo que
necesita la empresa.
10. La teoría financiera moderna es una teoría normativa.
11.
El objetivo de la teoría financiera moderna se define como la maximización
del beneficio a largo plazo para el período de planificación.
12.
La rentabilidad del activo antes de impuestos (o rentabilidad económica) depende exclusivamente de la estructura económica de la empresa, por lo que
no se ve influida por la forma en que la empresa financia sus inversiones.
13.
Para un riesgo económico dado, el riesgo financiero es tanto mayor cuanto
más elevado es el ratio de endeudamiento.
14.
En una situación de riesgo o azar, para una rentabilidad y un riesgo económico dados, todo incremento de la rentabilidad del accionista derivado de
un aumento del grado de endeudamiento no necesariamente implica siempre
un incremento del riesgo de dicha rentabilidad.
15.
A medida que la empresa se endeuda, los accionistas soportan menos riesgo financiero, ya que comparten la financiación de la empresa con los
bancos y prestamistas en general.
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El valor del dinero en el tiempo
M. Ferrando Bolado
2.1. Significado económico de la capitalización y del descuento.
2.2. Tipo de interés real y tipo de interés nominal sin riesgo.
2.3. Tipos de interés nominal y real con riesgo y con impuestos.
2.4. Tipos de interés trimestrales, mensuales y continuos.
2.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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2.1. SIGNIFICADO ECONÓMICO DE LA CAPITALIZACIÓN
Y DEL DESCUENTO
Supongamos una situación económica ideal: sin inflación, en condiciones de
certidumbre y sin impuestos. Este contexto es totalmente irreal, pero va a ser de
suma utilidad para introducir el concepto del tipo de interés y explicar los factores que lo componen y que justifican el nivel más alto o más bajo que puede alcanzar. Posteriormente, estos supuestos irreales se irán abandonando y nos acercaremos de forma progresiva a la comprensión de la realidad con todas sus
dimensiones.
Imaginemos, por tanto, que se prevé que el Gobierno al fin podrá contener el
año próximo la inflación y dejarla en una cota cero, y que, en dicho escenario
idílico, en donde además no se pagan impuestos, una persona pide prestados a otra
100 euros, a devolver de golpe dentro de un año, con la garantía hipotecaria de su
propia casa. El prestamista, al contar con la garantía real de una vivienda, puede
tener la completa seguridad de que podrá recuperar su dinero, bien porque el
prestatario cumpla, como es normal, su compromiso o bien, en caso de incumplimiento del prestatario, vendiendo la casa de éste, para así poder cobrar los 100 euros
y los correspondientes intereses y devolver el resto al peticionario del préstamo.
Existe una propensión natural de los individuos por el consumo presente en
virtud de la cual, para que una persona renuncie hoy al consumo presente y deje
a otra 100 euros durante un año, esta última debe pagar un determinado tipo de
interés, ya que, en caso contrario, nunca le prestaría los 100 euros y compraría
hoy lo que más le hiciese falta.
El lector puede argüir que habrá personas sin esa propensión por el consumo
presente, que pueden ahorrar parte de sus ingresos bien por motivo de precaución o,
simplemente, por avaricia. Aun así, si dentro de un año el prestatario sólo le fuera
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Teoría de la inversión
a devolver al prestamista los mismos euros que le dejó, sin ningún interés, éste
preferiría quedarse él mismo con su dinero y lo pondría a buen refugio debajo de
una baldosa o en una caja fuerte; el resultado final sería idéntico y no tendría que
estar preocupado por la posible morosidad o insolvencia del prestatario.
Supongamos que el tipo de interés acordado es del 5 por 100, de modo que
el prestatario le deberá pagar al prestamista 105 euros dentro de un año:
100(1 + 0,05) = 105
Este 5 por 100 es un tipo de interés real, es decir, dentro de un año la persona que deja el dinero (el prestamista) tendrá un 5 por 100 más de poder adquisitivo y podrá comprar un 5 por 100 más de bienes de los disponibles en el país
donde vive1.
Si al cabo de un año, y bajo las mismas circunstancias, el prestamista cobra
con una mano los 105 euros y se los deja con la otra mano nuevamente al prestatario, este último le deberá pagar dentro de un año:
105(1 + 0,05) = 100(1 + 0,05)2 = 110,25 €
O sea, cobrar los 105 euros al cabo de un año y volverlos a prestar por el
plazo de un año más es equivalente a prestar los 100 euros iniciales durante dos
años, al cabo de los cuales el prestatario deberá pagar al prestamista, de una sola
vez, el principal del préstamo y los intereses correspondientes a los dos años2:
Figura 2.1
1
Hemos utilizado un 5 por 100 de interés real a los efectos de simplificar los cálculos y por ser una
cifra redonda, sin decimales. Habitualmente, los tipos de interés reales son más bajos e incluso pueden
llegar a ser negativos.
2
Un acuerdo distinto podría haber sido dejarle 100 euros durante dos años a un 5 por 100 de interés
con la condición de pagar los intereses anualmente y devolver de una sola vez el nominal del préstamo
al cabo de los dos años. En este caso, al final del primer año, el prestatario le debe al prestamista 100
euros y no 105 euros como en el caso anterior. Es como si el prestamista hubiese cobrado al cabo de un
año 105 euros con una mano y le hubiese dejado con la otra 100 euros durante un año más:
62
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El valor del dinero en el tiempo
Por tanto, en términos generales, dejar hoy C0 euros a plazo fijo de dos años
a un tipo de interés real ir supone cobrar C2 euros dentro de dos años:
C2 = C0 (1 + ir)2
(2.1)
por lo que un individuo, bajo condiciones de certeza, sin inflación y sin impuestos, debe mostrarse indiferente entre C0 euros de hoy y C2 euros dentro de dos
años y, en general, entre C0 euros de hoy y Cn euros dentro de n años, siendo:
Cn = C0 (1 + ir)n
(2.2)
Gráficamente, en un diagrama temporal:
Figura 2.2
Ya sabemos, pues, capitalizar o, lo que es lo mismo, encontrar el equivalente
futuro de una cantidad de dinero disponible en el momento actual. La operación
inversa, hallar el equivalente monetario en el momento presente de una cantidad
de dinero disponible en el futuro, se llama actualizar o descontar. Por tanto, para
descontar al momento actual Cn euros disponibles con certeza dentro de n años
al tipo de interés ir , no hay más que despejar C0 en la expresión (2.2):
C0 = Cn (1 + ir )− n =
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Cn
(1 + ir )n
(2.3)
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Teoría de la inversión
Gráficamente3:
Figura 2.3
Si aplicamos los instrumentos acabados de explicar, en el caso particular de
que los cobros y pagos que definen una posible inversión financiera fuesen:
al llevar esos valores concretos a la expresión (2.2), diríamos que estamos prestando 100 euros a un tipo de interés real del 4 por 100 anual durante tres años o,
también, que esta inversión financiera rinde un 4 por 100 anual:
C3 = C0(1 + ir)3
112,4864 = 100(1 + ir)3
ir = 3 112, 4864 100 − 1 = 4 %
3
Estamos suponiendo, para simplificar, que el tipo de interés real es constante año a año. Si no lo
fuese, y llamando it al tipo de interés real en el año t, las operaciones de capitalización y descuento
quedarían como sigue:
Capitalización:
Cn = C0(1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in)
Descuento:
C0 =
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Cn
(1 + i1 )(1 + i2 ) ... (1 + in )
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El valor del dinero en el tiempo
Asimismo, si con total certeza vamos a cobrar dentro de tres años 115,7625
euros de una letra de cambio a nuestro favor, su equivalente hoy con un tipo de
interés real del 5 por 100 sería de 100 euros:
C0 = C3 (1 + ir )−3 =
C3
(1 + ir )3
100 = 115, 7625(1 + 0, 05)−3 =
115, 7625
(1 + 0, 05)3
o, lo que es lo mismo, si nos hiciese falta el dinero en la actualidad, podríamos
acudir a un banco para que nos descontase o nos anticipase, a día de hoy, el cobro
que vamos a tener en el futuro. Evidentemente, el banco no nos entregará los
115,7625 euros de la letra de cambio, sino solamente 100 euros. Esto es, nos
prestará, hoy y para los próximos tres años, 100 euros al tipo de interés del 5 por
100 con la garantía de la letra de cambio que el propio banco cobrará cuando se
produzca su vencimiento, lo cual le permitirá resarcirse del importe del nominal
del préstamo y los correspondientes intereses.
Usted ya cuenta con los útiles necesarios para encontrar el valor futuro financieramente equivalente de una cantidad de dinero disponible en la actualidad, así
como, para, conocida una cantidad de dinero disponible en un futuro concreto,
averiguar su equivalente monetario en el momento presente. En definitiva, usted
ya sabe capitalizar y descontar, si bien es cierto que en el mundo real las cosas
son un poco más complejas: hay inflación, hay riesgo, hay impuestos y, además,
si los acuerdos no son de particular a particular, sino con una entidad financiera,
se producirán comisiones y gastos diversos. Así pues, a continuación, vamos a ir
relajando una a una todas estas hipótesis restrictivas.
2.2. TIPO DE INTERÉS REAL Y TIPO DE INTERÉS NOMINAL
SIN RIESGO
Si abandonamos el primero de los supuestos de partida, el referente a la inflación, y aceptamos, como casi siempre ocurre en la realidad, que los precios por
término medio suben4, el prestatario deberá pagar al prestamista, además del tipo
de interés real, también llamado tasa pura de interés (que premia a los individuos
por posponer el consumo presente), la tasa de inflación prevista (g), que, para
4
Es innegable que hay productos concretos que bajan de precio, que sufren deflación. Pero, en el
conjunto de ellos, la situación dominante, si no hay recesión con deflación o también estancamiento con
deflación, es de subida media de precios.
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Teoría de la inversión
simplificar, vamos a suponer constante todos los años. En estas circunstancias, si
una persona deja a otra C0 euros a plazo fijo de n años, esta última deberá pagar
de golpe al final de la operación de préstamo Cn euros, calculados de la siguiente manera:
Cn = C0(1 + ir)n (1 + g)n = C0(1 + iN)n
(2.4)
donde iN es el tipo de interés nominal. Es decir, el producto (1 + ir) (1 + g) es
igual a uno más el tipo de interés nominal:
1 + iN = (1 + ir) (1 + g)
(2.5)
Normalmente, en la práctica, los tipos de interés contractuales que los inversores y las instituciones de crédito utilizan en sus operaciones financieras
son tipos de interés nominales, ya que la inflación sólo se puede fijar en términos
de discutibles previsiones que pueden resultar fallidas. Así, si usted dispone de
100 euros y la previsión de inflación para el año próximo es del 2 por 100, si
decide no consumir hoy con la esperanza de poder consumir un 5 por 100 más
dentro de un año, deberá exigir un 7,1 por 100 a su inversión financiera. De este
modo, el año próximo podrá comprar un 5 por 100 más de bienes, que estarán un
2 por 100 más caros:
100(1 + 0,05) (1 + 0,02) = 100(1 + 0,071) = 107,1 €
De igual modo, si la previsión de inflación durante los tres próximos años
fuese del 2 por 100 anual y el tipo de interés real que usted pretende conseguir
en una imposición de 100 euros a plazo fijo de tres años fuese del 5 por 100 anual,
el prestatario debería abonarle de una sola vez dentro de tres años:
C3 = C0(1 + ir)3 (1 + g)3 = C0(1 + iN)3
C3 = 100(1 + 0,05)3 (1 + 0,02)3 = 100(1 + 0,071)3 = 122,8481 €
Gráficamente, los flujos netos de caja de esta inversión financiera pueden
representarse mediante el siguiente diagrama temporal:
Figura 2.4
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Observe cómo, una vez que se sabe actualizar y descontar, se está en condiciones de plantear el problema de forma inversa: una inversión, como la representada en la figura 2.4, ¿qué rentabilidad anual produce?
En general, la rentabilidad de una inversión, en términos nominales (interés
real e inflación), es aquella tasa de interés nominal que iguala el valor actual de
los pagos con el valor actual de los cobros.
En nuestro caso se trata de una inversión con un único pago de 100 euros en
el momento inicial, que, por tanto, no es necesario actualizar, y de un único cobro
de 122,8481 euros dentro de 3 años, que debe actualizarse al momento presente:
100 =
122,8481
(1 + iN )3
donde, despejando iN, se obtiene el valor buscado de la rentabilidad nominal
anual:
iN = 3 122,8481 100 − 1 = 7,1%
Acabamos de ver que la operación de préstamo constituye una inversión financiera para el prestamista que sacrifica un dinero hoy (ahorra al restringir su
nivel de consumo) con la esperanza de obtener una renta que le permita bien
aumentar su nivel de consumo futuro, bien hacer frente a una inversión posterior.
La persona que recibe el préstamo, por el contrario, realiza una operación de
financiación: recibe un dinero en el momento presente, para dedicarlo al consumo
presente o a la inversión (productiva, inmobiliaria, etc.), con el compromiso de
devolverlo en el futuro pagando los intereses pertinentes. Los flujos netos de caja
del prestatario son en este caso los opuestos del prestamista:
Figura 2.5
El coste efectivo anual de este préstamo para la persona que lo solicita, de
forma simétrica a lo realizado anteriormente, es aquel tipo de interés que iguala
el valor actual del dinero recibido con el valor actual del dinero pagado:
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100 =
122,8481
(1 + iN )3
donde, al igual que antes, despejando iN, se obtiene que el coste efectivo anual
soportado por el prestatario en términos nominales es5:
iN = 3 122,8481 100 − 1 = 7,1%
Si, calculada la rentabilidad anual que espera obtener el prestamista, que acabamos de encontrar que es del 7,1 por 100, la previsión de inflación, constante
todos los años, resulta fallida y el incremento del IPC real acaba siendo del 3,3
por 100, en vez del 2 por 100 anterior, para hallar la rentabilidad anual en términos reales basta con despejar ir en la expresión (2.5). Operando paso a paso,
tendríamos:
1 + iN = 1 + ir + g + ir g
(2.6)
Si despreciamos el cuarto sumando del segundo miembro, por considerar que
ese producto es muy bajo y próximo a cero, el tipo de interés real es:
ir = iN − g
(2.7)
La expresión (2.7) aplicada a la rentabilidad anual de nuestra imposición a
plazo fijo nos proporcionaría una rentabilidad real del:
7,1% − 3,3 % = 3,8 %
Ésta es la forma como todos mentalmente calculamos los tipos de interés
reales, restando al tipo de interés nominal la tasa de inflación prevista.
Sin embargo, en la expresión (2.7), premeditadamente, hemos cometido un
error. Si no despreciamos el sumando ir g, el auténtico tipo de interés real es:
i −g
ir = N
1+ g
(2.8)
5
En la práctica, hay comisiones y gastos que de momento no estamos considerando, por lo que los
flujos netos de caja del prestatario no suelen ser los opuestos del prestamista. Por ejemplo, en un préstamo hipotecario hay pagos que realiza la persona peticionaria del préstamo que efectivamente van a parar
a las arcas del banco: comisión de apertura, comisión de estudio, etc. Sin embargo, hay otros pagos que
efectúa el solicitante del préstamo que no cobra el banco, sino terceras personas, como el notario, que
también, preceptivamente, debe intervenir en la operación de préstamo. En este caso, lo que le rente el
préstamo al banco no será lo mismo que lo que le cueste el préstamo al particular.
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por lo que, volviendo al caso que nos ocupa, la rentabilidad real de su inversión
financiera es de esperar que sólo alcance un 3,6786 por 100 en vez del 3,8 por
100 anterior:
ir =
0,071 − 0,033
= 3,6786%
1 + 0,033
siempre y cuando, claro está, gaste su dinero en los mismos bienes y en las mismas proporciones que lo hace el español medio que recoge la cesta de la compra
contemplada en el Índice de Precios de Consumo que elabora el Instituto Nacional de Estadística.
2.3. TIPOS DE INTERÉS NOMINAL Y REAL CON RIESGO
Y CON IMPUESTOS
Acabamos de relajar el supuesto referente a la no existencia de inflación; el
paso siguiente es abandonar simultáneamente las dos primeras restricciones que
habíamos planteado inicialmente. Así, supongamos que en la realidad hay tanto
inflación como riesgo, de modo que, si no se trata del Estado, existe siempre un
riesgo de incumplimiento mayor o menor, con lo cual puede que el prestatario
pague con retraso, e incluso que no pague, bien los intereses, bien el principal o
bien ni los intereses ni el principal6. ¿A qué tipo de interés dejaría entonces el
prestamista su dinero?
Supongamos que usted tiene a su disposición dos alternativas de inversión
para colocar un capital de 100 euros a dos años vista7:
a) Invertir en títulos emitidos por el Estado, que se compromete a pagarle
dentro de dos años 106,09 euros:
6
Además del riesgo de incumplimiento, existen otros factores de riesgo que influyen en los tipos de
interés que serán analizados más adelante en este mismo apartado.
7
Normalmente, los ejemplos que utilizamos no hacen referencia a casos reales, sino que pretenden
conseguir cifras redondas para poder seguir con facilidad la explicación.
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b) Invertir en deuda emitida por una empresa privada bastante solvente, pero,
claro está, menos segura que el Estado, que le promete 108,16 euros:
Evidentemente, la inversión en deuda del Estado es menos rentable. En concreto, el Estado le está ofreciendo, en términos nominales (es decir, sin descontar
la inflación), una rentabilidad acumulada anual del 3 por 100 durante dos años.
En efecto, el tipo de interés nominal que iguala el valor actual de los pagos con
el valor actual de los cobros es:
100 =
106,09
(1 + iN )2
con lo cual, despejando iN, se obtiene:
iN =
106,09
− 1 = 3%
100
Operando de forma paralela con los flujos netos de caja que promete8 generar
el activo financiero9 emitido por la empresa privada:
100 =
108,16
(1 + iN )2
se llega a que la rentabilidad de dicha inversión financiera es un punto más elevada que la que ofrece la deuda del Estado:
iN =
108,16
− 1 = 4%
100
8
Y nunca mejor dicho, falta que se cumpla.
Un activo financiero es un título emitido por un agente económico que busca financiación. Dicho
título es un medio de mantener riqueza por parte de la persona que lo compra (prestamista o inversor), y
un pasivo financiero para quien lo emite y coloca en el mercado (prestatario).
9
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La diferencia de un punto entre el tipo de interés nominal con riesgo que le
promete la empresa privada (a) y el tipo de interés nominal sin riesgo que le ofrece el Estado (k) es la prima de riesgo (p) de los títulos que emite la empresa
privada expresada en términos nominales (sin descontar la inflación)10:
a=k+p
(2.9)
4% = 3% + 1%
Puede que usted le deje repetidamente su dinero a esa empresa privada y
obtenga continuamente un punto más de rentabilidad anual que los inversores más
conservadores que le prestan su dinero al Estado. Pero si un día esa empresa le
falla o se retrasa, no debe quejarse por su mala suerte. Usted ya sabía que rentaba más, por término medio, porque se trataba de un activo financiero arriesgado.
La prima de riesgo del 1 por 100 del ejemplo que acabamos de desarrollar
recoge no solamente el riesgo de incumplimiento por parte del prestatario de
su compromiso de pagar los intereses y devolver el principal, sino también cualquier otro riesgo de ese activo financiero particular respecto a los títulos emitidos
por el Estado en igual plazo, los cuales, en términos nominales, están libres de
riesgo11.
Así, otro tipo de riesgo que, en caso de existir, está incluido en la prima de
riesgo en términos nominales (p) de la expresión (2.9) es el riesgo de liquidez.
Un activo financiero es tanto más líquido cuanto más rápidamente pueda ser
convertido en efectivo sin pérdida significativa de valor. Los activos financieros
que emite el Estado (letras del Tesoro, bonos y obligaciones) son muy líquidos.
Si usted adquiere un bono del Estado12 a tres años y dentro de un mes necesita
ese dinero, puede dirigirse al mercado electrónico de renta fija de BME (Bolsas
y Mercados Españoles) con la tranquilidad de que rápidamente encontrará un
comprador que le ofrezca lo que realmente vale ese título. En cambio, en el caso
10
La prima de riesgo también puede expresarse en términos reales añadiendo pr al tipo de interés
real que aparece en la expresión (2.5):
1 + iN = (1 + ir + pr) (1 + g)
por lo que la relación entre la prima de riesgo en términos nominales y la prima de riesgo en términos
reales es:
p = pr(1 + g)
11
Estamos pensando en un país europeo solvente como, por ejemplo, España, no en algún país
sudamericano que la historia reciente ha demostrado que los activos financieros que emitía no estaban
libres del riesgo de incumplimiento.
12
Una operación de préstamo se puede dividir en un elevado número de operaciones elementales
iguales, materializadas en títulos-valores, que pueden recibir diferentes nombres: bonos, obligaciones,
letras, pagarés, etc.
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Teoría de la inversión
que haya adquirido un activo financiero emitido por una pequeña o mediana empresa, si intenta recuperar el dinero de su inversión antes del vencimiento, puede
que, aunque cotice en el mercado, no encuentre enseguida ofertas de compra en
el mercado o que éstas sean a precios anormalmente bajos, con la consiguiente
pérdida.
Por tanto, en igualdad con el resto de condiciones, un activo financiero seguro, pero poco líquido, debe ofrecer una rentabilidad superior a la que ofrecen los
títulos sin riesgo del Tesoro, para que los inversores estén dispuestos a adquirirlo,
aun cuando se tenga la completa seguridad de que el emisor (prestatario) no incumplirá su compromiso de pagar los intereses y devolver el principal.
Otra inversión financiera más arriesgada que las contempladas hasta ahora es
la compra de acciones en la Bolsa. Si usted invierte 100 euros en la Bolsa de
Madrid, o en cualquier otra Bolsa Española, y compra acciones de una determinada empresa que no reparte dividendos con la esperanza de que suban su cotización y, dentro de dos años, poderlas vender por el doble, la rentabilidad de esa
inversión, en el hipotético caso de que sus previsiones se cumplan, será del:
iN =
200
− 1 = 41, 42%
100
Sin embargo, esa rentabilidad no es cierta, no es segura13. Puede que el precio
de esas acciones no suba tanto e, incluso, puede que baje a 80 euros, con lo cual
su inversión a dos años en tales acciones le habrá generado una rentabilidad negativa (o pérdida) del:
iN =
80
− 1 = −10,56%
100
En el supuesto caso de que la rentabilidad media finalmente conseguida con
las acciones de la empresa que estamos considerando fuese del 12 por 100, la
prima de riesgo de las mismas sería de 9 puntos:
p = a − k = 12 % − 3 % = 9 %
y representa el premio o remuneración que recibe el inversor por el riesgo soportado. No obstante, el 12 por 100 no se recibe con certeza, si no nadie invertiría
13
Las acciones, por propia definición, son activos financieros de renta variable. No hay ningún
compromiso por parte de la empresa de repartir ningún dividendo fijo y, menos aún, de que su valor vaya
a subir determinado porcentaje en la Bolsa. Por tanto, la renta variable es siempre incierta, mientras que
la renta fija puede ser cierta (caso de los títulos de deuda del Estado alemán) o incierta (caso de los títulos privados con riesgo de incumplimiento).
72
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en títulos del Estado, que proporcionan sólo el 3 por 100. El 12 por 100 significa
que a veces se ganará más, a veces se ganará menos y a veces, incluso, puede
haber pérdidas. En la media de los casos es de esperar que las acciones rindan un
12 por 100.
Cada inversión financiera arriesgada tiene un tipo particular de prima de riesgo en consonancia con la variabilidad de los flujos netos de caja que se espere
percibir por dicha inversión. Por término medio, es normal que las acciones rindan
más que los títulos de renta fija privada, y estos últimos más que la renta fija del
Estado.
En resumen, detrás de un tipo de interés nominal puede haber únicamente una
tasa pura de interés (si la inflación es nula y no existe riesgo), o una tasa pura de
interés más la tasa de inflación esperada, o una tasa pura de interés más la inflación esperada más la prima de riesgo, depende de en qué contexto o escenario
económico nos hallemos. Teniendo en cuenta que la inflación es un fenómeno
omnipresente que cada Gobierno intenta reducir, pero que nunca va a eliminar
por completo en una situación económica normal, el tipo de interés nominal en
los activos financieros de renta fija emitidos por el Estado o, también, por entidades privadas totalmente solventes, recoge el tipo de interés real libre de riesgo
más la tasa de inflación prevista, mientras que en los títulos de renta variable o
en títulos de renta fija de menor calificación, es decir, emitidos por empresas no
totalmente solventes, incluye los tres parámetros mencionados.
En la práctica financiera habitual, todo el mundo habla siempre de tipos
de interés nominales, entre otras cosas porque la tasa de inflación no deja de
ser una previsión que puede resultar errónea. Así, se dice que los bonos del
Estado a 10 años rinden el 2 por 100, o que las acciones de tal empresa han
rendido un 25 por 100, o que el coste de un préstamo personal es del 8 por
100. Por tanto, de ahora en adelante, la rentabilidad efectiva anual de una
operación de inversión, o el coste efectivo anual de una operación de financiación, estará siempre expresado en términos nominales (interés real más
inflación) y omitiremos toda referencia a los subíndices N o r, ya que siempre serán tipos de interés nominales.
Hasta ahora hemos hecho referencia al riesgo de incumplimiento del prestatario, al riesgo de liquidez y al riesgo que está siempre presente en los títulos de
renta variable. Sin embargo, existen otros tipos de riesgo, por lo que, en la expresión (2.9), la prima de riesgo p incluye cualquier tipo de riesgo político, de inestabilidad social o laboral, etc. Por otra parte, k es el tipo de interés nominal sin
riesgo que, en el caso de España, es la rentabilidad que ofrecen los títulos emitidos en euros por el Tesoro.
El diferencial de tipos entre la deuda de dos Estados diferentes incluye el
diferencial de inflación entre los dos países y la prima de riesgo de la deuda de
un Estado frente al otro. Detrás de esa prima de riesgo entre Estados hay una
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Teoría de la inversión
serie de desequilibrios macroeconómicos que, claro está, condicionan el nivel que
alcanzan los tipos de interés en un país:
a) Déficit público. Cuando un Estado gasta más de lo que ingresa debe emitir deuda para financiar su exceso de gasto. Esa deuda la pueden comprar
inversores domésticos o extranjeros y debe competir con los títulos que
emiten las empresas públicas o privadas en la captación del ahorro de los
particulares. En esta situación, es evidente que el juego de la oferta y la
demanda de títulos de renta fija acabará forzando un nivel más alto de los
tipos de interés que si la situación fuese contraria y las cuentas del Estado presentasen superávit.
b) Déficit en la balanza de pagos por cuenta corriente. Cuando un país importa más de lo que exporta y otras entradas por cuenta corriente (turismo,
transferencias corrientes de otros Estados, remesas de emigrantes, etc.)
no son suficientes para cubrir el déficit comercial, está claro que los residentes en ese país pueden desinvertir activos inmobiliarios (venta de
apartamentos, de terrenos, etc., a extranjeros) o desinvertir activos mobiliarios (venta de compañías nacionales a los extranjeros), pero una de las
vías más frecuentemente utilizada para cubrir ese desfase y no agotar las
reservas de divisas será la del endeudamiento con el exterior. A medida
que se incrementa la cantidad solicitada en préstamo a los extranjeros,
mayores deberán ser las tasas de interés ofrecidas para que estos inversores extranjeros compren deuda de ese país (pública o privada) en lugar de
la de su país de residencia.
c) Crecimiento del PIB o recesión económica. En general, los tipos de interés, sobre todo los tipos a corto, bajan durante las épocas de recesión y
suben en las épocas de expansión. La causa de ello se debe a que en
épocas de boom económico, normalmente, la inflación es más alta que
en épocas de estancamiento14 y el Banco Central Europeo, entre cuyos
principales objetivos está la búsqueda de la estabilidad de precios y del
tipo de cambio, maneja o manipula, en el mejor sentido de la palabra, los
tipos a corto:
— Subiéndolos, cuando la economía está recalentada, con la finalidad
de retraer el consumo y la inversión y enfriar la economía.
— Bajándolos, cuando asoma el fantasma de la recesión, la inflación es
más baja y el paro es creciente, con la finalidad de reactivar la economía.
14
Siempre que se intenta generalizar se suele cometer errores. En la memoria del lector estarán
presentes épocas históricas no muy lejanas en que ha habido escaso crecimiento económico, incluso recesión, con tasas de inflación de dos dígitos.
74
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El valor del dinero en el tiempo
Acabamos de explicar brevemente la influencia de algunos factores macroeconómicos en los niveles que alcanzan los tipos de interés sin riesgo en un país,
niveles que, normalmente, serán más elevados en los plazo más largos.
Un último factor de riesgo sobre el cual queremos llamar la atención es la
posibilidad de futuras alzas en los tipos de interés, esto es, el riesgo de mercado
o riesgo de la tasa de interés.
Un inversor que tenga un horizonte temporal de inversión a largo plazo se
enfrenta a un riesgo añadido de subida de tipos si, por algún imprevisto, se ve
obligado a deshacer su inversión antes de tiempo. En efecto, si usted invierte su
dinero en bonos del Estado a 10 años al 2 por 100 y, transcurrido un año, desea
deshacer su posición y recuperar el monto de su inversión, si en ese momento los
tipos de interés, en activos financieros sin riesgo de parecido plazo, han subido
al 3 por 100, nadie le comprará sus bonos por el importe que usted desembolsó,
ya que los nuevos bonos que emite el Estado, al igual que otros bonos sin riesgo
ya en circulación, están ofreciendo el 3 por 100 de rentabilidad. De modo que no
tendrá más remedio que vender sus bonos con pérdida a un precio más bajo, tal
que la rentabilidad que obtenga, a dicho precio más bajo, el posible comprador
de los mismos iguale al 3 por 100 que puede conseguir con otros activos financieros de parecidas características.
En una letra del Tesoro a corto plazo, por ejemplo, a 6 meses, este riesgo no
es tan significativo, ya que, normalmente, se producirá el vencimiento de la misma antes de que usted se vea obligado a desinvertir. Incluso, llegado el caso, si
usted necesita desinvertir y los tipos a corto plazo han subido, esta pérdida no
puede ser muy elevada.
En condiciones normales15, y en parte debido a este riesgo de subida de los
tipos de interés, los títulos a largo plazo deben remunerar este mayor riesgo a
través de una prima de riesgo mayor y, en consecuencia, un tipo de interés nominal más alto.
Por tanto, en un título a largo plazo, la prima de riesgo p de la expresión (2.9),
además del riesgo de incumplimiento de pagar los intereses y devolver el principal por parte del emisor y del posible riesgo de liquidez, debe recoger también el
riesgo de subida de los tipos de interés.
La rentabilidad, en términos nominales o reales, calculada hasta ahora
de las diferentes inversiones financieras que hemos planteado, no la percibe por
completo el prestamista, ya que el Estado, a través del Impuesto sobre la Renta
de las Personas Físicas (IRPF), en el caso de particulares, o a través del Impuesto sobre Sociedades (IS), en el caso de las personas jurídicas, se queda con una
parte de la misma.
15
Entendemos por situación normal una curva tipo-plazo con pendiente positiva, aunque ello no
implica que, en ocasiones, dicha curva pueda ser plana o estar invertida, como de hecho a veces ocurre.
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Estos impuestos sobre la renta o sobre el beneficio se aplican sobre euros
nominales. De modo que un bono del Estado a 5 años, cuya rentabilidad, en términos nominales, sea del 1 por 100, si la inflación por usted soportada en su
particular cesta de la compra alcanza la cota del 2 por 100, le proporcionará una
rentabilidad real después de impuestos negativa. En efecto, en términos aproximados, si el tipo de gravamen que le aplica el Estado a las rentas de su ahorro
fuese del 20 por 100, su rentabilidad nominal después de impuestos será:
1 % − (20 % · 1 %) = 0,8 %
y, restando a esta cantidad la tasa de inflación, se obtendrá que, aproximadamente de acuerdo con la expresión (2.7), la rentabilidad real después de impuestos
será negativa:
ir = iN − g = 0,8 % − 2 % = −1,2 %
es decir, cuanto más ahorre e invierta en títulos del Estado, más pobre será.
Hemos advertido que los cálculos del ejemplo anterior son aproximados. En
términos más estrictos, se debería:
1. Haber calculado, en cada instante del tiempo, todos los cobros y todos
los pagos que ocasiona la operación de inversión, incluidos los impuestos,
que no necesariamente se pagan siempre en el momento de recibir los
intereses16.
2. Hallar el tipo de interés que iguala el valor actual de todos los cobros con
el valor actual de todos los pagos (incluidos los impuestos). Tipo de interés que será la rentabilidad nominal después de impuestos.
3. Aplicar la fórmula (2.8) y no la (2.7) para pasar de la rentabilidad nominal después de impuestos a la rentabilidad real después de impuestos.
De igual manera que a un inversor los impuestos le restan rentabilidad, al
prestatario, si se trata de una empresa o sociedad mercantil, la introducción de los
impuestos le provoca que el coste efectivo de los préstamos después de impuestos
sea menor.
En efecto, los intereses son deducibles de la base imponible del impuesto sobre
sociedades, con lo cual, si el coste efectivo de un préstamo antes de impuestos es
del 7 por 100 y el tipo impositivo del impuesto sobre sociedades para la empresa
es del 25 por 100, a ésta le cabe el consuelo de que por cada euro que paga de
16
Por ejemplo, en el IRPF, puede haber una retención a cuenta que se paga en el mismo momento
de recibir los intereses y una cuota diferencial (resto) que se paga en mayo-junio del año siguiente, al
hacer la declaración sobre la renta.
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El valor del dinero en el tiempo
intereses se ahorra 0,25 euros de impuestos, con lo cual, realmente, después de
impuestos, el coste efectivo del préstamo se reduce hasta el 5,25 por 100:
5,25 % = 7 % (1 − 25 %)
Realmente, el 5,25 por 100 acabado de calcular sigue siendo una aproximación, ya que, al igual que en una inversión financiera, se deberían seguir los tres
pasos apuntados con anterioridad.
2.4. TIPOS DE INTERÉS TRIMESTRALES, MENSUALES
Y CONTINUOS
Hasta ahora, en todos los ejemplos desarrollados, hemos trabajado con períodos anuales. Sin embargo, es probable que usted haya oído anuncios publicitarios
relativos a que puede disponer inmediatamente de un coche y pagarlo en cómodas
mensualidades. Igualmente, puede que usted o alguien de su familia esté pagando
un préstamo hipotecario con cuotas mensuales y muestre cierta preocupación
cuando vencen las mismas. ¿Cómo se calculan los tipos de interés de periodicidad
inferior al año (diarios, semanales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, etc.)?
Las instituciones financieras en general, tanto para sus operaciones activas como para las pasivas, es decir, tanto cuando prestan dinero como cuando
lo reciben de sus impositores, lo hacen fraccionando el tipo de interés nominal
anual entre el número de subperíodos de que se trate. Así, por ejemplo,
para hallar el tipo de interés mensual, dividen el tipo de interés anual entre
12; para encontrar el tipo de interés trimestral, dividen el tipo de interés anual
entre 4, etc.
El lector ya cuenta con los conocimientos suficientes para poder afirmar que
ésa no es una forma correcta de operar. En efecto, en la expresión (2.2), que
usamos en los procesos de capitalización, el tipo de interés, resultante del acuerdo entre prestatario y prestamista, se puede y debe expresar en términos nominales, ya que hemos dicho que, al ser la tasa de inflación una mera previsión, en los
contratos mercantiles rige siempre el principio nominalista y se realizan con base
al tipo de interés nominal. En definitiva, hay que devolver el nominal del préstamo y pagar el tipo de interés nominal acordado:
Cn = C0 (1 + iN)n
(2.10)
En esta expresión, hasta ahora, n siempre ha sido el número de años, con lo
cual iN era el tipo de interés nominal anual. Pero nada impide que n sean meses
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Teoría de la inversión
y que iN sea un tipo de interés mensual, o que n sean días y que iN sea un tipo de
interés diario, o que n sean horas y que iN sea el tipo de interés por hora.
Por tanto, si una persona le deja a otra 100 euros a un tipo de interés mensual
del 1 por 100, cuyos intereses y devolución del principal debe pagar el prestatario
de una sola vez dentro de un año, alguien podría pensar que el tipo de interés
anual es el tipo de interés mensual multiplicado por 12, por lo que la persona que
pide el préstamo deberá pagar al prestamista al final del año 112 euros. Sin embargo, de acuerdo con la expresión (2.10), como ahora los intervalos de tiempo
son mensuales y no anuales como antes, la cantidad a pagar es de:
100(1 + 0,01)12 = 112,6825 €
En un esquema temporal, en el ejemplo que estamos manejando, el tiempo
está expresado en meses y no en años:
por lo que el tipo de interés mensual del 1 por 100 es equivalente a un tipo de
interés anual del 12,6825 por 100. Llamando iA al tipo de interés anual e iM al
tipo de interés mensual, debe cumplirse que:
1 + iA = (1 + iM)12
(2.11)
Así, el tipo de interés mensual equivalente a un tipo de interés anual, iA = 12
por 100, no es iM = iA / 12 = 1 por 100, sino que, aplicando (2.11):
1 + 0,12 = (1 + iM)12
Despejando iM, tenemos:
iM = (1 + 0,12)1/12 − 1 = 0,948879%
Puesto que las instituciones financieras siguen operando como habitualmente
siempre lo han hecho, si se pide un préstamo personal a un banco a un tipo de
interés nominal anual del 8 por 100, a pagar en cuotas trimestrales constantes
durante 3 años, el banco calculará el tipo de interés trimestral dividiendo el anual
entre 4. Es decir, que aplicará de todos modos un tipo de interés trimestral efec78
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El valor del dinero en el tiempo
tivo del 2 por 100, pero entonces está obligado por ley17 a informar sobre la TAE
(Tasa Anual Equivalente) de esa operación para que el consumidor o empresario
sepa a qué atenerse. En caso de no existir ningún corretaje ni comisión, la TAE
de nuestro ejemplo es18:
iA = (1 + 0,02)4 − 1 = 8,2432 %
En general, si llamamos j al tipo de interés nominal anual por usted acordado
en el contrato de préstamo con su entidad financiera y m al número de veces en
que se ha fraccionado el año para hacerle los pagos más «cómodos» (por ejemplo,
si los pagos al banco son mensuales, entonces m será igual a 12), los usos comerciales de las entidades financieras llevarán a que —sin tener en cuenta de momento ningún tipo de comisión o gasto— el tipo de interés anual que efectivamente usted pagará, como mínimo, será aquel que cumpla la siguiente igualdad:
j
1 + i A = ⎛1 + ⎞
⎝
m⎠
m
(2.12)
Como puede comprobar, siempre que la capitalización se haga en períodos de
tiempo inferiores al año, el tipo de interés efectivo anual (iA) es mayor que el tipo
de interés nominal anual ( j). De ahí que las entidades financieras, cuando se
trata de ofrecer préstamos, normalmente resalten en su publicidad el tipo de interés nominal anual ( j), mientras que cuando muestran las bondades de sus supercuentas o de sus superdepósitos, sistemáticamente se refieren a la TAE.
Si se incluyen todo tipo de comisiones y gastos en el momento de calcular el
coste efectivo anual, el tipo de interés efectivamente soportado por el prestatario
en una fracción de año, 1 / m, no será j / m, sino mayor, y será el resultado de un
proceso de prueba y error cuya rutina de cálculo está mecanizada en la hoja de
cálculo Excel a través de la función TIR19. Llamando im a ese tipo de interés efec17
Orden Ministerial de 12 de diciembre de 1989 y Circular 5/2012, de 27 de junio, del Banco de
España. De todos modos, tenga presente que la TAE figura en el contrato separadamente sólo a efectos
informativos, pero lo que realmente se acuerda y firma es el tipo de interés nominal.
18
Aunque de momento, para simplificar la exposición, utilicemos los términos TAE y coste efectivo
anual como sinónimos, no son conceptos idénticos. La TAE se calcula de acuerdo con las circulares del
Banco de España y, si bien, a veces, puede que se aproxime bastante al coste efectivo anual soportado
por el prestamista, no tiene por qué coincidir con el mismo, pues, como antes ya se apuntó en otra nota
al pie de página, normalmente existen costes que usted soporta, pero que el banco no ingresa, como los
honorarios de notarios, gastos de correo, etc., y, de acuerdo con dichas circulares, la TAE no los tiene en
cuenta, ya que realmente mide la rentabilidad de la operación financiera para la entidad financiera y no
el coste efectivo para el prestatario.
19
En el capítulo 5, cuando se desarrolle el concepto de la TIR (Tasa Interna de Rentabilidad), se
explicará dicho proceso iterativo de aproximación sucesiva a la rentabilidad efectiva (si se trata de una
operación de inversión) o al coste efectivo (si se trata de una operación de financiación).
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tivo por período hallado mediante dicho proceso iterativo, para calcular el coste
efectivo anual soportado realmente por el prestatario no hay más que sustituir j / m
de la expresión (2.12) por im:
1 + iA = (1 + im )m
(2.13)
Volviendo a la expresión (2.12), nada impide que el año se divida en un número elevado de partes. Por ejemplo, si m es igual a 8.760, entonces j / 8.760 será
el tipo de interés que efectivamente se aplicará en una hora, y si m es igual a
525.600, estaremos hablando del interés por minuto. En consecuencia, cuando se
hace tender m a infinito, se puede hablar del tipo de interés en un instante de
tiempo infinitesimal, con lo cual, tomando límites en el segundo miembro de la
expresión (2.12), tendríamos:
m
m
j
j j
lím ⎛1 + ⎞ = lím ⎛1 + ⎞
⎝
⎠
⎝
m
m⎠
m→∞
.j
= ej
m→∞
donde e es la base de los logaritmos neperianos (e = 2,71828), con lo que la expresión (2.12) quedará finalmente como sigue:
1 + iA = e j
(2.14)
Por tanto, si usted está interesado en saber cuál es el tipo de interés nominal
anual que capitalizado en infinitésimos de tiempo acaba proporcionando un interés efectivo anual del 10 por 100, tomando logaritmos neperianos en (2.14), encontrará que es del 9,5310 por 100:
j = ln (1 + iA) = ln (1 + 0,1) = 9,5310 %
ya que:
1 + 0,1 = e0,095310
2.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Un banco le ofrece a un cliente cuatro posibilidades distintas de amortización
para un préstamo de 100 unidades monetarias a devolver en cuatro años:
80
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a) Préstamo de tipo americano:
b) Préstamo de tipo francés:
c) Préstamo de tipo alemán:
d) Préstamo cupón cero:
Según el banco, el tipo de interés nominal aplicado es el 10 por 100 y no le
va a cargar ningún tipo de comisión o gasto por su parte.
Se pide:
Calcular la TAE de esos cuatro préstamos y comprobar si coincide con el tipo
de interés nominal aplicado por el banco.
SOLUCIÓN
La TAE, o coste de un préstamo sin tener en cuenta corretajes, comisiones o
gastos correspondientes a entidades o intermediarios diferentes del propio banco,
será aquel tipo de interés que iguala el valor actual de los cobros (que en este
ejercicio es siempre 100 unidades monetarias recibidas por el cliente del banco
en el momento presente y, por tanto, ya actualizadas) con el valor actual de todos
los pagos realizados por el cliente a su banco.
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a) En el caso del préstamo de tipo americano, que en cada uno de los años
de duración del mismo únicamente paga intereses, y se amortiza o devuelve de
golpe al final, la TAE (rA) se obtendrá a partir de la siguiente ecuación:
100 =
10
10
10
110
+
+
+
1 + rA (1 + rA )2 (1 + rA )3 (1 + rA )4
En general, tal como se explicará en el capítulo quinto, la forma de calcular rA
es por el método de prueba y error o de aproximaciones sucesivas. Probando con
tasa de actualización o descuento del 10 por 100 en la expresión anterior, se comprueba que efectivamente la TAE del préstamo americano es del 10 por 100:
100 =
10
10
10
110
+
+
+
= 100
2
3
1 + 10 % (1 + 10 %)
(1 + 10 %)
(1 + 10 %)4
b) En el préstamo de tipo francés, la anualidad que paga el cliente a su banco es siempre la misma y con ella hace frente al pago de la cuota de interés de
cada año (decreciente) y a la cuota anual de amortización (creciente), siendo la
suma de ambas, como se acaba de decir, constante. La TAE de dicho préstamo (rB)
será, como antes, la tasa de actualización que iguala el valor actual de lo que recibe el cliente de su banco con el valor actual de lo que paga anualmente al mismo:
100 =
31,5470804 31,5470804 31,5470804 31,5470804
+
+
+
1 + rB
(1 + rB)2
(1 + rB)3
(1 + rB)4
Volviendo a utilizar el 10 por 100 como tasa de descuento, se puede verificar
que efectivamente ésa es la TAE de este préstamo francés:
100 =
31,5470804 31,5470804 31,5470804 31,5470804
+
+
+
= 100
1 + 10 %
(1 + 10 %)2
(1 + 10 %)3
(1 + 10 %)4
c) En el préstamo de tipo alemán, el cliente devuelve al banco todos los años
la misma cantidad de dinero (cuota de amortización constante), pagando además
los intereses correspondientes a la deuda pendiente a comienzos de cada año
(cuota de interés decreciente, al ser la deuda viva cada vez más baja). Como en
los dos casos anteriores, la TAE del préstamo alemán (rC) será aquel tipo de interés que iguala el valor actual de las corrientes monetarias de la operación de
préstamo:
100 =
82
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32,5
27,5
35
30
+
+
+
2
3
1 + rC (1 + rC )
(1 + rC )
(1 + rC )4
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El valor del dinero en el tiempo
Y utilizando como tasa de descuento el 10 por 100, se obtiene:
100 =
32,5
27,5
35
30
+
+
+
= 100
2
3
1 + 10 % (1 + 10 %)
(1 + 10 %)
(1 + 10 %)4
Por tanto, de nuevo, nos volvemos a encontrar con una TAE del 10 por 100.
d) Por último, en el préstamo cupón cero, el banco no recibe nada a lo largo de
la vida del préstamo, excepto en el vencimiento del mismo, en que su cliente le devuelve el nominal del préstamo y le paga los intereses correspondientes a los cuatro años.
100 =
146,41
0
0
0
+
+
+
1 + rD (1 + rD )2 (1 + rD )3 (1 + rD )4
Probando nuevamente con una tasa de actualización del 10 por 100 o despejando rD:
100 =
146,41
0
0
0
+
+
+
= 100
2
3
1 + 10 % (1 + 10 %)
(1 + 10 %)
(1 + 10 %)4
Nos volvemos a encontrar con una TAE del 10 por 100.
Como se ha podido verificar, dado que no hay ningún tipo de comisión ni de
gastos (del banco, correos, gestorías o notarios, etc.) y que los pagos no son de
periodicidad inferior al año, la TAE de los cuatro préstamos ha coincidido con el
tipo de interés nominal utilizado por el banco para construir los diferentes cuadros
de amortización ofertados.
En consecuencia, la TAE20 de los cuatro préstamos es siempre la misma y es
una opción del cliente que elija la forma de amortización que mejor se amolde a
sus cobros futuros previstos21.
20
En este caso, en que no se produce ningún tipo de coste o gasto (ni cargado por la entidad
financiera ni a favor de terceros que intermedien en la operación de préstamo), los flujos de cobros
y pagos del banco son los mismos que los de su cliente cambiados de signo. Es decir, lo que el
banco cobra es exactamente lo que el cliente paga, siendo la rentabilidad del banco igual a la TAE
que soporta su cliente.
21
Obviamente, el banco corre menos riesgos en el sistema alemán o en el sistema francés, ya que,
desde la primera cuota, el cliente comienza a devolver una parte de la deuda; mientras que en el préstamo
americano únicamente paga intereses antes del vencimiento, pero no se devuelve nada del principal, y en
el de cupón cero, es peor aún, se deja todo para el final. De ahí que, normalmente, los bancos oferten
préstamos de cuotas constantes. Igualmente, también con la finalidad de reducir el riesgo, a los préstamos
en la práctica no se les hace frente con anualidades, sino con mensualidades, que, además de ser más
reducidas y fáciles de pagar por parte de los clientes, permiten al banco desde el primer mes ir recuperando una parte del principal de la deuda.
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PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
84
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1.
Si, según los Presupuestos del Estado, los salarios de los funcionarios públicos van a subir un 3 por 100, sin cláusula de revisión, y la previsión de
inflación del gobierno es del 2 por 100, no hay duda de que éstos acabarán
ganando poder adquisitivo.
2.
Con un tipo de interés real sin riesgo a un año del 3 por 100 y una inflación
prevista por el Ministerio de Economía y Hacienda del 2 por 100, la rentabilidad mínima exigible a unos pagarés muy poco arriesgados de una sociedad mercantil es del 5 por 100.
3.
Restar al tipo de interés nominal la tasa de inflación prevista es la forma
correcta y rigurosa de calcular el tipo de interés real.
4.
En el mundo real, un tipo de interés real puede ser negativo.
5.
Ahorrar dinero, y colocarlo en una entidad financiera solvente o en una
letra del Tesoro, puede empobrecer en lugar de enriquecer.
6.
Si en una economía hay una fuerte deflación, es más «rentable» colocar los
ahorros en un banco a tipo de interés del −1 por 100 que adquirir una vivienda como inversión.
7.
La TAE que como mínimo soportará una persona que solicita un préstamo
al 8 por 100 de interés nominal anual a devolver en cuotas trimestrales
constantes es del 8,243216 por 100.
8.
En un préstamo hipotecario, siempre coincide la TAE comunicada por la
entidad financiera con el tipo de interés efectivo soportado por el prestatario.
9.
La TAE de un préstamo es lo que le renta el préstamo al banco, no lo que
efectivamente le cuesta el préstamo al particular o empresa.
10.
Si no hay ningún tipo de coste o gasto (ni cargado por la entidad financiera
ni a favor de terceros que intermedien en la operación de préstamo), y los
pagos son anuales, la TAE del préstamo coincide con el tipo de interés nominal y con el coste efectivo del prestatario.
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El valor del dinero en el tiempo
11.
En un préstamo que tenga diferentes gastos y comisiones en el momento
inicial, es indiferente el método de amortización elegido (francés, americano, etc.), la TAE resultará ser siempre la misma.
12.
Los tipos de interés a largo plazo son fácilmente manipulables por los gobiernos.
13.
Evidentemente, un tipo de interés mensual del 1 por 100 mensual es equivalente a un tipo de interés del 12 por 100 anual.
14.
Los bancos, en los cuadros de amortización de los préstamos que conceden
a sus clientes, para calcular un tipo de interés trimestral dividen por cuatro
el tipo de interés nominal anual.
15.
Con un tipo de interés positivo en la economía, el valor actual de una herencia consistente en una renta perpetua de 6.000 euros es infinito.
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3
La decisión de invertir
F. Blanco Ramos
M. Ferrando Bolado
3.1. Concepto de inversión.
3.2. Características financieras que definen una inversión.
3.3. Estimación de los flujos netos de caja.
3.4. Clasificación de las inversiones.
3.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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3.1. CONCEPTO DE INVERSIÓN
Muchos han sido los autores que han definido este término a lo largo del
tiempo, pero no se ha llegado a un acuerdo generalizado sobre lo que debe abarcar, es decir, sobre lo que debe entenderse por inversión. Por esta razón, creemos
necesario enunciar antes unas cuantas definiciones para, posteriormente, delimitar
lo que, a nuestro juicio, debe entenderse por inversión.
Para ello vamos a partir de una definición muy amplia proporcionada por
Massé1. Para este autor «la inversión es un acto mediante el cual se produce el
cambio de una satisfacción inmediata y cierta, a la que se renuncia, contra una
esperanza que se adquiere y de la cual el bien invertido es el soporte».
Si analizamos detenidamente esta definición, podemos extraer de ella los
elementos básicos que se tienen que dar necesariamente en el acto de invertir. En
primer lugar, se dice que es un «acto», es decir, un ejercicio de la voluntad, y
como tal sólo puede ser realizado por una persona física o jurídica.
En segundo lugar, en este acto se produce la renuncia a una satisfacción inmediata y cierta, la cual puede contemplarse en términos de desutilidad inmediata, en el caso de una persona física, o en términos de un gasto inmediato, en el
caso de una empresa. Es decir, toda inversión comporta un coste que mediremos
habitualmente en términos monetarios.
En tercer lugar, como consecuencia de esa renuncia al consumo inmediato de
una determinada cantidad de dinero, se adquiere un determinado bien, que constituye el soporte físico de la inversión.
Y, en cuarto lugar, en ese bien adquirido se fundamenta la esperanza de obtener en el futuro una utilidad mayor a la desutilidad inmediata producida (caso de
una persona) o unos ingresos superiores al gasto inmediato soportado (caso de una
1
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Massé P. (1963): p. 1.
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empresa).
En definitiva, los elementos que permiten definir un acto como inversión son:
a)
b)
c)
d)
Una persona, física o jurídica, que invierta.
Un objeto en el que se invierte.
El coste que supone la adquisición del objeto soporte de la inversión.
La esperanza de poder obtener una contrapartida futura superior al coste
del bien adquirido.
Como podemos observar, hay una íntima relación entre el acto de invertir, la
inversión y el bien soporte de la misma, en el sentido de que para que pueda darse una inversión es necesario adquirir la titularidad del bien en el cual se concreta.
Sobre la base de esta relación, y siguiendo a Suárez (2003), podemos contemplar
la inversión desde tantas perspectivas diferentes como seamos capaces de contemplar el bien que se adquiere. En concreto, podemos hablar de una perspectiva jurídica, de una perspectiva financiera y de una perspectiva económica.
Figura 3.1
Desde una perspectiva jurídica, la inversión se produce cuando una persona
física o jurídica adquiere la propiedad de un determinado bien, quedando éste
incorporado a su patrimonio. Si el bien adquirido es un producto del mercado
financiero, nos encontramos ante una inversión financiera. Por otro lado, si el
bien que constituye el soporte físico de la inversión queda afecto a una determinada actividad empresarial, estamos ante una inversión económica.
La perspectiva más amplia es la jurídica, pero a nosotros sólo nos interesa la
inversión contemplada desde una perspectiva económica. No obstante, dentro de
esta perspectiva podemos encontrar dos puntos de vista:
a) Un punto de vista estricto, según el cual el bien en el que se materializa la
inversión debe pertenecer al grupo que configura el activo fijo y tener
una aplicación concreta en el proceso productivo de la empresa y, por
90
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tanto, una vinculación a la misma durante un período a medio o largo
plazo.
Esta concepción es sustentada, entre otros, por Hosmalin2, quien considera la inversión como «la aplicación de recursos productivos a la fabricación de bienes de capital». En este mismo orden de ideas, Peumans3
afirma que «inversión es todo desembolso de recursos financieros para
adquirir bienes concretos durables o instrumentos de producción que
denominaremos bienes de equipo y que la empresa utilizará durante varios años para cumplir su objeto social».
b) Un punto de vista amplio, según el cual inversión sería cualquier desembolso efectuado por la empresa para la adquisición de elementos del activo fijo o del activo circulante. En esta línea de pensamiento, Urquijo4
indica que «la inversión en sentido amplio equivale a cualquier destino
dado a los medios financieros, y comprende tanto el pago de deudas y
gastos, y la adquisición de primeras materias, como la compra de bienes
de equipo y de instalaciones».
Nosotros adoptaremos el sentido amplio del concepto de inversión y, de acuerdo con Suárez (2003), consideraremos como tal tanto la inversión principal en
elementos de activo fijo como aquellas otras inversiones derivadas o complementarias en capital circulante que sea necesario efectuar para la correcta realización
de la inversión principal.
Al conjunto formado por la inversión principal más la inversión complementaria en capital circulante lo denominaremos proyecto de inversión5. Éste deberá
ser analizado en su globalidad, puesto que de no hacerlo así daría una imagen
equívoca e incompleta del problema debido a las íntimas relaciones que se producen entre las inversiones que lo forman.
3.2. CARACTERÍSTICAS FINANCIERAS QUE DEFINEN
UNA INVERSIÓN
Toda inversión, independientemente de su consideración en sentido amplio o
estricto y desligada de su soporte material, puede ser contemplada, tal como lo
2
Hosmalin, G. (1968): p. 53.
Peumans, H. (1967): p. 21.
4
Urquijo, J. L. (1963): p. 136.
5
A partir de ahora, al hablar de inversión, vamos a referirnos al conjunto formado por la inversión
principal más la inversión complementaria en activo circulante, y utilizaremos de forma indistinta los
términos inversión o proyecto de inversión.
3
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hace Couvreur6, como «el cambio de una cantidad presente contra la esperanza
de unos ingresos futuros». Es decir, el acto de invertir inmoviliza un conjunto de
recursos financieros durante un período más o menos largo de tiempo, esperando
que los ingresos a obtener a lo largo del mismo sean superiores a dichas inmovilizaciones de dinero.
Por esta razón, Schneider (1970) considera que toda inversión queda caracterizada desde un punto de vista financiero atendiendo a las corrientes de cobros y
de pagos que origina en la empresa. En este contexto, no hacemos referencia a
los flujos netos de caja del proyecto sin más, sino que hablamos de flujos netos
de caja incrementales; es decir, todos los flujos que se generan en la empresa
como consecuencia de la realización del proyecto de inversión:
FNC
incremental
=
FNC empresa
con el nuevo
proyecto
FNC empresa
− sin el nuevo
proyecto
De acuerdo con lo expuesto en los párrafos anteriores, podemos decir que las
características financieras de todo proyecto de inversión son cuatro:
a) La duración temporal o vida económica, que podemos considerar como
el período de tiempo durante el cual se van a estar produciendo en la
empresa movimientos de fondos como consecuencia de la realización del
proyecto de inversión.
La determinación efectiva de esta magnitud no es nada fácil. Según
Pérez-Carballo y Monge7, en todo proyecto de inversión podemos distinguir tres estimaciones temporales:
— Una vida física o vida útil, que se corresponde con el período de
tiempo durante el cual, sin grandes reparaciones, los elementos fundamentales del proyecto de inversión funcionan sin pérdidas significativas de producción, de calidad o de rendimiento.
— Una vida comercial, que puede identificarse con el tiempo durante el
cual la empresa considera serán demandados los productos o servicios
que se obtienen con el proyecto y que se ofrecen en el mercado.
— Una vida tecnológica, o período de tiempo durante el cual los activos
son tecnológicamente competitivos. La aparición de nuevas tecnologías dejarán obsoletos los activos utilizados.
6
7
92
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Couvreur, J. P. (1978): p. 15.
Pérez-Carballo, A. y Monge, F. (1987): p. 14.
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Tal y como ya hemos comentado, un proyecto de inversión puede
estar integrado por un conjunto de inversiones principales (en activo fijo)
y de inversiones complementarias o derivadas (en activo circulante). La
vida económica u horizonte temporal de un proyecto de inversión se corresponderá con la de las inversiones principales, y tendrá una duración
igual a la menor de las tres estimaciones anteriormente descritas.
Este período temporal, que denominaremos n, estará dividido en
n-subperíodos que, a efectos de una mayor comodidad en la exposición
de temas posteriores, consideraremos anuales.
b) El coste de adquisición, que denotaremos en adelante por P0, y que representa el pago efectuado para la adquisición de los elementos de activo
fijo que constituyen el soporte de la inversión principal más la inmovilización financiera que pudiera producirse como consecuencia de un incremento en el capital circulante de la empresa originado por la inversión.
Al constituir salidas de efectivo, el coste de la inversión tiene un signo
negativo.
c) Los cobros o entradas de dinero que se producen a lo largo de cada uno
de los n-subperíodos en los que se encuentra dividido el horizonte temporal del proyecto. Gráficamente, los denotaremos por Cj y les imputaremos un signo positivo. Representados en un esquema temporal, tendríamos:
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d) Los pagos o salidas de caja soportados por la empresa durante cada uno de
los n-subperíodos como consecuencia de la gestión y desarrollo del proyecto. En estos pagos no se computan los pagos consecuencia de los gastos
financieros ocasionados por los capitales invertidos en el proyecto ni la
devolución del nominal de los préstamos. Si denominamos Pj a los pagos
o salidas de caja soportados en el subperíodo j, gráficamente quedará:
Agrupando en un solo esquema temporal las corrientes de cobros y de pagos,
así como el desembolso inicial, representaremos conjuntamente las características
financieras del proyecto de inversión como sigue8:
La diferencia en un determinado subperíodo de tiempo entre las entradas
producidas y las salidas soportadas se conoce con el nombre de flujo neto de caja.
Puede tener signo positivo, cuando los cobros superan a los pagos, negativo, en
el caso contrario, o un valor nulo, cuando coinciden las cuantías de cobros y de
pagos.
Si denotamos por Fj al flujo neto de caja generado en un determinado subperíodo de tiempo j, el esquema temporal definitorio de un proyecto de inversión
será:
8
Los cobros y pagos de cada período se van generando a lo largo de su transcurso, pero nosotros, a
efectos de simplificar el análisis, asumimos por hipótesis que se obtienen al final del mismo; es decir,
efectuaremos una valoración pospagable.
94
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gráfico que, tal como indica Tarragó9, nos muestra el aspecto cuantitativo de una
inversión, al quedar representados en él los flujos monetarios, tanto de entrada
como de salida de dinero, que se producen en la empresa como consecuencia de
la realización de un determinado proyecto de inversión; es decir, quedan representadas las características financieras de la inversión.
En este punto es necesario hacer constar que en la representación financiera
que hacemos del proyecto de inversión utilizamos las magnitudes de cobros y de
pagos, no de ingresos y costes. El ingreso es el derecho que tiene la empresa a
percibir una determinada cantidad de dinero, mientras que el cobro es la materialización efectiva de todo o de parte de ese derecho, produciéndose como consecuencia de ello una entrada de efectivo en la caja de la empresa. El coste es una
obligación monetaria que ha contraído la empresa como consecuencia de la realización del proyecto, mientras que el cumplimiento en todo o en parte de esa
obligación lo denominamos pago, y supone una salida efectiva de dinero.
La diferencia entre los ingresos y los costes en un determinado período de
tiempo constituye el rendimiento (beneficio o pérdida) del mismo, mientras que
la diferencia en ese mismo período de tiempo entre cobros y pagos determina al
flujo neto de caja10. En suma, para la definición de las características financieras
de un proyecto de inversión interesa no tanto los ingresos y costes que su realización origina en la empresa, cuanto que la materialización efectiva de ellos en
entradas y salidas de dinero, es decir, los cobros y los pagos.
Por otro lado, resulta evidente que, en la mayoría de las ocasiones, es imposible conocer con exactitud las cuantías de los cobros y pagos que definen el
proyecto, así como el momento exacto en el que se van a producir los mismos;
es decir, existe incertidumbre en su determinación. En el desarrollo de los próximos capítulos realizaremos el análisis en un contexto de certeza y, posteriormente, en el capítulo séptimo, relajaremos estos supuestos restrictivos introduciendo
la consideración del riesgo en la valoración de las inversiones.
3.3. ESTIMACIÓN DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA
Tal como se ha explicado en el epígrafe anterior, una inversión productiva
queda definida por la corriente de cobros y pagos que se espera va a originar a lo
largo de su vida económica. Sin embargo, aunque el concepto teórico está claro,
su plasmación concreta es más complicada.
9
Tarragó, F. (1978): p. 26.
Normalmente, las empresas no prevén los flujos netos de caja antes de impuestos restando a los
cobros futuros los pagos futuros, sino que lo hacen mediante un procedimiento indirecto, tal como veremos en el epígrafe siguiente.
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En la práctica empresarial, cuando se intenta estimar los flujos netos de caja
futuros que son atribuibles en exclusiva a una determinada inversión (flujos netos
de caja incrementales), lo normal no es utilizar directamente el criterio de caja
(cobros y pagos), sino que los flujos netos de caja se estiman indirectamente a
partir de un criterio de devengo (ingresos y costes).
En efecto, si trabajamos en términos ex-post y nos limitamos, de momento, a
tratar de averiguar el flujo neto de caja que se ha originado en una empresa a lo
largo del último ejercicio, lo podemos calcular de dos formas distintas:
a) Directamente desde el libro mayor, en el que se recogen todos los cobros
y pagos que se han producido a lo largo del año (criterio de caja).
b) Indirectamente (criterio de devengo), restando al balance de la empresa
al final del ejercicio económico, después del reparto de resultados, el
balance de la empresa al inicio del mismo, lo cual daría lugar al siguiente Estado de Origen y Aplicación de Fondos (EOAF) que se muestra en
la figura 3.1.
Aplicaciones
Orígenes
Δ TES
Δ PROVE
Δ CL
Δ PMOS
Δ ST
Δ CS
Δ Af bruto
Bº ret
−Δ PROVACT
Cuota AMORT
Δ PROVPAS
Figura 3.2.
Estado de origen y aplicación de fondos del último ejercicio.
La simbología empleada es la que se detalla a continuación:
Δ: indica una variación que puede tener signo positivo o negativo.
Δ TES: variación anual de la tesorería de la empresa o flujo neto de
caja (total de cobros del ejercicio menos total de pagos del
ejercicio).
Δ TES oper: variación anual de la tesorería operativa necesaria para la
normal actividad de la empresa.
Δ TES no oper: variación anual de la tesorería no operativa o no necesaria o
excedente.
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Δ CL: variación anual de las cuentas de clientes y efectos por
cobrar.
Δ ST: variación anual de todo tipo de inventario o stock.
Δ Af bruto: variación anual del activo fijo bruto de la empresa, esto es,
el importe de las inversiones menos las desinversiones.
Δ PROVACT : variación anual de las provisiones o deterioro de elementos
de activo.
Δ PROVE: variación anual de las cuentas de proveedores y efectos por
pagar.
Δ PMOS: variación anual de los préstamos a corto y a largo plazo, así
como de cualquier otra fuente de financiación ajena con
coste explícito (que pague intereses).
Δ CS: variación anual del capital social, es decir, ampliaciones
menos disminuciones del capital social.
Bº ret: la parte del beneficio generado por la empresa a lo largo del
año que se retiene y que pasará, posteriormente, a engrosar
la partida de reservas.
Cuota AMORT: importe de las cuotas de amortización del activo fijo imputadas a costes.
Δ PROVPAS : variación anual de las provisiones de pasivo.
Teniendo en cuenta que: DEBE = HABER, y despejando la variación de tesorería, tenemos que el Flujo Neto Caja (FNC), que se ha generado en la empresa
durante el último año, es11:
Δ TES = FNC = COBROS − PAGOS =
= Bº ret + Cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT +
+ Δ CS + Δ PMOS −
− Δ Af bruto − (Δ CL + Δ ST − Δ PROVE)
De esta última expresión se puede concluir con rotundidad que el hecho de que
puedan coincidir en una empresa determinada en un año concreto el beneficio retenido (incluso el beneficio neto antes del reparto de dividendos) y el flujo neto de
caja será una pura casualidad. Lo normal, a no ser que se compensen exactamente
las variaciones positivas con las variaciones negativas que se suman al beneficio
retenido, será que ambos difieran, incluso de forma radical. Así, puede que el beneficio neto de una empresa (beneficio después de intereses e impuestos) sea positivo y que su tesorería haya disminuido (flujo neto de caja negativo), y viceversa.
11
La tesorería, al final del año de una empresa, será igual a su tesorería al comienzo del año más el
flujo neto de caja, esto es, la tesorería final será igual a la tesorería inicial más el total de cobros menos
el total de pagos.
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Por otra parte, en la identidad anterior también se puede comprobar que el
incremento de la tesorería del último ejercicio proviene, en primer lugar, de la
autofinanciación, o financiación interna, que genera la actividad de la empresa
(Bº ret + Cuota AMORT + ΔPROVPAS + ΔPROVACT), en segundo lugar de la financiación externa propia y ajena (ΔCS + ΔPMOS) y, luego, esa suma de la financiación interna y externa se ve minorada por el dinero que inmoviliza la empresa en
nuevas inversiones en activo fijo y en circulante (ΔAf bruto − (ΔCL + ΔST −
− ΔPROVE)).
Si volvemos a la identidad contable inicial:
ΔPROVE + ΔPMOS + ΔCS + Bº ret + Cuota AMORT + ΔPROVPAS =
= ΔTES + ΔCL + ΔST + ΔAfbruto − ΔPROVACT
(3.1)
se puede seguir el siguiente proceso de definiciones y cambios para llegar al resultado final de este apartado, esto es, averiguar cuál es el flujo neto de caja que
se genera en una empresa y cómo se reparte:
1. Como el beneficio retenido por la empresa es el beneficio después de
intereses e impuestos (BDIT) menos los dividendos (DIV) que reparte:
Bº ret = BDIT – DIV
desarrollando esta expresión del BDIT:
BDIT = BAIT − INT − IMP =
= BAIT − INT − t (BAIT − INT) =
= BAIT (1 − t) − INT + INT × t
se puede poner:
Bº ret = BAIT(1 − t) − INT + INT × t − DIV
2. Por otra parte, se puede desagregar la variación anual de la tesorería en
la suma de la variación anual de la tesorería operativa (ΔTES oper), necesaria para
las operaciones diarias de la empresa, más la variación anual de la tesorería no
operativa (ΔTES no oper), o no necesaria para hacer frente a los pagos derivados
de dicha actividad12:
12
Como su propio nombre indica, la tesorería no operativa se puede retirar de la empresa o reinvertir en lo que sea necesario dentro de la misma, mientras que la tesorería operativa, como es necesaria
98
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ΔTES = ΔTES oper + ΔTES no oper
3. La variación anual del capital social es la suma total de las ampliaciones
de capital menos el total de las reducciones del capital social que hayan podido
suceder:
ΔCS = AMPL CAP – DISM CAP
4. Asimismo, la variación anual de los préstamos es la suma total de los
nuevos préstamos recibidos por la empresa menos el total de las devoluciones de
préstamos que ésta ha realizado:
ΔPMOS = NUEVOS PMOS – DEV PMOS
Con lo cual, si llevamos todas estas nuevas definiciones a la identidad inicial
de que partíamos, se tiene:
ΔPROVE + (NUEVOS PMOS − DEV PMOS) + (AMPL CAP − DISM CAP) +
+[BAIT (1 − t) − INT + INT ⋅ t − DIV ] + Cuota AMORT + ΔPROVPAS =
= (ΔTesoper + ΔTesno oper ) + ΔCL + ΔST + ΔA f bruto − ΔPROVACT
Y reordenando variables:
[BAIT (1 − t) + Cuota AMORT + ΔPROVPAS + ΔPROVACT −
−ΔA f bruto − (ΔTesoper + ΔCL + ΔST − ΔPROVE)] + INT ⋅ t =
(3.2)
= (ΔTesno oper + DIV + DISM CAP − AMPL CAP) +
+ (INT + DEV PMOS − NUEVOS PMOS)
Por último, si definimos la variación en las necesidades operativas de fondos como:
ΔNOF = ΔTES oper + ΔCL + ΔST − ΔPROVE
para hacer frente a las transacciones diarias de la empresa, no se puede repartir como dividendos o reinvertir en otros activos de la empresa, es decir, está inmovilizada en la caja de la empresa para hacer frente
a los pagos que vayan venciendo.
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se puede ahora expresar la anterior identidad como sigue:
[BAIT (1 − t) + Cuota AMORT + ΔPROVPAS + ΔPROVACT −
−ΔA f bruto − ΔNOF] + INT ⋅ t =
= (ΔTesno oper + DIV + DISM CAP − AMPL CAP) +
+ (INT + DEV PMOS − NUEVOS PMOS)
donde, si llamamos:
a) Free Cash Flow (FCF), o flujo de caja libre, al flujo de caja generado
por la actividad, por el activo, de una empresa sin deudas:
FCF = BAIT (1 − t) + Cuota AMORT +
+ ΔPROVPAS + ΔPROVACT −
− ΔA f bruto − ΔNOF
b) Cash Flow de los accionistas (CFN) al flujo de caja que cobraron los
accionistas en el último año:
CFN = ΔTESno oper + DIV + DISM CAP − AMPL CAP
c) Cash Flow de la deuda (CFD) al flujo de caja que recibieron los deudores
de la empresa durante el último ejercicio económico.
CFD = INT + DEV PMOS − NUEVOS PMOS
Finalmente, teniendo en cuenta todos estos pasos intermedios, podemos simplificar la identidad de que partíamos y llegar al resultado final que buscábamos:
FCF + INT ⋅ t = CFN + CFD
(3.3)
En esta igualdad o, mejor dicho, identidad, el término de la izquierda representa el Cash Flow que genera el activo (CFA) de una empresa con una determinada estructura financiera, mientras que los sumandos de la parte derecha
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representan el reparto de dichos flujos de caja entre los accionistas y los prestamistas:
CFA = FCF + INT ⋅ t = CFN + CFD
(3.4)
Por tanto, a modo de recapitulación:
— El Free Cash Flow (FCF = BAIT [1 − t] + Cuota AMORT + Δ PROVPAS +
Δ PROVACT − Δ Af bruto − Δ NOF): es el flujo de caja después de impuestos que genera el activo de una empresa que no tenga deudas en su estructura financiera y es igual a la cuantía de su beneficio económico después
de impuestos, más cualquier tipo de coste que no haya supuesto un pago13
(amortizaciones y provisiones). A esta cantidad inicial habría que restar
luego las inversiones en activo fijo y el incremento espontáneo que se haya
dado en sus elementos de circulante (incremento de las necesidades operativas de fondos) para llegar al importe neto generado. En consecuencia,
el Cash Flow Libre (FCF) es el flujo neto de caja después de impuestos
que genera el activo total de la empresa con independencia de cómo se
financia dicho activo o, lo que es lo mismo, el flujo neto de caja operativo
después de impuestos procedente de las operaciones diarias de la empresa.
— A este Free Cash Flow (FCF) hay que sumar los ahorros fiscales (INT · t)
en una empresa endeudada para llegar así al flujo de caja que se va a repartir entre los accionistas (CFN) y los tenedores de su deuda (CFD), y que
hemos llamado flujo de caja del activo (CFA) de una empresa con una
determinada estructura financiera14. Por consiguiente, en una empresa con
deudas, los intereses no afectan al Cash Flow del Activo (CFA) directamente, puesto que, al tratarse de un flujo neto de caja antes del pago de intereses, el flujo neto que origina el activo es independiente de la estructura
financiera de la empresa; pero sí indirectamente, al minorar los intereses
la base imponible del impuesto de sociedades, con lo que el impuesto
sobre beneficios que pagará una empresa con deudas será menor al que
pagaría la misma empresa si estuviese financiada al 100 por 100 por recursos propios, quedando así más dinero para repartir.
— El Cash Flow de los accionistas (CFN = Δ TES no oper + DIV − AMPL
CAP + + DISM CAP): es el flujo de caja que recibe el conjunto de los
13
Téngase en cuenta que las cuotas de amortización de los elementos de activo fijo y las provisiones
de todo tipo se han restado de los ingresos en el momento de calcular el beneficio; pero, como no han supuesto ningún pago, posteriormente se tienen que sumar a éste si se pretende averiguar el flujo neto de caja.
14
En la práctica, todas las empresas mantienen algún nivel de deuda en la estructura financiera, por
lo que el ahorro de impuestos se lo vamos a atribuir al activo, ya que, posteriormente, ésa es la cantidad
que se acaba repartiendo entre el capital deuda y el capital acciones.
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accionistas de una empresa que no cotice en Bolsa por los dividendos
percibidos en el último año, luego de acudir a las ampliaciones de capital
que se hayan podido realizar y de considerar, por otra parte, que se han
podido beneficiar de una posterior reducción del capital, en su caso. Al
importe neto de todas estas operaciones, habrá de añadir el incremento de
tesorería no operativa que haya experimentado la empresa, ya que, aunque
no lo hayan recibido en mano, lo pueden considerar como propio al ser
los dueños de la empresa.
— El Cash Flow de la Deuda (CFD = INT + DEV PMOS − NUEVOS PMOS):
es el flujo de caja que percibe el conjunto de los prestamistas15 de una
empresa en concepto de intereses por las deudas que la empresa mantiene
con ellos y la devolución de los préstamos a su vencimiento. A esta cantidad habría que restar el dinero nuevo correspondiente a los nuevos préstamos y créditos que le puedan volver a conceder.
Una cuestión que ya ha sido tratada, y que conviene resaltar ahora de cara a
posteriores desarrollos, es que al hablar de cash flow de la deuda no hablamos de
todo el exigible de la empresa, sino únicamente de deudas o fuentes negociadas
con coste explícito (préstamos y créditos a corto y a largo plazos), con lo cual en
el pasivo no aparecen las partidas de proveedores, efectos por pagar y otras fuentes de financiación espontánea. Esto implica que tampoco figuran en el activo la
parte de tesorería, clientes, efectos por cobrar y todo tipo de stocks que se financien con deuda sin coste explícito. Esto es, en el activo solamente aparecen las
necesidades operativas de fondos y la inversión en activo fijo (véase la figura 3.3).
NETO
PATRIMONIAL
Figura 3.3.
Reparto del FNC generado por el activo.
15
Entre los recursos ajenos de la empresa, los hay que tienen un coste explícito (todo tipo de préstamos y créditos) y los hay cuyo coste explícitamente es nulo, aunque puedan tener un coste implícito
positivo pero desconocido (proveedores que no ofrecen descuentos por pronto pago, Hacienda Pública y
Seguridad Social por pagar, etc.), por lo que el cash flow de la deuda es el flujo neto de caja atribuible a
las deudas con coste explícito.
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Una empresa en funcionamiento, no de nueva creación, cuando se plantea
la decisión de acometer o no un proyecto de inversión, debería considerar al
mismo como una mini-empresa16, esto es, considerando que los nuevos activos
del proyecto de inversión se integrarán en la estructura económica de la empresa
y generarán un flujo neto de caja incremental que se sumará a los flujos netos
de caja que originen los viejos activos de la misma. Asimismo, este flujo neto de
caja incremental del proyecto de inversión también se repartirá entre los aportantes de fondos que vayan a financiar dicha inversión17.
Dado que en un proyecto de inversión no se trabaja con datos pasados (ex-post),
sino con previsiones de futuro (ex-ante), los estados contables (balances y cuentas
de resultados) con base a los cuales hay que calcular los flujos netos de caja serán
los estados financieros previsionales de la mini-empresa en cada uno de los respectivos j años de la vida económica del proyecto de inversión y, a partir de ellos,
finalmente, habrá que estimar las siguientes esperanzas matemáticas18:
a)
b)
c)
d)
E(FCFj).
E(CFA j).
E(CFD j).
E(INTj · t).
De momento, mientras no se aborde en el capítulo octavo la influencia que
sobre la rentabilidad después de impuestos tiene la estructura financiera de una
empresa, vamos a suponer que los proyectos de inversión se financian exclusivamente con recursos propios.
En este caso, como la empresa no tiene deudas, no pagará intereses y, por
supuesto, tampoco solicitará préstamos ni los tendrá que devolver, por lo que el
cash flow de la deuda será nulo y el cash flow del activo tomará el siguiente valor:
E(FCFj) = E(CFAj empr. sin deudas) =
= E(BAITj (1 − t)) + E(Cuota AMORT j ) + E(Δ PROVPASj ) + E(Δ PROVACTj) −
− E(Δ Af brutoj) − E(Δ NOFj)
16
La expresión «mini-empresa», para referirse a un proyecto de inversión, la hemos extraído de
Brealey, R. y Myers, S. (2002): p. 373.
17
En el capítulo octavo, cuando se analice la interrelación de las decisiones de inversión y financiación, veremos que el método del coste medio ponderado del capital parte del supuesto de que la empresa va a financiar los nuevos activos del proyecto de inversión con una mezcla de recursos financieros
igual a la que financia a los viejos activos, de forma que el riesgo financiero de la empresa no se verá
afectado. Éste es un supuesto bastante corriente en la práctica, puesto que las empresas suelen fijarse un
ratio de endeudamiento objetivo con el propósito de mantener su riesgo financiero dentro de unos límites
razonables.
18
Para obtener todas estas proyecciones financieras, evidentemente, se deberá partir del plan estratégico de la empresa.
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y, evidentemente, tendrá que coincidir con el cash flow que reciben los accionistas, ya que no hay préstamos y/o créditos:
E(CFA empr. sin deudasj) = E(CFNj )
Por tanto, de todo lo expuesto a lo largo de este epígrafe, debe quedar claro
que en los flujos netos de caja que genera un proyecto de inversión deben incluirse:
1. Todos los efectos, traducidos a cobros y pagos, que se deriven de la acometida del proyecto de inversión y que, en el caso de empresas ya en
funcionamiento, se van a sumar a los flujos netos de caja de los activos
ya existentes19. Así, por ejemplo, si una empresa lanza un nuevo producto similar a otros que ya fabricaba con anterioridad, a los cobros incrementales atribuibles al nuevo artículo, habrá que restar el posible descenso de las ventas de los anteriores artículos provocado por el «canibalismo»
del nuevo producto.
2. En el caso concreto de los gastos generales, sólo deben imputarse al proyecto de inversión que se está analizando la parte de los mismos que sea
una consecuencia directa de su posible aceptación, y no la consecuencia
de un determinado cuadro de reparto contable que se haya utilizado para
imputar los gastos generales a los distintos productos o servicios que
comercializa la empresa.
3. Los costes de oportunidad que impliquen la acometida de un proyecto de
inversión tampoco deben obviarse. Así, por ejemplo, si la empresa va a
levantar una segunda planta de producción en unos terrenos propios que
podría vender a otras empresas que se quieren ubicar en el polígono industrial en donde está radicada, el posible ingreso que la empresa podría
conseguir por la venta de esos terrenos de uso industrial debería imputarse al proyecto de inversión como más pagos, aunque, como los terrenos
ya los pagó en su día, ahora la construcción de la segunda planta no le va
a ocasionar una disminución de su tesorería por la compra de terrenos.
4. No se deben olvidar los incrementos de las necesidades operativas de
fondos que la nueva inversión le va a ocasionar a la empresa. Es decir, el
proyecto de inversión no sólo va a aumentar el activo fijo de la empresa
(con los pagos que ello suponga), sino que también, de forma espontánea,
va a provocar un aumento del activo circulante y del pasivo circulante de
la empresa como consecuencia de las compras y ventas que se deriven de
la actividad productiva y/o comercial atribuibles a dicho proyecto.
19
Sólo en el caso de empresas de nueva creación, el proyecto de inversión se tendrá que valorar como
un activo aislado.
104
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Al final del horizonte de planificación hay que incluir como cobros
la realización de la variación de las necesidades operativas de fondos
(Δ NOF) atribuible al proyecto de inversión, así como la realización de los
activos fijos correspondiente al proyecto de inversión. A modo de ejemplo,
la realización de las necesidades operativas de fondos de la empresa al final
del horizonte de planificación incluiría la liquidación de las cuentas de
clientes y proveedores y la venta de todo tipo de stocks correspondientes al
proyecto de inversión. Asimismo, la desinversión de los activos fijos al final
de la vida económica del proyecto de inversión debe figurar no por el valor
residual que refleje su valor neto contable, sino por el precio de venta que
realmente se estime se va a conseguir en el mercado en dicha fecha20.
En ningún caso se deben incluir en el flujo neto de caja incremental de un
proyecto de inversión:
1. Los pagos que la empresa realizó en su día por su normal actividad, por
ejemplo, de investigación y desarrollo, y que, en el caso de no ejecutarse
el proyecto de inversión, son totalmente irrecuperables (costes hundidos).
En el caso de que dichos costes hayan dado lugar a determinada patente
o derecho de explotación, al igual que en el caso comentado antes de los
terrenos propios, sí que se deberían considerar como más pagos. Pero, si
son irrecuperables, debieron cargarse directamente en su día a la cuenta
de explotación de la empresa y no considerarlos ahora como una inversión
adicional que requiere el proyecto de inversión que se está valorando.
2. Los pagos originados por los intereses y la devolución del principal de la
posible financiación ajena que la empresa vaya a utilizar para financiar
parcial o totalmente la inversión en cuestión21.
Por último, queremos llamar la atención de que normalmente trabajaremos
con flujos netos de caja expresados en términos nominales y después del impuesto sobre sociedades.
La estimación de los flujos netos de caja en unidades monetarias, no del instante inicial, sino en euros corrientes del año en que se generen, lleva aparejada,
20
Éste y otros aspectos prácticos de la estimación de los flujos netos de caja después de impuestos
que genera un proyecto de inversión pueden analizarse en Farinós, J. E. y otros (2001): cap. 3.
21
De momento, como acabamos de suponer anteriormente y también se va a hacer en el capítulo
siguiente, los proyectos de inversión se van a financiar totalmente con recursos propios, con lo cual es
imposible pagar intereses o devolver el principal por nuevos préstamos, ya que éstos no se van a solicitar.
Pero, igualmente, en el capítulo octavo en que esta posibilidad se contempla, también se demostrará que
esto no es correcto. En definitiva, el flujo neto de caja atribuible al nuevo activo, al proyecto de inversión,
se va a repartir entre los accionistas y los aportantes de nueva deuda y, como ya se ha podido comprobar
anteriormente, los intereses y la devolución del principal forman parte del flujo neto de caja de los que
aportan deuda o financiación ajena a la empresa.
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como se comprobará en temas posteriores, la utilización de tasas de descuento
nominales para referir dichos flujos netos de caja al momento presente y poder
así comprobar si el valor actual de los cobros va a superar al valor actual de los
pagos, en cuyo caso el proyecto de inversión será calificado de rentable22.
Por otra parte, la consideración de los pagos por el mayor impuesto de sociedades que una nueva inversión empresarial rentable le va a suponer a la sociedad
va a ser la causante de que la forma de financiar un proyecto de inversión afecte
a sus flujos netos de caja después de impuestos, ya que los intereses, aunque son
un servicio de la deuda y no se imputan a los flujos netos de caja del proyecto de
inversión, sí que dan lugar al pago de un menor impuesto de sociedades, con lo
cual aumentará el flujo neto de caja después de impuestos que genera el proyecto en el caso de ser financiado parcial o totalmente con deuda, si bien, como ya
también sabemos, el riesgo financiero será entonces más elevado23.
Igualmente, por idéntico motivo, el sistema de amortización de los activos
fijos que siga la empresa, al afectar a la base imponible del impuesto sobre sociedades24, también afectará al flujo neto de caja después de impuestos. Así, por
ejemplo, si una empresa sigue un sistema de amortización más acelerado, las
mayores cuotas de amortización al ser un mayor coste, pero no un mayor pago
(no originan salidas de fondos, sino todo lo contrario, se recupera en el precio de
venta la inversión en su día realizada), darán lugar a un mayor flujo neto de caja
no de forma directa, puesto que el cash flow proveniente de las operaciones de
venta de la empresa es el mismo, sino indirectamente a través del efecto impositivo en forma de menores impuestos pagados.
3.4. CLASIFICACIÓN DE LAS INVERSIONES
Muchas y diversas son las clasificaciones que se han formulado. Nosotros sólo
vamos enunciar algunas de las más habituales y que pueden considerarse como
clásicas en el tema.
Toda clasificación se hace atendiendo a un determinado punto de vista. Así,
vamos a considerar las siguientes perspectivas:
22
El tratamiento de los tipos de interés nominales y reales, en situaciones de certeza y en situaciones
de riesgo, ya se ha abordado en el capítulo anterior.
23
En el capítulo octavo, relativo a la interrelación de las decisiones de inversión y de financiación,
será desarrollada esta cuestión.
24
Tenga en cuenta que el tipo impositivo del impuesto sobre sociedades se aplica sobre el beneficio
de la empresa (ingresos del período menos gastos del período fiscalmente deducibles) y no sobre cobros
menos pagos. Por tanto, aunque todas las operaciones de compra-venta de la empresa sean al contado, la
existencia de amortizaciones y provisiones, al ser costes que no originan pagos, acabarán provocando que
en la práctica nunca coincida el flujo neto de caja con el beneficio.
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a) Según el soporte de la inversión, Causse, Chevaller y Hirsch25 distinguen
entre:
— Inversiones físicas, cuyo soporte es un activo material. Dentro de este
grupo podemos destacar inversiones en maquinaria, instalaciones,
elementos de transporte, mobiliario, stocks, etc.
— Inversiones inmateriales, cuyo soporte no es un bien físico. Un ejemplo
ilustrativo lo constituyen las patentes propiedad de la empresa. Este tipo
de inversiones presentan grandes dificultades a la hora de evaluarlas.
— Inversiones financieras, cuyo soporte lo constituyen activos del mercado financiero: acciones, obligaciones, depósitos bancarios, etc.
b) Dean26, atendiendo a la finalidad que va a tener la inversión en el seno
de la empresa, distingue:
— Inversiones de renovación o reemplazo. Su finalidad consiste en sustituir un equipo productivo viejo por otro nuevo.
— Inversiones de expansión. Su objetivo es incrementar la capacidad
productiva de la empresa a fin de poder atender una mayor demanda
del mercado.
— Inversiones en la línea de productos. Son aquellas que tienden a mejorar las características de los productos actualmente fabricados por
la empresa (inversiones de modernización), o bien a la introducción
en el mercado de nuevos productos de la misma línea (inversiones de
innovación).
— Inversiones estratégicas. El fin de este tipo de inversiones puede ser
doble; por un lado, reducir en lo posible el riesgo que soporta la empresa como consecuencia del progreso técnico y de la competencia y,
por otro lado, crear un ambiente de trabajo propicio en el que se logre
una mayor productividad.
c) Teniendo en cuenta las relaciones que pueden producirse entre un conjunto de inversiones27, se puede diferenciar entre tres tipos de inversión:
— Inversiones complementarias. Dos o más inversiones se denominan
complementarias cuando la realización de una de ellas facilita, en alguna manera, la realización de otra u otras. Si la relación que existe es
tan fuerte que el llevar a cabo una de ellas exige necesariamente la
realización de otra u otras, reciben, entonces, el nombre de acopladas.
25
Causse, Chevaller y Hirsch (1979): p. 23.
Dean, J. (1973): p. 82.
27
Véase, por ejemplo, Suárez, A. S. (2003): p. 44.
26
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— Inversiones sustitutivas. Dos o más inversiones se consideran sustitutivas cuando la realización de una de ellas dificulta, de un modo
u otro, la realización de las restantes. En el caso extremo en el que
se impida la ejecución de otra u otras inversiones se denominan excluyentes.
— Inversiones independientes. Dos o más inversiones son independientes
cuando la realización de una de ellas no condiciona, ni positiva ni
negativamente, la realización de las restantes.
d) Teniendo presente el período de permanencia de la inversión en la empresa, las inversiones se pueden agrupar en:
— Inversiones a corto plazo (Ac), que están vinculadas a la empresa
durante un período de tiempo que suele ser inferior al año.
— Inversiones a largo plazo (Af), vinculadas a la empresa durante períodos de tiempo superiores al año.
Desde una perspectiva estrictamente económica, las inversiones a
corto plazo están integradas por aquellas cuyo plazo de permanencia en
la empresa es inferior o igual al período medio de maduración de la firma,
es decir, aquellas inversiones afectas al ciclo de explotación. Las inversiones a largo plazo, o vinculadas al ciclo de capital, tienen un plazo de
permanencia en la empresa superior al período medio de maduración.
El inconveniente de utilizar el período medio de maduración para clasificar las inversiones radica en que cada empresa tiene su propio y particular período medio de maduración y, por tanto, tiene su propia y particular clasificación de las inversiones a corto y a largo plazo, la cual no
puede ser comparada con la de otra empresa, a no ser que tengan el mismo
período de maduración.
e) Por último, y para no alargar demasiado esta descripción, vamos a considerar la clasificación efectuada por Teichcroew, Robichek y Montalbano28, formulada con base al signo de los flujos netos de caja que definen
una inversión:
— Inversionesn simples.
Son aquellas que, cumpliendo la condición econ
nómica ( ∑ C j > ∑ Pj ) , presentan un único cambio de signo en su
j=0
j=0
esquema temporal.
— Inversiones no simples. Son aquellas que presentan más de un cambio
de signo en su esquema temporal.
28
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Teichcroew, D., Robichek, A. y Montalbano, M. (1965): pp. 396 y ss.
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La decisión de invertir
Esta última clasificación, como ya veremos en su momento oportuno, va a
tener una gran importancia a la hora de proceder a evaluar la rentabilidad relativa
de un proyecto de inversión.
3.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
La sociedad Muebles Jardín, S. A. desea ampliar su gama actual de productos
con la introducción en el mercado de una nueva mesa para jardín y, para ello,
debe adquirir maquinaria suplementaria valorada en 185.000 euros, cuya vida útil
es de tres años.
La capacidad productiva del nuevo equipo es de 10.000 unidades anuales y,
en cuanto a las ventas, está previsto colocar en el mercado anualmente toda la
producción. Sin embargo, dado que se trata de un producto estacional, dentro del
ejercicio económico se puede diferenciar entre la «temporada alta» (TA) y la
«temporada baja» (TB). El primer año se prevé vender el 80 por 100 de la producción en temporada alta y el resto en temporada baja. Mientras que durante los
años segundo y tercero se estima que se venderá el 85 por 100 y 90 por 100
respectivamente de la producción en temporada alta.
En el primer año, el precio de venta unitario, durante la temporada alta, se fija
en 60 euros y, fuera de ella, en 50 euros. En los dos años siguientes se piensa que
ambos precios podrán subir un 5 por 100 acumulativo anual.
En cuanto a los costes, en el primer año, los variables unitarios ascienden a
40 euros y los fijos a 60.000, con un incremento anual acumulativo para ambos
del 3 por 100.
Se dispone, además, de la siguiente información:
• El 75 por 100 de los ingresos procedentes de las ventas de la nueva mesa
se cobrarán al contado y el resto se aplazará un año.
• Por lo que respecta a los gastos, todos los gastos variables se deberán pagar
al contado; mientras que en los gastos fijos se han conseguido mejores
condiciones de pago: solamente dos tercios se pagarán al contado y el resto se pagará al año siguiente (lo cual es equivalente, suponiendo que dichos
gastos sean regulares a lo largo del año, a un plazo medio de pago de cuatro meses).
• La maquinaria necesaria para la fabricación del nuevo producto se pagará
al contado.
• Para financiar el 60 por 100 del equipo se solicitará un préstamo que devengará unos intereses anuales de 3.500 euros.
• El sistema de amortización que utiliza la empresa es el lineal, con un valor
residual aceptado por la Administración de 5.000 euros.
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• La maquinaria se espera vender en el mercado al final de su vida útil por
un importe de 6.000 euros, que se cobrará al contado.
• Se estima que no habrá que aumentar la tesorería operativa necesaria para
la normal actividad de la empresa.
• El tipo impositivo sobre sociedades al que está sujeta la empresa es del 25
por 100. El impuesto se liquidará en el ejercicio en que se devengue.
Se pide:
a) Determine los flujos netos de caja después de impuestos generados por
la inversión de forma directa (criterio de caja) y de forma indirecta (criterio de devengo).
b) ¿Cómo le afecta a los flujos netos de caja, y en consecuencia a la rentabilidad de la inversión, una gestión del circulante consistente en el aumento del plazo de pago a los proveedores y la reducción del plazo de
cobro a los clientes?
SOLUCIÓN
a) Cálculo del flujo neto de caja después de impuestos de forma directa
(criterio de caja):
De acuerdo con los datos del enunciado, las cantidades producidas y vendidas
y sus respectivos costes de producción y precios de venta son:
Año 1
Año 2
Año 3
Unidades producidas
10.000
10.000
10.000
Unidades vendidas (TA)
8.000
8.500
9.000
Unidades vendidas (TB)
2.000
1.500
1.000
Precio de venta unitario (TA)
60
63
66,15
Precio de venta unitario (TB)
50
52,5
55,125
Coste variable unitario (TA)
40
41,2
42,436
Coste variable unitario (TB)
40
41,2
42,436
Coste fijo anual
60.000
61.800
63.654
A partir de estos datos, y teniendo presentes los porcentajes de los ingresos y
gastos que se pagan al contado y a plazo, es posible determinar los cobros y pa110
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La decisión de invertir
gos antes de impuestos que va a generar el proyecto de inversión en sus cuatro
años de horizonte temporal29:
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Cobros (TA)
360.000,00
521.625,00
580.387,50
148.837,50
Cobros (TB)
75.000,00
84.062,50
61.031,25
13.781,25
− Pagos de costes variables (TA)
–320.000,00
–350.200,00
–381.924,00
0,00
− Pagos de costes variables (TB)
–80.000,00
–61.800,00
–42.436,00
0,00
− Pagos de costes fijos
–40.000,00
–61.200,00
–63.036,00
–21.218,00
Cobros totales
435.000,00
605.687,50
641.418,75
162.618,75
− Pagos totales
–440.000,00
–473.200,00
–487.396,00
–21.218,00
–5.000,00
132.487,50
154.022,75
141.400,75
= FNC antes de impuestos
Para poder estimar el flujo neto de caja después de impuestos atribuible al
proyecto de inversión es necesario calcular a continuación el impuesto de sociedades que deberá pagar la empresa en cada uno de los años del horizonte de
planificación. Como es sabido, este impuesto grava el beneficio (ingresos menos
costes) de las empresas y, en consecuencia, se deberá seguir para el cálculo del
impuesto a pagar un criterio, no de caja (cobros menos pagos) sino de devengo.
Por otra parte, hay una partida de costes, que no supone pago alguno en el momento en que se imputa a costes, que es la cuota de amortización anual del activo
fijo material utilizado. Puesto que la empresa sigue un sistema de amortización
lineal, teniendo en cuenta el precio de compra, su valor residual y los años de utilización del mismo, se puede determinar su cuota anual de amortización:
Cuota amortización =
Po − Vr 185.000 − 5.000
=
= 60.000 euros/año
n
3
Asimismo, en el tercer año del horizonte de planificación, se vende en el
mercado por 6.000 euros un activo fijo comprado por 185.000 euros, que se pagó
en su día al contado, cuya amortización acumulada es de 180.000 euros y que,
por tanto, tiene al final del tercer año un valor en libros o valor neto contable de
5.000 euros, produciéndose, en consecuencia, una plusvalía o variación patrimonial positiva de 1.000 euros.
29
Téngase en cuenta que aunque las ventas y compras atribuibles al proyecto de inversión se producen únicamente durante tres años, los aplazamientos que se dan en los cobros y pagos hacen que aparezcan cobros y pagos en el cuarto año.
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Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, los impuestos a pagar al final
de cada uno de los años30 de la inversión serán:
Año 1
Año 2
Año 3
Ingresos
580.000,00
614.250,00
650.475,00
− Gastos (sin gastos financiación y amortizaciones)
−460.000,00
−473.800,00
−488.014,00
= Resultado bruto de explotación
120.000,00
140.450,00
162.461,00
− Cuota de amortización
−60.000,00
−60.000,00
−60.000,00
− Gastos financieros anuales
−3.500,00
−3.500,00
−3.500,00
+ Variación patrimonial (+/−)
1.000,00
= Base imponible
56.500,00
76.950,00
99.961,00
Impuesto sociedades a pagar (t = 25 %)
14.125,00
19.237,50
24.990,25
Por último, a partir de los flujos netos de caja antes de impuestos, del impuesto de sociedades a pagar que se acaba de calcular y del hecho de que, al final del
año 3, la empresa va a cobrar al contado 6.000 euros por la venta de la maquinaria ya usada y amortizada, se llega a que los flujos netos de caja después de impuestos, posteriores al instante inicial, son:
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
FNC antes de impuestos
−5.000,00
132.487,50
154.022,75
141.400,75
− Pago de impuestos
−14.125,00
−19.237,00
−24.990,25
0,00
+ Valor de venta en el mercado
= FNC después de impuestos
6.000,00
–19.125,00
113.250,50
135.032,50
141.400,75
Y el diagrama temporal del proyecto de inversión quedará como sigue:
–185.000
–19.125
113.250
135.032,5
141.400,75
0
1
2
3
4 años
30
Hay que recordar que en el enunciado se hace el supuesto simplificador de que el impuesto sobre
sociedades se paga el 31 de diciembre del año en cuestión, y no en el año siguiente, como ocurre en la
realidad empresarial.
112
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b) Cálculo del flujo neto de caja después de impuestos de forma indirecta
(criterio de devengo):
Como ya se ha demostrado en el tercer epígrafe de este capítulo, el flujo neto
de caja después de impuestos de un proyecto de inversión también se puede calcular de forma indirecta (con un criterio de devengo) a partir del Free Cash Flow
añadiéndole el ahorro fiscal que producen los intereses:
FNCdi = FCF + INT · t
en donde el FCF es el flujo de caja libre que genera un proyecto de inversión en
el caso de estar financiado únicamente con recursos propios31:
FCF = BAIT (1 − t) + Cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT −
− Δ Af bruto − ΔNOF
Por tanto, a continuación vamos a ir calculando los distintos ítems del flujo
neto de caja antes de impuestos en el orden que se acaba de señalar:
1)
Cálculo del BAIT (1 − t):
Año 1
Año 2
Año 3
Ingresos
580.000,00
614.250,00
650.475,00
– Gastos (sin gastos fin. y amortiz.)
–460.000,00
–473.800,00
–488.014,00
= Resultado bruto de explotación
120.000,00
140.450,00
162.461,00
– Cuota de amortización
–60.000,00
–60.000,00
–60.000,00
– Gastos financieros (sin deudas)
0,00
0,00
0,00
+ Variación patrimonial (+/–)
0,00
0,00
1.000,00
= Base imponible (BAIT)
60.000,00
80.450,00
103.461,00
– Impuesto sociedades a pagar
–15.000,00
–20.112,50
–25.865,25
= BAIT (1 – t)
45.000,00
60.337,50
77.595,75
31
Recuerde que la variación de las necesidades operativas de fondos es igual a:
Δ NOF = Δ TES oper + Δ CL + Δ ST − Δ PROVE
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Teoría de la inversión
Observe que en la cuenta de resultados que se acaba de calcular no se han
restado los intereses porque de lo que se trata es de determinar el flujo de caja
como si la empresa y el proyecto de inversión en particular estuviesen financiados
únicamente con recursos propios.
2) Cálculo de los Δ NOF. Dado que la variación de las necesidades operativas de fondos es igual a:
Δ NOF = Δ TESoper + Δ CL + Δ ST − Δ PROVE
vamos a ir calculando uno a uno sus diferentes componentes:
— Δ de clientes (Δ CL):
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
Ventas
0
580.000,00
614.250,00
650.475,00
0
Clientes (CLt)
(25 % de las ventas se aplaza
el cobro)
0
145.000,00
153.562,50
162.618,75
0
Δ de clientes = CLt – CLt – 1
—
145.000,00
8.562,50
9.056,25
–162.618,75
Concepto
— Δ de proveedores (Δ PROVE): los costes variables se pagarán al contado,
mientras que, de los costes fijos de cada año, dos tercios se pagarán al
contado y el resto se aplazará al año siguiente.
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
Costes fijos
0
60.000
61.800
63.654
0
Proveedores (PROVEt)
(33,33 % de costes fijos se
aplaza el pago)
0
20.000
20.600
21.218
0
Δ de proveedores
= PROVEt – PROVEt – 1
—
20.000
600
618
–21.218
Concepto
114
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La decisión de invertir
— Δ de stocks (Δ ST): no existen, se vende anualmente toda la producción.
— Δ de la tesorería operativa (Δ TESoper): es nulo, ya que se estima que no
habrá que aumentar la tesorería operativa necesaria para la normal actividad de la empresa.
Si, a continuación, llevamos a una tabla resumen todas las variaciones estimadas que se producirán en las diferentes partidas de las necesidades operativas
de fondos, se tiene:
t=1
t=2
t=3
t=4
0
0
0
0
Δ CL
145.000,00
8.562,50
9.056,25
–162.618,75
Δ ST
0
0
0
0
– Δ PROVE
–20.000,00
–600,00
–618,00
21.218,00
Δ NOF
125.000,00
7.962,50
8.438,25
–141.400,75
Concepto
t=0
Δ TESoper
— INT · t, ahorros fiscales por el pago de los intereses:
t=1
t=2
t=3
INT (Intereses o gastos financieros)
3.500
3.500
3.500
INT · t (Ahorro impuestos, t = 25 %)
875
875
875
Concepto
Por último, si ahora llevamos a una tabla todos los resultados parciales que se
han ido calculando, el flujo neto de caja después de impuestos generado por el
proyecto de inversión será:
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Teoría de la inversión
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
BAIT(1 – t)
(Incluye plusvalía por venta de Af)
45.000,00
60.337,50
77.595,75
0
+ Cuota de amortización
60.000,00
60.000,00
60.000,00
0
+ Δ PROVPAS
0
0
0
0
+ Δ PROVACT
0
0
0
0
0
0
5.000,00
–125.000,00
–7.962,50
–8.438,25
141.400,75
–20.000,00
112.375,00
134.157,5
141.400,75
875
875
875
–19.125,00
113.250,00
135.032,50
Concepto
– Δ Af bruto
(La desinv. final por valor en libros:
VNC)
–185.000,00
– Δ NOF
FCF (Free Cash Flow)
–185.000,00
+ INT · t (Ahorro de imp. soc.)
= CFA(FNCd.i. empr. con deudas)
–185.000,00
141.400,75
Con lo que el diagrama temporal del proyecto de inversión quedará igual que
antes cuando, en lugar de un criterio de devengo como ahora, se siguió un criterio de caja:
–185.000
–19.125
113.250
135.032,5
141.400,75
0
1
2
3
4 años
b) Para terminar el ejercicio, en el enunciado se pregunta por la influencia
que tendría en el flujo neto de caja después de impuestos un incremento del plazo de pago de los proveedores y una disminución en el plazo de cobro a los
clientes. Tal como es fácil comprobar en la tabla última, un Δ PROVE aumentaría
el flujo neto de caja, mientras que un Δ CL disminuiría el flujo neto de caja, por
lo que la gestión que se realice en el circulante influirá claramente en la rentabilidad del proyecto de inversión.
116
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La decisión de invertir
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1.
Inversión, en sentido económico, significa formación o incremento neto del
capital productivo de una empresa.
2.
Toda inversión jurídica es una inversión económica.
3.
Nunca una inversión económica puede ser considerada inversión financiera.
4.
El horizonte temporal de una inversión coincide con el período de tiempo
en el que físicamente está en condiciones de uso.
5.
Un cambio en los gustos de los consumidores puede afectar a la duración
temporal o vida económica de un proyecto de inversión.
6.
Si todas las operaciones de compra y de venta que efectúa una empresa son
al contado, entonces el beneficio anual generado por un proyecto de inversión debe ser siempre igual al flujo neto de caja anual del mismo.
7.
En una empresa, en general, el beneficio retenido de un determinado ejercicio económico no coincide con el total de cobros recibidos menos el total
de pagos realizados en el mismo.
8.
Como las cuotas de amortización del activo fijo son costes que no suponen
pagos, el sistema de amortización que siga la empresa no afecta a los flujos
netos de caja después de impuestos generados por el proyecto de inversión.
9.
Si se estiman los flujos netos de caja después de impuestos siguiendo un
criterio de caja (esto es, cobros menos pagos), al final del horizonte de
planificación debe sumarse la desinversión del activo fijo por su valor en
libros o valor neto contable.
10.
En una empresa endeudada, el cash flow de la deuda más el cash flow de
los accionistas es igual al free cash flow.
11.
En la expresión del free cash flow (flujo de caja libre), los incrementos de
provisiones, tanto de pasivo como de activo, aunque son gastos del ejercicio,
no obstante, suponen orígenes o entradas de fondos.
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Teoría de la inversión
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12.
Los pagos de los intereses derivados de los préstamos que se vayan a solicitar para financiar una nueva inversión deben restarse directamente a la
hora de calcular los flujos netos de caja de un proyecto de inversión.
13.
Si una empresa solicita un préstamo para financiar total o parcialmente el
desembolso inicial de un proyecto de inversión, la devolución posterior de
dicho préstamo minorará los flujos netos de caja futuros de dicho proyecto
de inversión.
14.
Cuando una empresa sustituye un equipo viejo, al final de su vida, por otro
nuevo equivalente, está realizando una inversión de expansión, ya que se
incrementa su capacidad de producción.
15.
Las inversiones de renovación y de modernización se pueden dar de forma
conjunta.
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PARTE SEGUNDA
Selección de inversiones
productivas con certeza
y sin apalancamiento
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4
El valor actual neto:
fundamentos teóricos y coste
de oportunidad del capital
F. Blanco Ramos
M. Ferrando Bolado
4.1. Consideraciones generales.
4.2. Los mercados financieros y el ajuste de las pautas de consumoinversión.
4.3. Existencia de oportunidades de inversión productiva e incremento de la riqueza del inversor: el teorema de la separación de
Fisher.
4.4. El criterio del Valor Actual Neto (VAN).
4.5. El coste de oportunidad del capital: primeras consideraciones.
4.6. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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4.1. CONSIDERACIONES GENERALES
La Moderna Teoría Financiera propugna, entre otras cosas, la asignación eficiente de los recursos financieros de la empresa en aquellos elementos de activo
que sean necesarios para la realización de la actividad productiva, a fin de contribuir, desde una perspectiva financiera, a la consecución del objetivo general a
largo plazo de la empresa: maximizar su valor de mercado o, lo que es también
equivalente, elevar al máximo la riqueza de sus accionistas.
Para conseguir esta meta es necesario valorar todas y cada una de las múltiples
posibilidades de inversión que se le presentan a la empresa en un momento determinado de tiempo. Según Tarragó1, las razones que motivan la necesidad de proceder a una evaluación de los proyectos de inversión son fundamentalmente de
dos tipos:
1.
La existencia de limitaciones técnicas de incompatibilidad o de exclusión
entre los proyectos.
2. La existencia de restricciones financieras que imposibiliten la realización
de todos aquellos proyectos valorados como rentables2.
La valoración de un proyecto se debe realizar a partir de la información disponible respecto al mismo, que, como mínimo, debe ser suficiente para concretar
1
Tarragó, F. (1978): p. 32.
En este capítulo y el siguiente consideraremos únicamente el problema de la elección de proyectos
independientes en un contexto de recursos financieros ilimitados.
2
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Teoría de la inversión
las características financieras que lo definen. En suma, la información básica que
hemos de manejar es la referente a:
— El desembolso inicial o coste de la inversión (P0).
— Los flujos netos de caja de cada período (Fj).
— La duración temporal o vida económica del proyecto de inversión (n).
— La tasa de actualización de los flujos netos de caja a lo largo de la vida
del proyecto (k)3.
Con el fin de tener una idea más clara de la bondad que supone para la empresa la realización de una determinada inversión es conveniente sintetizar toda
la información anterior en una magnitud que exprese la contribución del proyecto a la consecución del objetivo empresarial en su ámbito financiero, reflejando
así la conveniencia que para la empresa supone la realización o no del mencionado proyecto.
En el caso de una empresa que cotiza en Bolsa resulta evidente que la riqueza de los accionistas viene determinada por el valor de cotización de sus acciones,
el cual está a su vez condicionado por las expectativas que los inversionistas
mantengan sobre el futuro reparto de dividendos en la empresa.
La realización de un proyecto de inversión rentable produce un incremento de
los beneficios empresariales y, por tanto, aumenta la posibilidad de repartir mayores dividendos. Esta posibilidad hará mantener a los accionistas unas buenas
expectativas respecto a un futuro reparto de dividendos, lo que tendrá su traducción en el mercado en forma de incremento del valor de cotización de las acciones y, en definitiva, del valor de mercado de la empresa.
Como se va a probar en el epígrafe tercero de este capítulo, existe una íntima
relación entre el objetivo financiero de la empresa y la realización de proyectos
de inversión rentables, por lo que, en la mayoría de las ocasiones, se suele utilizar
la rentabilidad como magnitud para medir la bondad o no de un proyecto de inversión.
En este intento de determinar el mejor empleo posible de los recursos financieros, la Moderna Teoría Financiera ha elaborado un conjunto de modelos matemáticos que pueden ser usados por el empresario a la hora de valorar y seleccionar proyectos de inversión.
Tomando la rentabilidad como medida de la evaluación de las inversiones, y
siguiendo a Teichroew, Robichek y Montalbano (1965), podemos clasificar los
diferentes modelos elaborados en dos grandes grupos:
3
Como se verá más adelante, la tasa de descuento de los flujos netos de caja es un factor externo al
proyecto, pero imprescindible para su valoración.
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
a) Modelos estáticos. Son aquellos que imputan idéntico valor a todas y cada
una de las unidades monetarias generadas por el proyecto con independencia del momento del tiempo en el que se generan; es decir, consideran
homogéneas las unidades monetarias percibidas en momentos del tiempo
diferentes. Esta circunstancia se va a traducir en la práctica en considerar
a los flujos netos de caja de la inversión «como si se tratara de cantidades
de dinero percibidas en el mismo momento del tiempo»4.
Estos criterios también se conocen con el nombre de «aproximados»,
ya que, dada su condición de sistemas estáticos, no proporcionan una
medida exacta de la rentabilidad del proyecto, sino tan sólo aproximada.
Son modelos muy simplistas cuyo uso se ha extendido debido a la sencillez de sus planteamientos. El estudio de los mismos, además de ser
prolijo, de acuerdo con lo analizado en el capítulo segundo, no reviste
ningún interés desde un punto de vista teórico, ya que no aplican las reglas de la actualización o descuento5.
b) Modelos dinámicos. Estos modelos, al contrario de lo que ocurre en los
anteriores, tienen en cuenta al valorar un proyecto de inversión el momento concreto del tiempo en el que se obtienen cada una de las unidades
monetarias que conforman los flujos netos de caja que lo definen.
Los modelos dinámicos parten de un planteamiento mucho más realista al no considerar comparables cantidades de dinero obtenidas en
instantes del tiempo diferentes. Suponen que el sujeto decisor manifestará siempre una preferencia por el dinero obtenido en el momento presente con respecto a aquel que se pueda obtener en un momento futuro; esto
es así básicamente por tres razones:
1.
El flujo neto de caja del período presente constituye una cantidad de
dinero que está disponible y, por tanto, puede ser invertida de nuevo
y obtener de ella una rentabilidad que no se conseguiría en el caso
de no poseerla en la actualidad.
2. El flujo neto de caja presente es una cantidad de dinero disponible
en el período actual y, por tanto, es una cantidad cierta, sin riesgo.
Un flujo de caja futuro representa una cantidad de dinero incierta que
la empresa espera obtener como diferencia entre los cobros y los
pagos previstos en un momento futuro de la vida de la inversión. Al
tratarse de un valor estimado y no de una cuantía cierta, puede que
4
Suárez, A. S. (2003): pp. 48-49.
Pueden estudiarse este tipo de criterios en Suárez, A. S. (2003), Tarragó, F. (1978), y Puig, J. V.
y Renau, J. J. (1981).
5
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Teoría de la inversión
éste se confirme o no en el futuro. En suma, se corre un riesgo que
no existe en el caso del dinero presente.
3. A consecuencia de la inflación, una determinada cantidad de dinero
disponible en el presente tiene mayor poder adquisitivo que la misma
cantidad disponible en un momento futuro de tiempo.
Si queremos que la evaluación proporcione una medida más precisa y más
realista de la rentabilidad del proyecto, las circunstancias apuntadas anteriormente
dan una idea de la necesidad de homogeneizar el valor de las unidades monetarias
que configuran los flujos netos de caja.
Entre los criterios dinámicos, cabe destacar los modelos: Valor Actual Neto (VAN),
Tasa Interna de Rentabilidad (TIR), Plazo de Recuperación Descontado (PRd ),
o «pay-back descontado», e Índice de Rentabilidad Descontado (IRd ). Todos estos
criterios de selección de inversiones se van a desarrollar a lo largo de este capítulo
y del siguiente.
4.2. LOS MERCADOS FINANCIEROS Y EL AJUSTE
DE LAS PAUTAS DE CONSUMO-INVERSIÓN
Los mercados financieros permiten intercambiar euros de hoy por euros futuros y, viceversa, renunciar a euros futuros a cambio de obtener más euros en el
momento presente. La primera función se consigue cuando una persona ahorra y
presta, o invierte, sus ahorros en el mercado financiero, mientras que la segunda
función se logra cuando se pide prestado con el compromiso de hacer frente al
pago de los intereses y la devolución del principal con cobros que en el futuro
espera recibir la persona o empresa que ha solicitado el préstamo.
Por otra parte, los mercados financieros, como se analizará en el próximo
epígrafe, ofrecen el estándar de comparación para la toma de decisiones de inversión en sentido económico de los individuos, las empresas y los Gobiernos. En
efecto, un empresario deberá comparar siempre la rentabilidad esperada de un
proyecto de inversión con la que podría conseguir en el mercado financiero con
un activo financiero de riesgo equivalente. De este modo, el mercado financiero
nos va a proporcionar la tasa de corte o rentabilidad mínima que el empresario
debe exigir a las inversiones productivas para ser aceptadas como rentables y
entrar a formar parte de la estructura económica de su empresa.
En este capítulo y el siguiente se van a analizar y valorar los proyectos de
inversión empresariales partiendo de una serie de supuestos muy alejados de la
realidad que luego, a partir del capítulo séptimo, se irán relajando o abandonando
de forma paulatina. Estas hipótesis son las siguientes:
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
1. Condiciones de certeza:
Vamos a suponer que el inversor conoce con certeza los flujos netos
de caja que generan las inversiones financieras y las inversiones de tipo
económico que tiene a su disposición.
2. Mercado de capitales perfecto:
En una situación de certeza y con un mercado de capitales perfecto,
todos los activos financieros son iguales, pudiendo el inversor individual
y las empresas prestar y pedir prestado sin limitación alguna al tipo de
interés vigente, k6.
Así, en un mercado de capitales perfecto y competitivo:
— Los inversores son tomadores de precios y no tienen capacidad alguna para influir de forma individual en las cotizaciones de los títulos
ni en los tipos de interés.
— La información relativa al mercado (cantidades negociadas de títulos,
precios, etc.) es libre, completa y gratuita para todos los participantes
en el mismo.
— Los costes de transacción, comisiones, etc., son nulos. Tampoco existen los impuestos ni la inflación.
— No existen barreras de entrada que impidan o dificulten la negociación de los títulos ni el acceso al mercado financiero a ningún
participante. Tampoco existen fricciones a la libre circulación de los
títulos.
3. Los proyectos de inversión son independientes, no mantienen entre sí
relación alguna de dependencia, de tal forma que la realización de uno de
ellos ni facilita ni dificulta la realización de los restantes.
4. Dichos proyectos de inversión son perfectamente divisibles, pudiendo
acometerse una inversión en su totalidad o sólo en una parte o, lo que es
lo mismo, la empresa puede invertir en un proyecto cualquier cantidad de
dinero por muy pequeña que ésta sea.
5. Sólo se tienen en cuenta las oportunidades de inversión disponibles en el
momento presente y no las que puedan aparecer en el futuro.
6. Los proyectos de inversión que pueda acometer una empresa se financian
exclusivamente con recursos propios.
6
En la realidad económico-empresarial, los tipos de interés de prestar y pedir prestado no son iguales,
si bien el alto nivel actual de competencia en los mercados lleva a que puedan acercarse bastante cuando
se refieren al mismo plazo y a un riesgo similar.
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Teoría de la inversión
7. La vida económica de los proyectos de inversión se divide en períodos
anuales, y en ellos se efectuará una valoración pospagable de los cobros
y pagos originados en su transcurso7.
8. El objetivo financiero de la empresa es el definido en el primer capítulo,
esto es, se deben adoptar aquellas decisiones de inversión y de financiación que maximizan el valor de mercado de la empresa.
9. Por último, en éste epígrafe y el siguiente, dedicados a la fundamentación
teórica del criterio del Valor Actual Neto (VAN), supondremos que el
individuo tiene un horizonte de planificación de un solo período, un año.
Evidentemente, estos supuestos definen una situación altamente idealizada
que está muy lejos de la realidad de las empresas; pero, desde una perspectiva
pedagógica, nos van a permitir, en una primera instancia, abordar, plantear, dar
solución y entender los problemas de valoración de inversiones. De modo que,
una vez comprendida la problemática de la selección de inversiones, no hay ningún impedimento para, tal como ya se ha avanzado, ir relajando paulatinamente
dichos supuestos y acercar el análisis a un contexto decisional más realista.
De acuerdo con el supuesto noveno acabado de enunciar, el horizonte temporal del inversor es de un año, y en él espera obtener las siguientes rentas:
Y0
Y1
t0
t1
siendo:
Y0: renta total percibida en el momento presente.
Y1: renta total a percibir dentro de un año.
Por otra parte, también se define:
C0: consumo en el momento presente.
C1: consumo a realizar dentro de un año.
W0: consumo máximo en el momento presente o, si se prefiere, riqueza máxima del inversor en el momento actual.
7
Evidentemente, desde un punto de vista de operatoria financiera, no hay ningún problema en utilizar
divisiones temporales diferentes a la anual, así como valoraciones de las corrientes monetarias diferentes
a la pospagable. No obstante, cuando se analizan inversiones con un horizonte de planificación de varios
años, lo normal en la práctica, a la hora de estimar los flujos netos de caja, es suponer que son pospagables y que están referidos a períodos anuales.
128
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
W1: consumo máximo dentro de un año o, también, riqueza máxima del inversor a comienzos del año próximo.
k: tipo de interés anual vigente en el mercado de capitales8.
Así, por ejemplo, si se trata de una persona cuyos ingresos, expresados en
euros, se estima con total seguridad que van a ser los que se recogen en el siguiente diagrama temporal:
50.000
55.000
0
1
Si existe un mercado de capitales y es perfecto, el individuo podrá adoptar
aquel patrón de consumo que más se adapte a sus gustos y preferencias personales. En efecto, si el tipo de interés vigente en dicho mercado es del 10 por 100,
el individuo puede ahorrar toda la renta recibida en el momento actual para aumentar así su consumo futuro al máximo posible (punto A de la figura 4.1):
W1 = C1máx = Y1 + Y0(1 + k) = 55.000 + 50.000(1 + 0,1) = 110.000 €
Recuérdese que, puesto que el tipo de interés k está expresado en términos
nominales, incluye tanto el tipo de interés real, que premia a los individuos que
posponen su consumo actual a un momento futuro, como la tasa de inflación
prevista (en nuestro caso cierta) que van a sufrir los artículos cuyo consumo futuro desea incrementar el individuo.
Igualmente, el individuo podría adoptar un patrón de consumo totalmente
opuesto al de la persona extremadamente «tacaña» que acabamos de analizar y,
por el contrario, transformarse en un «vividor», o «malgastador» si así lo prefiere el lector. En este caso, el individuo podría alcanzar como máximo, sin incurrir
en ningún riesgo de insolvencia, un consumo actual igual al reflejado en el punto E de la figura 4.1.
W0 = C0máx = Y0 +
Y1
55.000
= 50.000 +
= 50.000 + 50.000 = 100.000 €
1+ k
1 + 0,1
8
Aunque uno de los supuestos de un mercado de capitales perfecto es la ausencia de inflación, vamos
a ir relajando ya alguna de las hipótesis de partida y aceptar que la inflación existe, aunque ésta es perfectamente conocida, con lo cual el tipo de interés k estará expresado en términos nominales:
kN = [(1 + kr)(1 + g)] − 1
Mientras no se indique lo contrario con un subíndice «r» expresivo de que se trata de una tasa de interés
real, los tipos de interés estarán expresados siempre en términos nominales.
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Teoría de la inversión
Es decir, el individuo podría consumir hoy, como máximo, los 50.000 euros,
que acaba de ingresar, más un préstamo de 50.000 euros que le concedería el
banco con la garantía9 de sus ingresos ciertos futuros. La operación de préstamo
tendría, por consiguiente, el siguiente esquema temporal:
+50.000
−55.000 = −50.000(1 + 10 %)
0
1
comprendiendo los 55.000 euros tanto el principal como los intereses de un año
del préstamo solicitado.
Figura 4.1.
Pautas de consumo.
Obviamente, el individuo podría optar por «vivir al día» y gastar exactamente lo que ingresa en cada período (punto C de la figura 4.1) o también ahorrar
algo (punto B de la figura 4.1 entre los puntos A y C) o vivir algo por encima de
sus posibilidades (punto D de la figura 4.1 entre los puntos C y E).
La ecuación de la recta presupuestaria (recta de oportunidades préstamo-endeudamiento) que pasa por los puntos A y E de las figuras 4.1 o 4.2, y que refleja todas las posibles pautas de consumo que puede adoptar el individuo de nuestro ejemplo, sería10:
C1 = [Y1 + Y0(1 + k)] + [− (1 + k)]C0
9
Si bien hemos dicho que el inversor puede prestar y pedir prestadas cantidades ilimitadas de dinero al tipo de interés vigente, al tratarse de situaciones de certeza, el banco debe tener la total seguridad
de que el préstamo se va a devolver, con lo cual únicamente le podrá prestar como máximo 50.000 euros.
10
La línea es recta puesto que los inversores son tomadores de precios y no pueden influir en el tipo
de interés que rige en el mercado financiero. Recuerde que la expresión de una recta en los ejes de coordenadas (Y, X) es: Y = a + b X.
130
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
con lo que, operando, queda:
C1 = Y1 + (Y0 − C0)(1 + k)
en donde (Y0 − C0), en el caso de ser positivo, indica la cantidad de dinero que
ahorra un individuo conservador y prudente que busca incrementar su consumo
futuro, mientras que si (Y0 − C0) es negativo, indicaría la cantidad de dinero que
pide prestada con la finalidad de aumentar su consumo actual por encima de las
posibilidades que tiene a su alcance con su actual nivel de ingresos. Obsérvese
que la pendiente de la recta presupuestaria es − (1 + k), con lo que, evidentemente, también se cumple que:
W1 = W0(1 + k) = 100.000(1 + 0,1) = 110.000 €
De toda la argumentación anterior, que se ha realizado con base al sencillo
ejemplo que hemos planteado, cabe concluir que la existencia de los mercados
financieros permite a las personas eliminar la obligación de igualar su consumo
al modo como se generan sus rentas, adoptando el individuo el patrón de consumo actual y futuro que más se ajuste a sus preferencias. Por tanto, situarse en uno
u otro punto de la recta presupuestaria no aumenta la riqueza inicial del inversor,
pero sí que le permite maximizar su función de utilidad eligiendo aquella combinación de consumo actual y futuro que mejor se ajusta a sus preferencias y gustos
personales.
Figura 4.2.
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Recta presupuestaria.
131
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Teoría de la inversión
4.3. EXISTENCIA DE OPORTUNIDADES DE INVERSIÓN
PRODUCTIVA E INCREMENTO DE LA RIQUEZA
DEL INVERSOR: EL TEOREMA DE LA SEPARACIÓN
DE FISHER
La introducción de los mercados financieros, con un horizonte temporal de
un período como el planteado, permite averiguar la riqueza del inversor en el
momento presente (su consumo máximo potencial en el momento presente:
W0 = C0máx), pudiendo el individuo moverse a lo largo de la recta presupuestaria
según su mayor o menor impaciencia por consumir, o según su mayor o menor
gusto por el ahorro y su posterior colocación en el mercado de capitales a la tasa
k vigente en el mismo. De este modo, los mercados financieros permiten a los
agentes participantes en el mismo elegir aquellos patrones de consumo que maximizan sus respectivas funciones de utilidad.
Supongamos ahora que nuestro inversor tiene también a su disposición la
oportunidad de colocar sus ahorros en una inversión de tipo económico, en una
inversión empresarial, que le va a proporcionar una rentabilidad cierta del 15 por
100. Dado que hemos partido de la hipótesis de que las inversiones son perfectamente divisibles, vamos a desarrollar nuestro razonamiento hablando de una
inversión de 100 euros11 en el mercado financiero a la tasa de interés k del l0
por 100 o la inversión de la misma cantidad de dinero, pongamos por ejemplo,
en la compra de un solar para levantar un edificio de viviendas y venderlo al
contado, dentro de un año, por un precio cierto de 575 euros que, después de
descontar todos los pagos derivados de la actividad constructora, le dejan un
flujo neto de caja de 115 euros.
Gráficamente, los diagramas temporales de estas inversiones son los siguientes:
Inversión financiera
−100
110 = 100(1 + 10 %)
0
1
11
Aunque da igual que se trate de 100 miles de euros o de 100 millones de euros o de cualquier otra
cantidad. Lo que pretendemos comparar son dos inversiones de igual importe: una en el mercado financiero y otra inversión real en el sector de la construcción.
132
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
Inversión empresarial
−100
115 = 100(1 + 15 %)
0
1
Es indudable que dicha inversión para construir viviendas debe llevarla a cabo
en cualquier caso, tanto si es una persona «tacaña» como si es un «vividor», ya
que la misma le permitiría obtener el 10 por 100 de rentabilidad que le ofrece el
mercado financiero más un excedente financiero neto, expresado en euros de
dentro de un año, de 5 euros:
−100
115 = 100(1 + 10 %) + 5
1
0
12
Por tanto, sea cual sea su nivel de riqueza actual , en el caso de aceptar llevar
a cabo el proyecto de inversión empresarial que tiene a su alcance, su riqueza
futura se verá aumentada en 5 euros y, con la garantía de esos 5 euros, podría
obtener hoy en el mercado financiero la cantidad de:
5
e
= 4,54
1 + 0,1
que representa el aumento de su riqueza actual (W0 ) en el caso de que acepte
dicho proyecto de inversión y lo ejecute (véase la figura 4.3).
Precisamente, ese incremento de la riqueza actual es lo que mide el criterio
del Valor Actual Neto (VAN), que se define como la suma de los flujos netos de
caja actualizados a la tasa de interés adecuada al riesgo (en nuestro caso, adecuada a un riesgo nulo y con un horizonte temporal de un período):
VAN(k = 10 %) = −P0 +
F1
115
e
= −100 +
= 4,54
(1 + k)
1 + 0,1
Por tanto, la existencia de los mercados financieros permite encontrar siempre
el equivalente actual de un flujo de renta disponible en el futuro, con lo cual, una
vez que todos los flujos netos de caja futuros están expresados en euros del mo12
Podemos seguir trabajando con los 100 euros del apartado anterior o suponer otro nivel de riqueza
distinto. La argumentación es igual de válida, ya que la decisión a tomar no depende de la riqueza inicial
del inversor ni de sus preferencias subjetivas sobre consumo-inversión.
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Teoría de la inversión
Figura 4.3.
Introducción de una inversión real rentable.
mento actual, no hay más que sumarlos al desembolso inicial de la inversión productiva para comprobar si el proyecto de inversión da más de lo que quita en euros del
momento presente (VAN > 0), en cuyo caso se aceptaría y se llevaría a término.
Si en vez de hablar del valor actual neto, hablamos del Valor Futuro Neto
(VFN), esto es, la suma de los flujos netos de caja expresados en euros del final
del horizonte de planificación (en nuestro ejemplo, en euros del próximo año),
tendríamos que dicha suma representa el incremento de riqueza del inversor al
final del año en el caso de aceptar el proyecto de inversión:
VFN(k = 10 %) = −P0(1 + k) + F1 = −100(1 + 0,1) + 115 = 5 €
De este modo, este proyecto de inversión en sentido económico proporciona
al inversor una rentabilidad del 10 por 100 (la correspondiente al mercado financiero en inversiones de igual riesgo económico) más un excedente financiero neto
, y en euros de dentro de un año, de 5. Por
expresado en euros de hoy de 4, 54
consiguiente, el proyecto de inversión se debe aceptar siempre, sea cual sea la
mayor o menor preferencia por el consumo actual respecto al consumo futuro que
tenga el individuo y su mayor o menor riqueza actual.
Incluso en el caso de que el individuo tenga el patrón de consumo de un «vividor» y desee anticipar todo su consumo máximo potencial al momento presente,
el proyecto de inversión debe aceptarlo y limitarse a financiarlo con un préstamo
a la tasa k (10 %), ya que el coste del mismo es inferior a la rentabilidad r (15 %)
del proyecto de inversión. Es decir, puede pedir un préstamo de 100 euros y dentro
de un año deberá devolver 110. Pero como la inversión de esos 100 euros obtenidos a préstamo en el proyecto empresarial le va a proporcionar 115 euros al
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
final de dicho año, con ellos podrá devolver el principal del préstamo, pagar los
correspondientes intereses y obtener un excedente financiero neto de 5 euros en
ese instante. Gráficamente, el esquema temporal de esa doble operación, un préstamo más la correspondiente inversión empresarial de los fondos obtenidos, es el
que se muestra a continuación:
Operación de préstamo
+100
−110 = −100(1 + 10 %)
0
1
Inversión empresarial
−100
115 = 100(1 + 15 %)
0
1
Operación de préstamo más inversión empresarial
0
+5
0
1
Por otra parte, si aplicamos el criterio VAN a la inversión financiera, se puede
comprobar que el VAN de la misma es nulo:
VAN(k = 10 %) = −P0 +
F1
110
= −100 +
=0€
1 + 0,1
(1 + k)
Esto es totalmente normal, ya que la riqueza inicial del inversor no se ve alterada al invertir o dejar de invertir en el mercado financiero. Simplemente, el
agente económico que invierte en el mercado financiero sus ahorros en títulos sin
riesgo se desplaza por la recta presupuestaria hacia arriba, hacia niveles de consumo futuro más altos a cambio de consumir menos en la actualidad, pero por
ello no es más rico.
Dado que, cuando se aceptan inversiones con un valor actual neto positivo se
aumenta la riqueza del accionista, también se dice que se crea valor en la cuantía
del propio VAN. En el caso de las inversiones simples, ello ocurrirá siempre que
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Teoría de la inversión
la rentabilidad de la inversión productiva13, r, supere al coste de oportunidad del
capital, k, o tasa del mercado financiero adecuada al riesgo del proyecto de inversión. En nuestro caso, las dos inversiones, tanto la real como la financiera, están
exentas de riesgo:
r>k
15 % > 10 %
En el caso de que el valor actual neto de la inversión empresarial sea negativo, por idéntico razonamiento, se destruye valor y la riqueza del inversor, si
acomete dicho proyecto de inversión, disminuirá en la cuantía del propio VAN,
por lo que deberá rechazarse, obteniéndose una rentabilidad en el mercado financiero superior a la conseguida con dicha inversión empresarial de igual riesgo:
r<k
Resumiendo, a través de este ejemplo hemos comprobado que en el momento de analizar y valorar una inversión empresarial:
1. No es necesario conocer cuál es la riqueza inicial del inversor, ni las
rentas que espera percibir en el presente y en el futuro.
2. No es necesario saber si el inversor es un «tacaño» o un «vividor». El
valor actual neto de la inversión real es siempre el mismo, por lo que
en la toma decisiones de inversión de tipo económico no intervienen
las preferencias subjetivas sobre consumo-inversión de los agentes económicos.
3. Sólo es necesario comparar la inversión productiva con una alternativa
disponible en el mercado financiero de igual riesgo. Si la inversión real
es menos rentable que su estándar de comparación (la inversión financiera de igual riesgo), el inversor puede estar totalmente seguro de que no le
conviene realizarla, ya que su riqueza se verá reducida en tal caso.
4. Las preferencias sobre consumo-inversión sólo determinan si el inversor
debe prestar o pedir prestado, no si debe aceptar o rechazar un proyecto
de inversión empresarial.
Por tanto, si el mercado de capitales es perfecto y asumimos un comportamiento racional de los inversores, el proceso de decisión de un individuo puede
separarse en dos fases, que son independientes de la mayor o menor preferencia
13
En el próximo capítulo denominaremos TIR (Tipo o Tasa Interna de Rentabilidad, de Rendimiento o de Retorno) a dicha tasa de rentabilidad.
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
que éste muestre por el consumo actual frente al consumo futuro. Esta doble
decisión en dos etapas separadas es el Teorema de la Separación de Fisher14:
1. Decisión de inversión. El individuo debe aceptar cualquier proyecto de
inversión que tenga un VAN positivo, ya que con ello se crea valor al
superar la rentabilidad de tales inversiones productivas a la rentabilidad
que ofrecen las respectivas inversiones financieras de igual riesgo.
2. Decisión de consumo. Una vez que la riqueza actual del inversor ha aumentado en la cuantía del VAN total de todas las inversiones productivas
rentables aceptadas, éste, de acuerdo con el patrón de consumo que considere más conveniente para su persona, se mueve a lo largo de la línea
que refleja su nueva recta presupuestaria15, prestando o pidiendo prestado
a la tasa k, hasta alcanzar su patrón de consumo óptimo.
En las grandes empresas con forma de sociedad anónima se suele producir
una separación entre la propiedad (muy repartida, con presencia de grupos de
accionistas mayoritarios y muchos accionistas minoritarios) y la dirección o control (en manos de gestores profesionales, elegidos en general a propuesta de los
grandes accionistas, que tienen su propia función de utilidad). Puesto que, sea
cual sea el patrón de consumo que quieren adoptar estos miles o millones de
accionistas diferentes (todos tienen claro que los proyectos de VAN positivo aumentan su nivel de riqueza actual), no hay problema alguno en que los accionistas, mayoritarios y minoritarios, deleguen la decisión de inversión en los gestores
profesionales, ya que los mismos sólo van a recibir un mandato de los accionistas:
buscar proyectos de inversión con VAN positivo y ejecutarlos. De este modo, se
maximizará la riqueza de los accionistas que los han contratado. Después, en una
segunda fase, cada accionista, según sus preferencias y gustos personales, adoptará la decisión de consumo actual y/o consumo futuro que más utilidad le proporcione16.
14
Fisher, I. (1965): The theory of interest. Augustus M. Kelly, Publishers. Nueva York (primera
edición, 1930).
15
La recta presupuestaria inicial sólo tiene en cuenta su nivel de ingresos en el momento actual y en
el momento futuro, y la posibilidad de prestar o pedir prestado a la tasa k, mientras que la nueva recta
presupuestaria es la que resulta después de aceptar todos los proyectos de inversión empresarial con VAN
positivo y considerar entonces la posibilidad de prestar o pedir prestado a la tasa k.
16
Si el mercado de capitales no es perfecto, los tipos de interés de prestar y pedir prestado pueden
ser distintos y el teorema de la separación de Fisher, y la consiguiente delegación en gestores profesionales de la decisión de invertir, podría dejar de cumplirse si dichas tasas son muy diferentes y aparecen
conflictos de intereses. Véase Copeland, T. E. y Weston, J. F. (1992): pp. 13-15.
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Teoría de la inversión
4.4. EL CRITERIO DEL VALOR ACTUAL NETO (VAN)
En este epígrafe vamos a generalizar la definición del valor actual neto al caso
de proyectos de inversión que tengan una vida económica no de un año, como en
el epígrafe anterior, sino de n años. Así, sea un proyecto de inversión definido por
las características financieras que se explicitan a continuación:
donde:
P0: desembolso inicial o coste de la inversión.
Fj: flujo neto de caja cierto (Cj − Pj) generado por la inversión en el año j; j =
1, 2, ..., n.
n: duración temporal o vida económica de la inversión.
kj: coste de oportunidad del capital del año j o interés anual de un título del
Estado sin riesgo cupón cero17 con vencimiento al final del año j.
El valor actual neto o valor capital de dicho proyecto de inversión se define
como la suma de todos sus flujos netos de caja actualizados al momento inicial
empleando cada año el coste de oportunidad del capital que corresponda. Esto es:
VAN = −P0 +
n
Fj
F1
F2
Fn
+
+
...
+
=
−P
+
∑
0
2
n
j
(1 + k1) (1 + k2)
(1 + kn)
j = 1 (1 + k j )
(4.1)
Puesto que el flujo neto de caja de un año particular j es la diferencia entre los
cobros generados por el proyecto de inversión en dicho año y los pagos ocasio17
Por ejemplo, un título sin riesgo cupón cero con vencimiento dentro de 2 años y de nominal 100
euros podría ser:
–100
0
104,6529
0
1
2
Este título, de acuerdo con lo estudiado en el epígrafe segundo del segundo capítulo, ofrece una rentabilidad anual sin riesgo:
k2 =
104,6529
− 1 = 2,3 %
100
que sería el coste de oportunidad del capital para cantidades de dinero disponibles con certeza dentro de
2 años.
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
nados como consecuencia de la aceptación del mismo (Fj = Cj − Pj), también se
puede definir el valor capital de una inversión empresarial como la diferencia
entre el valor actualizado de la corriente de cobros y el valor actualizado de la
corriente de pagos del proyecto:
VAN =
C1
C2
Cn
+
+ ... +
−
2
(1 + k1) (1 + k2)
(1 + kn )n
⎡
P1
P2
Pn ⎤
− ⎢P0 +
=
+
+ ... +
2
(1 + k1 ) (1 + k2 )
(1 + kn )n ⎥⎦
⎣
(4.2)
n
Pj
Cj
−
∑
j
j
j = 1 (1 + k j )
j = 0 (1 + k j )
n
= ∑
Aunque la fundamentación teórica del VAN ya la hemos realizado en el epígrafe anterior para el caso de un período de tiempo, si observamos la fórmula
(4.2), de forma intuitiva se puede comprender perfectamente que si el valor actual
de los cobros supera al valor actual de los pagos, el proyecto de inversión da más
de lo que quita en euros del momento presente, por lo que deberá aceptarse al ser
su VAN positivo.
Si la Estructura Temporal de los Tipos de Interés18 (ETTI) fuese plana, la tasa
de descuento permanecerá constante a lo largo de la vida de la inversión:
k1 = k2 = ... = kn = k
y la expresión del valor actual neto dada en (4.1) se simplifica bastante, ofreciendo el aspecto habitual con el que suele aparecer en la mayoría de los libros que
tratan el tema de la selección de inversiones:
VAN = −P0 +
n
Fj
F1
F2
Fn
+
n = −P0 + ∑
2 + ... +
j
(1
+
k)
(1
+
k)
(1 + k)
j = 1 (1 + k)
(4.3)
18
El estudio de la estructura temporal de los tipos de interés desborda los objetivos que pretende
cubrir este libro y no va a ser desarrollada en el mismo. Los interesados en esta materia pueden dirigirse a Brealey, R. y Myers, S. (2002): cap. 23; Meneu, V., Navarro, E. y Barreira, M. T. (1992): cap. 2,
o Fernández Álvarez, A. I. (dir.) (1994): pp. 56-62.
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Teoría de la inversión
Por otra parte, en el caso particular en el que los flujos netos de caja del proyecto fueran además de igual cuantía período a período:
k1 = k2 = ... = kn = k
F1 = F2 = ... = Fn = F
la expresión (4.3) se transformaría en:
VAN = −P0 +
F
F
F
+
=
2 + ... +
(1 + k) n
(1 + k) (1 + k)
⎡ 1
1
1 ⎤
=
= −P0 + F ⎢
+
2 + ... +
(1
+
k) n ⎥⎦
(1
+
k)
⎣ (1 + k)
(4.4)
⎡1 − (1 + k)− n ⎤
= −P0 + F ⎢
⎥⎦ =
k
⎣
= −P0 + Fa n k
Si, además de las circunstancias anteriores, consideramos que el número de
períodos de la inversión es ilimitado:
k1 = k2 = ... = kn = k
F1 = F2 = ... = Fn = F
n→∞
la formulación analítica del valor actual neto será:
VAN = −P0 + Fa ∞ k =
⎡1 − (1 + k)− n ⎤
= −P0 + F lím ⎢
⎥⎦ =
n→∞ ⎣
k
= −P0 + F
(4.5)
1
k
Las expresiones (4.1) a (4.5) permiten calcular el valor actual neto de un proyecto de inversión en función de las circunstancias particulares que presenten sus
características financieras, proporcionando una medida de la rentabilidad absoluta
neta del proyecto. Rentabilidad absoluta porque se expresa en unidades monetarias, y neta porque en su determinación se han tenido en cuenta, además de todos
los cobros, también la totalidad de los pagos originados por el proyecto a lo largo
de su vida económica.
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
Un proyecto de inversión simple con un VAN positivo indica que la realización
del proyecto permitirá:
— Recuperar el coste de la inversión (P0).
— Obtener una rentabilidad del k por uno anual sobre el coste de la inversión.
— Y, además, generar un excedente financiero neto, en términos absolutos,
igual a la cantidad expresada por el VAN.
En este caso, tal como se ha justificado en el epígrafe anterior, la riqueza de los
accionistas de la empresa se incrementará en la cuantía del propio VAN, por lo que
deberá ejecutarse y llevarse a término.
Un proyecto que presente un VAN negativo no deberá realizarse. De hacerlo,
la empresa reduciría su riqueza al generar el proyecto un excedente financiero
neto negativo por una cantidad igual al propio VAN, lo cual está en contradicción
con su objetivo financiero.
Por último, un VAN nulo indica la existencia de un proyecto que es indiferente puesto que su realización no generará valor en la empresa, pero tampoco lo
reducirá. En este caso, en principio, se deberá rechazar el proyecto ya que, desde
una perspectiva de racionalidad económica, no tiene sentido invertir una cantidad
de dinero sabiendo que con ello no se va a incrementar la riqueza de la empresa,
sino que, en el mejor de los casos, no se modificará.
No obstante, en caso de que la empresa no encontrara otros proyectos de inversión alternativos con valores actuales netos positivos, la realización de un
proyecto con VAN(k) = 0 podría no ser necesariamente rechazado, dado que
permitiría recuperar el coste de la inversión efectuada, obtener sobre ella una
rentabilidad del k por uno anual (que posibilita remunerar el capital invertido de
acuerdo al riesgo soportado) y, aunque no generaría un excedente financiero neto
y, por tanto, un incremento en el valor de mercado de la empresa, sí le permitiría
crecer y posicionarse mejor en el mercado.
En resumen, la regla de decisión para aceptar o rechazar un proyecto de inversión
evaluado según el criterio del valor actual neto puede sintetizarse en la tabla 4.1.
TABLA 4.1
Regla de decisión del VAN
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Valor
Significado
Regla de decisión
VAN > 0
Excedente financiero neto positivo.
Aceptar el proyecto.
VAN = 0
Excedente financiero neto nulo.
Proyecto indiferente.
VAN < 0
Excedente financiero neto negativo.
Rechazar el proyecto.
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Teoría de la inversión
Dado que el objetivo financiero de la empresa es maximizar su valor de mercado, resulta evidente que, ante un conjunto de proyectos de inversión rentables y
excluyentes, siempre será preferible aquel que proporcione mayor rentabilidad
absoluta neta. Si los proyectos son independientes y perfectamente divisibles pero
hay una limitación de recursos financieros, en principio, deberá establecerse el
orden de preferencia de mayor a menor del valor actual neto.
En la valoración del proyecto realizada con las formulaciones anteriores, el
criterio VAN, dado que es un criterio dinámico, ha supuesto de forma implícita
la reinversión de los flujos netos de caja intermedios generados a lo largo de la
vida de la inversión. A efectos prácticos, tal y como se refleja en la figura 4.4,
esta consideración supone capitalizar a una tasa de reinversión tr los flujos netos
de caja del proyecto desde el momento en el que se originan hasta el momento
final de su vida económica y, posteriormente, actualizarlos al momento presente
a una tasa de descuento k.
Figura 4.4
Los flujos netos de caja o saldos de tesorería pueden ser tanto positivos como
negativos. Los flujos netos de caja positivos son cantidades de dinero que están
a disposición de la empresa en un momento determinado de la vida de la inversión
y, dado que ningún recurso productivo debe permanecer inactivo en la empresa,
serán reinvertidos en otros activos a fin de obtener de ellos una rentabilidad. Por
el contrario, los flujos de caja negativos representan cantidades de dinero que la
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
empresa debe financiar en un momento dado de la vida de la inversión y por los
que pagará un coste.
Al valorar un proyecto de inversión, los modelos dinámicos han de tener en
cuenta no sólo la homogeneización de los flujos netos de caja del proyecto, sino
también la problemática de su reinversión. Si en la formulación analítica del valor
actual neto dada por la expresión (4.3) introducimos de forma explícita la problemática de la reinversión de los flujos netos de caja reflejada en la figura 4.4, tenemos que:
VAN = −P0 +
F1 (1 + tr)n − 1 + F2 (1 + tr)n − 2 + ... + Fn − 1 (1 + tr)1 + Fn
=
(1 + k) n
Fn − 1 (1 + tr)1
F (1 + tr)n − 1 F2 (1 + tr)n − 2
Fn
+
+ ... +
+
= −P0 + 1
n
n
(1 + k)
(1 + k)
(1 + k) n
(1 + k) n
(4.6)
En el caso particular en el que la tasa de reinversión de los flujos intermedios
de caja sea igual en cuantía al coste de oportunidad del capital, es decir, tr = k, la
expresión (4.6) quedaría como sigue:
VAN = −P0 +
Fn − 1 (1 + k)1
F1 (1 + k)n − 1 F2 (1 + k)n − 2
Fn
+
+
...
+
+
(1 + k) n
(1 + k) n
(1 + k) n
(1 + k) n
(4.7)
Y simplificando en ella, tenemos:
VAN = −P0 +
F1
F2
Fn
+
2 + ... +
(1 + k) n
(1 + k) (1 + k)
que es la formulación habitual del valor actual neto dada por la ecuación (4.3).
Por tanto, el VAN, en su expresión más corriente y como tal criterio dinámico,
contempla también la reinversión de los flujos netos de caja. Pero, salvo que se
explicite lo contrario, presupone implícitamente que los flujos intermedios de caja
positivos se reinvierten en otros activos que proporcionan a la empresa una tasa de
rentabilidad igual al coste de oportunidad del capital k, mientras que los flujos
netos de caja negativos se financian con recursos que le suponen a la empresa un
coste de financiación igual a k.
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Teoría de la inversión
Esta hipótesis implícita de reinversión constituye uno de los principales inconvenientes del VAN, por dos razones fundamentalmente19:
1.
La imputación de una tasa de reinversión igual al coste de oportunidad
del capital (k) es poco realista, ya que no hay por qué suponer a priori
que los activos en los que se van a reinvertir los flujos netos de caja de
la inversión van a proporcionar una tasa de rentabilidad igual a k. Podría
ser mayor si en ese momento la empresa descubre una oportunidad de
inversión rentable.
2. El esquema de reinversión presupone que los flujos netos de caja se reinvierten en el mismo período en el que se obtienen y que permanecen inmovilizados en esos mismos activos hasta el momento final de la vida de la
inversión. Este supuesto también se aleja de la práctica habitual en la actividad empresarial debido a que su estricto cumplimiento puede llevar a la
empresa a situaciones de iliquidez si alguna de las previsiones en que se
basa la estimación de los flujos netos de caja resulta fallida.
No obstante esto, la aplicación del modelo es sencilla, ya que toda la operatoria
queda reducida a operaciones matemáticas elementales mediante las cuales se refieren a una unidad de medida común cantidades de dinero (flujos netos de caja)
obtenidas en momentos del tiempo diferentes, teniendo en cuenta de esta manera
el diferente valor que el decisor imputa al dinero dependiendo del instante del
tiempo en el que está disponible para la empresa.
4.5. EL COSTE DE OPORTUNIDAD DEL CAPITAL:
PRIMERAS CONSIDERACIONES
Para Peumans (1967), con la utilización de la tasa de descuento se pretenden
alcanzar dos finalidades diferentes: por un lado, homogeneizar los flujos netos de
caja de la inversión y, por otro lado, tener una referencia respecto a la rentabilidad
mínima que todo proyecto tiene que proporcionar a fin de no reducir el valor de
mercado de las acciones de la empresa. Esta segunda finalidad nos va a permitir
identificar, según qué casos, la tasa de descuento a utilizar.
Entre las hipótesis de partida del criterio del VAN, supusimos que el mercado
de capitales era perfecto y que los flujos netos de caja se conocían con certeza.
19
No obstante, cuando se hayan analizado en el próximo capítulo los otros criterios de selección de
inversiones, se comprobará que el VAN es el criterio generalmente aceptado, ya que, entre otras ventajas,
presenta la de cumplir el principio de la aditividad del valor cuando se valoran dos o más proyectos de
inversión:
VANA+B = VANA + VANB
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
En tal situación, la rentabilidad mínima que el inversor deberá exigir a la inversión
productiva será la que puede obtener en el mercado de capitales invirtiendo su
dinero en un activo financiero sin riesgo de similar cuantía y plazo. Es decir, con
certeza y mercados de capitales perfectos, la tasa de descuento utilizada para
homogeneizar los flujos netos de caja será el tipo de interés sin riesgo de la
Deuda del Estado en el plazo correspondiente.
Si se introduce la existencia de riesgo, y el proyecto se continúa financiando
en su totalidad con recursos propios, en el capítulo séptimo se justificará que el
coste de oportunidad en tal caso será la tasa de descuento ajustada al riesgo
económico de la inversión real que se está valorando.
Si además de la existencia de riesgo se admite que, como resulta normal en
la práctica empresarial, existe un apalancamiento financiero y las empresas
financian sus inversiones en parte con recursos ajenos y en parte con recursos
propios, en el capítulo octavo, al analizar el método del flujo de caja de los
accionistas, se probará que entonces la rentabilidad requerida por los accionistas deberá ser la correspondiente al riesgo económico y financiero que éstos
soportan.
En general, una aproximación intuitiva al coste de oportunidad del capital en
situaciones reales como las que normalmente les toca afrontar a las empresas,
esto es, con riesgo económico entre sus recursos financieros o estructura financiera, podría ser la siguiente20.
Si usted descubre una oportunidad de inversión en el mercado que, en principio, parece atractiva y la piensa financiar el 40 por 100 con recursos ajenos y el
otro 60 por 100 con recursos propios, en primer lugar, estime el coste efectivo
que le va a suponer a su empresa el recurso a la deuda. Supongamos que el coste medio ponderado de la deuda21, en caso de recurrir a ella, ascenderá a un 5 por
100. A continuación, pregúntese qué rentabilidad quiere obtener de los capitales
propios que vaya a invertir en el proyecto en cuestión, en lugar de colocarlos en
el mercado financiero en una alternativa de similar riesgo. Si la rentabilidad por
usted requerida fuese del 20 por 100, el coste de oportunidad que debería emplear
en el cálculo del VAN sería:
40 % 0,05 + 60 % 0,2 = 14 %
ya que, de este modo, si la rentabilidad de su inversión (antes de pagar intereses)
alcanza un 14 por 100 anual, los prestamistas podrán cobrar a lo largo del hori20
Como antes ya adelantamos, el tratamiento detallado de esta cuestión lo acometeremos en el
capítulo octavo, al analizar la interrelación de las decisiones de inversión y las decisiones de financiación.
De modo que lo que se va a argumentar seguidamente debe considerarlo como una primera aproximación
a un tema de por sí complejo y del que existen libros específicos.
21
Tenga en cuenta que puede optar por cubrir la parte correspondiente a la financiación ajena con
distintos tipos de deuda a diferentes plazos.
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Teoría de la inversión
zonte de la inversión el interés del 5 por 100 por usted acordado con ellos y,
además, obtener usted el 20 por 100 de rentabilidad sobre su inversión, que es la
tasa de corte o cota mínima que, de acuerdo con el riesgo económico y financiero que va usted a correr, había exigido.
De este análisis preliminar que acabamos de efectuar se deduce la dificultad que
existe para explicitar una adecuada tasa de descuento para los flujos de caja de la
inversión. Habitualmente, cuando el proyecto de inversión no modifica el riesgo
económico y el riesgo financiero de la empresa, suele utilizarse como tasa de
descuento el coste medio ponderado del capital de la empresa, esto es, la media
ponderada del coste efectivo de los recursos financieros que actualmente está
utilizando. Pero, al emplear esta opción hay que ser conscientes de que entonces
las decisiones de inversión de una empresa no son comparables con las de otra,
salvo que ambas, casualmente, tengan el mismo coste de capital al ser su riesgo
económico y su riesgo financiero iguales.
4.6. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Sean los proyectos de inversión A, B y C, cuyas características financieras en
miles de euros se conocen con certeza y son las que se detallan en sus respectivos
esquemas temporales a continuación:
Si el coste de oportunidad de capital es del 10 por 100 anual, determine para
los proyectos anteriores:
a) El Valor Actual Neto (VAN).
b) Responda de nuevo al apartado anterior suponiendo que la tasa de reinversión para los flujos intermedios de caja es del 15 por 100 anual y
constante.
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
SOLUCIÓN
a) El Valor Actual Neto (VAN)
El valor actual neto mide la rentabilidad absoluta neta del proyecto, expresada en unidades monetarias del momento presente.
En nuestro caso, la aplicación de este criterio nos conducirá a las siguientes
expresiones:
VAN A = −1.000 +
2.000
3.000
+
= 3.297,52 miles de €
(1 + 0,1) (1 + 0,1)2
VAN B = −6.000 +
2.000
3.000
5.000
8.000
+
+
+
=
2
3
(1 + 0,1) (1 + 0,1)
(1 + 0,1)
(1 + 0,1)4
= 7.518,20 miles de €
VANC = −9.000 + 1.500 a18 0,1 = −9.000 + 1.500
1 − (1 + 0,1)−18
=
0,1
= 3.302,12 miles de €
Puesto que sus valores actuales netos son positivos, los tres proyectos de inversión analizados son rentables. Esto supone en cada caso que generan unos
cobros operativos que permiten:
— Hacer frente a los pagos operativos.
— Recuperar el desembolso inicial de la inversión.
— Obtener una rentabilidad del 10 por 100 anual por unidad monetaria (rendimiento que podría igualmente obtener la empresa invirtiendo el dinero
en el mercado de capitales en alternativas sin riesgo de igual plazo).
— Generar un excedente financiero neto, en unidades monetarias del momento presente, igual a la cuantía expresada por el VAN, por lo que la riqueza
de los accionistas se incrementará en dicha cuantía.
b) VAN con tasa de reinversión explícita
En el apartado a) hemos supuesto que la tasa de reinversión de los flujos
netos de caja intermedios no se conocía y, por tanto, al aplicar el modelo del
valor actual neto asumimos implícitamente una tasa de reinversión igual al coste
de oportunidad del capital, k. Cuando la tasa de reinversión se conoce, hay que
introducirla explícitamente en el análisis.
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Teoría de la inversión
Así, si suponemos una tasa de reinversión para los flujos netos de caja de los
proyectos A, B y C del 15 por 100 anual y constante, los valores actuales netos
serán:
VAN A = −1.000 +
2.000(1 + 0,15) + 3.000
= 3.380,17 miles de €
(1 + 0,1)2
VAN B = −6.000 +
2.000(1 + 0,15)3 + 3.000(1 + 0,15)2 + 5.000(1 + 0,15) + 8.000
=
(1 + 0,1)4
= 8.178,85 miles de €
VANC = −9.000 +
1.500(1 + 0,15)17 + 1.500(1 + 0,15)16 + ... + 1.500(1 + 0,15) + 1.500
=
(1 + 0,1)18
= 11.459,75 miles de €
Los tres proyectos siguen siendo rentables, pero ahora la rentabilidad que
generan es superior a la obtenida en el apartado a) porque estamos considerando
la reinversión de los flujos netos de caja intermedios a una tasa del 15 por 100
superior al 10 por 100 anual que representa el coste de oportunidad del capital.
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Los criterios estáticos no evalúan con exactitud la rentabilidad de un proyecto de inversión, ya que no tienen en cuenta los diferentes vencimientos de los
flujos netos de caja.
2. Si no existen mercados financieros, y por tanto no se puede prestar ni pedir
prestado, el individuo necesariamente debe acomodar su consumo a la renta
que percibe en cada año.
3. En situaciones de certeza, con mercados de capitales perfectos y un horizonte temporal de un período, las diferentes pautas de consumo que puede adoptar un individuo están recogidas en la recta presupuestaria.
4. En situaciones de certeza, con mercados de capitales perfectos y un horizonte temporal de un período, si una persona invierte su dinero en el mercado
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El valor actual neto: fundamentos teóricos y coste de oportunidad
financiero, en lugar de dedicarlo al consumo presente, se puede considerar
más rica, ya que aumenta su riqueza actual.
5.
Un proyecto de inversión sin riesgo con un VAN nulo proporciona una rentabilidad menor que la ofrecida por el mercado financiero en una inversión
de igual cuantía y plazo.
6.
Si el VAN de un proyecto de inversión a la tasa de actualización del 15 por
100 es de 200 unidades monetarias, la rentabilidad que ofrece dicho proyecto es el 15 por 100 más un excedente financiero neto, en unidades monetarias del momento presente, de 200.
7.
La utilización del valor actual neto como criterio de selección de proyectos
de inversión es una política íntimamente relacionada con el objetivo financiero de la empresa.
8.
El coste de oportunidad de cualquier inversión productiva lo proporciona el
mercado financiero: es la rentabilidad que se puede obtener en él en una
inversión con igual riesgo.
9.
El coste de oportunidad del capital de una inversión productiva es la rentabilidad mínima que hay que exigirle a fin de que su realización no disminuya el valor de mercado de la empresa.
10.
En situaciones de certeza y con mercados de capitales perfectos, la mayor
o menor preferencia de un individuo por el consumo actual frente al consumo futuro sólo determina si un individuo presta o pide prestado, pero no
influye en la decisión de aceptar o rechazar un proyecto de inversión.
11.
Un individuo «racional», y con una gran propensión por el consumo presente, no puede aceptar un proyecto de inversión con VAN positivo, ya que
el desembolso inicial de éste reducirá su nivel de consumo presente.
12.
Si un proyecto de inversión tiene un VAN nulo, su rentabilidad en tanto por
cien es nula, esto es, su rentabilidad es del 0 por 100.
13.
En los proyectos de inversión simples, cuando la tasa de actualización o
descuento tiende a infinito, el VAN a dicha tasa tiende a cero.
14.
Una reducción en las salidas de caja reduce, asimismo, el VAN de un proyecto de inversión.
15.
Si el coste de oportunidad del capital de los distintos años del horizonte de
planificación es distinto, la fórmula del VAN se vuelve muy compleja y su
cálculo requiere un largo proceso de prueba y error.
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5
Otros criterios de valoración
de inversiones
F. Blanco Ramos
5.1. El criterio de la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR).
5.2. El criterio del plazo de recuperación.
5.3. El criterio del índice de rentabilidad.
5.4. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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5.1. EL CRITERIO DE LA TASA INTERNA
DE RENTABILIDAD (TIR)
En el capítulo anterior se han mostrado los fundamentos teóricos del VAN.
En éste vamos a estudiar otros criterios de análisis y valoración de inversiones.
Tal vez el más popular, debido a su fácil comprensión, sea el de la tasa interna
de rentabilidad.
Sea un proyecto de inversión definido por las características financieras que
se explicitan a continuación:
donde:
P0: desembolso inicial o coste de la inversión.
Fj: flujo neto de caja generado por la inversión en el año j; j = 1, ..., n.
n: duración temporal de la inversión.
La tasa interna de rentabilidad, tasa de retorno o Tasa Interna de Rendimiento (TIR) se define como aquella tasa de actualización o de descuento, r, que anula
la rentabilidad absoluta neta de la inversión; es decir, aquella tasa de descuento
que iguala el valor actual de la corriente de cobros con el valor actual de la corriente de pagos.
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Teoría de la inversión
Plasmando analíticamente la definición anterior, el criterio TIR se expresa
como sigue:
TIR ⇒ −P0 +
F1
F2
Fn
+
+ ... +
=0
2
(1 + r) (1 + r)
(1 + r)n
(5.1)
Cuando los flujos netos de caja son constantes a lo largo del período de análisis o vida económica del proyecto:
F1 = F2 = ... = Fn = F
la expresión (5.1) se transforma en:
⎡ 1
1
1 ⎤
TIR ⇒ −P0 + F ⎢
+
+ ... +
⎥=0
2
(1 + r)n ⎦
⎣ (1 + r) (1 + r)
(5.2)
Operando en (5.2), y agrupando los términos de forma conveniente, quedará:
⎡1 − (1 + r ) − n ⎤
TIR ⇒ −P0 + F ⎢
⎥=0
r
⎣
⎦
(5.3)
y, dado que [1 − (1 + r)− n] / r representa el valor actual de una renta unitaria pospagable de n−períodos de duración, y descontada a una tasa r, la tasa interna de
rendimiento puede formularse como sigue:
TIR ⇒ −P0 + Fan r = 0
(5.4)
y, si, además, consideramos en el análisis un número ilimitado de períodos:
F1 = F2 = ... = Fn = F
n→∞
la expresión de la TIR se reduce a:
⎡1 − (1 + r)− n ⎤
TIR ⇒ −P0 + F lím ⎢
⎥⎦ = 0
n →∞ ⎣
r
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(5.5)
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Otros criterios de valoración de inversiones
donde, operando de forma conveniente, llegamos a:
TIR ⇒ −P0 + F
1
=0
r
TIR ⇒ −P0 + Fa∞ r = 0
y, finalmente:
r=
F
P0
(5.6)
Desde una perspectiva financiera, el criterio de la tasa interna de rendimiento
proporciona una medida de la rentabilidad relativa bruta anual por unidad monetaria comprometida en el proyecto1. Se trata de una medida relativa puesto que se
define en tantos por ciento o en tantos por uno, y bruta porque de la misma falta
por descontar el coste de financiación de los capitales invertidos en el proyecto.
Para aceptar o rechazar un proyecto de inversión, el criterio TIR compara la
rentabilidad relativa bruta por unidad monetaria invertida, r, con la rentabilidad mínima que se exige a cada unidad monetaria invertida, k (coste de oportunidad del
capital).
Así, las reglas de decisión para aceptar o rechazar un proyecto de inversión,
según el criterio TIR, son las expuestas en la tabla 5.1.
TABLA 5.1
Reglas de decisión del criterio TIR
Valor
Regla de decisión
r>k
Aceptar el proyecto.
r=k
Proyecto indiferente.
r<k
Rechazar el proyecto.
1
Efectivamente, si en el caso de una inversión simple multiplicamos la expresión (5.1) por (1 + r)n
tenemos:
P0 (1 + r) n = F1 (1 + r) n − 1 + F2 (1 + r) n − 2 + ... + Fn
donde se puede comprobar que r es la rentabilidad relativa bruta anual que se obtiene sobre una inversión de P0 unidades monetarias de inversión inicial. Asimismo, también se comprueba que los flujos
netos de caja intermedios, en el caso de ser positivos, se están reinvirtiendo a la tasa r, mientras que si
son negativos, se están financiando a la propia tasa r.
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Teoría de la inversión
Entre un conjunto de proyectos de inversión rentables y excluyentes será
preferible aquel que por unidad monetaria invertida proporcione una mayor TIR.
Cuando los proyectos son divisibles e independientes y los recursos financieros
limitados en el presente, se jerarquizarán de mayor a menor tasa interna de rendimiento.
El criterio TIR presenta unas ventajas similares a las que reporta la utilización
del criterio VAN, ya que, como criterio dinámico, refiere a un mismo momento de
tiempo todas las cantidades de dinero que produce la inversión y, además, proporciona una visualización más fácil e intuitiva de la rentabilidad del proyecto al
expresarla en términos relativos por unidad monetaria en vez de hacerlo en términos absolutos. Esta última circunstancia hace que sea un criterio muy utilizado
en la empresa.
En cambio, los inconvenientes son, a nuestro juicio, bastante mayores que los
del criterio VAN. Siguiendo a Suárez (2003) y Durbán (1983), podemos sintetizarlos en:
I.
Dificultades en el cálculo
Matemáticamente, la expresión de la tasa interna de rendimiento es una ecuación de n-grado en la que la incógnita a despejar es la propia TIR. La resolución
de este tipo de ecuaciones es laboriosa dado que no existen fórmulas que permitan calcular directamente el resultado. La mayoría de las veces es necesario utilizar el procedimiento de aproximaciones sucesivas.
II.
Inconsistencia en la interpretación económica del resultado
Acabamos de decir que la aplicación del criterio TIR exige la resolución de
una ecuación de n-grado:
−P0 + F1x1 + F2 x2 + ... + Fn xn = 0
por consiguiente, la obtención de n posibles soluciones en x = [1 / (1 + r)], de las
cuales, según la regla de Descartes, puede haber tantas soluciones positivas (entre
cero y uno) como cambios de signo se den en la ecuación.
Cuando en los flujos netos de caja de un proyecto de inversión se produce un
solo cambio de signo, estamos ante una inversión simple. Su evaluación mediante el criterio TIR da lugar a la resolución de una ecuación de n-grado y, por tanto,
a la obtención de n-soluciones que hacen cero el VAN de la inversión; pero, según
la regla de Descartes, al producirse en la ecuación un único cambio de signo, sólo
una de ellas será real y positiva. Esta solución positiva es la tasa interna de rendimiento del proyecto.
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Otros criterios de valoración de inversiones
El problema surge cuando se pretende evaluar proyectos de inversión no simples cuyos flujos netos de caja presentan más de un cambio de signo. La aplicación de la TIR, al igual que en las inversiones simples, dará lugar a la obtención
de n-soluciones, pero con el agravante de que pueden aparecer tantas soluciones
positivas como cambios de signo existan en su esquema temporal.
Esto, que es correcto desde un punto de vista matemático, origina inconsistencias desde el punto de vista económico, puesto que significaría la existencia
de más de una tasa interna de rendimiento para el mismo proyecto, tantas como
soluciones positivas se obtengan. Un proyecto de inversión rentable contribuye a
incrementar el valor de la empresa, pero es evidente que su contribución es sólo
una2. Supongamos, por ejemplo, la siguiente inversión:
La expresión que permite obtener la TIR sería:
TIR ⇒ −12 +
75
75
−
=0
(1 + r) (1 + r)2
Existen dos tasas de descuento r que cumplen la condición de anular el VAN
del proyecto: r1 = 25 por 100 y r2 = 400 por 100. Es decir, la TIR del proyecto
es, al mismo tiempo, del 25 por 100 y del 400 por 100. Obviamente, desde un
punto de vista económico, no tiene sentido que una inversión pueda generar al
mismo tiempo una rentabilidad del 25 por 100 y del 400 por 100.
La figura 5.1 muestra gráficamente esta situación. En ella puede observarse
que el VAN aumenta a medida que aumenta la tasa de descuento, alcanza un
máximo cuando la tasa de descuento es del 100 por 100 y, a continuación, disminuye. Esto se debe a que existen dos cambios de signo en la corriente de flujos
netos de caja.
Por último, y aunque parezca fuera de toda lógica, hay algunas inversiones no
simples que no tienen ninguna tasa de retorno real, es decir, que no tienen TIR.
2
Una inversión no simple siempre puede transformarse artificialmente en una inversión simple del
siguiente modo: dada una tasa k, se descuentan a dicha tasa todos los flujos netos de caja negativos al
instante inicial y, asimismo, se capitalizan todos los flujos netos de caja positivos al final de la vida de
la inversión. La inversión simple resultante tiene una única solución que, obviamente, dependerá de la
tasa k previamente empleada. Los interesados en una exposición más detallada pueden ver: Suárez, A. S.
(2003): p. 103, y Weston J. F. y Brigham, E. F. (1994): pp. 660 a 662.
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Teoría de la inversión
Figura 5.1
En efecto, sea el siguiente proyecto de inversión:
Si planteamos la expresión de la TIR:
TIR ⇒ −18 +
60
60
−
=0
(1 + r) (1 + r)2
y tratamos de resolverla, observamos que la ecuación no tiene solución real, ya
que si llamamos x = (1 + r), entonces:
18x 2 − 60x + 60 = 0
x=
−(−60) ± (−60)2 − 4(18)(60)
2(18)
=
60 ± −720
36
En la figura 5.2 podemos observar que este proyecto de inversión presenta
siempre un VAN negativo, sea cual sea la tasa de descuento considerada.
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Otros criterios de valoración de inversiones
Figura 5.2
Económicamente es inaceptable tanto la existencia de más de una TIR como
que no exista ninguna. Por ello, el método de la tasa interna de rendimiento no
debe utilizarse a priori en la valoración de proyectos de inversión no simples. En
estos casos es preciso determinar previamente si se trata de una inversión pura o
mixta. Si se trata de una inversión mixta, habrá que utilizar procedimientos diferentes al analizado en este apartado3.
III. Falta de realismo en la hipótesis de reinversión de los flujos
intermedios de caja de la inversión
Al igual que en el criterio VAN, el criterio de la tasa interna de rendimiento
considera que la empresa reinvierte los flujos netos de caja generados por el proyecto a una tasa de rendimiento, tr, desde el momento de su obtención hasta el
final de la vida útil del proyecto, así como la posterior actualización al momento
inicial de la inversión, tal como muestra la figura 5.3:
Bajo estos supuestos, la TIR del proyecto será:
TIR ⇒ −P0 +
F1 (1 + tr)n −1 + F2 (1 + tr)n − 2 + ... + Fn −1 (1 + tr)1 + Fn
=0
(1 + r)n
Es decir:
Fn −1(1 + tr)1
F1(1 + tr)n −1 F2(1 + tr)n − 2
Fn
TIR ⇒ −P0 +
+
+ ... +
+
=0
(1 + r)n
(1 + r)n
(1 + r)n
(1 + r)n
(5.7)
3
Para un estudio detallado de las inversiones no simples (puras y mixtas) y la determinación de su
rentabilidad relativa pueden consultarse, entre otras, las obras de Mao, J. C. T. (1980) y Suárez, A. S. (2003).
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Teoría de la inversión
Figura 5.3
Comparando la expresión (5.7) con la formulación habitual de la TIR dada
por (5.1), y dado que en ella se recoge necesariamente dicha reinversión, hemos
de concluir que el modelo presupone implícitamente que tr = r; es decir, que la
tasa de reinversión de los flujos netos de caja del proyecto coincide en cuantía
con la rentabilidad relativa bruta del proyecto:
TIR ⇒ −P0 +
Fn −1 (1 + r)1
F1 (1 + r)n −1 F2 (1 + r)n − 2
Fn
+
+
...
+
+
=0
n
n
n
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)
(1 + r)n
(5.8)
donde, simplificando:
TIR ⇒ −P0 +
F1
F2
Fn
+
=0
2 + ... +
(1
+
r)n
(1
+
r)
(1 + r)
Esta hipótesis implícita de reinversión es bastante irreal. En primer lugar, y al
igual que en el VAN, no es lógico considerar que una vez reinvertidos los flujos
netos de caja van a permanecer inmovilizados en los mismos activos hasta la
conclusión del proyecto. En segundo lugar, presupone a priori que la empresa
puede obtener de los activos que constituyen el soporte físico de la reinversión la
misma rentabilidad, r, que se obtiene del proyecto originario. Este supuesto es
totalmente irreal porque los activos que constituyan el soporte físico de la rein160
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Otros criterios de valoración de inversiones
versión pueden proporcionar una rentabilidad que no tiene por qué ser necesariamente igual a la TIR del proyecto4.
Por último, en tercer lugar, para calcular la rentabilidad relativa bruta es necesario tener en cuenta el rendimiento que la empresa obtiene de la reinversión de
los flujos netos de caja a una tasa tr = r. Esto implica conocer a lo largo de la
vida de la inversión un dato, la tasa de reinversión, que no se sabrá hasta finalizada la vida útil de la misma, puesto que se trata de la propia tasa interna de
rendimiento del proyecto, valor que está condicionado a su vez por el rendimiento obtenido de los flujos netos de caja intermedios, es decir, por la tasa de reinversión.
IV.
Problemas cuando la ETTI no es plana
Otra hipótesis simplificadora con la que hemos trabajado es suponer que la
Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) es plana; es decir, consideramos que los tipos de interés a corto plazo y a largo plazo son iguales, esto es,
el coste de oportunidad del capital es constante a lo largo del tiempo y, por
ello:
4
Imagine que usted encuentra una inversión con una TIR del 200 por 100. Realmente se trata de una
inversión muy atractiva, ya que será difícil que el coste de oportunidad del capital supere tal porcentaje.
Pero, seguramente, será más difícil todavía que usted pueda reinvertir los flujos netos de caja positivos
de dicho proyecto en otras inversiones que también le proporcionen un 200 por 100 de rentabilidad relativa bruta.
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Teoría de la inversión
Pero cuando la ETTI no es plana, el problema se complica:
V.
Incumplimiento del principio de aditividad del valor
Según este principio, si un proyecto de inversión presenta período a período
unos flujos de caja que son suma de los flujos de caja de n-proyectos de inversión,
entonces su valor actual neto será igual a la suma de los valores actuales netos
individuales de los n-proyectos considerados.
El cumplimiento del principio de aditividad del valor permite determinar la
contribución neta de un determinado proyecto de inversión al valor de la empresa: si la empresa realiza un proyecto de inversión P, el valor de la empresa con el
proyecto de inversión (VANE + P) será igual a la suma del valor individual del proyecto (VANP) y el valor de la empresa sin el proyecto (VANE).
Supongamos una empresa que ha valorado tres proyectos de inversión: J, K
y L. Los resultados de la valoración están recogidos en la tabla 5.2:
TABLA 5.2
162
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Proyecto
P0
F1
F2
VAN(k = 8%)
TIR
J
−300
400
200
241,84 €
72,08 %
K
−200
100
300
149,79 €
50,00 %
L=J+K
−500
500
500
391,63 €
61,80 %
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Otros criterios de valoración de inversiones
Teniendo en cuenta los datos que figuran en la tabla 5.2, si realiza el proyecto J,
el valor de la empresa aumentará en 241,84 euros; mientras que si realiza el K,
aumentará en 149,79 euros. Si la empresa realiza el proyecto L, L = J + K, el aumento en su valor será igual a 391,63 euros, es decir, la suma de los valores actuales
netos de los proyectos J y K considerados individualmente. Por tanto, como:
VANL = VANJ + VANK
el criterio VAN cumple el principio de aditividad del valor.
Sin embargo, con el criterio TIR no obtenemos el mismo resultado. Si observamos la TIR del proyecto L, vemos que rC = 61,80 por 100, cuantía que no es la
suma de las tasas internas de rendimiento de los proyectos J y K considerados
individualmente, esto es:
rL ≠ rJ + rK
Por tanto, el criterio TIR no cumple el principio de aditividad del valor y su
aplicación no permite al decisor hacerse una idea clara de cuál es la contribución
neta de un determinado proyecto de inversión al valor de la empresa.
Debido a las limitaciones que hemos ido relatando, el criterio TIR, en general, deberá utilizarse más bien de forma complementaria que sustitutiva del criterio VAN 5.
5.2. EL CRITERIO DEL PLAZO DE RECUPERACIÓN
Los criterios de valoración de inversiones que hemos analizado hasta ahora
(VAN y TIR) consideran que la rentabilidad es el aspecto más importante de un
proyecto de inversión y, por ello, es la magnitud que se evalúa para determinar la
conveniencia de llevarlo a cabo o no. Sin embargo, hay ocasiones en las que al
empresario no le interesa tanto la capacidad de producir beneficios como la potencialidad para generar fondos a fin de recuperar el capital invertido lo más rápidamente posible.
En este sentido, el criterio del plazo de recuperación es el método utilizado
con más frecuencia para medir la liquidez de un proyecto de inversión.
Si consideramos el proyecto de inversión genérico representado en el siguiente esquema temporal:
5
Lo mismo se podría decir de los otros criterios de selección de inversiones que seguidamente vamos
a desarrollar.
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Teoría de la inversión
definimos el plazo de recuperación estático, PRe, como el período de tiempo que
transcurre hasta que los flujos netos de caja permiten recuperar el coste de la
inversión y amortizar, en su caso, los flujos netos de caja negativos que puedan
producirse hasta ese momento de la vida del proyecto.
Analíticamente, el plazo de recuperación se calcula acumulando, período a
período, los flujos netos de caja hasta el momento en el que se recupera el coste
de la inversión.
PRe
P0 = ∑ Fj
(5.9)
j =1
Si los flujos netos de caja son constantes, el plazo de recuperación se obtiene
fácilmente aplicando la expresión:
PRe =
P0
F
(5.10)
Según este criterio de decisión, son preferibles aquellas inversiones que tienen
un menor plazo de recuperación, ya que tardan menos tiempo en recuperar el
capital invertido en ellas.
El uso de este modelo está bastante extendido entre las empresas, pero su
aplicación presenta inconvenientes importantes. Según Bierman y Smidt (1977),
podemos indicar como más graves dos de ellos:
a) Sólo tiene en cuenta los flujos netos de caja generados hasta el momento
en el que se produce el plazo de recuperación, con lo cual se pierde información debido a que no se utiliza toda la que hay disponible del proyecto de inversión.
b) En la información que sí se utiliza no se tiene en cuenta la diferencia de
vencimientos que existe entre los flujos netos de caja.
El primer inconveniente es lógico, hasta cierto punto, puesto que para medir
la liquidez no es necesario, en la mayoría de los casos, tener que utilizar toda la
información. El segundo es consecuencia de su inicial concepción estática y se
ha tratado de solucionar redefiniendo el modelo de forma tal que considere la
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Otros criterios de valoración de inversiones
homogeneización de los flujos netos de caja a una tasa de actualización o descuento k, el coste de oportunidad del capital.
Esta nueva formulación se conoce con el nombre de plazo de recuperación
descontado, y se define como el período de tiempo que necesita la inversión para
que el valor actualizado de los flujos netos de caja generados hasta él iguale al
valor actual de los capitales invertidos. Analíticamente, la expresión general del
plazo de recuperación descontado viene dada por la fórmula:
Fj
(1
+
k) j
j =1
PR d
P0 = ∑
(5.11)
El cálculo del plazo de recuperación descontado, PRd, habrá que abordarlo
acumulando los flujos netos de caja descontados, período a período, hasta alcanzar una cuantía igual al montante de la inversión. Si el proyecto presenta unos
flujos de caja constantes, la expresión (5.11) se transforma en:
P0 = Fa PR d k
(5.12)
donde PRd, el plazo de recuperación descontado, puede obtenerse de forma directa mediante una sencilla interpolación lineal.
El criterio del plazo de recuperación descontado, al tener en cuenta los vencimientos de los flujos netos de caja, supone un avance sustancial respecto a la
formulación inicial, pero sigue sin tener en cuenta aquellos flujos posteriores al
período de tiempo en el que se recuperan los capitales invertidos. También presenta, al igual que en su concepción estática, limitaciones de orden práctico. Así,
para aceptar o rechazar un proyecto de inversión es preciso agrupar previamente
las inversiones de la empresa en bloques homogéneos y definir subjetivamente un
plazo de recuperación ideal para cada uno de ellos. Evaluado un proyecto de
inversión, se aceptará siempre que su plazo de recuperación sea menor o igual al
del grupo al cual pertenece, y se rechazará en caso contrario. Por otro lado, sólo
se pueden comparar proyectos de inversión de similares características, es decir,
activos que pertenezcan al mismo grupo.
Aunque en la práctica puedan darse situaciones particulares (consecuencia de
la coyuntura económica a nivel general o de la propia empresa en particular, de las
condiciones políticas nacionales e internacionales, del avance tecnológico, etc.), en
las que el empresario prefiera un proyecto que permita una rápida recuperación
del capital invertido a otro que proporcione mayores beneficios, la verdadera importancia del plazo de recuperación no está en su utilidad a la hora de aceptar o rechazar un proyecto, sino en la de ser un instrumento que permite completar la evaluación realizada mediante otros criterios de rentabilidad, como el VAN o la TIR.
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Teoría de la inversión
5.3. EL CRITERIO DEL ÍNDICE DE RENTABILIDAD
Sea un proyecto de inversión genérico definido por el siguiente esquema temporal de flujos netos de caja:
El Índice de Rentabilidad Estático (IRe), conocido también como flujo neto
de caja total por unidad monetaria comprometida, es el cociente entre los flujos
netos de caja generados por la inversión con posterioridad al desembolso inicial
y el capital invertido en la misma. Su expresión analítica será:
n
IRe =
∑ Fj
j =1
(5.13)
P0
La aplicación de este criterio proporciona al inversor una medida de la rentabilidad, expresada en tantos por ciento o en tantos por uno, generada por el proyecto
de inversión y asociada a una base temporal igual a la duración del proyecto. Por
ello, una inversión se aceptará cuando su índice de rentabilidad sea mayor que la
unidad, es decir, cuando la suma de sus flujos netos de caja sea mayor que la inversión efectuada; resultará indiferente cuando el índice de rentabilidad sea igual a
uno, y se rechazará cuando sea menor que la unidad, tal como muestra la tabla 5.3.
TABLA 5.3
IRe
Valor
Regla de decisión
Significado económico
>1
Aceptar el proyecto.
Se recupera el capital invertido y se obtiene una rentabilidad del IRe n-anual6.
=1
Proyecto indiferente.
Se recupera únicamente el capital invertido.
<1
Rechazar el proyecto.
No se llega a recuperar el capital invertido. El proyecto genera pérdidas.
6
Suárez, A. S. (2003) considera que sólo la parte de IRe que supera la unidad puede ser considerada
rentabilidad en sentido estricto, puesto que hasta llegar a la unidad sólo se recupera el desembolso inicial.
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Otros criterios de valoración de inversiones
Valorados un conjunto de proyectos de inversión, este criterio establece la
ordenación de los mismos de mayor a menor índice de rentabilidad.
El Índice de Rentabilidad Estático (IRe) presenta como principales inconvenientes:
— Puede conducir a interpretaciones incorrectas de la rentabilidad del proyecto al no estar ésta asociada a una base anual, sino a una base temporal
igual a la duración temporal del proyecto.
— Considera magnitudes homogéneas flujos de dinero generados en momentos del tiempo diferentes (consideración estática), proporcionando por ello
una medida aproximada de la rentabilidad del proyecto.
Para solucionar el inconveniente anterior surge el Índice de Rentabilidad en
su Formulación Dinámica (IRd), definido como el cociente entre el valor actual
de la suma de los flujos netos de caja generados por la inversión con posterioridad
al desembolso inicial y el capital invertido en la misma. Su formulación analítica
será:
n
IRd =
F
∑ (1 + jk) j
j =1
P0
(5.14)
donde k es el coste de oportunidad de capital.
Las normas de aceptación/rechazo son las mismas que en su vertiente estática
y la decisión adoptada coincide siempre con la proporcionada por el criterio del
valor actual neto, tal como muestra la tabla 5.4.
La ordenación jerárquica la establece de mayor a menor índice de rentabilidad,
pero presenta el inconveniente, al igual que la TIR y por las mismas razones,
de que, en ocasiones, el orden establecido no coincide con el proporcionado por
el VAN 7.
7
Para resolver este problema debemos actuar de igual modo que en la TIR, tal como veremos en el
capítulo siguiente.
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Teoría de la inversión
TABLA 5.4
Valor
>1
d
IR
=1
<1
Regla de decisión
Significado económico
Aceptar el proyecto.
Cuando el índice de rentabilidad dinámico es
mayor que la unidad, el valor actual de los
flujos netos de caja es mayor que la inversión
inicial. El proyecto tiene un VAN positivo.
Proyecto indiferente.
Cuando el índice de rentabilidad dinámico es
igual a la unidad, el valor actual de los flujos
netos de caja es igual que la inversión inicial.
El proyecto tiene un VAN nulo.
Rechazar el proyecto.
Cuando el índice de rentabilidad dinámico es
menor que la unidad, el valor actual de los
flujos netos de caja es menor que la inversión
inicial. El proyecto tiene un VAN negativo.
5.4. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Sean los proyectos de inversión A, B y C, cuyas características financieras en
miles de euros son las que se detallan a continuación en sus respectivos esquemas
temporales:
Si el coste de oportunidad de capital es del 10 por 100 anual, determine para
los proyectos anteriores:
a) La tasa interna de rendimiento, TIR.
b) Responda de nuevo al apartado anterior suponiendo que la tasa de reinversión para los flujos intermedios de caja es del 15 por 100 anual y
constante.
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Otros criterios de valoración de inversiones
c) El plazo de recuperación estático de los proyectos B y C.
d) El plazo de recuperación dinámico de los proyectos B y C.
e) El índice de rentabilidad estático y dinámico de los proyectos A, B y C.
SOLUCIÓN
a) Tasa interna de rendimiento, TIR
La tasa interna de rendimiento mide la rentabilidad relativa bruta anual por
unidad monetaria invertida en el proyecto. En nuestro caso, las expresiones matemáticas que nos permitirán obtener la TIR de los proyectos A, B y C son:
TIRA ⇒ −1.000 +
2.000
3.000
+
=0
(1 + rA) (1 + rA)2
rA = 200 %
Resolviendo la ecuación de segundo grado, tenemos que rA = 200 por 100; es
decir, el proyecto A genera una rentabilidad relativa bruta anual del 200 por 100
por unidad monetaria invertida. Como el coste de oportunidad del capital, k, es
del 10 por 100, tenemos que rA > k, por lo que el proyecto es rentable.
TIRB ⇒ −6.000 +
2.000
3.000
5.000
8.000
+
+
+
=0
2
3
(1 + rB) (1 + rB)
(1 + rB)
(1 + rB)4
rB = 47,34 %
El proyecto B genera una rentabilidad relativa bruta anual8 del 47,34 por 100
por unidad monetaria invertida, superior a la rentabilidad mínima exigida a cada
unidad monetaria invertida, que es del 10 por 100 anual (coste de oportunidad del
capital). Por tanto, el proyecto es rentable, ya que rB > k.
TIRC ⇒ −9.000 + 1.500 a18 rC = 0
TIRC ⇒ −9.000 + 1.500
1 − (1 + rC )−18
=0
rC
rC = 15, 40 %
8
La obtención de la TIR del proyecto B supone la resolución de una ecuación de cuarto grado. En
estos casos, para obtener la TIR suele utilizarse el procedimiento de aproximaciones sucesivas, bien
realizando los cálculos con ayuda de una calculadora convencional o financiera, o bien, como es nuestro
caso, mediante un ordenador personal, utilizando la función TIR de la hoja de cálculo Excel.
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Teoría de la inversión
El proyecto C también es rentable debido a que rC > k, pero su contribución
a la riqueza de la empresa es más modesta.
b) TIR con tasa de reinversión explícita
En el apartado a) hemos supuesto que la tasa de reinversión de los flujos
netos de caja intermedios no se conocía de forma explícita y, por tanto, al aplicar
el criterio TIR, asumimos implícitamente en cada proyecto una tasa de reinversión
igual a su propia TIR.
Si suponemos que la tasa de reinversión para los flujos netos de caja de los
proyectos A, B y C es del 15 por 100 anual y constante, las expresiones que permiten obtener la TIR de cada proyecto serán:
Proyecto A
TIRA ⇒ −1.000 +
2.000(1 + 0,15) + 3.000
=0
(1 + rA)2
Despejando rA, tenemos:
rA = 2
2.000(1 + 0,15) + 3.000
− 1 = 130,22%
1.000
Proyecto B
TIRB ⇒ −6.000 +
2.000(1 + 0,15)3 + 3.000(1 + 0,15)2 + 5.000(1 + 0,15) + 8.000
=0
(1 + rB)4
Despejando rB, tenemos:
rB = 4
2.000(1 + 0,15)3 + 3.000(1 + 0,15)2 + 5.000(1 + 0,15) + 8.000
−1 = 36,38%
6.000
Proyecto C
1.500(1 + 0,15)17 + 1.500(1 + 0,15)16 + ... +
+1.500(1 + 0,15) + 1.500
TIRC ⇒ −9.000 +
=0
(1 + rC )18
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Otros criterios de valoración de inversiones
despejando rC, tenemos:
1.500(1 + 0,15)17 + 1.500(1 + 0,15)16 + ... +
18
+ 1.500(1 + 0,15) + 1.500
rC =
− 1 = 15,13 por cien
9.000
Los tres proyectos siguen siendo aceptables porque sus tasas internas de rendimiento son superiores al coste de oportunidad del capital, pero ahora la rentabilidad
que proporcionan es inferior a la obtenida en el apartado a) porque suponemos, en
cada proyecto, la reinversión de los flujos netos de caja intermedios al 15 por 100
de rentabilidad anual, una tasa que es inferior a la TIR de cada proyecto.
c) Plazo de recuperación estático de los proyectos B y C
El plazo de recuperación estático de un proyecto de inversión, PRe, es el período de tiempo que se tarda en recuperar el capital invertido en el mismo. Puede
calcularse de forma estática o dinámica y su aplicación proporciona una medida
de la liquidez de la inversión.
El plazo de recuperación estático del proyecto B lo calcularemos acumulando,
año tras año, sus flujos netos de caja hasta que la cuantía acumulada permita
recuperar el coste de la inversión, tal como se muestra en la tabla 5.5.
TABLA 5.5
j
FNCj
∑ FNC j
Desembolso inicial
0
—
—
− 6.000
1
2.000
2.000
− 6.000
2
3.000
5.000
− 6.000
3
5.000
10.000
– 6.000
Período j
1
Al finalizar el tercer año, el flujo neto de caja acumulado es mayor que el
desembolso inicial; por tanto, el plazo de recuperación estático se produce en
el transcurso del tercer año. Si suponemos ahora que a lo largo del tercer año el
proyecto genera por unidad de tiempo la misma cantidad de dinero, entonces
podemos plantear la siguiente regla de tres:
Desembolso inicial...................................... 6.000 miles de €
− FNC acumulado en t = 2 ......................... −5.000 miles de €
Quedan por recuperar en t = 3 ................... 1.000 miles de €
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Teoría de la inversión
5.000 ......... 12 meses ¿²
À
1.000 ......... x meses ²Á
x=
1.000 ⋅ 12
= 2,4 meses
5.000
30 días ¿²
À
y días ²Á
y=
0,4 ⋅ 30
= 12 días
1
1 mes .........
0,4 meses ...
Por tanto, el plazo de recuperación estático del proyecto B es de 2 años,
2 meses y 12 días.
El proyecto C presenta un esquema temporal de flujos de caja constantes a lo
largo del tiempo. El cálculo de su plazo de recuperación estático puede hacerse
conforme lo hemos hecho para el proyecto B, acumulando, año tras año, sus
flujos netos de caja, tal como muestra la tabla 5.6.
TABLA 5.6
j
FNCj
∑ FNC j
Desembolso inicial
0
—
—
−9.000
1
1.500
1.500
−9.000
2
1.500
3.000
−9.000
3
1.500
4.500
−9.000
4
1.500
6.000
−9.000
5
1.500
7.500
−9.000
6
1.500
9.000
–9.000
Período j
1
Desembolso inicial................................................ 9.000 miles de €
− FNC acumulado en t = 6 ................................... −9.000 miles de €
Quedan por recuperar en t = 6 .............................
0 miles de €
El plazo de recuperación estático del proyecto C es exactamente de 6 años.
También, puede calcularse como sigue:
PRce =
172
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P0 9.000
= 6 años
=
1.500
F
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Otros criterios de valoración de inversiones
d) Plazo de recuperación dinámico de los proyectos B y C
El plazo de recuperación dinámico o descontado, PRd, del proyecto B lo calcularemos acumulando, período a período, los flujos netos de caja descontados
al momento inicial, hasta determinar el momento en el que se produce la recuperación del capital invertido, tal como muestra la tabla 5.7.
TABLA 5.7
Período j
FNCj
FNC
FNC j
(1 + k) j
∑ (1 + k)j j
Desembolso inicial
j
1
0
—
—
—
− 6.000
1
2.000
1.818,18
1.818,18
− 6.000
2
3.000
2.479,34
4.297,52
− 6.000
3
5.000
3.756,57
8.054,09
– 6.000
El plazo de recuperación descontado se produce a lo largo del tercer año de
la inversión. Así, al iniciarse este tercer período, quedará por recuperar del capital invertido:
Desembolso inicial......................................... 6.000
miles de €
− FNC acumulado en t = 2 ............................ −4.297,521 miles de €
Quedan por recuperar en t = 3 ......................
1.702,479 miles de €
Concretando:
3.756,57 ......... 12meses ¿²
À
1.702,48 ......... x meses ²Á
x=
1.702,48 ⋅ 12
= 5,438 meses
3.756,57
1 mes ............. 30 días ¿²
À
0,438 meses ... y días ²Á
y=
0,438 ⋅ 30
= 13,15 días
1
En consecuencia, el plazo de recuperación dinámico del proyecto B es de 2
años, 5 meses y 14 días.
Para calcular el plazo de recuperación dinámico del proyecto C podemos
utilizar el procedimiento general, acumulando, año tras año, los flujos netos de
caja descontados, tal como se muestra a continuación en la tabla 5.8.
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Teoría de la inversión
TABLA 5.8
FNCj
FNC j
(1 + k) j
∑ (1 + k)j j
Desembolso inicial
0
—
—
—
−9.000
1
1.500
1.363,64
1.363,64
−9.000
2
1.500
1.239,67
2.603,31
−9.000
3
1.500
1.126,97
3.730,28
−9.000
4
1.500
1.024,52
4.754,80
−9.000
5
1.500
931,38
5.686,18
−9.000
6
1.500
846,71
6.532,89
−9.000
7
1.500
769,74
7.302,63
−9.000
8
1.500
699,76
8.002,39
−9.000
9
1.500
636,15
8.638,54
−9.000
10
1.500
578,31
9.216,85
–9.000
Período j
j
FNC
1
Desembolso inicial........................................... 9.000
miles de €
− FNC acumulado en t = 9 .............................. −8.638,44 miles de €
Quedan por recuperar en t = 10 ......................
361,46 miles de €
578,31 ....... 12 meses ¿²
À
361,46 ....... x meses ²Á
x=
361,46 ⋅ 12
= 7,5 meses
578,31
30 días ¿²
À
y días ²Á
0,5 meses...
y=
0,5 ⋅ 30
= 15 días
1
1 mes .........
De modo que el plazo de recuperación dinámico del proyecto C es de 9 años,
7 meses y 15 días.
Podemos observar, en cualquiera de los tres proyectos de inversión analizados
que el plazo de recuperación dinámico, al operar con flujos netos de caja actualizados, es mayor que el plazo de recuperación estático y, por tanto, indica una
menor liquidez en los proyectos que la evaluada en la versión estática.
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Otros criterios de valoración de inversiones
e) Índice de rentabilidad estático y dinámico de los proyectos A, B y C
El índice de rentabilidad estático, IRe, proporciona una medida de la rentabilidad relativa n-anual por unidad monetaria comprometida en el proyecto.
TABLA 5.9
IRe
Proyecto
A
B
n
IR =
e
IRAe =
5.000
=5
1.000
IRBe =
18.000
=3
6.000
IRCe =
27.000
=3
9.000
∑ Fj
j =1
P0
C
Por ejemplo, el proyecto B ha generado al cabo de cuatro años (su duración
temporal) tres unidades monetarias por cada unidad monetaria invertida inicialmente. No obstante, sólo la parte que supera la unidad puede ser considerada
rentabilidad en sentido estricto porque hasta llegar a la unidad sólo se está recuperando el capital invertido en el proyecto. Además, se trata de una medida
aproximada porque, debido a su consideración estática, considera homogéneas
unidades monetarias generadas en momentos diferentes del tiempo.
La aplicación del índice de rentabilidad dinámico, PRd, trata se solventar este
inconveniente. Su aplicación a nuestro ejemplo proporciona la información que
se refleja en la tabla 5.10.
TABLA 5.10
IRd
Proyecto
A
B
C
n
IRd =
F
∑ (1 + jk) j
j =1
P0
IRAd =
4.297,52
= 4,30
1.000
IRBd =
13.518,20
= 2,25
6.000
IRCd =
12.302,12
= 1,37
9.000
Podemos comprobar que, al actualizar los flujos netos de caja, la rentabilidad
observada es menor que la obtenida en su vertiente estática.
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Teoría de la inversión
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
176
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1.
El criterio del plazo de recuperación descontado tiene en cuenta la rentabilidad de un proyecto de inversión al considerar la reinversión de los flujos
netos de caja obtenidos con anterioridad al momento en el que se recupera
el capital invertido.
2.
Los proyectos de inversión simples pueden presentar, en ocasiones, más de
una tasa interna de rendimiento.
3.
El conocimiento de la tasa interna de rendimiento de un proyecto de inversión no permite por sí mismo aceptarlo o rechazarlo.
4.
La evaluación de un proyecto de inversión no simple mediante la tasa interna de rendimiento presenta las mismas inconsistencias que el criterio del
valor actual neto.
5.
Cuando la ETTI (estructura temporal de los tipos de interés) no es plana,
no podemos calcular la TIR del proyecto de inversión.
6.
La tasa interna de rentabilidad de los proyectos de inversión la determinan
los mercados financieros.
7.
Son consideradas inversiones rentables todas aquellas cuyo índice de rentabilidad es positivo.
8.
La realización de proyectos de inversión simples con TIR mayor que el
coste de oportunidad del capital contribuye al objetivo de incrementar el
valor de mercado de la empresa.
9.
Uno de los inconvenientes del criterio del plazo de recuperación es que no
existe un punto de corte objetivo (un plazo de recuperación óptimo) que
permita diferenciar si un proyecto de inversión aislado es suficientemente
líquido o no.
10.
En proyectos de inversión simples, y supuesta una tasa de descuento positiva, el índice de rentabilidad estático siempre es mayor que el índice de
rentabilidad dinámico.
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Otros criterios de valoración de inversiones
11.
El conocimiento del plazo de recuperación dinámico de un proyecto de
inversión permite por sí solo aceptarlo o rechazarlo.
12.
Si el coste de oportunidad del capital es mayor que cero, el plazo de recuperación calculado de forma estática siempre será mayor que el calculado
de forma dinámica.
13.
Los criterios VAN e índice de rentabilidad dinámico coinciden a la hora de
valorar la conveniencia de aceptar o rechazar un proyecto de inversión.
14.
Si un proyecto de inversión tiene VAN negativo, es posible que acumulando
los flujos netos de caja descontados que genera se llegue a recuperar el
desembolso inicial del proyecto.
15.
La TIR de un proyecto de inversión simple es única e independiente del
coste de oportunidad del capital.
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6
Comparación
de los criterios VAN y TIR
F. Blanco Ramos
6.1. La valoración de proyectos de inversión simples.
6.2. La ordenación de proyectos de inversión simples y homogéneos.
6.3. Discrepancias en la ordenación jerárquica.
6.4. La ordenación de proyectos no homogéneos.
6.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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6.1. LA VALORACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
SIMPLES
Los criterios del valor actual neto y de la tasa interna de rendimiento se sustentan sobre las mismas hipótesis previas, consideran las mismas características
financieras del proyecto en la evaluación y utilizan idénticas técnicas financieras
para homogeneizar los flujos netos de caja. No obstante, contemplan la valoración
del proyecto de inversión desde perspectivas distintas y miden su rentabilidad de
forma diferente. La cuestión que nos planteamos en este apartado es la de si
ambos criterios deben coincidir en la decisión de aceptación o rechazo de un
proyecto de inversión simple.
Según sabemos, un proyecto de inversión simple es aquel que presenta un solo
cambio de signo en su esquema temporal de flujos de caja, por ejemplo:
donde:
P0: desembolso inicial o coste de la inversión.
Fj: flujo neto de caja generado por la inversión en el año j; j = 1, ..., n.
n: duración temporal o vida económica de la inversión.
Supuesto un coste de oportunidad del capital, k, constante a lo largo de la vida
de la inversión, su valor actual neto será:
VAN(k) = −P0 +
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n
Fj
F1
F2
Fn
+
+
...
+
=
−P
+
∑
0
2
n
j
(1 + k) (1 + k)
(1 + k)
j =1 (1 + k)
(6.1)
181
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Teoría de la inversión
A la vista de la expresión (6.1), observamos que el criterio del valor actual
neto es una función decreciente del coste de oportunidad del capital, k. Así, dados
unos determinados flujos netos de caja para la inversión, a mayor tasa de descuento, k, menor rentabilidad absoluta neta del proyecto, y viceversa.
Si efectuamos un análisis de la ecuación VAN = f (k) y observamos su evolución en función de la tasa de descuento, obtenemos las características relevantes
que exponemos en la tabla 6.1.
TABLA 6.1
n
k = 0 ⇒ VAN(0) = −P0 + ∑ Fj
j =1
k → ∞ ⇒ VAN(∞ ) = −P0
dVAN(k) n
= ∑ − j Fj (1 + k)− j−1 < 0, ya que Fj > 0 y (1 + k) > 0
dk
j =1
n
d 2VAN(k) n
= ∑ − j(− j − 1) Fj (1 + k)− j−2 = ∑ j( j + 1) Fj (1 + k)− j − 2 > 0
2
dk
j =1
j =1
Trasladando estos datos a los ejes cartesianos y representando en el eje de
ordenadas el valor actual neto del proyecto y en el eje de abscisas diferentes
valores de k, desde cero hasta infinito, se obtiene la figura 6.1.
Figura 6.1
182
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Es decir, el valor actual neto es una función decreciente y convexa, alcanza
su mayor valor cuando la tasa de descuento es nula1, es igual a cero cuando corta el eje de abscisas y tiende a alcanzar un valor próximo a −P0 para tasas de
descuento suficientemente altas.
Tal como ya hemos comentado, el VAN proporciona una medida de la rentabilidad absoluta neta de la inversión y, en consecuencia, se aceptará un proyecto
cuando genere excedente financiero neto positivo (VAN > 0), mientras que se
rechazará cuando su excedente financiero neto sea negativo (VAN < 0).
En la figura 6.1 constatamos que debe aceptarse un proyecto siempre que su
VAN esté por encima del eje de abscisas (primer cuadrante), y debe rechazarse
cuando el VAN del proyecto esté por debajo de dicho eje.
Por otro lado, la tasa interna de rendimiento se define como aquella tasa de
descuento que anula el VAN de la inversión:
TIR ⇒ −P0 +
F1
F2
Fn
+
=0
2 + ... +
(1
+
r)n
(1 + r) (1 + r)
(6.2)
Su utilización proporciona una medida de la rentabilidad relativa bruta de la
inversión. Con base a este criterio, se acepta un proyecto de inversión cuando,
por unidad monetaria invertida, la rentabilidad relativa bruta que se obtiene de
ella es superior al coste de oportunidad del capital (r > k), y se rechaza en caso
contrario (r < k).
Representamos en la figura 6.2 estas normas de decisión.
Figura 6.2
1
Implícitamente estamos suponiendo que se trata de un proyecto de inversión simple cuya suma de
flujos netos de caja posteriores al instante inicial supera al desembolso inicial.
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Teoría de la inversión
Así pues, observamos que la función del VAN es positiva para costes de oportunidad del capital k inferiores a un valor r, tasa para la cual el excedente financiero neto de la inversión es cero y que, por definición, hemos denominado tasa
interna de rendimiento. Por el contrario, el valor actual neto es negativo para
costes de oportunidad del capital superiores a r, la tasa interna de rendimiento del
proyecto.
De ello podemos extraer una serie de conclusiones que sintetizamos en la
tabla 6.2.
TABLA 6.2
Relaciones observadas
Regla de decisión
Cuando VAN > 0, también r > k
Se acepta el proyecto.
Cuando VAN = 0, también r = k
Proyecto indiferente.
Cuando VAN < 0, también r < k
Se rechaza el proyecto.
Analíticamente, también podemos llegar a la misma conclusión. Así, si a la
expresión del VAN dada en (6.1) le restamos la expresión de la TIR dada en (6.2),
no estaremos modificándola puesto que restamos de ella 0 unidades monetarias.
VAN = −P0 +
F1
F2
Fn
+
−
2 + ... +
(1 + k)n
(1 + k) (1 + k)
⎡
F1
F2
Fn ⎤
− ⎢−P0 +
+
2 + ... +
(1
+
r)n ⎥⎦
(1 + r) (1 + r)
⎣
(6.3)
Operando convenientemente en (6.3), tenemos:
n
VAN = ∑ Fj
j =1
(1 + r) j − (1 + k) j
(1 + r) j (1 + k) j
(6.4)
Como r > 0 y k > 0, obtenemos que VAN > 0 cuando r > k, VAN = 0 cuando
r = k y VAN < 0 cuando r < k, conclusiones que coinciden con las indicadas antes
en la tabla 6.2.
Del análisis se desprende que los criterios del valor actual neto y de la tasa
interna de rendimiento conducen a la misma decisión en cuanto a la aceptación
o rechazo de un proyecto de inversión simple.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Por otro lado, también constatamos que sólo hay un punto de corte con el eje
de abscisas, es decir, sólo hay una tasa de retorno que hace cero el valor actual
neto, cosa lógica puesto que la resolución de la TIR de un proyecto de inversión
simple proporciona, según la regla de Descartes, una única solución positiva.
6.2. LA ORDENACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN
SIMPLES Y HOMOGÉNEOS
Las decisiones de aceptación o rechazo no son las únicas con las que se debe
enfrentar la empresa en el análisis de inversiones. En muchas ocasiones es necesario
comparar dos o más proyectos y establecer un orden de preferencia entre ellos. En
este último caso, podemos encontrarnos con situaciones y problemáticas diferentes
en función de las características financieras de los proyectos que se comparen:
a) Proyectos con iguales desembolsos iniciales e idénticas duraciones temporales.
b) Proyectos con iguales desembolsos iniciales, pero distintas duraciones
temporales.
c) Proyectos con diferentes desembolsos iniciales, pero iguales duraciones
temporales.
d) Proyectos con diferentes desembolsos iniciales y distintas duraciones
temporales.
En el primer caso estamos ante lo que se denominan inversiones homogéneas,
y, en los tres restantes, ante la comparación de inversiones no homogéneas.
El segundo de los interrogantes que planteamos en este capítulo es la coincidencia o no de los criterios VAN y TIR en la ordenación jerárquica de proyectos
rentables. La respuesta a esta pregunta la vamos a ceñir al estudio de la problemática que se origina al comparar proyectos de inversión simples y mutuamente
excluyentes. Para ello dividiremos el análisis en dos partes en función de si los
proyectos que se ordenan son homogéneos o no.
En este epígrafe estudiaremos el caso de la ordenación jerárquica de proyectos de inversión simples, excluyentes2 entre sí, homogéneos y cuya realización se
pretende llevar a cabo en el mismo momento del tiempo.
2
Recuerde que, según se estudia en el capítulo tercero, dos o más proyectos son excluyentes entre sí
cuando la realización de uno de ellos impide la realización de los restantes. Esta condición de exclusión
generalmente suele aparecer bien por la existencia de recursos financieros limitados que impidan la realización conjunta de más de un proyecto, o bien porque cualquiera de ellos permite alcanzar el mismo objetivo dentro de la empresa. Estas razones de exclusión hacen que sea necesario establecer un orden de
preferencia entre diferentes proyectos de inversión a fin de elegir aquel que contribuya en mayor medida
a la consecución del objetivo general de la empresa.
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Teoría de la inversión
Sean los proyectos de inversión simples y homogéneos PA y PB, cuyas características financieras están explicitadas en los siguientes esquemas temporales:
A)
B)
Teniendo en cuenta las características anteriores, el valor actual neto ordena
los proyectos de mayor a menor excedente financiero neto, mientras que la tasa
interna de rendimiento lo hace en orden decreciente de rentabilidad relativa bruta. Intuitivamente, lo lógico es pensar que si un proyecto de inversión es más
rentable que otro, lo será siempre con independencia del criterio utilizado para
medir esa rentabilidad.
Así, si valoramos los proyectos de inversión PA y PB y obtenemos que
VANA > VANB y, por tanto, según el criterio del valor actual neto, PA es preferible
a PB, la conclusión debería ser la misma en el supuesto de utilizar como criterio
de ordenación jerárquica la tasa interna de rendimiento; es decir, si TIRA = rA y
TIRB = rB, debe cumplirse que rA > rB.
En este sentido Mao3, después de estudiar la evolución de las expresiones de
los valores actuales netos de los proyectos de inversión en función de k, indica
que los criterios VAN y TIR llegarán a establecer el mismo orden de preferencia
siempre y cuando se cumplan de forma conjunta las condiciones enumeradas en
el caso 1 o en el caso 2.
a)
Caso 1:
— El valor actual neto del proyecto A es mayor que el valor actual neto del
proyecto B, supuesta una tasa de descuento igual a cero.
— Un incremento cualquiera en la tasa de descuento origina una disminución
del valor actual neto del proyecto A siempre menor que la que se produce
en el proyecto B.
La representación gráfica del VAN de dos proyectos de inversión que reúnan
estas dos características es la que se muestra en la figura 6.3.
3
186
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Mao, J. C. T. (1980): pp. 206 y ss.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Figura 6.3
En este caso, podemos observar que para cualquier tasa de descuento siempre
se da que VANA > VANB y que rA > rB, por lo que ambos criterios coinciden en
sus decisiones de jerarquización.
b)
Caso 2:
— El valor actual neto del proyecto A es mayor que el valor actual neto del
proyecto B para una tasa de descuento igual a cero.
— Dado un incremento cualquiera en la tasa de descuento, la disminución que
se produce en el VANA siempre es mayor que la que se origina en el VANB.
— La tasa interna de rendimiento del proyecto A es mayor que la del B.
En este supuesto, la representación gráfica será la que muestra la figura 6.4.
Figura 6.4
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Teoría de la inversión
En este caso, siempre y cuando el valor de la tasa de descuento oscile en un
intervalo comprendido entre el 0 por 100 y el rB por 100, también se obtendrán
ordenaciones jerárquicas coincidentes, aunque el valor actual neto del proyecto B
se vea afectado en mayor medida que el del proyecto A ante un incremento de k.
Siempre y cuando se cumplan conjuntamente las condiciones enunciadas en
el caso 1 o en el caso 2, los criterios VAN y TIR establecen el mismo orden de
preferencia, lo cual se traduce gráficamente en que la representación de las funciones del valor actual neto de los proyectos A y B no se cruzan en el primer
cuadrante de la representación cartesiana, tal y como podemos observar en las
figuras 6.3 y 6.4.
6.3. DISCREPANCIAS EN LA ORDENACIÓN JERÁRQUICA
En muchas ocasiones no se cumplen las condiciones analizadas en el apartado anterior y cada criterio establece ordenaciones jerárquicas diferentes, produciéndose así una clara contradicción en las conclusiones a las que llegan cada uno
de ellos.
Esta disparidad en las decisiones de ordenación jerárquica da lugar a que la
representación de las funciones de los valores actuales netos de los proyectos se
crucen, al menos una vez, en el primer cuadrante de los ejes cartesianos, tal como
muestra la figura 6.5.
Figura 6.5
El punto en el que se cortan las funciones de los valores actuales netos de los
dos proyectos de inversión se denomina intersección sobre el coste de Fisher, y
188
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Comparación de los criterios VAN y TIR
tasa de Fisher a la tasa de actualización o descuento, rf, que la origina. Analíticamente, la podemos definir como aquella tasa de actualización o descuento que
iguala los valores actuales netos de dos proyectos de inversión A y B, en nuestro
caso, homogéneos:
−P0 +
F1
Fn
F1′
Fn′
+ ... +
= −P0 +
+ ... +
n
(1 + rf )
(1 + rf )
(1 + rf )
(1 + rf )n
(6.5)
Agrupando términos y operando de forma conveniente, tenemos4:
n
(Fj − Fj′ )
∑ (1 + r ) j = 0
j =1
(6.6)
f
expresión que presenta los mismos inconvenientes de resolución que los analizados para la tasa interna de rendimiento, ya que la incógnita a despejar es rf.
Desde un punto de vista económico, el conocimiento de la tasa de Fisher
proporciona a la empresa una información referente a la tasa de descuento a partir de la cual los criterios de la tasa interna de rendimiento y del valor actual neto
llegarán a la misma decisión de ordenación jerárquica.
Así, de la evolución de los valores actuales netos de los proyectos A y B representados en la figura 6.5 podemos extraer las conclusiones expuestas en la
tabla 6.3.
4
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Obsérvese cómo la expresión (6.6) puede entenderse como la TIR de la inversión diferencia (A − B):
189
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Teoría de la inversión
TABLA 6.3
Relaciones observadas
Reglas de decisión
0 ≤ k < rf
VANA > VANB
rA < rB
VAN y TIR proporcionan distintas ordenaciones
jerárquicas.
k = rf
VANA = VANB
rA < rB
VAN y TIR proporcionan
ordenaciones jerárquicas.
rf < k < rm
donde:
rm = mín{rA, rB}
VANA < VANB
rA < rB
VAN y TIR proporcionan la misma ordenación
jerárquica.
distintas
Es decir, cuando la tasa de descuento es inferior o igual a la tasa de Fisher,
los criterios VAN y TIR proporcionan diferentes ordenaciones jerárquicas, mientras que cuando es superior a la tasa de Fisher, las decisiones de ordenación jerárquica son coincidentes.
Las conclusiones anteriores son válidas en el supuesto de que sólo exista una
intersección de Fisher y, por consiguiente, una única tasa de Fisher en el intervalo [0, rm[. Esta situación se producirá, según Mao5, siempre que se den conjuntamente las siguientes condiciones:
— El VAN del proyecto A es mayor que el del proyecto B para una tasa de
descuento igual a cero.
— Un incremento cualquiera en la tasa de descuento origina una disminución
del valor actual neto del proyecto A siempre mayor que la que se produce
en el proyecto B.
— La tasa interna de rendimiento del proyecto A es inferior a la del proyecto B.
Condiciones que cumplen las funciones representadas en la figura 6.5. No
obstante, si alguna de estas condiciones no se cumple, podemos encontrarnos con
la existencia de más de una intersección de Fisher y, en consecuencia, ante más
de una tasa de Fisher en el intervalo [0, rm[, tal como aparece en la figura 6.6.
En este supuesto nos encontramos con la existencia de dos tasas de Fisher, rf 1
y rf2, que dividen el intervalo [0, rm[ en los subintervalos [0, rf1[, ]rf1, rf2 [ y ]rf2, rm [,
y originan dos situaciones puntuales, k = rf1 y k = rf 2, de tal forma que dependiendo del valor de la tasa de descuento (su ubicación en un intervalo u otro) así será
la ordenación jerárquica que proporcione el criterio del valor actual neto, ordena5
190
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Mao, J. C. T. (1980): p. 206.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Figura 6.6
ción que coincidirá unas veces y diferirá en otras con la proporcionada por el
criterio de la tasa interna de rendimiento que, como sabemos, es única y no depende de la tasa de descuento6.
El conocimiento de la tasa o tasas de Fisher sirve para obtener una información que permita corroborar la veracidad o no de la diferente ordenación jerárquica a la que se ha llegado dependiendo del criterio de decisión utilizado, pero
no sirve para romper la inconsistencia y llegar a una misma ordenación. Ello sólo
sería posible en el supuesto de eliminar la causa que la origina.
Mao (1980) y van Horne (1973) apuntan que la causa de una posible disparidad en la ordenación jerárquica habría que buscarla en las diferentes hipótesis que
sustentan el VAN y la TIR respecto a la reinversión de los flujos netos de caja de
los proyectos que se comparan. Recordemos que el criterio VAN presupone la
reinversión de los flujos netos de caja a una tasa de rentabilidad que coincide con
el coste de oportunidad del capital; mientras que el criterio TIR, por su parte,
considera la reinversión de esos mismos flujos de caja a una tasa de rentabilidad
igual a la tasa interna de rendimiento del proyecto. Es decir, cada criterio imputa un rendimiento diferente a los flujos netos de caja del mismo proyecto de inversión.
Por tanto, si la empresa no es capaz de explicitar el tipo de rentabilidad que
espera obtener de la reinversión de los flujos netos de caja de los proyectos que
se comparan, no hay ninguna razón objetiva para pensar que debe haber coincidencia en las decisiones de ordenación jerárquica y deberá decantarse por una de
ellas. En cambio, «si se acepta una tasa común de reinversión, los proyectos com6
El análisis lo hemos efectuado para el caso de comparar dos proyectos de inversión, pero puede
generalizarse a más proyectos con tan sólo compararlos dos a dos.
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Teoría de la inversión
petidores tienen clasificaciones idénticas al margen de que se les clasifique mediante los criterios TIR o VAN»7.
Para solucionar este problema, Solomon (1956) propone utilizar para la selección y ordenación jerárquica de proyectos de inversión los criterios del Valor
Actual Neto Global (VANG) y de la Tasa Interna de Rendimiento Global (TIRG).
Ambos procedimientos consideran explícitamente la reinversión de los flujos
netos de caja a lo largo de la vida de la inversión.
Supongamos un proyecto de inversión con las siguientes características financieras:
El valor actual neto global lo definimos como el valor actualizado de todos
los rendimientos esperados supuesta una tasa de reinversión tr y un coste de
oportunidad del capital k, constantes ambos a lo largo de la vida de la inversión.
Económicamente, proporciona una medida de la rentabilidad absoluta neta de la
inversión. Analíticamente la podemos expresar como:
n
VANG = −P0 +
∑ Fj (1 + tr)n − j
j =1
(6.7)
(1 + k)n
Por otro lado, la tasa interna de rendimiento global es aquella tasa de actualización o descuento, rg, que anula el valor actual neto global y proporciona una
medida de la rentabilidad relativa bruta del proyecto de inversión. Analíticamente, podemos expresarla como:
n
TIRG ⇒ −P0 +
∑ Fj (1 + tr)n − j
j =1
(1 + rg )n
=0
(6.8)
y luego de despejar:
n
rg =
7
192
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Fj (1 + tr )n − j
∑
n
j =1
P0
−1
Mao, J. C. T. (1980): p. 203.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Las normas a seguir para aceptar o rechazar un proyecto de inversión, así
como para establecer un orden de preferencia entre un conjunto de proyectos
rentables, son idénticas a las que proporcionan los modelos VAN y TIR en su
formulación habitual, pero la consideración explícita de la tasa de reinversión
proporciona, según Couvreur (1978), una serie de ventajas adicionales:
— Elimina la posible disparidad en las ordenaciones jerárquicas de proyectos
de inversión simples, homogéneos y excluyentes que pueden proporcionar
el VAN y la TIR al corregir la causa que origina la inconsistencia, es decir,
las diferentes hipótesis de reinversión de los flujos netos de caja.
— Resuelve la inconsistencia que el criterio TIR presenta al evaluar proyectos
de inversión no simples. El problema matemático se reduce ahora a despejar la variable rg de una raíz de n−grado, tal como podemos observar en
la expresión (6.8). Ello implica la imputación de una única tasa interna de
rendimiento al proyecto.
— Considerar una tasa de reinversión explícita posibilita una valoración más
realista de los proyectos de inversión analizados.
— Permite comparar proyectos de inversión no homogéneos, ya que, como
analizaremos posteriormente, los procedimientos de homogeneización necesitan conocer de forma explícita la tasa de reinversión de los flujos netos
de caja.
Ahora bien, no todo son ventajas. Explicitar la tasa de reinversión en los modelos clásicos implica la necesidad de especificar su valor a lo largo de la vida
de la inversión, lo que añade una complicación adicional en la valoración. Este
tema no está resuelto todavía y son muchas las opiniones respecto al valor que
hay que imputar a la tasa de reinversión.
En este sentido, Solomon (1956), en sus modelos globales, propone utilizar
como tasa de reinversión para los flujos netos de caja positivos la tasa de rentabilidad mínima de la empresa y como tasa de financiación para los negativos el
coste medio ponderado de capital de la empresa. Por su lado, van Horne considera que «tal vez la solución ideal sería la de tomar la tasa esperada por las
reinversiones para cada período»8; es decir, la solución ideal consistiría en determinar la tasa real de reinversión en cada período. Couvreur coincide con van
Horne en la necesidad de determinar una tasa real de reinversión, y especifica que
el valor de la misma estará en función del empleo o empleos que la empresa
asigne a los flujos netos de caja del proyecto: cancelar deudas, incrementar el
fondo de rotación, realizar nuevas inversiones, etc. Si no es posible establecer con
8
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Van Horne, J. C. (1973): p. 80.
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Teoría de la inversión
claridad un destino, deberá considerarse como tasa de reinversión la tasa de rentabilidad general de la empresa. Durbán (1983) coincide también en la determinación de una tasa de reinversión real, pero la identifica con la rentabilidad futura de los recursos propios de la empresa.
Queda patente la dificultad que entraña especificar de forma adecuada la tasa
de reinversión para los flujos netos de caja de los proyectos que se valoran y
ordenan jerárquicamente, pero creemos que, aunque se trata de una dificultad
importante, todavía son mayores las ventajas que puede obtener la empresa.
6.4. LA ORDENACIÓN DE PROYECTOS NO HOMOGÉNEOS
Dos o más proyectos de inversión se consideran no homogéneos cuando tienen
diferentes duraciones temporales y/o distintos desembolsos iniciales. En este
apartado analizaremos la problemática que se plantea al tratar de ordenar proyectos de inversión simples, excluyentes, no repetitivos y no homogéneos.
Para centrar la cuestión, vamos a plantear un pequeño ejemplo. Supongamos
los proyectos de inversión, PA y PB, que presentan, entre otras, las siguientes características financieras:
TABLA 6.4
Proyecto A
Proyecto B
Desembolso inicial
100 u.m.
80 u.m.
Duración temporal
4 años
7 años
El proyecto A requiere 100 u.m. de inversión inicial y tiene una duración
temporal de 4 años, mientras que el proyecto B precisa 80 u.m. de inversión inicial y presenta una duración temporal de 7 años. Es evidente que si la empresa
contempla la posibilidad de realizar cualquiera de ellos, deberá disponer, como
mínimo, de 100 u.m., que son las que se necesitan para efectuar el proyecto A.
En caso de realizar el proyecto B se utilizarán 80 u.m. de las 100 u.m. disponibles inicialmente. Si tenemos en cuenta que el objetivo a alcanzar en el
ámbito financiero es la maximización del valor de mercado de la empresa para
sus propietarios o accionistas, resulta evidente que su cumplimiento exige que
el factor productivo dinero siempre deberá estar aplicado a una finalidad a fin
de obtener de él un rendimiento. Si esto es así, y el dinero no puede permanecer
ocioso, cabe preguntarse por la rentabilidad que obtendrá la empresa por la
inversión de las 20 u.m. que no utiliza en el proyecto B y que sí utilizaría en el
proyecto A.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Por otro lado, la realización del proyecto B tiene una duración temporal de
7 años, mientras que en el proyecto A tan sólo es de 4 años. En caso de optar por
el proyecto A, ¿qué rentabilidad puede obtener la empresa por la reinversión del
rendimiento generado por PA desde el momento en el que finaliza hasta el momento en que finaliza el proyecto B?
Si queremos determinar qué opción de las dos, PA o PB, es la más conveniente para la empresa, además de calcular la rentabilidad de cada una de ellas, habrá
que contestar a las dos preguntas anteriores, lo cual es tanto como considerar la
realización de dos inversiones equivalentes u homogeneizadas de 100 u.m. de
desembolso inicial y 7 años de duración temporal.
En suma, sólo es posible comparar y ordenar jerárquicamente proyectos de
inversión que inmovilicen la misma cantidad de dinero y durante el mismo período de tiempo, es decir, inversiones homogéneas. Si los proyectos que se comparan
no cumplen estas condiciones, estamos ante lo que Peumans (1967) denomina
alternativas incompletas. Estos proyectos no homogéneos o alternativas incompletas deberán ser homogeneizados como paso previo a su ordenación jerárquica.
Aunque existen varios procedimientos para homogeneizar proyectos de inversión9, nosotros sólo vamos a estudiar uno de ellos. Este procedimiento consiste
en considerar un horizonte temporal común igual al del proyecto de mayor duración y un desembolso inicial común igual al del proyecto de mayor desembolso
inicial, y su aplicación precisa la consideración explícita de las tasas de reinversión para los flujos netos de caja de los proyectos que se comparan.
En este epígrafe vamos a estudiar el procedimiento de homogeneización. Para
ello consideraremos conocida y constante la tasa de reinversión para los flujos
netos de caja de los proyectos que se comparan, así como, también constante, el
coste de oportunidad del capital, k, a lo largo del período de planificación considerado.
Sean los siguientes proyectos de inversión:
9
El estudio de estos procedimientos puede efectuarse, entre otros, en Peumans (1967), Couvreur
(1978) y Durbán (1983).
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Teoría de la inversión
donde P0 > P'0 y n' > n. En este caso es necesario homogeneizar la duración temporal del proyecto A respecto a la del proyecto B y, por otro lado, el desembolso
inicial del proyecto B respecto al del proyecto A, tal como muestra la figura 6.7.
Figura 6.7
En caso de realizar el proyecto B, la empresa gastaría P'0 u.m. de un total de
P0 u.m. que serían precisas para efectuar el proyecto A. En el primer caso hay una
diferencia de (P0 − P'0 ) = H unidades monetarias. La rentabilidad que la empresa
pueda obtener de las H u.m. es una consecuencia de realizar el proyecto B en
lugar del A. Por tanto, deberemos comparar el proyecto A con un proyecto equivalente formado conjuntamente por el proyecto B y una inversión diferencia, Id,
de H unidades monetarias durante n' años.
La duración temporal del proyecto B es superior a la del proyecto A. Para
poder comparar estos proyectos es necesario tener en cuenta en caso de realizar
el proyecto A, además de su propia rentabilidad, el rendimiento que puede obtener
la empresa por la reinversión del beneficio generado por dicho proyecto desde el
momento t = n hasta el momento t = n', momento en el que finaliza el proyecto B.
Analíticamente, los valores actuales netos homogeneizados de los proyectos
equivalentes definidos en la figura 6.7 serán:
n′
VAN *A = −P0 +
∑ Fj (1 + tr)n′ − j
j =1
(1 + k)n′
(6.9)
n′
VAN *B = −( P0′ + H) +
196
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∑ Fj′(1 + tr)n′ − j + H(1 + tr)n′
j =1
(1 + k)n′
(6.10)
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Y sus tasas internas de rendimiento homogeneizadas:
n′
∑ Fj (1 + tr)n′ − j
j =1
TIR*A ⇒ −P0 +
(1 + rA* )n′
=0
(6.11)
n′
∑ Fj′(1 + tr)n′ − j + H(1 + tr)n′
j =1
TIR*B ⇒ −( P0′ + H) +
(1 + rB* )n′
=0
(6.12)
Para establecer un orden de preferencia entre un conjunto de proyectos de
inversión simples, excluyentes no homogéneos, es necesario homogeneizar las
duraciones temporales de los proyectos que lo requieran respecto a la duración
del proyecto más largo y/o los desembolsos iniciales respecto al proyecto de
mayor desembolso inicial. Con ello conseguiremos establecer una lista de proyectos homogeneizados que presuponen un desembolso inicial igual y durante un
mismo período de tiempo.
En resumen, la valoración de cada proyecto de inversión es necesario realizarla con base a sus características financieras propias, pero para establecer un orden
de preferencia entre un conjunto de proyectos rentables, ya sea mediante el criterio del valor actual neto como mediante el criterio de la tasa interna de rendimiento, sólo es posible efectuarlo directamente si los proyectos tienen la misma vida
económica e idénticos desembolsos iniciales, es decir, si son homogéneos. Si no
lo fueran, es necesario homogeneizar en cada proyecto las características financieras que así lo requieran como paso previo a la ordenación jerárquica.
6.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Sean los proyectos de inversión A, B y C, cuyas características financieras en
miles de euros son las que se detallan a continuación en sus respectivos esquemas
temporales:
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Teoría de la inversión
Supuesta una tasa de descuento del 10 por 100 anual y constante para la vida
de la inversión:
a) Establezca la ordenación jerárquica de los proyectos A, B y C mediante
los criterios VAN y TIR. Comente los resultados.
b) Dada una tasa de reinversión del 15 por 100 anual para los flujos intermedios de caja, establezca nuevamente el orden de preferencia según los
criterios VAN y TIR.
SOLUCIÓN
a) Los proyectos A, B y C no son proyectos homogéneos entre sí porque
tienen diferentes desembolsos iniciales y diferentes duraciones temporales. Para
poder compararlos y establecer un orden de preferencia entre ellos, hay que efectuar un proceso previo de homogeneización de duraciones temporales y costes de
adquisición.
Como norma a seguir, homogeneizaremos:
— Las duraciones temporales respecto a la del proyecto de mayor duración.
— Los desembolsos iniciales respecto al proyecto de mayor desembolso
inicial.
Con ello, compararemos inversiones homogeneizadas que vinculan igual cantidad de dinero y durante idéntico período de tiempo.
En nuestro caso, la duración temporal y el desembolso inicial de referencia
son los del proyecto C.
Cuando en la valoración de los proyectos utilizamos tasas de reinversión implícitas, a efectos prácticos, no es necesario realizar el proceso de homogeneización para efectuar el orden de preferencia de los proyectos, éste se puede hacer
a partir de la valoración real de los mismos10.
Tomando como referencia los resultados obtenidos en el apartado a) del ejercicio de aplicación del capítulo cuarto y los resultados obtenidos en el apartado a)
del ejercicio de aplicación del capítulo quinto, podemos establecer las siguientes
ordenaciones jerárquicas, según los criterios VAN y TIR:
10
Si efectuamos el proceso de homogeneización de los proyectos utilizando tasas de reinversión
implícitas, comprobaremos que las expresiones de los valores actuales netos y de las tasas internas de
rendimiento homogeneizadas pueden simplificarse y convertirse en las expresiones inicialmente utilizadas
en la valoración.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Criterio VAN:
VANA = 3.297,52 miles de €
VANB = 7.518,20 miles de €
VANC = 3.302,12 miles de €
}
VANB > VANC > VANA ⇒
{
1.º PB
2.º PC
3.º PA
Criterio TIR:
TIRA = 200,00 %
TIRB = 47,34 %
TIRC = 15,40 %
}
TIRA > TIRB > TIRC ⇒
{
1.º PA
2.º PB
3.º PC
Observamos que el criterio VAN establece un orden de preferencia distinto al
que establece el criterio TIR.
Esta discrepancia la podemos constatar en la figura 6.8 en donde se representan conjuntamente las funciones de los valores actuales netos de los proyectos A, B y C.
rf ′
Figura 6.8
En la figura 6.8 vemos cómo las funciones de los valores actuales netos de
los tres proyectos considerados se cruzan en el primer cuadrante de la representación cartesiana. Concretamente, para tasas de descuento comprendidas en el
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Teoría de la inversión
intervalo [0, rC] se producen dos intersecciones de Fisher11, I1 e I2, que dan lugar
a la aparición de dos tasas de Fisher, rf 1 y rf 2, las cuales dividen el intervalo [0, rC[
en tres subintervalos y dos situaciones puntuales, tal como muestra la tabla 6.5.
En cada tramo, el criterio VAN establece una ordenación que coincidirá en unos
casos, y discrepará en otros, con la proporcionada por el criterio TIR.
Teniendo en cuenta que la tasa de Fisher es aquella tasa de descuento que
iguala los valores actuales netos de dos proyectos de inversión, obtenemos que
rf1 = 4,01 por 100 y rf 2 = 10,01 por 100 (tabla 6.5).
TABLA 6.5
[0%; rm[ ⇒ [0%; 15,40%[
Intervalo
Ordenación según el VAN
0 % ≤ k < 4,01 %
1.º PC, 2.º PB y 3.º PA
k = 4,01 %
PC = PB y 3.º PA
4,01 % < k < 10,01 %
1.º PB, 2.º PC y 3.º PA
k = 10,01%
1.º PB y PA = PC
10,01 % < k < 15,40 %
1.º PB, 2.º PA y 3.º PC
En la tabla 6.5 podemos observar cómo nuestro coste de oportunidad del capital (k = 10 por 100) está comprendido en el segundo intervalo y que la ordenación que se establece en él coincide con la que previamente obtuvimos, la cual
difería de la proporcionada por el criterio TIR.
En estos casos hay que decantarse por uno u otro criterio, lo que significará,
en definitiva, decantarse por uno u otro orden de preferencia. Normalmente suele
utilizarse el orden de preferencia establecido por el criterio VAN, dado su mayor
fundamento teórico y su íntima relación con el objetivo a alcanzar en el ámbito financiero: maximizar el valor de mercado de la empresa para sus propietarios
o accionistas.
b) Los proyectos A, B y C no son proyectos homogéneos y la valoración de
los mismos, así como su posterior ordenación, se efectuará considerando explícitamente una tasa de reinversión para los flujos intermedios de caja del 15 por 100.
11
En la figura 6.8 aparece una tercera intersección de Fisher, I3, para una tasa de Fisher rf3 = 30,56
por 100, pero queda fuera del intervalo de análisis.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
Para poder compararlos y establecer un orden de preferencia entre ellos hay que
efectuar un proceso previo de homogeneización de duraciones temporales y costes de adquisición. En nuestro caso, la duración temporal y el desembolso inicial
de referencia son los del proyecto C.
— Proyecto A:
Hay que homogeneizar tanto la duración temporal como el desembolso inicial:
Luego el esquema temporal del proyecto A homogeneizado, P*A , será:
Y su valor actual neto:
VAN *B = −9.000 +
2.000(1 + 0,15)17 + 3.000(1 + 0,15)16 + 8.000(1 + 0,15)18
=
(1 + 0,1)18
= 17.726,84 miles de €
— Proyecto B:
Hay que homogeneizar duraciones temporales y desembolsos iniciales:
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Teoría de la inversión
El esquema temporal del proyecto B homogeneizado, P*B, será:
Y su valor actual neto:
VAN *B = −9.000 +
+
2.000(1 + 0,15)17 + 3.000(1 + 0,15)16 + 5.000(1 + 0,15)15
+
(1 + 0,1)18
8.000(1 + 0,15)14 + 3.000(1 + 0,15)18
= 24.096,30 miles de €
(1 + 0,1)18
— Proyecto C:
No hay que homogeneizar nada porque es el proyecto de mayor duración y
mayor desembolso inicial:
VAN *B = −9.000 +
1.500(1 + 0,15)17 + + 1.500(1 + 0,15) + 1.500
=
(1 + 0,1)18
= 11.459, 75 miles de €
Una vez efectuado el cálculo de los valores actuales netos homogeneizados,
podemos jerarquizar los proyectos A, B y C en orden decreciente de valor actual
neto homogeneizado:
VAN*A = 17.726,84 miles de €
VAN*B = 24.096,30 miles de €
VAN*C = 11.459,75 miles de €
}
VAN*B > VAN*A > VAN*C ⇒
{
1.º PB
2.º PA
3.º PC
El orden de preferencia establecido es, en primer lugar, el proyecto B, en
segundo lugar el proyecto A y, en tercer lugar, el proyecto C.
A partir de los esquemas temporales de los proyectos homogeneizados PA*, PB*
y P*C podemos obtener las tasas internas de rendimiento homogeneizadas
(TIR*):
— Proyecto A:
2.000(1 + 0,15)17 + 3.000(1 + 0,15)16 + 8.000(1 + 0,15)18
TIR*A ⇒ −9.000 +
=0
(1 + rA* )18
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Comparación de los criterios VAN y TIR
148.599,02
TIR*A ⇒ −9.000 +
=0
(1 + rA*)18
Despejando r*A , tenemos:
rA* = 18
148.599,02
− 1 = 16,86%
9.000
— Proyecto B:
2.000(1 + 0,15)17 + 3.000(1 + 0,15)16
TIR*B ⇒ −9.000 +
+
(1 + rB*)18
+
5.000(1 + 0,15)15 + 8.000(1 + 0,15)14 + 3.000(1 + 0,15)18
=0
(1 + rB*)18
184.012,7057
=0
TIR*B ⇒ −9.000 +
(1 + rB*)18
Despejando r*B :
rB* = 18
184.012,7057
− 1 = 18,25 %
9.000
— Proyecto C:
No hay que homogeneizar ninguna magnitud. Es el proyecto de mayor duración temporal y mayor desembolso inicial:
1.500(1 + 0,15)17 + + 1.500(1 + 0,15) + 1.500
TIRC* ⇒ −9.000 +
=0
(1 + rC*)18
113.754,536
TIRC* ⇒ −9.000 +
=0
(1 + rC*)18
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Teoría de la inversión
Y despejando r*C :
rC* = 18
113.754,536
− 1 = 15,13 %
9.000
Una vez calculadas las tasas internas de rendimiento homogeneizadas, podemos ordenar los proyectos de la siguiente forma:
TIR*A = 16,86 %
TIR*B = 18,25 %
TIR*C = 15,13 %
}
TIR*B > TIR*A > TIR*C ⇒
{
1.º PB
2.º PA
3.º PC
El orden de preferencia establecido por la TIR es, en primer lugar, el proyecto B; en segundo lugar, el proyecto A y, en tercer lugar, el proyecto C. Podemos
observar que ahora el orden coincide con el establecido utilizando el criterio VAN,
puesto que la ordenación se ha realizado asumiendo una tasa de reinversión explícita para los flujos netos de caja igual en los dos criterios de selección de inversiones12.
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. En proyectos de inversión no simples, los criterios VAN y TIR conducen
siempre a la misma decisión de aceptación o rechazo.
2. Una inversión no simple puede presentar más de un valor actual neto.
3. En el criterio VAN no es necesario homogeneizar duraciones ni desembolsos
iniciales cuando la tasa de reinversión explícita de los flujos netos de caja
coincide con la tasa de descuento utilizada.
4. La tasa de reinversión implícita de los flujos netos de caja de los criterios
VAN y TIR es la misma.
12
Si la tasa de reinversión explícita coincide en cuantía con el coste de oportunidad del capital, es
decir, tr = k, en el criterio VAN no es necesario efectuar el procedimiento de homogeneización y podemos
efectuar la ordenación utilizando los valores actuales netos reales de los proyectos. La ordenación obtenida deberá coincidir con la proporcionada por el criterio TIR una vez efectuado el procedimiento de
homogeneización.
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Comparación de los criterios VAN y TIR
5.
Los criterios VAN y TIR no tienen por qué coincidir en la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión simple, ya que miden aspectos diferentes
de la rentabilidad del proyecto.
6.
Los criterios VAN y TIR conducirán a la misma decisión de aceptación o
rechazo de un proyecto de inversión simple sólo cuando las hipótesis respecto de la tasa de reinversión de los flujos netos de caja coincidan.
7.
En proyectos de inversión homogéneos, cuando la tasa de reinversión de los
flujos netos de caja de los proyectos que se comparan se conoce de forma
explícita, los criterios VAN y TIR establecen la misma ordenación jerárquica.
8.
La aplicación de los criterios VANG (VAN Global) y TIRG (TIR Global) a
dos proyectos de inversión simples, homogéneos, rentables y valorados con
tasas de reinversión explícitas iguales puede conducir a distintas ordenaciones jerárquicas.
9.
La consideración explícita de una tasa de reinversión permite resolver la
inconsistencia que puede aparecer en el criterio TIR cuando se valora una
inversión no simple.
10.
Cuando existe una tasa de reinversión explícita, hay una fórmula precisa
para calcular la TIR en proyectos de inversión simples de n años de duración, que hace innecesario emplear el método de prueba y error.
11.
La intersección sobre el coste de Fisher surge cuando se comparan dos
proyectos de inversión no homogéneos.
12.
A la hora de jerarquizar proyectos de inversión con el criterio TIR, el cálculo de la TIR de la inversión diferencia permite alcanzar una ordenación
idéntica a la que se obtendría con el criterio VAN.
13.
Los criterios VAN y TIR conducen a la misma decisión en la valoración de
proyectos de inversión simples mutuamente excluyentes sólo si los proyectos son rentables.
14.
La existencia de una tasa de Fisher indica que la ordenación establecida por
el criterio del valor actual neto no se verá modificada, en ningún caso, al
variar el coste de oportunidad del capital de la empresa.
15.
A la hora de elegir entre dos proyectos de inversión excluyentes, si la TIR
de la inversión diferencia (B − A) es positiva, siempre se deberá escoger el
proyecto B.
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PARTE TERCERA
Selección de inversiones
productivas con riesgo
y/o apalancamiento
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7
Selección de inversiones
productivas con riesgo
F. Martínez Lobato
7.1. Métodos sencillos de introducción del riesgo: el método de la
tasa de descuento ajustada al riesgo y el método de los equivalentes de certeza.
7.2. Análisis de sensibilidad.
7.3. Punto de equilibrio.
7.4. El modelo de Hillier.
7.5. Análisis de las decisiones secuenciales: árboles de decisión.
7.6. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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7.1. MÉTODOS SENCILLOS DE INTRODUCCIÓN DEL
RIESGO: EL MÉTODO DE LA TASA DE DESCUENTO
AJUSTADA AL RIESGO Y EL MÉTODO
DE LOS EQUIVALENTES DE CERTEZA
Hasta el momento hemos tratado el problema de la valoración y selección de
proyectos de inversión bajo el supuesto de que las decisiones empresariales se
adoptan en un contexto de certeza. En tales condiciones, nuestras previsiones
sobre las características financieras que definen un proyecto de inversión (desembolso inicial, flujos netos de caja y duración temporal) son exactas y, en consecuencia, la valoración del proyecto conduce a la obtención de una medida cierta
de su rentabilidad y, por tanto, a una decisión simple: si la inversión es rentable
conviene llevarla a cabo y, si no lo es, procede rechazarla.
Sin embargo, la realidad empresarial nos muestra que, en la mayoría de los
casos, el nivel de información sobre los acontecimientos futuros que afectan a las
variables explicativas de la rentabilidad de un proyecto está lejos de ser perfecto.
En la práctica, nos hallamos en condiciones de incertidumbre o de riesgo, esto es,
con sólo un conocimiento impreciso, en mayor o menor medida, sobre los valores
futuros que definen la inversión. Por tanto, tan sólo disponemos de estimaciones de
las características financieras del proyecto que, posteriormente, diferirán en mayor
o menor grado de los valores reales que finalmente terminen alcanzando.
En tales circunstancias, la medida de la rentabilidad esperada del proyecto no
es un indicador suficiente para valorar la conveniencia de llevar a cabo una determinada inversión. Hay otro factor que es necesario considerar y medir de alguna forma: el riesgo que conlleva dicho proyecto.
Podemos entender el riesgo asociado a un proyecto de inversión como la
variabilidad prevista en su rentabilidad, derivada a su vez de la variabilidad pre© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
vista en las variables que explican dicha rentabilidad. A continuación, vamos a
examinar algunos enfoques que tratan la consideración del riesgo. Antes es importante matizar que, si bien lo más interesante y adecuado sería medir el riesgo
incremental que incorpora el nuevo proyecto de inversión a la empresa, dada la
dificultad que entraña esto, normalmente, sólo se considera el riesgo específico
que viene ligado a cada decisión de invertir1. No obstante, en el caso particular
de que exista una correlación perfecta entre los flujos de caja de la empresa y los
del proyecto, medir el riesgo específico es suficiente, ya que, en tal caso, éste es
también indicativo del riesgo incremental.
El tratamiento del riesgo económico de un proyecto de inversión se puede
llevar a cabo a través de diversos métodos, que difieren en función de su grado
de complejidad, su objetividad o subjetividad en la medición del riesgo y su menor o mayor capacidad para evaluar el riesgo incremental del proyecto.
Dentro de este apartado, vamos a analizar dos de tales métodos, que realizan
un tratamiento sencillo o aproximado y subjetivo del riesgo específico del proyecto: el método de la tasa de descuento ajustada al riesgo y el método de los
equivalentes de certeza.
I.
El método de la tasa de descuento ajustada al riesgo
Este método consiste en calcular el VAN esperado del proyecto utilizando una
tasa de descuento ajustada al riesgo económico del mismo. Dicha tasa se compone de dos partes diferenciadas:
a=k+p
(7.1)
siendo:
a: tasa de descuento ajustada al riesgo del proyecto.
k: tasa de descuento de un activo sin riesgo (se suele utilizar el tipo de interés
de la deuda del Estado a corto plazo).
p: prima por riesgo.
En consecuencia, en un primer paso, este método implica estimar de manera
subjetiva el grado de riesgo económico específico que supone el proyecto y, a
continuación, determinar también de manera subjetiva la prima que corresponde
1
Como se analizará en el último capítulo, el modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model), partiendo del enfoque de la Teoría de Cartera, basado en el concepto de diversificación, realiza un tratamiento
más sofisticado del riesgo, ya que permite medir, de forma precisa, el riesgo incremental del proyecto de
inversión. En consecuencia, contempla la posibilidad de reducir el riesgo empresarial mediante la incorporación a la empresa de nuevos proyectos en función de la correlación de sus flujos de tesorería con los
de la empresa.
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Selección de inversiones productivas con riesgo
a dicho nivel de riesgo, esto es, el exceso de rentabilidad que exige el inversor
sobre la rentabilidad libre de riesgo. Si suponemos que los inversores son aversos
al riesgo, es lógico admitir que la prima por riesgo crece con el riesgo del proyecto.
E(VA N ) = −E( P0 ) +
E( F1 )
E( F2 )
E( F3 )
E( Fn )
+
+
+ ... +
2
3
(1 + a) (1 + a)
(1 + a)
(1 + a)n
(7.2)
Una vez obtenida la tasa de descuento ajustada al riesgo del proyecto, se
calcula el VAN de la inversión utilizando las estimaciones, previamente realizadas,
de los valores esperados de sus características financieras y la citada tasa.
Según este procedimiento, la norma de decisión consiste en seleccionar aquellos proyectos de inversión cuyo valor actual neto ajustado al riesgo sea positivo,
y, si utilizáramos el criterio TIR, seleccionar aquellos proyectos cuya tasa interna
de rendimiento sea superior a la tasa de descuento ajustada al riesgo (r > a).
Cuanto menor sea el grado de información disponible acerca de las variables
que definen la rentabilidad del proyecto de inversión, mayor es el valor de la prima
por riesgo, es decir, mayor es la rentabilidad mínima que se le exige al proyecto
y, por tanto, menor el valor actual neto resultante.
Conviene destacar que la tasa de descuento ajustada al riesgo de la empresa
es su coste medio ponderado de capital. Así pues, dicho CMPC es la tasa de descuento ajustada al riesgo que debemos utilizar para valorar un proyecto si suponemos que éste tiene el mismo riesgo económico que los actuales activos de la
empresa y se financia con una combinación de recursos financieros igual a la que
define la estructura financiera actual de la empresa.
II.
El método de los equivalentes de certeza
Consiste en reducir los valores esperados de los flujos netos de caja, estimados
en condiciones de riesgo, a otros valores equivalentes en condiciones de certeza
mediante un ajuste de los mismos en función del riesgo existente en cada período
de la vida de la inversión.
El ajuste se realiza multiplicando el valor estimado del flujo neto de caja de
cada período por un coeficiente, zj, que refleja el riesgo inherente a cada período
de la vida de la inversión. Este coeficiente, denominado equivalente de certeza,
se explicita de tal forma que, dado un período de tiempo j, al decisor le es indiferente obtener el flujo neto de caja esperado de E(F̃j ) unidades monetarias en
condiciones de riesgo que un flujo neto de caja de zj E(F̃j ) unidades monetarias
en condiciones de certeza:
Fj = zj E(F̃j )
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para 0 ≤ zj ≤ 1
(7.3)
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Teoría de la inversión
Los valores del coeficiente de certeza, zj , oscilan en un intervalo comprendido
entre cero y la unidad, de modo que cuanto mayor sea el riesgo asociado al flujo
neto de caja de un período, menor será su equivalente de certeza, y viceversa. Así,
si la estimación del flujo de un período es cierta, el coeficiente asociado deberá
tener valor 1, en tanto que si la estimación del flujo neto de caja de un período
conlleva máximo riesgo, el coeficiente asociado deberá ser nulo. No obstante, lo
normal no es que se dé uno de esos casos extremos, sino una situación intermedia
entre ambos.
Basándonos en este método, la fórmula del valor actual neto quedará como
sigue:
N) = −z0 E(P0 ) +
E(VA
z1E( F1 ) z2 E( F2 ) z3 E( F3 )
zn E( Fn )
+
+
+
...
+
(1 + k) (1 + k)2 (1 + k)3
(1 + k)n
(7.4)
Como se observa en la fórmula, se debe utilizar como tasa de descuento la
tasa libre de riesgo, ya que si utilizamos el coste de oportunidad del capital, se
estaría realizando una doble corrección del riesgo del proyecto en el momento de
calcular su valor actual neto.
El proyecto será aceptado cuando su valor actual neto reducido a condiciones
de certeza sea mayor que cero o, con el criterio TIR, cuando r > k.
Los métodos de la tasa de descuento ajustada al riesgo y de los equivalentes
de certeza serán equivalentes cuando, para todo período j de la vida de la inversión
(j = 1, ..., n), se cumpla que:
E( F j )
z E( F j )
= j
j
(1 + a)
(1 + k) j
(7.5)
Es decir:
(1 + k) j
(1 + a) j
(7.6)
(1 + k) j −1
(1 + k) j +1
;
z
=
j+1
(1 + a) j −1
(1 + a) j +1
(7.7)
zj =
Y, análogamente:
z j −1 =
Como k y a toman valores positivos y a > k, entonces zj − 1 > zj > zj + 1. Por
tanto, el criterio de la tasa de descuento ajustada al riesgo, a pesar de que aparentemente juzga el riesgo global del proyecto mediante la incorporación de una
prima p, al ser ésta constante a lo largo de la vida de la inversión, supone implí214
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Selección de inversiones productivas con riesgo
citamente que los flujos netos de caja más alejados del origen de la inversión son
más inciertos, más variables, motivo por el cual se deberán multiplicar por equivalentes de certeza, zj, menores.
La incorporación del riesgo en el proceso de valoración, ya sea mediante el
método de la tasa de descuento ajustada al riesgo o a través del método de los
equivalentes de certeza, trae como consecuencia una disminución del valor que
tiene para el sujeto decisor la realización de un proyecto de inversión. La causa
de ello hay que buscarla en la variabilidad que se puede producir en los resultados
esperados; por eso, la rentabilidad que se exigirá en condiciones de riesgo será
mayor que en condiciones de certeza, y tanto mayor cuanto mayor sea el nivel de
riesgo del proyecto.
Estamos de acuerdo con Suárez (2003) en que estos dos métodos, que son sencillos desde un punto de vista formal, se diferencian principalmente en la forma de
contemplar el proyecto y, por tanto, el riesgo inherente al mismo: de forma global,
en el método del ajuste de la tasa de descuento ajustada al riesgo, y flujo a flujo, en
el método de los equivalentes de certeza.
7.2. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Cuando valoramos un proyecto de inversión, podemos considerar el riesgo
que conlleva mediante la utilización del coste de oportunidad del capital como
tasa de actualización en el cálculo del VAN del proyecto. Sin embargo, de este
modo, si el proyecto tiene VAN esperado positivo, lo único que podemos afirmar
es que es más interesante que la inversión financiera alternativa de igual riesgo,
pero no tenemos ninguna garantía de que al llevarlo a cabo nuestra riqueza se
vaya a incrementar exactamente en la cuantía del VAN, ya que el proyecto entraña un riesgo. Lo único que está indicando el VAN en este caso es el aumento
medio de la riqueza del inversor.
En un contexto de riesgo, el VAN que calculamos es el que esperamos se
produzca dadas las estimaciones que tenemos de los flujos netos de caja, pero hay
toda una gama de valores que puede tener el VAN del proyecto, algunos de los
cuales pueden ser incluso negativos. Por ello, es importante analizar qué factores
influyen en mayor medida para que se den los valores favorables y cuáles tienen
más responsabilidad en que se den los valores desfavorables de la rentabilidad del
proyecto.
Es decir, en la realidad, un buen director financiero no debería limitarse a
calcular el VAN medio, o VAN esperado, E(VÃN ), del proyecto, sino que debería
tratar de conocer qué variables explicativas de la rentabilidad pueden favorecer
que el proyecto funcione y cuáles pueden hacerlo fracasar y, conocido esto, de© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
cidir si le compensa reducir la incertidumbre, es decir, incurrir en costes para
disminuir o eliminar las posibilidades de fracaso.
En este sentido, puede resultar muy útil el enfoque del análisis de sensibilidad. Como los métodos analizados en el apartado anterior, el análisis de sensibilidad es un método que realiza un análisis sencillo y subjetivo del riesgo específico de un proyecto de inversión. Consiste en lo siguiente:
1. En primer lugar, se estiman los valores esperados o previstos de las distintas variables que intervienen en el cálculo de los flujos netos de caja
del proyecto, con el fin de obtener estimaciones de los valores esperados
de estos flujos. Y, con base en ellos, se calcula el VAN esperado, utilizando una tasa de descuento ajustada al riesgo, a.
2. A continuación, para cada una de las variables relevantes en la determinación de la rentabilidad del proyecto, se obtiene una estimación optimista y una pesimista. Con ello, se calcula el VAN del proyecto para cada
estimación optimista o pesimista de cada variable, manteniendo para el
resto de las variables los valores esperados o previstos que se estimaron
inicialmente. Es decir, se estudia cada vez el grado de sensibilidad que
tiene el VAN del proyecto ante el cambio de una variable relevante desde
su valor esperado a su valor optimista y desde su valor esperado a su valor
pesimista. Este proceso permite observar qué cambios y en qué variables
conducen a los valores más desfavorables del VAN del proyecto2.
3. Una vez identificadas qué variables explicativas de la rentabilidad pueden
incidir en mayor medida en el fracaso del proyecto, procede plantearse si
a la empresa le compensaría o no incurrir en costes adicionales para reducir o evitar esas posibilidades de fracaso.
Veamos un ejemplo:
La empresa MARSA, dedicada a la producción y venta de ropa de baño, está
analizando la posibilidad de incorporar en la fabricación de sus bañadores la
utilización de un nuevo material textil que les dotaría de una mayor calidad dada
su mayor cualidad aislante del agua, así como su mayor resistencia ante componentes abrasivos existentes en el mar y en las piscinas. La idea sería mantener la
actual línea de bañadores y crear una nueva gama de mayor calidad fabricada con
el nuevo material.
2
En la actualidad, los instrumentos informáticos, como, por ejemplo, las hojas de cálculo, facilitan
y simplifican enormemente la realización de este análisis.
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El personal especializado de la empresa ha realizado las siguientes estimaciones de previsiones constantes para el nuevo proyecto de inversión, al que se le
estima una vida útil de 8 años:
— Inversión inicial: 50 millones de euros.
— Incremento de la cuota de mercado: 2 por 100.
— Tamaño del mercado: 15 millones de unidades de bañadores.
TABLA 7.1
Estimación del flujo neto de caja anual y del VAN del proyecto
Ingresos y gastos de explotación
Ventas anuales esperadas en u.f.3 =
Ingreso anual por ventas =
Coste variable total =
300.000
27.000.000
9.000.000
Amortización
Amortización anual =
6.250.000
Variación patrimonial
Variación patrimonial =
0
Cálculo de la base imponible y del impuesto anual
Ingresos por ventas
− Costes fijos
− Coste variable total
− Amortización
= Base imponible
Impuesto (25 % base imponible)
27.000.000
5.000.000
9.000.000
6.250.000
6.750.000
1.687.500
Cálculo del flujo neto de caja después de impuestos anual
Cobros por ventas
− Pagos por costes fijos
− Pagos por coste variable total
= Flujo neto de caja antes de impuestos
− Impuesto de sociedades
= Flujo neto de caja esperado después de impuestos
Valor actual neto esperado
27.000.000
5.000.000
9.000.000
13.000.000
1.687.500
11.312.500
10.351.352,61
3
Un tamaño del mercado de 15.000.000 de bañadores al año y una cuota de mercado del 2 por 100
representa unas ventas de 300.000 bañadores al año por parte de la empresa MARSA.
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Teoría de la inversión
— Precio unitario de venta: 90 euros.
— Coste variable unitario: 30 euros.
— Coste fijo anual: 5 millones de euros.
— Amortización lineal con valor residual nulo, aceptado por la Administración.
— Valor de venta en el mercado del equipo al final de su vida útil: nulo.
— Tipo impositivo sobre beneficios del 30 por 100 y el impuesto se paga
cuando se devenga.
— Política de cobros y pagos al contado.
— El coste de oportunidad del capital es del 10 por 100.
Con base en estas previsiones se obtiene el flujo neto de caja anual esperado
y el valor actual neto esperado o medio, tal como se muestra en la tabla 7.1.
Obtenido el VAN esperado del proyecto a partir de los valores medios de las
variables que lo determinan, procede llevar a cabo el análisis de sensibilidad con
respecto a las variables consideradas relevantes, en este caso: el tamaño y la
cuota del mercado, el precio de venta unitario, el coste variable unitario y los
costes fijos. Para ello, se pide al personal de comercialización y de producción
que dé una estimación optimista y una pesimista de cada una de ellas. A continuación, se calculan los valores actuales netos del proyecto correspondientes a la
utilización en el cálculo de las estimaciones optimista y pesimista de cada variable, una cada vez, manteniendo los valores esperados para el resto de variables.
Todo ello se muestra en la tabla 7.2.
TABLA 7.2
Análisis de sensibilidad
VAN (euros)
Expectativas
Variable
Pesimista
Esperada
Optimista
Pesimista
Tamaño
del mercado
12,75 mill. u.f.
15 mill. u.f.
16 mill. u.f.
−451.872,94 10.351.352,61 15.152.786,19
Cuota
de mercado
1,6 %
2%
2,5 %
−4.052.948,12 10.351.352,61 28.356.728,53
Precio unitario
85 €
90 €
95 €
4.349.560,54 10.351.352,61 16.353.144,59
Coste variable
unitario
35 €
30 €
25 €
4.349.560,54 10.351.352,61 16.353.144,59
Costes fijos
8,3 millones €
5 millones €
3 millones €
−2.852.589,73 10.351.352,61 18.353.741,90
218
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Esperada
Optimista
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Selección de inversiones productivas con riesgo
Estos resultados revelan la falta de seguridad acerca de que, efectivamente, el
aumento de la riqueza de la empresa si lleva a cabo este proyecto vaya a ser de
10.351.352,61 euros y que las variables que más pueden poner en peligro el éxito del proyecto son la cuota de mercado y los costes fijos.
Cabría ahora plantearse si procede obtener un mayor nivel de información
para reducir la probabilidad de fracaso del proyecto. Supongamos que el valor
pesimista de la cuota de mercado refleja el temor que tiene el departamento comercial a que un competidor con mejor imagen de marca ofrezca al mercado un
producto similar al que desea introducir la empresa MARSA, restándole a ésta
mercado. Si esto sucede, y suponiendo que ello tiene una posibilidad de 1 sobre
10, las ventas anuales se reducirían en 56.000 unidades de producto respecto a
las esperadas y, en consecuencia, el flujo neto de caja después de impuestos se
reduciría en:
Reducción en unidades vendidas ·
· (precio unitario de venta − coste variable unitario) ·
(7.8)
· (1 − tipo impositivo) = 56.000 · (90 − 30) · (1 − 0,25) = 2.520.000 €
Esto reduciría el VAN del proyecto en:
2.520.000
= 13.444.014, 02 e
(1,1)t
t =1
8
∑
Supongamos que por 750.000 euros se pudiera realizar en el momento actual
una campaña de imagen que reforzase la posición competitiva en el mercado y evitase o redujese esa posible situación futura negativa. Si comparamos este coste de
750.000 euros frente a la pérdida de 13.444.014,02 euros que tiene una posibilidad
del 10 por 100, observamos que llevar a cabo la campaña supondría una ventaja de:
−750.000 + 0,1 · 13.444.014,02 = 594.401,4 €
Por tanto, este análisis resulta de utilidad en la medida en que nos permite
tomar conciencia de la falta de seguridad en conseguir el aumento de riqueza
previsto por término medio, indicado por el método VAN. Asimismo, obliga a
explicitar las variables que se consideran relevantes y, entre ellas, las que entrañan
más peligro y sobre las que podría convenir recabar más información.
No obstante, este procedimiento que acabamos de presentar tiene algunos
inconvenientes:
— Subjetividad y ambigüedad en la determinación de los valores optimistas
y pesimistas de cada una de las variables relevantes y, por tanto, en los
resultados obtenidos.
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Teoría de la inversión
— Supone que las variables relevantes son independientes entre sí, ya que
considera cambios aislados de cada una de ellas. La realidad es que suelen
estar fuertemente relacionadas. Así, por ejemplo, los precios y los costes
suelen moverse simultáneamente y en igual sentido.
— No ofrece resultados concluyentes acerca de si se debe aceptar o no el
proyecto, tan sólo informa al decisor de determinados valores extremos
que puede alcanzar el VAN, para que adopte su decisión de acuerdo con
esta información y su grado de aversión al riesgo, pero no le informa de
los valores extremos (peor y mejor) que puede alcanzar el VAN.
Estos dos últimos inconvenientes se pueden resolver mediante una variante de
este método, que es el análisis de escenarios, que consiste en analizar diferentes
situaciones posibles, cada una de las cuales viene caracterizada por una determinada combinación coherente de valores previstos para las variables relevantes. Es
decir, estima el VAN del proyecto según diferentes escenarios y compara esas
estimaciones con el que resulta para la combinación esperada. Así, en el ejemplo
planteado, si se prevé un aumento en la demanda de trajes de baño, esto es, en el
tamaño del mercado, se podría esperar simultáneamente un aumento en la cuota
de mercado de la empresa en cuestión y la posibilidad de elevar el precio de
venta. Esto conformaría un escenario, para el cual se debería calcular su correspondiente valor actual neto. No obstante, este método continúa sin resolver los
dos primeros inconvenientes apuntados en el análisis de sensibilidad.
7.3. PUNTO DE EQUILIBRIO
Se trata de otro planteamiento sencillo para examinar la variabilidad de las
previsiones, más en concreto, la variabilidad de las ventas. El nivel de ventas
suele ser el factor más importante en la determinación de la rentabilidad del proyecto y es de difícil estimación. Por ello, resulta interesante analizar en qué medida incide esta variable en la rentabilidad del proyecto.
Con ese fin, este método pretende determinar cuál es el nivel mínimo de ventas (en unidades físicas) que debe alcanzar el proyecto de inversión para ser
rentable y por debajo del cual el VAN del proyecto es negativo. Dicho nivel de
ventas se denomina punto muerto o punto de equilibrio. En consecuencia, se
trata de buscar el nivel de ventas más bajo que permite equilibrar las entradas y
salidas de dinero que origina el proyecto, de modo que si las ventas terminan
siendo más altas, el VAN del proyecto de inversión será positivo, mientras que si
las ventas no alcanzan esa cota mínima, el VAN de la inversión será negativo.
Siguiendo con el ejemplo del proyecto de la empresa MARSA, en la tabla 7.3
se muestra el VAN, en millones de euros, para diferentes supuestos sobre unidades
vendidas.
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Selección de inversiones productivas con riesgo
TABLA 7.3
VAN esperado para diferentes supuestos sobre las unidades vendidas
Unidades físicas
vendidas
Valor actual esperado
(VA) entradas
Valor actual esperado
(VA) salidas
VAN esperado
0
200.000
250.000
260.000
270.000
0
96.028.671,56
120.035.839,45
124.837.273,03
129.638.706,61
61.670.151,06
109.684.486,84
121.688.070,78
124.088.787,57
126.489.504,36
−61.670.151,06
−13.655.815,28
−1.652.231,33
748.485,46
3.149.202,25
A la vista de la tabla, puede fácilmente deducirse que el VAN esperado del
proyecto se anulará para un nivel de ventas comprendido entre 250.000 y 260.000
unidades.
123,34
58,67
250
Figura 7.1.
260
Punto de equilibrio.
En la figura 7.1 se muestra el valor actual de las entradas y salidas de dinero
que supone el proyecto según diferentes supuestos sobre las cifras anuales de ventas. Las dos líneas se cruzan cuando el nivel de ventas alcanza el llamado punto
muerto o punto de equilibrio, de modo que, para dicho nivel, el VAN se anula.
Como es lógico, analíticamente, el punto de equilibrio se calcula bien buscando el nivel de ventas que anule el VAN esperado del proyecto, o bien buscando el nivel de ventas que iguale el valor actual de las entradas con el valor actual
de las salidas.
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Teoría de la inversión
No obstante, en ejemplos como el aquí expuesto, en el que todas las magnitudes se mantienen constantes año tras año y el valor residual del equipo al final
de su vida es nulo y, en consecuencia, todos los flujos netos de caja del proyecto
son iguales, podemos obtener el punto de equilibrio simplemente igualando las
entradas y las salidas que se producen en un año. En este último caso, no hay que
olvidar el importe del desembolso o inversión inicial. Para ello, vamos a imputar a cada año un Coste Anual Equivalente (CAE). Es decir, se ha de dividir el
desembolso entre el factor financiero de la anualidad correspondiente a la duración del proyecto:
CAE =
Desembolso
Factor de la anualidad de 8 años al 10%
50.000.000
50.000.000
=
=
= 9.372.200,879
a8 10%
5,334926198
(7.9)
Desde el punto de vista financiero no sería correcto dividir el coste de la inversión entre el número de años de vida de ésta, es decir, no sería adecuado imputar a cada año únicamente la cuota de amortización4, ya que no se estaría
considerando que a esta inversión se le exige el coste de oportunidad del capital
como rentabilidad mínima. Por tanto, las entradas de dinero que genere el proyecto no sólo deben permitir recuperar el desembolso, sino también obtener dicha
rentabilidad.
Así pues, el punto de equilibrio se obtiene a partir de la igualdad siguiente:
CAE + CF · (1 − t) − A · t = (P − Cv) · V · (1 − t)
(7.10)
siendo:
CF: costes fijos anuales.
t: tipo impositivo del impuesto de sociedades.
A: cuota de amortización anual.
P: precio de venta unitario.
Cv: coste variable unitario.
V: ventas en unidades físicas.
4
Ése es el procedimiento que se utiliza cuando lo que se calcula es un punto de equilibrio con-
table.
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Despejando el nivel de ventas, se puede obtener el punto de equilibrio a partir de la siguiente expresión:
PE = V =
CAE + CF ⋅ (1 − t) − A ⋅ t
=
(P − Cv) ⋅ (1 − t)
=
9.372.200,879 + 5.000.000 ⋅ (1 − 0, 25) − 6.250.000 ⋅ 0, 25
= (7.11)
(90 − 30) ⋅ (1 − 0, 25)
=
11.559.700,88
= 256.882, 242
45
Por tanto, si decide llevar a cabo el nuevo proyecto de inversión y bajo el
supuesto de que las previsiones del resto de variables son correctas, la empresa
deberá preocuparse por vender anualmente al menos 256.883 trajes de baño para
evitar tener pérdidas con dicho proyecto. Con niveles de ventas superiores conseguirá que el proyecto tenga éxito.
7.4. EL MODELO DE HILLIER5
Se trata de un método estadístico que parte del supuesto explícito de que la
rentabilidad del proyecto de inversión es una variable aleatoria, viniendo definida,
como toda variable aleatoria, por su correspondiente función de distribución.
A partir de dicho supuesto, proporciona una medida objetiva de la variabilidad
de la rentabilidad, esto es, del riesgo específico del proyecto. Dicha medida del
riesgo no se incorpora dentro de la medida de rentabilidad, sino que se dispone de dos indicadores, uno para la rentabilidad y otro para el riesgo del proyecto.
Así, dado un proyecto de inversión de duración conocida, se considera que el
desembolso y los flujos netos de caja que genera son variables aleatorias, de las
que se conocen sus funciones de distribución y, por tanto, sus valores esperados
y sus varianzas.
Así, en un período de tiempo j de la vida de la inversión y supuesto que el
flujo neto de caja generado en ese período es una variable aleatoria discreta, su
esperanza matemática y su varianza vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expresiones:
r
E( F j ) = ∑ Fjh Pjh
h =1
5
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(7.12)
Hillier, F. S. (1963).
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Teoría de la inversión
r
σ 2 ( Fj ) = ∑ [Fjh − E( Fj )]2 Pjh
(7.13)
h =1
siendo:
E(F̃j ): esperanza matemática del flujo neto de caja del período j, para
j = 0, 1, ..., n.
s 2(F̃j ): varianza del flujo neto de caja del período j, para j = 0, 1, ..., n.
F hj: flujo neto de caja en el período j si se produce el estado de la naturaleza h, para j = 0, 1, ..., n y h = 1, ..., r.
P hj: probabilidad de ocurrencia del flujo neto de caja F hj, para j = 0, 1, ..., n
y h = 1, ..., r.
La esperanza matemática nos da una medida del valor estimado previsto para
el flujo neto de caja de ese período, mientras que la varianza nos mide la variabilidad de valores posibles que puede tomar dicho flujo neto de caja en torno a
ese valor central esperado y, por tanto, el riesgo asociado.
Si los flujos netos de caja de un proyecto de inversión son variables aleatorias,
entonces, el valor actual neto de dicho proyecto, en tanto que suma actualizada
de los flujos netos de caja, es también una variable aleatoria:
VA N = − P0 +
F1
F2
F3
Fn
+
+
+
...
+
(1 + a) (1 + a)2 (1 + a)3
(1 + a)n
(7.14)
siendo:
a: coste de oportunidad del capital, esto es, la tasa de descuento ajustada al
riesgo del proyecto.
En un contexto de riesgo en el que se conoce la esperanza matemática del
desembolso y de los flujos netos de caja, teniendo en cuenta las propiedades lineales de este operador estadístico, podemos calcular la esperanza matemática
del valor actual neto del proyecto de inversión, como se indica a continuación:
E(VA N ) = −E( P0 ) +
E( F1 )
E( F2 )
E( F3 )
E( Fn )
+
+
+ ... +
2
3
(1 + a) (1 + a)
(1 + a)
(1 + a)n
(7.15)
Esta medida estadística nos indica la ganancia o pérdida media que se espera
obtener con la realización del proyecto. No obstante, no es un resultado seguro,
sino tan sólo un valor central alrededor del cual se hallan todos los posibles resultados que puede tener el VAN del proyecto. Así, un VAN esperado positivo no
garantiza, tal como se ha comprobado en el análisis de sensibilidad visto en el
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epígrafe segundo, que si se lleva a cabo la inversión efectivamente se obtenga una
ganancia de esa cuantía, sino que la rentabilidad puede ser inferior a la indicada
por esa esperanza matemática e incluso negativa, según cuál sea la función de
distribución del VAN del proyecto.
En consecuencia, la valoración y selección de proyectos de inversión requiere
otro estadístico que sea indicativo del riesgo que conlleva la decisión de invertir,
como es la varianza del valor actual neto. Como es sabido, el cálculo de la varianza de una variable aleatoria que es suma de diferentes variables aleatorias no
es una simple suma de las varianzas de éstas, sino que también considera las
relaciones existentes entre ellas, a través de las covarianzas. Es decir, la varianza
del valor actual neto de un proyecto de inversión ha de contemplar las interrelaciones existentes de los flujos netos de caja de los distintos períodos de la vida
del proyecto. Así pues, viene dada por la siguiente expresión general6:
cov ( F j , Fk )
j
k
j = 0 k = 0 (1 + a) (1 + a)
n
n
σ 2 (VA N ) = ∑ ∑
(7.16)
O, también, por la siguiente expresión equivalente:
n
n
σ 2 ( Fj )
cov ( F j , Fk )
+∑
∑
j+k
2j
j = 0 (1 + a)
j = 0 j ≠ k k = 0 (1 + a)
n
σ 2 (VA N) = ∑
(7.17)
Así, la varianza del VAN se compone de la suma actualizada de las varianzas
de los flujos netos de caja de los distintos períodos de la vida del proyecto por
sus respectivos coeficientes al cuadrado, pero también de la suma actualizada de
todas las covarianzas existentes entre ellos por sus correspondientes coeficientes.
Como es sabido, la mayor o menor dependencia o independencia lineal entre
dos variables aleatorias puede medirse, además de por la covarianza, a través del
coeficiente de correlación lineal entre ellas. Así, el coeficiente de correlación
lineal entre los flujos netos de caja de dos períodos de la vida del proyecto, F̃j
y F̃k, viene definido por el cociente entre la covarianza entre dichos flujos y
el producto de sus respectivas desviaciones típicas, tal como se expresa a continuación:
ρ j, k =
cov ( F j , Fk )
σ ( Fj ) σ ( Fk )
(7.18)
6
Con el fin de no complicar en exceso la expresión de la varianza, integramos el desembolso con el
resto de flujos netos de caja, ya que no es más que un flujo neto de caja negativo en el momento inicial.
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Teoría de la inversión
Así, teniendo en cuenta la definición del coeficiente de correlación, podemos
también expresar la varianza del VAN del proyecto como sigue:
n
n ρ σ (F
j )σ ( Fk )
σ 2 ( Fj )
j, k
+∑
∑
2j
(1 + a) j + k
j = 0 (1 + a)
j=0 j≠k k=0
n
σ 2 (VA N ) = ∑
(7.19)
Por tanto, la determinación de la varianza del VAN del proyecto resulta algo
más compleja que la de la esperanza matemática del mismo, ya que requiere
conocer o, en su caso, realizar alguna hipótesis sobre las relaciones de interdependencia lineal entre distintos flujos netos de caja del proyecto.
En este sentido, Hillier (1963) contempla tres posibles supuestos acerca del
grado de correlación lineal entre los flujos netos de caja del proyecto, que conducen a tres formas particulares de resolver de manera más sencilla y operativa
la varianza del VAN del proyecto, y que exponemos a continuación:
a) El desembolso y los flujos netos de caja del proyecto a evaluar son variables aleatorias linealmente independientes entre sí; es decir, todos los
coeficientes de correlación entre cada par de flujos son nulos. En dicho
caso, la varianza del VAN queda expresada como:
n
σ 2 ( Fj )
(7.20)
σ 2 (VA N ) = ∑
2j
j = 0 (1 + a)
O, si se prefiere, sacando la varianza del desembolso inicial fuera del
sumatorio:
n
σ 2 ( Fj )
σ 2 (VA N ) = σ 2 ( P0) + ∑
(7.21)
2j
j =1 (1 + a)
Se trata, por tanto, de calcular la suma debidamente actualizada de las
varianzas del desembolso y de los flujos netos de caja.
b) El desembolso y los flujos netos de caja son variables aleatorias perfecta y positivamente correlacionadas entre sí; es decir, todos los coeficientes de correlación entre cada dos flujos son iguales a la unidad. Por
consiguiente, la varianza del VAN se obtiene como sigue:
n
n
σ 2 ( Fj )
σ ( Fj )σ ( Fk )
+
∑
∑
j+k
2j
j = 0 (1 + a)
j = 0 j ≠ k k = 0 (1 + a)
n
σ 2 (VA N ) = ∑
(7.22)
O, lo que es lo mismo, dado que la expresión (7.22) es el desarrollo
del cuadrado de un polinomio:
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Selección de inversiones productivas con riesgo
⎡ n σ ( F j ) ⎤
σ (VA N ) = ⎢ ∑
j⎥
⎢⎣ j = 0 (1 + a) ⎥⎦
2
2
(7.23)
Nótese que la desviación típica del desembolso inicial debe estar
multiplicada por un coeficiente igual a −1, esto es:
n
⎡
σ ( Fj ) ⎤
σ (VA N ) = ⎢−σ ( P0) + ∑
j⎥
j =1 (1 + a) ⎥
⎢⎣
⎦
2
2
(7.24)
En este caso, el cálculo requiere únicamente el conocimiento de las
desviaciones típicas del desembolso y los flujos netos de caja del proyecto.
c) El desembolso y los flujos netos de caja guardan entre sí un cierto nivel
de interdependencia lineal; es decir, los coeficientes de correlación entre
cada dos flujos toman un valor intermedio entre −1 y 1. Esta situación
suele ser la más frecuente. El cálculo de la varianza del VAN requiere
utilizar la expresión general, (7.17) o (7.19), y, por tanto, sería necesario
calcular todos y cada uno de los coeficientes de correlación entre cada
dos variables.
No obstante, un caso particular es que el desembolso y los flujos
netos de caja se puedan subdividir en una parte positiva y perfectamente
correlacionada con los demás flujos (indicada con el superíndice PC) y
otra totalmente independiente (indicada con el superíndice I), es decir:
P0 = P0I + P0PC
para j = 1, 2, ..., n
(7.25)
F j = F + F
I
j
PC
j
En esta situación, la varianza del VAN del proyecto se puede calcular
como una combinación lineal de los casos a) y b), tal como se expresa a
continuación:
n
n
PC ⎤
σ 2 ( FjI ) ⎡
0PC ) + ∑ σ ( Fj ) ⎥
σ (VA N ) = σ ( P0I ) + ∑
+
−
σ
(
P
⎢
2j
j
j =1 (1 + a)
j =1 (1 + a) ⎥
⎢⎣
⎦
2
2
2
(7.26)
En conclusión, según este modelo, la valoración y selección de proyectos de
inversión se debe hacer con base en una medida bidimensional, compuesta por
dos parámetros: E(VÃN ) y s 2(VÃN ). Esto es, a cada proyecto de inversión se le
asocian estos dos índices, el primero indicativo de la rentabilidad que se espera
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proporcione, y el segundo representativo del riesgo asociado a dicha rentabilidad.
Así, la decisión lógica de un inversor racional y averso al riesgo, implicará que:
— Entre dos inversiones con idéntico rendimiento esperado, medido por
E(VÃN), será preferible aquella que suponga un menor riesgo, medido
por s 2(VÃN ).
— Entre dos inversiones que conlleven el mismo nivel de riesgo, medido por
s 2(VÃN ), elegirá la que proporcione un mayor rendimiento esperado medido por E(VÃN ).
Es decir, la gráfica que recogería las combinaciones E(VÃN ) − s 2(VÃN ) que
definen todos los proyectos de inversión posibles entre los que se situaría la elección de un inversor racional y averso al riesgo tendría una forma como la que se
muestra en la figura 7.27:
Figura 7.2.
Oportunidades de inversión para un inversor racional8.
7
El conjunto de oportunidades de inversión en el espacio media-varianza, aunque referido a inversiones financieras, se abordará en el último capítulo de este libro. Asimismo, también pueden consultarse, entre otros:
Brealey, R. y Myers, S. (2002): caps. 7 y 8.
Ross, S. A., Westerfield, R. W. y Jaffe, J. F. (2003): caps. 9 y 10.
8
Siendo s 2 = s 2(VÃN ).
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Un inversor racional y averso al riesgo nunca escogería proyectos de inversión
situados por debajo de la curva, como el representado por el punto S, ya que para
el nivel de riesgo que conlleva existe otro proyecto, el B, que ofrece un VAN esperado mayor.
Sin embargo, en el caso de proyectos de inversión situados sobre la curva, la
elección de un inversor racional y averso al riesgo dependerá de la forma concreta de su función de utilidad. Así, habrá inversores más aversos al riesgo que
prefieran proyectos con un menor rendimiento esperado porque tienen un menor
nivel de riesgo, como, por ejemplo, el A, y otros, menos conservadores, que elijan
proyectos más arriesgados con el fin de acceder a un mayor rendimiento esperado, como el C 9.
7.5. ANÁLISIS DE LAS DECISIONES SECUENCIALES:
ÁRBOLES DE DECISIÓN
Hasta ahora hemos contemplado la valoración y selección de proyectos de
inversión en un contexto estático. Hemos limitado el problema de las decisiones
de inversión a la elección, por parte de la empresa, entre proyectos de inversión
existentes en el momento presente, al margen de las oportunidades de inversión que se le puedan presentar en el futuro y de las interrelaciones que pueden
darse entre éstas y aquéllos. Sin embargo, la realidad muestra que las decisiones
de inversión se enlazan y se condicionan a lo largo del tiempo, de modo que las
que se adopten hoy están influidas por las que se tomaron en el pasado y, a su
vez, pueden promover o limitar la aparición de nuevas alternativas de inversión
en el futuro y, en consecuencia, influir sobre las elecciones de inversión futuras.
Por tanto, las decisiones de inversión se integran en un proceso secuencial y
dinámico. En este sentido, se hace necesaria alguna herramienta que permita reflejar, considerar y valorar la secuencia completa de decisiones posibles. Dicho
instrumento son los llamados árboles de decisión.
Como es lógico, los problemas de análisis de decisiones secuenciales se desarrollan en un contexto incierto. Normalmente, se asume un ambiente de riesgo en
el que se conocen las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores que
pueden tomar las variables explicativas que definen cada proyecto de inversión, de
modo que utilizan como regla de decisión el criterio del Valor Monetario Esperado (VME) o esperanza matemática. Es decir, para cada línea de acción alternativa
9
En la realidad, la consideración de las ventajas que ofrece la diversificación conduciría a la elección
de las mejores (eficientes en el sentido de Markowitz) oportunidades de inversión reales entre combinaciones o carteras de proyectos de inversión real más que entre proyectos de inversión reales aislados. Al
respecto, puede consultarse, a modo de ejemplo, Suárez, A. S. (2003): cap. 30.
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a lo largo del tiempo se calcula su valor monetario esperado y se escoge aquel plan
de acción que ofrece el mejor valor monetario esperado: el máximo, si la valoración se realiza con base en el valor actual neto esperado, y el mínimo, si la valoración se realiza con base a costes esperados10.
Veamos qué se entiende por árbol de decisión. Se trata de un grafo en el que
se representan las posibles estrategias11 o alternativas que se le plantean al sujeto
decisor, así como los resultados que obtendría con cada una de ellas en función
de los diferentes estados de la naturaleza12 que puedan presentarse. Para ello, el
árbol se compone de una serie de elementos: nudos o vértices que se unen mediante ramas, arcos o flechas.
Sobre las ramas se representan bien las diferentes opciones de inversión posibles, o bien los diferentes estados de la naturaleza que puedan suceder. Las
ramas tienen su origen en nudos, pudiendo distinguir entre nudos decisionales y
nudos aleatorios.
Un nudo decisional es aquel del que parten varias ramas que muestran el
conjunto de estrategias de inversión posibles que se le plantean al inversor en un
momento dado. Por tanto, como su nombre indica, exige una decisión o elección
por parte del sujeto decisor que consistirá en seleccionar la mejor de esas alternativas de inversión, abandonando el resto. Un nudo decisional se simboliza
mediante un cuadrado.
Un nudo aleatorio es aquel que es origen de una serie de ramas que representan los distintos estados de la naturaleza o sucesos inciertos que se pueden presentar e influir en el resultado que se alcanzaría con las anteriores estrategias de
inversión. Como su nombre indica, es el azar, y no el decisor, el que determinará
qué estado de la naturaleza sucederá. Un nudo aleatorio se simboliza por medio
de un círculo.
Una vez que el inversor dispone de toda la información posible acerca del
problema de inversión que se le plantea, procede el diseño del árbol que permita
visualizarla de manera global y facilite la resolución del problema.
10
Se podría completar el análisis con el cálculo de la varianza del VAN de las distintas alternativas,
pero lo obviaremos dada la simplicidad que se pretende tenga este manual. Así pues, al suponer que el
decisor se guía por el criterio del valor monetario esperado, estamos admitiendo implícitamente que el
fenómeno a valorar sigue la Ley de los grandes números, es decir, tiene cierto carácter repetitivo, lo que
garantiza que, por término medio, la ganancia o pérdida obtenida se aproxima al VME. No obstante, en
la realidad, es difícil que un fenómeno económico tenga un carácter repetitivo. Asimismo, dicho criterio
implica asumir que el inversor no tiene riesgo de ruina, es decir, que puede afrontar las posibles pérdidas
que se puedan dar en las situaciones más desfavorables. Y, además, supone que el inversor es neutral al
riesgo, esto es, que su función de utilidad es lineal.
11
Una estrategia queda definida por una combinación particular de valores de diferentes variables
controlables por el inversor.
12
Un estado de la naturaleza o escenario viene definido por una combinación particular de valores
de diferentes variables no controlables por el decisor.
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El diseño del árbol debe respetar la secuencia lógica de cuándo el decisor se
debe plantear cada decisión de inversión y de cuándo puede incidir la ocurrencia
de un estado de la naturaleza u otro. Así pues, el punto de partida es siempre
un nudo decisional y cada flecha que nace en un nudo decisional desemboca
en un nudo aleatorio.
Una vez dibujada la estructura del árbol y reflejada sobre ella toda la información referente a las estrategias de inversión y los estados de la naturaleza posibles, procede efectuar la valoración del árbol. La misma debe realizarse de
derecha a izquierda, de modo que, en primer lugar, se ha de cuantificar el resultado que se obtendría con cada secuencia posible de alternativas de inversiónestados de la naturaleza. A continuación, habrá que valorar los nudos que se vayan
sucediendo en la dirección indicada, esto es, de derecha a izquierda. En este
sentido, un nudo aleatorio se valora a través de la esperanza matemática o valor
monetario esperado de los resultados que se alcanzarían en función de los estados
de la naturaleza posibles, a cada uno de los cuales se le supone una probabilidad
de ocurrencia conocida, en tanto que un nudo decisional se valora con el mejor
valor monetario esperado, que se obtendría con una de las estrategias de inversión
posibles que tienen su origen en él.
Veámoslo con un ejemplo.
La empresa LÍNEA, S. A., dedicada a la fabricación y venta de muebles,
desea introducirse en el mercado chino.
Con tal fin, está analizando dos posibilidades de actuación:
a) Comenzar con una inversión fuerte y construir una planta de gran capacidad productiva que permita en un futuro abarcar otros mercados asiáticos, lo que le supondría un desembolso de 1.200.000 euros.
b) O, por el contrario, limitar el proyecto a la instalación de un gran almacén,
manteniendo la fabricación en el país de origen, lo cual implicaría un
coste inicial de 600.000 euros.
Los resultados en uno y otro caso dependerán del nivel de demanda, alta o
baja, que tenga la empresa en el mercado chino en los próximos años. La construcción de la fábrica supondría una elevada inversión, pero permitiría atender
una demanda alta, ofreciendo una mayor calidad de servicio, menores costes de
transporte y un precio de venta del producto más competitivo. Por otra parte, la
decisión de establecer únicamente un almacén implicaría inmovilizar un menor
volumen de recursos financieros y podría satisfacer en condiciones adecuadas una
demanda baja; sin embargo, por razones logísticas, sería difícil atender una demanda alta.
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Se estima que la probabilidad de que se alcance una demanda alta en el primer
año es del 60 por 100, en cuyo caso, existe una probabilidad del 70 por 100 de
que siga siendo alta en los años siguientes. No obstante, si la demanda fuera baja
el primer año, la probabilidad estimada de que continúe siendo baja en los años
siguientes es del 50 por 100.
Además, se dispone de la siguiente información respecto de las dos opciones
anteriores:
1. Construir la fábrica:
— Si la demanda en el primer año es alta, se espera un flujo neto de caja
para dicho año de 250.000 euros, en tanto que el VAN esperado para los
años siguientes, calculado al final del segundo año, será de 2.000.000 de
euros si la demanda se mantiene alta, y de 350.000 si pasa a ser baja.
— Si la demanda en el primer año es baja, el flujo esperado para dicho
año será de 100.000 euros, en tanto que el VAN esperado para los años
siguientes, calculado al final del segundo año, será de 1.800.000 euros
si la demanda pasa a ser alta, y de 280.000 si continúa siendo baja.
2. Instalar el almacén:
— Si la demanda en el primer año es alta, se espera un flujo neto de caja
para dicho año de 190.000 euros, en tanto que el VAN esperado para
los años siguientes, calculado al final del segundo año, será de 800.000
euros si la demanda se mantiene alta, y de 300.000 si pasa a ser baja.
— Si la demanda en el primer año es baja, el flujo esperado para dicho
año será de 150.000 euros, en tanto que el VAN esperado para los años
siguientes, calculado al final del segundo año, será de 450.000 euros
si la demanda pasa a ser alta, y de 300.000 si continúa siendo baja.
Se supone un coste de oportunidad del capital del 10 por 100.
El árbol de decisión que facilita la resolución de este problema de inversión
es el que se refleja en la figura 7.3.
Valoración del árbol:
R1: construir fábrica y producirse una demanda alta en el primer año y en los
años siguientes.
VAN = −1.200.000 + 250.000 / (1 + 0,1) + 2.000.000 / (1 + 0,1)2 = 680.165,29 €
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Figura 7.3. Árbol de decisión.
R2: construir fábrica y producirse una demanda alta en el primer año y baja
en los años siguientes.
VAN = −1.200.000 + 250.000 / (1 + 0,1) + 350.000 / (1 + 0,1)2 = −683.471,07 €
R3: construir fábrica y producirse una demanda baja en el primer año y alta
en los años siguientes.
VAN = −1.200.000 + 100.000 / (1 + 0,1) + 1.800.000 / (1 + 0,1)2 = 378.512,40 €
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R4: construir fábrica y producirse una demanda baja en el primer año y en los
años siguientes.
VAN = −1.200.000 + 100.000 / (1 + 0,1) + 280.000 / (1 + 0,1)2 = −877.685,95 €
R5: construir almacén y producirse una demanda alta en el primer año y en
los años siguientes.
VAN = −600.000 + 190.000 / (1 + 0,1) + 800.000 / (1 + 0,1)2 = 233.884,3 €
R6: construir almacén y producirse una demanda alta en el primer año y baja
en los años siguientes.
VAN = −600.000 + 190.000 / (1 + 0,1) + 300.000 / (1 + 0,1)2 = −179.338,84 €
R7: construir almacén y producirse una demanda baja en el primer año y alta
en los años siguientes.
VAN = −600.000 + 150.000 / (1 + 0,1) + 450.000 / (1 + 0,1)2 = −91.735,54 €
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R8: construir almacén y producirse una demanda baja en el primer año y en
los años siguientes.
VAN = −600.000 + 150.000 / (1 + 0,1) + 300.000 / (1 + 0,1)2 = −215.702,48 €
Nudo aleatorio 4:
0,7 · 680.165,29 + 0,3 · (−683.471,07) = 271.074,38 €
Nudo aleatorio 5:
0,5 · 378.512,40 + 0,5 · (−877.685,95) = −249.586,78 €
Nudo aleatorio 6:
0,7 · 233.884,3 + 0,3 · (−179.338,84) = 109.917,36 €
Nudo aleatorio 7:
0,5 · (−91.735,54) + 0,5 · (−215.702,48) = −153.719,01 €
Nudo aleatorio 2:
0,6 · 271.074,38 + 0,4 · (−249.586,78) = 62.809,92 €
Nudo aleatorio 3:
0,6 · 109.917,36 + 0,4 · (−153.719,01) = 4.462,81 €
Nudo decisional 1: Entre las dos estrategias posibles, la que ofrecería un
mayor VAN esperado, de 62.809,92 euros, es la que consiste en construir la fábrica, de modo que es ésta la decisión que debería adoptarse.
Como puede observarse, este problema no plantea la adopción de una secuencia de decisiones de inversión, sino tan sólo supone tomar una decisión única. En
consecuencia, podría haberse resuelto fácilmente sin necesidad de utilizar la técnica del árbol de decisión, esto es, directamente calculando el VAN esperado de
cada una de las dos estrategias posibles.
No obstante, el ejemplo continúa:
Con base en la experiencia obtenida en el primer año de actividad en el mercado chino, en caso de haber construido el almacén y haberse dado una demanda
alta, la empresa podría decidir si procede o no la ampliación de las instalaciones
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existentes con la construcción de una planta productiva. La ampliación supondría
un pago de 700.000 euros. Además, se sabe que si se amplía el almacén, el VAN
esperado para los años siguientes, calculado al final del segundo año, será de
2.300.000 euros si la demanda se mantiene alta, y de 300.000 si pasa a ser baja.
Con esta nueva información, el problema implica no sólo resolver qué decisión se debe adoptar en el momento actual, sino también qué opción posible se
ha de elegir el próximo año, teniendo en cuenta que ambas decisiones se condicionan entre sí. En este caso, resulta especialmente útil el empleo de un árbol de
decisión, tal como se muestra en la figura 7.4.
Figura 7.4. Árbol de decisión con opción de ampliar.
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Valoración del árbol:
Los resultados R1, R2, R3 y R4 son iguales a los valores obtenidos para tales
resultados en el caso anterior.
R5: construir almacén, producirse una demanda alta en el primer año, decidir
ampliar las instalaciones y darse una demanda alta en los años siguientes.
VAN = −600.000 − 510.000 / (1 + 0,1) + 2.300.000 / (1 + 0,1)2 = 837.190,08 €
R6: construir almacén, producirse una demanda alta en el primer año, decidir
ampliar las instalaciones y darse una demanda baja en los años siguientes.
VAN = −600.000 − 510.000 / (1 + 0,1) + 300.000 / (1 + 0,1)2 = −815.702,48 €
Los resultados R7, R8, R9 y R10 son iguales a los valores obtenidos en los resultados R5, R6, R7 y R8 del caso anterior, respectivamente.
Nudo aleatorio 5:
0,7 · 680.165,29 + 0,3 · (−683.471,07) = 271.074,38 €
Nudo aleatorio 6:
0,5 · 378.512,40 + 0,5 · (−877.685,95) = −249.586,78 €
Nudo aleatorio 7:
0,7 · 837.190,08 + 0,3 · (−815.702,48) = 341.322,31 €
Nudo aleatorio 8:
0,7 · (233.884,3) + 0,3 · (−179.338,84) = 109.917,36 €
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Nudo aleatorio 9:
0,5 · (−91.735,54) + 0,5 · (−215.702,48) = −153.719,01 €
Nudo decisional 4: Si en el momento actual se decide instalar sólo un almacén
y en el primer año la demanda es alta, la mejor decisión
es ampliar las instalaciones con la creación de una planta
productiva, ya que ello permitiría obtener una ganancia
esperada mayor, de 341.322,31 euros, que si se continuase operando sólo con el almacén.
Nudo aleatorio 2:
0,6 · 271.074,38 + 0,4 · (−249.586,78) = 62.809,92 €
Nudo aleatorio 3:
0,6 · 341.322,31 + 0,4 · (−153.719,01) = 143.305,78 €
Nudo decisional 1: Entre las dos decisiones que puede adoptar la empresa en
el momento actual, construir una fábrica o instalar un
almacén, la que ofrecería un mayor VAN esperado, de
143.305,78 euros, es la decisión menos ambiciosa de limitar la implantación de la empresa en China a la instalación de un almacén.
Por tanto, la secuencia de decisiones de inversión resultante es la siguiente:
en el momento actual, la empresa debería elegir la opción de instalar sólo un
almacén y, en el caso de que en el primer año la demanda fuese alta, debería
optar por ampliar las instalaciones, creando una planta productiva. Con esta secuencia de decisiones de inversión se espera conseguir un valor actual neto de
143.305,78 euros.
Conviene destacar que contemplar la posibilidad de ampliar el negocio, en
caso de haber optado inicialmente por instalar sólo un almacén, ha modificado la
decisión más conveniente a adoptar por parte de la empresa en el momento actual.
Así, si no se contempla tal opción, la decisión mejor que resultaba era construir
la fábrica; sin embargo, en caso de sí tenerla en consideración, la elección mejor
es instalar el almacén y, en caso de darse una demanda alta en el primer año,
ampliar las instalaciones creando una planta productiva.
Cabe pues que nos planteemos qué valor aporta la opción de ampliación.
Como es lógico, dicho valor viene dado por la diferencia entre el VAN esperado,
con la instalación del almacén teniendo en cuenta la opción de ampliar posterior238
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mente el negocio, y el VAN esperado con esa misma estrategia sin considerar la
opción de ampliar:
Valor de la opción de ampliación = 143.305,78 − 4.462,81 = 138.842,97 €
Por tanto, la opción de ampliación del negocio aporta un valor positivo de
138.842,97 euros.
En otro orden de ideas, en el caso de que después de elegir la construcción
de la fábrica en China o haber optado por la instalación de un almacén, el primer
año la demanda fuese baja, y ante el riesgo de que los años siguientes también lo
sea, la empresa debería contemplar la conveniencia o no de abandonar los planes
de expansión en China. En este sentido, se estima un cobro por la venta de la
fábrica de 1.100.000 euros y un cobro por la venta del almacén de 400.000 euros,
al final del primer año.
Al considerar la opción de abandono, el árbol de decisión que representa y
ayuda a resolver este problema de decisiones secuenciales de inversión es el que
se muestra en la figura 7.5.
Valoración del árbol:
Los resultados R1, R2, R3 y R4 son iguales a los valores obtenidos para tales
resultados en el caso anterior.
R5: construir fábrica, producirse una demanda baja en el primer año y decidir
abandonar el proyecto.
VAN = −1.200.000 + 1.200.000 / (1 + 0,1) = −109.090,91 €
Los resultados R6, R7, R8, R9, R10 y R11 son iguales a los valores obtenidos en
los resultados R5, R6, R7, R8, R9 y R10 del caso anterior, respectivamente.
R12: construir almacén, producirse una demanda baja en el primer año y decidir abandonar el proyecto.
VAN = −600.000 + 550.000 / (1 + 0,1) = −100.000 €
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Figura 7.5. Árbol de decisión con opción de ampliar y opción de abandono.
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Nudo aleatorio 7:
0,7 · 680.165,29 + 0,3 · (−683.471,07) = 271.074,38 €
Nudo aleatorio 8:
0,5 · 378.512,40 + 0,5 · (−877.685,95) = −249.586,78 €
Nudo aleatorio 9:
0,7 · 837.190,08 + 0,3 · (−815.702,48) = 341.322,31 €
Nudo aleatorio 10:
0,7 · 233.884,3 + 0,3 · (−179.338,84) = 109.917,36 €
Nudo aleatorio 11:
0,5 · (−91.735,54) + 0,5 · (−215.702,48) = −153.719,01 €
Nudo decisional 4: Si en el momento actual se decide construir una fábrica y
en el primer año la demanda es baja, conviene tomar la
decisión de abandonar el proyecto, ya que supondría una
pérdida esperada menor, de 109.090,91 euros, que si se
continuara con él.
Nudo decisional 5: Si en el momento actual se decide instalar sólo un almacén
y en el primer año la demanda es alta, la mejor decisión
es ampliar las instalaciones con la creación de una planta
productiva, ya que ello permitiría obtener una ganancia
esperada mayor, de 341.322,31 euros, que si se continuase operando sólo con el almacén.
Nudo decisional 6: Si en el momento actual se decide instalar sólo un almacén
y en el primer año la demanda es baja, conviene decidir
abandonar el proyecto, ya que supondría una pérdida esperada menor, de 100.000 euros, que si se continuara con él.
Nudo aleatorio 2:
0,6 · 271.074,38 + 0,4 · (−109.090,91) = 119.008,26 €
Nudo aleatorio 3:
0,6 · 341.322,31 + 0,4 · (−100.000) = 164.793,39 €
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Nudo decisional 1: Entre las dos decisiones que puede adoptar la empresa en
el momento actual, construir una fábrica o instalar un
almacén, la que ofrecería un mayor VAN esperado, de
164.793,39 euros, es la decisión menos ambiciosa de limitar la implantación de la empresa en China a la instalación de un almacén.
Por tanto, la secuencia de decisiones de inversión resultante es la siguiente:
en el momento actual, la empresa debería elegir la opción de instalar sólo un
almacén. En el caso de que en el primer año la demanda fuese alta, debería optar
por ampliar las instalaciones, creando una planta productiva. Sin embargo, si la
demanda en el primer año fuese baja, debería abandonar el proyecto de inversión.
Con esta secuencia de decisiones de inversión se espera conseguir un valor actual
neto por término medio de 164.793,39 euros.
Como se observa en este ejemplo, contemplar la opción de abandono del
proyecto no ha variado la secuencia de decisiones elegida en el caso anterior. Sin
embargo, dicha posibilidad de abandono ha incrementado el VAN esperado con
dicha secuencia de inversiones.
Así, el valor de la opción de abandono del proyecto consistente en instalar
sólo un almacén es:
Valor de la opción de abandono del almacén:
164.793,39 − 143.305,78 = 21.487,61 €
Por tanto, la opción de abandono aporta al VAN esperado de la secuencia de
decisiones de inversión elegida 21.487,61 euros.
Asimismo, podríamos calcular el valor de la opción de abandono del proyecto en el caso en el que éste hubiese consistido en la construcción inicial de una
fábrica:
Valor de la opción de abandono de la fábrica:
= 119.008,26 − 62.809,92 = 56.198,34 €
Con este ejemplo se muestra cómo a una decisión inicial se le pueden añadir
las opciones de ampliación, cuando el azar es favorable a dicha decisión, y de
abandono, cuando el futuro depara situaciones desfavorables para la estrategia
elegida. Como es lógico pensar, se trata de un ejemplo extremadamente simplificado de la realidad, la cual puede plantear problemas de decisiones secuenciales
de inversión muy complejos, que requieran árboles de decisión con un elevado
número de ramificaciones. En este sentido, es conveniente reducir el problema a
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Selección de inversiones productivas con riesgo
considerar las principales estrategias y soluciones posibles, evitando incurrir excesivamente en detalles cuya aportación no compensaría la pérdida de claridad y
operatividad del árbol de decisión.
Respecto a la valoración del árbol, tiene los inconvenientes propios del criterio del valor monetario esperado. Asimismo, podría ser útil complementar el
análisis con una medida, como la varianza, que englobe el riesgo inherente a cada
secuencia de estrategias y estados de la naturaleza.
Al margen de las limitaciones de esta técnica, conviene destacar que su utilidad principal es que exige del decisor que tome conciencia, analice y refleje
explícitamente las posibles estrategias que puede llevar a cabo y los posibles
escenarios futuros que se le pueden plantear, estableciendo las conexiones entre
todos estos elementos en un contexto dinámico. Así, el árbol de decisión resultante ofrece al inversor una visión global del problema de inversión.
7.6. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Retomemos de nuevo el ejemplo sobre la empresa MARSA del apartado 7.2
y recordemos sus datos básicos:
TABLA 7.4
Datos básicos del proyecto de la empresa MARSA
Año 0
Años 1 a 7
Año 8
300.000
300.000
Precio de venta unitario
90
90
Coste variable unitario
30
30
5.000.000
5.000.000
Inversión inicial
50.000.000
Unidades producidas y vendidas
Coste fijo anual
Valor residual aceptado fiscalmente
0
Precio de venta del equipo
0
Y, además, si:
— El sistema de amortización es lineal.
— La política de cobros y pagos es al contado.
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Teoría de la inversión
— El tipo impositivo sobre beneficios es del 25 por 100 y el impuesto se paga
cuando se devenga.
— El coste de oportunidad del capital es del 10 por 100.
Se pide:
a) Calcule el punto muerto o punto de equilibrio.
Si como vimos al estudiar el análisis de sensibilidad se diera el valor
pesimista para la cuota de mercado, es decir, un 1,6 por 100 en lugar del
valor esperado del 2 por 100, la empresa MARSA vendería 240.000 bañadores, en lugar de 300.000, y el VAN resultante sería negativo de
–4.052.948,12 euros. Ante esta situación, podríamos formularnos la siguiente pregunta:
b) ¿Qué precio unitario de venta debería fijar la empresa a esas ventas de
240.000 bañadores para obtener un VAN nulo, si el resto de las magnitudes se dan en sus valores esperados?
SOLUCIÓN
a) Punto muerto o punto de equilibrio
Como puede observarse, esta empresa espera producir y vender 300.000 unidades de producto en cada uno de los años de vida de su proyecto. Sin embargo,
resulta conveniente e interesante analizar en qué medida las ventas inciden en la
rentabilidad de proyecto. Es decir, cabe determinar cuál es su punto muerto o
punto de equilibrio. Aunque dicho valor ya lo hemos obtenido en el apartado 7.3,
resultando un punto muerto de 256.883 trajes de baño, vamos a exponer otra alternativa más general para su cálculo, que nos permite contemplar la posibilidad
de que las magnitudes que caracterizan el proyecto no se mantengan constantes
año tras año y que el valor de venta del equipo al final de su vida pueda ser positivo.
Así, considerando que las unidades que debe vender la empresa para que el
VAN sea nulo es la incógnita a resolver, comenzamos determinando la expresión
de los flujos netos de caja esperados antes de impuestos en cada uno de los años
en función de las unidades vendidas X:
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Selección de inversiones productivas con riesgo
TABLA 7.5
Flujos netos de caja esperados antes de impuestos
Cobros esperados ventas productos
Años 1 a 7
Año 8
90 · X
90 · X
Cobro esperado venta equipo
0
30 · X
30 · X
5.000.000
5.000.000
Cobros totales esperados
90 · X
90 · X + 0
– Pagos totales esperados
30 · X + 5.000.000
30 · X + 5.000.000
= FNC esperado antes impuestos
60 · X − 5.000.000
60 · X − 5.000.000
Pagos esperados de costes variables
Pagos esperados de costes fijos
A continuación, determinamos los impuestos que se espera pagar:
TABLA 7.6
Impuestos a pagar esperados
Años 1 a 7
Año 8
90 · X
90 · X
– Gastos esperados de explotación
30 · X + 5.000.000
30 · X + 5.000.000
= Resultado bruto de explotación esperado
60 · X – 5.000.000
60 · X – 5.000.000
6.250.000
6.250.000
0
0
Ingresos esperados
– Cuota de amortización
– Gastos financieros anuales
+ Variación patrimonial esperada
0
= Base imponible esperada
60 · X – 11.250.000
60 · X – 11.250.000
Impuestos a pagar esperados (t = 25 %)
15 · X – 2.812.500
15 · X – 2.812.500
Por tanto, los flujos netos de caja esperados después de impuestos resultan los
mostrados en la tabla 7.7.
Obtenidas las expresiones matemáticas para los flujos netos de caja después
de impuestos en cada uno de los años de la vida del proyecto en función de las
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Teoría de la inversión
TABLA 7.7
Flujos netos de caja esperados después de impuestos
Años 1 a 7
Año 8
FNC esperados antes de impuestos
60 · X − 5.000.000
60 · X − 5.000.000
– Pago de impuestos esperados
15 · X − 2.812.500
15 · X − 2.812.500
= FNC esperados después de impuestos
45 · X − 2.187.500
45 · X − 2.187.500
unidades que se espera vender, el último paso es buscar el valor de X, es decir,
calcular el nivel de ventas que anula el VAN esperado del proyecto de inversión:
E(VAN) = −50.000.000 + (45 ⋅ X − 2.187.500) ⋅ a8 10 % = 0
X = 256.882,242 trajes de baño.
Como es lógico, hemos llegado al mismo resultado que ya habíamos obtenido,
pero a través de un procedimiento que nos permite contemplar que las variables
características del proyecto puedan tomar valores diferentes en los distintos años
del horizonte considerado.
Por tanto, para que la empresa MARSA obtenga una rentabilidad positiva con
el proyecto que se plantea, es necesario que venda un número superior a
256.882,242 trajes de baño. Así, si las ventas anuales reales coinciden con las
esperadas de 300.000 unidades de producto, el VAN esperado resultante es positivo, de 10.351.352,61 euros.
b) ¿Qué precio unitario de venta debería fijar la empresa a esas ventas
de 240.000 bañadores para obtener un VAN nulo, si el resto
de las magnitudes se dan en sus valores esperados?
El proceso de resolución a seguir es el mismo, pero ahora la incógnita es el
precio unitario de venta Y.
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TABLA 7.8
Flujos netos de caja esperados antes de impuestos para una producción
y venta de 240.000 bañadores
Cobros esperados ventas productos
Años 1 a 7
Año 8
240.000 · Y
240.000 · Y
Cobro esperado venta equipo
0
30 · 240.000 = 7.200.000
30 · 240.000 = 7.200.000
Pagos esperados de costes fijos
5.000.000
5.000.000
Cobros totales esperados
240.000 · Y
240.000 · Y + 0
– Pagos totales esperados
12.200.000
12.200.000
240.000 · Y − 12.200.000
240.000 · Y − 12.200.000
Pagos esperados de costes variables
= FNC esperados antes impuestos
TABLA 7.9
Impuestos a pagar esperados
Años 1 a 7
Año 8
240.000 · Y
240.000 · Y
– Gastos esperados de explotación
7.200.000 + 5.000.000
7.200.000 + 5.000.000
= Resultado bruto de explotación esperado
240.000 · Y − 12.200.000
240.000 · Y − 12.200.000
6.250.000
6.250.000
0
0
Ingresos esperados
– Cuota de amortización
– Gastos financieros anuales
+ Variación patrimonial esperada
0
= Base imponible esperada
240.000 · Y − 18.450.000
240.000 · Y − 18.450.000
Impuestos a pagar esperados (t = 25%)
60.000 · Y − 4.612.500
60.000. Y − 4.612.500
TABLA 7.10
Flujos netos de caja esperados después de impuestos para una producción
y venta de 240.000 bañadores
Años 1 a 7
Año 8
FNC esperados antes de impuestos
240.000 · Y − 12.200.000
240.000 · Y − 12.200.000
– Pago de impuestos esperados
60.000 · Y − 4.612.500
60.000 · Y − 4.612.500
= FNC esperados después de impuestos
180.000 · Y – 7.587.500
180.000 · Y – 7.587.500
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Teoría de la inversión
Así, resolviendo la siguiente ecuación:
E(VAN) = −50.000.000 + (180.000 ⋅ Y − 7.587.500) ⋅ a8 10 % = 0
Se obtiene:
Y = 94,22 euros
Por tanto, en el supuesto pesimista de que las ventas anuales fueran de 240.000
unidades de producto, la empresa debería fijar, si le es posible, un precio de venta unitario superior a 94,22 euros, si no quiere entrar en pérdidas.
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El método de la tasa de descuento ajustada al riesgo implica exigirle al proyecto de inversión una rentabilidad mínima más elevada cuanto mayor sea el
riesgo que conlleva.
2. En condiciones de riesgo, si, al aplicar el método de la tasa de descuento
ajustada al riesgo, el VAN esperado de un proyecto de inversión es positivo,
la empresa puede aceptarlo con tranquilidad, ya que, en cualquier escenario
posible, se estará creando valor para el accionista.
3. En el método de los equivalentes de certeza se multiplica cada flujo neto de
caja esperado por un coeficiente que es tanto mayor cuanto mayor sea la
variabilidad asociada a dicho flujo neto de caja.
4. Si el flujo neto de caja arriesgado del tercer año de un proyecto de inversión
toma un valor medio de 300 unidades monetarias, y su equivalente monetario
para el inversor en condiciones de certeza es de 150 unidades monetarias,
entonces el coeficiente de certeza z3 es 2.
5. En el método de los equivalentes de certeza, cada flujo neto de caja se multiplica por un coeficiente zj y, a continuación, para calcular el VAN, se halla
el valor en el momento presente de todos los equivalentes ciertos empleando
la correspondiente tasa de descuento ajustada al riesgo.
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Selección de inversiones productivas con riesgo
6.
El coste medio ponderado del capital de una empresa es la tasa de descuento ajustada al riego económico de dicha empresa.
7.
El tratamiento del riesgo que realizan los métodos de la tasa de descuento
ajustada al riesgo y de los equivalentes de certeza supone una disminución
del VAN que se obtendría en condiciones de certeza con dichos flujos.
8.
El método del análisis de sensibilidad considera las posibles interrelaciones
existentes entre las variables relevantes que explican la rentabilidad de un
proyecto de inversión.
9.
El método del análisis de sensibilidad permite indagar en los factores generadores de riesgo del proyecto de inversión.
10.
Un proyecto de inversión que genere anualmente niveles de ventas en unidades físicas superiores a su punto de equilibrio, y siempre y cuando se
cumplan las previsiones sobre el resto de magnitudes que definen el proyecto, supondrá un VAN positivo.
11.
La selección entre proyectos de inversión con base en el modelo de Hillier
conduce a elegir siempre el proyecto con mayor esperanza matemática del
VAN.
12.
La esperanza matemática del VAN de un proyecto de inversión depende de
la interrelación existente entre los flujos netos de caja que genera dicho
proyecto.
13.
En una situación de riesgo, cualquier proyecto de inversión con tasa interna
de rentabilidad superior al tipo de interés sin riesgo se debe aceptar, ya que
entonces el VAN esperado será positivo.
14.
Con la técnica del árbol de decisión se consigue reducir el riesgo que suponen los proyectos de inversión.
15.
En los árboles de decisión, el valor de un nudo aleatorio se calcula aplicando el criterio de la esperanza matemática (valor monetario esperado).
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8
Interrelación entre las decisiones
de inversión y de financiación
M. Ferrando Bolado
8.1. Efecto de las decisiones de financiación sobre los flujos netos
de caja esperados y sobre la tasa de actualización.
8.2. El método del valor actual ajustado.
8.3. El método del coste medio ponderado del capital.
8.4. El método del flujo de caja de los accionistas.
8.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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8.1. EFECTO DE LAS DECISIONES DE FINANCIACIÓN
SOBRE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA ESPERADOS
Y SOBRE LA TASA DE ACTUALIZACIÓN
En el capítulo cuarto, al analizar el criterio VAN de selección de inversiones,
partimos de una serie de hipótesis que nos dibujaban una situación altamente
simplificada de la realidad. Uno de esos supuestos era que la empresa estaba financiada únicamente por capitales propios. Aunque en el mundo empresarial nos
podemos encontrar con la rara excepción de una empresa que todo lo pague al
contado y que nunca solicite financiación ajena, lo cierto es que la práctica totalidad de las sociedades acaban estando financiadas en parte por capitales ajenos
y en parte por capitales propios.
Si un empresario renuncia a la financiación ajena y todas sus inversiones las
cubre con recursos propios, entonces sólo podrá crear valor a través de las decisiones de inversión. Aunque esto no es lo habitual, la renuncia a crear valor a
través de las decisiones de financiación1 tiene la ventaja de que se pueden valorar las decisiones de inversión de forma separada, independiente, de las decisiones de financiación. Esto es lo que de hecho hemos venido haciendo hasta
ahora2.
1
Este libro está dedicado íntegramente a las decisiones óptimas de inversión, aquellas que crean
valor para el accionista. Las decisiones de financiación que crean valor a través de la búsqueda del ratio
óptimo de endeudamiento es uno de los temas más controvertidos de la Dirección Financiera y no será
analizado en este libro. Los interesados en este tema pueden consultar Suárez, A. S. (2003): caps. 36 a 39,
Brealey, R. y Myers, S. (2002): cap. 18 o Gómez, A. R. y otros (2006): cap. 4.
2
En su famoso artículo del año 1958, Modigliani y Miller demostraron que, en un mundo sin impuestos y con mercados de capitales perfectos, la forma como se financian las empresas (con capitales
propios o con deuda) es irrelevante. De modo que podríamos haber justificado también nuestro supuesto
de financiar los proyectos de inversión sólo con capitales propios diciendo que, dado que si no hay im© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
Sin embargo, estas dos decisiones, de inversión y de financiación, están fuertemente interrelacionadas, por lo que en este capítulo nos plantearemos la toma
de las decisiones de inversión de las empresas endeudadas o apalancadas, que,
como ya hemos dicho, son la práctica totalidad de las empresas de una economía3.
La rentabilidad que exigen los accionistas de una empresa sin deudas está en
relación directa al riesgo económico4 de las inversiones del activo. Esta rentabilidad es superior a la que, por término medio, exigen los aportantes de fondos de
una empresa con una estructura financiera saneada (por ejemplo, 50 por 100 de
recursos ajenos y 50 por 100 de recursos propios), ya que, si se parte de un nivel
de deuda nulo, a medida que se sustituyen capitales propios por deuda, como se
podrá comprobar más adelante, se producen ahorros fiscales por el pago de intereses que abaratarán lo que a la empresa le cuesta en términos medios ponderados
la financiación de sus activos o, si se prefiere, lo que por término medio ponderado le exigen los aportantes de fondos de la empresa.
De esta forma, se puede dar el caso de que un proyecto de inversión simple
financiado exclusivamente por recursos propios se rechace por ser su rentabilidad
relativa bruta (TIR) inferior a la rentabilidad exigida por los accionistas, mientras
que si se financia con una adecuada mezcla de recursos ajenos y recursos propios,
se acepte, debido a que entonces la rentabilidad media ponderada requerida por
los que financian dicho proyecto de inversión es menor que su tasa interna de
rentabilidad, con lo que la rentabilidad relativa neta resultaría positiva y su valor
actual neto también.
En el capítulo tercero, al estimar los flujos netos de caja de una inversión,
definimos el cash flow del activo de una empresa, con una determinada estructura financiera en un año determinado5, como la suma del cash flow libre más el
ahorro de impuestos derivado del pago de los intereses6. Este cash flow del activo,
puestos es indiferente la forma de financiación, suponemos que van a ser financiados únicamente por
capitales propios. No obstante, los impuestos están presentes en todas las facetas de nuestras vidas, por
lo que no los podemos obviar en los cálculos sobre los que se apoyan nuestras decisiones.
3
Hay una financiación espontánea que se genera a través de las operaciones derivadas de las ventas
de una empresa de la cual, con la excepción de proveedores que se podría soslayar si se opera al contado,
es imposible sustraerse. Nos referimos a las nóminas por pagar antes de fin de mes, la Hacienda Pública
y la Seguridad Social por pagar antes de los respectivos momentos del devengo y pago de los impuestos
y de las cuotas de la Seguridad Social, etc.
4
Recuérdese que los conceptos de riesgo económico y financiero fueron desarrollados en el apartado tercero del capítulo primero.
5
Para evitar el uso continuo del operador esperanza matemática, vamos a considerar, a lo largo de
este apartado, que todos los flujos financieros están expresados en términos ex-post o pasados y, sólo al
final, introduciremos el operador esperanza matemática indicativo de que se trata de flujos financieros
ex-ante o previstos en el futuro.
6
Siempre que una empresa paga 100 euros de intereses, le cabe el «consuelo» de que con ello se
ahorra: 100 · t en concepto de impuesto sobre sociedades. Es decir, si el tipo impositivo (t) soportado
por la empresa es del 25 por 100, el pago de 100 euros de intereses le supone un ahorro de impuestos de
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
como es natural, es el que pasará a repartirse entre los aportantes de fondos, propios y ajenos, como remuneración a la inversión que ambos colectivos han realizado en la empresa:
CFA = FCF + INT · t = CFN + CFD
donde:
CFA: flujo neto de caja o cash flow, después de impuestos, generado por el
activo.
FCF: cash flow libre o flujo neto de caja después de impuestos generado por
el activo de una empresa que no mantenga deudas en su pasivo.
CFN: flujo neto de caja que reciben los accionistas.
CFD: flujo neto de caja que reciben los prestamistas por las deudas a corto y
a largo plazo que la empresa mantiene con ellos.
INT: intereses o cargas financieras pagados por la empresa a lo largo del
ejercicio económico.
t: tipo impositivo del impuesto sobre sociedades.
Teniendo en cuenta la definición de Free Cash Flow (FCF) ofrecida en el
epígrafe tercero del capítulo tercero:
Free Cash Flow (FCF) = Cash flow del activo (empr. sin deudas) =
= BAIT (1 − t) + cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT −
− Δ Af bruto − Δ NOF
si ahora sumamos al FCF el ahorro impositivo que lleva aparejado el pago de los
intereses, INT · t, se obtiene la expresión del cash flow del activo:
CFA = FCF + INT · t = BAIT (1 − t) + INT · t + cuota AMORT + Δ PROVPAS +
+ Δ PROVACT − Δ Af bruto − Δ NOF
25 euros, con lo cual la empresa podría considerar que realmente está pagando 75 euros de intereses. En
general, si el importe de los intereses es INT, el ahorro de impuestos inducido por las cargas financieras
de la deuda será INT · t.
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Teoría de la inversión
y, puesto que el beneficio antes de intereses, pero después de impuestos, es:
BAIDT = BDIT + INT = (BAIT − INT) (1 − t) + INT =
= BAIT (1 − t) − INT + INT · t + INT = BAIT (1 − t) + INT · t
finalmente podríamos expresar el cash flow del activo de la siguiente manera:
CFA = BAIDT + cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT −
− Δ Af bruto − Δ NOF
Como se puede comprobar, este cash flow del activo (no así el free cash flow)
sí que se ve influido por la estructura financiera de la empresa, lo cual es demostrativo de que la forma como se financia una empresa acaba repercutiendo en el
flujo neto de caja total, que, posteriormente, terminan repartiéndose los accionistas y los prestamistas. En definitiva, existe una interrelación entre las decisiones
de inversión y de financiación.
En nuestro caso concreto, cuanto mayor es el nivel de deuda, mayores son los
ahorros fiscales por intereses y mayor es el cash flow del activo; aunque también,
tal como se vio en el capítulo primero, mayor es el riesgo financiero de la empresa o mayor es la probabilidad de que pueda entrar en dificultades financieras (una
suspensión de pagos o una quiebra)7. En efecto, en el epígrafe cuarto del capítulo
primero, se pudo verificar que si una empresa está muy endeudada (por ejemplo,
9 euros de deuda por cada euro de recursos propios) y su apalancamiento financiero se vuelve negativo en un año concreto (k0 < ki) debido a una mala situación
del entorno económico o a una mala gestión de sus directivos, la empresa entraría
en quiebra técnica si, por ejemplo, la rentabilidad del activo es de −5 por 100 y
el coste medio de las deudas es del 10 por 100 8.
A medida que el nivel de endeudamiento de una empresa se incrementa, los
accionistas exigirán una rentabilidad cada vez mayor en compensación al riesgo
económico de las inversiones del activo, que financian, y al riesgo financiero
creciente, que soportan, derivado del alto nivel de endeudamiento de la empresa.
7
Estos dos efectos de dirección opuesta son la razón por la cual, en la práctica, las empresas acaban
manteniendo ratios de endeudamiento intermedios: ni muy altos, que lleguen a poner en peligro la vida
de la empresa, ni tan bajos, que no se puedan aprovechar las ventajas de un moderado grado de apalancamiento, sobre todo cuando los tipos de interés son bajos como en la actualidad.
8
En efecto, según la expresión que relaciona la rentabilidad financiera con la rentabilidad económica:
ke = k0 + (k0 − ki )
256
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90 %
D
= −5% + (−5% − 10 %)
= −140 %
N
10 %
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Por tanto, tal como se analizará en el epígrafe tercero de este capítulo, la posibilidad de que una empresa se endeude afecta al valor actual neto, tanto en su numerador (flujos netos de caja esperados del activo) como en su denominador
(coste de capital exigido).
A modo de recapitulación de los resultados encontrados en este epígrafe, en
un año determinado, el flujo neto de caja que se espera va a generar el activo de
una empresa o, también, que se espera va a generar el incremento del activo de una
empresa derivado de un proyecto de inversión9, se puede expresar de dos formas
distintas:
a) Cash flow esperado del proyecto de inversión financiado en parte por
deuda y en parte por recursos propios:
E (CFA) = E (BAIDT) + E (cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT) −
− E (Δ Af bruto) − E (Δ NOF)
A los efectos de calcular el VAN, estos flujos netos de caja después de impuestos de cada uno de los años del horizonte de la inversión deberán ser descontados a la tasa de descuento exigida por el mercado de acuerdo con el riesgo del
activo: rA.
Tal como se expondrá en el epígrafe tercero de este capítulo, en el caso particular de que el nuevo proyecto de inversión tenga igual riesgo económico que las
«viejas» inversiones de la empresa (su actual activo) y que esté financiado por una
mezcla de recursos financieros igual a la de las actuales fuentes financieras de la empresa (que se mantenga igual el riesgo financiero de la empresa), esa tasa de descuento será el coste medio ponderado del capital, esto es, la media ponderada de la
rentabilidad exigida por los accionistas (rS) y por los prestamistas (rB) de la empresa.
b) Free cash flow, o cash flow esperado de un proyecto de inversión financiado exclusivamente por recursos propios, más los efectos sobre dicho flujo neto
de caja derivados de las decisiones de financiación de la empresa:
E (CFA) = E (FCF) + E (INT · t) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t) +
+ E (cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT) − E (Δ Af bruto) − E (Δ NOF)
9
Desde el momento en que en el capítulo tercero hemos considerado un proyecto de inversión como
una miniempresa, que genera una serie de flujos netos de caja incrementales que se van a repartir entre los
aportantes de nuevos fondos de la empresa, a partir de este momento, siempre que hagamos referencia al
activo, en realidad nos estaremos refiriendo a los nuevos activos del proyecto de inversión de que se trate.
Igualmente, al hacer referencia a los accionistas y a la deuda, realmente estamos pensando en el incremento del capital propio y en la nueva deuda que son necesarios para financiar el proyecto de inversión.
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Como se desarrollará en el epígrafe siguiente, los free cash flow de cada año
serán descontados a la tasa exigida por los accionistas en el hipotético caso de
que la inversión estuviese financiada exclusivamente por recursos propios, mientras que los ahorros de impuestos de cada año se descontarán a la tasa de interés
exigida por los prestamistas, ya que los ahorros fiscales por intereses deben tener
el mismo riesgo que los gastos financieros que los originan.
En el caso particular de que los flujos netos de caja después de impuestos de
los diferentes años de la vida económica del proyecto de inversión fuesen iguales
y que el proyecto no se amortizase o, si se prefiere, que se renovase constantemente dedicando el dinero proveniente de las cuotas de amortización y de las
provisiones a la inversión en elementos del activo fijo y/o del circulante:
E (cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT) = E(Δ Af bruto) + E(Δ NOF)
tendríamos que el flujo neto de caja perpetuo después de impuestos generado por
los activos del proyecto de inversión sería, de acuerdo con el enfoque del cash
flow esperado del proyecto de inversión financiado en parte por deuda y en parte
por recursos propios:
E (CFA) = E (BAIDT)
Y, de acuerdo con el enfoque del free cash flow esperado:
E (CFA) = E (FCF) + E (INT · t) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t)
que, evidentemente, son iguales, ya que:
E (BAIDT) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t)
Por último, antes de entrar en los tres métodos que vamos a plantear para la
toma de decisiones de inversión en empresas apalancadas, conviene resaltar que,
en principio, supondremos que las acciones de estas empresas cotizan en Bolsa,
así como los títulos de la deuda que emiten.
8.2. EL MÉTODO DEL VALOR ACTUAL AJUSTADO
En los capítulos anteriores hemos calculado el VAN de los proyectos de inversión como si sólo estuviesen financiados con capitales propios. No obstante, tal
como se ha comprobado en el epígrafe anterior, si hay impuestos, como en la vida
real así sucede, la emisión de deuda ahorra cargas impositivas a la empresa, por
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
lo que el flujo neto de caja que se reparten los accionistas y los tenedores de los
títulos de deuda emitidos por la empresa se vuelve mayor, aunque también resulta ser mayor el riesgo asociado al mismo y los costes de quiebra o insolvencia a
que puede conducir.
Un posible modo de tener en cuenta los efectos de las decisiones de financiación sobre la valoración de inversiones productivas es el que propone el criterio
del valor actual ajustado:
E(VAA) =
VAN esperado
suma del valor actual esperado de los efectos
+
del caso básico
derivados de las decisiones de financiación
en donde, en el VAN esperado del caso básico, se valora el proyecto de inversión
como una miniempresa financiada al 100 por 100 por capitales propios. Esto es
precisamente lo que hemos venido realizando hasta ahora: a) se estiman los flujos netos de caja después de impuestos, como si la empresa financiase el proyecto de inversión únicamente con capitales propios (free cash flow), y, a continuación, b) se actualizan al coste de oportunidad del capital correspondiente, esto es,
a la tasa de rentabilidad que exigen los accionistas en el mercado10 a esta empresa hipotética (rS).
Una vez estimado el VAN esperado del caso básico, se pasa a valorar uno a
uno los efectos, positivos o negativos, derivados de las decisiones de financiación
y, por último, se añaden todos los valores actuales de dichos efectos al VAN esperado del caso básico. Si el VAA esperado resulta positivo, el proyecto de inversión se acepta. Si resulta negativo, como siempre, se rechaza.
Así, por ejemplo, supongamos el caso de un proyecto de inversión con el cual
se espera obtener un free cash flow perpetuo después de impuestos11 de:
E (CFA empr. sin deudas) = E (FCF) = E (BAIT) (1 − t) =
= 60 (1 − 25 %) = 45 miles de €
Si el desembolso inicial de este proyecto de inversión asciende a 200 miles
de euros y si, hipotéticamente, a dicho desembolso inicial se le hiciese frente con
10
La rentabilidad que exigen en el mercado los accionistas (rS), en el caso hipotético de que la empresa no tenga deudas, es una tasa de interés ajustada al riesgo económico del proyecto de inversión. Tal
como se analizó en el capítulo anterior, cualquier tasa ajustada al riesgo es la suma de la rentabilidad
libre de riesgo más una prima por riesgo: rS = a = k + p.
11
Estamos suponiendo que, además de considerar al proyecto como si sólo se financiase con recursos propios, la empresa aplica anualmente el dinero proveniente de las cuotas de amortización y de las
provisiones a la reinversión en activos fijos y en circulante; es decir, estamos considerando que, en el
fondo, el proyecto de inversión no se amortiza. Asimismo, se supone que el tipo del impuesto de sociedades es del 25 por 100.
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Teoría de la inversión
una ampliación de capital de igual importe a la cual, en correspondencia con su
riesgo económico, el mercado le exige una tasa de rentabilidad del 20 por 100,
el VAN esperado del caso básico será:
E [VAN(rS = rA = 20 %)] = −P0 +
)
E( F
rS
= −200 +
45
0, 2
= 25 miles de €
Ahora bien, si la política de la empresa consiste en limitar su deuda al 50 por
100 del valor contable de sus activos, el ahorro fiscal anual perpetuo que obtendría
en el caso de cubrir el 50 por 100 del desembolso inicial con un préstamo perpetuo al 8 por 100 sería:
E (INT · t) = 100 · 8 % · 25 % = 2 miles de €
Como los ahorros impositivos por intereses tienen el mismo riesgo que los
pagos de interés que los originan, dichos ahorros impositivos se deben actualizar
a la misma tasa de interés que exigen los prestamistas de la empresa (rB = 8 por
100), con lo que el VAN esperado del ahorro fiscal perpetuo alcanzará el valor de:
E [VAN(rB = 8%)] =
E(INT ⋅ t)
2
=
= 25 miles de €
rB
0,08
Por tanto, el VAN esperado de dicho proyecto de inversión, contando con que
en la realidad se va a financiar los 200.000 euros del desembolso inicial la mitad
con deuda y la otra mitad con una ampliación de capital, finalmente ascenderá a
la cantidad de:
E (VAA) =
VAN esperado
suma del valor actual esperado de los efectos
+
del caso básico
derivados de las decisiones de financiación
E (VAA) = 25 + 25 = 50 miles de €
Como se sabe, esta cifra representa la contribución total del proyecto al valor
de la empresa, esto es, lo que en el mercado van a subir las acciones de la empresa, a partir de la cantidad de 100.000 euros desembolsada por sus accionistas,
hasta alcanzar el valor 150.000 euros en la Bolsa.
El criterio de selección de inversiones del VAA tiene la ventaja de que no sólo
estima la creación de valor para el accionista que va a suponer la ejecución de un
proyecto de inversión, cuestión ésta que siempre se le va a exigir a cualquier
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
criterio, sino que también señala las fuentes de donde procede la creación de
valor: las decisiones de inversión y las decisiones de financiación.
No obstante, aunque el criterio del VAA utilizado en este sencillo ejemplo
parece muy potente y de muy sencilla aplicación, un primer problema que plantea
es que hay otros efectos derivados de las decisiones de financiación que no debemos olvidar, así como que los FCF no tienen por qué ser perpetuos. Estas dificultades las vamos a abordar más tarde a través del desarrollo de un segundo
ejemplo.
Pero existe también un segundo problema que nos va a llevar a utilizar el
método del coste medio ponderado del capital como criterio de valoración de
inversiones en empresas apalancadas, y que se va a analizar en el siguiente epígrafe. Este segundo problema es la dificultad para especificar la tasa de descuento utilizada en el VAN esperado del caso básico. En efecto, hemos definido rS
como la rentabilidad exigida en el mercado por los accionistas de una empresa
no endeudada a proyectos de inversión con un determinado riesgo económico. Sin
embargo, resulta que dicha rentabilidad no se puede observar, ya que dichas empresas no existen ni cotizan en la Bolsa debido a que todas las firmas siempre
acaban por mantener un mayor o menor nivel de endeudamiento.
Entrando ya en el acercamiento del criterio del valor actual ajustado a una
situación más real, cabe decir que, además de los ahorros fiscales por intereses,
las decisiones de financiación pueden conllevar otros efectos, unos positivos y
otros negativos:
1. Costes de emisión. Si, debido a que la autofinanciación generada en el
período es insuficiente, la aceptación del proyecto fuerza a la empresa a
emitir acciones, entonces la empresa incurrirá en el pago de comisiones
que remuneren la labor de intermediación realizada por bancos de inversión e intermediarios financieros. En tal caso, el valor actual esperado de
los costes de emisión debería restarse del VAN esperado del caso básico.
2. Financiación subvencionada. A veces, las administraciones públicas (central, autonómica o local) ofrecen préstamos subvencionados a las empresas que acometen proyectos considerados socialmente deseables. Si éste
fuera el caso, el valor actual esperado de ese préstamo subvencionado
vinculado a la aceptación del proyecto se debe añadir al VAN esperado
del caso básico.
3. Costes asociados a una suspensión de pagos o a una quiebra. Ya hemos
comentado que, a medida que una empresa aumenta su grado de endeudamiento, se producen ahorros fiscales por intereses, pero también aumenta la probabilidad de que la misma se vea inmersa en un proceso de suspensión de pagos, por falta de liquidez, o de quiebra, si su neto patrimonial
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Teoría de la inversión
se vuelve negativo. El coste esperado de estos costes de insolvencia es un
efecto derivado de estas decisiones de financiación con elevado apalancamiento que habrá que restar en la fórmula del VAA12.
Vamos a mostrar el efecto conjunto de estos tres efectos de las decisiones de
financiación (ahorros fiscales por intereses, costes de emisión de títulos y financiación subvencionada) a través del siguiente ejemplo: sea una empresa que está
estudiando la posibilidad de acometer un proyecto de inversión en el sector de
energías renovables. El desembolso inicial asciende a 20 millones de euros y se
espera que genere un free cash flow después de impuestos de 4,79 millones de
euros en cada uno de los 10 años de la vida útil de la inversión.
La empresa tiene establecido un ratio objetivo de endeudamiento del 50 por
100 del valor contable de su activo, por lo que va a financiar el 50 por 100
de este proyecto particular con una emisión de acciones que deberá cubrir no
sólo el 50 por 100 del importe de la inversión, sino también los costes de emisión
que le van a aplicar los intermediarios financieros (1 por 100 del valor de la
emisión).
Para la financiación del 50 por 100 restante de la inversión, 10 millones de
euros, la empresa solicitará un préstamo a un plazo de 10 años al tipo de interés
exigido por el mercado: 6 por 100. A las cuotas anuales constantes de su amortización financiera se les hará frente con el importe de la amortización técnica del
activo fijo soporte de la inversión que se está ahora analizando.
Si el tipo impositivo del impuesto de sociedades es del 25 por 100, ¿cuál es
la creación de valor para los accionistas si éstos, en el caso de ser financiada la
inversión por completo con una ampliación de capital, exigen un 20 por 100 de
remuneración?
Vamos a operar ahora igual que antes, sólo que teniendo presente que, además
de ahorros fiscales por intereses, hay costes de emisión de las acciones y que los
flujos netos de caja después de impuestos no son perpetuos, sino constantes durante 10 años.
El VAN esperado del caso básico es:
)a =
E [VAN (rS = rA = 20 %)] = −P0 + E(FCF
nr
S
= −20 + 4,79 a10 20% = 0,08194129 millones de €
12
Aunque apuntamos el problema, en los ejemplos que vamos a desarrollar a continuación no vamos
a tener en cuenta los costes de insolvencia asociados a un endeudamiento excesivo, ya que desborda el
objetivo de este manual. En todo caso, mientras el nivel de endeudamiento sea razonable, los costes esperados de insolvencia serán muy bajos, por lo que se pueden obviar sin distorsionar el resultado. Sólo
cuando los niveles de endeudamiento son altos, los costes esperados de insolvencia son significativos y
no se pueden dejar de lado o ignorar.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
No parece mucho con relación a los 20 millones de euros de la inversión
inicial, pero el proyecto, sin tener en cuenta otras consideraciones, en principio,
es rentable. No obstante, la emisión de las acciones le supone a la empresa un
coste del 1 por 100 de la colocación, con lo que el importe emitido bruto deberá
ascender a una cantidad tal que, neta del coste de la emisión, alcance los 10 millones de euros necesarios para hacer frente a la mitad del desembolso inicial de
la inversión:
Emisión − 1 % emisión = 10 millones de €
por lo que:
Emisión = 10,1010101 millones de €
Coste de emisión = 10,1010101 − 10 = 0,1010101 millones de €
Si restamos estos costes de emisión, el VAN esperado del caso básico se vuelve negativo, con lo que el proyecto de inversión se debería entonces rechazar:
VAN esperado del caso básico − Valor actual de los costes de emisión < 0
0,08194129 − 0,1010101 = −0,01906881 millones de €
No obstante, al sumar el valor actual esperado de los ahorros fiscales por intereses, el proyecto, finalmente, se volverá atractivo y creará valor. Efectivamente, los ahorros fiscales año a año derivados de la opción de solicitar un préstamo
de 10 millones de euros al 6 por 100 de interés, a devolver a 10 años con cuotas
constantes, serán los que se muestran en la tabla 8.1.
Con lo que el valor actual de dichos ahorros fiscales, empleando una tasa de
interés en consonancia al riesgo de dicha renta, esto es, el 6 por 100, será:
INTj ⋅t
=
j
j =1 (1 + rB )
10
E [VAN (rB = 6%)] = ∑
=
+
0,150 0,135
0,120
0,105
0,090
+
+
+
+
+
2
3
4
1,06 (1,06)
(1,06)
(1,06)
(1,06)5
0,075
0,060
0,045
0,030
0,015
+
+
+
+
= 0,659978237 millones de €
6
7
8
9
(1,06)
(1,06)
(1,06)
(1,06)
(1,06)10
De acuerdo con todos los pasos seguidos, el valor actual ajustado del proyecto de inversión, como se puede observar en la tabla 8.2, acaba alcanzando un
valor positivo, por lo que deberá ser aceptado.
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Teoría de la inversión
TABLA 8.1
Ahorros fiscales por intereses (millones de euros)
Año j
Deuda viva
a inicios de año
Intereses anuales
(INT)
Ahorro fiscal
por intereses
(INT · t)
1
10
0,60
0,150
2
9
0,54
0,135
3
8
0,48
0,120
4
7
0,42
0,105
5
6
0,36
0,090
6
5
0,30
0,075
7
4
0,24
0,060
8
3
0,18
0,045
9
2
0,12
0,030
10
1
0,06
0,015
TABLA 8.2
Valor actual ajustado esperado
Concepto
Millones de euros
VAN esperado del caso básico:
− VA esperado de los costes de emisión:
+ VA esperado de los ahorros fiscales por intereses:
0,08194129
− 0,1010101
0,659978237
= Valor actual ajustado esperado: E (VAA)
0,640909426
Ahora bien, si debido a su catalogación como inversión de interés social, el
proyecto que estamos valorando tuviese derecho a obtener un préstamo subvencionado de la Administración, el valor actual de dicho préstamo subvencionado
también debería sumarse al valor actual ajustado que se acaba de encontrar.
Así, si al ejecutar ese proyecto de inversión de interés social la empresa tuviese el derecho a pedir un préstamo de 10 millones de euros a devolver en 10
cuotas anuales de igual cuantía con un interés del 4 por 100 anual, en lugar del
6 por 100, que es el interés normal de mercado, los flujos netos de caja después
de impuestos de dicho préstamo subvencionado serían los que aparecen relacionados en la tabla 8.3.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
TABLA 8.3
Préstamo subvencionado: flujos netos de caja después de impuestos
(en millones de euros)
Cuota
de amortización
Deuda viva
comienzos
de año
(B)
Intereses
(INT = B · rB)
Intereses netos
del ahorro
fiscal
INT (1 − t)
1
1
10
0,40
0,30
−1,30
2
1
9
0,36
0,27
−1,27
Año j
0
Flujo neto
de caja
Desp. Imp.
Fj
10
3
1
8
0,32
0,24
−1,24
4
1
7
0,28
0,21
−1,21
5
1
6
0,24
0,18
−1,18
6
1
5
0,20
0,15
−1,15
7
1
4
0,16
0,12
−1,12
−1,09
8
1
3
0,12
0,09
9
1
2
0,08
0,06
−1,06
10
1
1
0,04
0,03
−1,03
por lo que el VAN esperado de estos flujos netos de caja empleando la tasa de
descuento de una renta segura después de impuestos13, esto es:
rB (1 − t) = 6 % (1 − 25 %) = 4,5 %
será el VAN esperado del préstamo subvencionado:
Fj
=
j
j = 0 (1 + rB )
10
E [VAN (rB = 4,5%)] = ∑
= 10 −
1,30
1,27
1,24
1,21
1,18
1,15
1,12
−
−
−
−
−
−
−
2
3
4
5
6
1,045 (1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)7
−
1,09
1,06
1,03
−
−
= 0,695760608 millones de €
8
9
(1,045)
(1,045)
(1,045)10
13
Una renta segura estrictamente hablando es la que proporciona un bono del Estado. En el caso de
empresas privadas que sean solventes, la deuda que emiten tiene un riesgo muy bajo, pero positivo, por
lo que el tipo de interés de su deuda debería ser algo mayor. En el ejemplo que sigue hemos supuesto
que el riesgo de la empresa privada es el mismo que el del Estado, esto es, nulo.
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Teoría de la inversión
Obsérvese que, al igual que un proyecto de inversión, un préstamo también
tiene su valor actual neto concreto, sólo que, como es una operación de financiación, el primer flujo neto de caja es positivo (el importe del préstamo recibido) y
todos los flujos netos de caja posteriores son negativos (cuotas de amortización e
intereses pagados cada año). Lo normal en el mundo real es que el VAN de los
distintos instrumentos financieros sea nulo, esto es, que la institución financiera
les esté aplicando un tipo de interés de mercado adecuado a su riesgo. Así, el VAN
esperado del préstamo no subvencionado del 6 por 100 empleado inicialmente
tiene un VAN nulo, por lo que no afecta a la fórmula del VAA. En efecto, sus
flujos netos de caja después de impuestos son los que se recogen en la tabla 8.4.
TABLA 8.4
Préstamo normal: flujos netos de caja después de impuestos
(en millones de euros)
Año j
Cuota
de
amortización
Deuda viva
comienzos
de año
(B)
Intereses
INT = B · rB
Intereses netos
del ahorro
fiscal
INT (1 – t)
0
Flujo neto
de caja
Desp. Imp.
Fj
10
1
1
10
0,60
0,450
−1,450
2
1
9
0,54
0,405
−1,405
3
1
8
0,48
0,360
−1,360
4
1
7
0,42
0,315
−1,315
5
1
6
0,36
0,270
−1,270
6
1
5
0,30
0,225
−1,225
7
1
4
0,24
0,180
−1,180
8
1
3
0,18
0,135
−1,135
9
1
2
0,12
0,090
−1,090
10
1
1
0,06
0,045
−1,045
Y su VAN esperado empleando la tasa de descuento neta de impuestos del 4,5
por 100 es14:
14
Si se opera con los flujos netos de caja del préstamo antes de tener en cuenta los ahorros fiscales
por intereses y se emplea su correspondiente tasa de actualización antes de impuestos (rB = 6 por 100),
el VAN, igualmente, debe ser nulo.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Fj
=
j
j = 0 (1 + rB )
10
E [VAN (rB = 4,5%)] = ∑
= 10 −
−
1,450
1,405
1,360
1,315
1,270
−
−
−
−
−
2
3
4
1,045 (1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)5
1,180
1,135
1,090
1,045
1, 225
−
−
−
−
= 0 millones de €
6
7
8
9
(1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)
(1,045)10
Recapitulando, los pasos seguidos en el cálculo del VAA esperado del ejemplo
relativo al proyecto de inversión de energías renovables son los que figuran de
forma resumida en la tabla 8.5, quedando así computados tanto el VAN esperado
del caso básico como todos los efectos que se derivan de la forma de financiación
escogida15.
TABLA 8.5
VAA esperado del proyecto de inversión de energías renovables
Concepto
Millones de euros
VAN esperado del caso básico:
− VA esperado de los costes de emisión:
+ VA esperado de los ahorros fiscales por intereses:
+ VA esperado del préstamo subvencionado:
0,08194129
− 0,1010101
0,659978237
0,695760608
= Valor actual ajustado esperado E (VAA):
1,336670034
El principal problema del método del VAA es que la rentabilidad exigida por
el mercado a las acciones de una empresa no endeudada no es observable en la
Bolsa16, ya que en la práctica estas empresas son inexistentes, o prácticamente
inexistentes, por lo que este método no se utiliza en la selección de los proyectos
de inversión normales o más frecuentes en la vida de las empresas.
No obstante, es un método a tener en cuenta cuando las empresas no mantienen constante su ratio de endeudamiento objetivo durante la vigencia de la inversión y este diferente nivel de deuda en cada año de la vida económica del pro15
El valor actual esperado de los ahorros fiscales de la tabla 8.5 coincide con el de la tabla 8.2
porque se está suponiendo implícitamente que la empresa paga y se imputa en el impuesto sobre sociedades el tipo de interés normal de mercado del 6 por 100 y luego el Estado le devuelve, a fondo perdido,
los dos puntos de interés de más que ha pagado con respecto al que le corresponde de acuerdo con el
préstamo subvencionado que le ha sido concedido.
16
En palabras de Brealey, R. y Myers, S. (2002): p. 374, «el problema es que no se puede encontrar r,
el coste de oportunidad del capital, en el Wall Street Journal ni encontrarlo en Internet».
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Teoría de la inversión
yecto de inversión es conocido. Asimismo, en situaciones especiales, como la
financiación subvencionada, las adquisiciones empresariales apalancadas (leveraged buy outs, donde el nivel de deuda es muy alto al comienzo, pero cae rápidamente en los años siguientes) y la valoración de una compra frente a la decisión de arrendar, puede ser necesaria o recomendable su utilización al ser su
aplicación más directa y sencilla que los criterios que a continuación se van a
desarrollar.
8.3. EL MÉTODO DEL COSTE MEDIO PONDERADO
DEL CAPITAL
El método del Coste Medio Ponderado del Capital (CMPC) se utiliza en
proyectos de inversión que son como un copia de la empresa, es decir, en proyectos de inversión que tengan igual riesgo económico que los actuales activos de la
empresa y que estén financiados con una mezcla de recursos financieros igual a
la de la actual estructura financiera de la empresa.
Dado que estamos suponiendo que las acciones de la empresa que pretende analizar la conveniencia o no conveniencia de acometer una inversión, así
como los títulos de la deuda que emite —eliminada la parte del balance que está
cubierta con financiación espontánea: proveedores, efectos por pagar, nóminas
por pagar, etc.— cotizan en Bolsa, su balance a precios de mercado sería el siguiente:
Figura 8.1.
Valor de mercado de la empresa.
donde:
V: valor de mercado de la empresa.
B: valor de mercado de la deuda emitida por la empresa.
S: valor de mercado de las acciones de la empresa.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
rB: rentabilidad de mercado media ponderada exigida por los prestamistas
de la empresa de acuerdo con los riesgos de la deuda17.
rS: rentabilidad de mercado exigida por los accionistas de la empresa en
correspondencia al riesgo económico y financiero que soportan18.
rA: rentabilidad de mercado del activo de la empresa adecuada a su nivel
de riesgo o coste de oportunidad del capital. Como en cualquier situación de riesgo, está formada por la rentabilidad del activo libre de
riesgo más una prima por riesgo.
rCMPC: coste medio ponderado del capital después de impuestos al que se financia a la empresa.
Si se compara este balance expresado con valores de mercado y las rentabilidades de mercado exigidas por los poseedores de los diversos títulos que emite
la empresa, con el balance y los distintos ratios contables mostrados en el epígrafe tercero del capítulo primero, es indudable que hay un paralelismo muy marcado. No obstante, la diferencia estriba, además de que en el capítulo primero todas
las magnitudes de balance y ratios financieros estaban definidos en términos
contables, en el hecho de que en dicho capítulo figuraba todo el balance, incluida
la financiación espontánea, mientras que aquí sólo aparece la deuda con coste
explícito, expresado ahora como la rentabilidad exigida por el mercado.
Como se puede comprobar en la figura 8.1, el valor de mercado de los activos
de la empresa coincide con el valor de mercado de los títulos que ésta emite, ya
que una empresa vale lo que valen en el mercado, en la Bolsa, los títulos que hay
«por detrás» de ella y no el valor que reflejan los libros de su contabilidad, el cual
puede estar por encima o por debajo de su valoración bursátil19:
V=B+S
17
Si, dentro de la deuda con coste explícito, la emitida con un vencimiento a corto plazo representa
el 30 por 100, mientras que la que tiene un vencimiento a largo plazo es el 70 por 100 restante, el coste
del capital deuda será la media ponderada de estos dos tipos de deuda:
rB = rB, CP 30 % + rB, LP 70 %
En consecuencia, no hay problema alguno en admitir que la empresa cuenta con diferentes tipos de
deuda, la rentabilidad exigida por el mercado (rB) será la media ponderada de las rentabilidades de los
distintos títulos que integran su endeudamiento con coste explícito.
18
La rentabilidad después de impuestos, en términos contables, de los recursos propios la hemos representado por ket. De forma paralela, rS es la valoración que hace el mercado del flujo de renta después
de impuestos que reciben los accionistas. Por tanto, aunque se omite el superíndice t en el símbolo rS, se
trata realmente de una rentabilidad de mercado después de pagar la sociedad el impuesto sobre beneficios.
19
El 20 de noviembre de 2014, 25 de los 35 valores que integraban el IBEX 35 tenían un ratio
precio/valor contable de las acciones superior a la unidad. En algunos casos, ese cociente se situaba por
encima de 6. En situaciones normales de mercado con una economía en expansión, prácticamente la
totalidad de las empresas del IBEX 35 tendrían un valor bursátil superior a su valor contable.
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Teoría de la inversión
Por otro lado, la valoración en el momento presente que da el mercado a la
deuda de la empresa y a sus acciones debe ser tal que la rentabilidad que consigan
los tenedores de la deuda y sus accionistas sea igual a la exigida o requerida por
estos dos colectivos, rB y rS, respectivamente20. De este modo, la rentabilidad en
valores absolutos (cantidad invertida por rentabilidad relativa conseguida) que
genera el activo de la empresa debe coincidir con la rentabilidad en euros, en
términos absolutos, que van a recibir los aportantes de fondos en la misma:
rA V = rB B + rS S
con lo que si dividimos ambos miembros de la igualdad entre V, se tiene:
rA = rB B / V + rS S / V
El lado derecho de esta igualdad se puede interpretar como lo que le cuesta a
la empresa, por término medio ponderado, la financiación de sus actuales inversiones:
rA = rB B / V + rS S / V = rCMPC
coincidiendo dicho coste medio ponderado del capital, como es lógico, con la
rentabilidad de mercado del activo.
La rentabilidad exigida por el mercado a las inversiones de la empresa (rA) es
una tasa de interés adecuada al riesgo de su activo. El problema de operar con
este coste de oportunidad del capital es que no es observable en el mercado, a no
ser, cosa que no es lo habitual, que la empresa esté financiada únicamente por
recursos propios, en cuyo caso coincidiría la rentabilidad de mercado del activo
con la rentabilidad que los accionistas de esta empresa exigen. Si así fuese, los
accionistas estarían obteniendo una rentabilidad adecuada al único riesgo que
están corriendo, el riesgo económico, ya que el riesgo financiero sería nulo al no
tener deudas la empresa.
Dado que, en el caso de empresas endeudadas, rA no es observable en el mercado, la forma de llegar a dicha tasa es calcular rCMPC apoyándonos en las tasas
rB y rS, que sí se pueden observar o extraer de las cotizaciones de los títulos que
emite la empresa.
Si ahora la empresa descubre una oportunidad de inversión con igual riesgo
económico que sus actuales activos y la financia con un ratio de endeudamiento,
expresado en términos de mercado (B / V), igual al de su actual estructura fi20
Si el accionista no obtiene la rentabilidad bursátil deseada, no comprará acciones de esta empresa
en Bolsa y, por consiguiente, la empresa no podrá colocar en el mercado las nuevas ampliaciones de
capital necesarias para financiar las oportunidades de inversión que vayan surgiendo. Lo mismo podría
decirse de los obligacionistas, los bancos o las entidades financieras, etc.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Figura 8.2.
Incremento del valor de mercado de la empresa.
nanciera, la rentabilidad o tasa de corte que se debería exigir para llevarla a término, para aceptar el proyecto de inversión, es rCMPC (véase la figura 8.2), ya que
el riesgo económico y el riesgo financiero siguen siendo, antes y después de aceptar
el proyecto de inversión, los mismos, motivo por el cual los accionistas y los tenedores de la deuda no tienen por qué exigir una rentabilidad mayor. En este caso, si
la TIR después de impuestos del proyecto de inversión (r) fuese igual que el coste
medio ponderado del capital después de impuestos21 (rCMPC):
r = rCMPC
E [VAN (rCMPC)] = 0
no se estaría creando valor, pero sí se estaría manteniendo la cotización de los
títulos en el mercado.
En cambio, si la tasa interna de rentabilidad después de impuestos del proyecto de inversión fuese superior al coste medio ponderado del capital después de
impuestos, a los tenedores de la deuda se les podría seguir proporcionando la
misma rentabilidad, puesto que no tienen motivos para exigir una compensación
mayor al no haber variado el riesgo económico de las inversiones de la empresa
ni tampoco el ratio de endeudamiento de la misma. Pero, en cambio, los accio21
Como en cualquier tasa ajustada al riesgo, el coste medio ponderado del capital es la suma de la
rentabilidad libre de riesgo más una prima por riesgo: rCMPC = a = k + p.
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Teoría de la inversión
nistas de la empresa verían aumentada la rentabilidad que obtienen al haberse
creado valor:
r > rCMPC
E [VAN (rCMPC)] > 0
Así, supongamos el caso de una empresa cuyo ratio de endeudamiento, con
valores de mercado, es B / V = 40 por 100 y cuyos accionistas exigen y obtienen
una rentabilidad en el mercado22 del 26 por 100, mientras que los poseedores de
su deuda están exigiendo y obteniendo una rentabilidad en el mercado del 8 por
100. A partir de esta situación inicial, los directivos de la empresa han descubierto una oportunidad de invertir en un proyecto con el cual esperan obtener un
flujo neto de caja a perpetuidad, antes de intereses e impuestos, de:
E (CFA antes de int. e imp.) = E(BAIT) = 60 miles de €
El desembolso inicial necesario alcanza los 200 miles de euros y se va a financiar un 50 por 100 con una ampliación de capital23 y el otro 50 por 100 con
la emisión de deuda perpetua al 8 por 100. Si el tipo impositivo del impuesto
sobre sociedades es del 25 por 100, la empresa se plantea estudiar la conveniencia o no de llevarlo a término en el supuesto caso de que el riesgo económico del
proyecto de inversión sea igual al de los actuales activos de la empresa.
Puesto que un proyecto de inversión puede ser considerado como una miniempresa, el trozo de balance contable que se añadiría al actual balance de la
empresa sería:
22
El ejemplo con base al cual se va a explicar el criterio del coste medio ponderado del capital es el
mismo que empleamos en la primera parte de la exposición del criterio del VAA. En un mundo con impuestos, Modigliani, F. y Millar, M. (1963) demostraron que en el mercado se cumple la siguiente relación:
rS = rA + (rA − rB)
B
(1 − t)
S
que, aplicada a los datos de nuestro caso práctico, nos proporciona:
20 % + (20 % − 8%)
40 %
(1 − 25%) = 26%
60 %
23
Téngase en cuenta que el ratio de endeudamiento del 40 por 100 está expresado con valores de
mercado, por lo que si la inversión de 200.000 euros crea valor (supongamos, como así va a ser, que se
crean 50.000 euros de valor), lo que interesa es que el ratio de endeudamiento del 40 por 100 se siga
manteniendo con valores de mercado, esto es, sobre 250.000 euros hasta los que va a subir en el mercado el activo de la empresa, y no sobre los 200.000 euros de incremento de su valor contable.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Proyecto de inversión (valores contables en miles de euros)
Valor contable del proyecto
Nueva deuda
100
Nuevas acciones
100
200
200
200
Ahora bien, si se expresa con valores de mercado, como se va a crear valor
por una cantidad de 50 miles de euros, tal como comprobaremos a continuación,
el balance del proyecto de inversión sería:
Proyecto de inversión (valores de mercado en miles de euros)
Valor de mercado del proyecto
Nueva deuda
100
Nuevas acciones
150
250
250
250
En efecto, dado que el riesgo económico y financiero de la empresa no se va
a ver alterado por la aceptación del proyecto de inversión, se puede utilizar como
coste de oportunidad del capital el coste medio ponderado del capital después de
impuestos:
rCMPC = rB B / V + rS S / V = 8 % · 40 % + 26 % · 60 % = 18,8 %
Por otra parte, el flujo neto de caja que se estima va a generar el activo a
perpetuidad (antes de intereses, pero después de impuestos) será:
E (CFA) = E (BAIDT) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t) =
= E (BAIT) (1 − t) + E (rB · B · t) =
= 60 (1 − 25 %) + 8 % · 100 · 25 % = 45 + 2 = 47 miles de €
A partir de aquí, ya sólo resta calcular el VAN esperado de ese flujo neto de
caja perpetuo después de impuestos generado por el proyecto de inversión empleando como tasa de descuento el 18,8 por 100 que exige el mercado, como
media ponderada después de impuestos, a los capitales que utiliza la empresa para
hacer frente al proyecto de inversión24:
24
Como habrá podido comprobar, el VAN que se acaba de estimar con el método del coste medio
ponderado del capital coincide con el VAN calculado con el criterio del VAA en el ejemplo común que
hemos empleado.
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Teoría de la inversión
E [VAN (rCMPC )] = −P0 + Fa∞ rCMPC = −P0 +
= −200 +
)
E(F
=
rCMPC
47
= 50 miles de €
0,188
Por consiguiente, se ha creado valor en la cantidad de 50.000 euros que pasan
a añadirse a la cantidad de dinero que desembolsaron los accionistas en el momento de ejecutar la inversión25.
Habitualmente, en los libros de finanzas empresariales26, lo que se actualiza
en el método del coste medio ponderado del capital es el free cash flow a un
coste medio ponderado del capital después de impuestos definido del siguiente
modo:
r*CMPC = rB (1 − t) B / V + rS S / V = 8 % (1 − 25 %) · 40 % + 26 % · 60 % = 18 %
llegándose al mismo resultado. En efecto, el free cash flow perpetuo del proyecto de inversión es:
E (FCF) = E (BAIT) (1 − t) = 60 (1 − 25 %) = 45 miles de €
con lo que el VAN de dicho flujo neto de caja después de impuestos en el caso
hipotético de que la empresa no tuviese deudas en su pasivo sería:
* )] = −P0 + E(FCF) a * = −P0 +
E [VAN(rCMPC
∞r
CMPC
= −200 +
E(FCF)
=
*
rCMPC
45
= 50 miles de €
0,18
Esto es, al considerar el endeudamiento de la empresa, en lugar de corregir el
numerador añadiéndole el ahorro fiscal producido por los intereses (INT · t), se
reduce el denominador minorando el tipo de interés pagado por la deuda: r B (1 − t).
25
El ejemplo que hemos desarrollado para explicar el método del coste medio ponderado del capital
utiliza flujos de renta perpetuos. Miles, J. y Ezzell, R. (1980) han demostrado que también este método
se puede utilizar con flujos netos de caja que tengan cualquier otro perfil temporal siempre y cuando las
empresas ajusten su endeudamiento lo necesario para respetar el ratio de endeudamiento objetivo que se
hayan marcado.
26
Véase Brealey, R. y Myers, S. (2002): pp. 375 y 376, y Ross, S. A., Westerfield, R. W. y Jaffe, J. F.
(2003): p. 522.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Esta segunda forma de aplicar el método del coste medio ponderado del capital
tiene la ventaja de que se está valorando el proyecto de inversión sin necesidad de
calcular los intereses que lleva aparejada su financiación parcial con deuda27, aunque, en nuestra opinión, es menos intuitiva la justificación económica de su aplicación. No obstante, su cálculo es mucho más rápido y directo, por lo que en la
práctica empresarial es el método que recomendamos.
La coincidencia de ambas formas de aplicar el método del coste medio ponderado del capital no es casual. En la segunda de las variantes, el numerador y el
denominador utilizados son los de la primera de las variantes divididos por una
constante (1,0444444), motivo por el cual el VAN esperado no se ve alterado28.
Conviene volver a llamar la atención de que si el riesgo económico de la
nueva inversión que se piensa emprender es superior al que actualmente soporta
la empresa, obviamente, tanto los aportantes de fondos ajenos como los aportantes de fondos propios exigirían una compensación más elevada por el ahora mayor
riesgo soportado y, por tanto, la tasa de corte a partir de la cual aceptar esas inversiones debería estar situada claramente por encima del actual coste medio
ponderado del capital de la empresa29.
Como se ha podido comprobar, el problema del método del coste medio ponderado del capital es que sólo se puede utilizar con proyectos de inversión que
sean un calco de la empresa, esto es, que tengan igual riesgo económico que sus
actuales inversiones y que se financien respetando su actual ratio de endeudamiento, que se supone coincide con su ratio de endeudamiento objetivo30, y que ambos,
riesgo económico y financiero, permanezcan constantes durante la vida de la inversión. Por tanto, es incorrecto usar como coste de oportunidad del capital el
coste medio ponderado del capital en proyectos de inversión que tengan un mayor
(menor) riesgo económico y que se vayan a financiar con un ratio de endeudamiento mayor (menor) que el ratio de deuda objetivo que mantenga la empresa,
ya que el VAN esperado de los mismos estaría sobrevalorado (infravalorado).
27
En cualquier caso, aunque en el free cash flow los intereses no se tienen en cuenta, es evidente
que el efecto positivo que sobre el VAN esperado del proyecto de inversión tiene el ahorro fiscal que
suponen los intereses de la nueva deuda emitida para respetar el ratio de endeudamiento inicial de la
empresa no se olvida, ya que el VAN esperado sigue dando lo mismo.
28
En general, se puede demostrar que estos resultados se mantienen sean cuales sean los datos de
entrada del problema que se utilicen.
29
La tasa de corte requerida cuando el proyecto de inversión tiene un riesgo económico diferente se
puede obtener aplicando el modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model). Para ello es necesario estimar
previamente la beta del proyecto de inversión a partir de las betas de los títulos que lo financian. En el
último capítulo se analizará este tema, que también puede consultarse en: Brealey, R. y Myers, S. (2002):
cap. 9; Ross, S. A., Westerfield, R. W. y Jaffe, J. F. (2003): caps. 12 y 17, o Ferrando, M. y otros (2005):
cap. 7.
30
El ratio de endeudamiento objetivo debería ser aquel que maximiza el valor de la empresa en el
mercado. En el mundo real, con las lógicas diferencias sectoriales, las empresas suelen mantener ratios
de endeudamiento, expresados en términos contables, comprendidos entre el 40 por 100 y el 60 por 100.
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Teoría de la inversión
No obstante, en muchos problemas típicos de selección de inversiones, las
empresas suelen tener fijado un ratio de endeudamiento objetivo que mantienen
como media a lo largo de la vida del proyecto de inversión. Asimismo, lo más
habitual suele ser que las empresas no cambien frecuentemente de sector o actividad, por lo que sus nuevas inversiones son de parecido riesgo económico que
sus anteriores inversiones. En tales casos, el criterio del coste medio ponderado
del capital es el método comúnmente más utilizado.
8.4. EL MÉTODO DEL FLUJO DE CAJA
DE LOS ACCIONISTAS
Este tercer método que planteamos representa otra posible alternativa para
valorar proyectos de inversión en empresas apalancadas en las cuales, como sabemos, existe una interrelación de las decisiones de inversión y de financiación.
La forma de abordar la valoración de las inversiones productivas propuesta
por este tercer método es sencilla. Puesto que de lo que se trata es de seleccionar
proyectos de inversión que creen valor para el accionista incrementando el valor
de mercado de sus acciones, hay que averiguar cuál sería el valor de mercado de
las acciones que vayan a financiar un proyecto de inversión concreto y restar a
continuación el valor contable de las mismas (la cantidad desembolsada por los
accionistas en el momento de su emisión); la cantidad resultante será el valor
creado, esto es, el incremento en Bolsa de las acciones puestas en circulación.
Por tanto, la secuencia de los tres pasos a dar en la aplicación del método del
flujo de caja de los accionistas es la siguiente:
a) Calcular el flujo neto de caja después de impuestos para los accionistas
que generará el proyecto de inversión financiado en parte con deuda y en parte
con capital social.
Si empleamos el ejemplo de los epígrafes segundo y tercero de este capítulo, los
accionistas de la empresa obtendrían a perpetuidad el siguiente flujo neto de caja:
E (CFN) = E (BDIT) = E (BAIT − INT) (1 − t) =
= (60 − 8 % · 100) (1 − 25 %) = 39 miles de €
b) Calcular la rentabilidad exigida por los accionistas de esta empresa endeudada.
Dado que el objetivo de la empresa de este ejemplo era que el endeudamiento representase el 40 por 100 de su valor de mercado y puesto que la rentabilidad
exigida en empresas con igual riesgo económico, pero sin endeudamiento, es del
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20 por 100, mientras que, de acuerdo con el riesgo de su deuda, los prestamistas
le exigen un 8 por 100 de remuneración, la rentabilidad requerida por los accionistas de esta empresa con deudas, de acuerdo con la II Proposición de Modigliani y Miller en un mundo con impuestos, que citamos en una nota a pie de página
anterior, será de31:
rS = rA + (rA − rB)
20 % + (20 % − 8%)
c)
B
(1 − t)
S
40 %
(1 − 25%) = 26%
60 %
Cálculo del VAN esperado del proyecto de inversión.
El VAN de un proyecto de inversión es lo que se estima que aumentará la
riqueza del accionista. En nuestro ejemplo, este incremento esperado de la riqueza de los accionistas será lo que acabarán valiendo sus acciones en Bolsa
menos el dinero que éstos han desembolsado en el momento de la compra de las
mismas.
El valor en Bolsa de las nuevas acciones de la empresa de nuestro caso práctico es el flujo perpetuo de renta que van a percibir los accionistas descontado a
la tasa adecuada a su riesgo económico y financiero:
) a =
Valor de mercado de las acciones = VA = E(F
∞ rS
=
)
E(F
=
rS
E(BAIT − INT ) (1 − t)
39
=
= 150 miles de €
0,26
rS
Y como el dinero desembolsado por los accionistas en la ampliación de capital, que financia el 50 por 100 de la inversión, es de 100.000 euros, el VAN
esperado del proyecto de inversión será de:
E(VAN ) = VA − Valor contable acciones =
=
E(CFN )
− 50 % P0 = 150 − 100 = 50 miles de €
rS
31
Al igual que en los otros métodos desarrollados a lo largo de este capítulo, rS es una tasa ajustada
al riesgo y, como tal, será igual a la rentabilidad del activo libre de riesgo más una prima por el riesgo
económico y financiero que en este caso corre el accionista de esta empresa endeudada: rS = a = k + p.
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cantidad ésta que vuelve a coincidir con la encontrada mediante los otros dos
métodos de valoración de inversiones de empresas endeudadas que hemos analizado anteriormente.
Al igual que el método del coste medio ponderado del capital, cuando las
empresas tienen fijado un ratio de endeudamiento objetivo que respetan durante
la vida económica de sus inversiones, el método del flujo de caja de los accionistas puede ser utilizado en la valoración de inversiones corrientes que sean necesarias para el normal desarrollo de sus actividades.
8.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Una empresa se está planteando la conveniencia de acometer una inversión de
100 millones de euros de la cual espera obtener a perpetuidad un beneficio anual,
antes de intereses e impuestos, de 20 millones de euros.
En cada año del horizonte de planificación, la empresa reinvertirá espontáneamente las cuotas de amortización del activo fijo y las provisiones (de activo o de
pasivo) en inversiones en activo fijo y/o circulante (nuevas necesidades operativas
de fondos).
Asimismo, dadas las condiciones del mercado, es posible obtener un préstamo
perpetuo, al 6 por 100 de interés, para financiar 50 de los 100 millones de euros
del proyecto de inversión, teniendo previsto financiar el resto de la inversión con
una ampliación de capital.
Se pide:
a) Determinar el free cash flow esperado a perpetuidad del proyecto de inversión (E (FCF)) suponiendo que el tipo impositivo del impuesto sobre
sociedades es del 30 por 100.
b) El flujo neto de caja esperado a perpetuidad del proyecto de inversión o
cash flow esperado del activo con esa estructura de financiación
(E (CFA)).
c) El flujo neto de caja esperado por los propietarios o accionistas
(E (CFN)).
d) El flujo neto de caja esperado por los prestamistas (E (CFD)).
Una vez obtenido el flujo neto de caja esperado que genera a perpetuidad el
proyecto de inversión y su reparto entre aportantes de deuda y aportantes de re278
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cursos propios, calcule también el VAN esperado del proyecto de inversión aplicando:
e) El método del valor actual ajustado.
f) El método del coste medio ponderado del capital.
g) El método del flujo de caja de los accionistas.
NOTAS:
— La rentabilidad exigida por los accionistas en el caso de financiar el proyecto de inversión íntegramente con recursos propios es del 10 por 100.
— El ratio de endeudamiento, a valores de mercado, de la empresa (B/V) es
del 32,2580645 por 100.
— La rentabilidad exigida por los accionistas, en el caso de que el proyecto
de inversión tenga el mismo riesgo económico que sus anteriores inversiones y que se respete el anterior ratio de endeudamiento a valores de mercado, es del 11,33333333 por 100.
— Se supone que el riesgo económico del proyecto de inversión es igual al
de los actuales activos de la empresa y que no existen costes de emisión
de las acciones ni comisiones por la apertura del préstamo.
SOLUCIÓN
a y b) De acuerdo con lo que se ha explicado en el primer apartado de este
capítulo, el flujo neto de caja después de impuestos que, en un año particular, se
espera que genere el activo o un proyecto de inversión particular: E (CFA) se reparte entre los aportantes de fondos de la empresa: E (CFN) para los accionistas
y E (CFD) que recibirán los prestamistas.
E (CFA) = E (CFN) + E (CFD)
Por otra parte, el flujo neto de caja esperado después de impuestos que genera el activo es igual a la suma del free cash flow esperado más el ahorro fiscal
esperado que provocan los intereses:
E (CFA) = E (FCF) + E (INT · t)
en donde el free cash flow esperado, en el caso particular de que se reinviertan
espontáneamente las cuotas de amortización del activo fijo y las provisiones en
inversiones en activo fijo y/o en circulante, esto es:
E (Cuota AMORT + Δ PROVPAS + Δ PROVACT) = E (Δ Af bruto) + E (Δ NOF)
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se puede expresar como sigue:
E (CFA) = E (FCF) + E (INT · t) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t)
Por consiguiente, con los datos del enunciado, y dado que: INT = 50 · 6 % =
3 millones de euros, se tiene:
E (FCF) = E (BAIT) (1 − t) = 20 (1 − 30 %) = 14 millones de €
E (INT · t) = 50 · 6 % · 30 % = 0,9 millones de €
con lo que se puede concluir que el proyecto de inversión, financiado de la forma
que se indica en el enunciado, generará la siguiente renta perpetua:
E (CFA) = E (FCF) + E (INT · t)
E (CFA) = 14 + 0,9 = 14,9 millones de €
c y d) Por lo que hace referencia al cash flow esperado de los accionistas,
es fácil demostrar que:
E (CFA) = E (BAIT) (1 − t) + E (INT · t) = E (BAIT − INT) (1 − t) + E (INT) =
= E (BDIT) + E (INT)
en donde el primer sumando será el flujo neto de caja que obtendrán a perpetuidad los accionistas32:
E (CFN) = E (BDIT) = (20 − 3) (1 − 30 %) = 11,9 millones de €
y el segundo sumando será la parte del flujo libre de caja que genera el proyecto
que le corresponde a los prestamistas33:
E (CFD) = E (INT) = 3 millones de €
32
Si se contrasta con el tercer apartado del capítulo tercero, se puede comprobar que el beneficio
después de intereses e impuestos se reparte en su totalidad a los accionistas como dividendo, siendo las
ampliaciones de capital, las disminuciones de capital y la variación de la tesorería no operativa nulas en
todos los años.
33
Nuevamente, si se vuelve la vista atrás al tercer apartado del capítulo tercero, como el préstamo
es perpetuo, los nuevos préstamos y las devoluciones de préstamos, año a año, son nulas, por lo que el
flujo de caja libre del proyecto de inversión que se llevan los prestamistas son los intereses de dicho
préstamo.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Así, finalmente se deduce que:
E(CFA) = E(FCF) + E(INT · t) = E(CFN ) + E(CFD )
(1 −
t) + E(INT · t) = E(BDIT
E(CFA) = E(BAIT
) + E(INT
)
14,9
=
14
+
0,9
=
11,9
+
3
Tomando como base los flujos netos de caja que acabamos de calcular, se pueden aplicar tres métodos distintos para calcular el VAN esperado de la inversión.
e) En primer lugar, según el método del valor actual ajustado (VAA), el VAN
esperado de la inversión es igual al VAN esperado del caso básico más el valor
actual esperado de los efectos derivados de las decisiones de financiación (en el
caso de este ejercicio, únicamente cabe considerar la actualización de los ahorros
fiscales por intereses):
⎡
E(FCF) ⎤ E(INT ⋅ t)
E(VAA) = ⎢−P0 +
=
⎥+
rB
rs (sin deudas) ⎦
⎣
⎡
E(BAIT (1 − t)) ⎤ E(INT ⋅ t)
= ⎢−P0 +
⎥+
rs (sin deudas) ⎦
rB
⎣
⎡
14 ⎤ 0,9
= ⎢−100 +
=
⎥+
10 % ⎦ 6%
⎣
= 40 + 15 = 55 mill. de € > 0
⇒
Se acepta
Como se sabe, estos 55 millones de euros será lo que subirán en el mercado
las acciones de la empresa (a partir de la cantidad de 50 millones de euros que
desembolsarán los accionistas en la ampliación de capital que financiará la mitad
del desembolso de la inversión) hasta alcanzar, de este modo, el valor de 105 millones euros en la bolsa.
f) En segundo lugar, dado que el riesgo económico y financiero de la empresa no se va a ver alterado por la aceptación del proyecto de inversión, se
puede utilizar como coste de oportunidad del capital el coste medio ponderado
del capital después de impuestos. En este caso, caben dos posibilidades:
f.1) Calcular el coste medio ponderado del capital después de impuestos:
r*CMPC = rB (1 − t) B/V + rS S/V = 6 % (1 − 30 %) 32,2580645 % +
+ 11,3333 % · 67,7419355 % = 9,03225806 %
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y emplearlo para actualizar el free cash flow esperado, restándole luego el desembolso inicial:
⎡
⎤
* )⎤ = ⎢−P0 + E(FCF) ⎥ =
E ⎡VAN(rCMPC
⎣
⎦ ⎢
*
rCMPC
⎥⎦
⎣
⎡
⎤
14
= ⎢−100 +
⎥ = 55 mill. de € > 0
9,03225806% ⎦
⎣
⇒
Se acepta
f.2) Calcular el coste medio ponderado del capital sin tener en cuenta el
ahorro fiscal que producen los intereses:
rCMPC = rB B/V + rS S/V = 6 % · 32,2580645 % + 11,3333 % · 67,7419355 % =
= 9,61290323 %
y utilizarlo como tasa de actualización del flujo de caja que genera el activo con
una determinada forma de financiación:
E(CFA) ⎤
⎡
E ⎡⎣VAN(rCMPC )⎤⎦ = ⎢−P0 +
=
rCMPC ⎥⎦
⎣
⎡
E(BAIDT ) ⎤
=
= ⎢−P0 +
rCMPC ⎥⎦
⎣
⎡
⎤
14,9
= ⎢−100 +
⎥ = 55 mill. de € > 0
9,61290323% ⎦
⎣
⇒
Se acepta
g) En tercer lugar, según el método del flujo de caja de los accionistas, a
partir del flujo de caja que esperan recibir a perpetuidad los accionistas (E (BDIT)),
que ya hemos calculado, se podría estimar el valor de mercado de las acciones
aplicando para ello la tasa de descuento apropiada al riesgo económico y financiero que corren los accionistas:
⎡ E(CFN ) ⎤ ⎡ E(BDIT ) ⎤
VA de mercado de las acciones = ⎢
⎥=⎢
⎥=
rS
⎣ rS ⎦ ⎣
⎦
⎡
⎤
11,9
=⎢
⎥ = 105 mill. de €
⎣11,333333% ⎦
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
Restando, a continuación, el dinero desembolsado por los accionistas en la
ampliación de capital que financia el 50 por 100 de la inversión (50 millones de €),
la cantidad resultante será el aumento que se producirá en la riqueza de los accionistas si aceptan el proyecto de inversión:
E(VAN) = VA − Valor contable acciones =
= 105 − 50 = 55 mill. de E > 0
E(CFN )
− 50 % P0 =
rS
⇒
Se acepta
Un resumen de los pasos seguidos en la resolución de este ejercicio lo proporciona el esquema que se recoge en la figura 8.3.
CRITERIOS DE SELECCIÓN DE INVERSIONES
14,9
=
14
+
0,9
=
11,9
+
3
E(CFA)
=
E(FCF)
+
E(INT · t)
=
E(CFN)
+
E(CFD)
rCMPC = 9,61290323%
rS (sin deudas) = 10%
2) CMPC
También:
2) CMPC:
Figura 8.3.
1) VAA
rB = 6%
rS = 11,3333%
rB = 6%
3) FLUJO DE CAJA
ACCIONISTAS
E(FCF)
r*CMPC = 9,03225806%
Interrelación de las decisiones de inversión y de financiación.
PREGUNTAS
Comente, de forma razonada, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. El flujo neto de caja después de impuestos de un proyecto de inversión financiado parcialmente con deuda es mayor que el que resultaría si se financiase el proyecto de inversión únicamente con recursos propios.
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2.
Si existe el impuesto sobre sociedades, como en la realidad así ocurre, la
forma en que se financia un proyecto de inversión afecta al valor actual neto
esperado, esto es, a la creación de valor para el accionista.
3.
La tasa de actualización o descuento empleada en el VAN esperado del caso
básico depende del ratio de endeudamiento que mantenga la empresa.
4.
Los ahorros fiscales por intereses se actualizan a la misma tasa de interés
de la deuda que origina el pago de dichos intereses.
5.
El valor actual de los costes de emisión de las acciones, al ser éstos deducibles del impuesto sobre sociedades, se suma al VAN esperado del caso
básico para llegar así al valor actual ajustado del proyecto de inversión.
6.
Un préstamo privilegiado o subvencionado tiene un VAN positivo, y su
obtención aumenta la riqueza del accionista.
7.
En un proyecto de inversión rentable, el método del VAA (valor actual ajustado) no sólo permite averiguar el aumento esperado de la riqueza del accionista en el caso de aceptar dicho proyecto de inversión, sino también de
dónde procede el valor creado.
8.
Uno de los problemas del criterio del VAA es que el coste de oportunidad
del capital utilizado en el caso básico no es observable.
9.
El coste de oportunidad del capital en proyectos de igual riesgo económico
que las actuales inversiones de la empresa, que estén financiados con una
mezcla de recursos financieros idéntica a la del actual pasivo de la empresa,
es el coste medio ponderado del capital.
10.
El coste medio ponderado del capital se debe aplicar en todos aquellos
proyectos de inversión en los que el nivel de deuda es muy alto al comienzo, pero cae rápidamente en los años siguientes.
11.
El coste medio ponderado de capital de la empresa es la tasa de descuento
que debe utilizarse siempre en la valoración de un proyecto de inversión
empresarial.
12.
La aceptación de proyectos de inversión que no afecten al riesgo económico y financiero de la empresa y que tengan una TIR igual a su coste medio
ponderado del capital no crea valor para el accionista, pero mantiene la
cotización en Bolsa de las acciones de la empresa.
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Interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación
13.
En el método del flujo de caja de los accionistas, la tasa de descuento a
utilizar es la adecuada al riesgo económico del proyecto de inversión.
14.
Los ahorros fiscales por intereses son mayores a medida que aumenta el
porcentaje de deuda con coste explícito que financia un proyecto de inversión, pero también aumenta entonces el riesgo financiero que corren los
accionistas.
15.
Dado que la deuda provoca ahorros fiscales por intereses, es conveniente
que alcance siempre el mayor valor posible.
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PARTE CUARTA
Inversiones financieras
y tasa de retorno requerida
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9
Rentabilidad y riesgo
de las carteras de inversión
M. Ferrando Bolado y F. Martínez Lobato
9.1. Las inversiones financieras en un universo media-varianza.
9.2. Rentabilidad y riesgo de un título.
9.3. Rentabilidad y riesgo de una cartera.
9.4. Ventajas de la diversificación. Riesgo sistemático y riesgo específico.
9.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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9.1. LAS INVERSIONES FINANCIERAS EN UN UNIVERSO
MEDIA VARIANZA
A lo largo de los capítulos anteriores nos hemos ocupado del análisis de los
proyectos de inversión que puede acometer una empresa y hemos comprobado
en el capítulo cuarto que una empresa debe acometer la realización de una inversión de tipo económico si su valor actual neto (VAN) es positivo, ya que la
aceptación de proyectos de inversión rentables incrementa la riqueza de los accionistas en la cuantía del propio VAN, que es una medida del valor creado para
el accionista.
En el caso de proyectos de inversión simples con VAN nulo, la tasa interna de
rentabilidad (TIR) es la misma que la rentabilidad que podría conseguirse en el
mercado financiero en activos financieros de igual riesgo. En consecuencia, el mercado financiero proporciona la tasa de corte o la rentabilidad mínima que el empresario debe exigir a las inversiones productivas para ser aceptadas y entrar a
formar parte de la estructura económica de su empresa. Esa tasa de corte también
recibe el nombre de tasa de retorno requerida o tasa de descuento ajustada al
riesgo de la inversión.
Por todo ello, en los dos capítulos que siguen nos vamos a ocupar del análisis
y valoración de las inversiones financieras en renta fija y renta variable, que son
el patrón de comparación de las inversiones reales que llevan a cabo las empresas.
En una inversión de tipo financiero, el inversor busca colocar su dinero en valores mobiliarios que tengan la máxima rentabilidad, el mínimo riesgo y la máxima
liquidez. Si se trata de títulos que cotizan en bolsa, la liquidez podemos considerarla asegurada o, al menos, conseguida en un alto grado con respecto a otras inversiones empresariales o, también, con respecto a otras alternativas de inversión, por
ejemplo de tipo inmobiliario, cuya liquidez siempre será menor.
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Teoría de la inversión
De este modo, si los activos financieros candidatos a formar parte de la cartera de valores del inversor son títulos (acciones u obligaciones) que cotizan en
un mercado organizado que les dota de liquidez, los dos parámetros que le quedarían por valorar en el momento de formar su cartera de valores serán la rentabilidad y el riesgo.
En un mercado eficiente, una alta rentabilidad siempre va asociada a un alto
riesgo, ya que, en caso contrario, si existiese un activo financiero de riesgo menor,
o incluso sin riesgo, que tuviese una rentabilidad mayor, nadie invertiría en títulos
de un riesgo mayor, que, además, tienen la rentabilidad más baja. De modo que,
a lo largo de este capítulo y el siguiente, nos vamos a mover en universos de dos
parámetros, rentabilidad y riesgo, y se probará, en el capítulo próximo, que en
equilibrio cualquier activo financiero proporcionará al inversor la rentabilidad del
activo libre de riesgo más una prima por el riesgo sistemático, o de mercado, que
éste soporte y que no pueda eliminar, aunque la composición de su cartera sea
óptima.
En una situación de riesgo, en la que el inversor es capaz de asignar algún
grado de probabilidad a los diferentes estados de la naturaleza que pueden acontecer, un inversor racional intentará maximizar la utilidad esperada de su riqueza.
Si la función de utilidad es cuadrática, o también cuando los rendimientos de los
títulos siguen una distribución normal, la utilidad esperada por el inversor se puede expresar en función de la media y de la varianza de los rendimientos de los
títulos o carteras:
E ⎡⎣U( R P )⎤⎦ = f ⎡⎣E( R P ), σ 2 ( R P )⎤⎦
Aunque hay diferentes actitudes frente al riesgo y cada inversor, según sus
preferencias individuales, puede guiarse en su actuación por cualquiera de ellas,
en el mundo de los negocios y las finanzas lo normal es partir de la hipótesis de
que los individuos tienen aversión al riesgo. De este modo, vamos a suponer que
los inversores «aman» la rentabilidad» y «odian» el riesgo, con lo cual en el
universo de dos parámetros, media-varianza, en que nos vamos a mover, para un
riesgo dado, el decisor buscará maximizar el rendimiento esperado; mientras que
si es el rendimiento esperado el parámetro explicitado, los inversores intentarán
minimizar el riesgo:
∂f
∂f
> 0;
<0
∂E( RP )
∂σ 2 ( R P )
En una función de utilidad cuadrática o, en general, cóncava, la sucesiva adición de, por ejemplo, 5 euros a la riqueza del inversor le produce incrementos de
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
utilidad cada vez menores. Una función de utilidad cóncava es propia de un individuo averso al riesgo, que prefiere más dinero a menos (utilidad marginal de la
riqueza positiva: U′[W] > 0), pero para el que el dinero adicional tiene cada vez
menor importancia (utilidad marginal de la riqueza decreciente: U″[W] < 0). Como
al individuo le produce más desutilidad la pérdida de 5 euros que la posible ganancia de 5 euros (figura 9.1), no está dispuesto a participar en juegos en donde
puede ganar o perder una misma cantidad de dinero con igual probabilidad (juegos
de azar de valor monetario esperado nulo).
Si, por el contrario, la adición consecutiva de 5 euros a la riqueza del inversor
le produce incrementos de utilidad cada vez mayores (U″[W] > 0, con U′[W] > 0,
como es normal), estaríamos frente a un inversor propenso o buscador de riesgo,
que está dispuesto a participar en juegos donde se puede ganar o perder 5 euros
con igual probabilidad, ya que le da más importancia a los euros que puede ganar
que a los euros que puede perder (figura 9.2).
Figura 9.1.
Inversor averso al riesgo.
Por último, si la función de utilidad de la riqueza es lineal, el decisor es neutral al riesgo y le da siempre la misma importancia al dinero. La utilidad marginal de la riqueza es positiva (U′[W] > 0), esto es, el individuo prefiere más riqueza a menos, pero esta utilidad marginal de la riqueza ni crece ni decrece, es
constante (U″[W] = 0). De modo que, sea cual sea la riqueza inicial del inversor,
la adición sucesiva de 5 euros a su riqueza inicial le produce siempre el mismo
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Teoría de la inversión
Figura 9.2.
Inversor propenso al riesgo.
Figura 9.3. Inversor neutral al riesgo.
incremento de utilidad y le es indiferente participar o no en juegos con valor
monetario esperado nulo (figura 9.3).
Los tres casos posibles, que el inversor sea averso, propenso o neutral al riesgo, se recogen en la figura 9.4.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Figura 9.4. Actitudes frente al riesgo.
Un individuo, según cuales sean su riqueza inicial y la cantidad de dinero en
juego, puede comportarse de las tres formas descritas. Los autores de este libro
desconocen cuál es su actual nivel de riqueza, pero están seguros de que si le
proponen lanzar o no lanzar una moneda al aire poniendo en juego no 5 euros,
como en el ejemplo antes desarrollado, sino 600.000 euros, sin duda elegirá no
lanzar la moneda, por lo que usted es una persona aversa al riesgo.
No obstante, es cierto que, según cual sea la riqueza inicial, la cantidad de
dinero de que se trate y en qué circunstancias, una persona no siempre se muestra aversa al riesgo, ya que, si así fuese, nadie jugaría a las quinielas, la primitiva
o la lotería nacional.
En conclusión, como el mundo de los negocios y las finanzas no es un juego,
supondremos que los inversores son aversos al riesgo, y además nos vamos a
situar en un mundo de dos parámetros, por lo que es obligado comenzar el próximo apartado describiendo las herramientas utilizadas para medir la rentabilidad
y el riesgo de un título. En el apartado tercero se justificará cómo se cuantifica la
rentabilidad y el riesgo de una cartera, así como cuál es la contribución de un
título individual al rendimiento y al riesgo de una cartera. El último apartado del
capítulo se dedicará a mostrar las ventajas de la diversificación: a) de una forma
inteligente, buscando títulos que estén poco correlacionados y, si puede ser, introduciendo en la cartera títulos con coeficientes de correlación negativos, y b)
de una forma ingenua, invirtiendo la misma cantidad de dinero en cada uno de
los títulos y haciendo crecer el número de ellos dentro de la cartera.
9.2. RENTABILIDAD Y RIESGO DE UN TÍTULO
En un universo de dos parámetros (E,s2) y dos instantes del tiempo (hoy y un
momento futuro: un año, por ejemplo), un inversor estará interesado en colocar
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sus ahorros, o parte de ellos1, comprando hoy acciones de la empresa i por un
precio unitario cierto (Pi0), si tiene la esperanza de que suba su cotización y las
pueda vender dentro de un año por un precio unitario aleatorio (P̃it) más elevado.
Si, además, a lo largo de dicho año la empresa va a repartir un dividendo por
acción incierto (d̃it), la rentabilidad aleatoria2 que finalmente obtendrá el accionista en el horizonte de planificación t que se ha fijado será3:
( P − Pio) + dit
R i = it
Pio
(9.1)
Esto es, la rentabilidad del título (R̃i), expresada en tanto por uno o tanto por
ciento, será igual al cociente entre la cantidad de euros que perciba el accionista
vía plusvalías (P̃it − Pi0), o vía cualquier otro flujo neto de caja (d˜it), y el importe
de su inversión inicial (Pi0).
Por tanto, en términos ex−ante o a priori (en términos de futuro), supondremos que la rentabilidad de un activo financiero es aleatoria: puede tomar diferentes valores con sus correspondientes probabilidades. Por otra parte, la función de
distribución de los rendimientos puede ser continua (una normal, por ejemplo) o
discreta (diferentes rentabilidades posibles, según el estado de la naturaleza que
acontezca, con sus respectivas probabilidades).
Como en cualquier variable aleatoria, podemos calcular diferentes estadísticos
de la distribución de los rendimientos de un título. Un inversor con aversión al
riesgo no sólo analizará o tomará en consideración la media o rendimiento esperado del título (E(R̃i)), sino también la varianza de dicho rendimiento (s2(R̃i)).
La media o esperanza matemática se obtiene sumando todos los posibles
valores que puede tomar la rentabilidad del título i previamente ponderados por
sus respectivas probabilidades de ocurrencia. En el caso discreto, que es el que
vamos a mostrar a continuación, toma la siguiente expresión:
1
Una de las lecciones de este capítulo es que hay ventajas en la diversificación. Por tanto, como se
justificará más adelante, sólo invertirá una parte de sus ahorros en acciones de la empresa i y el resto lo
repartirá entre acciones de otras empresas. Asimismo, también debería distribuir sus inversiones entre
diferentes tipos de activos: inmobiliarios, renta fija, renta variable, obras de arte, capital humano o formación, etc.
2
Como el lector ya habrá podido comprobar, para distinguir una magnitud cierta de una magnitud
aleatoria, hemos añadido una tilde encima de las variables que tienen un comportamiento probabilístico.
3
En la práctica, la variable aleatoria d˜it debe recoger no sólo los dividendos por acción que percibirá el accionista en su horizonte de planificación, sino cualquier otro cobro proveniente de reducciones
del nominal, amortizaciones de acciones, etc. Igualmente, si se produce una ampliación de capital, el
desembolso necesario para acudir a ella deberá ser restado. En definitiva, d˜it es el flujo neto de caja por
acción que recibirá el inversor en el próximo período por cualquier concepto distinto a la plusvalía o
minusvalía que se pueda producir al comparar el precio de venta del activo financiero i con su precio de
compra.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
m
E( R i ) = ∑ Rij Pj
(9.2)
j =1
donde:
Rij es la rentabilidad del activo i en el estado de la naturaleza j.
(i = 1, 2, …, N
y
j = 1, 2, …, m)
Pj es la probabilidad de que ocurra el estado de la naturaleza j.
La varianza mide la variabilidad de la rentabilidad del título i. Cuanto mayor
sea ésta, más dispersos estarán los posibles valores de la rentabilidad, siendo más
incierta y más arriesgada la rentabilidad del activo financiero de que se trate:
m
σ 2 ( R i ) = E[( R i − E( R i ))2 ] = E( R i2) − [E( R i )]2 = ∑ (Rij − E( R i ))2 Pj
(9.3)
j =1
Como se puede comprobar, para obtener la varianza, en primer lugar, se calculan las diferencias entre cada posible valor de la rentabilidad y la rentabilidad
media; posteriormente, esas desviaciones se elevan al cuadrado para que no se
compensen entre sí4 y, finalmente, se multiplican esos resultados por sus respectivas probabilidades de ocurrencia con la finalidad de obtener un promedio.
Si, como es lo más habitual, la rentabilidad media (E(R̃i)) está expresada en
términos de porcentaje o de tanto por uno, entonces s2(R̃i), al tratarse de desviaciones al cuadrado, vendrá expresada como un porcentaje o un tanto por uno al
cuadrado. Por este motivo, se suele trabajar con la desviación típica de los rendimientos como medida de dispersión o de riesgo consiguiendo así que tanto la
media como la desviación típica estén expresadas en porcentajes. Como es conocido, la desviación típica de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza5.
σ ( R i ) = σ i = σ 2 ( R i )
(9.4)
4
Dado que habrá diferencias positivas (+) y negativas (−), si no se elevan al cuadrado las desviaciones, al obtener el promedio se podrían anular entre sí, dando la falsa impresión de que la variabilidad de
los rendimientos es nula cuando, en realidad, sí que hay variabilidad y ésta puede ser muy alta.
5
Con la finalidad de simplificar la nomenclatura, muchas veces utilizaremos la siguiente notación:
E(R̃i) = Ei, s 2(R̃i) = s i2, s(R̃i) = si, cov(R̃i, R̃j) = sij
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Realmente, las desviaciones respecto a la media que le deberían preocupar a
un inversor averso al riesgo son las negativas (que el rendimiento del título alcance un valor inferior al esperado), no las positivas (que la rentabilidad supere al
valor esperado). Por consiguiente, utilizar la varianza o desviación típica de los
rendimientos como medida del riesgo sólo tiene sentido si la función de distribución de los rendimientos es simétrica, como, por ejemplo, una distribución normal,
en cuyo caso la probabilidad acumulada a la izquierda y a la derecha del punto
medio es la misma. En caso contrario, si la función de distribución de los rendimientos es asimétrica, la medida apropiada del riesgo sería aquella que únicamente considere las desviaciones por debajo de la media, esto es, la semivarianza.
k
Semivarianza = ∑ (R*ij −E( R i ))2 Pj
para: j = 1, …, k
(9.5)
j =1
donde: R*ij son los valores posibles, por debajo de la media, que puede tomar la
rentabilidad del título i en los k estados de la naturaleza en que tal circunstancia
puede suceder.
9.3. RENTABILIDAD Y RIESGO DE UNA CARTERA
Una cartera de valores es una combinación de diferentes títulos o activos financieros con unas determinadas proporciones o ponderaciones. Por tanto, una
cartera queda definida cuando se hace explícito:
a) qué títulos la componen, y
b) en qué cantidad.
A efectos prácticos, resulta más cómodo expresar las cantidades como porcentajes del presupuesto de inversión dedicados a unos u otros títulos, en lugar
de trabajar con cantidades absolutas expresadas en euros. De esta forma, llamando wi al peso o porcentaje que cada uno de los N títulos tiene dentro de la cartera P, la cartera del inversor quedará precisada cuando éste indique el porcentaje
de su presupuesto que va a colocar en cada uno de los activos financieros que van
a formar parte de su cartera. Evidentemente, debe cumplirse que:
N
w1 + w2 + ... + wN = ∑ wi = 1
(9.6)
i =1
Puesto que en un universo media−varianza la rentabilidad de los títulos es
aleatoria, la rentabilidad de la cartera, al ser el resultado de una suma de variables
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
aleatorias multiplicadas por unas determinadas constantes o ponderaciones, también lo será y vendrá dada por la media ponderada de las rentabilidades aleatorias
de los títulos que la componen:
N
R P = w1 R1 + w2 R 2 + ... + wN R N = ∑ wi R i
(9.7)
i =1
Aplicando el operador esperanza matemática a la expresión anterior, la esperanza matemática de una suma de variables aleatorias ponderadas por sus respectivas constantes es la media ponderada de los rendimientos esperados de los títulos que integran la cartera en cuestión:
N
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) + ... + wN E( R N ) = ∑ wi E( R i )
(9.8)
i =1
Un inversor averso al riesgo no sólo se fijará en el rendimiento medio que
cabe esperar de la inversión en una determinada cartera P, sino que también querrá averiguar cuál es el riesgo que asume con dicha cartera. Para ello, aplicará el
operador varianza a la expresión (9.7) obteniendo con ello:
σ 2 ( R P ) = w12σ 2 ( R1) + w22σ 2 ( R 2) + ... + wN2 σ 2 ( R N ) + 2w1w2 cov( R1, R 2) +
+ 2w1w3 cov( R1, R 3) + ... + 2wN −1wN cov( R N −1, R N )
Según cuál sea la notación empleada, se pueden obtener dos expresiones
equivalentes de la varianza de los rendimientos de una cartera P:
N
a)
N
N
σ 2 ( R P ) = ∑ wi2σ 2 ( R i ) + ∑ ∑ wi w j cov( R i , R j )
i =1
(9.9)
i =1 j =1
i≠ j
⎧⎪ Si i = j cov(R i , R i ) = σ 2 ( R i )
N N
(9.10)
b) σ 2 ( R P ) = ∑ ∑ wi w j cov( R i , R j ) ⎨
i =1 j =1
Si
i
≠
j
cov(
R
,
R
)
=
cov(
R
,
R
)
i
j
j
i
⎩⎪
En consecuencia, la varianza del rendimiento de la cartera P no es la media
ponderada de las varianzas de los rendimientos de los títulos que la componen.
Además de que las constantes están elevadas al cuadrado y no se trataría en con© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
secuencia de una media ponderada, como se puede observar en (9.9), la varianza
del rendimiento de la cartera también depende de las covarianzas6 entre los rendimientos de los diferentes títulos. Estas covarianzas o correlaciones, como vamos
a ver a continuación, son las que obligan al inversor a tratar los títulos, no de
forma aislada, como se acaba de hacer en el apartado anterior, sino conjuntamente, en el seno de una cartera, ya que covarianzas reducidas o negativas disminuirán la varianza del rendimiento de la cartera7.
En efecto, puesto que el coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias, en nuestro caso los rendimientos aleatorios de dos títulos, viene dado por:
ρij =
cov( R i , R j )
σ ( R i ) σ ( R j )
(9.11)
se puede expresar la covarianza entre los rendimientos de dos títulos en función
de su coeficiente de correlación:
cov( R i , R j ) = ρij σ ( R i ) σ ( R j )
(9.12)
con lo que, si sustituimos esta expresión (9.12) de la covarianza en la ecuación
(9.9) de la varianza de los rendimientos de la cartera P, se puede hacer depender
dicha varianza de los coeficientes de correlación entre los rendimientos de los
títulos que la componen y de sus respectivas desviaciones típicas:
N
N
N
N
σ 2 ( R P ) = ∑ ∑ wi w j cov( R i , R j ) = ∑ ∑ wi w j ρij σ ( R i ) σ ( R j )
i =1 j =1
i =1 j =1
(9.13)
probándose así que las oportunidades de inversión financiera no deben tratarse de
forma individual, ya que el riesgo de una cartera o conjunto de títulos depende
tanto de las desviaciones típicas de éstos, como de los coeficientes de correlación
que guardan entre sí los rendimientos de los diferentes títulos seleccionados.
6
Como es sabido, en el caso discreto, la covarianza entre el rendimiento de un título i y el rendimiento de un título k se define como:
m
cov( R i , R k ) = E[( R i − E( R i )) ( R k − E( R k ))] = ∑ (Rij − E( R i )) (Rkj − E( R k )) Pj
j =1
por lo que la covarianza del rendimiento de un título i consigo mismo es la varianza:
m
cov( R i , R i ) = E[( R i − E( R i )) ( R i − E( R i ))] = ∑ ( R ij − E( R i )) (Rij − E( R i )) Pj = σ 2 ( R i )
j =1
7
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En el apartado siguiente de este capítulo desarrollaremos con mucha más extensión esta cuestión.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
La varianza de los rendimientos de una cartera P también se puede escribir
en forma matricial como sigue:
⎛ σ 2 ( R1) cov( R1, R 2) ... cov( R1, R N )⎞
⎜
⎟
⎜ cov( R 2, R1) σ 2 ( R 2) ... cov( R 2, R N ) ⎟
σ 2 ( R P ) = (w1, w2, ..., wN ) ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ cov( R , R ) cov( R , R ) ... σ 2 ( R ) ⎟⎠
N
1
N
2
N
⎛ w1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ w2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜w ⎟
⎝ N⎠
o también:
⎛σ 12 σ 12 ... σ 1N ⎞
⎟
⎜
σ 21 σ 22 ... σ 2 N ⎟
⎜
σ 2 ( R P ) = (w1, w2, ..., wN ) ⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝σ N1 σ N 2 ... σ N2 ⎠
⎛ w1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ w2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜w ⎟
⎝ N⎠
(9.14)
Como se puede constatar en la expresión (9.14), la diagonal de la matriz de
varianzas−covarianzas recoge las N varianzas de los rendimientos de los títulos
que conforman la cartera y, fuera de la diagonal, hay N2 − N covarianzas. En
consecuencia, dado que la matriz es simétrica (sij = sji), para averiguar el riesgo
de una cartera habrá que estimar previamente:
N varianzas
N 2 − N N (N − 1)
=
covarianzas
2
2
Así, por ejemplo, con 10 títulos será necesario estimar previamente 10 varianzas y 45 covarianzas; mientras que con 50 títulos, sería necesario partir del conocimiento previo de 50 varianzas y 1.225 covarianzas para poder calcular la varianza del rendimiento de carteras en donde intervengan esos 50 títulos con sus
respectivas ponderaciones.
Cuando se considera un título aislado, las medidas de la rentabilidad y del
riesgo, tal como se analizó en el apartado anterior, son el rendimiento esperado
y la varianza o desviación típica del rendimiento. Sin embargo, cuando un título
se integra dentro de una cartera, éste debería ser valorado según su aportación a
la rentabilidad y al riesgo de la misma.
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Teoría de la inversión
El rendimiento esperado de una cartera, según (9.8), es la media ponderada
de los rendimientos esperados de los títulos que la componen:
N
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) + ... + wN E( R N ) = ∑ wi E( R i )
i =1
por lo que la contribución del título i a la rentabilidad de la cartera P es su rendimiento esperado multiplicado por la proporción que dicho título tenga en el
total de la cartera:
wiE(R̃i )
(9.15)
Para ver la contribución de este mismo título al riesgo de la cartera que se
ha formado, vamos a realizar antes la siguiente transformación de la ecuación (9.10):
N N
N
⎡N
⎤
σ 2 ( R P ) = ∑ ∑ wi w j cov(R i , R j ) = ∑ wi ⎢∑ w j cov( R i , R j )⎥ =
i=1 j=1
i=1
⎣ j=1
⎦
N
= ∑ wi [w1 cov( R i , R1) + w2 cov( R i , R 2) + ... + wN cov( R i , R N )] =
(9.16)
i=1
N
N
i=1
i=1
= ∑ wi [cov( R i , w1 R1 + w2 R 2 + ... + wN R N )] = ∑ wi cov( R i , R P )
Por consiguiente, al introducir un título i con una determinada ponderación
en la cartera P, se está añadiendo al riesgo de la cartera la siguiente cantidad:
wi cov(R̃i, R̃p)
(9.17)
De acuerdo con las expresiones (9.15) y (9.17), que muestran la aportación
de un título a la rentabilidad y al riesgo de una cartera, si la rentabilidad esperada del mismo es positiva y la covarianza de su rendimiento con el rendimiento de la cartera en la que se integra es negativa, el título puede, a la vez, incrementar la rentabilidad de la cartera y disminuir el riesgo de ésta. Por otra parte,
también conviene resaltar que así como, en cualquier cartera, la contribución de
un título al rendimiento esperado de la misma no varía si el peso de dicho título
en la cartera tampoco lo hace, la aportación al riesgo de la cartera, aun manteniéndose constante el peso del título, sí que cambia según cuáles sean los títulos
que le acompañan en la cartera en cuestión, así como las ponderaciones de estos
últimos en ella.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
En el capítulo siguiente, en ocasiones, el universo de dos parámetros rentabilidad-riesgo del inversor estará referido a los ejes media−varianza (EP, s2P), en
cuyo caso las medidas apropiadas de la rentabilidad−riesgo de un título, como
acabamos de constatar, serán:
wi E( R i )
wi cov( R i , R p)
y
Sin embargo, en otros casos, utilizaremos como medidas del riesgo de la
cartera bien la desviación típica del rendimiento de la misma (sP), o bien su coeficiente beta (bP). En estos casos, como probaremos seguidamente, las medidas
apropiadas de la rentabilidad y del riesgo serán respectivamente en cada caso:
— Ejes (EP, sP):
— Ejes (EP, bP):
wi E(R̃i)
wi E(R̃i)
y
y
wi cov(R̃i, R̃p) / s(R̃p)
wi bi
De este modo, la medida adecuada de la rentabilidad de un título en el contexto de una cartera será siempre la misma, siendo indiferente que la cartera esté
mejor o peor configurada, mejor o peor diversificada; mientras que la aportación
de un título al riesgo de una cartera irá cambiando según cuál sea la medida del
riesgo que se esté empleando: varianza, desviación típica o coeficiente beta, y
según cuál sea la cartera en la que se integra.
Para encontrar la medida apropiada del riesgo de un título i dentro de una
cartera P en los ejes (EP, sP), no hay más que dividir la expresión (9.16) por la
desviación típica del rendimiento de la cartera P:
N
cov( R i , R P )
σ ( R P ) = σ 2 ( R P ) / σ ( R P ) = ∑ wi
σ ( R P )
i=1
(9.18)
con lo que la contribución de un título i al riesgo de una cartera P, medido éste
por la desviación típica del rendimiento de la cartera P, será:
wi
cov( R i , R P )
σ ( R P )
(9.19)
Podríamos normalizar el riesgo de la cartera P y decir que su desviación típica (sP) se corresponde con el 100 por 100 del riesgo y evaluar entonces la contribución de cada título a ese 100 por 100 que representa el riesgo total de la
cartera P. Para ello, no hay más que dividir la ecuación (9.18) por la desviación
típica:
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Teoría de la inversión
N
cov( R i , R P )
1 = σ ( R P ) / σ ( R P ) = ∑ wi
/ σ ( R P ) =
σ
(
R
)
i=1
P
cov( R i , R P ) N
= ∑ wi
= ∑ wi βi = β P
σ 2 ( R P )
i =1
i =1
N
(9.20)
en donde:
cov( R i , R p )
σ ( R p )
cov( R i , R p )
βi =
=
σ ( R p )
σ 2 ( R p )
(9.21)
representa el porcentaje (bi) con el que cada título participa en el riesgo total
(s(R̃p)) de la cartera P. Por tanto, la contribución de cada título i al binomio rentabilidad-riesgo en los ejes (EP, bP) será:
wi E(R̃i)
y
wi bi
(9.22)
constituyendo el coeficiente beta una medida del riesgo de un título en los ejes
(EP, bP).
En el capítulo siguiente, cuando se desarrolle el modelo CAPM, se demostrará que si se cumplen una serie de hipótesis sobre el comportamiento de los inversores y sobre el mercado, todos los inversores formarán sus carteras invirtiendo
en sólo dos activos: el activo libre de riesgo F y la cartera de mercado8 M, con
lo que el riesgo de cada activo ( bi) se medirá por su contribución al riesgo normalizado de la cartera de mercado ( bM) que es la unidad, pudiéndose así considerar bi como una medida de su riesgo sistemático, de mercado o no diversificable:
N
β M = ∑ wi βi = 1
i =1
(9.23)
Estos coeficientes bM (para la cartera M) y bi (para el título i) también se
pueden interpretar respectivamente (figura 9.5) como la pendiente de la regresión lineal entre el rendimiento previsto de la cartera M consigo misma (caso de
bM = 1) y de la regresión lineal entre los rendimientos previstos del título i con
los rendimientos previstos de la cartera M (caso de bi).
8
La cartera de mercado estará constituida por todos los títulos que hay en el mercado en las proporciones que dichos títulos tienen en él de acuerdo con su capitalización bursátil.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Figura 9.5.
Coeficientes beta de la cartera de mercado y del título i.
9.4. VENTAJAS DE LA DIVERSIFICACIÓN. RIESGO
SISTEMÁTICO Y RIESGO ESPECÍFICO
9.4.1. Ventajas de la diversificación
Cuando se forma una cartera con dos o más títulos, si se exceptúa el caso poco
probable de que sus rendimientos estén correlacionados de forma perfecta y positiva, habrá ventajas en esa diversificación, ya que, como se va a demostrar más
adelante, el rendimiento esperado de la cartera será igual a la media ponderada
de los rendimientos de los títulos que se «mezclan»; pero, en cambio, la desviación típica del rendimiento de la cartera será inferior a la media ponderada de las
desviaciones típicas de los títulos que se combinan.
El razonamiento lo vamos a efectuar con dos títulos, pero evidentemente se
puede generalizar, como se hará en el próximo capítulo, al caso de carteras formadas por N títulos. Así, sean dos títulos arriesgados cuyos rendimientos guardan
una determinada correlación:
ρ12 =
cov( R1 , R 2 )
σ ( R1 ) σ ( R 2 )
(9.24)
Dado que la desviación típica del rendimiento de cualquier título arriesgado
es siempre positiva, el signo del coeficiente de correlación únicamente depende
del signo de la covarianza entre los rendimientos aleatorios de estos títulos. Así,
si cov(R̃1, R̃2) > 0, su coeficiente de correlación será positivo; mientras que si
cov(R̃1, R̃2) < 0, su coeficiente de correlación será negativo. Igualmente, si la
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Teoría de la inversión
covarianza es nula, el coeficiente de correlación será nulo y los rendimientos de
los títulos serán independientes.
El coeficiente de correlación, r12, puede tomar cualquier valor entre −1 y
+1 (−1 ≤ r12 ≤ +1):
— Si r12 = 1, la correlación es perfecta y positiva, con lo que los rendimientos de los títulos se mueven en el mismo sentido y mantienen una relación
lineal de pendiente positiva. El valor que toma la covarianza entre los
rendimientos de los títulos en este caso es:
cov( R1 , R 2) = σ ( R1) σ ( R 2)
(9.25)
— Si r12 = −1, la correlación es perfecta y negativa, los rendimientos de los
títulos se mueven en sentido opuesto a través de una recta con pendiente
negativa y se puede expresar la covarianza como sigue:
cov( R1 , R 2) = −σ ( R1) σ ( R 2)
(9.26)
— Si r12 = 0, los rendimientos normales de los títulos son independientes y
no guardan ninguna relación lineal entre sí, verificándose que:
cov( R1 , R 2) = 0
(9.27)
En la práctica, estos tres casos que acabamos de mostrar no suelen darse y lo
normal es que el coeficiente de correlación se sitúe en algún nivel intermedio
entre los límites mostrados en que no necesariamente r12 sea igual a cero. En
estas situaciones intermedias, la covarianza entre los rendimientos de dos títulos
arriesgados se puede expresar en función del valor que tome el coeficiente de
correlación. Para ello, no hay más que despejar el valor de la misma en la definición del coeficiente de correlación que acabamos de ofrecer:
cov( R1 , R 2) = ρ12 σ ( R1) σ ( R 2)
(9.28)
Si formamos diferentes carteras (figura 9.6) con dos activos arriesgados tales que:
E( R1) = 20% > E( R 2) = 10%
σ ( R1) = 25% > σ ( R 2) = 15%
(9.29)
el rendimiento aleatorio de estas carteras dependerá de las proporciones en que
intervengan dichos títulos:
R P = w1 R1 + w2 R 2
(9.30)
cumpliéndose, como ya sabemos, que:
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w1 + w2 = 1
(9.31)
Si ahora aplicamos los operadores esperanza y varianza a la ecuación (9.30)
que nos proporciona la rentabilidad aleatoria de la cartera P y tenemos en cuenta
la expresión (9.28), que relaciona la covarianza entre los rendimientos de dos
títulos con su coeficiente de correlación, obtenemos que:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2)
σ 2 ( R P ) = w12 σ 2 ( R1) + w22 σ 2 ( R 2) + 2w1w2 cov( R1 , R 2) =
= w12 σ 2 ( R1) + w22 σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1 ) σ ( R 2)
(9.32)
(9.33)
Al expresar la varianza del rendimiento de una cartera formada por dos títulos arriesgados en función del coeficiente de correlación entre los rendimientos de ambos títulos vemos que, según cuál sea el signo y la intensidad del
coeficiente de correlación, se puede disminuir la varianza del rendimiento de la
cartera P sin disminuir la rentabilidad esperada por el inversor. Para ello, no
hay más que sustituir uno de los títulos por otro que tenga el mismo rendimiento esperado y la misma desviación típica del rendimiento, pero un menor coeficiente de correlación con el otro integrante de la cartera. De esta forma, si el
inversor elige los títulos de forma apropiada, puede lograr que el riesgo de la
cartera sea menor.
Figura 9.6.
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Disminución del riesgo cuando se reduce el coeficiente de correlación.
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Teoría de la inversión
Así, a modo de ejemplo, si el inversor pondera el primer título con un 40 por
100 y el segundo título con el 60 por 100 restante, el rendimiento esperado de su
cartera será:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) = 0,4 ⋅ 20% + 0,6 ⋅10% = 14%
mientras que, en el caso de que el coeficiente de correlación entre los dos títulos
sea 1, la varianza del rendimiento de la cartera construida, de acuerdo con la
expresión (9.33), será:
σ 2 ( R P ) = w12 σ 2 ( R1) + w22 σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1) σ ( R 2) =
= 0,4 2 (25%)2 + 0,62 (15%)2 + 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 ⋅1⋅ 25% ⋅15% = 0,0361
y, luego de extraer raíces cuadradas, el riesgo de la cartera puede también expresarse como sigue:
σ ( R P ) = 0,0361 = 19%
Este valor de la desviación típica del rendimiento de la cartera, como se demostrará más adelante, es igual a la media ponderada de las desviaciones típicas
de los títulos que componen la cartera, esto es:
σ ( R P ) = w1σ 1 + w2σ 2 = 0,4 ⋅ 25% + 0,6 ⋅15% = 19%
Como es fácil de constatar, si uno de los títulos es sustituido por otro que,
proporcionando el mismo rendimiento esperado y la misma varianza, guarde una
correlación menor, por ejemplo, 0,5, el rendimiento esperado de la cartera se
mantendrá inalterado, pero la varianza disminuirá:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) = 0,4 ⋅ 20% + 0,6 ⋅10% = 14%
σ 2 ( R P ) = w12 σ 2 ( R1) + w22 σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1 ) σ ( R 2 ) =
= 0,4 2 (25%)2 + 0,62 (15%)2 + 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 ⋅ 0,5 ⋅ 25% ⋅15% = 0,0271
con lo que la desviación típica de la nueva cartera habrá disminuido del 19 por
100 al 16,46 por 100.
σ ( R P ) = 0,0271 = 16,46%
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En la tabla 9.1 y la figura 9.6 se puede comprobar cómo, a medida que disminuye el coeficiente de correlación desde + 1 hasta −1, se mantiene constante el
rendimiento esperado de la cartera, pero va disminuyendo el riesgo de la misma.
TABLA 9.1
Disminución del riesgo cuando se reduce el coeficiente de correlación
Coeficiente
de correlación ( r12)
E(R̃P) (%)
s2(R̃P)
s(R̃P) (%)
1
0,5
0
−0,5
−1
14
14
14
14
14
0,0361
0,0271
0,0181
0,0091
0,0001
19,00
16,46
13,45
9,54
1,00
A continuación, vamos a centrar nuestro análisis en tres casos: los dos extremos de r12 y un punto intermedio cualquiera.
Caso 1: r12 = 1 (correlación perfecta y positiva)
En el caso particular de que los rendimientos aleatorios de dos títulos guarden
una correlación perfecta y positiva: r12 = 1, la relación entre la rentabilidad y el
riesgo es lineal y no hay ventajas en la diversificación. En efecto, en este supuesto la expresión (9.33) de la varianza del rendimiento de la cartera P quedará como
sigue:
σ 2 ( R P ) = w12 σ 2 ( R1) + w22 σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1 ) σ ( R 2 ) =
= w12 σ 12 + w22 σ 22 + 2w1w2 1 σ 1σ 2 = (w1σ 1 + w2σ 2 )2
(9.34)
y la desviación típica del rendimiento de la cartera se reduce a la siguiente relación:
σ P = w1σ 1 + w2σ 2
(9.35)
Si recopilamos los resultados alcanzados, cuando r12 = 1, la forma que adoptan las expresiones que nos miden el rendimiento esperado y el riesgo es la que
sigue:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2)
σ P = w1σ 1 + w2σ 2
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Teoría de la inversión
llegándose así al resultado general adelantado al comienzo de este apartado de
que tanto el rendimiento esperado como la desviación típica del rendimiento de
la cartera serán iguales a la media ponderada de los respectivos rendimientos
esperados y desviaciones típicas de los rendimientos de los títulos que entran en
la combinación. En este caso, no habrá ventajas en la diversificación9, el riesgo
no se reducirá y la relación entre la rentabilidad y el riesgo de las carteras así
formadas será lineal (figura 9.6). En efecto, de la expresión (9.31) se deriva que:
w2 = 1 − w1
y llevando este valor a las ecuaciones que nos proporcionan el rendimiento esperado y la desviación típica del rendimiento de la cartera P se obtiene:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) = w1E( R1) + (1 − w1 )E( R 2) = E( R 2) + w1E( R1) − E( R 2)
σ P = w1σ 1 + w2σ 2 = w1σ 1 + (1 − w1 )σ 2 = σ 2 + w1 (σ 1 − σ 2 )
y, luego de despejar w1 en ambas expresiones, igualar y operar convenientemente,
se llega finalmente a la relación lineal que se quería probar:
E( R1) − E( R 2)
E( R P ) = E( R 2) +
(σ P − σ 2 )
σ1 − σ 2
(9.36)
que es la ecuación de una recta en los ejes (EP, sP)
En la figura 9.7 se puede comprobar que la parte de la recta que se prolonga
a la derecha del par rentabilidad−riesgo del título 1 la hemos señalado con trazo
discontinuo. Para alcanzar dichos puntos situados a la derecha del título 1 es
necesario operar a corto con el título 2, esto es, vender en descubierto10 el título 2
9
En cualquier otro caso (esto es: r12 ≠ 1) se cumplirá que:
E(R̃P) = w1E(R̃1) + w2E(R̃2)
sP < w1s1 + w2s2
con lo que será positivo diversificar, ya que con ello se conseguirá una rentabilidad igual a la media ponderada de los títulos integrantes de la cartera, pero con una desviación típica inferior a la media ponderada de las desviaciones típicas de los rendimientos de dichos títulos. De este modo, el par rentabilidad-riesgo de las carteras así formadas se situará a la izquierda de la línea recta que une los dos títulos en los ejes
(E, s). Véase la figura 9.6.
10
En una operación en descubierto, sin restricciones, un inversor vende al contado un título que no
tiene y se compromete a devolverlo al individuo o a la institución que se lo ha dejado después de un
plazo determinado. En nuestro ejemplo, el plazo es el mismo que el horizonte de planificación de la
cartera formada, por lo que si se opera a corto con el título i su peso o ponderación en la cartera es negativo, lo cual realmente es equivalente, en el fondo, a solicitar un préstamo a la tasa media de interés
E(R̃i), ya que al vencer el plazo deberá acudir a la bolsa, comprar el título y devolverlo al prestamista del
mismo, abonándole además cualquier dividendo o renta que el título haya generado en ese período.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
e invertir el presupuesto inicial del inversor más el dinero obtenido con la venta
en descubierto del título 2 en el título 1.
Figura 9.7.
Carteras con posiciones a corto y a largo.
Igualmente, los puntos señalados con trazo discontinuo situados a la izquierda del par rentabilidad-riesgo del título 2 se pueden alcanzar con la venta en
descubierto del título 1 y la inversión en el título 2 del presupuesto inicial del
inversor más el importe obtenido por la venta en descubierto del título 1.
Observe que si están permitidas las ventas en descubierto11 (ponderación negativa de uno de los títulos y superior al 100 por 100 en el otro), el inversor
puede alcanzar pares de rentabilidad−riesgo mucho más arriesgados (venta en
descubierto del título 2) o mucho más conservadores (venta en descubierto del
título 1) que operando a largo con los dos títulos (ponderaciones positivas en
ambos títulos).
11
En España las ventas en descubierto no están permitidas, aunque sí existe un mecanismo para
obtener beneficios con una acción de la que se espera un movimiento bajista en los próximos meses: el
crédito al mercado con préstamo de títulos. La diferencia con la venta en descubierto es que, aunque una
institución presta el título, no se genera financiación con la que comprar otro título, sino todo lo contrario, ya que el importe de la venta del título que no se tiene más una garantía se queda depositado y no
se puede disponer de él hasta que, pasado el plazo convenido, se devuelve el título tomado a préstamo,
se paga un coste por ello (si así se ha acordado) y se liquida la operación. Si se cumplen sus expectativas
bajistas, el inversor habrá ganado dinero, ya que cuando devuelva el título su cotización estará más baja
que en el momento en que lo vendió y alguien se lo prestó. Pero si yerra en su pronóstico y el título
termina subiendo, evidentemente la operación habrá generado pérdidas.
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Teoría de la inversión
Caso 2: r12 = −1 (correlación perfecta y negativa)
Como ya se ha podido verificar en el ejemplo antes desarrollado, la rentabilidad esperada de las diferentes carteras que se pueden formar al variar el peso
con que intervienen dos títulos sigue siendo igual que en el caso anterior: la
media ponderada de las rentabilidades de los títulos individuales, ya que la rentabilidad de una cartera no depende del coeficiente de correlación.
E( R P ) = w1E( R1) + (1 − w1)E( R 2)
Por lo que respecta al riesgo de la cartera, llevando el valor −1 del coeficiente de correlación a la fórmula (9.33) de la varianza del rendimiento de la cartera,
tenemos que:
σ P2 = w12σ 12 + w22σ 22 + 2w1w2 ρ12σ 1σ 2 =
= w12σ 12 + w22σ 22 + 2w1w2 (−1)σ 1σ 2 = (w1σ 1 − w2σ 2 )2
(9.37)
y extrayendo raíces cuadradas en ambos lados de (9.37), obtenemos dos soluciones:
σ p = ±(w1σ 1 − w2σ 2 )
Dado que sP siempre debe ser positiva, se obtienen dos expresiones posibles
para la desviación típica del rendimiento de la cartera P:
a) Primera expresión: sP = w1 s1 − w2 s2, donde si tenemos en cuenta que:
w2 = 1 − w1, se deduce que:
σ P = w1σ 1 − (1 − w1 )σ 2 = −σ 2 + w1 (σ 1 + σ 2 )
(9.38)
b) Segunda expresión: sP = −w1 s1 + w2 s2, donde operando de igual modo
se obtiene que:
σ P = −w1σ 1 + (1 − w1 )σ 2 = σ 2 − w1 (σ 1 + σ 2 )
(9.39)
Con las expresiones relativas al rendimiento esperado de la cartera P y los
dos valores alternativos que puede tomar la desviación típica de la misma cuando
el coeficiente de correlación es −1 (expresiones [9.38] y [9.39]), si se opera de
una forma similar al caso en que el coeficiente de correlación era +1, se obtienen
las ecuaciones de dos líneas rectas (una con pendiente positiva y otra con pendiente negativa) como las mostradas en la figura 9.8, llegándose incluso a anular
el riesgo si los activos se combinan en unas proporciones determinadas12.
12
Al final de este apartado se calcularán cuáles son las proporciones con que deben intervenir los
dos títulos que se mezclan para que la cartera tenga la mínima varianza.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Figura 9.8.
Carteras posibles con r12 = −1.
Caso 3: −1 < r12 < 1 (correlación lineal no perfecta13)
Como en las otras dos situaciones anteriores, la rentabilidad esperada de la
cartera seguirá siendo la misma, pero la varianza del rendimiento de la cartera se
verá modificada. Las expresiones apropiadas en este caso, el más general en la
práctica, de la rentabilidad y del riesgo de la cartera P ya han sido mostradas con
anterioridad. Son las ecuaciones (9.32) y (9.33):
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2)
σ 2 ( R P ) = w12σ 2 ( R1) + w22σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1 ) σ ( R 2 ) =
= w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2w1 (1 − w1 ) ρ12σ 1σ 2
(9.40)
Dado que r12 < 1, la varianza de la cartera en este tercer caso será menor que
cuando la correlación era perfecta y positiva, con lo que el inversor reducirá el
riesgo si, en lugar de invertir en un activo individual, lo hace en una cartera. En
efecto, extrayendo raíces en ambos lados de la expresión (9.40) de la varianza,
se llega a que:
σ P = w12 σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2w1 (1 − w1 ) ρ12σ 1σ 2
(9.41)
cuya representación gráfica, al tratarse de una raíz cuadrada, es una curva como
la representada en la figura 9.9.
13
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Incluye también el tercer caso del comienzo de este apartado: r12 = 0.
313
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Teoría de la inversión
Figura 9.9.
Carteras posibles con: −1 < r12 < 1.
En la figura 9.10 se recoge el conjunto de los resultados de los tres casos
planteados. Observe cómo, si se parte de la recta que representa las carteras cuya
construcción es posible cuando r12 = 1, a partir de ese momento, cuanto menor
es el coeficiente de correlación, las respectivas curvas que recogen los pares
rentabilidad−riesgo de las carteras son cada vez más pronunciadas y, en el límite
(cuando r12 = −1), la curva degenera en dos rectas.
Figura 9.10.
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Carteras posibles con: −1 ≤ r12 ≤ 1.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Para finalizar este apartado, seguidamente vamos a demostrar que, en el caso
particular de que el coeficiente de correlación entre los rendimientos de dos títulos sea −1, el riesgo de la cartera de mínima varianza se anula, tal y como ya se
ha mostrado en las figuras 9.8 y 9.10.
De acuerdo con la expresión (9.40), la varianza de los rendimientos de carteras compuestas por dos títulos es:
σ P2 = w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2w1 (1 − w1 ) ρ12σ 1σ 2 =
= w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2w1 ρ12σ 1σ 2 − 2w12 ρ12σ 1σ 2
Para hallar la cartera de mínima varianza, será necesario derivar esta ecuación
con respecto a w1 e igualar a cero para proceder, a continuación, a despejar el
valor de w1 que nos proporcionará el peso que debe alcanzar el título 1 dentro de
la cartera P si se pretende que ésta tenga la varianza más pequeña posible. Así
pues:
dσ 2 ( R P )
= 2w1σ 12 + 2(1 − w1 ) (−1)σ 22 + 2 ρ12σ 1σ 2 − 4w1 ρ12σ 1σ 2 = 0 (9.42)
dw1
Dividiendo por 2 y sacando factor común w1 en la condición de primer orden
(9.42), luego de operar convenientemente, se tiene que:
w1 (σ 12 + σ 22 − 2 ρ12σ 1σ 2 ) − σ 22 + ρ12σ 1σ 2 = 0
Y, finalmente, si despejamos w1, obtenemos la ponderación que debe alcanzar
el título 1 dentro de la cartera P para que la cartera así formada sea de mínima
varianza:
w1 =
σ 22 − ρ12σ 1σ 2
σ 12 + σ 22 − 2 ρ12σ 1σ 2
(9.43)
En el caso particular de que los títulos del ejemplo descrito en las expresiones
(9.29) tuviesen una correlación perfecta y negativa, la fórmula que proporciona
la composición de la cartera de mínima varianza se ve simplificada:
w1 =
σ 22 − ρ12σ 1σ 2
σ 22 − (−1)σ 1σ 2
=
=
σ 12 + σ 22 − 2 ρ12σ 1σ 2 σ 12 + σ 22 − 2(−1)σ 1σ 2
σ (σ + σ 1)
σ2
= 2 2
=
2
(σ 1 + σ 2)
σ1 + σ 2
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(9.44)
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Teoría de la inversión
y, por último, si la aplicamos a nuestro ejemplo, nos proporciona un peso del
activo 1 igual a:
w1 =
σ2
15%
=
= 37,50%
σ 1 + σ 2 25% + 15%
Esta ponderación del 37,50 por 100 del primer título y el resto: 62,50 por
100 = (1 − 37,50 por 100) en el segundo título, dará lugar a una cartera que,
además de tener mínima varianza, ésta es nula, con lo que se habrá diversificado
o eliminado por completo el riesgo:
σ 2 ( R P ) = w12σ 12 + (1 − w1 )2 σ 22 + 2w1 (1 − w1 ) ρ12σ 1σ 2 =
= 0,3752 (25%)2 + (1 − 0,375)2 (15%)2 +
+ 2 ⋅ 0,375(1 − 0,375)(−1)25% 15% = 0
La rentabilidad esperada de esta cartera con riesgo nulo será:
E( R P ) = w1E( R1) + (1 − w1 )E( R 2) = 0,375 ⋅ 20% + 0,625 ⋅10% = 13, 75%
con lo que el par rentabilidad−riesgo (13,75%, 0%) es el punto donde se cortan
las dos rectas de la figura 9.8.
9.4.2. La diversificación ingenua. Riesgo sistemático
y riesgo específico
En el segundo apartado de este capítulo, expresión (9.9), se ha mostrado que
la medida adecuada del riesgo de una cartera P es la varianza de su rendimiento:
N
N
i =1
i =1 j =1
i≠ j
N
σ 2 ( R P ) = ∑ wi2σ 2 ( R i ) + ∑ ∑ wi w j cov( R i , R j ) =
N
N
1 2 1 1
σ
(
R
)
+
cov( R i , R j )
∑
∑
i
2
N
N
N
i=1
i =1 j =1
N
=∑
i≠ j
de modo que el riesgo de una cartera no sólo depende de las varianzas de los rendimientos de los distintos títulos que la integran, sino también de las covarian316
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
zas debidas a la correlación que mantienen entre sí los rendimientos de estos
títulos.
Como vamos a demostrar a continuación, el primer sumando de la varianza
del rendimiento de una cartera (riesgo propio de los títulos o riesgo específico o
riesgo diversificable) se puede llegar a anular de una forma ingenua repartiendo,
a partes iguales, el presupuesto de inversión de un individuo entre muchos títulos;
mientras que el segundo sumando (riesgo sistemático o riesgo de mercado o no
diversificable) no se puede eliminar, ya que los rendimientos de los diferentes
títulos no se pueden abstraer de los movimientos generales al alza o a la baja del
mercado.
Como decimos, un inversor ingenuo, que sea desconocedor de las características propias de los títulos y de los mercados financieros en general, puede eliminar el riesgo propio de los títulos que conforman su cartera simplemente invirtiendo la misma cantidad de dinero en distintos títulos elegidos al azar. La única
condición es que el tamaño de la cartera debe ser lo suficientemente grande para
que el efecto de la diversificación se produzca.
En efecto, la varianza del rendimiento de una cartera compuesta por N títulos
equiponderados (wi = 1/N) es:
N
N
i =1
i =1 j =1
i≠ j
N
σ 2 ( R P ) = ∑ wi2σ 2 ( R i ) + ∑ ∑ wi w j cov( R i , R j ) =
N
N
1 2 1 1
σ
(
R
)
+
cov( R i , R j )
∑
∑
i
2
i=1 N
i =1 j =1 N N
N
=∑
i≠ j
o también:
σ 2 ( R P ) =
1 N N
1 N 2 σ
(
R
)
+
∑
∑ ∑ cov( Ri , R j)
i
N2 i =1 j =1
N2 i =1
(9.45)
i≠ j
Si ahora suponemos que tanto la varianza media de los rendimientos de todos
–
los títulos (V ), como la covarianza media entre los rendimientos de cualquier par
–
de títulos (s ij) son números finitos14, esto es:
14
Recuerde que en la varianza de una cartera de N títulos intervienen N varianzas y N (N − 1) covarianzas.
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Teoría de la inversión
V=
σ ij =
=
σ 12 + σ 22 + ... + σ N2
1 N
= ∑ σ 2 ( R i )
N
N i =1
cov( R1 , R 2) + cov( R1 , R 3) + ... + cov( R N − 1 , R N )
N (N − 1)
=
N
N
1
cov( R i , R j )
∑
∑
N (N − 1) i = 1 j = 1
i≠ j
se llega a que:
N
∑ σ 2 ( Ri) = V N
(9.46)
∑ ∑ cov( Ri , R j) = σ ij N (N − 1)
(9.47)
i =1
N
N
i =1 j =1
i≠ j
Por otra parte, si llevamos las expresiones (9.46) y (9.47) a la fórmula de la
varianza de los rendimientos de una cartera (9.45), finalmente se deduce que:
σ 2 ( R p) =
V N −1
V
1
1
1
V N + 2 σ ij N (N − 1) = +
σ ij = + σ ij − σ ij
N
N
N2
N
N
N
(9.48)
con lo que, si el inversor ingenuo aumenta suficientemente el número de títulos
equiponderados que entran a formar parte de su cartera, en el límite (cuando N
tienda a infinito) el primer y el último sumando tenderán a 0 y el riesgo de la
cartera quedará reducido a la covarianza media de los rendimientos de los títulos
que la integran.
lim σ 2 ( R P ) = σ ij
N→∞
Obsérvese cómo con este modo tan simple de actuar, que está al alcance de
cualquier persona, una parte del riesgo, la correspondiente a las características
propias de los títulos (la varianza de su rendimiento), se ha anulado o eliminado;
pero no así la debida a la mayor o menor correlación que guardan entre sí los
diferentes títulos y que tiene como causa los movimientos generales al alza o a
la baja del mercado que afectan a cualquier título que guarde una determinada
correlación con el mismo.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Por otra parte, ese riesgo no diversificable, medido por la covarianza media
de los rendimientos de los títulos entre sí, será más pequeño cuanto menos correlacionados estén los rendimientos de dichos títulos. Asimismo, títulos con correlación negativa harán disminuir aún más la covarianza media.
En general, los resultados empíricos que se han realizado sobre este tema15,
con mercados de valores de distintos países en diferentes momentos del tiempo,
muestran que la convergencia de ese límite es bastante rápida y, en general, en
la media de una serie de distintas simulaciones (por ejemplo, 40 carteras al azar
de 1 título, 40 carteras al azar de 2 títulos, 40 carteras al azar de 3 títulos, etc.)
basta con 10 o 15 títulos equiponderados para eliminar gran parte del riesgo propio de los títulos16 o riesgo diversificable o no sistemático (RNSP), quedando el
riesgo de mercado o riesgo sistemático o no diversificable de la cartera (RSP) en
un nivel particular en cada mercado (figura 9.11).
Figura 9.11.
Riesgo total (RTP), riesgo sistemático (RSP) y riesgo no sistemático (RNSP) de una
cartera P.
9.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
Un inversor particular con varias imposiciones a plazo fijo en diversos bancos,
dado el bajo nivel actual de los tipos de interés, se está planteando invertir una
15
Véase, por ejemplo, Solnik (1974), Ferrando Bolado (1982: pp. 252−280), Statman (1987), García
Martín (1991: pp. 39−50) o Gómez−Bezares, Madariaga y Santibáñez (1994: p. 125).
16
Hay que tener en cuenta que una vez que se ha eliminado, por ejemplo, el 95 por 100 del riesgo
no sistemático, la eliminación del 5 por 100 restante puede disparar los costes de transacción y de administración de la cartera.
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Teoría de la inversión
parte de sus ahorros en la Bolsa de Valores. Debido a su bajo conocimiento sobre
el funcionamiento de los mercados financieros, ha decidido acudir a un profesional
especializado en gestión de carteras y patrimonios privados con el fin de que le
asesore sobre la inversión más conveniente. El asesor financiero le informa de que
en el momento actual existen en el mercado dos activos financieros muy interesantes, el título 1 y el título 2, de los cuales dispone de la siguiente información:
Estado
de la naturaleza
Probabilidad
de ocurrencia
Rentabilidad
título 1
Rentabilidad
título 2
I
60,00 %
15,00 %
–1,00 %
II
40,00 %
–5,00 %
5,00 %
Teniendo en cuenta que el impositor es una persona aversa al riesgo y que
tiene una función de utilidad cuadrática, por lo que se puede plantear la toma de
decisiones en base al criterio media-varianza, se pide:
a) ¿Cuál sería la composición de la cartera que le aconsejaría el asesor financiero, así como la rentabilidad y riesgo que cabe esperar que obtenga
el inversor particular, si éste desea correr el mínimo riesgo posible?
b) Si el inversor desea alcanzar una rentabilidad esperada del 4,5%, ¿qué
composición de la cartera le aconsejaría su gestor de patrimonios?, ¿cuál
sería el riesgo asociado a dicha rentabilidad?
c) Si el inversor sólo está dispuesto a correr un riesgo, medido por la desviación típica, del 2 %, ¿qué peso de cada uno de los títulos le indicaría
su gestor de carteras?, ¿qué rentabilidad esperada podrá alcanzar en dicho
caso?
d) Representación gráfica de los resultados alcanzados
SOLUCIÓN
En primer lugar, antes de comenzar a contestar a los diferentes apartados del
problema propuesto, vamos a realizar con carácter previo las estimaciones de las
rentabilidades esperadas y desviaciones típicas de los rendimientos de cada uno
de estos dos activos financieros, así como calcular la covarianza entre sus rendimientos y su coeficiente de correlación.
De la información del rendimiento que alcanza cada título en los dos estados
financieros posibles, de los que se conoce su nivel de probabilidad, y de acuerdo
con (9.2), tenemos que el rendimiento esperado de los títulos es:
320
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2
E( R1) = ∑ R1 j Pj = R11P1 + R12 P2 = 15% ⋅ 60% + (−5%) ⋅ 40% = 7%
j=1
2
E( R 2) = ∑ R2 j Pj = R21P1 + R22 P2 = −1% ⋅ 60% + 5% ⋅ 40% = 1, 40%
j=1
Si aplicamos la ecuación (9.3), la varianza de los rendimientos de los títulos
1 y 2 es:
2
σ 2 ( R1) = E ⎡⎣( R1 − E[ R1])2 ⎤⎦ = ∑ (R1 j − E[ R1])2 Pj =
j=1
= (15% − 7%) ⋅ 60% + (−5% − 7%)2 ⋅ 40% = 0, 0096
2
2
σ 2 ( R 2) = E ⎡⎣( R 2 − E[ R 2])2 ⎤⎦ = ∑ (R2 j − E[ R 2])2 Pj =
j=1
= (−1% − 1, 40%) ⋅ 60% + (5% − 1, 40%)2 ⋅ 40% = 0, 000864
2
Y sacando raíces cuadradas, las respectivas desviaciones típicas de los rendimientos de ambos valores son:
σ ( R1) = σ 1 = σ 2 ( R1) = 0, 0096 = 9, 7980%
σ ( R 2) = σ 2 = σ 2 ( R 2) = 0, 000864 = 2,9394%
La covarianza entre los rendimientos de ambos títulos es negativa, ya que al
pasar del estado de la naturaleza I al II, el primer título baja su rendimiento del
15% al −5%, mientras que el segundo valor sube su rendimiento del −1% al 5%.
Aplicando el operador de la covarianza, se tiene:
2
cov( R1 , R 2) = σ 12 = ∑ (R1 j − E[ R1]) (R2 j − E[ R 2])Pj =
j=1
= (15% − 7%)(−1% − 1, 40%) ⋅ 60% + (−5% − 7%)(5% − 1, 40) ⋅ 40% = −0, 00288
Y, finalmente, el coeficiente de correlación, de acuerdo con la fórmula (9.11), es:
ρij =
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cov( R i , R j )
σ
−0, 00288
= 12 =
= −1
s( Ri ) σ ( R j ) σ 1σ 2 0, 09798 ⋅ 0,029394
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A continuación, vamos a entrar ya en la contestación de los apartados del
problema:
a) Rentabilidad de la cartera de varianza mínima y su composición:
La correlación de los títulos es perfecta y negativa, por lo que el peso del
primer título en la cartera de mínima varianza (CMV), de acuerdo con la expresión (9.44), es17:
w1 =
σ2
2,9394%
=
= 23, 0769%
σ 1 + σ 2 9, 7980% + 2,9394%
Y por diferencia a la unidad (esto es, al 100% del presupuesto), la ponderación
del título 2 en de dicha cartera sería:
w2 = 1 − w1 = 1 − 23, 0769% = 76,9231%
Por lo que, si el inversor forma una cartera con esas proporciones, la varianza
se anulará y alcanzará su valor mínimo. En efecto, extrayendo la raíz cuadrada de
la expresión (9.37), se tiene:
σ CMV = (w1σ 1 − w2σ 2 ) = 23, 0769% ⋅ 9, 7980% − 76,9231% ⋅ 2,9394% = 0
La rentabilidad que alcanzaría el inversor particular si optase por esta alternativa sería:
E( RCMV ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) = 23, 0769% ⋅ 7% + 76,9231% ⋅1, 40% = 2,6923%
Esto es, podría obtener una rentabilidad del 2,6923% sin riesgo (sCMV = 0%),
lo que podría considerar adecuado a su perfil de riesgo y superior a la rentabilidad
de las imposiciones a plazo fijo de un año, garantizadas por el Fondo de Garantía
de Depósitos, que le ofrece su banco.
Otra forma de llegar al mismo resultado es aplicar las ponderaciones de la
cartera de mínima varianza a los rendimientos posibles en el estado de la natura17
A idéntico resultado se puede llegar aplicando la expresión general (9.43):
w1 =
322
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σ 22 − ρ12σ 1σ 2
σ + σ 22 − 2 ρ12σ 1σ 2
2
1
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
leza I, llegándose a que la rentabilidad obtenida con la cartera de mínima varianza en dicho estado es:
RCMV = w1 R11 + w2 R21 = 23, 0769% ⋅15% + 76,9231(−1%) = 2,6923%
E igualmente, en el estado de la naturaleza II, si se invierte con esos pesos de
la CMV en los títulos 1 y 2, la rentabilidad obtenida es:
RCMV = w1 R12 + w2 R22 = 23, 0769% ⋅ (−5%) + 76,9231⋅ (5%) = 2,6923%
por lo que, sea cual sea el estado de la naturaleza que acabe aconteciendo, la
rentabilidad que consigue el inversor es del 2,6923% con variabilidad nula.
b) ¿Qué composición debería tener una hipotética cartera que le ofrezca
un 4,5% de rentabilidad y cuál sería su riesgo medido por la desviación
típica?
Si se aplica la expresión (9.8) del rendimiento esperado de una cartera a estos
datos, se tiene:
E( R P ) = 4,5% = w1 ⋅ E( R1) + w2 ⋅ E( R 2) = w1 ⋅ 7% + (1 − w1 ) ⋅1, 40%
Por lo que, despejando w1, se obtiene la ponderación del valor 1 dentro de
dicha cartera:
w1 = 55,3571%
y, por diferencia a la unidad, se obtendría también el peso del segundo título:
w2 = (1 − w1) = 44,6429%
A partir de estas ponderaciones, se puede calcular también el riesgo asociado
a dicha cartera:
σ ( R P ) = w12σ 2 ( R1) + w22σ 2 ( R 2) + 2w1w2 ρ12σ ( R1)σ ( R 2) =
= 55,3571%2 ⋅ 0, 0096 + 44,6429%2 ⋅ 0, 000864 + 2 ⋅ 55,3571% ⋅
⋅ 44,6429% ⋅ (−1) ⋅ 9, 7980% ⋅ 2,9394% = 0, 001691
Y la desviación típica:
σ ( R P ) = σ P = σ 2 ( R P ) = 0, 001694 = 4,1116%
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Teoría de la inversión
De esta manera, ponderando el primer valor un 55,36% y el segundo valor el
resto (44,64%), el inversor podría obtener una rentabilidad relativamente elevada
(4,50%), con un riesgo bastante bajo (4,11% de desviación típica). Pero recuerde
que el 4,50% no deja de ser un valor medio que sólo se alcanza en una situación
repetitiva, por lo que si el año próximo termina por suceder el estado de la naturaleza II, con esas ponderaciones de cada uno de los títulos, la rentabilidad será negativa:
RP = w1 R12 + w2 R22 = 55,3571% ⋅ (−5%) + 44,6429% ⋅ (5%) = −0,5357%
Mientras que, si se da el estado de la naturaleza I, la rentabilidad conseguida
será bastante elevada:
RP = w1 R11 + w2 R21 = 55,3571% ⋅ (15%) + 44,6429% ⋅ (−1%) = 7,8571%
Sólo si se multiplican esos dos resultados por el 40% y el 60% de la probabilidad de que ocurran los respectivos estados de la naturaleza, en una situación
repetitiva se conseguiría el 4,50% de la rentabilidad esperada:
E( R P ) = 40% ⋅ (−0,5357%) + 60% ⋅ (7,8571%) = 4,50%
c) ¿Qué composición debería tener una cartera con un riesgo del 2% y
cuál sería la rentabilidad que cabría esperar?
Aplicando, a los datos de este apartado tercero, la expresión del cálculo de la
desviación típica de una cartera formada por dos títulos con una correlación perfecta y negativa, se tiene que:
σ P = 2% = (w1σ 1 − [1 − w1 ]σ 2 ) = w1 ⋅ 9, 7980% − (1 − w1) ⋅ 2,9394%
Y si se despeja w1, se obtiene la ponderación del valor primero dentro de
dicha cartera:
w1 = 38,7788%
y, como en el apartado segundo, por diferencia a la unidad, se obtendría también el peso del segundo título:
w2 = (1 − w1) = 61,2212%
Con esas ponderaciones, ya se estaría en condiciones de calcular el rendimiento esperado asociado al riesgo de esta cartera:
E( R P ) = w1E( R1) + w2 E( R 2) = 38, 7788% ⋅ 7% + 61, 2212% ⋅1, 40% = 3,5716%
324
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
Si formamos una tabla resumen con todos los resultados encontrados, tenemos:
Desviación
típica
Rentabilidad
esperada
TÍTULO 1
9,80%
7,00%
Rentabilidad 4,50%
4,11%
4,50%
Desviación típica 2%
2,00%
3,57%
CMV
0,00%
2,69%
TITULO 2
(No eficiente)
2,94%
1,40%
En donde se puede observar que, a medida que el riesgo que está asumiendo
el inversor disminuye, la rentabilidad esperada también lo hace, cosa lógica ya
que, en mercados eficientes, no se puede obtener una mayor rentabilidad si no es
a costa de correr también con un mayor riesgo.
La única excepción es la última fila, el título segundo, que es ineficiente. Se
puede soportar ese mismo riesgo, pero obteniendo una rentabilidad mayor, tal
como se puede comprobar en el gráfico del apartado siguiente18.
d) Gráfico de los resultados alcanzados en los ejes rentabilidad riesgo
(E,s2):
RENTABILIDAD-RIESGO
Cartera de dos títulos: 1 y 2
8,00 %
TÍT. 1
7,00 %
Media
6,00 %
5,00 %
4,00 %
3,00 %
2,00 %
1,00 %
CMV
0,00 %
0,00 %
TÍT. 2
2,00 %
4,00 %
6,00 %
8,00 %
10,00 %
12,00 %
Desviación típica
18
En el capítulo siguiente, en el apartado primero relativo al modelo de Markowitz y el cálculo de
la frontera eficiente, se tratará con profundidad esta cuestión.
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Teoría de la inversión
Como se puede comprobar en el gráfico, el trazo de recta que va desde la
cartera de mínima varianza (par: 0%, 2,69%) hasta el título 2 (par: 1,40%, 2,94%)
es ineficiente, ya que en el tramo de recta situado por encima del mismo (trazo
de recta que se extiende desde el par: 0%, 2,69%, de la cartera de mínima varianza hasta el par del título 1: 7%, 9,80%) se puede conseguir siempre, para un
determinado nivel de riesgo, una rentabilidad mayor.
PREGUNTAS
Comente razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Si el riesgo es el mismo, las inversiones financieras disponibles en bolsa son
el estándar de comparación de las inversiones reales que llevan a cabo las
empresas.
2. En cualquier mercado financiero eficiente siempre existen activos financieros
que proporcionan la máxima rentabilidad, con el mínimo riesgo y una liquidez absoluta que, por tal motivo, son seleccionados por el inversor para
formar parte de su cartera.
3. Con independencia de la actitud del inversor frente al riesgo, la utilidad marginal de la riqueza es siempre creciente.
4. Un inversor averso al riesgo es aquel a quien es indiferente participar en
juegos de azar de resultado esperado nulo y varianza del resultado positiva.
5. Cuando una persona compra un billete de la lotería nacional está mostrando
un comportamiento propenso al riesgo.
6. Si un título forma parte de dos carteras distintas con igual peso o ponderación,
su contribución al rendimiento esperado de ambas carteras será siempre la
misma.
7. Si un título forma parte de dos carteras distintas con igual peso o ponderación,
su contribución al riesgo de ambas necesariamente debe ser idéntica.
8. La varianza del rendimiento de una cartera compuesta por N activos financieros arriesgados, en general, es la media ponderada de las varianzas de los
rendimientos de los títulos que la componen.
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Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión
9.
La varianza del rendimiento de una cartera compuesta por N activos financieros arriesgados se puede expresar también en forma de matriz diagonal.
10.
La contribución al riesgo de una cartera P (medido por la desviación típica
del rendimiento de la misma) de un activo financiero i viene dada por la
covarianza entre el rendimiento de ese título i y el rendimiento de la cartera P multiplicado por el peso que dicho título tenga en la composición de
la misma.
11.
Si la correlación entre los títulos financieros arriesgados que forman parte
de una cartera es perfecta y positiva, la relación entre la rentabilidad esperada de la cartera y la desviación típica es lineal y no hay ventajas en la
diversificación.
12.
En una cartera compuesta por dos títulos, si la correlación entre ellos es
perfecta y negativa, existe una determinada combinación de los mismos que
anula el riesgo de la cartera.
13.
Siempre que los activos financieros que cotizan en un mercado no tengan
entre sí correlaciones perfectas y positivas, hay ventajas en la diversificación.
14.
Cuando los títulos de una cartera tienen igual peso o ponderación, en el
límite, cuando el número de títulos es lo suficientemente grande, la varianza
del rendimiento de una cartera es igual a la covarianza media de los títulos.
15.
Si la correlación entre los activos financieros arriesgados que forman parte
de una cartera no es perfecta y positiva, se puede eliminar el riesgo sistemático a través de la diversificación ingenua.
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10
Selección de carteras
y valoración de activos
M. Ferrando Bolado y F. Martínez Lobato
10.1. Selección de carteras: modelo de Markowitz y modelo de
Tobin.
10.2. Equilibrio del mercado de capitales: modelo CAPM y la línea
del mercado de capitales (Capital Market Line, CML).
10.3. La línea del mercado de títulos (Security Market Line, SML).
10.4. Valoración de activos financieros y de inversiones productivas.
10.5. Un ejercicio de aplicación.
Preguntas.
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10.1. SELECCIÓN DE CARTERAS: MODELO DE MARKOWITZ
Y MODELO DE TOBIN
En el capítulo anterior, al analizar la rentabilidad y el riesgo de los títulos
individuales y de las carteras de inversión, se ha comprobado que, salvo que la
correlación entre rentabilidad de los diferentes títulos existentes en el mercado
sea perfecta y positiva, siempre existen ventajas en la diversificación cuando se
opta por repartir el presupuesto de inversión de una persona entre dos o más activos financieros, en lugar de invertirlo todo en un único título.
Así, en el caso particular de carteras formadas por sólo dos títulos, si la correlación entre la rentabilidad de ambos no es perfecta y positiva, se puede obtener una rentabilidad igual a la media ponderada (en base al peso de cada título)
de la rentabilidad de dichos títulos, pero con una desviación típica del rendimiento de dicha cartera inferior a la media ponderada de los riesgos de los dos títulos que la componen. Esto es, los pares de rentabilidad-riesgo de las carteras que
se pueden formar se sitúan sobre una curva cóncava en los ejes: E(R̃p), sp (figura 10.1).
A continuación, vamos a generalizar este resultado del capítulo anterior al
caso de carteras compuestas por N activos arriesgados (modelo de Markowitz) y
luego analizaremos también qué cabe esperar en la relación rentabilidad-riesgo
de las carteras de valores cuando se añade un activo libre de riesgo a los N activos
arriesgados inicialmente tomados en consideración (modelo de Tobin): E(R̃N + 1) =
= RF, s(R̃N + 1) = 0.
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Teoría de la inversión
Figura 10.1.
Carteras posibles con dos títulos: −1 < r12 ≤ 1.
10.1.1. Modelo de Markowitz de selección de carteras
El cuerpo de conocimientos que analiza el modo como los inversores eligen
carteras de activos financieros se conoce como Teoría de Selección de Carteras.
La Teoría de Selección de Carteras tiene su origen en el modelo de selección de
carteras propuesto por Harry Markowitz en 1952, en su artículo «Portfolio Selection»1, que desarrolló posteriormente con mayor detalle, en 1959, en su libro
Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment 2. En 1990, junto a
William Sharpe y Merton Miller, le fue concedido el premio Nobel de Economía,
como reconocimiento a esta contribución a la Teoría del Mercado de Capitales y
la Economía Financiera.
La Teoría de Selección de Carteras parte del reconocimiento de la existencia de
riesgo y trata de resolver el problema de la elección de la cartera de valores óptima
para cada inversor, es decir, aquella combinación de activos financieros que mejor
se ajusta a sus preferencias. Para ello, Markowitz elaboró un modelo normativo
uniperiodal de selección racional de inversiones financieras arriesgadas en función
de dos parámetros: la esperanza matemática y la varianza (o la desviación típica),
como medidas respectivas de la rentabilidad y del riesgo de tales inversiones.
Markowitz fue el primero en prestar atención a la diversificación de las carteras.
Con anterioridad a su trabajo, se consideraba que los inversores tomaban sus deci1
Markowitz, H. (1952): «Portfolio Selection», Journal of Finance, vol. 7, n.º 1, marzo, pp. 77-91.
Markowitz, H. (1959): Portfolio Selection: Diversification of Investments. John Wiley & Sons.
Nueva York.
2
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Selección de carteras y valoración de activos
siones buscando únicamente maximizar los rendimientos esperados. Markowitz
demostró que los inversores deben diversificar, deben invertir en más de un activo
financiero con el fin de reducir el riesgo para cada nivel esperado de rentabilidad.
Así, el carácter innovador y pionero de su trabajo no reside tanto en el planteamiento y la técnica matemática en sí que propone para resolver este problema, sino en
que, a través de su modelo, recogiendo las ideas y aportaciones de otros científicos,
formaliza de manera explícita el comportamiento racional del inversor con base en
un nuevo criterio de decisión racional: el criterio media-varianza. Es decir, plantea
formalmente una nueva teoría de la conducta racional del inversor financiero.
Como es lógico, las preferencias sobre el riesgo no tienen por qué ser iguales
para todos los individuos. Las decisiones individuales llevan implícitos elementos
subjetivos que hacen que difieran de unos individuos a otros. Pero también es
cierto que, si suponemos que los inversores actúan racionalmente, habrá elementos comunes en las decisiones de todos ellos. Esos elementos comunes del comportamiento racional y coherente de los individuos se recogen en una serie de
axiomas que, junto con la hipótesis de no-saciedad (los individuos racionales
siempre prefieren más riqueza a menos), conducen al desarrollo de la función de
utilidad de la riqueza de un inversor racional.
La función de utilidad permite asociar valores a cada una de las alternativas
posibles de inversión. Estos valores no representan magnitudes monetarias, sino
grados de deseabilidad o satisfacción que al individuo le produce cada una de las
inversiones posibles. Así, la función de utilidad permite ordenar de mayor a menor las preferencias de un inversor racional por las distintas alternativas arriesgadas de inversión que se le presentan a elección. La función de utilidad de la riqueza de un inversor racional posee las tres propiedades siguientes3:
1.ª Es creciente: a más riqueza, mayor utilidad, o, lo que es lo mismo, la
utilidad marginal de la riqueza del inversor siempre es positiva:
U′(W) > 0
2.ª Es preservadora del orden, es decir, siendo U(x) y U(y) las utilidades de
las alternativas de inversión x e y, respectivamente:
x → U(x) ∧ y → U(y)
— si U(x) > U(y) ⇒ x ≻ y (la alternativa x es preferida a la y).
— si U(x) < U(y) ⇒ x ≺ y (la alternativa y es preferida a la x).
3
Puede consultarse una demostración sencilla de estas propiedades, y cómo a partir de ellas se
puede construir la función de utilidad, en Copeland, T. E. y Weston, J. F. (1992): pp. 80-83.
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Teoría de la inversión
3.ª Puede emplearse la utilidad esperada de la riqueza para ordenar combinaciones de alternativas arriesgadas. En general, la utilidad esperada de la
riqueza la podemos expresar del siguiente modo, a través de la ecuación:
E [U(W )] = ∑ piU(wi )
i
siendo:
— wi: cada valor posible que puede adoptar la riqueza final con cada
alternativa de inversión.
— pi: la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos valores posibles.
Así, según el teorema de la utilidad esperada, ante dos opciones arriesgadas
de inversión, el inversor racional calcula la utilidad esperada de cada una de ellas,
y entre ellas prefiere, y por tanto elige, aquella que tenga mayor utilidad esperada.
En definitiva, se puede afirmar que cualquier inversor racional buscará siempre maximizar la utilidad esperada de su riqueza (criterio de decisión racional de
Neumann-Morgenstern), constituyendo esta función objetivo la base con la cual
el inversor racional efectúa sus decisiones de inversión en un ambiente de riesgo.
Conviene ahora señalar que, aunque la función de utilidad de cualquier inversor racional cumple con las citadas propiedades, cada inversor tiene su propia
función de utilidad específica y particular. Así, la primera propiedad nos dice que
la función de utilidad de la riqueza de cualquier inversor racional es creciente,
tiene una utilidad marginal positiva, U′(W) > 0, siempre prefiere más riqueza a
menos. Sin embargo, como se vio en el capítulo anterior, el signo de la segunda
derivada puede ser negativo, positivo o nulo, es decir, la forma concreta de la
función de utilidad de la riqueza puede ser convexa, cóncava o lineal, tal como
representamos en la figura 9.4, en la que descartamos la posibilidad de que existiesen puntos de inflexión. Esto nos condujo a hablar de tres tipos distintos de
comportamiento de un inversor racional frente al riesgo: aversión, propensión y
neutralidad ante el riesgo.
Aunque, como sabemos, los tres comportamientos son válidos, suele aceptarse que en el mundo de las finanzas los individuos actúan como «enemigos» del
riesgo. En este sentido, Mossin4 afirma que «la aversión al riesgo parece un supuesto razonable en el análisis de negocios más ordinarios». Esto es, no quiere
decirse que todo individuo sea averso al riesgo en cualquier circunstancia, pero
sí que, en el mundo de los negocios y las finanzas, en el que situamos nuestro
análisis, es la actitud que se considera más corriente y que se asume en la gran
mayoría de los estudios.
4
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Mossin, J. (1973): p. 17.
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Selección de carteras y valoración de activos
Por tanto, para continuar con la explicación de la adopción de decisiones de
inversión financiera en ambiente de riesgo, suponemos, tal como se hace en el
modelo de Markowitz, que los inversores, además de racionales, son aversos al
riesgo y, en consecuencia, sus funciones de utilidad son estrictamente crecientes
y cóncavas, es decir, U′(W) > 0 y U″(W) < 0. La implicación fundamental que
tiene esta hipótesis para nuestro análisis es que un individuo averso al riesgo sólo
asumirá riesgo si se le remunera, es decir, si es compensado adecuadamente con
una mayor rentabilidad.
A modo de síntesis, el modelo de Markowitz se plantea como un modelo
uniperiodal en el que subyace la asunción de las siguientes hipótesis fundamentales:
A)
Hipótesis sobre el comportamiento y el método racional de elección
del inversor
1. Se supone que todos los individuos se comportan racionalmente y que,
por lo tanto, son maximizadores de su función de utilidad esperada.
2. La función de utilidad esperada del inversor depende únicamente de los
dos primeros momentos de la función de distribución de probabilidad
de los rendimientos de las carteras de valores: el rendimiento esperado
[E(R̃p)], como medida de la rentabilidad, y la varianza [s 2(R̃p)] (o desviación típica), como medida del riesgo. Es decir, se trata de un modelo
de decisión media-varianza, para lo cual es necesario que se cumpla el
supuesto de la distribución normal de los rendimientos de los títulos y/o
que la función de utilidad del inversor sea cuadrática. En este caso, la
utilidad esperada se puede expresar, como decimos, en función únicamente del rendimiento esperado y de la varianza o desviación típica de
las carteras:
E[U(R̃p)] = f [E(R̃p), s2(R̃p)]
3. Las funciones de utilidad de los inversores son monótonas crecientes, por
lo que, con referencia a las carteras de valores, para una misma varianza,
se prefiere la cartera de mayor rendimiento esperado:
∂f
>0
∂E( R p)
4. Se supone que los inversores tienen aversión al riesgo, lo que se traduce
en que sus funciones de utilidad son cóncavas y con referencia a las car© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
teras de valores, en que para un mismo rendimiento esperado se prefiere
la cartera de menor varianza:
∂f
<0
∂σ 2( R p)
En consecuencia, el inversor se encuentra presionado en sus decisiones de inversión por dos fuerzas de sentido contrario, el deseo de obtener
ganancias y la insatisfacción que le produce la asunción de riesgos.
Asimismo, al ser el inversor averso al riesgo, esto es, su función de
utilidad marginal es decreciente. Por tanto, sus curvas de indiferencia o
isoutilidad son crecientes y convexas.
∂f
<0
∂σ 2( R p)
d 2 E( R p)
dE( R p)
>
0;
>0
dσ 2( R p)
dσ 2( R p)2
B)
Hipótesis sobre los activos y los mercados financieros
A estas hipótesis sobre el comportamiento de los inversores se añaden otros
supuestos a nivel de mercado:
1. Se considera que los mercados financieros son perfectos5, por cuanto se
asume que:
— Toda la información está igualmente disponible y de forma gratuita
para todos los participantes en los mercados.
— No existen costes de transacción en las operaciones de compraventa
de los activos financieros.
— Los títulos son infinitamente divisibles. Es decir, es posible invertir
en ellos cualquier proporción del presupuesto.
— No hay inflación ni impuestos en la economía.
5
Aunque en un mercado de capitales perfecto no debe existir ninguna fricción e, inicialmente, deberían estar admitidas las ventas al descubierto y también se debería poder prestar y pedir prestado
cantidades ilimitadas de dinero al tipo de interés sin riesgo, en la exposición que sigue del modelo de
Markowitz no vamos a considerar estas dos posibilidades, ya que no se admite de momento la posibilidad
de invertir en el activo libre de riesgo y tampoco se admiten las ventas a corto en las restricciones del
modelo matemático que propone Markowitz para el cálculo de la estrategia óptima de inversión.
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Selección de carteras y valoración de activos
— Ningún inversor es capaz de influir con su actuación de forma definitiva en la formación del precio, es decir, los inversores son precioaceptantes.
2. Todos los inversores tienen la misma amplitud en su horizonte de planificación, que es de un período. Es decir, al principio del período, adquieren una cartera de valores determinada que venden al final del período en
cuestión.
3. En los mercados financieros se negocian N activos financieros arriesgados
y sus combinaciones. No se contempla la existencia de un activo financiero libre de riesgo en el que poder invertir o con el que poder financiarse.
4. Se supone que los valores tienen liquidez inmediata al final del período
de referencia.
En el modelo de Markowitz, la rentabilidad de cualquier título o cartera se
considera una variable aleatoria de carácter subjetivo con una distribución de
probabilidad para el período de referencia propia de cada inversor. Esto es, considera que los inversores no tienen expectativas homogéneas, por lo que pueden
realizar estimaciones diferentes de los rendimientos esperados y los riesgos de
los activos financieros individuales y de las posibles carteras o combinaciones
entre ellos. Por lo tanto, el inversor está en condiciones de estimar los rendimientos esperados y la matriz de varianzas-covarianzas de los N activos financieros
arriesgados que existen en el mercado, así como la rentabilidad esperada y la
varianza de todas las posibles combinaciones entre ellos, estimaciones que no
tienen por qué coincidir con las de otros inversores.
Sobre la base de estas hipótesis, el modelo de Markowitz permite solucionar
el problema de cómo repartir el presupuesto de un inversor racional y averso al
riesgo entre los diferentes activos financieros arriesgados que se negocian en el
mercado, de modo que la cartera resultante sea la mejor para ese inversor. Se
trata, por tanto, de un modelo normativo que permite determinar la composición
de la cartera que maximiza la utilidad esperada de un inversor individual, entendiendo ésta como una función que depende únicamente del rendimiento esperado
y de la varianza de la rentabilidad de la cartera.
Markowitz considera que el proceso de selección de carteras debe ser dividido en dos etapas. Una primera etapa consiste en la observación y la obtención de
experiencia por parte del inversor, que le conducirá a la elaboración de unas determinadas expectativas sobre el comportamiento futuro de los activos financieros
disponibles. La formación de tales expectativas permite acto seguido el comienzo
de una segunda fase del proceso de selección de carteras, la cual concluirá con la
elección de la cartera óptima. El trabajo de Markowitz se centra en explicar el
desarrollo de esta segunda fase, y para ello ilustra geométrica y matemáticamen© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
te la relación entre las creencias del inversor sobre la performance esperada de
los activos financieros disponibles y la elección de su cartera óptima, todo ello
sobre la base del criterio racional de decisión media-varianza.
a)
El conjunto viable y la frontera eficiente de Markowitz
Tras una primera etapa de observación y acumulación de experiencia histórica, o bien recurriendo a la opinión de expertos, el inversor ha de comenzar esta
segunda etapa del proceso de selección de carteras con la estimación de las características de todos los activos financieros disponibles en los mercados, así
como de todas las posibles combinaciones que se pueden formar con ellos. Así,
dado que se contempla la existencia de N activos financieros arriesgados que se
negocian en los mercados, el inversor debe estimar:
— N rendimientos esperados:
E(R̃1), E(R̃2), ..., E(R̃N)
— N varianzas o desviaciones típicas:
s 21, s 22, ..., s 2N
—
N ⋅ (N − 1) N 2 − N
covarianzas entre los rendimientos de cada par po=
2
2
sible de activos financieros:
s12, s13, ..., sN − 1, N
Una vez estimados tales parámetros6, el inversor está en condiciones de poder
calcular los rendimientos esperados y las varianzas de las infinitas carteras que
se pueden formar con los N activos financieros arriesgados.
Con toda esa información podemos representar gráficamente en el espacio
media-desviación típica los pares rendimiento esperado-desviación típica de los N
activos financieros arriesgados y de las infinitas posibles combinaciones de ellos.
6
Uno de los inconvenientes que presenta el modelo de Markowitz es que requiere estimar un número muy elevado de parámetros. El número total de estimaciones a realizar se obtiene de la expresión
(N2 + 3N)/2, siendo N el número de títulos existentes en el mercado. Por ejemplo, para una cartera de 35
títulos, las estimaciones previas necesarias serían 665; para una cartera de 100, se elevaría a 5.150; y si
los títulos fuesen 500, ascenderían hasta 125.700 los parámetros a estimar. De ahí que W. F. Sharpe (1963)
planteara un modelo simplificado para el análisis de carteras, matizado posteriormente por J. L. Treynor
(1965), consistente en suponer la existencia de una relación lineal entre el rendimiento de cada activo
financiero y el de la cartera de mercado, lo cual permite reducir considerablemente el número de estimaciones a realizar a: 3N + 2.
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Selección de carteras y valoración de activos
Como ya se ha comentado al inicio de este epígrafe, en el capítulo anterior
estudiamos las líneas de combinación con dos títulos que resultan en el espacio
media-desviación típica, para los casos extremos en los que el coeficiente de
correlación entre sus rendimientos es −1 y 1, y también para el caso más normal
en que el coeficiente de correlación toma un valor intermedio entre −1 y 1. La
figura 10.2 ilustra las líneas de combinación de títulos o conjuntos de oportunidades de inversión según los valores del coeficiente de correlación en el supuesto de que sólo existan dos activos financieros arriesgados.
A
–1 < rAB < +1
rAB = +1
rAB = –1
B
Figura 10.2.
Líneas de combinación de dos activos financieros arriesgados.
Lo usual es que los activos financieros no estén perfectamente correlacionados,
ni en sentido positivo ni en sentido negativo, sino que entre ellos exista un grado
de correlación intermedio. Así, se observa que cuando −1 < rAB < 1, el rendimiento esperado de las combinaciones de los dos activos en función de la desviación
típica ya no es una simple línea recta: el caso extremo en el que rAB = 1 nos proporciona una cota superior para el riesgo o desviación típica de las carteras de
activos y el otro caso extremo en el que rAB = −1 nos da una cota inferior para
dicho riesgo, de modo que las combinaciones de dos activos con correlación intermedia se sitúan sobre una hipérbola dibujada entre tales cotas, cuyo grado de
curvatura es mayor cuanto menor es la correlación entre los rendimientos de los
dos activos.
Este resultado lo podemos extender al caso de N activos financieros arriesgados, de modo que para la situación más normal en que hay una correlación intermedia entre los rendimientos de los activos financieros, el conjunto de todas las
posibles combinaciones o carteras que puede formar un inversor particular, dadas
sus expectativas, con esos N activos financieros quedaría representado en el es© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
pacio media-desviación típica, como se ilustra en la figura 10.3. Como se observa,
el conjunto de todas las combinaciones posibles o conjunto viable es un conjunto limitado o acotado pero formado por infinitos puntos, cuya frontera por la izquierda tiene un trazo superior que es cóncavo y un trazo inferior que es convexo.
Por tanto, así como cuando sólo existen dos activos financieros las oportunidades
de inversión posibles se sitúan únicamente sobre una línea curva, cuando el número de activos es superior a dos hay infinitas combinaciones o carteras posibles
que quedan no sólo sobre la curva exterior o frontera, sino también en el interior
de la misma.
Figura 10.3.
Conjunto viable o conjunto de oportunidades de inversión con N títulos.
Una vez delimitado el conjunto de todas las posibles combinaciones que se
pueden formar con N activos financieros arriesgados, el inversor seleccionará una
de ellas en función del criterio racional media-varianza. Para entender cómo el
inversor lleva a cabo dicha elección entre un número tan amplio de oportunidades
de inversión, es necesario que definamos qué se entiende por cartera eficiente en
el sentido de Markowitz en el espacio rentabilidad-riesgo. Según Markowitz, una
cartera es eficiente cuando cumple simultáneamente las dos condiciones siguientes: 1) que, para su nivel de rendimiento esperado, no existe ninguna otra cartera
que tenga un riesgo más bajo, es decir, supone el mínimo riesgo posible para su
rentabilidad esperada, y 2) que para el riesgo que conlleva, no existe otra oportunidad de inversión que permita obtener un rendimiento esperado mayor, esto es,
proporciona la máxima rentabilidad esperada posible para su nivel de riesgo7. Si
7
Para calificar una cartera como eficiente, Markowitz también exige que sea legítima, esto es, que
las proporciones del presupuesto invertido en los distintos títulos que la componen sean positivas. Dicho
de otro modo, Markowitz no contempla la posibilidad de realizar ventas al descubierto.
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Selección de carteras y valoración de activos
para una cartera se incumple alguna de estas condiciones, se trata de una cartera
ineficiente.
Por consiguiente, dado que se supone un inversor racional y averso al riesgo,
éste únicamente se plantea la selección de carteras eficientes. Si situamos distintas carteras posibles en los ejes rendimiento esperado-desviación típica, tal como
muestra la figura 10.4, se deduce fácilmente que, cualquiera que sea su grado de
aversión al riesgo, algunas de ellas serán inmediatamente rechazadas por un inversor racional y averso al riesgo.
B
A
D
C
Figura 10.4.
Carteras eficientes versus carteras no eficientes.
Las carteras C y D serán rechazadas por el inversor por ser carteras ineficientes. Respecto a la cartera D, existe otra, la A, que ofrece el mismo rendimiento
esperado pero supone menos riesgo y, por tanto, es preferible para el inversor. Se
dice que la cartera A domina o deja ineficiente a la cartera D. Respecto a la cartera C, hay otra cartera, la B, que conlleva el mismo riesgo pero proporciona un
rendimiento esperado mayor y, en consecuencia, satisface más al inversor. Es
decir, la cartera B domina o deja ineficiente a la cartera C.
Por contra, entre las carteras A y B no es posible establecer comparaciones
con el criterio racional media-varianza sin tener en cuenta el mapa de curvas de
indiferencia del inversor, ya que la cartera B ofrece mayor rendimiento esperado,
pero también supone mayor riesgo que la cartera A. Sólo cuando el inversor tiene
en cuenta sus preferencias de rendimiento y riesgo, esto es, su grado de aversión
al riesgo, puede decidir y elegir cuál de estas dos carteras le satisface en mayor
medida. Se trata, por ello, de carteras eficientes.
Por lo tanto, de todo el conjunto viable, o conjunto de carteras posibles, que
un inversor analiza en su proceso de selección de carteras, sólo le resulta intere© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
sante tener en cuenta el subconjunto formado por las carteras eficientes, denominado frontera eficiente.
La frontera eficiente de Markowitz se puede determinar por medio de un
análisis gráfico o de forma analítica resolviendo el problema de programación
matemática que dicho autor propone.
Gráficamente, observamos en la figura 10.5 que, si fijamos los niveles de
riesgo, podemos determinar las carteras que ofrecen el máximo rendimiento esperado para cada uno de esos niveles de riesgo. Asimismo, la figura 10.6 refleja
cómo, al fijar los niveles de rentabilidad esperada, obtenemos las carteras que
suponen el mínimo riesgo para cada uno de los niveles de rendimiento esperado.
E(R̃p)
B
A
E(R̃B)
E(R̃A)
CMV
E(R̃A′)
E(R̃B′)
A′
B′
sA
Figura 10.5.
sB
sp
Carteras de máxima rentabilidad esperada para cada nivel de riesgo.
E(R̃p)
E(R̃B)
E(R̃A)
A
B
C
D
CMV
sA
Figura 10.6.
342
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sB
sD sC
sp
Carteras de mínimo riesgo para cada nivel de rentabilidad esperada.
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Selección de carteras y valoración de activos
Si nos fijamos en la figura 10.5, podemos comprobar que, en ese conjunto de
oportunidades de inversión, hay combinaciones como la representada por el punto A′, que, aunque para su nivel de rendimiento esperado no hay ninguna otra
cartera que tenga menor riesgo que ella, sí existe una cartera que supone el mismo riesgo y, sin embargo, ofrece un rendimiento esperado mayor, la dibujada con
la letra A. Es decir, la cartera A′ es ineficiente, pues cumple sólo una de las dos
condiciones para ser considerada eficiente. Esto sucede también con la cartera B′,
que es dominada por la cartera B, y con todas la combinaciones dibujadas sobre
la parte inferior de la frontera izquierda del conjunto viable. Es decir, no todas
las carteras de mínima varianza son eficientes. El mínimo riesgo es condición
necesaria para que una cartera sea eficiente, pero no es condición suficiente, esto
es, además ha de proporcionar la máxima rentabilidad esperada. Así, las carteras
A y B sí son carteras eficientes porque no sólo suponen el menor riesgo para su nivel de rendimiento esperado, sino que además proporcionan la máxima rentabilidad esperada posible para su nivel de riesgo. Por tanto, se observa que las mejores
carteras o carteras eficientes, es decir, aquellas que cumplen ambas condiciones,
suponen mínimo riesgo para cada rendimiento esperado y proporcionan máxima
rentabilidad esperada para cada nivel de riesgo, se sitúan sobre la parte superior
de la frontera izquierda del conjunto viable de Markowitz, dibujada con trazo más
grueso. Este subconjunto cóncavo del conjunto de oportunidades de inversión,
que parte desde la Cartera de Mínima Varianza Global (CMV) y comprende las
mejores carteras o carteras eficientes, se conoce como frontera eficiente.
Una vez hemos comprobado intuitivamente, mediante un análisis gráfico, qué
carteras del conjunto viable de Markowitz forman parte de la frontera eficiente,
cabe plantearnos cómo se pueden obtener de forma analítica. En este sentido,
Markowitz propone un modelo matemático de programación cuadrática y paramétrica que maximiza la rentabilidad esperada de la cartera para cada uno de los
valores posibles de riesgo, tal como se muestra a continuación:
N
Max E( R p) = ∑ wi ⋅ E( R p)
i=1
sujeto a:
N
N
σ 2p = ∑ ∑ wi ⋅ w j ⋅ σ ij = V*
i=1 j=1
N
∑ wi = 1
(10.1)
i=1
wi ≥ 0
donde V* es un valor fijado a priori para la varianza de la cartera.
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Teoría de la inversión
Es un modelo de optimización cuya función objetivo consiste en la maximización de la rentabilidad esperada de la cartera sujeto a las siguientes restricciones:
La primera restricción fija el nivel de riesgo que se desea soportar, V*, y para
el que se desea encontrar la combinación de activos financieros que maximiza la
rentabilidad esperada.
La segunda restricción es de carácter presupuestario, de manera que exige que
se agote todo el presupuesto, esto es, la cantidad total invertida ha de coincidir
con el presupuesto disponible. Y la tercera restricción contempla la condición de
no negatividad de las variables de decisión del problema, las wi. Esta última restricción indica que no se admiten las posiciones a corto o ventas al descubierto
de los activos financieros.
Con la resolución de este problema, se obtiene el valor óptimo para las variables w1, w2, w3, …, wN, esto es, la composición de la cartera que ofrece el mayor
rendimiento esperado dado un nivel de riesgo, V*. Es decir, se determina en qué
activos invertir y en qué proporciones, wi, para que la rentabilidad esperada sea
máxima dado un nivel de riesgo, V*.
Se trata de un problema de programación cuadrática y paramétrica. Es cuadrática porque la primera restricción contiene términos cuadráticos. El carácter
paramétrico también se lo da la primera restricción, ya que establece un determinado valor para un parámetro, la varianza. Así, según se den diferentes valores al
parámetro V*, se generan distintos programas, cada uno de los cuales permite
obtener una de las carteras de la frontera eficiente8.
b)
La elección de la cartera óptima
Con el criterio de decisión racional media-varianza, tal como hemos visto, se
consigue reducir enormemente el conjunto posible de oportunidades de inversión
para un inversor racional y averso al riesgo, y todo ello haciendo abstracción de
la forma concreta de su función de utilidad.
No obstante, cuando la elección se plantea, por ejemplo, entre dos alternativas
arriesgadas, tales que una proporciona o un rendimiento esperado mayor, pero
también supone un riesgo o varianza superior al de la otra opción, en este caso,
el criterio racional media-varianza no nos permite comparar entre esas dos alternativas, de modo que la decisión de inversión depende de las preferencias particulares del inversor, es decir, de su función de utilidad específica. Así, según el
grado concreto de aversión al riesgo, hay personas dispuestas a asumir más
8
Otro de los inconvenientes que tradicionalmente se le ha atribuido al modelo de Markowitz es que
puede resultar poco operativo por la complejidad de su algoritmo de resolución. No obstante, en la actualidad se dispone del hardware y el software apropiados para resolver con facilidad este tipo de problemas.
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Selección de carteras y valoración de activos
riesgo a cambio de obtener una rentabilidad esperada mayor, y otras que prefieren
conformarse con menos rendimiento a cambio de una mayor seguridad o menor
riesgo. Es decir, es necesario conocer el mapa de curvas de indiferencia del inversor.
Una curva de indiferencia o isoutilidad es la representación gráfica de todas
las combinaciones rendimiento esperado-riesgo que proporcionan al inversor la
misma utilidad esperada y que, por tanto, le son indiferentes. Así, una curva de
indiferencia indica el incremento de rendimiento esperado que el individuo exige
a la inversión por unidad de riesgo extra, o bien el aumento de riesgo que está
dispuesto a asumir si puede obtener un incremento unitario de rentabilidad esperada, de modo que su utilidad esperada se mantenga constante. Por tanto, a lo
largo de cada curva de indiferencia el individuo obtiene el mismo nivel de utilidad
esperada. Es decir, la función de utilidad esperada de un inversor, medida en
términos del rendimiento esperado y del riesgo de la inversión, se explicita en una
determinada relación marginal de sustitución o de intercambio entre esos dos
elementos que da lugar a un determinado mapa de curvas de indiferencia para
cada inversor.
Pero, con independencia de cuáles sean sus gustos particulares, todos los inversores racionales y aversos al riesgo van a seguir las mismas pautas generales
de comportamiento en su elección entre rentabilidad esperada-riesgo. Tales reglas
generales se traducen en una determinada forma similar de sus curvas de indiferencia o isoutilidad en los ejes [E(R̃i), s 2i ]: son crecientes y convexas, tal como se
muestra en la figura 10.7.
E(R̃i)
I4
>
I3
>
I2
>
I1
s 2i
Figura 10.7. Mapa de curva de indiferencia o isoutilidad de un inversor racional y averso al
riesgo.
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Teoría de la inversión
Esto lo podemos deducir intuitivamente, ya que, suponiendo que un inversor
racional con aversión al riesgo toma sus decisiones con base únicamente en la
media y la varianza de los rendimientos, sabemos que:
E[U(R̃i)] = f [E(R̃i), s 2i ]
(10.2)
y teniendo en cuenta que como «ama» la rentabilidad, su utilidad esperada se
incrementa al aumentar la rentabilidad esperada:
∂E[U( R i )]
>0
∂E( R i )
(10.3)
y que, como «odia» el riesgo, su utilidad esperada disminuye al incrementarse
éste:
∂E[U( R i )]
<0
∂σ i2
(10.4)
Ante un aumento del riesgo, para que la utilidad esperada asociada a una
curva de indiferencia se mantenga constante, deberá también aumentar la rentabilidad esperada y, en consecuencia, esa curva de indiferencia debe ser creciente.
Es decir:
dE( R i )
>0
d(σ i2 )
(10.5)
Además, dada la aversión al riesgo del inversor, para que, ante un aumento
del riesgo de una inversión, su utilidad esperada se mantenga constante, es necesario que sea compensado con un incremento más que proporcional en el rendimiento esperado. Esto se traduce en que sus curvas de indiferencia son convexas,
o, lo que es lo mismo:
d 2 E( R i )
>0
d(σ i2 )2
(10.6)
Cuanto más alta es una curva de indiferencia, más elevado es el nivel de utilidad esperada asociado a ella, es decir, I4 > I3 > I2 > I1, ya que puede observarse
que, para un mismo riesgo o varianza, el rendimiento esperado es mayor.
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Selección de carteras y valoración de activos
Por tanto, en el plano media-varianza, las curvas de indiferencia de cualquier
inversor racional y averso al riesgo son crecientes y convexas; no obstante, la
forma específica de dichas curvas dependerá de la actitud más o menos arriesgada del inversor en cuestión.
Así, en las figuras 10.8 y 10.9 se representan las curvas de indiferencia de dos
inversores racionales y aversos al riesgo. Puede observarse que el grado de aversión al riesgo del inversor cuyas curvas de indiferencia se representan en la figura 10.8 es mayor que el del inversor correspondiente a la figura 10.9, ya que aquél
exige un incremento más elevado de rentabilidad esperada para compensar un
aumento unitario de riesgo.
E(R̃p)
I4
I3
I2
I1
sp
Figura 10.8.
Curvas de indiferencia de un inversor muy averso al riesgo.
E(R̃p)
I4
I3
I2
I1
sp
Figura 10.9.
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Curvas de indiferencia de un inversor poco averso al riesgo.
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Teoría de la inversión
Por último, las curvas de indiferencia de los inversores no se pueden cortar,
ya que si se cortasen dos curvas de indiferencia, como ocurre en la figura 10.10,
se tendría que las carteras A y B, al estar sobre la misma curva de indiferencia
(I1), le proporcionarían al inversor la misma utilidad esperada, por lo que el individuo debería mostrarse indiferente entre ambas:
A~B
e, igualmente, las carteras B y C, al encontrarse también ubicadas sobre otra
curva de indiferencia (I2), deben proporcionarle al inversor la misma utilidad
esperada y ser, en consecuencia, indiferentes para el inversor:
B~C
y, al tratarse de un individuo que cumple los axiomas de racionalidad, la transitividad que debe darse entre sus preferencias le llevaría también a mostrarse indiferente entre A y C:
A~C
Sin embargo, si se mira la figura 10.10, se comprueba que en la gráfica la
alternativa A es preferida a la C, ya que, para el mismo riesgo, le proporciona una
mayor rentabilidad esperada:
A≻C
por lo que, para evitar esta anomalía, las curvas de indiferencia en los ejes (E, s)
no deben tener intersecciones.
E(R̃p)
I2
A
I1
B
C
sp
Figura 10.10.
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Curvas de indiferencia con intersección.
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Selección de carteras y valoración de activos
Una vez determinados la frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia del inversor, estamos en condiciones de obtener su cartera óptima.
Volviendo a la determinación de la cartera óptima del inversor, ésta será aquella cartera eficiente, entre todas las que configuran la frontera eficiente, cuyo par
media-varianza (o media-desviación típica) le proporcione la máxima utilidad
esperada.
Gráficamente, la cartera óptima para el inversor se determina superponiendo
la frontera eficiente y sus curvas de indiferencia. Así, en la figura 10.11 hemos
representado la frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia de un inversor particular. En este gráfico podemos apreciar que, por ejemplo, las carteras
A y B, al estar situadas sobre la misma curva de indiferencia (I3), son indiferentes
y, por tanto, proporcionan igual utilidad esperada al inversor. Por contra, la cartera O, al situarse en una curva de indiferencia más elevada, permite al inversor
obtener una mayor utilidad esperada y, en consecuencia, es preferida frente a las
carteras A y B. También se observa que no hay ninguna cartera eficiente que
proporcione al inversor una utilidad esperada superior a la que le ofrece la cartera O.
E(R̃p)
I4
I3
I2
A
I1
G
O
E(R̃O)
B
F
sO
Figura 10.11.
sp
Elección de la cartera óptima para un inversor averso al riesgo.
El hecho de que la cartera óptima para un inversor sea única está garantizado
por la concavidad de la frontera eficiente y la convexidad de sus curvas de indiferencia con respecto al sentido positivo del eje de abscisas. No obstante, dado
que se trata de un problema individual, cada inversor tendrá una cartera óptima
distinta en función de sus expectativas y de sus preferencias.
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Teoría de la inversión
Una vez conocida la cartera óptima, O, sustituyendo V*, en el programa de
programación matemática planteado en (10.1), por la varianza de dicha cartera,
y luego de optimizar, se obtiene la composición de la cartera óptima, es decir, los
valores de w1, w2, ..., wn, indicativos de la proporción del presupuesto que el inversor debe invertir en cada uno de los activos financieros arriesgados para maximizar su utilidad esperada.
En resumen, de todo lo analizado hasta el momento, podemos concluir que
las principales aportaciones que supone el trabajo de Markowitz son las siguientes:
— Tiene en cuenta de manera explícita el riesgo.
— Modeliza la conducta racional del inversor con base en un nuevo criterio
de decisión racional, el criterio media-varianza.
— Revela que el riesgo de un activo hay que evaluarlo en el marco de una
cartera específica, de manera que la medida adecuada de su contribución
al riesgo de dicha cartera es la covarianza entre el rendimiento del activo
y el rendimiento de la cartera.
— Y, relacionado con lo anterior, pone de manifiesto las condiciones bajo las
cuales una política de diversificación permite reducir el riesgo de la cartera manteniendo su rentabilidad, esto es: hay que seleccionar los títulos
que han de formar parte de la cartera a partir del estudio de sus correlaciones en el contexto global de la cartera. Así pues, dadas las ventajas de
esta diversificación eficiente, el problema de la inversión financiera debe
plantearse como un problema de selección de carteras, y no de activos
individuales.
En definitiva, de acuerdo con Febrero9: «La principal conclusión del modelo
de selección de carteras de Markowitz es que la política óptima de cartera habrá
de consistir, en general, en una política de diversificación que, además, tenga en
cuenta apropiadamente el signo e intensidad de los niveles de correlación entre
los rendimientos de los distintos activos. En palabras de Markowitz (1952): la
hipótesis media-varianza no sólo implica diversificación, implica el “tipo correcto” de diversificación debido a la “razón correcta”».
10.1.2. El modelo de Tobin y el teorema de la separación
Hasta este momento hemos determinado, basándonos en las reglas establecidas por el modelo normativo de Markowitz, el conjunto de carteras eficientes y
9
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Febrero, R. (1991): p. 69.
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Selección de carteras y valoración de activos
la cartera óptima para cada inversor individual que desea colocar su dinero en
activos financieros arriesgados.
Una extensión lógica del modelo de Markowitz es la inicialmente planteada
por Tobin (1958), desarrollada posteriormente por Sharpe (1964) y Lintner (1965),
aunque con un planteamiento diferente.
En este apartado vamos a estudiar esta extensión del modelo consistente en
añadir la hipótesis de la existencia de una tasa libre de riesgo a la cual se puede
prestar y pedir prestado cualquier cantidad de dinero. Esto significa que, en un
mercado perfecto, el inversor puede no sólo invertir todo su presupuesto en activos arriesgados sino también destinar parte de él a la adquisición del activo sin
riesgo o, lo que es lo mismo, cederla en préstamo al tipo de interés sin riesgo, y
también tiene la posibilidad de invertir en los activos arriesgados una cantidad
superior a su presupuesto de inversión, endeudándose al tipo de interés sin riesgo
para financiar la diferencia. Como veremos, esta hipótesis tiene importantes implicaciones para la teoría de cartera.
Vamos a llamar RF a la rentabilidad del activo libre de riesgo. Dado que, por
hipótesis, este activo proporciona un rendimiento cierto, la esperanza matemática
de su rentabilidad es constante e igual a RF, y tanto su desviación típica como sus
covarianzas con el resto de activos y carteras que se negocian en el mercado son
nulas.
En la figura 10.12, en los ejes [E(R̃i), sp], además de la frontera eficiente
(segmento de curva FG), creciente y cóncava, hemos dibujado el punto que representa el activo libre de riesgo.
E(R̃p)
G
A
RF
F
sp
Figura 10.12.
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Frontera eficiente y activo libre de riesgo.
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Teoría de la inversión
Estudiemos pues qué sucede si el inversor tiene la posibilidad de invertir en
una cartera de activos arriesgados de la frontera eficiente, como la cartera A, y de
prestar o endeudarse al tipo de interés sin riesgo RF.
Vamos a llamar x a la fracción del presupuesto que el inversor coloca en la
cartera A y, entonces, (1 − x) será la parte de él que se destina al activo libre de
riesgo. Conviene señalar que x puede tomar valores superiores a la unidad, ya que
el inversor puede endeudarse al tipo de interés sin riesgo e invertir también los
fondos obtenidos por esta vía en la cartera A.
Así, el rendimiento de una cartera compuesta por la cartera eficiente A y el
activo libre de riesgo vendrá dado por la expresión:
R̃p = xR̃A + (1 − x)RF
(10.7)
y, por tanto, aplicando el operador esperanza matemática, su rendimiento
esperado será:
E(R̃p) = xE(R̃A) + (1 − x)RF
(10.8)
Partiendo de la expresión (9.33) del capítulo anterior de la desviación típica
de una cartera, la desviación típica de una cartera compuesta por la cartera A y
el activo libre de riesgo será:
sp = [x2s 2A + (1 − x)2s 2F + 2x(1 − x) rFAsFsA]1/2
Teniendo en cuenta que la desviación típica del activo libre de riesgo y su
correlación con la cartera A son nulas, sF = 0 y rFA = 0, la expresión anterior se
simplifica como sigue:
sp = [x2s 2A]1/2 = xsA
(10.9)
Despejando x de (10.9) y sustituyendo en la expresión (10.8), resulta:
E( R p) =
σp
⎛ σ ⎞
E( R A) + ⎜1 − p ⎟ RF
σA
⎝ σ A⎠
(10.10)
Y, reordenando los términos, se obtiene la ecuación que nos permite relacionar
el rendimiento esperado y el riesgo de todas las carteras mixtas compuestas por
el activo libre de riesgo y la cartera eficiente de activos arriesgados A:
⎛ E( R A) − RF ⎞
E( R p) = RF + ⎜
⎟⎠ σ p
σA
⎝
352
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(10.11)
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Selección de carteras y valoración de activos
Como se observa en (10.11) y en la figura 10.13, dicha relación refleja la línea
recta que une los puntos RF y A, cuya ordenada en el origen es la rentabilidad del
activo libre de riesgo y con pendiente la expresión recogida entre paréntesis.
E(R̃p)
G
x=1
A
RF
x=0
0<x<1
F
x>1
sp
Figura 10.13.
Combinaciones entre el activo libre de riesgo y la cartera eficiente A.
Así, según cual sea el valor que tome x, el inversor se sitúa en uno u otro
punto de esa línea recta. Es decir:
— Si x = 1, significa que el inversor coloca todos su presupuesto en la cartera eficiente de activos arriesgados A, situándose en el punto A.
— Si x = 0, el inversor invierte todos sus fondos en el activo libre de riesgo,
de modo que se sitúa en el punto RF.
— Si 0 < x < 1, el inversor coloca parte de su presupuesto en el activo libre
de riesgo y parte en la cartera A, situándose en algún punto intermedio del
segmento RF-A.
— Si x > 1, entonces el individuo pide prestado a la tasa libre de riesgo RF,
invirtiendo la totalidad de su presupuesto y los fondos obtenidos con el
préstamo en la cartera A, de modo que se sitúa en algún punto de la recta
a la derecha de A10.
10
Markowitz no considera la posibilidad de que x < 0, ya que una posición a corto en la cartera A y
la inversión de todo el presupuesto inicial más los fondos obtenidos de esta venta al descubierto en el
activo libre de riesgo darían lugar, en una situación normal de mercado en donde la renta fija rente menos
que la renta variable, a una recta de pendiente negativa.
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Teoría de la inversión
Nos hemos planteado la posibilidad de combinar el activo libre de riesgo con
la cartera eficiente A. Sin embargo, el inversor podría elegir cualquier cartera eficiente para combinarla con el activo libre de riesgo. Así, si observamos la figura 10.14, vemos que en lugar de la cartera A, el inversor podría haber escogido, por
ejemplo, la cartera eficiente B, de modo que todas las combinaciones posibles entre
el activo libre de riesgo y la cartera B se situarían sobre la línea recta que los une.
E(R̃p)
G
M
RF
B
A
F
sp
Figura 10.14.
Combinaciones entre el activo libre de riesgo y distintas carteras eficientes. Nueva frontera eficiente.
En la figura 10.14 podemos apreciar que todas las carteras mixtas que se sitúan a lo largo de la línea recta que une el activo libre de riesgo con la cartera B
son mejores que las situadas en la recta que une el activo libre de riesgo con la
cartera A, ya que las primeras proporcionan mayor rendimiento esperado para un
mismo nivel de riesgo y menor riesgo para un mismo rendimiento esperado. Es
decir, cuanto mayor es la pendiente de la línea recta, mayor utilidad esperada
proporcionan al inversor las carteras mixtas posibles. Por lo tanto, la cartera eficiente que escogería un inversor racional y averso al riesgo para combinarla con
el activo libre de riesgo sería la cartera M, correspondiente al punto de tangencia
entre la antigua frontera eficiente y una línea recta que contiene al activo libre de
riesgo, ya que esta línea, que recoge todas las combinaciones posibles entre esos
dos activos, es la de mayor pendiente posible.
Así pues, la introducción del activo libre de riesgo da lugar a una nueva frontera eficiente, que es la línea recta que pasa por los puntos RF y M. Todas las
carteras situadas en esa recta proporcionan la máxima rentabilidad esperada para
cada nivel de riesgo y, al mismo tiempo, suponen el mínimo riesgo para cada
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Selección de carteras y valoración de activos
nivel de rentabilidad esperada; luego un inversor racional y averso al riesgo preferirá esas carteras a cualesquiera otras. Esto es:
— Todas las combinaciones que se efectúan con el activo libre de riesgo y
cualquier cartera de la antigua frontera eficiente, distinta de la cartera M,
son ineficientes.
— Y es imposible, con el conjunto de títulos que se negocian en el mercado,
situarse por encima de la nueva frontera.
Esta nueva frontera eficiente tiene dos ventajas respecto a la antigua:
— Su forma es lineal, lo cual simplifica su análisis.
— Ofrece al inversor mejores oportunidades de inversión, ya que se sitúa por
encima de la antigua frontera eficiente, como se muestra en la figura 10.14.
Con la nueva frontera eficiente el inversor puede obtener una mayor rentabilidad esperada para cada nivel de riesgo.
Obtenida la nueva frontera eficiente, el problema de la selección de la cartera
óptima del inversor se resuelve exactamente igual que cuando no se consideraba
la existencia del activo libre de riesgo. Así, la cartera óptima se corresponderá
con aquella que proporcione el par rentabilidad esperada-desviación típica localizado en el punto de tangencia entre la nueva frontera eficiente y el mapa de
curvas de indiferencia del inversor, tal como se muestra en la figura 10.15.
E(R̃p)
O
M
RF
sp
Figura 10.15.
Elección de la cartera óptima con el activo libre de riesgo.
Todo este análisis del problema de la selección de la cartera óptima lo hemos
planteado para un inversor particular, racional y averso al riesgo, que tiene unas
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Teoría de la inversión
determinadas expectativas sobre los rendimientos esperados, varianzas y covarianzas de los N activos financieros arriesgados que se negocian en el mercado.
Si supusiéramos que todos los inversores tienen las mismas expectativas, la frontera eficiente sería igual para todos ellos, o, lo que es lo mismo, todos combinarían
el activo libre de riesgo con la misma cartera de activos arriesgados, la cartera
M11. De este modo, el diferente comportamiento de los distintos inversores consistiría únicamente en la manera específica de combinar el activo libre de riesgo
y la cartera M, según su grado concreto de aversión al riesgo, es decir, según sus
curvas de indiferencia.
Esto es lo que Tobin (1958) denominó el Teorema de la Separación, en virtud
del cual cualquier inversor maximizará su utilidad esperada, con independencia
de su grado de aversión al riesgo, repartiendo su presupuesto únicamente entre el
activo libre de riesgo y la cartera arriesgada M. En consecuencia, este teorema
reduce el proceso de selección de la cartera óptima a dos etapas:
1.ª La identificación de la única cartera de activos arriesgados que cualquier
inversor va a combinar con el activo libre de riesgo, es decir, qué activos
y en qué proporciones componen la cartera M.
2.ª La elección por parte de cada inversor particular de su cartera óptima,
esto es, su decisión acerca de la cantidad de riqueza que va a invertir en
la cartera arriesgada, x, y la que va a prestar o pedir prestado al tipo de
interés libre de riesgo, (1 − x), para maximizar su utilidad esperada de
acuerdo con sus preferencias.
Conviene destacar que este trabajo pionero de Markowitz fue el punto de
partida para que Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966), entre otros,
desarrollaran ampliaciones que condujeran al diseño de un modelo de equilibrio
general del mercado de capitales que permite obtener los precios de equilibrio de
los activos financieros arriesgados.
10.2. EQUILIBRIO DEL MERCADO DE CAPITALES: MODELO
CAPM Y LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
(CAPITAL MARKET LINE, CML)
En el apartado anterior hemos analizado el problema de selección de cartera
en un mundo de dos parámetros: la media como medida de la rentabilidad y la
11
En el apartado siguiente, los supuestos de expectativas homogéneas de los inversores y de equilibrio en el mercado de capitales conducirán a identificar esta cartera como la cartera de mercado, la cual
está formada por todos los títulos arriesgados que se negocian en el mercado, cada uno en la misma
proporción que representa su capitalización respecto a la capitalización total del mercado.
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Selección de carteras y valoración de activos
varianza (o desviación típica) como medida del riesgo. El modelo de Markowitz
es un modelo normativo, sirve de guía de acción al inversor que intenta maximizar su utilidad esperada, le indica en qué activos financieros invertir y con qué
peso o ponderación.
En este epígrafe y el siguiente intentaremos ver qué cabe esperar a nivel de
mercado, qué precios de equilibrio de los activos financieros se van a dar en él,
cuando todos los inversores toman sus decisiones de inversión financiera de
acuerdo con el modelo de dos parámetros de selección de cartera. Esta generalización del modelo de Markowitz ha dado lugar al desarrollo de la teoría del
mercado de capitales a la que habitualmente, por comodidad y por esa extendida
costumbre de reducirlo todo a siglas, se hace mención con las iniciales inglesas
CAPM (Capital Asset Pricing Model) o las francesas MEAF (Model d’Équilibre
des Actives Financiers).
La relación fundamental del modelo CAPM es la SML (Security Market Line)
o línea del mercado de títulos que determina la rentabilidad adecuada al riesgo
de cada activo financiero y con base en la cual es posible estimar, en una segunda etapa, los precios de equilibrio en el momento presente de los diferentes títulos. Para ello, no hay más que actualizar los flujos de tesorería futuros del título
a la tasa de descuento requerida por el mercado y proporcionada por la SML.
En la teoría del mercado de capitales, el equilibrio en el mercado de bienes
de consumo, en el de factores productivos (incluido el mercado de trabajo) y en
el mercado monetario (donde se negocian activos financieros con vencimiento a
corto plazo de bajo o nulo riesgo) se toman como dados y, a partir de ahí, lo que
se pretende es deducir los precios de equilibrio de los activos financieros arriesgados. Así, a diferencia del modelo de Markowitz, el modelo CAPM es un modelo positivo: intenta averiguar las implicaciones positivas a nivel de mercado que
se derivan de la teoría de cartera en el caso de que todos los inversores sean diversificadores eficientes en el sentido de Markowitz y el mercado cumpla unas
determinadas hipótesis12.
A pesar de todo lo que se acaba de afirmar respecto a que el modelo de Markowitz es normativo, mientras que el modelo CAPM es positivo, según Sharpe
(1976), «la línea de separación entre teoría normativa y teoría positiva es difícil
de trazar... En general, la expresión teoría de cartera se usará para referirse al
enfoque normativo, y la expresión teoría del mercado de capitales, para designar
el tratamiento positivo. No obstante, la diferencia estriba principalmente en el uso
que se ha de dar a la respectiva teoría. Solamente hay un modelo fundamental»13.
12
Cabe también señalar que el modelo CAPM es un modelo de equilibrio estático, esto es, predice
los precios de equilibrio que se siguen de las hipótesis de partida que se plantean; pero en modo alguno
pretende explicar cómo se pasa de una situación de equilibrio a otra, o la forma en que las fuerzas que
conducen al equilibrio van a actuar en una situación de desequilibrio.
13
Sharpe (1976): p. 19.
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Teoría de la inversión
En el orden cronológico, la versión más temprana del modelo CAPM se debe
a Sharpe (1964). Sin embargo, en la literatura sobre finanzas lo normal es hacer
referencia a tres autores como responsables del inicio y posterior desarrollo de la
teoría del mercado de capitales: Sharpe (1964), Lintner (1965) y Mossin (1966).
Como toda teoría, el modelo CAPM se apoya en una serie de supuestos restrictivos sobre la realidad que intenta explicar. A los supuestos relativos al comportamiento de los inversores y a las características de los activos y mercados
financieros, que han sido expuestos en el epígrafe anterior cuando se desarrolló
el modelo de selección de cartera de Markowitz de N activos arriesgados, vamos
a añadir ahora dos supuestos adicionales sobre los mercados financieros:
a) Los inversores tienen expectativas homogéneas. Es decir, todos llegan a
las mismas estimaciones de E(R̃i), s(R̃i) y cov(R̃i, R̃j), ya que, al ser coincidente su punto de vista sobre el curso de la evolución futura de los precios
de los títulos, parten de las mismas funciones de distribución de los rendimientos de los títulos.
b) Los mercados de capitales están en equilibrio al principio del período
único de planificación o, lo que es lo mismo, la oferta de los títulos iguala a la demanda de los mismos14.
Evidentemente, el conjunto de supuestos en los que se basa el modelo CAPM
es excesivamente simplificador de la realidad. Sin embargo, como señala Sharpe
(1976), en un modelo positivo como el CAPM «el realismo de los supuestos
importa poco. Si las conclusiones son razonablemente consistentes con los fenómenos observados, puede decirse que la teoría “explica” la realidad. Aún más
importante, puede proporcionar predicciones útiles. Una discusión sobre la admisibilidad de la teoría ha de tener en cuenta las consecuencias que se desprenden
de sus conclusiones»15. De todas formas, más adelante tendremos la oportunidad
de ver cómo responde el modelo cuando se acerca al mundo real y se relaja alguno de sus supuestos.
Si los individuos son diversificadores eficientes en el sentido de Markowitz y
tienen también a su disposición el activo libre de riesgo, la frontera eficiente, tal
como se demostró en el epígrafe anterior, se vuelve lineal (figura 10.16), invirtiendo el individuo, de acuerdo con el teorema de la separación de Tobin, sólo
en dos activos: el activo libre de riesgo F y la cartera T situada en el punto de
14
También debe cumplirse que la suma tomada a préstamo por la totalidad de los inversores coincida con la cantidad total por ellos prestada. Ahora bien, mientras que la tasa de interés libre de riesgo (RF)
es exógena al modelo CAPM, los precios de equilibrio de los activos financieros, como se demostrará
más adelante, sí que son determinados por él.
15
Sharpe (1976): p. 103.
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tangencia de la frontera eficiente cóncava (encontrada cuando sólo se invierte en
N activos arriesgados) con la recta que parte del punto RF.
Figura 10.16.
Frontera eficiente con N activos arriesgados más el activo libre de riesgo.
Si los inversores tuviesen expectativas distintas sobre el futuro, esto es, si
partiesen de previsiones distintas de los parámetros E(R̃i), s(R̃i) y cov(R̃i, R̃j), cada
uno tendría una cartera tangente T particular, diferente a la de los demás, aunque,
claro está, la tasa RF es única e igual para todos, el tipo de interés que iguala la
oferta con la demanda del activo libre de riesgo.
Sin embargo, si las expectativas son homogéneas, como se supone en el modelo CAPM, el conjunto viable inicial, la frontera eficiente y la cartera tangente
T serán iguales para todos los inversores, de modo que todos ellos formarán
carteras compuestas por sólo dos activos: la cartera tangente (con un peso positivo o nulo) y el activo libre de riesgo (con un peso positivo, negativo o nulo) según
el grado de aversión al riesgo que se va a reflejar en la forma que adopten sus
curvas de indiferencias, más o menos convexas y más o menos verticales.
Por otra parte, puesto que se supone que el mercado de capitales está en equilibrio, la única forma de que todos los inversores puedan ver satisfecha la demanda de títulos arriesgados que refleja la composición de la cartera T es que dicha
demanda coincida con la oferta global que de dichos títulos hay en el mercado,
lo cual sólo será posible si la cartera tangente T es la cartera de mercado M
compuesta por todos los títulos arriesgados existentes en el mercado en las proporciones que representa el valor de dichos títulos respecto al valor total del
conjunto de todos los títulos en el mercado (figura 10.17).
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Teoría de la inversión
Figura 10.17.
Línea del mercado de capitales (CML).
Una composición diferente de la cartera de mercado daría lugar a conclusiones absurdas. Si, por ejemplo, un activo financiero arriesgado representa el 5 por
100 del valor de todos los títulos arriesgados que se negocian en el mercado, la
proporción que debe tener dicho título dentro de la cartera M no puede ser del
6 por 100, ya que, en la medida en que todo el mundo piensa que el peso de
dicho título dentro de su cartera de valores arriesgados M debe ser del 6 por 100,
al agregar la demanda de todos los inversores, se superaría la oferta existente del
5 por 100, con lo que se produciría la correspondiente variación de precios hasta que la oferta se igualase a la demanda. Tampoco podría darse el caso de un
título que se negocie en el mercado y que no intervenga en la cartera M, ya que,
para que el mercado esté en equilibrio, todos los títulos deben estar en manos de
alguien.
La ponderación de un título arriesgado en la cartera M, evidentemente, no
puede ser negativa. En efecto, ello equivaldría a que, bajo el supuesto de expectativas homogéneas, todo el mundo desea tomar una posición a corto en dicho
título, pero ¿a qué persona se le podría vender ese título en descubierto, si todo
el mundo desea hacer lo mismo? En consecuencia, una proporción negativa de
un título dentro de la cartera M no es coherente con una posición de equilibrio
del mercado (oferta igual a demanda) y expectativas homogéneas.
Por tanto, la cartera M, que desean mantener con mayor o menor peso todos
los inversores, es independiente de la actitud que cada inversor tenga frente al
riesgo, siendo su composición la misma del mercado. Si denominamos Pi y Qi al
precio y al número de títulos de cada uno de los títulos arriesgados negociados
en el mercado, la proporción con que interviene cada valor dentro de la cartera
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de mercado será el porcentaje que representa la capitalización de cada valor sobre
la capitalización total del mercado:
wiM =
Pi Qi
N
∑ Pi Qi
N
siendo; ∑ wiM = 1
i=1
i =1
A la recta que representa la frontera eficiente de todos los inversores (figura 10.17), y que es la consecuencia directa de la introducción de los dos supuestos de las expectativas homogéneas y el equilibrio de mercado, Sharpe (1964: p.
781) la denomina línea del mercado de capitales (Capital Market Line) dependiendo su ordenada en el origen (RF) y pendiente ((E(R̃M) – RF) / sM) únicamente
de dos activos financieros: uno sin riesgo (cuya rentabilidad es RF) y otro con
riesgo (con tasa de rentabilidad R̃M). Normalmente, en la literatura financiera se
hace referencia a la línea del mercado de capitales por sus correspondientes siglas
inglesas CML. Analíticamente, su expresión es la misma que la ecuación (10.11)
indicativa de la frontera eficiente lineal encontrada en el apartado anterior, sólo
que se sustituye la cartera T, propia de cada inversor, por la cartera de mercado
M, que es única e igual para todos los inversores:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
E( R P ) = RF + ⎜
⎟⎠ σ P
σM
⎝
(10.12)
Si llamamos l a la constante siguiente:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
λ=⎜
⎟⎠
σM
⎝
(10.13)
la ecuación de la CML también puede escribirse del siguiente modo:
E( R P ) = RF + λ σ P
(10.14)
En el capítulo 9 se dijo que E(R̃P) y sP eran las medidas adecuadas para medir
la rentabilidad y el riesgo de una cartera de valores en los ejes (E, s), por lo que la CML
nos indica la relación entre la rentabilidad y el riesgo de las carteras eficientes.
Las carteras ineficientes se situarán, claro está, por debajo de la CML (es
decir, para una misma desviación típica tendrán un rendimiento esperado menor).
Igualmente, como un título individual arriesgado es claramente una cartera inefi© Ediciones Pirámide
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Teoría de la inversión
ciente al no haberse diversificado el riesgo, también se situará por debajo de la
CML. En definitiva, sólo las carteras eficientes se sitúan sobre la CML pudiéndose descomponer la rentabilidad que proporcionan dichas carteras en dos partes:
1. RF, la ordenada en el origen de la CML, que es la tasa pura de interés o
precio del tiempo y representa el premio por esperar y consumir más
tarde, en lugar de hacerlo en el momento presente.
2. l, la pendiente de la CML, que es una constante que multiplica el riesgo
de la cartera y, por ello, recibe el nombre de precio de mercado del riesgo, o simplemente precio del riesgo, aunque realmente sería más correcto llamar a l premio por asumir riesgo (si se pasa de una cartera eficiente a otra cartera eficiente de riesgo mayor), o precio por reducir el riesgo
(pérdida de rentabilidad que se va a sufrir si se pasa de una cartera eficiente a otra cartera eficiente menos arriesgada). En resumen, para aumentar la rentabilidad esperada de una cartera eficiente hay que aceptar
un mayor riesgo16.
10.3. LA LÍNEA DEL MERCADO DE TÍTULOS
(SECURITY MARKET LINE, SML)
La CML sólo proporciona la relación de equilibrio entre la rentabilidad y el
riesgo de carteras eficientes. Sería conveniente contar también con una relación
similar que proporcione la relación de equilibrio entre la rentabilidad y el riesgo
de cualquier cartera (eficiente o no) y de cualquier título. Esa relación es la línea
del mercado de títulos (SML o Security Market Line, en inglés) y es la ecuación
fundamental del modelo CAPM puesto que indica la rentabilidad que por término
medio el mercado va a ofrecer a cualquier inversión financiera, tanto si el inversor
ha diversificado bien el riesgo como si ha renunciado por completo a cualquier
tipo de diversificación y ha colocado todo su dinero en un solo título.
Para demostrar la relación fundamental del CAPM, vamos a partir de la ecuación de la CML y del teorema de la separación que cumplen todas las carteras
eficientes situadas sobre la misma.
Según el teorema de la separación, todas las carteras eficientes situadas sobre
la CML son una combinación lineal de dos activos: uno sin riesgo F y otro con
16
En este punto es importante señalar que la rentabilidad de una cartera eficiente es una media esperada con determinada desviación típica, no una rentabilidad cierta sin más. Quiere esto decir que, en
un año particular, la rentabilidad efectiva de una cartera arriesgada puede ser menor que la rentabilidad
efectiva de otra cartera con un riesgo menor. Sólo en términos medios, la rentabilidad de una cartera
eficiente más arriesgada es también mayor.
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riesgo que, en el caso de que las expectativas sean homogéneas y el mercado esté
en equilibrio, es la cartera de mercado M.
Esto no significa que todos los inversores elijan la misma cartera, ya que según
sus diferentes grados de aversión al riesgo, reflejados por sus respectivos mapas
de curvas de indiferencia, se situarán en uno u otro punto de la recta CML (figura 10.18).
Figura 10.18.
Diferentes carteras óptimas de los inversores.
Así, habrá inversores que colocarán sus ahorros sólo en el activo libre de
riesgo, otros que lo harán sólo en la cartera de mercado, otros que dedicarán
parte de su presupuesto de inversión al título sin riesgo y el resto a la cartera de
mercado e, incluso, inversores más arriesgados que pedirán prestado a la tasa RF
y, posteriormente, invertirán todo su dinero (su presupuesto inicial de inversión
más el préstamo solicitado a la tasa RF) en la cartera de mercado.
En consecuencia, el rendimiento aleatorio de una cartera eficiente se puede
expresar como la media ponderada de los rendimientos de los dos únicos activos
en los que invierten los individuos que son diversificadores eficientes en el sentido de Markowitz:
R P = wRF + (1 − w) R M
(10.15)
Ésa es la causa de que el coeficiente de correlación entre el rendimiento de
cualquier cartera eficiente P y la cartera de mercado M sea la unidad:
ρPM =
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cov( R P , R M )
σ PM
=
=1
σ ( RP ) σ ( RM ) σ P σ M
(10.16)
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Teoría de la inversión
En efecto, si llevamos el rendimiento aleatorio de una cartera eficiente, dado
por (10.15), a la expresión (10.16) del coeficiente de correlación y operamos:
ρPM =
cov( R P , R M )
cov(wRF + (1 − w) R M , R M )
=
=
σ ( RP ) σ ( RM ) σ (wRF + (1 − w) R M ) σ ( R M )
=
(1 − w) cov( R M , R M )
(1 − w) σ 2 ( R M )
=
=1
(1 − w) σ ( R M ) σ ( R M ) (1 − w) σ 2 ( R M )
Como antes ya se señaló, la ecuación fundamental del modelo CAPM es la
línea del mercado de títulos (SML). Para deducir esta relación de equilibrio,
vamos a partir de la línea del mercado de capitales (CML) y a tener en cuenta
que, como acabamos de demostrar, el coeficiente de correlación entre el rendimiento de cualquier cartera eficiente y el rendimiento de la cartera de mercado
es la unidad. Así, si despejamos sP en la fórmula del coeficiente de correlación17:
σP =
σ PM
σM
(10.17)
y llevamos este valor a la ecuación (10.12) de la CML:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
⎛ E( R M ) − RF ⎞ σ PM
E( R P ) = RF + ⎜
σ
=
R
+
F
⎟⎠ P
⎜⎝
⎟⎠ σ
σM
σM
⎝
M
(10.18)
tras de simplificar, obtenemos que:
E( R P ) = RF + [E( R M ) − RF ]
σ PM
σ 2M
(10.19)
y puesto que en una regresión lineal entre la rentabilidad ex-ante de un título y
la rentabilidad ex-ante del rendimiento de la cartera de mercado, la pendiente de
la recta que los relaciona es18:
βP =
σ PM
σ M2
(10.20)
17
Observe cómo en las carteras eficientes el riesgo de las mismas (sP) está en relación directa con
su correlación con el mercado (sPM), cuyo riesgo viene dado (sM) y del cual es imposible abstraerse.
18
Recuerde que, tal como se analizó en el capítulo 9, la relación rentabilidad-riesgo se puede plantear
en los ejes (E, s2), (E, s) y (E, b), y que bP mide el riesgo de la cartera P, en nuestro caso eficiente, en
los ejes (E, b).
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podemos finalmente expresar la relación (10.19) como sigue:
E( R P ) = RF + (E( R M ) − RF ) β P
(10.21)
La relación fundamental del CAPM es la línea del mercado de títulos (SML)
y que viene dada por la siguiente ecuación:
E( R i ) = RF + (E( R M ) − RF ) βi
(10.22)
en donde el subíndice i puede indicar bien un título individual o bien una cartera,
eficiente o no eficiente. En consecuencia, lo que acabamos de demostrar con la
expresión (10.21) es que las carteras eficientes se sitúan tanto sobre la CML como
sobre la SML. Lo que resta ahora es comprobar que la anterior relación también
se cumple en el caso de carteras ineficientes y de títulos individuales.
En esta segunda etapa de la demostración de la SML, nos vamos a apoyar en
la relación lineal que mantienen las betas de los títulos dentro de una cartera19:
N
β P = ∑ wi βi
(10.23)
i =1
Así, teniendo presente la expresión que adopta la beta de una cartera y que el
rendimiento aleatorio de una cartera P es la media ponderada de los rendimientos
aleatorios de los N títulos arriesgados que la componen, esto es:
N
R P = ∑ wi R i
(10.24)
i =1
podemos también expresar la ecuación (10.21) de la CML como sigue:
N
N
⎛ N
⎞
E ⎜ ∑ wi R i ⎟ = RF ∑ wi + (E( R M ) − RF ) ∑ wi βi
⎝i = 1
⎠
i=1
i =1
o también:
N
N
N
i =1
i =1
i =1
E(R̃P)
19
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RF
(10.25)
{
{
{
∑ wi E( Ri) = ∑ wi RF + (E( R M ) − RF ) ∑ wi βi
bP
En el apartado 2.3 del capítulo 9 ya se demostró esta relación.
365
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Teoría de la inversión
En principio, un inversor averso al riesgo debería seleccionar una cartera
eficiente P. Si así lo hace, por cada título i, el mercado le ofrecerá una rentabilidad igual al rendimiento del activo libre de riesgo más un premio (E(R̃M) – RF)
por la cantidad de riesgo20 (bi) que dicho título aporta al riesgo total de la cartera
(bP en los ejes (E, b)), todo ello, claro está, ponderado por el peso (wi) que dicho
título tiene dentro de la cartera P.
wi E( R i ) = wi [RF + (E( R M − RF ) βi ]
Si el inversor, en vez de respetar las ponderaciones wi de una cartera eficiente, se empeña en no diversificar e invierte el 100 por 100 de su presupuesto en
un solo título i: wi = 1, según la expresión (10.25), la rentabilidad que obtendrá
será la adecuada al nivel de riesgo de este título en los ejes (E, b), esto es, la
expresión general de la SML:
E( R i ) = RF + (E( R M ) − RF ) βi
(10.26)
En consecuencia, ya hemos conseguido demostrar que en la SML se encuentran tanto títulos individuales como carteras eficientes P, como cualquier cartera
ineficiente que mantenga unas ponderaciones wi que no se correspondan con las
de una correcta diversificación. Da igual que el inversor diversifique bien o mal
su cartera; por cada título, en consonancia al peso que cada valor tenga dentro de
la cartera (eficiente o no) que forme el inversor, el mercado ofrecerá la siguiente
rentabilidad:
wi E( R i ) = wi [RF + (E( R M ) − RF )βi ]
(10.27)
Si, como debería ser lo normal, las ponderaciones wi utilizadas por el inversor
son las de una cartera eficiente y agregamos aplicando sumatorios desde i igual
a 1 hasta N a ambos lados de la igualdad (10.27), primero llegaremos a la expresión (10.21) válida para carteras eficientes:
E( R P ) = RF + (E( R M ) − RF )β P
y, luego, operando de forma inversa a como lo hicimos al inicio de este apartado,
obtendríamos nuevamente la expresión (10.12) de la CML:
20
bi es una medida del riesgo sistemático o no diversificable, no del riesgo total del título i. Más
adelante se desarrollarán con mayor detalle ambos conceptos.
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Selección de carteras y valoración de activos
⎛ E( R M ) − RF ⎞
E( R P ) = RF + ⎜
⎟⎠ σ P
σM
⎝
Habitualmente, una expresión alternativa que suele utilizarse con frecuencia
para hacer referencia a la ecuación de la recta de la SML es la siguiente:
E( R i ) = RF + λ ′βi
(10.28)
en donde l′, esto es: E(R̃M) – RF, recibe el nombre de risk premium del mercado
o prima por asumir más riesgo. Gráficamente:
Figura 10.19.
Línea del mercado de títulos (SML).
Nótese que la beta de la cartera de mercado es la unidad21, ya que si se regresa R̃M frente a R̃M, la relación lineal es la recta de 45 grados22. También se
puede probar lo mismo partiendo de la definición del coeficiente beta ofrecida
en (10.20):
σ
β P = PM
σ M2
21
La beta del título libre de riesgo es nula. Esto, que se puede visualizar en la gráfica de la SML, se
debe a que, al tratarse de una constante, la desviación típica de RF, así como la covarianza de RF con R̃M,
son nulas.
22
O, también, si se prefiere hacer uso de la ecuación (9.20) demostrada en el capítulo 9:
σ 2 ( R M )
= 1 = β M = w1 β1 + w2 β 2 + ... + wN β N
σ 2 ( R M )
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con lo que, sustituyendo la cartera eficiente P por la cartera eficiente M, se obtiene23:
σ
σ M2
β M = MM
=
=1
(10.29)
σ M2
σ M2
Sabiendo que la beta de la cartera de mercado es la unidad y que la beta del
activo libre de riesgo es nula, estamos en condiciones de ofrecer otra demostración alternativa del hecho de que sobre la SML se sitúa cualquier clase de título
o cartera.
Figura 10.20. Activos de la SML.
La prueba se basa en que un título particular24 con determinado coeficiente
beta (bi) se puede replicar mediante una cartera eficiente de dos fondos (el activo
libre de riesgo y la cartera de mercado) obteniéndose la misma beta. Esa cartera
eficiente que replica al título i se consigue invirtiendo un porcentaje igual a
(1 – bi) en el activo libre de riesgo y el resto, un porcentaje igual a bi, en la cartera de mercado25:
R P = wRF + (1 − w) R M = (1 − βi )RF + βi R M
(10.30)
23
Un título individual también puede tener una beta igual a 1 como la cartera de mercado, ya que
eso no impide que se siga cumpliendo que:
bM = w1 b1 + w2 b2 + ... + wN bN = 1
De hecho, en la práctica, siguiendo a Marín y Rubio (2001: p. 309), «las betas de los diferentes títulos suelen estar situadas alrededor de la beta del mercado que es la unidad».
24
La argumentación que sigue, evidentemente, es extensiva a cualquier cartera no eficiente.
25
Observe que, como en cualquier cartera correctamente definida, la suma de ambos pesos o porcentajes debe ser el 100%.
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y puesto que la beta de una cartera es la media ponderada de las betas de los títulos que la integran, obtenemos que:
2
β P = ∑ wi βi = (1 − βi )β F + βi β M = (1 − βi ) 0 + βi 1 = βi
i=1
(10.31)
Si, como se acaba de verificar, la beta del título i es la misma que la beta de la
cartera eficiente P que la replica, el rendimiento esperado de ambos debe ser igual:
E( R P ) = RF + λ ′β P = RF + λ ′βi = E( R i )
confirmándose así que el mercado remunera a la persona que invierte en un activo arriesgado (sea éste un título o una cartera eficiente o no eficiente) siempre de
igual modo: la rentabilidad del activo libre de riesgo más la beta de dicho título
o cartera multiplicada por el risk premium del mercado: E(R̃M) – RF.
Los títulos individuales o carteras se pueden clasificar, con base en su coeficiente beta, en tres tipos26:
— Agresivos: bi > 1. Son títulos recomendados para una bolsa alcista. En
efecto, si la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 4 por 100 y, debido a una mejora de las expectativas económicas, la rentabilidad esperada del mercado (E(R̃M)) pasa del 15 por 100 al 16 por 100, esto es, sube
un punto porcentual, la rentabilidad de un título con beta igual a 2 subirá
dos puntos porcentuales, del 26 por 100 al 28 por 100. En efecto:
• Si E(R̃M) = 15%, la rentabilidad esperada del título i será:
E( R i ) = RF + [E( R M ) − RF ]βi = 4% + (15% − 4%)2 = 26%
• Mientras que si E(R̃M) = 16%, la rentabilidad esperada del título i será:
E( R i ) = RF + [E( R M ) − RF ]βi = 4% + (16% − 4%)2 = 28%
— Neutros: bi = 1. Estos títulos suben y bajan al mismo ritmo que el mercado,
ya que al tener la misma beta que él, su rentabilidad esperada es la misma.
— Defensivos: bi < 1. En épocas alcistas, estos títulos suben con menos intensidad que lo hace el mercado; aunque también es cierto que en épocas
26
En la página web de la Bolsa de Madrid, en el apartado «Estadísticas y Publicaciones», aparece
en un subapartado el «Informe Mensual Mercado Continuo», en donde se pueden consultar (en el epígrafe 1.9 de Información Estadística) las betas, volatilidades y correlaciones de todos los valores del
mercado continuo español de las últimas 20, 60, 120 y 250 sesiones.
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Teoría de la inversión
bajistas provocan menos pérdidas que la cartera de mercado, por lo que se
les califica de defensivos. Siguiendo con el ejemplo anterior, si, debido a
un empeoramiento de las expectativas económicas, la rentabilidad esperada del mercado (E(R̃M)) pasa del 15 por 100 al 14 por 100, esto es, baja
un punto porcentual, la rentabilidad de un título con beta igual a 0,5 bajará sólo 0,5 puntos porcentuales, del 9,5 por 100 al 9 por 100:
• Si E(R̃M) = 15%, la rentabilidad esperada del título i será:
E( R i ) = RF + [E( R M ) − RF ]βi = 4% + (15% − 4%)0,5 = 9,5%
• Mientras que si E(R̃M) = 14%, la rentabilidad esperada del título i será:
E( R i ) = RF + [E( R M ) − RF ]βi = 4% + (14% − 4%)0,5 = 9%
Si en la ecuación (10.26) pasamos la rentabilidad del activo libre de riesgo a
la parte izquierda, la SML adopta la siguiente forma:
E( R i ) − RF = (E( R M ) − RF )βi
(10.32)
que muestra la relación entre los risk-premium de los títulos o carteras y el riskpremium de la cartera de mercado. En estos ejes, la representación gráfica de la
rentabilidad diferencial esperada de los activos financieros agresivos, neutros y
defensivos sería la que se recoge en la figura 10.21.
Figura 10.21. Títulos o carteras agresivos, neutros y defensivos.
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Selección de carteras y valoración de activos
En general, en mercados financieros eficientes cabe esperar que los premios
por riesgo de los activos arriesgados y del mercado en su conjunto sean positivos,
esto es, que la renta variable ofrezca una mayor rentabilidad media que la renta
fija del Estado:
(E(R̃i) – RF) > 0
(E(R̃M) – RF) > 0
dependiendo así la rentabilidad esperada del título exclusivamente de su coeficiente beta. Si su beta es la misma que la del mercado, su rentabilidad esperada
será la misma que la del mercado. Si su beta es mayor que la del mercado, su
rentabilidad media esperada será mayor, aunque también será mayor su riesgo. Si
su beta es menor que la del mercado, su rentabilidad esperada será menor, pero
también será menor el riesgo que corre el inversor.
Hasta ahora no se ha resaltado suficientemente la circunstancia de que el
coeficiente beta mide el riesgo sistemático o no diversificable por el inversor y
que la prima por riesgo del mercado únicamente remunera al inversor por el nivel
de riesgo sistemático que soporta cuando adquiere un título o una cartera, pero
no por el riesgo total de dichas inversiones27. En efecto, si nos movemos en los
ejes (E, s), hay tres tipos de riesgo:
a) El riesgo sistemático (RSi), de mercado o no diversificable que, como su
propio nombre indica, no se puede eliminar con una correcta diversificación de Markowitz. Su medida es directamente proporcional al coeficiente beta del título o cartera de que se trate (RSi = bi sM).
b) El riesgo no sistemático (RNSi) o propio del título, que se puede diversificar o eliminar con una adecuada diversificación en el contexto de una
cartera.
c) El riesgo total (RTi): suma del riesgo sistemático y no sistemático. Su
medida en los ejes (E, s) es la desviación típica del rendimiento del título o cartera en que coloque su dinero el inversor:
RTi = RSi + RNSi
(10.33)
Como ya se sabe, las carteras eficientes cumplen tanto la ecuación de la CML
como la de la SML. A continuación, vamos a comprobar que estas carteras sólo
tienen riesgo sistemático, ya que en ellas la diversificación de Markowitz ha eli27
Excepto en las carteras eficientes, en las cuales, como se demostrará a continuación, el riesgo no
sistemático se ha eliminado con la diversificación de Markowitz y coinciden, por tanto, el riesgo total y
el riesgo sistemático.
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Teoría de la inversión
minado por completo el riesgo no sistemático. En efecto, la expresión de la CML,
en donde se sitúan todas las carteras eficientes, de acuerdo con (10.12), es:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
E( R P ) = RF + ⎜
⎟⎠ σ P
σM
⎝
Por otra parte, el coeficiente de correlación (expresión (10.16) demostrada
anteriormente) entre los rendimientos de las carteras eficientes y la cartera de
mercado es la unidad:
ρPM =
σ PM
=1
σP σM
Si ahora despejamos el riesgo total de la cartera P (la desviación típica del
rendimiento de dicha cartera) en la expresión del coeficiente de correlación, tenemos que:
σP =
σ PM
σM
y multiplicando y dividiendo por sM , luego de operar, se llega a la siguiente relación:
σP =
σ PM σ PM σ M
=
= βP σ M
σM
σMσM
(10.34)
por lo que, si finalmente llevamos la expresión (10.34) de la desviación típica del
rendimiento de una cartera eficiente P a la ecuación de la CML, se concluye que:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
⎛ E( R M ) − RF ⎞
CML ⇒ E( R P ) = RF + ⎜
σ P = RF + ⎜
⎟
⎟⎠ β P σ M =
σM
σM
⎝
⎠
⎝
(10.35)
= RF + (E( R M ) − RF )β P ⇒ SML
Como se puede observar, hemos vuelto a verificar que las carteras eficientes
cumplen tanto la ecuación de la CML como la de la SML, por lo que para carteras eficientes las expresiones de la CML y la SML son equivalentes. La diferencia estriba simplemente en los ejes de coordenadas que se utilizan.
Pero también se ha probado con esto que el riesgo total de las carteras eficientes sólo contiene riesgo no diversificable o sistemático, siendo el riesgo no
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sistemático nulo, al haberse eliminado éste a través de la diversificación de Markowitz:
RTP = RSP + RNSP
σ P = β pσ M + 0 = β pσ M
(10.36)
En cambio, en los títulos individuales o las carteras ineficientes, al no haberse realizado una adecuada diversificación, el riesgo no sistemático es positivo:
RTi = RSi + RNSi
σ i = βi σ M + RNSi
(10.37)
De esta forma, mientras que las carteras eficientes se sitúan tanto sobre la
CML como sobre la SML, los títulos individuales o las carteras ineficientes,
aunque cumplen la SML (y se sitúan sobre ella), no cumplen la CML (son ineficientes, situándose por debajo de la CML para su nivel de riesgo total). La figura 10.22 ilustra el caso de un título individual i y una cartera eficiente P que
tienen el mismo coeficiente beta.
Figura 10.22.
Riesgo sistemático, riesgo no sistemático y riesgo total.
Observe cómo la CML y la SML tienen la misma ordenada en el origen: la
rentabilidad del activo libre de riesgo, pero diferentes pendientes. La pendiente
de la ecuación de la SML es mayor:
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E( R M ) − RF
.
σ ( R M )
— Pendiente de la SML: E(R̃M) – RF.
— Pendiente de la CML:
Antes de terminar este apartado, vamos a mostrar otras expresiones alternativas que puede adoptar la SML. Para ello partimos de la expresión inicial de
la SML:
E( R i ) = RF + (E( R M ) − RF )βi
(10.38)
Si multiplicamos y dividimos el segundo sumando de la ecuación de la SML
por la desviación típica del rendimiento de la cartera de mercado (sM), se tiene:
⎛ E( R M ) − RF ⎞
E( R i ) = RF + ⎜
⎟⎠ βi σ M
σM
⎝
(10.39)
en donde la cantidad entre corchetes es el premio por el riesgo en la ecuación de
la CML:
E( R i ) = RF + λ βiσ M = RF + λ RSi
(10.40)
Por otra parte, dado que la beta de un título individual es:
βi =
σ iM
σ M2
(10.41)
se puede también expresar el riesgo sistemático de un título en los ejes (E, s)
como sigue:
RSi = βi σ M =
σ iM
σ
σ M = iM
σ M2
σM
(10.42)
con lo cual la SML tomaría la siguiente forma alternativa:
E( R i ) = RF + λ βiσ M = RF + λ
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σ iM
σM
(10.43)
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Selección de carteras y valoración de activos
Por último, considerando la definición del coeficiente de correlación lineal del
rendimiento de un título con el rendimiento de la cartera de mercado:
ρiM =
σ iM
σ iσ M
la covarianza del rendimiento del título i con el rendimiento de la cartera de
mercado M se puede expresar como:
σ iM = ρiM σ i σ M
(10.44)
por lo que también se puede expresar el riesgo sistemático de un título por:
RSi = βi σ M =
σ iM ρiM σ i σ M
=
= ρiM σ i
σM
σM
(10.45)
y , finalmente, la expresión de la SML dada por (10.28) como:
E( R i ) = RF + λ βi σ M = RF + λ ρiM σ i
(10.46)
que, tal como cabe esperar, si en lugar de un título particular se trata de una cartera eficiente, el coeficiente de correlación lineal será la unidad, y nos volveremos
a encontrar otra vez con la ecuación de la CML:
E( R P ) = RF + λ σ P
(10.47)
Resumiendo, las similitudes y diferencias entre las ecuaciones de la CML y
la SML son las siguientes:
a) La ecuación de la SML la cumple cualquier título o cartera (eficiente o
no). En consecuencia, en equilibrio, el mercado únicamente remunera,
por encima de la rentabilidad de partida que se puede obtener con certeza con el activo libre de riesgo, a aquel inversor que está dispuesto a
soportar o correr un riesgo sistemático o no diversificable y en relación
directa a la magnitud del mismo. La remuneración del riesgo no sistemático es nula, ya que cualquier inversor lo puede eliminar a través de la
diversificación (ingenua o de Markowitz).
b) La ecuación de la CML únicamente la cumplen las carteras eficientes.
Los títulos o carteras ineficientes se sitúan por debajo de ella.
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c) Las carteras eficientes únicamente tienen riesgo sistemático, de ahí que
las expresiones de la CML y la SML indiquen realmente lo mismo cuando se trata de carteras bien diversificadas; la única diferencia entre ambas
es la escala del eje de abscisas: sP = bP sM en el caso de la CML, bP en
el caso de la SML.
d) La SML es más general, por ello recibe el nombre de relación fundamental del modelo CAPM.
Aunque la línea del mercado de títulos es la expresión fundamental del modelo CAPM y nos muestra la relación de equilibrio que se da entre la rentabilidad
y el riesgo sistemático de cualquier título o cartera, en modo alguno la SML
determina cuáles son los precios de equilibrio de los activos financieros arriesgados. Sin embargo, de acuerdo con las siglas del CAPM cabría esperar que el
modelo sirviese para determinar también dichos precios de equilibrio. Pues bien,
los precios de equilibrio en el momento actual deberán ser aquellos que permitan
obtener al inversor la rentabilidad adecuada al riesgo sistemático de los activos
financieros que predice la SML.
De este modo, al determinar la SML la tasa de descuento ajustada al riesgo
con la cual poder actualizar los flujos futuros que se espera que va a generar un
título individual, una vez estimados éstos, se podrá determinar a continuación su
valor actual o precio teórico en el momento presente.
Como el modelo CAPM es uniperíodo, los flujos netos de caja que le va a
suponer a un inversor la compra de determinado activo financiero i serán:
–Pi0
P̃i1
0
1
Por lo que la rentabilidad aleatoria el próximo año del título i, tal como se
estudió en el capítulo 9, vendrá dada por la expresión (9.1):
P − Pi 0
R i = i1
Pi 0
(10.48)
en donde, ahora, P̃i1 incluye no sólo el precio futuro en el mercado del activo
arriesgado i, sino también cualquier flujo neto de caja que pueda percibir el inversor por dividendos, acciones gratuitas, etc.
Si aplicamos el operador esperanza matemática en la expresión (10.48), el
rendimiento esperado en el futuro de dicho activo será:
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⎛ P − Pi 0 ⎞ E( Pi1)
=
E( R i ) = E ⎜ i1
−1
Pi 0
⎝ Pi 0 ⎟⎠
(10.49)
Por otra parte, de acuerdo con el modelo CAPM, en un mercado de capitales
en equilibrio, la rentabilidad esperada de este título i también debe ser igual según
la SML a:
E( R i ) = RF + λ ′ βi
(10.50)
por lo que igualando (10.49) con (10.50), tenemos:
E( Pi1 )
Pi 0
− 1 = RF + λ ′ βi
(10.51)
y, despejando Pi0, que es el precio de equilibrio del activo financiero arriesgado
i que pretendemos encontrar, obtenemos finalmente que:
Pi 0 =
E( Pi1)
E( Pi1)
=
1 + (RF + λ ′ βi ) 1 + ai
(10.52)
en donde:
ai = RF + pi = RF + l′ bi: es la tasa de descuento ajustada al riesgo del título i.
pi = l′ bi = [E(R̃M) – RF]bi: es la prima por riesgo del activo i.
En definitiva, en un mercado competitivo en equilibrio cabe esperar que el
valor actual neto (VAN) de cualquier activo financiero, utilizando una tasa de
descuento ajustada a su riesgo, sea nulo, por lo que, si los flujos netos de caja del
activo financiero son los del diagrama temporal que mostramos anteriormente, el
precio teórico de dicho activo en el momento presente será el de su flujo neto de
caja esperado actualizado a su tasa de descuento ajustada al riesgo (el tipo de
interés libre de riesgo más una prima por riesgo directamente proporcional al
riesgo sistemático o coeficiente beta del título en cuestión).
Los resultados derivados del CAPM constituyeron en su momento una auténtica revolución en las finanzas quedando consolidadas la teoría de carteras y la
teoría del mercado de capitales como uno de los pilares o fundamentos de la moderna Dirección Financiera de la Empresa.
Sin embargo, los múltiples contrastes empíricos que se han venido realizando
sobre la validez de los resultados previstos por el modelo CAPM, en particular sobre la relación prevista por el mismo entre la rentabilidad esperada y el riesgo
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sistemático de los títulos o carteras, no han sido todo lo satisfactorios que cabría
esperar. Las distintas metodologías de contraste pueden ofrecer resultados diferentes. Así, el modelo CAPM puede verse rechazado con datos diarios o mensuales,
pero aceptado con datos anuales y series largas. Hay períodos de tiempo en que la
SML resulta claramente rechazada. Se pone en duda la estabilidad de las betas.
Hay otros factores, además de la rentabilidad de la cartera de mercado, como la
liquidez, el tamaño de la empresa, los fundamentos de la empresa (ratio valor de
mercado/valor contable, ratio precio/beneficio, ratio de endeudamiento, etc.) que
parecen tener una influencia significativa en la explicación de la rentabilidad de
un título. Asimismo, hay otras anomalías (como el efecto enero, el efecto fin de semana, el efecto apertura y cierre, etc.) que dan lugar a rentabilidades anormales en
determinados momentos del tiempo que no tienen una fácil justificación. Todo esto
ha llevado a algunos autores: Wallace (1980), Bernstein (1981), Dumas y Zisswiller (1984) y Fama y French (1992), a preguntarse si el coeficiente beta ha muerto.
De todos modos, la idea de fondo de que, en términos medios, cabe esperar
una mayor rentabilidad de la cartera de mercado28 y de los títulos arriesgados con
respecto a la rentabilidad proporcionada por la renta fija del Estado29 parece
mantenerse. Igualmente, desde el momento en que con una diversificación ingenua, como se mostró en el capítulo 9, se puede eliminar el riesgo propio de los
títulos o carteras hasta lograr que, en el límite, el riesgo se reduzca a la covarianza media que mantienen los diferentes títulos entre sí (el riesgo de mercado), es
lógico postular que el mercado únicamente premiará por el riesgo no diversificable que soporte el inversor, medido éste por uno o varios coeficientes beta.
Así, en general, el risk premium del mercado es positivo cuando se utilizan
series temporales lo suficientemente largas para que el efecto de determinadas
crisis o shocks de los mercados se hayan superado. Esto se puede comprobar, a
modo de ejemplo, en las tablas 10.1, 10.2 y 10.3 que se muestran a continuación30,
que están extraídas del libro de Fernández (2000) y hacen referencia a datos anteriores al desplome de las bolsas31 que se produjo como consecuencia del esta28
Habitualmente, en los contrastes empíricos no se utiliza la cartera de mercado (todos los títulos
que hay en el mercado, tanto cotizados como no cotizados, en las proporciones en que estos títulos están
en el mercado), sino un sustituto de ella, como un índice bursátil.
29
Como activo libre de riesgo, en ocasiones se utiliza la renta fija del Estado a corto plazo, como
letras del Tesoro a tres meses o a un año, y otras veces, por el contrario, se utiliza renta fija del Estado a
largo plazo, como los bonos del Estado a 10 o 30 años.
30
Resultados similares que abundan en la misma idea de fondo de que la renta variable, por término
medio, ofrece una mayor rentabilidad que la renta fija (estatal o privada), pero con la contrapartida de soportar un riesgo mayor, también se pueden encontrar en otros manuales como, por ejemplo, Brealey y Myers
(2003: pp. 101-105), Ross, Westerfield y Jaffe (2003: pp. 268-269) o Mascareñas Pérez-Íñigo (2004: pp. 26-30).
31
Al final del año 2014, el índice IBEX 35 de la bolsa española tenía un nivel de 10.279,5 puntos,
y aún no ha recuperado el nivel del 6 de marzo de 2000: 12.816 puntos, su máximo histórico en esa
época (posteriormente la bolsa descendió el 9 de septiembre de 2002 hasta 5.364,5 y subió a 15.945,7 el
8 de noviembre de 2007). Esto significa que un inversor que hubiese entrado en la bolsa ese día con una
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llido de la burbuja tecnológica después del 10 de marzo del año 2000, día en que
el índice Nasdaq alcanzó su máximo histórico.
TABLA 10.1
Bolsa española. Rentabilidad anual del Índice Total (acciones), de la renta fija,
Risk Premium sobre la renta fija y Risk Premium sobre la inflación
Premium sobre
la inflación
Premium s/renta fija
Rentabilidad acciones
Rentabilidad renta fija
Media
aritmética
Media
geométrica
Media
aritmética
Media
geométrica
Media
aritmética
Media
geométrica
Media
aritmética
Media
geométrica
1963-1998
17,3%
14,2%
10,4%
10,4%
6,9%
3,8%
8,1%
4,8%
1963-1970
14,1%
12,6%
6,8%
6,8%
7,4%
5,8%
7,6%
6,3%
1971-1980
1,8%
–4,8%
11,4%
11,4%
–9,6%
–16,1%
–13,8%
–14,2%
1981-1990
29,5%
24,8%
13,8%
13,8%
15,7%
11,0%
20,5%
12,6%
1991-1998
24,7%
22,4%
8,8%
8,7%
16,0%
13,7%
20,8%
16,6%
Fuente: Tabla 11.1, p. 303, de Fernández (2000).
TABLA 10.2
Bolsa estadounidense. Promedio (media aritmética y geométrica) en distintos períodos
de la rentabilidad anual de las acciones, de la renta fija a 3 meses (T. bills)
y de la renta fija a 30 años (T. bonds)
Rentabilidad acciones
Rentabilidad T. Bills
Rentabilidad T. Bonds
Media
aritmética
Media
geométrica
Media
aritmética
Media
geométrica
Media
aritmética
Media
geométrica
1926-1998
13,2%
11,4%
3,9%
3,9%
5,2%
5,0%
1951-1998
14,4%
13,1%
5,3%
5,3%
5,8%
5,4%
1961-1998
13,5%
12,3%
6,2%
6,2%
6,9%
6,5%
1971-1998
15,1%
13,9%
6,9%
6,9%
8,9%
8,5%
1981-1998
17,7%
17,0%
7,0%
6,9%
11,6%
11,1%
1991-1998
21,6%
21,0%
4,9%
4,9%
7,9%
7,9%
Fuente: Tabla 11.3, p. 308, de Fernández (2000).
cartera réplica IBEX 35, casi 15 años después, todavía arrastraría unas pérdidas de casi el 20 % antes de
dividendos. Si, como es más correcto, se hace la misma comparación con el índice IBEX 35 con dividendos, el 6 de marzo del 2000 su valor era 16.680,9, mientras que el 31 de diciembre de 2014 se situó
en 24.469,9, por lo que la rentabilidad media anual vía plusvalías y dividendos que podría haber alcanzado un inversor que hubiera formado una cartera con idéntica composición que el índice IBEX 35 en
marzo del 2000 hubiese sido del 2,6189 %.
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Teoría de la inversión
TABLA 10.3
Bolsa estadounidense. Promedio (media aritmética y geométrica) en distintos
períodos del Risk Premium de las acciones sobre la renta fija a 3 meses
(Premium bills) y sobre la renta fija a 30 años (Premium bonds)
Premium T. Bills
Premium T. Bonds
Aritmético
Geométrico
Aritmético
Geométrico
1926-1998
9,3%
7,5%
7,9%
6,4%
1951-1998
9,0%
7,8%
8,6%
7,7%
1961-1998
7,3%
6,2%
6,6%
5,8%
1971-1998
8,2%
7,0%
6,2%
5,4%
1981-1998
10,8%
10,1%
6,2%
5,9%
1991-1998
16,6%
16,0%
13,7%
13,1%
Fuente: Tabla 11.4, p. 308, de Fernández (2000).
Continuando con las críticas al modelo CAPM, una de las más contundentes
y devastadoras fue la realizada por Roll (1977). Según Roll, la única hipótesis
testable del modelo CAPM es la relativa a la eficiencia de la cartera de mercado,
ya que la relación lineal que se produce entre el rendimiento esperado de los títulos y sus respectivos coeficientes beta, como se ha probado en este capítulo, no
es más que una consecuencia de la eficiencia de la cartera de mercado.
Por tanto, para contrastar empíricamente el modelo CAPM, en primer lugar,
hay que identificar la cartera de mercado, incluyendo en ella todos los activos,
tanto los negociables como los no negociables, y luego comprobar si efectivamente es eficiente.
En los tests clásicos del CAPM que se han venido realizando normalmente,
en lugar de basarse en los rendimientos ex-ante de la cartera de mercado, se utiliza un sustituto de la misma, como puede ser el rendimiento ex-post que se
desprende de las series históricas del Dow Jones Industrial Average, el Standard
and Poor 500, el Índice Largo Total de la Bolsa de Madrid, el IBEX 35, etc. Esto,
según Roll, puede llevar aparejados dos tipos de problemas. En primer lugar, el
índice bursátil empleado como sustituto de la cartera de mercado puede ser eficiente, aun en el caso de que la verdadera cartera de mercado no lo sea. En segundo lugar, el índice bursátil utilizado en los contrastes empíricos puede ser
ineficiente, pero eso no implica nada, ni a favor ni en contra, de la eficiencia de
la cartera de mercado.
Para muchos investigadores, esto es un mensaje nihilista que podría llevar a
que ninguna teoría financiera fuera verificable. No obstante, en cualquier caso,
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los resultados comentados con anterioridad empleando las metodologías de contraste que critica Roll han sido muy dispares en las coordenadas espacio-tiempo
(distintos países-diferentes períodos de contraste).
Otra crítica a los contrastes empíricos habituales del modelo CAPM es la
imposibilidad de probarlo a partir de los datos reales de las series históricas de
rentabilidad de los títulos, o de las carteras formadas con ellos, y de la rentabilidad del índice bursátil utilizado, ya que el modelo CAPM está formulado con
estimaciones a priori, ex-ante, no con valores ex-post que se derivan de las series
históricas. En este punto, la única salida es suponer que los inversores tienen
expectativas racionales, por lo que sus previsiones se acaban cumpliendo20, con
lo cual la distribución de probabilidad ex-post de las series históricas coincidirá
con la distribución de probabilidad ex-ante que utilizaron los inversores en la
modelización que les sirvió de base en su toma de decisiones de inversión en
activos financieros.
Al inicio de este apartado ya se llamó la atención sobre que en el modelo
CAPM el único factor explicativo de la rentabilidad de los títulos es su coeficiente beta, habiéndose encontrado, no obstante, factores explicativos adicionales en
diferentes estudios empíricos. Esta crítica, en el campo teórico, dio lugar al planteamiento de otros modelos alternativos como el modelo APT (Arbitrage Pricing
Theory) que fue propuesto inicialmente por Ross (1976) y desarrollado con posterioridad por otros autores
10.4. VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS
Y DE INVERSIONES PRODUCTIVAS
En el capítulo 4, donde se desarrollaron los fundamentos teóricos del criterio
del valor actual neto y el coste de oportunidad del capital, se justificó que siempre
debe ponerse en relación la inversión empresarial de tipo económico, que se pretende valorar, con una inversión equiparable de igual riesgo de tipo financiero. Así,
un proyecto de inversión es rentable, y se debe aceptar, si no hay nada que rinda
más en el mercado financiero para su nivel de riesgo. El mercado financiero proporciona, por tanto, la rentabilidad mínima exigible (el coste de oportunidad del capital) con la que medir o valorar las inversiones productivas que realizan las empresas.
Si el VAN a la tasa de descuento ajustada al riesgo es positivo, o si la tasa interna
de rentabilidad supera la tasa ajustada al riesgo (a la tasa requerida por el mercado
para ese nivel de riesgo), el proyecto de inversión se debe aceptar:
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VAN (a) > 0 ⇒
Se acepta la inversión, es rentable
TIR = r > a ⇒
Se acepta la inversión, es rentable
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Teoría de la inversión
siendo la tasa ajustada al riesgo (a) igual al tipo de interés sin riesgo (k) más la
prima de riesgo (p) debida a la variabilidad, no certeza, de los flujos netos de caja:
ai = k + pi
El modelo CAPM desarrollado en los dos apartados anteriores muestra la
relación entre la rentabilidad [E(R̃i)] y el riesgo (bi) de los activos financieros y
permite valorar o determinar el precio de equilibrio de los mismos. Así, el valor
de las acciones de una empresa se calcula actualizando los flujos netos de caja
que ésta genera a la tasa de interés ajustada al riesgo que proporciona la SML.
Si el horizonte de planificación es de un solo período, el valor actual de una
acción, según la expresión (10.52) del epígrafe anterior, es:
E( Pi1 )
E( Pi1 )
=
1 + (RF + λ ′βi ) 1 + ai
Pi 0 =
y al estar el mercado en equilibrio, su valor actual neto sería nulo y su tasa interna de rentabilidad la apropiada a su nivel de riesgo:
VAN(a) = −Pi 0 +
E( Pi1)
E( Pi1)
= −Pi 0 +
=0
1 + (RF + λ ′βi )
1 + ai
ri = ai = k + pi = RF + [E( R M ) − RF ]βi
Por tanto, según el modelo CAPM, el mercado sólo premia al inversor por
correr o soportar el riesgo sistemático o no diversificable con un risk premium de:
pi = [E( R M ) − RF ]βi
En mercados eficientes, cada activo financiero debe proporcionar una rentabilidad adecuada al riesgo de mercado que corre el inversor, por lo que los títulos
individuales de las empresas (así como cualquier cartera, eficiente o no) deben
situarse sobre la Línea del Mercado de Títulos (SML). Igualmente, otros activos
financieros como la Deuda del Estado o la deuda de las empresas (bonos, pagarés,
etcétera) deben situarse también en equilibrio sobre la SML.
Volviendo ahora a la valoración de las inversiones reales (de las inversiones
que realizan las empresas en activos productivos), nuestro modo de actuación
debe ser el mismo que acabamos de realizar en la valoración de las inversiones
financieras: a) se estiman los flujos netos de caja por el método indirecto tal como
se explicó en el capítulo 3 y, a continuación, b) se descuentan o se actualizan a
la tasa de retorno requerida que proporciona el CAPM.
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Selección de carteras y valoración de activos
Aunque en los primeros capítulos de este libro hicimos el supuesto de que las
empresas se financiaban sólo con recursos propios y que el futuro se conocía con
certeza, en el mundo real lo normal es que las inversiones que realizan las empresas sean arriesgadas y que éstas opten por un mayor o menor grado de endeudamiento en el momento de financiar sus inversiones. En esta situación, tal como
se estudió en el capítulo 8 relativo a la interrelación de las decisiones de inversión
y financiación con riesgo y apalancamiento, el valor de mercado de una empresa
(el valor de mercado de los activos reales de una empresa) debe ser igual al valor
de mercado de las acciones de la empresa (S) más el valor de mercado de su
deuda con coste explícito (B). En efecto, el balance a precios mercado de la empresa sería el siguiente:
B
rA
rB
rCMPC = rA
V
S
rS
Figura 10.23. Valor de mercado de la empresa.
y tanto las acciones como la deuda de la empresa se deben ubicar sobre la SML
y proporcionar a los inversores una rentabilidad en consonancia con su nivel de
riesgo sistemático:
rS = E( R S ) = RF + [E( R M ) − RF ]β S
rB = E( R B) = RF + [E( R M ) − RF ]β B
Como las acciones de la empresa y su deuda cotizan en los mercados, entonces se pueden estimar las respectivas betas de dichos activos financieros, por
ejemplo, a partir de la información histórica sobre las series de sus cotizaciones.
Sin embargo, la beta de los activos de la empresa no es observable en el mercado,
pero podría estimarse a partir las betas de las acciones y de la deuda y de su peso
en el balance a precios de mercado. En efecto, como la rentabilidad de mercado
de los activos de la empresa y su coste medio ponderado del capital deben ser
iguales: rA = rCMPC (figura 10.23), las betas de ambos necesariamente deben ser
iguales, constituyendo las fuentes de financiación de la empresa una cartera de
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Teoría de la inversión
compuesta por dos activos financieros, la deuda32 y las acciones de la empresa,
cuya beta media ponderada aplicando la ecuación (10.23) es:
β A = wB β B + wS β S + =
B
S
B
S
βB + βS =
βB +
βS
V
V
B+S
B+S
(10.53)
Si nos apoyamos en un pequeño ejemplo, podríamos suponer el caso de una
empresa financiada al 60% por deuda y el resto con recursos propios cuyas acciones tengan una beta de 1,2 (un 20 % por encima de la beta de la cartera de
mercado) y que, al tratarse de una empresa solvente, se espera que genere un
flujo de caja suficiente para poder pagar los intereses y la devolución del principal en casi cualquier situación, por lo que la beta de su deuda es sustancialmente
más baja que la de sus acciones, por ejemplo, 0,1.
Si la rentabilidad del activo libre de riesgo es del 2% y la cartera de mercado
se espera que permita obtener una rentabilidad media del 8%, el premio por riesgo del mercado (risk premium) sería de:
[E( R M ) − RF ] = 8% − 2% = 6%
Con lo cual, las rentabilidades que debería proporcionar cada uno de los dos
diferentes activos (reales y financieros) de la empresa son:
rS = E( R S ) = RF + [E( R M ) − RF ]β S = 2% + (8% − 2%)1, 2 = 9, 2%
rB = E( R B) = RF + [E( R M ) − RF ]β B = 2% + (8% − 2%)0,1 = 2,6%
rCMPC = rB ⋅
B
S
+ rS ⋅ = 2,6% ⋅ 60% + 9, 2% ⋅ 40% = 5, 24%
V
V
y como la beta del activo es:
β A = wB β B + wS β S + =
B
S
β B + β S = 60% ⋅ 0,1 + 40% ⋅1, 2 = 0,54
V
V
la rentabilidad esperada del activo sería:
rA = E( R A) = RF + [E( R M ) − RF ]β A = 2% + (8% − 2%) ⋅ 0,54 = 5, 24%
32
Para simplificar, hemos supuesto que la deuda de la empresa está constituida por un único activo
financiero con su beta; pero, en la realidad, siempre será un conjunto de activos financieros con sus
respectivas betas y una media ponderada de las mismas, que es la que nosotros utilizamos.
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Selección de carteras y valoración de activos
idéntica rentabilidad, como cabía esperar, de lo que cuesta o se llevan como compensación por el riesgo que corren los aportantes de fondos en la empresa.
Resumiendo, el activo de la empresa genera una rentabilidad del 5,24 %, que
es lo que se reparten las personas que financian a la empresa:
— 9,2 % los accionistas.
— 2,6 % los poseedores de la deuda.
Con lo que, dado que la relación entre deuda y recursos propios (a valores de
mercado) es de 6 a 4, el coste medio ponderado del capital que financia a la empresa es del 5,24%.
La representación gráfica de todos estos resultados sobre la Línea del Mercado de Títulos (SML) se realiza en la figura (10.24).
E(Ri)
SML
rS = 9,2%
CMPC
rA = 5,24% = rCMPC
rB = 2,6%
b B = 0,1
Figura 10.24.
b A = 0,54 b S = 1,2
bi
SML: Rentabilidad-riesgo de las acciones, la deuda y el activo de la empresa.
Para una empresa que venda distintos productos en distintos mercados, con
una o varias plantas de producción y/o distribución, realmente su activo está
compuesto por la conjunción de diversas inversiones realizadas en su día, cada
una con sus propios riesgos económicos y, por lo tanto, con sus respectivas betas.
De modo que la beta del activo de la empresa es la beta media ponderada de los
distintos activos que integran su activo total:
β A = w1β1 + w2 β2 + ... + wn βn =
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V1
V
V
β1 + 2 β2 + ... + n βn
V
V
V
(10.54)
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Teoría de la inversión
donde Vi son los valores de mercado de los distintos activos reales que forman
parte de la estructura productiva de la empresa.
Si ahora la empresa se plantea la conveniencia de aceptar, o no, dos nuevos
proyectos de inversión simples que se añadan a los que ya está ejecutando en el
momento presente, no tiene más que calcular sus tasas internas de rentabilidad y
sus betas y, a continuación, llevarlos a la SML para ver si se ubican por encima
o por debajo de ella.
Suponiendo que estos dos proyectos de inversión C y D tienen unas betas
respectivas de 1,5 y 0,4 y que sus tasas internas de rentabilidad son: 10 % y 4,8%,
la rentabilidad que con esas betas se puede alcanzar en el mercado financiero (las
tasas ajustadas al riesgo) es:
E( RC ) = RF + [E( R M ) − RF ]βC = 2% + (8% − 2%) ⋅1,5 = 11% = aC
E( R D ) = RF + [E( R M ) − RF ]β D = 2% + (8% − 2%) ⋅ 0, 4 = 4, 4% = aD
Por lo que33:
TIRC = 10% < aC = k + pC = 11%
⇒
TIRD = 4,8% < aD = k + pD = 4, 4%
Se rechaza la inversión C
⇒
Se acepta la inversión D
En la figura 10.25 se puede comprobar que el proyecto de inversión D se sitúa
por encima de la SML (es rentable con respecto a la inversión financiera de riesgo
comparable), mientras que el proyecto de inversión C se coloca por debajo de la
SML, lo que es indicativo de que en el mercado financiero hay otras inversiones
de igual riesgo que rentan más, que proporcionan un 11 % de rentabilidad, en lugar
del 10 % que promete el proyecto de inversión C, por lo que éste se rechaza.
Por otra parte, también queremos llamar la atención de que no es apropiado
aplicar el criterio del coste medio ponderado del capital (CMPC) para valorar
proyectos de inversión que tienen un riesgo distinto al de los actuales activos de la
empresa. En efecto, según el criterio del CMPC, el proyecto C se debe aceptar y
el proyecto D se debe rechazar (justo lo contrario de lo que sería lo correcto):
TIRC = 10% > rCMPC = 5, 24%
⇒
Se acepta la inversión C
TIRD = 4,8% < rCMPC = 5, 24%
⇒
Se rechaza la inversión D
33
Si conociésemos los flujos netos de caja, la aplicación del criterio del valor actual neto a ambos proyectos de inversión debería haber conducido necesariamente a aceptar el proyecto B [VANB (4,4 %) > 0] y
rechazar el proyecto A [VANA (11%) < 0].
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Selección de carteras y valoración de activos
E(Ri)
SML
TIRC = 10%
rS = 9,2%
rA = 5,24% = rCMPC
TIRD = 4,8%
C
CMPC
D
rB = 2,6%
b B = 0,1
Figura 10.25.
b D = 0,4
b A = 0,54 b S = 1,2 b C = 1,5
bi
SML: Rentabilidad-riesgo de los nuevos proyectos de inversión C y D.
Continuando con la exposición teórica, la ecuación (10.53) mostraba que la
beta del activo coincide con la beta media ponderada de los activos financieros
que forman parte de la estructura financiera de la empresa:
β A = wB β B + wS β S + =
B
S
B
S
βB + βB =
βB +
βS
V
V
B+S
B+S
Si operamos en esta expresión, y despejamos la beta de las acciones (bS), se
llega también al resultado ya conocido de que el accionista corre con el riesgo
económico de los activos de la empresa y un riesgo adicional de tipo financiero,
que es tanto mayor cuanto mayor es el ratio de endeudamiento de la empresa:
β A (B + S) = B ⋅ β B + S ⋅ β S
S ⋅ β S = β A (B + S) − B ⋅ β B
β S = β A + (β A − β B )
B
60%
= 0,54 + (0,54 − 0,1)
= 1, 2
S
40%
(10.55)
En el caso particular de que la empresa tuviese la máxima calificación crediticia, la beta de su deuda sería nula y la beta de las acciones finalmente podría
quedar expresada del siguiente modo:
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Teoría de la inversión
β S = β A + (β A − 0)
B
B
60% ⎞
⎛
= β A ⎛1 + ⎞ = 0,54 ⎜1 +
⎟ = 1,35
⎝
⎠
⎝
S
S
40%⎠
(10.56)
que se corresponde, según la SML, con una rentabilidad del accionista del 10,1 %
y una rentabilidad de la deuda sin riesgo del 2%:
rS = E( R S ) = RF + [E( R M ) − RF ]β S = 2% + (8% − 2%)1,35 = 10,1%
rB = E( R B) = RF + [E( R M ) − RF ]β B = 2% + (8% − 2%)0 = 2%
y un coste medio ponderado del capital igual que antes, ya que la rentabilidad
esperada del activo no ha cambiado:
rCMPC = rB ⋅
B
S
+ rS ⋅ = 2% ⋅ 60% + 10,1% ⋅ 40% = 5, 24% = rA
V
V
Por tanto, al ser la rentabilidad del activo la misma, si la deuda de la empresa
no tiene riesgo, el accionista obtiene una mayor rentabilidad porque no tiene
necesidad de compensar a los poseedores de la deuda con un tipo de interés del
2,6 % como antes, sino simplemente el tipo de interés sin riesgo del 2%.
De una forma paralela a lo realizado con la expresión (10.53), si partimos de
la ecuación del coste medio ponderado del capital, sabemos que éste debe ser
igual a la rentabilidad del activo:
rA = rB ⋅
B
S
B
S
+ rS ⋅ = rB ⋅
+ rS ⋅
V
V
B+S
B+S
(10.57)
y por un proceso similar al que acabamos de realizar con bS, se puede despejar la
rentabilidad del accionista (rS)34:
rS = rA + (rA − rB)
B
60%
= 5, 24% + (5, 24% − 2,6%)
= 9, 2%
S
40%
(10.58)
34
Aunque excede los límites de este libro, en el capítulo 8 ya vimos que, en un mundo con impuestos, Modigliani y Miller establecieron que la relación entre la rentabilidad del accionista y la rentabilidad
del activo es:
B
rS = rA + (rA − rB) (1 − t)
S
siendo t el tipo impositivo del impuesto sobre sociedades.
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Selección de carteras y valoración de activos
Por tanto, dado que según el modelo CAPM la rentabilidad esperada de los
activos financieros es una función lineal de las betas de los mismos, se llega a la
misma rentabilidad exigida por el accionista partiendo de la expresión del CMPC
que si la argumentación se realiza con base en la SML.
Finalmente, también se debe resaltar que esa rentabilidad exigida por el accionista es directamente proporcional al riesgo económico y financiero que éste
soporta, riesgo financiero que sólo depende del nivel de endeudamiento de la
empresa (si el apalancamiento es nulo, el riesgo financiero es nulo), mientras
que el riesgo económico se deriva de la variabilidad del Free Cash Flow que
generan los activos de la empresa, la cual a su vez depende del sector de actividad en que se mueve, su tipo de negocio, su mayor o menor diversificación de
clientes y proveedores, su mayor o menor internacionalización, la tecnología que
aplique, etc.
10.5. UN EJERCICIO DE APLICACIÓN
La empresa Complex tiene diversificada su actividad en cuatro sectores de
actividad. El valor de mercado, en miles de euros, de sus actuales activos y los
coeficientes beta éstos son:
Activo 1
Activo 2
Activo 3
Activo 4
Valor de mercado (Vi)
200
150
50
100
Beta del activo (bi)
1
0,8
1,5
0,5
En la actualidad, la empresa dispone de 100.000 euros para poder continuar
diversificando su actividad y se le plantean las siguientes alternativas de inversión:
Inversión B
Inversión C
Inversión D
TIR esperada (ri)
3%
10 %
4%
Beta del activo (bi)
0,2
2
−0,3
Si el mercado de capitales es perfecto, está en equilibrio y se cumple el modelo CAPM, se pide:
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Teoría de la inversión
1. En caso de no acometer ningún proyecto de inversión, ¿cuál es la rentabilidad esperada de la empresa?
2. Por separado, ¿son rentables, o no, las distintas alternativas de inversión?
Nota: Realice los cálculos suponiendo que:
— La rentabilidad esperada del mercado [E(R̃M)] es del 7 % anual.
— La tasa de interés anual sin riesgo (RF) es del 2 %.
— Las bi, RF y E(R̃M) no cambian año a año.
SOLUCIÓN
1. Si se cumplen las hipótesis del CAPM, la rentabilidad esperada de la
empresa depende de la beta de su actual activo, que es una media ponderada de
los activos que lo integran:
4
β A = ∑ wi βi = w1β1 + w2 β2 + w3β3 + w4 β4
i=1
βA =
200
150
50
100
1+
0,8 +
1,5 +
0,5 = 0,89
500
500
500
500
Y, de acuerdo con ese riesgo sistemático, la rentabilidad que se espera genere
el activo actual de la empresa, según la Línea del Mercado de Títulos (SML), es:
rA = E( R A) = RF + [E( R M ) − RF ]β A = 2% + (7% − 2%)0,89 = 6, 45% = rCMPC
2. La valoración de las tres alternativas de inversión a disposición de la
empresa es la siguiente:
— En el caso del nuevo proyecto de inversión B, la rentabilidad requerida por
el mercado, de acuerdo con la SML, es la ajustada (aB) a su nivel de riesgo (bB):
E( R B) = RF + [E( R M ) − RF ]β B = 2% + (7% − 2%)0, 2 = 3% = aB
Como su tasa interna de rentabilidad también es del 3 %, la inversión
B es indiferente, la empresa obtiene la misma rentabilidad si invierte los
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Selección de carteras y valoración de activos
100.000 euros en la inversión productiva B que si lo hace en el mercado
en un activo financiero de igual riesgo:
TIRB = 3 % = aB = 3 %
⇒ La inversión B es indiferente
— En el caso de la alternativa de inversión C, la rentabilidad que se puede
conseguir en el mercado en una inversión financiera de igual riesgo es:
E( RC ) = RF + [E( R M ) − RF ]βC = 2% + (7% − 2%)2 = 12% = aC
Dado que la tasa interna de rentabilidad de la inversión C es inferior
a su tasa ajustada al riesgo, la inversión C no renta lo suficiente; en el
mercado hay inversiones financieras de riesgo equivalente con una rentabilidad mayor:
TIRC = 10 % < aC = 12 %
⇒ La inversión C se rechaza
— Por último, en el caso de la alternativa de inversión D, la tasa de corte que
proporciona el mercado, según la SML, es:
E( R D ) = RF + [E( R M ) − RF ]β D = 2% + (7% − 2%)(−0,3%) = 0,5% = aD
Puesto que la tasa interna de rentabilidad de la inversión es superior
a su tasa ajustada al riesgo, la inversión D se acepta, es rentable, rinde
más que la inversión financiera comparable:
TIRD = 4 % > aD = 0,5 %
⇒
La inversión D se acepta
A iguales resultados se puede llegar si cada proyecto de inversión se añade
por separado a los actuales activos de la empresa, se recalcula la nueva beta de
la empresa y se compara su nueva tasa ajustada al riesgo con la rentabilidad interna esperada que obtendría la empresa en caso de aceptar dicho proyecto de
inversión. En efecto:
— En el caso de añadir el proyecto de inversión B a los actuales activos de
la empresa, la nueva beta es:
β A+ B =
200
150
50
100
1+
0,8 +
1,5 +
0,5 +
500 + 100
500 + 100
500 + 100
500 + 100
+
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100
0, 2 = 0, 775
500 + 100
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Teoría de la inversión
La rentabilidad exigida por el mercado a ese nivel de riesgo es:
E( R A+ B) = RF + [E( R M ) − RF ]β A+ B = 2% + (7% − 2%)0, 775 = 5,875% = a A+ B
Y la tasa interna de rentabilidad que obtendría la empresa en el caso
de añadir B a sus actuales activos (A) es la media ponderada de las respectivas tasas internas de rentabilidad:
TIRA+ B =
500
100
6, 45% +
3% = 5,875%
500 + 100
500 + 100
Como:
TIRA+B = 5,875 % = aA+B = 5,875 % ⇒ La inversión B es indiferente
— En el caso de añadir el proyecto de inversión C al activo actual de la empresa, la beta conjunta es:
β A+ B =
200
150
50
100
1+
0,8 +
1,5 +
0,5 +
500 + 100
500 + 100
500 + 100
500 + 100
+
100
2 = 1, 075
500 + 100
La rentabilidad requerida por el mercado a la empresa si integra la
inversión C a sus actuales activos es:
E( R A+C ) = RF + [E( R M ) − RF ]β A+C = 2% + (7% − 2%)1, 075 = 7,375% = a A+C
Y la media ponderada de la tasa interna de rentabilidad que obtendría
la empresa de sus viejos activos más la nueva inversión C es:
TIRA+C =
500
100
6, 45% +
10% = 7, 0417%
500 + 100
500 + 100
Y como:
TIRA+C = 7,0417 % < aA+C = 7,375 % ⇒ La inversión C se rechaza
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Selección de carteras y valoración de activos
— Por último, si el proyecto que se integra es el D, la beta de la suma de
A+D es:
β A+ D =
200
150
50
100
1+
0,8 +
1,5 +
0,5 +
500 + 100
500 + 100
500 + 100
500 + 100
+
100
(−0,3) = 0,6917
500 + 100
La rentabilidad requerida por el mercado a la empresa si integra la
inversión D a sus actuales activos es:
E( R A+ D ) = RF + [E( R M ) − RF ]β A+ D = 2% + (7% − 2%)0,6917 = 5, 4583% = a A+ D
Y la media ponderada de la TIR que obtendría la empresa de sus viejos
activos más la nueva inversión D es:
TIRA+ D =
500
100
6, 45% +
4% = 6, 0417%
500 + 100
500 + 100
Y como:
TIRA+D = 6,0417 % > aA+D = 5,4583 % ⇒ La inversión D se acepta
En la figura 10.26 se recogen todos los resultados de la evaluación que por
separado se ha realizado anteriormente.
E(Ri)
SML
C
TIRC = 10%
rA = 6,45% = rCMPC
D
TIRD = 4%
B
TIRB = 3
b D = –0,3 b B = 0,2
Figura 10.26.
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CMPC
b A = 0,89
bC = 2
bi
SML: Rentabilidad-riesgo nuevos proyectos de inversión B, C y D.
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Teoría de la inversión
Como siempre, si el proyecto de inversión se sitúa sobre la SML (proyecto
B), se obtiene la rentabilidad adecuada al riesgo y es indiferente invertir en el
activo productivo B o en el mercado financiero en un activo financiero comparable. Si el proyecto de inversión se ubica por debajo de la SML (proyecto C), se
rechaza. Hay en el mercado financiero alternativas mejores, de rentabilidad más
elevada, para su nivel de riesgo. Y si el proyecto de inversión bate a la SML, se
sitúa por encima de la misma (proyecto D), la inversión se acepta, ya que su TIR
es más elevada que la tasa de interés ajustada a su riesgo.
PREGUNTAS
Comente razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Si dos curvas de indiferencia se cortan, se incumple la transitividad de las
preferencias de un inversor racional.
2. El inversor se debe mostrar indiferente ante cualquier cartera de la frontera
eficiente, ya que siempre obtendrá la misma utilidad esperada.
3. Cuando se añade el activo libre de riesgo a los N activos arriesgados, la frontera eficiente se vuelve lineal e igual para todos los inversores.
4. La CML (línea del mercado de capitales) es la frontera eficiente de un inversor diversificador eficiente de Markowitz en el caso de que: 1) exista el activo libre de riesgo; 2) la oferta de títulos sea igual a la demanda, y 3) todos
los inversores hayan realizado las mismas estimaciones de los parámetros que
son necesarios para resolver el modelo de Markowitz.
5. Puesto que en el modelo CAPM las carteras eficientes que se sitúan sobre la
CML sólo tienen riesgo sistemático, también puede expresarse la CML en
los ejes: E(R̃P), bP, siendo entonces el premio por riesgo: E(R̃M) – RF.
6. En el modelo CAPM, todas las carteras de los inversores se forman con dos
fondos: el activo libre de riesgo y la cartera de mercado, por lo que todas
tienen igual riesgo.
7. En el modelo CAPM, las carteras eficientes de los inversores contienen siempre los mismos títulos y en las mismas proporciones respecto al presupuesto
de inversión de cada individuo.
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Selección de carteras y valoración de activos
8.
La expresión:
E( R p) = RF +
E( R M ) − RF
ρPM σ ( R p)
σ ( R M )
es una de las diferentes ecuaciones válidas para expresar la CML, pudiendo
tomar rPM cualquier valor entre: –1 y 1.
9.
En las carteras eficientes, las expresiones de la CML y la SML son equivalentes.
10.
La SML (línea del mercado de títulos) proporciona la tasa de descuento
ajustada al riesgo con la cual poder calcular el precio de equilibrio de un
activo financiero en el momento actual.
11.
Un título con beta igual a 2 indica que, cuando el rendimiento esperado de
la cartera de mercado sube un punto, el rendimiento esperado del título se
multiplica por dos.
12.
No pueden existir títulos con beta igual a 1, ya que ese valor sólo lo puede
tomar la beta de la cartera de mercado.
13.
Un título o cartera de beta igual a 3 se puede replicar a partir del activo
libre de riesgo y la cartera de mercado pidiendo prestado una cantidad de
dinero igual al doble del presupuesto que se está dispuesto a invertir en
activos arriesgados, e invirtiendo el total del dinero conseguido, el inicial y
lo que se ha pedido prestado, en la cartera de mercado.
14.
Si el nuevo proyecto de inversión tiene el mismo riesgo que los actuales
activos de la empresa, es indiferente calcular la tasa de descuento ajustada
al riesgo con la SML que utilizar como tasa de corte el coste medio ponderado del capital en el momento de valorar la conveniencia de aceptar o rechazar dicha inversión.
15.
Si la TIR de cualquier proyecto de inversión supera al coste medio ponderado del capital, el proyecto de inversión es rentable y se debe aceptar.
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Respuestas a las preguntas
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Pregunta 1
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Pregunta 2
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Pregunta 3
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Pregunta 4
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Pregunta 5
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Pregunta 6
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Pregunta 7
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Pregunta 8
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Pregunta 9
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Pregunta 10
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Pregunta 11
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Pregunta 14
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Pregunta 15
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