CH. III : Calcul des pannes
Calcul des pannes
1- Introduction :
Les pannes sont des poutres destinées à transmettre les charges et
surcharges s’appliquant sur la couverture à la traverse ou bien à la
ferme. Elles sont réalisées soit en profilé (I , [ ) soit à treillis pour
les portées supérieures à 6 m.
α
2- Détermination des sollicitations :
Compte tenu de la pente des versants, les pannes sont posées
inclinées d’un angle (α) et de ce fait fonctionnent en flexion
déviée.
G
2.1- Evaluation des charges et surcharges :
a- charges permanentes (G) :
poids propre de la panne et de la couverture .
charges accrochées éventuelles.
α
b- surcharges d’entretien (P) :
Dans le cas de toitures inaccessibles en considère uniquement dans
les calculs, une charge d’entretien qui est égales aux poids d’un
ouvrier et son assistant et qui est équivalente à deux charges
concentrées de 100 kg chacune situées à 1/3 et 2/3 de la portée de
la panne.
71
CH. III : Calcul des pannes
Remarque :
Par raison de simplicité on prend des fois comme charge
d’entretien une charge globale de 75 kg/m2 de la surface de la
couverture.
N
N Cos α
C- surcharge climatiques :
C.1- surcharge de neige (N) :
par projection horizontale : N
Suivant rampant : N Cos α
α
C.2- surcharge du vent (V) :
V
perpendiculaire au versant : V
α
3- Principe de dimensionnement :
Les pannes sont dimensionnées par le calcul pour satisfaire
simultanément aux conditions suivantes :
a- condition de résistances :
σ=
My
Mx
+
≤ σe
Wx Wy
b- condition de flèche :
fx ≤ fad
fy ≤ fad
avec fad = l/200 : flèche admissible.
72
CH. III : Calcul des pannes
Remarque :
Compte tenu de la faible inertie transversale des pannes, et dès lors
que la pente des versants ( α ) atteint 8 à 10%, l’effet de la charge
Qx (perpendiculaire à l’âme de la panne) devient préjudiciable et
conduit à des sections de pannes importantes, donc onéreuses.
La solution consiste a réduire la portée transversale des pannes en
les reliant entre elles par des liernes (tirants), situés à mi - portée.
Ces liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction.
Panne faîtières
Pannes
intermédiaires
Ferme
Panne sablière
Ferme de rive
Lierne
Ferme
intermédiaire
Panne
échantignole
α
73
CH. III : Calcul des pannes
4- Exemple d’application :
Soit un portique (ferme) recevant 4 pannes par versant et une
panne faîtière. L’écartement horizontal des pannes est de 2.0 m
(entre axe 2.04 m). Les fermes sont espacées de 5 m, la pente du
versant est de 11° (voir figure ci-dessous).
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
2m
Déterminer la section optimale de la panne intermédiaire afin de
résister au chargement donné ci - dessous.
a- charges permanentes : G ( par m2 de la couverture)
tôle est accessoires de pose : ...............................................17 kg/m2
poids propre de la panne : (estimé).................................. 12 kg/ml
b- surcharges d’entretien : P
deux charges concentrées de 100 kg chacune situées à 1/3 et 2/3
de la portée.
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CH. III : Calcul des pannes
c- surcharge climatique du vent : V (perpendiculaire au versant).
Vn = - 33.0 kg/m2 (vers le haut) (voir CH.I)
Ve = 1.75 Vn = -57.8 kg/m2
Vn = +5.5 kg/m2 (vers le bas)
Ve = 1.75 Vn = +9.6 kg/m2
d- surcharge climatique de neige : N (par projection horizontale).
Nn = 68 kg/m2 (voir CH.II)
Ne = 5/3 Nn = 113.4 kg/m2
Solution :
1- Charges et surcharges par mètre linéaire revenant à la
panne intermédiaire :
• charges permanentes G : (par m2 de la couverture).
G = 17×2.04 + 12 = 47 kg/ml
G
α
• surcharge climatique du vent V : (perpendiculaire au versant).
Vn = - 33.0 × 2.04 = - 67.5 kg/ml
Ve = 1.75 Vn = - 118.2 kg/ml
Vn = +5.5 × 2.04 = +11.3 kg/ml
Ve = 1.75 Vn = +19.7 kg/ml
V
α
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CH. III : Calcul des pannes
• surcharge climatique de neige : N (par projection horizontale).
Nn = 68 cos α × 2.04 = 136.2 kg/ml
Ne = 5/3 Nn = 227 kg/ml
N
N Cos α
α
• surcharges d’entretien : P
la charge uniformément repartie P due aux surcharges d’entretien
est obtenue en égalisant les deux moments maximaux du à P et aux
charges ponctuelles P’.
Mmax = P’l/3 = pl2/8
p = 8×100/3×5 = 54 kg/ml
P’ = 100 kg
L/3
L/3
P’ = 100 kg
P = 54 kg/ ml
L/3
L
M = p’. L / 3
M = p. L2 / 8
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CH. III : Calcul des pannes
2- Combinaisons de charge les plus défavorables :
1. 4/3 G +3/2 P = 4/3 × 47 +3/2 × 54 = 143.5 kg/ml ↓
2. 4/3 G +3/2 Nn = 4/3 × 47 +3/2 × 136.2= 267 kg/ml ↓
3. 4/3 G +3/2 Vn = 4/3 × 47 +3/2 × 11.3 = 77.2 kg/ml↓
4. 4/3 G +17/12(Vn +0.5 Nn )= 4/3 × 47 +17/12(11.3+0.5×136.2)
= 175 kg/ml↓
5. G +Ne = 47 + 227 = 274 kg/ml ↓
= 47 - 118.2 = - 72 kg/ml ↑
6. G + Ve
7. G + Ve +0.5Ne = 47+19.7+0.5×227=180.2 kg/ml ↓
La combinaison la plus défavorable est la combinaison N°. 5.
y
Qmax = G + Ne = 274 kg/ml
Panne
x
Qx
x
Qy
α
Q
y
Qy = Q cosα = 269 kg/ml
Mx = Qy .lx2/8 = (206×5.02)/8 = 841 kgm
Qx= Q sinα = 52.3 kg/ml
My = Qx .ly2/8 = (42×2.52)/8 = 41 kgm
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CH. III : Calcul des pannes
Qx
Qy
lx= l
ly= l/2
ly= l/2
Plan x-x
Plan y-y
Remarque :
D’après le nouveau règlement (DTR), les charges climatiques ne se
combinent pas avec la surcharge d’entretien.
3- Dimensionnement de la panne :
σ=
My
Mx
+
≤ σe
Wx Wy
σ=
M ⎞
Mx ⎛
W M ⎞ M ⎛
⎜⎜ 1 + x . y ⎟⎟ = x ⎜ 1 + η y ⎟ ≤ σ e
Wx ⎝
Wy M x ⎠ Wx ⎝
Mx ⎠
Wx ≥
avec
η=
Wx
Wy
My ⎞
Mx ⎛
⎜1 + η
⎟
Mx ⎠
σe ⎝
η ≈ 6 à 9 pour les poutres en I
841 ⎛
41 ⎞
3
Wx ≥
⎜1 + 7 ×
⎟ = 47.0cm
24 ⎝
841 ⎠
(soit η = 7)
78
CH. III : Calcul des pannes
Soit IPE 120
Wx = 53 cm3 ; Wy = 8.65 cm3
Ix = 318 cm4; Iy = 27.7 cm4
p = 10.4 kg/ml
Remarque :
Le poids propre estimé de la panne (12 kg/ml) est supérieur au
poids propre réel trouvé (10.4 kg/ml) ; il n’y a pas donc lieu de
refaire la vérification de la panne à la résistance en tenant compte
de son poids propre..
3.1- Vérification à la flèche :
Le calcul de la flèche se fait par la combinaison de charges et
surcharges de services (non pondérées).
Q = G + Nn
Q = G + Nn = 47 + 136.2 = 183.2 kg/ml
Panne
Qy = Q cosα = 180 kg/ml
Qx = Q sinα = 35 kg/ml
Qx
α
Condition de vérification :
f x ≤ f ad
Qy
α
f y ≤ f ad
fx =
4
y x
5 Q .l
.
384 E.I x
;
Q
fad = lx/200 = 500/200 = 2.5 cm
5 180 × 10−2.(500)
fx =
= 2.19cm ≤ fad ..........................O.K
.
384 2.1 × 106 × 318
4
79
CH. III : Calcul des pannes
4
2.05 Qx .l y
fy =
.
384 E.I y
;
f ad = l y / 200 = 250 / 200 = 1.25cm
2.05 35 × 10−2.(250)
.
≈ 0.13cm ≤ f ad ......................O.K
384 2.1 × 106 × 27.7
4
fy =
3.2- Vérification au cisaillement :
La formule de vérification au cisaillement est donnée par la
formule suivante :
1.54τ ≤ σ e
avec : τ = max(τ x ,τ y )
Remarque :
Dans le cas de sections symétriques en I , l’effort tranchant Ty est
repris par la section de l’âme, et l’effort tranchant Tx est repris par
la section des deux semelles.
Semelle
τy =
Ty =
Ty
A
Qy .l
2
Âme
net
a
Semelle
=
269 × 5
= 672.5kg
2
Aa = (H − 2.es ) × ea = 4.73cm2
Tx
α
Ty
80
CH. III : Calcul des pannes
τy =
τx =
672 . 5
= 142 . 2 kg / cm 2
4 . 73
Tx
2 . A snet
avec : Tx = 0.625Qx (l / 2) = 0.625 × 52.3 × 2.5 = 82kg
2 As = 2 × (6.4 × 0.63) = 8.064cm 2
τy =
82
= 10 . 2 kg / cm 2
8 . 064
τ max = τ x = 142.2kg / cm2 τmax = τx = 142.2 kg/cm2
1.54τ = 1.54 × 142.2 = 219kg / cm 2 p σ e ..........................O.K.
Qy
l
Plan y-y
Ty =
Qy l
2
Qx
l/2
l/2
Plan x-x
Tx = 0.625Qx (l / 2)
Remarque :
Dans la plus part des cas la vérification au cisaillement est vérifiée
pour les profilés laminés dès que la vérification au moment
fléchissant est satisfaite.
81
CH. III : Calcul des pannes
3.3- Vérification au déversement :
Déversement = Flambement latéral + Rotation de la section
transversale.
Semelle supérieure :
la semelle supérieure qui est comprimée sous l’action des charges
verticales descendantes est susceptible de déverser. Vu quelle est
fixée à la toiture il n’y a donc pas risque de déversement.
Semelle inférieure :
la semelle inférieure qui est comprimée sous l’action du vent de
soulèvement est susceptible de déverser du moment quelle est libre
tout au long de sa portée.
a- Méthode exacte : (voir règlement CM66)
Dans le cas des pièces symétriquement chargées et appuyées la
vérification de la stabilité au déversement est donnée par la formule
suivante : ( CM66 Règle 3.61)
σ = K d .σ fx ≤ σ e
avec
Kd =
K0
σ
1 + d ( K0 − 1)
σe
: coefficient de déversement.
K0 : coefficient de flambement déterminé en fonction de
l’élancement λ0.
82
CH. III : Calcul des pannes
λ0 =
L 4 Ix ⎛ σ d ⎞
. ⎜1 − ⎟
h B. C I y ⎝ σ e ⎠
π 2 .E Iy h2
. . ( D − 1) . B.C : contrainte de non déversement.
5.2 I x L2
I y h2
σd = 40000. . 2 ( D − 1). B.C en daN/m2
Ix L
σd =
y
Calcul des coefficients D,C, et B.
Coefficient D : (RCM66, R.3.641)
Il est donné en fonction des dimensions de la pièce.
4 G. J L2
D = 1+ 2 .
.
π E.I y h 2
y
J L2
D = 1 + 0156
. . . 2
Iy h
h
x
x
e
b
Vent de soulèvement
IPE 120
Ix =317.8 cm4 ; Iy = 27.67 cm4
J = 1.71 cm4 (moment d’inertie de torsion).
h = 12 cm. ; L = 250 cm ( longueur de flambement).
1.71 2502
.
D = 1 + 0156
. .
= 2.27
27.67 12 2
Calcul de D par la formule approchée : (R.C.M.66 .COM.3.641).
Il est valable uniquement pour les poutrelles laminées courantes.
Dans le cas des IPE on utilise les formules approchées suivantes.
83
CH. III : Calcul des pannes
L×e 2
)
b×h
250 × 0.63 2
D = 1+.(
) = 2.28
6.4 × 12
D = 1+.(
Coefficient C : (RCM66, R.3.642)
Il est donné en fonction de la répartition des charges.
C = 1.132 (charge uniformément répartie).
Coefficient B : (RCM66, R.3.643)
Il est donné en fonction du niveau d’application des charges.
B = 1 ( au niveau de la fibre neutre par supposition).
Calcul de la contrainte de non déversement :
σd = 40000.
I y h2
. ( D − 1). B.C
I x L2
σ d = 40000 ×
27.67 122
(2.27 − 1) × 1 × 1.132 = 11.53daN / mm2 ⟨σ e
×
317.8 2502
σd < σe ⇒ il y a risque de déversement.
λ0 =
L 4 Ix ⎛ σ d ⎞
. ⎜1 − ⎟
h B. C I y ⎝ σ e ⎠
λ0 =
. ⎞
250
4
317.8 ⎛ 1153
×
⎜1 −
⎟ = 96
.
12 1 × 1132
27.67 ⎝
24 ⎠
84
CH. III : Calcul des pannes
⇒ k0 = 1.792 (Tableaux) (RCM66, Annexe.§13.411)
Kd =
K0
1+
σd
(K − 1)
σe 0
1.792
≈ 1.3
11..53
(1.792 − 1)
1+
24
M
σ fx = x
Wx
avec :
Kd =
Mx = Qy .lx2/8
Qx = G+Ve = - 72 kg/ml (soulèvement).
Mx = Qy .lx2/8 = (72×5.02)/8 = 225 kgm
225 × 102
σ fx =
= 425kg / cm 2
53
Kd . σfx = 1.3 × 425 = 553 kg/cm2 < σe ..........pas de risque de
déversement.
Remarque:
La contrainte est faible ce qui est prévisible du moment que le
dimensionnement de la panne est dicté par la condition de flèche.
b- Méthode simplifiée : (RCM66, Annexe §13.611)
Applicable aux poutrelles laminées courantes ( IPE, IPN, IAP, HE,
HN )
85
CH. III : Calcul des pannes
Cas de charge appliquée au niveau du centre de gravité :
C.G
σ = Kd.σfx ≤ σe
C.G
avec
y
Kd = 1 + 2. (α - 0.25 )2
Kd = 2.α
α=
e
pour α ≤ 0.25
Kd = 1
1
L.h σ e
×
×
1000.C b.e 24
pour 0.25 < α < 0.75
pour α ≥ 0.75
x
h
x
avec σe en (daN/mm2)
y
b
•
Si la charge appliquée se dirige vers le centre de gravité de la
section : on remplace L par L + ε
• Si la charge appliquée se dirige hors du centre de gravité de la
section : on remplace L par L - ε
b
avec : ε = 0.8. y a .β . C.
e
α=
(L + ε ).h × σ e
1
×
1000.C
b.e
24
ε = 0.8. ya .β .C.
b
e
avec σe en (daN/mm2)
avec ya = h/2 = 12/2 = 6 cm.
86
CH. III : Calcul des pannes
C = 1.132
β = 1.0
Articulation des appuis + charge uniformément répartie.
ε = 0.8 × 6.0 × 10
×
. × 1132
.
α=
6.4
= 56cm
0.63
( 250 + 56) × 12 24
1
×
×
= 0.8
1000 × 1132
.
6.4 × 0.63
24
avec σe en (daN/mm2)
Kd = 2.α = (2 × 0.8) = 1.6
σ = Kd.σfx = 1.6 × 425 = 680 kg/cm2 ≤ σe ............................O.K.
Conclusion :
Le profilé choisit IPE 120 convient pour les pannes.
87
CH. III : Calcul des pannes
y-y
x-x
Qy
Qx
y
ly
x
My
lierne
x
ly
y
Mx
α
l x = l0
Panne de toiture et les différents plans de chargement
88
CH. III : Calcul des pannes
5- Calcul des liernes
5.1- Introduction :
Les liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction. Elles sont
généralement formées de barres rondes ou de petites cornières.
Leur rôle principal est d’éviter la déformation latérale des pannes.
Compte tenu de la faible inertie transversale des pannes, et dès lors
que la pente des versants ( α ) atteint 8 à 10%, l’effet de la charge
Qx (perpendiculaire à l’âme de la panne) devient préjudiciable et
conduit à des sections de pannes importantes, donc onéreuses.
La solution consiste a réduire la portée transversale des pannes en
les reliant entre elles par des liernes (tirants), situés à mi - portée.
Chaque fois que les pannes en profilés sont disposées normalement
au versant, il convient de les entretoiser par un ou plusieurs cours
de liernes en fer rond ou en cornière. Ces liernes, reliées entre elles
au niveau du faîtage, permettent d’éviter la déformation latérale des
pannes, très préjudiciable au bon aspect de la couverture.
5.2- Dimensionnement des liernes :
La réaction R au niveau de la lierne :
. Q x × l y = 1.25 × 52.3 × 2.50 = 163.5daN
R = 125
Effort de traction dans le tronçon de lierne L1 provenant de la
panne sablière :
T1 =
R
2
=
163.5
= 81.8daN
2
Effort dans le tronçon L2 :
T2 = R + T1 = 163.5 + 81.8 = 245.3daN
89
CH. III : Calcul des pannes
Effort dans le tronçon L3 :
T3 = R + T2 = 163.5 + 245.3 = 408.8daN
Effort dans les diagonales L4 :
2T4 . cosθ = T3
T4 = 323.3daN
avec : θ = 50.8°
Qx = 52.3 kg/ml
R
Panne faîtière
L4
T4
T4
θ
L4
T3
Ferme
L3
Ferme
T2
L2
T1
L1
Panne sablière
90
CH. III : Calcul des pannes
Remarque :
Les liernes sont des tirants qui fonctionnent en traction et qui sont
soumis à des efforts croissants, au fur et à mesure qu’ils se
rapprochent du faîtage. Les efforts de traction sollicitant les liernes
ne peuvent pas être attachés aux pannes faîtières, qui périraient
transversalement. Ils sont donc transmis aux fermes par des tirants
en diagonale (bretelles).
5.3- Calcul de la section des liernes :
Le tronçon le plus sollicité est L3.
T3 ≤ A × σe
T3 = 408.8 daN.
A ≥ T3/σe = 408.8/2400 = 0.170 cm2
A = π φ2 / 4 ≥ 0.170 cm2
4 × 0.170
φ≥
= 0.46cm
π
Soit une barre ronde de diamètre :
φ = 10 mm.
6- Calcul de l’échantignolle.
6.1- Introduction :
L’échantignolle est un dispositif de fixation permettant d’attacher
les pannes aux fermes.
Le principal effort de résistance de l’échantignolle est le moment
de renversement dû au chargement (surtout sous l’action de
soulèvement du vent).
91
CH. III : Calcul des pannes
6.2- dimensionnement de l’échantignolle.
L’excentrement « t » est limité par la condition suivante :
2 (b/2) ≤ t ≤ 3 (b/2)
Panne
pour IPE 120 :
b = 6.4 cm et h = 12 cm
6.4 ≤ t ≤ 9.6 cm
soit t = 8 cm.
b
h
échantignolle
Qx = Ve = -118.2 daN/ml
Ry = 2 × (Qx × lx)/2
= 2 × (118.2× 5.0)/2 = 591 daN.
α
t
R
Calcul du moment de renversement :
Mr = R × t = 591 × 8 = 4728 daN.cm
Qx = - 118.2 kg/ ml
Dimensionnement de l’échantignolle :
σ=
Mr
≤ σe
Wech
Lx = 5.0 m
Ry
Ry
Calcul de l’épaisseur de l’échantignolle :
Mr
4728
= 1.97cm3
σe
2400
a × e2
avec Wech =
6
Wech ≥
=
92
CH. III : Calcul des pannes
6 × Wech
= 6×1.97 =0.89cm
15
a
soit e = 12 mm
e=
Remarque :
La largeur de l’échantignolle (a = 15 cm) est calculée après avoir
dimensionné la membrure supérieure de la ferme. 2L70×70×8 (voir
calcul de la ferme).
b=7+7+1 = 15 cm ; avec l’épaisseur du gousset de 10 mm.
Panne de toiture
a=15 cm
e
b
L’échantignolle
Membrure supérieure de la Ferme de
toiture ( 2L70×70×8 )
93